Επίλυση ορισμένου ολοκληρώματος με λύση. Ολοκληρώματα για ομοιώματα: πώς να λύσετε, κανόνες υπολογισμού, επεξήγηση

Η επίλυση ολοκληρωμάτων είναι μια εύκολη υπόθεση, αλλά μόνο για την ελίτ. Αυτό το άρθρο είναι για όσους θέλουν να μάθουν να κατανοούν τα ολοκληρώματα, αλλά γνωρίζουν ελάχιστα ή καθόλου για αυτά. Αναπόσπαστο... Γιατί χρειάζεται; Πώς να το υπολογίσετε; Τι είναι τα οριστικά και τα αόριστα ολοκληρώματα;

Εάν η μόνη χρήση του ολοκληρώματος που γνωρίζετε είναι να πάρετε κάτι χρήσιμο από δυσπρόσιτα μέρη με ένα γάντζο σε σχήμα ενσωματωμένου εικονιδίου, τότε καλώς ήρθατε! Μάθετε πώς να λύνετε απλά και άλλα ολοκληρώματα και γιατί δεν μπορείτε χωρίς αυτό στα μαθηματικά.

Μελετάμε την έννοια « αναπόσπαστο »

Η ενσωμάτωση ήταν γνωστή στην αρχαία Αίγυπτο. Φυσικά, όχι σε σύγχρονη μορφή, αλλά ακόμα. Από τότε, οι μαθηματικοί έχουν γράψει πάρα πολλά βιβλία για το θέμα. Ιδιαίτερα διακρίνεται νεύτο και Leibniz αλλά η ουσία των πραγμάτων δεν έχει αλλάξει.

Πώς να κατανοήσετε τα ολοκληρώματα από την αρχή; Με τιποτα! Για να κατανοήσετε αυτό το θέμα, θα χρειαστείτε ακόμα βασικές γνώσεις για τα βασικά της μαθηματικής ανάλυσης. Πληροφορίες για το , οι οποίες είναι επίσης απαραίτητες για την κατανόηση των ολοκληρωμάτων, υπάρχουν ήδη στο ιστολόγιό μας.

Αόριστο ολοκλήρωμα

Ας έχουμε κάποια λειτουργία f(x) .

Το αόριστο ολοκλήρωμα της συνάρτησης f(x) καλείται μια τέτοια συνάρτηση F(x) , του οποίου η παράγωγος είναι ίση με τη συνάρτηση f(x) .

Με άλλα λόγια, ένα ολοκλήρωμα είναι ένα αντίστροφο παράγωγο ή αντιπαράγωγο. Με την ευκαιρία, για το πώς να διαβάσετε στο άρθρο μας.

Υπάρχει ένα αντιπαράγωγο για όλες τις συνεχείς συναρτήσεις. Επίσης, ένα σταθερό πρόσημο προστίθεται συχνά στην αντιπαράγωγο, αφού οι παράγωγοι συναρτήσεων που διαφέρουν κατά σταθερά συμπίπτουν. Η διαδικασία εύρεσης ενός ολοκληρώματος ονομάζεται ολοκλήρωση.

Απλό παράδειγμα:

Για να μην υπολογίζουμε συνεχώς τα αντιπαράγωγα των στοιχειωδών συναρτήσεων, είναι βολικό να τα φέρουμε σε έναν πίνακα και να χρησιμοποιούμε έτοιμες τιμές.

Πλήρης πίνακας ολοκληρωμάτων για μαθητές

Ορισμένο ολοκλήρωμα

Όταν ασχολούμαστε με την έννοια του ολοκληρώματος, έχουμε να κάνουμε με απειροελάχιστα μεγέθη. Το ολοκλήρωμα θα βοηθήσει στον υπολογισμό του εμβαδού του σχήματος, της μάζας ενός ανομοιογενούς σώματος, της διαδρομής που διανύθηκε κατά τη διάρκεια της ανομοιόμορφης κίνησης και πολλά άλλα. Θα πρέπει να θυμόμαστε ότι το ολοκλήρωμα είναι το άθροισμα ενός απείρως μεγάλου αριθμού απείρως μικρών όρων.

Για παράδειγμα, φανταστείτε ένα γράφημα κάποιας συνάρτησης.

Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται από ένα γράφημα μιας συνάρτησης; Με τη βοήθεια ενός αναπόσπαστου! Ας σπάσουμε το καμπυλόγραμμο τραπέζιο, που οριοθετείται από τους άξονες συντεταγμένων και τη γραφική παράσταση της συνάρτησης, σε απειροελάχιστα τμήματα. Έτσι, το σχήμα θα χωριστεί σε λεπτές στήλες. Το άθροισμα των εμβαδών των στηλών θα είναι το εμβαδόν του τραπεζοειδούς. Αλλά θυμηθείτε ότι ένας τέτοιος υπολογισμός θα δώσει ένα κατά προσέγγιση αποτέλεσμα. Ωστόσο, όσο μικρότερα και στενότερα είναι τα τμήματα, τόσο πιο ακριβής θα είναι ο υπολογισμός. Αν τα μειώσουμε σε τέτοιο βαθμό που το μήκος τείνει στο μηδέν, τότε το άθροισμα των εμβαδών των τμημάτων θα τείνει στο εμβαδόν του σχήματος. Αυτό είναι το οριστικό ολοκλήρωμα, το οποίο γράφεται ως εξής:

Τα σημεία α και β ονομάζονται όρια ολοκλήρωσης.

« Αναπόσπαστο »

Παρεμπιπτόντως! Για τους αναγνώστες μας υπάρχει τώρα έκπτωση 10%.

Κανόνες υπολογισμού ολοκληρωμάτων για ανδρείκελα

Ιδιότητες του αορίστου ολοκληρώματος

Πώς να λύσετε ένα αόριστο ολοκλήρωμα; Εδώ θα εξετάσουμε τις ιδιότητες του αόριστου ολοκληρώματος, οι οποίες θα είναι χρήσιμες για την επίλυση παραδειγμάτων.

• Η παράγωγος του ολοκληρώματος είναι ίση με το ολοκλήρωμα:

• Η σταθερά μπορεί να αφαιρεθεί κάτω από το σύμβολο του ολοκληρώματος:

• Το ολοκλήρωμα του αθροίσματος είναι ίσο με το άθροισμα των ολοκληρωμάτων. Επίσης ισχύει για τη διαφορά:

Ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος

• Γραμμικότητα:

• Το πρόσημο του ολοκληρώματος αλλάζει εάν αντιστραφούν τα όρια ολοκλήρωσης:

• Στο όποιοςσημεία ένα, σικαι με:

Έχουμε ήδη ανακαλύψει ότι το οριστικό ολοκλήρωμα είναι το όριο του αθροίσματος. Αλλά πώς να λάβετε μια συγκεκριμένη τιμή κατά την επίλυση ενός παραδείγματος; Για αυτό, υπάρχει ο τύπος Newton-Leibniz:

Παραδείγματα επίλυσης ολοκληρωμάτων

Παρακάτω εξετάζουμε το αόριστο ολοκλήρωμα και παραδείγματα με λύσεις. Σας προσφέρουμε να κατανοήσετε ανεξάρτητα τις περιπλοκές της λύσης και αν κάτι δεν είναι ξεκάθαρο, κάντε ερωτήσεις στα σχόλια.

Για να εμπεδώσετε το υλικό, παρακολουθήστε ένα βίντεο για το πώς λύνονται τα ολοκληρώματα στην πράξη. Μην απελπίζεστε αν το ολοκλήρωμα δεν δοθεί αμέσως. Απευθυνθείτε σε μια επαγγελματική υπηρεσία φοιτητών και οποιοδήποτε τριπλό ή καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα πάνω από μια κλειστή επιφάνεια θα είναι μέσα σας.

Εάν οι ορισμοί των σχολικών βιβλίων είναι πολύ περίπλοκοι και ακατανόητοι, διαβάστε το άρθρο μας. Θα προσπαθήσουμε να εξηγήσουμε όσο το δυνατόν πιο απλά, «στα δάχτυλα», τα κύρια σημεία μιας τέτοιας ενότητας των μαθηματικών ως καθορισμένα ολοκληρώματα. Πώς να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα, διαβάστε σε αυτό το εγχειρίδιο.

Από γεωμετρική άποψη, το ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης είναι το εμβαδόν του σχήματος που σχηματίζεται από το γράφημα αυτής της συνάρτησης και ο άξονας εντός της ολοκλήρωσης. Γράψτε το ολοκλήρωμα, αναλύστε τη συνάρτηση κάτω από το ολοκλήρωμα: εάν το ολοκλήρωμα μπορεί να απλοποιηθεί (μείωση, παράμετρος του ολοκληρώματος, διαχωρισμός σε δύο απλά ολοκληρώματα), κάντε το. Ανοίξτε τον πίνακα ολοκληρωμάτων για να προσδιορίσετε ποια παράγωγο συνάρτησης βρίσκεται κάτω από το ολοκλήρωμα. Βρέθηκε η απάντηση; Γράψτε τον παράγοντα που αφαιρέθηκε από το ολοκλήρωμα (αν έλαβε χώρα), γράψτε τη συνάρτηση που βρέθηκε από τον πίνακα, αντικαταστήστε τα όρια του ολοκληρώματος.

Για να υπολογίσετε την τιμή ενός ολοκληρώματος, υπολογίστε την τιμή του στο άνω όριο και αφαιρέστε την τιμή του στο κάτω όριο. Η διαφορά είναι η επιθυμητή τιμή.

Για να δοκιμάσετε τον εαυτό σας ή τουλάχιστον να κατανοήσετε την πορεία επίλυσης του προβλήματος για ολοκληρώματα, είναι βολικό να χρησιμοποιήσετε την ηλεκτρονική υπηρεσία για την εύρεση ολοκληρωμάτων, ωστόσο, πριν προχωρήσετε στη λύση, διαβάστε τους κανόνες για την εισαγωγή συναρτήσεων. Το μεγαλύτερο πλεονέκτημά του είναι ότι εδώ περιγράφεται βήμα προς βήμα ολόκληρη η λύση του προβλήματος με το ολοκλήρωμα.

Φυσικά, μόνο οι απλούστερες εκδόσεις των ολοκληρωμάτων εξετάζονται εδώ - σίγουρα, στην πραγματικότητα, υπάρχουν πάρα πολλές ποικιλίες ολοκληρωμάτων, μελετώνται στο μάθημα ανώτερων μαθηματικών, μαθηματικής ανάλυσης και διαφορικών εξισώσεων σε πανεπιστήμια για φοιτητές τεχνικών ειδικοτήτων.

Η ηλεκτρονική υπηρεσία είναι ενεργοποιημένη δικτυακός τόποςσας επιτρέπει να βρείτε επίλυση ορισμένου ολοκληρώματος στο διαδίκτυο. Η απόφαση πραγματοποιείται αυτόματα στον διακομιστή και μέσα σε λίγα δευτερόλεπτα δίνεται στον χρήστη το αποτέλεσμα. Όλες οι διαδικτυακές υπηρεσίες στον ιστότοπο είναι απολύτως δωρεάν και η λύση εκδίδεται σε βολική και κατανοητή μορφή. Επίσης, το πλεονέκτημά μας είναι ότι παρέχουμε στον χρήστη τη δυνατότητα να εισέλθει στα όρια της ολοκλήρωσης, συμπεριλαμβανομένων των ορίων ολοκλήρωσης: μείον και συν άπειρο. Έτσι, η επίλυση ενός ορισμένου ολοκληρώματος γίνεται απλή, γρήγορη και ποιοτική. Είναι σημαντικό να το επιτρέπει ο διακομιστής υπολογισμός ορισμένων ολοκληρωμάτων onlineσύνθετες λειτουργίες, η επίλυση των οποίων σε άλλες διαδικτυακές υπηρεσίες είναι συχνά αδύνατη λόγω της ατέλειας των συστημάτων τους. Παρέχουμε έναν πολύ απλό και διαισθητικό μηχανισμό για την εισαγωγή συναρτήσεων και τη δυνατότητα επιλογής μιας μεταβλητής ολοκλήρωσης, για την οποία δεν χρειάζεται να μεταφράσετε μια συνάρτηση που δίνεται σε μια μεταβλητή σε άλλη, εξαλείφοντας τα λάθη και τα τυπογραφικά λάθη που σχετίζονται με αυτό. Η σελίδα περιέχει επίσης συνδέσμους προς θεωρητικά άρθρα και πίνακες για τη λύση ορισμένων ολοκληρωμάτων. Όλα μαζί θα σας επιτρέψουν να υπολογίσετε ένα ορισμένο ολοκλήρωμα διαδικτυακά πολύ γρήγορα και, αν θέλετε, να βρείτε και να κατανοήσετε τη θεωρία επίλυσης ορισμένων ολοκληρωμάτων. Στον ιστότοπο http: // μπορείτε επίσης να μεταβείτε σε άλλες υπηρεσίες: ηλεκτρονική λύση ορίων, παράγωγα, αθροίσματα σειρών. Η μετάβαση στην καρτέλα για την επίλυση αόριστων ολοκληρωμάτων στο διαδίκτυο είναι αρκετά απλή - ο σύνδεσμος βρίσκεται στη σειρά μεταξύ χρήσιμων συνδέσμων. Επιπλέον, η υπηρεσία βελτιώνεται και αναπτύσσεται συνεχώς και καθημερινά υπάρχουν όλο και περισσότερες νέες δυνατότητες και βελτιώσεις. Λύστε οριστικά ολοκληρώματαμαζι μας! Όλες οι διαδικτυακές υπηρεσίες είναι διαθέσιμες ακόμη και σε μη εγγεγραμμένους χρήστες και είναι απολύτως δωρεάν.

Επιλύοντας ένα συγκεκριμένο αναπόσπαστο μαζί μας, μπορείτε να ελέγξετε τη δική σας λύση ή να απαλλαγείτε από περιττούς χρονοβόρους υπολογισμούς και να εμπιστευτείτε ένα αυτοματοποιημένο μηχάνημα υψηλής τεχνολογίας. Η ακρίβεια που υπολογίζεται στην υπηρεσία θα ικανοποιήσει σχεδόν όλα τα πρότυπα μηχανικής. Συχνά, για πολλά οριστικά ολοκληρώματα με πίνακα, το αποτέλεσμα δίνεται με ακριβείς όρους (χρησιμοποιώντας γνωστές σταθερές και μη στοιχειώδεις συναρτήσεις).

Η επίλυση ολοκληρωμάτων είναι μια εύκολη υπόθεση, αλλά μόνο για την ελίτ. Αυτό το άρθρο είναι για όσους θέλουν να μάθουν να κατανοούν τα ολοκληρώματα, αλλά γνωρίζουν ελάχιστα ή καθόλου για αυτά. Αναπόσπαστο... Γιατί χρειάζεται; Πώς να το υπολογίσετε; Τι είναι τα οριστικά και τα αόριστα ολοκληρώματα;

Εάν η μόνη χρήση του ολοκληρώματος που γνωρίζετε είναι να πάρετε κάτι χρήσιμο από δυσπρόσιτα μέρη με ένα γάντζο σε σχήμα ενσωματωμένου εικονιδίου, τότε καλώς ήρθατε! Μάθετε πώς να λύνετε απλά και άλλα ολοκληρώματα και γιατί δεν μπορείτε χωρίς αυτό στα μαθηματικά.

Μελετάμε την έννοια « αναπόσπαστο »

Η ενσωμάτωση ήταν γνωστή στην αρχαία Αίγυπτο. Φυσικά, όχι σε σύγχρονη μορφή, αλλά ακόμα. Από τότε, οι μαθηματικοί έχουν γράψει πάρα πολλά βιβλία για το θέμα. Ιδιαίτερα διακρίνεται νεύτο και Leibniz αλλά η ουσία των πραγμάτων δεν έχει αλλάξει.

Πώς να κατανοήσετε τα ολοκληρώματα από την αρχή; Με τιποτα! Για να κατανοήσετε αυτό το θέμα, θα χρειαστείτε ακόμα βασικές γνώσεις για τα βασικά της μαθηματικής ανάλυσης. Πληροφορίες σχετικά με τα όρια και τα παράγωγα, που είναι επίσης απαραίτητα για την κατανόηση των ολοκληρωμάτων, υπάρχουν ήδη στο ιστολόγιό μας.

Αόριστο ολοκλήρωμα

Ας έχουμε κάποια λειτουργία f(x) .

Το αόριστο ολοκλήρωμα της συνάρτησης f(x) καλείται μια τέτοια συνάρτηση F(x) , του οποίου η παράγωγος είναι ίση με τη συνάρτηση f(x) .

Με άλλα λόγια, ένα ολοκλήρωμα είναι ένα αντίστροφο παράγωγο ή αντιπαράγωγο. Παρεμπιπτόντως, διαβάστε το άρθρο μας σχετικά με τον τρόπο υπολογισμού των παραγώγων.

Υπάρχει ένα αντιπαράγωγο για όλες τις συνεχείς συναρτήσεις. Επίσης, ένα σταθερό πρόσημο προστίθεται συχνά στην αντιπαράγωγο, αφού οι παράγωγοι συναρτήσεων που διαφέρουν κατά σταθερά συμπίπτουν. Η διαδικασία εύρεσης ενός ολοκληρώματος ονομάζεται ολοκλήρωση.

Απλό παράδειγμα:

Για να μην υπολογίζουμε συνεχώς τα αντιπαράγωγα των στοιχειωδών συναρτήσεων, είναι βολικό να τα φέρουμε σε έναν πίνακα και να χρησιμοποιούμε έτοιμες τιμές.

Πλήρης πίνακας ολοκληρωμάτων για μαθητές

Ορισμένο ολοκλήρωμα

Όταν ασχολούμαστε με την έννοια του ολοκληρώματος, έχουμε να κάνουμε με απειροελάχιστα μεγέθη. Το ολοκλήρωμα θα βοηθήσει στον υπολογισμό του εμβαδού του σχήματος, της μάζας ενός ανομοιογενούς σώματος, της διαδρομής που διανύθηκε κατά τη διάρκεια της ανομοιόμορφης κίνησης και πολλά άλλα. Θα πρέπει να θυμόμαστε ότι το ολοκλήρωμα είναι το άθροισμα ενός απείρως μεγάλου αριθμού απείρως μικρών όρων.

Για παράδειγμα, φανταστείτε ένα γράφημα κάποιας συνάρτησης.

Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται από ένα γράφημα μιας συνάρτησης; Με τη βοήθεια ενός αναπόσπαστου! Ας σπάσουμε το καμπυλόγραμμο τραπέζιο, που οριοθετείται από τους άξονες συντεταγμένων και τη γραφική παράσταση της συνάρτησης, σε απειροελάχιστα τμήματα. Έτσι, το σχήμα θα χωριστεί σε λεπτές στήλες. Το άθροισμα των εμβαδών των στηλών θα είναι το εμβαδόν του τραπεζοειδούς. Αλλά θυμηθείτε ότι ένας τέτοιος υπολογισμός θα δώσει ένα κατά προσέγγιση αποτέλεσμα. Ωστόσο, όσο μικρότερα και στενότερα είναι τα τμήματα, τόσο πιο ακριβής θα είναι ο υπολογισμός. Αν τα μειώσουμε σε τέτοιο βαθμό που το μήκος τείνει στο μηδέν, τότε το άθροισμα των εμβαδών των τμημάτων θα τείνει στο εμβαδόν του σχήματος. Αυτό είναι το οριστικό ολοκλήρωμα, το οποίο γράφεται ως εξής:

Τα σημεία α και β ονομάζονται όρια ολοκλήρωσης.

« Αναπόσπαστο »

Παρεμπιπτόντως! Για τους αναγνώστες μας υπάρχει τώρα έκπτωση 10%. κάθε είδους εργασία

Κανόνες υπολογισμού ολοκληρωμάτων για ανδρείκελα

Ιδιότητες του αορίστου ολοκληρώματος

Πώς να λύσετε ένα αόριστο ολοκλήρωμα; Εδώ θα εξετάσουμε τις ιδιότητες του αόριστου ολοκληρώματος, οι οποίες θα είναι χρήσιμες για την επίλυση παραδειγμάτων.

• Η παράγωγος του ολοκληρώματος είναι ίση με το ολοκλήρωμα:

• Η σταθερά μπορεί να αφαιρεθεί κάτω από το σύμβολο του ολοκληρώματος:

• Το ολοκλήρωμα του αθροίσματος είναι ίσο με το άθροισμα των ολοκληρωμάτων. Επίσης ισχύει για τη διαφορά:

Ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος

• Γραμμικότητα:

• Το πρόσημο του ολοκληρώματος αλλάζει εάν αντιστραφούν τα όρια ολοκλήρωσης:

• Στο όποιοςσημεία ένα, σικαι με:

Έχουμε ήδη ανακαλύψει ότι το οριστικό ολοκλήρωμα είναι το όριο του αθροίσματος. Αλλά πώς να λάβετε μια συγκεκριμένη τιμή κατά την επίλυση ενός παραδείγματος; Για αυτό, υπάρχει ο τύπος Newton-Leibniz:

Παραδείγματα επίλυσης ολοκληρωμάτων

Παρακάτω εξετάζουμε το αόριστο ολοκλήρωμα και παραδείγματα με λύσεις. Σας προσφέρουμε να κατανοήσετε ανεξάρτητα τις περιπλοκές της λύσης και αν κάτι δεν είναι ξεκάθαρο, κάντε ερωτήσεις στα σχόλια.

Για να εμπεδώσετε το υλικό, παρακολουθήστε ένα βίντεο για το πώς λύνονται τα ολοκληρώματα στην πράξη. Μην απελπίζεστε αν το ολοκλήρωμα δεν δοθεί αμέσως. Απευθυνθείτε σε μια επαγγελματική υπηρεσία φοιτητών και οποιοδήποτε τριπλό ή καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα πάνω από μια κλειστή επιφάνεια θα είναι μέσα σας.

Σε τι χρησιμεύουν τα ολοκληρώματα; Προσπαθήστε να απαντήσετε μόνοι σας σε αυτήν την ερώτηση.

Εξηγώντας το θέμα των ολοκληρωμάτων, οι δάσκαλοι απαριθμούν τομείς εφαρμογής που ελάχιστα ωφελούν το μυαλό του σχολείου. Ανάμεσα τους:

• υπολογισμός του εμβαδού ενός σχήματος.
• υπολογισμός μάζας σώματος με ανομοιόμορφη πυκνότητα.
• προσδιορισμός της διανυθείσας απόστασης όταν κινείται με μεταβλητή ταχύτητα.
• και τα λοιπά.

Δεν είναι πάντα δυνατό να συνδεθούν όλες αυτές οι διαδικασίες, έτσι πολλοί μαθητές μπερδεύονται, ακόμα κι αν έχουν όλες τις βασικές γνώσεις για να κατανοήσουν το ολοκλήρωμα.

Ο κύριος λόγος της άγνοιας– έλλειψη κατανόησης της πρακτικής σημασίας των ολοκληρωμάτων.

Ολοκληρωμένο - τι είναι;

Προαπαιτούμενα. Η ανάγκη για ένταξη προέκυψε στην αρχαία Ελλάδα. Εκείνη την εποχή, ο Αρχιμήδης άρχισε να χρησιμοποιεί μεθόδους παρόμοιες στην ουσία με τον σύγχρονο ολοκληρωτικό λογισμό για να βρει την περιοχή ενός κύκλου. Η κύρια προσέγγιση για τον προσδιορισμό του εμβαδού των ανομοιόμορφων μορφών τότε ήταν η "Μέθοδος εξάντλησης", η οποία είναι αρκετά κατανοητή.

Η ουσία της μεθόδου. Σε αυτό το σχήμα εγγράφεται μια μονοτονική ακολουθία άλλων σχημάτων και στη συνέχεια υπολογίζεται το όριο της ακολουθίας των εμβαδών τους. Αυτό το όριο λήφθηκε ως το εμβαδόν του δεδομένου σχήματος.

Σε αυτή τη μέθοδο, η ιδέα του ολοκληρωτικού λογισμού ανιχνεύεται εύκολα, που είναι να βρεθεί το όριο ενός άπειρου αθροίσματος. Αργότερα, αυτή η ιδέα εφαρμόστηκε από επιστήμονες για επίλυση εφαρμοζόμενων εργασιώναστροναυτική, οικονομία, μηχανική κ.λπ.

Σύγχρονο ολοκλήρωμα. Η κλασική θεωρία της ολοκλήρωσης διατυπώθηκε με γενικούς όρους από τους Newton και Leibniz. Βασιζόταν στους τότε υπάρχοντες νόμους του διαφορικού λογισμού. Για να το καταλάβετε, πρέπει να έχετε κάποιες βασικές γνώσεις που θα σας βοηθήσουν να περιγράψετε οπτικές και διαισθητικές ιδέες για τα ολοκληρώματα στη μαθηματική γλώσσα.

Εξηγήστε την έννοια του "Integral"

Η διαδικασία εύρεσης της παραγώγου ονομάζεται ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΤΗΤΑ-διάκρισηκαι βρίσκοντας το αντιπαράγωγο - ενσωμάτωση.

Αναπόσπαστο μαθηματική γλώσσαείναι η αντιπαράγωγος της συνάρτησης (αυτό που ήταν πριν από την παράγωγο) + η σταθερά «C».

Αναπόσπαστο με απλά λόγιαείναι το εμβαδόν της καμπύλης φιγούρας. Το αόριστο ολοκλήρωμα είναι ολόκληρη η περιοχή. Το οριστικό ολοκλήρωμα είναι το εμβαδόν σε μια δεδομένη περιοχή.

Το ολοκλήρωμα γράφεται ως εξής:

Κάθε ολοκλήρωμα πολλαπλασιάζεται με το στοιχείο "dx". Δείχνει ποια μεταβλητή ενσωματώνεται. Το "dx" είναι η προσαύξηση του ορίσματος. Αντί για X, μπορεί να υπάρχει οποιοδήποτε άλλο όρισμα, όπως t (χρόνος).

Αόριστο ολοκλήρωμα

Το αόριστο ολοκλήρωμα δεν έχει όρια ολοκλήρωσης.

Για να λύσουμε αόριστα ολοκληρώματα, αρκεί να βρούμε την αντιπαράγωγο του ολοκληρώματος και να προσθέσουμε το «C» σε αυτό.

Ορισμένο ολοκλήρωμα

Σε οριστικό ολοκλήρωμα, οι περιορισμοί "α" και "β" γράφονται στο πρόσημο της ολοκλήρωσης. Υποδεικνύονται στον άξονα x στο παρακάτω γράφημα.

Για να υπολογίσετε ένα συγκεκριμένο ολοκλήρωμα, πρέπει να βρείτε το αντιπαράγωγο, να αντικαταστήσετε τις τιμές των "a" και "b" σε αυτό και να βρείτε τη διαφορά. Στα μαθηματικά αυτό λέγεται Τύπος Newton-Leibniz:

Πίνακας ολοκληρωμάτων για μαθητές (βασικοί τύποι)

Κατεβάστε τους τύπους των ολοκληρωμάτων, θα σας είναι ακόμα χρήσιμοι

Πώς να υπολογίσετε σωστά το ολοκλήρωμα

Υπάρχουν πολλές απλές πράξεις για τον μετασχηματισμό των ολοκληρωμάτων. Εδώ είναι τα κυριότερα:

Αφαίρεση σταθεράς από κάτω από το σύμβολο του ολοκληρώματος

Αποσύνθεση του αθροίσματος του ολοκληρώματος στο άθροισμα των ολοκληρωμάτων

Εάν ανταλλάξετε τα α και β, το πρόσημο θα αλλάξει

Μπορείτε να χωρίσετε το ολοκλήρωμα σε διαστήματα ως εξής

Αυτές είναι οι απλούστερες ιδιότητες, βάσει των οποίων θα διατυπωθούν αργότερα πιο πολύπλοκα θεωρήματα και μέθοδοι λογισμού.

Παραδείγματα υπολογισμού ολοκληρωμάτων

Επίλυση του αορίστου ολοκληρώματος

Επίλυση ορισμένου ολοκληρώματος

Βασικές έννοιες για την κατανόηση του θέματος

Για να κατανοήσετε την ουσία της ολοκλήρωσης και να μην κλείσετε τη σελίδα από παρεξήγηση, θα εξηγήσουμε μια σειρά από βασικές έννοιες. Τι είναι συνάρτηση, παράγωγος, όριο και αντιπαράγωγο.

Λειτουργία- ένας κανόνας σύμφωνα με τον οποίο όλα τα στοιχεία από ένα σύνολο σχετίζονται με όλα τα στοιχεία από ένα άλλο.

Παράγωγοείναι μια συνάρτηση που περιγράφει το ρυθμό μεταβολής μιας άλλης συνάρτησης σε κάθε συγκεκριμένο σημείο. Με αυστηρούς όρους, αυτό είναι το όριο του λόγου της αύξησης της συνάρτησης προς την αύξηση του ορίσματος. Υπολογίζεται χειροκίνητα, αλλά είναι ευκολότερο να χρησιμοποιήσετε τον πίνακα παραγώγων, ο οποίος περιέχει τις περισσότερες από τις τυπικές συναρτήσεις.

Αύξηση- ποσοτική αλλαγή της συνάρτησης με κάποια αλλαγή στο όρισμα.

Οριο- την τιμή στην οποία τείνει η τιμή της συνάρτησης, όταν το όρισμα τείνει σε μια ορισμένη τιμή.

Παράδειγμα ορίου: ας πούμε για Χ ίσο με 1, το Υ θα είναι ίσο με 2. Τι γίνεται όμως αν το Χ δεν είναι ίσο με 1, αλλά τείνει στο 1, δηλαδή δεν το φτάνει ποτέ; Σε αυτήν την περίπτωση, το y δεν θα φτάσει ποτέ το 2, αλλά θα τείνει μόνο σε αυτήν την τιμή. Στη μαθηματική γλώσσα, αυτό γράφεται ως εξής: limY (X), με X –> 1 = 2. Διαβάζεται: το όριο της συνάρτησης Y (X), με το x να τείνει στο 1, είναι το 2.

Όπως ήδη αναφέρθηκε, μια παράγωγος είναι μια συνάρτηση που περιγράφει μια άλλη συνάρτηση. Η αρχική συνάρτηση μπορεί να προέλθει από κάποια άλλη συνάρτηση. Αυτή η άλλη συνάρτηση ονομάζεται πρωτόγονος.

συμπέρασμα

Δεν είναι δύσκολο να βρεις ολοκληρώματα. Αν δεν καταλαβαίνετε πώς να το κάνετε, . Από τη δεύτερη φορά γίνεται πιο ξεκάθαρο. Θυμάμαι!Η λύση των ολοκληρωμάτων ανάγεται σε απλούς μετασχηματισμούς του ολοκληρώματος και αναζήτηση του στο .

Εάν η επεξήγηση του κειμένου δεν λειτουργεί για εσάς, παρακολουθήστε το βίντεο σχετικά με τη σημασία του ολοκληρώματος και του παραγώγου:

Ολοκληρώματα - τι είναι, πώς να το λύσετε, παραδείγματα λύσεων και μια εξήγηση για ανδρείκελαενημερώθηκε: 22 Νοεμβρίου 2019 από: Επιστημονικά άρθρα.Ru