Ένα μαθηματικό μοντέλο είναι ένας τρόπος περιγραφής μιας πραγματικής κατάστασης ζωής (εργασίας) χρησιμοποιώντας μια μαθηματική γλώσσα. Πραγματική κατάσταση Μαθηματικό μοντέλο Η Christina και ο Gleb έχουν τον ίδιο αριθμό γραμματοσήμων x = y Η Χριστίνα έχει 6 περισσότερα γραμματόσημα από τον Gleb x + 6 = y x - 6 = y x + y= 6 Ο Gleb έχει 4 φορές περισσότερα γραμματόσημα από τη Christina 4x = y x = y. 4y:x=4

Ο πρώτος εργάτης ολοκληρώνει την εργασία σε t ώρες και ο δεύτερος την ίδια εργασία σε v ώρες, ενώ ο πρώτος εργάζεται 3 ώρες περισσότερες από τον δεύτερο.

Τρία κιλά μήλα κοστίζουν όσο δύο κιλά αχλάδια. Ταυτόχρονα, είναι γνωστό ότι 1 κιλό μήλα κοστίζει x r. και 1 κιλό αχλάδια κοστίζει x r. X r. στο ποτάμι

Το κόστος ενός ποτηριού χυμού μανταρινιού είναι ένα π., και ένα ποτήρι χυμού σταφυλιού είναι b p. Είναι γνωστό ότι 5 ποτήρια χυμού σταφυλιού κοστίζουν όσο 6 ποτήρια χυμού μανταρινιού.

Ένας ποδηλάτης με ταχύτητα v 1 και ένας μοτοσικλετιστής με ταχύτητα v 2 άφησαν τα σημεία A και B ταυτόχρονα το ένα προς το άλλο και συναντήθηκαν μετά από t ώρες.t А В s v1v1 v2v2 Προχωρώντας ο ένας προς τον άλλο v = v 1 + v 2

Ένα αυτοκίνητο με ταχύτητα v 1 και ένα λεωφορείο με ταχύτητα v 2 v1v1 v2v2 αριστερό σημείο A ταυτόχρονα σε αντίθετες κατευθύνσεις A Κίνηση σε αντίθετες κατευθύνσεις v = v 1 + v 2

Από το σημείο Α, αυτοκίνητο και φορτηγό έφυγαν ταυτόχρονα προς την ίδια κατεύθυνση, των οποίων οι ταχύτητες είναι x km/h και y km/h, αντίστοιχα. X km/h Y km/ht Κίνηση προς μία κατεύθυνση v = x-y

Ένας ποδηλάτης έφυγε από το σημείο Α. Παράλληλα, από το σημείο Β, σε απόσταση 30 χλμ με κατεύθυνση τον ποδηλάτη, πεζός έφυγε προς την ίδια κατεύθυνση με ταχύτητα x χλμ/ώρα. Είναι γνωστό ότι ο ποδηλάτης πρόλαβε τον πεζό μετά από t h. 30 kmt x km/h

12 Κατά την επίλυση προβλημάτων με αλγεβρικό τρόπο, ο συλλογισμός χωρίζεται σε τρία στάδια: κατάρτιση μαθηματικού σχεδιασμού ενός μαθηματικού μοντέλου. μοντέλα? εργασία με μαθηματική εργασία με μαθηματικό μοντέλο (λύση εξίσωσης) μοντέλο (λύση εξίσωσης) απάντηση σε ερώτηση ενός προβλήματος. απάντηση στην ερώτηση της εργασίας. Στάδια μαθηματικής μοντελοποίησης

Τα περισσότερα προβλήματα της ζωής λύνονται ως αλγεβρικές εξισώσεις: φέρνοντάς τα στην απλούστερη μορφή, δηλ. στη σύνταξη ενός ενοποιημένου μαθηματικού μοντέλου. Η μέθοδος εισαγωγής μιας νέας μεταβλητής επιτρέπει, κατά την επίλυση τριγωνομετρικών, εκθετικών, λογαριθμικών εξισώσεων και ανισώσεων, να προχωρήσουμε στη σύνταξη ενός απλούτερου μοντέλου: μιας τετραγωνικής εξίσωσης ή ανισότητας.

Παράδειγμα 1. Λύστε την εξίσωση 4 x + 2 x + 1 - 24 = 0.

Λύση.

1. Πρώτο στάδιο. Σχεδιάζοντας ένα μαθηματικό μοντέλο.

Παρατηρώντας ότι 4 x \u003d (2 2) x \u003d 2 2x \u003d (2 x) 2, και 2 x + 1 \u003d 2 2 x , ξαναγράφουμε τη δεδομένη εξίσωση με τη μορφή (2 x) 2 + 2 2 x - 24 = 0.

Είναι λογικό να εισάγουμε μια νέα μεταβλητή: y = 2Χ ; τότε η εξίσωση θα πάρει τη μορφή 2 + 2y - 24 = 0. Το μαθηματικό μοντέλο έχει καταρτιστεί. Αυτή είναι μια τετραγωνική εξίσωση. 2. Δεύτερο στάδιο. Εργασία με το μεταγλωττισμένο μοντέλο. Με την επίλυση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης 2 + 2 ε - 24 = 0 ως προς το y, βρίσκουμε: y 1 = 4, y 2 = -6.

3. Το τρίτο στάδιο. Η απάντηση στην προβληματική ερώτηση.

Αφού y = 2 x , Άρα πρέπει να λύσουμε δύο εξισώσεις: 2 x = 4; 2 x = -6.

Από την πρώτη εξίσωση βρίσκουμε: x = 2; η δεύτερη εξίσωση δεν έχει ρίζες, αφού για οποιεσδήποτε τιμές του x η ανισότητα 2 x > 0.

Απάντηση: 2.

Παράδειγμα 2. Το πρόβλημα της εύρεσης των μεγαλύτερων και των μικρότερων τιμών των ποσοτήτων.

Η δεξαμενή, που μοιάζει με ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο με τετράγωνη βάση, θα πρέπει να χωράει 500 λίτρα νερού. Σε ποια πλευρά της βάσης η επιφάνεια της δεξαμενής (χωρίς το καπάκι) θα είναι η μικρότερη;

Λύση. Πρώτο στάδιο. Σχεδιάζοντας ένα μαθηματικό μοντέλο.

1) Βελτιστοποιημένη τιμή (O.V.) - η επιφάνεια της δεξαμενής, καθώς το πρόβλημα απαιτεί να μάθετε πότε αυτή η περιοχή θα είναι η μικρότερη. Ας ορίσουμε το O. V. με το γράμμα S.

2) Το εμβαδόν της επιφάνειας εξαρτάται από τις μετρήσεις του κυβοειδούς. Δηλώνουμε την πλευρά του τετραγώνου που χρησιμεύει ως βάση της δεξαμενής ως ανεξάρτητη μεταβλητή (Ν.Π.). Ας το συμβολίσουμε ως x. Είναι σαφές ότι x > 0. Δεν υπάρχουν άλλοι περιορισμοί, άρα 0

3) Εάν η δεξαμενή χωράει 500 λίτρα νερού, τότε ο όγκος V της δεξαμενής είναι 500 dm 3 . Αν h είναι το ύψος της δεξαμενής, τότε V = x 2 h, από όπου βρίσκουμε h=Η επιφάνεια της δεξαμενής αποτελείται από ένα τετράγωνο με πλευρά x και τέσσερα ορθογώνια με πλευρές x και. Που σημαίνει,

S \u003d x 2 + 4 x \u003d x 2 +.

Άρα, S = X 2 + , όπου x € (0; + ) (λάβαμε υπόψη ότι V = 500)

Το μαθηματικό μοντέλο του προβλήματος έχει συνταχθεί.

Δεύτερη φάση. Εργασία με το μεταγλωττισμένο μοντέλο.

Σε αυτό το στάδιο, για τη συνάρτηση S = x 2 + , όπου x € (0; + )

Πρέπει να βρείτε μια / πρόσληψη. Αυτό απαιτεί την παράγωγο της συνάρτησης:

S" \u003d 2x -;

S" = .

Δεν υπάρχουν κρίσιμα σημεία στο διάστημα (0; + oo), και υπάρχει μόνο ένα ακίνητο σημείο: S" = 0 για x = 10.

Σημειώστε ότι για x 10, ικανοποιείται η ανισότητα S "> 0. Επομένως, x \u003d 10 είναι το μόνο ακίνητο σημείο και το ελάχιστο σημείο της συνάρτησης σε ένα δεδομένο διάστημα, και επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα της παραγράφου 1, σε αυτό το σημείο η συνάρτηση φτάνει στη μικρότερη τιμή της.

Τρίτο στάδιο. Η απάντηση στην προβληματική ερώτηση.

Το πρόβλημα ρωτά ποια πλευρά της βάσης πρέπει να είναι για να έχει η δεξαμενή τη μικρότερη επιφάνεια. Ανακαλύψαμε ότι η πλευρά του τετραγώνου που χρησιμεύει ως βάση μιας τέτοιας δεξαμενής είναι 10 dm.

Απάντηση: 10 dm.

Τι είναι ένα μαθηματικό μοντέλο;

Η έννοια του μαθηματικού μοντέλου.

Ένα μαθηματικό μοντέλο είναι μια πολύ απλή έννοια. Και πολύ σημαντικό. Είναι τα μαθηματικά μοντέλα που συνδέουν τα μαθηματικά με την πραγματική ζωή.

Με απλά λόγια, ένα μαθηματικό μοντέλο είναι μια μαθηματική περιγραφή οποιασδήποτε κατάστασης.Και αυτό είναι όλο. Το μοντέλο μπορεί να είναι πρωτόγονο, μπορεί να είναι εξαιρετικά περίπλοκο. Ποια είναι η κατάσταση, ποιο είναι το μοντέλο.)

Σε οποιαδήποτε (επαναλαμβάνω - σε κάθε!) επιχείρηση, όπου πρέπει να υπολογίσετε κάτι και να υπολογίσετε - ασχολούμαστε με τη μαθηματική μοντελοποίηση. Ακόμα κι αν δεν το ξέρουμε.)

P \u003d 2 CB + 3 CB

Αυτή η εγγραφή θα είναι το μαθηματικό μοντέλο των εξόδων για τις αγορές μας. Το μοντέλο δεν λαμβάνει υπόψη το χρώμα της συσκευασίας, την ημερομηνία λήξης, την ευγένεια των ταμείων κ.λπ. Γι' αυτό μοντέλο,δεν είναι πραγματική αγορά. Όμως το κόστος, δηλ. αυτό που χρειαζόμαστε-θα ξέρουμε σίγουρα. Αν το μοντέλο είναι σωστό, φυσικά.

Είναι χρήσιμο να φανταστούμε τι είναι ένα μαθηματικό μοντέλο, αλλά αυτό δεν αρκεί. Το πιο σημαντικό είναι να μπορείς να φτιάξεις αυτά τα μοντέλα.

Σύνταξη (κατασκευή) μαθηματικού μοντέλου του προβλήματος.

Για να συνθέσετε ένα μαθηματικό μοντέλο σημαίνει να μεταφράσετε τις συνθήκες του προβλήματος σε μια μαθηματική μορφή. Εκείνοι. μετατρέψτε τις λέξεις σε εξίσωση, τύπο, ανισότητα κ.λπ. Επιπλέον, γυρίστε το έτσι ώστε αυτά τα μαθηματικά να ανταποκρίνονται αυστηρά στο αρχικό κείμενο. Διαφορετικά, θα καταλήξουμε σε ένα μαθηματικό μοντέλο κάποιου άλλου προβλήματος άγνωστο σε εμάς.)

Πιο συγκεκριμένα, χρειάζεστε

Υπάρχει άπειρος αριθμός εργασιών στον κόσμο. Επομένως, να προσφέρουμε σαφείς οδηγίες βήμα προς βήμα για τη σύνταξη ενός μαθηματικού μοντέλου όποιοςτα καθήκοντα είναι αδύνατα.

Υπάρχουν όμως τρία βασικά σημεία που πρέπει να προσέξεις.

1. Σε οποιαδήποτε εργασία υπάρχει ένα κείμενο, παραδόξως.) Αυτό το κείμενο, κατά κανόνα, έχει ρητές, ανοιχτές πληροφορίες.Αριθμοί, τιμές κ.λπ.

2. Σε οποιαδήποτε εργασία υπάρχει κρυφές πληροφορίες.Αυτό είναι ένα κείμενο που προϋποθέτει την παρουσία πρόσθετης γνώσης στο κεφάλι. Χωρίς αυτούς - τίποτα. Επιπλέον, οι μαθηματικές πληροφορίες συχνά κρύβονται πίσω από απλές λέξεις και... ξεφεύγουν από την προσοχή.

3. Σε κάθε εργασία πρέπει να δίνεται επικοινωνία μεταξύ δεδομένων.Αυτή η σύνδεση μπορεί να δοθεί σε καθαρό κείμενο (κάτι ισούται με κάτι), ή μπορεί να κρυφτεί πίσω από απλές λέξεις. Αλλά τα απλά και ξεκάθαρα γεγονότα συχνά παραβλέπονται. Και το μοντέλο δεν συντάσσεται με κανέναν τρόπο.

Πρέπει να πω αμέσως ότι για να εφαρμοστούν αυτά τα τρία σημεία, το πρόβλημα πρέπει να διαβαστεί (και προσεκτικά!) αρκετές φορές. Το συνηθισμένο.

Και τώρα - παραδείγματα.

Ας ξεκινήσουμε με ένα απλό πρόβλημα:

Ο Πέτροβιτς επέστρεψε από το ψάρεμα και παρουσίασε περήφανα τα αλιεύματά του στην οικογένειά του. Μετά από προσεκτικότερη εξέταση, αποδείχθηκε ότι 8 ψάρια προέρχονται από τις βόρειες θάλασσες, το 20% όλων των ψαριών προέρχονται από τις νότιες θάλασσες και ούτε ένα από τον τοπικό ποταμό όπου ψάρευε ο Πέτροβιτς. Πόσα ψάρια αγόρασε ο Πέτροβιτς στο κατάστημα Seafood;

Όλες αυτές οι λέξεις πρέπει να μετατραπούν σε κάποιου είδους εξίσωση. Για να γίνει αυτό, επαναλαμβάνω, να δημιουργήσει μια μαθηματική σχέση μεταξύ όλων των δεδομένων του προβλήματος.

Από πού να αρχίσω? Αρχικά, θα εξαγάγουμε όλα τα δεδομένα από την εργασία. Ας ξεκινήσουμε με τη σειρά:

Ας επικεντρωθούμε στο πρώτο σημείο.

Τι είναι εδώ σαφήςμαθηματικές πληροφορίες; 8 ψάρια και 20%. Όχι πολλά, αλλά δεν χρειαζόμαστε πολλά.)

Ας προσέξουμε το δεύτερο σημείο.

Ψάχνουν για συγκαλυμμένοςπληροφορίες. Αυτή είναι εδώ. Αυτές είναι οι λέξεις: «Το 20% όλων των ψαριώνΕδώ πρέπει να καταλάβετε ποια είναι τα ποσοστά και πώς υπολογίζονται. Διαφορετικά, η εργασία δεν μπορεί να λυθεί. Αυτές ακριβώς οι πρόσθετες πληροφορίες πρέπει να υπάρχουν στο κεφάλι.

Υπάρχει και εδώ μαθηματικόςπληροφορίες που είναι εντελώς αόρατες. το ερώτηση εργασίας: "Πόσα ψάρια αγόρασες...Είναι επίσης ένας αριθμός. Και χωρίς αυτό, κανένα μοντέλο δεν θα καταρτιστεί. Επομένως, ας υποδηλώσουμε αυτόν τον αριθμό με το γράμμα "Χ".Δεν γνωρίζουμε ακόμη τι ισούται με το x, αλλά ένας τέτοιος προσδιορισμός θα είναι πολύ χρήσιμος σε εμάς. Για περισσότερες πληροφορίες σχετικά με το τι πρέπει να πάρετε για το x και πώς να το χειριστείτε, δείτε το μάθημα Πώς να λύσετε μαθηματικά προβλήματα; Ας το γράψουμε αμέσως:

x κομμάτια - ο συνολικός αριθμός ψαριών.

Στο πρόβλημά μας τα ψάρια του νότου δίνονται ως ποσοστό. Πρέπει να τα μεταφράσουμε σε κομμάτια. Για ποιο λόγο? Τότε τι είναι μέσα όποιοςτο καθήκον του μοντέλου πρέπει να είναι στα ίδια μεγέθη.Κομμάτια - έτσι όλα είναι κομμάτια. Αν μας δίνονται, ας πούμε ώρες και λεπτά, μεταφράζουμε τα πάντα σε ένα πράγμα - είτε μόνο ώρες, είτε μόνο λεπτά. Δεν έχει σημασία τι. Είναι σημαντικό να όλες οι τιμές ήταν ίδιες.

Επιστροφή στην αποκάλυψη. Όποιος δεν ξέρει τι είναι ποσοστό δεν θα αποκαλύψει ποτέ, ναι... Και ποιος ξέρει, θα πει αμέσως ότι δίνονται τα ποσοστά εδώ από το σύνολο των ψαριών. Δεν γνωρίζουμε αυτόν τον αριθμό. Δεν θα βγει τίποτα από αυτό!

Ο συνολικός αριθμός των ψαριών (σε κομμάτια!) δεν είναι μάταιος με το γράμμα "Χ"ορίζεται. Δεν θα λειτουργήσει να μετρήσουμε τα ψάρια του νότου σε κομμάτια, αλλά μπορούμε να το γράψουμε; Σαν αυτό:

0,2 x κομμάτια - ο αριθμός των ψαριών από τις νότιες θάλασσες.

Τώρα έχουμε κατεβάσει όλες τις πληροφορίες από την εργασία. Τόσο ρητό όσο και κρυφό.

Ας προσέξουμε το τρίτο σημείο.

Ψάχνουν για μαθηματική σύνδεσημεταξύ των δεδομένων εργασιών. Αυτή η σύνδεση είναι τόσο απλή που πολλοί δεν την προσέχουν... Αυτό συμβαίνει συχνά. Εδώ είναι χρήσιμο να γράψετε απλά τα δεδομένα που συλλέγονται σε μια δέσμη και να δείτε τι είναι.

Τι έχουμε; Υπάρχει 8 τεμάχιαβόρεια ψάρια, 0,2 x τεμάχια- ψάρια του νότου και x ψάρι- σύνολο. Είναι δυνατόν να συνδεθούν αυτά τα δεδομένα με κάποιο τρόπο; Ναι Εύκολα! συνολικός αριθμός ψαριών ισοδυναμείάθροισμα νότιου και βορρά! Λοιπόν, ποιος θα το φανταζόταν ...) Έτσι γράφουμε:

x = 8 + 0,2x

Αυτή θα είναι η εξίσωση μαθηματικό μοντέλο του προβλήματός μας.

Σημειώστε ότι σε αυτό το πρόβλημα δεν μας ζητείται να διπλώσουμε τίποτα!Ήμασταν εμείς οι ίδιοι, έξω από τα κεφάλια μας, που καταλάβαμε ότι το άθροισμα των ψαριών του νότου και του βορρά θα μας έδινε τον συνολικό αριθμό. Το πράγμα είναι τόσο προφανές που ξεφεύγει από την προσοχή. Αλλά χωρίς αυτά τα στοιχεία, ένα μαθηματικό μοντέλο δεν μπορεί να καταρτιστεί. Σαν αυτό.

Τώρα μπορείτε να εφαρμόσετε όλη τη δύναμη των μαθηματικών για να λύσετε αυτήν την εξίσωση). Για αυτό σχεδιάστηκε το μαθηματικό μοντέλο. Λύνουμε αυτή τη γραμμική εξίσωση και παίρνουμε την απάντηση.

Απάντηση: x=10

Ας φτιάξουμε ένα μαθηματικό μοντέλο ενός άλλου προβλήματος:

Ρωτήθηκε ο Πέτροβιτς: "Πόσα χρήματα έχεις;" Ο Πέτροβιτς έκλαψε και απάντησε: "Ναι, λίγο. Αν ξοδέψω τα μισά από όλα τα χρήματα και τα μισά από τα υπόλοιπα, τότε θα μου μείνει μόνο ένα σακουλάκι με χρήματα ..." Πόσα χρήματα έχει ο Πέτροβιτς;

Και πάλι, δουλεύουμε σημείο προς σημείο.

1. Αναζητούμε ρητές πληροφορίες. Δεν θα το βρείτε αμέσως! Οι ρητές πληροφορίες είναι έναςτσάντα χρημάτων. Υπάρχουν και άλλα μισά... Λοιπόν, θα το λύσουμε στη δεύτερη παράγραφο.

2. Ψάχνουμε για κρυφές πληροφορίες. Αυτά είναι τα μισά. Τι? Όχι πολύ σαφές. Ψάχνετε για περισσότερα. Υπάρχει ένα άλλο θέμα: «Πόσα χρήματα έχει ο Πέτροβιτς;Ας υποδηλώσουμε το χρηματικό ποσό με το γράμμα "Χ":

Χ- όλα τα λεφτά

Και ξαναδιάβασε το πρόβλημα. Γνωρίζοντας ήδη ότι ο Πέτροβιτς Χτων χρημάτων. Εδώ λειτουργούν τα μισά! Καταγράφουμε:

0,5 x- τα μισά από όλα τα χρήματα.

Το υπόλοιπο θα είναι επίσης το μισό, δηλ. 0,5 x.Και το μισό του μισού μπορεί να γραφτεί ως εξής:

0,5 0,5 x = 0,25x- το μισό από το υπόλοιπο.

Τώρα όλες οι κρυφές πληροφορίες αποκαλύπτονται και καταγράφονται.

3. Αναζητούμε σύνδεση μεταξύ των καταγεγραμμένων δεδομένων. Εδώ μπορείτε απλά να διαβάσετε τα βάσανα του Πέτροβιτς και να τα γράψετε μαθηματικά):

Αν ξοδέψω τα μισά λεφτά...

Ας γράψουμε αυτή τη διαδικασία. Όλα τα λεφτά - Χ.Τα μισα - 0,5 x. Το να ξοδεύεις είναι να αφαιρείς. Η φράση γίνεται:

x - 0,5 x

και τα μισά από τα υπόλοιπα...

Αφαιρέστε το άλλο μισό από το υπόλοιπο:

x - 0,5 x - 0,25 x

τότε μόνο ένα σακουλάκι λεφτά θα μείνει μαζί μου...

Και υπάρχει ισότητα! Μετά από όλες τις αφαιρέσεις, μένει ένα σακί με χρήματα:

x - 0,5 x - 0,25 x \u003d 1

Να, το μαθηματικό μοντέλο! Αυτή είναι πάλι μια γραμμική εξίσωση, λύνουμε, παίρνουμε:

Ερώτηση προς εξέταση. Τέσσερα είναι τι; Ρούβλι, δολάριο, γιουάν; Και σε ποιες μονάδες έχουμε χρήματα στο μαθηματικό μοντέλο; Σε τσάντες!Τέσσερα λοιπόν τσάνταΤα λεφτά του Πέτροβιτς. Δεν είναι και κακό.)

Τα καθήκοντα είναι φυσικά στοιχειώδη. Αυτό γίνεται ειδικά για να συλλάβει την ουσία της κατάρτισης ενός μαθηματικού μοντέλου. Σε ορισμένες εργασίες, μπορεί να υπάρχουν πολύ περισσότερα δεδομένα στα οποία είναι εύκολο να μπερδευτείτε. Αυτό συμβαίνει συχνά στο λεγόμενο. καθήκοντα ικανότητας. Ο τρόπος εξαγωγής μαθηματικού περιεχομένου από ένα σωρό λέξεων και αριθμών παρουσιάζεται με παραδείγματα

Μια ακόμη σημείωση. Στα κλασικά σχολικά προβλήματα (σωλήνες γεμίζουν την πισίνα, βάρκες πλέουν κάπου κ.λπ.), όλα τα δεδομένα, κατά κανόνα, επιλέγονται πολύ προσεκτικά. Υπάρχουν δύο κανόνες:
- υπάρχουν αρκετές πληροφορίες στο πρόβλημα για την επίλυσή του,
- δεν υπάρχουν επιπλέον πληροφορίες στην εργασία.

Αυτό είναι μια υπόδειξη. Εάν υπάρχει κάποια αχρησιμοποίητη τιμή στο μαθηματικό μοντέλο, σκεφτείτε εάν υπάρχει σφάλμα. Εάν δεν υπάρχουν αρκετά δεδομένα με οποιονδήποτε τρόπο, πιθανότατα δεν έχουν αποκαλυφθεί και καταγραφεί όλες οι κρυφές πληροφορίες.

Στην ικανότητα και σε άλλα καθήκοντα ζωής, αυτοί οι κανόνες δεν τηρούνται αυστηρά. Δεν έχω υπόδειξη. Αλλά τέτοια προβλήματα μπορούν επίσης να λυθούν. Εκτός, φυσικά, εάν εξασκηθείτε στο κλασικό.)

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Μάθηση - με ενδιαφέρον!)

μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.

Πρώτο επίπεδο

Μαθηματικά μοντέλα στο OGE και την Ενιαία Κρατική Εξέταση (2019)

Η έννοια του μαθηματικού μοντέλου

Φανταστείτε ένα αεροπλάνο: φτερά, άτρακτο, ουρά, όλα αυτά μαζί - ένα πραγματικό τεράστιο, τεράστιο, ολόκληρο αεροπλάνο. Και μπορείτε να φτιάξετε ένα μοντέλο αεροπλάνου, μικρό, αλλά όλα είναι αληθινά, τα ίδια φτερά κ.λπ., αλλά συμπαγή. Το ίδιο και το μαθηματικό μοντέλο. Υπάρχει ένα πρόβλημα κειμένου, δυσκίνητο, μπορείτε να το κοιτάξετε, να το διαβάσετε, αλλά να μην το καταλάβετε καλά, και ακόμη περισσότερο δεν είναι σαφές πώς να το λύσετε. Τι γίνεται όμως αν κάνουμε ένα μικρό μοντέλο του, ένα μαθηματικό μοντέλο, από ένα μεγάλο λεκτικό πρόβλημα; Τι σημαίνει μαθηματικά; Έτσι, χρησιμοποιώντας τους κανόνες και τους νόμους της μαθηματικής σημειογραφίας, επαναλάβετε το κείμενο σε μια λογικά σωστή αναπαράσταση χρησιμοποιώντας αριθμούς και αριθμητικά σημάδια. Ετσι, Ένα μαθηματικό μοντέλο είναι μια αναπαράσταση μιας πραγματικής κατάστασης χρησιμοποιώντας μια μαθηματική γλώσσα.

Ας ξεκινήσουμε απλά: Ο αριθμός είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό κατά. Πρέπει να το γράψουμε χωρίς να χρησιμοποιήσουμε λέξεις, μόνο τη γλώσσα των μαθηματικών. Αν περισσότερο κατά, τότε αποδεικνύεται ότι αν αφαιρέσουμε από, τότε η ίδια η διαφορά αυτών των αριθμών θα παραμείνει ίση. Εκείνοι. ή. Καταλαβαίνετε την ουσία;

Τώρα είναι πιο περίπλοκο, τώρα θα υπάρχει ένα κείμενο που θα πρέπει να προσπαθήσετε να παρουσιάσετε με τη μορφή μαθηματικού μοντέλου, μέχρι να διαβάσετε πώς θα το κάνω, δοκιμάστε το μόνοι σας! Υπάρχουν τέσσερις αριθμοί: , και. Ένα προϊόν και περισσότερα προϊόντα και δύο φορές.

Τι συνέβη?

Με τη μορφή μαθηματικού μοντέλου, θα μοιάζει με αυτό:

Εκείνοι. το προϊόν σχετίζεται με δύο προς ένα, αλλά αυτό μπορεί να απλοποιηθεί περαιτέρω:

Λοιπόν, με απλά παραδείγματα, καταλαβαίνετε το νόημα, υποθέτω. Ας περάσουμε σε ολοκληρωμένες εργασίες στις οποίες πρέπει να λυθούν και αυτά τα μαθηματικά μοντέλα! Εδώ είναι το καθήκον.

Μαθηματικό μοντέλο στην πράξη

Εργασία 1

Μετά τη βροχή, η στάθμη του νερού στο πηγάδι μπορεί να ανέβει. Το αγόρι μετρά τον χρόνο πτώσης μικρών βότσαλων στο πηγάδι και υπολογίζει την απόσταση από το νερό χρησιμοποιώντας τον τύπο, όπου είναι η απόσταση σε μέτρα και ο χρόνος πτώσης σε δευτερόλεπτα. Πριν τη βροχή, η ώρα για την πτώση των βότσαλων ήταν s. Πόσο πρέπει να ανέβει η στάθμη του νερού μετά τη βροχή για να αλλάξει ο μετρημένος χρόνος σε s; Εκφράστε την απάντησή σας σε μέτρα.

Ω Θεέ μου! Τι φόρμουλες, τι πηγάδι, τι συμβαίνει, τι να κάνουμε; Διάβασα το μυαλό σου; Χαλαρώστε, σε εργασίες αυτού του τύπου, οι συνθήκες είναι ακόμη πιο τρομερές, το κύριο πράγμα που πρέπει να θυμάστε είναι ότι σε αυτήν την εργασία ενδιαφέρεστε για τύπους και σχέσεις μεταξύ μεταβλητών και αυτό που σημαίνει όλα αυτά στις περισσότερες περιπτώσεις δεν είναι πολύ σημαντικό. Τι θεωρείτε χρήσιμο εδώ; Προσωπικά βλέπω. Η αρχή της επίλυσης αυτών των προβλημάτων είναι η εξής: παίρνετε όλες τις γνωστές ποσότητες και τις αντικαθιστάτε.Αλλά μερικές φορές πρέπει να σκεφτείς!

Ακολουθώντας τις πρώτες μου συμβουλές και αντικαθιστώντας όλα τα γνωστά στην εξίσωση, παίρνουμε:

Ήμουν εγώ που αντικατέστησα τον χρόνο του δεύτερου, και βρήκα το ύψος που πέταξε η πέτρα πριν τη βροχή. Και τώρα πρέπει να μετρήσουμε μετά τη βροχή και να βρούμε τη διαφορά!

Τώρα ακούστε τη δεύτερη συμβουλή και σκεφτείτε το, διευκρινίζει η ερώτηση, «πόσο πρέπει να ανέβει η στάθμη του νερού μετά τη βροχή για να αλλάξει ο μετρημένος χρόνος κατά s». Πρέπει να το καταλάβετε αμέσως, τόσο πολύ, μετά τη βροχή η στάθμη του νερού ανεβαίνει, πράγμα που σημαίνει ότι ο χρόνος για να πέσει η πέτρα στη στάθμη του νερού είναι λιγότερος, και εδώ χρειάζεται η περίτεχνη φράση "ώστε να αλλάξει ο μετρημένος χρόνος" σε μια συγκεκριμένη έννοια: ο χρόνος πτώσης δεν αυξάνεται, αλλά μειώνεται κατά τα καθορισμένα δευτερόλεπτα. Αυτό σημαίνει ότι στην περίπτωση μιας ρίψης μετά τη βροχή, πρέπει απλώς να αφαιρέσουμε το c από τον αρχικό χρόνο c και παίρνουμε την εξίσωση για το ύψος που θα πετάξει η πέτρα μετά τη βροχή:

Και τέλος, για να βρείτε πόσο θα πρέπει να ανέβει η στάθμη του νερού μετά τη βροχή, ώστε ο μετρούμενος χρόνος να αλλάξει κατά s, αρκεί να αφαιρέσετε το δεύτερο από το πρώτο ύψος της πτώσης!

Παίρνουμε την απάντηση: ανά μέτρο.

Όπως μπορείτε να δείτε, δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο, το πιο σημαντικό, μην ενοχλείτε πολύ από πού προήλθε μια τόσο ακατανόητη και μερικές φορές πολύπλοκη εξίσωση στις συνθήκες και τι σημαίνει όλα σε αυτήν, πάρτε το λόγο μου, οι περισσότερες από αυτές τις εξισώσεις είναι βγαλμένο από τη φυσική, και εκεί η ζούγκλα είναι χειρότερη από ό,τι στην άλγεβρα. Μερικές φορές μου φαίνεται ότι αυτές οι εργασίες επινοήθηκαν για να εκφοβίσουν τον μαθητή στις εξετάσεις με μια πληθώρα πολύπλοκων τύπων και όρων και στις περισσότερες περιπτώσεις δεν απαιτούν σχεδόν καμία γνώση. Απλώς διαβάστε προσεκτικά την συνθήκη και αντικαταστήστε τις γνωστές τιμές στον τύπο!

Εδώ υπάρχει ένα άλλο πρόβλημα, όχι πια στη φυσική, αλλά από τον κόσμο της οικονομικής θεωρίας, αν και εδώ δεν απαιτούνται και πάλι γνώσεις επιστημών εκτός από τα μαθηματικά.

Εργασία 2

Η εξάρτηση του όγκου της ζήτησης (μονάδες ανά μήνα) για τα προϊόντα μιας μονοπωλιακής επιχείρησης από την τιμή (χιλιάδες ρούβλια) δίνεται από τον τύπο

Τα μηνιαία έσοδα της εταιρείας (σε χιλιάδες ρούβλια) υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τον τύπο. Προσδιορίστε την υψηλότερη τιμή στην οποία τα μηνιαία έσοδα θα είναι τουλάχιστον χίλια ρούβλια. Δώστε την απάντηση σε χιλιάδες ρούβλια.

Μαντέψτε τι θα κάνω τώρα; Ναι, θα αρχίσω να αντικαθιστώ αυτά που ξέρουμε, αλλά, πάλι, πρέπει να σκεφτείτε λίγο. Ας πάμε από το τέλος, πρέπει να βρούμε σε ποιο. Άρα, υπάρχει, ίσο με κάποιους, βρίσκουμε με τι άλλο είναι ίσο, και είναι ίσο, και θα το γράψουμε. Όπως μπορείτε να δείτε, δεν ασχολούμαι ιδιαίτερα με το νόημα όλων αυτών των ποσοτήτων, κοιτάζω μόνο από τις συνθήκες, τι είναι ίσο με τι, αυτό πρέπει να κάνετε. Ας επιστρέψουμε στην εργασία, την έχετε ήδη, αλλά όπως θυμάστε, από μια εξίσωση με δύο μεταβλητές, καμία από αυτές δεν μπορεί να βρεθεί, τι να κάνετε; Ναι, έχουμε ακόμα ένα αχρησιμοποίητο σωματίδιο στην κατάσταση. Εδώ, υπάρχουν ήδη δύο εξισώσεις και δύο μεταβλητές, πράγμα που σημαίνει ότι τώρα μπορούν να βρεθούν και οι δύο μεταβλητές - υπέροχο!

Μπορείτε να λύσετε ένα τέτοιο σύστημα;

Λύνουμε με αντικατάσταση, το έχουμε ήδη εκφράσει, που σημαίνει ότι θα το υποκαταστήσουμε στην πρώτη εξίσωση και θα το απλοποιήσουμε.

Αποδεικνύεται ότι εδώ είναι μια τέτοια τετραγωνική εξίσωση: , λύνουμε, οι ρίζες είναι έτσι, . Στην εργασία, απαιτείται να βρεθεί η υψηλότερη τιμή στην οποία θα πληρούνται όλες οι προϋποθέσεις που λάβαμε υπόψη κατά τη σύνταξη του συστήματος. Α, αποδεικνύεται ότι αυτό ήταν το τίμημα. Cool, οπότε βρήκαμε τις τιμές: και. Η υψηλότερη τιμή, λέτε; Εντάξει, το μεγαλύτερο από αυτά, προφανώς, το γράφουμε ως απάντηση. Λοιπόν, είναι δύσκολο; Νομίζω ότι όχι, και δεν χρειάζεται να το εμβαθύνεις πολύ!

Και εδώ είναι μια τρομακτική φυσική για εσάς, ή μάλλον, ένα άλλο πρόβλημα:

Εργασία 3

Για τον προσδιορισμό της αποτελεσματικής θερμοκρασίας των άστρων, χρησιμοποιείται ο νόμος Stefan–Boltzmann, σύμφωνα με τον οποίο, όπου είναι η ακτινοβολία του άστρου, είναι σταθερά, είναι η επιφάνεια του άστρου και είναι η θερμοκρασία. Είναι γνωστό ότι η επιφάνεια ενός συγκεκριμένου αστεριού είναι ίση και η ισχύς της ακτινοβολίας του είναι ίση με W. Βρείτε τη θερμοκρασία αυτού του αστεριού σε βαθμούς Κέλβιν.

Πού είναι ξεκάθαρο; Ναι, η συνθήκη λέει τι ισούται με τι. Προηγουμένως, συνιστούσα να αντικατασταθούν αμέσως όλα τα άγνωστα, αλλά εδώ είναι καλύτερα να εκφράσουμε πρώτα το αναζητούμενο άγνωστο. Κοίτα πόσο απλά είναι όλα: υπάρχει ένας τύπος και είναι γνωστοί σε αυτόν, και (αυτό είναι το ελληνικό γράμμα «σίγμα». Γενικά, οι φυσικοί αγαπούν τα ελληνικά γράμματα, συνηθίστε το). Η θερμοκρασία είναι άγνωστη. Ας το εκφράσουμε με τη μορφή ενός τύπου. Πώς να το κάνετε, ελπίζω να γνωρίζετε; Τέτοιες εργασίες για το GIA στον βαθμό 9 συνήθως δίνουν:

Τώρα μένει να αντικαταστήσουμε αριθμούς αντί για γράμματα στη δεξιά πλευρά και να απλοποιήσουμε:

Εδώ είναι η απάντηση: βαθμούς Κέλβιν! Και τι τρομερό έργο ήταν αυτό!

Συνεχίζουμε να βασανίζουμε προβλήματα στη φυσική.

Εργασία 4

Το ύψος πάνω από το έδαφος μιας μπάλας που πετιέται αλλάζει σύμφωνα με το νόμο, όπου είναι το ύψος σε μέτρα, είναι ο χρόνος σε δευτερόλεπτα που έχει περάσει από τη ρίψη. Πόσα δευτερόλεπτα θα βρίσκεται η μπάλα σε ύψος τουλάχιστον τριών μέτρων;

Αυτές ήταν όλες οι εξισώσεις, αλλά εδώ είναι απαραίτητο να προσδιορίσουμε πόσο ήταν η μπάλα σε ύψος τουλάχιστον τριών μέτρων, που σημαίνει σε ύψος. Τι θα φτιάξουμε; Ανισότητα, ναι! Έχουμε μια συνάρτηση που περιγράφει πώς πετάει η μπάλα, όπου είναι ακριβώς το ίδιο ύψος σε μέτρα, χρειαζόμαστε το ύψος. Που σημαίνει

Και τώρα απλά λύνετε την ανισότητα, το πιο σημαντικό, μην ξεχάσετε να αλλάξετε το πρόσημο της ανισότητας από περισσότερο ή ίσο σε μικρότερο ή ίσο όταν πολλαπλασιάσετε και με τα δύο μέρη της ανισότητας για να απαλλαγείτε από το μείον μπροστά.

Εδώ είναι οι ρίζες, χτίζουμε διαστήματα για την ανισότητα:

Μας ενδιαφέρει το διάστημα όπου το πρόσημο είναι μείον, αφού η ανισότητα παίρνει αρνητικές τιμές εκεί, αυτό είναι από και προς τα δύο. Και τώρα ενεργοποιούμε τον εγκέφαλο και σκεφτόμαστε προσεκτικά: για την ανισότητα, χρησιμοποιήσαμε μια εξίσωση που περιγράφει την πτήση της μπάλας, με κάποιο τρόπο πετά κατά μήκος μιας παραβολής, δηλ. απογειώνεται, φτάνει σε μια κορυφή και πέφτει, πώς να καταλάβω πόσο θα είναι σε ύψος τουλάχιστον μέτρων; Βρήκαμε 2 σημεία καμπής, δηλ. τη στιγμή που πετάει πάνω από μέτρα και τη στιγμή που φτάνει στο ίδιο σημείο πέφτοντας, αυτά τα δύο σημεία εκφράζονται με τη μορφή μας με τη μορφή του χρόνου, δηλ. γνωρίζουμε σε ποιο δευτερόλεπτο της πτήσης μπήκε στη ζώνη που μας ενδιαφέρει (πάνω από μέτρα) και σε ποια την άφησε (έπεσε κάτω από το σημάδι του μέτρου). Πόσα δευτερόλεπτα ήταν σε αυτή τη ζώνη; Είναι λογικό να παίρνουμε τον χρόνο εξόδου από τη ζώνη και να αφαιρούμε από αυτόν τον χρόνο εισόδου σε αυτή τη ζώνη. Αντίστοιχα: - τόσο πολύ ήταν στη ζώνη πάνω από μέτρα, αυτή είναι η απάντηση.

Είστε τόσο τυχεροί που τα περισσότερα παραδείγματα σε αυτό το θέμα μπορούν να ληφθούν από την κατηγορία των προβλημάτων στη φυσική, οπότε πιάστε ένα ακόμα, είναι το τελευταίο, οπότε πιέστε τον εαυτό σας, μένουν πολύ λίγα!

Εργασία 5

Για ένα στοιχείο θέρμανσης μιας συγκεκριμένης συσκευής, ελήφθη πειραματικά η εξάρτηση από τη θερμοκρασία από το χρόνο λειτουργίας:

Πού είναι ο χρόνος σε λεπτά. Είναι γνωστό ότι σε μια θερμοκρασία του θερμαντικού στοιχείου πάνω από τη συσκευή μπορεί να επιδεινωθεί, επομένως πρέπει να απενεργοποιηθεί. Βρείτε το μέγιστο χρόνο μετά την έναρξη της εργασίας για να απενεργοποιήσετε τη συσκευή. Εκφράστε την απάντησή σας σε λίγα λεπτά.

Ενεργούμε σύμφωνα με ένα καλά εδραιωμένο σχέδιο, ό,τι δίνεται, γράφουμε πρώτα:

Τώρα παίρνουμε τον τύπο και τον εξισώνουμε με την τιμή θερμοκρασίας στην οποία η συσκευή μπορεί να θερμανθεί όσο το δυνατόν περισσότερο μέχρι να καεί, δηλαδή:

Τώρα αντικαθιστούμε αριθμούς αντί για γράμματα όπου είναι γνωστοί:

Όπως μπορείτε να δείτε, η θερμοκρασία κατά τη λειτουργία της συσκευής περιγράφεται από μια τετραγωνική εξίσωση, που σημαίνει ότι κατανέμεται κατά μήκος μιας παραβολής, δηλ. η συσκευή θερμαίνεται σε μια συγκεκριμένη θερμοκρασία και στη συνέχεια κρυώνει. Λάβαμε απαντήσεις και, επομένως, κατά τη διάρκεια και κατά τη διάρκεια των λεπτών θέρμανσης, η θερμοκρασία είναι κρίσιμη, αλλά μεταξύ και λεπτών είναι ακόμη υψηλότερη από το όριο!

Επομένως, πρέπει να απενεργοποιήσετε τη συσκευή μετά από ένα λεπτό.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ. ΣΥΝΟΠΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΟ ΚΥΡΙΟ

Τις περισσότερες φορές, τα μαθηματικά μοντέλα χρησιμοποιούνται στη φυσική: τελικά, μάλλον έπρεπε να απομνημονεύσετε δεκάδες φυσικούς τύπους. Και ο τύπος είναι η μαθηματική αναπαράσταση της κατάστασης.

Στο OGE και στην Ενιαία Κρατική Εξέταση υπάρχουν εργασίες μόνο σε αυτό το θέμα. Στο USE (προφίλ) αυτή είναι η εργασία με αριθμό 11 (πρώην B12). Στο OGE - αριθμός εργασίας 20.

Το σχέδιο λύσης είναι προφανές:

1) Από το κείμενο της συνθήκης, είναι απαραίτητο να "απομονώσουμε" χρήσιμες πληροφορίες - τι γράφουμε σε προβλήματα στη φυσική κάτω από τη λέξη "Δεδομένο". Αυτές οι χρήσιμες πληροφορίες είναι:

• Τύπος
• Γνωστά φυσικά μεγέθη.

Δηλαδή, σε κάθε γράμμα από τον τύπο πρέπει να εκχωρηθεί ένας συγκεκριμένος αριθμός.

2) Πάρτε όλες τις γνωστές τιμές και αντικαταστήστε τις στον τύπο. Η άγνωστη τιμή παραμένει ως γράμμα. Τώρα χρειάζεται απλώς να λύσετε την εξίσωση (συνήθως αρκετά απλή) και η απάντηση είναι έτοιμη.

Λοιπόν, το θέμα τελείωσε. Αν διαβάζετε αυτές τις γραμμές, τότε είστε πολύ cool.

Επειδή μόνο το 5% των ανθρώπων είναι σε θέση να κατακτήσουν κάτι μόνοι τους. Και αν έχεις διαβάσει μέχρι το τέλος, τότε είσαι στο 5%!

Τώρα το πιο σημαντικό.

Έχετε καταλάβει τη θεωρία για αυτό το θέμα. Και, επαναλαμβάνω, είναι ... είναι απλά σούπερ! Είστε ήδη καλύτεροι από τη συντριπτική πλειοψηφία των συνομηλίκων σας.

Το πρόβλημα είναι ότι αυτό μπορεί να μην είναι αρκετό...

Για τι?

Για την επιτυχή επιτυχία της εξέτασης, για την εισαγωγή στο ινστιτούτο επί προϋπολογισμού και, ΤΟ ΠΙΟ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ, ισόβια.

Δεν θα σε πείσω για τίποτα, ένα μόνο θα πω…

Οι άνθρωποι που έχουν λάβει καλή εκπαίδευση κερδίζουν πολύ περισσότερα από εκείνους που δεν την έχουν λάβει. Αυτά είναι στατιστικά στοιχεία.

Αλλά αυτό δεν είναι το κύριο πράγμα.

Το κυριότερο είναι ότι είναι ΠΙΟ ΕΥΤΥΧΙΣΜΕΝΟΙ (υπάρχουν τέτοιες μελέτες). Ίσως επειδή ανοίγονται πολύ περισσότερες ευκαιρίες μπροστά τους και η ζωή γίνεται πιο φωτεινή; Δεν ξέρω...

Σκέψου όμως και μόνος σου...

Τι χρειάζεται για να είσαι σίγουρος ότι θα είσαι καλύτερος από τους άλλους στις εξετάσεις και τελικά θα είσαι ... πιο ευτυχισμένος;

ΓΕΜΙΣΤΕ ΤΟ ΧΕΡΙ ΣΑΣ, ΛΥΝΟΝΤΑΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΑΥΤΟ ΤΟ ΘΕΜΑ.

Στις εξετάσεις δεν θα ερωτηθείτε θεωρία.

Θα χρειαστείτε επίλυση προβλημάτων εγκαίρως.

Και, αν δεν τα έχετε λύσει (ΠΟΛΛΑ!), σίγουρα θα κάνετε ένα ηλίθιο λάθος κάπου ή απλά δεν θα το κάνετε εγκαίρως.

Είναι όπως στον αθλητισμό - πρέπει να επαναλάβετε πολλές φορές για να κερδίσετε σίγουρα.

Βρείτε μια συλλογή όπου θέλετε αναγκαστικά με λύσεις, αναλυτική ανάλυσηκαι αποφασίστε, αποφασίστε, αποφασίστε!

Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις εργασίες μας (όχι απαραίτητα) και σίγουρα τις προτείνουμε.

Για να μπορέσετε να βοηθήσετε με τη βοήθεια των εργασιών μας, πρέπει να βοηθήσετε να παρατείνετε τη διάρκεια ζωής του εγχειριδίου YouClever που διαβάζετε αυτήν τη στιγμή.

Πως? Υπάρχουν δύο επιλογές:

1. Ξεκλειδώστε την πρόσβαση σε όλες τις κρυφές εργασίες σε αυτό το άρθρο - 299 τρίψτε.
2. Ξεκλειδώστε την πρόσβαση σε όλες τις κρυφές εργασίες και στα 99 άρθρα του σεμιναρίου - 999 τρίψτε.

Ναι, έχουμε 99 τέτοια άρθρα στο σχολικό βιβλίο και η πρόσβαση σε όλες τις εργασίες και όλα τα κρυφά κείμενα σε αυτά μπορεί να ανοίξει αμέσως.

Στη δεύτερη περίπτωση θα σας δώσουμεπροσομοιωτής "6000 εργασίες με λύσεις και απαντήσεις, για κάθε θέμα, για όλα τα επίπεδα πολυπλοκότητας." Είναι σίγουρα αρκετό για να βάλεις το χέρι σου στην επίλυση προβλημάτων για οποιοδήποτε θέμα.

Στην πραγματικότητα, αυτό δεν είναι απλώς ένας προσομοιωτής - ένα ολόκληρο πρόγραμμα εκπαίδευσης. Εάν χρειαστεί, μπορείτε επίσης να το χρησιμοποιήσετε ΔΩΡΕΑΝ.

Παρέχεται πρόσβαση σε όλα τα κείμενα και τα προγράμματα για όλη τη διάρκεια ζωής του ιστότοπου.

Συμπερασματικά...

Αν δεν σας αρέσουν οι εργασίες μας, βρείτε άλλες. Απλά μην σταματάς στη θεωρία.

Το «Κατανοητό» και το «Ξέρω πώς να λύνω» είναι εντελώς διαφορετικές δεξιότητες. Χρειάζεσαι και τα δύο.

Βρείτε προβλήματα και λύστε!