Πώς να ελέγξετε εάν μια συνάρτηση είναι άρτια ή περιττή. Ζυγές και περιττές συναρτήσεις

Πίσω μπροστά

Προσοχή! Η προεπισκόπηση της διαφάνειας είναι μόνο για ενημερωτικούς σκοπούς και ενδέχεται να μην αντιπροσωπεύει την πλήρη έκταση της παρουσίασης. Εάν ενδιαφέρεστε για αυτό το έργο, κατεβάστε την πλήρη έκδοση.

Στόχοι:

να σχηματίσει την έννοια των άρτιων και περιττών συναρτήσεων, να διδάξει την ικανότητα προσδιορισμού και χρήσης αυτών των ιδιοτήτων στη μελέτη συναρτήσεων, σχεδίαση γραφημάτων.
να αναπτύξει τη δημιουργική δραστηριότητα των μαθητών, τη λογική σκέψη, την ικανότητα σύγκρισης, γενίκευσης.
να καλλιεργήσουν την επιμέλεια, τη μαθηματική κουλτούρα. αναπτύξουν επικοινωνιακές δεξιότητες .

Εξοπλισμός:εγκατάσταση πολυμέσων, διαδραστικός πίνακας, φυλλάδια.

Μορφές εργασίας:μετωπική και ομαδική με στοιχεία ερευνητικών και ερευνητικών δραστηριοτήτων.

Πηγές πληροφοριών:

1. Άλγεβρα τάξη 9 A.G. Mordkovich. Σχολικό βιβλίο.
2. Άλγεβρα Βαθμός 9 A.G. Mordkovich. Βιβλίο εργασιών.
3. Άλγεβρα βαθμός 9. Καθήκοντα μάθησης και εξέλιξης των μαθητών. Belenkova E.Yu. Λεμπεντίντσεβα Ε.Α.

ΚΑΤΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

1. Οργανωτική στιγμή

Καθορισμός στόχων και στόχων του μαθήματος.

2. Έλεγχος εργασιών για το σπίτι

Νο 10.17 (Προβληματικό βιβλίο 9ης τάξης A.G. Mordkovich).

ένα) στο = φά(Χ), φά(Χ) =

σι) φά (–2) = –3; φά (0) = –1; φά(5) = 69;

γ) 1. Δ( φά) = [– 2; + ∞)
2. Ε( φά) = [– 3; + ∞)
3. φά(Χ) = 0 για Χ ~ 0,4
4. φά(Χ) >0 στο Χ > 0,4 ; φά(Χ) < 0 при – 2 < Χ < 0,4.
5. Η συνάρτηση αυξάνεται με Χ € [– 2; + ∞)
6. Η λειτουργία περιορίζεται από κάτω.
7. στοενοικίαση = - 3, στοναιμπ δεν υπάρχει
8. Η συνάρτηση είναι συνεχής.

(Χρησιμοποιήσατε τον αλγόριθμο εξερεύνησης χαρακτηριστικών;) Ολίσθηση.

2. Ας ελέγξουμε τον πίνακα που σας ζητήθηκε στη διαφάνεια.

Γεμίστε τον πίνακα
	Τομέα	Συναρτήσεις μηδενικά	Διαστήματα σταθερότητας		Συντεταγμένες των σημείων τομής της γραφικής παράστασης με Oy
	Τομέα	Συναρτήσεις μηδενικά
		x = -5, x = 2	х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Ενημέρωση γνώσης

– Δίνονται οι λειτουργίες.
– Καθορίστε τον τομέα ορισμού για κάθε συνάρτηση.
– Συγκρίνετε την τιμή κάθε συνάρτησης για κάθε ζεύγος τιμών ορίσματος: 1 και – 1; 2 και - 2.
– Για ποιες από τις δεδομένες συναρτήσεις στο πεδίο ορισμού είναι οι ισότητες φά(– Χ) = φά(Χ), φά(– Χ) = – φά(Χ)? (βάλτε τα δεδομένα στον πίνακα) Ολίσθηση

		φά(1) και φά(– 1)	φά(2) και φά(– 2)	διαγράμματα	φά(– Χ) = –φά(Χ)	φά(– Χ) = φά(Χ)
1. φά(Χ) =
2. φά(Χ) = Χ 3
3. φά(Χ) = \| Χ \|
4.φά(Χ) = 2Χ – 3
5. φά(Χ) =	Χ ≠ 0
6. φά(Χ)=	Χ > –1		και δεν ορίζεται.

4. Νέο υλικό

- Κατά την εκτέλεση αυτής της εργασίας, παιδιά, αποκαλύψαμε μια ακόμη ιδιότητα της συνάρτησης, άγνωστη σε εσάς, αλλά όχι λιγότερο σημαντική από τις άλλες - αυτή είναι η ομοιότητα και η παραδοξότητα της συνάρτησης. Γράψτε το θέμα του μαθήματος: "Ζυγές και περιττές συναρτήσεις", καθήκον μας είναι να μάθουμε πώς να προσδιορίζουμε τις άρτιες και περιττές συναρτήσεις, να μάθουμε τη σημασία αυτής της ιδιότητας στη μελέτη των συναρτήσεων και την γραφική παράσταση.
Ας βρούμε, λοιπόν, τους ορισμούς στο σχολικό βιβλίο και ας διαβάσουμε (σελ. 110) . Ολίσθηση

Def. έναςΛειτουργία στο = φά (Χ) που ορίζεται στο σύνολο X καλείται ακόμη και, εάν για οποιαδήποτε τιμή ΧЄ X σε εξέλιξη ισότητα f (–x) = f (x). Δώσε παραδείγματα.

Def. 2Λειτουργία y = f(x), που ορίζεται στο σύνολο X καλείται Περιττός, εάν για οποιαδήποτε τιμή ΧЄ X πληρούται η ισότητα f(–х)= –f(х). Δώσε παραδείγματα.

Πού συναντήσαμε τους όρους «ζυγός» και «μονός»;
Ποια από αυτές τις συναρτήσεις θα είναι άρτια, πιστεύετε; Γιατί; Ποια είναι περίεργα; Γιατί;
Για οποιαδήποτε λειτουργία της φόρμας στο= x n, που nείναι ακέραιος, μπορεί να υποστηριχθεί ότι η συνάρτηση είναι περιττή για nείναι περιττός και η συνάρτηση είναι άρτια για n- ακόμη και.
– Προβολή λειτουργιών στο= και στο = 2Χ– Το 3 δεν είναι ούτε ζυγό ούτε περιττό, γιατί δεν τηρούνται οι ισότητες φά(– Χ) = – φά(Χ), φά(– Χ) = φά(Χ)

Η μελέτη του ερωτήματος αν μια συνάρτηση είναι άρτια ή περιττή ονομάζεται μελέτη συνάρτησης για ισοτιμία.Ολίσθηση

Οι ορισμοί 1 και 2 ασχολήθηκαν με τις τιμές της συνάρτησης στα x και - x, επομένως θεωρείται ότι η συνάρτηση ορίζεται επίσης στην τιμή Χκαι σε - Χ.

ΕΑΒ 3.Αν ένα σύνολο αριθμών μαζί με καθένα από τα στοιχεία του x περιέχει το αντίθετο στοιχείο x, τότε το σύνολο Χονομάζεται συμμετρικό σύνολο.

Παραδείγματα:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) είναι συμμετρικά σύνολα και , [–5;4] είναι μη συμμετρικά.

- Έχουν ακόμη και οι συναρτήσεις ένα πεδίο ορισμού - ένα συμμετρικό σύνολο; Τα περίεργα;
- Αν Δ( φά) είναι ένα ασύμμετρο σύνολο, τότε ποια είναι η συνάρτηση;
– Έτσι, εάν η συνάρτηση στο = φά(Χ) είναι άρτιο ή περιττό, τότε το πεδίο ορισμού του είναι D( φά) είναι ένα συμμετρικό σύνολο. Είναι όμως αληθής η αντίστροφη πρόταση, αν το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης είναι συμμετρικό σύνολο, τότε είναι άρτιο ή περιττό;
- Άρα η παρουσία ενός συμμετρικού συνόλου του πεδίου ορισμού είναι απαραίτητη προϋπόθεση, αλλά όχι επαρκής.
– Πώς μπορούμε λοιπόν να διερευνήσουμε τη συνάρτηση για ισοτιμία; Ας προσπαθήσουμε να γράψουμε έναν αλγόριθμο.

Ολίσθηση

Αλγόριθμος για την εξέταση μιας συνάρτησης για ισοτιμία

1. Προσδιορίστε εάν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι συμμετρικό. Αν όχι, τότε η συνάρτηση δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή. Εάν ναι, τότε μεταβείτε στο βήμα 2 του αλγορίθμου.

2. Γράψτε μια έκφραση για φά(–Χ).

3. Συγκρίνετε φά(–Χ).και φά(Χ):

αν φά(–Χ).= φά(Χ), τότε η συνάρτηση είναι άρτια.
αν φά(–Χ).= – φά(Χ), τότε η συνάρτηση είναι περιττή.
αν φά(–Χ) ≠ φά(Χ) και φά(–Χ) ≠ –φά(Χ), τότε η συνάρτηση δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή.

Παραδείγματα:

Διερευνήστε τη συνάρτηση για ισοτιμία α) στο= x 5 +; σι) στο= ; σε) στο= .

Απόφαση.

α) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), συμμετρικό σύνολο.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e συνάρτηση h(x)= x 5 + περιττός.

β) y =,

στο = φά(Χ), D(f) = (–∞; –9); (–9; +∞), ασύμμετρο σύνολο, άρα η συνάρτηση δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή.

σε) φά(Χ) = , y = f(x),

1) Δ( φά) = (–∞; 3] ≠ ; β) (∞; –2), (–4; 4];

Επιλογή 2

1. Είναι το δεδομένο σύνολο συμμετρικό: α) [–2;2]; β) (∞; 0], (0; 7) ?

ένα); β) y \u003d x (5 - x 2). 2. Εξετάστε τη συνάρτηση για ισοτιμία:

α) y \u003d x 2 (2x - x 3), β) y \u003d

3. Στο σχ. σχεδιάστηκε στο = φά(Χ), για όλα Χ, ικανοποιώντας την προϋπόθεση Χ? 0.
Σχεδιάστε τη συνάρτηση στο = φά(Χ), αν στο = φά(Χ) είναι μια άρτια συνάρτηση.

3. Στο σχ. σχεδιάστηκε στο = φά(Χ), για όλα τα x που ικανοποιούν το x; 0.
Σχεδιάστε τη συνάρτηση στο = φά(Χ), αν στο = φά(Χ) είναι μια περιττή συνάρτηση.

Αμοιβαίος έλεγχος ολίσθηση.

6. Εργασία για το σπίτι: №11.11, 11.21,11.22;

Απόδειξη της γεωμετρικής σημασίας της ιδιότητας ισοτιμίας.

*** (Ανάθεση της επιλογής USE).

1. Η περιττή συνάρτηση y \u003d f (x) ορίζεται σε ολόκληρη την πραγματική γραμμή. Για οποιαδήποτε μη αρνητική τιμή της μεταβλητής x, η τιμή αυτής της συνάρτησης συμπίπτει με την τιμή της συνάρτησης g( Χ) = Χ(Χ + 1)(Χ + 3)(Χ– 7). Βρείτε την τιμή της συνάρτησης h( Χ) = στο Χ = 3.

7. Συνοψίζοντας

Τα οποία σε έναν ή τον άλλο βαθμό ήταν γνωστά σε εσάς. Σημειώθηκε επίσης ότι το απόθεμα των ιδιοτήτων λειτουργίας θα αναπληρωθεί σταδιακά. Δύο νέα ακίνητα θα συζητηθούν σε αυτήν την ενότητα.

Ορισμός 1.

Η συνάρτηση y \u003d f (x), x є X, καλείται ακόμη και αν για οποιαδήποτε τιμή x από το σύνολο X η ισότητα f (-x) \u003d f (x) είναι αληθής.

Ορισμός 2.

Η συνάρτηση y \u003d f (x), x є X, ονομάζεται περιττή αν για οποιαδήποτε τιμή x από το σύνολο X η ισότητα f (-x) \u003d -f (x) είναι αληθής.

Να αποδείξετε ότι η y = x 4 είναι άρτια συνάρτηση.

Απόφαση. Έχουμε: f (x) \u003d x 4, f (-x) \u003d (-x) 4. Αλλά (-x) 4 = x 4 . Επομένως, για οποιοδήποτε x, η ισότητα f (-x) = f (x), δηλ. η λειτουργία είναι ομοιόμορφη.

Ομοίως, μπορεί να αποδειχθεί ότι οι συναρτήσεις y - x 2, y = x 6, y - x 8 είναι άρτιες.

Να αποδείξετε ότι η y = x 3 είναι περιττή συνάρτηση.

Απόφαση. Έχουμε: f (x) \u003d x 3, f (-x) \u003d (-x) 3. Αλλά (-x) 3 = -x 3 . Επομένως, για οποιοδήποτε x, η ισότητα f (-x) \u003d -f (x), δηλ. η συνάρτηση είναι περίεργη.

Ομοίως, μπορεί να αποδειχθεί ότι οι συναρτήσεις y \u003d x, y \u003d x 5, y \u003d x 7 είναι περιττές.

Εσείς και εγώ έχουμε πείσει επανειλημμένα ότι οι νέοι όροι στα μαθηματικά έχουν τις περισσότερες φορές μια «γήινη» προέλευση, δηλ. μπορούν να εξηγηθούν με κάποιο τρόπο. Αυτό ισχύει και για τις άρτιες και τις περιττές συναρτήσεις. Δείτε: y - x 3, y \u003d x 5, y \u003d x 7 είναι περιττές συναρτήσεις, ενώ οι y \u003d x 2, y \u003d x 4, y \u003d x 6 είναι ζυγές συναρτήσεις. Και γενικά, για οποιαδήποτε συνάρτηση της μορφής y \u003d x "(παρακάτω θα μελετήσουμε ειδικά αυτές τις συναρτήσεις), όπου n είναι φυσικός αριθμός, μπορούμε να συμπεράνουμε: αν το n είναι περιττός αριθμός, τότε η συνάρτηση y \u003d x "είναι περιττή, αν το n είναι άρτιος αριθμός, τότε η συνάρτηση y \u003d xn είναι άρτια.

Υπάρχουν επίσης συναρτήσεις που δεν είναι ούτε ζυγές ούτε περιττές. Τέτοια, για παράδειγμα, είναι η συνάρτηση y \u003d 2x + 3. Πράγματι, f (1) \u003d 5, και f (-1) \u003d 1. Όπως μπορείτε να δείτε, εδώ Επομένως, ούτε η ταυτότητα f (-x ) \u003d f ( x), κανένα από τα δύο Ταυτότητα f(-x) = -f(x).

Άρα, μια συνάρτηση μπορεί να είναι άρτια, περιττή ή κανένα.

Η μελέτη του ερωτήματος εάν μια δεδομένη συνάρτηση είναι άρτια ή περιττή ονομάζεται συνήθως μελέτη της συνάρτησης για ισοτιμία.

Οι ορισμοί 1 και 2 ασχολούνται με τις τιμές της συνάρτησης στα σημεία x και -x. Αυτό προϋποθέτει ότι η συνάρτηση ορίζεται τόσο στο σημείο x όσο και στο σημείο -x. Αυτό σημαίνει ότι το σημείο -x ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης ταυτόχρονα με το σημείο x. Αν ένα αριθμητικό σύνολο X μαζί με καθένα από τα στοιχεία του x περιέχει το αντίθετο στοιχείο -x, τότε το X ονομάζεται συμμετρικό σύνολο. Ας υποθέσουμε ότι τα (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) είναι συμμετρικά σύνολα, ενώ \).

Εφόσον \(x^2\geqslant 0\) , τότε η αριστερή πλευρά της εξίσωσης (*) είναι μεγαλύτερη ή ίση με \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .

Έτσι, η ισότητα (*) μπορεί να ισχύει μόνο όταν και οι δύο πλευρές της εξίσωσης είναι ίσες με \(\mathrm(tg)^2\,1\) . Και αυτό σημαίνει ότι \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(περιπτώσεις) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(περιπτώσεις) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\]Επομένως, η τιμή \(a=-\mathrm(tg)\,1\) μας ταιριάζει.

Απάντηση:

\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

Εργασία 2 #3923

Επίπεδο εργασίας: Ίσο με την Ενιαία Κρατική Εξέταση

Βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου \(a\) , για καθεμία από τις οποίες το γράφημα της συνάρτησης \

συμμετρικά ως προς την προέλευση.

Εάν η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς την αρχή, τότε μια τέτοια συνάρτηση είναι περιττή, δηλαδή, \(f(-x)=-f(x)\) ικανοποιείται για οποιοδήποτε \(x\) από το τομέα της συνάρτησης. Έτσι, απαιτείται να βρεθούν εκείνες οι τιμές παραμέτρων για τις οποίες \(f(-x)=-f(x).\)

\[\begin(aligned) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(ευθυγραμμισμένο)\]

Η τελευταία εξίσωση πρέπει να ισχύει για όλα τα \(x\) από τον τομέα \(f(x)\) , επομένως \(\sin(2\pi a)=0 \Δεξί βέλος a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).

Απάντηση:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

Εργασία 3 #3069

Επίπεδο εργασίας: Ίσο με την Ενιαία Κρατική Εξέταση

Βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου \(a\) , για καθεμία από τις οποίες η εξίσωση \ έχει 4 λύσεις, όπου \(f\) είναι μια άρτια περιοδική συνάρτηση με περίοδο \(T=\dfrac(16)3\) ορίζεται σε ολόκληρη την πραγματική γραμμή , και \(f(x)=ax^2\) για \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(Εργασία από συνδρομητές)

Εφόσον η \(f(x)\) είναι άρτια συνάρτηση, η γραφική παράσταση της είναι συμμετρική ως προς τον άξονα y, επομένως, όταν \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) . Έτσι, στο \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\), και αυτό είναι ένα τμήμα μήκους \(\dfrac(16)3\) , η συνάρτηση \(f(x)=ax^2\) .

1) Έστω \(a>0\) . Τότε το γράφημα της συνάρτησης \(f(x)\) θα μοιάζει με αυτό:

Τότε, για να έχει η εξίσωση 4 λύσεις, είναι απαραίτητο η γραφική παράσταση \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) να περάσει από το σημείο \(A\) :

Συνεπώς, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a \end(στοίχιση) \end(συγκέντρωση)\δεξιά. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aligned) \end( συγκεντρώθηκαν)\σωστά.\]Εφόσον \(a>0\) , τότε το \(a=\dfrac(18)(23)\) είναι εντάξει.

2) Έστω \(α<0\) . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:

Χρειαζόμαστε το γράφημα \(g(x)\) για να περάσει από το σημείο \(B\) : \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(στοίχιση) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(στοίχιση) \end(συγκέντρωση)\δεξιά.\]Εφόσον \(α<0\) , то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\) .

3) Η περίπτωση όπου το \(a=0\) δεν είναι κατάλληλο, γιατί τότε \(f(x)=0\) για όλα τα \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) και το η εξίσωση θα έχει μόνο 1 ρίζα.

Απάντηση:

\(a\in \left\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\right\)\)

Εργασία 4 #3072

Επίπεδο εργασίας: Ίσο με την Ενιαία Κρατική Εξέταση

Βρείτε όλες τις τιμές \(a\) , για καθεμία από τις οποίες η εξίσωση \

έχει τουλάχιστον μία ρίζα.

(Εργασία από συνδρομητές)

Ξαναγράφουμε την εξίσωση στη φόρμα \ και θεωρήστε δύο συναρτήσεις: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) και \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ) .
Η συνάρτηση \(g(x)\) είναι άρτια, έχει ελάχιστο σημείο \(x=0\) (και \(g(0)=49\) ).
Η συνάρτηση \(f(x)\) για \(x>0\) είναι φθίνουσα και για \(x<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
Πράγματι, για \(x>0\) η δεύτερη ενότητα επεκτείνεται θετικά (\(|x|=x\) ), επομένως, ανεξάρτητα από το πώς επεκτείνεται η πρώτη ενότητα, το \(f(x)\) θα ισούται με \ ( kx+A\) , όπου \(A\) είναι μια έκφραση από το \(a\) , και το \(k\) ισούται με \(-9\) ή \(-3\) . Για \(x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
Βρείτε την τιμή \(f\) στο μέγιστο σημείο: \

Για να έχει η εξίσωση τουλάχιστον μία λύση, είναι απαραίτητο οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων \(f\) και \(g\) να έχουν τουλάχιστον ένα σημείο τομής. Επομένως, χρειάζεστε: \ \\]

Απάντηση:

\(a\in \(-7\)\κύπελλο\)

Εργασία 5 #3912

Επίπεδο εργασίας: Ίσο με την Ενιαία Κρατική Εξέταση

Βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου \(a\) , για καθεμία από τις οποίες η εξίσωση \

έχει έξι διαφορετικές λύσεις.

Ας κάνουμε την αντικατάσταση \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . Τότε η εξίσωση θα πάρει τη μορφή \ Σταδιακά θα γράψουμε τις συνθήκες υπό τις οποίες η αρχική εξίσωση θα έχει έξι λύσεις.
Σημειώστε ότι η τετραγωνική εξίσωση \((*)\) μπορεί να έχει το πολύ δύο λύσεις. Οποιαδήποτε κυβική εξίσωση \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) δεν μπορεί να έχει περισσότερες από τρεις λύσεις. Επομένως, εάν η εξίσωση \((*)\) έχει δύο διαφορετικές λύσεις (θετικές!, αφού το \(t\) πρέπει να είναι μεγαλύτερο από μηδέν) \(t_1\) και \(t_2\) , τότε, έχοντας κάνει το αντίστροφο αντικατάσταση, παίρνουμε: \[\αριστερά[\αρχή(συγκέντρωσε)\αρχή(στοίχιση) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\end(στοίχιση)\end(συγκέντρωση)\δεξιά.\]Εφόσον οποιοσδήποτε θετικός αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως \(\sqrt2\) σε κάποιο βαθμό, για παράδειγμα, \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), τότε η πρώτη εξίσωση του συνόλου θα ξαναγραφεί στη φόρμα \ Όπως έχουμε ήδη πει, οποιαδήποτε κυβική εξίσωση δεν έχει περισσότερες από τρεις λύσεις, επομένως, κάθε εξίσωση από το σύνολο δεν θα έχει περισσότερες από τρεις λύσεις. Αυτό σημαίνει ότι ολόκληρο το σετ δεν θα έχει περισσότερες από έξι λύσεις.
Αυτό σημαίνει ότι για να έχει έξι λύσεις η αρχική εξίσωση, η τετραγωνική εξίσωση \((*)\) πρέπει να έχει δύο διαφορετικές λύσεις και κάθε κυβική εξίσωση που προκύπτει (από το σύνολο) πρέπει να έχει τρεις διαφορετικές λύσεις (και όχι μία η λύση μιας εξίσωσης θα πρέπει να συμπίπτει με την οποία - ή με την απόφαση της δεύτερης!)
Προφανώς, αν η τετραγωνική εξίσωση \((*)\) έχει μία λύση, τότε δεν θα πάρουμε έξι λύσεις για την αρχική εξίσωση.

Έτσι, το σχέδιο λύσης γίνεται σαφές. Ας γράψουμε τις προϋποθέσεις που πρέπει να πληρούνται σημείο προς σημείο.

1) Για να έχει δύο διαφορετικές λύσεις η εξίσωση \((*)\), η διάκρισή της πρέπει να είναι θετική: \

2) Χρειαζόμαστε επίσης και οι δύο ρίζες να είναι θετικές (γιατί \(t>0\) ). Αν το γινόμενο δύο ριζών είναι θετικό και το άθροισμά τους θετικό, τότε οι ίδιες οι ρίζες θα είναι θετικές. Επομένως, χρειάζεστε: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]

Έτσι, έχουμε ήδη εφοδιαστεί με δύο ευδιάκριτες θετικές ρίζες \(t_1\) και \(t_2\) .

3) Ας δούμε αυτή την εξίσωση \ Για ποιο \(t\) θα έχει τρεις διαφορετικές λύσεις;
Θεωρήστε τη συνάρτηση \(f(x)=x^3-3x^2+4\) .
Μπορεί να πολλαπλασιαστεί: \ Επομένως, τα μηδενικά του είναι: \(x=-1;2\) .
Αν βρούμε την παράγωγο \(f"(x)=3x^2-6x\) , τότε παίρνουμε δύο ακραία σημεία \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Επομένως, το γράφημα μοιάζει με αυτό:

Βλέπουμε ότι οποιαδήποτε οριζόντια γραμμή \(y=k\) , όπου \(0 \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t\)έχει τρεις διαφορετικές λύσεις, είναι απαραίτητο \(0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
Έτσι, χρειάζεστε: \[\αρχή(περιπτώσεις) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] Ας σημειώσουμε επίσης αμέσως ότι εάν οι αριθμοί \(t_1\) και \(t_2\) είναι διαφορετικοί, τότε οι αριθμοί \(\log_(\sqrt2)t_1\) και \(\log_(\sqrt2)t_2\) θα να είναι διαφορετική, άρα οι εξισώσεις \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\)και \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\)θα έχει διαφορετικές ρίζες.
Το σύστημα \((**)\) μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής: \[\αρχή(περιπτώσεις) 1

Έτσι, προσδιορίσαμε ότι και οι δύο ρίζες της εξίσωσης \((*)\) πρέπει να βρίσκονται στο διάστημα \((1;4)\) . Πώς γράφεται αυτή η συνθήκη;
Δεν θα γράψουμε ρητά τις ρίζες.
Θεωρήστε τη συνάρτηση \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . Η γραφική της παράσταση είναι μια παραβολή με διακλαδώσεις προς τα πάνω, που έχει δύο σημεία τομής με τον άξονα της τετμημένης (τη συνθήκη αυτή την γράψαμε στην παράγραφο 1)). Πώς πρέπει να μοιάζει η γραφική παράσταση του ώστε τα σημεία τομής με τον άξονα της τετμημένης να βρίσκονται στο διάστημα \((1;4)\) ; Ετσι:

Πρώτον, οι τιμές \(g(1)\) και \(g(4)\) της συνάρτησης στα σημεία \(1\) και \(4\) πρέπει να είναι θετικές και, δεύτερον, η κορυφή του η παραβολή \(t_0\ ) πρέπει επίσης να βρίσκεται στο διάστημα \((1;4)\) . Επομένως, το σύστημα μπορεί να γραφτεί: \[\begin(περιπτώσεις) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4Το \(a\) έχει πάντα τουλάχιστον μία ρίζα \(x=0\) . Άρα, για να εκπληρωθεί η συνθήκη του προβλήματος, είναι απαραίτητο η εξίσωση \

είχε τέσσερις διακριτές μη μηδενικές ρίζες, που αντιπροσωπεύουν μαζί με το \(x=0\) μια αριθμητική πρόοδο.

Σημειώστε ότι η συνάρτηση \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) είναι άρτια, οπότε αν \(x_0\) είναι η ρίζα της εξίσωσης \((* )\ ) , τότε \(-x_0\) θα είναι επίσης η ρίζα του. Τότε είναι απαραίτητο οι ρίζες αυτής της εξίσωσης να είναι αριθμοί διατεταγμένοι σε αύξουσα σειρά: \(-2d, -d, d, 2d\) (τότε \(d>0\) ). Τότε είναι που αυτοί οι πέντε αριθμοί θα σχηματίσουν μια αριθμητική πρόοδο (με τη διαφορά \(d\) ).

Για να είναι αυτές οι ρίζες οι αριθμοί \(-2d, -d, d, 2d\) , είναι απαραίτητο οι αριθμοί \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) να είναι οι ρίζες του η εξίσωση \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) . Στη συνέχεια, από το θεώρημα του Vieta:

Ξαναγράφουμε την εξίσωση στη φόρμα \ και θεωρήστε δύο συναρτήσεις: \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) και \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) .
Η συνάρτηση \(g(x)\) έχει μέγιστο σημείο \(x=0\) (και \(g_(\text(top))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). Μηδενική παράγωγος: \(x=0\) . Για \(x<0\) имеем: \(g">0\) , για \(x>0\) : \(g"<0\) .
Η συνάρτηση \(f(x)\) για \(x>0\) αυξάνεται και για \(x<0\) – убывающей, следовательно, \(x=0\) – точка минимума.
Πράγματι, για \(x>0\) η πρώτη ενότητα επεκτείνεται θετικά (\(|x|=x\) ), επομένως, ανεξάρτητα από το πώς επεκτείνεται η δεύτερη ενότητα, το \(f(x)\) θα ισούται με \ ( kx+A\) , όπου \(A\) είναι μια έκφραση από το \(a\) , και \(k\) είναι είτε \(13-10=3\) είτε \(13+10=23\) . Για \(x<0\) наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(-3\) , либо \(-23\) .
Ας βρούμε την τιμή \(f\) στο ελάχιστο σημείο: \

Απάντηση:

\(a\σε \(-2\)\κύπελλο\)