Πεπερασμένη παράγωγος. Μηχανική και γεωμετρική σημασία

Ορισμός.Έστω η συνάρτηση \(y = f(x) \) να οριστεί σε ένα συγκεκριμένο διάστημα που περιέχει το σημείο \(x_0\) μέσα της. Ας δώσουμε στο όρισμα μια αύξηση \(\Delta x \) έτσι ώστε να μην φεύγει από αυτό το διάστημα. Ας βρούμε την αντίστοιχη αύξηση της συνάρτησης \(\Delta y \) (όταν μετακινούμαστε από το σημείο \(x_0 \) στο σημείο \(x_0 + \Delta x \)) και ας συνθέσουμε τη σχέση \(\frac(\Delta y)(\Δέλτα x) \). Εάν υπάρχει ένα όριο σε αυτόν τον λόγο στο \(\Δέλτα x \δεξιό βέλος 0\), τότε το καθορισμένο όριο καλείται παράγωγο συνάρτησης\(y=f(x) \) στο σημείο \(x_0 \) και δηλώνει \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Το σύμβολο y χρησιμοποιείται συχνά για να δηλώσει την παράγωγο Σημειώστε ότι η y" = f(x) είναι μια νέα συνάρτηση, αλλά φυσικά σχετίζεται με τη συνάρτηση y = f(x), που ορίζεται σε όλα τα σημεία x στα οποία υπάρχει το παραπάνω όριο. Αυτή η συνάρτηση ονομάζεται ως εξής: παράγωγος της συνάρτησης y = f(x).

Γεωμετρική σημασίαπαράγωγοείναι όπως ακολουθεί. Αν είναι δυνατόν να σχεδιάσουμε μια εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x) στο σημείο με τετμημένη x=a, που δεν είναι παράλληλη με τον άξονα y, τότε η f(a) εκφράζει την κλίση της εφαπτομένης. :
\(k = f"(a)\)

Εφόσον \(k = tg(a) \), τότε η ισότητα \(f"(a) = tan(a) \) είναι αληθής.

Τώρα ας ερμηνεύσουμε τον ορισμό της παραγώγου από την άποψη των κατά προσέγγιση ισοτήτων. Έστω η συνάρτηση \(y = f(x)\) να έχει παράγωγο σε ένα συγκεκριμένο σημείο \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Αυτό σημαίνει ότι κοντά στο σημείο x η κατά προσέγγιση ισότητα \(\frac(\Δέλτα y)(\Δέλτα x) \περίπου f"(x)\), δηλ. \(\Δέλτα y \περίπου f"(x) \cdot\ Δέλτα x\). Η ουσιαστική σημασία της προκύπτουσας κατά προσέγγιση ισότητας είναι η εξής: η αύξηση της συνάρτησης είναι «σχεδόν ανάλογη» με την αύξηση του ορίσματος και ο συντελεστής αναλογικότητας είναι η τιμή της παραγώγου στο δεδομένο σημείοΧ. Για παράδειγμα, για τη συνάρτηση \(y = x^2\) ισχύει η κατά προσέγγιση ισότητα \(\Delta y \περίπου 2x \cdot \Delta x \). Αν αναλύσουμε προσεκτικά τον ορισμό μιας παραγώγου, θα διαπιστώσουμε ότι περιέχει έναν αλγόριθμο για την εύρεση της.

Ας το διατυπώσουμε.

Πώς να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = f(x);

1. Διορθώστε την τιμή του \(x\), βρείτε το \(f(x)\)
2. Δώστε στο όρισμα \(x\) μια αύξηση \(\Delta x\), μεταβείτε στο νέο σημείο\(x+ \Delta x \), βρείτε \(f(x+ \Delta x) \)
3. Βρείτε την αύξηση της συνάρτησης: \(\Δέλτα y = f(x + \Δέλτα x) - f(x) \)
4. Δημιουργήστε τη σχέση \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Υπολογίστε $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Αυτό το όριο είναι η παράγωγος της συνάρτησης στο σημείο x.

Αν μια συνάρτηση y = f(x) έχει παράγωγο σε ένα σημείο x, τότε ονομάζεται διαφοροποιήσιμη σε ένα σημείο x. Η διαδικασία εύρεσης της παραγώγου της συνάρτησης y = f(x) ονομάζεται ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΤΗΤΑ-διάκρισησυναρτήσεις y = f(x).

Ας συζητήσουμε το εξής ερώτημα: πώς σχετίζονται μεταξύ τους η συνέχεια και η διαφοροποίηση μιας συνάρτησης σε ένα σημείο;

Έστω η συνάρτηση y = f(x) διαφορίσιμη στο σημείο x. Στη συνέχεια, μια εφαπτομένη μπορεί να σχεδιαστεί στη γραφική παράσταση της συνάρτησης στο σημείο M(x; f(x)), και, θυμηθείτε, ο γωνιακός συντελεστής της εφαπτομένης είναι ίσος με f "(x). Ένα τέτοιο γράφημα δεν μπορεί να "σπάσει" στο σημείο Μ, δηλαδή η συνάρτηση πρέπει να είναι συνεχής στο σημείο x.

Αυτά ήταν «πρακτικά» επιχειρήματα. Ας δώσουμε έναν πιο αυστηρό συλλογισμό. Αν η συνάρτηση y = f(x) είναι διαφοροποιήσιμη στο σημείο x, τότε ισχύει η κατά προσέγγιση ισότητα \(\Δέλτα y \περίπου f"(x) \cdot \Δέλτα x\). Εάν σε αυτήν την ισότητα \(\Δέλτα x \) τείνει στο μηδέν, τότε το \(\Delta y \) θα τείνει στο μηδέν, και αυτή είναι η προϋπόθεση για τη συνέχεια της συνάρτησης σε ένα σημείο.

Ετσι, αν μια συνάρτηση είναι διαφορίσιμη σε ένα σημείο x, τότε είναι συνεχής σε αυτό το σημείο.

Η αντίστροφη δήλωση δεν είναι αληθινή. Για παράδειγμα: συνάρτηση y = |x| είναι συνεχής παντού, ιδιαίτερα στο σημείο x = 0, αλλά η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης στο «σημείο διασταύρωσης» (0; 0) δεν υπάρχει. Αν κάποια στιγμή δεν μπορεί να σχεδιαστεί μια εφαπτομένη στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης, τότε η παράγωγος δεν υπάρχει σε αυτό το σημείο.

Ένα ακόμη παράδειγμα. Η συνάρτηση \(y=\sqrt(x)\) είναι συνεχής σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή, συμπεριλαμβανομένου του σημείου x = 0. Και η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης υπάρχει σε οποιοδήποτε σημείο, συμπεριλαμβανομένου του σημείου x = 0 Αλλά σε αυτό το σημείο η εφαπτομένη συμπίπτει με τον άξονα y, δηλ. είναι κάθετη στον άξονα της τετμημένης, η εξίσωσή της έχει τη μορφή x = 0. Μια τέτοια ευθεία δεν έχει συντελεστή γωνίας, που σημαίνει ότι \(f. "(0)\) δεν υπάρχει.

Έτσι, γνωρίσαμε μια νέα ιδιότητα μιας συνάρτησης - τη διαφοροποίηση. Πώς μπορεί κανείς να συμπεράνει από τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης ότι είναι διαφοροποιήσιμη;

Η απάντηση στην πραγματικότητα δίνεται παραπάνω. Εάν σε κάποιο σημείο είναι δυνατό να σχεδιάσουμε μια εφαπτομένη στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης που δεν είναι κάθετη στον άξονα της τετμημένης, τότε σε αυτό το σημείο η συνάρτηση είναι διαφοροποιήσιμη. Αν σε κάποιο σημείο η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης δεν υπάρχει ή είναι κάθετη στον άξονα της τετμημένης, τότε σε αυτό το σημείο η συνάρτηση δεν είναι διαφορίσιμη.

Κανόνες διαφοροποίησης

Η πράξη εύρεσης της παραγώγου ονομάζεται ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΤΗΤΑ-διάκριση. Κατά την εκτέλεση αυτής της λειτουργίας, συχνά πρέπει να εργαστείτε με πηλίκα, αθροίσματα, γινόμενα συναρτήσεων, καθώς και "συναρτήσεις συναρτήσεων", δηλαδή σύνθετες συναρτήσεις. Με βάση τον ορισμό της παραγώγου, μπορούμε να εξαγάγουμε κανόνες διαφοροποίησης που διευκολύνουν αυτήν την εργασία. Αν C - σταθερός αριθμόςκαι f=f(x), g=g(x) είναι μερικές διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις, τότε ισχύουν τα ακόλουθα κανόνες διαφοροποίησης:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Παράγωγο σύνθετη λειτουργία:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Πίνακας παραγώγων ορισμένων συναρτήσεων

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\n a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\κείμενο(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

Κατά την επίλυση διαφόρων προβλημάτων γεωμετρίας, μηχανικής, φυσικής και άλλων κλάδων γνώσης, προέκυψε η ανάγκη χρήσης της ίδιας αναλυτικής διαδικασίας από αυτή τη συνάρτηση y=f(x)λαμβάνω νέο χαρακτηριστικόη οποία ονομάζεται παράγωγη συνάρτηση(ή απλά παράγωγος) μιας δεδομένης συνάρτησης f(x)και δηλώνεται με το σύμβολο

Η διαδικασία με την οποία από μια δεδομένη συνάρτηση f(x)αποκτήστε μια νέα δυνατότητα f" (x), που ονομάζεται ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΤΗΤΑ-διάκρισηκαι αποτελείται από τα ακόλουθα τρία βήματα: 1) δώστε το επιχείρημα Χαύξηση  Χκαι να προσδιορίσετε την αντίστοιχη αύξηση της συνάρτησης  y = f(x+ x) -f(x); 2) συνθέτουν μια σχέση

3) καταμέτρηση Χσταθερό και  Χ0, βρίσκουμε
, το οποίο συμβολίζουμε με f" (x), σαν να τονίζει ότι η συνάρτηση που προκύπτει εξαρτάται μόνο από την τιμή Χ, στο οποίο φτάνουμε στο όριο. Ορισμός: Παράγωγο y " =f " (x) δίνεται η συνάρτηση y=f(x) για ένα δεδομένο xονομάζεται όριο του λόγου της αύξησης μιας συνάρτησης προς την αύξηση του ορίσματος, με την προϋπόθεση ότι η αύξηση του ορίσματος τείνει στο μηδέν, αν, φυσικά, υπάρχει αυτό το όριο, δηλ. πεπερασμένος.
Ετσι,

, ή ΧΣημειώστε ότι εάν σε κάποια τιμή , για παράδειγμα όταν x=a
, στάση  Χστο  0 δεν τείνει ναπεπερασμένο όριο f(x), τότε σε αυτή την περίπτωση λένε ότι η συνάρτηση , για παράδειγμα ότανστο , για παράδειγμα όταν) δεν έχει παράγωγο ή δεν είναι διαφοροποιήσιμο στο σημείο , για παράδειγμα όταν.

2. Γεωμετρική σημασία της παραγώγου.

Θεωρήστε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f (x), διαφοροποιήσιμη στην περιοχή του σημείου x 0

f(x)

Ας θεωρήσουμε μια αυθαίρετη ευθεία που διέρχεται από ένα σημείο της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης - σημείο A(x 0, f (x 0)) και τέμνει τη γραφική παράσταση σε κάποιο σημείο B(x;f(x)). Μια τέτοια γραμμή (ΑΒ) ονομάζεται διατομή. Από το ∆ABC: ​​AC = ∆x; BC =∆у; tgβ=∆y/∆x.

Αφού AC || Ox, τότε ALO = BAC = β (όπως αντιστοιχεί για παράλληλο). Αλλά ALO είναι η γωνία κλίσης της τομής ΑΒ προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα Ox. Αυτό σημαίνει ότι tanβ = k είναι ο γωνιακός συντελεστής της ευθείας ΑΒ.

Τώρα θα μειώσουμε το ∆х, δηλ. ∆х→ 0. Στην περίπτωση αυτή, το σηµείο Β θα πλησιάσει το σηµείο Α σύµφωνα µε το γράφηµα και η τοµή ΑΒ θα περιστραφεί. Η οριακή θέση της τέμνουσας ΑΒ στο Δx→ 0 θα είναι μια ευθεία γραμμή (a), που ονομάζεται εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f (x) στο σημείο Α.

Αν πάμε στο όριο ως Δx → 0 στην ισότητα tgβ =Δy/Δx, παίρνουμε
ortg =f "(x 0), αφού
-γωνία κλίσης της εφαπτομένης στη θετική φορά του άξονα Ox
, εξ ορισμού παραγώγου. Αλλά tg = k είναι ο γωνιακός συντελεστής της εφαπτομένης, που σημαίνει k = tg = f "(x 0).

Άρα, η γεωμετρική σημασία της παραγώγου είναι η εξής:

Παράγωγος συνάρτησης στο σημείο x 0 ίσο με κλίσηεφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης που σχεδιάζεται στο σημείο με την τετμημένη x 0 .

3. Φυσική έννοια του παραγώγου.

Εξετάστε την κίνηση ενός σημείου κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής. Έστω η συντεταγμένη ενός σημείου ανά πάσα στιγμή x(t). Είναι γνωστό (από ένα μάθημα φυσικής) ότι η μέση ταχύτητα σε μια χρονική περίοδο είναι ίση με την αναλογία της απόστασης που διανύθηκε κατά τη διάρκεια αυτής της χρονικής περιόδου προς το χρόνο, δηλ.

Vav = ∆x/∆t. Ας πάμε στο όριο στην τελευταία ισότητα ως Δt → 0.

lim Vav (t) = (t 0) - στιγμιαία ταχύτητατη χρονική στιγμή t 0, Δt → 0.

και lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (εξ ορισμού της παραγώγου).

Άρα, (t) =x"(t).

Η φυσική σημασία της παραγώγου είναι η εξής: παράγωγος της συνάρτησηςy = φά(Χ) στο σημείοΧ 0 είναι ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησηςφά(x) στο σημείοΧ 0

Η παράγωγος χρησιμοποιείται στη φυσική για την εύρεση της ταχύτητας κατά γνωστή λειτουργίασυντεταγμένες έναντι του χρόνου, επιτάχυνση με βάση μια γνωστή συνάρτηση της ταχύτητας έναντι του χρόνου.

(t) = x"(t) - ταχύτητα,

a(f) = "(t) - επιτάχυνση, ή

Εάν ο νόμος της κίνησης ενός υλικού σημείου σε έναν κύκλο είναι γνωστός, τότε μπορεί κανείς να βρει τη γωνιακή ταχύτητα και γωνιώδης επιτάχυνσηκατά την περιστροφική κίνηση:

φ = φ(t) - αλλαγή στη γωνία με την πάροδο του χρόνου,

ω = φ"(t) - γωνιακή ταχύτητα,

ε = φ"(t) - γωνιακή επιτάχυνση, ή ε = φ"(t).

Εάν είναι γνωστός ο νόμος της κατανομής μάζας μιας ανομοιογενούς ράβδου, τότε μπορεί να βρεθεί η γραμμική πυκνότητα της ανομοιογενούς ράβδου:

m = m(x) - μάζα,

x , l - μήκος της ράβδου,

p = m"(x) - γραμμική πυκνότητα.

Χρησιμοποιώντας την παράγωγο λύνονται προβλήματα από τη θεωρία της ελαστικότητας και των αρμονικών δονήσεων. Έτσι, σύμφωνα με το νόμο του Χουκ

F = -kx, x – μεταβλητή συντεταγμένη, k – συντελεστής ελαστικότητας ελατηρίου. Βάζοντας ω 2 =k/m, λαμβάνουμε τη διαφορική εξίσωση του εκκρεμούς ελατηρίου x"(t) + ω 2 x(t) = 0,

όπου ω = √k/√m συχνότητα ταλάντωσης (l/c), k - ακαμψία ελατηρίου (H/m).

Μια εξίσωση της μορφής y" + ω 2 y = 0 ονομάζεται η εξίσωση των αρμονικών ταλαντώσεων (μηχανικών, ηλεκτρικών, ηλεκτρομαγνητικών). Η λύση σε τέτοιες εξισώσεις είναι η συνάρτηση

y = Asin(ωt + φ 0) ή y = Acos(ωt + φ 0), όπου

Α - πλάτος ταλαντώσεων, ω - κυκλική συχνότητα,

φ 0 - αρχική φάση.

Σε αυτό το άρθρο θα δώσουμε τις βασικές έννοιες στις οποίες θα βασιστεί όλη η περαιτέρω θεωρία για το θέμα της παραγώγου συνάρτησης μιας μεταβλητής.

Το μονοπάτι x είναι το όρισμα της συνάρτησης f(x) και είναι ένας μικρός αριθμός διαφορετικός από το μηδέν.

(διαβάστε «δέλτα x») καλείται αύξηση ενός ορίσματος συνάρτησης. Στο σχήμα, η κόκκινη γραμμή δείχνει την αλλαγή στο όρισμα από την τιμή x σε τιμή (εξ ου και η ουσία του ονόματος "αύξηση" του ορίσματος).

Κατά τη μετάβαση από την τιμή του ορίσματος στις τιμές της συνάρτησης αλλάζουν ανάλογα από σε, με την προϋπόθεση ότι η συνάρτηση είναι μονότονη στο διάστημα. Η διαφορά λέγεται αύξηση της συνάρτησης f(x), που αντιστοιχεί σε αυτό το όρισμα προσαύξηση. Στο σχήμα, η αύξηση της συνάρτησης φαίνεται με μπλε γραμμή.

Ας δούμε αυτές τις έννοιες χρησιμοποιώντας ένα συγκεκριμένο παράδειγμα.

Ας πάρουμε, για παράδειγμα, τη συνάρτηση . Ας διορθώσουμε το σημείο και την προσαύξηση του επιχειρήματος. Σε αυτήν την περίπτωση, η αύξηση της συνάρτησης κατά τη μετάβαση από το προς θα είναι ίση με

Μια αρνητική αύξηση υποδηλώνει μείωση της συνάρτησης στο τμήμα.

Γραφική απεικόνιση

Προσδιορισμός της παραγώγου μιας συνάρτησης σε ένα σημείο.

Έστω η συνάρτηση f(x) που ορίζεται στο διάστημα (a; b) και και είναι τα σημεία αυτού του διαστήματος. Παράγωγος της συνάρτησης f(x) στο σημείοονομάζεται όριο του λόγου της αύξησης μιας συνάρτησης προς την αύξηση του ορίσματος στο . Ορίστηκε .

Όταν το τελευταίο όριο παίρνει μια συγκεκριμένη τελική τιμή, μιλάμε για ύπαρξη πεπερασμένη παράγωγος στο σημείο. Αν το όριο είναι άπειρο, τότε το λένε η παράγωγος είναι άπειρη σε ένα δεδομένο σημείο. Αν το όριο δεν υπάρχει, τότε η παράγωγος της συνάρτησης σε αυτό το σημείο δεν υπάρχει.

Καλείται η συνάρτηση f(x). διαφοροποιήσιμο στο σημείο, όταν έχει μια πεπερασμένη παράγωγο μέσα της.

Εάν μια συνάρτηση f(x) είναι διαφορίσιμη σε κάθε σημείο ενός συγκεκριμένου διαστήματος (a; b), τότε η συνάρτηση ονομάζεται διαφορίσιμη σε αυτό το διάστημα. Έτσι, οποιοδήποτε σημείο x από το διάστημα (a; b) μπορεί να συσχετιστεί με την τιμή της παραγώγου της συνάρτησης σε αυτό το σημείο, δηλαδή έχουμε την ευκαιρία να ορίσουμε μια νέα συνάρτηση, η οποία ονομάζεται παράγωγος της συνάρτησης f(x) στο διάστημα (a; b).

Η πράξη εύρεσης της παραγώγου ονομάζεται ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΤΗΤΑ-διάκριση.

Ας κάνουμε μια διάκριση στη φύση των εννοιών της παραγώγου μιας συνάρτησης σε ένα σημείο και σε ένα διάστημα: η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο είναι ένας αριθμός και η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα είναι μια συνάρτηση.

Ας το δούμε αυτό με παραδείγματα για να κάνουμε την εικόνα πιο ξεκάθαρη. Κατά τη διαφοροποίηση, θα χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό της παραγώγου, δηλαδή θα προχωρήσουμε στην εύρεση ορίων. Εάν προκύψουν δυσκολίες, σας συνιστούμε να ανατρέξετε στην ενότητα της θεωρίας.

Παράδειγμα.

Βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης στο σημείο χρησιμοποιώντας τον ορισμό.

Λύση.

Εφόσον αναζητούμε την παράγωγο μιας συνάρτησης σε ένα σημείο, η απάντηση πρέπει να περιέχει έναν αριθμό. Ας γράψουμε το όριο του λόγου της αύξησης μιας συνάρτησης προς την αύξηση του ορίσματος και ας χρησιμοποιήσουμε τους τύπους τριγωνομετρίας:

(\large\bf Παράγωγος συνάρτησης)

Εξετάστε τη συνάρτηση y=f(x), που καθορίζεται στο διάστημα (α, β). Αφήνω Χ- οποιοδήποτε σταθερό σημείο του διαστήματος (α, β), ΕΝΑ Δx- έναν αυθαίρετο αριθμό τέτοιο ώστε η τιμή x+Δxανήκει επίσης στο διάστημα (α, β). Αυτός ο αριθμός Δxπου ονομάζεται προσαύξηση ορίσματος.

Ορισμός. Αύξηση συνάρτησης y=f(x)στο σημείο Χ, που αντιστοιχεί στην αύξηση του ορίσματος Δx, ας καλέσουμε τον αριθμό

Δy = f(x+Δx) - f(x).

Πιστεύουμε ότι Δx ≠ 0. Σκεφτείτε σε ένα δεδομένο σταθερό σημείο Χο λόγος της αύξησης της συνάρτησης σε αυτό το σημείο προς την αντίστοιχη αύξηση του ορίσματος Δx

Θα ονομάσουμε αυτή τη σχέση σχέση διαφοράς. Δεδομένου ότι η αξία Χθεωρούμε σταθερό, ο λόγος διαφοράς είναι συνάρτηση του επιχειρήματος Δx. Αυτή η συνάρτηση ορίζεται για όλες τις τιμές ορίσματος Δx, που ανήκει σε κάποια αρκετά μικρή γειτονιά του σημείου Δx=0, εκτός από το ίδιο το σημείο Δx=0. Έτσι, έχουμε το δικαίωμα να εξετάσουμε το ζήτημα της ύπαρξης ενός ορίου καθορισμένη λειτουργίαστο Δx → 0.

Ορισμός. Παράγωγος συνάρτησης y=f(x)σε ένα δεδομένο σταθερό σημείο Χονομάζεται το όριο στο Δx → 0αναλογία διαφοράς, δηλαδή

Με την προϋπόθεση ότι υπάρχει αυτό το όριο.

Ονομασία. y′(x)ή f′(x).

Γεωμετρική σημασία της παραγώγου: Παράγωγος συνάρτησης f(x)σε αυτό το σημείο Χίση με την εφαπτομένη της γωνίας μεταξύ του άξονα Βόδικαι μια εφαπτομένη στη γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης στο αντίστοιχο σημείο:

f′(x 0) = \tgα.

Μηχανική έννοια του παραγώγου: Η παράγωγος της διαδρομής ως προς το χρόνο είναι ίση με την ταχύτητα ευθύγραμμη κίνησησημεία:

Εξίσωση εφαπτομένης σε ευθεία y=f(x)στο σημείο M 0 (x 0 ,y 0)παίρνει τη μορφή

y-y 0 = f′(x 0) (x-x 0).

Η κανονική σε μια καμπύλη σε κάποιο σημείο είναι η κάθετη στην εφαπτομένη στο ίδιο σημείο. Αν f′(x 0)≠ 0, τότε η εξίσωση του κανονικού στην ευθεία y=f(x)στο σημείο M 0 (x 0 ,y 0)γράφεται ως εξής:

Η έννοια της διαφοροποίησης μιας συνάρτησης

Αφήστε τη λειτουργία y=f(x)ορίζεται σε ένα ορισμένο διάστημα (α, β), Χ- κάποια σταθερή τιμή ορίσματος από αυτό το διάστημα, Δx- οποιαδήποτε αύξηση του ορίσματος έτσι ώστε η τιμή του ορίσματος x+Δx ∈ (a, b).

Ορισμός. Λειτουργία y=f(x)ονομάζεται διαφοροποιήσιμο σε ένα δεδομένο σημείο Χ, εάν αυξάνεται Δyαυτή η λειτουργία στο σημείο Χ, που αντιστοιχεί στην αύξηση του ορίσματος Δx, μπορεί να αναπαρασταθεί στη μορφή

Δy = A Δx +αΔx,

Οπου ΕΝΑ- κάποιος αριθμός ανεξάρτητος από Δx, ΕΝΑ α - συνάρτηση ορίσματος Δx, το οποίο είναι απειροελάχιστο στο Δx→ 0.

Αφού το γινόμενο δύο απειροελάχιστων συναρτήσεων αΔxείναι απειροελάχιστο περισσότερο υψηλή τάξη, πως Δx(ιδιότητα 3 απειροελάχιστων συναρτήσεων), τότε μπορούμε να γράψουμε:

Δy = A Δx +o(Δx).

Θεώρημα. Για τη συνάρτηση y=f(x)ήταν διαφοροποιήσιμο σε ένα δεδομένο σημείο Χ, είναι απαραίτητο και αρκετό να έχει πεπερασμένη παράγωγο σε αυτό το σημείο. Εν A=f′(x), αυτό είναι

Δy = f′(x) Δx +o(Δx).

Η λειτουργία εύρεσης της παραγώγου συνήθως ονομάζεται διαφοροποίηση.

Θεώρημα. Εάν η συνάρτηση y=f(x) Χ, τότε είναι συνεχής σε αυτό το σημείο.

Σχόλιο. Από τη συνέχεια της λειτουργίας y=f(x)σε αυτό το σημείο Χ, γενικά μιλώντας, η διαφοροποίηση της συνάρτησης δεν ακολουθεί f(x)σε αυτό το σημείο. Για παράδειγμα, η συνάρτηση y=|x|- συνεχής σε ένα σημείο x=0, αλλά δεν έχει παράγωγο.

Έννοια της διαφορικής συνάρτησης

Ορισμός. Διαφορική συνάρτηση y=f(x)λέγεται το γινόμενο της παραγώγου αυτής της συνάρτησης και της αύξησης της ανεξάρτητης μεταβλητής Χ:

dy = y′ Δx, df(x) = f′(x) Δx.

Για λειτουργία y=xπαίρνουμε dy=dx=x′Δx = 1· Δx= Δx, αυτό είναι dx=Δx- το διαφορικό μιας ανεξάρτητης μεταβλητής ισούται με την αύξηση αυτής της μεταβλητής.

Έτσι, μπορούμε να γράψουμε

dy = y′ dx, df(x) = f′(x) dx

Διαφορικός dyκαι αύξηση Δyλειτουργίες y=f(x)σε αυτό το σημείο Χ, και τα δύο αντιστοιχούν στην ίδια αύξηση του ορίσματος Δx, γενικά μιλώντας, δεν είναι ίσοι μεταξύ τους.

Γεωμετρική έννοια του διαφορικού: Το διαφορικό μιας συνάρτησης ισούται με την αύξηση της τεταγμένης της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης όταν το όρισμα αυξάνεται Δx.

Κανόνες διαφοροποίησης

Θεώρημα. Αν καθεμία από τις συναρτήσεις u(x)Και v(x)διαφοροποιήσιμο σε ένα δεδομένο σημείο Χ, τότε το άθροισμα, η διαφορά, το γινόμενο και το πηλίκο αυτών των συναρτήσεων (πηλίκο με την προϋπόθεση ότι v(x)≠ 0) είναι επίσης διαφοροποιήσιμα σε αυτό το σημείο και οι τύποι ισχύουν:

Εξετάστε τη σύνθετη συνάρτηση y=f(φ(x))≡ F(x), Οπου y=f(u), u=φ(x). Σε αυτήν την περίπτωση uπου ονομάζεται ενδιάμεσο επιχείρημα, Χ - ανεξάρτητη μεταβλητή.

Θεώρημα. Αν y=f(u)Και u=φ(x)είναι διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις των ορισμάτων τους, τότε η παράγωγος μιας μιγαδικής συνάρτησης y=f(φ(x))υπάρχει και ισούται με το γινόμενο αυτής της συνάρτησης ως προς το ενδιάμεσο όρισμα και την παράγωγο του ενδιάμεσου ορίσματος ως προς την ανεξάρτητη μεταβλητή, δηλ.

Σχόλιο. Για μια σύνθετη συνάρτηση που είναι υπέρθεση τριών συναρτήσεων y=F(f(φ(x))), ο κανόνας διαφοροποίησης έχει τη μορφή

y′ x = y′ u u′ v v′ x,

που είναι οι λειτουργίες v=φ(x), u=f(v)Και y=F(u)- διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις των ορισμάτων τους.

Θεώρημα. Αφήστε τη λειτουργία y=f(x)αυξάνεται (ή μειώνεται) και είναι συνεχής σε κάποια γειτονιά του σημείου x 0. Ας είναι, επιπλέον, αυτή η συνάρτηση διαφοροποιήσιμη στο υποδεικνυόμενο σημείο x 0και το παράγωγό του σε αυτό το σημείο f′(x 0) ≠ 0. Μετά σε κάποια γειτονιά του αντίστοιχου σημείου y 0 =f(x 0)το αντίστροφο ορίζεται για y=f(x)λειτουργία x=f -1 (y), και τα υποδεικνυόμενα αντίστροφη συνάρτησηδιαφοροποιήσιμο στο αντίστοιχο σημείο y 0 =f(x 0)και για το παράγωγό του σε αυτό το σημείο yο τύπος ισχύει

Πίνακας παραγώγων

Αμετάβλητο της μορφής του πρώτου διαφορικού

Ας εξετάσουμε το διαφορικό μιας σύνθετης συνάρτησης. Αν y=f(x), x=φ(t)- οι συναρτήσεις των ορισμάτων τους είναι διαφοροποιήσιμες, τότε η παράγωγος της συνάρτησης y=f(φ(t))εκφράζεται με τον τύπο

y′ t = y′ x x′ t.

Α-πριό dy=y′ t dt, τότε παίρνουμε

dy = y′ t dt = y′ x · x′ t dt = y′ x (x′ t dt) = y′ x dx,

dy = y′ x dx.

Άρα, έχουμε αποδείξει

Ιδιότητα αμετάβλητου της μορφής του πρώτου διαφορικού μιας συνάρτησης: όπως στην περίπτωση που το επιχείρημα Χείναι μια ανεξάρτητη μεταβλητή, και στην περίπτωση που το όρισμα Χη ίδια είναι μια διαφοροποιήσιμη συνάρτηση της νέας μεταβλητής, του διαφορικού dyλειτουργίες y=f(x)ισούται με την παράγωγο αυτής της συνάρτησης πολλαπλασιασμένη με το διαφορικό του ορίσματος dx.

Εφαρμογή διαφορικού σε κατά προσέγγιση υπολογισμούς

Έχουμε δείξει ότι το διαφορικό dyλειτουργίες y=f(x), γενικά μιλώντας, δεν ισούται με την προσαύξηση Δyαυτή τη λειτουργία. Ωστόσο, μέχρι μια απειροελάχιστη συνάρτηση υψηλότερης τάξης μικρότητας από Δx, ισχύει η κατά προσέγγιση ισότητα

Δy ≈ dy.

Ο λόγος ονομάζεται σχετικό σφάλμα της ισότητας αυτής της ισότητας. Επειδή Δy-dy=o(Δx), Οτι σχετικό σφάλμααυτής της ισότητας γίνεται αυθαίρετα μικρή όσο μειώνουμε |Δχ|.

Λαμβάνοντας υπ 'όψιν ότι Δy=f(x+δ x)-f(x), dy=f′(x)Δx, παίρνουμε f(x+δ x)-f(x) ≈ f′(x)Δxή

f(x+δ x) ≈ f(x) + f′(x)Δx.

Αυτή η κατά προσέγγιση ισότητα επιτρέπει με λάθος o(Δx)λειτουργία αντικατάστασης f(x)σε μια μικρή γειτονιά του σημείου Χ(δηλαδή για μικρές αξίες Δx) γραμμική συνάρτησηδιαφωνία Δx, στέκεται στη δεξιά πλευρά.

Παράγωγα υψηλότερης τάξης

Ορισμός. Δεύτερη παράγωγος (ή παράγωγος δεύτερης τάξης) μιας συνάρτησης y=f(x)λέγεται παράγωγος της πρώτης του παραγώγου.

Σημείωση για τη δεύτερη παράγωγο μιας συνάρτησης y=f(x):

Μηχανική σημασία της δεύτερης παραγώγου. Εάν η συνάρτηση y=f(x)περιγράφει το νόμο της κίνησης υλικό σημείοσε ευθεία γραμμή, μετά η δεύτερη παράγωγος f″(x)ίση με την επιτάχυνση ενός κινούμενου σημείου τη χρονική στιγμή Χ.

Η τρίτη και η τέταρτη παράγωγος προσδιορίζονται παρόμοια.

Ορισμός. nου παράγωγο (ή παράγωγο n-η τάξη) συναρτήσεις y=f(x)λέγεται παράγωγός του n-1η παράγωγος:

y (n) =(y (n-1))′, f (n) (x)=(f (n-1) (x))′.

Ονομασίες: y″′, y IV, y Vκαι τα λοιπά.

Η λειτουργία εύρεσης της παραγώγου ονομάζεται διαφοροποίηση.

Ως αποτέλεσμα της επίλυσης προβλημάτων εύρεσης παραγώγων των απλούστερων (και όχι πολύ απλών) συναρτήσεων ορίζοντας την παράγωγο ως το όριο του λόγου της αύξησης προς την αύξηση του επιχειρήματος, εμφανίστηκε ένας πίνακας παραγώγων και επακριβώς καθορισμένοι κανόνες διαφοροποίησης . Οι πρώτοι που εργάστηκαν στον τομέα της εύρεσης παραγώγων ήταν ο Isaac Newton (1643-1727) και ο Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Επομένως, στην εποχή μας, για να βρείτε την παράγωγο οποιασδήποτε συνάρτησης, δεν χρειάζεται να υπολογίσετε το προαναφερθέν όριο του λόγου της αύξησης της συνάρτησης προς την αύξηση του ορίσματος, αλλά χρειάζεται μόνο να χρησιμοποιήσετε τον πίνακα τα παράγωγα και οι κανόνες διαφοροποίησης. Ο παρακάτω αλγόριθμος είναι κατάλληλος για την εύρεση της παραγώγου.

Για να βρείτε την παράγωγο, χρειάζεστε μια έκφραση κάτω από το πρώτο σύμβολο αναλύει τις απλές λειτουργίες σε στοιχείακαι καθορίστε ποιες ενέργειες (προϊόν, άθροισμα, πηλίκο)αυτές οι λειτουργίες σχετίζονται. Περαιτέρω παράγωγα στοιχειώδεις λειτουργίεςβρίσκουμε στον πίνακα των παραγώγων και οι τύποι για τα παράγωγα του γινομένου, του αθροίσματος και του πηλίκου βρίσκονται στους κανόνες διαφοροποίησης. Μετά τα δύο πρώτα παραδείγματα δίνεται ένας πίνακας παραγώγων και κανόνες διαφοροποίησης.

Παράδειγμα 1.Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Λύση. Από τους κανόνες διαφοροποίησης διαπιστώνουμε ότι η παράγωγος ενός αθροίσματος συναρτήσεων είναι το άθροισμα των παραγώγων συναρτήσεων, δηλ.

Από τον πίνακα των παραγώγων διαπιστώνουμε ότι η παράγωγος του «Χ» ισούται με ένα και η παράγωγος του ημιτόνου ισούται με το συνημίτονο. Αντικαθιστούμε αυτές τις τιμές στο άθροισμα των παραγώγων και βρίσκουμε την παράγωγο που απαιτείται από την συνθήκη του προβλήματος:

Παράδειγμα 2.Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Λύση. Διαφοροποιούμε ως παράγωγο ενός αθροίσματος στο οποίο ο δεύτερος όρος έχει σταθερό παράγοντα μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο της παραγώγου:

Εάν εξακολουθούν να προκύπτουν ερωτήσεις σχετικά με το από πού προέρχεται κάτι, συνήθως ξεκαθαρίζονται αφού εξοικειωθείτε με τον πίνακα των παραγώγων και τους απλούστερους κανόνες διαφοροποίησης. Προχωράμε σε αυτούς αυτή τη στιγμή.

Πίνακας παραγώγων απλών συναρτήσεων

1. Παράγωγος σταθεράς (αριθμός). Οποιοσδήποτε αριθμός (1, 2, 5, 200...) που βρίσκεται στην παράσταση συνάρτησης. Πάντα ίσο με μηδέν. Αυτό είναι πολύ σημαντικό να το θυμάστε, καθώς απαιτείται πολύ συχνά
2. Παράγωγος της ανεξάρτητης μεταβλητής. Τις περισσότερες φορές "Χ". Πάντα ίσο με ένα. Αυτό είναι επίσης σημαντικό να το θυμάστε για μεγάλο χρονικό διάστημα
3. Παράγωγο πτυχίου. Κατά την επίλυση προβλημάτων, πρέπει να μετατρέψετε τις μη τετραγωνικές ρίζες σε δυνάμεις.
4. Παράγωγος μεταβλητής στην ισχύ -1
5. Παράγωγο τετραγωνική ρίζα
6. Παράγωγο ημιτόνου
7. Παράγωγο συνημίτονου
8. Παράγωγος εφαπτομένης
9. Παράγωγο συνεφαπτομένης
10. Παράγωγο αρσινίου
11. Παράγωγο αρκοσίνης
12. Παράγωγο του arctangent
13. Παράγωγο συνεφαπτομένης τόξου
14. Παράγωγος του φυσικού λογάριθμου
15. Παράγωγος λογαριθμικής συνάρτησης
16. Παράγωγος του εκθέτη
17. Παράγωγος εκθετικής συνάρτησης

Κανόνες διαφοροποίησης

1. Παράγωγο αθροίσματος ή διαφοράς
2. Παράγωγο του προϊόντος
2α. Παράγωγο έκφρασης πολλαπλασιαζόμενο με σταθερό παράγοντα
3. Παράγωγος του πηλίκου
4. Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης

Κανόνας 1.Εάν οι λειτουργίες

είναι διαφοροποιήσιμες σε κάποιο σημείο, τότε οι συναρτήσεις είναι διαφοροποιήσιμες στο ίδιο σημείο

και

εκείνοι. η παράγωγος του αλγεβρικού αθροίσματος των συναρτήσεων είναι ίση με αλγεβρικό άθροισμαπαράγωγα αυτών των συναρτήσεων.

Συνέπεια. Αν δύο διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις διαφέρουν κατά σταθερό όρο, τότε οι παράγωγοί τους είναι ίσες, δηλ.

Κανόνας 2.Εάν οι λειτουργίες

είναι διαφοροποιήσιμα σε κάποιο σημείο, τότε το προϊόν τους είναι διαφοροποιήσιμο στο ίδιο σημείο

και

εκείνοι. Η παράγωγος του γινομένου δύο συναρτήσεων είναι ίση με το άθροισμα των γινομένων καθεμιάς από αυτές τις συναρτήσεις και την παράγωγο της άλλης.

Συμπέρασμα 1. Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο της παραγώγου:

Συμπέρασμα 2. Η παράγωγος του γινομένου πολλών διαφοροποιήσιμων συναρτήσεων είναι ίση με το άθροισμα των γινομένων της παραγώγου κάθε παράγοντα και όλων των άλλων.

Για παράδειγμα, για τρεις πολλαπλασιαστές:

Κανόνας 3.Εάν οι λειτουργίες

διαφοροποιήσιμο σε κάποιο σημείο Και , τότε σε αυτό το σημείο το πηλίκο τους είναι και διαφοροποιήσιμοu/v και

εκείνοι. η παράγωγος του πηλίκου δύο συναρτήσεων είναι ίση με ένα κλάσμα, ο αριθμητής του οποίου είναι η διαφορά μεταξύ των γινομένων του παρονομαστή και της παραγώγου του αριθμητή και του αριθμητή και της παραγώγου του παρονομαστή, και ο παρονομαστής είναι το τετράγωνο του ο πρώην αριθμητής.

Πού να αναζητήσετε πράγματα σε άλλες σελίδες

Όταν βρίσκουμε την παράγωγο ενός προϊόντος και το πηλίκο σε πραγματικά προβλήματαΕίναι πάντα απαραίτητο να εφαρμόζονται πολλοί κανόνες διαφοροποίησης ταυτόχρονα, επομένως υπάρχουν περισσότερα παραδείγματα σχετικά με αυτά τα παράγωγα στο άρθρο"Παράγωγο του γινομένου και πηλίκο συναρτήσεων".

Σχόλιο.Δεν πρέπει να συγχέετε μια σταθερά (δηλαδή έναν αριθμό) ως όρο σε άθροισμα και ως σταθερό παράγοντα! Στην περίπτωση ενός όρου, η παράγωγός του είναι ίση με μηδέν και σε περίπτωση σταθερού παράγοντα, αφαιρείται από το πρόσημο των παραγώγων. Αυτό τυπικό λάθος, που εμφανίζεται στις αρχικό στάδιομελετώντας τα παράγωγα, αλλά καθώς λύνουν πολλά παραδείγματα ενός και δύο τμημάτων, ο μέσος μαθητής δεν κάνει πλέον αυτό το λάθος.

Και αν, όταν διαφοροποιείτε ένα προϊόν ή ένα πηλίκο, έχετε έναν όρο u"v, στο οποίο u- ένας αριθμός, για παράδειγμα, 2 ή 5, δηλαδή μια σταθερά, τότε η παράγωγος αυτού του αριθμού θα είναι ίση με μηδέν και, επομένως, ολόκληρος ο όρος θα είναι ίσος με μηδέν (αυτή η περίπτωση συζητείται στο παράδειγμα 10).

Ένα άλλο συνηθισμένο λάθος είναι η μηχανική επίλυση της παραγώγου μιας σύνθετης συνάρτησης ως παραγώγου μιας απλής συνάρτησης. Να γιατί παράγωγο μιγαδικής συνάρτησηςαφιερώνεται ένα ξεχωριστό άρθρο. Πρώτα όμως θα μάθουμε να βρίσκουμε παράγωγα απλές λειτουργίες.

Στην πορεία, δεν μπορείτε να κάνετε χωρίς να μεταμορφώσετε εκφράσεις. Για να το κάνετε αυτό, ίσως χρειαστεί να ανοίξετε το εγχειρίδιο σε νέα παράθυρα. Δράσεις με δυνάμεις και ρίζεςΚαι Πράξεις με κλάσματα .

Αν αναζητάτε λύσεις σε παραγώγους κλασμάτων με δυνάμεις και ρίζες, δηλαδή όταν η συνάρτηση μοιάζει με , μετά ακολουθήστε το μάθημα «Παράγωγος αθροισμάτων κλασμάτων με δυνάμεις και ρίζες».

Εάν έχετε μια εργασία όπως , τότε θα πάρετε το μάθημα «Παράγωγα απλών τριγωνομετρικών συναρτήσεων».

Παραδείγματα βήμα προς βήμα - πώς να βρείτε την παράγωγο

Παράδειγμα 3.Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Λύση. Ορίζουμε τα μέρη της παράστασης συνάρτησης: ολόκληρη η παράσταση αντιπροσωπεύει ένα προϊόν και οι συντελεστές της είναι αθροίσματα, στο δεύτερο από τα οποία ένας από τους όρους περιέχει έναν σταθερό παράγοντα. Εφαρμόζουμε τον κανόνα διαφοροποίησης προϊόντος: η παράγωγος του γινομένου δύο συναρτήσεων είναι ίση με το άθροισμα των γινομένων καθεμιάς από αυτές τις συναρτήσεις από την παράγωγο της άλλης:

Στη συνέχεια, εφαρμόζουμε τον κανόνα της διαφοροποίησης του αθροίσματος: η παράγωγος του αλγεβρικού αθροίσματος των συναρτήσεων είναι ίση με το αλγεβρικό άθροισμα των παραγώγων αυτών των συναρτήσεων. Στην περίπτωσή μας, σε κάθε άθροισμα ο δεύτερος όρος έχει πρόσημο μείον. Σε κάθε άθροισμα βλέπουμε και μια ανεξάρτητη μεταβλητή, της οποίας η παράγωγος είναι ίση με ένα, και μια σταθερά (αριθμός), η παράγωγος της οποίας είναι ίση με μηδέν. Έτσι, το "Χ" μετατρέπεται σε ένα και το μείον 5 μετατρέπεται σε μηδέν. Στη δεύτερη παράσταση, το "x" πολλαπλασιάζεται επί 2, άρα πολλαπλασιάζουμε δύο με την ίδια μονάδα με την παράγωγο του "x". Παίρνουμε παρακάτω τιμέςπαράγωγα:

Αντικαθιστούμε τις παραγώγους που βρέθηκαν στο άθροισμα των γινομένων και λαμβάνουμε την παράγωγο ολόκληρης της συνάρτησης που απαιτείται από την συνθήκη του προβλήματος:

Παράδειγμα 4.Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Λύση. Απαιτείται να βρούμε την παράγωγο του πηλίκου. Εφαρμόζουμε τον τύπο για τη διαφοροποίηση του πηλίκου: η παράγωγος του πηλίκου δύο συναρτήσεων είναι ίση με ένα κλάσμα, ο αριθμητής του οποίου είναι η διαφορά μεταξύ των γινομένων του παρονομαστή και της παραγώγου του αριθμητή και του αριθμητή και της παραγώγου του παρονομαστής και ο παρονομαστής είναι το τετράγωνο του προηγούμενου αριθμητή. Παίρνουμε:

Έχουμε ήδη βρει την παράγωγο των παραγόντων στον αριθμητή στο παράδειγμα 2. Ας μην ξεχνάμε επίσης ότι το γινόμενο, που είναι ο δεύτερος παράγοντας στον αριθμητή στο τρέχον παράδειγμα, λαμβάνεται με το πρόσημο μείον:

Εάν αναζητάτε λύσεις σε προβλήματα στα οποία πρέπει να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης, όπου υπάρχει ένας συνεχής σωρός από ρίζες και δυνάμεις, όπως, για παράδειγμα, , τότε καλώς ήρθατε στην τάξη "Παράγωγο αθροισμάτων κλασμάτων με δυνάμεις και ρίζες" .

Εάν χρειάζεται να μάθετε περισσότερα για τις παραγώγους των ημιτόνων, των συνημιτόνων, των εφαπτομένων και άλλων τριγωνομετρικές συναρτήσεις, δηλαδή όταν μοιάζει η συνάρτηση , τότε ένα μάθημα για εσάς "Παράγωγα απλών τριγωνομετρικών συναρτήσεων" .

Παράδειγμα 5.Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Λύση. Σε αυτή τη συνάρτηση βλέπουμε ένα γινόμενο, ένας από τους παράγοντες του οποίου είναι η τετραγωνική ρίζα της ανεξάρτητης μεταβλητής, την παράγωγο της οποίας εξοικειωθήκαμε στον πίνακα των παραγώγων. Σύμφωνα με τον κανόνα διαφοροποίησης του προϊόντος και αξία πίνακαπαράγωγο της τετραγωνικής ρίζας παίρνουμε:

Παράδειγμα 6.Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Λύση. Σε αυτή τη συνάρτηση βλέπουμε ένα πηλίκο του οποίου το μέρισμα είναι η τετραγωνική ρίζα της ανεξάρτητης μεταβλητής. Χρησιμοποιώντας τον κανόνα διαφοροποίησης των πηλίκων, που επαναλάβαμε και εφαρμόσαμε στο παράδειγμα 4, και την πινακοποιημένη τιμή της παραγώγου της τετραγωνικής ρίζας, παίρνουμε:

Για να απαλλαγείτε από ένα κλάσμα στον αριθμητή, πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με .