Γραμμικές ανισότητες. Αναλυτική θεωρία με παραδείγματα

Της μορφής ax 2 + bx + 0 0, όπου (αντί για το σύμβολο > μπορεί, φυσικά, να υπάρχει οποιοδήποτε άλλο πρόσημο ανισότητας). Έχουμε όλα τα θεωρητικά δεδομένα που είναι απαραίτητα για την επίλυση τέτοιων ανισοτήτων, όπως θα δούμε τώρα.

Παράδειγμα 1. Επίλυση ανισότητας:

α) x 2 - 2x - 3 >0; β) x 2 - 2x - 3< 0;
γ) x 2 - 2x - 3 > 0; δ) x 2 - 2x - 3< 0.
Λύση,

α) Θεωρήστε την παραβολή y = x 2 - 2x - 3, που φαίνεται στο Σχ. 117.

Η επίλυση της ανισότητας x 2 - 2x - 3 > 0 σημαίνει απάντηση στην ερώτηση σε ποιες τιμές του x είναι θετικές οι τεταγμένες των σημείων της παραβολής.

Σημειώνουμε ότι y > 0, δηλαδή η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τον άξονα x, στο x< -1 или при х > 3.

Αυτό σημαίνει ότι οι λύσεις στην ανισότητα είναι όλες τα σημεία του ανοιχτού δέσμη(- 00 , - 1), καθώς και όλα τα σημεία της ανοιχτής δοκού (3, +00).

Χρησιμοποιώντας το σύμβολο U (το πρόσημο για το συνδυασμό συνόλων), η απάντηση μπορεί να γραφεί ως εξής: (-00, - 1) U (3, +00). Ωστόσο, η απάντηση μπορεί να γραφτεί ως εξής: x< - 1; х > 3.

β) Ανισότητα x 2 - 2x - 3< 0, или у < 0, где у = х 2 - 2х - 3, также можно решить с помощью рис. 117: πρόγραμμαβρίσκεται κάτω από τον άξονα x αν -1< х < 3. Поэтому решениями данного неравенства служат все точки интервала (- 1, 3).

γ) Η ανισότητα x 2 - 2x - 3 > 0 διαφέρει από την ανισότητα x 2 - 2x - 3 > 0 στο ότι η απάντηση πρέπει επίσης να περιλαμβάνει τις ρίζες της εξίσωσης x 2 - 2x - 3 = 0, δηλαδή σημεία x = - 1

και x = 3. Έτσι, οι λύσεις αυτής της μη αυστηρής ανισότητας είναι όλα τα σημεία της ακτίνας (-00, - 1], καθώς και όλα τα σημεία της ακτίνας.

Οι πρακτικοί μαθηματικοί λένε συνήθως το εξής: γιατί χρειάζεται να κατασκευάσουμε προσεκτικά ένα γράφημα παραβολής μιας τετραγωνικής συνάρτησης όταν λύνουμε τον άξονα ανισότητας 2 + bx + c > 0

y = ax 2 + bx + c (όπως έγινε στο παράδειγμα 1); Αρκεί να κάνετε ένα σχηματικό σκίτσο του γραφήματος, για το οποίο απλά πρέπει να βρείτε ρίζεςτετράγωνο τριώνυμο (το σημείο τομής της παραβολής με τον άξονα x) και προσδιορίστε εάν οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται προς τα πάνω ή προς τα κάτω. Αυτό το σχηματικό σκίτσο θα δώσει μια οπτική ερμηνεία της λύσης της ανισότητας.

Παράδειγμα 2.Λύστε την ανίσωση - 2x 2 + 3x + 9< 0.
Λύση.

1) Βρείτε τις ρίζες του τετραγωνικού τριωνύμου - 2x 2 + 3x + 9: x 1 = 3; x 2 = - 1,5.

2) Η παραβολή, η οποία χρησιμεύει ως γραφική παράσταση της συνάρτησης y = -2x 2 + 3x + 9, τέμνει τον άξονα x στα σημεία 3 και - 1,5 και οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται προς τα κάτω, αφού το υψηλότερο συντελεστής- αρνητικός αριθμός - 2. Στο Σχ. 118 δείχνει ένα σκίτσο του γραφήματος.

3) Χρησιμοποιώντας το σχ. 118, καταλήγουμε στο συμπέρασμα:< 0 на тех промежутках оси х, где график расположен ниже оси х, т.е. на открытом луче (-оо, -1,5) или на открытом луче C, +оо).
Απάντηση: x< -1,5; х > 3.

Παράδειγμα 3.Λύστε την ανίσωση 4x 2 - 4x + 1< 0.
Λύση.

1) Από την εξίσωση 4x 2 - 4x + 1 = 0 βρίσκουμε .

2) Ένα τετράγωνο τριώνυμο έχει μία ρίζα. Αυτό σημαίνει ότι η παραβολή που χρησιμεύει ως γραφική παράσταση ενός τετραγωνικού τριωνύμου δεν τέμνει τον άξονα x, αλλά τον αγγίζει στο σημείο . Οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται προς τα πάνω (Εικ. 119.)

3) Χρησιμοποιώντας το γεωμετρικό μοντέλο που παρουσιάζεται στο Σχ. 119, διαπιστώνουμε ότι η δεδομένη ανισότητα ικανοποιείται μόνο στο σημείο, αφού για όλες τις άλλες τιμές του x οι τεταγμένες του γραφήματος είναι θετικές.
Απάντηση: .
Πιθανότατα παρατηρήσατε ότι στην πραγματικότητα, στα παραδείγματα 1, 2, 3, ένα πολύ συγκεκριμένο αλγόριθμοςλύση τετραγωνικών ανισώσεων, ας την επισημοποιήσουμε.

Αλγόριθμος για την επίλυση της δευτεροβάθμιας ανισότητας ax 2 + bx + 0 0 (ax 2 + bx + c< 0)

Το πρώτο βήμα αυτού του αλγορίθμου είναι να βρούμε τις ρίζες ενός τετραγωνικού τριωνύμου. Αλλά οι ρίζες μπορεί να μην υπάρχουν, οπότε τι μπορούμε να κάνουμε; Τότε ο αλγόριθμος δεν είναι εφαρμόσιμος, πράγμα που σημαίνει ότι πρέπει να σκεφτόμαστε διαφορετικά. Το κλειδί σε αυτά τα επιχειρήματα δίνεται από τα ακόλουθα θεωρήματα.

Με άλλα λόγια, εάν ο Δ< 0, а >0, τότε η ανισότητα ax 2 + bx + c > 0 ισχύει για όλα τα x. αντίθετα, η ανισότητα ax 2 + bx + c< 0 не имеет решений.
Απόδειξη. Πρόγραμμα λειτουργίες y = ax 2 + bx + c είναι μια παραβολή της οποίας οι κλάδοι κατευθύνονται προς τα πάνω (αφού a > 0) και η οποία δεν τέμνει τον άξονα x, αφού το τετραγωνικό τριώνυμο δεν έχει ρίζες κατά συνθήκη. Το γράφημα φαίνεται στο Σχ. 120. Βλέπουμε ότι για όλα τα x η γραφική παράσταση βρίσκεται πάνω από τον άξονα x, που σημαίνει ότι για όλα τα x ισχύει η ανισότητα ax 2 + bx + c > 0, που ήταν αυτό που έπρεπε να αποδειχθεί.

Με άλλα λόγια, εάν ο Δ< 0, а < 0, то неравенство ах 2 + bх + с < 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах 2 + bх + с >0 δεν έχει λύσεις.

Απόδειξη. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = ax 2 + bx +c είναι μια παραβολή, οι κλάδοι της οποίας κατευθύνονται προς τα κάτω (αφού α< 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 121. Видим, что при всех х график расположен ниже оси х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах 2 + bх + с < 0, что и требовалось доказать.

Παράδειγμα 4. Επίλυση ανισότητας:

α) 2x 2 - x + 4 >0; β) -x 2 + 3x - 8 >0.

α) Να βρείτε τη διάκριση του τετραγώνου τριωνύμου 2x 2 - x + 4. Έχουμε D = (-1) 2 - 4 2 4 = - 31< 0.
Ο προπορευόμενος συντελεστής του τριωνύμου (αριθμός 2) είναι θετικός.

Αυτό σημαίνει, σύμφωνα με το Θεώρημα 1, για όλα τα x ισχύει η ανισότητα 2x 2 - x + 4 > 0, δηλαδή η λύση στη δεδομένη ανισότητα είναι το σύνολο (-00, + 00).

β) Να βρείτε τη διάκριση του τετραγωνικού τριωνύμου - x 2 + 3x - 8. Έχουμε D = 32 - 4 (- 1) (- 8) = - 23< 0. Старший коэффициент трехчлена (число - 1) отрицателен. Следовательно, по теореме 2, при всех х выполняется неравенство - х 2 + Зx - 8 < 0. Это значит, что неравенство - х 2 + Зх - 8 0 не выполняется ни при каком значении х, т. е. заданное неравенство не имеет решений.

Απάντηση: α) (-00, + 00); β) δεν υπάρχουν λύσεις.

Στο παρακάτω παράδειγμα, θα εισαγάγουμε μια άλλη μέθοδο συλλογισμού που χρησιμοποιείται για την επίλυση τετραγωνικών ανισώσεων.

Παράδειγμα 5.Λύστε την ανίσωση 3x 2 - 10x + 3< 0.
Λύση. Ας παραγοντοποιήσουμε το τετραγωνικό τριώνυμο 3x 2 - 10x + 3. Οι ρίζες του τριωνύμου είναι οι αριθμοί 3 και , οπότε χρησιμοποιώντας ax 2 + bx + c = a (x - x 1) (x - x 2), παίρνουμε 3x 2 - 10x + 3 = 3(x - 3) ( Χ - )
Ας σημειώσουμε τις ρίζες του τριωνύμου στην αριθμητική ευθεία: 3 και (Εικ. 122).

Έστω x > 3; τότε x-3>0 και x->0, και επομένως το γινόμενο 3(x - 3)(x - ) είναι θετικό. Στη συνέχεια, ας< х < 3; тогда x-3< 0, а х- >0. Επομένως, το γινόμενο 3(x-3)(x-) είναι αρνητικό. Τέλος, έστω x<; тогда x-3< 0 и x- < 0. Но в таком случае произведение
3(x -3)(x -) είναι θετικό.

Συνοψίζοντας τη συλλογιστική, καταλήγουμε στο συμπέρασμα: τα πρόσημα του τετραγωνικού τριωνύμου 3x 2 - 10x + 3 αλλάζουν όπως φαίνεται στο Σχ. 122. Μας ενδιαφέρει σε τι x παίρνει αρνητικές τιμές το τετράγωνο τριώνυμο. Από το Σχ. 122 συμπεραίνουμε: το τετράγωνο τριώνυμο 3x 2 - 10x + 3 παίρνει αρνητικές τιμές για οποιαδήποτε τιμή του x από το διάστημα (, 3)
Απάντηση (, 3), ή< х < 3.

Σχόλιο. Η συλλογιστική μέθοδος που χρησιμοποιήσαμε στο Παράδειγμα 5 ονομάζεται συνήθως μέθοδος διαστημάτων (ή μέθοδος διαστημάτων). Χρησιμοποιείται ενεργά στα μαθηματικά για επίλυση λογικόςανισότητες Στην 9η δημοτικού θα μελετήσουμε λεπτομερέστερα τη μέθοδο του διαστήματος.

Παράδειγμα 6. Σε ποιες τιμές της παραμέτρου p είναι η τετραγωνική εξίσωση x 2 - 5x + p 2 = 0:
α) έχει δύο διαφορετικές ρίζες.

β) έχει μία ρίζα.

γ) δεν έχει ρίζες;

Λύση. Ο αριθμός των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης εξαρτάται από το πρόσημο του διακριτικού της D. Στην περίπτωση αυτή, βρίσκουμε D = 25 - 4p 2.

α) Η τετραγωνική εξίσωση έχει δύο διαφορετικές ρίζες, αν D>0, τότε το πρόβλημα ανάγεται στην επίλυση της ανίσωσης 25 - 4ρ 2 > 0. Ας πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές αυτής της ανισότητας με -1 (χωρίς να ξεχάσουμε να αλλάξουμε το πρόσημο του ανισότητα). Λαμβάνουμε την ισοδύναμη ανισότητα 4p 2 - 25< 0. Далее имеем 4 (р - 2,5) (р + 2,5) < 0.

Τα σημάδια της έκφρασης 4(p - 2,5) (p + 2,5) φαίνονται στο Σχ. 123.

Συμπεραίνουμε ότι η ανισότητα 4(p - 2,5)(p + 2,5)< 0 выполняется для всех значений р из интервала (-2,5; 2,5). Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет два различных корня.

σι) τετραγωνική εξίσωσηέχει μία ρίζα αν D - 0.
Όπως καθορίσαμε παραπάνω, D = 0 στο p = 2,5 ή p = -2,5.

Είναι για αυτές τις τιμές της παραμέτρου p που αυτή η τετραγωνική εξίσωση έχει μόνο μία ρίζα.

γ) Μια τετραγωνική εξίσωση δεν έχει ρίζες αν η Δ< 0. Решим неравенство 25 - 4р 2 < 0.

Παίρνουμε 4p 2 - 25 > 0; 4 (p-2,5)(p + 2,5)>0, από όπου (βλ. Εικ. 123) p< -2,5; р >2.5. Για αυτές τις τιμές της παραμέτρου p, αυτή η τετραγωνική εξίσωση δεν έχει ρίζες.

Απάντηση: α) στο p (-2,5, 2,5);

β) σε p = 2,5 ή = -2,5;
γ) στη σελ< - 2,5 или р > 2,5.

Mordkovich A. G., Αλγεβρα. 8η τάξη: Σχολικό βιβλίο. για γενική εκπαίδευση ιδρύματα - 3η έκδ., αναθεωρημένη. - Μ.: Μνημοσύνη, 2001. - 223 σελ.: εικ.

Βοήθεια για μαθητές online, Λήψη μαθηματικών για την 8η τάξη, ημερολόγιο και θεματικός προγραμματισμός

Οι ανισότητες ονομάζονται γραμμικέςτων οποίων η αριστερή και η δεξιά πλευρά είναι γραμμικές συναρτήσεις ως προς την άγνωστη ποσότητα. Αυτά περιλαμβάνουν, για παράδειγμα, ανισότητες:

2x-1-x+3; 7x0;

5 >4 - 6x 9- Χ< x + 5 .

1) Αυστηρές ανισότητες: τσεκούρι +b>0ή τσεκούρι+β<0

2) Μη αυστηρές ανισότητες: τσεκούρι +b≤0ή τσεκούρι+β≫ 0

Ας αναλύσουμε αυτό το έργο. Μία από τις πλευρές του παραλληλογράμμου είναι 7 cm. Πόσο πρέπει να είναι το μήκος της άλλης πλευράς ώστε η περίμετρος του παραλληλογράμμου να είναι μεγαλύτερη από 44 cm;

Αφήστε την απαιτούμενη πλευρά Χεκ. Στην περίπτωση αυτή, η περίμετρος του παραλληλογράμμου θα παριστάνεται με (14 + 2x) εκ. Η ανίσωση 14 + 2x > 44 είναι ένα μαθηματικό μοντέλο του προβλήματος της περιμέτρου ενός παραλληλογράμμου. Αν αντικαταστήσουμε τη μεταβλητή σε αυτή την ανισότητα Χστον αριθμό 16, για παράδειγμα, λαμβάνουμε τη σωστή αριθμητική ανισότητα 14 + 32 > 44. Σε αυτήν την περίπτωση, λένε ότι ο αριθμός 16 είναι μια λύση στην ανισότητα 14 + 2x > 44.

Επίλυση της ανισότηταςονομάστε την τιμή μιας μεταβλητής που τη μετατρέπει σε αληθινή αριθμητική ανισότητα.

Επομένως, καθένας από τους αριθμούς είναι 15,1. Το 20;73 λειτουργεί ως λύση στην ανίσωση 14 + 2x > 44, αλλά ο αριθμός 10, για παράδειγμα, δεν είναι η λύση της.

Λύστε την ανισότητασημαίνει να καθιερώσει όλες τις λύσεις του ή να αποδείξει ότι δεν υπάρχουν λύσεις.

Η διατύπωση της λύσης της ανισότητας είναι παρόμοια με τη διατύπωση της ρίζας της εξίσωσης. Και όμως δεν συνηθίζεται να προσδιορίζεται η «ρίζα της ανισότητας».

Οι ιδιότητες των αριθμητικών ισοτήτων μας βοήθησαν να λύσουμε εξισώσεις. Ομοίως, οι ιδιότητες των αριθμητικών ανισώσεων θα βοηθήσουν στην επίλυση των ανισώσεων.

Όταν λύνουμε μια εξίσωση, την αλλάζουμε με μια άλλη, απλούστερη εξίσωση, αλλά ισοδύναμη με τη δεδομένη. Η απάντηση στις ανισότητες βρίσκεται με παρόμοιο τρόπο. Όταν αλλάζουν μια εξίσωση σε μια ισοδύναμη εξίσωση, χρησιμοποιούν το θεώρημα για τη μεταφορά όρων από τη μια πλευρά της εξίσωσης στην αντίθετη και για τον πολλαπλασιασμό και των δύο πλευρών της εξίσωσης με τον ίδιο μη μηδενικό αριθμό. Κατά την επίλυση μιας ανισότητας, υπάρχει μια σημαντική διαφορά μεταξύ αυτής και μιας εξίσωσης, η οποία έγκειται στο γεγονός ότι οποιαδήποτε λύση σε μια εξίσωση μπορεί να επαληθευτεί απλώς με αντικατάσταση στην αρχική εξίσωση. Στις ανισότητες, αυτή η μέθοδος απουσιάζει, αφού δεν είναι δυνατό να αντικατασταθούν αμέτρητες λύσεις στην αρχική ανισότητα. Επομένως, υπάρχει μια σημαντική έννοια, αυτά τα βέλη<=>είναι ένα σημάδι ισοδύναμων, ή ισοδύναμων, μετασχηματισμών. Ο μετασχηματισμός ονομάζεται ισοδύναμος,ή ισοδύναμος, εάν δεν αλλάξουν το σύνολο των λύσεων.

Παρόμοιοι κανόνες για την επίλυση ανισοτήτων.

Αν μετακινήσουμε οποιονδήποτε όρο από το ένα μέρος της ανισότητας σε ένα άλλο, αντικαθιστώντας το πρόσημο του με το αντίθετο, λαμβάνουμε μια ανισότητα ισοδύναμη με αυτήν.

Αν και οι δύο πλευρές της ανισότητας πολλαπλασιαστούν (διαιρεθούν) με τον ίδιο θετικό αριθμό, προκύπτει μια ανισότητα ισοδύναμη με αυτήν.

Αν και οι δύο πλευρές της ανισότητας πολλαπλασιαστούν (διαιρεθούν) με τον ίδιο αρνητικό αριθμό, αντικαθιστώντας το πρόσημο της ανισότητας με το αντίθετο, προκύπτει μια ανισότητα ισοδύναμη με τη δεδομένη.

Χρησιμοποιώντας αυτά κανόνεςΑς υπολογίσουμε τις παρακάτω ανισώσεις.

1) Ας αναλύσουμε την ανισότητα 2x - 5 > 9.

Αυτό γραμμική ανισότητα, θα βρούμε τη λύση του και θα συζητήσουμε τις βασικές έννοιες.

2x - 5 > 9<=>2x>14(το 5 μετακινήθηκε στην αριστερή πλευρά με το αντίθετο πρόσημο), μετά τα χωρίσαμε όλα με το 2 και έχουμε x > 7. Ας σχεδιάσουμε το σύνολο των λύσεων στον άξονα Χ

Αποκτήσαμε μια θετικά κατευθυνόμενη δοκό. Σημειώνουμε το σύνολο των λύσεων είτε με τη μορφή ανισότητας x > 7, ή με τη μορφή του διαστήματος x(7; ∞). Ποια είναι μια συγκεκριμένη λύση σε αυτήν την ανισότητα; Για παράδειγμα, x = 10είναι μια ιδιαίτερη λύση σε αυτήν την ανισότητα, x = 12- αυτή είναι επίσης μια ιδιαίτερη λύση σε αυτήν την ανισότητα.

Υπάρχουν πολλές επιμέρους λύσεις, αλλά το καθήκον μας είναι να βρούμε όλες τις λύσεις. Και συνήθως υπάρχουν αμέτρητες λύσεις.

Ας το τακτοποιήσουμε παράδειγμα 2:

2) Λύστε την ανισότητα 4a - 11 > a + 13.

Ας το λύσουμε: ΕΝΑμετακινήστε το στη μία πλευρά 11 μετακινήστε το στην άλλη πλευρά, παίρνουμε 3α< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 η ανισότητα έχει τη μορφή ένα<8 .

4a - 11 > a + 13<=>3α< 24 <=>ένα< 8 .

Θα εμφανίσουμε επίσης το σετ ένα< 8 , αλλά ήδη στον άξονα ΕΝΑ.

Γράφουμε την απάντηση είτε με τη μορφή ανισότητας α< 8, либо ΕΝΑ(-∞;8), Το 8 δεν ανάβει.

Αφού λάβουμε αρχικές πληροφορίες για τις ανισότητες με μεταβλητές, προχωράμε στο ζήτημα της επίλυσής τους. Θα αναλύσουμε τη λύση γραμμικών ανισώσεων με μία μεταβλητή και όλες τις μεθόδους επίλυσής τους με αλγόριθμους και παραδείγματα. Θα ληφθούν υπόψη μόνο γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή.

Τι είναι η γραμμική ανισότητα;

Πρώτα, πρέπει να ορίσετε μια γραμμική εξίσωση και να μάθετε την τυπική της μορφή και πώς θα διαφέρει από άλλες. Από το σχολικό μάθημα έχουμε ότι δεν υπάρχει θεμελιώδης διαφορά μεταξύ των ανισοτήτων, επομένως είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθούν αρκετοί ορισμοί.

Ορισμός 1

Γραμμική ανισότητα με μία μεταβλητή x είναι μια ανισότητα της μορφής a · x + b > 0, όταν χρησιμοποιείται οποιοδήποτε σύμβολο ανισότητας αντί για >< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

Ορισμός 2

Ανισώσεις a x< c или a · x >Το c, με το x να είναι μεταβλητή και το a και c να είναι κάποιοι αριθμοί, καλείται γραμμικές ανισότητες με μία μεταβλητή.

Εφόσον δεν λέγεται τίποτα για το αν ο συντελεστής μπορεί να είναι ίσος με 0, τότε μια αυστηρή ανισότητα της μορφής 0 x > c και 0 x< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

Οι διαφορές τους είναι:

μορφή σημειογραφίας a · x + b > 0 στην πρώτη, και a · x > c – στη δεύτερη.
παραδεκτό του συντελεστή a είναι ίσο με μηδέν, a ≠ 0 - στο πρώτο, και a = 0 - στο δεύτερο.

Πιστεύεται ότι οι ανισώσεις a · x + b > 0 και a · x > c είναι ισοδύναμες, επειδή λαμβάνονται με τη μεταφορά ενός όρου από το ένα μέρος στο άλλο. Η επίλυση της ανισότητας 0 x + 5 > 0 θα οδηγήσει στο γεγονός ότι θα πρέπει να λυθεί και η περίπτωση a = 0 δεν θα λειτουργήσει.

Ορισμός 3

Πιστεύεται ότι οι γραμμικές ανισώσεις σε μια μεταβλητή x είναι ανισότητες της μορφής α x + β< 0 , a · x + b >0, a x + b ≤ 0Και a x + b ≥ 0, όπου a και b είναι πραγματικοί αριθμοί. Αντί για x μπορεί να υπάρχει ένας κανονικός αριθμός.

Με βάση τον κανόνα, έχουμε ότι 4 x − 1 > 0, 0 z + 2, 3 ≤ 0, - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 λέγονται αναγώγιμα σε γραμμικά.

Πώς να λύσετε γραμμική ανισότητα

Ο κύριος τρόπος επίλυσης τέτοιων ανισώσεων είναι η χρήση ισοδύναμων μετασχηματισμών για να βρεθούν οι στοιχειώδεις ανισώσεις x< p (≤ , >, ≥) , p που είναι ένας ορισμένος αριθμός, για a ≠ 0, και της μορφής a< p (≤ , >, ≥) για a = 0.

Για να λύσετε ανισότητες σε μία μεταβλητή, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο διαστήματος ή να την αναπαραστήσετε γραφικά. Οποιοδήποτε από αυτά μπορεί να χρησιμοποιηθεί ξεχωριστά.

Χρήση ισοδύναμων μετασχηματισμών

Για να λύσετε μια γραμμική ανίσωση της μορφής a x + b< 0 (≤ , >, ≥), είναι απαραίτητο να εφαρμοστούν ισοδύναμοι μετασχηματισμοί ανισότητας. Ο συντελεστής μπορεί να είναι ή όχι μηδέν. Ας εξετάσουμε και τις δύο περιπτώσεις. Για να το μάθετε, πρέπει να τηρήσετε ένα σχήμα που αποτελείται από 3 σημεία: την ουσία της διαδικασίας, τον αλγόριθμο και την ίδια τη λύση.

Ορισμός 4

Αλγόριθμος επίλυσης γραμμικής ανισότητας α x + β< 0 (≤ , >, ≥) για ένα ≠ 0

ο αριθμός b θα μετακινηθεί στη δεξιά πλευρά της ανισότητας με το αντίθετο πρόσημο, που θα μας επιτρέψει να φτάσουμε στο ισοδύναμο a x< − b (≤ , > , ≥) ;
Και οι δύο πλευρές της ανισότητας θα διαιρεθούν με έναν αριθμό όχι ίσο με 0. Επιπλέον, όταν το α είναι θετικό, το πρόσημο παραμένει· όταν το α είναι αρνητικό, αλλάζει στο αντίθετο.

Ας εξετάσουμε την εφαρμογή αυτού του αλγορίθμου για την επίλυση παραδειγμάτων.

Παράδειγμα 1

Λύστε την ανίσωση της μορφής 3 x + 12 ≤ 0.

Λύση

Αυτή η γραμμική ανισότητα έχει a = 3 και b = 12. Αυτό σημαίνει ότι ο συντελεστής a του x δεν είναι ίσος με μηδέν. Ας εφαρμόσουμε τους παραπάνω αλγόριθμους και ας το λύσουμε.

Είναι απαραίτητο να μετακινήσετε τον όρο 12 σε άλλο μέρος της ανισότητας και να αλλάξετε το πρόσημο μπροστά του. Τότε παίρνουμε μια ανίσωση της μορφής 3 x ≤ − 12. Είναι απαραίτητο να διαιρέσουμε και τα δύο μέρη με 3. Το πρόσημο δεν θα αλλάξει αφού το 3 είναι θετικός αριθμός. Παίρνουμε ότι (3 x) : 3 ≤ (− 12) : 3, που δίνει το αποτέλεσμα x ≤ − 4.

Μια ανισότητα της μορφής x ≤ − 4 είναι ισοδύναμη. Δηλαδή, η λύση για 3 x + 12 ≤ 0 είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός που είναι μικρότερος ή ίσος του 4. Η απάντηση γράφεται ως ανίσωση x ≤ − 4, ή αριθμητικό διάστημα της μορφής (− ∞, − 4].

Ολόκληρος ο αλγόριθμος που περιγράφεται παραπάνω είναι γραμμένος ως εξής:

3 x + 12 ≤ 0 ; 3 x ≤ − 12 ; x ≤ − 4 .

Απάντηση: x ≤ − 4 ή (− ∞ , − 4 ] .

Παράδειγμα 2

Υποδείξτε όλες τις διαθέσιμες λύσεις για την ανίσωση − 2, 7 · z > 0.

Λύση

Από τη συνθήκη βλέπουμε ότι ο συντελεστής a για το z είναι ίσος με - 2,7, και το b απουσιάζει ρητά ή ίσος με μηδέν. Δεν μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το πρώτο βήμα του αλγορίθμου, αλλά αμέσως να προχωρήσετε στο δεύτερο.

Διαιρούμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με τον αριθμό - 2, 7. Δεδομένου ότι ο αριθμός είναι αρνητικός, είναι απαραίτητο να αντιστραφεί το πρόσημο της ανισότητας. Δηλαδή, παίρνουμε ότι (− 2, 7 z) : (− 2, 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

Ας γράψουμε ολόκληρο τον αλγόριθμο σε σύντομη μορφή:

− 2, 7 z > 0; z< 0 .

Απάντηση: z< 0 или (− ∞ , 0) .

Παράδειγμα 3

Λύστε την ανίσωση - 5 x - 15 22 ≤ 0.

Λύση

Σύμφωνα με την συνθήκη, βλέπουμε ότι είναι απαραίτητο να λύσουμε την ανίσωση με συντελεστή a για τη μεταβλητή x, που είναι ίση με - 5, με συντελεστή b, που αντιστοιχεί στο κλάσμα - 15 22. Είναι απαραίτητο να λύσουμε την ανισότητα ακολουθώντας τον αλγόριθμο, δηλαδή: μετακινήστε - 15 22 σε άλλο μέρος με το αντίθετο πρόσημο, διαιρέστε και τα δύο μέρη με - 5, αλλάξτε το πρόσημο της ανισότητας:

5 x ≤ 15 22 ; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

Κατά την τελευταία μετάβαση για τη δεξιά πλευρά, χρησιμοποιείται ο κανόνας για τη διαίρεση του αριθμού με διαφορετικά σύμβολα 15 22: - 5 = - 15 22: 5, μετά τον οποίο διαιρούμε το συνηθισμένο κλάσμα με τον φυσικό αριθμό - 15 22: 5 = - 15 22 · 1 5 = - 15 · 1 22 · 5 = - 3 22 .

Απάντηση: x ≥ - 3 22 και [ - 3 22 + ∞) .

Ας εξετάσουμε την περίπτωση που a = 0. Γραμμική έκφραση της μορφής a x + b< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

Όλα βασίζονται στον προσδιορισμό της λύσης της ανισότητας. Για οποιαδήποτε τιμή του x λαμβάνουμε μια αριθμητική ανισότητα της μορφής b< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Θα εξετάσουμε όλες τις κρίσεις με τη μορφή αλγορίθμου για την επίλυση γραμμικών ανισώσεων 0 x + b< 0 (≤ , > , ≥) :

Ορισμός 5

Αριθμητική ανισότητα της μορφής β< 0 (≤ , >, ≥) είναι αληθές, τότε η αρχική ανισότητα έχει λύση για οποιαδήποτε τιμή και είναι ψευδής όταν η αρχική ανισότητα δεν έχει λύσεις.

Παράδειγμα 4

Λύστε την ανίσωση 0 x + 7 > 0.

Λύση

Αυτή η γραμμική ανισότητα 0 x + 7 > 0 μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή x. Τότε παίρνουμε μια ανισότητα της μορφής 7 > 0. Η τελευταία ανίσωση θεωρείται αληθής, που σημαίνει ότι οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να είναι η λύση της.

Απάντηση: διάστημα (− ∞ , + ∞) .

Παράδειγμα 5

Βρείτε λύση στην ανίσωση 0 x − 12, 7 ≥ 0.

Λύση

Όταν αντικαθιστούμε τη μεταβλητή x οποιουδήποτε αριθμού, προκύπτει ότι η ανίσωση έχει τη μορφή − 12, 7 ≥ 0. Είναι λάθος. Δηλαδή, 0 x − 12, 7 ≥ 0 δεν έχει λύσεις.

Απάντηση:δεν υπάρχουν λύσεις.

Ας εξετάσουμε την επίλυση γραμμικών ανισώσεων όπου και οι δύο συντελεστές είναι ίσοι με μηδέν.

Παράδειγμα 6

Να προσδιορίσετε την άλυτη ανισότητα από 0 x + 0 > 0 και 0 x + 0 ≥ 0.

Λύση

Όταν αντικαθιστούμε οποιονδήποτε αριθμό αντί του x, λαμβάνουμε δύο ανισώσεις της μορφής 0 > 0 και 0 ≥ 0. Το πρώτο είναι λάθος. Αυτό σημαίνει ότι 0 x + 0 > 0 δεν έχει λύσεις, και 0 x + 0 ≥ 0 έχει άπειρο αριθμό λύσεων, δηλαδή οποιονδήποτε αριθμό.

Απάντηση: η ανισότητα 0 x + 0 > 0 δεν έχει λύσεις, αλλά 0 x + 0 ≥ 0 έχει λύσεις.

Αυτή η μέθοδος συζητείται στο μάθημα των σχολικών μαθηματικών. Η μέθοδος διαστήματος είναι ικανή να επιλύσει διάφορους τύπους ανισοτήτων, συμπεριλαμβανομένων των γραμμικών.

Η μέθοδος διαστήματος χρησιμοποιείται για γραμμικές ανισότητες όταν η τιμή του συντελεστή x δεν είναι ίση με 0. Διαφορετικά θα πρέπει να υπολογίσετε χρησιμοποιώντας διαφορετική μέθοδο.

Ορισμός 6

Η μέθοδος του διαστήματος είναι:

εισάγοντας τη συνάρτηση y = a · x + b ;
αναζήτηση μηδενικών για να χωρίσει τον τομέα ορισμού σε διαστήματα.
ορισμός σημείων για τις έννοιές τους κατά διαστήματα.

Ας συγκεντρώσουμε έναν αλγόριθμο για την επίλυση γραμμικών εξισώσεων a x + b< 0 (≤ , >, ≥) για ένα ≠ 0 χρησιμοποιώντας τη μέθοδο διαστήματος:

βρίσκοντας τα μηδενικά της συνάρτησης y = a · x + b για να λύσουμε μια εξίσωση της μορφής a · x + b = 0 . Εάν a ≠ 0, τότε η λύση θα είναι μια ρίζα, η οποία θα λάβει τον προσδιορισμό x 0.
κατασκευή γραμμής συντεταγμένων με εικόνα σημείου με συντεταγμένη x 0, με αυστηρή ανισότητα το σημείο συμβολίζεται με διάτρητη, με μη αυστηρή ανισότητα – με σκιασμένη.
προσδιορίζοντας τα σημάδια της συνάρτησης y = a · x + b σε διαστήματα· γι 'αυτό είναι απαραίτητο να βρείτε τις τιμές της συνάρτησης σε σημεία του διαστήματος.
επίλυση μιας ανισότητας με πρόσημα > ή ≥ στη γραμμή συντεταγμένων, προσθέτοντας σκίαση στο θετικό διάστημα,< или ≤ над отрицательным промежутком.

Ας δούμε αρκετά παραδείγματα επίλυσης γραμμικών ανισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του διαστήματος.

Παράδειγμα 6

Λύστε την ανίσωση − 3 x + 12 > 0.

Λύση

Από τον αλγόριθμο προκύπτει ότι πρώτα πρέπει να βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης − 3 x + 12 = 0. Παίρνουμε ότι − 3 · x = − 12 , x = 4 . Είναι απαραίτητο να σχεδιάσουμε μια γραμμή συντεταγμένων όπου σημειώνουμε το σημείο 4. Θα τρυπηθεί γιατί η ανισότητα είναι αυστηρή. Εξετάστε το παρακάτω σχέδιο.

Είναι απαραίτητο να προσδιορίζονται τα σημάδια κατά διαστήματα. Για να το προσδιορίσουμε στο διάστημα (− ∞, 4), είναι απαραίτητο να υπολογίσουμε τη συνάρτηση y = − 3 x + 12 στο x = 3. Από εδώ παίρνουμε ότι − 3 3 + 12 = 3 > 0. Το πρόσημο στο διάστημα είναι θετικό.

Καθορίζουμε το πρόσημο από το διάστημα (4, + ∞) και μετά αντικαθιστούμε την τιμή x = 5. Έχουμε ότι − 3 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Λύνουμε την ανισότητα με το σύμβολο > και η σκίαση εκτελείται στο θετικό διάστημα. Εξετάστε το παρακάτω σχέδιο.

Από το σχέδιο είναι σαφές ότι η επιθυμητή λύση έχει τη μορφή (− ∞ , 4) ή x< 4 .

Απάντηση: (− ∞ , 4) ή x< 4 .

Για να κατανοήσετε πώς να απεικονίσετε γραφικά, είναι απαραίτητο να λάβετε υπόψη 4 γραμμικές ανισότητες ως παράδειγμα: 0, 5 x − 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 και 0, 5 x − 1 ≥ 0. Οι λύσεις τους θα είναι οι τιμές του x< 2 , x ≤ 2 , x >2 και x ≥ 2. Για να γίνει αυτό, ας σχεδιάσουμε τη γραμμική συνάρτηση y = 0, 5 x − 1 που φαίνεται παρακάτω.

Είναι ξεκάθαρο ότι

Ορισμός 7

επίλυση της ανίσωσης 0, 5 x − 1< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
η λύση 0, 5 x − 1 ≤ 0 θεωρείται ότι είναι το διάστημα όπου η συνάρτηση y = 0, 5 x − 1 είναι μικρότερη από το O x ή συμπίπτει.
η λύση 0, 5 · x − 1 > 0 θεωρείται διάστημα, η συνάρτηση βρίσκεται πάνω από το O x.
η λύση 0, 5 · x − 1 ≥ 0 θεωρείται το διάστημα όπου το γράφημα πάνω από το O x ή συμπίπτει.

Το σημείο της γραφικής επίλυσης των ανισώσεων είναι να βρούμε τα διαστήματα που πρέπει να απεικονίζονται στο γράφημα. Σε αυτή την περίπτωση, βρίσκουμε ότι η αριστερή πλευρά έχει y = a · x + b, και η δεξιά πλευρά έχει y = 0, και συμπίπτει με O x.

Ορισμός 8

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = a x + b απεικονίζεται:

ενώ λύνουμε την ανίσωση a x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
Κατά την επίλυση της ανισότητας a · x + b ≤ 0, προσδιορίζεται το διάστημα όπου το γράφημα απεικονίζεται κάτω από τον άξονα Ox ή συμπίπτει.
Κατά την επίλυση της ανισότητας a · x + b > 0, προσδιορίζεται το διάστημα όπου το γράφημα απεικονίζεται πάνω από το O x.
Κατά την επίλυση της ανίσωσης a · x + b ≥ 0, προσδιορίζεται το διάστημα όπου η γραφική παράσταση είναι πάνω από O x ή συμπίπτει.

Παράδειγμα 7

Λύστε την ανίσωση - 5 · x - 3 > 0 χρησιμοποιώντας ένα γράφημα.

Λύση

Είναι απαραίτητο να κατασκευαστεί ένα γράφημα της γραμμικής συνάρτησης - 5 · x - 3 > 0. Αυτή η ευθεία είναι φθίνουσα επειδή ο συντελεστής x είναι αρνητικός. Για να προσδιορίσουμε τις συντεταγμένες του σημείου τομής του με O x - 5 · x - 3 > 0, λαμβάνουμε την τιμή - 3 5. Ας το απεικονίσουμε γραφικά.

Επιλύοντας την ανισότητα με το σύμβολο >, τότε πρέπει να προσέξετε το διάστημα πάνω από το O x. Ας επισημάνουμε το απαιτούμενο μέρος του αεροπλάνου με κόκκινο χρώμα και ας το καταλάβουμε

Το απαιτούμενο κενό είναι μέρος O x κόκκινο. Αυτό σημαίνει ότι η ανοιχτή αριθμητική ακτίνα - ∞ , - 3 5 θα είναι μια λύση στην ανισότητα. Εάν, σύμφωνα με τη συνθήκη, είχαμε μια μη αυστηρή ανισότητα, τότε η τιμή του σημείου - 3 5 θα ήταν επίσης μια λύση στην ανισότητα. Και θα συμπίπτει με το O x.

Απάντηση: - ∞ , - 3 5 ή x< - 3 5 .

Η γραφική λύση χρησιμοποιείται όταν η αριστερή πλευρά αντιστοιχεί στη συνάρτηση y = 0 x + b, δηλαδή y = b. Τότε η ευθεία θα είναι παράλληλη στο O x ή θα συμπίπτει στο b = 0. Αυτές οι περιπτώσεις δείχνουν ότι η ανισότητα μπορεί να μην έχει λύσεις ή η λύση μπορεί να είναι οποιοσδήποτε αριθμός.

Παράδειγμα 8

Να προσδιορίσετε από τις ανισώσεις 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

Λύση

Η αναπαράσταση του y = 0 x + 7 είναι y = 7, τότε θα δοθεί ένα επίπεδο συντεταγμένων με μια ευθεία παράλληλη στο O x και βρίσκεται πάνω από το O x. Άρα 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = 0 x + 0 θεωρείται y = 0, δηλαδή η ευθεία συμπίπτει με την O x. Αυτό σημαίνει ότι η ανίσωση 0 x + 0 ≥ 0 έχει πολλές λύσεις.

Απάντηση: Η δεύτερη ανίσωση έχει λύση για οποιαδήποτε τιμή του x.

Ανισώσεις που μειώνονται σε γραμμικές

Η λύση των ανισώσεων μπορεί να αναχθεί στη λύση μιας γραμμικής εξίσωσης, οι οποίες ονομάζονται ανισώσεις που ανάγονται σε γραμμικές.

Οι ανισότητες αυτές εξετάστηκαν στο σχολικό μάθημα, αφού αποτελούσαν ειδική περίπτωση επίλυσης ανισοτήτων, που οδήγησαν στο άνοιγμα παρενθέσεων και στη μείωση παρόμοιων όρων. Για παράδειγμα, θεωρήστε ότι 5 − 2 x > 0, 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x, x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x.

Οι ανισώσεις που δίνονται παραπάνω ανάγονται πάντα στη μορφή μιας γραμμικής εξίσωσης. Μετά από αυτό, ανοίγουν οι αγκύλες και δίνονται παρόμοιοι όροι, που μεταφέρονται από διαφορετικά μέρη, αλλάζοντας το πρόσημο στο αντίθετο.

Όταν μειώνουμε την ανισότητα 5 − 2 x > 0 σε γραμμική, την παριστάνουμε με τέτοιο τρόπο ώστε να έχει τη μορφή − 2 x + 5 > 0, και για να μειώσουμε τη δεύτερη παίρνουμε ότι 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x . Είναι απαραίτητο να ανοίξετε τις αγκύλες, να φέρετε παρόμοιους όρους, να μετακινήσετε όλους τους όρους στην αριστερή πλευρά και να φέρετε παρόμοιους όρους. Μοιάζει με αυτό:

7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ 5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0

Αυτό οδηγεί τη λύση σε μια γραμμική ανισότητα.

Αυτές οι ανισότητες θεωρούνται γραμμικές, αφού έχουν την ίδια αρχή επίλυσης, μετά την οποία είναι δυνατόν να μειωθούν σε στοιχειώδεις ανισότητες.

Για να λυθεί αυτός ο τύπος ανισότητας, είναι απαραίτητο να μειωθεί σε γραμμική. Θα πρέπει να γίνει με αυτόν τον τρόπο:

Ορισμός 9

Ανοιξε παρενθεση?
Συλλέξτε μεταβλητές στα αριστερά και αριθμούς στα δεξιά.
δώστε παρόμοιους όρους?
διαιρέστε και τις δύο πλευρές με τον συντελεστή x.

Παράδειγμα 9

Λύστε την ανίσωση 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1.

Λύση

Ανοίγουμε τις αγκύλες και μετά παίρνουμε μια ανισότητα της μορφής 5 x + 15 + x ≤ 6 x − 18 + 1. Αφού μειώσουμε παρόμοιους όρους, έχουμε ότι 6 x + 15 ≤ 6 x − 17. Αφού μετακινήσουμε τους όρους από τα αριστερά προς τα δεξιά, βρίσκουμε ότι 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0. Επομένως, υπάρχει μια ανισότητα της μορφής 32 ≤ 0 από αυτή που προκύπτει με τον υπολογισμό του 0 x + 32 ≤ 0. Μπορεί να φανεί ότι η ανισότητα είναι ψευδής, πράγμα που σημαίνει ότι η ανισότητα που δίνεται από συνθήκη δεν έχει λύσεις.

Απάντηση: Δεν υπάρχουν λύσεις.

Αξίζει να σημειωθεί ότι υπάρχουν πολλοί άλλοι τύποι ανισώσεων που μπορούν να αναχθούν σε γραμμικές ή ανισώσεις του τύπου που φαίνεται παραπάνω. Για παράδειγμα, 5 2 x − 1 ≥ 1 είναι μια εκθετική εξίσωση που ανάγεται σε λύση της γραμμικής μορφής 2 x − 1 ≥ 0. Αυτές οι περιπτώσεις θα ληφθούν υπόψη κατά την επίλυση ανισοτήτων αυτού του τύπου.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Δείτε επίσης Επίλυση ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού γραφικά, Κανονική μορφή προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού

Το σύστημα περιορισμών για ένα τέτοιο πρόβλημα αποτελείται από ανισότητες σε δύο μεταβλητές:
και η αντικειμενική συνάρτηση έχει τη μορφή φά = ντο 1 Χ + ντο 2 yπου πρέπει να μεγιστοποιηθεί.

Ας απαντήσουμε στην ερώτηση: τι ζεύγη αριθμών ( Χ; y) οι λύσεις στο σύστημα των ανισοτήτων, δηλαδή, ικανοποιούν κάθε μία από τις ανισότητες ταυτόχρονα; Με άλλα λόγια, τι σημαίνει να λύνεις ένα σύστημα γραφικά;
Πρώτα πρέπει να καταλάβετε ποια είναι η λύση σε μια γραμμική ανισότητα με δύο άγνωστους.
Η επίλυση μιας γραμμικής ανισότητας με δύο αγνώστους σημαίνει τον προσδιορισμό όλων των ζευγών αγνώστων τιμών για τα οποία ισχύει η ανισότητα.
Για παράδειγμα, η ανισότητα 3 Χ – 5y≥ 42 ικανοποιούν ζεύγη ( Χ , y): (100, 2); (3, –10), κ.λπ. Το καθήκον είναι να βρείτε όλα αυτά τα ζεύγη.
Ας εξετάσουμε δύο ανισότητες: τσεκούρι + με≤ ντο, τσεκούρι + με≥ ντο. Ευθεία τσεκούρι + με = ντοχωρίζει το επίπεδο σε δύο ημιεπίπεδα έτσι ώστε οι συντεταγμένες των σημείων ενός από αυτά να ικανοποιούν την ανισότητα τσεκούρι + με >ντο, και η άλλη ανισότητα τσεκούρι + +με <ντο.
Πράγματι, ας πάρουμε ένα σημείο με συντεταγμένες Χ = Χ 0 ; μετά ένα σημείο που βρίσκεται σε μια γραμμή και έχει μια τετμημένη Χ 0, έχει τεταγμένη

Αφήστε για βεβαιότητα ένα< 0, σι>0, ντο>0. Όλα τα σημεία με τετμημένη Χ 0 που βρίσκεται πάνω Π(για παράδειγμα, τελεία Μ), έχουν y Μ>y 0 , και όλα τα σημεία κάτω από το σημείο Π, με τετμημένη Χ 0 , έχουν y N<y 0 . Επειδή η ΧΤο 0 είναι ένα αυθαίρετο σημείο, τότε θα υπάρχουν πάντα σημεία στη μία πλευρά της γραμμής για τα οποία τσεκούρι+ με > ντο, σχηματίζοντας ένα ημιεπίπεδο, και από την άλλη πλευρά - σημεία για τα οποία τσεκούρι + με< ντο.

Εικόνα 1

Το πρόσημο της ανισότητας στο ημιεπίπεδο εξαρτάται από τους αριθμούς ένα, σι , ντο.
Αυτό συνεπάγεται την ακόλουθη μέθοδο για τη γραφική επίλυση συστημάτων γραμμικών ανισώσεων σε δύο μεταβλητές. Για να λύσετε το σύστημα χρειάζεστε:

Για κάθε ανισότητα να γράψετε την εξίσωση που αντιστοιχεί σε αυτή την ανισότητα.
Κατασκευάστε ευθείες γραμμές που είναι γραφήματα συναρτήσεων που καθορίζονται από εξισώσεις.
Για κάθε ευθεία, προσδιορίστε το ημιεπίπεδο, το οποίο δίνεται από την ανισότητα. Για να το κάνετε αυτό, πάρτε ένα αυθαίρετο σημείο που δεν βρίσκεται σε μια γραμμή και αντικαταστήστε τις συντεταγμένες του στην ανισότητα. αν η ανισότητα είναι αληθής, τότε το ημιεπίπεδο που περιέχει το επιλεγμένο σημείο είναι η λύση της αρχικής ανισότητας. Εάν η ανισότητα είναι ψευδής, τότε το ημιεπίπεδο στην άλλη πλευρά της γραμμής είναι το σύνολο των λύσεων αυτής της ανισότητας.
Για την επίλυση ενός συστήματος ανισώσεων, είναι απαραίτητο να βρεθεί η περιοχή τομής όλων των ημιεπίπεδων που είναι η λύση για κάθε ανισότητα του συστήματος.

Αυτή η περιοχή μπορεί να αποδειχθεί άδεια, τότε το σύστημα των ανισοτήτων δεν έχει λύσεις και είναι ασυνεπές. Διαφορετικά, το σύστημα λέγεται ότι είναι συνεπές.
Μπορεί να υπάρχει ένας πεπερασμένος αριθμός ή ένας άπειρος αριθμός λύσεων. Η περιοχή μπορεί να είναι κλειστό πολύγωνο ή απεριόριστη.

Ας δούμε τρία σχετικά παραδείγματα.

Παράδειγμα 1. Λύστε το σύστημα γραφικά:
Χ + y – 1 ≤ 0;
–2Χ - 2y + 5 ≤ 0.

Θεωρήστε τις εξισώσεις x+y–1=0 και –2x–2y+5=0 που αντιστοιχούν στις ανισώσεις.
Ας κατασκευάσουμε ευθείες γραμμές που δίνονται από αυτές τις εξισώσεις.

Σχήμα 2

Ας ορίσουμε τα ημιεπίπεδα που ορίζονται από τις ανισώσεις. Ας πάρουμε ένα αυθαίρετο σημείο, έστω (0; 0). Ας σκεφτούμε Χ+ y- 1 0, αντικαταστήστε το σημείο (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. Αυτό σημαίνει ότι στο ημιεπίπεδο όπου βρίσκεται το σημείο (0; 0), Χ + y – 1 ≤ 0, δηλ. το ημιεπίπεδο που βρίσκεται κάτω από τη γραμμή είναι μια λύση στην πρώτη ανισότητα. Αντικαθιστώντας αυτό το σημείο (0; 0) με το δεύτερο, παίρνουμε: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, δηλ. στο ημιεπίπεδο όπου βρίσκεται το σημείο (0; 0), –2 Χ – 2y+ 5≥ 0, και μας ρωτήθηκε πού –2 Χ – 2y+ 5 ≤ 0, επομένως, στο άλλο ημιεπίπεδο - σε αυτό πάνω από την ευθεία.
Ας βρούμε την τομή αυτών των δύο ημιεπιπέδων. Οι ευθείες είναι παράλληλες, άρα τα επίπεδα δεν τέμνονται πουθενά, πράγμα που σημαίνει ότι το σύστημα αυτών των ανισοτήτων δεν έχει λύσεις και είναι ασυνεπές.

Παράδειγμα 2. Βρείτε γραφικά λύσεις στο σύστημα των ανισώσεων:

Εικόνα 3
1. Ας γράψουμε τις εξισώσεις που αντιστοιχούν στις ανισώσεις και ας κατασκευάσουμε ευθείες γραμμές.
Χ + 2y– 2 = 0

Χ	2	0
y	0	1

y – Χ – 1 = 0

Χ	0	2
y	1	3

y + 2 = 0;
y = –2.
2. Έχοντας επιλέξει το σημείο (0; 0), προσδιορίζουμε τα πρόσημα των ανισώσεων στα ημιεπίπεδα:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, δηλ. Χ + 2y– 2 ≤ 0 στο ημιεπίπεδο κάτω από την ευθεία.
0 – 0 – 1 ≤ 0, δηλ. y –Χ– 1 ≤ 0 στο ημιεπίπεδο κάτω από την ευθεία.
0 + 2 =2 ≥ 0, δηλ. y+ 2 ≥ 0 στο ημιεπίπεδο πάνω από την ευθεία.
3. Η τομή αυτών των τριών ημιεπίπεδων θα είναι μια περιοχή που είναι τρίγωνο. Δεν είναι δύσκολο να βρούμε τις κορυφές της περιοχής ως σημεία τομής των αντίστοιχων ευθειών

Ετσι, ΕΝΑ(–3; –2), ΣΕ(0; 1), ΜΕ(6; –2).

Ας εξετάσουμε ένα άλλο παράδειγμα στο οποίο η προκύπτουσα περιοχή λύσης του συστήματος δεν είναι περιορισμένη.

Επίλυση ανισοτήτων στο Διαδίκτυο

Πριν λύσετε ανισότητες, πρέπει να έχετε καλή κατανόηση του τρόπου με τον οποίο λύνονται οι εξισώσεις.

Δεν έχει σημασία αν η ανισότητα είναι αυστηρή () ή μη αυστηρή (≤, ≥), το πρώτο βήμα είναι να λύσετε την εξίσωση αντικαθιστώντας το πρόσημο της ανισότητας με ισότητα (=).

Ας εξηγήσουμε τι σημαίνει η επίλυση μιας ανισότητας;

Αφού μελετήσει τις εξισώσεις, ο μαθητής παίρνει την ακόλουθη εικόνα στο κεφάλι του: πρέπει να βρει τιμές της μεταβλητής έτσι ώστε και οι δύο πλευρές της εξίσωσης να λαμβάνουν τις ίδιες τιμές. Με άλλα λόγια, βρείτε όλα τα σημεία στα οποία ισχύει η ισότητα. Ολα είναι σωστά!

Όταν μιλάμε για ανισότητες, εννοούμε την εύρεση διαστημάτων (τμημάτων) στα οποία ισχύει η ανισότητα. Εάν υπάρχουν δύο μεταβλητές στην ανισότητα, τότε η λύση δεν θα είναι πλέον διαστήματα, αλλά ορισμένες περιοχές στο επίπεδο. Μαντέψτε μόνοι σας ποια θα είναι η λύση σε μια ανισότητα σε τρεις μεταβλητές;

Πώς να λύσετε τις ανισότητες;

Καθολικός τρόπος επίλυσης ανισώσεων θεωρείται η μέθοδος των διαστημάτων (γνωστή και ως μέθοδος διαστημάτων), η οποία συνίσταται στον προσδιορισμό όλων των διαστημάτων εντός των ορίων των οποίων θα ικανοποιείται μια δεδομένη ανισότητα.

Χωρίς να μπούμε στον τύπο της ανισότητας, σε αυτήν την περίπτωση δεν είναι αυτό το θέμα, πρέπει να λύσετε την αντίστοιχη εξίσωση και να προσδιορίσετε τις ρίζες της, ακολουθούμενη από τον προσδιορισμό αυτών των λύσεων στον άξονα αριθμών.

Πώς να γράψετε σωστά τη λύση μιας ανισότητας;

Αφού προσδιορίσετε τα διαστήματα λύσεων για την ανισότητα, πρέπει να γράψετε σωστά την ίδια τη λύση. Υπάρχει μια σημαντική απόχρωση - περιλαμβάνονται τα όρια των διαστημάτων στη λύση;

Όλα είναι απλά εδώ. Εάν η λύση της εξίσωσης ικανοποιεί το ODZ και η ανισότητα δεν είναι αυστηρή, τότε το όριο του διαστήματος περιλαμβάνεται στη λύση της ανισότητας. Διαφορετικά, όχι.

Λαμβάνοντας υπόψη κάθε διάστημα, η λύση της ανισότητας μπορεί να είναι το ίδιο το διάστημα, ή ένα μισό διάστημα (όταν ένα από τα όριά του ικανοποιεί την ανισότητα), ή ένα τμήμα - το διάστημα μαζί με τα όριά του.

Σημαντικό σημείο

Μην νομίζετε ότι μόνο διαστήματα, μισά διαστήματα και τμήματα μπορούν να λύσουν την ανισότητα. Όχι, η λύση μπορεί να περιλαμβάνει και μεμονωμένα σημεία.

Για παράδειγμα, η ανισότητα |x|≤0 έχει μόνο μία λύση - αυτή είναι το σημείο 0.

Και η ανισότητα |x|

Γιατί χρειάζεστε έναν υπολογιστή ανισότητας;

Ο υπολογιστής ανισώσεων δίνει τη σωστή τελική απάντηση. Στις περισσότερες περιπτώσεις, παρέχεται μια απεικόνιση ενός άξονα ή ενός επιπέδου αριθμών. Είναι ορατό εάν τα όρια των διαστημάτων περιλαμβάνονται στη λύση ή όχι - τα σημεία εμφανίζονται ως σκιασμένα ή τρυπημένα.

Χάρη στον ηλεκτρονικό υπολογιστή ανισώσεων, μπορείτε να ελέγξετε εάν βρήκατε σωστά τις ρίζες της εξίσωσης, τις σημειώσατε στον αριθμητικό άξονα και ελέγξατε την εκπλήρωση της συνθήκης ανισότητας στα διαστήματα (και τα όρια);

Εάν η απάντησή σας διαφέρει από την απάντηση της αριθμομηχανής, τότε πρέπει οπωσδήποτε να ελέγξετε ξανά τη λύση σας και να εντοπίσετε το λάθος.