Σύγκριση ρητών αριθμών με ίδια πρόσημα. Σύγκριση ρητών αριθμών

Συνεχίζουμε να μελετάμε τους ορθολογικούς αριθμούς. ΣΤΟ αυτό το μάθημαθα μάθουμε να τα συγκρίνουμε.

Από τα προηγούμενα μαθήματα, μάθαμε ότι όσο πιο δεξιά βρίσκεται ο αριθμός στη γραμμή συντεταγμένων, τόσο μεγαλύτερος είναι. Και κατά συνέπεια, όσο πιο αριστερά βρίσκεται ο αριθμός στη γραμμή συντεταγμένων, τόσο μικρότερος είναι.

Για παράδειγμα, αν συγκρίνετε τους αριθμούς 4 και 1, τότε μπορείτε να απαντήσετε αμέσως ότι το 4 είναι μεγαλύτερο από το 1. Αυτή είναι μια απολύτως λογική δήλωση και όλοι θα συμφωνήσουν με αυτό.

Η απόδειξη είναι η γραμμή συντεταγμένων. Δείχνει ότι τα τέσσερα βρίσκονται στα δεξιά της μονάδας

Για αυτή την περίπτωση, υπάρχει ένας κανόνας που μπορείτε να χρησιμοποιήσετε αν θέλετε. Μοιάζει με αυτό:

Από δύο θετικούς αριθμούς, ο αριθμός με το μεγαλύτερο συντελεστή είναι μεγαλύτερος.

Για να απαντήσετε στην ερώτηση ποιος αριθμός είναι μεγαλύτερος και ποιος μικρότερος, πρέπει πρώτα να βρείτε τις ενότητες αυτών των αριθμών, να συγκρίνετε αυτές τις ενότητες και, στη συνέχεια, να απαντήσετε στην ερώτηση.

Για παράδειγμα, ας συγκρίνουμε τους ίδιους αριθμούς 4 και 1 εφαρμόζοντας τον παραπάνω κανόνα

Βρείτε ενότητες αριθμών:

|4| = 4

|1| = 1

Συγκρίνετε τις ενότητες που βρέθηκαν:

4 > 1

Απαντάμε στο ερώτημα:

4 > 1

Για αρνητικοί αριθμοίυπάρχει ένας άλλος κανόνας, μοιάζει με αυτό:

Από δύο αρνητικούς αριθμούς, αυτός του οποίου το μέτρο είναι μικρότερος είναι μεγαλύτερος.

Για παράδειγμα, ας συγκρίνουμε τους αριθμούς −3 και −1

Βρείτε ενότητες αριθμών

|−3| = 3

|−1| = 1

Συγκρίνετε τις ενότητες που βρέθηκαν:

3 > 1

Απαντάμε στο ερώτημα:

−3 < −1

Μην συγχέετε το μέτρο συντελεστή ενός αριθμού με τον ίδιο τον αριθμό. Ένα συνηθισμένο λάθος που κάνουν πολλοί αρχάριοι. Για παράδειγμα, εάν το μέτρο του αριθμού −3 είναι μεγαλύτερο από το μέτρο του αριθμού −1, αυτό δεν σημαίνει ότι ο αριθμός −3 είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό −1.

Ο αριθμός -3 είναι μικρότερος από τον αριθμό -1. Αυτό μπορεί να γίνει κατανοητό χρησιμοποιώντας τη γραμμή συντεταγμένων

Μπορεί να φανεί ότι ο αριθμός -3 βρίσκεται πιο αριστερά από το -1. Και ξέρουμε ότι όσο πιο αριστερά, τόσο λιγότερο.

Εάν συγκρίνετε έναν αρνητικό αριθμό με έναν θετικό, τότε η απάντηση θα υποδηλωθεί από μόνη της. Κάθε αρνητικός αριθμός θα είναι μικρότερος από οποιονδήποτε θετικό αριθμό. Για παράδειγμα, το −4 είναι μικρότερο από το 2

Μπορεί να φανεί ότι το -4 βρίσκεται πιο αριστερά από το 2. Και ξέρουμε ότι "όσο πιο αριστερά, τόσο λιγότερο."

Εδώ, πρώτα απ 'όλα, πρέπει να εξετάσετε τα σημάδια των αριθμών. Ένα μείον μπροστά από έναν αριθμό θα υποδηλώνει ότι ο αριθμός είναι αρνητικός. Εάν δεν υπάρχει σημάδι του αριθμού, τότε ο αριθμός είναι θετικός, αλλά μπορείτε να το σημειώσετε για σαφήνεια. Θυμηθείτε ότι αυτό είναι ένα σύμβολο συν

Θεωρήσαμε ως παράδειγμα ακέραιους αριθμούς της μορφής -4, -3 -1, 2. Δεν είναι δύσκολο να συγκρίνουμε τέτοιους αριθμούς, καθώς και να τους απεικονίσουμε σε μια γραμμή συντεταγμένων.

Είναι πολύ πιο δύσκολο να συγκρίνουμε άλλα είδη αριθμών, όπως κλάσματα, μικτούς αριθμούςκαι δεκαδικά, μερικά από τα οποία είναι αρνητικά. Εδώ, κυρίως, θα πρέπει να εφαρμόσετε τους κανόνες, επειδή δεν είναι πάντα δυνατό να απεικονίσετε με ακρίβεια τέτοιους αριθμούς στη γραμμή συντεταγμένων. Σε ορισμένες περιπτώσεις, ο αριθμός θα χρειαστεί για να γίνει πιο εύκολη η σύγκριση και η κατανόηση.

Παράδειγμα 1Συγκρίνετε ρητούς αριθμούς

Επομένως, απαιτείται η σύγκριση ενός αρνητικού αριθμού με έναν θετικό. Κάθε αρνητικός αριθμός είναι μικρότερος από οποιονδήποτε θετικό αριθμό. Επομένως, χωρίς να χάνουμε χρόνο, απαντάμε ότι είναι λιγότερο από

Παράδειγμα 2

Θέλετε να συγκρίνετε δύο αρνητικούς αριθμούς. Από δύο αρνητικούς αριθμούς, τόσο μεγαλύτερος είναι αυτός του οποίου το μέτρο είναι μικρότερο.

Βρείτε ενότητες αριθμών:

Συγκρίνετε τις ενότητες που βρέθηκαν:

Παράδειγμα 3Συγκρίνετε τους αριθμούς 2,34 και

Θέλετε να συγκρίνετε έναν θετικό αριθμό με έναν αρνητικό. Κάθε θετικός αριθμός είναι μεγαλύτερος από οποιονδήποτε αρνητικό αριθμό. Επομένως, χωρίς να χάνουμε χρόνο, απαντάμε ότι το 2,34 είναι μεγαλύτερο από

Παράδειγμα 4Συγκρίνετε ρητούς αριθμούς και

Βρείτε ενότητες αριθμών:

Συγκρίνετε τις ενότητες που βρέθηκαν. Αλλά πρώτα, ας τα φέρουμε καταληπτόςγια να διευκολύνουμε τη σύγκριση, δηλαδή, μεταφράζουμε σε ακατάλληλα κλάσματα και μειώνουμε σε κοινό παρονομαστή

Σύμφωνα με τον κανόνα, από δύο αρνητικούς αριθμούς, τόσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός του οποίου ο συντελεστής είναι μικρότερος. Άρα ο ορθολογικός είναι μεγαλύτερος από επειδή ο συντελεστής του αριθμού είναι μικρότερος από τον συντελεστή του αριθμού

Παράδειγμα 5

Θέλετε να συγκρίνετε το μηδέν με έναν αρνητικό αριθμό. Το μηδέν είναι μεγαλύτερο από κάθε αρνητικό αριθμό, οπότε χωρίς να χάνουμε χρόνο απαντάμε ότι το 0 είναι μεγαλύτερο από

Παράδειγμα 6Συγκρίνετε ρητούς αριθμούς 0 και

Απαιτείται η σύγκριση του μηδέν με έναν θετικό αριθμό. Το μηδέν είναι μικρότερο από κάθε θετικό αριθμό, οπότε χωρίς να χάνουμε χρόνο απαντάμε ότι το 0 είναι μικρότερο από

Παράδειγμα 7. Συγκρίνετε τους ορθολογικούς αριθμούς 4,53 και 4,403

Απαιτείται η σύγκριση δύο θετικών αριθμών. Από δύο θετικούς αριθμούς, ο αριθμός με το μεγαλύτερο συντελεστή είναι μεγαλύτερος.

Ας κάνουμε τον αριθμό των ψηφίων μετά την υποδιαστολή ίδιο και στα δύο κλάσματα. Για να γίνει αυτό, στο κλάσμα 4,53, προσθέστε ένα μηδέν στο τέλος

Βρείτε ενότητες αριθμών

Συγκρίνετε τις ενότητες που βρέθηκαν:

Σύμφωνα με τον κανόνα, από δύο θετικούς αριθμούς, ο μεγαλύτερος αριθμός είναι αυτός του οποίου το μέτρο είναι μεγαλύτερο. Άρα ο ρητός αριθμός 4,53 είναι μεγαλύτερος από 4,403 επειδή ο συντελεστής μέτρησης 4,53 είναι μεγαλύτερος από τον συντελεστή 4,403

Παράδειγμα 8Συγκρίνετε ρητούς αριθμούς και

Θέλετε να συγκρίνετε δύο αρνητικούς αριθμούς. Από δύο αρνητικούς αριθμούς, αυτός του οποίου το μέτρο είναι μικρότερος είναι μεγαλύτερος.

Βρείτε ενότητες αριθμών:

Συγκρίνετε τις ενότητες που βρέθηκαν. Αλλά πρώτα, ας τα φέρουμε σε μια κατανοητή μορφή, ώστε να είναι ευκολότερη η σύγκριση, δηλαδή, θα μεταφράσουμε τον μικτό αριθμό σε ακατάλληλο κλάσμα, τότε φέρνουμε και τα δύο κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή:

Σύμφωνα με τον κανόνα, από δύο αρνητικούς αριθμούς, τόσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός του οποίου ο συντελεστής είναι μικρότερος. Άρα ο ορθολογικός είναι μεγαλύτερος από επειδή ο συντελεστής του αριθμού είναι μικρότερος από τον συντελεστή του αριθμού

Η σύγκριση δεκαδικών είναι πολύ πιο εύκολη από τη σύγκριση κοινών κλασμάτων και μικτών αριθμών. Σε ορισμένες περιπτώσεις, κοιτάζοντας το ακέραιο μέρος ενός τέτοιου κλάσματος, μπορείτε να απαντήσετε αμέσως στην ερώτηση ποιο κλάσμα είναι μεγαλύτερο και ποιο μικρότερο.

Για να γίνει αυτό, πρέπει να συγκρίνετε τις μονάδες των ακέραιων τμημάτων. Αυτό θα σας επιτρέψει να απαντήσετε γρήγορα στην ερώτηση στο πρόβλημα. Εξάλλου, όπως γνωρίζετε, τα ακέραια μέρη στα δεκαδικά κλάσματα έχουν βάρος μεγαλύτερο από τα κλασματικά.

Παράδειγμα 9Συγκρίνετε τους ορθολογικούς αριθμούς 15,4 και 2,1256

Το μέτρο του ακέραιου μέρους του κλάσματος 15,4 είναι μεγαλύτερο από το μέτρο του ακέραιου μέρους του κλάσματος 2,1256

άρα το κλάσμα 15,4 είναι μεγαλύτερο από το κλάσμα 2,1256

15,4 > 2,1256

Με άλλα λόγια, δεν χρειάστηκε να ξοδέψουμε χρόνο προσθέτοντας μηδενικά στο κλάσμα 15,4 και συγκρίνοντας τα κλάσματα που προέκυψαν όπως οι συνηθισμένοι αριθμοί.

154000 > 21256

Οι κανόνες σύγκρισης παραμένουν οι ίδιοι. Στην περίπτωσή μας συγκρίναμε θετικούς αριθμούς.

Παράδειγμα 10Συγκρίνετε ρητικούς αριθμούς −15,2 και −0,152

Θέλετε να συγκρίνετε δύο αρνητικούς αριθμούς. Από δύο αρνητικούς αριθμούς, αυτός του οποίου το μέτρο είναι μικρότερος είναι μεγαλύτερος. Αλλά θα συγκρίνουμε μόνο ενότητες ακέραιων τμημάτων

Βλέπουμε ότι το μέτρο του ακέραιου μέρους του κλάσματος −15,2 είναι μεγαλύτερο από το μέτρο του ακέραιου μέρους του κλάσματος −0,152.

Αυτό σημαίνει ότι το ορθολογικό −0,152 είναι μεγαλύτερο από −15,2 επειδή το μέτρο του ακέραιου μέρους του −0,152 είναι μικρότερο από το μέτρο του ακέραιου μέρους του −15,2

−0,152 > −15,2

Παράδειγμα 11.Συγκρίνετε ρητικούς αριθμούς −3,4 και −3,7

Θέλετε να συγκρίνετε δύο αρνητικούς αριθμούς. Από δύο αρνητικούς αριθμούς, αυτός του οποίου το μέτρο είναι μικρότερος είναι μεγαλύτερος. Αλλά θα συγκρίνουμε μόνο ενότητες ολόκληρων τμημάτων. Αλλά το πρόβλημα είναι ότι οι συντελεστές των ακεραίων είναι ίσοι:

Σε αυτήν την περίπτωση, θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε την παλιά μέθοδο: βρείτε ενότητες ρητοί αριθμοίκαι συγκρίνετε αυτές τις ενότητες

Συγκρίνετε τις ενότητες που βρέθηκαν:

Σύμφωνα με τον κανόνα, από δύο αρνητικούς αριθμούς, τόσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός του οποίου ο συντελεστής είναι μικρότερος. Άρα το ορθολογικό −3,4 είναι μεγαλύτερο από −3,7 επειδή το μέτρο του −3,4 είναι μικρότερο από το μέτρο του −3,7

−3,4 > −3,7

Παράδειγμα 12.Συγκρίνετε ρητούς αριθμούς 0,(3) και

Απαιτείται η σύγκριση δύο θετικών αριθμών. Και συγκρίνετε ένα περιοδικό κλάσμα με ένα απλό κλάσμα.

Ας μεταφράσουμε το περιοδικό κλάσμα 0, (3) σε ένα συνηθισμένο κλάσμα και ας το συγκρίνουμε με το κλάσμα . Αφού μετατραπεί το περιοδικό κλάσμα 0, (3) σε συνηθισμένο κλάσμα, μετατρέπεται σε κλάσμα

Βρείτε ενότητες αριθμών:

Συγκρίνετε τις ενότητες που βρέθηκαν. Αλλά πρώτα, ας τα φέρουμε σε μια κατανοητή μορφή, ώστε να είναι ευκολότερη η σύγκριση, δηλαδή, θα τα φέρουμε σε έναν κοινό παρονομαστή:

Σύμφωνα με τον κανόνα, από δύο θετικούς αριθμούς, ο μεγαλύτερος αριθμός είναι αυτός του οποίου το μέτρο είναι μεγαλύτερο. Άρα ο ρητός αριθμός είναι μεγαλύτερος από 0,(3) γιατί το μέτρο του αριθμού είναι μεγαλύτερο από το μέτρο του αριθμού 0,(3)

Σας άρεσε το μάθημα;
Γίνετε μέλος μας νέα ομάδα Vkontakte και αρχίστε να λαμβάνετε ειδοποιήσεις για νέα μαθήματα

Πρόοδος: σχεδιάστε μια γραμμή συντεταγμένων. Χρησιμοποιήστε τη γραμμή συντεταγμένων για να συγκρίνετε αριθμούς:
Συμπληρώστε τον πίνακα:
Παράδειγμα
7 και 5
5 και 0
7 και 0
4 και 6
9 και 10
8 και 3
Συγκρίνω
ενότητες
Σημάδι μεγάλου αριθμού
μονάδα μέτρησης
­
­
­
|4| |6|
|9| |10|
|8| |3|
­
­
­
Απάντηση
7 5
5 0
7 0
4 6
9 10
8 3


________________________________________________________________________________________

σημάδια
Περισσότερο ______ ________ ________;

Ομάδα εργαστηρίου και πρακτικής εργασίας 2.
Θέμα: "Σύγκριση ρητών αριθμών"
Εργασία: Να εξάγετε έναν κανόνα σύγκρισης ρητών αριθμών.
Πρόοδος: Χρησιμοποιώντας την κλίμακα του θερμομέτρου, συγκρίνετε τους αριθμούς:
Συμπληρώστε τον πίνακα:
Παράδειγμα
7 και 5
5 και 0
7 και 0
4 και 6
9 και 10
8 και 3
Συγκρίνω
ενότητες
Σημάδι μεγάλου αριθμού
μονάδα μέτρησης
­
­
­
|4| |6|
|9| |10|
|8| |3|
­
­
­
Απάντηση
7 5
5 0
7 0
4 6
9 10
8 3
Δώστε προσοχή στις ενότητες των συγκριτικών αριθμών.
Συμπέρασμα: από δύο θετικούς αριθμούς, περισσότερους από τότε
________________________________________________________________________________________
Βγάλτε ένα συμπέρασμα: από δύο αρνητικούς αριθμούς, περισσότερους από τότε
________________________________________________________________________________________
θετικός αριθμός αρνητικός

Με βάση τα αποτελέσματά σας, συγκρίνετε:
36 (33) 92 12 15 (18) 44 56
Προσπαθήστε να διατυπώσετε έναν κανόνα για τη σύγκριση αριθμών με διαφορετικά σημάδια: δύο αριθμών με διαφορετικά πρόσημα
Περισσότερο ______ ________ ________;

Προσπαθήστε να διατυπώσετε έναν κανόνα σύγκρισης αριθμών με αρνητικά πρόσημα: από δύο αριθμούς με αρνητικό
σημάδια
Περισσότερο ______ ________ ________;
Ομάδα εργαστηριακής και πρακτικής εργασίας 1.
Θέμα: "Σύγκριση ρητών αριθμών"
Εργασία: Να εξάγετε έναν κανόνα σύγκρισης ρητών αριθμών.
Πρόοδος: Χρησιμοποιώντας τις έννοιες του εισοδήματος και του χρέους, συγκρίνετε τους αριθμούς:
Συμπληρώστε τον πίνακα:
Παράδειγμα
7 και 5
5 και 0
7 και 0
4 και 6
9 και 10
8 και 3
Συγκρίνω
ενότητες
Σημάδι μεγάλου αριθμού
μονάδα μέτρησης
­
­
­
|4| |6|
|9| |10|
|8| |3|
­
­
­
Απάντηση
7 5
5 0
7 0
4 6
9 10
8 3
Δώστε προσοχή στις ενότητες των συγκριτικών αριθμών.
Συμπέρασμα: από δύο θετικούς αριθμούς, περισσότερους από τότε
________________________________________________________________________________________
Βγάλτε ένα συμπέρασμα: από δύο αρνητικούς αριθμούς, περισσότερους από τότε
________________________________________________________________________________________
θετικός αριθμός αρνητικός

Με βάση τα αποτελέσματά σας, συγκρίνετε:
36 (33) 92 12 15 (18) 44 56

Προσπαθήστε να διατυπώσετε έναν κανόνα για τη σύγκριση αριθμών με διαφορετικά πρόσημα: από δύο αριθμούς με διαφορετικά πρόσημα
Περισσότερο ______ ________ ________;
Προσπαθήστε να διατυπώσετε έναν κανόνα σύγκρισης αριθμών με αρνητικά πρόσημα: από δύο αριθμούς με αρνητικό
σημάδια
Περισσότερο ______ ________ ________;
Ομάδα εργαστηριακής και πρακτικής εργασίας 1.
Θέμα: "Σύγκριση ρητών αριθμών"
Εργασία: Να εξάγετε έναν κανόνα σύγκρισης ρητών αριθμών.
Πρόοδος: Χρησιμοποιώντας την έννοια της νίκης και της ήττας, συγκρίνετε τους αριθμούς:
Συμπληρώστε τον πίνακα:
Παράδειγμα
7 και 5
5 και 0
7 και 0
4 και 6
9 και 10
8 και 3
Συγκρίνω
ενότητες
Σημάδι μεγάλου αριθμού
μονάδα μέτρησης
­
­
­
|4| |6|
|9| |10|
|8| |3|
­
­
­
Απάντηση
7 5
5 0
7 0
4 6
9 10
8 3
Δώστε προσοχή στις ενότητες των συγκριτικών αριθμών.
Συμπέρασμα: από δύο θετικούς αριθμούς, περισσότερους από τότε
________________________________________________________________________________________
Βγάλτε ένα συμπέρασμα: από δύο αρνητικούς αριθμούς, περισσότερους από τότε
________________________________________________________________________________________
θετικός αριθμός αρνητικός

Με βάση τα αποτελέσματά σας, συγκρίνετε:
36 (33) 92 12 15 (18) 44 56
Προσπαθήστε να διατυπώσετε έναν κανόνα για τη σύγκριση αριθμών με διαφορετικά πρόσημα: από δύο αριθμούς με διαφορετικά πρόσημα
Περισσότερο ______ ________ ________;
Προσπαθήστε να διατυπώσετε έναν κανόνα σύγκρισης αριθμών με αρνητικά πρόσημα: από δύο αριθμούς με αρνητικό
σημάδια
Περισσότερο ______ ________ ________;
1. Οργ. στιγμή.
2. Κίνητρα μαθήματος.
Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων.
Έχετε ακούσει τη φράση «Όλα είναι γνωστά σε σύγκριση» περισσότερες από μία φορές. Πράγματι, το να αξιολογήσεις κάτι, είτε είναι καλό είτε κακό, μπορεί μόνο να συγκριθεί
κάποιο άλλο. Για παράδειγμα, η Νατάσα έλαβε ένα "5" για τη δουλειά της στον πίνακα. Είναι καλό ή κακό αυτό;
Είναι μεγάλο μολύβι ή μικρό; Μπορείτε να συγκρίνετε αντικείμενα μόνο σε μια συγκεκριμένη βάση.
Για παράδειγμα: γλυκό παγωτό και αρνητικοί αριθμοί;
Και είναι απαραίτητο να συγκρίνουμε μαθηματικά αντικείμενα, γιατί μόνο σε σύγκριση γνωρίζουμε τα περισσότερα σημαντικές ιδιότητες, τα μελετάμε.
Και σήμερα θα συνεχίσουμε να μελετάμε τους ορθολογικούς αριθμούς.
3. Πραγματοποίηση βασικών γνώσεων.
Τι θέμα περνάμε;
Χωρίς να γνωρίζουμε για αρνητικούς αριθμούς, τους έχουμε ήδη συναντήσει στη ζωή, σε ποιες καταστάσεις;
Πώς διατάσσονται οι θετικοί και οι αρνητικοί αριθμοί σε μια γραμμή συντεταγμένων;

Πώς να σχεδιάσετε μια γραμμή συντεταγμένων;
Τι είναι αρνητικός αριθμός;
Ποιο είναι το μέτρο συντελεστή ενός αριθμού;
Ο συντελεστής του οποίου ο αριθμός είναι μεγαλύτερος: 3 ή 2; 6 ή -4. Ποιος αριθμός είναι μεγαλύτερος;
Ποιος συντελεστής αριθμών είναι -20;
Για τους αριθμούς 8, 4, 2/3, 0, σηκώστε το αντίθετο και αντιστρέψτε.
Ποιους αριθμούς ονομάζουμε ορθολογικούς;
Ποιους αριθμούς συνάντησαν για πρώτη φορά οι άνθρωποι και γιατί προέκυψαν άλλοι αριθμοί;
(11), +(7), (+3)
Τι περισσότερο και γιατί: 0 ή 7; 3 ή 29;
Υπαγόρευση μαθηματικών:
Γράψε χρησιμοποιώντας ρητούς αριθμούς:
1. Ο Κόλια έχασε το πορτοφόλι του με 150 ρούβλια. (150)
2. Σήμερα το πρωί ήταν 150 παγετός (15)
3. Θερμοκρασία σώματος κοτόπουλου 400 (400)
4. Το χειμώνα στο Khandyga υπάρχουν 580 παγετοί (580)
5. Και το καλοκαίρι φτάνει τα 350 (+350)
6. Το ύψος του όρους Kozbek είναι 5033 m (5033)
7. Το ύψος του βαθύ μέρος Ειρηνικός ωκεανός 11022m (11022)

8. Η μαμά έλαβε ένα μπόνους 300 ρούβλια. (+300)
9. Η Σάσα μεγάλωσε κατά 3 εκατοστά (+3)
10. Ο πάγος στο ποτάμι έχει γίνει πιο λεπτός κατά 8 cm (8)
11. Οι τουρίστες σταμάτησαν σε απόσταση 40 χλμ. και μετά συνέχισαν το ταξίδι τους με ταχύτητα 3 χλμ./ώρα. Στο πόλο με τι σήμα θα είναι
να είσαι τουρίστες σε 2 ώρες;
Αποφασίζω:
α) |x| = 3; β) |z| = 2; γ) |α| = 8; δ) |γ| = 6; ε) |m| = 0; ε) |n| = 0;

Στο άρθρο, θα εξετάσουμε τα κύρια σημεία σχετικά με το θέμα της σύγκρισης ρητών αριθμών. Ας μελετήσουμε το σχήμα σύγκρισης αριθμών με διάφορα σημάδια, συγκρίσεις του μηδενός με οποιονδήποτε ρητό αριθμό, και θα αναλύσουμε πιο αναλυτικά τη σύγκριση θετικών ρητών αριθμών και τη σύγκριση αρνητικών ρητών αριθμών. Θα εμπεδώσουμε όλη τη θεωρία με πρακτικά παραδείγματα.

Σύγκριση ρητών αριθμών με διαφορετικά πρόσημα

Η σύγκριση δεδομένων αριθμών με διαφορετικά πρόσημα είναι απλή και προφανής.

Ορισμός 1

Κάθε θετικός αριθμός είναι μεγαλύτερος από οποιονδήποτε αρνητικός αριθμός και οποιοσδήποτε αρνητικός αριθμός είναι μικρότερος από οποιονδήποτε θετικό αριθμό.

Ας φέρουμε απλά παραδείγματαγια απεικόνιση: από δύο ορθολογικούς αριθμούς 4 7 και - 0, 13 περισσότερος αριθμός 4 7, γιατί είναι θετικό. Κατά τη σύγκριση των αριθμών - 6 . 53 και 0 . 00 (1) είναι προφανές ότι ο αριθμός - 6 . 53 είναι μικρότερος, επειδή είναι αρνητικό.

Συγκρίνοντας έναν ρητό αριθμό με το μηδέν

Ορισμός 2

Οποιοσδήποτε θετικός αριθμός Πάνω απο το μηδέν; κάθε αρνητικός αριθμός είναι μικρότερος από το μηδέν.

Απλά παραδείγματα για σαφήνεια: ο αριθμός 1 4 είναι μεγαλύτερος από 0 . Από την άλλη πλευρά, το 0 είναι μικρότερο από

αριθμός 1 4. Ο αριθμός - 6,57 είναι μικρότερος από το μηδέν, από την άλλη πλευρά, το μηδέν είναι μεγαλύτερο από τον αριθμό - 6,57.

Ξεχωριστά, πρέπει να ειπωθεί για τη σύγκριση του μηδέν με το μηδέν: το μηδέν είναι ίσο με το μηδέν, δηλ. 0 = 0.

Αξίζει επίσης να διευκρινιστεί ότι ο αριθμός μηδέν μπορεί να αναπαρασταθεί σε μορφή διαφορετική από το 0 . Το μηδέν θα αντιστοιχεί σε οποιαδήποτε καταχώρηση της μορφής 0 n (n είναι οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός) ή 0 , 0 , 0 , 00 , … , μέχρι 0 , (0) . Έτσι, συγκρίνοντας δύο ρητούς αριθμούς που έχουν καταχωρήσεις, για παράδειγμα, 0 , 00 και 0 3 , συμπεραίνουμε ότι είναι ίσοι, επειδή αυτές οι εγγραφές αντιστοιχούν στον ίδιο αριθμό - μηδέν.

Σύγκριση θετικών ρητών αριθμών

Εκτελώντας τη δράση της σύγκρισης θετικών ρητών αριθμών, πρέπει πρώτα να συγκρίνετε τα ακέραια μέρη τους.

Ορισμός 3

Ο μεγαλύτερος αριθμός είναι αυτός που ολόκληρο μέροςπερισσότερο. Κατά συνέπεια, ο μικρότερος αριθμός είναι το ακέραιο μέρος του οποίου είναι μικρότερο.

Παράδειγμα 1

Είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί ποιος από τους ρητούς αριθμούς είναι μικρότερος: 0, 57 ή 3 2 3 ?

Απόφαση

Οι ορθολογικοί αριθμοί που δίνονται για σύγκριση είναι θετικοί. Ταυτόχρονα, είναι προφανές ότι το ακέραιο μέρος του αριθμού 0, 57 (ίσο με 0) είναι μικρότερο από το ακέραιο μέρος του αριθμού 3 2 3 (ίσο με τρία). Άρα 0,57< 3 2 3 , т.е. из двух заданных чисел меньшим является число 0 , 57 .

Απάντηση: 0 , 57

Σκεφτείτε, χρησιμοποιώντας ένα πρακτικό παράδειγμα, μια απόχρωση του κανόνα που χρησιμοποιείται: την κατάσταση όταν ένας από τους συγκριθέντες αριθμούς είναι ένα περιοδικό δεκαδικό κλάσμα με περίοδο 9.

Παράδειγμα 2

Είναι απαραίτητο να συγκρίνουμε τους ρητούς αριθμούς 17 και 16 , (9) .

Απόφαση

16, (9) είναι περιοδικό κλάσμαμε περίοδο 9 , που είναι μια από τις μορφές γραφής του αριθμού 17 . Άρα 17 = 16 , (9) .

Απάντηση:οι δεδομένοι ρητοί αριθμοί είναι ίσοι.

Έχουμε αναθεωρήσει πρακτικά παραδείγματαόταν τα ακέραια μέρη των ρητών αριθμών δεν είναι ίσα και πρέπει να συγκριθούν. Εάν τα ακέραια μέρη των δεδομένων αριθμών είναι ίσα, η σύγκριση των κλασματικών μερών των δεδομένων αριθμών θα σας βοηθήσει να λάβετε το αποτέλεσμα. Το κλασματικό μέρος μπορεί πάντα να γραφτεί ως κοινό κλάσμαπληκτρολογήστε m\n, τελικό κλάσμαή περιοδικό δεκαδικό. Εκείνοι. Στην πραγματικότητα, η σύγκριση των κλασματικών μερών θετικών αριθμών είναι σύγκριση κοινών ή δεκαδικών κλασμάτων. Είναι λογικό ότι ο μεγαλύτερος από δύο αριθμούς με ίσα ακέραια μέρη είναι αυτός του οποίου το κλασματικό μέρος είναι μεγαλύτερο.

Παράδειγμα 3

Είναι απαραίτητο να συγκρίνουμε θετικούς ορθολογικούς αριθμούς: 4 , 8 και 4 3 5

Απόφαση

Προφανώς, τα ακέραια μέρη των προς σύγκριση αριθμών είναι ίσα. Στη συνέχεια, το επόμενο βήμα είναι να συγκρίνετε τα κλασματικά μέρη: 0, 8 και 3 5 . Εδώ μπορείτε να χρησιμοποιήσετε δύο μεθόδους:

1. Ας μεταφράσουμε το δεκαδικό κλάσμα σε ένα συνηθισμένο, μετά 0, 8 = 8 10. Συγκρίνετε συνηθισμένα κλάσματα 8 10 και 3 5 . Φέρνοντάς τα σε έναν κοινό παρονομαστή, παίρνουμε: 8 10 > 6 10 , δηλ. 8 10 > 3 5 , αντίστοιχα 0 , 8 > 3 5 . Έτσι, 4 , 8 > 4 3 5 .
2. Ας μετατρέψουμε ένα συνηθισμένο κλάσμα σε δεκαδικό, παίρνουμε: 3 5 = 0 , 6 . Ας συγκρίνουμε τα προκύπτοντα δεκαδικά κλάσματα 0, 8 και 0, 6: 0, 8 > 0, 6. Επομένως: 0 , 8 > 3 5 , και 4 , 8 > 4 3 5 .

Βλέπουμε ότι ως αποτέλεσμα της εφαρμογής και των δύο μεθόδων, προέκυψε το ίδιο αποτέλεσμα από τη σύγκριση των αρχικών ρητών αριθμών.

Απάντηση: 4 , 8 > 4 3 5 .

Αν τα ακέραια και τα κλασματικά μέρη των θετικών ρητών αριθμών που συγκρίνουμε είναι ίσα, τότε αυτοί οι αριθμοί είναι ίσοι μεταξύ τους. Σε αυτήν την περίπτωση, οι καταχωρίσεις των αριθμών μπορεί να διαφέρουν (για παράδειγμα, 6, 5 = 6 1 2) ή να ταιριάζουν πλήρως (για παράδειγμα, 7, 113 = 7, 113 ή 51 3 4 = 51 3 4).

Σύγκριση αρνητικών ρητών αριθμών

Ορισμός 4

Όταν συγκρίνουμε δύο αρνητικούς αριθμούς, ο μεγαλύτερος αριθμός θα είναι αυτός του οποίου το μέτρο είναι μικρότερο και, κατά συνέπεια, ο αριθμός του οποίου ο συντελεστής είναι μεγαλύτερος θα είναι μικρότερος.

Στην πραγματικότητα, αυτός ο κανόνας οδηγεί τη σύγκριση δύο αρνητικών ρητών αριθμών σε σύγκριση θετικών, την αρχή της οποίας αναλύσαμε παραπάνω.

Παράδειγμα 4

Είναι απαραίτητο να συγκρίνετε τους αριθμούς - 14 , 3 και - 3 9 11 .

Απόφαση

Οι αριθμοί που δίνονται είναι αρνητικοί. Για σύγκριση, ας ορίσουμε τις ενότητες τους: | - 14, 3 | = 14, 3 και - 3 9 11 = 3 9 11 _τύπος_. Ας ξεκινήσουμε τη σύγκριση αξιολογώντας τα ακέραια μέρη των δεδομένων αριθμών: είναι προφανές ότι 14 > 3 , άρα 14 , 3 > 3 9 11 . Ας εφαρμόσουμε τον κανόνα για τη σύγκριση αρνητικών αριθμών, που λέει ότι ο αριθμός είναι μεγαλύτερος, του οποίου ο συντελεστής είναι μικρότερος, και τότε παίρνουμε: - 14 , 3 > - 3 9 11 .

Απάντηση: - 14 , 3 > - 3 9 11 .

Παράδειγμα 5

Είναι απαραίτητο να συγκρίνουμε αρνητικούς ορθολογικούς αριθμούς - 2 , 12 και - 2 4 25 .

Απόφαση

Ας ορίσουμε ενότητες συγκριτικών αριθμών. | - 2, 12 | = 2 , 12 και - 2 4 25 = 2 4 25 . Βλέπουμε ότι τα ακέραια μέρη των δεδομένων αριθμών είναι ίσα, επομένως είναι απαραίτητο να συγκρίνουμε τα κλασματικά τους μέρη: 0, 12 και 4 25 . Ας χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο μετατροπής ενός συνηθισμένου κλάσματος σε δεκαδικό, τότε: 4 25 = 0,16 και 0,12< 0 , 16 , т.е. 2 , 12 < 2 4 25 . Применим правило сравнения отрицательных рациональных чисел и получим: - 2 , 12 > - 2 4 25 .

Απάντηση: - 2 , 12 > - 2 4 25 .

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Μαθήματα για τις 6 τάξεις

Μάθημα #68

Θέμα. Σύγκριση ρητών αριθμών

Σκοπός: με βάση τις παρατηρήσεις και την εμπειρία των μαθητών, να εξαγάγετε έναν κανόνα για τη σύγκριση οποιωνδήποτε δύο ρητών αριθμών και να αναπτύξετε την ικανότητα να τον χρησιμοποιείτε για τη σύγκριση ρητών αριθμών και την επίλυση ασκήσεων που περιλαμβάνουν σύγκριση ρητών αριθμών.

Είδος μαθήματος: εφαρμογή γνώσεων, δεξιοτήτων και ικανοτήτων.

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων

I. Επαλήθευση εργασία για το σπίτι

@Σύμφωνα με τον συγγραφέα, για να εξοικονομήσετε χρόνο, πρέπει να ελέγξετε μόνο τα #3, 4, 5 (ειδικά δώστε προσοχή στη χρήση των ιδιοτήτων πολλαπλασιασμού και πρόσθεσης για να απλοποιήσετε τους υπολογισμούς στο #5). Ελέγχουμε όλα τα άλλα συλλέγοντας τα τετράδια των μαθητών.

II. Επικαιροποίηση βασικών γνώσεων

προφορικές ασκήσεις

2. Ονομάστε τους αριθμούς αντίθετοι αριθμοί: δεκαπέντε; -3; -38; 0; ένα; γ + δ .

3. Βρείτε ενότητες αριθμών: 13; -οκτώ; -615; 0; α αν το α είναι θετικό, β αν το β είναι αρνητικό.

4. Λύστε την εξίσωση: |x| = 3; |t| = 0,4; |σε| = ; |u | = 0.

5. Αντικαταστήστε το * με το σύμβολο ">" ή "" έτσι ώστε η καταχώριση να είναι σωστή: 35 * 0,35; 35,1* 35,01; *; 2,7*2.

III. Εφαρμογή της γνώσης

1. Σύγκριση αριθμών χρησιμοποιώντας μια γραμμή συντεταγμένων

Εργο. Σημειώστε στη γραμμή συντεταγμένων τους αριθμούς 2. 5; 7; 4. Συγκρίνετε τους αριθμούς: α) 2 και 5. β) 2 και 7; γ) 2 και 4. Χρησιμοποιώντας τη γραμμή συντεταγμένων, μάθετε πώς βρίσκεται ο αριθμός 2 σε σχέση με καθέναν από τους άλλους αριθμούς.

@ Βλέπουμε ότι το 2 βρίσκεται στα αριστερά του 5. 2 στα αριστερά του 7, 2 στα αριστερά του 4. Θυμηθείτε ότι στην Ε' τάξη κατά τη μελέτη του θέματος σύγκρισης φυσικούς αριθμούςτο είπαμε δέσμη συντεταγμένων μικρότερος αριθμόςξαπλώνει πάντα στα αριστερά και περισσότερο - αντίθετα - στα δεξιά. Γενικά, στη γραμμή συντεταγμένων, περισσότεροι από δύο αριθμοί βρίσκονται στα δεξιά και λιγότεροι - στα αριστερά.

Παράδειγμα. Συγκρίνετε τους αριθμούς a, b, c, d που φαίνονται στο σχήμα (γράψτε με αύξουσα σειρά).

Λύσεις. b c a d , αφού οι αριθμοί πηγαίνουν με αυτή τη σειρά από αριστερά προς τα δεξιά.

2. Ο κανόνας για τη σύγκριση ρητών αριθμών
Ας δούμε τη γραμμή συντεταγμένων.

Βλέπουμε ότι όλοι οι θετικοί αριθμοί βρίσκονται στα δεξιά του 0 και όλοι οι αρνητικοί αριθμοί είναι στα αριστερά του 0, οπότε:

1) θετικός αριθμός μεγαλύτερος από 0. αρνητικός αριθμός μικρότερος από 0.

2) οποιοσδήποτε θετικός αριθμός είναι μεγαλύτερος από οποιονδήποτε αρνητικό αριθμό.

Για παράδειγμα, 3 > 0; -τριάντα; -3 3; 3 > -3.

Εάν και οι δύο αριθμοί (α και β) είναι αρνητικοί (βλέπε σχήμα), τότε

3) από δύο αρνητικούς αριθμούς, αυτός με το μικρότερο συντελεστή είναι μεγαλύτερος.

Για παράδειγμα - 3,7 > - 7,3 επειδή |-3,7| = 3,7; 3,7 7,3 επειδή |-7,3| = 7,3.

3. Συμπέρασμα. Οι ορθολογικοί αριθμοί μπορούν να συγκριθούν τόσο χρησιμοποιώντας μια γραμμή συντεταγμένων όσο και χρησιμοποιώντας κανόνες σύγκρισης. Στην πρώτη περίπτωση: ο αριθμός που βρίσκεται στα δεξιά είναι μεγαλύτερος.

Στη δεύτερη περίπτωση:

α) θετικό > αρνητικό. β) θετικό > 0; γ) αρνητικό 0; δ) από δύο αρνητικούς αριθμούς, αυτός με το μικρότερο συντελεστή είναι μεγαλύτερος.

@ Το ζήτημα της συμβολικής σημειογραφίας αυτών των κανόνων δεν λύνεται μονοσήμαντα και ο τρόπος επίλυσής του εξαρτάται από την προετοιμασία των μαθητών.

IV. Μάστερ δεξιοτήτων

@ Τόσος χρόνος σε αυτό το μάθημα αφιερώθηκε στην εξήγηση νέου υλικού, δεν υπάρχει αρκετός χρόνος για ασκήσεις διαφορετικού περιεχομένου και επιπέδου. Έτσι ο κύριος στόχος- είναι καλό να επεξεργαστείτε την εφαρμογή των κανόνων για τη σύγκριση ρητών αριθμών σε τυπικές ασκήσεις.

προφορικές ασκήσεις

1. Διαβάστε τις ανισότητες. Είναι σωστά;

α) 0 3; β) 0 > -5; γ) -7 0; δ) -3 > 2; ε) -7 1; ε) -2 -5; ζ) -5 -3.

2. Είναι γνωστό ότι ένα β γ. Ποιο από τα σχέδια πληροί αυτήν την προϋπόθεση;
1) 2) 3) 4)

Γραπτές ασκήσεις

1. Αντικαταστήστε το * με ένα σύμβολο ">" ή "" για να σχηματίσετε τη σωστή ανισότητα:

δ) -5,5 * -7,2;

ε) -96,9 * -90,3;

ναι) -100 * 0;

με) *;

προς την) *.

2. Τακτοποίησε τους παρακάτω αριθμούς σε αύξουσα σειρά:

1) -4; 3; -2; 1; 0; -1; 2; -3; 4;

2) -5,4; 4,3; -3,2; 2,1; -1,2; 2,3; -3,4.

3. Ποιος από τους αριθμούς -5; -ένας; οκτώ; 0; -5,3 τα περισσότερα; μικρότερος? Σε ποια από αυτές μεγαλύτερο μέτρο? η μικρότερη ενότητα;

4. Συμπληρώστε τον πίνακα. Για να το κάνετε αυτό, σε κάθε κελί, εισαγάγετε έναν αριθμό που να ικανοποιεί και τις δύο προϋποθέσεις:

5. Είναι γνωστό ότι τα x και y είναι θετικοί αριθμοί, και τα m και n αρνητικά. Συγκρίνω:
α) 0 και n; β) γ και 0; γ) -x και 0; δ) 0 και -m; ε) x και t; ε) n και x; g) -m και n; γ) -x και y; ι) |m | και m? ια) -|μ | και m? ιβ) x και |x|; m) x και |-x|.