Βρείτε την παράγωγο και δημιουργήστε ένα γράφημα στο διαδίκτυο. Σχέδιο κατασκευής γραφήματος μιας συνάρτησης, μελέτη συναρτήσεων σε άκρο με χρήση παραγώγων υψηλότερης τάξης, υπολογισμός των ριζών των εξισώσεων χρησιμοποιώντας τις μεθόδους των χορδών και των εφαπτομένων

Ένα από τα πιθανά σχήματα για τη μελέτη μιας συνάρτησης και την κατασκευή ενός γραφήματος αναλύεται στα ακόλουθα στάδια επίλυσης του προβλήματος: 1. Τομέας ορισμού της συνάρτησης (Ο.Ο.Φ.). 2. Σημεία διακοπής συναρτήσεων, η φύση τους. Κάθετες ασύμπτωτες. 3. Ζυγή, περιττή, περιοδικότητα της συνάρτησης. 4. Σημεία τομής της γραφικής παράστασης με τους άξονες συντεταγμένων. 5. Συμπεριφορά της συνάρτησης στο άπειρο. Οριζόντιες και πλάγιες ασύμπτωτες. 6. Διαστήματα μονοτονίας συνάρτησης, μέγιστα και ελάχιστα σημεία. 7. Κατευθύνσεις κυρτότητας της καμπύλης. Σημεία καμπής. 8. Γράφημα συνάρτησης. Παράδειγμα 1. Κατασκευάστε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y = 1. (vereiora ή μπούκλα της Maria Anyei). - ολόκληρος ο αριθμητικός άξονας. 2. Δεν υπάρχουν σημεία διακοπής. δεν υπάρχουν κάθετες ασύμπτωτες. 3. Η συνάρτηση είναι άρτια: , άρα η γραφική παράσταση της είναι συμμετρική ως προς τον άξονα Oy\ μη περιοδική. Από την ισοτιμία της συνάρτησης προκύπτει ότι αρκεί να κατασκευάσουμε τη γραφική παράσταση της στην ημιευθεία x ^ O και μετά να την αντικατοπτρίσουμε στον άξονα Oy. 4. Στο x = 0 έχουμε Υx, ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης να βρίσκεται στο άνω ημιεπίπεδο y > 0. Σχέδιο κατασκευής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης Μελέτη συναρτήσεων στο άκρο με χρήση παραγώγων ανώτερης τάξης Υπολογισμός ριζών των εξισώσεων που χρησιμοποιούν τις μεθόδους των χορδών και των εφαπτομένων ότι η γραφική παράσταση έχει οριζόντια ασύμπτωτη y = O, δεν υπάρχουν πλάγιες ασύμπτωτες. Άρα η συνάρτηση αυξάνεται όταν και μειώνεται όταν. Το σημείο x = 0 είναι κρίσιμο. Όταν το x διέρχεται από το σημείο x = 0, η παράγωγος y"(x) αλλάζει πρόσημο από μείον σε συν. Επομένως, το σημείο x = 0 είναι το μέγιστο σημείο, y(Q) = I. Αυτό το αποτέλεσμα είναι αρκετά προφανές: / (x) = T^ IV*. Η δεύτερη παράγωγος εξαφανίζεται στα σημεία x = . Εξετάζουμε το σημείο x = 4- (εφεξής θεωρήσεις συμμετρίας). Όταν έχουμε, η καμπύλη είναι κυρτή προς τα κάτω, όταν λαμβάνουμε (η καμπύλη είναι κυρτό προς τα πάνω). Συνεπώς, το σημείο x = = - είναι η γραφική παράσταση σημείου καμπής της συνάρτησης. Συνοψίζουμε τα αποτελέσματα της μελέτης στον πίνακα: Σημείο καμπής max Σημείο καμπής Στον πίνακα, το βέλος "Y" δείχνει αύξηση σε η συνάρτηση, το βέλος "\" δείχνει τη μείωσή της. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης φαίνεται στο Σχ. 33. Παράδειγμα 2. Κατασκευάστε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης (τρίαινα του Νεύτωνα) - ολόκληρος ο αριθμητικός άξονας, εξαιρουμένου του σημείου 2. Το σημείο της ασυνέχειας της συνάρτησης Έχουμε έτσι ώστε η ευθεία x = 0 να είναι κάθετη ασύμπτωτη 3. Η συνάρτηση δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή [συνάρτηση γενικής θέσης], μη περιοδική. άξονας Ox στο σημείο (-1,0) Δεν υπάρχουν πλάγιες και οριζόντιες ασύμπτωτες. Εξ ου και το κρίσιμο σημείο. Η δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης σε ένα σημείο, άρα x = είναι το ελάχιστο σημείο. Η δεύτερη παράγωγος μετατρέπεται σε uul σε ένα σημείο και αλλάζει πρόσημο όταν διέρχεται από αυτό το σημείο. Επομένως, το σημείο είναι το σημείο καμπής της καμπύλης. Για) έχουμε ε. η κυρτότητα της καμπύλης κατευθύνεται προς τα κάτω. για -εγώ έχουμε. η κυρτότητα της καμπύλης κατευθύνεται προς τα πάνω. Τα αποτελέσματα της μελέτης συνοψίζονται σε πίνακα: Δεν υπάρχει Δεν υπάρχει Δεν υπάρχει Σημείο καμπής Δεν υπάρχει. Η κατακόρυφη ασύμπτωτη της παραγώγου εξαφανίζεται στο x = e,/2. και όταν το x διέρχεται από αυτό το σημείο, το y" αλλάζει πρόσημο. Κατά συνέπεια, είναι η τετμημένη του σημείου καμπής της καμπύλης. Τα αποτελέσματα της μελέτης συνοψίζουμε στον πίνακα: Σημείο καμπής. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης φαίνεται στο Σχ. 37. Παράδειγμα 4. Κατασκευάστε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης ολόκληρου του αριθμητικού άξονα, εξαιρουμένης της σημειακής ασυνέχειας σημείου του 2ου είδους συνάρτησης Από χλμ. τότε η άμεση κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης. Συνάρτηση γενικής θέσης, μη -περιοδική Ορίζοντας y = 0, έχουμε, από όπου η γραφική παράσταση της συνάρτησης τέμνει τον άξονα Ox στο σημείο Επομένως, η γραφική παράσταση της συνάρτησης έχει μια πλάγια ασύμπτωτη Από τη συνθήκη που λαμβάνουμε - το κρίσιμο σημείο Η δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης y" = D > 0 παντού στο πεδίο ορισμού, ιδίως στο σημείο - το ελάχιστο σημείο της συνάρτησης. 7. Εφόσον, παντού στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης, η κυρτότητα του γραφήματος της κατευθύνεται προς τα κάτω. Τα αποτελέσματα της μελέτης συνοψίζονται σε έναν πίνακα: Δεν υπάρχει Δεν υπάρχει Δεν υπάρχει Δεν υπάρχει. x = 0 - κατακόρυφη ασύμπτωτη Το γράφημα της συνάρτησης φαίνεται στο Σχ. Παράδειγμα 5. Κατασκευάστε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης ολόκληρου του άξονα των αριθμών. 2. Συνεχές παντού. Δεν υπάρχουν κάθετες ασύμπτωτες. 3. Γενική θέση, μη περιοδική. 4. Η συνάρτηση εξαφανίζεται στο 5. Έτσι, η γραφική παράσταση της συνάρτησης έχει μια λοξή ασύμπτωτη.Η παράγωγος εξαφανίζεται στο σημείο και δεν υπάρχει στο. Όταν το x διέρχεται από το σημείο) η παράγωγος δεν αλλάζει πρόσημο, άρα δεν υπάρχει άκρο στο σημείο x = 0. Όταν ένα σημείο x διέρχεται από ένα σημείο, η παράγωγος) αλλάζει πρόσημο από «+» σε Άρα η συνάρτηση έχει μέγιστο. Όταν το x διέρχεται από το σημείο x = 3 (x > I), η παράγωγος y"(x) αλλάζει πρόσημο, δηλ. στο σημείο x = 3 η συνάρτηση έχει ελάχιστο 7. Εύρεση της δεύτερης παραγώγου Σχήμα για την κατασκευή γραφήματος μιας συνάρτησης Μελέτη συναρτήσεων σε άκρο με χρήση παραγώγων υψηλότερης τάξης Υπολογισμός ριζών εξισώσεων με μεθόδους χορδής και εφαπτομένης Η δεύτερη παράγωγος y"(x) δεν υπάρχει στο σημείο x = 0 και όταν το x διέρχεται από το σημείο x = 0 y" αλλάζει πρόσημο από + σε έτσι ώστε το σημείο (0,0) της καμπύλης να είναι σημείο καμπής με κατακόρυφη εφαπτομένη. Στο σημείο x = 3 δεν υπάρχει κλίση στη γραφική παράσταση. Παντού στο ημιεπίπεδο x > 0 η κυρτότητα της καμπύλης κατευθύνεται προς τα πάνω Τα αποτελέσματα της μελέτης συνοψίζονται στον πίνακα: Δεν υπάρχει Δεν υπάρχει Δεν υπάρχει Δεν υπάρχει Δεν υπάρχει Σημείο καμπής (0,0) με κάθετη εφαπτομένη Η γραφική παράσταση της συνάρτησης παρουσιάζεται στο Σύκο. 39. §7. Μελέτη συναρτήσεων για ακραίο με χρήση παραγώγων υψηλότερης τάξης Για να βρείτε τα μέγιστα και ελάχιστα σημεία συναρτήσεων, μπορεί να χρησιμοποιηθεί ο τύπος Taylor. Θεώρημα It. Έστω η συνάρτηση f(x) σε κάποια γειτονιά του σημείου xq έχει παράγωγο ντης τάξης, συνεχή στο σημείο xo Έστω 0. Τότε αν ο αριθμός n είναι περιττός, τότε η συνάρτηση f(x) στο σημείο x0 έχει κανένα ακραίο? όταν το n είναι άρτιο, τότε στο σημείο x0 η συνάρτηση f(x) έχει μέγιστο αν /(n)(x0)< 0, и минимум, если /. В силу определения точек максимума и минимума вопрос о том, имеет ли функция f(x) в точке х0 экстремум, сводится к тому, существует ли такое <5 > 0, που βρίσκεται στο διάστημα, η διαφορά - /(x0) διατηρεί το πρόσημό της. Χρησιμοποιώντας τον τύπο Taylor ως συνθήκη, τότε από την (1) παίρνουμε 1συνθήκη η f(n*(r) είναι συνεχής σε ένα σημείο και Φ Επομένως, λόγω της σταθερότητας του ονόματος μιας συνεχούς συνάρτησης, υπάρχει τέτοια που στο Το διάστημα () δεν αλλάζει και συμπίπτει με το πρόσημο της f(n)( xo) Ας εξετάσουμε τις πιθανές περιπτώσεις: 1) το n είναι άρτιος αριθμός και / Τότε I επομένως δυνάμει του (2). Σύμφωνα με τον ορισμό, αυτό σημαίνει ότι το σημείο r είναι το ελάχιστο σημείο της συνάρτησης /(r). 2) n - άρτιο και. Τότε θα έχουμε i μαζί με αυτό και Επομένως, το σημείο i θα είναι σε αυτήν την περίπτωση το μέγιστο σημείο της συνάρτησης /(r). 3) n είναι ένας περιττός αριθμός, / - Τότε για x > x0 το πρόσημο > θα συμπίπτει με το πρόσημο του /(n)(th), και για το r θα είναι το αντίθετο. Επομένως, όσο μικρό κι αν είναι το 0, το πρόσημο της διαφοράς f(r) - f(r) δεν θα είναι το ίδιο για όλα τα x e (r - 6, r + £). Κατά συνέπεια, στην περίπτωση αυτή η συνάρτηση f(r) στο σημείο no δεν έχει άκρο. Παράδειγμα. Ας εξετάσουμε τις συναρτήσεις A. Είναι εύκολο να δούμε ότι το σημείο x = 0 είναι το κρίσιμο σημείο και των δύο συναρτήσεων. Για τη συνάρτηση y = x4, η πρώτη από τις μη μηδενικές παραγώγους στο σημείο x = 0 είναι η παράγωγος 4ης τάξης: Έτσι, εδώ το n = 4 είναι άρτιο και. Επομένως, στο σημείο x = 0 η συνάρτηση y = x4 έχει ελάχιστο. Για τη συνάρτηση y = x), η πρώτη από τις παραγώγους που είναι μη μηδενικές στο σημείο x = 0 είναι η παράγωγος 3ης τάξης. Άρα σε αυτή την περίπτωση το n = 3 είναι περιττό, και στο σημείο x = 0 η συνάρτηση y = x3 δεν έχει άκρο. Σχόλιο. Χρησιμοποιώντας τον τύπο του Taylor, μπορούμε να αποδείξουμε το ακόλουθο θεώρημα, το οποίο εκφράζει τις επαρκείς συνθήκες για το σημείο καμπής. "Θεώρημα 12. Έστω η συνάρτηση /(r) σε κάποια γειτονιά του σημείου r0 έχει παράγωγο της ης τάξης, συνεχή στο σημείο xq. Έστω, αλλά /(n)(*o) Φ 0. Τότε, αν n είναι περιττός αριθμός, τότε το σημείο Mo(x0, f(xо)) είναι το σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y = f(x).Το απλούστερο παράδειγμα παρέχεται από τη συνάρτηση §8 Υπολογισμός των ριζών του εξισώσεις που χρησιμοποιούν τις μεθόδους των χορδών και των εφαπτομένων Το πρόβλημα είναι να βρεθεί η πραγματική ρίζα της εξίσωσης Ας υποθέσουμε ότι πληρούνται οι ακόλουθες προϋποθέσεις: 1) η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής στο διάστημα [a, 6], 2 ) οι αριθμοί f(a) και f(b) είναι αντίθετοι στο πρόσημο: 3) στο διάστημα [a, 6] υπάρχουν παράγωγοι f"(x) και f "(x), διατηρώντας ένα σταθερό πρόσημο σε αυτό το τμήμα. Από τις συνθήκες 1) και 2) δυνάμει του θεωρήματος Bolzano-Cauchy (σελ. 220) προκύπτει ότι η συνάρτηση /(x) εξαφανίζεται τουλάχιστον σε ένα σημείο £ € (a, b), δηλαδή η εξίσωση (1) έχει τουλάχιστον μία πραγματική ρίζα £ στο διάστημα (a, 6). Επειδή, δυνάμει της συνθήκης 3), η παράγωγος /"(x) στο [a, b\ παραμένει σταθερό πρόσημο, τότε η f(x) είναι μονότονη στο [a, b] και επομένως στο διάστημα (a, b) η εξίσωση (1) έχει μόνο μια πραγματική ρίζα. Εξετάστε μια μέθοδο για τον υπολογισμό της κατά προσέγγιση τιμής αυτής της μοναδικής πραγματικής ρίζας £ € (a, 6) της εξίσωσης ( I ) με οποιοδήποτε βαθμό ακρίβειας. Τέσσερις περιπτώσεις είναι δυνατές (Εικ. 40): 1) Εικ. 40 Για βεβαιότητα, ας πάρουμε την περίπτωση όταν f\x) > 0, f"(x) > 0 στο τμήμα [a, 6) (Εικ. 41). Ας συνδέσουμε τα σημεία A(a, /(a )) και B(b, f(b)) χορδή A B. Αυτό είναι ένα τμήμα μιας ευθείας που διέρχεται από τα σημεία A και B, η εξίσωση της οποίας είναι Σημείο aj, στο οποίο η χορδή AB τέμνει τον άξονα Ox, είναι που βρίσκεται μεταξύ του ai (και είναι μια καλύτερη προσέγγιση του α. Υποθέτοντας στο (2) y = 0, βρίσκουμε Από το Σχ. 41 είναι εύκολο να παρατηρήσουμε ότι το σημείο a\ θα βρίσκεται πάντα στην πλευρά από την οποία τα πρόσημα f( x) και f"(x) είναι αντίθετα. Ας σχεδιάσουμε τώρα μια εφαπτομένη στην καμπύλη y = f(x) στο σημείο B(b, f(b)), δηλαδή σε εκείνο το άκρο του τόξου ^AB στο οποίο f (x) και /"(i) έχουν το ίδιο πρόσημο. Αυτή είναι μια βασική προϋπόθεση: χωρίς αυτό, το σημείο τομής που εφάπτεται στον άξονα Ox μπορεί να μην παρέχει καθόλου προσέγγιση στην επιθυμητή ρίζα. Το σημείο b\, στο που η εφαπτομένη τέμνει τον άξονα Ox, βρίσκεται μεταξύ £ και b στην ίδια πλευρά με το 6, και είναι καλύτερη προσέγγιση από το b. Αυτή η εφαπτομένη καθορίζεται από την εξίσωση Υποθέτοντας y = 0 στο (3), βρίσκουμε το b\ : Σχέδιο κατασκευής γραφήματος συνάρτησης Μελέτη συναρτήσεων σε άκρο με χρήση παραγώγων υψηλότερης τάξης Υπολογισμός των ριζών εξισώσεων με τη χρήση των μεθόδων χορδών και εφαπτομένων Έτσι, έχουμε Δίνεται το απόλυτο σφάλμα της προσέγγισης C της ρίζας £ εκ των προτέρων. Για το απόλυτο σφάλμα των κατά προσέγγιση τιμών του aj και του 6, της ρίζας £, μπορούμε να πάρουμε την τιμή |6i - ai|. Εάν αυτό το σφάλμα είναι μεγαλύτερο από το επιτρεπτό, τότε, λαμβάνοντας το τμήμα ως αρχικό, θα βρούμε τις ακόλουθες προσεγγίσεις της ρίζας όπου. Συνεχίζοντας αυτή τη διαδικασία, λαμβάνουμε δύο ακολουθίες με κατά προσέγγιση τιμές: Οι ακολουθίες (an) και (bn) είναι μονότονες και περιορισμένες και, επομένως, έχουν όρια. Let Μπορεί να αποδειχθεί ότι εάν πληρούνται οι παραπάνω συνθήκες, 1 στη μοναδική ρίζα της εξίσωσης / Παράδειγμα. Βρείτε τη ρίζα (εξίσωση r2 - 1 = 0 στο τμήμα . Έτσι, πληρούνται όλες οι προϋποθέσεις για να εξασφαλιστεί η ύπαρξη μιας μοναδικής ρίζας (εξίσωση x2 - 1 = 0 στο τμήμα . . και η μέθοδος θα πρέπει να λειτουργεί. 8 στην περίπτωσή μας a = 0, b = 2. Όταν n = I από (4) και (5) βρίσκουμε Όταν n = 2 παίρνουμε που δίνει μια προσέγγιση στην ακριβή τιμή της ρίζας (με απόλυτο σφάλμα) Ασκήσεις Κατασκευάστε γραφήματα συναρτήσεων: Βρείτε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές συναρτήσεων σε δεδομένα τμήματα: Διερευνήστε τη συμπεριφορά των συναρτήσεων κοντά σε δεδομένα σημεία χρησιμοποιώντας παραγώγους υψηλότερης τάξης: Απαντήσεις

Δυστυχώς, δεν γνωρίζουν και δεν αγαπούν όλοι οι μαθητές και οι μαθητές την άλγεβρα, αλλά όλοι πρέπει να προετοιμάσουν τις εργασίες για το σπίτι, να λύσουν τεστ και να δώσουν εξετάσεις. Πολλοί άνθρωποι δυσκολεύονται ιδιαίτερα να κατασκευάσουν γραφήματα συναρτήσεων: αν κάπου δεν καταλαβαίνετε κάτι, δεν το ολοκληρώσετε ή το χάσετε, τα λάθη είναι αναπόφευκτα. Αλλά ποιος θέλει να πάρει κακούς βαθμούς;

Θα θέλατε να συμμετάσχετε στη κοόρτα των ουρών και των χαμένων; Για να το κάνετε αυτό, έχετε 2 τρόπους: καθίστε με τα σχολικά βιβλία και συμπληρώστε τα κενά γνώσης ή χρησιμοποιήστε έναν εικονικό βοηθό - μια υπηρεσία για αυτόματη γραφική παράσταση γραφημάτων συναρτήσεων σύμφωνα με δεδομένες συνθήκες. Με ή χωρίς λύση. Σήμερα θα σας παρουσιάσουμε αρκετά από αυτά.

Το καλύτερο πράγμα για το Desmos.com είναι η εξαιρετικά προσαρμόσιμη διεπαφή, η διαδραστικότητα, η δυνατότητα οργάνωσης αποτελεσμάτων σε πίνακες και αποθήκευσης της εργασίας σας στη βάση δεδομένων πόρων δωρεάν χωρίς χρονικούς περιορισμούς. Το μειονέκτημα είναι ότι η υπηρεσία δεν έχει μεταφραστεί πλήρως στα ρωσικά.

Grafikus.ru

Το Grafikus.ru είναι ένας άλλος αξιοσημείωτος υπολογιστής ρωσικής γλώσσας για τη δημιουργία γραφημάτων. Επιπλέον, τα κατασκευάζει όχι μόνο σε δισδιάστατο, αλλά και σε τρισδιάστατο χώρο.

Ακολουθεί μια ημιτελής λίστα εργασιών με τις οποίες αυτή η υπηρεσία αντιμετωπίζει με επιτυχία:

• Σχεδιάζοντας δισδιάστατα γραφήματα απλών συναρτήσεων: ευθείες γραμμές, παραβολές, υπερβολές, τριγωνομετρικές, λογαριθμικές κ.λπ.
• Σχεδιάζοντας δισδιάστατα γραφήματα παραμετρικών συναρτήσεων: κύκλοι, σπείρες, σχήματα Lissajous και άλλα.
• Σχεδιάζοντας δισδιάστατα γραφήματα σε πολικές συντεταγμένες.
• Κατασκευή τρισδιάστατων επιφανειών απλών λειτουργιών.
• Κατασκευή τρισδιάστατων επιφανειών παραμετρικών συναρτήσεων.

Το τελικό αποτέλεσμα ανοίγει σε ξεχωριστό παράθυρο. Ο χρήστης έχει τις επιλογές λήψης, εκτύπωσης και αντιγραφής ενός συνδέσμου σε αυτό. Για το τελευταίο, θα πρέπει να συνδεθείτε στην υπηρεσία μέσω των κουμπιών κοινωνικού δικτύου.

Το επίπεδο συντεταγμένων του Grafikus.ru υποστηρίζει την αλλαγή των ορίων των αξόνων, των ετικετών τους, της απόστασης πλέγματος, καθώς και του πλάτους και του ύψους του ίδιου του επιπέδου και του μεγέθους της γραμματοσειράς.

Η μεγαλύτερη δύναμη του Grafikus.ru είναι η δυνατότητα δημιουργίας τρισδιάστατων γραφικών. Διαφορετικά, δεν λειτουργεί χειρότερα και δεν λειτουργεί καλύτερα από ανάλογους πόρους.

Onlinecharts.ru

Ο διαδικτυακός βοηθός Onlinecharts.ru δεν δημιουργεί γραφήματα, αλλά διαγράμματα σχεδόν όλων των υπαρχόντων τύπων. Συμπεριλαμβανομένου:

• Γραμμικός.
• Κιονοειδής.
• Εγκύκλιος.
• Με περιφέρειες.
• Ακτινικός.
• XY-γραφήματα.
• Φυσαλλίδα.
• Σημείο.
• Πολικές φυσαλίδες.
• Πυραμίδες.
• Ταχύμετρα.
• Στήλη-γραμμική.

Η χρήση του πόρου είναι πολύ απλή. Η εμφάνιση του διαγράμματος (χρώμα φόντου, πλέγμα, γραμμές, δείκτες, σχήματα γωνίας, γραμματοσειρές, διαφάνεια, ειδικά εφέ κ.λπ.) καθορίζεται πλήρως από τον χρήστη. Τα δεδομένα για την κατασκευή μπορούν να εισαχθούν είτε με μη αυτόματο τρόπο είτε να εισαχθούν από έναν πίνακα σε ένα αρχείο CSV που είναι αποθηκευμένο σε υπολογιστή. Το τελικό αποτέλεσμα είναι διαθέσιμο για λήψη σε υπολογιστή με τη μορφή αρχείου εικόνας, PDF, CSV ή SVG, καθώς και για αποθήκευση στο διαδίκτυο στον ιστότοπο φιλοξενίας φωτογραφιών ImageShack.Us ή στον προσωπικό σας λογαριασμό Onlinecharts.ru. Η πρώτη επιλογή μπορεί να χρησιμοποιηθεί από όλους, η δεύτερη - μόνο οι εγγεγραμμένοι.

Το καθήκον είναι να διεξαγάγετε μια πλήρη μελέτη της συνάρτησης και να δημιουργήσετε το γράφημά της.

Κάθε μαθητής πέρασε από παρόμοιες εργασίες.

Η περαιτέρω παρουσίαση προϋποθέτει καλή γνώση. Σας συνιστούμε να ανατρέξετε σε αυτήν την ενότητα εάν έχετε οποιεσδήποτε ερωτήσεις.

Ο αλγόριθμος έρευνας συναρτήσεων αποτελείται από τα ακόλουθα βήματα.

Εύρεση του πεδίου ορισμού μιας συνάρτησης.

Αυτό είναι ένα πολύ σημαντικό βήμα για τη μελέτη της συνάρτησης, καθώς όλες οι περαιτέρω ενέργειες θα πραγματοποιηθούν στον τομέα ορισμού.

Στο παράδειγμά μας, πρέπει να βρούμε τα μηδενικά του παρονομαστή και να τα εξαιρέσουμε από την περιοχή των πραγματικών αριθμών.



(Σε άλλα παραδείγματα μπορεί να υπάρχουν ρίζες, λογάριθμοι κ.λπ. Ας θυμηθούμε ότι σε αυτές τις περιπτώσεις το πεδίο ορισμού αναζητείται ως εξής:
Για μια ρίζα ζυγού βαθμού, για παράδειγμα, το πεδίο ορισμού βρίσκεται από την ανισότητα ;
για τον λογάριθμο - το πεδίο ορισμού βρίσκεται από την ανισότητα ).

Μελέτη της συμπεριφοράς μιας συνάρτησης στο όριο του πεδίου ορισμού, εύρεση κατακόρυφων ασυμπτωμάτων.

Στα όρια του τομέα ορισμού, η συνάρτηση έχει κάθετες ασύμπτωτες, αν σε αυτά τα οριακά σημεία είναι άπειρα.

Στο παράδειγμά μας, τα οριακά σημεία του τομέα ορισμού είναι .

Ας εξετάσουμε τη συμπεριφορά της συνάρτησης όταν προσεγγίζουμε αυτά τα σημεία από αριστερά και δεξιά, για τα οποία βρίσκουμε μονόπλευρα όρια:


Δεδομένου ότι τα μονόπλευρα όρια είναι άπειρα, οι ευθείες γραμμές είναι οι κάθετες ασύμπτωτες του γραφήματος.

Εξέταση μιας συνάρτησης για ομοιότητα ή περιττότητα.

Η συνάρτηση είναι ακόμη και, Αν . Η ισοτιμία της συνάρτησης δείχνει τη συμμετρία της γραφικής παράστασης ως προς την τεταγμένη.

Η συνάρτηση είναι Περιττός, Αν . Η παραδοξότητα της συνάρτησης δείχνει τη συμμετρία του γραφήματος σε σχέση με την αρχή.

Αν καμία από τις ισότητες δεν ικανοποιείται, τότε έχουμε συνάρτηση γενικής μορφής.

Στο παράδειγμά μας, η ισότητα ισχύει, επομένως, η λειτουργία μας είναι άρτια. Αυτό θα το λάβουμε υπόψη κατά την κατασκευή του γραφήματος - θα είναι συμμετρικό ως προς τον άξονα oy.

Εύρεση διαστημάτων αύξουσας και φθίνουσας συνάρτησης, ακραίων σημείων.

Τα διαστήματα αύξησης και μείωσης είναι λύσεις στις ανισότητες και, αντίστοιχα.

Τα σημεία στα οποία εξαφανίζεται η παράγωγος ονομάζονται ακίνητος.

Κρίσιμα σημεία της συνάρτησηςκαλούμε τα εσωτερικά σημεία του πεδίου ορισμού στα οποία η παράγωγος της συνάρτησης είναι ίση με μηδέν ή δεν υπάρχει.

ΣΧΟΛΙΟ(αν θα συμπεριληφθούν κρίσιμα σημεία στα διαστήματα αύξησης και μείωσης).

Θα συμπεριλάβουμε κρίσιμα σημεία στα αυξανόμενα και φθίνοντα διαστήματα εάν ανήκουν στον τομέα της συνάρτησης.

Ετσι, για τον προσδιορισμό των διαστημάτων αύξουσας και φθίνουσας συνάρτησης

• Πρώτον, βρίσκουμε την παράγωγο?
• Δεύτερον, βρίσκουμε κρίσιμα σημεία.
• Τρίτον, διαιρούμε το πεδίο ορισμού κατά κρίσιμα σημεία σε διαστήματα.
• τέταρτον, προσδιορίζουμε το πρόσημο της παραγώγου σε κάθε ένα από τα διαστήματα. Το σύμβολο συν θα αντιστοιχεί στο διάστημα της αύξησης, το πρόσημο μείον στο διάστημα της μείωσης.

Πηγαίνω!

Βρίσκουμε το παράγωγο στον τομέα ορισμού (αν προκύψουν δυσκολίες, βλέπε ενότητα).


Βρίσκουμε κρίσιμα σημεία για αυτό:

Σχεδιάζουμε αυτά τα σημεία στον αριθμητικό άξονα και προσδιορίζουμε το πρόσημο της παραγώγου μέσα σε κάθε προκύπτον διάστημα. Εναλλακτικά, μπορείτε να πάρετε οποιοδήποτε σημείο του διαστήματος και να υπολογίσετε την τιμή της παραγώγου σε αυτό το σημείο. Εάν η τιμή είναι θετική, τότε βάζουμε ένα πρόσημο σε αυτό το κενό και προχωράμε στο επόμενο, εάν είναι αρνητικό, τότε βάζουμε πρόσημο μείον κ.λπ. Π.χ, , επομένως, βάζουμε ένα συν πάνω από το πρώτο διάστημα στα αριστερά.


Συμπεραίνουμε:

Σχηματικά, τα συν/πλην σημειώνουν τα διαστήματα όπου η παράγωγος είναι θετική/αρνητική. Τα βέλη αύξησης/κάτω δείχνουν την κατεύθυνση αύξησης/μείωσης.

Ακραία σημεία της συνάρτησηςείναι τα σημεία στα οποία ορίζεται η συνάρτηση και διέρχεται από τα οποία η παράγωγος αλλάζει πρόσημο.

Στο παράδειγμά μας, το ακραίο σημείο είναι x=0. Η τιμή της συνάρτησης σε αυτό το σημείο είναι . Εφόσον η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από συν σε μείον όταν διέρχεται από το σημείο x=0, τότε το (0; 0) είναι σημείο του τοπικού μέγιστου. (Αν η παράγωγος άλλαζε πρόσημο από μείον σε συν, τότε θα είχαμε ένα τοπικό ελάχιστο σημείο).

Εύρεση των διαστημάτων κυρτότητας και κοιλότητας μιας συνάρτησης και σημείων καμπής.

Τα διαστήματα κοιλότητας και κυρτότητας μιας συνάρτησης βρίσκονται με την επίλυση των ανισώσεων και, αντίστοιχα.

Μερικές φορές η κοιλότητα ονομάζεται κυρτή προς τα κάτω και η κυρτή ονομάζεται κυρτή προς τα πάνω.

Εδώ ισχύουν και παρατηρήσεις παρόμοιες με αυτές της παραγράφου για τα διαστήματα αύξησης και μείωσης.

Ετσι, για τον προσδιορισμό των διαστημάτων κοιλότητας και κυρτότητας μιας συνάρτησης:

• Πρώτον, βρίσκουμε τη δεύτερη παράγωγο.
• Δεύτερον, βρίσκουμε τα μηδενικά του αριθμητή και του παρονομαστή της δεύτερης παραγώγου.
• Τρίτον, διαιρούμε τον τομέα ορισμού με τα ληφθέντα σημεία σε διαστήματα.
• τέταρτον, προσδιορίζουμε το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου σε καθένα από τα διαστήματα. Το σύμβολο συν θα αντιστοιχεί στο διάστημα κοιλότητας, το σύμβολο μείον στο κυρτό διάστημα.

Πηγαίνω!

Βρίσκουμε τη δεύτερη παράγωγο στο πεδίο ορισμού.


Στο παράδειγμά μας, δεν υπάρχουν μηδενικά στον αριθμητή, αλλά μηδενικά στον παρονομαστή.

Σχεδιάζουμε αυτά τα σημεία στον αριθμητικό άξονα και προσδιορίζουμε το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου μέσα σε κάθε προκύπτον διάστημα.



Συμπεραίνουμε:

Το σημείο λέγεται σημείο καμπής, αν σε ένα δεδομένο σημείο υπάρχει εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης και η δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης αλλάζει πρόσημο όταν διέρχεται από .

Με άλλα λόγια, τα σημεία καμπής μπορεί να είναι σημεία μέσω των οποίων η δεύτερη παράγωγος αλλάζει πρόσημο· στα ίδια τα σημεία είτε είναι μηδέν είτε δεν υπάρχει, αλλά αυτά τα σημεία περιλαμβάνονται στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης.

Στο παράδειγμά μας, δεν υπάρχουν σημεία καμπής, αφού η δεύτερη παράγωγος αλλάζει πρόσημο όταν διέρχεται από τα σημεία και δεν περιλαμβάνονται στον τομέα ορισμού της συνάρτησης.

Εύρεση οριζόντιων και πλάγιων ασυμπτωμάτων.

Οι οριζόντιες ή πλάγιες ασύμπτωτες θα πρέπει να αναζητούνται μόνο όταν η συνάρτηση ορίζεται στο άπειρο.

Πλάγιες ασύμπτωτεςαναζητούνται με τη μορφή ευθειών, όπου και .

Αν k=0 και το b δεν ισούται με το άπειρο, τότε η πλάγια ασύμπτωτη θα γίνει οριζόντιος.

Ποιοι είναι τελικά αυτοί οι ασύμπτωτοι;

Αυτές είναι οι γραμμές που προσεγγίζει το γράφημα μιας συνάρτησης στο άπειρο. Έτσι, βοηθούν πολύ στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης.

Εάν δεν υπάρχουν οριζόντιες ή πλάγιες ασύμπτωτες, αλλά η συνάρτηση ορίζεται στο συν άπειρο και (ή) μείον άπειρο, τότε θα πρέπει να υπολογίσετε το όριο της συνάρτησης στο συν άπειρο και (ή) μείον άπειρο για να έχετε μια ιδέα ​τη συμπεριφορά του γραφήματος συνάρτησης.

Για το παράδειγμά μας

- οριζόντια ασύμπτωτη.

Αυτό ολοκληρώνει τη μελέτη της συνάρτησης· προχωράμε στη σχεδίαση του γραφήματος.

Υπολογίζουμε τις τιμές των συναρτήσεων σε ενδιάμεσα σημεία.

Για πιο ακριβή γραφική παράσταση, συνιστούμε να βρείτε πολλές τιμές συνάρτησης σε ενδιάμεσα σημεία (δηλαδή σε οποιαδήποτε σημεία από τον τομέα ορισμού της συνάρτησης).

Για το παράδειγμά μας, θα βρούμε τις τιμές της συνάρτησης στα σημεία x=-2, x=-1, x=-3/4, x=-1/4. Λόγω της ισοτιμίας της συνάρτησης, αυτές οι τιμές θα συμπίπτουν με τις τιμές στα σημεία x=2, x=1, x=3/4, x=1/4.


Κατασκευή γραφήματος.

Αρχικά, κατασκευάζουμε ασύμπτωτες, σχεδιάζουμε τα σημεία των τοπικών μέγιστων και ελάχιστων της συνάρτησης, σημεία καμπής και ενδιάμεσα σημεία. Για τη διευκόλυνση της κατασκευής ενός γραφήματος, μπορείτε επίσης να ορίσετε σχηματικά τα διαστήματα αύξησης, μείωσης, κυρτότητας και κοιλότητας, δεν είναι για τίποτα που μελετήσαμε τη συνάρτηση =).


Απομένει να σχεδιάσουμε τις γραμμές του γραφήματος μέσα από τα σημειωμένα σημεία, πλησιάζοντας τις ασύμπτωτες και ακολουθώντας τα βέλη.


Με αυτό το αριστούργημα καλών τεχνών, ολοκληρώνεται το έργο της πλήρους μελέτης της συνάρτησης και της κατασκευής ενός γραφήματος.

Γραφήματα ορισμένων στοιχειωδών συναρτήσεων μπορούν να κατασκευαστούν χρησιμοποιώντας γραφήματα βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων.

Εάν το πρόβλημα απαιτεί πλήρη μελέτη της συνάρτησης f (x) = x 2 4 x 2 - 1 με την κατασκευή της γραφικής της παράστασης, τότε θα εξετάσουμε λεπτομερώς αυτήν την αρχή.

Για να λύσετε ένα πρόβλημα αυτού του τύπου, θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε τις ιδιότητες και τα γραφήματα βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων. Ο αλγόριθμος έρευνας περιλαμβάνει τα ακόλουθα βήματα:

Εύρεση του πεδίου ορισμού

Εφόσον διεξάγεται έρευνα στον τομέα ορισμού της συνάρτησης, είναι απαραίτητο να ξεκινήσουμε με αυτό το βήμα.

Παράδειγμα 1

Το παράδειγμα που δίνεται περιλαμβάνει την εύρεση των μηδενικών του παρονομαστή προκειμένου να εξαιρεθούν από το ODZ.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Ως αποτέλεσμα, μπορείτε να λάβετε ρίζες, λογάριθμους και ούτω καθεξής. Στη συνέχεια, το ODZ μπορεί να αναζητηθεί για μια ρίζα ζυγού βαθμού του τύπου g (x) 4 με την ανισότητα g (x) ≥ 0, για τον λογάριθμο log a g (x) με την ανισότητα g (x) > 0.

Μελέτη των ορίων του ΟΔΖ και εύρεση κάθετων ασυμπτωμάτων

Υπάρχουν κατακόρυφες ασύμπτωτες στα όρια της συνάρτησης, όταν τα μονόπλευρα όρια σε τέτοια σημεία είναι άπειρα.

Παράδειγμα 2

Για παράδειγμα, θεωρήστε τα σημεία συνόρων ίσα με x = ± 1 2.

Τότε είναι απαραίτητο να μελετηθεί η συνάρτηση για να βρεθεί το μονόπλευρο όριο. Τότε παίρνουμε ότι: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞

Αυτό δείχνει ότι τα μονόπλευρα όρια είναι άπειρα, πράγμα που σημαίνει ότι οι ευθείες x = ± 1 2 είναι οι κατακόρυφες ασύμπτωτες του γραφήματος.

Μελέτη μιας συνάρτησης και αν είναι άρτια ή περιττή

Όταν η συνθήκη y (- x) = y (x) ικανοποιείται, η συνάρτηση θεωρείται άρτια. Αυτό υποδηλώνει ότι το γράφημα βρίσκεται συμμετρικά σε σχέση με το Oy. Όταν η συνθήκη y (- x) = - y (x) ικανοποιείται, η συνάρτηση θεωρείται περιττή. Αυτό σημαίνει ότι η συμμετρία είναι σχετική με την αρχή των συντεταγμένων. Εάν τουλάχιστον μία ανισότητα δεν ικανοποιείται, λαμβάνουμε μια συνάρτηση γενικής μορφής.

Η ισότητα y (- x) = y (x) δείχνει ότι η συνάρτηση είναι άρτια. Κατά την κατασκευή, είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη ότι θα υπάρχει συμμετρία ως προς το Oy.

Για την επίλυση της ανισότητας, χρησιμοποιούνται διαστήματα αύξησης και μείωσης με τις συνθήκες f " (x) ≥ 0 και f " (x) ≤ 0, αντίστοιχα.

Ορισμός 1

Σταθερά σημεία- αυτά είναι τα σημεία που μηδενίζουν την παράγωγο.

Κρίσιμα σημεία- αυτά είναι εσωτερικά σημεία από το πεδίο ορισμού όπου η παράγωγος της συνάρτησης είναι ίση με μηδέν ή δεν υπάρχει.

Κατά τη λήψη μιας απόφασης, πρέπει να ληφθούν υπόψη οι ακόλουθες σημειώσεις:

• για υπάρχοντα διαστήματα αυξανόμενων και φθίνουσες ανισώσεις της μορφής f " (x) > 0, τα κρίσιμα σημεία δεν περιλαμβάνονται στη λύση.
• Τα σημεία στα οποία η συνάρτηση ορίζεται χωρίς πεπερασμένη παράγωγο πρέπει να περιλαμβάνονται στα διαστήματα αύξησης και μείωσης (για παράδειγμα, y = x 3, όπου το σημείο x = 0 καθορίζει τη συνάρτηση, η παράγωγος έχει την τιμή του άπειρου σε αυτό σημείο, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 περιλαμβάνεται στο αυξανόμενο διάστημα).
• Για την αποφυγή διαφωνιών, συνιστάται η χρήση μαθηματικής βιβλιογραφίας που προτείνει το Υπουργείο Παιδείας.

Συμπερίληψη κρίσιμων σημείων σε διαστήματα αύξησης και μείωσης εάν ικανοποιούν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.

Ορισμός 2

Για προσδιορίζοντας τα διαστήματα αύξησης και μείωσης μιας συνάρτησης, είναι απαραίτητο να βρεθεί:

• παράγωγο;
• κρίσιμα σημεία?
• Διαιρέστε τον τομέα ορισμού σε διαστήματα χρησιμοποιώντας κρίσιμα σημεία.
• προσδιορίστε το πρόσημο της παραγώγου σε κάθε ένα από τα διαστήματα, όπου + είναι μια αύξηση και - είναι μια μείωση.

Παράδειγμα 3

Βρείτε την παράγωγο στον τομέα του ορισμού f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

Λύση

Για να λύσετε χρειάζεστε:

• βρείτε σταθερά σημεία, αυτό το παράδειγμα έχει x = 0.
• βρείτε τα μηδενικά του παρονομαστή, το παράδειγμα παίρνει την τιμή μηδέν στο x = ± 1 2.

Τοποθετούμε σημεία στον αριθμητικό άξονα για να προσδιορίσουμε την παράγωγο σε κάθε διάστημα. Για να γίνει αυτό, αρκεί να πάρετε οποιοδήποτε σημείο από το διάστημα και να εκτελέσετε έναν υπολογισμό. Εάν το αποτέλεσμα είναι θετικό, απεικονίζουμε το + στο γράφημα, που σημαίνει ότι η συνάρτηση αυξάνεται και - σημαίνει ότι μειώνεται.

Για παράδειγμα, f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, που σημαίνει ότι το πρώτο διάστημα στα αριστερά έχει σύμβολο +. Εξετάστε την αριθμητική γραμμή.

Απάντηση:

• η συνάρτηση αυξάνεται στο διάστημα - ∞; - 1 2 και (- 1 2 ; 0 ] ;
• υπάρχει μείωση στο διάστημα [ 0 ; 1 2) και 1 2 ; + ∞ .

Στο διάγραμμα, χρησιμοποιώντας τα + και -, απεικονίζονται η θετικότητα και η αρνητικότητα της συνάρτησης και τα βέλη δείχνουν μείωση και αύξηση.

Τα ακραία σημεία μιας συνάρτησης είναι τα σημεία όπου ορίζεται η συνάρτηση και μέσω των οποίων η παράγωγος αλλάζει πρόσημο.

Παράδειγμα 4

Αν εξετάσουμε ένα παράδειγμα όπου x = 0, τότε η τιμή της συνάρτησης σε αυτό είναι ίση με f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0. Όταν το πρόσημο της παραγώγου αλλάζει από + σε - και διέρχεται από το σημείο x = 0, τότε το σημείο με συντεταγμένες (0; 0) θεωρείται το μέγιστο σημείο. Όταν το πρόσημο αλλάζει από - σε +, λαμβάνουμε ένα ελάχιστο σημείο.

Η κυρτότητα και η κοιλότητα προσδιορίζονται με την επίλυση ανισώσεων της μορφής f "" (x) ≥ 0 και f "" (x) ≤ 0. Λιγότερο συχνά χρησιμοποιείται το όνομα κυρτότητα προς τα κάτω αντί για κυρτότητα και κυρτότητα προς τα πάνω αντί για κυρτότητα.

Ορισμός 3

Για προσδιορισμός των διαστημάτων κοιλότητας και κυρτότηταςαπαραίτητη:

• βρείτε τη δεύτερη παράγωγο?
• Να βρείτε τα μηδενικά της δεύτερης παραγώγου συνάρτησης.
• διαιρέστε την περιοχή ορισμού σε διαστήματα με τα σημεία που εμφανίζονται.
• καθορίστε το πρόσημο του διαστήματος.

Παράδειγμα 5

Βρείτε τη δεύτερη παράγωγο από το πεδίο ορισμού.

Λύση

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Βρίσκουμε τα μηδενικά του αριθμητή και του παρονομαστή, όπου στο παράδειγμά μας έχουμε ότι τα μηδενικά του παρονομαστή x = ± 1 2

Τώρα πρέπει να σχεδιάσετε τα σημεία στην αριθμητική γραμμή και να προσδιορίσετε το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου από κάθε διάστημα. Το καταλαβαίνουμε

Απάντηση:

• η συνάρτηση είναι κυρτή από το διάστημα - 1 2 ; 12 ;
• η συνάρτηση είναι κοίλη από τα διαστήματα - ∞ ; - 1 2 και 1 2; + ∞ .

Ορισμός 4

Σημείο καμπής– αυτό είναι ένα σημείο της μορφής x 0 ; f (x 0) . Όταν έχει εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης, τότε όταν διέρχεται από x 0 η συνάρτηση αλλάζει πρόσημο στο αντίθετο.

Με άλλα λόγια, αυτό είναι ένα σημείο από το οποίο περνά η δεύτερη παράγωγος και αλλάζει πρόσημο και στα ίδια τα σημεία είναι ίση με το μηδέν ή δεν υπάρχει. Όλα τα σημεία θεωρούνται το πεδίο της συνάρτησης.

Στο παράδειγμα, ήταν ξεκάθαρο ότι δεν υπάρχουν σημεία καμπής, αφού η δεύτερη παράγωγος αλλάζει πρόσημο ενώ διέρχεται από τα σημεία x = ± 1 2. Με τη σειρά τους, δεν περιλαμβάνονται στο πεδίο ορισμού.

Εύρεση οριζόντιων και πλάγιων ασυμπτωμάτων

Όταν ορίζετε μια συνάρτηση στο άπειρο, πρέπει να αναζητήσετε οριζόντιες και πλάγιες ασύμπτωτες.

Ορισμός 5

Πλάγιες ασύμπτωτεςαπεικονίζονται χρησιμοποιώντας ευθείες γραμμές που δίνονται από την εξίσωση y = k x + b, όπου k = lim x → ∞ f (x) x και b = lim x → ∞ f (x) - k x.

Για k = 0 και b που δεν ισούται με το άπειρο, βρίσκουμε ότι η πλάγια ασύμπτωτη γίνεται οριζόντιος.

Με άλλα λόγια, οι ασύμπτωτες θεωρούνται ευθείες στις οποίες η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης πλησιάζει στο άπειρο. Αυτό διευκολύνει τη γρήγορη κατασκευή ενός γραφήματος συνάρτησης.

Εάν δεν υπάρχουν ασύμπτωτες, αλλά η συνάρτηση ορίζεται και στα δύο άπειρα, είναι απαραίτητο να υπολογιστεί το όριο της συνάρτησης σε αυτά τα άπειρα για να κατανοήσουμε πώς θα συμπεριφέρεται το γράφημα της συνάρτησης.

Παράδειγμα 6

Ας θεωρήσουμε ως παράδειγμα ότι

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

είναι μια οριζόντια ασύμπτωτη. Αφού εξετάσετε τη συνάρτηση, μπορείτε να αρχίσετε να την κατασκευάζετε.

Υπολογισμός της τιμής μιας συνάρτησης σε ενδιάμεσα σημεία

Για να γίνει το γράφημα πιο ακριβές, συνιστάται να βρείτε πολλές τιμές συναρτήσεων σε ενδιάμεσα σημεία.

Παράδειγμα 7

Από το παράδειγμα που εξετάσαμε, είναι απαραίτητο να βρούμε τις τιμές της συνάρτησης στα σημεία x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4. Εφόσον η συνάρτηση είναι άρτια, παίρνουμε ότι οι τιμές συμπίπτουν με τις τιμές σε αυτά τα σημεία, δηλαδή παίρνουμε x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4.

Ας γράψουμε και ας λύσουμε:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Για να προσδιοριστούν τα μέγιστα και ελάχιστα της συνάρτησης, τα σημεία καμπής και τα ενδιάμεσα σημεία, είναι απαραίτητο να κατασκευαστούν ασύμπτωτες. Για βολικό προσδιορισμό, καταγράφονται διαστήματα αύξησης, μείωσης, κυρτότητας και κοιλότητας. Ας δούμε την παρακάτω εικόνα.

Είναι απαραίτητο να σχεδιάσετε γραμμές γραφήματος μέσα από τα σημειωμένα σημεία, τα οποία θα σας επιτρέψουν να προσεγγίσετε τις ασύμπτωτες ακολουθώντας τα βέλη.

Αυτό ολοκληρώνει την πλήρη εξερεύνηση της συνάρτησης. Υπάρχουν περιπτώσεις κατασκευής κάποιων στοιχειωδών συναρτήσεων για τις οποίες χρησιμοποιούνται γεωμετρικοί μετασχηματισμοί.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter