Τι είναι ιδιωτικό κλάσμα. Φέρνοντας ένα κλάσμα σε κοινό παρονομαστή

Στόχος είναι αυτό που είναι επιθυμητό να επιτευχθεί, το τελικό αποτέλεσμα. Ο στόχος απαντά στην ερώτηση «Τι πρέπει να επιτευχθεί;» και η εργασία απαντά στην ερώτηση «Ποιες ενέργειες μπορεί να επιτευχθεί;».

Οικονομικοί στόχοι του κράτους:

εξάλειψη της φτώχειας, βελτίωση της ευημερίας και της ποιότητας ζωής του πληθυσμού·

εξασφάλιση σταθερών ρυθμών οικονομικής ανάπτυξης·

ενίσχυση των θέσεων στον κόσμο·

βελτίωση της οικολογικής κατάστασης.

Οι λειτουργίες του κράτους είναι οι κύριες κατευθύνσεις της δραστηριότητας του κράτους με στόχο την υλοποίηση των καθηκόντων που αντιμετωπίζει το κράτος.

Οικονομικές λειτουργίες του κράτους:

σχηματισμός αποτελεσματικών οικονομική πολιτική;

κανονισμός λειτουργίας οικονομικές διαδικασίεςμε τη βοήθεια της φορολογικής και πιστωτικής πολιτικής·

δημιουργία συνθηκών ανταγωνισμού και περιορισμός των φυσικών μονοπωλίων·

προστασία και προστασία κάθε είδους ιδιοκτησίας·

τη διασφάλιση της δικαστικής προστασίας των περιουσιακών συμφερόντων των πολιτών και νομικά πρόσωπα;

βοήθεια στα φτωχότερα στρώματα του πληθυσμού·

ρύθμιση των εργασιακών σχέσεων·

προστασία των συμφερόντων των καταναλωτών και παρακολούθηση της ποιότητας των αγαθών και των υπηρεσιών·

έλεγχος στο εξωτερικό εμπόριο, προστασία των οικονομικών συμφερόντων της χώρας, συνεργασία σε οικονομική σφαίραμε άλλα κράτη·

ρύθμιση χρήσης φυσικοί πόροικαι ασφάλεια περιβάλλον;

την τοποθέτηση παραγγελιών απαραίτητων για τη λειτουργία του κράτους·

συλλογή πληροφοριών για την οικονομική κατάσταση της χώρας.

2. Ο πολίτης Κ. πλήρωσε τα μαθήματα ξένη γλώσσα, αλλά λόγω της ασθένειας του δασκάλου, τα μαθήματα γίνονταν πολύ λιγότερα από ό,τι προβλεπόταν διδακτέα ύληκαι το αναλυτικό πρόγραμμα του μαθήματος δεν ολοκληρώθηκε. Η πολίτης Κ. αποφάσισε να της επιστρέψει τα χρήματά της και κατέθεσε αίτηση στο δικαστήριο. Ποιος κλάδος του δικαίου θα είναι η βάση για την υπόθεση στο δικαστήριο; Δώστε δύο επιχειρήματα για να υποστηρίξετε την απάντησή σας.

Σε αυτό το έργο, δεν απαιτείται να αναλυθεί η υπόθεση επί της ουσίας, αλλά μόνο να αιτιολογηθεί η επιλογή του κλάδου του δικαίου.

Η βάση για την εξέταση της υπόθεσης στο δικαστήριο θα είναι οι κανόνες αστικός νόμος. Κατοχυρώνονται στον Αστικό Κώδικα της Ρωσικής Ομοσπονδίας και σε κανονιστικές νομικές πράξεις.

Το αστικό δίκαιο διέπει συμβατικές και λοιπές υποχρεώσεις, ... σχέσεις μεταξύ προσώπων που ασκούν επιχειρηματική δραστηριότητα, ή με τη συμμετοχή τους (άρθρο 2 του Αστικού Κώδικα της Ρωσικής Ομοσπονδίας)

Στην προτεινόμενη κατάσταση, ο πολίτης Κ. συνήψε σύμβαση παροχής υπηρεσιών. Ο πολίτης Κ. πλήρωσε κάποιο αντίτιμο για εκπαίδευση, επομένως τα μαθήματα ξένων γλωσσών αποτελούν επιχειρηματική δραστηριότητα.

...ατομικά δικαιώματα και υποχρεώσεις απορρέουν από συμβάσεις και άλλες συναλλαγές που προβλέπονται από το νόμο, καθώς και από συμβάσεις και άλλες συναλλαγές, αν και δεν προβλέπονται από το νόμο, αλλά δεν αντιβαίνουν σε αυτόν· (Άρθρο 8 του Αστικού Κώδικα της Ρωσικής Ομοσπονδίας)

Εάν η βάση για την αλλαγή ή τη λύση της σύμβασης ήταν η ουσιώδης παραβίαση της σύμβασης από ένα από τα μέρη, το άλλο μέρος έχει το δικαίωμα να απαιτήσει αποζημίωση για ζημίες που προκλήθηκαν από την αλλαγή ή τη λύση της σύμβασης (άρθρο 453 ΑΚ του Η ρωσική ομοσπονδία).

Αίτηση τροποποίησης ή καταγγελίας της σύμβασης μπορεί να υποβληθεί από ένα μέρος στο δικαστήριο μόνο αφού το άλλο μέρος λάβει άρνηση να προτείνει τροποποίηση ή καταγγελία της σύμβασης ή δεν λάβει απάντηση εντός της προθεσμίας που καθορίζεται στην πρόταση ή καθορίζεται από νόμου ή της σύμβασης, και σε περίπτωση απουσίας του - εντός τριάντα ημερών (άρθρο .452 του Αστικού Κώδικα της Ρωσικής Ομοσπονδίας).

Τα μαθήματα ξένων γλωσσών δεν έχουν εκπληρώσει τις υποχρεώσεις τους. Αυτό επιτρέπει στον πολίτη Κ. να ζητήσει επιστροφή μέρους του κόστους εκπαίδευσης, και σε περίπτωση άρνησης να προσφύγει στα δικαστήρια.

Κατά τη λύση της σύμβασης λόγω σημαντικά μεταβαλλόμενων συνθηκών, το δικαστήριο, κατόπιν αιτήματος ενός από τα μέρη, καθορίζει τις συνέπειες της καταγγελίας της σύμβασης, με βάση την ανάγκη δίκαιης κατανομής μεταξύ των μερών των δαπανών που υποβλήθηκαν σε σχέση με την εκτέλεση. αυτής της σύμβασης (άρθρο 451 του Αστικού Κώδικα της Ρωσικής Ομοσπονδίας).

Επειδή τα μαθήματα δεν πραγματοποιήθηκαν για καλό λόγο (ασθένεια δασκάλου), αυτό μπορεί να αναγνωριστεί ως αλλαγή των συνθηκών και να μην επιστραφεί ολόκληρο το ποσό.

Σε μια οικογένεια υπήρχε μια διαμάχη για το πώς να σχετίζεσαι με τη δουλειά. «Δεν μπορείς να κάνεις τα πάντα», είπε ο Πάπας. «Το να ζεις χωρίς δουλειά σημαίνει μόνο να καπνίζεις τον ουρανό», είπε η μητέρα μου. Και η κόρη γέλασε: «Τα λευκά χέρια αγαπούν τα έργα των άλλων». Φανταστείτε μια παρόμοια συζήτηση στην οικογένειά σας. Τι θα έλεγες για τη στάση σου στη δουλειά; Πώς θα δικαιολογούσατε τη θέση σας;

Πιστεύεται ότι οι αρχαίοι Έλληνες και οι Ρωμαίοι θεωρούσαν την εργασία ως τον κλήρο των σκλάβων. Αυτό θεωρείται ως ένας από τους λόγους για την παρακμή αυτών των πολιτισμών.

Ο αρχαίος Έλληνας θεός του θανάτου, Θανάτος, είχε τρεις συντρόφους: Γέροντα, Ασθένεια και Εργασία.

Βασιλιάς Σολομών ( αρχαίο Ισραήλ, 965–928 π.Χ π.Χ.), διάσημος για τη σοφία του, θεωρούσε την εργασία τη βάση της ευημερίας: «Πόσο θα κοιμηθείς, τεμπέλη; ληστή». ένας

Επιπλέον, υποστήριξε ότι δεν είναι ο πλούτος, αλλά η εργασία που φέρνει την ευτυχία σε έναν άνθρωπο: «Εδώ είναι ένα άλλο πράγμα που βρήκα καλό και ευχάριστο: να τρώω και να πίνω και να απολαμβάνω το καλό σε όλους τους κόπους τους, όπως εργάζεται κανείς κάτω από τον ήλιο. μέρες της ζωής του…» 2

Ρωσικές παροιμίες για την εργασία:
Δεν μπορείς να βγάλεις ένα ψάρι από μια λίμνη χωρίς προσπάθεια.
Ώρα εργασίας, ώρα διασκέδασης.

Ο Λέων Τολστόι ηγείται λαϊκή σοφία: "αν ένας άνθρωπος ζει χωρίς να δουλεύει, τότε κάπου κάποιος πεθαίνει από την πείνα από αυτό." 3

πίστευε ο Τολστόι σωματική εργασίαουσιαστική προϋπόθεση πνευματική ανάπτυξηπροσωπικότητα. Ως κόμης, ο ιδιοκτήτης του κτήματος, Τολστόι βγήκε με τους αγρότες για να δουλέψει στο χωράφι.

Ένας άλλος «κυβερνήτης των σκέψεων» της ρωσικής κοινωνίας, ο Nikolai Gavrilovich Chernyshevsky, στο μυθιστόρημά του «What to do» υποστήριξε ότι οι αθλητικές ασκήσεις βελτιώνουν τους μύες, αλλά μόνο η σωματική εργασία μπορεί να αναπτύξει πραγματική δύναμη. σύγχρονη επιστήμηεπίσης τονίζει σημαντικός ρόλοςγια καλή υγεία σωματική εργασίασε εξωτερικό χώρο.

Συνοψίζοντας: εργασία - ουσιαστική προϋπόθεσηευημερία και ψυχική ηρεμία. Η αδράνεια, η αδράνεια, η ζωή σε βάρος των άλλων διαφθείρουν έναν άνθρωπο, δεν τον αφήνουν να αναπτυχθεί πνευματικά. Αλλά δεν χρειάζεται να φτάσουμε στα άκρα, έτσι ώστε η εργασία να υποτάξει ένα άτομο, να γίνει το μόνο ενδιαφέρον στη ζωή.

Θυμάμαι την ιστορία στην εφημερίδα, πώς η μητέρα ήταν εξουθενωμένη, μεγαλώνοντας την κόρη της, δούλευε ως καθαρίστρια χωρίς ανάπαυση για να την παρέχει και η κόρη μεγάλωσε μια ηθική παραμόρφωση. Αυτή η περίπτωση σας κάνει να πιστεύετε ότι η εργασία από μόνη της δεν παρέχει όλα όσα χρειάζεστε. Για να μεγαλώσετε ένα παιδί ως μια ολοκληρωμένη προσωπικότητα, πρέπει να δουλέψετε για τη δική σας ανάπτυξη.

Είναι σημαντικό να αφιερώσετε αρκετό χρόνο στην ξεκούραση, την επικοινωνία, την τέχνη, τη βελτίωση της εκπαίδευσής σας, τη βοήθεια των άλλων. Μόνο σε αυτή την περίπτωση ένα άτομο θα είναι μια αρμονικά ανεπτυγμένη προσωπικότητα.

Ένα μέρος μιας μονάδας ή πολλά από τα μέρη της ονομάζεται απλό ή συνηθισμένο κλάσμα. Ποσότητα ίσα μέρη, στην οποία χωρίζεται η μονάδα, ονομάζεται παρονομαστής και ο αριθμός των μερών που λαμβάνονται ονομάζεται αριθμητής. Το κλάσμα γράφεται ως:

ΣΤΟ αυτή η υπόθεσηα είναι ο αριθμητής, β είναι ο παρονομαστής.

Αν ο αριθμητής μικρότερο από τον παρονομαστή, τότε καλείται το κλάσμα μικρότερο του 1 κατάλληλο κλάσμα. Αν ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή, τότε το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από 1, τότε το κλάσμα ονομάζεται ακατάλληλο κλάσμα.

Αν ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος είναι ίσοι, τότε το κλάσμα είναι ίσο.

1. Αν ο αριθμητής μπορεί να διαιρεθεί με τον παρονομαστή, τότε αυτό το κλάσμα είναι ίσο με το πηλίκο της διαίρεσης:

Εάν η διαίρεση εκτελείται με ένα υπόλοιπο, τότε αυτό το ακατάλληλο κλάσμα μπορεί να αναπαρασταθεί με έναν μικτό αριθμό, για παράδειγμα:

Τότε το 9 είναι ένα ημιτελές πηλίκο ( ολόκληρο μέροςμικτός αριθμός)
1 - υπόλοιπο (αριθμητής του κλασματικού μέρους),
5 είναι ο παρονομαστής.

Για να μετατρέψετε έναν μικτό αριθμό σε κλάσμα, πολλαπλασιάστε το ακέραιο μέρος του μικτού αριθμού με τον παρονομαστή και προσθέστε τον αριθμητή του κλασματικού μέρους.

Το αποτέλεσμα που προκύπτει θα είναι ο αριθμητής ενός συνηθισμένου κλάσματος και ο παρονομαστής θα παραμείνει ο ίδιος.

Ενέργειες με κλάσματα

Διαστολή κλάσματος.Η τιμή ενός κλάσματος δεν αλλάζει αν ο αριθμητής και ο παρονομαστής του πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο μη μηδενικό αριθμό.
για παράδειγμα:

Αναγωγή κλασμάτων.Η τιμή ενός κλάσματος δεν αλλάζει αν ο αριθμητής και ο παρονομαστής του διαιρεθούν με τον ίδιο μη μηδενικό αριθμό.
για παράδειγμα:

Σύγκριση κλασμάτων.Από δύο κλάσματα με τον ίδιο αριθμητή, το μεγαλύτερο είναι αυτό με τον μικρότερο παρονομαστή:

Από δύο κλάσματα ίδιοι παρονομαστέςτο μεγαλύτερο του οποίου ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος:

Για να συγκρίνουμε κλάσματα των οποίων οι αριθμητές και οι παρονομαστές είναι διαφορετικοί, είναι απαραίτητο να τα επεκτείνουμε, δηλαδή να τα φέρουμε σε κοινό παρονομαστή. Σκεφτείτε, για παράδειγμα, τα ακόλουθα κλάσματα:

Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων.Αν οι παρονομαστές των κλασμάτων είναι ίδιοι, τότε για να προστεθούν τα κλάσματα πρέπει να προστεθούν οι αριθμητές τους και για να αφαιρεθούν τα κλάσματα πρέπει να αφαιρεθούν οι αριθμητές τους. Το άθροισμα ή η διαφορά που προκύπτει θα είναι ο αριθμητής του αποτελέσματος, ενώ ο παρονομαστής θα παραμείνει ο ίδιος. Εάν οι παρονομαστές των κλασμάτων είναι διαφορετικοί, θα πρέπει πρώτα να μειώσετε τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή. Όταν προστεθεί μικτούς αριθμούςΤα ακέραια και τα κλασματικά τους μέρη προστίθενται χωριστά. Όταν αφαιρείτε μεικτούς αριθμούς, πρέπει πρώτα να τους μετατρέψετε στη φόρμα ακατάλληλα κλάσματα, στη συνέχεια αφαιρέστε το ένα από το άλλο και μετά φέρτε ξανά το αποτέλεσμα, εάν απαιτείται, στη μορφή μικτού αριθμού.

Πολλαπλασιασμός κλασμάτων. Για να πολλαπλασιάσετε τα κλάσματα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τους αριθμητές και τους παρονομαστές τους χωριστά και να διαιρέσετε το πρώτο γινόμενο με το δεύτερο.

Διαίρεση κλασμάτων. Για να διαιρέσετε έναν αριθμό με ένα κλάσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε αυτόν τον αριθμό με την αμοιβαία του.

Δεκαδικόςείναι το αποτέλεσμα της διαίρεσης ενός προς δέκα, εκατό, χίλια κ.λπ. εξαρτήματα. Πρώτα, γράφεται το ακέραιο μέρος του αριθμού και στη συνέχεια τοποθετείται η υποδιαστολή στα δεξιά. Το πρώτο ψηφίο μετά την υποδιαστολή σημαίνει τον αριθμό των δέκατων, το δεύτερο - τον αριθμό των εκατοστών, το τρίτο - τον αριθμό των χιλιοστών, κ.λπ. Οι αριθμοί μετά την υποδιαστολή ονομάζονται δεκαδικά ψηφία.

Για παράδειγμα:

Δεκαδικές ιδιότητες

Ιδιότητες:

• Το δεκαδικό κλάσμα δεν αλλάζει αν προστεθούν μηδενικά στα δεξιά: 4,5 = 4,5000.
• Το δεκαδικό κλάσμα δεν αλλάζει αν αφαιρεθούν τα μηδενικά που βρίσκονται στο τέλος του δεκαδικού κλάσματος: 0,0560000 = 0,056.
• Το δεκαδικό αυξάνεται στα 10, 100, 1000 κ.ο.κ. φορές, αν μετακινήσετε την υποδιαστολή σε ένα, δύο, τρία κ.λπ. θέσεις προς τα δεξιά: 4,5 45 (το κλάσμα έχει αυξηθεί 10 φορές).
• Το δεκαδικό μειώνεται κατά 10, 100, 1000 κ.λπ. φορές, αν μετακινήσετε την υποδιαστολή σε ένα, δύο, τρία κ.λπ. θέσεις προς τα αριστερά: 4,5 0,45 (το κλάσμα έχει μειωθεί 10 φορές).

Ένα περιοδικό δεκαδικό περιέχει μια άπειρα επαναλαμβανόμενη ομάδα ψηφίων που ονομάζεται τελεία: 0,321321321321…=0,(321)

Πράξεις με δεκαδικούς αριθμούς

Η πρόσθεση και η αφαίρεση δεκαδικών γίνεται με τον ίδιο τρόπο όπως η πρόσθεση και η αφαίρεση ακέραιων αριθμών, απλά πρέπει να γράψετε τα αντίστοιχα δεκαδικά ψηφία το ένα κάτω από το άλλο.
Για παράδειγμα:

Ο πολλαπλασιασμός των δεκαδικών κλασμάτων πραγματοποιείται σε διάφορα στάδια:

• Πολλαπλασιάζουμε τους δεκαδικούς ως ακέραιους, χωρίς να λάβουμε υπόψη την υποδιαστολή.
• Ισχύει ο κανόνας: ο αριθμός των δεκαδικών ψηφίων στο γινόμενο είναι ίσος με το άθροισμα των δεκαδικών ψηφίων σε όλους τους παράγοντες.

για παράδειγμα:

Το άθροισμα των αριθμών των δεκαδικών ψηφίων στους συντελεστές είναι: 2+1=3. Τώρα πρέπει να μετρήσετε 3 ψηφία από το τέλος του αριθμού που προκύπτει και να βάλετε μια υποδιαστολή: 0,675.

Διαίρεση δεκαδικών. Διαίρεση δεκαδικού με ακέραιο: αν το μέρισμα λιγότερο διαιρέτης, τότε πρέπει να γράψετε μηδέν στο ακέραιο μέρος του πηλίκου και να βάλετε μια υποδιαστολή μετά από αυτό. Στη συνέχεια, χωρίς να λάβετε υπόψη την υποδιαστολή του μερίσματος, προσθέστε το επόμενο ψηφίο του κλασματικού μέρους στο ακέραιο μέρος του και συγκρίνετε ξανά το προκύπτον ακέραιο μέρος του μερίσματος με το διαιρέτη. Εάν ο νέος αριθμός είναι και πάλι μικρότερος από τον διαιρέτη, η πράξη πρέπει να επαναληφθεί. Αυτή η διαδικασία επαναλαμβάνεται έως ότου το μέρισμα που προκύπτει είναι μεγαλύτερο από το διαιρέτη. Μετά από αυτό, η διαίρεση πραγματοποιείται όπως για τους ακέραιους αριθμούς. Αν το μέρισμα είναι μεγαλύτερο ή ίσο με τον διαιρέτη, πρώτα διαιρούμε το ακέραιο μέρος του, γράφουμε το αποτέλεσμα της διαίρεσης στο πηλίκο και βάζουμε υποδιαστολή. Μετά από αυτό, η διαίρεση συνεχίζεται, όπως στην περίπτωση των ακεραίων.

Διαιρώντας ένα δεκαδικό κλάσμα σε άλλο: πρώτον, τα δεκαδικά ψηφία στο μέρισμα και στο διαιρέτη μεταφέρονται με τον αριθμό των δεκαδικών ψηφίων στον διαιρέτη, δηλαδή, κάνουμε τον διαιρέτη ακέραιο και εκτελούνται οι ενέργειες που περιγράφονται παραπάνω.

Για να γυρίσει δεκαδικόςσε ένα συνηθισμένο, είναι απαραίτητο να ληφθεί ο αριθμός μετά την υποδιαστολή ως αριθμητής και να ληφθεί η k-η δύναμη του δέκα ως παρονομαστής (k είναι ο αριθμός των δεκαδικών ψηφίων). Το μη μηδενικό ακέραιο μέρος διατηρείται στο κοινό κλάσμα. το μηδενικό ακέραιο μέρος παραλείπεται.
Για παράδειγμα:

Για να γυρίσει κοινό κλάσμασε δεκαδικό, είναι απαραίτητο να διαιρέσουμε τον αριθμητή με τον παρονομαστή σύμφωνα με τους κανόνες διαίρεσης.

Ένα ποσοστό είναι το εκατοστό της μονάδας, για παράδειγμα: 5% σημαίνει 0,05. Ο λόγος είναι το πηλίκο της διαίρεσης ενός αριθμού με τον άλλο. Η αναλογία είναι η ισότητα δύο αναλογιών.

Για παράδειγμα:

Η κύρια ιδιότητα της αναλογίας: το γινόμενο των ακραίων μελών της αναλογίας είναι ίσο με το γινόμενο των μεσαίων μελών της, δηλαδή 5x30 = 6x25. Δύο αμοιβαία εξαρτώμενα μεγέθη ονομάζονται αναλογικά εάν η αναλογία των ποσοτήτων τους παραμένει αμετάβλητη (συντελεστής αναλογικότητας).

Έτσι, αποκαλύπτονται οι ακόλουθες αριθμητικές πράξεις.
Για παράδειγμα:

Το σύνολο των ρητών αριθμών περιλαμβάνει θετικούς και αρνητικούς αριθμούς (ολικούς και κλασματικούς) και το μηδέν. Περισσότερο ακριβής ορισμόςρητοί αριθμοί, αποδεκτοί στα μαθηματικά, τα ακόλουθα: ένας αριθμός ονομάζεται ρητός εάν μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένα συνηθισμένο μη αναγώγιμο κλάσμα της μορφής:, όπου τα a και b είναι ακέραιοι.

Για αρνητικός αριθμός απόλυτη τιμή(modulo) είναι ένας θετικός αριθμός που προκύπτει αλλάζοντας το πρόσημά του από "-" σε "+". Για θετικός αριθμόςκαι το μηδέν είναι ο ίδιος ο αριθμός. Για τον προσδιορισμό του συντελεστή ενός αριθμού, χρησιμοποιούνται δύο ευθείες γραμμές, μέσα στις οποίες γράφεται αυτός ο αριθμός, για παράδειγμα: |–5|=5.

Ιδιότητες απόλυτης αξίας

Ας δοθεί ο συντελεστής συντελεστής ενός αριθμού , για τα οποία ισχύουν τα ακίνητα:

Ένα μονώνυμο είναι το γινόμενο δύο ή περισσότερων παραγόντων, καθένας από τους οποίους είναι είτε ένας αριθμός, είτε ένα γράμμα, είτε η ισχύς ενός γράμματος: 3 x a x b. Ο συντελεστής συνήθως ονομάζεται μόνο αριθμητικός παράγοντας. Τα μονώνυμα λέγονται παρόμοια εάν είναι ίδια ή διαφέρουν μόνο σε συντελεστές. Ο βαθμός ενός μονωνύμου είναι το άθροισμα των εκθετών όλων των γραμμάτων του. Εάν υπάρχουν παρόμοια μεταξύ του αθροίσματος των μονώνυμων, τότε το άθροισμα μπορεί να μειωθεί σε περισσότερα κοινή θέα: 3 x a x b + 6 x a \u003d 3 x a x (b + 2). Αυτή η λειτουργία ονομάζεται εξαναγκασμός παρόμοιων όρων ή παρενθέσεων.

Το πολυώνυμο είναι αλγεβρικό άθροισμαμονώνυμος. Ο βαθμός ενός πολυωνύμου είναι ο μεγαλύτερος από τους βαθμούς των μονοωνύμων που περιλαμβάνονται στο δεδομένο πολυώνυμο.

Υπάρχουν οι ακόλουθοι τύποι για συντομευμένο πολλαπλασιασμό:

Μέθοδοι Factoring:

Ένα αλγεβρικό κλάσμα είναι μια έκφραση της μορφής , όπου το Α και το Β μπορεί να είναι ένας αριθμός, ένα μονώνυμο, ένα πολυώνυμο.

Εάν δύο εκφράσεις (αριθμητική και αλφαβητική) συνδέονται με το σύμβολο "=", τότε λέμε ότι σχηματίζουν ισότητα. Οποιαδήποτε αληθινή ισότητα, που ισχύει για όλες τις αποδεκτές αριθμητικές τιμές των γραμμάτων που περιλαμβάνονται σε αυτήν, ονομάζεται ταυτότητα.

Μια εξίσωση είναι μια κυριολεκτική ισότητα που ισχύει ορισμένες αξίεςγράμματα που περιλαμβάνονται σε αυτό. Αυτά τα γράμματα ονομάζονται άγνωστα (μεταβλητές), και οι τιμές τους, για τις οποίες δεδομένη εξίσωσημετατρέπεται σε ταυτότητα, - οι ρίζες της εξίσωσης.

Η επίλυση μιας εξίσωσης σημαίνει την εύρεση όλων των ριζών της. Δύο ή περισσότερες εξισώσεις λέγονται ισοδύναμες αν έχουν τις ίδιες ρίζες.

• το μηδέν ήταν η ρίζα της εξίσωσης.
• η εξίσωση είχε μόνο πεπερασμένος αριθμόςρίζες.

Κύριοι τύποι αλγεβρικών εξισώσεων:

Η γραμμική εξίσωση έχει ax + b = 0:

• αν a x 0, υπάρχει μία μόνο ρίζα x = -b/a.
• αν a = 0, b ≠ 0, δεν υπάρχουν ρίζες.
• αν a = 0, b = 0, η ρίζα είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός.

Εξίσωση xn = a, n N:

• αν το n είναι περιττός αριθμός, έχει πραγματική ρίζα ίση με a/n για οποιοδήποτε a.
• αν το n είναι ζυγός αριθμός, τότε για 0, τότε έχει δύο ρίζες.

Κύριος πανομοιότυπες μετατροπές: αντικατάσταση μιας έκφρασης από μια άλλη, ταυτόσημη με αυτήν. μεταφορά των όρων της εξίσωσης από τη μια πλευρά στην άλλη με αντίθετα πρόσημα. πολλαπλασιασμός ή διαίρεση και των δύο μερών της εξίσωσης με την ίδια έκφραση (αριθμό) εκτός από το μηδέν.

Μια γραμμική εξίσωση με έναν άγνωστο είναι μια εξίσωση της μορφής: ax+b=0, όπου a και b είναι γνωστούς αριθμούς, και το x είναι μια άγνωστη ποσότητα.

Συστήματα των δύο γραμμικές εξισώσειςμε δύο άγνωστα έχουν τη μορφή:

Όπου a, b, c, d, e, f δίνονται αριθμοί. x, y είναι άγνωστα.

Αριθμοί a, b, c, d - συντελεστές για αγνώστους. e, f - ελεύθερα μέλη. Η λύση σε αυτό το σύστημα εξισώσεων μπορεί να βρεθεί με δύο κύριες μεθόδους: τη μέθοδο αντικατάστασης: από τη μία εξίσωση εκφράζουμε έναν από τους αγνώστους μέσω των συντελεστών και τον άλλο άγνωστο, και μετά τον αντικαθιστούμε στη δεύτερη εξίσωση, λύνοντας την τελευταία εξίσωση , βρίσκουμε πρώτα έναν άγνωστο, μετά αντικαθιστούμε την τιμή που βρέθηκε στην πρώτη εξίσωση και βρίσκουμε τον δεύτερο άγνωστο. μέθοδος πρόσθεσης ή αφαίρεσης μιας εξίσωσης από μια άλλη.

Επεμβάσεις με ρίζες:

αριθμητική ρίζα ου βαθμούένας μη αρνητικός αριθμός a ονομάζεται μη αρνητικός αριθμός, ου βαθμούπου ισούται με α. Αλγεβρικός η ρίζα του ημοίρες από δεδομένου αριθμούονομάζεται το σύνολο όλων των ριζών από αυτόν τον αριθμό.

Οι παράλογοι αριθμοί, σε αντίθεση με τους ορθολογικούς, δεν μπορούν να αναπαρασταθούν ως ένα συνηθισμένο μη αναγώγιμο κλάσμα της μορφής m/n, όπου τα m και n είναι ακέραιοι. Πρόκειται για αριθμούς νέου τύπου που μπορούν να υπολογιστούν με οποιαδήποτε ακρίβεια, αλλά δεν μπορούν να αντικατασταθούν ρητός αριθμός. Μπορεί να εμφανίζονται ως αποτέλεσμα γεωμετρικών μετρήσεων, για παράδειγμα: η αναλογία του μήκους της διαγωνίου ενός τετραγώνου προς το μήκος της πλευράς του είναι ίση.

Υπάρχει μια τετραγωνική εξίσωση αλγεβρική εξίσωσηδεύτερου βαθμού ax2+bx+c=0, όπου a, b, c - δίνονται αριθμητικοί ή αλφαβητικοί συντελεστές, x - άγνωστος. Αν διαιρέσουμε όλους τους όρους αυτής της εξίσωσης με το a, ως αποτέλεσμα παίρνουμε x2+px+q=0 - τη μειωμένη εξίσωση p=b/a, q=c/a. Οι ρίζες του βρίσκονται με τον τύπο:

Αν b2-4ac>0, τότε υπάρχουν δύο διαφορετική ρίζα, b2- 4ac=0, τότε υπάρχουν δύο ίση ρίζα; b2-4ac Εξισώσεις που περιέχουν ενότητες

Κύριοι τύποι εξισώσεων που περιέχουν ενότητες:
1) |f(x)| = |g(x)|;
2) |f(x)| = g(x);
3) f1(x)|g1(x)| + f2(x)|g2(x)| + … + fn(x)|gn(x)| =0, n N, όπου δίνονται συναρτήσεις f(x), g(x), fk(x), gk(x).

Στο άρθρο, θα δείξουμε πώς να λύσετε κλάσματαστο απλό κατανοητά παραδείγματα. Ας καταλάβουμε τι είναι ένα κλάσμα και ας εξετάσουμε επίλυση κλασμάτων!

έννοια κλάσματαεισάγεται στο μάθημα των μαθηματικών αρχής γενομένης από την Στ' τάξη της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης.

Τα κλάσματα μοιάζουν με: ±X / Y, όπου Y είναι ο παρονομαστής, λέει σε πόσα μέρη χωρίστηκε το σύνολο και το X είναι ο αριθμητής, λέει πόσα τέτοια μέρη ελήφθησαν. Για λόγους σαφήνειας, ας πάρουμε ένα παράδειγμα με ένα κέικ:

Στην πρώτη περίπτωση το κέικ κόπηκε εξίσου και έπαιρνε το μισό, δηλ. 1/2. Στη δεύτερη περίπτωση, το κέικ κόπηκε σε 7 μέρη, από τα οποία πάρθηκαν 4 μέρη, δηλ. 4/7.

Αν το μέρος της διαίρεσης ενός αριθμού με έναν άλλο δεν είναι ακέραιος, γράφεται ως κλάσμα.

Για παράδειγμα, η έκφραση 4:2 \u003d 2 δίνει έναν ακέραιο, αλλά το 4:7 δεν διαιρείται πλήρως, επομένως αυτή η έκφραση γράφεται ως κλάσμα 4/7.

Με άλλα λόγια κλάσμαείναι μια έκφραση που υποδηλώνει τη διαίρεση δύο αριθμών ή παραστάσεων και η οποία γράφεται με κάθετο.

Αν ο αριθμητής είναι μικρότερος από τον παρονομαστή, το κλάσμα είναι σωστό, αν το αντίστροφο είναι λάθος. Ένα κλάσμα μπορεί να περιέχει έναν ακέραιο αριθμό.

Για παράδειγμα, 5 ολόκληρα 3/4.

Αυτή η καταχώριση σημαίνει ότι για να πάρεις ολόκληρο το 6, δεν αρκεί ένα μέρος των τεσσάρων.

Αν θέλεις να θυμάσαι πώς να λύσετε κλάσματα για την 6η δημοτικούπρέπει να το καταλάβεις επίλυση κλασμάτωνβασικά καταλήγει στην κατανόηση μερικών απλών πραγμάτων.

• Ένα κλάσμα είναι ουσιαστικά μια έκφραση για ένα κλάσμα. Δηλ αριθμητική παράστασηποιο μέρος είναι δεδομένη αξίααπό ένα σύνολο. Για παράδειγμα, το κλάσμα 3/5 εκφράζει ότι αν χωρίσουμε κάτι ολόκληρο σε 5 μέρη και ο αριθμός των μερών ή μερών αυτού του συνόλου είναι τρία.
• Ένα κλάσμα μπορεί να είναι μικρότερο από 1, για παράδειγμα 1/2 (ή ουσιαστικά το μισό), τότε είναι σωστό. Αν το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από 1, για παράδειγμα 3/2 (τρία μισά ή ενάμισι), τότε είναι λάθος και για να απλοποιήσουμε τη λύση, καλύτερα να επιλέξουμε ολόκληρο το μέρος 3/2= 1 ολόκληρο 1 /2.
• Τα κλάσματα είναι οι ίδιοι αριθμοί με το 1, το 3, το 10, ακόμα και το 100, μόνο που οι αριθμοί δεν είναι ακέραιοι, αλλά κλασματικοί. Με αυτά, μπορείτε να εκτελέσετε όλες τις ίδιες λειτουργίες όπως και με τους αριθμούς. Η μέτρηση των κλασμάτων δεν είναι πιο δύσκολη, και παρακάτω συγκεκριμένα παραδείγματαθα το δείξουμε.

Πώς να λύσετε κλάσματα. Παραδείγματα.

Μια ποικιλία αριθμητικών πράξεων εφαρμόζεται στα κλάσματα.

Φέρνοντας ένα κλάσμα σε κοινό παρονομαστή

Για παράδειγμα, πρέπει να συγκρίνετε τα κλάσματα 3/4 και 4/5.

Για να λύσουμε το πρόβλημα, βρίσκουμε πρώτα τον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή, δηλ. μικρότερος αριθμός, που διαιρείται χωρίς υπόλοιπο με καθέναν από τους παρονομαστές των κλασμάτων

Ελάχιστος κοινός παρονομαστής(4,5) = 20

Τότε ο παρονομαστής και των δύο κλασμάτων ανάγεται στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή

Απάντηση: 20/15

Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων

Εάν είναι απαραίτητο να υπολογιστεί το άθροισμα δύο κλασμάτων, πρώτα φέρονται σε έναν κοινό παρονομαστή, στη συνέχεια προστίθενται οι αριθμητές, ενώ ο παρονομαστής παραμένει αμετάβλητος. Η διαφορά των κλασμάτων εξετάζεται με παρόμοιο τρόπο, η μόνη διαφορά είναι ότι αφαιρούνται οι αριθμητές.

Για παράδειγμα, πρέπει να βρείτε το άθροισμα των κλασμάτων 1/2 και 1/3

Τώρα βρείτε τη διαφορά μεταξύ των κλασμάτων 1/2 και 1/4

Πολλαπλασιασμός και διαίρεση κλασμάτων

Εδώ η λύση των κλασμάτων είναι απλή, όλα είναι πολύ απλά εδώ:

• Πολλαπλασιασμός - οι αριθμητές και οι παρονομαστές των κλασμάτων πολλαπλασιάζονται μεταξύ τους.
• Διαίρεση - πρώτα παίρνουμε ένα κλάσμα, το αντίστροφο του δεύτερου κλάσματος, δηλ. ανταλλάσσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του, μετά από τον οποίο πολλαπλασιάζουμε τα κλάσματα που προκύπτουν.

Για παράδειγμα:

Σχετικά με αυτό πώς να λύσετε κλάσματα, όλα. Εάν έχετε ερωτήσεις σχετικά με επίλυση κλασμάτων, κάτι δεν είναι ξεκάθαρο, τότε γράψτε στα σχόλια και θα σας απαντήσουμε.

Εάν είστε δάσκαλος, μπορείτε να κατεβάσετε την παρουσίαση για δημοτικό σχολείο(http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) θα σας φανούν χρήσιμοι.