Πώς να λύσετε ένα σύστημα ορθολογικών ανισοτήτων. Κλασματικές ορθολογικές ανισότητες

Ας βρεθεί αριθμητικές τιμές x, στο οποίο μετατρέπονται σε αληθινά αριθμητικές ανισώσειςπολλές ταυτόχρονα ορθολογικές ανισότητες. Σε τέτοιες περιπτώσεις, λέμε ότι πρέπει να λύσουμε ένα σύστημα ορθολογικών ανισοτήτων με ένα άγνωστο x.

Για να λύσουμε ένα σύστημα ορθολογικών ανισοτήτων, πρέπει να βρούμε όλες τις λύσεις για κάθε ανισότητα του συστήματος. Τότε το κοινό μέρος όλων των λύσεων που βρέθηκαν θα είναι η λύση του συστήματος.

Παράδειγμα:Λύστε το σύστημα των ανισοτήτων

(x -1)(x - 5)(x - 7)< 0,

Πρώτα λύνουμε την ανισότητα

(x - 1)(x - 5)(x - 7)< 0.

Εφαρμόζοντας τη μέθοδο του διαστήματος (Εικ. 1), διαπιστώνουμε ότι το σύνολο όλων των λύσεων της ανισότητας (2) αποτελείται από δύο διαστήματα: (-, 1) και (5, 7).

Εικόνα 1

Τώρα ας λύσουμε την ανισότητα

Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του διαστήματος (Εικ. 2), βρίσκουμε ότι το σύνολο όλων των λύσεων της ανισότητας (3) αποτελείται επίσης από δύο διαστήματα: (2, 3) και (4, +).

Τώρα πρέπει να βρούμε γενικό μέροςεπίλυση των ανισώσεων (2) και (3). Ας ζωγραφίσουμε άξονα συντεταγμένων x και σημειώστε πάνω του τις λύσεις που βρέθηκαν. Τώρα είναι ξεκάθαρο αυτό κοινό μέροςη λύση των ανισώσεων (2) και (3) είναι το διάστημα (5, 7) (Εικ. 3).

Κατά συνέπεια, το σύνολο όλων των λύσεων στο σύστημα των ανισώσεων (1) είναι το διάστημα (5, 7).

Παράδειγμα: Λύστε το σύστημα των ανισοτήτων

x2 - 6x + 10< 0,

Ας λύσουμε πρώτα την ανισότητα

x 2 - 6x + 10< 0.

Εφαρμογή της μεθόδου επιλογής πλήρες τετράγωνο, μπορεί κανείς να το γράψει αυτό

x 2 - 6x + 10 \u003d x 2 - 2x3 + 3 2 - 3 2 + 10 \u003d (x - 3) 2 +1.

Επομένως, η ανισότητα (2) μπορεί να γραφτεί ως

(x - 3) 2 + 1< 0,

που δείχνει ότι δεν έχει λύση.

Τώρα δεν μπορείτε να λύσετε την ανισότητα

αφού η απάντηση είναι ήδη ξεκάθαρη: το σύστημα (1) δεν έχει λύση.

Παράδειγμα:Λύστε το σύστημα των ανισοτήτων

Σκεφτείτε πρώτα την πρώτη ανισότητα. έχουμε

1 < 0, < 0.

Χρησιμοποιώντας την καμπύλη των σημείων, βρίσκουμε λύσεις σε αυτή την ανισότητα: x< -2; 0 < x < 2.

Τώρα λύνουμε τη δεύτερη ανισότητα δεδομένο σύστημα. Έχουμε x 2 - 64< 0, или (х - 8)(х + 8) < 0. С помощью кривой знаков находим решения неравенства: -8 < x < 8.

Έχοντας σημειώσει τις ευρεθείσες λύσεις της πρώτης και της δεύτερης ανισότητας σε μια κοινή πραγματική γραμμή (Εικ. 6), βρίσκουμε τέτοια διαστήματα όπου αυτές οι λύσεις συμπίπτουν (καταστολή λύσης): -8< x < -2; 0 < x < 2. Это и есть решение системы.

Παράδειγμα:Λύστε το σύστημα των ανισοτήτων

Μετασχηματίζουμε την πρώτη ανισότητα του συστήματος:

x 3 (x - 10) (x + 10) 0, ή x (x - 10) (x + 10) 0

(αφού οι παράγοντες σε περιττές δυνάμεις μπορούν να αντικατασταθούν από τους αντίστοιχους συντελεστές πρώτου βαθμού). χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του διαστήματος, βρίσκουμε λύσεις στην τελευταία ανισότητα: -10 x 0, x 10.

Εξετάστε τη δεύτερη ανισότητα του συστήματος. έχουμε

Βρίσκουμε (Εικ. 8) x -9; 3< x < 15.

Συνδυάζοντας τις λύσεις που βρέθηκαν, παίρνουμε (Εικ. 9) x 0; x > 3.

Παράδειγμα:Εύρημα ακέραιες λύσειςσυστήματα ανισοτήτων:

x + y< 2,5,

Λύση: Ας φέρουμε το σύστημα στη φόρμα

Προσθέτοντας την πρώτη και τη δεύτερη ανισότητα, έχουμε y< 2, 75, а учитывая третье неравенство, найдем 1 < y < 2,75. В этом интервале содержится только одно целое число 2. При y = 2 из данной системы неравенств получим

από όπου -1< x < 0,5. В этом интервале содержится только одно целое число 0.

Θέμα του μαθήματος "Επίλυση συστημάτων ορθολογικών ανισοτήτων"

Τάξη 10

Τύπος μαθήματος: αναζήτηση

Σκοπός: εύρεση τρόπων επίλυσης ανισώσεων με συντελεστή, εφαρμογή της μεθόδου διαστήματος σε μια νέα κατάσταση.

Στόχοι μαθήματος:

Ελέγξτε τις δεξιότητες επίλυσης ορθολογικών ανισοτήτων και των συστημάτων τους. - Δείξτε στους μαθητές τις δυνατότητες χρήσης της μεθόδου διαστήματος κατά την επίλυση ανισώσεων με μια ενότητα.

Διδάξτε να σκέφτεστε λογικά.

Αναπτύξτε την ικανότητα της αυτοαξιολόγησης της εργασίας σας.

Μάθετε να εκφράζετε τις σκέψεις σας

Μάθετε να υπερασπίζεστε την άποψή σας με λογική.

Να διαμορφώσει στους μαθητές ένα θετικό κίνητρο για μάθηση.

Αναπτύξτε την ανεξαρτησία των μαθητών.

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων

ΕΓΩ. Οργάνωση χρόνου(1 λεπτό)

Γεια σας, σήμερα θα συνεχίσουμε να μελετάμε το θέμα "Σύστημα ορθολογικών ανισοτήτων", θα εφαρμόσουμε τις γνώσεις και τις δεξιότητές μας σε μια νέα κατάσταση.

Σημειώστε την ημερομηνία και το θέμα του μαθήματος «Επίλυση συστημάτων ορθολογικών ανισοτήτων». Σήμερα σας προσκαλώ σε ένα ταξίδι στους δρόμους των μαθηματικών, όπου σας περιμένουν τεστ, μια δοκιμασία δύναμης. Έχετε οδικούς χάρτες με εργασίες στα θρανία σας, μια φορτωτική αυτοαξιολόγησης, την οποία θα παραδώσετε σε εμένα (τον αποστολέα) στο τέλος του ταξιδιού.

Το σύνθημα του ταξιδιού θα είναι ο αφορισμός «Ο δρόμος θα τον κυριεύσει αυτός που περπατά και αυτός που σκέφτεται τα μαθηματικά». Πάρτε μαζί σας τις αποσκευές της γνώσης σας. Ανάβω διαδικασία σκέψηςκαι φύγε. Στο δρόμο θα μας συνοδεύει οδικό ραδιόφωνο.Ακούγεται ένα κομμάτι μουσικής (1 λεπτό). Μετά ένα απότομο μπιπ.

II. Το στάδιο της δοκιμής γνώσης. Ομαδική δουλειά."Επιθεώρηση αποσκευών"

Εδώ είναι το πρώτο τεστ «Επιθεώρηση αποσκευών», δοκιμάζοντας τις γνώσεις σας πάνω στο θέμα

Τώρα θα χωριστείτε σε ομάδες των 3 ή 4 ατόμων. Ο καθένας έχει ένα φύλλο εργασίας στο γραφείο του. Μοιράστε αυτές τις εργασίες μεταξύ τους, λύστε τις, σημειώστε έτοιμες απαντήσεις σε ένα κοινό φύλλο. Μια ομάδα 3 ατόμων επιλέγει οποιεσδήποτε 3 εργασίες. Όποιος ολοκληρώσει όλες τις εργασίες θα ενημερώσει σχετικά τον δάσκαλο. Εγώ ή οι βοηθοί μου θα ελέγξουμε τις απαντήσεις και αν τουλάχιστον μία απάντηση είναι λάθος, ένα φύλλο επιστρέφεται στην ομάδα για επανέλεγχο. (τα παιδιά δεν βλέπουν τις απαντήσεις, τους λένε μόνο σε ποια εργασία είναι λάθος η απάντηση).Η πρώτη ομάδα που θα ολοκληρώσει όλες τις εργασίες χωρίς σφάλματα θα κερδίσει. Εμπρός για τη νίκη.

Η μουσική είναι πολύ ήσυχη.

Εάν δύο ή τρεις ομάδες ολοκληρώσουν την εργασία ταυτόχρονα, τότε ένα από τα παιδιά από την άλλη ομάδα θα βοηθήσει τον δάσκαλο να ελέγξει. Απαντήσεις στο φύλλο με τον δάσκαλο (4 αντίγραφα).

Η εργασία σταματά όταν εμφανιστεί μια ομάδα που κερδίζει.

Μην ξεχάσετε να συμπληρώσετε τη λίστα ελέγχου αυτοαξιολόγησης. Και πάμε παρακάτω.

Φύλλο με την εργασία για "Έλεγχος αποσκευών"

1) 3)

2) 4)

III. Το στάδιο της επικαιροποίησης της γνώσης και της ανακάλυψης της νέας γνώσης. "Εύρηκα"

Η επιθεώρηση έδειξε ότι έχετε πλήθος γνώσεων.

Αλλά υπάρχουν κάθε είδους καταστάσεις στο δρόμο, μερικές φορές απαιτείται ευρηματικότητα και αν ξεχάσατε να το πάρετε μαζί σας, ας ελέγξουμε.

Έχετε μάθει πώς να επιλύετε συστήματα ορθολογικών ανισοτήτων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του διαστήματος. Σήμερα θα εξετάσουμε τη λύση των προβλημάτων που συνιστάται να χρησιμοποιήσετε αυτήν τη μέθοδο. Αλλά πρώτα, ας θυμηθούμε τι είναι μια ενότητα.

1. Συνεχίστε τις προτάσεις "Το μέτρο ενός αριθμού είναι ίσο με τον ίδιο τον αριθμό, αν ..."(προφορικά)

«Ο συντελεστής ενός αριθμού είναι αντίθετος αριθμός, αν..."

2. Έστω A(X) πολυώνυμο στο x

Συνεχίστε την εγγραφή:

Απάντηση:

Να γράψετε την αντίθετη έκφραση της παράστασης Α (x)

A(x) = 5 - 4x; A(x) = 6x 2 - 4x + 2

Α(χ)= -Α(χ)=

Ο μαθητής γράφει στον πίνακα, τα παιδιά γράφουν σε τετράδια.

3. Τώρα ας προσπαθήσουμε να βρούμε έναν τρόπο να λύσουμε μια τετραγωνική ανισότητα με το μέτρο

Ποιες είναι οι προτάσεις σας για την επίλυση αυτής της ανισότητας;

Ακούστε τις προτάσεις των παιδιών.

Εάν δεν υπάρχουν προτάσεις, τότε κάντε την ερώτηση: «Είναι δυνατόν να λυθεί αυτή η ανισότητα χρησιμοποιώντας συστήματα ανισοτήτων;»

Ο μαθητής βγαίνει και αποφασίζει.

IV. Το στάδιο της πρωτογενούς ενοποίησης της νέας γνώσης, κατάρτιση αλγορίθμου λύσης. Αναπλήρωση αποσκευών.

(Εργασία σε ομάδες των 4 ατόμων).

Τώρα σας προτείνω να γεμίσετε τις αποσκευές σας. Θα εργαστείτε σε ομάδες.Σε κάθε ομάδα δίνονται 2 κάρτες εργασιών.

Στην πρώτη κάρτα, πρέπει να γράψετε συστήματα για την επίλυση των ανισώσεων που παρουσιάζονται στον πίνακα και να αναπτύξετε έναν αλγόριθμο για την επίλυση τέτοιων ανισώσεων, δεν χρειάζεται να το λύσετε.

Το πρώτο φύλλο των ομάδων είναι διαφορετικό, το δεύτερο είναι το ίδιο

Τι συνέβη?

Κάτω από κάθε εξίσωση στον πίνακα, πρέπει να γράψετε ένα σύνολο συστημάτων.

Βγαίνουν 4 μαθητές και γράφουν συστήματα. Αυτή τη στιγμή, συζητάμε τον αλγόριθμο με την τάξη.

v. Το στάδιο της εμπέδωσης της γνώσης."Δρόμος της επιστροφής".

Οι αποσκευές ανανεώθηκαν, τώρα ήρθε η ώρα Ταξίδι επιστροφής. Τώρα λύστε ανεξάρτητα οποιαδήποτε από τις προτεινόμενες ανισότητες με το μέτρο, σύμφωνα με τον μεταγλωττισμένο αλγόριθμο.

Μαζί σας στο δρόμο και πάλι θα είναι ένα road radio.

Ενεργοποιήστε την ήσυχη μουσική υπόκρουση. Ο δάσκαλος ελέγχει το σχέδιο και, εάν χρειάζεται, συμβουλεύει.

Εργασίες στον πίνακα.

Το έργο έχει ολοκληρωθεί. Ελέγξτε τις απαντήσεις (είναι ενεργοποιημένες αντιθετη πλευραπίνακας), συμπληρώστε τη λίστα ελέγχου αυτοαξιολόγησης.

Ρύθμιση εργασιών για το σπίτι.

σημειωσε εργασία για το σπίτι(ξαναγράψτε στο τετράδιό σας τις ανισότητες που δεν κάνατε ή κάνατε με λάθη, επιπλέον Νο 84 (α) στη σελίδα 373 του σχολικού βιβλίου αν θέλετε)

VI. Στάδιο χαλάρωσης.

Πόσο χρήσιμο ήταν αυτό το ταξίδι για εσάς;

Τι έχεις μαθει?

Συνοψίζω. Υπολογίστε πόσους πόντους κέρδισε ο καθένας σας.(τα παιδιά ονομάζουν την τελική βαθμολογία).Παραδώστε τα φύλλα αυτοαξιολόγησης στον αποστολέα, δηλαδή σε εμένα.

Θέλω να τελειώσω το μάθημα με μια παραβολή.

«Ένας σοφός περπατούσε, και τον συναντούσαν τρεις άνθρωποι, που κουβαλούσαν κάρα με πέτρες για κατασκευή κάτω από τον καυτό ήλιο. Ο σοφός σταμάτησε και έκανε στον καθένα μια ερώτηση. Ρώτησε τον πρώτο: «Τι έκανες όλη μέρα;» και απάντησε χαμογελώντας ότι κουβαλούσε καταραμένες πέτρες όλη μέρα. Ο σοφός ρώτησε τον δεύτερο: «Τι έκανες όλη μέρα;» και εκείνος απάντησε: «Έκανα τη δουλειά μου ευσυνείδητα» και ο τρίτος χαμογέλασε, το πρόσωπό του φωτίστηκε από χαρά και ευχαρίστηση: «Και πήρα μέρος στην κατασκευή του Ναού!»

Το μάθημα τελείωσε.

Φύλλο αυτοαξιολόγησης

Επώνυμο, όνομα, τάξη		Αριθμός πόντων
Εργαστείτε σε μια ομάδα για να λύσετε ανισότητες ή συστήματα ανισοτήτων.	2 βαθμοί εάν εκτελεστούν σωστά χωρίς εξωτερική βοήθεια. 1 βαθμός εάν εκτελεστεί σωστά με εξωτερική βοήθεια. 0 βαθμοί εάν δεν ολοκληρώσατε την εργασία 1 επιπλέον βαθμός για ομαδική νίκη

Με τη χρήση αυτό το μάθημαθα μάθετε για τις ορθολογικές ανισότητες και τα συστήματά τους. Το σύστημα των ορθολογικών ανισοτήτων λύνεται με τη βοήθεια ισοδύναμων μετασχηματισμών. Εξετάζεται ο ορισμός της ισοδυναμίας, η μέθοδος αντικατάστασης μιας κλασματικής-ορθολογικής ανισότητας με ένα τετράγωνο, και επίσης κατανοεί ποια είναι η διαφορά μεταξύ μιας ανισότητας και μιας εξίσωσης και πώς πραγματοποιούνται οι ισοδύναμοι μετασχηματισμοί.

Άλγεβρα 9η τάξη

Τελική επανάληψη του μαθήματος της άλγεβρας της 9ης τάξης

Οι ορθολογικές ανισότητες και τα συστήματά τους. Συστήματα ορθολογικών ανισοτήτων.

1.1 Αφηρημένη.

1. Ισοδύναμοι μετασχηματισμοίορθολογικές ανισότητες.

Αποφασίζω ορθολογική ανισότητασημαίνει να βρεις όλες τις λύσεις του. Σε αντίθεση με μια εξίσωση, κατά την επίλυση μιας ανισότητας, κατά κανόνα, υπάρχει άπειρος αριθμός λύσεων. Αμέτρητοςλύσεις δεν μπορούν να επαληθευτούν με υποκατάσταση. Επομένως, είναι απαραίτητο να μετασχηματιστεί η αρχική ανισότητα με τέτοιο τρόπο ώστε σε κάθε επόμενη γραμμή να προκύπτει μια ανισότητα με το ίδιο σύνολο λύσεων.

Ορθολογικές ανισότητεςλύνεται μόνο με ισοδύναμοςή ισοδύναμους μετασχηματισμούς. Τέτοιοι μετασχηματισμοί δεν παραμορφώνουν το σύνολο των λύσεων.

Ορισμός. Ορθολογικές ανισότητεςπου ονομάζεται ισοδύναμοςαν τα σύνολα των λύσεών τους είναι ίδια.

Να ορίσει ισοδυναμίαςχρήση πινακίδας

2. Λύση του συστήματος των ανισοτήτων

Η πρώτη και η δεύτερη ανισότητα είναι κλασματικές ορθολογικές ανισότητες. Οι μέθοδοι επίλυσής τους αποτελούν φυσική συνέχεια των μεθόδων επίλυσης γραμμικών και τετραγωνικών ανισοτήτων.

Ας μετακινήσουμε τους αριθμούς στη δεξιά πλευρά προς τα αριστερά με το αντίθετο πρόσημο.

Ως αποτέλεσμα, το 0 θα παραμείνει στη δεξιά πλευρά. Αυτός ο μετασχηματισμός είναι ισοδύναμος. Αυτό υποδεικνύεται από το σημάδι

Ας εκτελέσουμε τις ενέργειες που ορίζει η άλγεβρα. Αφαιρέστε το «1» στην πρώτη ανισότητα και το «2» στη δεύτερη.

3. Επίλυση της ανισότητας με τη μέθοδο του διαστήματος

1) Ας εισάγουμε μια συνάρτηση. Πρέπει να γνωρίζουμε πότε αυτή η συνάρτηση είναι μικρότερη από 0.

2) Βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης: ο παρονομαστής δεν πρέπει να είναι 0. Το "2" είναι το σημείο διακοπής. Για x=2 η συνάρτηση είναι αόριστη.

3) Βρείτε τις ρίζες της συνάρτησης. Η συνάρτηση είναι 0 εάν ο αριθμητής είναι 0.

Τα σημεία ρύθμισης διαιρούν τον αριθμητικό άξονα σε τρία διαστήματα - αυτά είναι διαστήματα σταθερότητας. Σε κάθε διάστημα, η συνάρτηση διατηρεί το πρόσημό της. Ας προσδιορίσουμε το πρόσημο στο πρώτο διάστημα. Αντικαταστήστε κάποια τιμή. Για παράδειγμα, 100. Είναι σαφές ότι και ο αριθμητής και ο παρονομαστής είναι μεγαλύτεροι από 0. Αυτό σημαίνει ότι ολόκληρο το κλάσμα είναι θετικό.

Ας προσδιορίσουμε τα σημάδια στα υπόλοιπα διαστήματα. Όταν διέρχεται από το σημείο x=2, μόνο ο παρονομαστής αλλάζει πρόσημο. Αυτό σημαίνει ότι ολόκληρο το κλάσμα θα αλλάξει πρόσημο και θα είναι αρνητικό. Ας κάνουμε μια παρόμοια συζήτηση. Όταν διέρχεται από το σημείο x=-3, μόνο ο αριθμητής αλλάζει πρόσημο. Αυτό σημαίνει ότι το κλάσμα θα αλλάξει πρόσημο και θα είναι θετικό.

Επιλέγουμε ένα διάστημα που αντιστοιχεί στη συνθήκη ανισότητας. Σκιάστε το και γράψτε το ως ανισότητα

4. Επίλυση της ανίσωσης με χρήση τετραγωνικής ανισότητας

Σημαντικό γεγονός.

Σε σύγκριση με το 0 (στην περίπτωση της αυστηρής ανισότητας), το κλάσμα μπορεί να αντικατασταθεί από το γινόμενο του αριθμητή και του παρονομαστή ή μπορεί να αντικατασταθεί ο αριθμητής ή ο παρονομαστής.

Αυτό συμβαίνει επειδή και οι τρεις ανισότητες ισχύουν υπό την προϋπόθεση ότι u και v διαφορετικό σημάδι. Αυτές οι τρεις ανισότητες είναι ισοδύναμες.

Ας χρησιμοποιήσουμε αυτό το γεγονός και ας αντικαταστήσουμε κλασματική ορθολογική ανισότητατετράγωνο.

Ας λύσουμε την τετραγωνική ανισότητα.

Ας εισαγάγουμε τετραγωνική λειτουργία. Ας βρούμε τις ρίζες του και ας φτιάξουμε ένα σκίτσο του γραφήματος του.

Άρα τα κλαδιά της παραβολής είναι ψηλά. Μέσα στο διάστημα των ριζών, η συνάρτηση διατηρεί το πρόσημο. Είναι αρνητική.

Εκτός του διαστήματος των ριζών, η συνάρτηση είναι θετική.

Λύση της πρώτης ανισότητας:

5. Λύση της ανισότητας

Ας εισάγουμε μια συνάρτηση:

Ας βρούμε τα διαστήματα σταθερότητάς του:

Για να γίνει αυτό, βρίσκουμε τις ρίζες και τα σημεία ασυνέχειας του τομέα της συνάρτησης. Πάντα κόβουμε σημεία διακοπής. (x \u003d 3/2) Κόβουμε τις ρίζες ανάλογα με το σύμβολο της ανισότητας. Η ανισότητα μας είναι αυστηρή. Επομένως, κόβουμε τη ρίζα.

Ας τοποθετήσουμε τις πινακίδες:

Ας γράψουμε τη λύση:

Ας ολοκληρώσουμε τη λύση του συστήματος. Ας βρούμε την τομή του συνόλου των λύσεων της πρώτης ανισότητας και του συνόλου των λύσεων της δεύτερης ανισότητας.

Για να λύσετε ένα σύστημα ανισώσεων σημαίνει να βρείτε την τομή του συνόλου των λύσεων της πρώτης ανισότητας και του συνόλου των λύσεων της δεύτερης ανισότητας. Επομένως, έχοντας επιλύσει ξεχωριστά την πρώτη και τη δεύτερη ανισότητα, είναι απαραίτητο να γράψετε τα αποτελέσματα που προέκυψαν σε ένα σύστημα.

Ας απεικονίσουμε τη λύση της πρώτης ανισότητας στον άξονα x.