Ποιες είναι οι βασικές ιδιότητες του αορίστου ολοκληρώματος. Οι απλούστερες ιδιότητες των ολοκληρωμάτων

Σε αυτό το άρθρο θα απαριθμήσουμε τις κύριες ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος. Οι περισσότερες από αυτές τις ιδιότητες αποδεικνύονται με βάση τις έννοιες του ορισμένου ολοκληρώματος Riemann και Darboux.

Ο υπολογισμός του ορισμένου ολοκληρώματος γίνεται πολύ συχνά χρησιμοποιώντας τις πέντε πρώτες ιδιότητες, οπότε θα αναφερθούμε σε αυτές όταν χρειαστεί. Οι υπόλοιπες ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος χρησιμοποιούνται κυρίως για την αξιολόγηση διαφόρων εκφράσεων.

Πριν προχωρήσουμε βασικές ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος, ας συμφωνήσουμε ότι το α δεν υπερβαίνει το β.

Για τη συνάρτηση y = f(x) που ορίζεται στο x = a, η ισότητα είναι αληθής.

Δηλαδή, η τιμή ενός ορισμένου ολοκληρώματος με τα ίδια όρια ολοκλήρωσης είναι ίση με μηδέν. Αυτή η ιδιότητα είναι συνέπεια του ορισμού του ολοκληρώματος Riemann, αφού σε αυτή την περίπτωση κάθε ολοκληρωτικό άθροισμα για οποιοδήποτε διαμέρισμα του διαστήματος και κάθε επιλογή σημείων είναι ίσο με μηδέν, αφού, επομένως, το όριο των ολοκληρωμάτων είναι μηδέν.

Για μια συνάρτηση που μπορεί να ενσωματωθεί σε ένα διάστημα, .

Με άλλα λόγια, όταν το ανώτερο και το κατώτερο όριο της ολοκλήρωσης αλλάζουν θέσεις, η τιμή του ορισμένου ολοκληρώματος αλλάζει προς το αντίθετο. Αυτή η ιδιότητα ενός ορισμένου ολοκληρώματος προκύπτει επίσης από την έννοια του ολοκληρώματος Riemann, μόνο η αρίθμηση του διαμερίσματος του τμήματος πρέπει να ξεκινά από το σημείο x = b.

για συναρτήσεις που μπορούν να ολοκληρωθούν σε διάστημα y = f(x) και y = g(x) .

Απόδειξη.

Ας γράψουμε το ολοκληρωτικό άθροισμα της συνάρτησης για ένα δεδομένο διαμέρισμα ενός τμήματος και μια δεδομένη επιλογή σημείων:

όπου και είναι τα ολοκληρωτικά αθροίσματα των συναρτήσεων y = f(x) και y = g(x) για ένα δεδομένο διαμέρισμα του τμήματος, αντίστοιχα.

Πηγαίνοντας στο όριο στο λαμβάνουμε ότι, με τον ορισμό του ολοκληρώματος Riemann, είναι ισοδύναμο με τη δήλωση της ιδιότητας που αποδεικνύεται.

Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο του ορισμένου ολοκληρώματος. Δηλαδή, για μια συνάρτηση y = f(x) που μπορεί να ολοκληρωθεί σε ένα διάστημα και έναν αυθαίρετο αριθμό k, ισχύει η ακόλουθη ισότητα: .

Η απόδειξη αυτής της ιδιότητας του ορισμένου ολοκληρώματος είναι απολύτως παρόμοια με την προηγούμενη:

Έστω η συνάρτηση y = f(x) που μπορεί να ολοκληρωθεί στο διάστημα X, και και μετά .

Αυτή η ιδιότητα ισχύει και για τα δύο , και ή .

Η απόδειξη μπορεί να πραγματοποιηθεί με βάση τις προηγούμενες ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος.

Εάν μια συνάρτηση μπορεί να ολοκληρωθεί σε ένα διάστημα, τότε είναι ενσωματώσιμη σε οποιοδήποτε εσωτερικό διάστημα.

Η απόδειξη βασίζεται στην ιδιότητα των αθροισμάτων Darboux: εάν προστεθούν νέα σημεία σε ένα υπάρχον διαμέρισμα ενός τμήματος, τότε το χαμηλότερο άθροισμα Darboux δεν θα μειωθεί και το ανώτερο δεν θα αυξηθεί.

Εάν η συνάρτηση y = f(x) μπορεί να ολοκληρωθεί στο διάστημα και για οποιαδήποτε τιμή του ορίσματος, τότε .

Αυτή η ιδιότητα αποδεικνύεται μέσω του ορισμού του ολοκληρώματος Riemann: οποιοδήποτε ολοκληρωτικό άθροισμα για οποιαδήποτε επιλογή σημείων διαμερίσματος του τμήματος και σημείων στο θα είναι μη αρνητικό (όχι θετικό).

Συνέπεια.

Για συναρτήσεις y = f(x) και y = g(x) που μπορούν να ολοκληρωθούν σε ένα διάστημα, ισχύουν οι ακόλουθες ανισώσεις:

Αυτή η δήλωση σημαίνει ότι η ενσωμάτωση των ανισοτήτων είναι επιτρεπτή. Θα χρησιμοποιήσουμε αυτό το συμπέρασμα για να αποδείξουμε τις ακόλουθες ιδιότητες.

Έστω η συνάρτηση y = f(x) που μπορεί να ολοκληρωθεί στο διάστημα , τότε ισχύει η ανισότητα .

Απόδειξη.

Είναι προφανές ότι . Στην προηγούμενη ιδιότητα, ανακαλύψαμε ότι η ανισότητα μπορεί να ενσωματωθεί ανά όρο, επομένως, είναι αλήθεια . Αυτή η διπλή ανισότητα μπορεί να γραφτεί ως .

Έστω οι συναρτήσεις y = f(x) και y = g(x) ενσωματώσιμες στο διάστημα και για οποιαδήποτε τιμή του ορίσματος , τότε , Οπου Και .

Η απόδειξη πραγματοποιείται με παρόμοιο τρόπο. Δεδομένου ότι τα m και M είναι οι μικρότερες και μεγαλύτερες τιμές της συνάρτησης y = f(x) στο τμήμα, τότε . Πολλαπλασιάζοντας τη διπλή ανίσωση με μια μη αρνητική συνάρτηση y = g(x) μας οδηγεί στην ακόλουθη διπλή ανίσωση. Ενσωματώνοντάς το στο διάστημα , φτάνουμε στη δήλωση που αποδεικνύεται.

Στο διαφορικό λογισμό το πρόβλημα λύνεται: κάτω από αυτή τη συνάρτηση ƒ(x) βρείτε την παράγωγό της(ή διαφορικό). Ο ολοκληρωτικός λογισμός λύνει το αντίστροφο πρόβλημα: βρείτε τη συνάρτηση F(x), γνωρίζοντας την παράγωγό της F "(x)=ƒ(x) (ή διαφορικό). Η αναζητούμενη συνάρτηση F(x) ονομάζεται αντιπαράγωγος της συνάρτησης ƒ(x ).

Καλείται η συνάρτηση F(x). αντιπαράγωγοσυνάρτηση ƒ(x) στο διάστημα (a; b), εάν για οποιοδήποτε x є (a; β) η ισότητα

F "(x)=ƒ(x) (ή dF(x)=ƒ(x)dx).

Για παράδειγμα, η αντιπαράγωγος της συνάρτησης y = x 2, x є R, είναι η συνάρτηση, αφού

Προφανώς, τυχόν συναρτήσεις θα είναι επίσης αντιπαράγωγα

όπου το C είναι σταθερά, αφού

Θεώρημα 29. 1. Αν η συνάρτηση F(x) είναι αντιπαράγωγος της συνάρτησης ƒ(x) στο (a;b), τότε το σύνολο όλων των αντιπαραγώγων για το ƒ(x) δίνεται από τον τύπο F(x)+ C, όπου C είναι ένας σταθερός αριθμός.

▲ Η συνάρτηση F(x)+C είναι αντιπαράγωγο του ƒ(x).

Πράγματι, (F(x)+C) " =F" (x)=ƒ(x).

Έστω Φ(x) κάποιο άλλο, διαφορετικό από το F(x), αντιπαράγωγο της συνάρτησης ƒ(x), δηλ. Ф "(x)=ƒ(х). Τότε για οποιοδήποτε x є (а;b) έχουμε

Και αυτό σημαίνει (βλ. Συμπέρασμα 25.1) ότι

όπου C είναι ένας σταθερός αριθμός. Επομένως, Ф(x)=F(x)+С.▼

Το σύνολο όλων των αντιπαραγώγων συναρτήσεων F(x)+С για το ƒ(x) ονομάζεται αόριστο ολοκλήρωμα της συνάρτησης ƒ(x)και συμβολίζεται με το σύμβολο ∫ ƒ(x) dx.

Έτσι, εξ ορισμού

∫ ƒ(x)dx= F(x)+C.

Εδώ ονομάζεται ƒ(x). συνάρτηση ολοκλήρωσης, ƒ(x)dx — ολοκληρωμένη έκφραση,Χ - μεταβλητή ολοκλήρωσης, ∫ -σημάδι του αορίστου ολοκληρώματος.

Η πράξη εύρεσης του αόριστου ολοκληρώματος μιας συνάρτησης ονομάζεται ολοκλήρωση αυτής της συνάρτησης.

Γεωμετρικά, το αόριστο ολοκλήρωμα είναι μια οικογένεια «παράλληλων» καμπυλών y=F(x)+C (κάθε αριθμητική τιμή του C αντιστοιχεί σε μια συγκεκριμένη καμπύλη της οικογένειας) (βλ. Εικ. 166). Η γραφική παράσταση κάθε αντιπαραγώγου (καμπύλη) ονομάζεται ολοκληρωμένη καμπύλη.

Κάθε συνάρτηση έχει ένα αόριστο ολοκλήρωμα;

Υπάρχει ένα θεώρημα που δηλώνει ότι «κάθε συνάρτηση συνεχής στο (a;b) έχει μια αντιπαράγωγο σε αυτό το διάστημα» και, κατά συνέπεια, ένα αόριστο ολοκλήρωμα.

Ας σημειώσουμε μια σειρά από ιδιότητες του αόριστου ολοκληρώματος που προκύπτουν από τον ορισμό του.

1. Το διαφορικό του αόριστου ολοκληρώματος είναι ίσο με το ολοκλήρωμα και η παράγωγος του αορίστου ολοκληρώματος ισούται με το ολοκλήρωμα:

ρε(∫ ƒ(x)dx)=ƒ(x)dх, (∫ ƒ(x)dx) " =ƒ(x).

Πράγματι, d(∫ ƒ(x) dx)=d(F(x)+C)=dF(x)+d(C)=F " (x) dx =ƒ(x) dx

(∫ ƒ (x) dx) " =(F(x)+C)"=F"(x)+0 =ƒ (x).

Χάρη σε αυτή την ιδιότητα, η ορθότητα της ολοκλήρωσης ελέγχεται με διαφοροποίηση. Για παράδειγμα, η ισότητα

∫(3x 2 + 4) dx=х z +4х+С

αληθές, αφού (x 3 +4x+C)"=3x 2 +4.

2. Το αόριστο ολοκλήρωμα του διαφορικού μιας ορισμένης συνάρτησης είναι ίσο με το άθροισμα αυτής της συνάρτησης και μιας αυθαίρετης σταθεράς:

∫dF(x)= F(x)+C.

Πραγματικά,

3. Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το ολοκλήρωμα:

α ≠ 0 είναι σταθερά.

Πραγματικά,

(βάλε C 1 / a = C.)

4. Το αόριστο ολοκλήρωμα του αλγεβρικού αθροίσματος ενός πεπερασμένου αριθμού συνεχών συναρτήσεων ισούται με το αλγεβρικό άθροισμα των ολοκληρωμάτων των αθροισμάτων των συναρτήσεων:

Έστω F"(x)=ƒ(x) και G"(x)=g(x). Επειτα

όπου C 1 ±C 2 =C.

5. (Αμετάβλητο του τύπου ολοκλήρωσης).

Αν , όπου u=φ(x) είναι αυθαίρετη συνάρτηση με συνεχή παράγωγο.

▲ Έστω x ανεξάρτητη μεταβλητή, ƒ(x) συνεχής συνάρτηση και F(x) αντιπαράγωγός της. Επειτα

Ας ορίσουμε τώρα u=φ(x), όπου η φ(x) είναι μια συνεχώς διαφοροποιήσιμη συνάρτηση. Θεωρήστε τη μιγαδική συνάρτηση F(u)=F(φ(x)). Λόγω της αμετάβλητης μορφής του πρώτου διαφορικού της συνάρτησης (βλ. σελ. 160), έχουμε

Από εδώ ▼

Έτσι, ο τύπος για το αόριστο ολοκλήρωμα παραμένει έγκυρος ανεξάρτητα από το αν η μεταβλητή της ολοκλήρωσης είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή ή οποιαδήποτε συνάρτησή της που έχει συνεχή παράγωγο.

Έτσι, από τη φόρμουλα αντικαθιστώντας το x με u (u=φ(x)) παίρνουμε

Συγκεκριμένα,

Παράδειγμα 29.1.Βρείτε το ολοκλήρωμα

όπου C=C1+C 2 +C 3 +C 4.

Παράδειγμα 29.2.Βρείτε την ολοκληρωμένη λύση:

29.3. Πίνακας βασικών αόριστων ολοκληρωμάτων

Εκμεταλλευόμενος το γεγονός ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη δράση της διαφοροποίησης, μπορεί κανείς να αποκτήσει έναν πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων αντιστρέφοντας τους αντίστοιχους τύπους διαφορικού λογισμού (πίνακας διαφορικών) και χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του αόριστου ολοκληρώματος.

Για παράδειγμα, επειδή

d(sin u)=cos u . du

Η εξαγωγή ενός αριθμού τύπων στον πίνακα θα δοθεί κατά την εξέταση των βασικών μεθόδων ολοκλήρωσης.

Τα ολοκληρώματα στον παρακάτω πίνακα ονομάζονται πίνακα. Πρέπει να είναι γνωστά από καρδιάς. Στον ολοκληρωτικό λογισμό δεν υπάρχουν απλοί και καθολικοί κανόνες για την εύρεση αντιπαραγώγων στοιχειωδών συναρτήσεων, όπως στον διαφορικό λογισμό. Οι μέθοδοι εύρεσης αντιπαραγώγων (δηλαδή, η ολοκλήρωση μιας συνάρτησης) περιορίζονται στην ένδειξη τεχνικών που φέρνουν ένα δεδομένο (αναζήτητο) αναπόσπαστο σε ένα πίνακα. Επομένως, είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε ολοκληρώματα πίνακα και να μπορούμε να τα αναγνωρίζουμε.

Σημειώστε ότι στον πίνακα των βασικών ολοκληρωμάτων, η μεταβλητή ολοκλήρωσης μπορεί να υποδηλώνει τόσο μια ανεξάρτητη μεταβλητή όσο και μια συνάρτηση της ανεξάρτητης μεταβλητής (σύμφωνα με την ιδιότητα αμετάβλητης του τύπου ολοκλήρωσης).

Η εγκυρότητα των παρακάτω τύπων μπορεί να επαληθευτεί λαμβάνοντας το διαφορικό στη δεξιά πλευρά, το οποίο θα είναι ίσο με το ολοκλήρωμα στην αριστερή πλευρά του τύπου.

Ας αποδείξουμε, για παράδειγμα, την εγκυρότητα του τύπου 2. Η συνάρτηση 1/u είναι καθορισμένη και συνεχής για όλες τις τιμές του και εκτός του μηδενός.

Αν u > 0, τότε ln|u|=lnu, τότε Να γιατί

Εαν εσύ<0, то ln|u|=ln(-u). НоΠου σημαίνει

Άρα, ο τύπος 2 είναι σωστός. Ομοίως, ας ελέγξουμε τον τύπο 15:

Πίνακας κύριων ολοκληρωμάτων

Οι φιλοι! Σας προσκαλούμε να συζητήσουμε. Αν έχετε τη δική σας άποψη, γράψτε μας στα σχόλια.

Αυτές οι ιδιότητες χρησιμοποιούνται για τον μετασχηματισμό του ολοκληρώματος με σκοπό την αναγωγή του σε ένα από τα στοιχειώδη ολοκληρώματα και περαιτέρω υπολογισμό.

1. Η παράγωγος του αορίστου ολοκληρώματος ισούται με το ολοκλήρωμα:

2. Το διαφορικό του αόριστου ολοκληρώματος ισούται με το ολοκλήρωμα:

3. Το αόριστο ολοκλήρωμα του διαφορικού μιας ορισμένης συνάρτησης είναι ίσο με το άθροισμα αυτής της συνάρτησης και μιας αυθαίρετης σταθεράς:

4. Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το ολοκλήρωμα:

Επιπλέον, ένα ≠ 0

5. Το ολοκλήρωμα του αθροίσματος (διαφορά) ισούται με το άθροισμα (διαφορά) των ολοκληρωμάτων:

6. Η ιδιοκτησία είναι ένας συνδυασμός των ιδιοτήτων 4 και 5:

Επιπλέον, a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Αμετάβλητη ιδιότητα του αορίστου ολοκληρώματος:

Αν τότε

8. Ιδιότητα:

Αν τότε

Στην πραγματικότητα, αυτή η ιδιότητα είναι μια ειδική περίπτωση ολοκλήρωσης με τη χρήση της μεθόδου μεταβλητής αλλαγής, η οποία αναλύεται λεπτομερέστερα στην επόμενη ενότητα.

Ας δούμε ένα παράδειγμα:

Πρώτα εφαρμόσαμε την ιδιότητα 5, μετά την ιδιότητα 4, μετά χρησιμοποιήσαμε τον πίνακα των αντιπαραγώγων και πήραμε το αποτέλεσμα.

Ο αλγόριθμος της ηλεκτρονικής μας αριθμομηχανής ολοκληρωμάτων υποστηρίζει όλες τις ιδιότητες που αναφέρονται παραπάνω και θα βρει εύκολα μια λεπτομερή λύση για το ολοκλήρωσό σας.

Αντιπαράγωγο και αόριστο ολοκλήρωμα.

Μια αντιπαράγωγος μιας συνάρτησης f(x) στο διάστημα (a; b) είναι μια συνάρτηση F(x) τέτοια ώστε η ισότητα να ισχύει για οποιοδήποτε x από το δεδομένο διάστημα.

Αν λάβουμε υπόψη το γεγονός ότι η παράγωγος της σταθεράς C είναι ίση με μηδέν, τότε η ισότητα είναι αληθής . Έτσι, η συνάρτηση f(x) έχει ένα σύνολο αντιπαραγώγων F(x)+C, για μια αυθαίρετη σταθερά C, και αυτά τα αντιπαράγωγα διαφέρουν μεταξύ τους κατά μια αυθαίρετη σταθερή τιμή.

Ολόκληρο το σύνολο των αντιπαραγώγων της συνάρτησης f(x) ονομάζεται αόριστο ολοκλήρωμα αυτής της συνάρτησης και συμβολίζεται .

Η έκφραση ονομάζεται ολοκλήρωμα και η f(x) ονομάζεται ολοκλήρωμα. Το ολοκλήρωμα αντιπροσωπεύει το διαφορικό της συνάρτησης f(x).

Η ενέργεια εύρεσης μιας άγνωστης συνάρτησης δεδομένης της διαφοράς της ονομάζεται αόριστη ολοκλήρωση, επειδή το αποτέλεσμα της ολοκλήρωσης δεν είναι μία συνάρτηση F(x), αλλά ένα σύνολο από τα αντιπαράγωγά της F(x)+C.

Ολοκληρώματα πίνακα

Οι απλούστερες ιδιότητες των ολοκληρωμάτων

1. Η παράγωγος του αποτελέσματος της ολοκλήρωσης είναι ίση με το ολοκλήρωμα.

2. Το αόριστο ολοκλήρωμα του διαφορικού μιας συνάρτησης ισούται με το άθροισμα της ίδιας της συνάρτησης και μιας αυθαίρετης σταθεράς.

3. Ο συντελεστής μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο του αορίστου ολοκληρώματος.

4. Το αόριστο ολοκλήρωμα του αθροίσματος/διαφοράς συναρτήσεων ισούται με το άθροισμα/διαφορά των αόριστων ολοκληρωμάτων συναρτήσεων.

Δίνονται ενδιάμεσες ισότητες της πρώτης και της δεύτερης ιδιότητας του αορίστου ολοκληρώματος για διευκρίνιση.

Για να αποδείξουμε την τρίτη και την τέταρτη ιδιότητες, αρκεί να βρούμε τις παραγώγους των δεξιών πλευρών των ισοτήτων:

Αυτές οι παράγωγοι είναι ίσες με τα ολοκληρώματα, κάτι που αποτελεί απόδειξη λόγω της πρώτης ιδιότητας. Χρησιμοποιείται επίσης στις τελευταίες μεταβάσεις.

Έτσι, το πρόβλημα της ολοκλήρωσης είναι το αντίστροφο του προβλήματος της διαφοροποίησης, και υπάρχει μια πολύ στενή σύνδεση μεταξύ αυτών των προβλημάτων:

Η πρώτη ιδιότητα επιτρέπει σε κάποιον να ελέγξει την ενοποίηση. Για να ελέγξετε την ορθότητα της ολοκλήρωσης που εκτελέστηκε, αρκεί να υπολογίσετε την παράγωγο του ληφθέντος αποτελέσματος. Εάν η συνάρτηση που προκύπτει ως αποτέλεσμα της διαφοροποίησης αποδειχθεί ίση με το ολοκλήρωμα, αυτό θα σημαίνει ότι η ολοκλήρωση πραγματοποιήθηκε σωστά.

η δεύτερη ιδιότητα του αόριστου ολοκληρώματος επιτρέπει σε κάποιον να βρει την αντιπαράγωγό του από ένα γνωστό διαφορικό μιας συνάρτησης. Ο άμεσος υπολογισμός των αόριστων ολοκληρωμάτων βασίζεται σε αυτή την ιδιότητα.

1.4.Αμετάβλητο των μορφών ολοκλήρωσης.

Η αναλλοίωτη ολοκλήρωση είναι ένας τύπος ολοκλήρωσης για συναρτήσεις των οποίων τα ορίσματα είναι στοιχεία μιας ομάδας ή σημεία ενός ομοιογενούς χώρου (οποιοδήποτε σημείο σε έναν τέτοιο χώρο μπορεί να μεταφερθεί σε άλλο με μια δεδομένη ενέργεια της ομάδας).

Η συνάρτηση f(x) ανάγεται στον υπολογισμό του ολοκληρώματος της διαφορικής μορφής f.w, όπου

Ένας σαφής τύπος για το r(x) δίνεται παρακάτω. Ο όρος συμφωνίας έχει τη μορφή .

εδώ Tg σημαίνει τον τελεστή μετατόπισης στο X χρησιμοποιώντας gОG: Tgf(x)=f(g-1x). Έστω X=G μια τοπολογία, μια ομάδα που ενεργεί στον εαυτό της με αριστερές μετατοπίσεις. Εγώ και. υπάρχει εάν και μόνο εάν το G είναι τοπικά συμπαγές (ιδίως, σε ομάδες απεριόριστων διαστάσεων I.I. δεν υπάρχει). Για ένα υποσύνολο του I. και. Η χαρακτηριστική συνάρτηση cA (ίση με 1 στο A και 0 έξω από το A) καθορίζει το αριστερό μέτρο Xaar m(A). Η καθοριστική ιδιότητα αυτού του μέτρου είναι η αναλλοίωσή του στις αριστερές μετατοπίσεις: m(g-1A)=m(A) για όλα τα gОG. Το αριστερό μέτρο Haar σε μια ομάδα ορίζεται μοναδικά μέχρι έναν θετικό βαθμωτό παράγοντα. Αν το μέτρο Haar m είναι γνωστό, τότε I. και. Η συνάρτηση f δίνεται από τον τύπο . Το σωστό μέτρο Haar έχει παρόμοιες ιδιότητες. Υπάρχει ένας συνεχής ομομορφισμός (χάρτης που διατηρεί την ιδιότητα της ομάδας) ΓΔ της ομάδας G στη θέση της ομάδας (σε σχέση με τον πολλαπλασιασμό). αριθμοί για τους οποίους

όπου dmr και dmi είναι τα δεξιά και τα αριστερά μέτρα Haar. Καλείται η συνάρτηση DG(g). ενότητα της ομάδας G. Αν , τότε καλείται η ομάδα G. μονόμορφο? σε αυτή την περίπτωση το δεξί και το αριστερό μέτρο Haar συμπίπτουν. Οι συμπαγείς, ημιαπλές και μη δυναμικές (ιδιαίτερα, οι ανταλλάξιμες) ομάδες είναι μονομορφικές. Εάν το G είναι μια n-διάστατη ομάδα Lie και το q1,...,qn είναι μια βάση στο χώρο των αριστερών αμετάβλητων μορφών 1 στο G, τότε το αριστερό μέτρο Haar στο G δίνεται από τη μορφή n. Σε τοπικές συντεταγμένες για υπολογισμό

σχηματίζει qi, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε οποιαδήποτε υλοποίηση πίνακα της ομάδας G: ο πίνακας 1-μορφής g-1dg παραμένει αμετάβλητος και ο συντελεστής του. είναι αριστερές-αμετάβλητες βαθμωτές 1-μορφές από τις οποίες επιλέγεται η απαιτούμενη βάση. Για παράδειγμα, η πλήρης ομάδα μήτρας GL(n, R) είναι μονομορφική και το μέτρο Haar σε αυτήν δίνεται από τη μορφή. Αφήνω Το X=G/H είναι ένας ομοιογενής χώρος για τον οποίο η τοπικά συμπαγής ομάδα G είναι μια ομάδα μετασχηματισμού και η κλειστή υποομάδα H είναι ο σταθεροποιητής ενός συγκεκριμένου σημείου. Για να υπάρχει ένα i.i στο X, είναι απαραίτητο και αρκετό για όλα τα hΟH να ισχύει η ισότητα DG(h)=DH(h). Ειδικότερα, αυτό ισχύει στην περίπτωση που το H είναι συμπαγές ή ημιαπλό. Πλήρης θεωρία του Ι. και. δεν υπάρχει σε πολλαπλές άπειρων διαστάσεων.

Αντικατάσταση μεταβλητών.

Το κύριο καθήκον του διαφορικού λογισμούείναι να βρούμε την παράγωγο φά'(Χ)ή διαφορικό df=φά'(Χ)dxλειτουργίες φά(Χ).Στον ολοκληρωτικό λογισμό λύνεται το αντίστροφο πρόβλημα. Σύμφωνα με μια δεδομένη συνάρτηση φά(Χ) πρέπει να βρείτε μια τέτοια συνάρτηση ΦΑ(Χ),Τι F'(x)=φά(Χ)ή dF(x)=ΦΑ'(Χ)dx=φά(Χ)dx.

Ετσι, το κύριο καθήκον του ολοκληρωτικού λογισμούείναι η αποκατάσταση της λειτουργίας ΦΑ(Χ)από τη γνωστή παράγωγο (διαφορικό) αυτής της συνάρτησης. Ο ολοκληρωτικός λογισμός έχει πολυάριθμες εφαρμογές στη γεωμετρία, τη μηχανική, τη φυσική και την τεχνολογία. Δίνει μια γενική μέθοδο εύρεσης περιοχών, όγκων, κέντρων βάρους κ.λπ.

Ορισμός. ΛειτουργίαΦΑ(x), , ονομάζεται αντιπαράγωγος της συνάρτησηςφά(x) στο σύνολο X αν είναι διαφορίσιμο για οποιοδήποτε καιΦΑ'(x)=φά(x) ήdF(x)=φά(Χ)dx.

Θεώρημα. Οποιαδήποτε συνεχής γραμμή στο διάστημα [ένα;β] λειτουργίαφά(x) έχει ένα αντιπαράγωγο σε αυτό το τμήμαF(x).

Θεώρημα. ΑνF 1 (x) καιF 2 (x) – δύο διαφορετικά αντιπαράγωγα της ίδιας συνάρτησηςφά(x) στο σύνολο x, τότε διαφέρουν μεταξύ τους κατά σταθερό όρο, δηλ.F 2 (x)=F 1x)+C, όπου το C είναι σταθερά.

Αόριστο ολοκλήρωμα, οι ιδιότητές του.

Ορισμός. ΟλότηταΦΑ(x)+Από όλες τις αντιπαράγωγες συναρτήσειςφά(x) στο σύνολο Χ λέγεται αόριστο ολοκλήρωμα και συμβολίζεται:

- (1)

Στον τύπο (1) φά(Χ)dxπου ονομάζεται ολοκληρωμένη έκφραση,φά(x) – συνάρτηση ολοκλήρωσης, x – μεταβλητή ολοκλήρωσης,ΕΝΑ C – σταθερά ολοκλήρωσης.

Ας εξετάσουμε τις ιδιότητες του αόριστου ολοκληρώματος που απορρέουν από τον ορισμό του.

1. Η παράγωγος του αόριστου ολοκληρώματος είναι ίση με το ολοκλήρωμα, το διαφορικό του αόριστου ολοκληρώματος ισούται με το ολοκλήρωμα:

Και .

3. Ο σταθερός παράγοντας a (a≠0) μπορεί να ληφθεί ως πρόσημο του αόριστου ολοκληρώματος:

4. Το αόριστο ολοκλήρωμα του αλγεβρικού αθροίσματος ενός πεπερασμένου αριθμού συναρτήσεων είναι ίσο με το αλγεβρικό άθροισμα των ολοκληρωμάτων αυτών των συναρτήσεων:

5. ΑνΦΑ(x) – αντιπαράγωγο της συνάρτησηςφά(x), τότε:

6 (αμετάβλητο των τύπων ολοκλήρωσης). Οποιοσδήποτε τύπος ολοκλήρωσης διατηρεί τη μορφή του εάν η μεταβλητή ολοκλήρωσης αντικατασταθεί από οποιαδήποτε διαφοροποιήσιμη συνάρτηση αυτής της μεταβλητής:

ΟπουΤο u είναι μια διαφοροποιήσιμη συνάρτηση.

Πίνακας αόριστων ολοκληρωμάτων.

Ας δώσουμε βασικοί κανόνες για την ενοποίηση συναρτήσεων.

Ας δώσουμε πίνακας βασικών αόριστων ολοκληρωμάτων.(Σημειώστε ότι εδώ, όπως και στον διαφορικό λογισμό, το γράμμα uμπορεί να οριστεί ως ανεξάρτητη μεταβλητή (u=Χ), και συνάρτηση της ανεξάρτητης μεταβλητής (u=u(Χ)).)

(n≠-1). (a >0, a≠1). (a≠0). (a≠0). (|u| > |a|).(|u|< |a|).

Τα ολοκληρώματα 1 – 17 ονομάζονται πινακοειδής.

Ορισμένοι από τους παραπάνω τύπους στον πίνακα των ολοκληρωμάτων, οι οποίοι δεν έχουν ανάλογο στον πίνακα των παραγώγων, επαληθεύονται με διαφοροποίηση των δεξιών πλευρών τους.

Αλλαγή μεταβλητής και ολοκλήρωση κατά μέρη στο αόριστο ολοκλήρωμα.

Ενσωμάτωση με αντικατάσταση (μεταβλητή αντικατάσταση). Ας είναι απαραίτητο να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

, το οποίο δεν είναι πίνακας. Η ουσία της μεθόδου αντικατάστασης είναι ότι στο ολοκλήρωμα η μεταβλητή Χαντικαταστήστε με μια μεταβλητή tσύμφωνα με τον τύπο x=φ(t),που dx=φ'(t)dt.

Θεώρημα. Αφήστε τη λειτουργίαx=φ(t) ορίζεται και διαφοροποιείται σε ένα συγκεκριμένο σύνολο T και έστω X το σύνολο τιμών αυτής της συνάρτησης στο οποίο ορίζεται η συνάρτησηφά(Χ). Τότε αν στο σύνολο Χ η συνάρτησηφά(