Μαθηματική ανάλυση Sadovnichy. Μαθηματική ανάλυση - Μάθημα αρχαρίων με παραδείγματα και εργασίες - Gurova Z.I

Ονομα: Μαθηματική ανάλυση - Έναρξη μαθημάτωνμε παραδείγματα και εργασίες. 2002.

Οι κύριες πληροφορίες από αρχικές ενότητεςμάθημα μαθηματικής ανάλυσης για ανώτατα εκπαιδευτικά ιδρύματα - "Εισαγωγή στην ανάλυση", "Βασικές αρχές διαφορικού λογισμού μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής", "Μέθοδοι ολοκλήρωσης συναρτήσεων μιας μεταβλητής", "Σειρά αριθμών".
Δεδομένος σύντομη θεωρία, τυπικά παραδείγματα και εργασίες για ανεξάρτητη λύση. Προτείνονται αλγόριθμοι για μεθόδους επίλυσης διαφόρων τάξεων προβλημάτων.

Το εγχειρίδιο μπορεί να χρησιμοποιηθεί τόσο ως σχολικό βιβλίο όσο και ως προβληματικό βιβλίο από τους μαθητές. τεχνικών ειδικοτήτων, δόκιμοι στρατιωτικών σχολών, μαθητές τεχνικών και δευτεροβάθμιων σχολών.

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ
Πρόλογος επιμελητή σειράς. 7
Πρόλογος 8
Κεφάλαιο Ι. Εισαγωγή στην Ανάλυση. 10
§ 1. Μερικά γεγονότα από τη θεωρία των συνόλων 10
1.1. Βασικές έννοιες (10). 1.2. Λειτουργίες σε σετ. (δέκα)
§ 2. Ακολουθίες αριθμών. Όριο ακολουθίας. 16
2.1. Βασικοί ορισμοί (16). 2.2. Όριο ακολουθίας (18). 2.3. Ιδιότητες συγκλίνουσες ακολουθίες (21). 2.4. Χαρακτηριστικά παραδείγματα (23). 2.5. Εργασίες για ανεξάρτητη λύση (23).
§ 3. Λειτουργίες. Όριο συνάρτησης 24
3.1. Βασικοί ορισμοί. Μέθοδοι ρύθμισης συναρτήσεων (24). 3.2. Μιγαδικές, αντίστροφες και παραμετρικά καθορισμένες συναρτήσεις (25). 3.3. Στοιχειώδεις συναρτήσεις (27). 3.4. Μονότονες συναρτήσεις (29). 3.5. Περιορισμένες δυνατότητες(29). 3.6. Όριο συνάρτησης (30). 3.7. Μονόπλευρα όρια της συνάρτησης (36). 3.8. Χαρακτηριστικά παραδείγματα (38). 3.9. Εργασίες για ανεξάρτητη λύση. (39)
§ 4. Θεωρήματα ορίων συναρτήσεων. 39
4.1. Βασικά θεωρήματα για τα όρια των συναρτήσεων (39). 4.2. Απειροελάχιστες και απείρως μεγάλες συναρτήσεις και οι ιδιότητές τους (41). 4.3. Θεωρήματα ορίων συναρτήσεων που σχετίζονται με αριθμητικές πράξεις (45). 4.4. Θεωρήματα ορίων συναρτήσεων που σχετίζονται με ανισώσεις (47). 4.5. Χαρακτηριστικά παραδείγματα (50). 4.6. Εργασίες για ανεξάρτητη λύση (54).
§ 5. Αξιοσημείωτα όρια. Σύγκριση απειροελάχιστων συναρτήσεων 54
5.1. Αξιοσημείωτα όρια (54). 5.2. Σύγκριση απειροελάχιστων συναρτήσεων (58). 5.3. Ιδιότητες ισοδύναμων απειροελάχιστων συναρτήσεων (60). 5.4. Χαρακτηριστικά παραδείγματα (63). 5.5. Εργασίες για ανεξάρτητη λύση (70).
§ 6. Συνέχεια συναρτήσεων 71
6.1. Βασικοί ορισμοί (71). 6.2. Ιδιότητες συναρτήσεων συνεχών σε σημείο (73). 6.3. Συνέχεια συναρτήσεων σε διάστημα, μισό διάστημα, τμήμα (77). 6.4. Ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων σε διάστημα (78). 6.5. Σημεία διακοπής συναρτήσεων και ταξινόμηση τους (78). 6.6. Χαρακτηριστικά παραδείγματα (80). 6.7. Εργασίες για ανεξάρτητη λύση (85).
Κεφάλαιο II. Βασικές αρχές διαφορικού λογισμού συναρτήσεων μιας μεταβλητής. 87
§ 7. Παράγωγος συνάρτησης, ιδιότητες και εφαρμογές της 87
7.1. Προσδιορισμός της παραγώγου συνάρτησης σε σημείο (87). 7.2. Πίνακας διαφοροποίησης. Παράγωγα της κύριας στοιχειώδεις λειτουργίες(89). 7.3. Ιδιότητες του παραγώγου (92). 7.4. Γεωμετρική και μηχανική αίσθησηπαράγωγο (94). 7.5. Εξισώσεις της εφαπτομένης και της κάθετης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης (96). 7.6. Χαρακτηριστικά παραδείγματα (97). 7.7. Εργασίες για ανεξάρτητη λύση (101).
§ 8. Διαφοροποίηση σύνθετη λειτουργία, αντίστροφη συνάρτησηκαι παραμετρικά δεδομένη λειτουργία 102
8.1. Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης. Λογαριθμική παράγωγος (102). 8.2. Παράγωγος της αντίστροφης συνάρτησης. Αντίστροφα παράγωγα τριγωνομετρικές συναρτήσεις(105). 8.3. Παράγωγος παραμετρικά δεδομένης συνάρτησης (107). 8.4. Χαρακτηριστικά παραδείγματα (109). 8.5. Εργασίες για ανεξάρτητη λύση (111).
§ 9. Διαφορικό συνάρτησης, ιδιότητες και εφαρμογές του .... 112
9.1. Διαφορισιμότητα συναρτήσεων. Διαφορικό (112). 9.2. Ιδιότητες του διαφορικού (114). 9.3. γεωμετρική αίσθησηδιαφορικός. Υπολογισμός κατά προσέγγιση τιμών συναρτήσεων με χρήση διαφορικού (115). 9.4. Αμετάβλητο του διαφορικού συμβολισμού (116). 9.5. Χαρακτηριστικά παραδείγματα (117). 9.6. Εργασίες για ανεξάρτητη λύση (119).
§ 10. Παράγωγα και διαφορικά ανώτερων τάξεων 120
10.1. Παράγωγα ανώτερων τάξεων (120). 10.2. Τύπος Leibniz (122). 10.3. Διαφορικά υψηλότερης τάξης (124). 10.4. Χαρακτηριστικά παραδείγματα (126). 10.5. Εργασίες για ανεξάρτητη λύση (129).
§έντεκα. Βασικά θεωρήματα διαφορικού λογισμού. Αποκάλυψη αβεβαιοτήτων 130
11.1. Θεώρημα Rolle (θεώρημα μηδενικής παραγώγου) (130). 11.2. Θεώρημα Lagrange. Τύπος πεπερασμένων προσαυξήσεων (131). 11.3. Θεώρημα Cauchy. Γενικευμένος τύπος για πεπερασμένες προσαυξήσεις (133). 11.4. Αποκάλυψη αβεβαιοτήτων. Κανόνας του L'Hopital (134). 11.5. Χαρακτηριστικά παραδείγματα (141). 11.6. Εργασίες για ανεξάρτητη λύση (145).
§ 12. Τύπος Taylor 146
12.1. Τύπος Taylor με υπολειπόμενο όρο σε μορφή Peano (146). 12.2. Τύπος Taylor για μερικές βασικές στοιχειώδεις συναρτήσεις (150). 12.3. Διάφορες μορφέςτον υπόλοιπο όρο (152). 12.4. Χαρακτηριστικά παραδείγματα (155). 12.5. Εργασίες για ανεξάρτητη λύση (159).
§ 13. Αύξηση, μείωση, άκρο συνάρτησης 160
13.1. Αύξηση και μείωση συνάρτησης (160). 13.2. Ακραίο της συνάρτησης (163). 13.3. Το μεγαλύτερο και μικρότερη τιμήλειτουργίες (168). 13.4. Χαρακτηριστικά παραδείγματα (172). 13.5. Εργασίες για ανεξάρτητη λύση (175).
§ 14. Κυρτότητα, κοιλότητα, σημεία καμπής καμπύλης. Ασύμπτωτες καμπύλης 176
14.1. Κυρτότητα, κοιλότητα, σημεία καμπής της καμπύλης (176). 14.2. Ασύμπτωτα της καμπύλης (180). 14.3. Χαρακτηριστικά παραδείγματα (183). 14.4. Εργασίες για ανεξάρτητη λύση (185).
§ 15. Η μελέτη των συναρτήσεων και η κατασκευή των γραφημάτων τους 186
15.1. Σχέδιο Μελέτης Συναρτήσεων (186). 15.2. Χαρακτηριστικά παραδείγματα (186). 15.3. Εργασίες για ανεξάρτητη λύση (195).
Κεφάλαιο III. Μέθοδοι ολοκλήρωσης συναρτήσεων μιας μεταβλητής. 196
§ 16. Η αντιπαράγωγος συνάρτησης και το αόριστο ολοκλήρωμα. 196
16.1. Ορισμός και ιδιότητες του αορίστου ολοκληρώματος (196). 16.2. Βασικές μέθοδοι ολοκλήρωσης (198). 16.3. Χαρακτηριστικά παραδείγματα (207). 16.4. Εργασίες για ανεξάρτητη λύση (210).
§ 17. Ολοκλήρωση ορθολογικών κλασμάτων. 211
17.1. Σύντομη ενημέρωσηαπό την άλγεβρα των πολυωνύμων (211). 17.2. Ολοκλήρωση στοιχειωδών κλασμάτων (214). 17.3. Ολοκλήρωση ορθολογικών κλασμάτων (218). 17.4. Χαρακτηριστικά παραδείγματα (220). 17.5. Εργασίες για ανεξάρτητη λύση (227).
§ 18. Ολοκλήρωση τριγωνομετρικών συναρτήσεων. 227
18.1. Καθολική τριγωνομετρική αντικατάσταση (227). 18.2. Ολοκλήρωση συναρτήσεων περιττών ως προς το sin x ή το cos x (230). 18.3. Ολοκλήρωση άρτιων συναρτήσεων ως προς τα sin x και cos x (232). 18.4. Ενσωμάτωση προϊόντων ημιτονίων και συνημιτόνων διαφόρων επιχειρημάτων (234). 18.5. Χαρακτηριστικά παραδείγματα (235). 18.6. Εργασίες για ανεξάρτητη λύση (239).
§ 19. Ένταξη κάποιων παράλογες λειτουργίες. 240
19.1. Ολοκλήρωση συναρτήσεων που είναι ορθολογικές σε σχέση με το όρισμα και τη ρίζα του γραμμική κλασματική συνάρτηση(240). 19.2. Ολοκλήρωση συναρτήσεων που είναι ορθολογικές ως προς το όρισμα και τετραγωνική ρίζααπό τετράγωνο τριώνυμο(241). 19.3. Χαρακτηριστικά παραδείγματα (248). 19.4. Εργασίες για ανεξάρτητη λύση (258).
Κεφάλαιο IV. Αριθμητικές γραμμές. 260
§ 20. Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες αριθμητικών σειρών. 260
20.1. Βασικοί ορισμοί (260). 20.2. Βασικές ιδιότητεςσειρές (265). 20.3. Κριτήριο Cauchy για τη σύγκλιση της σειράς (270). 20.4. Χαρακτηριστικά παραδείγματα (271). 20.5. Εργασίες για ανεξάρτητη λύση (274).
§ 21. Σταθερή σειρά. 275
21.1. Κριτήριο σύγκλισης για σειρές σταθερού πρόσημου (275). 21.2. Επαρκείς δοκιμές για σύγκλιση και απόκλιση σειρών με μη αρνητικούς όρους (277). 21.3. Χαρακτηριστικά παραδείγματα (289). 21.4. Εργασίες για ανεξάρτητη λύση. (297).
§ 22. Εναλλασσόμενες σειρές. 298
22.1. Εναλλασσόμενες σειρές (298). 22.2. Απόλυτα και υπό όρους συγκλίνουσες σειρές (302). 22.3. Δοκιμές d'Alembert και Cauchy για εναλλασσόμενες σειρές (303). 22.4. Ιδιότητες απόλυτα και υπό όρους συγκλίνουσας σειράς (305). 22.5. Χαρακτηριστικά παραδείγματα (307). 22.6. Εργασίες για ανεξάρτητη λύση (312).
§ 23. Ακολουθίες και σειρές με μιγαδικούς όρους 313
23.1. Σύντομες πληροφορίες για μιγαδικοί αριθμοί(313). 23.2. Ακολουθίες με μιγαδικούς όρους (318). 23.3. Σειρά με σύνθετους όρους (321). 23.4. Χαρακτηριστικά παραδείγματα (324). 23.5. Εργασίες για ανεξάρτητη λύση. (329)
Εφαρμογή. 331
§ 24. Σύντομες πληροφορίες για ολοκληρώματα με άπειρα όρια. 331
Απαντήσεις σε προβλήματα για ανεξάρτητη λύση. 336
Βιβλιογραφία. 343
Υλικό αναφοράς. 344
Ευρετήριο θεμάτων.

Μερικοί ορισμοί:

Μια γραφική μέθοδος για τον καθορισμό μιας συνάρτησης είναι αυτή στην οποία η αντιστοιχία μεταξύ του συνόλου των τιμών των ορισμάτων και του συνόλου των τιμών της συνάρτησης καθορίζεται γραφικά.
Για παράδειγμα, ένα βαρόγραμμα που καταγράφεται από ένα βαρόγραφο ορίζει γραφικά Ατμοσφαιρική πίεσηως συνάρτηση του χρόνου.

Η μέθοδος ορισμού μιας συνάρτησης ονομάζεται πίνακας εάν δίνεται ένας πίνακας τιμών ορίσματος και αντίστοιχων τιμών συνάρτησης.
Για παράδειγμα, η εξάρτηση της θερμοκρασίας του αέρα από το χρόνο μπορεί να ρυθμιστεί χρησιμοποιώντας έναν πίνακα πειραματικών δεδομένων.

Εκτός από αυτές τις μεθόδους καθορισμού μιας συνάρτησης, υπάρχουν και άλλες. Για παράδειγμα, κατά την εκτέλεση αριθμητικών υπολογισμών σε υπολογιστές, οι συναρτήσεις καθορίζονται με αλγοριθμικό τρόπο, δηλαδή με τη βοήθεια ενός προγράμματος για τον υπολογισμό των τιμών τους για τις απαιτούμενες τιμές του ορίσματος. Η λειτουργία μπορεί επίσης να ρυθμιστεί λεκτική περιγραφήαντιστοιχίες μεταξύ τιμών ορίσματος και τιμών συναρτήσεων. Για παράδειγμα, "σε κάθε ορθολογικό αριθμό θα εκχωρηθεί ο αριθμός 1 και σε κάθε παράλογο 0 ...". Η συνάρτηση που ορίζεται με αυτόν τον τρόπο ονομάζεται συνάρτηση Dirichlet.

Μ.: Εκδοτικός Οίκος του Κρατικού Πανεπιστημίου της Μόσχας. Μέρος 1: 2η έκδ., Rev., 1985. - 662s.; Μέρος 2ο- 1987. - 358s.

Μέρος 1. - Αρχική πορεία.

Το σχολικό εγχειρίδιο αποτελεί το πρώτο μέρος του μαθήματος της μαθηματικής ανάλυσης για ανώτερα Εκπαιδευτικά ιδρύματαΕΣΣΔ, Βουλγαρία και Ουγγαρία, που συντάχθηκε σύμφωνα με τη συμφωνία συνεργασίας μεταξύ των πανεπιστημίων της Μόσχας, της Σόφιας και της Βουδαπέστης. Το βιβλίο περιλαμβάνει θεωρία πραγματικούς αριθμούς, η θεωρία των ορίων, η θεωρία της συνέχειας των συναρτήσεων, ο διαφορικός και ολοκληρωτικός λογισμός των συναρτήσεων μιας μεταβλητής και οι εφαρμογές τους, ο διαφορικός λογισμός των συναρτήσεων πολλών μεταβλητών και η θεωρία των άρρητων συναρτήσεων.

Μέρος 2. - Συνέχιση του μαθήματος.

Το εγχειρίδιο είναι το δεύτερο μέρος (μέρος 1 - 1985) του μαθήματος της μαθηματικής ανάλυσης, γραμμένο σύμφωνα με το ενιαίο πρόγραμμα που υιοθετήθηκε στην ΕΣΣΔ και το NRB. Το βιβλίο ασχολείται με τη θεωρία των αριθμητικών και συναρτησιακών σειρών, τη θεωρία πολλαπλών, καμπυλόγραμμων και επιφανειακών ολοκληρωμάτων, τη θεωρία πεδίου (συμπεριλαμβανομένων των διαφορικών μορφών), τη θεωρία των ολοκληρωμάτων ανάλογα με μια παράμετρο και τη θεωρία των σειρών και των ολοκληρωμάτων Fourier. Η ιδιαιτερότητα του βιβλίου είναι τρία επίπεδα παρουσίασης που διαχωρίζονται σαφώς μεταξύ τους: ελαφρύ, βασικό και προηγμένο, γεγονός που επιτρέπει τη χρήση του και από τους μαθητές τεχνικών πανεπιστημίωνμε εις βάθος μελέτη μαθηματικής ανάλυσης, και φοιτητές των τμημάτων μηχανικής και μαθηματικών πανεπιστημίων.

Μέρος 1. - Αρχική πορεία.

Μορφή: pdf

Το μέγεθος: 10,5 MB

Παρακολουθήστε, κατεβάστε:drive.google

Μορφή: djvu/zip

Το μέγεθος: 5,5 MB

/ Λήψη αρχείου

Μέρος 2. - Συνέχιση του μαθήματος.

Μορφή: pdf

Το μέγεθος: 14,8 MB

Παρακολουθήστε, κατεβάστε:drive.google

Μορφή: djvu/zip

Το μέγεθος: 3,1 MB

/ Λήψη αρχείου

Μέρος 1. - Αρχική πορεία.

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ
Πρόλογος του συντάκτη τίτλου.... 5
Πρόλογος στη δεύτερη έκδοση 6
Πρόλογος στην πρώτη έκδοση 6
Κεφάλαιο 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 10
Κεφάλαιο 2. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 29
§ 1. Το σύνολο των αριθμών που αναπαρίστανται με άπειρο δεκαδικά, και η παραγγελία του 29
1. Ιδιότητες ρητών αριθμών (29). 2. Ανεπάρκεια ρητών αριθμών για τη μέτρηση τμημάτων του αριθμητικού άξονα (31). 3. Ταξινόμηση του συνόλου των άπειρων δεκαδικών
κλάσματα (34)
§ 2. Οριοθετημένα πάνω (ή κάτω) σύνολα αριθμών που αναπαρίστανται με άπειρα δεκαδικά κλάσματα.... 40 1. Βασικές έννοιες (40). 2. Ύπαρξη ακριβών προσώπων (41).
§ 3. Προσέγγιση αριθμών που αντιπροσωπεύονται με άπειρα δεκαδικά κλάσματα, ρητοί αριθμοί 44
§ 4. Πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού. Περιγραφή του συνόλου των πραγματικών αριθμών 46
1. Ορισμός πράξεων πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού. Περιγραφή της έννοιας των πραγματικών αριθμών (46). 2. Ύπαρξη και μοναδικότητα του αθροίσματος και του γινομένου των πραγματικών αριθμών (47).
§ 5. Ιδιότητες πραγματικών αριθμών 50
1. Ιδιότητες πραγματικών αριθμών (50). 2. Ορισμένες σχέσεις που χρησιμοποιούνται συχνά (52). 3. Μερικά συγκεκριμένα σύνολα πραγματικών αριθμών (52).
§ 6. ΕΠΙΠΡΟΣΘΕΤΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣθεωρία πραγματικών αριθμών. .54 1. Πληρότητα του συνόλου των πραγματικών αριθμών (54). 2. Αξιωματική εισαγωγή του συνόλου των πραγματικών αριθμών (57).
§ 7. Στοιχεία θεωρίας συνόλων. 59
1. Η έννοια του συνόλου (59). 2. Λειτουργίες σε σετ (60). 3. Αριθμήσιμα και μη μετρήσιμα σύνολα. Αμέτρητο τμήμα. Το καρδινάλιο του σετ (61). 4. Ιδιότητες πράξεων σε σύνολα. Ορισμός χαρτογράφησης (65).
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΟΡΙΩΝ. 68
§ 1. Ακολουθία και το όριό της 68.
1. Η έννοια της ακολουθίας. Αριθμητικές πράξεις σε ακολουθίες (68). 2. Οριοθετημένες, απεριόριστες, απείρως μικρές και απείρως μεγάλες ακολουθίες (69). 3. Βασικές ιδιότητες απειροελάχιστων ακολουθιών (73). 4. Συγκλίνουσες ακολουθίες και οι ιδιότητές τους (75).
§ 2. Μονότονες ακολουθίες 83
1. Η έννοια της μονότονης ακολουθίας (83). 2. Θεώρημα για τη σύγκλιση μονότονης οριοθετημένης ακολουθίας (84). 3. Ο αριθμός ε (86). 4. Παραδείγματα συγκλίνουσας μονοτονικές ακολουθίες (88).
§ 3. Αυθαίρετες ακολουθίες 92
1. Οριακά σημεία, άνω και κάτω όρια της ακολουθίας (92). 2. Επέκταση των εννοιών του οριακού σημείου και των άνω και κάτω ορίων (99). 3. Κριτήριο Cauchy για τη σύγκλιση μιας ακολουθίας (102).
§ 4. Όριο (ή οριακή τιμή) μιας συνάρτησης 105
1. Έννοιες μεταβλητόςκαι λειτουργίες (105). 2. Όριο συνάρτησης κατά Heine και κατά Cauchy (109). 3. Κριτήριο Cauchy για την ύπαρξη ορίου της συνάρτησης (115). 4. Αριθμητικές πράξεις σε συναρτήσεις που έχουν όριο (118). 5. Απειροελάχιστες και απείρως μεγάλες συναρτήσεις (119).
§ 5. Γενικός ορισμόςόριο συνάρτησης βάσης.... 122
Κεφάλαιο 4. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 127
§ 1. Η έννοια της συνέχειας μιας συνάρτησης 127
1. Ορισμός της συνέχειας της συνάρτησης (127). 2. Αριθμητικές πράξεις σε συνεχείς συναρτήσεις (131). 3. Μιγαδική συνάρτηση και η συνέχειά της (132).
§ 2. Ιδιότητες μονότονων συναρτήσεων 132
1. Μονότονες συναρτήσεις (132). 2. Η έννοια της αντίστροφης συνάρτησης (133).
§ 3. Οι απλούστερες στοιχειώδεις συναρτήσεις 138
1. Εκθετικη συναρτηση(138). 2. Λογαριθμική συνάρτηση (145). 3. Λειτουργία ισχύος (146). 4. Τριγωνομετρικές συναρτήσεις (147). 5. Αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις (154). 6. Υπερβολικές συναρτήσεις (156).
§ 4. Δύο αξιόλογα όρια 158
1. Πρώτον υπέροχο όριο(158). 2. Το δεύτερο αξιοσημείωτο όριο (159).
§ 5. Σημεία ασυνέχειας συνάρτησης και ταξινόμηση τους. . . . 162 1. Ταξινόμηση σημείων ασυνέχειας συνάρτησης (162). 2. Σημεία ασυνέχειας μονότονης συνάρτησης (166).
§ 6. Τοπικές και καθολικές ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων. 167 1. Τοπικές ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων (167). 2. Καθολικές ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων (170). 3. Η έννοια της ομοιόμορφης συνέχειας μιας συνάρτησης (176). 4. Η έννοια του συντελεστή συνέχειας μιας συνάρτησης (181).
§ 7. Η έννοια της συμπαγούς ενός συνόλου 184
1. Ανοιχτά και κλειστά σετ (184). 2. Επικαλύψεις σετ με σύστημα ανοιχτών συνόλων (184). 3. Η έννοια της συμπαγούς ενός συνόλου (186).
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 189
§ 1. Η έννοια του παραγώγου 189
1. Αύξηση συνάρτησης. Μορφή διαφοράς της συνθήκης συνέχειας (189). 2. Ορισμός του παραγώγου (190). 3. Γεωμετρική σημασία της παραγώγου (192).
§ 2. Η έννοια της διαφοροποίησης μιας συνάρτησης 193
1. Ορισμός διαφοροποίησης συνάρτησης (193). 2. Διαφορικότητα και συνέχεια (195). 3. Η έννοια του διαφορικού μιας συνάρτησης (196).
§ 3. Διαφοροποίηση μιγαδικής συνάρτησης και αντίστροφης συνάρτησης 197 1. Διαφοροποίηση μιγαδικής συνάρτησης (197). 2. Διαφοροποίηση της αντίστροφης συνάρτησης (199). 3. Αμετάβλητο της μορφής του πρώτου διαφορικού (200). 4. Εφαρμογή του διαφορικού για τον καθορισμό κατά προσέγγιση τύπων (201).
§ 4. Διαφοροποίηση συναρτήσεων αθροίσματος, διαφοράς, γινομένου και πηλίκου 202
§ 5. Παράγωγοι των απλούστερων στοιχειωδών συναρτήσεων. . . 205 1. Παράγωγοι τριγωνομετρικών συναρτήσεων (205). 2. Παράγωγο λογαριθμική συνάρτηση(207). 3. Παράγωγοι εκθετικών και αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων (208). 4. Παράγωγο λειτουργία ισχύος(210). 5. Πίνακας παραγώγων των απλούστερων στοιχειωδών συναρτήσεων (210). 6. Πίνακας διαφορικών των απλούστερων στοιχειωδών συναρτήσεων (212). 7. Λογαριθμική παράγωγος. Παράγωγος εκθετικής συνάρτησης (212).
§ 6. Παράγωγα και διαφορικά ανώτερων τάξεων. . . 215 1. Η έννοια της παραγώγου ν-ης τάξης (213). 2. νθ παράγωγοι κάποιων συναρτήσεων (214). 3. τύπος Leibniz για i-η παράγωγοςπροϊόντα δύο συναρτήσεων (216). 4. Διαφορικά ανώτερων τάξεων (218).
§ 7. Διαφοροποίηση συνάρτησης που δίνεται παραμετρικά. 220*
§ 8. Παράγωγο διανυσματική συνάρτηση 222
Κεφάλαιο 6. ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΣΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 224
§ 1. Αύξηση (φθίνουσα) συνάρτησης σε σημείο. Τοπικό ακραίο 224
§ 2. Θεώρημα μηδενικής παραγώγου 226
§ 3. Τύπος πεπερασμένων προσαυξήσεων (τύπος Lagrange). . 227 § 4. Μερικές συνέπειες του τύπου Lagrange.... 229» 1. Η σταθερότητα μιας συνάρτησης που έχει παράγωγο ίση με μηδέν σε διάστημα (229). 2. Προϋποθέσεις μονοτονίας συνάρτησης στο διάστημα (230). 3. Απουσία ασυνεχειών πρώτου είδους και αφαιρούμενες ασυνέχειες του παραγώγου (231). 4. Παραγωγή ορισμένων ανισοτήτων (233). § 5. Γενικευμένος τύπος για πεπερασμένες προσαυξήσεις (τύπος Cauchy). . 234
§ 6. Αποκάλυψη αβεβαιοτήτων (κανόνας L'Hopital). . . 235
1. Αποκάλυψη αβεβαιότητας του εντύπου (235). Αποκάλυψη αβεβαιότητας της μορφής - (240). 3. Γνωστοποίηση αβεβαιοτήτων άλλου είδους (243).
!§ 7. Ο τύπος του Taylor «245
§ 8. Διάφορες μορφές του υπολοίπου όρου. Maclaurin τύπος 248
1. Υπόλοιπος όρος με τη μορφή Lagrange, Cauchy και Peano (248).
2. Μια άλλη μορφή του τύπου Taylor (250). 3. Φόρμουλα Maclaurin (251).
§ 9. Εκτίμηση της υπολειπόμενης περιόδου. Αποσύνθεση κάποιων στοιχειωδών συναρτήσεων. . . . . 251
1. Εκτίμηση του υπόλοιπου όρου για μια αυθαίρετη συνάρτηση (251). 2. Επέκταση Maclaurin μερικών στοιχειωδών συναρτήσεων (252).
1 § 10. Παραδείγματα εφαρμογών του τύπου Maclaurin 256.
1. Υπολογισμός του αριθμού e σε υπολογιστή (256). 2. Απόδειξη του παραλογισμού του αριθμού ε (257). 3. Υπολογισμός των τιμών των τριγωνομετρικών συναρτήσεων (258). 4. Ασυμπτωτική εκτίμηση στοιχειωδών συναρτήσεων και υπολογισμός ορίων (259).
Κεφάλαιο 7
§ 1. Αναζήτηση ακίνητα σημεία 262
1. Κριτήρια μονοτονίας συνάρτησης (262). 2. Εύρεση ακίνητων σημείων (262). 3. Πρώτον επαρκής κατάστασηακραίο (264). 4. Η δεύτερη επαρκής συνθήκη για ένα άκρο "(265). 5. Η τρίτη επαρκής συνθήκη για ένα άκρο (267). 6. Το άκρο μιας συνάρτησης που δεν είναι διαφοροποιήσιμη σε ένα δεδομένο σημείο (268). 7. Γενικό σχήμαεύρεση ακρών (270).
§ 2. Κυρτότητα της γραφικής παράστασης συνάρτησης 271
§ 3. Σημεία καμπής 273
1. Προσδιορισμός του σημείου καμπής. Απαραίτητη προϋπόθεσηκλίση (273). 2. Πρώτη επαρκής συνθήκη για κλίση (276). 3. Μερικές γενικεύσεις της πρώτης επαρκής συνθήκης κλίσης (276). 4. Δεύτερη επαρκής συνθήκη για κλίση (277). 5. Τρίτη επαρκής συνθήκη για κλίση (278).
§ 4. Ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης 279
§ 5. Γραφική παράσταση συνάρτησης 281
§ 6. Καθολικό μέγιστο και ελάχιστο μιας συνάρτησης σε ένα τμήμα.
Ακραίο άκρο 284
1. Εύρεση του μέγιστου και ελάχιστες τιμέςσυνάρτηση που ορίζεται στο τμήμα (284). 2. Ακραίο άκρο (286). 3. Θεώρημα Darboux (287). Πρόσθεση. Ένας αλγόριθμος για την εύρεση ακραίων τιμών μιας συνάρτησης που χρησιμοποιεί μόνο τις τιμές αυτής της συνάρτησης. . . 288
Κεφάλαιο 8
§ 1. Έννοια αντιπαράγωγη λειτουργίακαι αόριστο ολοκλήρωμα 291 1. Η έννοια της αντιπαράγωγης συνάρτησης (291). 2. Αόριστο ολοκλήρωμα (292). 3. «Βασικές ιδιότητες του αορίστου ολοκληρώματος (293). 4. Πίνακας βασικών δεν οριστικά ολοκληρώματα (294).
§ 2. Βασικές μέθοδοι ολοκλήρωσης 297
1, Ολοκλήρωση αλλαγής μεταβλητής (υποκατάσταση) (297).
2. Ενσωμάτωση κατά εξαρτήματα (300).
§ 3. Κατηγορίες συναρτήσεων που ενσωματώνονται σε στοιχειώδεις συναρτήσεις. 303 1. Σύντομες πληροφορίες για μιγαδικούς αριθμούς (304). 2. Σύντομες πληροφορίες για τις ρίζες των αλγεβρικών πολυωνύμων (307). 3. Αποσύνθεση αλγεβρικού πολυωνύμου με πραγματικούς συντελεστές σε γινόμενο μη αναγώγιμων παραγόντων (311). 4. Αποσύνθεση του σωστού ορθολογικό κλάσμαστο άθροισμα των απλών κλασμάτων (312). 5. Ολοκληρωσιμότητα ρητού κλάσματος σε στοιχειώδεις συναρτήσεις (318). 6. Ολοκληρωσιμότητα σε στοιχειώδεις συναρτήσεις ορισμένων τριγωνομετρικών και παράλογες εκφράσεις (321).
§ 4. Ελλειπτικά ολοκληρώματα, 327
Κεφάλαιο 9
§ 1. Ορισμός ολοκληρώματος. Ολοκληρωσιμότητα. . . . . 330 § 2. Ανώτερα και κατώτερα αθροίσματα και οι ιδιότητές τους. . . . . 334 1. Προσδιορισμός των άνω και κατώτερων αθροισμάτων (334). 2. Βασικές ιδιότητες ανώτερων και κατώτερων αθροισμάτων (335). § 3. Θεωρήματα αναγκαίων και επαρκών συνθηκών για την ολοκληρωσιμότητα των συναρτήσεων. Κατηγορίες ενσωματώσιμων συναρτήσεων. . . 339
1. Απαραίτητες και επαρκείς προϋποθέσεις για την ενσωμάτωση (339).
2. Κατηγορίες ολοκληρωμένων συναρτήσεων (341).
"§ 4. Ιδιότητες ορισμένου ολοκληρώματος. Εκτιμήσεις ολοκληρωμάτων. Θεωρήματα μέσης τιμής. 347
1. Ιδιότητες του ολοκληρώματος (347). 2. Εκτιμήσεις ολοκληρωμάτων (350).
§ 5. Αντιπαράγωγο συνεχής λειτουργία. Κανόνες ολοκλήρωσης συναρτήσεων 357
1. Αντιπαράγωγο (357). 2. Βασικός τύπος ολοκληρωτικος ΛΟΓΙΣΜΟΣ (359). 3. Σημαντικοί Κανόνες, επιτρέποντας σε κάποιον να υπολογίσει οριστικά ολοκληρώματα (360). 4. Υπολειπόμενος όρος του τύπου Taylor σε ακέραια μορφή (362).
§ 6. Ανισότητα για αθροίσματα και ολοκληρώματα 365
1. Ανισότητα Young (365). 2. Η ανισότητα του Hölder για αθροίσματα (366). 3. Η ανισότητα του Minkowski για αθροίσματα (367). 4. Η ανισότητα του Hölder για ολοκληρώματα (367). 5. Ανισότητα Minkowski για ολοκληρώματα (368).
§ 7. Πρόσθετες πληροφορίες για το οριστικό ολοκλήρωμα Riemann 369
1. Όριο ολοκληρωτικών ποσών πάνω από τη βάση του φίλτρου (369).
2. Κριτήριο ενσωμάτωσης Lebesgue (370).
Παράρτημα 1 Ακατάλληλα ολοκληρώματα 370
§ 1. Λανθασμένα ολοκληρώματα πρώτου είδους 371
1. Η έννοια του ακατάλληλου ολοκληρώματος πρώτου είδους (371).
2. Κριτήριο Cauchy για τη σύγκλιση ενός ακατάλληλου ολοκληρώματος πρώτου είδους. Επαρκείς προϋποθέσεις για σύγκλιση (373). 3. Απόλυτη και υπό συνθήκη σύγκλιση ακατάλληλων ολοκληρωμάτων (375). 4. Αλλαγή μεταβλητών κάτω από το ακατάλληλο ολοκληρωτικό πρόσημο και τον τύπο ολοκλήρωσης κατά μέρη (378).
§ 2. Ακατάλληλα ολοκληρώματα δεύτερου είδους 379
§ 3. Κύρια τιμή του ακατάλληλου ολοκληρώματος.. 382
Παράρτημα 2. Το ολοκλήρωμα Stieltjes 384
1. Ορισμός του ολοκληρώματος Stieltjes και προϋποθέσεις ύπαρξής του (384). 2. Ιδιότητες του ολοκληρώματος Stieltjes (389).
Κεφάλαιο 10. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ
§ 1. Μήκος τόξου καμπύλης 391
1. Η έννοια της απλής καμπύλης (391). 2. Η έννοια της παραμετροποιημένης καμπύλης (392). 3. Το μήκος του τόξου της καμπύλης. Η έννοια μιας διορθώσιμης καμπύλης (394). 4. Κριτήριο για την ευθύτητα μιας καμπύλης. Υπολογίστε το μήκος του τόξου μιας καμπύλης (397). 5. Διαφορικό τόξου (402). 6. Παραδείγματα (403).
!§ 2. Περιοχή επίπεδη φιγούρα 405
1. Η έννοια του ορίου ενός συνόλου και ενός επίπεδου σχήματος (405).
2. Το εμβαδόν μιας επίπεδης μορφής (406). 3. Καμπυλόγραμμη περιοχή
τραπεζίου και καμπυλόγραμμου τομέα (414). 4. Παραδείγματα εμβαδών υπολογισμού (416).
§ 3. Όγκος σώματος στο διάστημα 418
1. Όγκος σώματος (418). 2. Μερικές κατηγορίες σωμάτων σε κύβους (419). 3. Παραδείγματα (421).
Κεφάλαιο 11
§ 1. Κατά προσέγγιση μέθοδοι υπολογισμού των ριζών εξισώσεων. . 422 1. Μέθοδος πιρουνιού (422). 2. Μέθοδος επαναλήψεων (423). 3. Μέθοδοι συγχορδιών και εφαπτομένων 426
§ 2. Κατά προσέγγιση μέθοδοι υπολογισμού ορισμένων ολοκληρωμάτων 431 1. Εισαγωγικές παρατηρήσεις (431). 2. Μέθοδος ορθογωνίων (434).
3. Μέθοδος τραπεζοειδών (436). 4. Μέθοδος παραβολών (438).
Κεφάλαιο 12
§ 1. Η έννοια της συνάρτησης m μεταβλητών 442
1. Η έννοια της m-διάστατης συντεταγμένης και των παιχνιδιών Ευκλείδειων χώρων (442). 2. Σύνολα σημείων σε ευκλείδειο χώρο m διαστάσεων (445). 3. Η έννοια της συνάρτησης m μεταβλητών (449).
§ 2. Όριο συνάρτησης m μεταβλητών 451
1. Ακολουθίες σημείων στο διάστημα Em (451). 2. Ιδιότητα οριοθετημένης ακολουθίας σημείων Em (454). 3. Όριο συνάρτησης m μεταβλητών (455). 4. Άπειρες μικρές συναρτήσεις m μεταβλητών (458). 5. Επαναλαμβανόμενα όρια (459).
§ 3. Συνέχεια συνάρτησης m μεταβλητών 460
1. Η έννοια της συνέχειας συνάρτησης m μεταβλητών (460).
2. Συνέχεια συνάρτησης m μεταβλητών ως προς μία μεταβλητή (462). 3. Βασικές ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων πολλών μεταβλητών (465).
§ 4. Παράγωγοι και διαφορικά συνάρτησης πολλών μεταβλητών 469
1. Μερικές παράγωγοι συναρτήσεων πολλών μεταβλητών (469). 2. Διαφοροποίηση συνάρτησης πολλών μεταβλητών (470). 3. Γεωμετρική σημασία της συνθήκης για μια διαφοροποιήσιμη συνάρτηση δύο μεταβλητών (473). 4. Επαρκείς προϋποθέσεις για διαφοροποίηση 5. Διαφορικό συνάρτησης πολλών μεταβλητών (476). 6. Διαφοροποίηση μιγαδικής συνάρτησης (476). 7. Αμετάβλητο της μορφής του πρώτου διαφορικού (480). 8. Παράγωγος σε κατεύθυνση. Κλίση (481).
§ 5. Μερικά παράγωγα και διαφορικά ανώτερων τάξεων 485 1. Μερικά παράγωγα ανώτερων τάξεων (485). 2. Διαφορικά ανώτερων τάξεων (490). 3. Τύπος Taylor με υπολειπόμενο όρο στη μορφή Lagrange και σε ακέραια μορφή (497) 4. Τύπος Taylor με υπόλοιπο όρο στη μορφή Peano (500).
6. Τοπικό άκρο συνάρτησης m μεταβλητών.... 504 1. Η έννοια του άκρου συνάρτησης m μεταβλητών. Απαραίτητες προϋποθέσεις για εξτρέμ (504). 2. Επαρκείς προϋποθέσεις τοπικό εξτρέμσυναρτήσεις m μεταβλητών (506). 3. Η περίπτωση συνάρτησης δύο μεταβλητών (512).
Προσθήκη 1. μέθοδος κλίσηςαναζήτηση για το άκρο μιας έντονα κυρτής συνάρτησης 514
1. Κυρτά σύνολακαι κυρτές συναρτήσεις (515). 2. Ύπαρξη ελάχιστου για έντονα κυρτή συνάρτηση και μοναδικότητα ελάχιστου για αυστηρά κυρτή συνάρτηση (521).
3. Εύρεση του ελάχιστου μιας έντονα κυρτής συνάρτησης (526).
Παράρτημα 2. Μετρικοί κανονικοί χώροι. . 535
Μετρικοί χώροι. 1. Ορισμός μετρικού χώρου. Παραδείγματα (535). 2. Ανοιχτά και κλειστά σετ (538). 3. Άμεσο γινόμενο μετρικών χώρων (540). 4. Παντού πυκνό και τέλεια σετ(541). 5. Σύγκλιση. Συνεχείς αντιστοιχίσεις (543). 6. Συμπαγής 545 7. Βάση χώρου (548).
Ιδιότητες μετρικών χώρων 550
Τοπολογικοί χώροι 558
1. Ορισμός τοπολογικού χώρου. Τοπολογικός χώρος Hausdorff. Παραδείγματα (558). 2. Παρατήρηση στους τοπολογικούς χώρους (562).
Γραμμικοί κανονικοί χώροι, γραμμικοί τελεστές 564
1. Ορισμός γραμμικού χώρου. Παραδείγματα (564).
2. Κανονισμένοι χώροι. Χώροι Banach.
Παραδείγματα (566). 3. Τελεστές σε γραμμικούς και κανονικούς χώρους (568). 4. Χώρος χειριστών
5. Κανόνα χειριστή (569). 6. Η έννοια του χώρου Hilbert 572
Παράρτημα 3. Διαφορικός λογισμός σε κανονικούς γραμμικούς χώρους. 574
1. Η έννοια είναι διαφοροποιήσιμη. Ισχυρή και ασθενής διαφοροποίηση σε κανονικούς γραμμικούς χώρους (575).
2. Ο τύπος Lagrange για πεπερασμένες προσαυξήσεις (581).
3. Σχέση ασθενούς και ισχυρής διαφορισιμότητας 584 4. Διαφοροποίηση λειτουργιών (587). 5. Ολοκλήρωμα αφηρημένων συναρτήσεων (587). 6. Τύπος Newton-Leibniz για αφηρημένες συναρτήσεις (589). 7. Παράγωγα δεύτερης τάξης 592 8. Χαρτογράφηση του ευκλείδειου χώρου m διαστάσεων σε χώρο t διαστάσεων (595). 9. Παράγωγα και διαφορικά υψηλότερων τάξεων 598 10. Ο τύπος του Taylor για τη χαρτογράφηση ενός κανονικού χώρου σε έναν άλλο (599).
Διερεύνηση ακραίων λειτουργιών σε κανονικοποιημένες
χώρους. 602
1. Απαραίτητη προϋπόθεση για ακραίο (602). 2. Επαρκείς συνθήκες για ακραίο 605
Κεφάλαιο 13 ΣΙΩΡΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 609
§ 1. Ύπαρξη και διαφοροποίηση μιας σιωπηρά δεδομένης συνάρτησης 610
1. Θεώρημα ύπαρξης και διαφοροποίησης άρρητη λειτουργία(610). 2. Υπολογισμός μερικών παραγώγων μιας άρρητα δεδομένης συνάρτησης (615). 3. Μοναδικά σημείαεπιφάνεια και επίπεδη καμπύλη (617). 4. Συνθήκες που διασφαλίζουν την ύπαρξη για τη συνάρτηση y=)(x) της αντίστροφης συνάρτησης (618).
§ 2. Άμεσες συναρτήσεις που ορίζονται από ένα σύστημα λειτουργικών
εξισώσεις 619
1. Θεώρημα για τη διαλυτότητα συστήματος συναρτησιακών εξισώσεων (619). 2. Υπολογισμός μερικών παραγώγων συναρτήσεων που προσδιορίζονται σιωπηρά μέσω συστήματος συναρτησιακών εξισώσεων (624). 3. Ένα προς ένα Αντιστοίχιση δύο συνόλων m-διάστατος χώρος (625).
§ 3. Εξάρτηση συναρτήσεων 626
1. Η έννοια της εξάρτησης των συναρτήσεων. Επαρκής προϋπόθεση για ανεξαρτησία (626). 2. Λειτουργικοί πίνακες και οι εφαρμογές τους (628).
§ τέσσερα. Ακραίο υπό όρους. 632
1. Η έννοια του ακραίου υπό όρους (632). 2. Μέθοδος αόριστους πολλαπλασιαστές Lagrange (635). 3. Επαρκές. προϋποθέσεις (636). 4. Παράδειγμα (637).
Παράρτημα 1. Χαρτογραφήσεις χώρων Banach. Ένα ανάλογο του θεωρήματος άρρητης συνάρτησης 638
1. Θεώρημα για την ύπαρξη και τη διαφορισιμότητα μιας άρρητης συνάρτησης (638). 2. Η περίπτωση των πεπερασμένων διαστάσεων χώρων (644). 3. Ενιαία σημεία επιφάνειας στο χώρο n διαστάσεων. Αντίστροφη χαρτογράφηση (647). 4. Υπό όρους ακρότατο σε περίπτωση χαρτογράφησης κανονικών χώρων (651).

Μέρος 2. - Συνέχιση του μαθήματος.

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ
Πρόλογος 5
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΣΕΙΡΑ 7
§ 1. Έννοια σειρά αριθμών 7
1. Συγκλίνουσες και αποκλίνουσες σειρές (7). 2. Κριτήριο Cauchy για τη σύγκλιση σειρών (10)
§ 2. Σειρά με μη αρνητικούς όρους 12"
1. Απαραίτητη και επαρκής συνθήκη για τη σύγκλιση σειράς με μη αρνητικούς όρους (12). 2. Σημάδια σύγκρισης (13). 3. Σημάδια του d'Alembert και του Cauchy (16). 4. Ολοκληρωτικό πρόσημο Cauchy-McLaurin (21). 5, Sign of Raabe (24). 6. Έλλειψη καθολικής σειράς σύγκρισης (27)
§ 3. Απόλυτα και υπό όρους συγκλίνουσα σειρά 28
1. Οι έννοιες των απολύτως και υπό όρους συγκλίνουσας σειράς (28). 2. Σχετικά με τη μετάθεση των όρων της υπό όρους συγκλίνουσας σειράς (30). 3. Σχετικά με τη μετάθεση των όρων μιας απολύτως συγκλίνουσας σειράς (33)
§ 4. Κριτήρια σύγκλισης αυθαίρετων σειρών 35
§ 5. Αριθμητικές πράξεις σε συγκλίνουσες σειρές 41
§ 6. Άπειρα γινόμενα 44
1. Βασικές έννοιες (44). 2. Σχέση μεταξύ της σύγκλισης άπειρων γινομένων και σειρών (47). 3. Αποσύνθεση συναρτήσεις αμαρτίας x έως άπειρο γινόμενο (51)
§ 7. Γενικευμένες μέθοδοι άθροισης για αποκλίνουσες σειρές .... 55
1. Μέθοδος Cesaro (μέθοδος αριθμητικών μέσων) (56). 2. Μέθοδος άθροισης Poisson - Abel (57)
§ οκτώ. στοιχειώδης θεωρίαδιπλασιάστε και επαναλάβετε τις σειρές 59
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΣΕΙΡΑ 67
§ 1. Οι έννοιες της σύγκλισης σε ένα σημείο και της ομοιόμορφης σύγκλισης σε ένα σύνολο 67
1. Οι έννοιες της συναρτησιακής ακολουθίας και λειτουργικό εύρος(67). 2. Σύγκλιση συναρτησιακής ακολουθίας (συναρτησιακή σειρά) σε σημείο και σε σύνολο (69). 3. Ομοιόμορφη σύγκλιση στο σύνολο (70). 4. Κριτήριο Cauchy για ομοιόμορφη σύγκλιση ακολουθίας (σειράς) (72)
§ 2. Επαρκή κριτήρια για ομοιόμορφη σύγκλιση συναρτησιακών ακολουθιών και σειρών 74
§ 3. Διάρκεια προς περίοδο μετάβαση στο όριο 83
§ 4. Ολοκλήρωση όρου προς όρο και διαφοροποίηση όρου προς όρο συναρτησιακών ακολουθιών και σειρών 87
1. Ενσωμάτωση ανά όρο (87). 2. Διαφοροποίηση ανά όρο (90). 3. Μέση σύγκλιση (94)
§ 5. Ισοσυνέχεια ακολουθίας συναρτήσεων... 97
§ 6. Power series 102
1. Σειρά ισχύος και η περιοχή σύγκλισής της (102). 2. Συνέχεια του αθροίσματος της σειράς ισχύος (105). 3. Ενσωμάτωση από όρο προς όρο και διαφοροποίηση κάθε φορά μιας σειράς ισχύος (105)
§ 7. Επέκταση λειτουργιών στη σειρά ισχύος 107
1. Αποσύνθεση συνάρτησης σε σειρά ισχύος(107). 2. Επέκταση ορισμένων στοιχειωδών συναρτήσεων σε μια σειρά Taylor (108). 3. Στοιχειώδεις αναπαραστάσειςσχετικά με τις συναρτήσεις μιας σύνθετης μεταβλητής (CP). 4. Το θεώρημα Weierstrass για την ομοιόμορφη προσέγγιση μιας συνεχούς συνάρτησης από πολυώνυμα (112)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΔΙΠΛΑ ΚΑΙ n-ΠΟΛΛΑΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 117
§ 1. Ορισμός και προϋποθέσεις ύπαρξης διπλού ολοκληρώματος. . . 117
1. Ορισμός διπλού ολοκληρώματος για ορθογώνιο (117).
2. Προϋποθέσεις ύπαρξης διπλού ολοκληρώματος για ορθογώνιο (119). 3. Ορισμός και προϋποθέσεις ύπαρξης διπλού ολοκληρώματος για αυθαίρετο πεδίο (121). 4. Γενικός ορισμός του διπλού ολοκληρώματος (123)
«§ 2. Βασικές ιδιότητες του διπλού ολοκληρώματος 127
§ 3. Αναγωγή διπλού ολοκληρώματος σε επαναλαμβανόμενο μονό. . . 129 1. Η περίπτωση παραλληλογράμμου (129). 2. Η περίπτωση αυθαίρετης περιφέρειας (130)
§ 4. Τριπλά και n-διπλωμένα ολοκληρώματα 133
§ 5. Αλλαγή μεταβλητών σε ολοκλήρωμα n-πτυχών 138
§ 6. Υπολογισμός όγκων ν-διάστατων σωμάτων 152
§ 7. Το θεώρημα για την ολοκλήρωση όρου προς όρο συναρτησιακών ακολουθιών και σειρών 157
$ 8. Πολλαπλά ακατάλληλα ολοκληρώματα 159
1. Η έννοια των πολλαπλασίων ακατάλληλα ολοκληρώματα(159). 2. Δύο κριτήρια για τη σύγκλιση ακατάλληλων ολοκληρωμάτων μη αρνητικών συναρτήσεων (160). 3. Λανθασμένα ολοκληρώματα συναρτήσεων αλλαγής σημάτων (161). 4. Κύρια τιμή πολλαπλών ακατάλληλων ολοκληρωμάτων (165)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Καμπυλόγραμμα ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 167
§ 1. Έννοιες καμπυλόγραμμων ολοκληρωμάτων πρώτου και δεύτερου είδους. . . 167
§ 2. Προϋποθέσεις ύπαρξης καμπυλόγραμμων ολοκληρωμάτων 169
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ 175
§ 1. Έννοιες της επιφάνειας και του εμβαδού της 175
1. Η έννοια της επιφάνειας (175). 2. Βοηθητικά λήμματα (179).
3. Επιφάνεια (181)
§ 2. Επιφανειακά ολοκληρώματα 185
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΘΕΩΡΙΑ ΠΕΔΙΟΥ. ΒΑΣΙΚΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΟΣ ΤΥΠΟΣ ΓΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗ 190
§ 1. Σημειογραφία. Διορθογώνιες βάσεις. Αμετάβλητα γραμμικού τελεστή 190
1. Σημειογραφία (190). 2. Διορθογώνιες βάσεις στο χώρο Ε" (191). 3. Μετασχηματισμοί βάσεων. Συντεταγμένες συντεταγμένες και αντιμεταβλητές ενός διανύσματος (192). 4. Αμετάβλητα ενός γραμμικού τελεστή. Απόκλιση και μπούκλα (195). 5. Εκφράσεις για το απόκλιση και κύρτωση ενός γραμμικού τελεστή σε ορθοκανονική βάση (Sch8)
§ 2. Βαθμώδη και διανυσματικά πεδία. Διαφορικοί χειριστές διανυσματική ανάλυση 198
!. Βαθμώδη και διανυσματικά πεδία (198). 2. Απόκλιση, ρότορας και κατευθυντική παράγωγος διανυσματικό πεδίο(203). 3. Κάποιοι άλλοι τύποι διανυσματικής ανάλυσης (204). τέσσερις. Τελικές παρατηρήσεις (206)
§ 3. Βασικοί ολοκληρωτικοί τύποι ανάλυσης 207
1. Ο τύπος του Green (207). 2. Φόρμουλα Ostrogradsky - Gauss (211). 3. Φόρμουλα Stokes (214)
§ 4. Προϋποθέσεις για την ανεξαρτησία ενός καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος στο επίπεδο από τη διαδρομή ολοκλήρωσης 218
§ 5. Μερικά παραδείγματα εφαρμογών θεωρίας πεδίου 222
1. Έκφραση της περιοχής μιας επίπεδης περιοχής ως προς καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα(222). 2. Έκφραση όγκου σε όρους επιφανειακό ακέραιο (223)
Προσθήκη στο Κεφάλαιο 6. Διαφορικές μορφές στον Ευκλείδειο χώρο 225
§ 1. Εναλλασσόμενες πολυγραμμικές μορφές 225
1. Γραμμικά έντυπα (225). 2. Διγραμμικά έντυπα (226). 3. Πολυγραμμικές μορφές (227). 4. Εναλλασσόμενες πολυγραμμικές φόρμες (228). 5. Εξωτερικό γινόμενο εναλλασσόμενων μορφών (228). 6. Ιδιότητες του εξωτερικού γινομένου εναλλασσόμενων μορφών (231). 7. Βάση στο χώρο των εναλλασσόμενων μορφών (233)
§ 2. Διαφορικά έντυπα 235
1. Βασική σημειογραφία (235). 2. Εξωτερικό διαφορικό (236). 3. Ιδιότητες του εξωτερικού διαφορικού (237;)
§ 3. Διαφοροποιήσιμες αντιστοιχίσεις 2391
1. Ορισμός διαφοροποιήσιμων αντιστοιχίσεων (239). 2. Ιδιότητες της αντιστοίχισης φ* (240)
§ 4. Ένταξη διαφορικές μορφές 243
1. Ορισμοί (243). 2. Διαφοροποιήσιμες αλυσίδες (245). 3. Στόουκς τύπος (248). 4. Παραδείγματα (250)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΑΝΑΛΟΓΑ ΜΕ ΤΙΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ 252
§ 1. Ομοιόμορφη σε μια μεταβλητή τάση μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών στο όριο σε μια άλλη μεταβλητή 252
1. Σχέση μεταξύ της ομοιόμορφης σε μια μεταβλητή που τείνει μια συνάρτηση δύο μεταβλητών στο όριο μιας άλλης μεταβλητής με την ομοιόμορφη σύγκλιση της συναρτησιακής ακολουθίας (252). 2. Το κριτήριο Cauchy για την ομοιόμορφη τάση μιας συνάρτησης στο όριο (254). 3. Εφαρμογές της έννοιας της ομοιόμορφης σύγκλισης στην οριακή συνάρτηση (254)
§ 2. Ιδιοολοκληρώματα ανάλογα με την παράμετρο 256
1. Ιδιότητες ολοκληρώματος ανάλογα με μια παράμετρο (256). 2. Η περίπτωση που τα όρια ολοκλήρωσης εξαρτώνται από την παράμετρο (257)
§ 3. Ακατάλληλα ολοκληρώματα ανάλογα με την παράμετρο 259
1. Λανθασμένα ολοκληρώματα πρώτου είδους ανάλογα με την παράμετρο (260). 2. Ακατάλληλα ολοκληρώματα δεύτερου είδους ανάλογα με την παράμετρο (266)
§ 4. Εφαρμογή της θεωρίας των ολοκληρωμάτων ανάλογα με μια παράμετρο στον υπολογισμό ορισμένων ακατάλληλων ολοκληρωμάτων 267
§ 5. Ολοκληρώματα Euler 271
στη συνάρτηση Γ (272). 2. Β-συνάρτηση (275). 3. Σύνδεση μεταξύ ολοκληρωμάτων Euler (277). 4. Παραδείγματα (279)
§ 6. Τύπος Stirling 280
§ 7. Πολλαπλά ολοκληρώματα ανάλογα με τις παραμέτρους 282
1. Κατέχετε πολλαπλά ολοκληρώματα ανάλογα με τις παραμέτρους (282).
2. Ακατάλληλα πολλαπλά ολοκληρώματα ανάλογα με την παράμετρο (283)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΣΕΙΡΑ FOURIER 287
§ 1. Ορθοκανονικά συστήματα και γενικές σειρές Fourier 287
1. Ορθοκανονικά συστήματα (287). 2. Η έννοια μιας γενικής σειράς Fourier (292)
§ 2. Κλειστά και πλήρη ορθοκανονικά συστήματα 295
§ 3. Κλείσιμο τριγωνομετρικό σύστημακαι συνέπειες από αυτό. . 298 1. Ομοιόμορφη προσέγγιση συνεχούς συνάρτησης από τριγωνομετρικά πολυώνυμα (298). 2. Απόδειξη της κλειστότητας του τριγωνομετρικού συστήματος (301). 3. Συνέπειες της κλειστότητας του τριγωνομετρικού συστήματος (303)
§ 4. Οι απλούστερες συνθήκες για ομοιόμορφη σύγκλιση και διαφοροποίηση όρων προς όρο μιας τριγωνομετρικής σειράς Fourier 304
1. Εισαγωγικές παρατηρήσεις (304). 2. Οι απλούστερες συνθήκες για την απόλυτη και ομοιόμορφη σύγκλιση της τριγωνομετρικής σειράς Fourier (306).
3. Οι απλούστερες συνθήκες για τη διαφοροποίηση ανά όρο μιας τριγωνομετρικής σειράς Fourier (308)
§ 5. Πιο ακριβείς προϋποθέσεις για ομοιόμορφη σύγκλιση και προϋποθέσεις για σύγκλιση σε ένα δεδομένο σημείο
1. Συντελεστής συνέχειας συνάρτησης. Τάξεις κατόχων (309). 2. Έκφραση για το μερικό άθροισμα της τριγωνομετρικής σειράς Fourier (311). 3. Βοηθητικές προτάσεις (314). 4. Αρχή εντοπισμού 317 5. Ομοιόμορφη σύγκλιση της τριγωνομετρικής σειράς Fourier για μια συνάρτηση από την κλάση Hölder (319). 6. Σχετικά με τη σύγκλιση της τριγωνομετρικής σειράς Fourier μιας τμηματικής συνάρτησης Hölder (325). 7. Αθροσιμότητα της τριγωνομετρικής σειράς Fourier συνεχούς συνάρτησης με τη μέθοδο των αριθμητικών μέσων (329). 8. Τελικές παρατηρήσεις (331)
§ 6. Πολλαπλή τριγωνομετρική σειρά Fourier 332
1. Έννοιες μιας πολλαπλής τριγωνομετρικής σειράς Fourier και τα ορθογώνια και σφαιρικά επιμέρους αθροίσματά της (332). 2. Συντελεστής συνέχειας και κλάσεις Hölder για μια συνάρτηση N μεταβλητών (334). 3. Προϋποθέσεις για την απόλυτη σύγκλιση μιας πολλαπλής τριγωνομετρικής σειράς Fourier (335)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΗ ΦΟΥΡΙΕ 33»
§ 1. Αναπαράσταση συνάρτησης με ολοκλήρωμα Fourier 339
1. Επικουρικοί ισχυρισμοί (340). 2. Κύριο θεώρημα. Τύπος αντιστροφής (342). 3. Παραδείγματα (347)
§ 2. Μερικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourier 34&
§ 3. Πολλαπλό Ολοκλήρωμα Fourier 352

Μ.: Εκδοτικός Οίκος του Κρατικού Πανεπιστημίου της Μόσχας. Μέρος 1: 2η έκδ., Rev., 1985. - 662s.; Μέρος 2 - 1987. - 358s. Μέρος 1. - Αρχική πορεία.

Το εγχειρίδιο είναι το πρώτο μέρος ενός μαθήματος μαθηματικής ανάλυσης για ανώτατα εκπαιδευτικά ιδρύματα της ΕΣΣΔ, της Βουλγαρίας και της Ουγγαρίας, γραμμένο σύμφωνα με τη συμφωνία συνεργασίας μεταξύ των πανεπιστημίων της Μόσχας, της Σόφιας και της Βουδαπέστης. Το βιβλίο περιλαμβάνει τη θεωρία των πραγματικών αριθμών, τη θεωρία των ορίων, τη θεωρία της συνέχειας των συναρτήσεων, τον διαφορικό και ολοκληρωτικό λογισμό των συναρτήσεων μιας μεταβλητής και τις εφαρμογές τους, τον διαφορικό λογισμό συναρτήσεων πολλών μεταβλητών και τη θεωρία των άρρητων συναρτήσεων .

Μέρος 2. - Συνέχιση του μαθήματος.

Το εγχειρίδιο είναι το δεύτερο μέρος (μέρος 1 - 1985) του μαθήματος της μαθηματικής ανάλυσης, γραμμένο σύμφωνα με το ενιαίο πρόγραμμα που υιοθετήθηκε στην ΕΣΣΔ και το NRB. Το βιβλίο ασχολείται με τη θεωρία των αριθμητικών και συναρτησιακών σειρών, τη θεωρία πολλαπλών, καμπυλόγραμμων και επιφανειακών ολοκληρωμάτων, τη θεωρία πεδίου (συμπεριλαμβανομένων των διαφορικών μορφών), τη θεωρία των ολοκληρωμάτων ανάλογα με μια παράμετρο και τη θεωρία των σειρών και των ολοκληρωμάτων Fourier. Η ιδιαιτερότητα του βιβλίου είναι τρία επίπεδα παρουσίασης που διαχωρίζονται ξεκάθαρα μεταξύ τους: ελαφρύ, βασικό και προχωρημένο, γεγονός που επιτρέπει τη χρήση του ως φοιτητές τεχνικών πανεπιστημίων με σε βάθος μελέτημαθηματική ανάλυση, και φοιτητές μηχανικών και μαθηματικών σχολών πανεπιστημίων.

• ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ
• Πρόλογος του συντάκτη τίτλου.... 5
• Πρόλογος στη δεύτερη έκδοση 6
• Πρόλογος στην πρώτη έκδοση 6
• Κεφάλαιο 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 10
• Κεφάλαιο 2. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 29
• § 1. Το σύνολο των αριθμών που αντιπροσωπεύονται με άπειρα δεκαδικά κλάσματα και η σειρά του 29
• 1. Ιδιότητες ρητών αριθμών (29). 2. Ανεπάρκεια ρητών αριθμών για τη μέτρηση τμημάτων του αριθμητικού άξονα (31). 3. Ταξινόμηση του συνόλου των άπειρων δεκαδικών
• κλάσματα (34)
• § 2. Οριοθετημένα πάνω (ή κάτω) σύνολα αριθμών που αναπαρίστανται με άπειρα δεκαδικά κλάσματα.... 40 1. Βασικές έννοιες (40). 2. Ύπαρξη ακριβείς άκρες (41).
• § 3. Προσέγγιση αριθμών που αντιπροσωπεύονται με άπειρα δεκαδικά κλάσματα με ρητούς αριθμούς 44
• § 4. Πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού. Περιγραφή του συνόλου των πραγματικών αριθμών 46
• 1. Ορισμός πράξεων πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού. Περιγραφή της έννοιας των πραγματικών αριθμών (46). 2. Ύπαρξη και μοναδικότητα του αθροίσματος και του γινομένου των πραγματικών αριθμών (47).
• § 5. Ιδιότητες πραγματικών αριθμών 50
• 1. Ιδιότητες πραγματικών αριθμών (50). 2. Ορισμένες σχέσεις που χρησιμοποιούνται συχνά (52). 3. Μερικά συγκεκριμένα σύνολα πραγματικών αριθμών (52).
• § 6. Πρόσθετες ερωτήσεις στη θεωρία των πραγματικών αριθμών. .54 1. Πληρότητα του συνόλου των πραγματικών αριθμών (54). 2. Αξιωματική εισαγωγή του συνόλου των πραγματικών αριθμών (57).
• § 7. Στοιχεία θεωρίας συνόλων. 59
• 1. Η έννοια του συνόλου (59). 2. Λειτουργίες σε σετ (60). 3. Αριθμήσιμα και μη μετρήσιμα σύνολα. Αμέτρητο τμήμα. Το καρδινάλιο του σετ (61). 4. Ιδιότητες πράξεων σε σύνολα. Ορισμός χαρτογράφησης (65).
• ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΟΡΙΩΝ. 68
• § 1. Ακολουθία και το όριό της 68.
• 1. Η έννοια της ακολουθίας. Αριθμητικές πράξεις σε ακολουθίες (68). 2. Οριοθετημένες, απεριόριστες, απείρως μικρές και απείρως μεγάλες ακολουθίες (69). 3. Βασικές ιδιότητες απειροελάχιστων ακολουθιών (73). 4. Συγκλίνουσες ακολουθίες και οι ιδιότητές τους (75).
• § 2. Μονότονες ακολουθίες 83
• 1. Η έννοια της μονότονης ακολουθίας (83). 2. Θεώρημα για τη σύγκλιση μονότονης οριοθετημένης ακολουθίας (84). 3. Ο αριθμός ε (86). 4. Παραδείγματα συγκλίνουσες μονοτονικές ακολουθίες (88).
• § 3. Αυθαίρετες ακολουθίες 92
• 1. Οριακά σημεία, άνω και κάτω όρια της ακολουθίας (92). 2. Επέκταση των εννοιών του οριακού σημείου και των άνω και κάτω ορίων (99). 3. Κριτήριο Cauchy για τη σύγκλιση μιας ακολουθίας (102).
• § 4. Όριο (ή οριακή τιμή) μιας συνάρτησης 105
• 1. Έννοιες μεταβλητής ποσότητας και συνάρτησης (105). 2. Όριο συνάρτησης κατά Heine και κατά Cauchy (109). 3. Κριτήριο Cauchy για την ύπαρξη ορίου της συνάρτησης (115). 4. Αριθμητικές πράξεις σε συναρτήσεις που έχουν όριο (118). 5. Απειροελάχιστες και απείρως μεγάλες συναρτήσεις (119).
• § 5. Γενικός ορισμός του ορίου μιας συνάρτησης ως προς τη βάση .... 122
• Κεφάλαιο 4. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 127
• § 1. Η έννοια της συνέχειας μιας συνάρτησης 127
• 1. Ορισμός της συνέχειας της συνάρτησης (127). 2. Αριθμητικές πράξεις σε συνεχείς συναρτήσεις (131). 3. Μιγαδική συνάρτηση και η συνέχειά της (132).
• § 2. Ιδιότητες μονότονων συναρτήσεων 132
• 1. Μονότονες συναρτήσεις (132). 2. Η έννοια της αντίστροφης συνάρτησης (133).
• § 3. Οι απλούστερες στοιχειώδεις συναρτήσεις 138
• 1. Η εκθετική συνάρτηση (138). 2. Λογαριθμική συνάρτηση (145). 3. Λειτουργία ισχύος (146). 4. Τριγωνομετρικές συναρτήσεις (147). 5. Αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις (154). 6. Υπερβολικές συναρτήσεις (156).
• § 4. Δύο αξιόλογα όρια 158
• 1. Το πρώτο αξιοσημείωτο όριο (158). 2. Το δεύτερο αξιοσημείωτο όριο (159).
• § 5. Σημεία ασυνέχειας συνάρτησης και ταξινόμηση τους. . . . 162 1. Ταξινόμηση σημείων ασυνέχειας συνάρτησης (162). 2. Σημεία ασυνέχειας μονότονης συνάρτησης (166).
• § 6. Τοπικές και καθολικές ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων. 167 1. Τοπικές ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων (167). 2. Καθολικές ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων (170). 3. Η έννοια της ομοιόμορφης συνέχειας μιας συνάρτησης (176). 4. Η έννοια του συντελεστή συνέχειας μιας συνάρτησης (181).
• § 7. Η έννοια της συμπαγούς ενός συνόλου 184
• 1. Ανοιχτά και κλειστά σετ (184). 2. Επικαλύψεις σετ με σύστημα ανοιχτών συνόλων (184). 3. Η έννοια της συμπαγούς ενός συνόλου (186).
• ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 189
• § 1. Η έννοια του παραγώγου 189
• 1. Αύξηση συνάρτησης. Μορφή διαφοράς της συνθήκης συνέχειας (189). 2. Ορισμός του παραγώγου (190). 3. Γεωμετρική σημασία της παραγώγου (192).
• § 2. Η έννοια της διαφοροποίησης μιας συνάρτησης 193
• 1. Ορισμός διαφοροποίησης συνάρτησης (193). 2. Διαφορικότητα και συνέχεια (195). 3. Η έννοια του διαφορικού μιας συνάρτησης (196).
• § 3. Διαφοροποίηση μιγαδικής συνάρτησης και αντίστροφης συνάρτησης 197 1. Διαφοροποίηση μιγαδικής συνάρτησης (197). 2. Διαφοροποίηση της αντίστροφης συνάρτησης (199). 3. Αμετάβλητο της μορφής του πρώτου διαφορικού (200). 4. Εφαρμογή του διαφορικού για τον καθορισμό κατά προσέγγιση τύπων (201).
• § 4. Διαφοροποίηση συναρτήσεων αθροίσματος, διαφοράς, γινομένου και πηλίκου 202
• § 5. Παράγωγοι των απλούστερων στοιχειωδών συναρτήσεων. . . 205 1. Παράγωγοι τριγωνομετρικών συναρτήσεων (205). 2. Παράγωγος λογαριθμικής συνάρτησης (207). 3. Παράγωγοι εκθετικών και αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων (208). 4. Παράγωγος της συνάρτησης ισχύος (210). 5. Πίνακας παραγώγων των απλούστερων στοιχειωδών συναρτήσεων (210). 6. Πίνακας διαφορικών των απλούστερων στοιχειωδών συναρτήσεων (212). 7. Λογαριθμική παράγωγος. Παράγωγος εκθετικής συνάρτησης (212).
• § 6. Παράγωγα και διαφορικά ανώτερων τάξεων. . . 215 1. Η έννοια της παραγώγου ν-ης τάξης (213). 2. νθ παράγωγοι κάποιων συναρτήσεων (214). 3. Ο τύπος Leibniz για την nη παράγωγο του γινομένου δύο συναρτήσεων (216). 4. Διαφορικά ανώτερων τάξεων (218).
• § 7. Διαφοροποίηση συνάρτησης που δίνεται παραμετρικά. 220*
• § 8. Παράγωγος διανυσματικής συνάρτησης 222
• Κεφάλαιο 6. ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΣΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 224
• § 1. Αύξηση (φθίνουσα) συνάρτησης σε σημείο. Τοπικό ακραίο 224
• § 2. Θεώρημα μηδενικής παραγώγου 226
• § 3. Τύπος πεπερασμένων προσαυξήσεων (τύπος Lagrange). . 227 § 4. Μερικές συνέπειες του τύπου Lagrange.... 229» 1. Η σταθερότητα μιας συνάρτησης που έχει παράγωγο ίση με μηδέν σε διάστημα (229). 2. Προϋποθέσεις μονοτονίας συνάρτησης στο διάστημα (230). 3. Απουσία ασυνεχειών πρώτου είδους και αφαιρούμενες ασυνέχειες του παραγώγου (231). 4. Παραγωγή ορισμένων ανισοτήτων (233). § 5. Γενικευμένος τύπος για πεπερασμένες προσαυξήσεις (τύπος Cauchy). . 234
• § 6. Αποκάλυψη αβεβαιοτήτων (κανόνας L'Hopital). . . 235
• 1. Αποκάλυψη αβεβαιότητας του εντύπου (235). Αποκάλυψη αβεβαιότητας της μορφής - (240). 3. Γνωστοποίηση αβεβαιοτήτων άλλου είδους (243).
• !§ 7. Ο τύπος του Taylor «245
• § 8. Διάφορες μορφές του υπολοίπου όρου. Maclaurin τύπος 248
• 1. Υπόλοιπος όρος με τη μορφή Lagrange, Cauchy και Peano (248).
• 2. Μια άλλη μορφή του τύπου Taylor (250). 3. Φόρμουλα Maclaurin (251).
• § 9. Εκτίμηση της υπολειπόμενης περιόδου. Αποσύνθεση κάποιων στοιχειωδών συναρτήσεων. . . . . 251
• 1. Εκτίμηση του υπόλοιπου όρου για μια αυθαίρετη συνάρτηση (251). 2. Επέκταση Maclaurin μερικών στοιχειωδών συναρτήσεων (252).
• 1 § 10. Παραδείγματα εφαρμογών του τύπου Maclaurin 256.
• 1. Υπολογισμός του αριθμού e σε υπολογιστή (256). 2. Απόδειξη του παραλογισμού του αριθμού ε (257). 3. Υπολογισμός των τιμών των τριγωνομετρικών συναρτήσεων (258). 4. Ασυμπτωτική εκτίμηση στοιχειωδών συναρτήσεων και υπολογισμός ορίων (259).
• Κεφάλαιο 7
• § 1. Εύρεση ακίνητων σημείων 262
• 1. Κριτήρια μονοτονίας συνάρτησης (262). 2. Εύρεση ακίνητων σημείων (262). 3. Πρώτη επαρκής συνθήκη για ακραίο (264). 4. Η δεύτερη επαρκής συνθήκη για ένα άκρο "(265). 5. Η τρίτη επαρκής συνθήκη για ένα άκρο (267). 6. Το άκρο μιας συνάρτησης που δεν είναι διαφοροποιήσιμη σε ένα δεδομένο σημείο (268). 7. Η γενική σύστημα εύρεσης ακρών (270).
• § 2. Κυρτότητα της γραφικής παράστασης συνάρτησης 271
• § 3. Σημεία καμπής 273
• 1. Προσδιορισμός του σημείου καμπής. Απαραίτητη προϋπόθεση για την κλίση (273). 2. Πρώτη επαρκής συνθήκη για κλίση (276). 3. Μερικές γενικεύσεις της πρώτης επαρκής συνθήκης κλίσης (276). 4. Δεύτερη επαρκής συνθήκη για κλίση (277). 5. Τρίτη επαρκής συνθήκη για κλίση (278).
• § 4. Ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης 279
• § 5. Γραφική παράσταση συνάρτησης 281
• § 6. Καθολικό μέγιστο και ελάχιστο μιας συνάρτησης σε ένα τμήμα.
• Ακραίο άκρο 284
• 1. Εύρεση των μέγιστων και ελάχιστων τιμών μιας συνάρτησης που ορίζεται σε ένα τμήμα (284). 2. Ακραίο άκρο (286). 3. Θεώρημα Darboux (287). Πρόσθεση. Ένας αλγόριθμος για την εύρεση ακραίων τιμών μιας συνάρτησης που χρησιμοποιεί μόνο τις τιμές αυτής της συνάρτησης. . . 288
• Κεφάλαιο 8
• § 1. Η έννοια της αντιπαράγωγης συνάρτησης και ενός αόριστου ολοκληρωτικού 291 1. Η έννοια της αντιπαράγωγης συνάρτησης (291). 2. Αόριστο ολοκλήρωμα (292). 3. «Βασικές ιδιότητες του αορίστου ολοκληρώματος (293) 4. Πίνακας βασικών αορίστων ολοκληρωμάτων (294).
• § 2. Βασικές μέθοδοι ολοκλήρωσης 297
• 1, Ολοκλήρωση αλλαγής μεταβλητής (υποκατάσταση) (297).
• 2. Ενσωμάτωση κατά εξαρτήματα (300).
• § 3. Κατηγορίες συναρτήσεων που ενσωματώνονται σε στοιχειώδεις συναρτήσεις. 303 1. Σύντομες πληροφορίες για μιγαδικούς αριθμούς (304). 2. Σύντομες πληροφορίες για τις ρίζες των αλγεβρικών πολυωνύμων (307). 3. Αποσύνθεση αλγεβρικού πολυωνύμου με πραγματικούς συντελεστές σε γινόμενο μη αναγώγιμων παραγόντων (311). 4. Αποσύνθεση ορθού λογικού κλάσματος σε άθροισμα απλών κλασμάτων (312). 5. Ολοκληρωσιμότητα ρητού κλάσματος σε στοιχειώδεις συναρτήσεις (318). 6. Ολοκληρωσιμότητα σε στοιχειώδεις συναρτήσεις ορισμένων τριγωνομετρικών και παράλογων εκφράσεων (321).
• § 4. Ελλειπτικά ολοκληρώματα, 327
• Κεφάλαιο 9
• § 1. Ορισμός ολοκληρώματος. Ολοκληρωσιμότητα. . . . . 330 § 2. Ανώτερα και κατώτερα αθροίσματα και οι ιδιότητές τους. . . . . 334 1. Προσδιορισμός των άνω και κατώτερων αθροισμάτων (334). 2. Βασικές ιδιότητες ανώτερων και κατώτερων αθροισμάτων (335). § 3. Θεωρήματα αναγκαίων και επαρκών συνθηκών για την ολοκληρωσιμότητα των συναρτήσεων. Κατηγορίες ενσωματώσιμων συναρτήσεων. . . 339
• 1. Απαραίτητες και επαρκείς προϋποθέσεις για την ενσωμάτωση (339).
• 2. Κατηγορίες ολοκληρωμένων συναρτήσεων (341).
• "§ 4. Ιδιότητες ορισμένου ολοκληρώματος. Εκτιμήσεις ολοκληρωμάτων. Θεωρήματα μέσης τιμής. 347
• 1. Ιδιότητες του ολοκληρώματος (347). 2. Εκτιμήσεις ολοκληρωμάτων (350).
• § 5. Αντιπαράγωγο συνεχούς συνάρτησης. Κανόνες ολοκλήρωσης συναρτήσεων 357
• 1. Αντιπαράγωγο (357). 2. Βασικός τύπος του ολοκληρωτικού λογισμού (359). 3. Σημαντικοί κανόνες για τον υπολογισμό ορισμένων ολοκληρωμάτων (360). 4. Υπολειπόμενος όρος του τύπου Taylor σε ακέραια μορφή (362).
• § 6. Ανισότητα για αθροίσματα και ολοκληρώματα 365
• 1. Ανισότητα Young (365). 2. Η ανισότητα του Hölder για αθροίσματα (366). 3. Η ανισότητα του Minkowski για αθροίσματα (367). 4. Η ανισότητα του Hölder για ολοκληρώματα (367). 5. Ανισότητα Minkowski για ολοκληρώματα (368).
• § 7. Πρόσθετες πληροφορίες για το οριστικό ολοκλήρωμα Riemann 369
• 1. Όριο ολοκληρωτικών ποσών πάνω από τη βάση του φίλτρου (369).
• 2. Κριτήριο ενσωμάτωσης Lebesgue (370).
• Παράρτημα 1 Ακατάλληλα ολοκληρώματα 370
• § 1. Λανθασμένα ολοκληρώματα πρώτου είδους 371
• 1. Η έννοια του ακατάλληλου ολοκληρώματος πρώτου είδους (371).
• 2. Κριτήριο Cauchy για τη σύγκλιση ενός ακατάλληλου ολοκληρώματος πρώτου είδους. Επαρκείς προϋποθέσεις για σύγκλιση (373). 3. Απόλυτη και υπό συνθήκη σύγκλιση ακατάλληλων ολοκληρωμάτων (375). 4. Αλλαγή μεταβλητών κάτω από το ακατάλληλο ολοκληρωτικό πρόσημο και τον τύπο ολοκλήρωσης κατά μέρη (378).
• § 2. Ακατάλληλα ολοκληρώματα δεύτερου είδους 379
• § 3. Κύρια τιμή του ακατάλληλου ολοκληρώματος.. 382
• Παράρτημα 2. Το ολοκλήρωμα Stieltjes 384
• 1. Ορισμός του ολοκληρώματος Stieltjes και προϋποθέσεις ύπαρξής του (384). 2. Ιδιότητες του ολοκληρώματος Stieltjes (389).
• Κεφάλαιο 10. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ
• § 1. Μήκος τόξου καμπύλης 391
• 1. Η έννοια της απλής καμπύλης (391). 2. Η έννοια της παραμετροποιημένης καμπύλης (392). 3. Το μήκος του τόξου της καμπύλης. Η έννοια μιας διορθώσιμης καμπύλης (394). 4. Κριτήριο για την ευθύτητα μιας καμπύλης. Υπολογίστε το μήκος του τόξου μιας καμπύλης (397). 5. Διαφορικό τόξου (402). 6. Παραδείγματα (403).
• !§ 2. Το εμβαδόν ενός επιπέδου σχήμα 405
• 1. Η έννοια του ορίου ενός συνόλου και ενός επίπεδου σχήματος (405).
• 2. Το εμβαδόν μιας επίπεδης μορφής (406). 3. Καμπυλόγραμμη περιοχή
• τραπεζίου και καμπυλόγραμμου τομέα (414). 4. Παραδείγματα εμβαδών υπολογισμού (416).
• § 3. Όγκος σώματος στο διάστημα 418
• 1. Όγκος σώματος (418). 2. Μερικές κατηγορίες σωμάτων σε κύβους (419). 3. Παραδείγματα (421).
• Κεφάλαιο 11
• § 1. Κατά προσέγγιση μέθοδοι υπολογισμού των ριζών εξισώσεων. . 422 1. Μέθοδος πιρουνιού (422). 2. Μέθοδος επαναλήψεων (423). 3. Μέθοδοι συγχορδιών και εφαπτομένων 426
• § 2. Κατά προσέγγιση μέθοδοι υπολογισμού ορισμένων ολοκληρωμάτων 431 1. Εισαγωγικές παρατηρήσεις (431). 2. Μέθοδος ορθογωνίων (434).
• 3. Μέθοδος τραπεζοειδών (436). 4. Μέθοδος παραβολών (438).
• Κεφάλαιο 12
• § 1. Η έννοια της συνάρτησης m μεταβλητών 442
• 1. Η έννοια της m-διάστατης συντεταγμένης και των παιχνιδιών Ευκλείδειων χώρων (442). 2. Σύνολα σημείων σε ευκλείδειο χώρο m διαστάσεων (445). 3. Η έννοια της συνάρτησης m μεταβλητών (449).
• § 2. Όριο συνάρτησης m μεταβλητών 451
• 1. Ακολουθίες σημείων στο διάστημα Em (451). 2. Ιδιότητα οριοθετημένης ακολουθίας σημείων Em (454). 3. Όριο συνάρτησης m μεταβλητών (455). 4. Άπειρες μικρές συναρτήσεις m μεταβλητών (458). 5. Επαναλαμβανόμενα όρια (459).
• § 3. Συνέχεια συνάρτησης m μεταβλητών 460
• 1. Η έννοια της συνέχειας συνάρτησης m μεταβλητών (460).
• 2. Συνέχεια συνάρτησης m μεταβλητών ως προς μία μεταβλητή (462). 3. Βασικές ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων πολλών μεταβλητών (465).
• § 4. Παράγωγοι και διαφορικά συνάρτησης πολλών μεταβλητών 469
• 1. Μερικές παράγωγοι συναρτήσεων πολλών μεταβλητών (469). 2. Διαφοροποίηση συνάρτησης πολλών μεταβλητών (470). 3. Γεωμετρική σημασία της συνθήκης για μια διαφοροποιήσιμη συνάρτηση δύο μεταβλητών (473). 4. Επαρκείς προϋποθέσεις για διαφοροποίηση 5. Διαφορικό συνάρτησης πολλών μεταβλητών (476). 6. Διαφοροποίηση μιγαδικής συνάρτησης (476). 7. Αμετάβλητο της μορφής του πρώτου διαφορικού (480). 8. Παράγωγος σε κατεύθυνση. Κλίση (481).
• § 5. Μερικά παράγωγα και διαφορικά ανώτερων τάξεων 485 1. Μερικά παράγωγα ανώτερων τάξεων (485). 2. Διαφορικά ανώτερων τάξεων (490). 3. Τύπος Taylor με υπολειπόμενο όρο στη μορφή Lagrange και σε ακέραια μορφή (497) 4. Τύπος Taylor με υπόλοιπο όρο στη μορφή Peano (500).
• 6. Τοπικό άκρο συνάρτησης m μεταβλητών.... 504 1. Η έννοια του άκρου συνάρτησης m μεταβλητών. Απαραίτητες προϋποθέσεις για εξτρέμ (504). 2. Επαρκείς συνθήκες για τοπικό άκρο συνάρτησης m μεταβλητών (506). 3. Η περίπτωση συνάρτησης δύο μεταβλητών (512).
• Παράρτημα 1. Μέθοδος κλίσης για την εύρεση του άκρου μιας έντονα κυρτής συνάρτησης 514
• 1. Κυρτά σύνολα και κυρτές συναρτήσεις (515). 2. Ύπαρξη ελάχιστου για έντονα κυρτή συνάρτηση και μοναδικότητα ελάχιστου για αυστηρά κυρτή συνάρτηση (521).
• 3. Εύρεση του ελάχιστου μιας έντονα κυρτής συνάρτησης (526).
• Παράρτημα 2. Μετρικοί κανονικοί χώροι. . 535
• Μετρικοί χώροι. 1. Ορισμός μετρικού χώρου. Παραδείγματα (535). 2. Ανοιχτά και κλειστά σετ (538). 3. Άμεσο γινόμενο μετρικών χώρων (540). 4. Παντού πυκνά και τέλεια σύνολα (541). 5. Σύγκλιση. Συνεχείς αντιστοιχίσεις (543). 6. Συμπαγής 545 7. Βάση χώρου (548).
• Ιδιότητες μετρικών χώρων 550
• Τοπολογικοί χώροι 558
• 1. Ορισμός τοπολογικού χώρου. Τοπολογικός χώρος Hausdorff. Παραδείγματα (558). 2. Παρατήρηση στους τοπολογικούς χώρους (562).
• Γραμμικοί κανονικοί χώροι, γραμμικοί τελεστές 564
• 1. Ορισμός γραμμικού χώρου. Παραδείγματα (564).
• 2. Κανονισμένοι χώροι. Χώροι Banach.
• Παραδείγματα (566). 3. Τελεστές σε γραμμικούς και κανονικούς χώρους (568). 4. Χώρος χειριστών
• 5. Κανόνα χειριστή (569). 6. Η έννοια του χώρου Hilbert 572
• Παράρτημα 3. Διαφορικός λογισμός σε κανονικούς γραμμικούς χώρους. 574
• 1. Η έννοια είναι διαφοροποιήσιμη. Ισχυρή και ασθενής διαφοροποίηση σε κανονικούς γραμμικούς χώρους (575).
• 2. Ο τύπος Lagrange για πεπερασμένες προσαυξήσεις (581).
• 3. Σχέση ασθενούς και ισχυρής διαφορισιμότητας 584 4. Διαφοροποίηση λειτουργιών (587). 5. Ολοκλήρωμα αφηρημένων συναρτήσεων (587). 6. Τύπος Newton-Leibniz για αφηρημένες συναρτήσεις (589). 7. Παράγωγα δεύτερης τάξης 592 8. Χαρτογράφηση του ευκλείδειου χώρου m διαστάσεων σε χώρο t διαστάσεων (595). 9. Παράγωγα και διαφορικά υψηλότερων τάξεων 598 10. Ο τύπος του Taylor για τη χαρτογράφηση ενός κανονικού χώρου σε έναν άλλο (599).
• Διερεύνηση ακραίων λειτουργιών σε κανονικοποιημένες
• χώρους. 602
• 1. Απαραίτητη προϋπόθεση για ακραίο (602). 2. Επαρκείς συνθήκες για ακραίο 605
• Κεφάλαιο 13 ΣΙΩΡΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 609
• § 1. Ύπαρξη και διαφοροποίηση μιας σιωπηρά δεδομένης συνάρτησης 610
• 1. Θεώρημα για την ύπαρξη και τη διαφορισιμότητα μιας άρρητης συνάρτησης (610). 2. Υπολογισμός μερικών παραγώγων μιας άρρητα δεδομένης συνάρτησης (615). 3. Μονά σημεία μιας επιφάνειας και μια επίπεδη καμπύλη 617 4. Συνθήκες που διασφαλίζουν την ύπαρξη για τη συνάρτηση y=)(x) της αντίστροφης συνάρτησης (618).
• § 2. Άμεσες συναρτήσεις που ορίζονται από ένα σύστημα λειτουργικών
• εξισώσεις 619
• 1. Θεώρημα για τη διαλυτότητα συστήματος συναρτησιακών εξισώσεων (619). 2. Υπολογισμός μερικών παραγώγων συναρτήσεων που προσδιορίζονται σιωπηρά μέσω συστήματος συναρτησιακών εξισώσεων (624). 3. Αντιστοίχιση ενός προς ένα δύο συνόλων m-διάστατου χώρου (625).
• § 3. Εξάρτηση συναρτήσεων 626
• 1. Η έννοια της εξάρτησης των συναρτήσεων. Επαρκής προϋπόθεση για ανεξαρτησία (626). 2. Λειτουργικοί πίνακες και οι εφαρμογές τους (628).
• § 4. Υπό όρους ακραίο. 632
• 1. Η έννοια του ακραίου υπό όρους (632). 2. Μέθοδος αόριστων πολλαπλασιαστών Lagrange (635). 3. Επαρκές. προϋποθέσεις (636). 4. Παράδειγμα (637).
• Παράρτημα 1. Χαρτογραφήσεις χώρων Banach. Ένα ανάλογο του θεωρήματος άρρητης συνάρτησης 638
• 1. Θεώρημα για την ύπαρξη και τη διαφορισιμότητα μιας άρρητης συνάρτησης (638). 2. Η περίπτωση των πεπερασμένων διαστάσεων χώρων (644). 3. Ενιαία σημεία επιφάνειας στο χώρο n διαστάσεων. Αντίστροφη χαρτογράφηση (647). 4. Υπό όρους ακρότατο σε περίπτωση χαρτογράφησης κανονικών χώρων (651).
• Μέρος 2. - Συνέχιση του μαθήματος.
• ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ
• Πρόλογος 5
• ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΣΕΙΡΑ 7
• § 1. Η έννοια της σειράς αριθμών 7
• 1. Συγκλίνουσες και αποκλίνουσες σειρές (7). 2. Κριτήριο Cauchy για τη σύγκλιση σειρών (10)
• § 2. Σειρά με μη αρνητικούς όρους 12"
• 1. Απαραίτητη και επαρκής συνθήκη για τη σύγκλιση σειράς με μη αρνητικούς όρους (12). 2. Σημάδια σύγκρισης (13). 3. Σημάδια του d'Alembert και του Cauchy (16). 4. Ολοκληρωτικό πρόσημο Cauchy-McLaurin (21). 5, Sign of Raabe (24). 6. Έλλειψη καθολικής σειράς σύγκρισης (27)
• § 3. Απόλυτα και υπό όρους συγκλίνουσα σειρά 28
• 1. Οι έννοιες των απολύτως και υπό όρους συγκλίνουσας σειράς (28). 2. Σχετικά με τη μετάθεση των όρων της υπό όρους συγκλίνουσας σειράς (30). 3. Σχετικά με τη μετάθεση των όρων μιας απολύτως συγκλίνουσας σειράς (33)
• § 4. Κριτήρια σύγκλισης αυθαίρετων σειρών 35
• § 5. Αριθμητικές πράξεις σε συγκλίνουσες σειρές 41
• § 6. Άπειρα γινόμενα 44
• 1. Βασικές έννοιες (44). 2. Σχέση μεταξύ της σύγκλισης άπειρων γινομένων και σειρών (47). 3. Αποσύνθεση της συνάρτησης sin x σε άπειρο γινόμενο (51)
• § 7. Γενικευμένες μέθοδοι άθροισης για αποκλίνουσες σειρές .... 55
• 1. Μέθοδος Cesaro (μέθοδος αριθμητικών μέσων) (56). 2. Μέθοδος άθροισης Poisson - Abel (57)
• § 8. Στοιχειώδης θεωρία διπλής και επαναλαμβανόμενης σειράς 59
• ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΣΕΙΡΑ 67
• § 1. Οι έννοιες της σύγκλισης σε ένα σημείο και της ομοιόμορφης σύγκλισης σε ένα σύνολο 67
• 1. Οι έννοιες της συναρτησιακής ακολουθίας και της συναρτησιακής σειράς (67). 2. Σύγκλιση συναρτησιακής ακολουθίας (συναρτησιακή σειρά) σε σημείο και σε σύνολο (69). 3. Ομοιόμορφη σύγκλιση στο σύνολο (70). 4. Κριτήριο Cauchy για ομοιόμορφη σύγκλιση ακολουθίας (σειράς) (72)
• § 2. Επαρκή κριτήρια για ομοιόμορφη σύγκλιση συναρτησιακών ακολουθιών και σειρών 74
• § 3. Διάρκεια προς περίοδο μετάβαση στο όριο 83
• § 4. Ολοκλήρωση όρου προς όρο και διαφοροποίηση όρου προς όρο συναρτησιακών ακολουθιών και σειρών 87
• 1. Ενσωμάτωση ανά όρο (87). 2. Διαφοροποίηση ανά όρο (90). 3. Μέση σύγκλιση (94)
• § 5. Ισοσυνέχεια ακολουθίας συναρτήσεων... 97
• § 6. Power series 102
• 1. Σειρά ισχύος και η περιοχή σύγκλισής της (102). 2. Συνέχεια του αθροίσματος της σειράς ισχύος (105). 3. Ενσωμάτωση από όρο προς όρο και διαφοροποίηση κάθε φορά μιας σειράς ισχύος (105)
• § 7. Επέκταση λειτουργιών στη σειρά ισχύος 107
• 1. Επέκταση συνάρτησης σε σειρά ισχύος (107). 2. Επέκταση ορισμένων στοιχειωδών συναρτήσεων σε μια σειρά Taylor (108). 3. Στοιχειώδεις ιδέες για τις συναρτήσεις μιας σύνθετης μεταβλητής (PO). 4. Το θεώρημα Weierstrass για την ομοιόμορφη προσέγγιση μιας συνεχούς συνάρτησης από πολυώνυμα (112)
• ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΔΙΠΛΑ ΚΑΙ n-ΠΟΛΛΑΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 117
• § 1. Ορισμός και προϋποθέσεις ύπαρξης διπλού ολοκληρώματος. . . 117
• 1. Ορισμός διπλού ολοκληρώματος για ορθογώνιο (117).
• 2. Προϋποθέσεις ύπαρξης διπλού ολοκληρώματος για ορθογώνιο (119). 3. Ορισμός και προϋποθέσεις ύπαρξης διπλού ολοκληρώματος για αυθαίρετο πεδίο (121). 4. Γενικός ορισμός του διπλού ολοκληρώματος (123)
• «§ 2. Βασικές ιδιότητες του διπλού ολοκληρώματος 127
• § 3. Αναγωγή διπλού ολοκληρώματος σε επαναλαμβανόμενο μονό. . . 129 1. Η περίπτωση παραλληλογράμμου (129). 2. Η περίπτωση αυθαίρετης περιφέρειας (130)
• § 4. Τριπλά και n-διπλωμένα ολοκληρώματα 133
• § 5. Αλλαγή μεταβλητών στο ολοκλήρωμα n-πτυχών 138
• § 6. Υπολογισμός όγκων ν-διάστατων σωμάτων 152
• § 7. Το θεώρημα για την ολοκλήρωση όρου προς όρο συναρτησιακών ακολουθιών και σειρών 157
• $ 8. Πολλαπλά ακατάλληλα ολοκληρώματα 159
• 1. Η έννοια των πολλαπλών ακατάλληλων ολοκληρωμάτων (159). 2. Δύο κριτήρια για τη σύγκλιση ακατάλληλων ολοκληρωμάτων μη αρνητικών συναρτήσεων (160). 3. Λανθασμένα ολοκληρώματα συναρτήσεων αλλαγής σημάτων (161). 4. Κύρια τιμή πολλαπλών ακατάλληλων ολοκληρωμάτων (165)
• ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Καμπυλόγραμμα ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 167
• § 1. Έννοιες καμπυλόγραμμων ολοκληρωμάτων πρώτου και δεύτερου είδους. . . 167
• § 2. Προϋποθέσεις ύπαρξης καμπυλόγραμμων ολοκληρωμάτων 169
• ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ 175
• § 1. Έννοιες της επιφάνειας και του εμβαδού της 175
• 1. Η έννοια της επιφάνειας (175). 2. Βοηθητικά λήμματα (179).
• 3. Επιφάνεια (181)
• § 2. Επιφανειακά ολοκληρώματα 185
• ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΘΕΩΡΙΑ ΠΕΔΙΟΥ. ΒΑΣΙΚΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΟΣ ΤΥΠΟΣ ΓΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗ 190
• § 1. Σημειογραφία. Διορθογώνιες βάσεις. Αμετάβλητα γραμμικού τελεστή 190
• 1. Σημειογραφία (190). 2. Διορθογώνιες βάσεις στο χώρο Ε" (191). 3. Μετασχηματισμοί βάσεων. Συντεταγμένες συντεταγμένες και αντιμεταβλητές ενός διανύσματος (192). 4. Αμετάβλητα ενός γραμμικού τελεστή. Απόκλιση και μπούκλα (195). 5. Εκφράσεις για το απόκλιση και κύρτωση ενός γραμμικού τελεστή σε ορθοκανονική βάση (Sch8)
• § 2. Βαθμώδη και διανυσματικά πεδία. Διαφορικοί τελεστές της διανυσματικής ανάλυσης 198
• !. Βαθμώδη και διανυσματικά πεδία (198). 2. Απόκλιση, καμπύλη και παράγωγος ως προς την κατεύθυνση ενός διανυσματικού πεδίου (203). 3. Κάποιοι άλλοι τύποι διανυσματικής ανάλυσης (204). 4. Τελικές παρατηρήσεις (206)
• § 3. Βασικοί ολοκληρωτικοί τύποι ανάλυσης 207
• 1. Ο τύπος του Green (207). 2. Φόρμουλα Ostrogradsky - Gauss (211). 3. Φόρμουλα Stokes (214)
• § 4. Προϋποθέσεις για την ανεξαρτησία ενός καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος σε ένα επίπεδο από τη διαδρομή ολοκλήρωσης 218
• § 5. Μερικά παραδείγματα εφαρμογών θεωρίας πεδίου 222
• 1. Έκφραση του εμβαδού μιας επίπεδης περιοχής ως προς το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα (222). 2. Έκφραση του όγκου ως προς το επιφανειακό ολοκλήρωμα (223)
• Προσθήκη στο Κεφάλαιο 6. Διαφορικές μορφές στον Ευκλείδειο χώρο 225
• § 1. Εναλλασσόμενες πολυγραμμικές μορφές 225
• 1. Γραμμικά έντυπα (225). 2. Διγραμμικά έντυπα (226). 3. Πολυγραμμικές μορφές (227). 4. Εναλλασσόμενες πολυγραμμικές φόρμες (228). 5. Εξωτερικό γινόμενο εναλλασσόμενων μορφών (228). 6. Ιδιότητες του εξωτερικού γινομένου εναλλασσόμενων μορφών (231). 7. Βάση στο χώρο των εναλλασσόμενων μορφών (233)
• § 2. Διαφορικά έντυπα 235
• 1. Βασική σημειογραφία (235). 2. Εξωτερικό διαφορικό (236). 3. Ιδιότητες του εξωτερικού διαφορικού (237;)
• § 3. Διαφοροποιήσιμες αντιστοιχίσεις 2391
• 1. Ορισμός διαφοροποιήσιμων αντιστοιχίσεων (239). 2. Ιδιότητες της αντιστοίχισης φ* (240)
• § 4. Ολοκλήρωση διαφορικών μορφών 243
• 1. Ορισμοί (243). 2. Διαφοροποιήσιμες αλυσίδες (245). 3. Στόουκς τύπος (248). 4. Παραδείγματα (250)
• ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΑΝΑΛΟΓΑ ΜΕ ΤΙΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ 252
• § 1. Ομοιόμορφη σε μια μεταβλητή τάση μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών στο όριο σε μια άλλη μεταβλητή 252
• 1. Σχέση μεταξύ της ομοιόμορφης σε μια μεταβλητή που τείνει μια συνάρτηση δύο μεταβλητών στο όριο μιας άλλης μεταβλητής με την ομοιόμορφη σύγκλιση της συναρτησιακής ακολουθίας (252). 2. Το κριτήριο Cauchy για την ομοιόμορφη τάση μιας συνάρτησης στο όριο (254). 3. Εφαρμογές της έννοιας της ομοιόμορφης σύγκλισης στην οριακή συνάρτηση (254)
• § 2. Ιδιοολοκληρώματα ανάλογα με την παράμετρο 256
• 1. Ιδιότητες ολοκληρώματος ανάλογα με μια παράμετρο (256). 2. Η περίπτωση που τα όρια ολοκλήρωσης εξαρτώνται από την παράμετρο (257)
• § 3. Ακατάλληλα ολοκληρώματα ανάλογα με την παράμετρο 259
• 1. Λανθασμένα ολοκληρώματα πρώτου είδους ανάλογα με την παράμετρο (260). 2. Ακατάλληλα ολοκληρώματα δεύτερου είδους ανάλογα με την παράμετρο (266)
• § 4. Εφαρμογή της θεωρίας των ολοκληρωμάτων ανάλογα με μια παράμετρο στον υπολογισμό ορισμένων ακατάλληλων ολοκληρωμάτων 267
• § 5. Ολοκληρώματα Euler 271
• στη συνάρτηση Γ (272). 2. Β-συνάρτηση (275). 3. Σύνδεση μεταξύ ολοκληρωμάτων Euler (277). 4. Παραδείγματα (279)
• § 6. Τύπος Stirling 280
• § 7. Πολλαπλά ολοκληρώματα ανάλογα με τις παραμέτρους 282
• 1. Κατέχετε πολλαπλά ολοκληρώματα ανάλογα με τις παραμέτρους (282).
• 2. Ακατάλληλα πολλαπλά ολοκληρώματα ανάλογα με την παράμετρο (283)
• ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΣΕΙΡΑ FOURIER 287
• § 1. Ορθοκανονικά συστήματα και γενικές σειρές Fourier 287
• 1. Ορθοκανονικά συστήματα (287). 2. Η έννοια μιας γενικής σειράς Fourier (292)
• § 2. Κλειστά και πλήρη ορθοκανονικά συστήματα 295
• § 3. Κλείσιμο του τριγωνομετρικού συστήματος και συνέπειες από αυτό. . 298 1. Ομοιόμορφη προσέγγιση συνεχούς συνάρτησης από τριγωνομετρικά πολυώνυμα (298). 2. Απόδειξη της κλειστότητας του τριγωνομετρικού συστήματος (301). 3. Συνέπειες της κλειστότητας του τριγωνομετρικού συστήματος (303)
• § 4. Οι απλούστερες συνθήκες για ομοιόμορφη σύγκλιση και διαφοροποίηση όρων προς όρο μιας τριγωνομετρικής σειράς Fourier 304
• 1. Εισαγωγικές παρατηρήσεις (304). 2. Οι απλούστερες συνθήκες για την απόλυτη και ομοιόμορφη σύγκλιση της τριγωνομετρικής σειράς Fourier (306).
• 3. Οι απλούστερες συνθήκες για τη διαφοροποίηση ανά όρο μιας τριγωνομετρικής σειράς Fourier (308)
• § 5. Πιο ακριβείς προϋποθέσεις για ομοιόμορφη σύγκλιση και προϋποθέσεις για σύγκλιση σε ένα δεδομένο σημείο
• 1. Συντελεστής συνέχειας συνάρτησης. Τάξεις κατόχων (309). 2. Έκφραση για το μερικό άθροισμα της τριγωνομετρικής σειράς Fourier (311). 3. Βοηθητικές προτάσεις(314). 4. Αρχή εντοπισμού 317 5. Ομοιόμορφη σύγκλιση της τριγωνομετρικής σειράς Fourier για μια συνάρτηση από την κλάση Hölder (319). 6. Σχετικά με τη σύγκλιση της τριγωνομετρικής σειράς Fourier μιας τμηματικής συνάρτησης Hölder (325). 7. Αθροσιμότητα της τριγωνομετρικής σειράς Fourier συνεχούς συνάρτησης με τη μέθοδο των αριθμητικών μέσων (329). 8. Τελικές παρατηρήσεις (331)
• § 6. Πολλαπλή τριγωνομετρική σειρά Fourier 332
• 1. Έννοιες μιας πολλαπλής τριγωνομετρικής σειράς Fourier και τα ορθογώνια και σφαιρικά επιμέρους αθροίσματά της (332). 2. Συντελεστής συνέχειας και κλάσεις Hölder για μια συνάρτηση N μεταβλητών (334). 3. Προϋποθέσεις για την απόλυτη σύγκλιση μιας πολλαπλής τριγωνομετρικής σειράς Fourier (335)
• ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΗ ΦΟΥΡΙΕ 33»
• § 1. Αναπαράσταση συνάρτησης με ολοκλήρωμα Fourier 339
• 1. Επικουρικοί ισχυρισμοί (340). 2. Κύριο θεώρημα. Τύπος αντιστροφής (342). 3. Παραδείγματα (347)
• § 2. Μερικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourier 34&
• § 3. Πολλαπλό Ολοκλήρωμα Fourier 352

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ
Πρόλογος 5
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΣΕΙΡΑ 7
§ 1. Η έννοια της σειράς αριθμών 7
1. Συγκλίνουσες και αποκλίνουσες σειρές (7). 2. Κριτήριο Cauchy για τη σύγκλιση σειρών (10)
§ 2. Σειρά με μη αρνητικούς όρους 12"
1. Απαραίτητη και επαρκής συνθήκη για τη σύγκλιση σειράς με μη αρνητικούς όρους (12). 2. Σημάδια σύγκρισης (13). 3. Σημάδια του d'Alembert και του Cauchy (16). 4. Ολοκληρωτικό πρόσημο Cauchy-McLaurin (21). 5, Sign of Raabe (24). 6. Έλλειψη καθολικής σειράς σύγκρισης (27)
§ 3. Απόλυτα και υπό όρους συγκλίνουσα σειρά 28
1. Οι έννοιες των απολύτως και υπό όρους συγκλίνουσας σειράς (28). 2. Σχετικά με τη μετάθεση των όρων της υπό όρους συγκλίνουσας σειράς (30). 3. Σχετικά με τη μετάθεση των όρων μιας απολύτως συγκλίνουσας σειράς (33)
§ 4. Κριτήρια σύγκλισης αυθαίρετων σειρών 35
§ 5. Αριθμητικές πράξεις σε συγκλίνουσες σειρές 41
§ 6. Άπειρα γινόμενα 44
1. Βασικές έννοιες (44). 2. Σχέση μεταξύ της σύγκλισης άπειρων γινομένων και σειρών (47). 3. Αποσύνθεση της συνάρτησης sin x σε άπειρο γινόμενο (51)
§ 7. Γενικευμένες μέθοδοι άθροισης για αποκλίνουσες σειρές .... 55
1. Μέθοδος Cesaro (μέθοδος αριθμητικών μέσων) (56). 2. Μέθοδος άθροισης Poisson - Abel (57)
§ 8. Στοιχειώδης θεωρία διπλής και επαναλαμβανόμενης σειράς 59
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΣΕΙΡΑ 67
§ 1. Οι έννοιες της σύγκλισης σε ένα σημείο και της ομοιόμορφης σύγκλισης σε ένα σύνολο 67
1. Οι έννοιες της συναρτησιακής ακολουθίας και της συναρτησιακής σειράς (67). 2. Σύγκλιση συναρτησιακής ακολουθίας (συναρτησιακή σειρά) σε σημείο και σε σύνολο (69). 3. Ομοιόμορφη σύγκλιση στο σύνολο (70). 4. Κριτήριο Cauchy για ομοιόμορφη σύγκλιση ακολουθίας (σειράς) (72)
§ 2. Επαρκή κριτήρια για ομοιόμορφη σύγκλιση συναρτησιακών ακολουθιών και σειρών 74
§ 3. Διάρκεια προς περίοδο μετάβαση στο όριο 83
§ 4. Ολοκλήρωση όρου προς όρο και διαφοροποίηση όρου προς όρο συναρτησιακών ακολουθιών και σειρών 87
1. Ενσωμάτωση ανά όρο (87). 2. Διαφοροποίηση ανά όρο (90). 3. Μέση σύγκλιση (94)
§ 5. Ισοσυνέχεια ακολουθίας συναρτήσεων... 97
§ 6. Power series 102
1. Σειρά ισχύος και η περιοχή σύγκλισής της (102). 2. Συνέχεια του αθροίσματος της σειράς ισχύος (105). 3. Ενσωμάτωση από όρο προς όρο και διαφοροποίηση κάθε φορά μιας σειράς ισχύος (105)
§ 7. Επέκταση λειτουργιών στη σειρά ισχύος 107
1. Επέκταση συνάρτησης σε σειρά ισχύος (107). 2. Επέκταση ορισμένων στοιχειωδών συναρτήσεων σε μια σειρά Taylor (108). 3. Στοιχειώδεις ιδέες για τις συναρτήσεις μιας σύνθετης μεταβλητής (PO). 4. Το θεώρημα Weierstrass για την ομοιόμορφη προσέγγιση μιας συνεχούς συνάρτησης από πολυώνυμα (112)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΔΙΠΛΑ ΚΑΙ n-ΠΟΛΛΑΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 117
§ 1. Ορισμός και προϋποθέσεις ύπαρξης διπλού ολοκληρώματος. . . 117
1. Ορισμός διπλού ολοκληρώματος για ορθογώνιο (117).
2. Προϋποθέσεις ύπαρξης διπλού ολοκληρώματος για ορθογώνιο (119). 3. Ορισμός και προϋποθέσεις ύπαρξης διπλού ολοκληρώματος για αυθαίρετο πεδίο (121). 4. Γενικός ορισμός του διπλού ολοκληρώματος (123)
«§ 2. Βασικές ιδιότητες του διπλού ολοκληρώματος 127
§ 3. Αναγωγή διπλού ολοκληρώματος σε επαναλαμβανόμενο μονό. . . 129 1. Η περίπτωση παραλληλογράμμου (129). 2. Η περίπτωση αυθαίρετης περιφέρειας (130)
§ 4. Τριπλά και n-διπλωμένα ολοκληρώματα 133
§ 5. Αλλαγή μεταβλητών στο ολοκλήρωμα n-πτυχών 138
§ 6. Υπολογισμός όγκων ν-διάστατων σωμάτων 152
§ 7. Το θεώρημα για την ολοκλήρωση όρου προς όρο συναρτησιακών ακολουθιών και σειρών 157
$ 8. Πολλαπλά ακατάλληλα ολοκληρώματα 159
1. Η έννοια των πολλαπλών ακατάλληλων ολοκληρωμάτων (159). 2. Δύο κριτήρια για τη σύγκλιση ακατάλληλων ολοκληρωμάτων μη αρνητικών συναρτήσεων (160). 3. Λανθασμένα ολοκληρώματα συναρτήσεων αλλαγής σημάτων (161). 4. Κύρια τιμή πολλαπλών ακατάλληλων ολοκληρωμάτων (165)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Καμπυλόγραμμα ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 167
§ 1. Έννοιες καμπυλόγραμμων ολοκληρωμάτων πρώτου και δεύτερου είδους. . . 167
§ 2. Προϋποθέσεις ύπαρξης καμπυλόγραμμων ολοκληρωμάτων 169
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ 175
§ 1. Έννοιες της επιφάνειας και του εμβαδού της 175
1. Η έννοια της επιφάνειας (175). 2. Βοηθητικά λήμματα (179).
3. Επιφάνεια (181)
§ 2. Επιφανειακά ολοκληρώματα 185
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΘΕΩΡΙΑ ΠΕΔΙΟΥ. ΒΑΣΙΚΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΟΣ ΤΥΠΟΣ ΓΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗ 190
§ 1. Σημειογραφία. Διορθογώνιες βάσεις. Αμετάβλητα γραμμικού τελεστή 190
1. Σημειογραφία (190). 2. Διορθογώνιες βάσεις στο χώρο Ε" (191). 3. Μετασχηματισμοί βάσεων. Συντεταγμένες συντεταγμένες και αντιμεταβλητές ενός διανύσματος (192). 4. Αμετάβλητα ενός γραμμικού τελεστή. Απόκλιση και μπούκλα (195). 5. Εκφράσεις για το απόκλιση και κύρτωση ενός γραμμικού τελεστή σε ορθοκανονική βάση (Sch8)
§ 2. Βαθμώδη και διανυσματικά πεδία. Διαφορικοί τελεστές της διανυσματικής ανάλυσης 198
!. Βαθμώδη και διανυσματικά πεδία (198). 2. Απόκλιση, καμπύλη και παράγωγος ως προς την κατεύθυνση ενός διανυσματικού πεδίου (203). 3. Κάποιοι άλλοι τύποι διανυσματικής ανάλυσης (204). 4. Τελικές παρατηρήσεις (206)
§ 3. Βασικοί ολοκληρωτικοί τύποι ανάλυσης 207
1. Ο τύπος του Green (207). 2. Φόρμουλα Ostrogradsky - Gauss (211). 3. Φόρμουλα Stokes (214)
§ 4. Προϋποθέσεις για την ανεξαρτησία ενός καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος στο επίπεδο από τη διαδρομή ολοκλήρωσης 218
§ 5. Μερικά παραδείγματα εφαρμογών θεωρίας πεδίου 222
1. Έκφραση του εμβαδού μιας επίπεδης περιοχής ως προς το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα (222). 2. Έκφραση του όγκου ως προς το επιφανειακό ολοκλήρωμα (223)
Προσθήκη στο Κεφάλαιο 6. Διαφορικές μορφές στον Ευκλείδειο χώρο 225
§ 1. Εναλλασσόμενες πολυγραμμικές μορφές 225
1. Γραμμικά έντυπα (225). 2. Διγραμμικά έντυπα (226). 3. Πολυγραμμικές μορφές (227). 4. Εναλλασσόμενες πολυγραμμικές φόρμες (228). 5. Εξωτερικό γινόμενο εναλλασσόμενων μορφών (228). 6. Ιδιότητες του εξωτερικού γινομένου εναλλασσόμενων μορφών (231). 7. Βάση στο χώρο των εναλλασσόμενων μορφών (233)
§ 2. Διαφορικά έντυπα 235
1. Βασική σημειογραφία (235). 2. Εξωτερικό διαφορικό (236). 3. Ιδιότητες του εξωτερικού διαφορικού (237;)
§ 3. Διαφοροποιήσιμες αντιστοιχίσεις 2391
1. Ορισμός διαφοροποιήσιμων αντιστοιχίσεων (239). 2. Ιδιότητες της αντιστοίχισης φ* (240)
§ 4. Ολοκλήρωση διαφορικών μορφών 243
1. Ορισμοί (243). 2. Διαφοροποιήσιμες αλυσίδες (245). 3. Στόουκς τύπος (248). 4. Παραδείγματα (250)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΑΝΑΛΟΓΑ ΜΕ ΤΙΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ 252
§ 1. Ομοιόμορφη σε μια μεταβλητή τάση μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών στο όριο σε μια άλλη μεταβλητή 252
1. Σχέση μεταξύ της ομοιόμορφης σε μια μεταβλητή που τείνει μια συνάρτηση δύο μεταβλητών στο όριο μιας άλλης μεταβλητής με την ομοιόμορφη σύγκλιση της συναρτησιακής ακολουθίας (252). 2. Το κριτήριο Cauchy για την ομοιόμορφη τάση μιας συνάρτησης στο όριο (254). 3. Εφαρμογές της έννοιας της ομοιόμορφης σύγκλισης στην οριακή συνάρτηση (254)
§ 2. Ιδιοολοκληρώματα ανάλογα με την παράμετρο 256
1. Ιδιότητες ολοκληρώματος ανάλογα με μια παράμετρο (256). 2. Η περίπτωση που τα όρια ολοκλήρωσης εξαρτώνται από την παράμετρο (257)
§ 3. Ακατάλληλα ολοκληρώματα ανάλογα με την παράμετρο 259
1. Λανθασμένα ολοκληρώματα πρώτου είδους ανάλογα με την παράμετρο (260). 2. Ακατάλληλα ολοκληρώματα δεύτερου είδους ανάλογα με την παράμετρο (266)
§ 4. Εφαρμογή της θεωρίας των ολοκληρωμάτων ανάλογα με μια παράμετρο στον υπολογισμό ορισμένων ακατάλληλων ολοκληρωμάτων 267
§ 5. Ολοκληρώματα Euler 271
στη συνάρτηση Γ (272). 2. Β-συνάρτηση (275). 3. Σύνδεση μεταξύ ολοκληρωμάτων Euler (277). 4. Παραδείγματα (279)
§ 6. Τύπος Stirling 280
§ 7. Πολλαπλά ολοκληρώματα ανάλογα με τις παραμέτρους 282
1. Κατέχετε πολλαπλά ολοκληρώματα ανάλογα με τις παραμέτρους (282).
2. Ακατάλληλα πολλαπλά ολοκληρώματα ανάλογα με την παράμετρο (283)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΣΕΙΡΑ FOURIER 287
§ 1. Ορθοκανονικά συστήματα και γενικές σειρές Fourier 287
1. Ορθοκανονικά συστήματα (287). 2. Η έννοια μιας γενικής σειράς Fourier (292)
§ 2. Κλειστά και πλήρη ορθοκανονικά συστήματα 295
§ 3. Κλείσιμο του τριγωνομετρικού συστήματος και συνέπειες από αυτό. . 298 1. Ομοιόμορφη προσέγγιση συνεχούς συνάρτησης από τριγωνομετρικά πολυώνυμα (298). 2. Απόδειξη της κλειστότητας του τριγωνομετρικού συστήματος (301). 3. Συνέπειες της κλειστότητας του τριγωνομετρικού συστήματος (303)
§ 4. Οι απλούστερες συνθήκες για ομοιόμορφη σύγκλιση και διαφοροποίηση όρων προς όρο μιας τριγωνομετρικής σειράς Fourier 304
1. Εισαγωγικές παρατηρήσεις (304). 2. Οι απλούστερες συνθήκες για την απόλυτη και ομοιόμορφη σύγκλιση της τριγωνομετρικής σειράς Fourier (306).
3. Οι απλούστερες συνθήκες για τη διαφοροποίηση ανά όρο μιας τριγωνομετρικής σειράς Fourier (308)
§ 5. Πιο ακριβείς προϋποθέσεις για ομοιόμορφη σύγκλιση και προϋποθέσεις για σύγκλιση σε ένα δεδομένο σημείο
1. Συντελεστής συνέχειας συνάρτησης. Τάξεις κατόχων (309). 2. Έκφραση για το μερικό άθροισμα της τριγωνομετρικής σειράς Fourier (311). 3. Βοηθητικές προτάσεις (314). 4. Αρχή εντοπισμού 317 5. Ομοιόμορφη σύγκλιση της τριγωνομετρικής σειράς Fourier για μια συνάρτηση από την κλάση Hölder (319). 6. Σχετικά με τη σύγκλιση της τριγωνομετρικής σειράς Fourier μιας τμηματικής συνάρτησης Hölder (325). 7. Αθροσιμότητα της τριγωνομετρικής σειράς Fourier συνεχούς συνάρτησης με τη μέθοδο των αριθμητικών μέσων (329). 8. Τελικές παρατηρήσεις (331)
§ 6. Πολλαπλή τριγωνομετρική σειρά Fourier 332
1. Έννοιες μιας πολλαπλής τριγωνομετρικής σειράς Fourier και τα ορθογώνια και σφαιρικά επιμέρους αθροίσματά της (332). 2. Συντελεστής συνέχειας και κλάσεις Hölder για μια συνάρτηση N μεταβλητών (334). 3. Προϋποθέσεις για την απόλυτη σύγκλιση μιας πολλαπλής τριγωνομετρικής σειράς Fourier (335)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΗ ΦΟΥΡΙΕ 33»
§ 1. Αναπαράσταση συνάρτησης με ολοκλήρωμα Fourier 339
1. Επικουρικοί ισχυρισμοί (340). 2. Κύριο θεώρημα. Τύπος αντιστροφής (342). 3. Παραδείγματα (347)
§ 2. Μερικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourier 34&
§ 3. Πολλαπλό Ολοκλήρωμα Fourier 352