Μέθοδος μήτρας επίλυσης συστημάτων γραμμικών εξισώσεων

Θεωρήστε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων της ακόλουθης μορφής:

$\left\(\αρχή(πίνακας)(c) (a_(11) x_(1) +a_(12) x_(2) +...+a_(1n) x_(n) =b_(1) ) \\ (a_(21) x_(1) +a_(22) x_(2) +...+a_(2n) x_(n) =b_(2) ) \\ (...) \\ (a_ (n1) x_(1) +a_(n2) x_(2) +...+a_(nn) x_(n) =b_(n) ) \end(πίνακας)\δεξιά. .$

Οι αριθμοί $a_(ij) (i=1..n,j=1..n)$ είναι οι συντελεστές του συστήματος, οι αριθμοί $b_(i) (i=1..n)$ είναι οι ελεύθεροι όροι .

Ορισμός 1

Στην περίπτωση που όλοι οι ελεύθεροι όροι είναι ίσοι με μηδέν, το σύστημα ονομάζεται ομοιογενές, διαφορετικά - ανομοιογενές.

Κάθε SLAE μπορεί να συσχετιστεί με πολλούς πίνακες και το σύστημα μπορεί να γραφτεί στη λεγόμενη μορφή matrix.

Ορισμός 2

Ο πίνακας συντελεστών ενός συστήματος ονομάζεται πίνακας συστήματος και συνήθως συμβολίζεται με το γράμμα $A$.

Η στήλη των ελεύθερων μελών σχηματίζει ένα διάνυσμα στήλης, το οποίο συνήθως συμβολίζεται με το γράμμα $B$ και ονομάζεται πίνακας ελεύθερων μελών.

Οι άγνωστες μεταβλητές σχηματίζουν ένα διάνυσμα στήλης, το οποίο, κατά κανόνα, συμβολίζεται με το γράμμα $X$ και ονομάζεται πίνακας αγνώστων.

Οι πίνακες που περιγράφονται παραπάνω είναι:

$A=\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) ) & (a_(12) ) & (...) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & ( a_(22) ) & (...) & (a_(2n) ) \\ (...) & (...) & (...) & (...) \\ (a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (...) & (a_(nn) ) \end(array)\right),B=\left(\begin(array)(c) (b_(1) ) \ \ (b_(2) ) \\ (...) \\ (b_(n) ) \end(array)\right),X=\left(\begin(array)(c) (x_(1) ) \\ (x_(2) ) \\ (...) \\ (x_(n) ) \end(πίνακας)\δεξιά).$

Χρησιμοποιώντας πίνακες, το SLAE μπορεί να ξαναγραφτεί ως $A\cdot X=B$. Ένας τέτοιος συμβολισμός ονομάζεται συχνά εξίσωση πίνακα.

Σε γενικές γραμμές, κάθε SLAE μπορεί να γραφτεί σε μορφή πίνακα.

Παραδείγματα επίλυσης συστήματος με χρήση αντίστροφου πίνακα

Παράδειγμα 1

Dana SLAE: $\left\(\begin(array)(c) (3x_(1) -2x_(2) +x_(3) -x_(4) =3) \\ (x_(1) -12x_(2 ) -x_(3) -x_(4) =7) \\ (2x_(1) -3x_(2) +x_(3) -3x_(4) =5) \end(array)\right.$.Write σύστημα σε μορφή μήτρας.

Λύση:

$A=\left(\begin(array)(cccc) (3) & (-2) & (1) & (-1) \\ (1) & (-12) & (-1) & (-1 ) \\ (2) & (-3) & (1) & (-3) \end(array)\right),B=\left(\begin(array)(c) (3) \\ (7) \\ (5) \end(array)\right),X=\left(\begin(array)(c) (x_(1) ) \\ (x_(2) ) \\ (x_(3) ) \ end(array)\right).$

$\left(\begin(array)(cccc) (3) & (-2) & (1) & (-1) \\ (1) & (-12) & (-1) & (-1) \ \ (2) & (-3) & (1) & (-3) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c) (x_(1) ) \\ (x_( 2) ) \\ (x_(3) ) \end(array)\right)=\left(\begin(array)(c) (3) \\ (7) \\ (5) \end(array)\ δεξιά) $

Στην περίπτωση που ο πίνακας του συστήματος είναι τετράγωνος, το SLAE μπορεί να λύσει τις εξισώσεις με τρόπο μήτρας.

Με δεδομένη την εξίσωση μήτρας $A\cdot X=B$, μπορούμε να εκφράσουμε $X$ από αυτήν με τον ακόλουθο τρόπο:

$A^(-1) \cdot A\cdot X=A^(-1) \cdot B$

$A^(-1) \cdot A=E$ (ιδιότητα προϊόντος μήτρας)

$E\cdot X=A^(-1) \cdot B$

$E\cdot X=X$ (ιδιότητα προϊόντος μήτρας)

$X=A^(-1) \cdot B$

Αλγόριθμος για την επίλυση συστήματος αλγεβρικών εξισώσεων με χρήση αντίστροφου πίνακα:

• γράψτε το σύστημα σε μορφή μήτρας.
• Υπολογίστε την ορίζουσα του πίνακα του συστήματος.
• εάν η ορίζουσα του πίνακα συστήματος είναι μη μηδέν, τότε βρίσκουμε τον αντίστροφο πίνακα.
• η λύση του συστήματος υπολογίζεται με τον τύπο $X=A^(-1) \cdot B$.

Εάν ο πίνακας του συστήματος έχει μια ορίζουσα που δεν είναι ίση με το μηδέν, τότε αυτό το σύστημα έχει μια μοναδική λύση που μπορεί να βρεθεί με τρόπο μήτρας.

Εάν ο πίνακας του συστήματος έχει ορίζουσα ίση με μηδέν, τότε αυτό το σύστημα δεν μπορεί να λυθεί με τη μέθοδο του πίνακα.

Παράδειγμα 2

Dana SLAE: $\left\(\begin(array)(c) (x_(1) +3x_(3) =26) \\ (-x_(1) +2x_(2) +x_(3) =52) \\ (3x_(1) +2x_(2) =52) \end(array)\right.$ Λύστε το SLAE χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του αντίστροφου πίνακα, αν είναι δυνατόν.

Λύση:

$A=\left(\begin(array)(cccc) (1) & (0) & (3) \\ (-1) & (2) & (1) \\ (3) & (2) & ( 0) \end(array)\right),B=\left(\begin(array)(c) (26) \\ (52) \\ (52) \end(array)\right),X=\left (\begin(array)(c) (x_(1) ) \\ (x_(2) ) \\ (x_(3) ) \end(array)\right). $

Εύρεση της ορίζουσας του πίνακα του συστήματος:

$\begin(array)(l) (\det A=\left|\begin(array)(cccc) (1) & (0) & (3) \\ (-1) & (2) & (1) \\ (3) & (2) & (0) \end(array)\right|=1\cdot 2\cdot 0+0\cdot 1\cdot 3+2\cdot (-1)\cdot 3-3 \cdot 2\cdot 3-2\cdot 1\cdot 1-0\cdot (-1)\cdot 0=0+0-6-18-2-0=-26\ne 0) \end(array)$ Εφόσον η ορίζουσα δεν είναι ίση με το μηδέν, ο πίνακας του συστήματος έχει αντίστροφο πίνακα και, επομένως, το σύστημα των εξισώσεων μπορεί να λυθεί με τη μέθοδο του αντίστροφου πίνακα. Η λύση που θα προκύψει θα είναι μοναδική.

Λύνουμε το σύστημα εξισώσεων χρησιμοποιώντας τον αντίστροφο πίνακα:

$A_(11) =(-1)^(1+1) \cdot \left|\begin(array)(cc) (2) & (1) \\ (2) & (0) \end(array) \right|=0-2=-2; A_(12) =(-1)^(1+2) \cdot \left|\begin(array)(cc) (-1) & (1) \\ (3) & (0) \end(array) \right|=-(0-3)=3;$

$A_(13) =(-1)^(1+3) \cdot \left|\begin(array)(cc) (-1) & (2) \\ (3) & (2) \end(array )\right|=-2-6=-8; A_(21) =(-1)^(2+1) \cdot \left|\begin(array)(cc) (0) & (3) \\ (2) & (0) \end(array)\ δεξιά|=-(0-6)=6; $

$A_(22) =(-1)^(2+2) \cdot \left|\begin(array)(cc) (1) & (3) \\ (3) & (0) \end(array) \right|=0-9=-9; A_(23) =(-1)^(2+3) \cdot \left|\begin(array)(cc) (1) & (0) \\ (3) & (2) \end(array)\ δεξιά|=-(2-0)=-2;$

$A_(31) =(-1)^(3+1) \cdot \left|\begin(array)(cc) (0) & (3) \\ (2) & (1) \end(array) \right|=0-6=-6; A_(32) =(-1)^(3+2) \cdot \left|\begin(array)(cc) (1) & (3) \\ (-1) & (1) \end(array) \right|=-(1+3)=-4;$

$A_(33) =(-1)^(3+3) \cdot \left|\begin(array)(cc) (1) & (0) \\ (-1) & (2) \end(array )\δεξιά|=2-0=2$

Ο επιθυμητός αντίστροφος πίνακας:

$A^(-1) =\frac(1)(-26) \cdot \left(\begin(array)(cccc) (-2) & (6) & (-6) \\ (3) & ( -9) & (-4) \\ (-8) & (-2) & (2) \end(array)\right)=\frac(1)(26) \cdot \left(\begin(array) (cccc) (2) & (-6) & (6) \\ (-3) & (9) & (4) \\ (8) & (2) & (-2) \end(πίνακας)\δεξιά )=\left(\begin(array)(cccc) (\frac(2)(26) ) & (\frac(-6)(26) ) & (\frac(6)(26) ) \\ (\ frac(-3)(26) ) & (\frac(9)(26) ) & (\frac(4)(26) ) \\ (\frac(8)(26) ) & (\frac(2) (26) ) & (\frac(-2)(26) ) \end(array)\right)=\left(\begin(array)(ccc) (\frac(1)(13) ) & (-\ frac(3)(13) ) & (\frac(3)(13) ) \\ (-\frac(3)(26) ) & (\frac(9)(26) ) & (\frac(2) (13) ) \\ (\frac(4)(13) ) & (\frac(1)(13) ) & (-\frac(1)(13) ) \end(array)\right).$

Βρείτε μια λύση στο σύστημα:

$X=\left(\begin(array)(cccc) (\frac(1)(13) ) & (-\frac(3)(13) ) & (\frac(3)(13) ) \\ ( -\frac(3)(26) ) & (\frac(9)(26) ) & (\frac(2)(13) ) \\ (\frac(4)(13) ) & (\frac(1 )(13) ) & (-\frac(1)(13) ) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c) (26) \\ (52) \\ (52 ) \end(array)\right)=\left(\begin(array)(c) (\frac(1)(13) \cdot 26-\frac(3)(13) \cdot 52+\frac(3 )(13) \cdot 52) ​​\\ (-\frac(3)(26) \cdot 26+\frac(9)(26) \cdot 52+\frac(2)(13) \cdot 52) \\ (\frac(4)(13) \cdot 26+\frac(1)(13) \cdot 52-\frac(1)(13) \cdot 52) ​​\end(array)\right )=\left(\ start(array)(c) (2-12+12) \\ (-3+18+8) \\ (8+4-4) \end(array)\right)=\αριστερά (\begin(array) (c) (2) \\ (23) \\ (8) \end(array)\right)$

$X=\left(\begin(array)(c) (2) \\ (23) \\ (8) \end(array)\right)$ - επιθυμητή λύση του συστήματος εξισώσεων.

Σκεφτείτε σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων(ΑΡΓΑ) σχετικά nάγνωστος Χ 1 , Χ 2 , ..., Χ n :

Αυτό το σύστημα σε "διπλωμένη" μορφή μπορεί να γραφτεί ως εξής:

μικρό n i=1 ένα ij Χ ι = β Εγώ , i=1,2, ..., n.

Σύμφωνα με τον κανόνα του πολλαπλασιασμού πινάκων, το εξεταζόμενο σύστημα γραμμικών εξισώσεων μπορεί να γραφτεί μορφή μήτρας τσεκούρι=β, Οπου

Μήτρα ΕΝΑ, του οποίου οι στήλες είναι οι συντελεστές για τους αντίστοιχους αγνώστους και οι σειρές οι συντελεστές για τους αγνώστους στην αντίστοιχη εξίσωση ονομάζεται μήτρα συστήματος. μήτρα στήλης σι, του οποίου τα στοιχεία είναι τα σωστά μέρη των εξισώσεων του συστήματος, ονομάζεται πίνακας του δεξιού μέρους ή απλά δεξιά πλευρά του συστήματος. μήτρα στήλης Χ , του οποίου τα στοιχεία είναι άγνωστα άγνωστα, ονομάζεται λύση συστήματος.

Το σύστημα των γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων γραμμένο ως τσεκούρι=β, είναι εξίσωση μήτρας.

Αν η μήτρα του συστήματος μη εκφυλισμένος, τότε έχει έναν αντίστροφο πίνακα και μετά τη λύση του συστήματος τσεκούρι=βδίνεται από τον τύπο:

x=A -1 σι.

ΠαράδειγμαΛύστε το σύστημα μέθοδος μήτρας.

Λύσηβρείτε τον αντίστροφο πίνακα για τον πίνακα συντελεστών του συστήματος

Υπολογίστε την ορίζουσα επεκτείνοντας την πρώτη σειρά:

Επειδή η Δ ≠ 0 , Οτι ΕΝΑ -1 υπάρχει.

Ο αντίστροφος πίνακας βρίσκεται σωστά.

Ας βρούμε μια λύση στο σύστημα

Ως εκ τούτου, Χ 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .

Εξέταση:

7. Το θεώρημα Kronecker-Capelli για τη συμβατότητα συστήματος γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων.

Σύστημα γραμμικών εξισώσεωνμοιάζει με:

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1)

a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m .

Εδώ δίνονται τα a i j και b i (i = ; j = ) και τα x j είναι άγνωστοι πραγματικοί αριθμοί. Χρησιμοποιώντας την έννοια του γινομένου πινάκων, μπορούμε να ξαναγράψουμε το σύστημα (5.1) με τη μορφή:

όπου A = (a i j) είναι ο πίνακας που αποτελείται από τους συντελεστές των αγνώστων του συστήματος (5.1), ο οποίος ονομάζεται μήτρα συστήματος, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T - διανύσματα στήλης που αποτελούνται αντίστοιχα από άγνωστους x j και ελεύθερους όρους b i .

Παραγγελθείσα συλλογή nκαλούνται πραγματικοί αριθμοί (c 1 , c 2 ,..., c n). λύση συστήματος(5.1) εάν ως αποτέλεσμα της αντικατάστασης αυτών των αριθμών αντί των αντίστοιχων μεταβλητών x 1 , x 2 ,..., x n κάθε εξίσωση του συστήματος μετατραπεί σε αριθμητική ταυτότητα. με άλλα λόγια, αν υπάρχει ένα διάνυσμα C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T τέτοιο ώστε AC  B.

Το σύστημα (5.1) καλείται άρθρωση,ή διαλυτόςαν έχει τουλάχιστον μία λύση. Το σύστημα ονομάζεται ασύμβατες,ή αδιάλυτοςαν δεν έχει λύσεις.

,

που σχηματίζεται με την ανάθεση μιας στήλης ελεύθερων όρων στον πίνακα Α στα δεξιά, καλείται σύστημα εκτεταμένης μήτρας.

Το ζήτημα της συμβατότητας του συστήματος (5.1) λύνεται με το ακόλουθο θεώρημα.

Θεώρημα Kronecker-Capelli . Το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων είναι συνεπές εάν και μόνο εάν οι τάξεις των πινάκων A και A συμπίπτουν, δηλ. r(A) = r(A) = r.

Για το σύνολο M των λύσεων του συστήματος (5.1), υπάρχουν τρεις δυνατότητες:

1) M =  (σε αυτήν την περίπτωση το σύστημα είναι ασυνεπές).

2) Το M αποτελείται από ένα στοιχείο, δηλ. το σύστημα έχει μια μοναδική λύση (σε αυτή την περίπτωση το σύστημα ονομάζεται βέβαιος);

3) Το M αποτελείται από περισσότερα από ένα στοιχεία (τότε καλείται το σύστημα αβέβαιος). Στην τρίτη περίπτωση, το σύστημα (5.1) έχει άπειρο αριθμό λύσεων.

Το σύστημα έχει μοναδική λύση μόνο εάν r(A) = n. Σε αυτήν την περίπτωση, ο αριθμός των εξισώσεων δεν είναι μικρότερος από τον αριθμό των αγνώστων (mn). αν m>n, τότε οι εξισώσεις m-n είναι συνέπειες των υπολοίπων. Αν 0

Για να λύσουμε ένα αυθαίρετο σύστημα γραμμικών εξισώσεων, πρέπει να μπορούμε να λύσουμε συστήματα στα οποία ο αριθμός των εξισώσεων είναι ίσος με τον αριθμό των αγνώστων, τα λεγόμενα Συστήματα τύπου Cramer:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3)

... ... ... ... ... ...

a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n .

Τα συστήματα (5.3) επιλύονται με έναν από τους παρακάτω τρόπους: 1) με τη μέθοδο Gauss ή με τη μέθοδο εξάλειψης αγνώστων. 2) σύμφωνα με τους τύπους του Cramer. 3) με τη μέθοδο matrix.

Παράδειγμα 2.12. Ερευνήστε το σύστημα εξισώσεων και λύστε το εάν είναι συμβατό:

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7,

2x1 + x2 + 4x3 - 2x4 = 1,

x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0.

Λύση.Γράφουμε τον εκτεταμένο πίνακα του συστήματος:

 .

Ας υπολογίσουμε την κατάταξη του κύριου πίνακα του συστήματος. Είναι προφανές ότι, για παράδειγμα, το δευτερεύον δευτερεύον στην επάνω αριστερή γωνία = 7  0; τα ανήλικα τρίτης τάξης που το περιέχουν είναι ίσα με μηδέν:

Επομένως, η κατάταξη του κύριου πίνακα του συστήματος είναι 2, δηλ. r(A) = 2. Για να υπολογίσετε την κατάταξη του εκτεταμένου πίνακα A, λάβετε υπόψη το δευτερεύον όριο

Ως εκ τούτου, η κατάταξη του εκτεταμένου πίνακα είναι r(A) = 3. Εφόσον r(A)  r(A), το σύστημα είναι ασυνεπές.

Αυτή η ηλεκτρονική αριθμομηχανή λύνει ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο μήτρας. Δίνεται μια πολύ αναλυτική λύση. Για να λύσετε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων, επιλέξτε τον αριθμό των μεταβλητών. Επιλέξτε μια μέθοδο για τον υπολογισμό του αντίστροφου πίνακα. Στη συνέχεια, εισάγετε τα δεδομένα στα κελιά και κάντε κλικ στο κουμπί "Υπολογισμός".

×

Προειδοποίηση

Διαγραφή όλων των κελιών;

Κλείσιμο Clear

Οδηγίες εισαγωγής δεδομένων.Οι αριθμοί εισάγονται ως ακέραιοι αριθμοί (παραδείγματα: 487, 5, -7623, κ.λπ.), δεκαδικοί αριθμοί (π.χ. 67., 102,54, κ.λπ.) ή κλάσματα. Το κλάσμα πρέπει να πληκτρολογηθεί ως a/b, όπου το a και το b είναι ακέραιοι ή δεκαδικοί αριθμοί. Παραδείγματα 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 κ.λπ.

Μέθοδος μήτρας επίλυσης συστημάτων γραμμικών εξισώσεων

Θεωρήστε το ακόλουθο σύστημα γραμμικών εξισώσεων:

Λαμβάνοντας υπόψη τον ορισμό του αντίστροφου πίνακα, έχουμε ΕΝΑ −1 ΕΝΑ=μι, Οπου μιείναι η μήτρα ταυτότητας. Επομένως, το (4) μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Έτσι, για να λυθεί το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων (1) (ή (2)), αρκεί να πολλαπλασιάσουμε το αντίστροφο σε ΕΝΑμήτρα ανά διάνυσμα περιορισμού σι.

Παραδείγματα επίλυσης συστήματος γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο του πίνακα

Παράδειγμα 1. Λύστε το ακόλουθο σύστημα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του πίνακα:

Ας βρούμε το αντίστροφο του πίνακα Α με τη μέθοδο Jordan-Gauss. Στη δεξιά πλευρά της μήτρας ΕΝΑγράψτε τον πίνακα ταυτότητας:

Ας εξαιρέσουμε τα στοιχεία της 1ης στήλης του πίνακα κάτω από την κύρια διαγώνιο. Για να το κάνετε αυτό, προσθέστε τις σειρές 2,3 με τη σειρά 1, πολλαπλασιαζόμενες με -1/3, -1/3, αντίστοιχα:

Ας εξαιρέσουμε τα στοιχεία της 2ης στήλης του πίνακα κάτω από την κύρια διαγώνιο. Για να το κάνετε αυτό, προσθέστε τη γραμμή 3 με τη γραμμή 2 πολλαπλασιασμένη με -24/51:

Ας εξαιρέσουμε τα στοιχεία της 2ης στήλης του πίνακα πάνω από την κύρια διαγώνιο. Για να το κάνετε αυτό, προσθέστε τη σειρά 1 με τη σειρά 2, πολλαπλασιαζόμενη με -3/17:

Διαχωρίστε τη δεξιά πλευρά της μήτρας. Ο προκύπτων πίνακας είναι το αντίστροφο του ΕΝΑ :

Μορφή μήτρας γραφής συστήματος γραμμικών εξισώσεων: τσεκούρι=β, Οπου

Υπολογίστε όλα τα αλγεβρικά συμπληρώματα του πίνακα ΕΝΑ:

,

,

,

,

,

Οπου ΕΝΑ ij − αλγεβρικό συμπλήρωμα του στοιχείου του πίνακα ΕΝΑπου βρίσκεται στη διασταύρωση Εγώ-η γραμμή και ι-η στήλη, και το Δ είναι η ορίζουσα του πίνακα ΕΝΑ.

Χρησιμοποιώντας τον τύπο της αντίστροφης μήτρας, παίρνουμε:

Ανάθεση υπηρεσίας. Χρησιμοποιώντας αυτήν την ηλεκτρονική αριθμομηχανή, οι άγνωστοι (x 1 , x 2 , ..., x n ) υπολογίζονται στο σύστημα των εξισώσεων. Η απόφαση λαμβάνεται μέθοδος αντίστροφης μήτρας. Εν:

• υπολογίζεται η ορίζουσα του πίνακα Α.
• μέσω αλγεβρικών προσθηκών, βρίσκεται ο αντίστροφος πίνακας A -1.
• δημιουργείται ένα πρότυπο λύσης στο Excel.

Η λύση πραγματοποιείται απευθείας στον ιστότοπο (online) και είναι δωρεάν. Τα αποτελέσματα υπολογισμού παρουσιάζονται σε μια αναφορά σε μορφή Word.

Εντολή. Για να ληφθεί μια λύση με τη μέθοδο της αντίστροφης μήτρας, είναι απαραίτητο να καθοριστεί η διάσταση του πίνακα. Στη συνέχεια, στο νέο πλαίσιο διαλόγου, συμπληρώστε τον πίνακα A και το διάνυσμα αποτελέσματος B .

Θυμηθείτε ότι λύση σε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων είναι κάθε σύνολο αριθμών (x 1 , x 2 , ..., x n ) των οποίων η αντικατάσταση σε αυτό το σύστημα αντί των αντίστοιχων αγνώστων μετατρέπει κάθε εξίσωση του συστήματος σε ταυτότητα.
Ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων συνήθως γράφεται ως (για 3 μεταβλητές): Δείτε επίσης Επίλυση εξισώσεων μήτρας.

Αλγόριθμος λύσης

1. Υπολογίζεται η ορίζουσα του πίνακα Α. Αν η ορίζουσα είναι μηδέν, τότε το τέλος της λύσης. Το σύστημα έχει άπειρο αριθμό λύσεων.
2. Όταν η ορίζουσα είναι διαφορετική από το μηδέν, ο αντίστροφος πίνακας A -1 βρίσκεται μέσω αλγεβρικών προσθηκών.
3. Το διάνυσμα απόφασης X =(x 1 , x 2 , ..., x n ) προκύπτει πολλαπλασιάζοντας τον αντίστροφο πίνακα με το διάνυσμα αποτελέσματος B .

Παράδειγμα #1. Βρείτε τη λύση του συστήματος με τη μέθοδο του πίνακα. Γράφουμε τον πίνακα με τη μορφή:

Αλγεβρικές προσθήκες.

Α 1,1 = (-1) 1+1

1 2 0 -2

∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2

Α 1,2 = (-1) 1+2

3 2 1 -2

∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8

Α 1,3 = (-1) 1+3

3 1 1 0

∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1

Α 2,1 = (-1) 2+1

-2 1 0 -2

∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4

Α 2,2 = (-1) 2+2

2 1 1 -2

∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5

Α 2,3 = (-1) 2+3

2 -2 1 0

∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2

Α 3,1 = (-1) 3+1

-2 1 1 2

∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5

Α 3,2 = (-1) 3+2

2 1 3 2

∆ 3,2 = -(2 2-3 1) = -1

·

3

-2

-1

X T = (1,0,1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x 2 = 0 / -21 = 0
x 3 = -21 / -21 = 1
Εξέταση:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1

Παράδειγμα #2. Λύστε SLAE χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του αντίστροφου πίνακα.
2x1 + 3x2 + 3x3 + x4 = 1
3x1 + 5x2 + 3x3 + 2x4 = 2
5x1 + 7x2 + 6x3 + 2x4 = 3
4x1 + 4x2 + 3x3 + x4 = 4

Γράφουμε τον πίνακα με τη μορφή:

Διάνυσμα Β:
B T = (1,2,3,4)
Κύριος καθοριστικός παράγοντας
Μικρό για (1,1):

= 5 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 2)+4 (3 2-6 2) = -3
Μικρό για (2,1):

= 3 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 1)+4 (3 2-6 1) = 0
Μικρό για (3,1):

= 3 (3 1-3 2)-5 (3 1-3 1)+4 (3 2-3 1) = 3
Μικρό για (4,1):

= 3 (3 2-6 2)-5 (3 2-6 1)+7 (3 2-3 1) = 3
Ελάσσονος καθοριστικός παράγοντας
∆ = 2 (-3)-3 0+5 3-4 3 = -3

Παράδειγμα #4. Να γράψετε το σύστημα των εξισώσεων σε μορφή πίνακα και να το λύσετε χρησιμοποιώντας τον αντίστροφο πίνακα.
Λύση :xls

Παράδειγμα αριθμός 5. Δίνεται σύστημα τριών γραμμικών εξισώσεων με τρεις αγνώστους. Απαιτείται: 1) να βρείτε τη λύση του χρησιμοποιώντας τους τύπους του Cramer. 2) γράψτε το σύστημα σε μορφή πίνακα και λύστε το χρησιμοποιώντας λογισμό πινάκων.
Κατευθυντήριες γραμμές. Αφού λύσετε με τη μέθοδο του Cramer, βρείτε το κουμπί "Λύση αντίστροφου πίνακα για αρχικά δεδομένα". Θα λάβετε την κατάλληλη απόφαση. Έτσι, τα δεδομένα δεν θα χρειαστεί να συμπληρωθούν ξανά.
Λύση. Σημειώστε με A - τον πίνακα των συντελεστών για αγνώστους. X - μήτρα στήλης αγνώστων. Β - μήτρα-στήλη ελεύθερων μελών:

-1 3 0 3 -2 1 2 1 -1

Διάνυσμα Β:
B T =(4,-3,-3)
Δεδομένων αυτών των σημειώσεων, αυτό το σύστημα εξισώσεων παίρνει την ακόλουθη μορφή πίνακα: A*X = B.
Εάν ο πίνακας A είναι μη ενικός (η ορίζουσα του είναι μη μηδενική, τότε έχει αντίστροφο πίνακα A -1. Πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με A -1, παίρνουμε: A -1 * A * X \u003d A -1 * Β, Α -1 * Α=Ε.
Αυτή η ισότητα ονομάζεται σημειογραφία μήτρας της λύσης του συστήματος γραμμικών εξισώσεων. Για να βρεθεί μια λύση στο σύστημα των εξισώσεων, είναι απαραίτητο να υπολογιστεί ο αντίστροφος πίνακας A -1 .
Το σύστημα θα έχει λύση εάν η ορίζουσα του πίνακα Α είναι μη μηδενική.
Ας βρούμε τον κύριο καθοριστικό παράγοντα.
∆=-1 (-2 (-1)-1 1)-3 (3 (-1)-1 0)+2 (3 1-(-2 0))=14
Άρα, η ορίζουσα είναι 14 ≠ 0, οπότε συνεχίζουμε τη λύση. Για να γίνει αυτό, βρίσκουμε τον αντίστροφο πίνακα μέσω αλγεβρικών προσθηκών.
Ας έχουμε έναν μη ενικό πίνακα Α:
Υπολογίζουμε αλγεβρικές προσθήκες.

Α 1,1 =(-1) 1+1

-2 1 1 -1

∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1

Α 1,2 =(-1) 1+2

3 1 0 -1

∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3

Α 1,3 =(-1) 1+3

3 -2 0 1

∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3

Α 2,1 =(-1) 2+1

3 2 1 -1

∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5

Α 2,2 =(-1) 2+2

-1 2 0 -1

∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1

Α 2,3 =(-1) 2+3

-1 3 0 1

∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1

Α 3,1 =(-1) 3+1

3 2 -2 1

∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7
·

4

-3

-3

Χ=1/14

-3))

Κύριος καθοριστικός παράγοντας
∆=4 (0 1-3 (-2))-2 (1 1-3 (-1))+0 (1 (-2)-0 (-1))=16
Μεταφερόμενος πίνακας
∆ 1,1 =(0 1-(-2 3))=6

Α 1,2 =(-1) 1+2

1 3 -1 1

∆ 1,2 =-(1 1-(-1 3))=-4

Α 1,3 =(-1) 1+3

1 0 -1 -2

∆ 1,3 =(1 (-2)-(-1 0))=-2

Α 2,1 =(-1) 2+1

2 0 -2 1

∆ 2,1 =-(2 1-(-2 0))=-2

Α 2,2 =(-1) 2+2

4 0 -1 1

∆ 2,2 =(4 1-(-1 0))=4

Α 2,3 =(-1) 2+3

4 2 -1 -2

∆ 2,3 =-(4 (-2)-(-1 2))=6

Α 3,1 =(-1) 3+1

2 0 0 3

∆ 3,1 =(2 3-0 0)=6

Α 3,2 =(-1) 3+2

4 0 1 3

∆ 3,2 =-(4 3-1 0)=-12

Α 3,3 =(-1) 3+3

1/16

6 -4 -2 -2 4 6 6 -12 -2

E=A*A -1 =

(4 6)+(1 (-2))+(-1 6)	(4 (-4))+(1 4)+(-1 (-12))	(4 (-2))+(1 6)+(-1 (-2))
(2 6)+(0 (-2))+(-2 6)	(2 (-4))+(0 4)+(-2 (-12))	(2 (-2))+(0 6)+(-2 (-2))
(0 6)+(3 (-2))+(1 6)	(0 (-4))+(3 4)+(1 (-12))	(0 (-2))+(3 6)+(1 (-2))

=1/16

16 0 0 0 16 0 0 0 16

Α*Α -1 =

1 0 0 0 1 0 0 0 1

Παράδειγμα αριθμός 7. Επίλυση εξισώσεων μήτρας.
Δείχνω:

Α=

3 0 5 2 1 4 -1 3 0

Αλγεβρικές προσθήκες

Α 1,1 = (-1) 1+1

1 3 4 0

∆ 1,1 = (1*0 - 4*3) = -12

Α 1,2 = (-1) 1+2

0 3 5 0

∆ 1,2 = -(0*0 - 5*3) = 15

Α 1,3 = (-1) 1+3

0 1 5 4

∆ 1,3 = (0*4 - 5*1) = -5

Α 2,1 = (-1) 2+1

2 -1 4 0

∆ 2,1 = -(2*0 - 4*(-1)) = -4

Α 2,2 = (-1) 2+2

3 -1 5 0

∆ 2,2 = (3*0 - 5*(-1)) = 5

Α 2,3 = (-1) 2+3

3 2 5 4

∆ 2,3 = -(3*4 - 5*2) = -2

Α 3,1 = (-1) 3+1

2 -1 1 3

∆ 3,1 = (2*3 - 1*(-1)) = 7
1/-1

-12	15	-5
-4	5	-2
7	-9	3

= Διάνυσμα Β:
B T =(31,13,10)

X T =(4,05,6,13,7,54)
x 1 \u003d 158 / 39 \u003d 4,05
x 2 \u003d 239 / 39 \u003d 6,13
x 3 \u003d 294 / 39 \u003d 7,54
Εξέταση.
-2 4.05+-1 6.13+6 7.54=31
1 4.05+-1 6.13+2 7.54=13
2 4.05+4 6.13+-3 7.54=10

Παράδειγμα αριθμός 9. Σημειώστε με A - τον πίνακα των συντελεστών για αγνώστους. X - μήτρα στήλης αγνώστων. Β - μήτρα-στήλη ελεύθερων μελών:

-2 1 6 1 -1 2 2 4 -3

Διάνυσμα Β:
B T =(31,13,10)

X T =(5,21,4,51,6,15)
x 1 \u003d 276 / 53 \u003d 5,21
x 2 \u003d 239 / 53 \u003d 4,51
x 3 \u003d 326 / 53 \u003d 6,15
Εξέταση.
-2 5.21+1 4.51+6 6.15=31
1 5.21+-1 4.51+2 6.15=13
2 5.21+4 4.51+-3 6.15=10

Παράδειγμα #10. Επίλυση εξισώσεων μήτρας.
Δείχνω:

Αλγεβρικές προσθήκες
A 11 \u003d (-1) 1 + 1 -3 \u003d -3; A 12 \u003d (-1) 1 + 2 3 \u003d -3; A 21 \u003d (-1) 2 + 1 1 \u003d -1; A 22 \u003d (-1) 2 + 2 2 \u003d 2;
Αντίστροφος πίνακας A -1 .
1/-9

-3	-3
-1	2

=

1	-2
1	1

Απάντηση:

Χ=

1 -2 1 1

6.4. Μερικές εφαρμογές του προϊόντος με κουκκίδες

11. Έκφραση του βαθμωτού γινόμενου ενός διανύσματος ως προς τις συντεταγμένες των παραγόντων. Θεώρημα.

12. Μήκος διανύσματος, μήκος τμήματος, γωνία μεταξύ διανυσμάτων, συνθήκη καθετότητας διανυσμάτων.

13. Διανυσματικό γινόμενο διανυσμάτων, οι ιδιότητές του. Το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου.

14. Μικτό γινόμενο διανυσμάτων, οι ιδιότητές του. Η συνθήκη της συμβατότητας διανυσμάτων. Ο όγκος του παραλληλεπίπεδου. Ο όγκος της πυραμίδας.

15. Μέθοδοι καθορισμού ευθείας γραμμής σε επίπεδο.

16. Κανονική εξίσωση ευθείας σε επίπεδο (παραγωγή). Η γεωμετρική σημασία των συντελεστών.

17. Η εξίσωση ευθείας σε επίπεδο σε τμήματα (συμπέρασμα).

Αναγωγή της γενικής εξίσωσης του επιπέδου στην εξίσωση του επιπέδου σε τμήματα.

18. Η εξίσωση ευθείας σε επίπεδο με κλίση (έξοδος).

19. Εξίσωση ευθείας σε επίπεδο που διέρχεται από δύο σημεία (συμπέρασμα).

20. Γωνία μεταξύ ευθειών σε επίπεδο (συμπέρασμα).

21. Απόσταση από σημείο σε ευθεία σε επίπεδο (έξοδος).

22. Συνθήκες παραλληλισμού και καθετότητας ευθειών σε επίπεδο (συμπέρασμα).

23. Η εξίσωση του επιπέδου. Κανονική εξίσωση του επιπέδου (παραγωγή). Η γεωμετρική σημασία των συντελεστών.

24. Η εξίσωση του επιπέδου σε τμήματα (συμπέρασμα).

25. Εξίσωση επιπέδου που διέρχεται από τρία σημεία (έξοδος).

26. Γωνία μεταξύ επιπέδων (έξοδος).

27. Απόσταση από σημείο σε επίπεδο (έξοδος).

28. Συνθήκες παραλληλισμού και καθετότητας επιπέδων (συμπέρασμα).

29. Εξισώσεις ευθείας σε r3. Εξισώσεις ευθείας που διέρχεται από δύο σταθερά σημεία (παραγωγή).

30. Κανονικές εξισώσεις ευθείας στο χώρο (παραγωγή).

Σύνταξη κανονικών εξισώσεων ευθείας στο χώρο.

Ειδικές περιπτώσεις κανονικών εξισώσεων ευθείας στον χώρο.

Κανονικές εξισώσεις μιας ευθείας γραμμής που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία στο χώρο.

Μετάβαση από κανονικές εξισώσεις ευθείας γραμμής στο χώρο σε άλλους τύπους εξισώσεων ευθείας γραμμής.

31. Γωνία μεταξύ ευθειών (έξοδος).

32. Απόσταση από σημείο σε ευθεία σε επίπεδο (έξοδος).

Απόσταση από σημείο σε ευθεία σε επίπεδο - θεωρία, παραδείγματα, λύσεις.

Ο πρώτος τρόπος για να βρείτε την απόσταση από ένα δεδομένο σημείο σε μια δεδομένη ευθεία σε ένα επίπεδο.

Η δεύτερη μέθοδος, η οποία σας επιτρέπει να βρείτε την απόσταση από ένα δεδομένο σημείο σε μια δεδομένη γραμμή στο επίπεδο.

Επίλυση προβλημάτων εύρεσης της απόστασης από ένα δεδομένο σημείο σε μια δεδομένη ευθεία σε ένα επίπεδο.

Απόσταση από σημείο σε ευθεία στο χώρο - θεωρία, παραδείγματα, λύσεις.

Ο πρώτος τρόπος για να βρείτε την απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία στο διάστημα.

Η δεύτερη μέθοδος, η οποία σας επιτρέπει να βρείτε την απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία γραμμή στο χώρο.

33. Συνθήκες παραλληλισμού και καθετότητας ευθειών στο χώρο.

34. Αμοιβαία διάταξη ευθειών στο χώρο και ευθείας με επίπεδο.

35. Η κλασική εξίσωση μιας έλλειψης (παραγωγή) και η κατασκευή της. Η κανονική εξίσωση μιας έλλειψης έχει τη μορφή, όπου είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί, επιπλέον Πώς να φτιάξετε μια έλλειψη;

36. Η κλασική εξίσωση υπερβολής (παραγωγή) και η κατασκευή της. Ασύμπτωτοι.

37. Κανονική εξίσωση παραβολής (παραγωγή) και κατασκευή.

38. Λειτουργία. Βασικοί ορισμοί. Γραφήματα βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων.

39. Ακολουθίες αριθμών. Το όριο της αριθμητικής ακολουθίας.

40. Άπειρες μικρές και απείρως μεγάλες ποσότητες. Το θεώρημα για τη μεταξύ τους σύνδεση, ιδιότητες.

41. Θεωρήματα για ενέργειες σε μεταβλητές που έχουν πεπερασμένα όρια.

42. Αριθμός ε.

Περιεχόμενο

Μέθοδοι προσδιορισμού

Ιδιότητες

Ιστορία

Προσεγγίσεις

43. Ορισμός ορίου συνάρτησης. Αποκάλυψη αβεβαιοτήτων.

44. Αξιοσημείωτα όρια, το συμπέρασμά τους. Ισοδύναμα απειροελάχιστα μεγέθη.

Περιεχόμενο

Πρώτο υπέροχο όριο

Το δεύτερο υπέροχο όριο

45. Μονόπλευρα όρια. Συνέχεια και ασυνέχειες λειτουργίας. Μονόπλευρα όρια

Αριστερά και δεξιά όρια συνάρτησης

Σημείο ασυνέχειας πρώτου είδους

Σημείο ασυνέχειας δεύτερου είδους

Σημείο διακοπής

46. ​​Ορισμός παραγώγου. Γεωμετρική σημασία, μηχανική σημασία της παραγώγου. Εφαπτομενικές και κανονικές εξισώσεις για καμπύλη και σημείο.

47. Θεωρήματα για την παράγωγο των αντίστροφων, μιγαδικών συναρτήσεων.

48. Παράγωγοι των απλούστερων στοιχειωδών συναρτήσεων.

49. Διαφοροποίηση παραμετρικών, άρρητων και εκθετικών συναρτήσεων.

21. Διαφοροποίηση άρρητων και παραμετρικά καθορισμένων συναρτήσεων

21.1. Σιωπηρή λειτουργία

21.2. Η συνάρτηση ορίζεται παραμετρικά

50. Παράγωγα ανώτερων τάξεων. Φόρμουλα Taylor.

51. Διαφορικό. Εφαρμογή του διαφορικού σε κατά προσέγγιση υπολογισμούς.

52. Θεωρήματα Rolle, Lagrange, Cauchy. Ο κανόνας του L'Hopital.

53. Θεώρημα για τις αναγκαίες και επαρκείς προϋποθέσεις για τη μονοτονία μιας συνάρτησης.

54. Προσδιορισμός μέγιστου, ελάχιστου συνάρτησης. Θεωρήματα αναγκαίων και επαρκών συνθηκών για την ύπαρξη ακρότατου συνάρτησης.

Θεώρημα (απαραίτητη ακραία συνθήκη)

55. Κυρτότητα και κοιλότητα καμπυλών. Σημεία καμπής. Θεωρήματα αναγκαίων και επαρκών συνθηκών για την ύπαρξη σημείων καμπής.

Απόδειξη

57. Ορίζουσες της ν-ης τάξης, οι ιδιότητές τους.

58. Πίνακες και ενέργειες πάνω τους. Κατάταξη μήτρας.

Ορισμός

Σχετικοί ορισμοί

Ιδιότητες

Γραμμικός μετασχηματισμός και κατάταξη μήτρας

59. Αντίστροφος πίνακας. Θεώρημα για την ύπαρξη αντίστροφου πίνακα.

60. Συστήματα γραμμικών εξισώσεων. Λύση πινάκων συστημάτων γραμμικών εξισώσεων. Ο κανόνας του Cramer. Μέθοδος Gauss. Το θεώρημα Kronecker-Capelli.

Επίλυση συστημάτων γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων, μέθοδοι επίλυσης, παραδείγματα.

Ορισμοί, έννοιες, προσδιορισμοί.

Λύση στοιχειωδών συστημάτων γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων.

Επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο του Cramer.

Επίλυση συστημάτων γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων με τη μέθοδο του πίνακα (χρησιμοποιώντας τον αντίστροφο πίνακα).

Επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο Gauss.

Επίλυση συστημάτων γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων γενικής μορφής.

Θεώρημα Kronecker-Capelli.

Μέθοδος Gauss για την επίλυση συστημάτων γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων γενικής μορφής.

Καταγραφή της γενικής λύσης ομογενών και ανομοιογενών γραμμικών αλγεβρικών συστημάτων χρησιμοποιώντας τα διανύσματα του θεμελιώδους συστήματος λύσεων.

Επίλυση συστημάτων εξισώσεων αναγωγής σε λάσπη.

Παραδείγματα προβλημάτων που περιορίζονται στην επίλυση συστημάτων γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων.

Επίλυση συστημάτων γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων με τη μέθοδο του πίνακα (χρησιμοποιώντας τον αντίστροφο πίνακα).

Έστω το σύστημα των γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων να δοθεί σε μορφή πίνακα , όπου ο πίνακας ΕΝΑέχει τη διάσταση nεπί nκαι η ορίζουσα του είναι μη μηδενική.

Από τότε η μήτρα ΕΝΑείναι αντιστρέψιμο, δηλαδή υπάρχει αντίστροφος πίνακας. Αν πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές της ισότητας προς τα αριστερά, παίρνουμε έναν τύπο για την εύρεση του πίνακα στηλών άγνωστων μεταβλητών. Έτσι πήραμε τη λύση του συστήματος των γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων με τη μέθοδο του πίνακα.

μέθοδος μήτρας.

Ξαναγράφουμε το σύστημα εξισώσεων σε μορφή πίνακα:

Επειδή τότε το SLAE μπορεί να λυθεί με τη μέθοδο του πίνακα. Χρησιμοποιώντας τον αντίστροφο πίνακα, η λύση σε αυτό το σύστημα μπορεί να βρεθεί ως .

Κατασκευάζουμε έναν αντίστροφο πίνακα χρησιμοποιώντας έναν πίνακα αλγεβρικών συμπληρωμάτων στοιχείων πίνακα ΕΝΑ(αν χρειάζεται, δείτε τις μεθόδους του άρθρου για την εύρεση του αντίστροφου πίνακα):

Απομένει να υπολογίσουμε - τον πίνακα άγνωστων μεταβλητών πολλαπλασιάζοντας τον αντίστροφο πίνακα σε μια μήτρα-στήλη ελεύθερων μελών (αν είναι απαραίτητο, δείτε το άρθρο σχετικά με τις πράξεις σε πίνακες):

ή σε άλλη καταχώρηση Χ 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1 .

Το κύριο πρόβλημα στην εύρεση λύσεων σε συστήματα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων με τη μέθοδο του πίνακα είναι η πολυπλοκότητα της εύρεσης του αντίστροφου πίνακα, ειδικά για τετράγωνους πίνακες τάξης υψηλότερης από τον τρίτο.

Για μια πιο λεπτομερή περιγραφή της θεωρίας και πρόσθετα παραδείγματα, δείτε τη μέθοδο μήτρας άρθρου για την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων.

Αρχή σελίδας

Επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο Gauss.

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να βρούμε μια λύση στο σύστημα από nγραμμικές εξισώσεις με nάγνωστες μεταβλητές η ορίζουσα του κύριου πίνακα του οποίου είναι διαφορετική από το μηδέν.

Η ουσία της μεθόδου Gaussσυνίσταται στον διαδοχικό αποκλεισμό άγνωστων μεταβλητών: πρώτον, το Χ 1 από όλες τις εξισώσεις του συστήματος, ξεκινώντας από τη δεύτερη, λοιπόν Χ 2 όλων των εξισώσεων, ξεκινώντας από την τρίτη, και ούτω καθεξής, μέχρι να παραμείνει μόνο η άγνωστη μεταβλητή στην τελευταία εξίσωση Χ n. Μια τέτοια διαδικασία μετασχηματισμού των εξισώσεων του συστήματος για τη διαδοχική εξάλειψη άγνωστων μεταβλητών ονομάζεται άμεση μέθοδος Gauss. Μετά την ολοκλήρωση της κίνησης προς τα εμπρός της μεθόδου Gauss, από την τελευταία εξίσωση βρίσκουμε Χ n, χρησιμοποιώντας αυτή την τιμή από την προτελευταία εξίσωση υπολογίζεται Χ n-1, και ούτω καθεξής, από την πρώτη εξίσωση βρίσκεται Χ 1 . Ονομάζεται η διαδικασία υπολογισμού άγνωστων μεταβλητών κατά τη μετάβαση από την τελευταία εξίσωση του συστήματος στην πρώτη αντίστροφη μέθοδος Gauss.

Ας περιγράψουμε εν συντομία τον αλγόριθμο για την εξάλειψη άγνωστων μεταβλητών.

Θα υποθέσουμε ότι , αφού μπορούμε πάντα να το πετύχουμε αυτό αναδιατάσσοντας τις εξισώσεις του συστήματος. Καταργήστε την άγνωστη μεταβλητή Χ 1 από όλες τις εξισώσεις του συστήματος, ξεκινώντας από τη δεύτερη. Για να το κάνετε αυτό, προσθέστε την πρώτη εξίσωση πολλαπλασιασμένη επί στη δεύτερη εξίσωση του συστήματος, προσθέστε την πρώτη πολλαπλασιασμένη με την τρίτη εξίσωση, και ούτω καθεξής, στο απείρως μικρόςπροσθέστε την πρώτη εξίσωση, πολλαπλασιαζόμενη επί . Το σύστημα των εξισώσεων μετά από τέτοιους μετασχηματισμούς θα πάρει τη μορφή όπου ένας .

Θα φτάναμε στο ίδιο αποτέλεσμα αν εκφραζόμασταν Χ 1 μέσω άλλων άγνωστων μεταβλητών στην πρώτη εξίσωση του συστήματος και η προκύπτουσα έκφραση αντικαταστάθηκε σε όλες τις άλλες εξισώσεις. Η μεταβλητή λοιπόν Χ 1 εξαιρούνται από όλες τις εξισώσεις, ξεκινώντας από τη δεύτερη.

Στη συνέχεια, ενεργούμε παρόμοια, αλλά μόνο με ένα μέρος του προκύπτοντος συστήματος, το οποίο σημειώνεται στο σχήμα

Για να το κάνετε αυτό, προσθέστε το δεύτερο πολλαπλασιασμένο επί στην τρίτη εξίσωση του συστήματος, προσθέστε το δεύτερο πολλαπλασιασμένο επί στην τέταρτη εξίσωση και ούτω καθεξής, για να απείρως μικρόςπροσθέστε τη δεύτερη εξίσωση, πολλαπλασιαζόμενη επί. Το σύστημα των εξισώσεων μετά από τέτοιους μετασχηματισμούς θα πάρει τη μορφή όπου ένας . Η μεταβλητή λοιπόν Χ 2 εξαιρούνται από όλες τις εξισώσεις, ξεκινώντας από την τρίτη.

Στη συνέχεια, προχωράμε στην εξάλειψη του αγνώστου Χ 3 , ενώ ομοίως ενεργούμε και με το τμήμα του συστήματος που σημειώνεται στο σχήμα

Συνεχίζουμε λοιπόν την απευθείας πορεία της μεθόδου Gauss μέχρι το σύστημα να πάρει τη μορφή

Από αυτή τη στιγμή, ξεκινάμε την αντίστροφη πορεία της μεθόδου Gauss: υπολογίζουμε Χ nαπό την τελευταία εξίσωση ως, χρησιμοποιώντας την τιμή που προκύπτει Χ nεύρημα Χ n-1από την προτελευταία εξίσωση, και ούτω καθεξής, βρίσκουμε Χ 1 από την πρώτη εξίσωση.

Επίλυση Συστήματος Γραμμικών Εξισώσεων Γκαουσιανή μέθοδος.

Καταργήστε την άγνωστη μεταβλητή Χ 1 από τη δεύτερη και τρίτη εξίσωση του συστήματος. Για να γίνει αυτό, και στα δύο μέρη της δεύτερης και της τρίτης εξίσωσης, προσθέτουμε τα αντίστοιχα μέρη της πρώτης εξίσωσης, πολλαπλασιαζόμενα επί και επί, αντίστοιχα:

Τώρα αφαιρούμε από την τρίτη εξίσωση Χ 2 , προσθέτοντας στο αριστερό και το δεξί μέρος του το αριστερό και το δεξί μέρος της δεύτερης εξίσωσης, πολλαπλασιαζόμενο επί:

Σε αυτό, ολοκληρώνεται η προς τα εμπρός πορεία της μεθόδου Gauss, ξεκινάμε την αντίστροφη πορεία.

Από την τελευταία εξίσωση του προκύπτοντος συστήματος εξισώσεων, βρίσκουμε Χ 3 :

Από τη δεύτερη εξίσωση παίρνουμε .

Από την πρώτη εξίσωση βρίσκουμε την υπόλοιπη άγνωστη μεταβλητή και αυτό ολοκληρώνει την αντίστροφη πορεία της μεθόδου Gauss.

Χ 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1 .

Για πιο λεπτομερείς πληροφορίες και πρόσθετα παραδείγματα, δείτε την ενότητα για την επίλυση στοιχειωδών συστημάτων γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss.

Αρχή σελίδας