Γενική εξίσωση δυναμικής. Αναλυτική δυναμική

Η γενική εξίσωση της δυναμικής για ένα σύστημα με οποιεσδήποτε συνδέσεις (η συνδυασμένη αρχή D'Alembert-Lagrangeή γενική εξίσωση της μηχανικής):

πού είναι η ενεργός δύναμη που εφαρμόζεται στο σημείο του συστήματος; – ισχύς αντίδρασης των δεσμών. – σημειακή δύναμη αδράνειας. – πιθανή κίνηση.

Στην περίπτωση της ισορροπίας του συστήματος, όταν εξαφανιστούν όλες οι αδρανειακές δυνάμεις των σημείων του συστήματος, μετατρέπεται στην αρχή των πιθανών μετατοπίσεων. Συνήθως χρησιμοποιείται για συστήματα με ιδανικές συνδέσεις, για τα οποία ικανοποιείται η προϋπόθεση

Σε αυτήν την περίπτωση (229) παίρνει μία από τις μορφές:

. (230)

Ετσι, σύμφωνα με τη γενική εξίσωση της δυναμικής, σε κάθε στιγμή κίνησης ενός συστήματος με ιδανικές συνδέσεις, το άθροισμα των στοιχειωδών έργων όλων των ενεργών δυνάμεων και των δυνάμεων αδράνειας των σημείων του συστήματος είναι ίσο με μηδέν σε κάθε δυνατή κίνηση του συστήματος που επιτρέπεται από τις συνδέσεις.

Στη γενική εξίσωση της δυναμικής μπορούν να δοθούν άλλες, ισοδύναμες μορφές. Διευρύνοντας το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων, μπορεί να εκφραστεί ως

όπου είναι οι συντεταγμένες του ου σημείου του συστήματος. Λαμβάνοντας υπόψη ότι οι προβολές των δυνάμεων αδράνειας στους άξονες συντεταγμένων μέσω των προβολών επιταχύνσεων σε αυτούς τους άξονες εκφράζονται από τις σχέσεις

η γενική εξίσωση της δυναμικής μπορεί να δοθεί η μορφή

Με αυτή τη μορφή ονομάζεται γενική εξίσωση δυναμικής σε αναλυτική μορφή.

Όταν χρησιμοποιείται η γενική εξίσωση δυναμικής, είναι απαραίτητο να μπορούμε να υπολογίζουμε το στοιχειώδες έργο των αδρανειακών δυνάμεων του συστήματος σε πιθανές μετατοπίσεις. Για να το κάνετε αυτό, εφαρμόστε τους αντίστοιχους τύπους για το στοιχειώδες έργο που λαμβάνεται για συνηθισμένες δυνάμεις. Ας εξετάσουμε την εφαρμογή τους στις αδρανειακές δυνάμεις ενός άκαμπτου σώματος σε συγκεκριμένες περιπτώσεις της κίνησής του.

Κατά την κίνηση προς τα εμπρός. Σε αυτή την περίπτωση, το σώμα έχει τρεις βαθμούς ελευθερίας και, λόγω των επιβαλλόμενων περιορισμών, μπορεί να εκτελέσει μόνο μεταφορική κίνηση. Πιθανές κινήσεις του σώματος που επιτρέπουν συνδέσεις είναι επίσης μεταφορικές.

Οι αδρανειακές δυνάμεις κατά τη μεταφορική κίνηση μειώνονται στο προκύπτον . Για το άθροισμα των στοιχειωδών έργων δυνάμεων αδράνειας στην πιθανή μεταφορική κίνηση ενός σώματος, λαμβάνουμε

πού είναι η πιθανή μετατόπιση του κέντρου μάζας και οποιουδήποτε σημείου του σώματος, αφού η μεταφορική πιθανή μετατόπιση όλων των σημείων του σώματος είναι η ίδια: οι επιταχύνσεις είναι επίσης ίδιες, δηλ.

Όταν ένα άκαμπτο σώμα περιστρέφεται γύρω από έναν σταθερό άξονα. Το σώμα σε αυτή την περίπτωση έχει έναν βαθμό ελευθερίας. Μπορεί να περιστρέφεται γύρω από έναν σταθερό άξονα. Η πιθανή κίνηση που επιτρέπεται από τις επάλληλες συνδέσεις είναι επίσης μια περιστροφή του σώματος κατά μια στοιχειώδη γωνία γύρω από έναν σταθερό άξονα.

Οι αδρανειακές δυνάμεις που μειώνονται σε ένα σημείο του άξονα περιστροφής μειώνονται στο κύριο διάνυσμα και στην κύρια ροπή. Το κύριο διάνυσμα των αδρανειακών δυνάμεων εφαρμόζεται σε ένα σταθερό σημείο και το στοιχειώδες έργο του για πιθανή μετατόπιση είναι μηδέν. Για την κύρια στιγμή των αδρανειακών δυνάμεων, μη μηδενικό στοιχειώδες έργο θα εκτελείται μόνο με την προβολή του στον άξονα περιστροφής. Έτσι, για το άθροισμα του έργου των δυνάμεων αδράνειας στην πιθανή μετατόπιση που εξετάζουμε έχουμε

αν η γωνία αναφέρεται στην κατεύθυνση του τόξου γωνιακής επιτάχυνσης.

Σε επίπεδη κίνηση. Σε αυτή την περίπτωση, οι περιορισμοί που επιβάλλονται στο άκαμπτο σώμα επιτρέπουν μόνο πιθανή επίπεδη κίνηση. Στη γενική περίπτωση, αποτελείται από μια πιθανή μεταφορική κίνηση μαζί με έναν πόλο, για τον οποίο επιλέγουμε το κέντρο μάζας, και μια περιστροφή μέσω μιας στοιχειώδους γωνίας γύρω από έναν άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας και είναι κάθετος στο επίπεδο παράλληλο στο οποίο το σώμα μπορεί να εκτελέσει επίπεδη κίνηση.

Δεδομένου ότι οι δυνάμεις αδράνειας στην επίπεδη κίνηση ενός άκαμπτου σώματος μπορούν να μειωθούν στο κύριο διάνυσμα και στην κύρια ροπή (αν επιλέξουμε το κέντρο μάζας ως κέντρο μείωσης), τότε το άθροισμα των στοιχειωδών έργων των δυνάμεων αδράνειας στο μια επίπεδη πιθανή μετατόπιση θα μειωθεί στο στοιχειώδες έργο του διανύσματος επιστροφής των δυνάμεων αδράνειας στην πιθανή μετατόπιση του κέντρου μάζας και στο στοιχειώδες έργο της κύριας ροπής των δυνάμεων αδράνειας σε μια στοιχειώδη περιστροφική μετατόπιση γύρω από τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας. Σε αυτή την περίπτωση, μη μηδενική στοιχειώδη εργασία μπορεί να εκτελεστεί μόνο με την προβολή της κύριας ροπής των δυνάμεων αδράνειας στον άξονα, δηλ. . Έτσι, στην υπό εξέταση περίπτωση έχουμε

Εισαγωγή

Η κινηματική ασχολείται με την περιγραφή των απλούστερων τύπων μηχανικών κινήσεων. Σε αυτήν την περίπτωση, δεν θίχτηκαν οι λόγοι που προκαλούν αλλαγές στη θέση του σώματος σε σχέση με άλλα σώματα και το σύστημα αναφοράς επιλέχθηκε για λόγους ευκολίας κατά την επίλυση ενός συγκεκριμένου προβλήματος. Στη δυναμική, καταρχάς, ενδιαφέρον έχουν οι λόγοι για τους οποίους ορισμένα σώματα αρχίζουν να κινούνται σε σχέση με άλλα σώματα, καθώς και οι παράγοντες που προκαλούν την εμφάνιση της επιτάχυνσης. Ωστόσο, οι νόμοι στη μηχανική, αυστηρά μιλώντας, έχουν διαφορετικές μορφές σε διαφορετικά συστήματα αναφοράς. Έχει διαπιστωθεί ότι υπάρχουν τέτοια συστήματα αναφοράς στα οποία οι νόμοι και τα πρότυπα δεν εξαρτώνται από την επιλογή του συστήματος αναφοράς. Τέτοια συστήματα αναφοράς ονομάζονται αδρανειακά συστήματα(ISO). Σε αυτά τα συστήματα αναφοράς, το μέγεθος της επιτάχυνσης εξαρτάται μόνο από τις δρώντες δυνάμεις και δεν εξαρτάται από την επιλογή του συστήματος αναφοράς. Το αδρανειακό πλαίσιο αναφοράς είναι ηλιοκεντρικό πλαίσιο αναφοράς, του οποίου η προέλευση βρίσκεται στο κέντρο του Ήλιου. Τα συστήματα αναφοράς που κινούνται ομοιόμορφα ευθύγραμμα σε σχέση με το αδρανειακό σύστημα είναι επίσης αδρανειακά και τα συστήματα αναφοράς που κινούνται με επιτάχυνση σε σχέση με το αδρανειακό σύστημα είναι μη αδρανειακή. Για αυτούς τους λόγους, η επιφάνεια της γης είναι, αυστηρά, ένα μη αδρανειακό πλαίσιο αναφοράς. Σε πολλά προβλήματα, το πλαίσιο αναφοράς που σχετίζεται με τη Γη μπορεί να θεωρηθεί αδρανειακό με καλό βαθμό ακρίβειας.

Βασικοί νόμοι δυναμικής σε αδρανειακή και μη αδρανειακή

Συστήματα αναφοράς

Η ικανότητα ενός σώματος να διατηρεί μια κατάσταση ομοιόμορφης ευθύγραμμης κίνησης ή να βρίσκεται σε ηρεμία στο ISO ονομάζεται αδράνεια του σώματος. Το μέτρο της αδράνειας του σώματος είναι βάρος. Η μάζα είναι μια κλιμακωτή ποσότητα, μετρούμενη σε κιλά (kg) στο σύστημα SI. Το μέτρο της αλληλεπίδρασης είναι μια ποσότητα που ονομάζεται με το ΖΟΡΙ. Η δύναμη είναι ένα διανυσματικό μέγεθος, μετρούμενο σε Newton (N) στο σύστημα SI.

Ο πρώτος νόμος του Νεύτωνα. Στα αδρανειακά συστήματα αναφοράς, ένα σημείο κινείται ομοιόμορφα σε ευθεία γραμμή ή βρίσκεται σε ηρεμία εάν το άθροισμα όλων των δυνάμεων που ασκούνται σε αυτό είναι ίσο με μηδέν, δηλ.:

πού είναι οι δυνάμεις που δρουν σε ένα δεδομένο σημείο.

Δεύτερος νόμος του Νεύτωνα. Στα αδρανειακά συστήματα, ένα σώμα κινείται με επιτάχυνση αν το άθροισμα όλων των δυνάμεων που ασκούνται σε αυτό δεν είναι ίσο με μηδέν και το γινόμενο της μάζας του σώματος και της επιτάχυνσής του είναι ίσο με το άθροισμα αυτών των δυνάμεων, δηλ.:

Τρίτος νόμος του Νεύτωνα. Οι δυνάμεις με τις οποίες δρουν τα σώματα μεταξύ τους είναι ίσες σε μέγεθος και αντίθετες ως προς την κατεύθυνση, δηλ.: .

Οι δυνάμεις, ως μέτρα αλληλεπίδρασης, γεννιούνται πάντα σε ζεύγη.

Για την επιτυχή επίλυση των περισσότερων προβλημάτων χρησιμοποιώντας τους νόμους του Νεύτωνα, είναι απαραίτητο να τηρήσουμε μια συγκεκριμένη ακολουθία ενεργειών (ένα είδος αλγορίθμου).

Τα κύρια σημεία του αλγορίθμου.

1. Αναλύστε την κατάσταση του προβλήματος και ανακαλύψτε με ποια σώματα αλληλεπιδρά το εν λόγω σώμα. Με βάση αυτό, προσδιορίστε την ποσότητα των δυνάμεων που ασκούνται στο εν λόγω σώμα. Ας υποθέσουμε ότι ο αριθμός των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα είναι ίσος με . Στη συνέχεια, κάντε ένα σχηματικά σωστό σχέδιο στο οποίο θα σχεδιάσετε όλες τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα.

2. Χρησιμοποιώντας την συνθήκη του προβλήματος, προσδιορίστε την κατεύθυνση της επιτάχυνσης του εν λόγω σώματος και απεικονίστε το διάνυσμα της επιτάχυνσης στο σχήμα.

3. Γράψτε τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα σε διανυσματική μορφή, δηλ.

Οπου δυνάμεις που δρουν στο σώμα.

4. Επιλέξτε ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Σχεδιάστε στο σχήμα ένα ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, του οποίου ο άξονας OX κατευθύνεται κατά μήκος του διανύσματος επιτάχυνσης, οι άξονες OY και OZ κατευθύνονται κάθετα στον άξονα OX.

5. Χρησιμοποιώντας τη βασική ιδιότητα των ισοτήτων διανυσμάτων, γράψτε τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα για τις προβολές των διανυσμάτων στους άξονες των συντεταγμένων, δηλ.:

6. Αν σε ένα πρόβλημα, εκτός από δυνάμεις και επιταχύνσεις, είναι απαραίτητος ο προσδιορισμός συντεταγμένων και ταχύτητας, τότε εκτός από τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα, είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθούν και κινηματικές εξισώσεις κίνησης. Έχοντας καταγράψει ένα σύστημα εξισώσεων, είναι απαραίτητο να δοθεί προσοχή στο γεγονός ότι ο αριθμός των εξισώσεων είναι ίσος με τον αριθμό των αγνώστων σε αυτό το πρόβλημα.

Ας εξετάσουμε ένα μη αδρανειακό πλαίσιο αναφοράς που περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα γύρω από έναν άξονα που κινείται μεταφορικά με ταχύτητα σε σχέση με το αδρανειακό πλαίσιο. Σε αυτή την περίπτωση, η επιτάχυνση ενός σημείου στο αδρανειακό πλαίσιο () σχετίζεται με την επιτάχυνση στο μη αδρανειακό πλαίσιο () από τη σχέση:

όπου είναι η επιτάχυνση του μη αδρανειακού συστήματος σε σχέση με το αδρανειακό σύστημα, η γραμμική ταχύτητα ενός σημείου στο μη αδρανειακό σύστημα. Από την τελευταία σχέση, αντί για επιτάχυνση, αντικαθιστούμε στην ισότητα (1), παίρνουμε την έκφραση:

Αυτή η αναλογία ονομάζεται Ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα σε ένα μη αδρανειακό πλαίσιο αναφοράς.

Δυνάμεις αδράνειας. Ας εισάγουμε τον ακόλουθο συμβολισμό:

1. – μπροστινή αδρανειακή δύναμη;

2. – Δύναμη Coriolis;

3 – φυγόκεντρη δύναμη αδράνειας.

Στα προβλήματα, η μεταφορική δύναμη αδράνειας απεικονίζεται έναντι του διανύσματος με την επιτάχυνση της μεταφορικής κίνησης ενός μη αδρανειακού πλαισίου αναφοράς (), η φυγόκεντρος δύναμη αδράνειας αντιπροσωπεύεται από το κέντρο περιστροφής κατά μήκος της ακτίνας (). η κατεύθυνση της δύναμης Coriolis καθορίζεται από τον κανόνα τρυπάνιγια το διασταυρούμενο γινόμενο των διανυσμάτων.

Αυστηρά μιλώντας, οι αδρανειακές δυνάμεις δεν είναι δυνάμεις με την πλήρη έννοια, γιατί Ο τρίτος νόμος του Νεύτωνα δεν ισχύει για αυτούς, δηλ. δεν είναι ζευγαρωμένα.

Εξουσίες

Η δύναμη της παγκόσμιας βαρύτητας. Η δύναμη της παγκόσμιας βαρύτητας προκύπτει κατά τη διαδικασία αλληλεπίδρασης μεταξύ σωμάτων με μάζες και υπολογίζεται από τη σχέση:

. (4)

Ο συντελεστής αναλογικότητας ονομάζεται βαρυτική σταθερά. Η τιμή του στο σύστημα SI είναι ίση με .

Η δύναμη της αντίδρασης. Οι δυνάμεις αντίδρασης προκύπτουν όταν ένα σώμα αλληλεπιδρά με διάφορες δομές που περιορίζουν τη θέση του στο χώρο. Για παράδειγμα, ένα σώμα που αιωρείται σε ένα νήμα ασκείται από μια δύναμη αντίδρασης, που συνήθως ονομάζεται δύναμη ένταση. Η δύναμη τάνυσης του νήματος κατευθύνεται πάντα κατά μήκος του νήματος.Δεν υπάρχει τύπος για τον υπολογισμό της αξίας του. Συνήθως η τιμή του βρίσκεται είτε από τον πρώτο είτε από τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα. Οι δυνάμεις αντίδρασης περιλαμβάνουν επίσης δυνάμεις που δρουν σε ένα σωματίδιο σε λεία επιφάνεια. Την φωνάζουν κανονική δύναμη αντίδρασης, δηλώνουν . Η δύναμη αντίδρασης κατευθύνεται πάντα κάθετα στην υπό εξέταση επιφάνεια. Η δύναμη που ασκείται σε μια λεία επιφάνεια από την πλευρά του σώματος ονομάζεται κανονική δύναμη πίεσης(). Σύμφωνα με τον τρίτο νόμο του Νεύτωνα, η δύναμη αντίδρασης είναι ίση σε μέγεθος με τη δύναμη της κανονικής πίεσης, αλλά τα διανύσματα αυτών των δυνάμεων είναι αντίθετα στην κατεύθυνση.

Ελαστική δύναμη. Ελαστικές δυνάμεις προκύπτουν στα σώματα εάν τα σώματα παραμορφωθούν, δηλ. αν αλλάξει το σχήμα του σώματος ή ο όγκος του. Όταν σταματήσει η παραμόρφωση, οι ελαστικές δυνάμεις εξαφανίζονται. Πρέπει να σημειωθεί ότι, αν και κατά την παραμόρφωση των σωμάτων προκύπτουν ελαστικές δυνάμεις, η παραμόρφωση δεν οδηγεί πάντα στην εμφάνιση ελαστικών δυνάμεων. Ελαστικές δυνάμεις προκύπτουν σε σώματα που είναι ικανά να αποκαταστήσουν το σχήμα τους μετά την παύση της εξωτερικής επιρροής. Τέτοια σώματα και οι αντίστοιχες παραμορφώσεις λέγονται ελαστικό. Με την πλαστική παραμόρφωση, οι αλλαγές δεν εξαφανίζονται εντελώς μετά την παύση της εξωτερικής επιρροής. Ένα εντυπωσιακό παράδειγμα της εκδήλωσης ελαστικών δυνάμεων μπορεί να είναι οι δυνάμεις που προκύπτουν σε ελατήρια που υπόκεινται σε παραμόρφωση. Για ελαστικές παραμορφώσεις που συμβαίνουν σε παραμορφωμένα σώματα, η ελαστική δύναμη είναι πάντα ανάλογη με το μέγεθος της παραμόρφωσης, δηλαδή:

, (5)

όπου είναι ο συντελεστής ελαστικότητας (ή ακαμψίας) του ελατηρίου, το διάνυσμα παραμόρφωσης του ελατηρίου.

Αυτή η δήλωση ονομάζεται Ο νόμος του Χουκ.

Δύναμη τριβής. Όταν ένα σώμα κινείται κατά μήκος της επιφάνειας ενός άλλου, προκύπτουν δυνάμεις που εμποδίζουν αυτή την κίνηση. Τέτοιες δυνάμεις συνήθως ονομάζονται δυνάμεις τριβής ολίσθησης. Το μέγεθος της στατικής δύναμης τριβής μπορεί να ποικίλλει ανάλογα με την εφαρμοζόμενη εξωτερική δύναμη. Σε μια ορισμένη τιμή της εξωτερικής δύναμης, η στατική δύναμη τριβής φτάνει τη μέγιστη τιμή της. Μετά από αυτό, το σώμα αρχίζει να γλιστράει. Έχει διαπιστωθεί πειραματικά ότι η δύναμη της τριβής ολίσθησης είναι ευθέως ανάλογη με τη δύναμη της κανονικής πίεσης του σώματος στην επιφάνεια.Σύμφωνα με τον τρίτο νόμο του Νεύτωνα, η δύναμη της κανονικής πίεσης ενός σώματος σε μια επιφάνεια είναι πάντα ίση με τη δύναμη αντίδρασης με την οποία η ίδια η επιφάνεια δρα σε ένα κινούμενο σώμα. Λαμβάνοντας αυτό υπόψη, ο τύπος για τον υπολογισμό του μεγέθους της δύναμης τριβής ολίσθησης έχει τη μορφή:

, (6)

πού είναι το μέγεθος της δύναμης αντίδρασης; συντελεστής τριβής ολίσθησης. Η δύναμη τριβής ολίσθησης που επενεργεί σε ένα κινούμενο σώμα στρέφεται πάντα ενάντια στην ταχύτητά του, κατά μήκος των επιφανειών επαφής.

Η δύναμη της αντίστασης. Όταν τα σώματα κινούνται σε υγρά και αέρια, προκύπτουν επίσης δυνάμεις τριβής, αλλά διαφέρουν σημαντικά από τις δυνάμεις της ξηρής τριβής. Αυτές οι δυνάμεις ονομάζονται ιξώδεις δυνάμεις τριβής, ή δυνάμεις αντίστασης. Οι δυνάμεις ιξώδους τριβής προκύπτουν μόνο κατά τη σχετική κίνηση των σωμάτων. Οι δυνάμεις αντίστασης εξαρτώνται από πολλούς παράγοντες, και συγκεκριμένα: από το μέγεθος και το σχήμα των σωμάτων, από τις ιδιότητες του μέσου (πυκνότητα, ιξώδες), από την ταχύτητα της σχετικής κίνησης. Σε χαμηλές ταχύτητες, η δύναμη έλξης είναι ευθέως ανάλογη με την ταχύτητα του σώματος σε σχέση με το μέσο, δηλαδή:

. (7)

Στις υψηλές ταχύτητες, η δύναμη οπισθέλκουσας είναι ανάλογη του τετραγώνου της ταχύτητας του σώματος σε σχέση με το μέσο, δηλ.:

, (8)

όπου ονομάζονται ορισμένοι συντελεστές αναλογικότητας συντελεστές αντίστασης.

Βασική εξίσωση δυναμικής

Η βασική εξίσωση της δυναμικής ενός υλικού σημείου δεν είναι παρά μια μαθηματική έκφραση του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα:

. (9)

Σε ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς, το άθροισμα όλων των δυνάμεων περιλαμβάνει μόνο δυνάμεις που είναι μέτρα αλληλεπιδράσεων· σε μη αδρανειακά συστήματα, το άθροισμα των δυνάμεων περιλαμβάνει αδρανειακές δυνάμεις.

Από μαθηματική άποψη, η σχέση (9) είναι μια διαφορική εξίσωση κίνησης ενός σημείου σε διανυσματική μορφή. Η επίλυσή του είναι το κύριο πρόβλημα της δυναμικής ενός υλικού σημείου.

Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων

Εργασία Νο. 1. Ένα ποτήρι τοποθετείται σε ένα φύλλο χαρτιού. Με ποια επιτάχυνση πρέπει να τεθεί σε κίνηση το φύλλο για να το τραβήξει από κάτω από το γυαλί, αν ο συντελεστής τριβής μεταξύ του γυαλιού και του φύλλου χαρτιού είναι 0,3;

Ας υποθέσουμε ότι με κάποια δύναμη που ασκείται σε ένα φύλλο χαρτιού, το γυαλί κινείται μαζί με το φύλλο. Ας απεικονίσουμε χωριστά τις δυνάμεις που δρουν σε ένα ποτήρι με μάζα . Τα ακόλουθα σώματα δρουν στο γυαλί: η Γη με τη δύναμη της βαρύτητας, ένα φύλλο χαρτιού με δύναμη αντίδρασης, ένα φύλλο χαρτιού με δύναμη τριβής που κατευθύνεται κατά μήκος της ταχύτητας κίνησης του γυαλιού. Η κίνηση του γυαλιού επιταχύνεται ομοιόμορφα, επομένως, το διάνυσμα επιτάχυνσης κατευθύνεται κατά μήκος της ταχύτητας κίνησης του γυαλιού.

Ας απεικονίσουμε το διάνυσμα επιτάχυνσης του γυαλιού στο σχήμα. Ας γράψουμε τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα σε διανυσματική μορφή για τις δυνάμεις που ασκούνται στο γυαλί:

Ας κατευθύνουμε τον άξονα OX κατά μήκος του διανύσματος επιτάχυνσης του γυαλιού και τον άξονα OY ¾ κατακόρυφα προς τα πάνω. Ας γράψουμε τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα σε προβολές σε αυτούς τους άξονες συντεταγμένων και ας λάβουμε τις ακόλουθες εξισώσεις:

(1.1)

Καθώς αυξάνεται η δύναμη που ασκεί το φύλλο χαρτιού, αυξάνεται το μέγεθος της δύναμης τριβής με την οποία το φύλλο χαρτιού δρα στο γυαλί. Σε μια ορισμένη τιμή της δύναμης, το μέγεθος της δύναμης τριβής φτάνει στη μέγιστη τιμή της, ίση σε μέγεθος με τη δύναμη τριβής ολίσθησης. Από αυτή τη στιγμή το ποτήρι αρχίζει να γλιστρά σε σχέση με την επιφάνεια του χαρτιού. Η οριακή τιμή της δύναμης τριβής σχετίζεται με τη δύναμη αντίδρασης που επενεργεί στο γυαλί ως εξής:

Από την ισότητα (1.2) εκφράζουμε το μέγεθος της δύναμης αντίδρασης και στη συνέχεια το αντικαθιστούμε στην τελευταία σχέση, έχουμε . Από τη σχέση που προκύπτει βρίσκουμε το μέγεθος της δύναμης τριβής και το βάζουμε στην ισότητα (1.1), λαμβάνουμε μια έκφραση για τον προσδιορισμό της μέγιστης επιτάχυνσης του γυαλιού:

Αντικαθιστώντας τις αριθμητικές τιμές των ποσοτήτων στην τελευταία ισότητα, βρίσκουμε την τιμή της μέγιστης επιτάχυνσης του γυαλιού:

Η προκύπτουσα τιμή επιτάχυνσης του γυαλιού είναι ίση με την ελάχιστη επιτάχυνση ενός φύλλου χαρτιού στο οποίο μπορεί να "τραβηχτεί" από κάτω από το γυαλί.

Απάντηση: .

Ας απεικονίσουμε όλες τις δυνάμεις που δρουν στο σώμα. Εκτός από την εξωτερική δύναμη, η Γη επιδρά στο σώμα με τη δύναμη της βαρύτητας, μια οριζόντια επιφάνεια με μια δύναμη αντίδρασης και μια δύναμη τριβής που στρέφεται ενάντια στην ταχύτητα του σώματος. Το σώμα κινείται ομοιόμορφα επιταχυνόμενο και, επομένως, το διάνυσμα της επιτάχυνσής του κατευθύνεται κατά μήκος της ταχύτητας κίνησης. Ας απεικονίσουμε το διάνυσμα στο σχήμα. Επιλέγουμε το σύστημα συντεταγμένων όπως φαίνεται στο σχήμα. Γράφουμε τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα σε διανυσματική μορφή:

Χρησιμοποιώντας την κύρια ιδιότητα των διανυσματικών ισοτήτων, καταγράφουμε τις εξισώσεις για τις προβολές των διανυσμάτων που περιλαμβάνονται στην τελευταία διανυσματική ισότητα:

Καταγράφουμε τη σχέση για τη δύναμη τριβής ολίσθησης

Από την ισότητα (2.2) βρίσκουμε το μέγεθος της δύναμης αντίδρασης

Από την παράσταση που προκύπτει, αντικαθιστούμε σε ισότητα (2.3) αντί για το μέγεθος της δύναμης αντίδρασης, λαμβάνουμε την έκφραση

Αντικαθιστώντας την προκύπτουσα έκφραση για τη δύναμη τριβής με ισότητα (2.1), θα έχουμε έναν τύπο για τον υπολογισμό της επιτάχυνσης του σώματος:

Αντικαθιστούμε τα αριθμητικά δεδομένα στο σύστημα SI στον τελευταίο τύπο και βρίσκουμε το μέγεθος της επιτάχυνσης του φορτίου:

Απάντηση: .

Για το ελάχιστο μέγεθος της δύναμης, προσδιορίζουμε την κατεύθυνση της δύναμης τριβής που δρα στο μπλοκ ηρεμίας. Ας φανταστούμε ότι η δύναμη είναι μικρότερη από την ελάχιστη δύναμη που αρκεί για να παραμείνει το σώμα σε ηρεμία. Σε αυτή την περίπτωση, το σώμα θα κινηθεί προς τα κάτω και η δύναμη τριβής που εφαρμόζεται σε αυτό θα κατευθυνθεί κατακόρυφα προς τα πάνω. Για να σταματήσετε το σώμα, πρέπει να αυξήσετε το μέγεθος της ασκούμενης δύναμης. Επιπλέον, σε αυτό το σώμα επιδρά η Γη με μια δύναμη βαρύτητας που κατευθύνεται κάθετα προς τα κάτω, καθώς και από έναν τοίχο με δύναμη αντίδρασης που κατευθύνεται οριζόντια προς τα αριστερά. Ας απεικονίσουμε στο σχήμα όλες τις δυνάμεις που δρουν στο σώμα. Ας πάρουμε ένα ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, οι άξονες του οποίου θα κατευθύνονται όπως φαίνεται στο σχήμα. Για ένα σώμα σε ηρεμία, γράφουμε τον πρώτο νόμο του Νεύτωνα σε διανυσματική μορφή:

Για τη διανυσματική ισότητα που βρέθηκε, γράφουμε τις ισότητες για τις προβολές των διανυσμάτων στους άξονες συντεταγμένων, λαμβάνουμε τις ακόλουθες εξισώσεις:

Σε μια ελάχιστη τιμή της εξωτερικής δύναμης, το μέγεθος της στατικής δύναμης τριβής φτάνει σε μια μέγιστη τιμή ίση με το μέγεθος της δύναμης τριβής ολίσθησης:

Από την ισότητα (3.1) βρίσκουμε το μέγεθος της δύναμης αντίδρασης και το αντικαθιστούμε με ισότητα (3.3), λαμβάνουμε την ακόλουθη έκφραση για τη δύναμη τριβής:

Ας αντικαταστήσουμε τη δεξιά πλευρά αυτής της σχέσης αντί της δύναμης τριβής στην ισότητα (3.2) και λάβουμε έναν τύπο για τον υπολογισμό του μεγέθους της ασκούμενης δύναμης:

Από τον τελευταίο τύπο βρίσκουμε το μέγεθος της δύναμης:

Απάντηση: .

Ας απεικονίσουμε όλες τις δυνάμεις που δρουν σε μια μπάλα που κινείται κάθετα προς τα κάτω στον αέρα. Επιδρά πάνω του από τη Γη με τη δύναμη της βαρύτητας και τον αέρα με τη δύναμη της αντίστασης. Ας απεικονίσουμε τις δυνάμεις που εξετάζονται στο σχήμα. Στην αρχική χρονική στιγμή, το προκύπτον όλων των δυνάμεων έχει μια μέγιστη τιμή, αφού η ταχύτητα της μπάλας είναι μηδέν και η δύναμη αντίστασης είναι επίσης μηδέν. Αυτή τη στιγμή η μπάλα έχει μέγιστη επιτάχυνση ίση με . Καθώς η μπάλα κινείται, η ταχύτητά της αυξάνεται και, κατά συνέπεια, αυξάνεται η δύναμη της αντίστασης του αέρα. Σε κάποια χρονική στιγμή, η δύναμη αντίστασης φτάνει σε τιμή ίση με τη δύναμη της βαρύτητας. Από αυτό το χρονικό σημείο η μπάλα κινείται ομοιόμορφα. Ας γράψουμε τον πρώτο νόμο του Νεύτωνα σε διανυσματική μορφή για την ομοιόμορφη κίνηση μιας μπάλας:

Ας κατευθύνουμε τον άξονα OY κάθετα προς τα κάτω. Για αυτή τη διανυσματική ισότητα, ας γράψουμε την ισότητα για τις προβολές των διανυσμάτων στον άξονα OY:

. (4.1)

Η δύναμη αντίστασης εξαρτάται από την περιοχή διατομής της μπάλας και το μέγεθος της ταχύτητάς της ως εξής:

, (4.2)

όπου είναι ο συντελεστής αναλογικότητας, που ονομάζεται συντελεστής αντίστασης.

Από τις ισότητες (4.1) και (4.2) προκύπτει η ακόλουθη σχέση:

. (4.3)

Ας εκφράσουμε τη μάζα της μπάλας μέσω της πυκνότητας και του όγκου της και τον όγκο, με τη σειρά της, μέσω της ακτίνας της μπάλας:

. (4.4)

Από αυτή την έκφραση βρίσκουμε τη μάζα και την αντικαθιστούμε με ισότητα (4.3), παίρνουμε την ακόλουθη ισότητα:

. (4.5)

Εκφράζουμε την περιοχή διατομής της μπάλας ως προς την ακτίνα της:

Λαμβάνοντας υπόψη τη σχέση (4.6), η ισότητα (4.5) θα έχει την ακόλουθη μορφή:

Ας υποδηλώσουμε ως την ακτίνα της πρώτης μπάλας. ως η ακτίνα της δεύτερης μπάλας. Ας γράψουμε τους τύπους για τις ταχύτητες σταθερής κίνησης της πρώτης και της δεύτερης μπάλας:

Από τις ισότητες που προέκυψαν βρίσκουμε τον λόγο ταχύτητας:

Από τις συνθήκες του προβλήματος, ο λόγος των ακτίνων των σφαιρών είναι ίσος με δύο. Χρησιμοποιώντας αυτή τη συνθήκη, βρίσκουμε την αναλογία ταχύτητας:

Απάντηση: .

Ένα σώμα που κινείται προς τα πάνω κατά μήκος ενός κεκλιμένου επιπέδου δέχεται δράση από εξωτερικά σώματα: α) Γη με τη βαρύτητα που κατευθύνεται κατακόρυφα προς τα κάτω. β) κεκλιμένο επίπεδο με δύναμη αντίδρασης κατευθυνόμενη κάθετα στο κεκλιμένο επίπεδο. γ) κεκλιμένο επίπεδο με δύναμη τριβής που στρέφεται ενάντια στην κίνηση του σώματος. δ) εξωτερικό σώμα με δύναμη κατευθυνόμενη προς τα πάνω κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου. Υπό την επίδραση αυτών των δυνάμεων, το σώμα κινείται ομοιόμορφα επιταχυνόμενο προς τα πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο και, επομένως, το διάνυσμα της επιτάχυνσης κατευθύνεται κατά μήκος της κίνησης του σώματος. Ας απεικονίσουμε το διάνυσμα της επιτάχυνσης στο σχήμα. Ας γράψουμε τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα σε διανυσματική μορφή:

Ας επιλέξουμε ένα ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, του οποίου ο άξονας OX κατευθύνεται κατά μήκος της επιτάχυνσης του σώματος και ο άξονας OY κατευθύνεται κάθετα στο κεκλιμένο επίπεδο. Ας γράψουμε τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα σε προβολές σε αυτούς τους άξονες συντεταγμένων και ας λάβουμε τις ακόλουθες εξισώσεις:

Η δύναμη τριβής ολίσθησης σχετίζεται με τη δύναμη αντίδρασης με την ακόλουθη σχέση:

Από την ισότητα (5.2) βρίσκουμε το μέγεθος της δύναμης αντίδρασης και το αντικαθιστούμε με ισότητα (5.3), έχουμε την ακόλουθη έκφραση για τη δύναμη τριβής:

. (5.4)

Αντικαθιστώντας τη δεξιά πλευρά της ισότητας (5.4) με την ισότητα (5.1) αντί της δύναμης τριβής, λαμβάνουμε την ακόλουθη εξίσωση για τον υπολογισμό του μεγέθους της απαιτούμενης δύναμης:

Ας υπολογίσουμε το μέγεθος της δύναμης:

Απάντηση: .

Ας απεικονίσουμε όλες τις δυνάμεις που δρουν στα σώματα και στο μπλοκ. Ας εξετάσουμε τη διαδικασία κίνησης των σωμάτων που συνδέονται με ένα νήμα που ρίχνεται πάνω από ένα μπλοκ. Το νήμα είναι αβαρές και μη εκτατό, επομένως, το μέγεθος της δύναμης τάσης σε οποιοδήποτε τμήμα του νήματος θα είναι το ίδιο, δηλ. Και .

Οι μετατοπίσεις των σωμάτων σε οποιαδήποτε χρονική περίοδο θα είναι οι ίδιες και, επομένως, ανά πάσα στιγμή οι τιμές των ταχυτήτων και των επιταχύνσεων αυτών των σωμάτων θα είναι οι ίδιες. Από το γεγονός ότι το μπλοκ περιστρέφεται χωρίς τριβή και είναι αβαρές, προκύπτει ότι η δύναμη τάνυσης του νήματος και στις δύο πλευρές του μπλοκ θα είναι η ίδια, δηλ.: .

Αυτό συνεπάγεται την ισότητα των δυνάμεων τάσης του νήματος που δρουν στο πρώτο και το δεύτερο σώμα, δηλ. . Ας απεικονίσουμε στο σχήμα τα διανύσματα επιτάχυνσης του πρώτου και του δεύτερου σώματος. Ας απεικονίσουμε δύο άξονες OX. Ας κατευθύνουμε τον πρώτο άξονα κατά μήκος του διανύσματος επιτάχυνσης του πρώτου σώματος, ο δεύτερος - κατά μήκος του διανύσματος επιτάχυνσης του δεύτερου σώματος. Ας γράψουμε τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα για κάθε σώμα σε προβολή σε αυτούς τους άξονες συντεταγμένων:

Λαμβάνοντας υπόψη ότι και εκφράζοντας από την πρώτη εξίσωση, αντικαθιστούμε στη δεύτερη εξίσωση, παίρνουμε

Από την τελευταία ισότητα βρίσκουμε την τιμή της επιτάχυνσης:

Από την ισότητα (1) βρίσκουμε το μέγεθος της δύναμης τάσης:

Απάντηση: , .

Καθώς ο μικρός δακτύλιος περιστρέφεται γύρω από την περιφέρειά του, δύο δυνάμεις ενεργούν πάνω του: η δύναμη της βαρύτητας, που κατευθύνεται κάθετα προς τα κάτω, και η δύναμη αντίδρασης, που κατευθύνεται προς το κέντρο του δακτυλίου. Ας απεικονίσουμε αυτές τις δυνάμεις στο σχήμα και ας δείξουμε επίσης σε αυτό την τροχιά του δακτυλίου. Το κεντρομόλο διάνυσμα επιτάχυνσης του δακτυλίου βρίσκεται στο επίπεδο της τροχιάς και κατευθύνεται προς τον άξονα περιστροφής. Ας το απεικονίσουμε στην εικόνα. Ας γράψουμε τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα σε διανυσματική μορφή για έναν περιστρεφόμενο δακτύλιο:

Ας επιλέξουμε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, ο άξονας OX του οποίου θα κατευθύνεται κατά μήκος της κεντρομόλου επιτάχυνσης και ο άξονας OY - κατακόρυφα προς τα πάνω κατά μήκος του άξονα περιστροφής. Ας γράψουμε τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα σε προβολές σε αυτούς τους άξονες συντεταγμένων:

Από την ισότητα (7.2) βρίσκουμε το μέγεθος της δύναμης αντίδρασης και το αντικαθιστούμε με ισότητα (7.1), παίρνουμε την έκφραση:

. (7.3)

Η κεντρομόλος επιτάχυνση σχετίζεται με την ταχύτητα περιστροφής ως εξής: , όπου είναι η ακτίνα περιστροφής του μικρού δακτυλίου. Αντικαθιστώντας τη δεξιά πλευρά της τελευταίας ισότητας με τον τύπο (7.3), λαμβάνουμε την ακόλουθη σχέση:

. (7.4)

Από το σχήμα βρίσκουμε την τιμή της εφαπτομένης της γωνίας άλφα . Λαμβάνοντας υπόψη αυτήν την έκφραση, η ισότητα (7.4) θα έχει τη μορφή:

Από την τελευταία εξίσωση βρίσκουμε το απαιτούμενο ύψος:

Απάντηση: .

Τρεις δυνάμεις δρουν σε ένα σώμα που περιστρέφεται με το δίσκο: βαρύτητα, δύναμη αντίδρασης και δύναμη τριβής που κατευθύνεται προς τον άξονα περιστροφής. Ας απεικονίσουμε όλες τις δυνάμεις στο σχήμα. Ας δείξουμε σε αυτό το σχήμα την κατεύθυνση του διανύσματος της κεντρομόλου επιτάχυνσης. Γράφουμε τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα σε διανυσματική μορφή:

Ας επιλέξουμε ένα ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων όπως φαίνεται στο σχήμα. Ας γράψουμε τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα σε προβολές στους άξονες συντεταγμένων:

; (8.1)

. (8.2)

Ας γράψουμε τη σχέση για την κεντρομόλο επιτάχυνση:

. (8.3)

Ας αντικαταστήσουμε τη δεξιά πλευρά της ισότητας (8.3) αντί της κεντρομόλου επιτάχυνσης με την ισότητα (8.1), παίρνουμε:

. (8.4)

Από την ισότητα (8.4) είναι σαφές ότι το μέγεθος της δύναμης τριβής είναι ευθέως ανάλογο με την ακτίνα περιστροφής, επομένως, καθώς αυξάνεται η ακτίνα περιστροφής, αυξάνεται η δύναμη στατικής τριβής και σε μια ορισμένη τιμή η στατική δύναμη τριβής φτάνει σε ένα μέγιστη τιμή ίση με τη δύναμη τριβής ολίσθησης ().

Λαμβάνοντας υπόψη την ισότητα (8.2), λαμβάνουμε εκφράσεις για τη μέγιστη στατική δύναμη τριβής:

Αντικαθιστώντας τη δεξιά πλευρά της ισότητας που προκύπτει αντί της δύναμης τριβής με την ισότητα (4), παίρνουμε την ακόλουθη σχέση:

Από αυτή την εξίσωση βρίσκουμε την οριακή τιμή της ακτίνας περιστροφής:

Απάντηση: .

Κατά τη διάρκεια της πτήσης μιας σταγόνας, δύο δυνάμεις ενεργούν πάνω της: η βαρύτητα και η δύναμη έλξης. Ας απεικονίσουμε όλες τις δυνάμεις στο σχήμα. Ας επιλέξουμε έναν κατακόρυφα κατευθυνόμενο άξονα ΟΥ, η αρχή του οποίου θα βρίσκεται στην επιφάνεια της Γης. Ας γράψουμε τη βασική εξίσωση της δυναμικής:

Προβάλλοντας την ισότητα στον άξονα OY, θα έχουμε την ακόλουθη σχέση:

Ας διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές της τελευταίας ισότητας με και ας πολλαπλασιάσουμε ταυτόχρονα και τις δύο πλευρές με , λαμβάνοντας υπόψη ότι, έχουμε την έκφραση:

Ας διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές αυτής της έκφρασης με , παίρνουμε τη σχέση:

Ενσωματώνουμε την τελευταία σχέση και λαμβάνουμε την εξάρτηση της ταχύτητας από το χρόνο: .

Βρίσκουμε τη σταθερά από τις αρχικές συνθήκες ( ), λαμβάνουμε την επιθυμητή εξάρτηση της ταχύτητας από το χρόνο:

Καθορίζουμε τη μέγιστη ταχύτητα από τη συνθήκη :

Απάντηση: ; .

Ας απεικονίσουμε στο σχήμα τις δυνάμεις που δρουν στον ξωτικό. Ας γράψουμε τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα σε προβολές στους άξονες OX, OY και OZ

Επειδή , τότε για ολόκληρη την τροχιά της κίνησης της ροδέλας ισχύει ο τύπος για τη δύναμη τριβής, η οποία, λαμβάνοντας υπόψη την ισότητα για το OZ, μετατρέπεται στη μορφή:

Λαμβάνοντας υπόψη αυτή τη σχέση, η ισότητα για τον άξονα OX θα λάβει τη μορφή

Προβάλλουμε τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα στην εφαπτομένη της τροχιάς του ξωτικού στο σημείο που εξετάζουμε και λαμβάνουμε τη σχέση:

πού είναι το μέγεθος της εφαπτομενικής επιτάχυνσης. Συγκρίνοντας τις δεξιές πλευρές των τελευταίων ισοτήτων, συμπεραίνουμε ότι .

Αφού και , τότε λαμβάνοντας υπόψη την προηγούμενη σχέση έχουμε την ισότητα , η ολοκλήρωση της οποίας οδηγεί στην έκφραση , όπου είναι η σταθερά ολοκλήρωσης. Ας αντικαταστήσουμε στην τελευταία έκφραση , λαμβάνουμε την εξάρτηση της ταχύτητας από τη γωνία:

Ας προσδιορίσουμε τη σταθερά από τις αρχικές συνθήκες (όταν . ) . Λαμβάνοντας αυτό υπόψη, καταγράφουμε την τελική εξάρτηση

Η ελάχιστη τιμή ταχύτητας επιτυγχάνεται όταν και το διάνυσμα ταχύτητας κατευθύνεται παράλληλα προς τον άξονα OX και η τιμή του είναι ίση με .

Η αρχή των πιθανών κινήσεων: για την ισορροπία ενός μηχανικού συστήματος με ιδανικές συνδέσεις, είναι απαραίτητο και αρκετό το άθροισμα των στοιχειωδών έργων όλων των ενεργών δυνάμεων που δρουν σε αυτό για κάθε πιθανή μετατόπιση να είναι ίσο με μηδέν. ή σε προβολές: .

Η αρχή των πιθανών μετατοπίσεων παρέχει σε γενική μορφή τις συνθήκες ισορροπίας για οποιοδήποτε μηχανικό σύστημα και παρέχει μια γενική μέθοδο για την επίλυση στατικών προβλημάτων.

Εάν το σύστημα έχει πολλούς βαθμούς ελευθερίας, τότε η εξίσωση της αρχής των πιθανών κινήσεων συντάσσεται για καθεμία από τις ανεξάρτητες κινήσεις χωριστά, δηλ. θα υπάρχουν τόσες εξισώσεις όσες το σύστημα έχει βαθμούς ελευθερίας.

Η αρχή των πιθανών μετατοπίσεων είναι βολική στο ότι όταν εξετάζουμε ένα σύστημα με ιδανικές συνδέσεις, οι αντιδράσεις τους δεν λαμβάνονται υπόψη και είναι απαραίτητο να λειτουργεί μόνο με ενεργές δυνάμεις.

Η αρχή των πιθανών κινήσεων διατυπώνεται ως εξής:

Για να έχει σημασία. ένα σύστημα που υπόκειται σε ιδανικές συνδέσεις βρίσκεται σε κατάσταση ηρεμίας· είναι απαραίτητο και επαρκές το άθροισμα της στοιχειώδους εργασίας που εκτελείται από ενεργές δυνάμεις σε πιθανές μετατοπίσεις σημείων στο σύστημα να είναι θετικό

Γενική εξίσωση δυναμικής - όταν ένα σύστημα κινείται με ιδανικές συνδέσεις σε οποιαδήποτε δεδομένη χρονική στιγμή, το άθροισμα των στοιχειωδών έργων όλων των εφαρμοζόμενων ενεργών δυνάμεων και όλων των αδρανειακών δυνάμεων σε οποιαδήποτε πιθανή κίνηση του συστήματος θα είναι ίσο με μηδέν. Η εξίσωση χρησιμοποιεί την αρχή των πιθανών μετατοπίσεων και την αρχή του D'Alembert και σας επιτρέπει να συνθέσετε διαφορικές εξισώσεις κίνησης οποιουδήποτε μηχανικού συστήματος. Δίνει μια γενική μέθοδο για την επίλυση δυναμικών προβλημάτων.

Ακολουθία μεταγλώττισης:

α) οι καθορισμένες δυνάμεις που ασκούνται σε αυτό εφαρμόζονται σε κάθε σώμα και εφαρμόζονται επίσης υπό όρους δυνάμεις και ροπές ζευγών αδρανειακών δυνάμεων.

β) ενημερώνει το σύστημα για πιθανές μετακινήσεις.

γ) να συντάξετε εξισώσεις για την αρχή των πιθανών κινήσεων, θεωρώντας ότι το σύστημα βρίσκεται σε ισορροπία.

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι η γενική εξίσωση δυναμικής μπορεί να εφαρμοστεί και σε συστήματα με μη ιδανικές συνδέσεις, μόνο στην περίπτωση αυτή οι αντιδράσεις των μη ιδανικών συνδέσεων, όπως η δύναμη τριβής ή η ροπή τριβής κύλισης, πρέπει να ταξινομηθούν ως ενεργές δυνάμεις .

Η εργασία για πιθανή μετατόπιση τόσο των ενεργών όσο και των αδρανειακών δυνάμεων αναζητείται με τον ίδιο τρόπο όπως η στοιχειώδης εργασία για την πραγματική μετατόπιση:

Πιθανό έργο δύναμης: .

Πιθανό έργο της στιγμής (ζεύγος δυνάμεων): .

Γενικευμένες συντεταγμένες ενός μηχανικού συστήματος είναι οι παράμετροι q 1 , q 2 , ..., q S, ανεξάρτητες μεταξύ τους, οποιασδήποτε διάστασης, οι οποίες καθορίζουν μοναδικά τη θέση του συστήματος ανά πάσα στιγμή.

Ο αριθμός των γενικευμένων συντεταγμένων είναι ίσος με μικρό - ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας του μηχανικού συστήματος. Η θέση κάθε ν-ου σημείου του συστήματος, δηλαδή το διάνυσμα ακτίνας του, στη γενική περίπτωση, μπορεί πάντα να εκφραστεί ως συνάρτηση γενικευμένων συντεταγμένων:

Η γενική εξίσωση της δυναμικής σε γενικευμένες συντεταγμένες μοιάζει με ένα σύστημα εξισώσεων S ως εξής:

;

……..………. ;

(25)

………..……. ;

Εδώ είναι η γενικευμένη δύναμη που αντιστοιχεί στη γενικευμένη συντεταγμένη:

(26)

α είναι η γενικευμένη αδρανειακή δύναμη που αντιστοιχεί στη γενικευμένη συντεταγμένη:

Ο αριθμός των αμοιβαία ανεξάρτητων πιθανών κινήσεων ενός συστήματος ονομάζεται αριθμός βαθμών ελευθερίας αυτού του συστήματος. Για παράδειγμα. μια μπάλα σε ένα επίπεδο μπορεί να κινηθεί προς οποιαδήποτε κατεύθυνση, αλλά οποιαδήποτε πιθανή κίνησή της μπορεί να ληφθεί ως το γεωμετρικό άθροισμα δύο κινήσεων κατά μήκος δύο αμοιβαία κάθετων αξόνων. Ένα ελεύθερο άκαμπτο σώμα έχει 6 βαθμούς ελευθερίας.

Γενικευμένες δυνάμεις.Για κάθε γενικευμένη συντεταγμένη μπορεί κανείς να υπολογίσει την αντίστοιχη γενικευμένη δύναμη Q k.

Ο υπολογισμός γίνεται σύμφωνα με αυτόν τον κανόνα.

Να προσδιοριστεί η γενικευμένη δύναμη Q k, που αντιστοιχεί στη γενικευμένη συντεταγμένη q k, πρέπει να δώσετε σε αυτή τη συντεταγμένη μια αύξηση (αυξήστε τη συντεταγμένη κατά αυτό το ποσό), αφήνοντας όλες τις άλλες συντεταγμένες αμετάβλητες, να υπολογίσετε το άθροισμα του έργου όλων των δυνάμεων που εφαρμόζονται στο σύστημα στις αντίστοιχες μετατοπίσεις των σημείων και να το διαιρέσετε με την αύξηση του η συντεταγμένη:

(7)

πού είναι η μετατόπιση Εγώ-αυτό το σημείο του συστήματος, που λαμβάνεται με αλλαγή κ-αυτή η γενικευμένη συντεταγμένη.

Η γενικευμένη δύναμη προσδιορίζεται χρησιμοποιώντας στοιχειώδη εργασία. Επομένως, αυτή η δύναμη μπορεί να υπολογιστεί διαφορετικά:

Και επειδή υπάρχει μια αύξηση του διανύσματος ακτίνας λόγω της αύξησης της συντεταγμένης με άλλες σταθερές συντεταγμένες και χρόνο t, η σχέση μπορεί να οριστεί ως μερική παράγωγος. Επειτα

όπου οι συντεταγμένες των σημείων είναι συναρτήσεις γενικευμένων συντεταγμένων (5).

Εάν το σύστημα είναι συντηρητικό, δηλαδή, η κίνηση λαμβάνει χώρα υπό την επίδραση δυνητικών δυνάμεων πεδίου, οι προβολές των οποίων είναι , όπου , και οι συντεταγμένες των σημείων είναι συναρτήσεις γενικευμένων συντεταγμένων, λοιπόν

Η γενικευμένη δύναμη ενός συντηρητικού συστήματος είναι η μερική παράγωγος της δυναμικής ενέργειας κατά μήκος της αντίστοιχης γενικευμένης συντεταγμένης με πρόσημο μείον.

Φυσικά, κατά τον υπολογισμό αυτής της γενικευμένης δύναμης, η δυναμική ενέργεια θα πρέπει να προσδιορίζεται ως συνάρτηση των γενικευμένων συντεταγμένων

P = P( q 1 , q 2 , q 3 ,…,qs).

Σημειώσεις.

Πρώτα. Κατά τον υπολογισμό των γενικευμένων δυνάμεων αντίδρασης, οι ιδανικές συνδέσεις δεν λαμβάνονται υπόψη.

Δεύτερος. Η διάσταση της γενικευμένης δύναμης εξαρτάται από τη διάσταση της γενικευμένης συντεταγμένης.

Εξισώσεις Lagrange 2ου είδουςπροέρχονται από τη γενική εξίσωση της δυναμικής σε γενικευμένες συντεταγμένες. Ο αριθμός των εξισώσεων αντιστοιχεί στον αριθμό των βαθμών ελευθερίας:

(28)

Για να συνταχθεί η εξίσωση Lagrange του 2ου είδους, επιλέγονται γενικευμένες συντεταγμένες και βρίσκονται γενικευμένες ταχύτητες . Βρίσκεται η κινητική ενέργεια του συστήματος, η οποία είναι συνάρτηση γενικευμένων ταχυτήτων , και, σε ορισμένες περιπτώσεις, γενικευμένες συντεταγμένες. Εκτελούνται οι πράξεις διαφοροποίησης της κινητικής ενέργειας που παρέχεται από τις αριστερές πλευρές των εξισώσεων Lagrange. Οι παραστάσεις που προκύπτουν εξισώνονται με γενικευμένες δυνάμεις, για την εύρεση των οποίων, εκτός από τους τύπους (26), χρησιμοποιούνται συχνά τα ακόλουθα κατά την επίλυση προβλημάτων:

(29)

Στον αριθμητή στη δεξιά πλευρά του τύπου είναι το άθροισμα των στοιχειωδών έργων όλων των ενεργών δυνάμεων στην πιθανή μετατόπιση του συστήματος που αντιστοιχεί στη μεταβολή της i-ης γενικευμένης συντεταγμένης - . Με αυτή την πιθανή κίνηση, όλες οι άλλες γενικευμένες συντεταγμένες δεν αλλάζουν. Οι εξισώσεις που προκύπτουν είναι διαφορικές εξισώσεις κίνησης ενός μηχανικού συστήματος με μικρό βαθμοί ελευθερίας.

Σε αυτήν την περίπτωση (229) παίρνει μία από τις μορφές:

. (230)

η γενική εξίσωση της δυναμικής μπορεί να δοθεί η μορφή

Με αυτή τη μορφή ονομάζεται γενική εξίσωση δυναμικής σε αναλυτική μορφή.

αν η γωνία αναφέρεται στην κατεύθυνση του τόξου γωνιακής επιτάχυνσης.

Η αρχή των πιθανών μετατοπίσεων παρέχει μια γενική μέθοδο για την επίλυση στατικών προβλημάτων. Από την άλλη πλευρά, η αρχή του d'Alembert επιτρέπει τη χρήση στατικών μεθόδων για την επίλυση δυναμικών προβλημάτων. Επομένως, εφαρμόζοντας αυτές τις δύο αρχές ταυτόχρονα, μπορούμε να αποκτήσουμε μια γενική μέθοδο για την επίλυση προβλημάτων δυναμικής.

Ας εξετάσουμε ένα σύστημα υλικών σημείων στα οποία επιβάλλονται ιδανικές συνδέσεις. Αν προσθέσουμε τις αντίστοιχες αδρανειακές δυνάμεις σε όλα τα σημεία του συστήματος, εκτός από τις ενεργές δυνάμεις και τις αντιδράσεις αντίδρασης που δρουν σε αυτά, τότε σύμφωνα με την αρχή του d'Alembert, το προκύπτον σύστημα δυνάμεων θα είναι σε ισορροπία. Στη συνέχεια, εφαρμόζοντας την αρχή των πιθανών μετατοπίσεων σε αυτές τις δυνάμεις, παίρνουμε

Αλλά το τελευταίο άθροισμα κατά συνθήκη (98) είναι ίσο με μηδέν και τελικά θα είναι:

Από το ληφθέν αποτέλεσμα προκύπτει η ακόλουθη αρχή D'Alembert-Lagrange: όταν κινείται ένα μηχανικό σύστημα με ιδανικές συνδέσεις, σε κάθε χρονική στιγμή το άθροισμα των στοιχειωδών έργων όλων των εφαρμοζόμενων ενεργών δυνάμεων και όλων των αδρανειακών δυνάμεων σε οποιαδήποτε πιθανή κίνηση του συστήματος θα είναι ίσο με μηδέν.

Η εξίσωση (102), που εκφράζει αυτή την αρχή, ονομάζεται γενική εξίσωση της δυναμικής. Σε αναλυτική μορφή, η εξίσωση (102) έχει τη μορφή

Οι εξισώσεις (102) ή (103) μας επιτρέπουν να συνθέσουμε διαφορικές εξισώσεις κίνησης ενός μηχανικού συστήματος.

Εάν το σύστημα είναι μια συλλογή ορισμένων στερεών σωμάτων, τότε για να συντάξουμε εξισώσεις είναι απαραίτητο να προσθέσουμε στις ενεργές δυνάμεις που δρουν σε κάθε σώμα μια δύναμη που εφαρμόζεται σε οποιοδήποτε κέντρο ίση με το κύριο διάνυσμα των δυνάμεων αδράνειας και ένα ζεύγος με μια ροπή ίση με την κύρια ροπή των δυνάμεων αδράνειας σε σχέση με αυτό το κέντρο (ή μία από αυτές τις τιμές, βλ. § 134), και στη συνέχεια εφαρμόστε την αρχή των πιθανών κινήσεων.

Πρόβλημα 173. Σε έναν φυγόκεντρο ρυθμιστή που περιστρέφεται ομοιόμορφα γύρω από έναν κατακόρυφο άξονα με γωνιακή ταχύτητα c (Εικ. 362), το βάρος καθεμιάς από τις σφαίρες και είναι ίσο με το βάρος της ζεύξης ίσο με Q. Παραμέληση του βάρους των ράβδων , προσδιορίστε τη γωνία a if

Λύση. Προσθέτουμε φυγόκεντρες αδρανειακές δυνάμεις στις ενεργές δυνάμεις (η αδρανειακή δύναμη της σύζευξης θα είναι προφανώς ίση με μηδέν) και συνθέτουμε τη γενική δυναμική εξίσωση στη μορφή (103). Στη συνέχεια, υπολογίζοντας τις προβολές όλων των δυνάμεων στους άξονες συντεταγμένων, παίρνουμε

Οι συντεταγμένες των σημείων εφαρμογής των δυνάμεων είναι ίσες:

Διαφοροποιώντας αυτές τις εκφράσεις, βρίσκουμε:

Αντικαθιστώντας όλες τις τιμές που βρέθηκαν στην εξίσωση (α), παίρνουμε

Από εδώ επιτέλους

Δεδομένου ότι οι μπάλες θα αποκλίνουν όταν . Με την αύξηση της γωνίας a αυξάνεται, τείνει στις 90° στο

Πρόβλημα 174. Στον ανελκυστήρα που φαίνεται στο Σχ. 363, μια περιστροφική ροπή Μ εφαρμόζεται σε ένα γρανάζι που έχει βάρος και ακτίνα αδράνειας σε σχέση με τον άξονά του. Προσδιορίστε την επιτάχυνση ενός ανυψωμένου φορτίου 3 με ένα βάρος Q, αγνοώντας το βάρος του σχοινιού και την τριβή στους άξονες. Το τύμπανο στο οποίο τυλίγεται το σχοινί είναι άκαμπτα συνδεδεμένο με άλλο εργαλείο. Το συνολικό τους βάρος είναι ίσο με , και η ακτίνα αδράνειας σε σχέση με τον άξονα περιστροφής Οι ακτίνες των γραναζιών είναι ίσες, αντίστοιχα, με την ακτίνα του τυμπάνου.

Λύση. Απεικονίζουμε την ενεργό δύναμη Q και τη ροπή M που ενεργούν στο σύστημα (οι δυνάμεις δεν λειτουργούν). προσθέτουμε σε αυτά την αδρανειακή δύναμη του φορτίου και το ζεύγος με ροπές και στην οποία μειώνονται οι αδρανειακές δυνάμεις των περιστρεφόμενων σωμάτων (βλ. § 134).