Η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων είναι μια από τις πιο κοινές και πιο ανεπτυγμένες λόγω της απλότητα και αποτελεσματικότητα των μεθόδων για την εκτίμηση των παραμέτρων της γραμμικής. Ταυτόχρονα, κατά τη χρήση του, θα πρέπει να τηρείται κάποια προσοχή, καθώς τα μοντέλα που κατασκευάζονται με τη χρήση του ενδέχεται να μην ικανοποιούν ορισμένες απαιτήσεις για την ποιότητα των παραμέτρων τους και, ως εκ τούτου, να μην αντικατοπτρίζουν «καλά» τα πρότυπα ανάπτυξης της διαδικασίας. αρκετά.

Ας εξετάσουμε λεπτομερέστερα τη διαδικασία εκτίμησης των παραμέτρων ενός γραμμικού οικονομετρικού μοντέλου χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Ένα τέτοιο μοντέλο γενικά μπορεί να αναπαρασταθεί από την εξίσωση (1.2):

y t = a 0 + a 1 x 1 t +...+ a n x nt + ε t.

Τα αρχικά δεδομένα κατά την εκτίμηση των παραμέτρων a 0 , a 1 ,..., a n είναι ένα διάνυσμα τιμών της εξαρτημένης μεταβλητής y= (y 1 , y 2 , ... , y T)" και ο πίνακας τιμών των ανεξάρτητων μεταβλητών

στην οποία η πρώτη στήλη, αποτελούμενη από μία, αντιστοιχεί στον συντελεστή υποδείγματος.

Η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων έλαβε το όνομά της με βάση τη βασική αρχή ότι οι εκτιμήσεις παραμέτρων που λαμβάνονται βάσει αυτής πρέπει να ικανοποιούν: το άθροισμα των τετραγώνων του σφάλματος μοντέλου πρέπει να είναι ελάχιστο.

Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων

Παράδειγμα 2.1.Η εμπορική επιχείρηση διαθέτει ένα δίκτυο 12 καταστημάτων, πληροφορίες για τις δραστηριότητες των οποίων παρουσιάζονται στον πίνακα. 2.1.

Η διοίκηση της επιχείρησης θα ήθελε να μάθει πώς το ετήσιο ποσό εξαρτάται από τον χώρο λιανικής του καταστήματος.

Πίνακας 2.1

Αριθμός καταστήματος	Ετήσιος κύκλος εργασιών, εκατομμύρια ρούβλια.	Επιφάνεια λιανικής, χίλια m2

Λύση ελάχιστων τετραγώνων.Ας υποδηλώσουμε τον ετήσιο κύκλο εργασιών του ου καταστήματος, εκατομμύρια ρούβλια. — περιοχή λιανικής του καταστήματος, χίλια m2.

Εικ.2.1. Scatterplot για Παράδειγμα 2.1

Για να προσδιορίσουμε τη μορφή της συναρτησιακής σχέσης μεταξύ των μεταβλητών και θα κατασκευάσουμε ένα διάγραμμα διασποράς (Εικ. 2.1).

Με βάση το διάγραμμα διασποράς, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι ο ετήσιος κύκλος εργασιών εξαρτάται θετικά από τον χώρο λιανικής (δηλαδή, το y θα αυξάνεται με την αύξηση του ). Η πιο κατάλληλη μορφή λειτουργικής σύνδεσης είναι γραμμικός.

Πληροφορίες για περαιτέρω υπολογισμούς παρουσιάζονται στον πίνακα. 2.2. Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων, υπολογίζουμε τις παραμέτρους ενός γραμμικού μονοπαραγοντικού οικονομετρικού μοντέλου

Πίνακας 2.2

Ετσι,

Επομένως, με αύξηση του χώρου λιανικής κατά 1.000 m2, ενώ τα άλλα πράγματα είναι ίσα, ο μέσος ετήσιος κύκλος εργασιών αυξάνεται κατά 67,8871 εκατομμύρια ρούβλια.

Παράδειγμα 2.2.Η διοίκηση της εταιρείας παρατήρησε ότι ο ετήσιος τζίρος δεν εξαρτάται μόνο από την περιοχή πωλήσεων του καταστήματος (βλ. παράδειγμα 2.1), αλλά και από τον μέσο αριθμό επισκεπτών. Οι σχετικές πληροφορίες παρουσιάζονται στον πίνακα. 2.3.

Πίνακας 2.3

Λύση.Ας υποδηλώσουμε τον μέσο αριθμό επισκεπτών στο κατάστημα ανά ημέρα, χιλιάδες άτομα.

Για να προσδιορίσουμε τη μορφή της συναρτησιακής σχέσης μεταξύ των μεταβλητών και θα κατασκευάσουμε ένα διάγραμμα διασποράς (Εικ. 2.2).

Με βάση το scatterplot, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι ο ετήσιος κύκλος εργασιών εξαρτάται θετικά από τον μέσο αριθμό επισκεπτών ανά ημέρα (δηλαδή, το y θα αυξάνεται με την αύξηση του ). Η μορφή της λειτουργικής εξάρτησης είναι γραμμική.

Ρύζι. 2.2. Scatterplot για Παράδειγμα 2.2

Πίνακας 2.4

Γενικά, είναι απαραίτητος ο προσδιορισμός των παραμέτρων ενός οικονομετρικού μοντέλου δύο παραγόντων

y t = a 0 + a 1 x 1 t + a 2 x 2 t + ε t

Οι πληροφορίες που απαιτούνται για περαιτέρω υπολογισμούς παρουσιάζονται στον πίνακα. 2.4.

Ας υπολογίσουμε τις παραμέτρους ενός γραμμικού οικονομετρικού μοντέλου δύο παραγόντων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων.

Ετσι,

Η εκτίμηση του συντελεστή =61,6583 δείχνει ότι, αν και άλλα πράγματα είναι ίσα, με αύξηση του χώρου λιανικής κατά 1 χιλιάδες m 2, ο ετήσιος κύκλος εργασιών θα αυξηθεί κατά μέσο όρο 61,6583 εκατομμύρια ρούβλια.

Παράδειγμα.

Πειραματικά δεδομένα για τις τιμές των μεταβλητών ΧΚαι στοδίνονται στον πίνακα.

Ως αποτέλεσμα της ευθυγράμμισής τους, προκύπτει η συνάρτηση

Χρησιμοποιώντας μέθοδος ελάχιστου τετραγώνου, προσεγγίστε αυτά τα δεδομένα με μια γραμμική εξάρτηση y=ax+b(βρες παραμέτρους ΕΝΑΚαι σι). Μάθετε ποια από τις δύο γραμμές (με την έννοια της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων) ευθυγραμμίζει καλύτερα τα πειραματικά δεδομένα. Κάντε ένα σχέδιο.

Η ουσία της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων (LSM).

Το καθήκον είναι να βρεθούν οι γραμμικοί συντελεστές εξάρτησης στους οποίους η συνάρτηση δύο μεταβλητών ΕΝΑΚαι σι παίρνει τη μικρότερη τιμή. Δοσμένο δηλαδή ΕΝΑΚαι σιτο άθροισμα των τετραγωνικών αποκλίσεων των πειραματικών δεδομένων από την ευθεία που βρέθηκε θα είναι το μικρότερο. Αυτό είναι το όλο νόημα της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων.

Έτσι, η επίλυση του παραδείγματος καταλήγει στην εύρεση του άκρου μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών.

Εξαγωγή τύπων εύρεσης συντελεστών.

Καταρτίζεται και λύνεται ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους. Εύρεση των μερικών παραγώγων μιας συνάρτησης κατά μεταβλητές ΕΝΑΚαι σι, εξισώνουμε αυτές τις παραγώγους με μηδέν.

Επιλύουμε το προκύπτον σύστημα εξισώσεων χρησιμοποιώντας οποιαδήποτε μέθοδο (για παράδειγμα με μέθοδο αντικατάστασηςή Η μέθοδος του Cramer) και λάβετε τύπους για την εύρεση συντελεστών χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων (LSM).

Δεδομένος ΕΝΑΚαι σιλειτουργία παίρνει τη μικρότερη τιμή. Η απόδειξη αυτού του γεγονότος δίνεται παρακάτω στο κείμενο στο τέλος της σελίδας.

Αυτή είναι η όλη μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων. Τύπος για την εύρεση της παραμέτρου έναπεριέχει τα αθροίσματα ,, και την παράμετρο n- ποσότητα πειραματικών δεδομένων. Συνιστούμε τον υπολογισμό των τιμών αυτών των ποσών χωριστά. Συντελεστής σιβρέθηκε μετά τον υπολογισμό ένα.

Ήρθε η ώρα να θυμηθούμε το αρχικό παράδειγμα.

Λύση.

Στο παράδειγμά μας n=5. Συμπληρώνουμε τον πίνακα για ευκολία στον υπολογισμό των ποσών που περιλαμβάνονται στους τύπους των απαιτούμενων συντελεστών.

Οι τιμές στην τέταρτη σειρά του πίνακα λαμβάνονται πολλαπλασιάζοντας τις τιμές της 2ης σειράς με τις τιμές της 3ης σειράς για κάθε αριθμό Εγώ.

Οι τιμές στην πέμπτη σειρά του πίνακα λαμβάνονται με τον τετραγωνισμό των τιμών στη 2η σειρά για κάθε αριθμό Εγώ.

Οι τιμές στην τελευταία στήλη του πίνακα είναι τα αθροίσματα των τιμών στις σειρές.

Χρησιμοποιούμε τους τύπους της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων για να βρούμε τους συντελεστές ΕΝΑΚαι σι. Αντικαθιστούμε τις αντίστοιχες τιμές από την τελευταία στήλη του πίνακα σε αυτές:

Ως εκ τούτου, y = 0,165x+2,184- την επιθυμητή κατά προσέγγιση ευθεία γραμμή.

Μένει να μάθουμε ποια από τις γραμμές y = 0,165x+2,184ή προσεγγίζει καλύτερα τα αρχικά δεδομένα, δηλαδή κάνει μια εκτίμηση χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων.

Εκτίμηση σφάλματος της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων.

Για να γίνει αυτό, πρέπει να υπολογίσετε το άθροισμα των τετραγωνικών αποκλίσεων των αρχικών δεδομένων από αυτές τις γραμμές Και , μια μικρότερη τιμή αντιστοιχεί σε μια γραμμή που προσεγγίζει καλύτερα τα αρχικά δεδομένα με την έννοια της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων.

Από τότε κατευθείαν y = 0,165x+2,184προσεγγίζει καλύτερα τα αρχικά δεδομένα.

Γραφική απεικόνιση της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων (LS).

Τα πάντα είναι ορατά στα γραφήματα. Η κόκκινη γραμμή είναι η ευθεία που βρέθηκε y = 0,165x+2,184, η μπλε γραμμή είναι , οι ροζ κουκκίδες είναι τα αρχικά δεδομένα.

Στην πράξη, κατά τη μοντελοποίηση διαφόρων διαδικασιών - ειδικότερα, οικονομικές, φυσικές, τεχνικές, κοινωνικές - χρησιμοποιείται ευρέως η μία ή η άλλη μέθοδος υπολογισμού των κατά προσέγγιση τιμών των συναρτήσεων από τις γνωστές τους τιμές σε ορισμένα σταθερά σημεία.

Αυτό το είδος προβλήματος προσέγγισης συναρτήσεων εμφανίζεται συχνά:

κατά την κατασκευή κατά προσέγγιση τύπων για τον υπολογισμό των τιμών των χαρακτηριστικών ποσοτήτων της υπό μελέτη διεργασίας με τη χρήση πινακοποιημένων δεδομένων που ελήφθησαν ως αποτέλεσμα του πειράματος.

στην αριθμητική ολοκλήρωση, διαφοροποίηση, επίλυση διαφορικών εξισώσεων κ.λπ.

εάν είναι απαραίτητο, υπολογίστε τις τιμές των συναρτήσεων σε ενδιάμεσα σημεία του εξεταζόμενου διαστήματος.

κατά τον προσδιορισμό των τιμών των χαρακτηριστικών ποσοτήτων μιας διεργασίας εκτός του εξεταζόμενου διαστήματος, ιδίως κατά την πρόβλεψη.

Εάν, για να μοντελοποιήσουμε μια συγκεκριμένη διαδικασία που καθορίζεται από έναν πίνακα, κατασκευάσουμε μια συνάρτηση που περιγράφει κατά προσέγγιση αυτή τη διαδικασία με βάση τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων, θα ονομαστεί συνάρτηση προσέγγισης (παλίνδρομος) και το πρόβλημα της κατασκευής συναρτήσεων προσέγγισης θα ονομάζεται ένα πρόβλημα προσέγγισης.

Αυτό το άρθρο εξετάζει τις δυνατότητες του πακέτου MS Excel για την επίλυση αυτού του τύπου προβλήματος, επιπλέον, παρέχει μεθόδους και τεχνικές για την κατασκευή (δημιουργία) παλινδρόμησης για συναρτήσεις σε πίνακα (που είναι η βάση της ανάλυσης παλινδρόμησης).

Το Excel έχει δύο επιλογές για τη δημιουργία παλινδρόμησης.

Προσθήκη επιλεγμένων παλινδρομήσεων (γραμμές τάσης) σε ένα διάγραμμα που έχει δημιουργηθεί με βάση έναν πίνακα δεδομένων για το χαρακτηριστικό της υπό μελέτη διεργασίας (διατίθεται μόνο εάν έχει κατασκευαστεί ένα διάγραμμα).

Χρησιμοποιώντας τις ενσωματωμένες στατιστικές συναρτήσεις του φύλλου εργασίας του Excel, που σας επιτρέπουν να λαμβάνετε παλινδρομήσεις (γραμμές τάσης) απευθείας από τον πίνακα δεδομένων προέλευσης.

Προσθήκη γραμμών τάσης σε γράφημα

Για έναν πίνακα δεδομένων που περιγράφει μια διαδικασία και αντιπροσωπεύεται από ένα διάγραμμα, το Excel διαθέτει ένα αποτελεσματικό εργαλείο ανάλυσης παλινδρόμησης που σας επιτρέπει:

να χτίσει με βάση τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων και να προσθέσει πέντε τύπους παλινδρόμησης στο διάγραμμα, οι οποίοι μοντελοποιούν την υπό μελέτη διαδικασία με διάφορους βαθμούς ακρίβειας.

προσθέστε την κατασκευασμένη εξίσωση παλινδρόμησης στο διάγραμμα.

καθορίστε τον βαθμό αντιστοιχίας της επιλεγμένης παλινδρόμησης με τα δεδομένα που εμφανίζονται στο γράφημα.

Με βάση δεδομένα γραφήματος, το Excel σάς επιτρέπει να λαμβάνετε γραμμικούς, πολυωνυμικούς, λογαριθμικούς, ισχύος, εκθετικούς τύπους παλινδρόμησης, οι οποίοι καθορίζονται από την εξίσωση:

y = y(x)

όπου x είναι μια ανεξάρτητη μεταβλητή που παίρνει συχνά τις τιμές μιας ακολουθίας φυσικών αριθμών (1; 2; 3; ...) και παράγει, για παράδειγμα, μια αντίστροφη μέτρηση του χρόνου της υπό μελέτη διεργασίας (χαρακτηριστικά).

1 . Η γραμμική παλινδρόμηση είναι καλή για τη μοντελοποίηση χαρακτηριστικών των οποίων οι τιμές αυξάνονται ή μειώνονται με σταθερό ρυθμό. Αυτό είναι το απλούστερο μοντέλο που μπορεί να κατασκευαστεί για την υπό μελέτη διαδικασία. Κατασκευάζεται σύμφωνα με την εξίσωση:

y = mx + b

όπου m είναι η εφαπτομένη της κλίσης της γραμμικής παλινδρόμησης στον άξονα x. β - συντεταγμένη του σημείου τομής της γραμμικής παλινδρόμησης με τον άξονα τεταγμένων.

2 . Μια πολυωνυμική γραμμή τάσης είναι χρήσιμη για την περιγραφή χαρακτηριστικών που έχουν πολλά διακριτά άκρα (μέγιστα και ελάχιστα). Η επιλογή του πολυωνυμικού βαθμού καθορίζεται από τον αριθμό των ακροτήτων του υπό μελέτη χαρακτηριστικού. Έτσι, ένα πολυώνυμο δεύτερου βαθμού μπορεί κάλλιστα να περιγράψει μια διαδικασία που έχει μόνο ένα μέγιστο ή ελάχιστο. πολυώνυμο του τρίτου βαθμού - όχι περισσότερα από δύο άκρα. πολυώνυμο τέταρτου βαθμού - όχι περισσότερα από τρία άκρα κ.λπ.

Σε αυτήν την περίπτωση, η γραμμή τάσης κατασκευάζεται σύμφωνα με την εξίσωση:

y = c0 + c1x + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5 + c6x6

όπου οι συντελεστές c0, c1, c2,... c6 είναι σταθερές των οποίων οι τιμές καθορίζονται κατά την κατασκευή.

3 . Η λογαριθμική γραμμή τάσης χρησιμοποιείται με επιτυχία κατά τη μοντελοποίηση χαρακτηριστικών των οποίων οι τιμές αρχικά αλλάζουν γρήγορα και στη συνέχεια σταθεροποιούνται σταδιακά.

y = c ln(x) + b

4 . Μια γραμμή τάσης νόμου ισχύος δίνει καλά αποτελέσματα εάν οι τιμές της υπό μελέτη σχέσης χαρακτηρίζονται από μια σταθερή αλλαγή στον ρυθμό ανάπτυξης. Ένα παράδειγμα τέτοιας εξάρτησης είναι το γράφημα της ομοιόμορφα επιταχυνόμενης κίνησης ενός αυτοκινήτου. Εάν υπάρχουν μηδενικές ή αρνητικές τιμές στα δεδομένα, δεν μπορείτε να χρησιμοποιήσετε γραμμή τάσης ρεύματος.

Κατασκευασμένο σύμφωνα με την εξίσωση:

y = c xb

όπου οι συντελεστές b, c είναι σταθερές.

5 . Μια εκθετική γραμμή τάσης θα πρέπει να χρησιμοποιείται όταν ο ρυθμός μεταβολής των δεδομένων αυξάνεται συνεχώς. Για δεδομένα που περιέχουν μηδενικές ή αρνητικές τιμές, αυτός ο τύπος προσέγγισης δεν ισχύει επίσης.

Κατασκευασμένο σύμφωνα με την εξίσωση:

y = c ebx

όπου οι συντελεστές b, c είναι σταθερές.

Κατά την επιλογή μιας γραμμής τάσης, το Excel υπολογίζει αυτόματα την τιμή του R2, η οποία χαρακτηρίζει την αξιοπιστία της προσέγγισης: όσο πιο κοντά είναι η τιμή R2 στη μονάδα, τόσο πιο αξιόπιστα η γραμμή τάσης προσεγγίζει τη διαδικασία που μελετάται. Εάν είναι απαραίτητο, η τιμή R2 μπορεί πάντα να εμφανίζεται στο γράφημα.

Καθορίζεται από τον τύπο:

Για να προσθέσετε μια γραμμή τάσης σε μια σειρά δεδομένων:

ενεργοποιήστε ένα γράφημα που βασίζεται σε μια σειρά δεδομένων, δηλαδή κάντε κλικ στην περιοχή του γραφήματος. Το στοιχείο Διάγραμμα θα εμφανιστεί στο κύριο μενού.

αφού κάνετε κλικ σε αυτό το στοιχείο, θα εμφανιστεί ένα μενού στην οθόνη στο οποίο θα πρέπει να επιλέξετε την εντολή Προσθήκη γραμμής τάσης.

Οι ίδιες ενέργειες μπορούν να υλοποιηθούν εύκολα μετακινώντας το δείκτη του ποντικιού πάνω στο γράφημα που αντιστοιχεί σε μία από τις σειρές δεδομένων και κάνοντας δεξί κλικ. Στο μενού περιβάλλοντος που εμφανίζεται, επιλέξτε την εντολή Προσθήκη γραμμής τάσης. Το παράθυρο διαλόγου Trendline θα εμφανιστεί στην οθόνη με ανοιχτή την καρτέλα Type (Εικ. 1).

Μετά από αυτό χρειάζεστε:

Επιλέξτε τον απαιτούμενο τύπο γραμμής τάσης στην καρτέλα Τύπος (ο Γραμμικός τύπος επιλέγεται από προεπιλογή). Για τον τύπο Polynomial, στο πεδίο Degree, καθορίστε τον βαθμό του επιλεγμένου πολυωνύμου.

1 . Το πεδίο Ενσωματωμένη σειρά παραθέτει όλες τις σειρές δεδομένων στο εν λόγω γράφημα. Για να προσθέσετε μια γραμμή τάσης σε μια συγκεκριμένη σειρά δεδομένων, επιλέξτε το όνομά της στο πεδίο Ενσωματωμένη σειρά.

Εάν είναι απαραίτητο, μεταβαίνοντας στην καρτέλα Παράμετροι (Εικ. 2), μπορείτε να ορίσετε τις ακόλουθες παραμέτρους για τη γραμμή τάσης:

αλλάξτε το όνομα της γραμμής τάσης στο Όνομα του πεδίου προσεγγιστικής (εξομαλυνόμενης) καμπύλης.

ορίστε τον αριθμό των περιόδων (προς τα εμπρός ή προς τα πίσω) για την πρόβλεψη στο πεδίο Πρόβλεψη.

εμφανίστε την εξίσωση της γραμμής τάσης στην περιοχή του διαγράμματος, για την οποία θα πρέπει να ενεργοποιήσετε την εξίσωση εμφάνισης στο πλαίσιο ελέγχου του διαγράμματος.

Εμφανίστε την τιμή αξιοπιστίας προσέγγισης R2 στην περιοχή του διαγράμματος, για την οποία θα πρέπει να ενεργοποιήσετε το πλαίσιο ελέγχου Τοποθέτηση της τιμής αξιοπιστίας προσέγγισης στο διάγραμμα (R^2).

ορίστε το σημείο τομής της γραμμής τάσης με τον άξονα Y, για τον οποίο θα πρέπει να ενεργοποιήσετε το πλαίσιο ελέγχου για την τομή της καμπύλης με τον άξονα Y σε ένα σημείο.

Κάντε κλικ στο κουμπί OK για να κλείσετε το παράθυρο διαλόγου.

Για να ξεκινήσετε την επεξεργασία μιας ήδη σχεδιασμένης γραμμής τάσης, υπάρχουν τρεις τρόποι:

χρησιμοποιήστε την εντολή Selected trend line από το μενού Format, έχοντας προηγουμένως επιλέξει τη γραμμή τάσης.

επιλέξτε την εντολή Μορφοποίηση γραμμής τάσης από το μενού περιβάλλοντος, το οποίο καλείται κάνοντας δεξί κλικ στη γραμμή τάσης.

διπλό κλικ στη γραμμή τάσης.

Το πλαίσιο διαλόγου Μορφή γραμμής τάσης θα εμφανιστεί στην οθόνη (Εικ. 3), που περιέχει τρεις καρτέλες: Προβολή, Τύπος, Παράμετροι και τα περιεχόμενα των δύο τελευταίων συμπίπτουν πλήρως με τις παρόμοιες καρτέλες του πλαισίου διαλόγου Γραμμής τάσης (Εικ. 1 -2). Στην καρτέλα Προβολή, μπορείτε να ορίσετε τον τύπο γραμμής, το χρώμα και το πάχος της.

Για να διαγράψετε μια γραμμή τάσης που έχει ήδη σχεδιαστεί, επιλέξτε τη γραμμή τάσης που θέλετε να διαγράψετε και πατήστε το πλήκτρο Διαγραφή.

Τα πλεονεκτήματα του εξεταζόμενου εργαλείου ανάλυσης παλινδρόμησης είναι:

τη σχετική ευκολία κατασκευής μιας γραμμής τάσης σε γραφήματα χωρίς τη δημιουργία πίνακα δεδομένων για αυτήν·

μια αρκετά μεγάλη λίστα τύπων προτεινόμενων γραμμών τάσης και αυτή η λίστα περιλαμβάνει τους πιο συχνά χρησιμοποιούμενους τύπους παλινδρόμησης.

την ικανότητα πρόβλεψης της συμπεριφοράς της υπό μελέτη διαδικασίας από έναν αυθαίρετο (εντός των ορίων της κοινής λογικής) αριθμό βημάτων προς τα εμπρός και επίσης προς τα πίσω.

την ικανότητα λήψης της εξίσωσης γραμμής τάσης σε αναλυτική μορφή.

τη δυνατότητα, εάν είναι απαραίτητο, να ληφθεί αξιολόγηση της αξιοπιστίας της προσέγγισης.

Τα μειονεκτήματα περιλαμβάνουν τα ακόλουθα:

η κατασκευή μιας γραμμής τάσης πραγματοποιείται μόνο εάν υπάρχει ένα διάγραμμα που βασίζεται σε μια σειρά δεδομένων.

η διαδικασία δημιουργίας σειρών δεδομένων για το χαρακτηριστικό υπό μελέτη με βάση τις εξισώσεις γραμμής τάσης που λαμβάνονται για αυτό είναι κάπως ακατάστατη: οι απαιτούμενες εξισώσεις παλινδρόμησης ενημερώνονται με κάθε αλλαγή στις τιμές της αρχικής σειράς δεδομένων, αλλά μόνο εντός της περιοχής του γραφήματος , ενώ οι σειρές δεδομένων που σχηματίστηκαν με βάση την τάση της παλιάς εξίσωσης γραμμής παραμένουν αμετάβλητες.

Στις αναφορές Συγκεντρωτικού Γραφήματος, η αλλαγή της προβολής ενός γραφήματος ή της σχετικής αναφοράς Συγκεντρωτικού Πίνακα δεν διατηρεί τις υπάρχουσες γραμμές τάσεων, πράγμα που σημαίνει ότι προτού σχεδιάσετε γραμμές τάσεων ή μορφοποιήσετε με άλλο τρόπο μια αναφορά Συγκεντρωτικού γραφήματος, θα πρέπει να βεβαιωθείτε ότι η διάταξη της αναφοράς πληροί τις απαιτούμενες απαιτήσεις.

Οι γραμμές τάσης μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τη συμπλήρωση σειρών δεδομένων που παρουσιάζονται σε γραφήματα όπως γραφήματα, ιστόγραμμα, επίπεδα μη τυποποιημένα γραφήματα περιοχών, γραφήματα ράβδων, γραφήματα διασποράς, γραφήματα συννεφάκια και γραφήματα μετοχών.

Δεν μπορείτε να προσθέσετε γραμμές τάσης σε σειρές δεδομένων σε γραφήματα 3D, κανονικοποιημένων, ραντάρ, πίτας και ντόνατ.

Χρήση των ενσωματωμένων συναρτήσεων του Excel

Το Excel διαθέτει επίσης ένα εργαλείο ανάλυσης παλινδρόμησης για τη σχεδίαση γραμμών τάσης εκτός της περιοχής του γραφήματος. Υπάρχει ένας αριθμός στατιστικών συναρτήσεων φύλλου εργασίας που μπορείτε να χρησιμοποιήσετε για αυτόν τον σκοπό, αλλά όλες σας επιτρέπουν μόνο να δημιουργήσετε γραμμικές ή εκθετικές παλινδρόμηση.

Το Excel έχει πολλές λειτουργίες για την κατασκευή γραμμικής παλινδρόμησης, ειδικότερα:

ΤΑΣΗ;

• ΚΛΙΣΗ και ΚΟΠΗ.

Καθώς και πολλές λειτουργίες για την κατασκευή μιας εκθετικής γραμμής τάσης, ειδικότερα:

LGRFPRIBL.

Πρέπει να σημειωθεί ότι οι τεχνικές κατασκευής παλινδρομήσεων με χρήση των συναρτήσεων TREND και GROWTH είναι σχεδόν οι ίδιες. Το ίδιο μπορεί να ειπωθεί για το ζεύγος των συναρτήσεων LINEST και LGRFPRIBL. Για αυτές τις τέσσερις συναρτήσεις, η δημιουργία ενός πίνακα τιμών χρησιμοποιεί δυνατότητες του Excel, όπως τύπους πίνακα, οι οποίοι παραβιάζουν κάπως τη διαδικασία δημιουργίας παλινδρομήσεων. Σημειώστε επίσης ότι η κατασκευή της γραμμικής παλινδρόμησης, κατά τη γνώμη μας, επιτυγχάνεται πιο εύκολα χρησιμοποιώντας τις συναρτήσεις SLOPE και INTERCEPT, όπου η πρώτη από αυτές καθορίζει την κλίση της γραμμικής παλινδρόμησης και η δεύτερη καθορίζει το τμήμα που ανακόπτεται από την παλινδρόμηση στο y. -άξονας.

Τα πλεονεκτήματα του ενσωματωμένου εργαλείου συναρτήσεων για ανάλυση παλινδρόμησης είναι:

μια αρκετά απλή, ομοιόμορφη διαδικασία δημιουργίας σειρών δεδομένων του υπό μελέτη χαρακτηριστικού για όλες τις ενσωματωμένες στατιστικές συναρτήσεις που καθορίζουν τις γραμμές τάσης.

τυπική μεθοδολογία για την κατασκευή γραμμών τάσης που βασίζονται σε παραγόμενες σειρές δεδομένων·

την ικανότητα πρόβλεψης της συμπεριφοράς της υπό μελέτη διαδικασίας με τον απαιτούμενο αριθμό βημάτων προς τα εμπρός ή προς τα πίσω.

Τα μειονεκτήματα περιλαμβάνουν το γεγονός ότι το Excel δεν διαθέτει ενσωματωμένες λειτουργίες για τη δημιουργία άλλων (εκτός από γραμμικούς και εκθετικούς) τύπους γραμμών τάσης. Αυτή η περίσταση συχνά δεν επιτρέπει την επιλογή ενός επαρκώς ακριβούς μοντέλου της υπό μελέτη διαδικασίας, καθώς και τη λήψη προβλέψεων που είναι κοντά στην πραγματικότητα. Επιπλέον, όταν χρησιμοποιούνται οι συναρτήσεις TREND και GROWTH, οι εξισώσεις των γραμμών τάσης δεν είναι γνωστές.

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι οι συγγραφείς δεν είχαν σκοπό να παρουσιάσουν την πορεία της ανάλυσης παλινδρόμησης με κανένα βαθμό πληρότητας. Το κύριο καθήκον του είναι να δείξει, χρησιμοποιώντας συγκεκριμένα παραδείγματα, τις δυνατότητες του πακέτου Excel κατά την επίλυση προβλημάτων προσέγγισης. Δείξτε ποια αποτελεσματικά εργαλεία διαθέτει το Excel για τη δημιουργία παλινδρόμησης και την πρόβλεψη. δείχνουν πώς τέτοια προβλήματα μπορούν να λυθούν σχετικά εύκολα ακόμη και από έναν χρήστη που δεν έχει εκτεταμένη γνώση της ανάλυσης παλινδρόμησης.

Παραδείγματα επίλυσης συγκεκριμένων προβλημάτων

Ας εξετάσουμε την επίλυση συγκεκριμένων προβλημάτων χρησιμοποιώντας τα αναφερόμενα εργαλεία του Excel.

Πρόβλημα 1

Με πίνακα στοιχείων για τα κέρδη μιας αυτοκινητοβιομηχανίας για την περίοδο 1995-2002. πρέπει να κάνετε τα εξής:

Κατασκευάστε ένα διάγραμμα.

Προσθέστε γραμμικές και πολυωνυμικές (τετραγωνικές και κυβικές) γραμμές τάσης στο γράφημα.

Χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις γραμμής τάσης, λάβετε δεδομένα σε πίνακα για τα κέρδη της επιχείρησης για κάθε γραμμή τάσης για την περίοδο 1995-2004.

Κάντε μια πρόβλεψη για τα κέρδη της επιχείρησης για το 2003 και το 2004.

Η λύση του προβλήματος

Στην περιοχή των κελιών A4:C11 του φύλλου εργασίας του Excel, εισαγάγετε το φύλλο εργασίας που φαίνεται στην Εικ. 4.

Έχοντας επιλέξει το εύρος των κελιών B4:C11, κατασκευάζουμε ένα διάγραμμα.

Ενεργοποιούμε το κατασκευασμένο διάγραμμα και, σύμφωνα με τη μέθοδο που περιγράφεται παραπάνω, αφού επιλέξουμε τον τύπο γραμμής τάσης στο πλαίσιο διαλόγου Γραμμή τάσης (βλ. Εικ. 1), προσθέτουμε εναλλάξ γραμμικές, τετραγωνικές και κυβικές γραμμές τάσης στο διάγραμμα. Στο ίδιο πλαίσιο διαλόγου, ανοίξτε την καρτέλα Παράμετροι (βλ. Εικ. 2), στο πεδίο Όνομα του πεδίου προσεγγιστικής (εξομαλυνόμενης) καμπύλης, εισαγάγετε το όνομα της τάσης που προστίθεται και στο πεδίο Πρόβλεψη προς τα εμπρός για: περιόδους, ορίστε το αξίας 2, αφού σχεδιάζεται να γίνει πρόβλεψη κερδών για δύο χρόνια. Για να εμφανίσετε την εξίσωση παλινδρόμησης και την τιμή αξιοπιστίας προσέγγισης R2 στην περιοχή του διαγράμματος, ενεργοποιήστε την εξίσωση εμφάνισης στα πλαίσια ελέγχου της οθόνης και τοποθετήστε την τιμή αξιοπιστίας προσέγγισης (R^2) στο διάγραμμα. Για καλύτερη οπτική αντίληψη, αλλάζουμε τον τύπο, το χρώμα και το πάχος των κατασκευασμένων γραμμών τάσης, για τις οποίες χρησιμοποιούμε την καρτέλα Προβολή του πλαισίου διαλόγου Μορφή γραμμής τάσης (βλ. Εικ. 3). Το διάγραμμα που προκύπτει με τις προστιθέμενες γραμμές τάσης φαίνεται στο Σχ. 5.

Για να λάβετε πίνακες για τα κέρδη των επιχειρήσεων για κάθε γραμμή τάσης για την περίοδο 1995-2004. Ας χρησιμοποιήσουμε τις εξισώσεις γραμμής τάσης που παρουσιάζονται στο Σχ. 5. Για να το κάνετε αυτό, στα κελιά της περιοχής D3:F3, εισαγάγετε πληροφορίες κειμένου σχετικά με τον τύπο της επιλεγμένης γραμμής τάσης: Γραμμική τάση, Τετραγωνική τάση, Κυβική τάση. Στη συνέχεια, εισαγάγετε τον τύπο γραμμικής παλινδρόμησης στο κελί D4 και, χρησιμοποιώντας τον δείκτη πλήρωσης, αντιγράψτε αυτόν τον τύπο με σχετικές αναφορές στην περιοχή κελιών D5:D13. Πρέπει να σημειωθεί ότι κάθε κελί με τύπο γραμμικής παλινδρόμησης από την περιοχή των κελιών D4:D13 έχει ως όρισμα ένα αντίστοιχο κελί από την περιοχή A4:A13. Ομοίως, για την τετραγωνική παλινδρόμηση, συμπληρώστε την περιοχή των κελιών E4:E13 και για την κυβική παλινδρόμηση, συμπληρώστε την περιοχή των κελιών F4:F13. Έτσι, έχει συνταχθεί πρόβλεψη για τα κέρδη της επιχείρησης για το 2003 και το 2004. χρησιμοποιώντας τρεις τάσεις. Ο πίνακας τιμών που προκύπτει φαίνεται στο Σχ. 6.

Πρόβλημα 2

Κατασκευάστε ένα διάγραμμα.

Προσθέστε γραμμές λογαριθμικής, ισχύος και εκθετικής τάσης στο γράφημα.

Εξάγετε τις εξισώσεις των ληφθέντων γραμμών τάσης, καθώς και τις τιμές αξιοπιστίας της προσέγγισης R2 για καθεμία από αυτές.

Χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις της γραμμής τάσης, λάβετε δεδομένα σε πίνακα για τα κέρδη της επιχείρησης για κάθε γραμμή τάσης για την περίοδο 1995-2002.

Κάντε μια πρόβλεψη των κερδών της εταιρείας για το 2003 και το 2004 χρησιμοποιώντας αυτές τις γραμμές τάσης.

Η λύση του προβλήματος

Ακολουθώντας τη μεθοδολογία που δίνεται στην επίλυση του προβλήματος 1, λαμβάνουμε ένα διάγραμμα με λογαριθμικές, ισχύς και εκθετικές γραμμές τάσης που προστίθενται σε αυτό (Εικ. 7). Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τις ληφθείσες εξισώσεις γραμμής τάσης, συμπληρώνουμε έναν πίνακα τιμών για τα κέρδη της επιχείρησης, συμπεριλαμβανομένων των προβλεπόμενων τιμών για το 2003 και το 2004. (Εικ. 8).

Στο Σχ. 5 και εικ. φαίνεται ότι το μοντέλο με λογαριθμική τάση αντιστοιχεί στη χαμηλότερη τιμή αξιοπιστίας προσέγγισης

R2 = 0,8659

Οι υψηλότερες τιμές του R2 αντιστοιχούν σε μοντέλα με πολυωνυμική τάση: τετραγωνικό (R2 = 0,9263) και κυβικό (R2 = 0,933).

Πρόβλημα 3

Με τον πίνακα δεδομένων σχετικά με τα κέρδη μιας επιχείρησης μηχανοκίνητων μεταφορών για την περίοδο 1995-2002, που δίνεται στην εργασία 1, πρέπει να εκτελέσετε τα ακόλουθα βήματα.

Λάβετε σειρές δεδομένων για γραμμικές και εκθετικές γραμμές τάσης χρησιμοποιώντας τις συναρτήσεις TREND και GROW.

Χρησιμοποιώντας τις συναρτήσεις TREND και GROWTH, κάντε μια πρόβλεψη των κερδών της επιχείρησης για το 2003 και το 2004.

Κατασκευάστε ένα διάγραμμα για τα αρχικά δεδομένα και τις προκύπτουσες σειρές δεδομένων.

Η λύση του προβλήματος

Ας χρησιμοποιήσουμε το φύλλο εργασίας για το Πρόβλημα 1 (βλ. Εικ. 4). Ας ξεκινήσουμε με τη συνάρτηση TREND:

επιλέξτε το εύρος των κελιών D4:D11, το οποίο θα πρέπει να συμπληρωθεί με τις τιμές της συνάρτησης TREND που αντιστοιχούν στα γνωστά δεδομένα για το κέρδος της επιχείρησης.

Καλέστε την εντολή Function από το μενού Insert. Στο παράθυρο διαλόγου Function Wizard που εμφανίζεται, επιλέξτε τη συνάρτηση TREND από την κατηγορία Statistical και, στη συνέχεια, κάντε κλικ στο κουμπί OK. Η ίδια λειτουργία μπορεί να πραγματοποιηθεί κάνοντας κλικ στο κουμπί (Εισαγωγή συνάρτησης) στην τυπική γραμμή εργαλείων.

Στο παράθυρο διαλόγου Επιχειρήματα συνάρτησης που εμφανίζεται, εισαγάγετε την περιοχή των κελιών C4:C11 στο πεδίο Known_values_y. στο πεδίο Known_values_x - το εύρος των κελιών B4:B11;

Για να κάνετε τον τύπο που εισαγάγατε να γίνει τύπος πίνακα, χρησιμοποιήστε τον συνδυασμό πλήκτρων + + .

Ο τύπος που πληκτρολογήσαμε στη γραμμή τύπων θα μοιάζει με: =(TREND(C4:C11,B4:B11)).

Ως αποτέλεσμα, η περιοχή των κελιών D4:D11 γεμίζει με τις αντίστοιχες τιμές της συνάρτησης TREND (Εικ. 9).

Να κάνει μια πρόβλεψη των κερδών της επιχείρησης για το 2003 και το 2004. απαραίτητη:

επιλέξτε το εύρος των κελιών D12:D13 όπου θα εισαχθούν οι τιμές που προβλέπονται από τη συνάρτηση TREND.

καλέστε τη συνάρτηση TREND και στο πλαίσιο διαλόγου Function Arguments που εμφανίζεται, εισαγάγετε στο πεδίο Known_values_y - το εύρος των κελιών C4:C11; στο πεδίο Known_values_x - το εύρος των κελιών B4:B11; και στο πεδίο New_values_x - το εύρος των κελιών B12:B13.

μετατρέψτε αυτόν τον τύπο σε τύπο πίνακα χρησιμοποιώντας τον συνδυασμό πλήκτρων Ctrl + Shift + Enter.

Ο τύπος που εισαγάγατε θα μοιάζει με: =(TREND(C4:C11;B4:B11;B12:B13)), και η περιοχή των κελιών D12:D13 θα γεμίσει με τις προβλεπόμενες τιμές της συνάρτησης TREND (βλ. 9).

Η σειρά δεδομένων συμπληρώνεται με παρόμοιο τρόπο χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση GROWTH, η οποία χρησιμοποιείται στην ανάλυση μη γραμμικών εξαρτήσεων και λειτουργεί με τον ίδιο ακριβώς τρόπο όπως το γραμμικό αντίστοιχό της TREND.

Το Σχήμα 10 δείχνει τον πίνακα σε λειτουργία εμφάνισης τύπου.

Για τα αρχικά δεδομένα και τις ληφθείσες σειρές δεδομένων, το διάγραμμα που φαίνεται στο Σχ. έντεκα.

Πρόβλημα 4

Με τον πίνακα στοιχείων παραλαβής αιτήσεων για υπηρεσίες από την υπηρεσία αποστολής μιας αυτοκινητοβιομηχανίας για την περίοδο από 1 έως 11 του τρέχοντος μήνα, πρέπει να εκτελέσετε τις παρακάτω ενέργειες.

Λήψη σειρών δεδομένων για γραμμική παλινδρόμηση: χρησιμοποιώντας τις συναρτήσεις SLOPE και INTERCEPT. χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση LINEST.

Λάβετε μια σειρά δεδομένων για εκθετική παλινδρόμηση χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση LGRFPRIBL.

Χρησιμοποιώντας τις παραπάνω λειτουργίες, κάντε μια πρόβλεψη σχετικά με την παραλαβή των αιτήσεων στην υπηρεσία αποστολής για την περίοδο από τις 12 έως τις 14 του τρέχοντος μήνα.

Δημιουργήστε ένα διάγραμμα για την αρχική και τη ληφθείσα σειρά δεδομένων.

Η λύση του προβλήματος

Σημειώστε ότι, σε αντίθεση με τις συναρτήσεις TREND και GROWTH, καμία από τις συναρτήσεις που αναφέρονται παραπάνω (SLOPE, INTERCEPT, LINEST, LGRFPRIB) δεν είναι παλινδρόμηση. Αυτές οι συναρτήσεις παίζουν μόνο υποστηρικτικό ρόλο, καθορίζοντας τις απαραίτητες παραμέτρους παλινδρόμησης.

Για γραμμικές και εκθετικές παλινδρομήσεις που κατασκευάζονται με τις συναρτήσεις SLOPE, INTERCEPT, LINEST, LGRFPRIB, η εμφάνιση των εξισώσεών τους είναι πάντα γνωστή, σε αντίθεση με τις γραμμικές και εκθετικές παλινδρομήσεις που αντιστοιχούν στις συναρτήσεις TREND και GROWTH.

1 . Ας οικοδομήσουμε μια γραμμική παλινδρόμηση με την εξίσωση:

y = mx+b

χρησιμοποιώντας τις συναρτήσεις SLOPE και INTERCEPT, με την κλίση παλινδρόμησης m να καθορίζεται από τη συνάρτηση SLOPE και τον ελεύθερο όρο b από τη συνάρτηση INTERCEPT.

Για να γίνει αυτό, πραγματοποιούμε τις ακόλουθες ενέργειες:

Εισαγάγετε τον αρχικό πίνακα στην περιοχή κελιών A4:B14.

η τιμή της παραμέτρου m θα καθοριστεί στο κελί C19. Επιλέξτε τη συνάρτηση Slope από την κατηγορία Στατιστικά. Εισαγάγετε την περιοχή των κελιών B4:B14 στο πεδίο γνωστές_τιμές_y και την περιοχή των κελιών A4:A14 στο πεδίο γνωστές_τιμές_x. Ο τύπος θα εισαχθεί στο κελί C19: =SLOPE(B4:B14,A4:A14);

Χρησιμοποιώντας παρόμοια τεχνική, προσδιορίζεται η τιμή της παραμέτρου b στο κελί D19. Και τα περιεχόμενά του θα έχουν την εξής μορφή: =SEGMENT(B4:B14,A4:A14). Έτσι, οι τιμές των παραμέτρων m και b που απαιτούνται για την κατασκευή μιας γραμμικής παλινδρόμησης θα αποθηκευτούν στα κελιά C19, D19, αντίστοιχα.

Στη συνέχεια, εισαγάγετε τον τύπο γραμμικής παλινδρόμησης στο κελί C4 με τη μορφή: =$C*A4+$D. Σε αυτόν τον τύπο, τα κελιά C19 και D19 γράφονται με απόλυτες αναφορές (η διεύθυνση του κελιού δεν πρέπει να αλλάξει κατά την πιθανή αντιγραφή). Το απόλυτο σύμβολο αναφοράς $ μπορεί να πληκτρολογηθεί είτε από το πληκτρολόγιο είτε χρησιμοποιώντας το πλήκτρο F4, αφού τοποθετήσετε τον κέρσορα στη διεύθυνση του κελιού. Χρησιμοποιώντας τη λαβή πλήρωσης, αντιγράψτε αυτόν τον τύπο στην περιοχή των κελιών C4:C17. Λαμβάνουμε τις απαιτούμενες σειρές δεδομένων (Εικ. 12). Λόγω του γεγονότος ότι ο αριθμός των αιτημάτων είναι ακέραιος, θα πρέπει να ορίσετε τη μορφή αριθμού με τον αριθμό των δεκαδικών ψηφίων στο 0 στην καρτέλα Αριθμός του παραθύρου Μορφή κελιού.

2 . Τώρα ας οικοδομήσουμε μια γραμμική παλινδρόμηση που δίνεται από την εξίσωση:

y = mx+b

χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση LINEST.

Για αυτό:

Εισαγάγετε τη συνάρτηση LINEST ως τύπο πίνακα στην περιοχή κελιών C20:D20: =(LINEST(B4:B14,A4:A14)). Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε την τιμή της παραμέτρου m στο κελί C20 και την τιμή της παραμέτρου b στο κελί D20.

Εισαγάγετε τον τύπο στο κελί D4: =$C*A4+$D;

αντιγράψτε αυτόν τον τύπο χρησιμοποιώντας τον δείκτη πλήρωσης στην περιοχή κελιών D4:D17 και λάβετε την επιθυμητή σειρά δεδομένων.

3 . Κατασκευάζουμε μια εκθετική παλινδρόμηση με την εξίσωση:

χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση LGRFPRIBL εκτελείται παρόμοια:

Στην περιοχή κελιών C21:D21 εισάγουμε τη συνάρτηση LGRFPRIBL ως τύπο πίνακα: =( LGRFPRIBL (B4:B14,A4:A14)). Σε αυτήν την περίπτωση, η τιμή της παραμέτρου m θα καθοριστεί στο κελί C21 και η τιμή της παραμέτρου b θα καθοριστεί στο κελί D21.

ο τύπος εισάγεται στο κελί E4: =$D*$C^A4;

χρησιμοποιώντας τον δείκτη πλήρωσης, αυτός ο τύπος αντιγράφεται στην περιοχή των κελιών E4:E17, όπου θα βρίσκεται η σειρά δεδομένων για την εκθετική παλινδρόμηση (βλ. Εικ. 12).

Στο Σχ. Το σχήμα 13 δείχνει έναν πίνακα όπου μπορείτε να δείτε τις συναρτήσεις που χρησιμοποιούμε με τις απαιτούμενες περιοχές κελιών, καθώς και τύπους.

Μέγεθος R 2 που ονομάζεται συντελεστή προσδιορισμού.

Το καθήκον της κατασκευής μιας εξάρτησης παλινδρόμησης είναι να βρεθεί το διάνυσμα των συντελεστών m του μοντέλου (1) στο οποίο ο συντελεστής R παίρνει τη μέγιστη τιμή.

Για να εκτιμηθεί η σημασία του R, χρησιμοποιείται η δοκιμή Fisher's F, που υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο

Οπου n- μέγεθος δείγματος (αριθμός πειραμάτων).

k είναι ο αριθμός των συντελεστών του μοντέλου.

Εάν το F υπερβαίνει κάποια κρίσιμη τιμή για τα δεδομένα nΚαι κκαι την αποδεκτή πιθανότητα εμπιστοσύνης, τότε η τιμή του R θεωρείται σημαντική. Οι πίνακες των κρίσιμων τιμών του F δίνονται σε βιβλία αναφοράς για μαθηματικές στατιστικές.

Έτσι, η σημασία του R καθορίζεται όχι μόνο από την τιμή του, αλλά και από την αναλογία μεταξύ του αριθμού των πειραμάτων και του αριθμού των συντελεστών (παραμέτρων) του μοντέλου. Πράγματι, ο λόγος συσχέτισης για n=2 για ένα απλό γραμμικό μοντέλο είναι ίσος με 1 (μία ευθεία γραμμή μπορεί πάντα να τραβηχτεί σε 2 σημεία σε ένα επίπεδο). Ωστόσο, εάν τα πειραματικά δεδομένα είναι τυχαίες μεταβλητές, μια τέτοια τιμή του R θα πρέπει να είναι αξιόπιστη με μεγάλη προσοχή. Συνήθως, για να αποκτήσουν σημαντικό R και αξιόπιστη παλινδρόμηση, προσπαθούν να διασφαλίσουν ότι ο αριθμός των πειραμάτων υπερβαίνει σημαντικά τον αριθμό των συντελεστών του μοντέλου (n>k).

Για να δημιουργήσετε ένα μοντέλο γραμμικής παλινδρόμησης χρειάζεστε:

1) ετοιμάστε μια λίστα n σειρών και m στηλών που περιέχουν πειραματικά δεδομένα (στήλη που περιέχει την τιμή εξόδου Υπρέπει να είναι είτε πρώτος είτε τελευταίος στη λίστα). Για παράδειγμα, ας πάρουμε τα δεδομένα από την προηγούμενη εργασία, προσθέτοντας μια στήλη που ονομάζεται "Περίοδος Αρ.", αριθμήστε τους αριθμούς περιόδου από το 1 έως το 12. (αυτές θα είναι οι τιμές Χ)

2) μεταβείτε στο μενού Δεδομένα/Ανάλυση δεδομένων/Ανάλυση

Εάν λείπει το στοιχείο "Ανάλυση δεδομένων" στο μενού "Εργαλεία", τότε θα πρέπει να μεταβείτε στο στοιχείο "Πρόσθετα" στο ίδιο μενού και να επιλέξετε το πλαίσιο ελέγχου "Πακέτο ανάλυσης".

3) στο πλαίσιο διαλόγου "Προσφορά", ορίστε:

· διάστημα εισαγωγής Y;

· διάστημα εισαγωγής X;

· διάστημα εξόδου - το επάνω αριστερό κελί του διαστήματος στο οποίο θα τοποθετηθούν τα αποτελέσματα υπολογισμού (συνιστάται να τα τοποθετήσετε σε νέο φύλλο εργασίας).

4) Κάντε κλικ στο "Ok" και αναλύστε τα αποτελέσματα.

Slobodyanyuk A.I. Μέθοδος ελάχιστων τετραγώνων σε σχολικό φυσικό πείραμα // Φυσική: προβλήματα. απλωμένο – 1995. – Τεύχος. 1. – σσ. 88-99.

Μέχρι σήμερα, έχουν αναπτυχθεί διάφορες μέθοδοι για την επεξεργασία των αποτελεσμάτων των μετρήσεων. Η πιο συχνά χρησιμοποιούμενη και ακριβής μέθοδος είναι η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων (LSM).

Το άρθρο περιγράφει την ουσία της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων και τις προϋποθέσεις εφαρμογής της. Οι συγγραφείς προσφέρουν παραδείγματα χρήσης της μεθόδου OLS.

Κατά κανόνα, όλα τα φυσικά πειράματα καταλήγουν στη μέτρηση της εξάρτησης μιας συγκεκριμένης ποσότητας uαπό μία ή περισσότερες άλλες ποσότητες z 1 , z 2 , …, z n.

Η ανάγκη λήψης της εξάρτησης (και όχι η πραγματοποίηση μετρήσεων «σημείων» με σταθερές τιμές παραμέτρων) δικαιολογείται από τα ακόλουθα πλεονεκτήματα:

• την ικανότητα δοκιμής θεωρητικών κατασκευών·

• την ικανότητα εξαίρεσης παραμέτρων που είναι δύσκολο να προσδιοριστούν.

• σε ορισμένες περιπτώσεις ένας απλούστερος τρόπος εκτίμησης των σφαλμάτων.

Μέχρι σήμερα, έχουν αναπτυχθεί διάφορες μέθοδοι για την επεξεργασία των αποτελεσμάτων των μετρήσεων. Η πιο συχνά χρησιμοποιούμενη, απλή και λογική μέθοδος είναι η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων (OLS).

1. Η ουσία της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων, προϋποθέσεις για την εφαρμογή της

Ας υποθέσουμε ότι γνωρίζουμε το είδος της λειτουργικής εξάρτησης ενός φυσικού μεγέθους uαπό άλλη φυσική ποσότητα z, αλλά οι παράμετροι αυτής της εξάρτησης δεν είναι γνωστές ένα, σι, ντο,... Ως αποτέλεσμα των μετρήσεων, ελήφθη ένας πίνακας τιμών u iγια κάποιες αξίες . Απαιτείται η εύρεση τέτοιων τιμών παραμέτρων ένα, σι, ντο,...για την οποία η λειτουργία περιγράφει καλύτερα τα πειραματικά δεδομένα.

Το LSM δηλώνει ότι η «καλύτερη» καμπύλη θα είναι αυτή για την οποία το άθροισμα των τετραγωνικών αποκλίσεων των πειραματικών τιμών u iαπό τις τιμές συνάρτησης ελάχιστος. Έτσι, για τον προσδιορισμό των παραμέτρων ένα, σι, ντο,...είναι απαραίτητο να βρεθεί το ελάχιστο της συνάρτησης

. (1)

Σημειώστε ότι το Φ θεωρείται εδώ ως συνάρτηση παραμέτρων ένα, σι, ντο,..., αφού οι ποσότητες u i, z iγνωστό από πειραματικά δεδομένα.

Στη γενική περίπτωση, η εύρεση της ελάχιστης συνάρτησης (1) δεν είναι πάντα δυνατή. Επομένως, για την πρακτική εφαρμογή των MNC, χρησιμοποιείται συχνά η ακόλουθη τεχνητή τεχνική: βρίσκουν κάποιο λειτουργικό μετασχηματισμό , που φέρνει την υπό μελέτη εξάρτηση σε γραμμική μορφή

για τα οποία η υλοποίηση του OLS είναι πιο απλή. Παραδείγματα μετασχηματισμών αυτού του τύπου δίνονται στον πίνακα. 1. Κάποιοι μετασχηματισμοί θα συζητηθούν παρακάτω κατά την παρουσίαση συγκεκριμένων παραδειγμάτων.

Ας αντικαταστήσουμε την έκφραση (2) με την έκφραση (1)

(3)

και πάρτε εξισώσεις για τον προσδιορισμό των παραμέτρων ΕΝΑΚαι σι. Για να γίνει αυτό, υπολογίζουμε τις παραγώγους της συνάρτησης Φ ως προς ΕΝΑΚαι σικαι να τα εξισώσει με το μηδέν,

(4)

Αυτό το σύστημα είναι γραμμικό και μπορεί εύκολα να λυθεί:

(5)

Ωστόσο, οι εκφράσεις που προκύπτουν δεν είναι πολύ βολικές για πρακτικούς υπολογισμούς, επομένως θα τις ξαναγράψουμε σε μια ελαφρώς διαφορετική μορφή. Για να γίνει αυτό, ας υποδηλώσουμε

(6)

(οι αγκύλες σημαίνουν τον αριθμητικό μέσο όρο σύμφωνα με τα πειραματικά δεδομένα) και γράψτε

(7)

Από τη δεύτερη εξίσωση του συστήματος (4) εκφράζουμε .

Οι εκφράσεις (6), (7) σάς επιτρέπουν να υπολογίζετε γρήγορα τις παραμέτρους της γραμμικής εξάρτησης (2) χρησιμοποιώντας μια μη προγραμματιζόμενη αριθμομηχανή.

Ας διατυπώσουμε τις συνθήκες υπό τις οποίες οι τιμές των παραμέτρων που λαμβάνονται με αυτόν τον τρόπο είναι βέλτιστες (αμερόληπτες, συνεπείς, αποτελεσματικές εκτιμήσεις).

1. Τα αποτελέσματα της μέτρησης είναι ανεξάρτητα.

2. Τα σφάλματα μέτρησης ακολουθούν κανονική κατανομή.

3. Ποσότητες ΧΕγώ, είναι γνωστά ακριβώς.

Στην πράξη, το LSM στην αναφερόμενη μορφή χρησιμοποιείται εάν τα σφάλματα μέτρησης στοΕγώυπερβαίνουν σημαντικά (πάνω από μια τάξη μεγέθους) τα σφάλματα μέτρησης των ποσοτήτων x i.

Εάν πληρούνται αυτές οι προϋποθέσεις, οι παράμετροι ΕΝΑ, σιεκφράζεται γραμμικά μέσω των αποτελεσμάτων των μετρήσεων στοΕγώ, (λάθη μέτρησης x iπαραμελήθηκε), επομένως το σφάλμα στον προσδιορισμό των παραμέτρων μπορεί να βρεθεί με την τυπική μέθοδο ως το σφάλμα έμμεσης μέτρησης. Κάπως περίπλοκοι υπολογισμοί οδηγούν στους ακόλουθους τύπους για εκτιμήσεις σφαλμάτων:

(8)

Οπου , διατηρήστε τους υπόλοιπους χαρακτηρισμούς ίδιους:

(9)

Έτσι, οι τύποι (6) – (9) εξαντλούν πλήρως τα ελάχιστα τετράγωνα για την ανάλυση της γραμμικής εξάρτησης. Οι τύποι (7) – (8) παρέχουν εκτιμήσεις μόνο τυχαίων σφαλμάτων μέτρησης. Η χρήση τους δικαιολογείται πλήρως εάν κυριαρχεί αυτού του είδους το σφάλμα, κάτι που συμβαίνει συχνότερα στην πράξη. Απόδειξη αυτής της κυριαρχίας είναι μια αξιοσημείωτη διασπορά πόντων ( στοΕγώ, ΧΕγώ) στο γράφημα όταν αυτά τα σημεία δεν βρίσκονται ακριβώς σε ευθεία γραμμή. Σημειώστε ότι το σταθερό συστηματικό σφάλμα οργάνου δεν επηρεάζει τον προσδιορισμό της παραμέτρου ΕΝΑκαι είναι μια πρόσθετη προσθήκη στο σφάλμα παραμέτρου σι, δηλ. εάν το όργανο είναι λάθος στη μέτρηση των ποσοτήτων στοΕγώείναι ίσο λοιπόν .

Σημειώστε επίσης ότι σε ορισμένες περιπτώσεις είναι απαραίτητο να πραγματοποιήσετε αρκετές μετρήσεις της τιμής uστην ίδια τιμή z. Σε αυτήν την περίπτωση, δεν απαιτούνται τροποποιήσεις στο MNC. Αρκεί να θεωρήσουμε αυτές τις τιμές ως ανεξάρτητες, δηλ. συμπεριλάβετε ζευγάρια στους υπολογισμούς z i, u iμε τις ίδιες τιμές z i. Με άλλα λόγια, μια τιμή zμπορεί να αντιστοιχεί σε πολλές τιμές u. Φυσικά, δεν μπορούν να είναι όλοι zπανομοιότυπο, διαφορετικά στον τύπο (5) ο παρονομαστής θα είναι μηδέν.

2. Πρακτική εφαρμογή ελαχίστων τετραγώνων για γραμμική εξάρτηση από μη προγραμματιζόμενη αριθμομηχανή

Όπως δείχνει η εμπειρία, είναι καλύτερο να χρησιμοποιήσετε μια προπαρασκευασμένη φόρμα για να υπολογίσετε τις παραμέτρους μιας γραμμικής σχέσης και τα λάθη τους (Πίνακας 2). Στη στήλη 1 καταγράφονται οι αριθμοί των μετρήσεων που πραγματοποιήθηκαν ( Εγώ = 1, 2, ..., Ν ) στις στήλες 2, 3 – αποτελέσματα μετρήσεων μεγεθών z i, u i.

Το πρώτο βήμα για τη χρήση αυτής της φόρμας για την υλοποίηση του OLS είναι η συμπλήρωση των στηλών 4, 5. Παρουσιάζουν τα αποτελέσματα μετασχηματισμών από z, uσε ποσότητες Χ, στο, μεταξύ των οποίων αναζητείται μια γραμμική σχέση.

Οι τύποι υπολογισμού που παρουσιάζονται στη στήλη 6 επιτρέπουν υπολογισμούς σε αριθμομηχανή χωρίς καταγραφή ενδιάμεσων αποτελεσμάτων. Οποιοσδήποτε, ακόμη και ο απλούστερος υπολογιστής, έχει ένα κελί μνήμης στο οποίο μπορείτε να συγκεντρώσετε τιμές αθροίσματος. Οι υπολογισμοί πρέπει να γίνονται με την ακόλουθη σειρά:

1) Υπολογίστε - για να το κάνετε αυτό, εισάγετε διαδοχικά όλες τις τιμές στη μνήμη ΧΕγώ, γραμμένο στη στήλη 4 και, στη συνέχεια, διαιρέστε τα περιεχόμενα με τον αριθμό των ζευγών μετρήσεων Ν,γράψτε το αποτέλεσμα στη στήλη 7.

2) Υπολογίστε πληκτρολογώντας διαδοχικά τιμές x i, συσσωρεύουν στη μνήμη το άθροισμα των τετραγώνων τους (τιμές τύπου – «πολλαπλασιασμός» – «ίσος» – «στη μνήμη +») και διαιρούνται με Ν, αφαιρέστε το τετράγωνο του μέσου όρου από το αποτέλεσμα που προέκυψε, γράψτε το αποτέλεσμα στη στήλη 7.

3 – 4) υπολογίστε ομοίως και ;

5) συσσωρεύστε το άθροισμα των προϊόντων στη μνήμη, διαιρέστε με Ν, αφαιρέστε το γινόμενο των μέσων όρων και διαιρέστε με - λάβετε την τιμή της παραμέτρου ΕΝΑ.

Οι περαιτέρω υπολογισμοί είναι αρκετά προφανείς.

3. Παράδειγμα χρήσης MNC

Εργο. Χρησιμοποιώντας ένα μαθηματικό εκκρεμές, μετρήστε την επιτάχυνση της βαρύτητας.

Εξοπλισμός: νήμα, βάρος, τρίποδο, χάρακας, χρονόμετρο.

Λύση. Περίοδος μικρών ταλαντώσεων μαθηματικού εκκρεμούς Τκαθορίζεται από τον τύπο. Αυτός ο τύπος μπορεί να μετατραπεί στη φόρμα.

Με άλλα λόγια, μεταξύ του μήκους του εκκρεμούς μεγάλοκαι το τετράγωνο της περιόδου υπάρχει γραμμική σχέση, την οποία γράφουμε με τη μορφή: , όπου (μετατροπή σε γραμμική μορφή). Εισαγωγή παραμέτρου σισε αυτή την περίπτωση δεν είναι υποχρεωτικό, αφού θεωρητικά σι= 0. Ωστόσο, η σύνταξη μιας γραμμικής σχέσης σε γενική μορφή καθιστά δυνατό να ληφθεί αυτόματα υπόψη το σφάλμα στον προσδιορισμό του μήκους του εκκρεμούς· επιπλέον, σε αυτήν την περίπτωση είναι δυνατό να μετρηθεί όχι το μήκος του εκκρεμούς, αλλά μόνο αλλαγή. Εάν όλες οι μετρήσεις πραγματοποιηθούν σωστά, τότε η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων θα πρέπει να οδηγήσει στο αποτέλεσμα, το οποίο θα υποδεικνύει ότι .

Αποτελέσματα μετρήσεων μεταβολών μήκους εκκρεμούς Δ μεγάλο(μετρήθηκε η απόσταση από το σημείο ανάρτησης σε κάποιο σταθερό σημείο στο νήμα) και ο χρόνος tείκοσι δονήσεις (μετρούμενες με ρολόι χειρός) δίνονται στον πίνακα. 3. Τα αποτελέσματα των υπολογισμών με την περιγραφόμενη μεθοδολογία παρουσιάζονται επίσης εκεί.

Έχοντας υπολογίσει τον συντελεστή ΕΝΑ, μπορείτε να βρείτε την τιμή της επιτάχυνσης της ελεύθερης πτώσης και το σφάλμα της .

Τελικό αποτέλεσμα Κυρία.

Τιμή παραμέτρου σιδεν χρησιμοποιήθηκε (η έννοια της λαμβανόμενης τιμής είναι η απόσταση από ένα σταθερό σημείο στο νήμα έως το κέντρο μάζας του φορτίου). Η χρήση αυτής της παραμέτρου δικαιολογείται από τη δυσκολία του ακριβούς προσδιορισμού της θέσης του κέντρου βάρους.

4. Πειραματικές εργασίες που περιλαμβάνουν τη χρήση ελαχίστων τετραγώνων

Συμπερασματικά, προτείνουμε αρκετά πειραματικά προβλήματα για την επίλυση των οποίων θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί η παρουσιαζόμενη μέθοδος. Κάθε πρόβλημα παρέχεται με σύντομες οδηγίες για την επίλυσή του. Δεδομένου ότι σε κάθε περίπτωση οι τύποι για τις εκτιμήσεις σφαλμάτων είναι προφανείς, δεν δίνονται εδώ.

Πρόβλημα 1. Η περίοδος ταλάντωσης ενός μαθηματικού εκκρεμούς εξαρτάται από το πλάτος j 0 (σε ακτίνια) σύμφωνα με το νόμο

(10)

Προσδιορίστε την τιμή της παραμέτρου β.

Εξοπλισμός: νήμα, βάρος, τρίποδο, μοιρογνωμόνιο, ηλεκτρονικό χρονόμετρο.

Οδηγίες για τη λύση. Η εξάρτηση της περιόδου ταλάντωσης από το πλάτος είναι αρκετά ασθενής. Για την ανίχνευση του, είναι απαραίτητο να πραγματοποιηθούν μετρήσεις με υψηλή ακρίβεια (–0,01 s), που απαιτεί ηλεκτρονικό χρονόμετρο.

Ας αναπαραστήσουμε την εξάρτηση (10) με τη μορφή , όπου y =Τ,σι = Τ 0 . Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων για μια γραμμική εξάρτηση, μπορείτε να βρείτε τις τιμές των παραμέτρων ΕΝΑΚαι σι, τότε ο απαιτούμενος συντελεστής θα καθοριστεί από τον τύπο (σημειώστε ότι η θεωρητική τιμή είναι ).

Πρόβλημα 2. Προσδιορίστε την εστιακή απόσταση του συγκλίνοντος φακού.

Εξοπλισμός: πηγή φωτός, οθόνη, φακός, χάρακας.

Οδηγίες για τη λύση. Ας χρησιμοποιήσουμε τη φόρμουλα λεπτών φακών

Οπου ρε– απόσταση από το αντικείμενο μέχρι τον φακό, φά– απόσταση από το φακό στην εικόνα, φά– εστιακή απόσταση του φακού.

Ας υποδηλώσουμε τότε. Εάν μετρήσετε πολλά ζεύγη τιμών ρεΕγώΚαι f iκαι σχεδιάστε τα σημεία στο γράφημα , τότε αυτά τα σημεία πρέπει να βρίσκονται σε μια ευθεία γραμμή που κόβει τους άξονες Χ, στοτμήματα που είναι αριθμητικά ίσα. Εάν επεξεργαστείτε αυτήν την εξάρτηση χρησιμοποιώντας ελάχιστα τετράγωνα, μπορείτε να αποκτήσετε και στη συνέχεια να βρείτε .

Πρόβλημα 3. Η ψύξη του νερού περιγράφεται από τον τύπο, όπου Δ Τ– διαφορά θερμοκρασίας μεταξύ νερού και αέρα στο δωμάτιο, Δ Τ 0 – η ίδια διαφορά τη στιγμή t= 0. Προσδιορίστε πόση ώρα έχει περάσει από τότε που έβρασε το νερό.

Εξοπλισμός: ζεστό νερό σε δοχείο, θερμόμετρο, ρολόι.

Οδηγίες για τη λύση. Είναι απαραίτητο να βράσετε το νερό εκ των προτέρων και να το αφήσετε να κρυώσει. Μετά από κάποιο χρονικό διάστημα, αυτό το σκάφος μπορεί να παρασχεθεί για την ολοκλήρωση της εργασίας. Θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι ο χρόνος ψύξης ενός ποτηριού νερού σε συνθήκες δωματίου είναι περίπου 40 λεπτά.

Για να λυθεί αυτό το πρόβλημα, είναι απαραίτητο να μετρηθεί η εξάρτηση της θερμοκρασίας του νερού Ταπό τον χρόνο t. Στη συνέχεια, ξαναγράφουμε τον παραπάνω τύπο στη μορφή , όπου Τ 0 - θερμοκρασία δωματίου, Τκιπ – σημείο βρασμού νερού, t 0 – χρόνος που μεσολάβησε από τον βρασμό μέχρι την έναρξη της μέτρησης. Από μέσα. Δεδομένου ότι ο τύπος περιλαμβάνει μόνο διαφορές θερμοκρασίας, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την κλίμακα Κελσίου. Ας λογαριθμήσουμε την τελευταία έκφραση

(12)

και δηλώνουν , Χ= t, λαμβάνουμε μια γραμμική εξάρτηση

Επεξεργάζοντας τα αποτελέσματα της μέτρησης χρησιμοποιώντας ελάχιστα τετράγωνα, βρίσκουμε τις τιμές των παραμέτρων ΕΝΑ, σι, από το οποίο μπορεί να υπολογιστεί η επιθυμητή τιμή χρόνου t 0: .

Πρόβλημα 4. Εξετάστε πώς η δύναμη της αντίστασης του αέρα που επιδρά σε κομμάτια χαρτιού που πέφτουν εξαρτάται από την ταχύτητα του τελευταίου.

Εξοπλισμός: κομμάτια χαρτιού, χρονόμετρο.

Οδηγίες για τη λύση. Τα κομμάτια χαρτιού πρέπει να είναι τετράγωνα (περίπου εκατοστά) και ελαφρώς κυρτά σε μορφή «αλεξίπτωτων» ώστε η πτώση τους να είναι σταθερή. Τα πιάτα μιας χρήσης από χοντρό χαρτί ή αλουμινόχαρτο είναι εξαιρετικά για τον ίδιο σκοπό.

Η πτώση χάρτινων πλακών (ή αλεξίπτωτων) συμβαίνει με σταθερή ταχύτητα, αν παραμελήσουμε το μικρό στάδιο αρχικής επιτάχυνσης. Η δύναμη της αντίστασης του αέρα εξαρτάται από την ταχύτητα u σύμφωνα με το νόμο

(είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί το γ), κατά τη διάρκεια της σταθερής κίνησης αυτή η δύναμη είναι αριθμητικά ίση με τη δύναμη της βαρύτητας, επομένως, η ταχύτητα της σταθερής κίνησης είναι , και ο χρόνος πτώσης από ύψος η:

(14)

Ας πάρουμε πολλές (1, 2, 3, ..., 5) πανομοιότυπες πλάκες και ας μετρήσουμε το χρόνο πτώσης tnδιπλωμένα μαζί nπιάτα. Συντελεστής Μεστον τύπο (13) θα είναι το ίδιο (εξαρτάται μόνο από το σχήμα της πλάκας), αλλά η μάζα των σωμάτων που πέφτουν είναι , όπου Μ 0 – μάζα ενός πιάτου. Χρησιμοποιούμε (14): , σε λογαριθμική μορφή

(15)

Όπως προκύπτει από αυτόν τον τύπο, υπάρχει μια γραμμική σχέση μεταξύ και , όπου , in σιπεριελάμβανε όλα τα άλλα σταθερά μεγέθη που δεν χρειάζεται να μετρηθούν.

Έτσι, μετρώντας την εξάρτηση του χρόνου πτώσης tn, από τον αριθμό των προστεθέντων μαζί nπλάκες και κατασκευάζοντας την εξάρτηση (15), χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων μπορεί κανείς να βρει την τιμή της παραμέτρου ΕΝΑκαι την επιθυμητή ποσότητα.

Κατά τη διεξαγωγή ενός πειράματος, είναι απαραίτητο να έχετε κατά νου ότι ο χρόνος που πέφτει ένα κομμάτι χαρτί από ύψος cm είναι περίπου 1,5 s, επομένως είναι απαραίτητο να μετρήσετε τον χρόνο πτώσης με σφάλμα της τάξης του 0,1 s. Επομένως, για κάθε τιμή του αριθμού nπρέπει να λάβετε πολλαπλές τιμές tn. Τονίζουμε ότι σε αυτήν την περίπτωση δεν χρειάζεται να προϋπολογίσετε τις μέσες τιμές· μπορείτε (και πρέπει) να θεωρήσετε όλα τα αποτελέσματα των μετρήσεων ως ανεξάρτητα και να τα συμπεριλάβετε στη φόρμα υπολογισμού.

Μια άλλη εργασία αυτού του τύπου συζητείται λεπτομερώς στο περιοδικό Focus.

5. Συμπέρασμα

Ο εξεταζόμενος αλγόριθμος για υπολογισμούς με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων δοκιμάστηκε σε καλοκαιρινές κατασκηνώσεις στο στρατόπεδο Zubrenok. Τα μαθήματα που πραγματοποιήθηκαν με τους νικητές των Ολυμπιάδων έδειξαν ότι αυτή η μέθοδος είναι αρκετά προσιτή σε μαθητές γυμνασίου με προχωρημένη μελέτη της φυσικής. Αφού αποκτήσετε τη δεξιότητα χρήσης μικροϋπολογιστή, οι υπολογισμοί διαρκούν περίπου 5–10 λεπτά.

Η ανάγκη μελέτης μεθόδων γραφικής επεξεργασίας των αποτελεσμάτων (σύμφωνα με το MHK ή άλλους) δικαιολογείται από τη συμμετοχή των ομάδων της δημοκρατίας σε διεθνείς διαγωνισμούς (ολυμπιάδες, τουρνουά νέων φυσικών), όπου οι γραφικές μέθοδοι κατέχουν κυρίαρχη θέση και βαθμολογούνται πολύ υψηλά .

1. Taylor J. Εισαγωγή στη θεωρία των σφαλμάτων. – Μ: Μιρ, 1985.

2. Bolshev L.N., Smirnov N.V. Πίνακες μαθηματικών στατιστικών. – Μ.: Nauka, 1983.

3. Timofeev A.. Ας τσεκάρουμε τον Stokes; - Συγκεντρώνω. – 1995. – Νο. 2. – σελ. 44-49.

Αναγωγή σε γραμμική εξάρτηση

Τύπος εξάρτησης	Μετατροπή	Επιλογές

Έντυπο για τον υπολογισμό των παραμέτρων γραμμικής εξάρτησης

Εγώ	z	u	Χ	y	Τύποι υπολογισμού	Αποτελέσματα

Καθορισμός παραμέτρων εξάρτησης
περίοδος ταλάντωσης ενός εκκρεμούς στο μήκος του

	Δl,				Τύποι υπολογισμού	Αποτελέσματα

Έχει πολλές εφαρμογές, καθώς επιτρέπει μια κατά προσέγγιση αναπαράσταση μιας δεδομένης συνάρτησης από άλλες απλούστερες. Το LSM μπορεί να είναι εξαιρετικά χρήσιμο στην επεξεργασία των παρατηρήσεων και χρησιμοποιείται ενεργά για την εκτίμηση ορισμένων ποσοτήτων με βάση τα αποτελέσματα μετρήσεων άλλων που περιέχουν τυχαία σφάλματα. Σε αυτό το άρθρο, θα μάθετε πώς να εφαρμόζετε υπολογισμούς ελαχίστων τετραγώνων στο Excel.

Δήλωση του προβλήματος χρησιμοποιώντας ένα συγκεκριμένο παράδειγμα

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν δύο δείκτες X και Y. Επιπλέον, το Y εξαρτάται από το X. Επειδή το OLS μας ενδιαφέρει από την άποψη της ανάλυσης παλινδρόμησης (στο Excel οι μέθοδοί του υλοποιούνται χρησιμοποιώντας ενσωματωμένες συναρτήσεις), θα πρέπει να προχωρήσουμε αμέσως στην εξέταση ενός συγκεκριμένο πρόβλημα.

Έτσι, έστω Χ ο χώρος λιανικής ενός παντοπωλείου, μετρημένος σε τετραγωνικά μέτρα, και Υ ο ετήσιος τζίρος, μετρημένος σε εκατομμύρια ρούβλια.

Απαιτείται να γίνει πρόβλεψη για το τι τζίρο (Υ) θα έχει το κατάστημα αν έχει αυτόν ή τον άλλο χώρο λιανικής. Προφανώς, η συνάρτηση Y = f (X) αυξάνεται, αφού η υπεραγορά πουλάει περισσότερα αγαθά από το περίπτερο.

Λίγα λόγια για την ορθότητα των αρχικών δεδομένων που χρησιμοποιούνται για την πρόβλεψη

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε έναν πίνακα που έχει κατασκευαστεί χρησιμοποιώντας δεδομένα για n καταστήματα.

Σύμφωνα με τις μαθηματικές στατιστικές, τα αποτελέσματα θα είναι λίγο πολύ σωστά εάν εξεταστούν δεδομένα για τουλάχιστον 5-6 αντικείμενα. Επιπλέον, δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν «ανώμαλα» αποτελέσματα. Συγκεκριμένα, μια ελίτ μικρή μπουτίκ μπορεί να έχει τζίρο αρκετές φορές μεγαλύτερο από τον τζίρο μεγάλων καταστημάτων λιανικής της κατηγορίας «masmarket».

Η ουσία της μεθόδου

Τα δεδομένα του πίνακα μπορούν να απεικονιστούν σε ένα καρτεσιανό επίπεδο με τη μορφή σημείων M 1 (x 1, y 1), ... M n (x n, y n). Τώρα η λύση του προβλήματος θα περιοριστεί στην επιλογή μιας προσεγγιστικής συνάρτησης y = f (x), η οποία έχει μια γραφική παράσταση που περνά όσο το δυνατόν πιο κοντά στα σημεία M 1, M 2, .. M n.

Φυσικά, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε ένα πολυώνυμο υψηλού βαθμού, αλλά αυτή η επιλογή δεν είναι μόνο δύσκολη στην εφαρμογή, αλλά και απλά λανθασμένη, καθώς δεν θα αντικατοπτρίζει την κύρια τάση που πρέπει να εντοπιστεί. Η πιο λογική λύση είναι να αναζητήσετε την ευθεία y = ax + b, η οποία προσεγγίζει καλύτερα τα πειραματικά δεδομένα, ή ακριβέστερα, τους συντελεστές a και b.

Αξιολόγηση ακρίβειας

Με οποιαδήποτε προσέγγιση, η αξιολόγηση της ακρίβειάς του έχει ιδιαίτερη σημασία. Ας συμβολίσουμε με e i τη διαφορά (απόκλιση) μεταξύ των λειτουργικών και πειραματικών τιμών για το σημείο x i, δηλαδή e i = y i - f (x i).

Προφανώς, για να εκτιμήσετε την ακρίβεια της προσέγγισης, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το άθροισμα των αποκλίσεων, δηλ., όταν επιλέγετε μια ευθεία γραμμή για μια κατά προσέγγιση αναπαράσταση της εξάρτησης του X από το Y, θα πρέπει να προτιμάτε αυτή με τη μικρότερη τιμή του άθροισμα e i σε όλα τα υπό εξέταση σημεία. Ωστόσο, δεν είναι όλα τόσο απλά, αφού μαζί με τις θετικές αποκλίσεις θα υπάρχουν και αρνητικές.

Το πρόβλημα μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας μονάδες απόκλισης ή τα τετράγωνά τους. Η τελευταία μέθοδος είναι η πιο ευρέως χρησιμοποιούμενη. Χρησιμοποιείται σε πολλούς τομείς, συμπεριλαμβανομένης της ανάλυσης παλινδρόμησης (που εφαρμόζεται στο Excel χρησιμοποιώντας δύο ενσωματωμένες συναρτήσεις) και έχει αποδείξει εδώ και καιρό την αποτελεσματικότητά του.

Μέθοδος ελάχιστου τετραγώνου

Το Excel, όπως γνωρίζετε, έχει μια ενσωματωμένη λειτουργία AutoSum που σας επιτρέπει να υπολογίζετε τις τιμές όλων των τιμών που βρίσκονται στην επιλεγμένη περιοχή. Έτσι, τίποτα δεν θα μας εμποδίσει να υπολογίσουμε την τιμή της παράστασης (e 1 2 + e 2 2 + e 3 2 + ... e n 2).

Σε μαθηματική σημειογραφία, αυτό μοιάζει με:

Δεδομένου ότι αρχικά ελήφθη η απόφαση να γίνει προσέγγιση χρησιμοποιώντας μια ευθεία γραμμή, έχουμε:

Έτσι, το έργο της εύρεσης της ευθείας γραμμής που περιγράφει καλύτερα τη συγκεκριμένη εξάρτηση των μεγεθών X και Y καταλήγει στον υπολογισμό του ελάχιστου συνάρτησης δύο μεταβλητών:

Για να γίνει αυτό, πρέπει να εξισώσετε τις μερικές παραγώγους σε σχέση με τις νέες μεταβλητές a και b με μηδέν και να λύσετε ένα πρωτόγονο σύστημα που αποτελείται από δύο εξισώσεις με 2 άγνωστα της μορφής:

Μετά από μερικούς απλούς μετασχηματισμούς, συμπεριλαμβανομένης της διαίρεσης με το 2 και του χειρισμού των αθροισμάτων, έχουμε:

Λύνοντάς το, για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Cramer, παίρνουμε ένα ακίνητο σημείο με ορισμένους συντελεστές a * και b *. Αυτό είναι το ελάχιστο, δηλαδή για να προβλέψουμε τι τζίρο θα έχει ένα κατάστημα για μια συγκεκριμένη περιοχή, είναι κατάλληλη η ευθεία γραμμή y = a * x + b *, η οποία είναι ένα μοντέλο παλινδρόμησης για το εν λόγω παράδειγμα. Φυσικά, δεν θα σας επιτρέψει να βρείτε το ακριβές αποτέλεσμα, αλλά θα σας βοηθήσει να πάρετε μια ιδέα για το εάν η αγορά μιας συγκεκριμένης περιοχής με πίστωση καταστήματος θα αποδώσει.

Πώς να εφαρμόσετε τα ελάχιστα τετράγωνα στο Excel

Το Excel έχει μια συνάρτηση για τον υπολογισμό τιμών με χρήση ελαχίστων τετραγώνων. Έχει την ακόλουθη μορφή: «TREND» (γνωστές τιμές Y, γνωστές τιμές X, νέες τιμές X, σταθερά). Ας εφαρμόσουμε τον τύπο για τον υπολογισμό του OLS στο Excel στον πίνακά μας.

Για να το κάνετε αυτό, εισαγάγετε το σύμβολο "=" στο κελί στο οποίο θα πρέπει να εμφανίζεται το αποτέλεσμα του υπολογισμού με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων στο Excel και επιλέξτε τη συνάρτηση "TREND". Στο παράθυρο που ανοίγει, συμπληρώστε τα κατάλληλα πεδία, επισημαίνοντας:

• εύρος γνωστών τιμών για το Y (σε αυτήν την περίπτωση, δεδομένα για τον εμπορικό κύκλο εργασιών).
• εύρος x 1 , …x n , δηλαδή το μέγεθος του χώρου λιανικής.
• Τόσο γνωστές όσο και άγνωστες τιμές του x, για τις οποίες πρέπει να μάθετε το μέγεθος του κύκλου εργασιών (για πληροφορίες σχετικά με τη θέση τους στο φύλλο εργασίας, δείτε παρακάτω).

Επιπλέον, ο τύπος περιέχει τη λογική μεταβλητή "Const". Εάν εισαγάγετε 1 στο αντίστοιχο πεδίο, αυτό θα σημαίνει ότι πρέπει να κάνετε τους υπολογισμούς, υποθέτοντας ότι b = 0.

Εάν πρέπει να μάθετε την πρόβλεψη για περισσότερες από μία τιμές x, τότε αφού εισαγάγετε τον τύπο δεν πρέπει να πατήσετε "Enter", αλλά πρέπει να πληκτρολογήσετε τον συνδυασμό "Shift" + "Control" + "Enter" στο πληκτρολόγιο.

Κάποια χαρακτηριστικά

Η ανάλυση παλινδρόμησης μπορεί να είναι προσβάσιμη ακόμη και σε ανδρείκελα. Ο τύπος του Excel για την πρόβλεψη της τιμής μιας σειράς άγνωστων μεταβλητών—TREND—μπορεί να χρησιμοποιηθεί ακόμη και από εκείνους που δεν έχουν ακούσει ποτέ για ελάχιστα τετράγωνα. Αρκεί μόνο να γνωρίζουμε μερικά από τα χαρακτηριστικά της δουλειάς του. Συγκεκριμένα:

• Εάν τακτοποιήσετε το εύρος των γνωστών τιμών της μεταβλητής y σε μία γραμμή ή στήλη, τότε κάθε σειρά (στήλη) με γνωστές τιμές x θα γίνει αντιληπτή από το πρόγραμμα ως ξεχωριστή μεταβλητή.
• Εάν μια περιοχή με γνωστό x δεν καθορίζεται στο παράθυρο TREND, τότε όταν χρησιμοποιείτε τη συνάρτηση στο Excel, το πρόγραμμα θα την αντιμετωπίσει ως έναν πίνακα που αποτελείται από ακέραιους αριθμούς, ο αριθμός των οποίων αντιστοιχεί στο εύρος με τις δεδομένες τιμές του μεταβλητή y.
• Για να εξάγετε έναν πίνακα "προβλεπόμενων" τιμών, η έκφραση για τον υπολογισμό της τάσης πρέπει να εισαχθεί ως τύπος πίνακα.
• Εάν δεν καθορίζονται νέες τιμές του x, τότε η συνάρτηση TREND τις θεωρεί ίσες με τις γνωστές. Εάν δεν καθορίζονται, τότε ο πίνακας 1 λαμβάνεται ως όρισμα. 2; 3; 4;…, το οποίο είναι ανάλογο με το εύρος με τις ήδη καθορισμένες παραμέτρους y.
• Το εύρος που περιέχει τις νέες τιμές x πρέπει να έχει τις ίδιες ή περισσότερες σειρές ή στήλες με το εύρος που περιέχει τις δεδομένες τιμές y. Με άλλα λόγια, πρέπει να είναι ανάλογη με τις ανεξάρτητες μεταβλητές.
• Ένας πίνακας με γνωστές τιμές x μπορεί να περιέχει πολλές μεταβλητές. Ωστόσο, εάν μιλάμε μόνο για ένα, τότε απαιτείται οι περιοχές με τις δεδομένες τιμές των x και y να είναι ανάλογες. Στην περίπτωση πολλών μεταβλητών, είναι απαραίτητο το εύρος με τις δεδομένες τιμές y να χωράει σε μία στήλη ή μία γραμμή.

Λειτουργία ΠΡΟΒΛΕΨΗΣ

Υλοποιήθηκε χρησιμοποιώντας πολλές λειτουργίες. Ένα από αυτά ονομάζεται «ΠΡΟΒΛΕΨΗ». Είναι παρόμοιο με το "TREND", δηλαδή δίνει το αποτέλεσμα των υπολογισμών χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Ωστόσο, μόνο για ένα Χ, για το οποίο η τιμή του Υ είναι άγνωστη.

Τώρα γνωρίζετε τύπους στο Excel για ανδρείκελα που σας επιτρέπουν να προβλέψετε τη μελλοντική τιμή ενός συγκεκριμένου δείκτη σύμφωνα με μια γραμμική τάση.

3. Προσέγγιση συναρτήσεων με τη χρήση της μεθόδου

ελάχιστα τετράγωνα

Η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων χρησιμοποιείται κατά την επεξεργασία των πειραματικών αποτελεσμάτων για προσεγγίσεις (προσεγγίσεις) πειραματικά δεδομένα αναλυτικός τύπος. Ο συγκεκριμένος τύπος φόρμουλας επιλέγεται, κατά κανόνα, για φυσικούς λόγους. Τέτοιοι τύποι θα μπορούσαν να είναι:

και άλλοι.

Η ουσία της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων είναι η εξής. Αφήστε τα αποτελέσματα των μετρήσεων να παρουσιαστούν στον πίνακα:

Τραπέζι 4
				x n
				y n

(3.1)

όπου στ - γνωστή λειτουργία, a 0 , a 1 , …, a m - άγνωστες σταθερές παράμετροι των οποίων οι τιμές πρέπει να βρεθούν. Στη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων, η προσέγγιση της συνάρτησης (3.1) στην πειραματική εξάρτηση θεωρείται καλύτερη εάν η συνθήκη ικανοποιείται

(3.2)

αυτό είναι ποσά ένα Οι τετράγωνες αποκλίσεις της επιθυμητής αναλυτικής συνάρτησης από την πειραματική εξάρτηση θα πρέπει να είναι ελάχιστες .

Σημειώστε ότι η συνάρτηση Q που ονομάζεται υπολειπόμενο.

Από την ασυμφωνία

τότε έχει ένα ελάχιστο. Απαραίτητη προϋπόθεση για το ελάχιστο μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών είναι η ισότητα προς το μηδέν όλων των μερικών παραγώγων αυτής της συνάρτησης ως προς τις παραμέτρους. Έτσι, βρίσκοντας τις καλύτερες τιμές των παραμέτρων της συνάρτησης προσέγγισης (3.1), δηλαδή τις τιμές τους στις οποίες Q = Q (a 0 , a 1 , ..., a m ) είναι ελάχιστο, ανάγεται στην επίλυση του συστήματος των εξισώσεων:

(3.3)

Στη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων μπορεί να δοθεί η ακόλουθη γεωμετρική ερμηνεία: ανάμεσα σε μια άπειρη οικογένεια γραμμών ενός δεδομένου τύπου, βρίσκεται μια γραμμή για την οποία το άθροισμα των τετραγωνικών διαφορών των τεταγμένων των πειραματικών σημείων και των αντίστοιχων τεταγμένων των σημείων που βρέθηκαν από την εξίσωση αυτής της γραμμής θα είναι η μικρότερη.

Εύρεση των παραμέτρων μιας γραμμικής συνάρτησης

Έστω ότι τα πειραματικά δεδομένα αντιπροσωπεύονται από μια γραμμική συνάρτηση:

Απαιτείται η επιλογή των παρακάτω τιμώνα και β , για την οποία η συνάρτηση

(3.4)

θα είναι ελάχιστη. Οι απαραίτητες προϋποθέσεις για την ελάχιστη συνάρτηση (3.4) ανάγεται στο σύστημα των εξισώσεων:

Μετά από μετασχηματισμούς, παίρνουμε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με δύο άγνωστα:

(3.5)

λύνοντας το οποίο, βρίσκουμε τις απαιτούμενες τιμές των παραμέτρωνα και β.

Εύρεση των παραμέτρων μιας Τετραγωνικής συνάρτησης

Αν η προσεγγιστική συνάρτηση είναι τετραγωνική εξάρτηση

τότε οι παράμετροί του α, β, γ βρέθηκε από την ελάχιστη συνθήκη της συνάρτησης:

(3.6)

Οι προϋποθέσεις για την ελάχιστη συνάρτηση (3.6) ανάγεται στο σύστημα εξισώσεων:

Μετά από μετασχηματισμούς, παίρνουμε ένα σύστημα τριών γραμμικών εξισώσεων με τρεις άγνωστους:

(3.7)

στο λύση της οποίας βρίσκουμε τις απαιτούμενες τιμές των παραμέτρωνα, β και γ.

Παράδειγμα . Αφήστε το πείραμα να καταλήξει στον παρακάτω πίνακα τιμών x και y:

Τραπέζι 5
y i	0,705	0,495	0,426	0,357	0,368	0,406	0,549	0,768

Απαιτείται η προσέγγιση των πειραματικών δεδομένων με γραμμικές και τετραγωνικές συναρτήσεις.

Λύση. Η εύρεση των παραμέτρων των συναρτήσεων προσέγγισης ανάγεται στην επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων (3.5) και (3.7). Για να λύσουμε το πρόβλημα, θα χρησιμοποιήσουμε έναν επεξεργαστή υπολογιστικών φύλλωνΠροέχω.

1. Αρχικά, ας συνδέσουμε τα φύλλα 1 και 2. Εισαγάγετε τις πειραματικές τιμές x i και y iσε στήλες Α και Β, ξεκινώντας από τη δεύτερη γραμμή (θα τοποθετήσουμε τις επικεφαλίδες των στηλών στην πρώτη γραμμή). Στη συνέχεια υπολογίζουμε τα αθροίσματα για αυτές τις στήλες και τις τοποθετούμε στη δέκατη σειρά.

Στις στήλες Γ–Γ τοποθετήστε τον υπολογισμό και την άθροιση αντίστοιχα

2. Ας αποσυνδέσουμε τα φύλλα. Θα κάνουμε περαιτέρω υπολογισμούς με παρόμοιο τρόπο για τη γραμμική εξάρτηση στο Φύλλο 1 και για τη δευτεροβάθμια εξάρτηση από το Φύλλο 2.

3. Κάτω από τον πίνακα που προκύπτει, θα σχηματίσουμε έναν πίνακα συντελεστών και ένα διάνυσμα στήλης ελεύθερων όρων. Ας λύσουμε το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο αλγόριθμο:

Για να υπολογίσουμε τον αντίστροφο πίνακα και να πολλαπλασιάσουμε πίνακες, χρησιμοποιούμε Κύριος λειτουργίεςκαι λειτουργίες MOBRΚαι MUMNIFE.

4. Στο μπλοκ των κυττάρων H2: H 9 με βάση τους λαμβανόμενους συντελεστές που υπολογίζουμε κατά προσέγγιση τιμήπολυώνυμοςy i calc., στο μπλοκ I 2: I 9 – αποκλίσεις D y i = y i exp. - y i calc.,στη στήλη J – το υπόλοιπο:

Οι πίνακες που προέκυψαν και αυτοί που κατασκευάστηκαν χρησιμοποιώντας Μάγοι γραφημάτωνΤα γραφήματα φαίνονται στα Σχήματα 6, 7, 8.

Ρύζι. 6. Πίνακας για τον υπολογισμό των συντελεστών μιας γραμμικής συνάρτησης,

προσεγγίζονταςπειραματικά δεδομένα.

Ρύζι. 7. Πίνακας για τον υπολογισμό των συντελεστών μιας τετραγωνικής συνάρτησης,

προσεγγίζονταςπειραματικά δεδομένα.

Ρύζι. 8. Γραφική αναπαράσταση των αποτελεσμάτων προσέγγισης

πειραματικά δεδομένα με γραμμικές και τετραγωνικές συναρτήσεις.

Απάντηση. Τα πειραματικά δεδομένα προσεγγίστηκαν με μια γραμμική εξάρτηση y = 0,07881 Χ + 0,442262 με υπολειμματικά Q = 0,165167 και τετραγωνική εξάρτηση y = 3,115476 Χ 2 – 5,2175 Χ + 2,529631 με υπολειμματικά Q = 0,002103 .

Καθήκοντα. Προσεγγίστε μια συνάρτηση που δίνεται από έναν πίνακα, γραμμικές και τετραγωνικές συναρτήσεις.

Πίνακας 6
№0	Χ	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8
	y	3,030	3,142	3,358	3,463	3,772	3,251	3,170	3,665
№ 1
		3,314	3,278	3,262	3,292	3,332	3,397	3,487	3,563
№ 2
		1,045	1,162	1,264	1,172	1,070	0,898	0,656	0,344
№ 3
		6,715	6,735	6,750	6,741	6,645	6,639	6,647	6,612
№ 4
		2,325	2,515	2,638	2,700	2,696	2,626	2,491	2,291
№ 5
		1.752	1,762	1,777	1,797	1,821	1,850	1,884	1,944
№ 6
		1,924	1,710	1,525	1,370	1,264	1,190	1,148	1,127
№ 7
		1,025	1,144	1,336	1,419	1,479	1,530	1,568	1,248
№ 8
		5,785	5,685	5,605	5,545	5,505	5,480	5,495	5,510
№ 9
		4,052	4,092	4,152	4,234	4,338	4,468	4,599	Δεν βρήκατε απάντηση στην ερώτησή σας; Κοιτάξτε εδώ Ζωή σε άλλους πλανήτες του ηλιακού συστήματος Δήμιοι της Οθωμανικής Αυτοκρατορίας Νόμοι για τη διαδοχή του θρόνου στην Οθωμανική Αυτοκρατορία Κατάληψη της Κωνσταντινούπολης από τους Σταυροφόρους