Το βίντεο μάθημα "Get an A" περιλαμβάνει όλα τα απαραίτητα θέματα για μια επιτυχημένη περνώντας τις εξετάσειςστα μαθηματικά για 60-65 μονάδες. Πλήρως όλες οι εργασίες 1-13 εξετάσεις προφίλμαθηματικά. Κατάλληλο και για να περάσει η Βασική ΧΡΗΣΗ στα μαθηματικά. Αν θέλετε να περάσετε τις εξετάσεις με 90-100 μόρια, πρέπει να λύσετε το μέρος 1 σε 30 λεπτά και χωρίς λάθη!

Μαθήματα προετοιμασίας για τις εξετάσεις για τις τάξεις 10-11, καθώς και για καθηγητές. Όλα όσα χρειάζεστε για να λύσετε το 1 μέρος της εξέτασης στα μαθηματικά (τα πρώτα 12 προβλήματα) και στο πρόβλημα 13 (τριγωνομετρία). Και αυτά είναι περισσότερα από 70 μόρια στην Ενιαία Κρατική Εξέταση και ούτε ένας μαθητής εκατό βαθμών ούτε ένας ανθρωπιστής δεν μπορούν να κάνουν χωρίς αυτά.

Όλη η απαραίτητη θεωρία. Γρήγοροι τρόποιλύσεις, παγίδες και ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΗΣΤΕ μυστικά. Όλες οι σχετικές εργασίες του μέρους 1 από τις εργασίες της Τράπεζας FIPI έχουν αναλυθεί. Το μάθημα συμμορφώνεται πλήρως με τις απαιτήσεις του USE-2018.

Το μάθημα περιέχει 5 μεγάλα θέματα, 2,5 ώρες το καθένα. Κάθε θέμα δίνεται από την αρχή, απλά και ξεκάθαρα.

Εκατοντάδες εργασίες εξετάσεων. Προβλήματα κειμένουκαι η θεωρία πιθανοτήτων. Απλοί και εύκολοι στην απομνημόνευση αλγόριθμοι επίλυσης προβλημάτων. Γεωμετρία. Θεωρία, υλικό αναφοράς, ανάλυση όλων των τύπων εργασιών USE. Στερεομετρία. Δύσκολες λύσεις, χρήσιμα cheat sheets, ανάπτυξη χωρική φαντασία. Τριγωνομετρία από το μηδέν - στην εργασία 13. Κατανόηση αντί να στριμώχνουμε. Οπτική εξήγηση σύνθετων εννοιών. Αλγεβρα. Ρίζες, δυνάμεις και λογάριθμοι, συνάρτηση και παράγωγος. Βάση για διάλυμα απαιτητικές εργασίες 2 μέρη της εξέτασης.

Παραλληλόγραμμο είναι ένα τετράπλευρο στο οποίο οι απέναντι πλευρές είναι κατά ζεύγη παράλληλες.

Ένα παραλληλόγραμμο έχει όλες τις ιδιότητες των τετράπλευρων, αλλά έχει και τις δικές του χαρακτηριστικά γνωρίσματα. Γνωρίζοντας τα, μπορούμε εύκολα να βρούμε και τις δύο πλευρές και τις γωνίες ενός παραλληλογράμμου.

Ιδιότητες παραλληλογράμμου

1. Το άθροισμα των γωνιών σε οποιοδήποτε παραλληλόγραμμο, όπως και σε κάθε τετράπλευρο, είναι 360°.
2. Οι μεσαίες γραμμές ενός παραλληλογράμμου και οι διαγώνιοι του τέμνονται σε ένα σημείο και το διχοτομούν. Το σημείο αυτό ονομάζεται κέντρο συμμετρίας του παραλληλογράμμου.
3. Οι απέναντι πλευρές ενός παραλληλογράμμου είναι πάντα ίσες.
4. Επίσης, αυτό το σχήμα έχει πάντα αντίθετες γωνίες ίσες.
5. Το άθροισμα των γωνιών δίπλα σε κάθε πλευρά ενός παραλληλογράμμου είναι πάντα 180°.
6. Το άθροισμα των τετραγώνων των διαγωνίων ενός παραλληλογράμμου είναι ίσο με το διπλάσιο του αθροίσματος των τετραγώνων των δύο διπλανών πλευρών του. Αυτό εκφράζεται με τον τύπο:
   • d 1 2 + d 2 2 = 2 (a 2 + b 2), όπου τα d 1 και d 2 είναι διαγώνιες, τα a και b είναι γειτονικές πλευρές.
7. Το συνημίτονο μιας αμβλείας γωνίας είναι πάντα μικρότερο από το μηδέν.

Πώς να βρείτε τις γωνίες ενός δεδομένου παραλληλογράμμου, εφαρμόζοντας αυτές τις ιδιότητες στην πράξη; Και ποιοι άλλοι τύποι μπορούν να μας βοηθήσουν σε αυτό; Εξετάστε συγκεκριμένες εργασίες που απαιτούν: βρείτε τις γωνίες του παραλληλογράμμου.

Εύρεση των γωνιών ενός παραλληλογράμμου

Περίπτωση 1. Το μέτρο αμβλείας γωνίας είναι γνωστό, απαιτείται να βρεθεί οξεία γωνία.

Παράδειγμα: Στο παραλληλόγραμμο ABCD, η γωνία Α είναι 120°. Βρείτε το μέτρο των υπόλοιπων γωνιών.

Λύση: Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα Νο. 5, μπορούμε να βρούμε το μέτρο της γωνίας Β δίπλα στη γωνία που δίνεται στην εργασία. Θα ισούται με:

• 180°-120°= 60°

Και τώρα, χρησιμοποιώντας την ιδιότητα #4, προσδιορίζουμε ότι οι δύο υπόλοιπες γωνίες C και D είναι αντίθετες από τις γωνίες που έχουμε ήδη βρει. Η γωνία Γ είναι αντίθετη προς τη γωνία Α, η γωνία Δ είναι αντίθετη από τη γωνία Β. Επομένως, είναι ίσες σε ζεύγη.

• Απάντηση: Β=60°, Γ=120°, Δ=60°

Περίπτωση 2. Είναι γνωστά τα μήκη των πλευρών και η διαγώνιος

Σε αυτή την περίπτωση, πρέπει να χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα συνημιτόνου.

Μπορούμε πρώτα να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για να υπολογίσουμε το συνημίτονο της γωνίας που χρειαζόμαστε και στη συνέχεια να χρησιμοποιήσουμε έναν ειδικό πίνακα για να βρούμε με τι ισούται η ίδια η γωνία.

Για μια οξεία γωνία, ο τύπος είναι:

• cosa \u003d (A² + B² - d²) / (2 * A * B), όπου
• α είναι το επιθυμητό αιχμηρή γωνία,
• Τα Α και Β είναι πλευρές παραλληλογράμμου
• d - μικρότερη διαγώνιος

Για μια αμβλεία γωνία, ο τύπος αλλάζει ελαφρώς:

• cosß \u003d (A² + B² - D²) / (2 * A * B), όπου
• ß είναι αμβλεία γωνία,
• Το Α και το Β είναι πλευρές
• D - μεγάλη διαγώνιος

Παράδειγμα: πρέπει να βρείτε την οξεία γωνία ενός παραλληλογράμμου του οποίου οι πλευρές είναι 6 cm και 3 cm και η μικρότερη διαγώνιος είναι 5,2 cm

Αντικαθιστούμε τις τιμές στον τύπο για την εύρεση οξείας γωνίας:

• cosa = (6 2 + 3 2 - 5,2 2) / (2 * 6 * 3) = (36 + 9 - 27,04) / (2 * 18) = 17,96/36 ~ 18/36 ~ 1/2
• cosa = 1/2. Σύμφωνα με τον πίνακα, διαπιστώνουμε ότι η επιθυμητή γωνία είναι 60 °.

Παραλληλόγραμμο είναι ένα τετράπλευρο του οποίου οι απέναντι πλευρές είναι κατά ζεύγη παράλληλες. Επίσης, ένα παραλληλόγραμμο έχει τέτοιες ιδιότητες όπως οι απέναντι πλευρές είναι ίσες, οι απέναντι γωνίες είναι ίσες, το άθροισμα όλων των γωνιών είναι 360 μοίρες.

Θα χρειαστείτε

• Γνώσεις γεωμετρίας.

Εντολή

1. Φανταστείτε να δίνεται μία από τις γωνίες του παραλληλογράμμου και ίση με Α. Βρείτε τις τιμές των υπόλοιπων 3. Με την ιδιότητα του παραλληλογράμμου, οι απέναντι γωνίες είναι ίσες. Άρα η γωνία που βρίσκεται απέναντι από τη δεδομένη είναι ίση με τη δεδομένη και η τιμή της είναι ίση με Α.

2. Βρείτε τις υπόλοιπες δύο γωνίες. Επειδή το άθροισμα όλων των γωνιών σε ένα παραλληλόγραμμο είναι 360 μοίρες και οι απέναντι γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους, αποδεικνύεται ότι η γωνία που ανήκει στην ίδια πλευρά με τη δεδομένη είναι ίση με (360 - 2A) / 2. Λοιπόν, είτε μετά την αναμόρφωση παίρνουμε 180 - Α. Έτσι, σε ένα παραλληλόγραμμο, δύο γωνίες είναι ίσες με Α και οι άλλες δύο γωνίες είναι ίσες με 180 - Α.

Σημείωση!
Η τιμή μιας γωνίας δεν μπορεί να υπερβαίνει τις 180 μοίρες. Οι λαμβανόμενες τιμές των γωνιών μπορούν εύκολα να επαληθευτούν. Για να γίνει αυτό, αθροίστε τα και, αν το άθροισμα είναι 360, όλα υπολογίζονται σωστά.

Χρήσιμες συμβουλές
Ένα ορθογώνιο και ένας ρόμβος αποτελούν ειδική περίπτωση παραλληλογράμμου, επομένως όλες οι ιδιότητες και οι μέθοδοι υπολογισμού των γωνιών ισχύουν και για αυτά.

Μέσο επίπεδο

Παραλληλόγραμμο, ορθογώνιο, ρόμβος, τετράγωνο (2019)

1. Παραλληλόγραμμο

Σύνθετη λέξη «παραλληλόγραμμο»; Και πίσω του κρύβεται μια πολύ απλή φιγούρα.

Λοιπόν, πήραμε δύο παράλληλες γραμμές:

Διασταυρώθηκε από δύο ακόμη:

Και μέσα - ένα παραλληλόγραμμο!

Ποιες είναι οι ιδιότητες ενός παραλληλογράμμου;

Ιδιότητες παραλληλογράμμου.

Δηλαδή τι μπορεί να χρησιμοποιηθεί αν δοθεί παραλληλόγραμμο στο πρόβλημα;

Το ερώτημα αυτό απαντάται με το ακόλουθο θεώρημα:

Ας τα ζωγραφίσουμε όλα λεπτομερώς.

Τι κάνει πρώτο σημείο του θεωρήματος? Και το γεγονός ότι αν ΕΧΕΙΣ παραλληλόγραμμο, τότε οπωσδήποτε

Η δεύτερη παράγραφος σημαίνει ότι αν υπάρχει παραλληλόγραμμο, τότε, πάλι, οπωσδήποτε:

Λοιπόν, και τέλος, το τρίτο σημείο σημαίνει ότι αν έχετε παραλληλόγραμμο, τότε να είστε βέβαιοι:

Δείτε τι πλήθος επιλογών; Τι να χρησιμοποιήσετε στην εργασία; Προσπαθήστε να εστιάσετε στο ζήτημα της εργασίας ή απλώς δοκιμάστε τα πάντα με τη σειρά - κάποιο είδος «κλειδιού» θα κάνει.

Και τώρα ας αναρωτηθούμε μια άλλη ερώτηση: πώς να αναγνωρίσουμε ένα παραλληλόγραμμο "στο πρόσωπο"; Τι πρέπει να συμβεί σε ένα τετράπλευρο για να έχουμε το δικαίωμα να του δώσουμε τον «τίτλο» του παραλληλογράμμου;

Αυτή η ερώτηση απαντάται με πολλά σημάδια ενός παραλληλογράμμου.

Χαρακτηριστικά παραλληλογράμμου.

Προσοχή! Να αρχίσει.

Παραλληλόγραμμο.

Προσοχή: αν έχετε βρει τουλάχιστον ένα σημάδι στο πρόβλημά σας, τότε έχετε ακριβώς ένα παραλληλόγραμμο και μπορείτε να χρησιμοποιήσετε όλες τις ιδιότητες ενός παραλληλογράμμου.

2. Ορθογώνιο

Δεν νομίζω ότι θα είναι καθόλου είδηση ​​για εσάς.

Το πρώτο ερώτημα είναι: είναι ένα παραλληλόγραμμο παραλληλόγραμμο;

Φυσικά είναι! Τελικά, έχει - θυμάστε, το ζώδιό μας 3;

Και από εδώ, φυσικά, προκύπτει ότι για ένα ορθογώνιο, όπως για κάθε παραλληλόγραμμο, και, και οι διαγώνιοι διαιρούνται με το σημείο τομής στο μισό.

Αλλά υπάρχει ένα ορθογώνιο και μια χαρακτηριστική ιδιότητα.

Ιδιότητα ορθογώνιου

Γιατί αυτό το ακίνητο είναι διακριτικό; Γιατί κανένα άλλο παραλληλόγραμμο δεν έχει ίσες διαγώνιους. Ας το διατυπώσουμε πιο ξεκάθαρα.

Προσοχή: για να γίνει ορθογώνιο, ένα τετράπλευρο πρέπει πρώτα να γίνει παραλληλόγραμμο και μετά να παρουσιάσει την ισότητα των διαγωνίων.

3. Διαμάντι

Και πάλι το ερώτημα είναι: ο ρόμβος είναι παραλληλόγραμμο ή όχι;

Με πλήρες δεξί - παραλληλόγραμμο, γιατί έχει και (θυμηθείτε το ζώδιο μας 2).

Και πάλι, αφού ένας ρόμβος είναι παραλληλόγραμμο, τότε πρέπει να έχει όλες τις ιδιότητες ενός παραλληλογράμμου. Αυτό σημαίνει ότι ένας ρόμβος έχει αντίθετες γωνίες ίσες, οι απέναντι πλευρές είναι παράλληλες και οι διαγώνιοι διχοτομούνται από το σημείο τομής.

Ιδιότητες Ρόμβου

Κοίτα την εικόνα:

Όπως και στην περίπτωση ενός ορθογωνίου, αυτές οι ιδιότητες είναι διακριτικές, δηλαδή, για καθεμία από αυτές τις ιδιότητες, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι δεν έχουμε απλώς ένα παραλληλόγραμμο, αλλά έναν ρόμβο.

Σημάδια ενός ρόμβου

Και προσέξτε ξανά: δεν πρέπει να υπάρχει απλώς ένα τετράγωνο με κάθετες διαγώνιες, αλλά ένα παραλληλόγραμμο. Συγουρεύομαι:

Όχι, φυσικά όχι, αν και οι διαγώνιες του και είναι κάθετες, και η διαγώνιος είναι η διχοτόμος των γωνιών u. Αλλά ... οι διαγώνιοι δεν διαιρούνται, το σημείο τομής στο μισό, επομένως - ΟΧΙ παραλληλόγραμμο, και επομένως ΟΧΙ ρόμβος.

Δηλαδή ένα τετράγωνο είναι παραλληλόγραμμο και ρόμβος ταυτόχρονα. Ας δούμε τι βγαίνει από αυτό.

Είναι σαφές γιατί; - ρόμβος - η διχοτόμος της γωνίας Α, η οποία είναι ίση με. Έτσι χωρίζεται (και επίσης) σε δύο γωνίες κατά μήκος.

Λοιπόν, είναι αρκετά σαφές: οι διαγώνιοι του ορθογωνίου είναι ίσες. Οι διαγώνιες ρόμβου είναι κάθετες και γενικά - οι διαγώνιοι παραλληλόγραμμων διαιρούνται με το σημείο τομής στο μισό.

ΜΕΣΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Ιδιότητες τετράπλευρων. Παραλληλόγραμμο

Ιδιότητες παραλληλογράμμου

Προσοχή! Οι λέξεις " ιδιότητες παραλληλογράμμου» σημαίνει ότι αν έχετε μια εργασία υπάρχειπαραλληλόγραμμο, τότε μπορούν να χρησιμοποιηθούν όλα τα παρακάτω.

Θεώρημα για τις ιδιότητες παραλληλογράμμου.

Σε οποιοδήποτε παραλληλόγραμμο:

Ας δούμε γιατί ισχύει αυτό, με άλλα λόγια ΘΑ ΑΠΟΔΕΙΞΟΥΜΕθεώρημα.

Γιατί λοιπόν το 1) ισχύει;

Εφόσον είναι παραλληλόγραμμο, τότε:

• σαν να βρίσκεται σταυρωτά
• ως ξαπλωμένος απέναντι.

Ως εκ τούτου, (με βάση II: και - γενικά.)

Λοιπόν, μια φορά, τότε - αυτό είναι! - αποδείχθηκαν.

Αλλά παρεμπιπτόντως! Αποδείξαμε επίσης 2)!

Γιατί; Αλλά τελικά (κοιτάξτε την εικόνα), δηλαδή, επειδή.

Μόνο 3 έμειναν).

Για να γίνει αυτό, πρέπει ακόμα να σχεδιάσετε μια δεύτερη διαγώνιο.

Και τώρα βλέπουμε ότι - σύμφωνα με το σύμβολο II (η γωνία και η πλευρά "ανάμεσα τους").

Ιδιότητες αποδεδειγμένες! Ας περάσουμε στα σημάδια.

Χαρακτηριστικά παραλληλογράμμου

Θυμηθείτε ότι το πρόσημο ενός παραλληλογράμμου απαντά στην ερώτηση "πώς να μάθετε;" Ότι το σχήμα είναι παραλληλόγραμμο.

Στα εικονίδια είναι κάπως έτσι:

Γιατί; Θα ήταν ωραίο να καταλάβουμε γιατί - φτάνει. Αλλά κοίτα:

Λοιπόν, καταλάβαμε γιατί το σύμβολο 1 είναι αληθινό.

Λοιπόν, αυτό είναι ακόμα πιο εύκολο! Ας σχεδιάσουμε ξανά μια διαγώνιο.

Που σημαίνει:

Καιείναι επίσης εύκολο. Αλλά… διαφορετικά!

Που σημαίνει, . Ουάου! Αλλά επίσης - εσωτερική μονόπλευρη σε μια διατομή!

Επομένως το γεγονός ότι σημαίνει ότι.

Και αν κοιτάξετε από την άλλη πλευρά, τότε είναι εσωτερικά μονόπλευρα σε ένα τμήμα! Και ως εκ τούτου.

Βλέπετε πόσο υπέροχο είναι;!

Και πάλι απλά:

Ακριβώς το ίδιο, και.

Δώσε προσοχή:αν βρήκες τουλάχιστονένα σημάδι παραλληλογράμμου στο πρόβλημά σας, τότε έχετε ακριβώςπαραλληλόγραμμο και μπορείτε να χρησιμοποιήσετε Ολοιιδιότητες ενός παραλληλογράμμου.

Για πλήρη σαφήνεια, δείτε το διάγραμμα:

Ιδιότητες τετράπλευρων. Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.

Ιδιότητες ορθογωνίου:

Το σημείο 1) είναι αρκετά προφανές - τελικά, το σημείο 3 () απλώς εκπληρώνεται

Και σημείο 2) - πολύ σημαντικό. Ας το αποδείξουμε λοιπόν

Έτσι, σε δύο πόδια (και - γενικά).

Λοιπόν, αφού τα τρίγωνα είναι ίσα, τότε και οι υποτείνυσές τους είναι ίσες.

Το απέδειξε!

Και φανταστείτε, η ισότητα των διαγωνίων είναι μια διακριτική ιδιότητα ενός ορθογωνίου μεταξύ όλων των παραλληλογραμμών. Δηλαδή ισχύει η παρακάτω δήλωση

Ας δούμε γιατί;

Άρα, (εννοεί τις γωνίες του παραλληλογράμμου). Αλλά για άλλη μια φορά, θυμηθείτε ότι - ένα παραλληλόγραμμο, και ως εκ τούτου.

Που σημαίνει, . Και, φυσικά, από αυτό προκύπτει ότι το καθένα από αυτά Άλλωστε στο ποσό που πρέπει να δώσουν!

Εδώ αποδείξαμε ότι αν παραλληλόγραμμοξαφνικά (!) θα είναι ίσες διαγώνιοι, τότε αυτό ακριβώς ένα ορθογώνιο.

Αλλά! Δώσε προσοχή!Αυτό είναι περίπου παραλληλόγραμμα! Καθόλουένα τετράπλευρο με ίσες διαγώνιες είναι ένα ορθογώνιο, και μόνοπαραλληλόγραμμο!

Ιδιότητες τετράπλευρων. Ρόμβος

Και πάλι το ερώτημα είναι: ο ρόμβος είναι παραλληλόγραμμο ή όχι;

Με πλήρες δεξί - παραλληλόγραμμο, γιατί έχει και (Θυμηθείτε το ζώδιο μας 2).

Και πάλι, αφού ένας ρόμβος είναι παραλληλόγραμμο, πρέπει να έχει όλες τις ιδιότητες ενός παραλληλογράμμου. Αυτό σημαίνει ότι ένας ρόμβος έχει αντίθετες γωνίες ίσες, οι απέναντι πλευρές είναι παράλληλες και οι διαγώνιοι διχοτομούνται από το σημείο τομής.

Υπάρχουν όμως και ειδικές ιδιότητες. Διατυπώνουμε.

Ιδιότητες Ρόμβου

Γιατί; Λοιπόν, αφού ένας ρόμβος είναι παραλληλόγραμμο, τότε οι διαγώνιοί του χωρίζονται στο μισό.

Γιατί; Ναι, γι' αυτό!

Με άλλα λόγια, οι διαγώνιοι και αποδείχθηκαν οι διχοτόμοι των γωνιών του ρόμβου.

Όπως και στην περίπτωση ενός ορθογωνίου, αυτές οι ιδιότητες είναι διακριτικός, καθένα από αυτά είναι επίσης ένα σημάδι ενός ρόμβου.

Σημάδια ρόμβου.

Γιατί αυτό? Και κοίτα

Ως εκ τούτου, και και τα δυοαυτά τα τρίγωνα είναι ισοσκελές.

Για να είναι ρόμβος, ένα τετράπλευρο πρέπει πρώτα να «γίνει» παραλληλόγραμμο και μετά να δείξει ήδη το χαρακτηριστικό 1 ή το χαρακτηριστικό 2.

Ιδιότητες τετράπλευρων. τετράγωνο

Δηλαδή ένα τετράγωνο είναι παραλληλόγραμμο και ρόμβος ταυτόχρονα. Ας δούμε τι βγαίνει από αυτό.

Είναι σαφές γιατί; Τετράγωνο - ρόμβος - η διχοτόμος της γωνίας, που ισούται με. Έτσι χωρίζεται (και επίσης) σε δύο γωνίες κατά μήκος.

Λοιπόν, είναι αρκετά σαφές: οι διαγώνιοι του ορθογωνίου είναι ίσες. Οι διαγώνιες ρόμβου είναι κάθετες και γενικά - οι διαγώνιοι παραλληλόγραμμων διαιρούνται με το σημείο τομής στο μισό.

Γιατί; Λοιπόν, απλώς εφαρμόστε το Πυθαγόρειο Θεώρημα σε.

ΣΥΝΟΨΗ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΟΣ ΤΥΠΟΣ

Ιδιότητες παραλληλογράμμου:

1. Οι απέναντι πλευρές είναι ίσες: , .
2. Οι αντίθετες γωνίες είναι: , .
3. Οι γωνίες στη μία πλευρά αθροίζονται σε: , .
4. Οι διαγώνιοι διαιρούνται με το σημείο τομής στο μισό: .

Ιδιότητες ορθογωνίου:

1. Οι διαγώνιοι ενός ορθογωνίου είναι: .
2. Το ορθογώνιο είναι παραλληλόγραμμο (όλες οι ιδιότητες ενός παραλληλογράμμου πληρούνται για ένα ορθογώνιο).

Ιδιότητες ρόμβου:

1. Οι διαγώνιοι του ρόμβου είναι κάθετες: .
2. Οι διαγώνιοι ενός ρόμβου είναι οι διχοτόμοι των γωνιών του: ; ; ; .
3. Ένας ρόμβος είναι ένα παραλληλόγραμμο (όλες οι ιδιότητες ενός παραλληλογράμμου πληρούνται για έναν ρόμβο).

Τετράγωνες ιδιότητες:

Ένα τετράγωνο είναι ρόμβος και παραλληλόγραμμο ταυτόχρονα, επομένως, για ένα τετράγωνο, πληρούνται όλες οι ιδιότητες ενός ορθογωνίου και ενός ρόμβου. Καθώς.

ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΑ.

§43. ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ.

1. Ορισμός παραλληλογράμμου.

Αν τέμνουμε ένα ζεύγος παράλληλων ευθειών με ένα άλλο ζεύγος παράλληλων ευθειών, παίρνουμε ένα τετράπλευρο του οποίου οι απέναντι πλευρές είναι κατά ζεύγη παράλληλες.

Στα τετράγωνα ABDC και EFNM (Εικ. 224) BD || AC και AB || CD;
EF || MN και EM || F.N.

Ένα τετράπλευρο του οποίου οι απέναντι πλευρές είναι κατά ζεύγη παράλληλες ονομάζεται παραλληλόγραμμο.

2. Ιδιότητες παραλληλογράμμου.

Θεώρημα. Η διαγώνιος ενός παραλληλογράμμου το χωρίζει σε δύο ίσα τρίγωνα.

Έστω ένα παραλληλόγραμμο ABDC (Εικ. 225) στο οποίο AB || CD και AC || BD.

Απαιτείται να αποδειχθεί ότι η διαγώνιος τη χωρίζει σε δύο ίσα τρίγωνα.

Σχεδιάστε μια διαγώνιο CB σε ένα παραλληλόγραμμο ABDC. Ας το αποδείξουμε /\ CAB= /\ CDB.

Η ΒΑ πλευρά είναι κοινή σε αυτά τα τρίγωνα. / ABC = / BCD, ως εσωτερικές εγκάρσιες γωνίες με παράλληλα AB και CD και τέμνουσα CB. / ΔΙΑ = / CBD, επίσης ως εσωτερικές εγκάρσιες γωνίες με παράλληλα AC και BD και τέμνουσα CB (§ 38).

Από εδώ /\ CAB = /\ CDB.

Με τον ίδιο τρόπο, μπορεί κανείς να αποδείξει ότι η διαγώνιος ΑΔ χωρίζει το παραλληλόγραμμο σε δύο ίσα τρίγωνα ACD και ABD.

Συνέπειες. 1 . Οι αντίθετες γωνίες ενός παραλληλογράμμου είναι ίσες.

/ Α = / D, αυτό προκύπτει από την ισότητα των τριγώνων CAB και CDB.
Ομοίως, / C = / ΣΤΟ.

2. Οι απέναντι πλευρές ενός παραλληλογράμμου είναι ίσες.

AB \u003d CD και AC \u003d BD, καθώς αυτές είναι πλευρές ίσων τριγώνων και βρίσκονται απέναντι από ίσες γωνίες.

Θεώρημα 2. Οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου διχοτομούνται στο σημείο της τομής τους.

Έστω BC και AD οι διαγώνιοι του παραλληλογράμμου ABDC (Εικ. 226). Ας αποδείξουμε ότι AO = OD και CO = OB.

Για να το κάνετε αυτό, συγκρίνετε, για παράδειγμα, ένα ζευγάρι αντίθετων τριγώνων /\ AOB και /\ ΓΑΔΟΣ.

Σε αυτά τα τρίγωνα AB = CD, ως απέναντι πλευρές ενός παραλληλογράμμου.
/ 1 = / 2, ως εσωτερικές γωνίες εγκάρσια κείμενη σε παράλληλες AB και CD και τέμνουσα AD.
/ 3 = / 4 για τον ίδιο λόγο, αφού ΑΒ || Το CD και το CB είναι το τμήμα τους (§ 38).

Ως εκ τούτου προκύπτει ότι /\ AOB = /\ ΓΑΔΟΣ. Και σε ίσα τρίγωνα, απέναντι ίσες γωνίες είναι ίσες πλευρές. Επομένως, AO = OD και CO = OB.

Θεώρημα 3. Το άθροισμα των γωνιών που γειτνιάζουν με τη μία πλευρά του παραλληλογράμμου είναι ίσο με 2 ρε .

Αποδείξτε τον εαυτό σας.

3. Σημάδια παραλληλογράμμου.

Θεώρημα. Αν οι απέναντι πλευρές ενός τετράπλευρου είναι κατά ζεύγη ίσες, τότε το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.

Έστω στο τετράπλευρο ABDC (Εικ. 227) AB = CD και AC = BD. Ας αποδείξουμε ότι υπό αυτήν την προϋπόθεση ΑΒ || CD και AC || BD, δηλαδή, το τετράπλευρο ABDC είναι παραλληλόγραμμο.
Ας συνδέσουμε με ένα τμήμα μερικές δύο απέναντι κορυφές αυτού του τετράπλευρου, για παράδειγμα, C και B. Το τετράπλευρο ABDC χωρίζεται σε δύο ίσα τρίγωνα: /\ CAB και /\ CDB. Πράγματι, έχουν μια κοινή πλευρά CB, AB \u003d CD και AC \u003d BD κατά συνθήκη. Έτσι, οι τρεις πλευρές του ενός τριγώνου είναι αντίστοιχα ίσες με τις τρεις πλευρές του άλλου, άρα /\ CAB = /\ CDB.

Σε ίσα τρίγωνα vs. ίσες πλευρέςψέμα ίσες γωνίες, να γιατί
/ 1 = / 2 και / 3 = / 4.

Οι γωνίες 1η και 2η είναι εσωτερικές εγκάρσιες γωνίες στην τομή των γραμμών AB και CD με τη γραμμή CB. Επομένως, ΑΒ || CD.

Ομοίως, οι γωνίες 3η και 4η είναι εσωτερικές εγκάρσιες γωνίες στην τομή των γραμμών CA και BD με τη γραμμή CB, επομένως, CA || ΒΔ (§ 35).

Έτσι, οι απέναντι πλευρές του τετράπλευρου ABDC είναι κατά ζεύγη παράλληλες, επομένως, είναι ένα παραλληλόγραμμο, το οποίο έπρεπε να αποδειχθεί.

Θεώρημα 2. Αν δύο απέναντι πλευρές ενός τετράπλευρου είναι ίσες και παράλληλες, τότε το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.

Έστω στο τετράπλευρο ABDC AB = CD και AB || CD. Ας αποδείξουμε ότι υπό αυτές τις συνθήκες το τετράπλευρο ABDC είναι παραλληλόγραμμο (Εικ. 228).

Συνδέουμε τις κορυφές C και B με ένα τμήμα CB. Λόγω του παραλληλισμού των ευθειών AB και CD, οι γωνίες 1 και 2, όπως οι εσωτερικές γωνίες που βρίσκονται κατά μήκος, είναι ίσες (§ 38).
Στη συνέχεια το τρίγωνο CAB ίσο με τρίγωνοСDВ, δεδομένου ότι έχουν μια κοινή πλευρά CB,
AB \u003d CD από την συνθήκη του θεωρήματος και / 1 = / 2 όπως αποδείχθηκε. Από την ισότητα αυτών των τριγώνων προκύπτει η ισότητα των γωνιών 3 και 4, αφού βρίσκονται απέναντι ίσες πλευρές σε ίσα τρίγωνα.

Αλλά οι γωνίες 3 και 4 είναι εσωτερικές εγκάρσιες γωνίες που σχηματίζονται στη τομή των γραμμών AC και BD από τη γραμμή CB, επομένως, AC || ΒΔ (§ 35), δηλ. τετράπλευρο
Το ABDC είναι παραλληλόγραμμο.

Γυμνάσια.

1. Να αποδείξετε ότι αν οι διαγώνιοι ενός τετράπλευρου στο σημείο της αμοιβαίας τομής τους διαιρεθούν στο μισό, τότε αυτό το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.

2. Να αποδείξετε ότι ένα τετράπλευρο του οποίου το άθροισμα εσωτερικές γωνίες, δίπλα σε καθεμία από τις δύο γειτονικές πλευρές, ισούται με 2 ρε, είναι παραλληλόγραμμο.

3. Κατασκευάστε ένα παραλληλόγραμμο σε δύο πλευρές και μια γωνία μεταξύ τους:

α) χρησιμοποιώντας παραλληλισμό αντίθετες πλευρέςπαραλληλόγραμμο;
β) χρησιμοποιώντας την ισότητα των απέναντι πλευρών του παραλληλογράμμου.

4. Κατασκευάστε ένα παραλληλόγραμμο σε δύο παρακείμενα κόμματακαι διαγώνιες.

5. Κατασκευάστε ένα παραλληλόγραμμο από τις δύο διαγώνιές του και τη μεταξύ τους γωνία.

6. Κατασκευάστε ένα παραλληλόγραμμο κατά μήκος της πλευράς του και δύο διαγώνιους.