Πώς να βρείτε διαστήματα μονοτονίας μιας συνάρτησης. β - τελικός αριθμός

Θεώρημα για το όριο μιας μονότονης συνάρτησης. Η απόδειξη του θεωρήματος δίνεται με δύο μεθόδους. Δίνονται επίσης ορισμοί αυστηρά αύξουσας, μη φθίνουσας, αυστηρά φθίνουσας και μη αύξουσας συνάρτησης. Ορισμός μονοτονικής συνάρτησης.

Ορισμοί

Ορισμοί Αύξησης και Μείωσης Συναρτήσεων
Έστω η συνάρτηση f (Χ)ορίζεται σε κάποιο σύνολο πραγματικούς αριθμούςΧ.
Η συνάρτηση καλείται αυστηρά αυξανόμενη (αυστηρά φθίνουσα), αν για όλα x′, x′′ ∈ Χτέτοιο που x′< x′′ выполняется неравенство:
φά (Χ')< f(x′′) (φά (x′) > f(x′′) ) .
Η συνάρτηση καλείται μη φθίνουσα (μη αυξανόμενη), αν για όλα x′, x′′ ∈ Χτέτοιο που x′< x′′ выполняется неравенство:
φά (x′) ≤ f(x′′)(φά (x′) ≥ f(x′′) ) .

Αυτό σημαίνει ότι μια αυστηρά αυξανόμενη συνάρτηση είναι επίσης μη φθίνουσα. Μια αυστηρά φθίνουσα συνάρτηση είναι επίσης μη αυξανόμενη.

Ορισμός μονοτονικής συνάρτησης
Η συνάρτηση καλείται μονότονοςαν είναι μη φθίνουσα ή μη αυξανόμενη.

Για να μελετήσετε τη μονοτονία μιας συνάρτησης σε κάποιο σύνολο X, πρέπει να βρείτε τη διαφορά των τιμών της σε δύο αυθαίρετα σημείαπου ανήκουν σε αυτό το σύνολο. Εάν , τότε η συνάρτηση αυξάνεται αυστηρά. αν , τότε η συνάρτηση δεν μειώνεται. αν , τότε μειώνεται αυστηρά. αν , τότε δεν αυξάνεται.

Εάν σε κάποιο σύνολο η συνάρτηση είναι θετική: , τότε για να προσδιοριστεί η μονοτονία, μπορεί κανείς να εξετάσει το πηλίκο της διαίρεσης των τιμών του σε δύο αυθαίρετα σημεία αυτού του συνόλου. Εάν , τότε η συνάρτηση αυξάνεται αυστηρά. αν , τότε η συνάρτηση δεν μειώνεται. αν , τότε μειώνεται αυστηρά. αν , τότε δεν αυξάνεται.

Θεώρημα
Έστω η συνάρτηση f (Χ)δεν μειώνεται στο μεσοδιάστημα (α, β), όπου .
Αν οριοθετείται από πάνω από τον αριθμό M : , τότε υπάρχει πεπερασμένο αριστερό όριο στο σημείο b : . Αν στ (Χ)δεν περιορίζεται παραπάνω, λοιπόν.
Αν στ (Χ)οριοθετείται από κάτω από τον αριθμό m : , τότε υπάρχει πεπερασμένο δεξιό όριο στο σημείο a : . Αν στ (Χ)δεν περιορίζεται παρακάτω, λοιπόν.

Αν τα σημεία α και β βρίσκονται στο άπειρο, τότε στις εκφράσεις τα οριακά πρόσημα σημαίνουν ότι .
Αυτό το θεώρημα μπορεί να διατυπωθεί πιο συμπαγή.

Έστω η συνάρτηση f (Χ)δεν μειώνεται στο μεσοδιάστημα (α, β), όπου . Τότε υπάρχουν μονόπλευρα όρια στα σημεία α και β:
;
.

Παρόμοιο θεώρημα για μη αύξουσα συνάρτηση.

Αφήστε τη συνάρτηση να μην αυξάνεται στο διάστημα , όπου . Τότε υπάρχουν μονόπλευρα όρια:
;
.

Συνέπεια
Έστω η συνάρτηση μονότονη στο διάστημα . Τότε σε οποιοδήποτε σημείο από αυτό το διάστημα, υπάρχουν μονόπλευρα πεπερασμένα όρια της συνάρτησης:
και .

Απόδειξη του θεωρήματος

Η λειτουργία δεν μειώνεται

β - τελικός αριθμός

Λειτουργία περιορισμένη από πάνω

1.1.1. Έστω η συνάρτηση οριοθετημένη από πάνω από τον αριθμό M : για .

.
;
.

Εφόσον η συνάρτηση δεν μειώνεται, τότε για . Επειτα
στο .
Ας μετατρέψουμε την τελευταία ανισότητα:
;
;
.
Γιατί, λοιπόν. Επειτα
στο .

στο .
«Ορισμοί μονόπλευρων ορίων συνάρτησης σε πεπερασμένο σημείο»).

Η λειτουργία δεν περιορίζεται από πάνω

1. Αφήστε τη συνάρτηση να μην μειώνεται στο διάστημα .
1.1. Έστω ο αριθμός b πεπερασμένος: .
1.1.2. Αφήστε τη συνάρτηση να είναι απεριόριστη από πάνω.
Ας αποδείξουμε ότι σε αυτή την περίπτωση υπάρχει ένα όριο.

.

στο .

Ας υποδηλώσουμε . Τότε για οποιαδήποτε υπάρχει , έτσι ώστε
στο .
Αυτό σημαίνει ότι το όριο στα αριστερά στο σημείο b είναι (βλ. "Ορισμοί μονόπλευρων άπειρων ορίων μιας συνάρτησης στο τελικό σημείο").

β πρώιμο συν άπειρο

Λειτουργία περιορισμένη από πάνω

1. Αφήστε τη συνάρτηση να μην μειώνεται στο διάστημα .
1.2.1. Έστω η συνάρτηση οριοθετημένη από πάνω από τον αριθμό M : για .
Ας αποδείξουμε ότι σε αυτή την περίπτωση υπάρχει ένα όριο.

Εφόσον η συνάρτηση οριοθετείται από πάνω, υπάρχει ένα πεπερασμένο άνω όριο
.
Σύμφωνα με τον ορισμό του ακριβούς άνω πρόσωπο, εκτελούνται παρακάτω συνθήκες:
;
για κάθε θετικό υπάρχει επιχείρημα για το οποίο
.

Εφόσον η συνάρτηση δεν μειώνεται, τότε για . Στη συνέχεια στο . Ή
στο .

Βρήκαμε λοιπόν ότι για οποιοδήποτε υπάρχει ένας αριθμός , έτσι ώστε
στο .
«Ορισμοί μονόπλευρων ορίων στο άπειρο»).

Η λειτουργία δεν περιορίζεται από πάνω

1. Αφήστε τη συνάρτηση να μην μειώνεται στο διάστημα .
1.2. Έστω ο αριθμός b συν άπειρο: .
1.2.2. Αφήστε τη συνάρτηση να είναι απεριόριστη από πάνω.
Ας αποδείξουμε ότι σε αυτή την περίπτωση υπάρχει ένα όριο.

Εφόσον η συνάρτηση δεν περιορίζεται από πάνω, τότε για οποιονδήποτε αριθμό M υπάρχει ένα όρισμα , για το οποίο
.

Εφόσον η συνάρτηση δεν μειώνεται, τότε για . Στη συνέχεια στο .

Έτσι, για οποιοδήποτε υπάρχει ένας αριθμός , έτσι ώστε
στο .
Αυτό σημαίνει ότι το όριο στο είναι (βλ. "Ορισμοί μονόπλευρων άπειρων ορίων στο άπειρο").

Η λειτουργία δεν αυξάνεται

Τώρα εξετάστε την περίπτωση που η συνάρτηση δεν αυξάνεται. Μπορείτε, όπως παραπάνω, να εξετάσετε κάθε επιλογή ξεχωριστά. Αλλά θα τα καλύψουμε αμέσως. Για αυτό χρησιμοποιούμε. Ας αποδείξουμε ότι σε αυτή την περίπτωση υπάρχει ένα όριο.

Θεωρήστε το πεπερασμένο κάτω όριο του συνόλου των τιμών συνάρτησης:
.
Εδώ το Β μπορεί να είναι είτε ένας πεπερασμένος αριθμός είτε ένα σημείο στο άπειρο. Σύμφωνα με τον ορισμό του ακριβούς infimum, πληρούνται οι ακόλουθες προϋποθέσεις:
;
για οποιαδήποτε γειτονιά του σημείου Β υπάρχει όρισμα για το οποίο
.
Με την προϋπόθεση του θεωρήματος, . Να γιατί .

Εφόσον η συνάρτηση δεν αυξάνεται, τότε για . Διότι, λοιπόν
στο .
Ή
στο .
Περαιτέρω, σημειώνουμε ότι η ανισότητα ορίζει την αριστερή διάτρητη γειτονιά του σημείου b .

Έτσι, βρήκαμε ότι για οποιαδήποτε γειτονιά του σημείου , υπάρχει μια τέτοια τρυπημένη αριστερή γειτονιά του σημείου b που
στο .
Αυτό σημαίνει ότι το όριο στα αριστερά στο σημείο b είναι:

(δείτε τον καθολικό ορισμό του ορίου μιας συνάρτησης σύμφωνα με τον Cauchy).

Όριο στο σημείο α

Τώρα ας δείξουμε ότι υπάρχει ένα όριο στο σημείο α και ας βρούμε την τιμή του.

Ας εξετάσουμε μια συνάρτηση. Σύμφωνα με την προϋπόθεση του θεωρήματος, η συνάρτηση είναι μονότονη για . Ας αντικαταστήσουμε τη μεταβλητή x με - x (ή κάνουμε την αντικατάσταση και μετά αντικαθιστούμε τη μεταβλητή t με x). Τότε η συνάρτηση είναι μονότονη για . Πολλαπλασιάζοντας τις ανισότητες με -1 και αλλάζοντας τη σειρά τους, συμπεραίνουμε ότι η συνάρτηση είναι μονότονη για .

Με παρόμοιο τρόπο, είναι εύκολο να δείξουμε ότι αν δεν μειώνεται, τότε δεν αυξάνεται. Τότε, σύμφωνα με όσα αποδείχθηκαν παραπάνω, υπάρχει ένα όριο
.
Αν δεν αυξηθεί, τότε δεν μειώνεται. Σε αυτή την περίπτωση, υπάρχει ένα όριο
.

Τώρα μένει να δείξουμε ότι εάν υπάρχει ένα όριο της συνάρτησης στο , τότε υπάρχει ένα όριο της συνάρτησης στο , και αυτά τα όρια είναι ίσα:
.

Ας εισάγουμε τη σημειογραφία:
(1) .
Ας εκφράσουμε τη f ως g:
.
Πάρτε έναν αυθαίρετο θετικό αριθμό. Έστω έψιλον γειτονιά του σημείου Α . Η γειτονιά Έψιλον ορίζεται τόσο για πεπερασμένες όσο και για άπειρες τιμές του Α (βλ. "Γειτονιά ενός σημείου"). Εφόσον υπάρχει όριο (1), τότε, σύμφωνα με τον ορισμό του ορίου, για οποιοδήποτε υπάρχει τέτοιο ώστε
στο .

Έστω ένας πεπερασμένος αριθμός. Ας εκφράσουμε την αριστερή διάτρητη γειτονιά του σημείου -a χρησιμοποιώντας τις ανισώσεις:
στο .
Ας αντικαταστήσουμε το x με -x και λάβουμε υπόψη ότι:
στο .
Οι δύο τελευταίες ανισότητες ορίζουν μια διάτρητη δεξιά γειτονιά του σημείου a . Επειτα
στο .

Έστω ένα άπειρος αριθμός, . Επαναλαμβάνουμε τη συζήτηση.
στο ;
στο ;
στο ;
στο .

Έτσι, βρήκαμε ότι για οποιονδήποτε υπάρχει τέτοιο
στο .
Αυτό σημαίνει ότι
.

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Πρωτογνωριστήκαμε στο μάθημα της άλγεβρας της 7ης δημοτικού. Βλέποντας το γράφημα της συνάρτησης, αφαιρέσαμε τις σχετικές πληροφορίες: αν κινούμαστε κατά μήκος του γραφήματος από αριστερά προς τα δεξιά, κινούμαστε ταυτόχρονα από κάτω προς τα πάνω (σαν να σκαρφαλώνουμε σε λόφο), τότε δηλώσαμε τη συνάρτηση αυξανόμενη ( Εικ. 124); αν κινηθούμε από πάνω προς τα κάτω (κατεβαίνουμε το λόφο), τότε δηλώσαμε ότι η συνάρτηση είναι φθίνουσα (Εικ. 125).

Ωστόσο, οι μαθηματικοί δεν αγαπούν πολύ αυτόν τον τρόπο μελέτης των ιδιοτήτων μιας συνάρτησης. Πιστεύουν ότι οι ορισμοί των εννοιών δεν πρέπει να βασίζονται σε ένα σχέδιο - ένα σχέδιο πρέπει να απεικονίζει μόνο τη μία ή την άλλη ιδιότητα μιας συνάρτησης στο διάγραμμα. Ας δώσουμε αυστηρούς ορισμούς των εννοιών της αύξησης και της μείωσης των συναρτήσεων.

Ορισμός 1. Η συνάρτηση y \u003d f (x) ονομάζεται αύξουσα στο διάστημα X, αν από την ανισότητα x 1< х 2 - где хг и х2 - любые две точки промежутка X, следует неравенство f(x 1) < f(x 2).

Ορισμός 2. Η συνάρτηση y \u003d f (x) ονομάζεται φθίνουσα στο διάστημα X, αν από την ανισότητα x 1< х 2 , где х 1 и х 2 - любые две точки промежутка X, следует ανισότητα f(x1) > f(x2).

Στην πράξη, είναι πιο βολικό να χρησιμοποιείτε τα ακόλουθα σκευάσματα:

η συνάρτηση αυξάνεται εάν η μεγαλύτερη τιμή του ορίσματος αντιστοιχεί στη μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης.
η συνάρτηση μειώνεται εάν η μεγαλύτερη τιμή του ορίσματος αντιστοιχεί στη μικρότερη τιμή της συνάρτησης.

Χρησιμοποιώντας αυτούς τους ορισμούς και τις ιδιότητες που καθορίζονται στην § 33 αριθμητικές ανισώσεις, θα μπορέσουμε να τεκμηριώσουμε τα συμπεράσματα σχετικά με την αύξηση ή τη μείωση των συναρτήσεων που μελετήθηκαν προηγουμένως.

1. Γραμμική συνάρτηση y = kx + m

Αν k > 0, τότε η συνάρτηση αυξάνεται συνολικά (Εικ. 126). αν κ< 0, то функция убывает на всей числовой прямой (рис. 127).

Απόδειξη. Έστω f(x) = kx + m. Αν x 1< х 2 и k >Α, λοιπόν, σύμφωνα με την ιδιότητα 3 των αριθμητικών ανισώσεων (βλ. § 33), kx 1< kx 2 . Далее, согласно свойству 2, из kx 1 < kx 2 следует, что kx 1 + m < kx 2 + m, т. е. f(х 1) < f(х 2).

Άρα, από την ανίσωση x 1< х 2 следует, что f(х 1) < f(x 2). Это и означает возрастание функции у = f(х), т.е. γραμμικόςσυναρτήσεις y = kx + m.

Αν x 1< х 2 и k < 0, то, согласно свойству 3 числовых неравенств, kx 1 >kx 2 , και σύμφωνα με την ιδιότητα 2, από kx 1 > kx 2 προκύπτει ότι kx 1 + m > kx 2 + t.

Άρα, από την ανίσωση x 1< х 2 следует, что f(х 1) >f(x 2). Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση y \u003d f (x) μειώνεται, δηλ. γραμμική συνάρτηση y = kx + m.

Εάν μια συνάρτηση αυξάνεται (φθίνουσα) σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού της, τότε μπορεί να ονομαστεί αύξουσα (φθίνουσα) χωρίς να προσδιορίζεται το διάστημα. Για παράδειγμα, σχετικά με τη συνάρτηση y \u003d 2x - 3, μπορούμε να πούμε ότι αυξάνεται σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή, αλλά μπορούμε επίσης να πούμε εν συντομία: y \u003d 2x - 3 - αύξηση
λειτουργία.

2. Συνάρτηση y = x2

1. Εξετάστε τη συνάρτηση y \u003d x 2 στη δοκό. Πάρτε δύο μη θετικούς αριθμούς x 1 και x 2 έτσι ώστε x 1< х 2 . Тогда, согласно свойству 3 числовых неравенств, выполняется неравенство - х 1 >- x 2 . Εφόσον οι αριθμοί - x 1 και - x 2 είναι μη αρνητικοί, τότε, τετραγωνίζοντας και τα δύο μέρη της τελευταίας ανίσωσης, λαμβάνουμε μια ανισότητα της ίδιας σημασίας (-x 1) 2 > (-x 2) 2, δηλ. Αυτό σημαίνει ότι f (x 1) > f (x 2).

Άρα, από την ανίσωση x 1< х 2 следует, что f(х 1) >f(x 2).

Επομένως, η συνάρτηση y \u003d x 2 μειώνεται στη δέσμη (- 00, 0] (Εικ. 128).

1. Θεωρήστε μια συνάρτηση στο διάστημα (0, + 00).
Έστω x1< х 2 . Так как х 1 и х 2 - , то из х 1 < x 2 следует (см. пример 1 из § 33), т. е. f(x 1) >f(x2).

Άρα, από την ανίσωση x 1< х 2 следует, что f(x 1) >f(x2). Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση μειώνεται στην ανοιχτή ακτίνα (0, + 00) (Εικ. 129).

2. Θεωρήστε μια συνάρτηση στο διάστημα (-oo, 0). Έστω x 1< х 2 , х 1 и х 2 - αρνητικοί αριθμοί. Τότε - x 1 > - x 2, και τα δύο μέρη της τελευταίας ανισότητας - θετικούς αριθμούς, και επομένως (χρησιμοποιήσαμε ξανά την ανισότητα που αποδείχθηκε στο Παράδειγμα 1 της § 33). Τότε έχουμε , από πού παίρνουμε .

Άρα, από την ανίσωση x 1< х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2) δηλ. η συνάρτηση μειώνεται στην ανοιχτή δέσμη (- 00 , 0)

Συνήθως συνδυάζονται οι όροι «αύξηση συνάρτηση», «φθίνουσα συνάρτηση». συνηθισμένο όνομαμονοτονική συνάρτηση, και η μελέτη μιας συνάρτησης για αύξηση και μείωση ονομάζεται μελέτη μιας συνάρτησης για μονοτονία.

Λύση.

1) Ας σχεδιάσουμε τη συνάρτηση y \u003d 2x 2 και πάρουμε τον κλάδο αυτής της παραβολής στο x< 0 (рис. 130).

2) Ας δημιουργήσουμε και επιλέγουμε το τμήμα του στο τμήμα (Εικ. 131).

3) Κατασκευάζουμε μια υπερβολή και επιλέγουμε το τμήμα της στην ανοιχτή ακτίνα (4, + 00) (Εικ. 132).
4) Και τα τρία "κομμάτια" θα απεικονίζονται στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων - αυτό είναι το γράφημα της συνάρτησης y \u003d f (x) (Εικ. 133).

Ας διαβάσουμε το γράφημα της συνάρτησης y \u003d f (x).

1. Το εύρος της συνάρτησης είναι ολόκληρη η αριθμητική γραμμή.

2. y \u003d 0 για x \u003d 0; y > 0 για x > 0.

3. Η συνάρτηση μειώνεται στην ακτίνα (-oo, 0], αυξάνεται στο τμήμα , μειώνεται στην ακτίνα, κυρτή προς τα πάνω στο τμήμα , κυρτή προς τα κάτω στην ακτίναΘεωρήστε τη συνάρτηση \(f(t)=t^3+t\) . Τότε η εξίσωση θα ξαναγραφεί με τη μορφή: \ Διερευνούμε τη συνάρτηση \(f(t)\) . \ Επομένως, η συνάρτηση \(f(t)\) αυξάνεται για όλα τα \(t\) . Αυτό σημαίνει ότι κάθε τιμή της συνάρτησης \(f(t)\) αντιστοιχεί ακριβώς σε μια τιμή του ορίσματος \(t\) . Επομένως, για να έχει ρίζες η εξίσωση, χρειάζεστε: \ Για να έχει δύο ρίζες η εξίσωση που προκύπτει, η διάκρισή της πρέπει να είναι θετική: \

Απάντηση:

\(\αριστερά(-\infty;\dfrac1(12)\right)\)

Εργασία 2 #2653

Επίπεδο εργασίας: Ίσο με την Ενιαία Κρατική Εξέταση

Βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου \(a\) για τις οποίες η εξίσωση \

έχει δύο ρίζες.

(Εργασία από συνδρομητές.)

Ας κάνουμε μια αντικατάσταση: \(ax^2-2x=t\) , \(x^2-1=u\) . Τότε η εξίσωση θα πάρει τη μορφή: \ Θεωρήστε τη συνάρτηση \(f(w)=7^w+\sqrtw\) . Τότε η εξίσωσή μας θα έχει τη μορφή:

Ας βρούμε την παράγωγο \ Σημειώστε ότι για όλα τα \(w\ne 0\) η παράγωγος είναι \(f"(w)>0\) , αφού \(7^w>0\) , \(w^6>0\) . Σημειώστε επίσης ότι η ίδια η συνάρτηση \(f(w)\) ορίζεται για όλα τα \(w\) .Επειδή, επιπλέον, το \(f(w)\) είναι συνεχές, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το \(f (w)\) είναι αυξάνεται σε όλα τα \(\mathbb(R)\) .
Επομένως, η ισότητα \(f(t)=f(u)\) είναι δυνατή εάν και μόνο εάν \(t=u\) . Ας επιστρέψουμε στις αρχικές μεταβλητές και ας λύσουμε την εξίσωση που προκύπτει:

\ Για να έχει αυτή η εξίσωση δύο ρίζες, πρέπει να είναι τετράγωνο και η διάκρισή της να είναι θετική:

\[\begin(cases) a-1\ne 0\\ 4-4(a-1)>0\end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases)a\ne1\\a<2\end{cases}\]

Απάντηση:

\((-\infty;1)\κύπελλο(1;2)\)

Εργασία 3 #3921

Επίπεδο εργασίας: Ίσο με την Ενιαία Κρατική Εξέταση

Βρείτε όλες τις θετικές τιμές της παραμέτρου \(a\) για τις οποίες η εξίσωση

έχει τουλάχιστον \(2\) λύσεις.

Ας μετακινήσουμε όλους τους όρους που περιέχουν \(ax\) στα αριστερά και αυτούς που περιέχουν \(x^2\) στα δεξιά και ας εξετάσουμε τη συνάρτηση
\

Τότε η αρχική εξίσωση θα πάρει τη μορφή:
\

Ας βρούμε την παράγωγο:
\

Επειδή \((t-2)^2 \geqslant 0, \ e^t>0, \ 1+\cos(2t) \geqslant 0\), μετά \(f"(t)\geqslant 0\) για οποιοδήποτε \(t\in \mathbb(R)\) .

Επιπλέον, \(f"(t)=0\) εάν \((t-2)^2=0\) και \(1+\cos(2t)=0\) ταυτόχρονα, κάτι που δεν είναι αλήθεια για οποιοδήποτε \ (t\) Επομένως, \(f"(t)> 0\) για οποιοδήποτε \(t\in \mathbb(R)\) .

Έτσι η συνάρτηση \(f(t)\) είναι αυστηρά αυξανόμενη για όλα τα \(t\in \mathbb(R)\) .

Άρα η εξίσωση \(f(ax)=f(x^2)\) είναι ισοδύναμη με την εξίσωση \(ax=x^2\) .

Η εξίσωση \(x^2-ax=0\) με \(a=0\) έχει μια ρίζα \(x=0\) , και με \(a\ne 0\) έχει δύο διαφορετική ρίζα\(x_1=0\) και \(x_2=a\) .
Πρέπει να βρούμε τις τιμές \(a\) για τις οποίες η εξίσωση θα έχει τουλάχιστον δύο ρίζες, λαμβάνοντας επίσης υπόψη το γεγονός ότι \(a>0\) .
Επομένως, η απάντηση είναι: \(a\in (0;+\infty)\) .

Απάντηση:

\((0;+\infty)\) .

Εργασία 4 #1232

Επίπεδο εργασίας: Ίσο με την Ενιαία Κρατική Εξέταση

Βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου \(a\) , για καθεμία από τις οποίες η εξίσωση \

έχει μια μοναδική λύση.

Πολλαπλασιάστε τη δεξιά και την αριστερή πλευρά της εξίσωσης με \(2^(\sqrt(x+1))\) (γιατί \(2^(\sqrt(x+1))>0\) ) και ξαναγράψτε την εξίσωση ως : \

Εξετάστε τη συνάρτηση \(y=2^t\cdot \log_(\frac(1)(9))((t+2))\)για \(t\geqslant 0\) (γιατί \(\sqrt(x+1)\geqslant 0\) ).

Παράγωγο \(y"=\left(-2^t\cdot \log_9((t+2))\right)"=-\dfrac(2^t)(\ln9)\cdot \left(\ln 2\cdot \ln((t+2))+\dfrac(1)(t+2)\δεξιά)\).

Επειδή \(2^t>0, \ \dfrac(1)(t+2)>0, \ \ln((t+2))>0\)για όλα τα \(t\geqslant 0\) , μετά \(y"<0\) при всех \(t\geqslant 0\) .

Συνεπώς, για \(t\geqslant 0\) η συνάρτηση \(y\) μειώνεται μονότονα.

Η εξίσωση μπορεί να προβληθεί ως \(y(t)=y(z)\) , όπου \(z=ax, t=\sqrt(x+1)\) . Από τη μονοτονία της συνάρτησης προκύπτει ότι η ισότητα είναι δυνατή μόνο αν \(t=z\) .

Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την εξίσωση: \(ax=\sqrt(x+1)\) , η οποία με τη σειρά της είναι ισοδύναμη με το σύστημα: \[\begin(περιπτώσεις) a^2x^2-x-1=0\\ ax \geqslant 0 \end(περιπτώσεις)\]

Για \(a=0\) το σύστημα έχει μία λύση \(x=-1\) , η οποία ικανοποιεί τη συνθήκη \(ax\geqslant 0\) .

Εξετάστε την περίπτωση \(a\ne 0\) . Η διάκριση της πρώτης εξίσωσης του συστήματος \(D=1+4a^2>0\) για όλα τα \(a\) . Επομένως, η εξίσωση έχει πάντα δύο ρίζες \(x_1\) και \(x_2\) , και έχουν διαφορετικά πρόσημα (γιατί σύμφωνα με το θεώρημα Vieta \(x_1\cdot x_2=-\dfrac(1)(a^2)<0\) ).

Αυτό σημαίνει ότι για \(α<0\) условию \(ax\geqslant 0\) подходит отрицательный корень, при \(a>0\) η θετική ρίζα ταιριάζει στην συνθήκη. Επομένως, το σύστημα έχει πάντα μια μοναδική λύση.

Άρα \(a\in \mathbb(R)\) .

Απάντηση:

\(a\in \mathbb(R)\) .

Εργασία 5 #1234

Επίπεδο εργασίας: Ίσο με την Ενιαία Κρατική Εξέταση

Βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου \(a\) , για καθεμία από τις οποίες η εξίσωση \

έχει τουλάχιστον μία ρίζα από το διάστημα \([-1;0]\) .

Εξετάστε τη συνάρτηση \(f(x)=2x^3-3x(ax+x-a^2-1)-3a-a^3\)για κάποιο σταθερό \(a\) . Ας βρούμε την παράγωγή του: \(f"(x)=6x^2-6ax-6x+3a^2+3=3(x^2-2ax+a^2+x^2-2x+1)=3((x-a)^2 +(x-1)^2)\).

Σημειώστε ότι το \(f"(x)\geqslant 0\) για όλες τις τιμές των \(x\) και \(a\) , και είναι ίσο με \(0\) μόνο για \(x=a=1 \) Αλλά για \(a=1\) :
\(f"(x)=6(x-1)^2 \Δεξί βέλος f(x)=2(x-1)^3 \Δεξί βέλος\)η εξίσωση \(2(x-1)^3=0\) έχει μια μοναδική ρίζα \(x=1\) που δεν ικανοποιεί τη συνθήκη. Επομένως, το \(a\) δεν μπορεί να είναι ίσο με \(1\) .

Επομένως, για όλα τα \(a\ne 1\) η συνάρτηση \(f(x)\) είναι αυστηρά αύξουσα, επομένως η εξίσωση \(f(x)=0\) μπορεί να έχει το πολύ μία ρίζα. Δεδομένων των ιδιοτήτων μιας κυβικής συνάρτησης, το γράφημα \(f(x)\) για κάποιο σταθερό \(a\) θα μοιάζει με αυτό:

Άρα, για να έχει η εξίσωση ρίζα από το τμήμα \([-1;0]\) , είναι απαραίτητο: \[\begin(cases) f(0)\geqslant 0\\ f(-1)\leqslant 0 \end(cases) \Rightarrow \begin(cases) a(a^2+3)\leqslant 0\\ ( a+2)(a^2+a+4)\geqslant 0 \end(περιπτώσεις) \Rightarrow \begin(cases) a\leqslant 0\\ a\geqslant -2 \end(cases) \Rightarrow -2\leqslant a\leqslant 0\]

Άρα \(a\in [-2;0]\) .

Απάντηση:

\(a\σε [-2;0]\) .

Εργασία 6 #2949

Επίπεδο εργασίας: Ίσο με την Ενιαία Κρατική Εξέταση

Βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου \(a\) , για καθεμία από τις οποίες η εξίσωση \[(\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6)\cdot (\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2))=0\]

έχει ρίζες.

(Εργασία από συνδρομητές)

εξίσωση odz: \(2x-2x^2\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad x\in \). Επομένως, για να έχει ρίζες η εξίσωση, είναι απαραίτητο τουλάχιστον μία από τις εξισώσεις \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad (\small(\text(ή)))\quad \sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^ 2)=0\]είχε αποφάσεις για την ΟΔΖ.

1) Θεωρήστε την πρώτη εξίσωση \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(atigned) &\sin x=2a+ 2 \\ &\sin x=3\\ \end(ευθυγραμμισμένο) \end(συγκεντρώθηκε)\δεξιά. \quad\Leftrightarrow\quad \sin x=2a+2\]Αυτή η εξίσωση πρέπει να έχει ρίζες στο \(\) . Σκεφτείτε έναν κύκλο:

Έτσι, βλέπουμε ότι για οποιαδήποτε \(2a+2\in [\sin 0;\sin 1]\) η εξίσωση θα έχει μία λύση και για όλες τις άλλες δεν θα έχει λύσεις. Ως εκ τούτου, στο \(a\in \αριστερά[-1;-1+\sin 1\δεξιά]\)η εξίσωση έχει λύσεις.

2) Θεωρήστε τη δεύτερη εξίσωση \[\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2)=0 \quad\Leftrightarrow\quad 8x\sqrt(x-x^2)=-a\]

Θεωρήστε τη συνάρτηση \(f(x)=8x\sqrt(x-x^2)\) . Ας βρούμε την παράγωγή του: \ Στο ODZ, η παράγωγος έχει ένα μηδέν: \(x=\frac34\) , που είναι επίσης το μέγιστο σημείο της συνάρτησης \(f(x)\) .
Σημειώστε ότι \(f(0)=f(1)=0\) . Έτσι, σχηματικά, το γράφημα \(f(x)\) μοιάζει με αυτό:

Επομένως, για να έχει λύσεις η εξίσωση, είναι απαραίτητο το γράφημα \ (f (x) \) να τέμνεται με την ευθεία \ (y \u003d -a \) (μια από τις κατάλληλες επιλογές φαίνεται στο σχήμα) . Είναι απαραίτητο δηλαδή \ . Με αυτά τα \(x\):

Η συνάρτηση \(y_1=\sqrt(x-1)\) αυξάνεται αυστηρά. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης \(y_2=5x^2-9x\) είναι μια παραβολή της οποίας η κορυφή βρίσκεται στο σημείο \(x=\dfrac(9)(10)\) . Επομένως, για όλα τα \(x\geqslant 1\) η συνάρτηση \(y_2\) είναι επίσης αυστηρά αυξανόμενη (ο δεξιός κλάδος της παραβολής). Επειδή το άθροισμα των αυστηρά αυξανόμενων συναρτήσεων αυξάνεται αυστηρά, τότε το \(f_a(x)\) αυξάνεται αυστηρά (η σταθερά \(3a+8\) δεν επηρεάζει τη μονοτονία της συνάρτησης).

Η συνάρτηση \(g_a(x)=\dfrac(a^2)(x)\) για όλα τα \(x\geqslant 1\) είναι μέρος του δεξιού κλάδου της υπερβολής και είναι αυστηρά φθίνουσα.

Η επίλυση της εξίσωσης \(f_a(x)=g_a(x)\) σημαίνει την εύρεση των σημείων τομής των συναρτήσεων \(f\) και \(g\) . Από την αντίθετη μονοτονία τους προκύπτει ότι η εξίσωση μπορεί να έχει το πολύ μία ρίζα.

Για \(x\geqslant 1\) \(f_a(x)\geqslant 3a+4, \ \ \ 0 . Επομένως, η εξίσωση θα έχει μια μοναδική λύση εάν:

\\φλιτζάνι

Απάντηση:

\(a\in(-\infty;-1]\κύπελλο)