Πόσες ακέραιες λύσεις έχει η τριγωνομετρική ανισότητα. Τριγωνομετρικές ανισώσεις και μέθοδοι επίλυσής τους

Σε αυτό το μάθημα θα μάθουμε πρόσθεση και αφαίρεση ακέραιων αριθμών, καθώς και κανόνες για την πρόσθεση και την αφαίρεση τους.

Θυμηθείτε ότι οι ακέραιοι είναι όλοι θετικοί και αρνητικοί αριθμοί, καθώς και ο αριθμός 0. Για παράδειγμα, επόμενους αριθμούςείναι ακέραιοι:

−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3

Οι θετικοί αριθμοί είναι εύκολοι και . Δυστυχώς, αυτό δεν μπορεί να ειπωθεί για τους αρνητικούς αριθμούς, οι οποίοι μπερδεύουν πολλούς αρχάριους με τα μείόν τους πριν από κάθε ψηφίο. Όπως δείχνει η πρακτική, τα λάθη που έγιναν λόγω αρνητικοί αριθμοίαπογοητεύει περισσότερο τους μαθητές.

Περιεχόμενο μαθήματος

Παραδείγματα πρόσθεσης και αφαίρεσης ακεραίων

Το πρώτο πράγμα που πρέπει να μάθετε είναι να προσθέτετε και να αφαιρείτε ακέραιους αριθμούς χρησιμοποιώντας τη γραμμή συντεταγμένων. Δεν είναι απαραίτητο να σχεδιάσετε μια γραμμή συντεταγμένων. Αρκεί να το φανταστείς στις σκέψεις σου και να δεις πού είναι τα αρνητικά νούμερα και πού τα θετικά.

Εξετάστε την απλούστερη έκφραση: 1 + 3. Η τιμή αυτής της παράστασης είναι 4:

Αυτό το παράδειγμα μπορεί να γίνει κατανοητό χρησιμοποιώντας τη γραμμή συντεταγμένων. Για να το κάνετε αυτό, από το σημείο όπου βρίσκεται ο αριθμός 1, πρέπει να μετακινηθείτε τρία βήματα προς τα δεξιά. Ως αποτέλεσμα, θα βρεθούμε στο σημείο όπου βρίσκεται ο αριθμός 4. Στο σχήμα μπορείτε να δείτε πώς συμβαίνει αυτό:

Το σύμβολο συν στην έκφραση 1 + 3 μας λέει ότι πρέπει να κινηθούμε προς τα δεξιά προς την κατεύθυνση αύξησης των αριθμών.

Παράδειγμα 2Ας βρούμε την τιμή της παράστασης 1 − 3.

Η τιμή αυτής της έκφρασης είναι −2

Αυτό το παράδειγμα μπορεί και πάλι να γίνει κατανοητό χρησιμοποιώντας τη γραμμή συντεταγμένων. Για να το κάνετε αυτό, από το σημείο όπου βρίσκεται ο αριθμός 1, πρέπει να μετακινηθείτε τρία βήματα προς τα αριστερά. Ως αποτέλεσμα, θα βρεθούμε στο σημείο όπου βρίσκεται ο αρνητικός αριθμός −2. Το σχήμα δείχνει πώς συμβαίνει αυτό:

Το αρνητικό πρόσημο στην παράσταση 1 − 3 μας λέει ότι πρέπει να κινηθούμε προς τα αριστερά προς την κατεύθυνση των φθίνων αριθμών.

Γενικά, πρέπει να θυμόμαστε ότι εάν πραγματοποιηθεί προσθήκη, τότε πρέπει να κινηθούμε προς τα δεξιά προς την κατεύθυνση της αύξησης. Εάν πραγματοποιηθεί αφαίρεση, τότε πρέπει να μετακινηθείτε προς τα αριστερά προς την κατεύθυνση της μείωσης.

Παράδειγμα 3Βρείτε την τιμή της παράστασης −2 + 4

Η τιμή αυτής της έκφρασης είναι 2

Αυτό το παράδειγμα μπορεί και πάλι να γίνει κατανοητό χρησιμοποιώντας τη γραμμή συντεταγμένων. Για να το κάνετε αυτό, από το σημείο όπου βρίσκεται ο αρνητικός αριθμός -2, πρέπει να μετακινηθείτε τέσσερα βήματα προς τα δεξιά. Ως αποτέλεσμα, θα βρεθούμε στο σημείο που βρίσκεται ο θετικός αριθμός 2.

Φαίνεται ότι έχουμε μετακινηθεί από το σημείο όπου βρίσκεται ο αρνητικός αριθμός −2 προς τα δεξιά κατά τέσσερα βήματα και καταλήξαμε στο σημείο όπου βρίσκεται ο θετικός αριθμός 2.

Το σύμβολο συν στην έκφραση -2 + 4 μας λέει ότι πρέπει να κινηθούμε προς τα δεξιά προς την κατεύθυνση αύξησης των αριθμών.

Παράδειγμα 4Να βρείτε την τιμή της παράστασης −1 − 3

Η τιμή αυτής της έκφρασης είναι −4

Αυτό το παράδειγμα μπορεί και πάλι να λυθεί χρησιμοποιώντας μια γραμμή συντεταγμένων. Για να το κάνετε αυτό, από το σημείο όπου βρίσκεται ο αρνητικός αριθμός −1, πρέπει να μετακινηθείτε τρία βήματα προς τα αριστερά. Ως αποτέλεσμα, θα βρεθούμε στο σημείο που βρίσκεται ο αρνητικός αριθμός -4

Φαίνεται ότι έχουμε μετακινηθεί από το σημείο όπου βρίσκεται ο αρνητικός αριθμός −1 αριστερή πλευράτρία βήματα, και κατέληξε στο σημείο όπου βρίσκεται ο αρνητικός αριθμός −4.

Το αρνητικό πρόσημο στην έκφραση -1 - 3 μας λέει ότι πρέπει να κινηθούμε προς τα αριστερά προς την κατεύθυνση των φθίνων αριθμών.

Παράδειγμα 5Βρείτε την τιμή της παράστασης −2 + 2

Η τιμή αυτής της έκφρασης είναι 0

Αυτό το παράδειγμα μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας μια γραμμή συντεταγμένων. Για να το κάνετε αυτό, από το σημείο όπου βρίσκεται ο αρνητικός αριθμός −2, πρέπει να μετακινηθείτε δύο βήματα προς τα δεξιά. Ως αποτέλεσμα, θα βρεθούμε στο σημείο που βρίσκεται ο αριθμός 0

Φαίνεται ότι έχουμε μετακινηθεί από το σημείο όπου ο αρνητικός αριθμός −2 βρίσκεται προς τα δεξιά κατά δύο βήματα και καταλήξαμε στο σημείο όπου βρίσκεται ο αριθμός 0.

Το σύμβολο συν στην έκφραση -2 + 2 μας λέει ότι πρέπει να κινηθούμε προς τα δεξιά προς την κατεύθυνση της αύξησης των αριθμών.

Κανόνες πρόσθεσης και αφαίρεσης ακεραίων

Για να προσθέτουμε ή να αφαιρούμε ακέραιους αριθμούς, δεν είναι καθόλου απαραίτητο να φανταζόμαστε μια γραμμή συντεταγμένων κάθε φορά, πόσο μάλλον να τη σχεδιάζουμε. Είναι πιο βολικό να χρησιμοποιείτε έτοιμους κανόνες.

Κατά την εφαρμογή των κανόνων, πρέπει να προσέχετε το πρόσημο της πράξης και τα σημάδια των αριθμών που πρέπει να προστεθούν ή να αφαιρεθούν. Αυτό θα καθορίσει ποιος κανόνας θα εφαρμοστεί.

Παράδειγμα 1Βρείτε την τιμή της παράστασης −2 + 5

Εδώ ένας θετικός αριθμός προστίθεται σε έναν αρνητικό αριθμό. Με άλλα λόγια, προστίθενται αριθμοί διαφορετικά σημάδια. −2 είναι αρνητικό και 5 θετικό. Για τέτοιες περιπτώσεις, ισχύει ο ακόλουθος κανόνας:

Για να προσθέσετε αριθμούς με διαφορετικά πρόσημα, πρέπει να αφαιρέσετε τη μικρότερη ενότητα από τη μεγαλύτερη ενότητα και να βάλετε το πρόσημο του αριθμού του οποίου η ενότητα είναι μεγαλύτερη μπροστά από την απάντηση.

Ας δούμε λοιπόν ποια ενότητα είναι μεγαλύτερη:

Το μέτρο του 5 είναι μεγαλύτερο από το μέτρο του −2. Ο κανόνας απαιτεί την αφαίρεση της μικρότερης από τη μεγαλύτερη ενότητα. Επομένως, πρέπει να αφαιρέσουμε το 2 από το 5 και πριν από την απάντηση να βάλουμε το πρόσημο του αριθμού του οποίου ο συντελεστής είναι μεγαλύτερος.

Ο αριθμός 5 έχει μεγαλύτερο συντελεστή, οπότε το πρόσημο αυτού του αριθμού θα βρίσκεται στην απάντηση. Δηλαδή, η απάντηση θα είναι θετική:

−2 + 5 = 5 − 2 = 3

Συνήθως γράφεται συντομότερα: −2 + 5 = 3

Παράδειγμα 2Βρείτε την τιμή της παράστασης 3 + (−2)

Εδώ, όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα, πραγματοποιείται η πρόσθεση αριθμών με διαφορετικά πρόσημα. Το 3 είναι θετικό και το -2 είναι αρνητικό. Σημειώστε ότι ο αριθμός -2 περικλείεται σε παρένθεση για να γίνει πιο ξεκάθαρη η έκφραση. Αυτή η έκφραση είναι πολύ πιο κατανοητή από την έκφραση 3+−2.

Έτσι, εφαρμόζουμε τον κανόνα της πρόσθεσης αριθμών με διαφορετικά πρόσημα. Όπως στο προηγούμενο παράδειγμα, αφαιρούμε τη μικρότερη ενότητα από τη μεγαλύτερη ενότητα και βάζουμε το πρόσημο του αριθμού του οποίου η ενότητα είναι μεγαλύτερη πριν από την απάντηση:

3 + (−2) = |3| − |−2| = 3 − 2 = 1

Το μέτρο του αριθμού 3 είναι μεγαλύτερο από το μέτρο του αριθμού −2, άρα αφαιρέσαμε το 2 από το 3 και βάλαμε το πρόσημο του μεγαλύτερου αριθμού συντελεστή πριν από την απάντηση. Ο αριθμός 3 έχει μεγαλύτερη ενότητα, οπότε το πρόσημο αυτού του αριθμού μπαίνει στην απάντηση. Δηλαδή η απάντηση είναι ναι.

Συνήθως γράφεται συντομότερο 3 + (−2) = 1

Παράδειγμα 3Να βρείτε την τιμή της παράστασης 3 − 7

Σε αυτή την έκφραση από λιγότεροιαφαιρέστε περισσότερα. Σε μια τέτοια περίπτωση, ισχύει ο ακόλουθος κανόνας:

Για να αφαιρέσετε έναν μεγαλύτερο αριθμό από έναν μικρότερο αριθμό, περισσότεροΑφαιρέστε το μικρότερο και βάλτε ένα αρνητικό μπροστά από την απάντηση.

3 − 7 = 7 − 3 = −4

Υπάρχει ένα μικρό εμπόδιο σε αυτή την έκφραση. Θυμηθείτε ότι το σύμβολο ίσου (=) τοποθετείται μεταξύ τιμών και παραστάσεων όταν είναι ίσες μεταξύ τους.

Η τιμή της παράστασης 3 − 7, όπως μάθαμε, είναι −4. Αυτό σημαίνει ότι τυχόν μετασχηματισμοί που θα πραγματοποιήσουμε σε αυτήν την παράσταση πρέπει να είναι ίσοι με −4

Βλέπουμε όμως ότι η παράσταση 7 − 3 βρίσκεται στο δεύτερο στάδιο, το οποίο δεν ισούται με −4.

Για να διορθωθεί αυτή η κατάσταση, η έκφραση 7 − 3 πρέπει να μπει σε αγκύλες και να τεθεί ένα μείον πριν από αυτήν την αγκύλη:

3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = −4

Σε αυτή την περίπτωση, θα τηρείται ισότητα σε κάθε στάδιο:

Αφού αξιολογηθεί η έκφραση, οι αγκύλες μπορούν να αφαιρεθούν, κάτι που κάναμε.

Έτσι για να είμαστε πιο ακριβείς, η λύση θα πρέπει να μοιάζει με αυτό:

3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = − 4

Αυτός ο κανόνας μπορεί να γραφτεί χρησιμοποιώντας μεταβλητές. Θα μοιάζει με αυτό:

a − b = − (b − a)

Ένας μεγάλος αριθμός αγκύλων και πινακίδων λειτουργίας μπορεί να περιπλέξει τη λύση μιας φαινομενικά πολύ απλής εργασίας, επομένως είναι πιο σκόπιμο να μάθετε πώς να γράφετε τέτοια παραδείγματα εν συντομία, για παράδειγμα 3 − 7 = − 4.

Στην πραγματικότητα, η πρόσθεση και η αφαίρεση των ακεραίων ανάγεται σε απλή πρόσθεση. Αυτό σημαίνει ότι εάν θέλετε να αφαιρέσετε αριθμούς, αυτή η λειτουργία μπορεί να αντικατασταθεί από πρόσθεση.

Ας εξοικειωθούμε λοιπόν με τον νέο κανόνα:

Για να αφαιρέσετε έναν αριθμό από έναν άλλο σημαίνει να προσθέσετε στο minuend έναν αριθμό που θα είναι ο αντίθετος του αφαιρεθέντος.

Για παράδειγμα, θεωρήστε την απλούστερη έκφραση 5 − 3. On πρώιμα στάδιαμελετώντας μαθηματικά, βάλαμε ίσον και γράψαμε την απάντηση:

Τώρα όμως προοδεύουμε στη μάθηση, επομένως πρέπει να προσαρμοστούμε στους νέους κανόνες. Ο νέος κανόνας λέει ότι για να αφαιρέσετε έναν αριθμό από έναν άλλο σημαίνει να προσθέσετε στο minuend έναν αριθμό που θα αφαιρεθεί.

Χρησιμοποιώντας την έκφραση 5 − 3 ως παράδειγμα, ας προσπαθήσουμε να κατανοήσουμε αυτόν τον κανόνα. Το minuend σε αυτήν την έκφραση είναι 5 και το subtrahend είναι 3. Ο κανόνας λέει ότι για να αφαιρέσετε το 3 από το 5, πρέπει να προσθέσετε στο 5 έναν τέτοιο αριθμό που θα είναι αντίθετος με το 3. Ο αντίθετος αριθμός για τον αριθμό 3 είναι −3. Γράφουμε μια νέα έκφραση:

Και ξέρουμε ήδη πώς να βρίσκουμε τιμές για τέτοιες εκφράσεις. Αυτή είναι η πρόσθεση αριθμών με διαφορετικά πρόσημα, που συζητήσαμε νωρίτερα. Για να προσθέσουμε αριθμούς με διαφορετικά πρόσημα, αφαιρούμε μια μικρότερη ενότητα από μια μεγαλύτερη ενότητα και βάζουμε το πρόσημο του αριθμού του οποίου η ενότητα είναι μεγαλύτερη πριν από την απάντηση που λάβαμε:

5 + (−3) = |5| − |−3| = 5 − 3 = 2

Το μέτρο του 5 είναι μεγαλύτερο από το μέτρο του −3. Επομένως, αφαιρέσαμε το 3 από το 5 και πήραμε 2. Ο αριθμός 5 έχει μεγαλύτερο συντελεστή, οπότε το πρόσημο αυτού του αριθμού μπήκε στην απάντηση. Δηλαδή η απάντηση είναι θετική.

Στην αρχή, δεν καταφέρνουν όλοι να αντικαταστήσουν γρήγορα την αφαίρεση με την πρόσθεση. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι οι θετικοί αριθμοί γράφονται χωρίς πρόσημο συν.

Για παράδειγμα, στην έκφραση 3 − 1, το πρόσημο μείον που υποδεικνύει την αφαίρεση είναι το πρόσημο της πράξης και δεν αναφέρεται σε μία. Μονάδα σε αυτή η υπόθεσηείναι ένας θετικός αριθμός και έχει το δικό του πρόσημο συν, αλλά δεν το βλέπουμε, γιατί το συν δεν γράφεται πριν από τους θετικούς αριθμούς.

Και έτσι, για λόγους σαφήνειας, αυτή η έκφραση μπορεί να γραφτεί ως εξής:

(+3) − (+1)

Για ευκολία, οι αριθμοί με τα σημάδια τους περικλείονται σε αγκύλες. Σε αυτή την περίπτωση, η αντικατάσταση της αφαίρεσης με την πρόσθεση είναι πολύ πιο εύκολη.

Στην παράσταση (+3) − (+1), αυτός ο αριθμός αφαιρείται (+1), και ο αντίθετος αριθμός είναι (−1).

Ας αντικαταστήσουμε την αφαίρεση με την πρόσθεση και αντί για την υποκατηγορία (+1) γράφουμε τον αντίθετο αριθμό (−1)

(+3) − (+1) = (+3) + (−1)

Ο περαιτέρω υπολογισμός δεν θα είναι δύσκολος.

(+3) − (+1) = (+3) + (−1) = |3| − |−1| = 3 − 1 = 2

Με την πρώτη ματιά, φαίνεται ότι δεν έχει νόημα σε αυτές τις επιπλέον χειρονομίες, εάν μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την παλιά καλή μέθοδο για να βάλετε ένα σύμβολο ίσου και να γράψετε αμέσως την απάντηση 2. Στην πραγματικότητα, αυτός ο κανόνας θα μας βοηθήσει περισσότερες από μία φορές .

Ας λύσουμε το προηγούμενο παράδειγμα 3 − 7 χρησιμοποιώντας τον κανόνα της αφαίρεσης. Αρχικά, δίνουμε την έκφραση στο καταληπτός, τοποθετώντας πινακίδες για κάθε αριθμό.

Το τρία έχει πρόσημο συν γιατί είναι θετικός αριθμός. Το μείον που δείχνει την αφαίρεση δεν ισχύει για τα επτά. Το επτά έχει πρόσημο συν γιατί είναι θετικός αριθμός:

Ας αντικαταστήσουμε την αφαίρεση με την πρόσθεση:

(+3) − (+7) = (+3) + (−7)

Ο περαιτέρω υπολογισμός δεν είναι δύσκολος:

(+3) − (−7) = (+3) + (-7) = −(|−7| − |+3|) = −(7 − 3) = −(4) = −4

Παράδειγμα 7Να βρείτε την τιμή της παράστασης −4 − 5

Μπροστά μας είναι πάλι η πράξη της αφαίρεσης. Αυτή η λειτουργία πρέπει να αντικατασταθεί με προσθήκη. Στο minuend (−4) προσθέτουμε τον αριθμό που βρίσκεται απέναντι από το subtrahend (+5). Ο αντίθετος αριθμός για το υπόστρωμα (+5) είναι ο αριθμός (−5).

(−4) − (+5) = (−4) + (−5)

Έχουμε φτάσει σε μια κατάσταση όπου πρέπει να προσθέσουμε αρνητικούς αριθμούς. Για τέτοιες περιπτώσεις, ισχύει ο ακόλουθος κανόνας:

Για να προσθέσετε αρνητικούς αριθμούς, πρέπει να προσθέσετε τις ενότητες τους και να βάλετε ένα μείον μπροστά από την απάντηση που λάβατε.

Λοιπόν, ας προσθέσουμε τις ενότητες των αριθμών, όπως μας απαιτεί ο κανόνας, και ας βάλουμε ένα μείον μπροστά από την απάντηση που λάβαμε:

(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = |−4| + |−5| = 4 + 5 = −9

Η καταχώριση με μονάδες πρέπει να περικλείεται σε αγκύλες και να τίθεται ένα μείον πριν από αυτές τις αγκύλες. Παρέχουμε λοιπόν ένα μείον, το οποίο θα πρέπει να προηγείται της απάντησης:

(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = −(|−4| + |−5|) = −(4 + 5) = −(9) = −9

Λύση για αυτό το παράδειγμαμπορεί να γραφτεί πιο σύντομα:

−4 − 5 = −(4 + 5) = −9

ή ακόμα πιο σύντομο:

−4 − 5 = −9

Παράδειγμα 8Να βρείτε την τιμή της παράστασης −3 − 5 − 7 − 9

Ας φέρουμε την έκφραση σε σαφή μορφή. Εδώ, όλοι οι αριθμοί εκτός από τον αριθμό −3 είναι θετικοί, επομένως θα έχουν πρόσημα συν:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9)

Ας αντικαταστήσουμε τις αφαιρέσεις με προσθέσεις. Όλα τα μείον, εκτός από το μείον μπροστά από το τριπλό, θα αλλάξουν σε συν και όλοι οι θετικοί αριθμοί θα αλλάξουν στο αντίθετο:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9)

Τώρα εφαρμόστε τον κανόνα για την προσθήκη αρνητικών αριθμών. Για να προσθέσετε αρνητικούς αριθμούς, πρέπει να προσθέσετε τις ενότητες τους και να βάλετε ένα μείον μπροστά από την απάντηση που λάβατε:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9) =

= −(|−3| + |−5| + |−7| + |−9|) = −(3 + 5 + 7 + 9) = −(24) = −24

Η λύση σε αυτό το παράδειγμα μπορεί να γραφτεί συντομότερα:

−3 − 5 − 7 − 9 = −(3 + 5 + 7 + 9) = −24

ή ακόμα πιο σύντομο:

−3 − 5 − 7 − 9 = −24

Παράδειγμα 9Να βρείτε την τιμή της παράστασης −10 + 6 − 15 + 11 − 7

Ας φέρουμε την έκφραση σε σαφή μορφή:

(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7)

Υπάρχουν δύο πράξεις εδώ: πρόσθεση και αφαίρεση. Η πρόσθεση παραμένει αμετάβλητη και η αφαίρεση αντικαθίσταται από την πρόσθεση:

(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7) = (−10) + (+6) + (−15) + (+11) + (−7)

Παρατηρώντας, θα εκτελέσουμε κάθε ενέργεια με τη σειρά, με βάση τους κανόνες που μελετήθηκαν προηγουμένως. Οι εγγραφές με ενότητες μπορούν να παραβλεφθούν:

Πρώτη ενέργεια:

(−10) + (+6) = − (10 − 6) = − (4) = − 4

Δεύτερη ενέργεια:

(−4) + (−15) = − (4 + 15) = − (19) = − 19

Τρίτη δράση:

(−19) + (+11) = − (19 − 11) = − (8) = −8

Τέταρτη δράση:

(−8) + (−7) = − (8 + 7) = − (15) = − 15

Έτσι, η τιμή της παράστασης −10 + 6 − 15 + 11 − 7 είναι −15

Σημείωση. Δεν είναι απαραίτητο να φέρετε την έκφραση σε σαφή μορφή κλείνοντας αριθμούς σε αγκύλες. Όταν συνηθίζετε σε αρνητικούς αριθμούς, αυτή η ενέργεια μπορεί να παραλειφθεί, καθώς απαιτεί χρόνο και μπορεί να προκαλέσει σύγχυση.

Έτσι, για την προσθήκη και την αφαίρεση ακεραίων, πρέπει να θυμάστε τους ακόλουθους κανόνες:

Γίνετε μέλος μας νέα ομάδα Vkontakte και αρχίστε να λαμβάνετε ειδοποιήσεις για νέα μαθήματα

Σε αυτό το άρθρο, θα ασχοληθούμε με προσθέτοντας αριθμούς με διαφορετικά πρόσημα. Εδώ δίνουμε έναν κανόνα για την προσθήκη ενός θετικού και ενός αρνητικού αριθμού και εξετάζουμε παραδείγματα εφαρμογής αυτού του κανόνα όταν προσθέτουμε αριθμούς με διαφορετικά πρόσημα.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Κανόνας για την πρόσθεση αριθμών με διαφορετικά πρόσημα

Παραδείγματα πρόσθεσης αριθμών με διαφορετικά πρόσημα

Σκεφτείτε παραδείγματα πρόσθεσης αριθμών με διαφορετικά πρόσημασύμφωνα με τον κανόνα που συζητήθηκε στην προηγούμενη παράγραφο. Ας ξεκινήσουμε με ένα απλό παράδειγμα.

Παράδειγμα.

Προσθέστε τους αριθμούς −5 και 2.

Απόφαση.

Πρέπει να προσθέσουμε αριθμούς με διαφορετικά πρόσημα. Ας ακολουθήσουμε όλα τα βήματα που ορίζει ο κανόνας της πρόσθεσης θετικών και αρνητικών αριθμών.

Αρχικά, βρίσκουμε τις ενότητες των όρων, είναι ίσες με 5 και 2, αντίστοιχα.

Το μέτρο του αριθμού −5 είναι μεγαλύτερο από το μέτρο του αριθμού 2, γι' αυτό θυμηθείτε το πρόσημο μείον.

Απομένει να βάλουμε το απομνημονευμένο σύμβολο μείον μπροστά από τον αριθμό που προκύπτει, παίρνουμε -3. Αυτό ολοκληρώνει την πρόσθεση αριθμών με διαφορετικά πρόσημα.

Απάντηση:

(−5)+2=−3 .

Διπλώνω ρητοί αριθμοίμε διαφορετικά πρόσημα που δεν είναι ακέραιοι, θα πρέπει να παριστάνονται ως συνηθισμένα κλάσματα(μπορείτε να εργαστείτε με δεκαδικά, εάν βολεύει). Ας ρίξουμε μια ματιά σε αυτό το σημείο στο επόμενο παράδειγμα.

Παράδειγμα.

Προσθέστε έναν θετικό αριθμό και έναν αρνητικό αριθμό −1,25.

Απόφαση.

Ας αναπαραστήσουμε τους αριθμούς στη φόρμα συνηθισμένα κλάσματα, για αυτό θα το εκτελέσουμε αλλαγή από μικτό αριθμό σε ακατάλληλο κλάσμα: , και μετατροπή δεκαδικού σε συνηθισμένο : .

Τώρα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον κανόνα για την προσθήκη αριθμών με διαφορετικά πρόσημα.

Οι ενότητες των προστιθέμενων αριθμών είναι 17/8 και 5/4. Για ευκολία υλοποίησης περαιτέρω δράση, φέρνουν τα κλάσματα σε κοινό παρονομαστή, με αποτέλεσμα 17/8 και 10/8 .

Τώρα πρέπει να εκτελέσουμε σύγκριση κοινών κλασμάτων 17/8 και 10/8. Από 17>10 λοιπόν . Έτσι, ο όρος με σύμβολο συν έχει μεγαλύτερο συντελεστή, επομένως, θυμηθείτε το σύμβολο συν.

Τώρα αφαιρούμε το μικρότερο από το μεγαλύτερο module, δηλαδή εκτελούμε αφαίρεση κλασμάτων με ίδιους παρονομαστές : .

Απομένει να βάλουμε ένα απομνημονευμένο σύμβολο συν μπροστά από τον αριθμό που προκύπτει, αλλά - αυτός είναι ο αριθμός 7/8.

Σε αυτό το άρθρο, θα σας πούμε πώς να εκτελέσετε σωστά την προσθήκη αρνητικών και θετικός αριθμός. Αρχικά, θα δώσουμε τον βασικό κανόνα για μια τέτοια προσθήκη και στη συνέχεια θα δείξουμε πώς εφαρμόζεται στην επίλυση προβλημάτων.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Βασικός κανόνας για την πρόσθεση θετικών και αρνητικών αριθμών

Είπαμε νωρίτερα ότι ένας θετικός αριθμός μπορεί να θεωρηθεί ως εισόδημα και ένας αρνητικός αριθμός ως απώλεια. Για να μάθετε το ποσό των εσόδων και εξόδων, πρέπει να δείτε τις ενότητες αυτών των αριθμών. Αν τελικά αποδειχτεί ότι τα έξοδά μας υπερβαίνουν τα έσοδα, τότε μετά την αμοιβαία λογιστική τους, θα μείνουμε χρεωμένοι και αν είναι το αντίστροφο, τότε θα μείνουμε στο μαύρο. Αν τα έξοδα είναι ίσα με έσοδα, τότε θα έχουμε μηδενικό υπόλοιπο.

Χρησιμοποιώντας τον παραπάνω συλλογισμό, μπορούμε να αντλήσουμε τον βασικό κανόνα για την πρόσθεση αριθμών με διαφορετικά πρόσημα.

Ορισμός 1

Για να προσθέσετε έναν θετικό αριθμό σε έναν αρνητικό, πρέπει να βρείτε τις ενότητες τους και να κάνετε μια σύγκριση. Αν οι τιμές είναι ίσες, τότε έχουμε δύο όρους που είναι αντίθετους αριθμούς, και το άθροισμά τους θα είναι μηδέν. Αν δεν είναι ίσα, τότε πρέπει να λάβουμε υπόψη ότι το αποτέλεσμα θα έχει το ίδιο πρόσημο με τον μεγαλύτερο αριθμό.

Έτσι, η πρόσθεση σε αυτή την περίπτωση μειώνεται στην αφαίρεση ενός μικρότερου αριθμού από έναν μεγαλύτερο αριθμό. Το αποτέλεσμα αυτής της ενέργειας μπορεί να είναι διαφορετικό: μπορούμε να πάρουμε και έναν θετικό και έναν αρνητικό αριθμό. Ένα μηδενικό αποτέλεσμα είναι επίσης δυνατό.

Αυτός ο κανόνας ισχύει για ακέραιους, ορθολογικούς και πραγματικούς αριθμούς.

Προβλήματα για την προσθήκη θετικού αριθμού με αρνητικό

Ας καταλάβουμε πώς να εφαρμόσουμε τον κανόνα που αναφέρεται παραπάνω στην πράξη. Ας πάρουμε πρώτα ένα απλό παράδειγμα.

Παράδειγμα 1

Υπολογίστε το άθροισμα 2 + (- 5) .

Απόφαση

Ας ακολουθήσουμε τα βήματα που έχουμε μάθει μέχρι τώρα. Αρχικά, ας βρούμε τις ενότητες των αρχικών αριθμών, οι οποίοι θα είναι ίσοι με 2 και 5. Η μεγαλύτερη ενότητα είναι 5, οπότε θυμηθείτε το μείον. Στη συνέχεια, αφαιρούμε τη μικρότερη από τη μεγαλύτερη ενότητα και παίρνουμε: 5 − 2 = 3 .

Απάντηση: (− 5) + 2 = − 3 .

Εάν στις συνθήκες του προβλήματος υπάρχουν ορθολογικοί αριθμοί με διαφορετικά πρόσημα, που δεν είναι ακέραιοι, τότε για τη διευκόλυνση των υπολογισμών είναι απαραίτητο να αναπαρασταθούν με τη μορφή δεκαδικών ή συνηθισμένων κλασμάτων. Ας πάρουμε ένα πρόβλημα και ας το λύσουμε.

Παράδειγμα 2

Υπολογίστε πόσο είναι το 2 1 8 + (- 1 , 25) .

Απόφαση

Ας μεταφράσουμε πρώτα μικτός αριθμόςσε ένα συνηθισμένο κλάσμα. Εάν δεν θυμάστε πώς να το κάνετε αυτό, διαβάστε ξανά το αντίστοιχο άρθρο.

Θα παρουσιάσουμε επίσης το δεκαδικό κλάσμα με τη μορφή ενός συνηθισμένου: - 1, 25 = - 125 100 = - 5 4 .

Μετά από αυτό, μπορείτε ήδη να προχωρήσετε στον υπολογισμό των ενοτήτων και στον υπολογισμό του αποτελέσματος. Ας βρούμε τις ενότητες: θα είναι ίσες με 17 8 και 5 4 αντίστοιχα. Μειώνουμε τα κλάσματα που προκύπτουν σε κοινό παρονομαστήκαι πάρτε 17 8 και 10 8 .

Το επόμενο βήμα είναι η σύγκριση κοινών κλασμάτων. Εφόσον ο αριθμητής του πρώτου κλάσματος είναι μεγαλύτερος, τότε 17 8 > 10 8 . Εάν έχουμε περισσότερο όρο με πρόσημο συν, τότε πρέπει να θυμόμαστε ότι το αποτέλεσμα θα είναι θετικό.

17 8 - 10 8 = 17 - 10 8 = 7 8

Έχουμε ήδη σημειώσει νωρίτερα ότι το αποτέλεσμα θα είναι με ένα σύμβολο συν: + 7 8 . Δεδομένου ότι δεν είναι απαραίτητο να γράψουμε ένα συν, θα το κάνουμε χωρίς αυτό όταν γράφουμε την απάντηση.

Ας γράψουμε ολόκληρη τη λύση:

2 1 8 + - 1 , 25 = 17 8 + - 5 4 = 17 8 + - 10 8 = 17 8 - 10 8 = 7 8

Απάντηση: 2 1 8 + - 1 , 25 = 7 8 .

Παράδειγμα 3

Βρείτε ποιο θα είναι το άθροισμα 14 και - 14.

Απόφαση

Έχουμε δύο πανομοιότυπους όρους με διαφορετικά πρόσημα. Αυτό σημαίνει ότι αυτοί οι αριθμοί είναι αντίθετοι μεταξύ τους, επομένως, το άθροισμά τους θα είναι ίσο με 0.

Απάντηση: 14 + - 14 = 0

Στο τέλος του άρθρου, προσθέτουμε ότι το αποτέλεσμα της προσθήκης πραγματικών αρνητικών αριθμών σε θετικούς γράφεται συχνά καλύτερα με τη μορφή αριθμητική παράστασημε ρίζες, δυνάμεις ή λογάριθμους, όχι ως άπειρο δεκαδικό κλάσμα. Έτσι, αν προσθέσουμε τους αριθμούς n και - 3 , τότε η απάντηση θα είναι n - 3 . Νομίζω τελικό αποτέλεσμαδεν είναι πάντα απαραίτητο, και μπορείτε να τα βγάλετε πέρα ​​με κατά προσέγγιση υπολογισμούς. Θα γράψουμε περισσότερα για αυτό στο άρθρο για τις βασικές πράξεις με πραγματικούς αριθμούς.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter