Δράση εκδήλωσης 2. Θεωρήματα πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού των πιθανοτήτων: κύριες εργασίες

αντίγραφο

1 Απαντήσεις = Α 5 12 = Α3 7 = 7 3 = α) 126; β) Ρ(4, 5, 6) = α) Ρ 4 = 24; β) P(2, 2) = C22 4 C2 8 = , 30, 60, Ανεπαρκής, 9, Ενέργειες σε συμβάντα Ένα συμβάν ονομάζεται τυχαίο ή δυνατό εάν το αποτέλεσμα της δοκιμής οδηγεί στην εμφάνιση ή μη αυτού του συμβάντος . Για παράδειγμα, η απώλεια ενός θυρεού κατά την ρίψη ενός νομίσματος. ρίχνοντας ένα πρόσωπο με αριθμό πόντων ίσο με 3 όταν ρίχνετε ένα ζάρι. Ένα συμβάν ονομάζεται βέβαιο εάν, υπό τις συνθήκες δοκιμής, θα συμβεί σίγουρα. Για παράδειγμα, η εξαγωγή μιας λευκής μπάλας από μια λάρνακα που περιέχει μόνο λευκές μπάλες. ρίχνοντας όχι περισσότερους από 6 πόντους όταν ρίχνετε ένα ζάρι. Ένα συμβάν λέγεται ότι είναι αδύνατο εάν, υπό τις συνθήκες της δοκιμής, είναι γνωστό ότι δεν συμβαίνει. Για παράδειγμα, η απώλεια επτά πόντων κατά τη ρίψη ενός ζαριού. τραβώντας περισσότερους από τέσσερις άσσους από μια κανονική τράπουλα. Τα τυχαία συμβάντα υποδηλώνονται με λατινικά γράμματα του αλφαβήτου A, B, C και ούτω καθεξής. Τα γεγονότα είναι κοινά και ασύμβατα. Τα συμβάντα ονομάζονται ασυμβίβαστα εάν, υπό τις συνθήκες δοκιμής, η εμφάνιση ενός από αυτά αποκλείει την εμφάνιση των άλλων. Για παράδειγμα, η απώλεια ενός εθνόσημου και της ουράς με μια ρίψη κέρματος. χτυπήστε και αστοχήστε με ένα σουτ. Τα συμβάντα ονομάζονται κοινά εάν, υπό τις συνθήκες δοκιμής, η εμφάνιση ενός από αυτά δεν αποκλείει την εμφάνιση των άλλων. Για παράδειγμα, το χτύπημα ενός στόχου και η απώλεια όταν πυροβολούν δύο τουφέκια ταυτόχρονα. η απώλεια δύο θυρεών κατά τη ρίψη δύο νομισμάτων. Τα γεγονότα ονομάζονται εξίσου πιθανά εάν, υπό τις συνθήκες ενός δεδομένου τεστ, η πιθανότητα να συμβεί καθένα από αυτά τα γεγονότα είναι η ίδια. Παραδείγματα εξίσου πιθανών γεγονότων: η απώλεια ενός εθνόσημου και η απώλεια ουρών σε μια ρίψη κέρματος. δεκατρείς

2 ρίχνοντας έναν αριθμό πόντων από 1 έως 6 όταν ρίχνετε ένα ζάρι. Το γεγονός Γ, που συνίσταται στην εμφάνιση τουλάχιστον ενός από τα γεγονότα Α ή Β, ονομάζεται άθροισμα (ένωση) γεγονότων και συμβολίζεται C = A + B (C = A B). Το γεγονός Γ, που συνίσταται στην από κοινού εμφάνιση των γεγονότων Α και Β, ονομάζεται γινόμενο (τομή) αυτών των γεγονότων και συμβολίζεται C = A B (C = A B). Το γεγονός Γ, που συνίσταται στο ότι το γεγονός α δεν συμβαίνει, ονομάζεται αντίθετο γεγονός και συμβολίζεται με Α. Το άθροισμα των αντίθετων γεγονότων είναι ένα ορισμένο γεγονός Ω, δηλαδή Α + Α = Ω. Το γινόμενο αντίθετων γεγονότων είναι ένα αδύνατο γεγονός (V), δηλαδή A A = V. Το σύνολο των πιθανών γεγονότων σχηματίζει μια πλήρη ομάδα εάν τουλάχιστον ένα από αυτά τα συμβάντα εμφανιστεί ως αποτέλεσμα της δοκιμής: n A i = Ω. i=1 Για παράδειγμα, κατά τη ρίψη ενός ζαριού, οι εγκαταλείψεις από έναν έως έξι πόντους αποτελούν μια πλήρη ομάδα γεγονότων Γεγονός Α με τέσσερις δοκιμασμένους λαμπτήρες, όλοι ελαττωματικοί. συμβάν Β όλες οι λάμπες είναι καλές. Τι σημαίνουν τα γεγονότα: 1) A + B; 2) Α Β; 3) Α; 4) Β; Απόφαση. 1) Το συμβάν Α είναι ότι όλοι οι λαμπτήρες είναι ελαττωματικοί και το γεγονός Β είναι ότι όλοι οι λαμπτήρες είναι καλοί. Το άθροισμα των γεγονότων Α + Β σημαίνει ότι όλοι οι λαμπτήρες πρέπει να είναι είτε ελαττωματικοί είτε καλοί. 2) Οι λαμπτήρες συμβάντος Α Β πρέπει να είναι και ελαττωματικοί και καλοί, επομένως το συμβάν Α Β είναι αδύνατο. 3) A όλες οι λάμπες είναι ελαττωματικές, επομένως μια τουλάχιστον λάμπα είναι καλή. 4) B όλες οι λάμπες είναι καλές, επομένως B τουλάχιστον μία λάμπα είναι ελαττωματική. δεκατέσσερα

3 2.2. Ένας αριθμός λαμβάνεται τυχαία από έναν πίνακα τυχαίων αριθμών. Γεγονός Α ο επιλεγμένος αριθμός διαιρείται με το 2, γεγονός Β ο επιλεγμένος αριθμός διαιρείται με το 3. Τι σημαίνουν τα γεγονότα: 1) A+B; 2) Α Β; 3) Α Β; Απόφαση. 1) Το άθροισμα των γεγονότων a + B είναι ένα γεγονός που συνίσταται στην εμφάνιση τουλάχιστον ενός από τα γεγονότα Α ή Β, δηλαδή, ένας τυχαία επιλεγμένος αριθμός πρέπει να διαιρείται είτε με το 2, είτε με το 3, είτε με το 6. 2) Το γινόμενο των γεγονότων Α Β σημαίνει ότι τα γεγονότα Α και Β συμβαίνουν ταυτόχρονα. Επομένως, ο επιλεγμένος αριθμός πρέπει να διαιρείται με το 6. 3) A B ο επιλεγμένος αριθμός δεν διαιρείται με Δύο σκοπευτές ρίχνουν μία βολή στον ίδιο στόχο. Γεγονός Α ο πρώτος σκοπευτής χτυπά τον στόχο. γεγονός Β ο δεύτερος σκοπευτής χτυπά τον στόχο. Τι σημαίνουν τα γεγονότα: α) Α + Β; β) Α Β; γ) Α + Β; δ) Α Β; Απόφαση. α) Γεγονός A+B σημαίνει: τουλάχιστον ένας από τους σκοπευτές χτυπά τον στόχο. β) γεγονός A B σημαίνει: και τα δύο βέλη χτυπούν τον στόχο. γ) γεγονός A+B σημαίνει: τουλάχιστον ένα αστοχεί. δ) γεγονότα Α Β σημαίνει: και οι δύο κάνουν λάθη Δύο σκακιστές παίζουν ένα παιχνίδι. Το γεγονός Α θα κερδίσει ο πρώτος παίκτης, το γεγονός Β ο δεύτερος παίκτης. Ποιο συμβάν πρέπει να προστεθεί στο καθορισμένο σύνολο για να ληφθεί μια πλήρης ομάδα συμβάντων; Απόφαση. Σχεδίαση συμβάντος Γ Δίνονται δύο διπλά μπλοκ ένα 1 και ένα 2. Καταγράψτε το γεγονός ότι το σύστημα είναι κλειστό. Απόφαση. Ας εισαγάγουμε την ακόλουθη σημείωση: Ένα συμβάν 1, που συνίσταται στο γεγονός ότι το μπλοκ a 1 είναι εξυπηρετικό. a1 a A 2 2 συμβάν που μπλοκ a 2 είναι υγιές. Το S είναι ένα γεγονός που το σύστημα είναι κλειστό. Τα μπλοκ είναι περιττά, επομένως το σύστημα θα κλείσει όταν λειτουργεί τουλάχιστον ένα από τα μπλοκ, δηλαδή S = A 1 + A Δίνεται ένα σύστημα τριών μπλοκ a 1, a 2, b. Καταγράψτε συμβάντα - 15

4 ισοπαλία, που συνίσταται στο γεγονός ότι το σύστημα είναι κλειστό. Απόφαση. Ας εισαγάγουμε τον συμβολισμό: A 1 a 1 2 b το ακόλουθο συμβάν, που συνίσταται στο γεγονός ότι το μπλοκ a 1 είναι επισκευάσιμο. Ένα συμβάν 2 που μπλοκάρει το 2 είναι υγιές. B ένα συμβάν που συνίσταται στο γεγονός ότι το τμήμα b είναι υγιές. Το S είναι ένα γεγονός που το σύστημα είναι κλειστό. Ας χωρίσουμε το σύστημα σε δύο μέρη. Το κλείσιμο ενός συστήματος που αποτελείται από διπλά μπλοκ, όπως βλέπουμε, μπορεί να γραφτεί ως ένα γεγονός A 1 + A 2. Για το κλείσιμο ολόκληρου του συστήματος, απαιτείται πάντα η δυνατότητα συντήρησης του μπλοκ Β, επομένως S = (A 1 + Α 2) Β. Προβλήματα για ανεξάρτητη λύση 2.7 . Ένας αριθμός λαμβάνεται τυχαία από έναν πίνακα τυχαίων αριθμών. Γεγονός Ένας επιλεγμένος αριθμός διαιρείται με το 5, γεγονός Β ο αριθμός αυτός τελειώνει στο μηδέν. Τι σημαίνουν τα γεγονότα: 1) A+B; 2) Α Β; 3) Α Β; 4) Α Β; 2.8. Τρεις σκοπευτές πυροβολούν σε στόχο. Γεγονότα: 1 χτύπημα στον στόχο από τον πρώτο σκοπευτή. Ένα χτύπημα 2 από τον δεύτερο σκοπευτή. Ένα χτύπημα 3 από τον τρίτο σουτέρ. Δημιουργήστε μια πλήρη ομάδα γεγονότων Υπάρχουν πολλές μπάλες ίδιου μεγέθους αλλά διαφορετικών χρωμάτων στο πλαίσιο: λευκό, κόκκινο, μπλε. Γεγονός K i μια κόκκινη μπάλα που λαμβάνεται τυχαία. Το γεγονός B i είναι λευκό. Το γεγονός C i είναι μπλε. Δύο μπάλες βγαίνουν στη σειρά (i = 1, 2 είναι ο αύξων αριθμός των μπάλες που βγήκαν). Γράψτε τα ακόλουθα συμβάντα: α) γεγονός Α, η δεύτερη μπάλα που λήφθηκε τυχαία ήταν μπλε. β) γεγονός Α. γ) το γεγονός Β είναι και οι δύο μπάλες κόκκινες; Δημιουργήστε μια πλήρη ομάδα γεγονότων Τρεις βολές εκτοξεύονται στον στόχο. Δεδομένων των γεγονότων A i (i = 1, 2, 3) χτυπώντας τον στόχο κατά τη διάρκεια της i-ης βολής. Εκφράστε μέσω των A i και A i τα ακόλουθα συμβάντα: 1) ούτε ένα χτύπημα στο 16

5 γκολ? 2) ένα χτύπημα στο στόχο. 3) δύο χτυπήματα στο στόχο. 4) τρία χτυπήματα στο στόχο. 5) τουλάχιστον ένα χτύπημα στο στόχο. 6) τουλάχιστον ένα χάσιμο Είναι ασύμβατα τα ακόλουθα γεγονότα: α) η εμπειρία της ρίψης ενός νομίσματος; συμβάντα: Α η εμφάνιση του οικόσημου, Β η εμφάνιση των αριθμών. β) δοκιμάστε δύο βολές στο στόχο. γεγονότα: Ένα τουλάχιστον χτύπημα, τουλάχιστον ένα χάσιμο Είναι εξίσου πιθανά τα ακόλουθα γεγονότα: α) η εμπειρία της ρίψης ενός νομίσματος; συμβάντα: Α η εμφάνιση του οικόσημου, Β η εμφάνιση των αριθμών. β) την εμπειρία της ρίψης ενός λυγισμένου νομίσματος. συμβάντα: Α η εμφάνιση του οικόσημου, Β η εμφάνιση των αριθμών. γ) εμπειρία: βολή σε στόχο. Γεγονότα: A hit, B miss Κάντε τα ακόλουθα γεγονότα σχηματίζουν μια πλήρη ομάδα γεγονότων: α) εμπειρία ρίψης νομίσματος. εκδηλώσεις: Εθνόσημο, σχήμα Β. β) την εμπειρία της ρίψης δύο νομισμάτων. γεγονότα: Α δύο οικόσημα, Β δύο αριθμοί Ρίξτε ένα ζάρι. Ας ορίσουμε τα γεγονότα: Μια απώλεια 6 πόντων, Β απώλεια 3 πόντων, Γ απώλεια ζυγού αριθμού πόντων. D ρίχνοντας έναν αριθμό σημείων που είναι πολλαπλάσιο των τριών. Ποιες είναι οι σχέσεις μεταξύ αυτών των γεγονότων; Έστω τα Α, Β, Γ αυθαίρετα γεγονότα. Τι σημαίνουν τα ακόλουθα γεγονότα: ABC; ΑΛΦΑΒΗΤΟ; A+BC; ABC+ABC+ +ABC; ABC + ABC + ABC + ABC; Μέσα από αυθαίρετα γεγονότα A, B, C, βρείτε εκφράσεις για τα ακόλουθα συμβάντα: α) συνέβη μόνο το συμβάν Α. β) Το Α και το Β συνέβη, το Γ δεν συνέβη. γ) έχουν συμβεί και τα τρία γεγονότα. δ) έχει συμβεί τουλάχιστον ένα από αυτά τα συμβάντα. ε) έχουν συμβεί τουλάχιστον δύο γεγονότα. ε) έχει συμβεί ένα και μόνο γεγονός. ζ) δύο και μόνο δύο συμβάντα έχουν συμβεί. 17

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ. Η θεωρία πιθανοτήτων είναι ένας κλάδος των μαθηματικών που μελετά μοτίβα που προκύπτουν σε τυχαίες δοκιμές. Το αποτέλεσμα του τεστ είναι τυχαίο σε σχέση με το τεστ, εάν κατά τη διάρκεια αυτού

1 Βασικές έννοιες της συνδυαστικής 1 Εφαρμογή Ορισμός Το γινόμενο όλων των φυσικών αριθμών από το 1 έως το n συμπεριλαμβανομένου ονομάζεται n-παραγοντικό και γράφεται Παράδειγμα Υπολογίστε 4! 3! n! 1 3 n 4!-3!= 1 3 4 1 3 4 18

Αξιόπιστο συμβάν. Ένα γεγονός ονομάζεται βέβαιο εάν θα συμβεί αναγκαστικά κάτω από ένα συγκεκριμένο σύνολο συνθηκών. Σύμβολο: Ω (αληθές). Αδύνατον γεγονός. Το γεγονός που

ΘΕΜΑ 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ. ΚΛΑΣΙΚΕΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Αντικείμενο της θεωρίας πιθανοτήτων. Η έννοια ενός τυχαίου γεγονότος. Χώρος στοιχειωδών εκδηλώσεων. κλασική και γεωμετρική

1.1. Κλασικός ορισμός της πιθανότητας Η βασική έννοια της θεωρίας πιθανοτήτων είναι η έννοια ενός τυχαίου γεγονότος. Ένα τυχαίο συμβάν είναι ένα γεγονός που, υπό ορισμένες προϋποθέσεις, μπορεί

Οι κύριες διατάξεις της θεωρίας των πιθανοτήτων Ένα γεγονός ονομάζεται τυχαίο σε σχέση με ορισμένες συνθήκες, οι οποίες, υπό την εφαρμογή αυτών των συνθηκών, μπορεί είτε να συμβούν είτε να μην συμβούν. Η θεωρία πιθανοτήτων έχει

( σ-άλγεβρα - πεδίο τυχαίων γεγονότων - πρώτη ομάδα αξιωμάτων Kolmogorov - δεύτερη ομάδα αξιωμάτων Kolmogorov - βασικοί τύποι θεωρίας πιθανοτήτων - θεώρημα πρόσθεσης πιθανότητας - πιθανότητες υπό όρους

Το θέμα της θεωρίας πιθανοτήτων Σε διάφορους κλάδους της επιστήμης και της τεχνολογίας, συχνά προκύπτουν καταστάσεις όπου το αποτέλεσμα καθενός από τα πολλά πειράματα που διεξάγονται δεν μπορεί να προβλεφθεί εκ των προτέρων, αλλά είναι δυνατό να διερευνηθεί

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑ III. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ... 2 1. ΥΛΙΚΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ... 2 1.1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ... 2 1.2. ΕΝΕΡΓΕΙΕΣ ΣΕ ΤΥΧΑΙΑ ΓΕΓΟΝΟΤΑ... 4 1.3. ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ

ΜΑΘΗΜΑ 3 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΚΕΣ ΣΥΣΤΑΣΕΙΣ MISIS 2013 ΕΓΚΕΚΡΙΜΕΝΟ: Δ.Ε. Kaputkin Πρόεδρος της Εκπαιδευτικής και Μεθοδολογικής Επιτροπής για την εφαρμογή της Συμφωνίας με το Τμήμα Παιδείας των Βουνών.

1.6. Ανεξάρτητες δοκιμές. Τύπος Bernoulli Κατά την επίλυση πιθανοτικών προβλημάτων, συχνά πρέπει να αντιμετωπίσουμε καταστάσεις στις οποίες το ίδιο τεστ επαναλαμβάνεται πολλές φορές και το αποτέλεσμα κάθε δοκιμής

Πιθανότητα. Τι είναι αυτό? Η θεωρία πιθανοτήτων, όπως υποδηλώνει το όνομα, ασχολείται με τις πιθανότητες. Μας περιβάλλουν πολλά πράγματα και φαινόμενα για τα οποία, όσο προηγμένη κι αν είναι η επιστήμη, είναι αδύνατο να κάνουμε ακριβείς προβλέψεις.

Εξάσκηση 1. Προσδιορισμός της πιθανότητας Ιδιότητες τυχαίων γεγονότων 1. [Wentzel E.S., 1.1.] Κάντε τις ακόλουθες ομάδες γεγονότων να σχηματίσουν μια πλήρη ομάδα: α) Η εμπειρία της ρίψης ενός νομίσματος. γεγονότα: β) Εμπειρία ρίψεων

ΘΕΜΑ. ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΠΡΟΣΘΗΚΗΣ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Πράξεις σε τυχαία γεγονότα. Άλγεβρα γεγονότων. Η έννοια της συμβατότητας των γεγονότων. Πλήρης ομάδα εκδηλώσεων. Εξάρτηση και ανεξαρτησία τυχαίων γεγονότων. Υποθετικός

Διάλεξη 2. Θεωρήματα πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού πιθανοτήτων Το άθροισμα και το γινόμενο ενός γεγονότος

Μαθηματικά (BkPl-100) Μ.Π. Kharlamov 2011/2012 ακαδημαϊκό έτος, 1ο εξάμηνο Διάλεξη 5. Θέμα: Συνδυαστική, εισαγωγή στη θεωρία πιθανοτήτων 1 Θέμα: Συνδυαστική Η συνδυαστική είναι ένας κλάδος των μαθηματικών που μελετά

Θέμα μαθήματος: «Τα πιο απλά πιθανοτικά προβλήματα». Δάσκαλος μαθηματικών 11ης τάξης Pereverzeva N.S. MOU Λυκείου 6 Είναι αξιοσημείωτο ότι η επιστήμη, που ξεκίνησε με την εξέταση του τζόγου, υπόσχεται να γίνει η πιο σημαντική

Στοιχεία της θεωρίας των πιθανοτήτων. Σχέδιο. 1. Εκδηλώσεις, είδη εκδηλώσεων. 2. Πιθανότητα γεγονότος α) Κλασική πιθανότητα γεγονότος. β) Στατιστική πιθανότητα ενός γεγονότος. 3. Άλγεβρα γεγονότων α) Άθροισμα γεγονότων. Πιθανότητα

Θέμα 33 «Πιθανότητα Γεγονότων» Όλοι λέμε συχνά «αυτό είναι απίστευτο», «πιο πιθανό», «αυτό είναι απίθανο» κ.λπ., όταν προσπαθούμε να προβλέψουμε την εμφάνιση ενός γεγονότος. Εν

Ομοσπονδιακή Υπηρεσία Εκπαίδευσης Tomsk State University of Control Systems and Radioelectronics NE Lugina WORKSHOP ON ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Εγχειρίδιο Tomsk 2006 Reviewers: Cand.

TTÜ VIRUMAA KOLLEDŽ RAR0530 Tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika Διάλεξη 1 Τυχαία συμβάντα Ενέργειες σε συμβάντα Õppejõud: I. Gusseva ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Εισαγωγή Η θεωρία πιθανοτήτων ασχολείται με

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΤΥΧΑΙΟΥ ΓΕΓΟΝΟΣ Τα αξιώματα του Kolmogorov Το 1933 ο AN Kolmogorov στο βιβλίο του "Basic Concepts of Probability Theory" έδωσε μια αξιωματική τεκμηρίωση της θεωρίας των πιθανοτήτων. «Αυτό σημαίνει ότι μετά

Εργασία για το σπίτι 1 «Θεωρία Πιθανοτήτων» Εργασία 1. 1.1. Υπάρχουν πέντε εισιτήρια αξίας ενός ρούβλι, τρία εισιτήρια για τρία ρούβλια και δύο εισιτήρια για πέντε ρούβλια. Τυχαία κληρώνονται τρία εισιτήρια. Προσδιορίστε την πιθανότητα

Εξέταση στα εφαρμοσμένα μαθηματικά για μαθητές του 2ου έτους αλληλογραφίας της Ανώτατης Οικονομικής Σχολής, κατεύθυνση προετοιμασίας 08.03.01 κατασκευή Επιλογή 1 1) Φυσικός αριθμός που δεν υπερβαίνει

Πρακτική εργασία 3 Άλγεβρα γεγονότων. Πρόσθεση και πολλαπλασιασμός των πιθανοτήτων Σκοπός της εργασίας: να κατακτήσετε τον υπολογισμό των πιθανοτήτων κοινών γεγονότων, τον ορισμό της πιθανότητας χρησιμοποιώντας τους τύπους αθροίσματος και γινομένων. Εξοπλισμός

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ ΡΩΣΙΑΣ ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑΣ ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ VOLGOGRAD ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Θεωρία πιθανοτήτων (εισαγωγή) Μέρος 1ο Μεθοδικό

Τμήμα Μαθηματικών και Πληροφορικής Μαθηματικών Εκπαιδευτικό και μεθοδολογικό συγκρότημα για μαθητές δευτεροβάθμιας επαγγελματικής εκπαίδευσης που σπουδάζουν με χρήση τεχνολογιών εξ αποστάσεως Ενότητα 6 Στοιχεία θεωρίας πιθανοτήτων και μαθηματικές στατιστικές

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ. 3.1. Τυχαία γεγονότα. Κάθε επιστήμη, όταν μελετά τα φαινόμενα του υλικού κόσμου, λειτουργεί με ορισμένες έννοιες, μεταξύ των οποίων υπάρχουν αναγκαστικά θεμελιώδεις.

Πρακτική εργασία 2 Θέμα 2 Τύπος συνολικής πιθανότητας και τύπος Bayes Επανάληψη πειραμάτων (σχήμα Bernoulli). Θα πούμε ότι τα γεγονότα H 1, H 2, H n σχηματίζουν μια πλήρη ομάδα, εάν ως αποτέλεσμα του πειράματος:

13 Πρόσθεση και πολλαπλασιασμός των πιθανοτήτων Ένα γεγονός Α ονομάζεται ειδική περίπτωση ενός γεγονότος Β εάν, όταν συμβαίνει το Α, συμβαίνει το Β και το Β καταγράφεται: Τα γεγονότα Α και Β ονομάζονται ίσα εάν καθένα από αυτά είναι ειδική περίπτωση

ΣΥΝΔΥΑΣΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Θέμα 5 Περιεχόμενο διάλεξης 1 Εισαγωγή 2 3 4 Επόμενη παράγραφος 1 Εισαγωγή 2 3 4 Πρόβλημα... Πρόβλημα... Πρόβλημα... ... και λύση: Κορίτσι

Θέμα Διάλεξης: ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΓΟΝΟΤΩΝ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Άλγεβρα γεγονότων Το άθροισμα των γεγονότων ονομάζεται γεγονός S = +, το οποίο συνίσταται στην εμφάνιση τουλάχιστον ενός από αυτά Το γινόμενο των γεγονότων και ονομάζεται

Διάλεξη 9

ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΕΛΕΓΧΟΥ Εξέταση 1 Επιλογή 1 1. Ανάμεσα στα 0 κεραμικά προϊόντα που παρέλαβε το κατάστημα, υπάρχουν και 4 ελαττωματικά. Για να ελέγξει την ποιότητα, ο έμπορος επιλέγει τυχαία δύο προϊόντα. Βρείτε την πιθανότητα

(ορισμοί - τυχαίο συμβάν - πράξεις σε γεγονότα πιθανότητα σε ένα διακριτό χώρο στοιχειωδών αποτελεσμάτων κλασικός ορισμός πιθανότητας παράδειγμα παράδειγμα υπεργεωμετρικής κατανομής

PRCTICUM Βασικοί τύποι συνδυαστικής Είδη συμβάντων Ενέργειες σε γεγονότα Κλασική πιθανότητα Γεωμετρική πιθανότητα Βασικοί τύποι συνδυαστικής Η συνδυαστική μελετά τον αριθμό των συνδυασμών,

ΔΙΑΛΕΞΗ 1 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Η θεωρία πιθανοτήτων είναι μια επιστήμη που μελετά κανονικότητες σε τυχαία φαινόμενα. Τυχαίο φαινόμενο είναι ένα τέτοιο φαινόμενο που, με επαναλαμβανόμενη αναπαραγωγή του ίδιου

1 Πιθανότητα Η επεξεργασία των πειραματικών δεδομένων γίνεται με διάφορες μεθόδους. Συνήθως, ο ερευνητής, έχοντας λάβει πειραματικά δεδομένα για μία ή περισσότερες ομάδες θεμάτων και προσδιορίζοντας από αυτά

Βασικές αρχές της θεωρίας πιθανοτήτων Διάλεξη 2 Περιεχόμενα 1. Πιθανότητα υπό όρους 2. Πιθανότητα του γινομένου των γεγονότων 3. Πιθανότητα του αθροίσματος των γεγονότων 4. Τύπος Συνολικών Πιθανοτήτων Εξαρτημένα και ανεξάρτητα γεγονότα Ορισμός

Θέμα: Θεωρία πιθανοτήτων Πειθαρχία: Μαθηματικά Συγγραφείς: Nefedova G.A. Ημερομηνία: 9.0.0. Η πιθανότητα ενός τυχαίου συμβάντος μπορεί να είναι ίση. 0,5. 3. 0. 0.7 5..5 6. - 7. 0.3. Η πιθανότητα ενός συγκεκριμένου γεγονότος είναι ίση.

Θεωρία Πιθανοτήτων Σχέδιο Διάλεξης P σχετικά με την πιθανότητα ως επιστήμη P Βασικοί ορισμοί της πιθανότητας P Συχνότητα ενός τυχαίου γεγονότος Ορισμός της πιθανότητας P 4 Εφαρμογή συνδυαστικής στη μέτρηση

Chiv έως S το συμβάν, που συνίσταται στο γεγονός ότι το σύστημα δεν είναι κλειστό, μπορεί να γραφτεί: S = A 1 A 2 + B = (A 1 + A 2) + B. 2.18. Ομοίως με τη λύση των προβλημάτων 2.5, 2.6, λαμβάνουμε S = A(B 1 +B 2) C D; S = A + B 1 B 2 + C

Θέμα 8 Διακριτές τυχαίες μεταβλητές. Συχνά το αποτέλεσμα ενός τυχαίου πειράματος είναι ένας αριθμός. Για παράδειγμα, μπορείτε να ρίξετε ένα ζάρι και να πάρετε έναν από τους αριθμούς:,3,4,5,6. Μπορείτε να οδηγήσετε στο βενζινάδικο

Πιθανότητα υπό όρους. Θεώρημα πολλαπλασιασμού πιθανοτήτων Αριθμός:..Β Πρόβλημα: Η πιθανότητα της κοινής εμφάνισης ανεξάρτητων γεγονότων Α και Β προσδιορίζεται από τον τύπο Απαντήσεις:). Ρ(Α)ΡΑ(Β)). Ρ(Α) + Ρ(Β)).

Διάλεξη 10 ΘΕΜΑ Βασικές αρχές της θεωρίας πιθανοτήτων (μέρος 2). Συγγραφέας: Maksim Igorevich Pisarevsky, Λέκτορας στο Κέντρο Προπανεπιστημιακής Εκπαίδευσης, Εθνικό Ερευνητικό Πυρηνικό Πανεπιστήμιο MEPhI. Μόσχα, 2017 Ορισμοί και ιδιότητες Βασικοί ορισμοί της θεωρίας

Εργασία Επίλυση προβλημάτων στη θεωρία πιθανοτήτων Θέμα: «Πιθανότητα τυχαίου συμβάντος». Εργο. Το κέρμα ρίχνεται τρεις φορές στη σειρά. Με το αποτέλεσμα του πειράματος εννοούμε την ακολουθία Χ Χ Χ. όπου το καθένα

Τεστ 01 1. Τυχαία γεγονότα και η ταξινόμησή τους. 2. Μαθηματική προσδοκία τυχαίας μεταβλητής. 3. Υπάρχουν 15 κόκκινες, 9 μπλε και 6 πράσινες μπάλες σε ένα κουτί. 6 μπάλες κληρώνονται τυχαία. Ποια είναι η πιθανότητα

ΜΑΘΗΜΑ 1 ΤΥΧΑ ΓΕΓΟΝΟΤΑ Η κύρια έννοια της φυσικής επιστήμης είναι η έννοια του πειράματος, ανεξάρτητα από το εάν η φύση ή ο ερευνητής πραγματοποιεί αυτό το πείραμα.

Επίλυση προβλημάτων από τη συλλογή Εργασιών Θεωρίας Πιθανοτήτων Chudesenko -0. Επιλογή 6 Εργασία. Ρίχνονται δύο ζάρια. Να προσδιορίσετε την πιθανότητα: α) το άθροισμα του αριθμού των σημείων να μην υπερβαίνει το Ν. β) εργασία

TOMSK STATE UNIVERSITY Οικονομική Σχολή ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΓΙΑ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Tomsk 06 ΕΓΚΡΙΘΗΚΕ από το Τμήμα Μαθηματικών Μεθόδων και Πληροφοριών

1 ΜΕΡΟΣ Ι. ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. 1. Στοιχεία συνδυαστικής Ορισμός 1. Παραδείγματα: Ορισμός. -παραγοντικός είναι ο αριθμός που συμβολίζεται με !, ενώ! = 1** * για όλους τους φυσικούς αριθμούς 1, ; εκτός,

Παράγραφος: Γενικές έννοιες Θεωρία πιθανοτήτων Τυχαία γεγονότα Ορισμός: Η θεωρία πιθανοτήτων είναι μια μαθηματική επιστήμη που μελετά ποσοτικά πρότυπα σε τυχαία φαινόμενα Η θεωρία πιθανοτήτων δεν είναι

Εργαλεία αξιολόγησης για την τρέχουσα παρακολούθηση της προόδου, ενδιάμεση πιστοποίηση με βάση τα αποτελέσματα της κατάκτησης της πειθαρχίας και εκπαιδευτική και μεθοδολογική υποστήριξη για ανεξάρτητη εργασία μαθητών 1 Παραλλαγές εργασιών ελέγχου

Vorobyov V.V. "Λύκειο", Kalachinsk, περιοχή Omsk Εργαστήριο για την επίλυση προβλημάτων στη θεωρία πιθανοτήτων και στη μαθηματική στατιστική

A.V. Εγχειρίδιο θεωρίας πιθανοτήτων χωρίς σύλλογο Nizhny Novgorod 06 Υπουργείο Παιδείας και Επιστημών της Ρωσικής Ομοσπονδίας Ομοσπονδιακό κρατικό προϋπολογισμό εκπαιδευτικό ίδρυμα τριτοβάθμιας επαγγελματικής εκπαίδευσης

Βιβλίο προβλημάτων Chudesenko, θεωρία πιθανοτήτων, παραλλαγή Ρίχνονται δύο ζάρια. Προσδιορίστε την πιθανότητα ότι: a το άθροισμα του αριθμού των σημείων δεν υπερβαίνει το N ; β το γινόμενο του αριθμού των σημείων δεν υπερβαίνει το Ν. σε

Συντάχθηκε από: Αναπληρώτρια Καθηγήτρια του Τμήματος Ιατρικής και Βιολογικής Φυσικής Romanova N.Yu. Θεωρία πιθανοτήτων 1 διάλεξη Εισαγωγή. Η θεωρία πιθανοτήτων είναι μια μαθηματική επιστήμη που μελετά τα πρότυπα τυχαίων φαινομένων.

MVDubatovskaya Θεωρία Πιθανοτήτων και Μαθηματική Στατιστική Διάλεξη 3 Μέθοδοι προσδιορισμού πιθανοτήτων 0 Κλασικός ορισμός πιθανοτήτων Ονομάζουμε οποιοδήποτε από τα πιθανά αποτελέσματα ενός πειράματος στοιχειώδες

1. Το τρένο αποτελείται από 12 βαγόνια. Καθένας από τους 7 επιβάτες επιλέγει τυχαία οποιοδήποτε αυτοκίνητο. Βρείτε τις πιθανότητες των παρακάτω γεγονότων: A = (όλοι οι επιβάτες επιβιβάστηκαν στα τρία πρώτα αυτοκίνητα). B = (όλοι οι επιβάτες μπήκαν σε διαφορετικά

Στοιχεία της θεωρίας των πιθανοτήτων Τυχαία γεγονότα Ντετερμινιστικές διεργασίες Στην επιστήμη και την τεχνολογία εξετάζονται διεργασίες, το αποτέλεσμα των οποίων μπορεί να προβλεφθεί με βεβαιότητα: Εάν εφαρμοστεί διαφορά στα άκρα του αγωγού

Ομοσπονδιακός Οργανισμός Εκπαίδευσης Κρατικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ανώτατης Επαγγελματικής Εκπαίδευσης "ΕΘΝΙΚΟ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΟΜΣΚ" ΔΙΑΛΕΞΗ ΘΕΩΡΙΑΣ

1 Κλασικός ορισμός της πιθανότητας 1 Μια τράπουλα με 3 φύλλα ανακατεύεται προσεκτικά Βρείτε την πιθανότητα και οι τέσσερις άσοι να βρίσκονται στην τράπουλα ο ένας μετά τον άλλο χωρίς να παρεμβάλλονται άλλα φύλλα Αριθμός λύσης

Διάλεξη 3 ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΓΕΓΟΝΟΤΩΝ ΤΥΠΟΣ ΣΥΝΟΛΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΔΙΑΛΕΞΗΣ: να ορίσει τις έννοιες της υπό όρους πιθανότητας και της ανεξαρτησίας των γεγονότων. κατασκευάστε έναν κανόνα πολλαπλασιασμού

ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΕΛΕΓΧΟΥ Εργασία. Είναι απαραίτητο να λύσετε το πρόβλημα που αντιστοιχεί στον αριθμό της επιλογής σας. Το κουτί περιέχει πηνία τεσσάρων χρωμάτων: λευκό 5 κόκκινο πράσινο μπλε 0. Ποια είναι η πιθανότητα ότι στην τύχη

1. Υπάρχουν 14 μήλα σε ένα καλάθι, 4 από αυτά είναι κόκκινα. Τυχαία (χωρίς επιστροφή) πήραν 4 μήλα. Βρείτε την πιθανότητα να πιαστούν ακριβώς 3 κόκκινα. 2. Μια λίστα με 20 επαγγελματικές κλήσεις γίνεται τυχαία.

1. Οι αριθμοί 1,..., n είναι με τυχαία σειρά. Βρείτε την πιθανότητα οι αριθμοί 1, 2 και 3 να βρίσκονται ο ένας δίπλα στον άλλο με τη δεδομένη σειρά. 2. Από δέκα ομάδες, τέσσερις πάνε στον τελικό. Υποθέτοντας ότι το καθένα

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑΚΟΣ ΚΡΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΫΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ "Chelyabinsk State Academy of Culture and Art" Τμήμα Πληροφορικής ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

ΘΕΜΑ 1ο Συνδυαστικός Υπολογισμός πιθανοτήτων Πρόβλημα 1Β Στο εθνικό κύπελλο ποδοσφαίρου παίρνουν μέρος 17 ομάδες. Πόσοι τρόποι υπάρχουν για να μοιραστούν τα χρυσά, αργυρά και χάλκινα μετάλλια; Στο βαθμό που

Εισάγουμε την έννοια τυχαίοςεκδηλώσεις. Δεδομένου ότι στο μέλλον θα εξετάζουμε μόνο τυχαία γεγονότα, τότε, ξεκινώντας από αυτή τη στιγμή, θα τα ονομάζουμε, κατά κανόνα, απλά γεγονότα.

Οποιοδήποτε σετ στοιχειώδη αποτελέσματα, ή, με άλλα λόγια, ένα αυθαίρετο υποσύνολο χώρους στοιχειωδών αποτελεσμάτων, που ονομάζεται Εκδήλωση .

Τα στοιχειώδη αποτελέσματα που είναι στοιχεία του εξεταζόμενου υποσυνόλου (γεγονότα) καλούνται στοιχειώδη αποτελέσματα, ευνοϊκός δεδομένος Εκδήλωση , ή δημιουργώντας Αυτό Εκδήλωση .

Τα συμβάντα θα επισημαίνονται με κεφαλαία λατινικά γράμματα, παρέχοντάς τους δείκτες εάν είναι απαραίτητο, για παράδειγμα: ΑΛΛΑ, ΣΤΟ 1 ,Με 3 κλπ.

Λένε ότι η εκδήλωση ΑΛΛΑσυνέβη (ή συνέβη) εάν κάποιο από τα στοιχειώδη αποτελέσματα εμφανίστηκε ως αποτέλεσμα του πειράματος.

Παρατήρηση 1.Για τη διευκόλυνση της παρουσίασης του υλικού, ο όρος «γεγονός» ως υποσύνολο του χώρου των στοιχειωδών γεγονότων Ω ταυτίζεται με τον όρο «ένα γεγονός συνέβη ως αποτέλεσμα εμπειρίας» ή «ένα συμβάν συνίσταται στην εμφάνιση κάποιου στοιχειώδους αποτελέσματα».

Έτσι στο παράδειγμα 2, όπου
, Εκδήλωση ΑΛΛΑείναι ένα υποσύνολο
. Θα πούμε όμως και ότι η εκδήλωση ΑΛΛΑείναι η εμφάνιση οποιουδήποτε από τα στοιχειώδη αποτελέσματα

Παράδειγμα 1.5.Στο παράδειγμα 2, φάνηκε ότι με μία μόνο ρίψη ενός ζαριού

που - ένα στοιχειώδες αποτέλεσμα, που συνίσταται στην απώλεια Εγώσημεία. Εξετάστε τα ακόλουθα γεγονότα: ΑΛΛΑ- απώλεια ζυγού αριθμού πόντων. ΣΤΟ- απώλεια περιττού αριθμού πόντων. Με- απώλεια ενός αριθμού πόντων που είναι πολλαπλάσιο των τριών. Είναι προφανές ότι

,
,

Ένα γεγονός που αποτελείται από όλα τα στοιχειώδη αποτελέσματα, δηλ. ένα γεγονός που αναγκαστικά συμβαίνει σε μια δεδομένη εμπειρία ονομάζεται ορισμένο γεγονός.

Ένα συγκεκριμένο γεγονός υποδηλώνεται με το γράμμα Ω .

Εκδήλωση , απέναντι από ένα ορισμένο γεγονός Ω, λέγεται αδύνατο. Προφανώς αδύνατο γεγονός δεν μπορεί να εμφανιστεί ως αποτέλεσμα εμπειρίας. Για παράδειγμα, ρίχνοντας περισσότερους από έξι πόντους όταν ρίχνετε ένα ζάρι. Ένα αδύνατο γεγονός θα συμβολίζεται με Ø.

Ένα αδύνατο γεγονός δεν περιέχει κανένα στοιχειώδες γεγονός. Αντιστοιχεί στο λεγόμενο «κενό σύνολο», το οποίο δεν περιέχει ούτε ένα σημείο.

Γεωμετρικά, τα τυχαία γεγονότα αντιπροσωπεύονται από σύνολα σημείων στον τομέα Ω, δηλ. περιοχές που βρίσκονται μέσα στο Ω (Εικ. 1.1). Ένα αξιόπιστο συμβάν αντιστοιχεί σε ολόκληρη την περιοχή Ω.

Στη θεωρία πιθανοτήτων εκτελούνται διάφορες πράξεις σε γεγονότα, το σύνολο των οποίων σχηματίζει το λεγόμενο άλγεβρα γεγονότων, στενά συνδεδεμένη με την άλγεβρα της λογικής, που χρησιμοποιείται ευρέως στους σύγχρονους υπολογιστές.

Ρύζι. 1.1 Εικ. 1.2

Για να εξετάσουμε τα προβλήματα της άλγεβρας των γεγονότων, εισάγουμε τους κύριους ορισμούς.

Τα δύο γεγονότα λέγονται ισοδύναμο (ισοδύναμο) αν αποτελούνται από τα ίδια στοιχειώδη γεγονότα. Η ισοδυναμία των γεγονότων υποδεικνύεται με το σύμβολο ίσου:

ΑΛΛΑ=ΣΤΟ.

Το συμβάν Β ονομάζεται συνέπεια του γεγονότος ΑΛΛΑ:

ΑΛΛΑΣΤΟ,

Αν από την εμφάνιση ΑΛΛΑακολουθούμενη από την εμφάνιση ΣΤΟ. Προφανώς αν ΑΛΛΑΣΤΟκαι ΣΤΟΑΛΛΑ, τότε ΑΛΛΑ=ΣΤΟ, αν ΑΛΛΑΣΤΟκαι ΣΤΟΜε, τότε ΑΛΛΑΜε(Εικ. 1.2).

άθροισμα ή σχέση δύο εκδηλώσεις ΑΛΛΑκαι ΣΤΟένα τέτοιο γεγονός ονομάζεται Με, που συνίσταται ή στην πραγματοποίηση της εκδήλωσης ΑΛΛΑ, ή γεγονότα ΣΤΟ, ή γεγονότα ΑΛΛΑκαι ΣΤΟμαζί. Υπό όρους γραμμένο ως εξής:

Με=ΑΛΛΑ+ΣΤΟή Με=ΑΛΛΑ
ΣΤΟ.

Το άθροισμα οποιουδήποτε αριθμού εκδηλώσεις ΑΛΛΑ 1 ,ΑΛΛΑ 2 , … , ΑΛΛΑΤο n ονομάζεται γεγονός Με, το οποίο συνίσταται στην εμφάνιση τουλάχιστον ενός από αυτά τα γεγονότα και γράφεται ως

εργασία ή επικάλυψη (τομή) δύο εκδηλώσεις ΑΛΛΑκαι ΣΤΟονομάζεται εκδήλωση Με, που συνίσταται και στην πραγματοποίηση της εκδήλωσης ΑΛΛΑ, και εκδηλώσεις ΣΤΟ. Υπό όρους γραμμένο ως εξής:

Με=ΑΒή Με=ΑΛΛΑΣΤΟ.

Το γινόμενο οποιουδήποτε αριθμού γεγονότων ορίζεται παρόμοια. Εκδήλωση Με, ισοδύναμο με το προϊόν n εκδηλώσεις ΑΛΛΑ 1 ,ΑΛΛΑ 2 , … , ΑΛΛΑΤο n γράφεται ως

ή
.

Το άθροισμα και το γινόμενο των γεγονότων έχουν τις ακόλουθες ιδιότητες.

ΑΛΛΑ+ΣΤΟ=ΣΤΟ+ΑΛΛΑ.

(ΑΛΛΑ+ΣΤΟ)+Με=ΑΛΛΑ+(ΣΤΟ+Με)=ΑΛΛΑ+ΣΤΟ+Με.

ΑΒ=VA.

(ΑΒ)Με=ΑΛΛΑ(Ήλιος)=αλφάβητο.

ΑΛΛΑ(ΣΤΟ+Με)=ΑΒ+ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ.

Τα περισσότερα από αυτά είναι εύκολο να τα ελέγξετε μόνοι σας. Συνιστούμε να χρησιμοποιήσετε ένα γεωμετρικό μοντέλο για αυτό.

Παρουσιάζουμε την απόδειξη του 5ου ακινήτου.

Εκδήλωση ΑΛΛΑ(ΣΤΟ+Με) αποτελείται από στοιχειώδη γεγονότα που ανήκουν στο και ΑΛΛΑκαι ΣΤΟ+Με, δηλ. Εκδήλωση ΑΛΛΑκαι τουλάχιστον ένα από τα γεγονότα ΣΤΟ,Με. Με άλλα λόγια, ΑΛΛΑ(ΣΤΟ+Με) είναι το σύνολο των στοιχειωδών γεγονότων που ανήκουν είτε στο συμβάν ΑΒ, ή μια εκδήλωση ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ, δηλ. Εκδήλωση ΑΒ+ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ. Γεωμετρικό γεγονός ΑΛΛΑ(ΣΤΟ+Με) είναι το κοινό τμήμα των περιοχών ΑΛΛΑκαι ΣΤΟ+Με(Εικ. 1.3.α), και το συμβάν ΑΒ+ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ- περιοχές συγχώνευσης ΑΒκαι ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ(Εικ. 1.3.β), δηλ. την ίδια περιοχή ΑΛΛΑ(ΣΤΟ+Με).

Ρύζι. 1.3.α Εικ. 1.3.β

Εκδήλωση Με, που σημαίνει ότι η εκδήλωση ΑΛΛΑσυμβαίνει και το γεγονός ΣΤΟδεν συμβαίνει, λέγεται διαφορά εκδηλώσεις ΑΛΛΑκαι ΣΤΟ. Υπό όρους γραμμένο ως εξής:

Με=ΑΛΛΑ-ΣΤΟ.

Εκδηλώσεις ΑΛΛΑκαι ΣΤΟπου ονομάζεται άρθρωση εάν μπορούν να εμφανιστούν στην ίδια δίκη. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν τέτοια στοιχειώδη γεγονότα που αποτελούν μέρος και ΑΛΛΑκαι ΣΤΟταυτόχρονα (Εικ. 1.4).

Εκδηλώσεις ΑΛΛΑκαι ΣΤΟπου ονομάζεται ασύμβατες , αν η εμφάνιση του ενός αποκλείει την εμφάνιση του άλλου, δηλ. αν ΑΒ= Ø. Με άλλα λόγια, δεν υπάρχει ούτε ένα στοιχειώδες γεγονός που θα ήταν μέρος του και ΑΛΛΑκαι ΣΤΟταυτόχρονα (Εικ. 1.5). Συγκεκριμένα, αντίθετα γεγονότα και πάντα ασυμβίβαστο.

Ρύζι. 1.4 Εικ. 1.5

Εκδηλώσεις
που ονομάζεται ασύμβατο κατά ζεύγη εάν δύο από αυτά είναι ασύμβατα.

Εκδηλώσεις
μορφή πλήρης ομάδα , εάν είναι ασύμβατα κατά ζεύγη και μαζί δίνουν ένα αξιόπιστο συμβάν, π.χ. αν για κανένα Εγώ, κ

Ø;
.

Προφανώς, κάθε στοιχειώδες γεγονός πρέπει να αποτελεί μέρος ενός και μόνο ενός συμβάντος της πλήρους ομάδας
. Γεωμετρικά αυτό σημαίνει ότι ολόκληρη η περιοχή Ω της περιοχής
διαιρέστε με nμέρη που δεν έχουν κοινά σημεία μεταξύ τους (Εικ. 1.6).

Αντίθετα γεγονότα και αντιπροσωπεύουν την απλούστερη περίπτωση μιας ολοκληρωμένης ομάδας.

Μπορείτε να εκτελέσετε διάφορες ενέργειες σε συμβάντα ενώ λαμβάνετε άλλα συμβάντα. Ας ορίσουμε αυτές τις ενέργειες.

Ορισμός 2.13.

Αν για κάθε δοκιμή στην οποία συμβαίνει ένα γεγονός ΑΛΛΑ, συμβαίνει και το συμβάν ΣΤΟ, μετά η εκδήλωση ΑΛΛΑπου ονομάζεται ειδική περίπτωση εκδηλώσεις Β.

Λένε επίσης ότι α συνεπάγεταιΒ και γράψε: ( ΑΛΛΑεπένδυσε σε ΣΤΟ) ή (Εικ. 2.1).

Για παράδειγμα, αφήστε την εκδήλωση ΑΛΛΑσυνίσταται στην εμφάνιση δύο σημείων κατά τη ρίψη ενός ζαριού, και το γεγονός ΣΤΟσυνίσταται στην εμφάνιση ζυγού αριθμού πόντων κατά τη ρίψη ζαριού B = (2; 4; 6). Στη συνέχεια η εκδήλωση ΑΛΛΑυπάρχει μια ειδική περίπτωση της εκδήλωσης ΣΤΟγιατί το δύο είναι ζυγός αριθμός. Μπορούμε να γράψουμε.

Ρύζι. 2.1 . Εκδήλωση ΑΛΛΑ- ειδική περίπτωση εκδήλωσης ΣΤΟ

Ορισμός 2.14.

Αν ένα ΑΛΛΑσυνεπάγεται ΣΤΟ, ένα ΣΤΟσυνεπάγεται ΑΛΛΑ, τότε αυτά τα γεγονότα ισοδυναμούν με , αφού επιτίθενται μαζί ή δεν επιτίθενται μαζί.

Από τι και (ακολουθεί) Α = Β.

Για παράδειγμα, ΑΛΛΑ- ένα γεγονός που συνίσταται στο γεγονός ότι ένας ζυγός αριθμός μικρότερος από τρία έπεσε σε ζάρια. Αυτό το συμβάν είναι ισοδύναμο με το συμβάν ΣΤΟ, που συνίσταται στο γεγονός ότι ο αριθμός 2 έπεσε στο ζάρι.

Ορισμός 2.15.

Ένα συμβάν που συνίσταται στην από κοινού εμφάνιση και των δύο γεγονότων και ΑΛΛΑ, και ΣΤΟ, λέγεται σημείο τομής αυτά τα γεγονότα A∩B, ή εργασία αυτά τα γεγονότα ΑΒ(Εικ. 2.2).

Ρύζι. 2.2.Διασταύρωση γεγονότων

Για παράδειγμα, αφήστε την εκδήλωση ΑΛΛΑσυνίσταται στην απώλεια ζυγού αριθμού πόντων κατά τη ρίψη ενός ζαριού, τότε η επίθεση του ευνοείται από στοιχειώδη γεγονότα που συνίστανται στην απώλεια 2, 4 και 6 πόντων. ΑΛΛΑ -(2; 4; 6). Εκδήλωση ΣΤΟσυνίσταται στην απώλεια ενός αριθμού πόντων πάνω από τρεις κατά τη ρίψη ενός ζαριού, τότε η έναρξή του ευνοείται από στοιχειώδη γεγονότα που συνίστανται στην απώλεια 4, 5 και 6 πόντων. ΣΤΟ= (4; 5; 6). Στη συνέχεια από τη διασταύρωση ή το προϊόν των γεγονότων ΑΛΛΑκαι ΣΤΟθα υπάρξει ένα γεγονός που συνίσταται στην απώλεια ζυγού αριθμού πόντων μεγαλύτερο από τρεις (το γεγονός ΑΛΛΑ,και εκδήλωση ΣΤΟ):

A∩B =AB={4; 6}.

Η διασταύρωση των γεγονότων, ένα από τα οποία ΑΛΛΑ- η απώλεια μιας κυρίας από μια τράπουλα και μια άλλη ΣΤΟ- απώλεια συλλόγων, θα υπάρξει μια βασίλισσα των συλλόγων.

Σημείωση.Αν δύο γεγονότα ΑΛΛΑκαι ΣΤΟείναι ασυμβίβαστα, τότε η κοινή τους επίθεση είναι αδύνατη AB = 0.

Ορισμός 2.16.

Ένα συμβάν που αποτελείται από ένα συμβάν ή ένα γεγονός ΑΛΛΑ, ή γεγονότα ΣΤΟ(τουλάχιστον ένα από τα γεγονότα, τουλάχιστον ένα από αυτά τα γεγονότα), ονομάζεται ένωσή τους ΑΛΛΑκαι ΣΤΟ, ή το άθροισμα των γεγονότων ΑΛΛΑκαι ΣΤΟκαι συμβολίζεται με Α + Β (Εικ. 2.3).

Ρύζι. 2.3.Συγχώνευση συμβάντων

Για παράδειγμα, εκδήλωση ΑΛΛΑσυνίσταται στην απώλεια ζυγού αριθμού πόντων κατά τη ρίψη ζαριών, τότε η εμφάνισή του ευνοείται από στοιχειώδη γεγονότα που συνίστανται στην απώλεια 2, 4 και 6 πόντων, ή ΑΛΛΑ -(2; 4; 6). Εκδήλωση ΣΤΟσυνίσταται στην απώλεια ενός αριθμού πόντων περισσότερων από τρεις κατά τη ρίψη ενός ζαριού, τότε η έναρξή του ευνοείται από στοιχειώδη γεγονότα που συνίστανται στην απώλεια 4, 5 και 6 πόντων ή B \u003d (4; 5; 6). Μετά η ένωση, ή το άθροισμα των γεγονότων ΑΛΛΑκαι ΣΤΟθα υπάρξει ένα γεγονός που συνίσταται στην απώλεια τουλάχιστον ενός από αυτά - είτε ζυγού αριθμού πόντων, είτε αριθμό πόντων μεγαλύτερο από τρεις (που εκτελέστηκε ή το γεγονός ΑΛΛΑ,ή εκδήλωση ΣΤΟ):

A ∩ B = A + B ={2; 4; 5; 6}.

Ορισμός 2.17.

Μια εκδήλωση που συνίσταται στο γεγονός ότι η εκδήλωση ΑΛΛΑδεν συμβαίνει, ονομάζεται το αντίθετο του γεγονότος ΑΛΛΑκαι συμβολίζεται με Ā (Εικ. 2.4).

Ρύζι. 2.4.Αντίθετα γεγονότα

Για παράδειγμα, αφήστε την εκδήλωση ΑΛΛΑσυνίσταται στην απώλεια ζυγού αριθμού πόντων κατά τη ρίψη ενός ζαριού, τότε η εμφάνισή του ευνοείται από στοιχειώδη γεγονότα που συνίστανται στην απώλεια 2, -4 και 6 πόντων, ή Α =(2; 4; 6). Στη συνέχεια η εκδήλωση Ā συνίσταται στην απώλεια περιττού αριθμού πόντων και η εμφάνισή του ευνοείται από στοιχειώδη γεγονότα που συνίστανται στην απώλεια 1ου, 3ου και 5ου πόντων. Ā ={1;3;5}.

Ορισμός 2.18.

Γεγονός (Α και Β), που συνίσταται στο γεγονός ότι ΑΛΛΑσυμβαίνει, αλλά δεν συμβαίνει, ονομάζεται διαφορά των γεγονότων ΑΛΛΑκαι ΣΤΟκαι συμβολίζεται με Α-Β. Ωστόσο, αυτή η σημείωση μπορεί να παραλειφθεί, καθώς από τον ορισμό προκύπτει ότι Α - Β -(Εικ. 2.5).

Ρύζι. 2.5.Διαφορά γεγονότος ΑΛΛΑκαι ΣΤΟ

Για παράδειγμα, αφήστε την εκδήλωση ΑΛΛΑσυνίσταται στην απώλεια ζυγού αριθμού πόντων κατά τη ρίψη ενός ζαριού, τότε Α =(2; 4; 6). Εκδήλωση ΣΤΟσυνίσταται στην απώλεια ενός αριθμού βαθμών άνω των τριών. ΣΤΟ= {4; 5; 6}.

Στη συνέχεια - ένα γεγονός που συνίσταται στην απώλεια του αριθμού των πόντων όχι περισσότερο από τρεις, και η εμφάνισή του ευνοείται από στοιχειώδη γεγονότα που συνίστανται στην απώλεια του 1ου, 2ου και 3ου πόντων. = {1; 2; 3}.

διαφορά γεγονότων ΑΛΛΑκαι ΣΤΟθα υπάρξει ένα συμβάν που συνίσταται στο ότι το συμβάν εκτελείται ΑΛΛΑκαι το συμβάν δεν εκτελείται ΣΤΟ.Η επίθεση του ευνοείται από ένα στοιχειώδες γεγονός που συνίσταται στην απώλεια 2 πόντων:

A-B= A∩= {2}.

Ορισμοί ποσά και προϊόντατα συμβάντα ισχύουν για περισσότερες εκδηλώσεις:

A + B + ... + N =(ΑΛΛΑή ΣΤΟ,ή ή Ν) (2.1)

υπάρχει ένα γεγονός που συνίσταται στο περιστατικό τουλάχιστον ένααπό εκδηλώσεις Α, Β, ... Ν;

ΑΒ ... Ν =(ΑΛΛΑκαι ΣΤΟκαι... και Ν), (2.2)

υπάρχει ένα γεγονός που κοινή επίθεσηόλες τις εκδηλώσεις Α, Β, ... Ν.

Το άθροισμα και το γινόμενο ενός άπειρου αριθμού γεγονότων ορίζονται παρόμοια A 1, A 2, ... A p, ...

Σημειώστε ότι, ωστόσο, διατηρούνται ορισμένοι κανόνες άλγεβρας για ενέργειες σε γεγονότα. Για παράδειγμα, υπάρχει ένας αντισταθμιστικός νόμος (επικοινωνιακή):

A + B \u003d B + A, AB \u003d BA,(2.3)

ο διανεμητικός νόμος (διανεμητικότητα) ισχύει:

(Α + Β) C \u003d AC + BC,(2.4)

αφού η αριστερή και η δεξιά πλευρά αντιπροσωπεύουν το γεγονός εκείνο το γεγονός C και τουλάχιστον ένα από τα γεγονότα ΑΛΛΑκαι ΣΤΟ.Ισχύει επίσης ο νόμος περί ενώσεων (συνεταιρισμός):

A + (B + C) \u003d (A + B) + C \u003d A + B + C;

A(BC) = (AB)C = ABC.(2.5)

Επιπλέον, υπάρχουν τέτοιες ισότητες που θα φαίνονταν παράλογες στη συνηθισμένη άλγεβρα. Για παράδειγμα, για οποιοδήποτε Α, Β, Γ:

ΑΑ=Α(2.6)

Α+Α= ΑΛΛΑ(2.7)

Α+ΑΒ= ΑΛΛΑ(2.8)

AB + C \u003d (A + C) (B + C)(2.9)

Τα αντίθετα γεγονότα σχετίζονται:

Ο νόμος της διπλής άρνησης:

= Α;(2.10)

ο νόμος της εξαιρούμενης μέσης

ΑΛΛΑ + = Ω. (το άθροισμά τους είναι ένα συγκεκριμένο γεγονός). (2.11)

Ο νόμος της αντίφασης:

Α =Ø (το προϊόν του αδύνατου γεγονότος τους). (2.12)

Οι ισότητες (2.6)-(2.12) αποδεικνύονται για προτάσεις στο μάθημα των διακριτών μαθηματικών. Καλούμε τον αναγνώστη να το ελέγξει μόνος του, χρησιμοποιώντας τους ορισμούς του αθροίσματος και του γινομένου των γεγονότων.

Αν ένα B \u003d A 1 + A 2 + ... + A σελκαι εκδηλώσεις ΑΛΛΑείναι ασύμβατα κατά ζεύγη, δηλ. το καθένα είναι ασύμβατο με το άλλο: Α ι Α κ= Ø σε ι≠κπω ότι η εκδήλωση Το Β υποδιαιρείται σε ειδικές περιπτώσεις Α 1, A 2 , ..., A p.Για παράδειγμα, εκδήλωση ΣΤΟ,που συνίσταται στην απώλεια περιττού αριθμού πόντων, χωρίζεται σε ειδικές περιπτώσεις Ε 1, Ε 3, Ε 5,που συνίστανται αντίστοιχα στην απώλεια 1, 3 και 5 βαθμών.

Με βάση τον ορισμό των ενεργειών σε συμβάντα, μπορούμε να ορίσουμε μια πλήρη ομάδα γεγονότων με μεγαλύτερη σαφήνεια.

Ορισμός 2.19.

Αν ένα A 1 + A 2 + ... + A σελ = Ω , δηλ. αν τουλάχιστον ένα από τα γεγονότα A 1 + A 2 + ... + A σελπρέπει οπωσδήποτε να γίνει πραγματικότητα, και αν ταυτόχρονα A jασυμβίβαστο κατά ζεύγη (δηλαδή συγκεκριμένο συμβάν Ω υποδιαιρείται σε ειδικές περιπτώσεις A 1 + A 2 + ... + A σελ), τότε λέμε ότι τα γεγονότα A 1 + A 2 + ... + A σελσχηματίζουν μια πλήρη ομάδα εκδηλώσεων. Έτσι, εάν A 1 + A 2 + ... + A σελ- μια πλήρη ομάδα γεγονότων, τότε σε κάθε δοκιμή εμφανίζεται απαραίτητα ένα και μόνο από τα συμβάντα A 1 + A 2 + ... + A σελ.

Για παράδειγμα, όταν ρίχνετε ένα ζάρι, η πλήρης ομάδα γεγονότων περιλαμβάνει επίσης τα γεγονότα E 1, E 2, E 3, E 4, E 5και Ε 6,που συνίστανται αντίστοιχα στην απώλεια 1, 2, 3,4, 5 και 6 βαθμών.

Γενική δήλωση του προβλήματος: οι πιθανότητες ορισμένων γεγονότων είναι γνωστές, αλλά οι πιθανότητες άλλων γεγονότων που σχετίζονται με αυτά τα γεγονότα πρέπει να υπολογιστούν. Σε αυτά τα προβλήματα, υπάρχει ανάγκη για τέτοιες πράξεις στις πιθανότητες όπως η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός των πιθανοτήτων.

Για παράδειγμα, έπεσαν δύο πυροβολισμοί ενώ κυνηγούσαν. Εκδήλωση ΕΝΑ- χτύπημα πάπιας από την πρώτη βολή, συμβάν σι- χτύπημα από τη δεύτερη βολή. Τότε το άθροισμα των γεγονότων ΕΝΑκαι σι- χτύπημα από την πρώτη ή τη δεύτερη βολή ή από δύο βολές.

Εργασίες διαφορετικού τύπου. Δίνονται διάφορα γεγονότα, για παράδειγμα, ένα νόμισμα πετιέται τρεις φορές. Απαιτείται να βρεθεί η πιθανότητα είτε να πέσει και οι τρεις φορές το εθνόσημο είτε να πέσει το εθνόσημο τουλάχιστον μία φορά. Αυτό είναι ένα πρόβλημα πολλαπλασιασμού.

Προσθήκη πιθανοτήτων ασυμβίβαστων γεγονότων

Η πρόσθεση πιθανότητας χρησιμοποιείται όταν είναι απαραίτητο να υπολογιστεί η πιθανότητα ενός συνδυασμού ή ενός λογικού αθροίσματος τυχαίων γεγονότων.

Άθροισμα γεγονότων ΕΝΑκαι σιορίζω ΕΝΑ + σιή ΕΝΑ ∪ σι. Το άθροισμα δύο γεγονότων είναι ένα γεγονός που συμβαίνει εάν και μόνο εάν συμβεί τουλάχιστον ένα από τα γεγονότα. Αυτό σημαίνει ότι ΕΝΑ + σι- ένα συμβάν που συμβαίνει εάν και μόνο εάν συμβεί ένα συμβάν κατά τη διάρκεια της παρατήρησης ΕΝΑή εκδήλωση σι, ή ταυτόχρονα ΕΝΑκαι σι.

Εάν τα γεγονότα ΕΝΑκαι σιείναι αμοιβαία ασυνεπή και δίνονται οι πιθανότητές τους, η πιθανότητα ότι ένα από αυτά τα συμβάντα θα συμβεί ως αποτέλεσμα μιας δοκιμής υπολογίζεται με την προσθήκη πιθανοτήτων.

Το θεώρημα της πρόσθεσης των πιθανοτήτων.Η πιθανότητα να συμβεί ένα από τα δύο αμοιβαία ασύμβατα γεγονότα είναι ίση με το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων:

Για παράδειγμα, έπεσαν δύο πυροβολισμοί ενώ κυνηγούσαν. Εκδήλωση ΑΛΛΑ– χτύπημα πάπιας από την πρώτη βολή, συμβάν ΣΤΟ– χτύπημα από τη δεύτερη βολή, συμβάν ( ΑΛΛΑ+ ΣΤΟ) - χτύπημα από την πρώτη ή τη δεύτερη βολή ή από δύο βολές. Αν λοιπόν δύο γεγονότα ΑΛΛΑκαι ΣΤΟείναι ασύμβατα γεγονότα, λοιπόν ΑΛΛΑ+ ΣΤΟ- την εμφάνιση τουλάχιστον ενός από αυτά τα συμβάντα ή δύο συμβάντων.

Παράδειγμα 1Ένα κουτί περιέχει 30 μπάλες ίδιου μεγέθους: 10 κόκκινες, 5 μπλε και 15 λευκές. Υπολογίστε την πιθανότητα να ληφθεί μια έγχρωμη (όχι λευκή) μπάλα χωρίς να κοιτάξετε.

Απόφαση. Ας υποθέσουμε ότι το γεγονός ΑΛΛΑ– «η κόκκινη μπάλα πιάνεται», και η εκδήλωση ΣΤΟ- "Η μπλε μπάλα είναι πιασμένη." Στη συνέχεια, το συμβάν είναι «παίρνεται μια έγχρωμη (όχι λευκή) μπάλα». Βρείτε την πιθανότητα ενός γεγονότος ΑΛΛΑ:

και εκδηλώσεις ΣΤΟ:

Εκδηλώσεις ΑΛΛΑκαι ΣΤΟ- αμοιβαία ασύμβατα, αφού εάν ληφθεί μία μπάλα, τότε δεν μπορούν να ληφθούν μπάλες διαφορετικών χρωμάτων. Επομένως, χρησιμοποιούμε την προσθήκη πιθανοτήτων:

Το θεώρημα της πρόσθεσης πιθανοτήτων για πολλά ασύμβατα γεγονότα.Εάν τα γεγονότα αποτελούν το πλήρες σύνολο των γεγονότων, τότε το άθροισμα των πιθανοτήτων τους είναι ίσο με 1:

Το άθροισμα των πιθανοτήτων των αντίθετων γεγονότων είναι επίσης ίσο με 1:

Τα αντίθετα γεγονότα σχηματίζουν ένα πλήρες σύνολο γεγονότων και η πιθανότητα ενός πλήρους συνόλου γεγονότων είναι 1.

Οι πιθανότητες αντίθετων γεγονότων συνήθως σημειώνονται με μικρά γράμματα. Πκαι q. Συγκεκριμένα,

από τον οποίο προκύπτουν οι ακόλουθοι τύποι για την πιθανότητα αντίθετων γεγονότων:

Παράδειγμα 2Ο στόχος στην παύλα χωρίζεται σε 3 ζώνες. Η πιθανότητα ένας συγκεκριμένος σκοπευτής να πυροβολήσει σε έναν στόχο στην πρώτη ζώνη είναι 0,15, στη δεύτερη ζώνη - 0,23, στην τρίτη ζώνη - 0,17. Βρείτε την πιθανότητα ο σκοπευτής να χτυπήσει τον στόχο και την πιθανότητα ο σκοπευτής να χάσει το στόχο.

Λύση: Βρείτε την πιθανότητα ο σκοπευτής να χτυπήσει τον στόχο:

Βρείτε την πιθανότητα ο σκοπευτής να χάσει τον στόχο:

Πιο δύσκολες εργασίες στις οποίες πρέπει να εφαρμόσετε τόσο πρόσθεση όσο και πολλαπλασιασμό πιθανοτήτων - στη σελίδα "Διάφορες εργασίες για πρόσθεση και πολλαπλασιασμό πιθανοτήτων" .

Προσθήκη πιθανοτήτων αμοιβαία κοινών γεγονότων

Δύο τυχαία γεγονότα λέγονται κοινά εάν η εμφάνιση ενός γεγονότος δεν αποκλείει την εμφάνιση ενός δεύτερου γεγονότος στην ίδια παρατήρηση. Για παράδειγμα, όταν ρίχνετε ένα ζάρι, το γεγονός ΑΛΛΑθεωρείται ότι είναι η εμφάνιση του αριθμού 4, και το γεγονός ΣΤΟ- πτώση ζυγού αριθμού. Δεδομένου ότι ο αριθμός 4 είναι ζυγός αριθμός, τα δύο συμβάντα είναι συμβατά. Στην πράξη, υπάρχουν εργασίες για τον υπολογισμό των πιθανοτήτων εμφάνισης ενός από τα αμοιβαία κοινά γεγονότα.

Το θεώρημα της πρόσθεσης πιθανοτήτων για κοινά γεγονότα.Η πιθανότητα να συμβεί ένα από τα κοινά γεγονότα είναι ίση με το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων, από το οποίο αφαιρείται η πιθανότητα κοινής εμφάνισης και των δύο γεγονότων, δηλαδή το γινόμενο των πιθανοτήτων. Ο τύπος για τις πιθανότητες κοινών γεγονότων έχει ως εξής:

Γιατί τα γεγονότα ΑΛΛΑκαι ΣΤΟσυμβατός, συμβάν ΑΛΛΑ+ ΣΤΟσυμβαίνει εάν συμβεί ένα από τα τρία πιθανά συμβάντα: ή ΑΒ. Σύμφωνα με το θεώρημα της πρόσθεσης ασυμβίβαστων γεγονότων, υπολογίζουμε ως εξής:

Εκδήλωση ΑΛΛΑσυμβαίνει εάν συμβεί ένα από τα δύο ασύμβατα συμβάντα: ή ΑΒ. Ωστόσο, η πιθανότητα εμφάνισης ενός γεγονότος από πολλά ασύμβατα γεγονότα είναι ίση με το άθροισμα των πιθανοτήτων όλων αυτών των γεγονότων:

Ομοίως:

Αντικαθιστώντας τις εκφράσεις (6) και (7) στην έκφραση (5), λαμβάνουμε τον τύπο πιθανότητας για κοινά συμβάντα:

Κατά τη χρήση του τύπου (8), θα πρέπει να λαμβάνεται υπόψη ότι τα γεγονότα ΑΛΛΑκαι ΣΤΟμπορεί να είναι:

αμοιβαία ανεξάρτητη?
αμοιβαία εξαρτώμενη.

Τύπος πιθανότητας για αμοιβαία ανεξάρτητα γεγονότα:

Τύπος πιθανότητας για συμβάντα αμοιβαία εξαρτώμενα:

Εάν τα γεγονότα ΑΛΛΑκαι ΣΤΟείναι ασυνεπείς, τότε η σύμπτωσή τους είναι μια αδύνατη περίπτωση και, ως εκ τούτου, Π(ΑΒ) = 0. Ο τέταρτος τύπος πιθανότητας για ασύμβατα συμβάντα είναι ο εξής:

Παράδειγμα 3Στους αγώνες αυτοκινήτου, όταν οδηγείτε στο πρώτο αυτοκίνητο, η πιθανότητα να κερδίσετε, όταν οδηγείτε στο δεύτερο αυτοκίνητο. Να βρω:

την πιθανότητα να κερδίσουν και τα δύο αυτοκίνητα.
την πιθανότητα να κερδίσει τουλάχιστον ένα αυτοκίνητο.

1) Η πιθανότητα να κερδίσει το πρώτο αυτοκίνητο δεν εξαρτάται από το αποτέλεσμα του δεύτερου αυτοκινήτου, επομένως τα γεγονότα ΑΛΛΑ(το πρώτο αυτοκίνητο κερδίζει) και ΣΤΟ(νίκες δεύτερου αυτοκινήτου) - ανεξάρτητες εκδηλώσεις. Βρείτε την πιθανότητα να κερδίσουν και τα δύο αυτοκίνητα:

2) Βρείτε την πιθανότητα να κερδίσει ένα από τα δύο αυτοκίνητα:

Λύστε μόνοι σας το πρόβλημα της πρόσθεσης πιθανοτήτων και μετά δείτε τη λύση

Παράδειγμα 4Ρίχνονται δύο νομίσματα. Εκδήλωση ΕΝΑ- απώλεια του θυρεού στο πρώτο νόμισμα. Εκδήλωση σι- απώλεια του θυρεού στο δεύτερο νόμισμα. Βρείτε την πιθανότητα ενός γεγονότος ντο = ΕΝΑ + σι .

Πολλαπλασιασμός πιθανοτήτων

Ο πολλαπλασιασμός των πιθανοτήτων χρησιμοποιείται όταν πρόκειται να υπολογιστεί η πιθανότητα ενός λογικού γινόμενου γεγονότων.

Σε αυτήν την περίπτωση, τα τυχαία συμβάντα πρέπει να είναι ανεξάρτητα. Δύο γεγονότα λέγονται ότι είναι αμοιβαία ανεξάρτητα εάν η εμφάνιση ενός γεγονότος δεν επηρεάζει την πιθανότητα εμφάνισης του δεύτερου γεγονότος.

Θεώρημα πολλαπλασιασμού πιθανοτήτων για ανεξάρτητα γεγονότα.Η πιθανότητα της ταυτόχρονης εμφάνισης δύο ανεξάρτητων γεγονότων ΑΛΛΑκαι ΣΤΟείναι ίσο με το γινόμενο των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων και υπολογίζεται με τον τύπο:

Παράδειγμα 5Το κέρμα ρίχνεται τρεις φορές στη σειρά. Βρείτε την πιθανότητα να πέσει το εθνόσημο και τις τρεις φορές.

Απόφαση. Η πιθανότητα ότι το εθνόσημο θα πέσει στην πρώτη ρίψη ενός νομίσματος, τη δεύτερη και την τρίτη φορά. Βρείτε την πιθανότητα να πέσει το εθνόσημο και τις τρεις φορές:

Λύστε μόνοι σας προβλήματα για τον πολλαπλασιασμό των πιθανοτήτων και μετά δείτε τη λύση

Παράδειγμα 6Υπάρχει ένα κουτί με εννέα νέες μπάλες τένις. Τρεις μπάλες παίρνονται για το παιχνίδι, μετά το παιχνίδι επανατοποθετούνται. Όταν επιλέγουν μπάλες, δεν κάνουν διάκριση ανάμεσα σε παιγμένες και άπαιχτες μπάλες. Ποια είναι η πιθανότητα μετά από τρία παιχνίδια να μην υπάρχουν άπαιχτες μπάλες στο κουτί;

Παράδειγμα 7 32 γράμματα του ρωσικού αλφαβήτου είναι γραμμένα σε κομμένες κάρτες αλφαβήτου. Πέντε χαρτιά κληρώνονται τυχαία, το ένα μετά το άλλο, και τοποθετούνται στο τραπέζι με τη σειρά που εμφανίζονται. Βρείτε την πιθανότητα τα γράμματα να σχηματίσουν τη λέξη «τέλος».

Παράδειγμα 8Από μια πλήρη τράπουλα (52 φύλλα), αφαιρούνται τέσσερα φύλλα ταυτόχρονα. Βρείτε την πιθανότητα και τα τέσσερα αυτά φύλλα να έχουν το ίδιο χρώμα.

Παράδειγμα 9Το ίδιο πρόβλημα όπως στο παράδειγμα 8, αλλά κάθε φύλλο επιστρέφεται στην τράπουλα αφού κληρωθεί.

Πιο σύνθετες εργασίες, στις οποίες πρέπει να εφαρμόσετε τόσο πρόσθεση όσο και πολλαπλασιασμό πιθανοτήτων, καθώς και να υπολογίσετε το γινόμενο πολλών γεγονότων, στη σελίδα "Διάφορες εργασίες για πρόσθεση και πολλαπλασιασμό πιθανοτήτων" .

Η πιθανότητα να συμβεί τουλάχιστον ένα από τα αμοιβαία ανεξάρτητα γεγονότα μπορεί να υπολογιστεί αφαιρώντας το γινόμενο των πιθανοτήτων αντίθετων γεγονότων από το 1, δηλαδή με τον τύπο.