Γωνία μεταξύ των κλίσεων συνάρτησης σε σημεία. Διανυσματική ανάλυση κλιμακωτό πεδίο επιφάνειας και γραμμής στάθμης κατευθυντική παράγωγος παράγωγος βαθμωτών πεδίων βασικές ιδιότητες αμετάβλητης κλίσης ορισμός κανόνων υπολογισμού κλίσης κλίσης

Εάν σε κάθε σημείο του χώρου ή μέρος του χώρου ορίζεται η τιμή μιας ορισμένης ποσότητας, τότε λέγεται ότι δίνεται το πεδίο αυτής της ποσότητας. Το πεδίο ονομάζεται βαθμωτό εάν η εξεταζόμενη τιμή είναι βαθμωτή, δηλ. χαρακτηρίζεται καλά από το αριθμητική αξία. Για παράδειγμα, το πεδίο θερμοκρασίας. Το βαθμωτό πεδίο δίνεται από τη βαθμωτή συνάρτηση του σημείου u = /(M). Εάν ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων εισάγεται στο χώρο, τότε υπάρχει συνάρτηση τριών μεταβλητών x, yt z - οι συντεταγμένες του σημείου M: Ορισμός. Η επίπεδη επιφάνεια ενός βαθμωτού πεδίου είναι το σύνολο των σημείων στα οποία η συνάρτηση f(M) παίρνει την ίδια τιμή. Παράδειγμα εξίσωσης επιφανείας επιπέδου 1. Εύρεση επιφανειών βαθμίδας ενός κλιμακωτού πεδίου ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Βαθμωτών πεδίων Επιφάνειες και γραμμές επιπέδου Κατευθυντική παράγωγος Παράγωγος κλιμάκωσης κλιμακωτού πεδίου Βασικές ιδιότητες κλίσης Αναλλοίωτος Ορισμός κλίσης Κανόνες για τον υπολογισμό ενός επιπέδου -4, εξίσωση επιφάνειας θα είναι. Αυτή είναι η εξίσωση μιας σφαίρας (με Ф 0) με κέντρο στην αρχή. Ένα βαθμωτό πεδίο ονομάζεται επίπεδο εάν το πεδίο είναι το ίδιο σε όλα τα επίπεδα παράλληλα σε κάποιο επίπεδο. Εάν το υποδεικνυόμενο επίπεδο ληφθεί ως το επίπεδο xOy, τότε η συνάρτηση πεδίου δεν θα εξαρτάται από τη συντεταγμένη z, δηλ. θα είναι συνάρτηση μόνο των ορισμάτων x και y, καθώς και της σημασίας. Εξίσωση γραμμής επιπέδου - Παράδειγμα 2. Βρείτε τις γραμμές επιπέδου ενός βαθμωτού πεδίου Οι γραμμές επιπέδου δίνονται με εξισώσεις Στο c = 0, παίρνουμε ένα ζεύγος γραμμών, παίρνουμε μια οικογένεια υπερβολών (Εικ. 1). 1.1. Κατευθυντική παράγωγος Έστω ένα βαθμωτό πεδίο που ορίζεται από μια βαθμωτή συνάρτηση u = /(Af). Ας πάρουμε το σημείο Afo και ας επιλέξουμε την κατεύθυνση που καθορίζεται από το διάνυσμα I. Ας πάρουμε ένα άλλο σημείο M έτσι ώστε το διάνυσμα M0M να είναι παράλληλο με το διάνυσμα 1 (Εικ. 2). Ας συμβολίσουμε το μήκος του διανύσματος MoM με A/ και την αύξηση της συνάρτησης /(Af) - /(Afo), που αντιστοιχεί στη μετατόπιση D1, με Di. Η στάση καθορίζει μέση ταχύτητααλλαγή του βαθμωτού πεδίου ανά μονάδα μήκους προς τη δεδομένη κατεύθυνση Έστω τώρα τείνει στο μηδέν έτσι ώστε το διάνυσμα М0М να παραμένει παράλληλο στο διάνυσμα I όλη την ώρα. Ορισμός. Αν για το D/O υπάρχει ένα πεπερασμένο όριο της σχέσης (5), τότε ονομάζεται παράγωγος της συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο Afo προς τη δεδομένη κατεύθυνση I και συμβολίζεται με το σύμβολο zr!^. Άρα, εξ ορισμού, αυτός ο ορισμός δεν σχετίζεται με την επιλογή του συστήματος συντεταγμένων, δηλαδή έχει χαρακτήρα **παραλλαγής. Ας βρούμε μια έκφραση για την παράγωγο σε σχέση με την κατεύθυνση μέσα Καρτεσιανό σύστημασυντεταγμένες. Αφήστε τη συνάρτηση / να είναι διαφοροποιήσιμη σε ένα σημείο. Θεωρήστε την τιμή /(Af) σε ένα σημείο. Τότε η συνολική αύξηση της συνάρτησης μπορεί να γραφτεί με την εξής μορφή: όπου και τα σύμβολα σημαίνουν ότι οι μερικές παράγωγοι υπολογίζονται στο σημείο Afo. Ως εκ τούτου, εδώ οι ποσότητες jfi, ^ είναι τα συνημίτονα κατεύθυνσης του διανύσματος. Δεδομένου ότι τα διανύσματα MoM και I είναι συν-κατευθυνόμενα, τα συνημίτονά τους είναι τα ίδια: Εφόσον ο M Afo, καθιζάνει όλη την ώρα σε ευθεία γραμμή, παράλληλα με το διάνυσμα 1, τότε οι γωνίες είναι σταθερές, επομένως Τέλος, από τις ισότητες (7) και (8) παίρνουμε το Eamuan και το 1. Οι μερικές παράγωγοι είναι παράγωγοι της συνάρτησης και στις κατευθύνσεις των αξόνων συντεταγμένων με το εξωτερικό nno- Παράδειγμα 3. Βρείτε η παράγωγος της συνάρτησης προς το σημείο Το διάνυσμα έχει μήκος. Τα συνημίτονα κατεύθυνσής του: Με τον τύπο (9) θα έχουμε Το γεγονός ότι, σημαίνει ότι το βαθμωτό πεδίο σε ένα σημείο σε μια δεδομένη διεύθυνση ηλικίας- Για ένα επίπεδο πεδίο, η παράγωγος στην κατεύθυνση I σε ένα σημείο υπολογίζεται από τον τύπο όπου a είναι η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα I με τον άξονα Oh. Zmmchmm 2. Ο τύπος (9) για τον υπολογισμό της παραγώγου κατά την κατεύθυνση I σε ένα δεδομένο σημείο Afo παραμένει σε ισχύ ακόμη και όταν το σημείο M τείνει στο σημείο Mo κατά μήκος μιας καμπύλης για την οποία το διάνυσμα I εφάπτεται στο σημείο PrISp 4. Υπολογίστε η παράγωγος του βαθμωτού πεδίου στο σημείο Afo(l, 1). που ανήκει σε παραβολή προς την κατεύθυνση αυτής της καμπύλης (στην κατεύθυνση της αυξανόμενης τετμημένης). Η διεύθυνση ] μιας παραβολής σε ένα σημείο είναι η κατεύθυνση της εφαπτομένης στην παραβολή σε αυτό το σημείο (Εικ. 3). Έστω η εφαπτομένη της παραβολής στο σημείο Afo σχηματίζει γωνία o με τον άξονα Ox. Τότε από πού κατευθύνονται συνημίτονα μιας εφαπτομένης Ας υπολογίσουμε τιμές και σε ένα σημείο. Έχουμε Τώρα με τον τύπο (10) λαμβάνουμε. Βρείτε την παράγωγο του βαθμωτού πεδίου σε ένα σημείο προς την κατεύθυνση του κύκλου Η διανυσματική εξίσωση του κύκλου έχει τη μορφή. Βρίσκουμε μονάδα διάνυσμα t εφαπτομένη στον κύκλο Το σημείο αντιστοιχεί στην τιμή της παραμέτρου Η τιμή του r στο σημείο Afo θα είναι ίση Από εδώ λαμβάνουμε τα συνημίτονα διεύθυνσης της εφαπτομένης στον κύκλο στο σημείο Υπολογίστε τις τιμές των μερικών παραγώγων αυτού του βαθμωτού πεδίου στο σημείο Επομένως, η επιθυμητή παράγωγος. Κλίση βαθμωτών πεδίου Έστω ότι ένα βαθμωτό πεδίο ορίζεται από μια βαθμωτή συνάρτηση που υποτίθεται ότι είναι διαφορίσιμη. Ορισμός. Η κλίση ενός βαθμωτού πεδίου » σε ένα δεδομένο σημείο M είναι ένα διάνυσμα που συμβολίζεται με το σύμβολο grad και ορίζεται από την ισότητα Είναι σαφές ότι αυτό το διάνυσμα εξαρτάται τόσο από τη συνάρτηση / όσο και από το σημείο M στο οποίο υπολογίζεται η παράγωγός του. Έστω 1 ένα μοναδιαίο διάνυσμα προς την κατεύθυνση Τότε ο τύπος για την κατευθυντική παράγωγο μπορεί να γραφεί ως εξής: . έτσι, η παράγωγος της συνάρτησης και στην κατεύθυνση 1 είναι ίση με προϊόν με κουκκίδεςτης κλίσης της συνάρτησης u(M) ανά μονάδα διανύσματος 1° της διεύθυνσης I. 2.1. Βασικές ιδιότητες της βαθμίδας Θεώρημα 1. Η βαθμωτή κλίση πεδίου είναι κάθετη στην επιφάνεια του επιπέδου (ή στη γραμμή στάθμης εάν το πεδίο είναι επίπεδο). (2) Τραβήξτε μέσα αυθαίρετο σημείοΤο M είναι μια επίπεδη επιφάνεια u = const και επιλέξτε μια λεία καμπύλη L σε αυτή την επιφάνεια που διέρχεται από το σημείο M (Εικ. 4). Έστω I ένα διάνυσμα που εφάπτεται στην καμπύλη L στο σημείο M. Δεδομένου ότι στην επίπεδη επιφάνεια u(M) = u(M|) για οποιοδήποτε σημείο Mj ∈ L, τότε Από την άλλη πλευρά, = (gradu, 1°) . Να γιατί. Αυτό σημαίνει ότι τα διανύσματα grad και και 1° είναι ορθογώνια.Έτσι, το διανυσματικό grad και είναι ορθογώνιο σε οποιαδήποτε εφαπτομένη της επίπεδης επιφάνειας στο σημείο Μ. Έτσι, είναι ορθογώνιο στην ίδια την στάθμη επιφάνεια στο σημείο Μ. Θεώρημα 2 Η κλίση κατευθύνεται προς την κατεύθυνση της αυξανόμενης συνάρτησης πεδίου. Νωρίτερα αποδείξαμε ότι η κλίση του βαθμωτού πεδίου κατευθύνεται κατά μήκος της κανονικής προς την επίπεδη επιφάνεια, η οποία μπορεί να προσανατολιστεί είτε προς την αύξηση της συνάρτησης u(M) είτε προς τη μείωσή της. Ας συμβολίσουμε με n την κανονική της επιφάνειας στάθμης που είναι προσανατολισμένη στην κατεύθυνση της αυξανόμενης συνάρτησης ti(M) και ας βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης u προς την κατεύθυνση αυτής της κανονικής (Εικ. 5). Έχουμε Αφού σύμφωνα με την συνθήκη του Σχ. 5 και επομένως ΔΙΑΝΥΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Κλιμακωτό πεδίο Επιφάνειες και γραμμές στάθμης Παράγωγος κατά κατεύθυνση Παράγωγος Κλίση βαθμωτού πεδίου Βασικές ιδιότητες της κλίσης Αμετάβλητος ορισμός της κλίσης Κανόνες για τον υπολογισμό της διαβάθμισης Ακολουθεί ότι η βαθμίδα και κατευθύνεται προς την ίδια κατεύθυνση με αυτήν που επιλέξαμε το κανονικό n, δηλαδή προς την κατεύθυνση της αύξουσας συνάρτησης u(M). Θεώρημα 3. Το μήκος της βαθμίδας είναι ίσο με τη μεγαλύτερη παράγωγο ως προς την κατεύθυνση σε ένα δεδομένο σημείο του πεδίου, (εδώ, το μέγιστο $ λαμβάνεται σε όλες τις πιθανές κατευθύνσεις σε ένα δεδομένο σημείο M προς το σημείο). Έχουμε πού είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων 1 και βαθμού n. Επειδή η μεγαλύτερη τιμή είναι το Παράδειγμα 1. Βρείτε την κατεύθυνση του μεγαλύτερου και απόλυτου κλιμακωτού πεδίου στο σημείο και επίσης το μέγεθος αυτής της μεγαλύτερης αλλαγής στο καθορισμένο σημείο. Η κατεύθυνση της μεγαλύτερης αλλαγής στο βαθμωτό πεδίο υποδεικνύεται από ένα διάνυσμα. Έχουμε έτσι Αυτό το διάνυσμα καθορίζει την κατεύθυνση της μεγαλύτερης αύξησης στο πεδίο σε ένα σημείο. Η τιμή της μεγαλύτερης αλλαγής στο πεδίο σε αυτό το σημείο είναι 2,2. Αμετάβλητος ορισμός της κλίσης Οι ποσότητες που χαρακτηρίζουν τις ιδιότητες του υπό μελέτη αντικειμένου και δεν εξαρτώνται από την επιλογή του συστήματος συντεταγμένων ονομάζονται αμετάβλητες. αυτό το αντικείμενο. Για παράδειγμα, το μήκος μιας καμπύλης είναι αμετάβλητο αυτής της καμπύλης, αλλά η γωνία της εφαπτομένης στην καμπύλη με τον άξονα x δεν είναι αμετάβλητη. Με βάση τις παραπάνω τρεις ιδιότητες της βαθμίδωσης πεδίου, μπορούμε να δώσουμε τον ακόλουθο αμετάβλητο ορισμό της κλίσης. Ορισμός. Η βαθμιδωτή κλίση πεδίου είναι ένα διάνυσμα που κατευθύνεται κατά μήκος της κανονικής προς την επίπεδη επιφάνεια προς την κατεύθυνση της αυξανόμενης συνάρτησης πεδίου και έχει μήκος ίσο με τη μεγαλύτερη κατευθυντική παράγωγο (σε ένα δεδομένο σημείο). Έστω ένα μοναδιαίο κανονικό διάνυσμα που κατευθύνεται προς την κατεύθυνση του αυξανόμενου πεδίου. Στη συνέχεια, Παράδειγμα 2. Βρείτε την κλίση απόστασης - κάποιο σταθερό σημείο, και M(x,y,z) - την τρέχουσα. 4 Έχουμε πού είναι το διάνυσμα διεύθυνσης μονάδας. Κανόνες για τον υπολογισμό της κλίσης όπου c είναι σταθερός αριθμός. Οι παραπάνω τύποι λαμβάνονται απευθείας από τον ορισμό της βαθμίδας και τις ιδιότητες των παραγώγων. Σύμφωνα με τον κανόνα της διαφοροποίησης του προϊόντος Η απόδειξη είναι παρόμοια με την απόδειξη της ιδιότητας Έστω F(u) διαφοροποιήσιμο βαθμωτή συνάρτηση. Τότε 4 Σύμφωνα με τον ορισμό της κλίσης, έχουμε Εφαρμογή σε όλους τους όρους στη δεξιά πλευρά τον κανόνα διαφοροποίησης σύνθετη λειτουργία. Λαμβάνουμε συγκεκριμένα, ο τύπος (6) ακολουθεί από το επίπεδο τύπου σε δύο σταθερά σημεία αυτού του επιπέδου. Θεωρήστε μια αυθαίρετη έλλειψη με εστίες Fj και F] και αποδείξτε ότι οποιαδήποτε φωτεινή ακτίνα που αναδύεται από τη μια εστία της έλλειψης, μετά από ανάκλαση από την έλλειψη, εισέρχεται στην άλλη εστία της. Οι γραμμές στάθμης της συνάρτησης (7) είναι ΔΙΑΝΥΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Κλιμακωτό πεδίο Επιφάνειες και γραμμές στάθμης Κατευθυντική παράγωγος Παράγωγος Κλίμακα πεδίου Βασικές ιδιότητες της βαθμίδας Αμετάβλητος ορισμός της κλίσης Κανόνες υπολογισμού κλίσης Οι εξισώσεις (8) περιγράφουν μια οικογένεια ελλείψεων με εστίες στα σημεία F ) και Fj. Σύμφωνα με το αποτέλεσμα του παραδείγματος 2, έχουμε έτσι, την κλίση ανά δεδομένο πεδίο ίσο με το διάνυσμα PQ της διαγωνίου ενός ρόμβου χτισμένου στα μοναδιαία διανύσματα του r; και διανύσματα ακτίνας. σύρεται στο σημείο P(x, y) από τις εστίες F| και Fj, και επομένως βρίσκεται στη διχοτόμο της γωνίας μεταξύ αυτών των διανυσμάτων ακτίνας (Εικ. 6). Σύμφωνα με το Tooromo 1, η κλίση PQ είναι κάθετη στην έλλειψη (8) στο σημείο. Επομένως, το Σχ.6. το κάθετο προς την έλλειψη (8) σε οποιοδήποτε σημείο διχοτομεί τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων ακτίνας που σύρονται σε αυτό το σημείο. Από εδώ και από το γεγονός ότι η γωνία πρόσπτωσης είναι ίση με τη γωνία ανάκλασης, λαμβάνουμε: μια ακτίνα φωτός που βγαίνει από τη μια εστία της έλλειψης, που αντανακλάται από αυτήν, σίγουρα θα πέσει στην άλλη εστία αυτής της έλλειψης.

1 0 Η κλίση κατευθύνεται κατά μήκος της κανονικής προς την επίπεδη επιφάνεια (ή προς τη γραμμή στάθμης εάν το πεδίο είναι επίπεδο).

2 0 Η κλίση κατευθύνεται προς την κατεύθυνση της αυξανόμενης συνάρτησης πεδίου.

3 0 Η μονάδα κλίσης είναι ίση με τη μεγαλύτερη παράγωγο στην κατεύθυνση σε ένα δεδομένο σημείο του πεδίου:

Αυτές οι ιδιότητες δίνουν ένα αμετάβλητο χαρακτηριστικό της κλίσης. Λένε ότι το διάνυσμα gradU δείχνει την κατεύθυνση και το μέγεθος της μεγαλύτερης αλλαγής στο βαθμωτό πεδίο σε ένα δεδομένο σημείο.

Παρατήρηση 2.1.Αν η συνάρτηση U(x,y) είναι συνάρτηση δύο μεταβλητών, τότε το διάνυσμα

(2.3)

βρίσκεται στο oxy plane.

Έστω U=U(x,y,z) και V=V(x,y,z) συναρτήσεις διαφοροποιήσιμες στο σημείο М 0 (x,y,z). Τότε ισχύουν οι ακόλουθες ισότητες:

α) grad()= ; β) grad(UV)=VgradU+UgradV;

γ) grad(U V)=gradU gradV; δ) δ) βαθμού = , V ;

ε) gradU( = gradU, όπου , U=U() έχει παράγωγο σε σχέση με .

Παράδειγμα 2.1.Δίνεται η συνάρτηση U=x 2 +y 2 +z 2. Να προσδιορίσετε τη διαβάθμιση της συνάρτησης στο σημείο Μ(-2;3;4).

Λύση.Σύμφωνα με τον τύπο (2.2), έχουμε

.

Οι επίπεδες επιφάνειες αυτού του βαθμωτού πεδίου είναι η οικογένεια των σφαιρών x 2 +y 2 +z 2, το διάνυσμα gradU=(-4;6;8) είναι κανονικό διάνυσμααεροπλάνα.

Παράδειγμα 2.2.Βρείτε τη διαβάθμιση του βαθμωτού πεδίου U=x-2y+3z.

Λύση.Σύμφωνα με τον τύπο (2.2), έχουμε

Οι επίπεδες επιφάνειες ενός δεδομένου βαθμωτού πεδίου είναι τα επίπεδα

x-2y+3z=C; το διάνυσμα gradU=(1;-2;3) είναι το κανονικό διάνυσμα των επιπέδων αυτής της οικογένειας.

Παράδειγμα 2.3.Βρείτε την πιο απότομη κλίση της επιφάνειας U=x y στο σημείο M(2;2;4).

Λύση.Εχουμε:

Παράδειγμα 2.4.Βρείτε το μοναδιαίο κανονικό διάνυσμα στην επίπεδη επιφάνεια του βαθμωτού πεδίου U=x 2 +y 2 +z 2 .

Λύση.Επίπεδες επιφάνειες δεδομένου βαθμωτό Πεδίο-σφαίρα x 2 +y 2 +z 2 =C (C>0).

Η κλίση κατευθύνεται κατά μήκος της κανονικής προς την επίπεδη επιφάνεια, έτσι ώστε

Ορίζει το κανονικό διάνυσμα στην επίπεδη επιφάνεια στο σημείο M(x,y,z). Για ένα μοναδιαίο κανονικό διάνυσμα, λαμβάνουμε την έκφραση

, όπου

.

Παράδειγμα 2.5.Βρείτε την κλίση πεδίου U= , όπου και είναι σταθερά διανύσματα, r είναι το διάνυσμα ακτίνας του σημείου.

Λύση.Αφήνω

Επειτα:
. Με τον κανόνα της διαφοροποίησης της ορίζουσας, παίρνουμε

Συνεπώς,

Παράδειγμα 2.6.Βρείτε την κλίση απόστασης , όπου P(x,y,z) είναι το σημείο του υπό μελέτη πεδίου, P 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) είναι κάποιο σταθερό σημείο.

Λύση.Έχουμε διάνυσμα κατεύθυνσης μονάδας.

Παράδειγμα 2.7.Να βρείτε τη γωνία μεταξύ των κλίσεων των συναρτήσεων στο σημείο M 0 (1,1).

Λύση.Βρίσκουμε τις διαβαθμίσεις αυτών των συναρτήσεων στο σημείο M 0 (1,1), έχουμε

; Η γωνία μεταξύ gradU και gradV στο σημείο M 0 προσδιορίζεται από την ισότητα

Άρα =0.

Παράδειγμα 2.8.Βρείτε την παράγωγο ως προς την κατεύθυνση, το διάνυσμα ακτίνας είναι ίσο με

(2.4)

Λύση.Εύρεση της κλίσης αυτής της συνάρτησης:

Αντικαθιστώντας το (2.5) στο (2.4), παίρνουμε

Παράδειγμα 2.9.Βρείτε στο σημείο M 0 (1;1;1) την κατεύθυνση της μεγαλύτερης μεταβολής στο βαθμωτό πεδίο U=xy+yz+xz και το μέγεθος αυτής της μεγαλύτερης μεταβολής σε αυτό το σημείο.

Λύση.Η κατεύθυνση της μεγαλύτερης αλλαγής στο πεδίο υποδεικνύεται από το διανυσματικό βαθμό U(M). Το βρίσκουμε:

Και ως εκ τούτου, . Αυτό το διάνυσμα καθορίζει την κατεύθυνση της μεγαλύτερης αύξησης αυτού του πεδίου στο σημείο M 0 (1;1;1). Η τιμή της μεγαλύτερης αλλαγής στο πεδίο σε αυτό το σημείο είναι ίση με

.

Παράδειγμα 3.1.Βρείτε διανυσματικές γραμμές διανυσματικό πεδίο όπου είναι ένα σταθερό διάνυσμα.

Λύση.Έχουμε έτσι

(3.3)

Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος με x, του δεύτερου με y, του τρίτου με το z και προσθέστε το όρο προς όρο. Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα αναλογίας, παίρνουμε

Εξ ου και xdx+ydy+zdz=0, που σημαίνει

x 2 +y 2 +z 2 =A 1 , A 1 -const>0. Τώρα πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος (3.3) με c 1, το δεύτερο με c 2, το τρίτο με c 3 και αθροίζοντάς το όρο προς όρο, παίρνουμε

Από όπου c 1 dx+c 2 dy+c 3 dz=0

Και, επομένως, με 1 x+c 2 y+c 3 z=A 2 . Ένα 2-const.

Απαιτούμενες εξισώσεις διανυσματικών γραμμών

Αυτές οι εξισώσεις δείχνουν ότι οι διανυσματικές γραμμές λαμβάνονται ως αποτέλεσμα της τομής σφαιρών που έχουν κοινό κέντρο στην αρχή με επίπεδα, κάθετο στο διάνυσμα . Από αυτό προκύπτει ότι οι διανυσματικές γραμμές είναι κύκλοι των οποίων τα κέντρα βρίσκονται σε ευθεία γραμμή που διέρχεται από την αρχή προς την κατεύθυνση του διανύσματος c. Τα επίπεδα των κύκλων είναι κάθετα στην καθορισμένη ευθεία.

Παράδειγμα 3.2.Εύρεση διανυσματικής γραμμής πεδίου περνώντας από το σημείο (1,0,0).

Λύση. Διαφορικές εξισώσειςδιανυσματικές γραμμές

άρα έχουμε . Επίλυση της πρώτης εξίσωσης. Ή αν εισάγουμε την παράμετρο t, τότε θα έχουμε Σε αυτήν την περίπτωση, την εξίσωση παίρνει τη μορφή ή dz=bdt, από όπου z=bt+c 2 .

Εργασία 2. Βρείτε το συνημίτονο της γωνίας a μεταξύ των κλίσεων πεδίου στα σημεία A(1, 2, 2) και B(-3, 1, 0). Λύση.

Πρόβλημα 3. Για μια συνάρτηση, βρείτε την παράγωγο κατά μήκος της εσωτερικής κανονικής προς κυλινδρική επιφάνεια x 2 + z 2 = a 2 + c 2 στο σημείο M 0(a, b, c). Λύση. Έστω f(x, y, z) = x 2 + z 2. Η επιφάνεια που δίνεται στη συνθήκη είναι η επίπεδη επιφάνεια για f που διέρχεται από το σημείο M 0. Έχουμε Η συνάρτηση f στο σημείο M 0 αναπτύσσεται ταχύτερα στην κατεύθυνση grad f, επομένως, στην κατεύθυνση κάθετη προς τη δεδομένη επιφάνεια.

Με βάση τη μορφή της συνάρτησης f, συμπεραίνουμε ότι αυτή είναι η φορά του προς τα έξω κανονικού. Επομένως, το μοναδιαίο διάνυσμα της εσωτερικής κανονικής στο σημείο M 0 θα είναι ίσο με

Εργασία 5. Υπολογίστε τη ροή του διανυσματικού πεδίου a = (z 2 - x, 1, y 5) έως εσωτερική επιφάνεια S: y 2 = 2 x αποκόπτεται από επίπεδα: x = 2, z = 0, z = 3. Λύση.

Λύση. Μέθοδος I Περίγραμμα L - ένας κύκλος ακτίνας R, που βρίσκεται στο επίπεδο z = 3. Ας επιλέξουμε τον προσανατολισμό όπως φαίνεται στο σχήμα, δηλαδή αριστερόστροφα. Παραμετρικές εξισώσειςκύκλοι μοιάζουν

II τρόπος. Για να υπολογίσουμε την κυκλοφορία σύμφωνα με το θεώρημα Stokes, επιλέγουμε κάποια επιφάνεια S που εκτείνεται από το περίγραμμα. Είναι φυσικό να πάρουμε ως S έναν κύκλο που έχει ως όριο το περίγραμμα L. Η εξίσωση επιφάνειας S έχει τη μορφή: Σύμφωνα με τον επιλεγμένο προσανατολισμό του περιγράμματος, η κανονική προς την επιφάνεια πρέπει να ληφθεί ίση με

Πρόβλημα 7. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα Stokes, βρείτε την κυκλοφορία του διανυσματικού πεδίου Πάνω από το τμήμα x 2 + y 2 + z 2 = R 2 από το επίπεδο z = 0. Λύση. Σύμφωνα με τον τύπο Stokes

Πρόβλημα 8. Βρείτε τη διανυσματική ροή μέσω τμήματος της σφαίρας x 2 + y 2 + z 2 = R 2 , για x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, προς την κατεύθυνση της εξωτερικής κανονικής. Λύση. Εξ ορισμού της διανυσματικής ροής μέσω της επιφάνειας, βρίσκουμε