Έστω η συνάρτηση z - f(x, y) να οριστεί σε κάποιο πεδίο ορισμού D και έστω Mo(xo, y0) ένα εσωτερικό σημείο αυτού του τομέα. Ορισμός. Αν υπάρχει τέτοιος αριθμός που για όλα όσα πληρούν τις συνθήκες η ανίσωση είναι αληθής, τότε το σημείο Mo(xo, yo) ονομάζεται σημείο του τοπικού μέγιστου της συνάρτησης f(x, y); εάν, ωστόσο, για όλα τα Dx, Du που πληρούν τις προϋποθέσεις | τότε το σημείο Mo(x0, y0) ονομάζεται λεπτό τοπικό ελάχιστο. Με άλλα λόγια, το σημείο M0(x0, y0) είναι το σημείο μέγιστου ή ελαχίστου της συνάρτησης f(x, y) εάν υπάρχει 6-γειτονιά του σημείου A/o(xo, y0) έτσι ώστε καθόλου σημεία M(x, y) αυτής της γειτονιάς, η αύξηση της συνάρτησης διατηρεί το πρόσημο. Παραδείγματα. 1. Για μια συνάρτηση, ένα σημείο είναι ένα ελάχιστο σημείο (Εικ. 17). 2. Για τη συνάρτηση, το σημείο 0(0,0) είναι το μέγιστο σημείο (Εικ. 18). 3. Για τη συνάρτηση, το σημείο 0(0,0) είναι το τοπικό μέγιστο σημείο. 4 Πράγματι, υπάρχει μια γειτονιά του σημείου 0(0, 0), για παράδειγμα, ένας κύκλος ακτίνας j (βλ. Εικ. 19), σε οποιοδήποτε σημείο του οποίου, διαφορετικό από το σημείο 0(0, 0), το τιμή της συνάρτησης f(x, y) μικρότερη από 1 = Θα εξετάσουμε μόνο σημεία αυστηρού μέγιστου και ελάχιστου συναρτήσεων όταν η αυστηρή ανισότητα ή η αυστηρή ανισότητα ισχύει για όλα τα σημεία M(x) y) από κάποια διάτρητη γειτονιά των 6 το σημείο Mq. Η τιμή της συνάρτησης στο μέγιστο σημείο ονομάζεται μέγιστη και η τιμή της συνάρτησης στο ελάχιστο σημείο ονομάζεται ελάχιστη αυτής της συνάρτησης. Τα μέγιστα και ελάχιστα σημεία μιας συνάρτησης ονομάζονται ακραία σημεία της συνάρτησης και τα μέγιστα και ελάχιστα της ίδιας της συνάρτησης ονομάζονται άκρα της. Θεώρημα 11 (απαραίτητη προϋπόθεση για ακρότατο). Αν συνάρτηση Extremum μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών Η έννοια ενός άκρου μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών. Απαραίτητες και επαρκείς προϋποθέσεις για ένα ακρότατο ακρότατο υπό όρους Οι μεγαλύτερες και μικρότερες τιμές συνεχών συναρτήσεων έχουν ένα άκρο στο σημείο και σε αυτό το σημείο κάθε μερική παράγωγος και το u είτε εξαφανίζεται είτε δεν υπάρχει. Έστω η συνάρτηση z = f(x) y) έχει άκρο στο σημείο M0(x0, y0). Ας δώσουμε στη μεταβλητή y την τιμή yo. Τότε η συνάρτηση z = /(x, y) θα είναι συνάρτηση μιας μεταβλητής x\ Εφόσον στο x = xo έχει ένα άκρο (μέγιστο ή ελάχιστο, Εικ. 20), τότε η παράγωγός της σε σχέση με x = "o, | (*o,l>)" Ισούται με μηδέν, ή δεν υπάρχει. Ομοίως, επαληθεύουμε ότι) ή είναι ίσο με μηδέν, ή δεν υπάρχει. Τα σημεία στα οποία = 0 και u = 0 ή δεν υπάρχουν ονομάζονται κρίσιμα σημεία της συνάρτησης z = Dx, y).Τα σημεία στα οποία $£ = u = 0 ονομάζονται και ακίνητα σημεία της συνάρτησης.Το θεώρημα 11 εκφράζει μόνο τις απαραίτητες συνθήκες για ένα άκρο, οι οποίες δεν επαρκούν. 18 Εικ.20 immt παράγωγα που εξαφανίζονται στο. Αλλά αυτή η λειτουργία είναι μάλλον λεπτή στο imvat “straumum. Πράγματι, η συνάρτηση είναι ίση με μηδέν στο σημείο 0(0, 0) και παίρνει σημεία M(x, y), όσο πιο κοντά θέλετε στο σημείο 0(0, 0), kkk θετικές και αρνητικές τιμές. Για αυτό, έτσι στα σημεία στα σημεία (0, y) για αυθαίρετα μικρά σημεία, το σημείο 0(0, 0) του υποδεικνυόμενου τύπου ονομάζεται σημείο mini-max (Εικ. 21). Οι επαρκείς συνθήκες για ένα άκρο μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών εκφράζονται με το ακόλουθο θεώρημα. Θεώρημα 12 (επαρκείς συνθήκες για ένα άκρο ασαφείς μεταβλητές). Έστω το σημείο Mo(xo, y0) ένα ακίνητο σημείο της συνάρτησης f(x, y), και σε κάποια γειτονιά του σημείου / συμπεριλαμβανομένου του ίδιου του σημείου Mo, η συνάρτηση f(r, y) έχει συνεχείς μερικές παραγώγους επάνω στη δεύτερη τάξη συμπεριλαμβανομένων. Τότε "1) στο σημείο Mq(xq, V0) η συνάρτηση f(x, y) έχει μέγιστο αν η ορίζουσα είναι σε αυτό το σημείο 2) στο σημείο Mo(x0, V0) η συνάρτηση f(x, y) έχει ελάχιστο αν στο σημείο Mo(xo, yo) η συνάρτηση f(x, y) δεν έχει άκρο αν D(xo, yo)< 0. Если же то в точке Мо(жо> Wo) το άκρο της συνάρτησης f(x, y) μπορεί να είναι ή όχι. Σε αυτή την περίπτωση απαιτείται περαιτέρω έρευνα. Περιοριζόμαστε στην απόδειξη των ισχυρισμών 1) και 2) του θεωρήματος. Ας γράψουμε τον τύπο Taylor της δεύτερης τάξης για τη συνάρτηση /(i, y): όπου. Με την υπόθεση, από όπου είναι σαφές ότι το πρόσημο της αύξησης D/ καθορίζεται από το πρόσημο του τριωνύμου στη δεξιά πλευρά του (1), δηλ. το πρόσημο του δεύτερου διαφορικού d2f. Ας δηλώσουμε για συντομία. Τότε η ισότητα (l) μπορεί να γραφτεί ως εξής: Έστω στο σημείο MQ(so, y0) έχουμε γειτονιά του σημείου M0(s0,yo). Εάν η συνθήκη (στο σημείο A/0) ικανοποιείται και, λόγω συνέχειας, η παράγωγος /,z(s, y) θα διατηρήσει το πρόσημά της σε κάποια γειτονιά του σημείου Af0. Στην περιοχή όπου A ∆ 0, έχουμε 0 σε κάποια γειτονιά του σημείου M0(x0) y0), τότε το πρόσημο του τριωνύμου AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 συμπίπτει με το πρόσημο Α στο σημείο C δεν μπορεί να έχει διαφορετικά πρόσημα). Εφόσον το πρόσημο του αθροίσματος AAs2 + 2BAxAy + CAy2 στο σημείο (s0 + $ Ax, yo + 0 Dy) καθορίζει το πρόσημο της διαφοράς, καταλήγουμε στο εξής συμπέρασμα: αν η συνάρτηση f(s, y) στο το σταθερό σημείο (s0, yo) ικανοποιεί την κατάσταση, τότε για αρκετά μικρό || η ανισότητα θα διατηρηθεί. Έτσι, στο σημείο (sq, y0) η συνάρτηση /(s, y) έχει μέγιστο. Αν όμως η συνθήκη ικανοποιείται στο ακίνητο σημείο (s0, y0), τότε για όλα τα αρκετά μικρά |Ar| και |Do| η ανισότητα είναι αληθής, που σημαίνει ότι η συνάρτηση /(s, y) έχει ελάχιστο στο σημείο (so, yo). Παραδείγματα. 1. Διερευνήστε τη συνάρτηση για ένα άκρο 4 Χρησιμοποιώντας τις απαραίτητες συνθήκες για ένα άκρο, αναζητούμε ακίνητα σημεία της συνάρτησης. Για να γίνει αυτό, βρίσκουμε τις μερικές παραγώγους, u και τις εξισώνουμε με το μηδέν. Παίρνουμε ένα σύστημα εξισώσεων από όπου - ένα ακίνητο σημείο. Ας χρησιμοποιήσουμε τώρα το Θεώρημα 12. Έχουμε Άρα, υπάρχει ένα άκρο στο σημείο Ml. Γιατί αυτό είναι το ελάχιστο. Αν μετατρέψουμε τη συνάρτηση g στη μορφή, τότε είναι εύκολο να δούμε ότι η δεξιά πλευρά (")" θα είναι ελάχιστη όταν είναι το απόλυτο ελάχιστο αυτής της συνάρτησης. 2. Διερευνήστε τη συνάρτηση για ένα άκρο Βρίσκουμε τα ακίνητα σημεία της συνάρτησης, για τα οποία συνθέτουμε σύστημα εξισώσεων Από εδώ ώστε το σημείο να είναι ακίνητο. Εφόσον, δυνάμει του Θεωρήματος 12, δεν υπάρχει ακρότατο στο σημείο Μ. * 3. Διερευνήστε τη συνάρτηση για ένα άκρο Βρείτε τα ακίνητα σημεία της συνάρτησης. Από το σύστημα των εξισώσεων προκύπτει ότι, έτσι ώστε το σημείο είναι ακίνητο. Περαιτέρω, έχουμε έτσι ώστε το Θεώρημα 12 να μην δίνει απάντηση στο ερώτημα της παρουσίας ή απουσίας ενός ακραίου. Ας το κάνουμε με αυτόν τον τρόπο. Για μια συνάρτηση σε όλα τα σημεία εκτός από ένα σημείο έτσι ώστε, εξ ορισμού, στο σημείο A/o(0,0) η συνάρτηση r έχει απόλυτο ελάχιστο. Με ανάλογη ξήρανση, διαπιστώνουμε ότι η συνάρτηση έχει μέγιστο στο σημείο, αλλά η συνάρτηση δεν έχει άκρο στο σημείο. Έστω μια συνάρτηση η ανεξάρτητων μεταβλητών διαφοροποιήσιμη σε ένα σημείο Το σημείο Mo ονομάζεται ακίνητο σημείο της συνάρτησης αν. Θεώρημα 13 (επαρκείς συνθήκες για ένα άκρο). Έστω η συνάρτηση να οριστεί και να έχει συνεχείς μερικές παραγώγους δεύτερης τάξης σε κάποια γειτονιά της λεπτής γραμμής Mc(xi..., η οποία είναι μια σταθερή λεπτή συνάρτηση, εάν η τετραγωνική μορφή (το δεύτερο διαφορικό της συνάρτησης f στο λεπτό το σημείο είναι θετικό-οριστικό (αρνητικό-οριστικό), το σημείο ελάχιστου (αντίστοιχα, λεπτό μέγιστο) της συνάρτησης f είναι λεπτό Αν η τετραγωνική μορφή (4) είναι εναλλασσόμενη, τότε δεν υπάρχει ακρότατο στο λεπτό LG0. 15.2 Υπό όρους extremum Μέχρι στιγμής, μας απασχολούσε η εύρεση τοπικών άκρων μιας συνάρτησης σε ολόκληρο τον τομέα του ορισμού της, όταν τα ορίσματα συνάρτησης δεν δεσμεύονται από πρόσθετες συνθήκες. Έστω η συνάρτηση z \u003d / (x, y) να οριστεί στην περιοχή D. Ας υποθέσουμε ότι η καμπύλη L δίνεται σε αυτήν την περιοχή και είναι απαραίτητο να βρούμε μόνο τα άκρα της συνάρτησης f (x> y) μεταξύ εκείνων των τιμών του που αντιστοιχούν στα σημεία της καμπύλης L. Τα ίδια άκρα ονομάζονται τα υπό συνθήκη άκρα της συνάρτησης z = f(x) y) στην καμπύλη L. Ορισμός Λέγεται ότι σε ένα σημείο που βρίσκεται στην καμπύλη L, η συνάρτηση /(x, y) έχει ένα υπό όρους μέγιστο (ελάχιστο) εάν η ανισότητα ικανοποιείται, αντίστοιχα, σε όλα τα σημεία M (s, y) της καμπύλης L που ανήκουν σε κάποια γειτονιά του σημείου M0 (x0, Yo) και διαφορετικό από το σημείο M0 (Αν η καμπύλη L δίνεται από μια εξίσωση, τότε το πρόβλημα της εύρεσης του υπό όρους άκρου της συνάρτησης r - f (x, y) στην καμπύλη! μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: βρείτε τα άκρα της συνάρτησης x = /(z, y) στην περιοχή D, με την προϋπόθεση ότι έτσι, όταν βρίσκουμε τα ακρότατα υπό όρους της συνάρτησης z = y), τα ορίσματα zn δεν μπορούν πλέον να ληφθούν υπόψη ως ανεξάρτητες μεταβλητές: διασυνδέονται με τη σχέση y ) = 0, η οποία ονομάζεται εξίσωση περιορισμού. Για να εξηγήσουμε τη διαφορά μεταξύ m «* D y ως ακρότατο άνευ όρων και υπό όρους, ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα, το άνευ όρων μέγιστο της συνάρτησης (Εικ. 23) ισούται με ένα και επιτυγχάνεται στο σημείο (0,0). Αντιστοιχεί ακριβώς στο M - την κορυφή του pvvboloid Ας προσθέσουμε την εξίσωση περιορισμού y = j. Τότε το υπό συνθήκη μέγιστο θα είναι προφανώς ίσο.Φτάνεται στο σημείο (o, |), και αντιστοιχεί στην κορυφή Afj του pvvboloid, που είναι η γραμμή τομής του pvvboloid με το επίπεδο y = j. Στην περίπτωση ενός άνευ όρων ελάχιστου s, έχουμε τη μικρότερη εφαρμογή μεταξύ όλων των ρητών της επιφάνειας * = 1 - n;2 ~ y1; slumvv υπό όρους - μόνο μεταξύ όλων των σημείων του pvrboloidv, που αντιστοιχεί στο σημείο * της ευθείας γραμμής y \u003d j όχι του επιπέδου xOy. Μία από τις μεθόδους εύρεσης του ακραίου υπό όρους μιας συνάρτησης παρουσία και σύνδεση είναι η εξής. Έστω η εξίσωση σύνδεσης y)-0 ορίζει το y ως μια διαφοροποιήσιμη συνάρτηση με μία τιμή του ορίσματος x: Αντικαθιστώντας μια συνάρτηση αντί για y στη συνάρτηση, λαμβάνουμε μια συνάρτηση ενός ορίσματος στο οποίο η συνθήκη σύνδεσης έχει ήδη ληφθεί υπόψη . Το (χωρίς όρους) άκρο της συνάρτησης είναι το επιθυμητό ακρότατο υπό όρους. Παράδειγμα. Βρείτε το άκρο μιας συνάρτησης υπό την προϋπόθεση Ακρότατο συνάρτησης πολλών μεταβλητών Η έννοια του άκρου μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών. Απαραίτητες και επαρκείς συνθήκες για ακρότατο ακρότατο υπό όρους Οι μεγαλύτερες και μικρότερες τιμές συνεχών συναρτήσεων A \u003d 1 - κρίσιμο σημείο;, έτσι ώστε να αποδίδει ένα υπό όρους ελάχιστο της συνάρτησης r (Εικ. 24). Ας υποδείξουμε έναν άλλο τρόπο επίλυσης το πρόβλημα του ακραίου υπό όρους, που ονομάζεται μέθοδος των πολλαπλασιαστών Lagrange. Έστω ότι υπάρχει ένα σημείο υπό όρους ακρότατου της συνάρτησης με την παρουσία μιας σύνδεσης. Ας υποθέσουμε ότι η εξίσωση της σύνδεσης ορίζει μια μοναδική συνεχώς διαφοροποιήσιμη συνάρτηση σε κάποια γειτονιά του σημείο xi Υποθέτοντας ότι λαμβάνουμε ότι η παράγωγος ως προς το x της συνάρτησης /(r, ip(x)) στο σημείο xq πρέπει να είναι ίση με μηδέν ή, που είναι ισοδύναμο με αυτό, το διαφορικό της f (x, y) στο σημείο Mo "O) Από την εξίσωση σύνδεσης έχουμε (5) Στη συνέχεια, λόγω της αυθαιρεσίας του dx, λαμβάνουμε τις ισότητες (6) και (7) που εκφράζουν τις απαραίτητες συνθήκες για ένα ακέραιο άνευ όρων σε ένα σημείο μιας συνάρτησης που ονομάζεται συνάρτηση Lagrange. Έτσι, το σημείο του υπό όρους άκρου της συνάρτησης / (x, y), εάν, είναι απαραίτητα ένα ακίνητο σημείο της συνάρτησης Lagrange όπου Α είναι κάποιος αριθμητικός συντελεστής. Από εδώ λαμβάνουμε έναν κανόνα για την εύρεση ακραίων υπό όρους: για να βρούμε σημεία που μπορούν να είναι σημεία του απόλυτου άκρου μιας συνάρτησης παρουσία σύνδεσης, 1) συνθέτουμε τη συνάρτηση Lagrange, 2) εξισώνοντας τις παραγώγους και W αυτής της συνάρτησης στο μηδέν και προσθέτοντας την εξίσωση σύνδεσης στις εξισώσεις που προκύπτουν, παίρνουμε ένα σύστημα τριών εξισώσεων από τις οποίες βρίσκουμε τις τιμές του Α και τις συντεταγμένες x, y των πιθανών ακραίων σημείων. Το ζήτημα της ύπαρξης και της φύσης του ακραίου υπό όρους λύνεται με βάση τη μελέτη του πρόσημου του δεύτερου διαφορικού της συνάρτησης Lagrange για το εξεταζόμενο σύστημα τιμών x0, Yo, A, που λαμβάνεται από το (8) υπό την προϋπόθεση ότι Αν, τότε στο σημείο (x0, Yo) η συνάρτηση f(x, y ) έχει ένα υπό όρους μέγιστο; εάν d2F > 0 - τότε το ελάχιστο υπό όρους. Ειδικότερα, εάν σε ακίνητο σημείο (xo, J/o) η ορίζουσα D για τη συνάρτηση F(x, y) είναι θετική, τότε στο σημείο (®o, V0) υπάρχει ένα υπό όρους μέγιστο της συνάρτησης /( x, y) εάν, και υπό όρους ελάχιστο της συνάρτησης /(x, y), εάν Παράδειγμα. Ας στραφούμε ξανά στις συνθήκες του προηγούμενου παραδείγματος: βρείτε το άκρο της συνάρτησης με την προϋπόθεση ότι x + y \u003d 1. Θα λύσουμε το πρόβλημα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο πολλαπλασιαστή Lagrange. Η συνάρτηση Lagrange σε αυτή την περίπτωση έχει τη μορφή Για να βρούμε ακίνητα σημεία, συνθέτουμε ένα σύστημα Από τις δύο πρώτες εξισώσεις του συστήματος, προκύπτει ότι x = y. Στη συνέχεια από την τρίτη εξίσωση του συστήματος (εξίσωση σύζευξης) βρίσκουμε ότι x - y = j - οι συντεταγμένες του σημείου ενός πιθανού άκρου. Σε αυτήν την περίπτωση (υποδεικνύεται ότι A \u003d -1. Έτσι, η συνάρτηση Lagrange. είναι ένα υπό όρους ελάχιστο σημείο της συνάρτησης * \u003d x2 + y2 υπό την προϋπόθεση ότι δεν υπάρχει άνευ όρων άκρο για τη συνάρτηση Lagrange. P ( x, y) δεν σημαίνει ακόμη την απουσία ακρότατου υπό όρους για τη συνάρτηση /(x, y) παρουσία σύνδεσης Παράδειγμα: Βρείτε το άκρο της συνάρτησης υπό την συνθήκη y 4 Συνθέτουμε τη συνάρτηση Lagrange και γράφουμε ένα σύστημα για τον προσδιορισμό του Α και των συντεταγμένων των πιθανών ακραίων σημείων: Από τις δύο πρώτες εξισώσεις παίρνουμε x + y = 0 και καταλήγουμε στο σύστημα y = A = 0. Έτσι, η αντίστοιχη συνάρτηση Lagrange έχει τη μορφή Στο σημείο (0 , 0), η συνάρτηση F(x, y; 0) δεν έχει ακρότατο άνευ όρων, αλλά το υπό συνθήκη άκρο της συνάρτησης r = xy. Όταν y = x, υπάρχει "Πράγματι, σε αυτή την περίπτωση r = x2. Από εδώ είναι σαφές ότι στο σημείο (0,0) υπάρχει ένα ελάχιστο υπό όρους. "Η μέθοδος των πολλαπλασιαστών Lagrange μεταφέρεται στην περίπτωση των συναρτήσεων οποιουδήποτε αριθμού ορισμάτων / Αφήστε το άκρο της συνάρτησης να αναζητηθεί παρουσία οι εξισώσεις σύνδεσης Sostaalyaem η συνάρτηση Lagrange όπου A|, Az,..., A„, - όχι ορισμένους σταθερούς παράγοντες. Εξισώνοντας στο μηδέν όλες τις μερικές παραγώγους της πρώτης τάξης της συνάρτησης F και προσθέτοντας στις εξισώσεις που προέκυψαν τις εξισώσεις σύνδεσης (9), λαμβάνουμε ένα σύστημα n + m εξισώσεων, από τις οποίες προσδιορίζουμε τα Ab A3|..., Am και οι συντεταγμένες x\) x2) . » xn πιθανά σημεία του ακραίου υπό όρους. Το ερώτημα εάν τα σημεία που βρέθηκαν με τη μέθοδο Lagrange είναι πραγματικά ακραία σημεία υπό όρους μπορεί συχνά να επιλυθεί με βάση εκτιμήσεις φυσικής ή γεωμετρικής φύσης. 15.3. Μέγιστες και ελάχιστες τιμές συνεχών συναρτήσεων Ας απαιτείται να βρεθεί η μέγιστη (μικρότερη) τιμή μιας συνάρτησης z = /(x, y) συνεχής σε κάποιο εκτεταμένο περιορισμένο πεδίο D. Με το Θεώρημα 3, σε αυτή την περιοχή υπάρχει ένα σημείο (xo, V0) στο οποίο η συνάρτηση παίρνει τη μεγαλύτερη (μικρότερη) τιμή. Εάν το σημείο (xo, y0) βρίσκεται μέσα στο πεδίο ορισμού D, τότε η συνάρτηση / έχει ένα μέγιστο (ελάχιστο) σε αυτήν, έτσι ώστε στην περίπτωση αυτή το σημείο που μας ενδιαφέρει να περιέχεται στα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης /(x , y). Ωστόσο, η συνάρτηση /(x, y) μπορεί επίσης να φτάσει τη μέγιστη (μικρότερη) τιμή της στο όριο της περιοχής. Επομένως, για να βρεθεί η μεγαλύτερη (μικρότερη) τιμή που λαμβάνεται από τη συνάρτηση z = /(x, y) σε μια οριοθετημένη κλειστή περιοχή 2), είναι απαραίτητο να βρεθούν όλα τα μέγιστα (ελάχιστα) της συνάρτησης που επιτυγχάνονται εντός αυτής της περιοχής. , καθώς και τη μεγαλύτερη (μικρότερη) τιμή της συνάρτησης στο όριο αυτής της περιοχής. Ο μεγαλύτερος (μικρότερος) από όλους αυτούς τους αριθμούς θα είναι η επιθυμητή μέγιστη (μικρότερη) τιμή της συνάρτησης z = /(x, y) στην περιοχή 27. Ας δείξουμε πώς γίνεται αυτό στην περίπτωση μιας διαφοροποιήσιμης συνάρτησης. Prmmr. Βρείτε τις μεγαλύτερες και μικρότερες τιμές της συνάρτησης της περιοχής 4. Βρίσκουμε τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης μέσα στην περιοχή D. Για να γίνει αυτό, συνθέτουμε ένα σύστημα εξισώσεων. Από εδώ παίρνουμε x \u003d y \u003e 0 , ώστε το σημείο 0 (0,0) να είναι το κρίσιμο σημείο της συνάρτησης x. Αφού Ας βρούμε τώρα τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές της συνάρτησης στο όριο Г της περιοχής D. Από την πλευρά του ορίου έχουμε έτσι ώστε το y \u003d 0 είναι ένα κρίσιμο σημείο, και αφού \u003d τότε σε αυτό σημείο η συνάρτηση z \u003d 1 + y2 έχει ελάχιστο ίσο με ένα. Στα άκρα του τμήματος G", σε σημεία (, έχουμε. Χρησιμοποιώντας θεωρήσεις συμμετρίας, λαμβάνουμε τα ίδια αποτελέσματα για άλλα μέρη του ορίου. Τέλος, λαμβάνουμε: τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης z \u003d x2 + y2 σε η περιοχή "B" είναι ίση με μηδέν και επιτυγχάνεται στην περιοχή του εσωτερικού σημείου 0( 0, 0) και η μέγιστη τιμή αυτής της συνάρτησης, ίση με δύο, επιτυγχάνεται σε τέσσερα σημεία του ορίου (Εικ.25) Εικ.25 Ασκήσεις συναρτήσεων: Βρείτε τις μερικές παραγώγους συναρτήσεων και τις ολικές τους διαφορικές: Βρείτε τις παραγώγους μιγαδικών συναρτήσεων: 3 Βρείτε J. Ακρότατο συνάρτησης πολλών μεταβλητών Έννοια άκρου συνάρτησης πολλών μεταβλητών Απαραίτητες και επαρκείς προϋποθέσεις για ένα άκρο Συνθήκη ακρότατο Οι μεγαλύτερες και μικρότερες τιμές συνεχών συναρτήσεων 34. Χρησιμοποιώντας τον τύπο για την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης δύο μεταβλητές, βρείτε και συναρτήσεις: 35. Χρησιμοποιώντας τον τύπο για την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης σε δύο μεταβλητές, βρείτε |J και συναρτήσεις: Βρείτε jj άρρητες συναρτήσεις: 40. Βρείτε την κλίση της εφαπτομένης καμπύλης στο σημείο τομής με την ευθεία x = 3. 41. Να βρείτε τα σημεία όπου η εφαπτομένη της καμπύλης x είναι παράλληλη στον άξονα x. . Στις παρακάτω εργασίες βρείτε και το Z: Γράψτε τις εξισώσεις του εφαπτομένου επιπέδου και του κανονικού της επιφάνειας: 49. Γράψτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων επιπέδων της επιφάνειας x2 + 2y2 + Zr2 \u003d 21, παράλληλες στο επίπεδο x + 4y + 6z \u003d 0. Βρείτε τους τρεις έως τέσσερις πρώτους όρους της επέκτασης χρησιμοποιώντας τον τύπο Taylor : 50. y σε μια γειτονιά του σημείου (0, 0). Χρησιμοποιώντας τον ορισμό του άκρου μιας συνάρτησης, διερευνήστε τις ακόλουθες συναρτήσεις για ένα άκρο:). Χρησιμοποιώντας επαρκείς συνθήκες για το άκρο μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών, διερευνήστε το άκρο της συνάρτησης: 84. Βρείτε τις μεγαλύτερες και μικρότερες τιμές της συνάρτησης z \u003d x2 - y2 σε έναν κλειστό κύκλο 85. Βρείτε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμές της συνάρτησης * \u003d x2y (4-x-y) σε ένα τρίγωνο που οριοθετείται από γραμμές x \u003d 0, y = 0, x + y = b. 88. Να προσδιορίσετε τις διαστάσεις μιας ορθογώνιας ανοιχτής πισίνας με τη μικρότερη επιφάνεια, με την προϋπόθεση ότι ο όγκος της είναι ίσος με V. 87. Να βρείτε τις διαστάσεις ενός ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου με δεδομένη συνολική επιφάνεια 5 μέγιστο όγκο. Απαντήσεις 1. και | Ένα τετράγωνο που σχηματίζεται από ευθύγραμμα τμήματα x συμπεριλαμβανομένων των πλευρών του. 3. Οικογένεια ομόκεντρων δακτυλίων 2= 0,1,2,... .4. Ολόκληρο το επίπεδο εκτός από τα σημεία των ευθειών y. Το τμήμα του αεροπλάνου που βρίσκεται πάνω από την παραβολή y \u003d -x?. 8. Κυκλώστε τα σημεία x. Ολόκληρο το επίπεδο εκτός από τις ευθείες x Η ριζική έκφραση είναι μη αρνητική σε δύο περιπτώσεις j * ^ ή j x ^ ^ που ισοδυναμεί με μια άπειρη σειρά ανισώσεων, αντίστοιχα. Το πεδίο ορισμού είναι τα σκιασμένα τετράγωνα (Εικ. 26) ; l που ισοδυναμεί με άπειρη σειρά Η συνάρτηση ορίζεται σε σημεία. α) Ευθείες παράλληλες προς την ευθεία x β) Ομόκεντροι κύκλοι με κέντρο στην αρχή. 10. α) παραβολές y) παραβολές y α) παραβολές β) υπερβολές | .Αεροπλάνα xc. 13.Prim - υπερβολοειδή μιας κοιλότητας περιστροφής γύρω από τον άξονα Oz. για και είναι υπερβολοειδή δύο φύλλων περιστροφής γύρω από τον άξονα Oz, και οι δύο οικογένειες επιφανειών χωρίζονται από έναν κώνο. Δεν υπάρχει όριο, β) 0. 18. Έστω y = kxt μετά z lim z = -2, ώστε η δεδομένη συνάρτηση στο σημείο (0,0) να μην έχει όριο. 19. α) Σημείο (0.0); β) σημείο (0,0). 20. α) Γραμμή διακοπής - κύκλος x2 + y2 = 1; β) η γραμμή διακοπής είναι μια ευθεία γραμμή y \u003d x. 21. α) Γραμμές διακοπής - άξονες συντεταγμένων Ox και Oy. β) 0 (κενό σετ). 22. Όλα τα σημεία (m, n), όπου και n είναι ακέραιοι

Ορισμός 1: Μια συνάρτηση λέγεται ότι έχει τοπικό μέγιστο σε ένα σημείο αν υπάρχει γειτονιά του σημείου τέτοια ώστε για οποιοδήποτε σημείο Μμε συντεταγμένες (x, y)η ανισότητα πληρούται: . Στην περίπτωση αυτή, δηλ. η αύξηση της συνάρτησης< 0.

Ορισμός 2: Μια συνάρτηση λέγεται ότι έχει τοπικό ελάχιστο σε ένα σημείο αν υπάρχει μια γειτονιά του σημείου τέτοια ώστε για οποιοδήποτε σημείο Μμε συντεταγμένες (x, y)η ανισότητα πληρούται: . Σε αυτή την περίπτωση, δηλ. η αύξηση της συνάρτησης > 0.

Ορισμός 3: Καλούνται οι τοπικοί ελάχιστοι και μέγιστοι πόντοι ακραία σημεία.

Ακραίες υπό όρους

Κατά την αναζήτηση άκρων μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών, συχνά προκύπτουν προβλήματα που σχετίζονται με το λεγόμενο υπό όρους ακραίο.Αυτή η έννοια μπορεί να εξηγηθεί με το παράδειγμα μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών.

Έστω μια συνάρτηση και μια ευθεία μεγάλοστην επιφάνεια 0xy. Το καθήκον είναι να ευθυγραμμιστεί μεγάλοβρείτε ένα τέτοιο σημείο P(x, y),στην οποία η τιμή της συνάρτησης είναι η μεγαλύτερη ή η μικρότερη σε σύγκριση με τις τιμές αυτής της συνάρτησης στα σημεία της γραμμής μεγάλοπου βρίσκεται κοντά στο σημείο Π. Τέτοια σημεία Ππου ονομάζεται υπό όρους ακραία σημείαλειτουργίες γραμμής μεγάλο. Σε αντίθεση με το συνηθισμένο ακραίο σημείο, η τιμή συνάρτησης στο ακραίο σημείο υπό όρους συγκρίνεται με τις τιμές συνάρτησης όχι σε όλα τα σημεία κάποιας γειτονιάς του, αλλά μόνο σε εκείνα που βρίσκονται στη γραμμή μεγάλο.

Είναι ξεκάθαρο ότι το σημείο του συνηθισμένου άκρου (λέγουν επίσης άνευ όρων ακρότητα) είναι επίσης ένα ακραίο σημείο υπό όρους για κάθε ευθεία που διέρχεται από αυτό το σημείο. Το αντίστροφο, φυσικά, δεν ισχύει: ένα υπό όρους ακραίο σημείο μπορεί να μην είναι ένα συμβατικό ακραίο σημείο. Επιτρέψτε μου να το εξηγήσω με ένα απλό παράδειγμα. Το γράφημα της συνάρτησης είναι το άνω ημισφαίριο (Παράρτημα 3 (Εικ. 3)).

Αυτή η συνάρτηση έχει ένα μέγιστο στην αρχή. αντιστοιχεί στην κορυφή Μημισφαίρια. Αν η γραμμή μεγάλουπάρχει μια γραμμή που διέρχεται από τα σημεία ΑΛΛΑκαι ΣΤΟ(η εξίσωσή της x+y-1=0), τότε είναι γεωμετρικά σαφές ότι για τα σημεία αυτής της ευθείας η μέγιστη τιμή της συνάρτησης επιτυγχάνεται στο σημείο που βρίσκεται στη μέση μεταξύ των σημείων ΑΛΛΑκαι ΣΤΟ.Αυτό είναι το σημείο του ακραίου υπό όρους (μέγιστο) της συνάρτησης στη δεδομένη γραμμή. αντιστοιχεί στο σημείο M 1 στο ημισφαίριο, και φαίνεται από το σχήμα ότι εδώ δεν μπορεί να τεθεί θέμα οποιουδήποτε συνηθισμένου άκρου.

Σημειώστε ότι στο τελευταίο μέρος του προβλήματος εύρεσης της μεγαλύτερης και της μικρότερης τιμής μιας συνάρτησης σε μια κλειστή περιοχή, πρέπει να βρούμε τις ακραίες τιμές της συνάρτησης στο όριο αυτής της περιοχής, δηλ. σε κάποια γραμμή, και έτσι λύσει το πρόβλημα για ένα ακραίο υπό όρους.

Ας προχωρήσουμε τώρα στην πρακτική αναζήτηση των σημείων του υποθετικού άκρου της συνάρτησης Z= f(x, y) με την προϋπόθεση ότι οι μεταβλητές x και y σχετίζονται με την εξίσωση (x, y) = 0. Αυτή η σχέση θα είναι ονομάζεται εξίσωση περιορισμού. Εάν από την εξίσωση σύνδεσης το y μπορεί να εκφραστεί ρητά ως x: y \u003d (x), παίρνουμε μια συνάρτηση μιας μεταβλητής Z \u003d f (x, (x)) \u003d Ф (x).

Έχοντας βρει την τιμή του x στην οποία αυτή η συνάρτηση φτάνει σε ένα άκρο και στη συνέχεια προσδιορίζοντας τις αντίστοιχες τιμές του y από την εξίσωση σύνδεσης, θα λάβουμε τα επιθυμητά σημεία του ακραίου υπό όρους.

Άρα στο παραπάνω παράδειγμα από την εξίσωση επικοινωνίας x+y-1=0 έχουμε y=1-x. Από εδώ

Είναι εύκολο να ελέγξετε ότι το z φτάνει στο μέγιστο στο x = 0,5. αλλά στη συνέχεια από την εξίσωση σύνδεσης y = 0,5, και παίρνουμε ακριβώς το σημείο P, που βρίσκεται από γεωμετρικές εκτιμήσεις.

Το πρόβλημα του ακραίου υπό όρους λύνεται πολύ απλά ακόμα και όταν η εξίσωση περιορισμού μπορεί να αναπαρασταθεί με παραμετρικές εξισώσεις x=x(t), y=y(t). Αντικαθιστώντας τις παραστάσεις για x και y σε αυτή τη συνάρτηση, ερχόμαστε και πάλι στο πρόβλημα της εύρεσης του άκρου μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής.

Εάν η εξίσωση περιορισμού έχει πιο σύνθετη μορφή και δεν μπορούμε ούτε να εκφράσουμε ρητά μια μεταβλητή ως προς την άλλη, ούτε να την αντικαταστήσουμε με παραμετρικές εξισώσεις, τότε το πρόβλημα της εύρεσης ενός ακραίου υπό όρους γίνεται πιο δύσκολο. Θα συνεχίσουμε να υποθέτουμε ότι στην έκφραση της συνάρτησης z= f(x, y) η μεταβλητή (x, y) = 0. Η συνολική παράγωγος της συνάρτησης z= f(x, y) ισούται με:

Πού είναι η παράγωγος y`, που βρίσκεται από τον κανόνα διαφοροποίησης της άρρητης συνάρτησης. Στα σημεία του ακραίου υπό όρους, η ολική παράγωγος που βρέθηκε πρέπει να είναι ίση με μηδέν. Αυτό δίνει μια εξίσωση που συσχετίζει το x και το y. Δεδομένου ότι πρέπει επίσης να ικανοποιούν την εξίσωση περιορισμού, παίρνουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους

Ας μετατρέψουμε αυτό το σύστημα σε ένα πολύ πιο βολικό, γράφοντας την πρώτη εξίσωση ως αναλογία και εισάγοντας ένα νέο βοηθητικό άγνωστο:

(ένα σημάδι μείον τοποθετείται μπροστά για ευκολία). Είναι εύκολο να περάσει κανείς από αυτές τις ισότητες στο ακόλουθο σύστημα:

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

που μαζί με την εξίσωση περιορισμού (x, y) = 0, σχηματίζει ένα σύστημα τριών εξισώσεων με αγνώστους x, y, και.

Αυτές οι εξισώσεις (*) είναι πιο εύκολο να θυμάστε χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο κανόνα: για να βρείτε σημεία που μπορούν να είναι σημεία του ακραίου υπό όρους της συνάρτησης

Z= f(x, y) με την εξίσωση περιορισμού (x, y) = 0, πρέπει να σχηματίσετε μια βοηθητική συνάρτηση

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

Όπου είναι κάποια σταθερά και γράψτε εξισώσεις για να βρείτε τα ακραία σημεία αυτής της συνάρτησης.

Το καθορισμένο σύστημα εξισώσεων παρέχει, κατά κανόνα, μόνο τις απαραίτητες προϋποθέσεις, δηλ. δεν είναι κάθε ζεύγος τιμών x και y που ικανοποιεί αυτό το σύστημα απαραιτήτως ένα υπό όρους ακραίο σημείο. Δεν θα δώσω επαρκείς προϋποθέσεις για ακραίους πόντους υπό όρους. πολύ συχνά το συγκεκριμένο περιεχόμενο του ίδιου του προβλήματος υποδηλώνει ποιο είναι το σημείο που βρέθηκε. Η περιγραφόμενη τεχνική για την επίλυση προβλημάτων για ένα ακρότατο υπό όρους ονομάζεται μέθοδος πολλαπλασιαστών Lagrange.

Μια επαρκής συνθήκη για ένα άκρο μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών

1. Έστω η συνάρτηση συνεχώς διαφορίσιμη σε κάποια γειτονιά του σημείου και έχει συνεχείς επιμέρους παραγώγους δεύτερης τάξης (καθαρές και μικτές).

2. Σημειώστε με την ορίζουσα δεύτερης τάξης

ακραία μεταβλητή συνάρτηση διάλεξης

Θεώρημα

Εάν το σημείο με συντεταγμένες είναι ένα ακίνητο σημείο για τη συνάρτηση, τότε:

Α) Όταν είναι σημείο τοπικού άκρου και, σε τοπικό μέγιστο, - τοπικό ελάχιστο.

Γ) όταν το σημείο δεν είναι τοπικό ακραίο σημείο.

Γ) αν, ίσως και τα δύο.

Απόδειξη

Γράφουμε τον τύπο Taylor για τη συνάρτηση, περιοριζόμαστε σε δύο μέλη:

Εφόσον, σύμφωνα με την συνθήκη του θεωρήματος, το σημείο είναι ακίνητο, οι επιμέρους παράγωγοι δεύτερης τάξης είναι ίσες με μηδέν, δηλ. και. Τότε

Σημαίνω

Τότε η αύξηση της συνάρτησης θα πάρει τη μορφή:

Λόγω της συνέχειας των μερικών παραγώγων δεύτερης τάξης (καθαρές και μικτές), σύμφωνα με την συνθήκη του θεωρήματος σε ένα σημείο, μπορούμε να γράψουμε:

Πού ή? ,

1. Έστω και, δηλ. ή.

2. Πολλαπλασιάζουμε την αύξηση της συνάρτησης και διαιρούμε με, παίρνουμε:

3. Συμπληρώστε την έκφραση σε σγουρές αγκύλες στο πλήρες τετράγωνο του αθροίσματος:

4. Η έκφραση σε σγουρές αγκύλες είναι μη αρνητική, αφού

5. Επομένως, εάν και άρα, και, τότε και, επομένως, σύμφωνα με τον ορισμό, το σημείο είναι ένα σημείο τοπικού ελάχιστου.

6. Αν και σημαίνει, και, τότε, σύμφωνα με τον ορισμό, ένα σημείο με συντεταγμένες είναι ένα τοπικό μέγιστο σημείο.

2. Θεωρήστε ένα τετράγωνο τριώνυμο, το διακριτικό του, .

3. Αν, τότε υπάρχουν σημεία τέτοια ώστε το πολυώνυμο

4. Η συνολική αύξηση της συνάρτησης σε ένα σημείο σύμφωνα με την έκφραση που προκύπτει στο I, γράφουμε με τη μορφή:

5. Λόγω της συνέχειας μερικών παραγώγων δεύτερης τάξης, από την συνθήκη του θεωρήματος σε ένα σημείο, μπορούμε να γράψουμε ότι

Επομένως, υπάρχει μια γειτονιά ενός σημείου τέτοια ώστε, για οποιοδήποτε σημείο, το τετράγωνο τριώνυμο είναι μεγαλύτερο από το μηδέν:

6. Σκεφτείτε - τη γειτονιά του σημείου.

Ας επιλέξουμε οποιαδήποτε τιμή, οπότε αυτό είναι το θέμα. Υποθέτοντας ότι στον τύπο για την αύξηση της συνάρτησης

Τι παίρνουμε:

7. Από τότε.

8. Υποστηρίζοντας παρόμοια για τη ρίζα, παίρνουμε ότι σε οποιαδήποτε -γειτονιά του σημείου υπάρχει ένα σημείο για το οποίο, επομένως, στη γειτονιά του σημείου δεν διατηρεί πρόσημο, επομένως δεν υπάρχει ακρότατο στο σημείο.

Υποθετικό άκρο συνάρτησης δύο μεταβλητών

Κατά την αναζήτηση άκρων μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών, συχνά προκύπτουν προβλήματα που σχετίζονται με το λεγόμενο ακρότατο υπό όρους. Αυτή η έννοια μπορεί να εξηγηθεί με το παράδειγμα μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών.

Έστω μια συνάρτηση και μια ευθεία L στο επίπεδο 0xy. Ο στόχος είναι να βρεθεί ένα τέτοιο σημείο P (x, y) στη γραμμή L, στο οποίο η τιμή της συνάρτησης είναι η μεγαλύτερη ή η μικρότερη σε σύγκριση με τις τιμές αυτής της συνάρτησης στα σημεία της γραμμής L, που βρίσκονται κοντά σε το σημείο P. Τέτοια σημεία P ονομάζονται συναρτήσεις ακραίων σημείων υπό όρους στη γραμμή L. Σε αντίθεση με το συνηθισμένο ακραίο σημείο, η τιμή της συνάρτησης στο ακραίο σημείο υπό όρους συγκρίνεται με τις τιμές της συνάρτησης όχι σε όλα τα σημεία κάποια από τις γειτονιές του, αλλά μόνο σε εκείνες που βρίσκονται στη γραμμή L.

Είναι αρκετά σαφές ότι το σημείο του συνηθισμένου άκρου (λέγουν επίσης το ακρότατο άνευ όρων) είναι επίσης το σημείο του ακραίου υπό όρους για κάθε γραμμή που διέρχεται από αυτό το σημείο. Το αντίστροφο, φυσικά, δεν ισχύει: ένα υπό όρους ακραίο σημείο μπορεί να μην είναι ένα συμβατικό ακραίο σημείο. Ας επεξηγήσουμε αυτό που ειπώθηκε με ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα #1.Το γράφημα της συνάρτησης είναι το άνω ημισφαίριο (Εικ. 2).

Ρύζι. 2.

Αυτή η συνάρτηση έχει ένα μέγιστο στην αρχή. αντιστοιχεί στην κορυφή Μ του ημισφαιρίου. Εάν η ευθεία L είναι μια ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α και Β (η εξίσωσή της), τότε είναι γεωμετρικά σαφές ότι για τα σημεία αυτής της ευθείας η μέγιστη τιμή της συνάρτησης επιτυγχάνεται στο σημείο που βρίσκεται στη μέση μεταξύ των σημείων Α και Β. Αυτή είναι η υπό όρους ακραία (μέγιστο) σημείο συναρτήσεις σε αυτή τη γραμμή. αντιστοιχεί στο σημείο M 1 στο ημισφαίριο, και φαίνεται από το σχήμα ότι εδώ δεν μπορεί να τεθεί θέμα οποιουδήποτε συνηθισμένου άκρου.

Σημειώστε ότι στο τελευταίο μέρος του προβλήματος της εύρεσης των μεγαλύτερων και μικρότερων τιμών μιας συνάρτησης σε μια κλειστή περιοχή, πρέπει να βρείτε τις ακραίες τιμές της συνάρτησης στο όριο αυτής της περιοχής, δηλ. σε κάποια γραμμή, και έτσι λύσει το πρόβλημα για ένα ακραίο υπό όρους.

Ορισμός 1.Λένε ότι όπου υπάρχει ένα υπό όρους ή σχετικό μέγιστο (ελάχιστο) σε ένα σημείο που ικανοποιεί την εξίσωση: εάν για οποιοδήποτε που ικανοποιεί την εξίσωση, η ανισότητα

Ορισμός 2.Μια εξίσωση της μορφής ονομάζεται εξίσωση περιορισμού.

Θεώρημα

Εάν οι συναρτήσεις και είναι συνεχώς διαφοροποιήσιμες σε μια γειτονιά ενός σημείου, και η μερική παράγωγος και το σημείο είναι το σημείο του άκρου υπό όρους της συνάρτησης ως προς την εξίσωση περιορισμού, τότε η ορίζουσα δεύτερης τάξης είναι ίση με μηδέν:

Απόδειξη

1. Εφόσον, σύμφωνα με την συνθήκη του θεωρήματος, τη μερική παράγωγο και την τιμή της συνάρτησης, τότε σε κάποιο ορθογώνιο

ορίζεται άρρητη συνάρτηση

Μια σύνθετη συνάρτηση δύο μεταβλητών σε ένα σημείο θα έχει ένα τοπικό άκρο, επομένως, ή.

2. Πράγματι, σύμφωνα με την ιδιότητα αμετάβλητης του διαφορικού τύπου πρώτης τάξης

3. Η εξίσωση σύνδεσης μπορεί να αναπαρασταθεί με αυτή τη μορφή, που σημαίνει

4. Πολλαπλασιάστε την εξίσωση (2) με, και (3) με και προσθέστε τα

Ως εκ τούτου, στο

αυθαίρετος. h.t.d.

Συνέπεια

Η αναζήτηση για ακραία σημεία υπό όρους συνάρτησης δύο μεταβλητών στην πράξη πραγματοποιείται με την επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων

Άρα, στο παραπάνω παράδειγμα Νο 1 από την εξίσωση επικοινωνίας έχουμε. Από εδώ είναι εύκολο να ελέγξετε τι φτάνει το μέγιστο στο . Στη συνέχεια όμως από την εξίσωση της επικοινωνίας. Παίρνουμε το σημείο P, που βρίσκεται γεωμετρικά.

Παράδειγμα #2.Να βρείτε τα υπό συνθήκη ακραία σημεία της συνάρτησης ως προς την εξίσωση περιορισμού.

Ας βρούμε τις μερικές παραγώγους της δεδομένης συνάρτησης και την εξίσωση σύνδεσης:

Ας κάνουμε μια προσδιοριστική δεύτερης τάξης:

Ας γράψουμε το σύστημα εξισώσεων για την εύρεση υπό όρους ακραίων σημείων:

Επομένως, υπάρχουν τέσσερα ακραία σημεία της συνάρτησης με συντεταγμένες: .

Παράδειγμα #3.Βρείτε τα ακραία σημεία της συνάρτησης.

Εξισώνοντας τις μερικές παραγώγους στο μηδέν: , βρίσκουμε ένα ακίνητο σημείο - την αρχή. Εδώ,. Επομένως, το σημείο (0, 0) δεν είναι ούτε ακραίο σημείο. Η εξίσωση είναι η εξίσωση ενός υπερβολικού παραβολοειδούς (Εικ. 3), το σχήμα δείχνει ότι το σημείο (0, 0) δεν είναι ένα ακραίο σημείο.

Ρύζι. 3.

Η μεγαλύτερη και η μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης σε μια κλειστή περιοχή

1. Αφήστε τη συνάρτηση να είναι καθορισμένη και συνεχής σε ένα περιορισμένο κλειστό πεδίο D.

2. Έστω ότι η συνάρτηση έχει πεπερασμένες μερικές παραγώγους σε αυτήν την περιοχή, εκτός από μεμονωμένα σημεία της περιοχής.

3. Σύμφωνα με το θεώρημα Weierstrass, σε αυτή την περιοχή υπάρχει ένα σημείο στο οποίο η συνάρτηση παίρνει τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή.

4. Αν τα σημεία αυτά είναι εσωτερικά σημεία της περιοχής Δ, τότε είναι προφανές ότι θα έχουν μέγιστο ή ελάχιστο.

5. Σε αυτή την περίπτωση, τα σημεία που μας ενδιαφέρουν είναι από τα ύποπτα σημεία στο άκρο.

6. Ωστόσο, η συνάρτηση μπορεί επίσης να λάβει τη μέγιστη ή την ελάχιστη τιμή στο όριο της περιοχής D.

7. Για να βρείτε τη μεγαλύτερη (μικρότερη) τιμή της συνάρτησης στην περιοχή D, πρέπει να βρείτε όλα τα εσωτερικά σημεία που είναι ύποπτα για ένα άκρο, να υπολογίσετε την τιμή της συνάρτησης σε αυτά και μετά να συγκρίνετε με την τιμή της συνάρτησης στο τα οριακά σημεία της περιοχής και η μεγαλύτερη από όλες τις τιμές που βρέθηκαν θα είναι η μεγαλύτερη στην κλειστή περιοχή D.

8. Η μέθοδος εύρεσης ενός τοπικού μέγιστου ή ελάχιστου εξετάστηκε νωρίτερα στην Ενότητα 1.2. και 1.3.

9. Απομένει να εξετάσουμε τη μέθοδο εύρεσης των μέγιστων και ελάχιστων τιμών της συνάρτησης στο όριο της περιοχής.

10. Στην περίπτωση μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών, η περιοχή συνήθως αποδεικνύεται ότι οριοθετείται από μια καμπύλη ή πολλές καμπύλες.

11. Κατά μήκος μιας τέτοιας καμπύλης (ή πολλών καμπυλών), οι μεταβλητές είτε εξαρτώνται η μία από την άλλη είτε και οι δύο εξαρτώνται από μία παράμετρο.

12. Έτσι, στο όριο, η συνάρτηση αποδεικνύεται ότι εξαρτάται από μία μεταβλητή.

13. Η μέθοδος εύρεσης της μεγαλύτερης τιμής μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής συζητήθηκε νωρίτερα.

14. Έστω το όριο της περιοχής Δ από τις παραμετρικές εξισώσεις:

Τότε σε αυτή την καμπύλη η συνάρτηση δύο μεταβλητών θα είναι μια σύνθετη συνάρτηση της παραμέτρου: . Για μια τέτοια συνάρτηση, η μεγαλύτερη και η μικρότερη τιμή προσδιορίζονται με τη μέθοδο προσδιορισμού της μεγαλύτερης και της μικρότερης τιμής για μια συνάρτηση μιας μεταβλητής.

Ακραίες συναρτήσεων πολλών μεταβλητών. Απαραίτητη προϋπόθεση για εξτρέμ. Επαρκής συνθήκη για εξτρέμ. Ακραίο υπό όρους. Μέθοδος πολλαπλασιαστών Lagrange. Εύρεση των μεγαλύτερων και των μικρότερων τιμών.

Διάλεξη 5

Ορισμός 5.1.Τελεία M 0 (x 0, y 0)που ονομάζεται μέγιστο σημείολειτουργίες z = f(x, y),αν f (x o , y o) > f(x, y)για όλα τα σημεία (x, y) Μ 0.

Ορισμός 5.2.Τελεία M 0 (x 0, y 0)που ονομάζεται ελάχιστο σημείολειτουργίες z = f(x, y),αν f (x o , y o) < f(x, y)για όλα τα σημεία (x, y)από κάποια γειτονιά του σημείου Μ 0.

Παρατήρηση 1. Καλούνται τα μέγιστα και τα ελάχιστα σημεία ακραία σημείασυναρτήσεις πολλών μεταβλητών.

Παρατήρηση 2. Το ακραίο σημείο για μια συνάρτηση οποιουδήποτε αριθμού μεταβλητών ορίζεται με παρόμοιο τρόπο.

Θεώρημα 5.1(απαραίτητες ακραίες συνθήκες). Αν ένα M 0 (x 0, y 0)είναι το ακραίο σημείο της συνάρτησης z = f(x, y),τότε σε αυτό το σημείο οι επιμέρους παράγωγοι πρώτης τάξης αυτής της συνάρτησης είναι ίσες με μηδέν ή δεν υπάρχουν.

Απόδειξη.

Ας διορθώσουμε την τιμή της μεταβλητής στοαρίθμηση y = y 0. Στη συνέχεια η συνάρτηση f(x, y0)θα είναι συνάρτηση μιας μεταβλητής Χ, για το οποίο x = x 0είναι το ακραίο σημείο. Επομένως, από το θεώρημα του Fermat ή δεν υπάρχει. Ο ίδιος ισχυρισμός αποδεικνύεται για .

Ορισμός 5.3.Τα σημεία που ανήκουν στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών, στα οποία οι μερικές παράγωγοι της συνάρτησης είναι ίσες με μηδέν ή δεν υπάρχουν, ονομάζονται ακίνητα σημείααυτή τη λειτουργία.

Σχόλιο. Έτσι, το άκρο μπορεί να επιτευχθεί μόνο σε ακίνητα σημεία, αλλά δεν παρατηρείται απαραίτητα σε καθένα από αυτά.

Θεώρημα 5.2(επαρκείς προϋποθέσεις για εξτρέμ). Αφήστε σε κάποια γειτονιά του σημείου M 0 (x 0, y 0), που είναι ένα ακίνητο σημείο της συνάρτησης z = f(x, y),αυτή η συνάρτηση έχει συνεχείς μερικές παραγώγους μέχρι την 3η τάξη συμπεριλαμβανομένων. Σημειώστε Τότε:

1) f(x, y)έχει στο σημείο Μ 0μέγιστο αν AC-B² > 0, ΕΝΑ < 0;

2) f(x, y)έχει στο σημείο Μ 0ελάχιστο εάν AC-B² > 0, ΕΝΑ > 0;

3) δεν υπάρχει ακρότατο στο κρίσιμο σημείο αν AC-B² < 0;

4) αν AC-B² = 0, απαιτείται πρόσθετη έρευνα.

Απόδειξη.

Ας γράψουμε τον τύπο Taylor δεύτερης τάξης για τη συνάρτηση f(x, y),έχοντας υπόψη ότι σε ένα ακίνητο σημείο, οι μερικές παράγωγοι της πρώτης τάξης είναι ίσες με μηδέν:

που Αν η γωνία μεταξύ του τμήματος Μ 0 Μ, που M (x 0 +Δ x, y 0 +Δ στο), και τον άξονα Ο Χσυμβολίζουμε το φ και μετά το Δ x =Δ ρ συν φ, Δ y=Δρsinφ. Σε αυτήν την περίπτωση, ο τύπος Taylor θα έχει τη μορφή: . Έστω Τότε μπορούμε να διαιρέσουμε και να πολλαπλασιάσουμε την έκφραση σε παρένθεση με ΑΛΛΑ. Παίρνουμε:

Εξετάστε τώρα τέσσερις πιθανές περιπτώσεις:

1) AC-B² > 0, ΕΝΑ < 0. Тогда , и για επαρκώς μικρό Δρ. Επομένως, σε κάποια γειτονιά M 0 f (x 0 + Δ x, y 0 +Δ y)< f(x0, y0), δηλ Μ 0είναι το μέγιστο σημείο.

2) Αφήστε AC-B² > 0, Α > 0.Τότε , και Μ 0είναι το ελάχιστο σημείο.

3) Αφήστε AC-B² < 0, ΕΝΑ> 0. Θεωρήστε την αύξηση των ορισμάτων κατά μήκος της ακτίνας φ = 0. Τότε προκύπτει από το (5.1) ότι , δηλαδή όταν κινείται κατά μήκος αυτής της ακτίνας, η συνάρτηση αυξάνεται. Αν κινηθούμε κατά μήκος μιας ακτίνας έτσι ώστε tg φ 0 \u003d -A / B,τότε , επομένως, όταν κινείται κατά μήκος αυτής της ακτίνας, η συνάρτηση μειώνεται. Το θέμα λοιπόν Μ 0δεν είναι ακραίο σημείο.

3`) Πότε AC-B² < 0, ΕΝΑ < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

παρόμοια με την προηγούμενη.

3``) Αν AC-B² < 0, ΕΝΑ= 0, τότε . Όπου . Στη συνέχεια, για αρκετά μικρό φ, έκφραση 2 σι cos + ντο sinφ κοντά στο 2 ΣΤΟ, δηλαδή διατηρεί σταθερό πρόσημο, και το sinφ αλλάζει πρόσημο στην περιοχή του σημείου Μ 0 .Αυτό σημαίνει ότι η αύξηση της συνάρτησης αλλάζει πρόσημο κοντά στο ακίνητο σημείο, το οποίο επομένως δεν είναι ακραίο σημείο.

4) Αν AC-B² = 0, και , , δηλαδή το πρόσημο της προσαύξησης προσδιορίζεται από το πρόσημο 2α 0 . Ταυτόχρονα, απαιτείται περαιτέρω έρευνα για να διαλευκανθεί το ζήτημα της ύπαρξης ενός ακραίου.

Παράδειγμα. Ας βρούμε τα ακραία σημεία της συνάρτησης z=x² - 2 xy + 2y² + 2 Χ.Για να αναζητήσουμε σταθερά σημεία, λύνουμε το σύστημα . Άρα, το ακίνητο σημείο είναι (-2,-1). Εν Α = 2, ΣΤΟ = -2, Με= 4. Τότε AC-B² = 4 > 0, επομένως, επιτυγχάνεται ένα άκρο στο ακίνητο σημείο, δηλαδή το ελάχιστο (αφού ΕΝΑ > 0).

Ορισμός 5.4.Αν τα ορίσματα συνάρτησης f (x 1 , x 2 ,…, x n)δεσμεύεται από πρόσθετους όρους στο έντυπο Μεξισώσεις ( Μ< n) :

φ 1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, …, φ m ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (5.2)

όπου οι συναρτήσεις φ i έχουν συνεχείς μερικές παραγώγους, τότε καλούνται οι εξισώσεις (5.2). εξισώσεις σύνδεσης.

Ορισμός 5.5.Λειτουργία ακραία f (x 1 , x 2 ,…, x n)υπό τις συνθήκες (5.2) καλείται ακραία υπό όρους.

Σχόλιο. Μπορούμε να προσφέρουμε την ακόλουθη γεωμετρική ερμηνεία του ακρότατου υπό όρους μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών: αφήστε τα ορίσματα της συνάρτησης f(x,y)σχετίζονται με την εξίσωση φ (x, y)= 0, ορίζοντας κάποια καμπύλη στο επίπεδο Ο hu. Έχοντας αποκαταστήσει από κάθε σημείο αυτής της καμπύλης κάθετες στο επίπεδο Ο huπριν διασχίσετε την επιφάνεια z = f (x, y),παίρνουμε μια χωρική καμπύλη που βρίσκεται στην επιφάνεια πάνω από την καμπύλη φ (x, y)= 0. Το πρόβλημα είναι να βρούμε τα ακραία σημεία της καμπύλης που προκύπτει, τα οποία φυσικά στη γενική περίπτωση δεν συμπίπτουν με τα ακραία σημεία της συνάρτησης χωρίς όρους f(x,y).

Ας ορίσουμε τις απαραίτητες ακραίες συνθήκες για μια συνάρτηση δύο μεταβλητών εισάγοντας εκ των προτέρων τον ακόλουθο ορισμό:

Ορισμός 5.6.Λειτουργία L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)

που λ i -κάποιες σταθερές, που ονομάζονται Λειτουργία Lagrange, και τους αριθμούς λi– αόριστους πολλαπλασιαστές Lagrange.

Θεώρημα 5.3(απαραίτητες υπό όρους ακραίες συνθήκες). Υπό όρους ακρότατο της συνάρτησης z = f(x, y)παρουσία της εξίσωσης περιορισμού φ ( x, y)Το = 0 μπορεί να επιτευχθεί μόνο σε σταθερά σημεία της συνάρτησης Lagrange L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).

Απόδειξη. Η εξίσωση περιορισμού ορίζει μια άρρητη εξάρτηση στοαπό Χ, οπότε θα το υποθέσουμε στουπάρχει μια λειτουργία από Χ: y = y(x).Τότε zυπάρχει μια πολύπλοκη λειτουργία Χ, και τα κρίσιμα σημεία του καθορίζονται από την συνθήκη: . (5.4) Από την εξίσωση περιορισμού προκύπτει ότι . (5.5)

Πολλαπλασιάζουμε την ισότητα (5,5) με κάποιον αριθμό λ και την προσθέτουμε στην (5,4). Παίρνουμε:

, ή .

Η τελευταία ισότητα πρέπει να ισχύει σε ακίνητα σημεία, από τα οποία προκύπτει:

(5.6)

Λαμβάνεται ένα σύστημα τριών εξισώσεων για τρεις αγνώστους: x, yκαι λ, με τις δύο πρώτες εξισώσεις να είναι οι συνθήκες για το ακίνητο σημείο της συνάρτησης Lagrange. Εξαιρώντας το βοηθητικό άγνωστο λ από το σύστημα (5.6), βρίσκουμε τις συντεταγμένες των σημείων στα οποία η αρχική συνάρτηση μπορεί να έχει ακρότατο υπό όρους.

Παρατήρηση 1. Η παρουσία ενός ακραίου υπό όρους στο σημείο που βρέθηκε μπορεί να ελεγχθεί μελετώντας τις μερικές παραγώγους δεύτερης τάξης της συνάρτησης Lagrange κατ' αναλογία με το Θεώρημα 5.2.

Παρατήρηση 2. Σημεία στα οποία μπορεί να επιτευχθεί το ακρότατο υπό όρους της συνάρτησης f (x 1 , x 2 ,…, x n)υπό τις συνθήκες (5.2), μπορεί να οριστεί ως λύσεις του συστήματος (5.7)

Παράδειγμα. Βρείτε το ακρότατο υπό όρους της συνάρτησης z = xyδεδομένου ότι x + y= 1. Να συνθέσετε τη συνάρτηση Lagrange L(x, y) = xy + λ (x + y –ένας). Το σύστημα (5.6) τότε μοιάζει με αυτό:

Όπου -2λ=1, λ=-0,5, x = y = -λ = 0,5. Εν L (x, y)μπορεί να αναπαρασταθεί ως L(x, y) = - 0,5 (x-y)² + 0,5 ≤ 0,5, επομένως, στο ευρεθέν ακίνητο σημείο L (x, y)έχει μέγιστο και z = xy -υπό όρους μέγιστο.

Ας εξετάσουμε πρώτα την περίπτωση μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών. Το άκρο υπό όρους της συνάρτησης $z=f(x,y)$ στο σημείο $M_0(x_0;y_0)$ είναι το άκρο αυτής της συνάρτησης, που επιτυγχάνεται υπό την προϋπόθεση ότι οι μεταβλητές $x$ και $y$ στο κοντά σε αυτό το σημείο ικανοποιεί την εξίσωση περιορισμού $\ varphi(x,y)=0$.

Το όνομα "υπό όρους" ακραίο οφείλεται στο γεγονός ότι η πρόσθετη συνθήκη $\varphi(x,y)=0$ επιβάλλεται στις μεταβλητές. Εάν είναι δυνατόν να εκφραστεί μια μεταβλητή ως προς μια άλλη από την εξίσωση σύνδεσης, τότε το πρόβλημα του προσδιορισμού του ακραίου υπό όρους ανάγεται στο πρόβλημα του συνηθισμένου άκρου μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής. Για παράδειγμα, αν $y=\psi(x)$ προκύπτει από την εξίσωση περιορισμού, τότε αντικαθιστώντας το $y=\psi(x)$ σε $z=f(x,y)$, παίρνουμε μια συνάρτηση μιας μεταβλητής $ z=f\αριστερά (x,\psi(x)\right)$. Στη γενική περίπτωση, ωστόσο, αυτή η μέθοδος είναι ελάχιστα χρήσιμη, επομένως απαιτείται ένας νέος αλγόριθμος.

Μέθοδος πολλαπλασιαστών Lagrange για συναρτήσεις δύο μεταβλητών.

Η μέθοδος των πολλαπλασιαστών Lagrange είναι ότι για να βρεθεί το ακρότατο υπό όρους, συντίθεται η συνάρτηση Lagrange: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (η παράμετρος $\lambda Το $ ονομάζεται πολλαπλασιαστής Lagrange). Οι απαραίτητες ακραίες συνθήκες δίνονται από ένα σύστημα εξισώσεων από το οποίο προσδιορίζονται τα ακίνητα σημεία:

$$ \αριστερά \( \begin(στοιχισμένη) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0.\end(ευθυγραμμισμένο)\right.$$

Το σύμβολο $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("" )dy^2$. Εάν σε ένα σταθερό σημείο $d^2F > 0$, τότε η συνάρτηση $z=f(x,y)$ έχει ένα ελάχιστο υπό όρους σε αυτό το σημείο, αλλά αν $d^2F< 0$, то условный максимум.

Υπάρχει ένας άλλος τρόπος για να προσδιοριστεί η φύση του άκρου. Από την εξίσωση περιορισμού παίρνουμε: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, άρα σε οποιοδήποτε ακίνητο σημείο έχουμε:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("")\δεξιά)$$

Ο δεύτερος παράγοντας (που βρίσκεται σε αγκύλες) μπορεί να αναπαρασταθεί με αυτή τη μορφή:

Στοιχεία του $\αριστερά| \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (πίνακας) \right|$ που είναι ο Έσσιος της συνάρτησης Lagrange. Αν $H > 0$ τότε $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >$0, δηλ. έχουμε ένα ελάχιστο υπό όρους της συνάρτησης $z=f(x,y)$.

Σημείωση σχετικά με τη μορφή της ορίζουσας $H$. εμφάνιση απόκρυψη

$$ H=-\left|\begin(array) (cccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ end(array) \right| $$

Σε αυτήν την περίπτωση, ο κανόνας που διατυπώθηκε παραπάνω αλλάζει ως εξής: εάν $H > 0$, τότε η συνάρτηση έχει ένα ελάχιστο υπό όρους και για $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Αλγόριθμος για τη μελέτη μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών για ένα ακρότατο υπό όρους

1. Συνθέστε τη συνάρτηση Lagrange $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
2. Επίλυση συστήματος $ \left \( \begin(στοιχισμένη) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi(x,y)=0.\end(ευθυγραμμισμένο)\right.$
3. Προσδιορίστε τη φύση του άκρου σε καθένα από τα ακίνητα σημεία που βρέθηκαν στην προηγούμενη παράγραφο. Για να το κάνετε αυτό, χρησιμοποιήστε οποιαδήποτε από τις ακόλουθες μεθόδους:
   • Συνθέστε την ορίζουσα $H$ και μάθετε το πρόσημό της
   • Λαμβάνοντας υπόψη την εξίσωση περιορισμού, υπολογίστε το πρόσημο του $d^2F$

Μέθοδος πολλαπλασιαστή Lagrange για συναρτήσεις n μεταβλητών

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια συνάρτηση $n$ μεταβλητών $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ και $m$ εξισώσεις περιορισμού ($n > m$):

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

Δηλώνοντας τους πολλαπλασιαστές Lagrange ως $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, συνθέτουμε τη συνάρτηση Lagrange:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

Οι απαραίτητες προϋποθέσεις για την παρουσία ενός ακραίου υπό όρους δίνονται από ένα σύστημα εξισώσεων από το οποίο βρίσκονται οι συντεταγμένες των ακίνητων σημείων και οι τιμές των πολλαπλασιαστών Lagrange:

$$\αριστερά\(\begin(στοιχισμένη) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(στοίχιση) \right.$$

Μπορείτε να μάθετε εάν μια συνάρτηση έχει ένα υπό όρους ελάχιστο ή ένα υπό όρους μέγιστο στο σημείο που βρέθηκε, όπως πριν, χρησιμοποιώντας το σύμβολο $d^2F$. Εάν στο σημείο που βρέθηκε $d^2F > 0$, τότε η συνάρτηση έχει ένα ελάχιστο υπό όρους, αλλά αν $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Ορίζουσα μήτρας $\left| \begin(array) (cccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\μερική^2F)(\μερική x_(1)\μερική x_(3)) &\ldots & \frac(\μερική^2F)(\μερική x_(1)\μερική x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F )(\μερική x_(2)\μερική x_(3)) &\ldots & \frac(\μερική^2F)(\μερική x_(2)\μερική x_(n))\\ \frac(\μερική^2F )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( πίνακας) \right|$ που επισημαίνεται με κόκκινο στον πίνακα $L$ είναι το Hessian της συνάρτησης Lagrange. Χρησιμοποιούμε τον ακόλουθο κανόνα:

• Εάν τα σημάδια των μικρών γωνιών είναι $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ πίνακες $L$ συμπίπτουν με το πρόσημο του $(-1)^m$, τότε το ακίνητο σημείο υπό μελέτη είναι το υπό όρους ελάχιστο σημείο της συνάρτησης $ z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.
• Εάν τα σημάδια των μικρών γωνιών είναι $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ εναλλάξ και το πρόσημο του δευτερεύοντος $H_(2m+1)$ συμπίπτει με το πρόσημο του αριθμού $(-1)^(m+1 )$, τότε το στάσιμο σημείο που μελετήθηκε είναι το υπό συνθήκη μέγιστο σημείο της συνάρτησης $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.

Παράδειγμα #1

Βρείτε το ακρότατο υπό όρους της συνάρτησης $z(x,y)=x+3y$ υπό την συνθήκη $x^2+y^2=10$.

Η γεωμετρική ερμηνεία αυτού του προβλήματος είναι η εξής: απαιτείται να βρεθεί η μεγαλύτερη και η μικρότερη τιμή της εφαρμογής του επιπέδου $z=x+3y$ για τα σημεία τομής του με τον κύλινδρο $x^2+y^2 =10$.

Είναι κάπως δύσκολο να εκφράσουμε μια μεταβλητή με όρους μιας άλλης από την εξίσωση περιορισμού και να την αντικαταστήσουμε στη συνάρτηση $z(x,y)=x+3y$, επομένως θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο Lagrange.

Δηλώνοντας $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, συνθέτουμε τη συνάρτηση Lagrange:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\μερικό x)=1+2\λάμδα x; \frac(\μερική F)(\μερική y)=3+2\λάμδα y. $$

Ας γράψουμε το σύστημα εξισώσεων για τον προσδιορισμό των ακίνητων σημείων της συνάρτησης Lagrange:

$$ \αριστερά \( \αρχή(στοίχιση) & 1+2\λάμδα x=0;\\ & 3+2\λάμδα y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \τέλος (ευθυγραμμισμένο)\δεξιά.$$

Αν υποθέσουμε $\lambda=0$, τότε η πρώτη εξίσωση γίνεται: $1=0$. Η αντίφαση που προκύπτει λέει ότι $\lambda\neq 0$. Υπό την συνθήκη $\lambda\neq 0$, από την πρώτη και τη δεύτερη εξίσωση έχουμε: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Αντικαθιστώντας τις λαμβανόμενες τιμές στην τρίτη εξίσωση, παίρνουμε:

$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \αριστερά[ \begin(στοιχισμένη) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(aligned) \right.\\ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(ευθυγραμμισμένο) $$

Άρα, το σύστημα έχει δύο λύσεις: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ και $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Ας μάθουμε τη φύση του άκρου σε κάθε ακίνητο σημείο: $M_1(1;3)$ και $M_2(-1;-3)$. Για να γίνει αυτό, υπολογίζουμε την ορίζουσα $H$ σε κάθε ένα από τα σημεία.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\λάμδα;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\λάμδα.\\ H=\αριστερά| \begin(array) (cccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \αριστερά| \begin(array) (cccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (cccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right| $$

Στο σημείο $M_1(1;3)$ έχουμε: $H=8\cdot\left| \begin(array) (cccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (cccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$, άρα στο σημείο $M_1(1;3)$ η συνάρτηση $z(x,y)=x+3y$ έχει μέγιστο υπό όρους, $z_(\max)=z(1;3)=10$.

Ομοίως, στο σημείο $M_2(-1;-3)$ βρίσκουμε: $H=8\cdot\left| \begin(array) (cccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (cccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40$. Από $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

Σημειώνω ότι αντί να υπολογίζουμε την τιμή της ορίζουσας $H$ σε κάθε σημείο, είναι πολύ πιο βολικό να την ανοίγουμε με γενικό τρόπο. Για να μην γεμίσει το κείμενο με λεπτομέρειες, θα κρύψω αυτήν τη μέθοδο κάτω από μια σημείωση.

Ορίζουσα συμβολισμός $H$ σε γενική μορφή. εμφάνιση απόκρυψη

$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$

Κατ' αρχήν, είναι ήδη προφανές ποιο πρόσημο έχει το $H$. Εφόσον κανένα από τα σημεία $M_1$ ή $M_2$ δεν συμπίπτει με την προέλευση, τότε $y^2+x^2>0$. Επομένως, το πρόσημο του $H$ είναι αντίθετο με το πρόσημο του $\lambda$. Μπορείτε επίσης να ολοκληρώσετε τους υπολογισμούς:

$$ \begin(στοίχιση) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40. \end(ευθυγραμμισμένο) $$

Η ερώτηση σχετικά με τη φύση του άκρου στα ακίνητα σημεία $M_1(1;3)$ και $M_2(-1;-3)$ μπορεί να λυθεί χωρίς τη χρήση της ορίζουσας $H$. Βρείτε το πρόσημο $d^2F$ σε κάθε ακίνητο σημείο:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\right) $$

Σημειώνω ότι ο συμβολισμός $dx^2$ σημαίνει ακριβώς $dx$ ανυψώθηκε στη δεύτερη δύναμη, δηλ. $\αριστερά(dx\right)^2$. Επομένως έχουμε: $dx^2+dy^2>0$, οπότε για $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ παίρνουμε $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Απάντηση: στο σημείο $(-1;-3)$ η συνάρτηση έχει ένα ελάχιστο υπό όρους, $z_(\min)=-10$. Στο σημείο $(1;3)$ η συνάρτηση έχει ένα μέγιστο υπό όρους, $z_(\max)=10$

Παράδειγμα #2

Βρείτε το υπό συνθήκη άκρο της συνάρτησης $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ υπό την συνθήκη $x+y=0$.

Ο πρώτος τρόπος (η μέθοδος των πολλαπλασιαστών Lagrange)

Δηλώνοντας $\varphi(x,y)=x+y$ συνθέτουμε τη συνάρτηση Lagrange: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+4x ^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\μερικό F)(\μερικό x)=8x-y+\λάμδα; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(aligned) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0;\\&x+y=0.\end(ευθυγραμμισμένο)\right.$$

Λύνοντας το σύστημα, παίρνουμε: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ και $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)(9 )$ , $\lambda_2=-10$. Έχουμε δύο σταθερά σημεία: $M_1(0;0)$ και $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Ας μάθουμε τη φύση του άκρου σε κάθε ακίνητο σημείο χρησιμοποιώντας την ορίζουσα $H$.

$$ H=\αριστερά| \begin(array) (cccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \αριστερά| \begin(array) (cccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(array) \right|=-10-18y $$

Στο σημείο $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, οπότε σε αυτό το σημείο η συνάρτηση έχει ένα μέγιστο υπό όρους, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

Διερευνούμε τη φύση του άκρου σε κάθε ένα από τα σημεία με διαφορετική μέθοδο, με βάση το πρόσημο $d^2F$:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$

Από την εξίσωση περιορισμού $x+y=0$ έχουμε: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

Εφόσον $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, τότε το $M_1(0;0)$ είναι το υπό όρους ελάχιστο σημείο της συνάρτησης $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$. Ομοίως, $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

Δεύτερος τρόπος

Από την εξίσωση περιορισμού $x+y=0$ παίρνουμε: $y=-x$. Αντικαθιστώντας το $y=-x$ στη συνάρτηση $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, λαμβάνουμε κάποια συνάρτηση της μεταβλητής $x$. Ας συμβολίσουμε αυτή τη συνάρτηση ως $u(x)$:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

Έτσι, μειώσαμε το πρόβλημα της εύρεσης του ακραίου άκρου μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών στο πρόβλημα του προσδιορισμού του άκρου μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ;y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\;y_2=-x_2=-\frac(10)(9).$$

Πήρα πόντους $M_1(0;0)$ και $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Περαιτέρω έρευνα είναι γνωστή από την πορεία του διαφορικού λογισμού των συναρτήσεων μιας μεταβλητής. Εξετάζοντας το πρόσημο του $u_(xx)^("")$ σε κάθε ακίνητο σημείο ή ελέγχοντας την αλλαγή του πρόσημου του $u_(x)^(")$ στα σημεία που βρέθηκαν, βγάζουμε τα ίδια συμπεράσματα όπως στην πρώτη λύση Για παράδειγμα, επιλέξτε το σύμβολο $u_(xx)^("")$:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10,$$

Εφόσον $u_(xx)^("")(M_1)>0$, τότε το $M_1$ είναι το ελάχιστο σημείο της συνάρτησης $u(x)$, ενώ το $u_(\min)=u(0)=0 $ . Από $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

Οι τιμές της συνάρτησης $u(x)$ κάτω από τη δεδομένη συνθήκη σύνδεσης συμπίπτουν με τις τιμές της συνάρτησης $z(x,y)$, δηλ. τα άκρα που βρέθηκαν της συνάρτησης $u(x)$ είναι τα επιθυμητά ακρότατα υπό όρους της συνάρτησης $z(x,y)$.

Απάντηση: στο σημείο $(0;0)$ η συνάρτηση έχει ένα ελάχιστο υπό όρους, $z_(\min)=0$. Στο σημείο $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ η συνάρτηση έχει ένα μέγιστο υπό όρους, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.

Ας εξετάσουμε ένα ακόμη παράδειγμα, στο οποίο ανακαλύπτουμε τη φύση του άκρου προσδιορίζοντας το πρόσημο του $d^2F$.

Παράδειγμα #3

Βρείτε τις μέγιστες και ελάχιστες τιμές της συνάρτησης $z=5xy-4$ εάν οι μεταβλητές $x$ και $y$ είναι θετικές και ικανοποιούν την εξίσωση περιορισμού $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1=0$.

Συνθέστε τη συνάρτηση Lagrange: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Βρείτε τα ακίνητα σημεία της συνάρτησης Lagrange:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\λάμδα x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\λάμδα y.\\ \αριστερά \( \begin(στοίχιση) & 5y+\frac(\λάμδα x)(4)=0;\\ & 5x+\λάμδα y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \; y > 0. \end(ευθυγραμμισμένο) \δεξιά.$$

Όλοι οι περαιτέρω μετασχηματισμοί πραγματοποιούνται λαμβάνοντας υπόψη $x > 0. \; y > 0$ (αυτό ορίζεται στην συνθήκη του προβλήματος). Από τη δεύτερη εξίσωση, εκφράζουμε $\lambda=-\frac(5x)(y)$ και αντικαθιστούμε την τιμή που βρέθηκε στην πρώτη εξίσωση: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)( 4)=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Αντικαθιστώντας $x=2y$ στην τρίτη εξίσωση, παίρνουμε: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$.

Αφού $y=1$, τότε $x=2$, $\lambda=-10$. Η φύση του άκρου στο σημείο $(2;1)$ καθορίζεται από το πρόσημο $d^2F$.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\λάμδα. $$

Εφόσον $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, τότε:

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

Κατ' αρχήν, εδώ μπορείτε να αντικαταστήσετε αμέσως τις συντεταγμένες του ακίνητου σημείου $x=2$, $y=1$ και την παράμετρο $\lambda=-10$, λαμβάνοντας έτσι:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \δεξιά)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

Ωστόσο, σε άλλα προβλήματα για ένα ακραίο υπό όρους, μπορεί να υπάρχουν πολλά ακίνητα σημεία. Σε τέτοιες περιπτώσεις, είναι καλύτερο να αναπαραστήσετε το $d^2F$ σε μια γενική μορφή και, στη συνέχεια, να αντικαταστήσετε τις συντεταγμένες καθενός από τα στάσιμα σημεία που βρέθηκαν στην έκφραση που προκύπτει:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\λάμδα) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\λάμδα \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$

Αντικαθιστώντας τα $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, παίρνουμε:

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

Αφού $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

Απάντηση: στο σημείο $(2;1)$ η συνάρτηση έχει ένα μέγιστο υπό όρους, $z_(\max)=6$.

Στο επόμενο μέρος, θα εξετάσουμε την εφαρμογή της μεθόδου Lagrange για συναρτήσεις μεγαλύτερου αριθμού μεταβλητών.