Αρνητικοί αριθμοί στον κύκλο αριθμών. Μάθημα "κύκλος αριθμών"

Εάν είστε ήδη εξοικειωμένοι με τριγωνομετρικός κύκλος , και θέλετε απλώς να ανανεώσετε τη μνήμη σας για ορισμένα στοιχεία ή είστε εντελώς ανυπόμονοι, τότε ορίστε:

Εδώ θα αναλύσουμε τα πάντα λεπτομερώς βήμα προς βήμα.

Ο τριγωνομετρικός κύκλος δεν είναι πολυτέλεια, αλλά ανάγκη

Τριγωνομετρία Πολλοί το συνδέουν με ένα αδιαπέραστο αλσύλλιο. Ξαφνικά, συσσωρεύονται τόσες πολλές τιμές τριγωνομετρικών συναρτήσεων, τόσοι πολλοί τύποι... Αλλά είναι σαν να μην λειτούργησε στην αρχή, και... πάμε... πλήρης παρεξήγηση...

Είναι πολύ σημαντικό να μην τα παρατάτε τιμές τριγωνομετρικών συναρτήσεων, - λένε, μπορείτε πάντα να κοιτάξετε το κίνητρο με έναν πίνακα τιμών.

Αν κοιτάτε συνεχώς έναν πίνακα με τις τιμές των τριγωνομετρικών τύπων, ας απαλλαγούμε από αυτή τη συνήθεια!

Θα μας βοηθήσει! Θα το δουλέψετε αρκετές φορές και μετά θα εμφανιστεί στο μυαλό σας. Πώς είναι καλύτερο από ένα τραπέζι; Ναι, στον πίνακα θα βρείτε έναν περιορισμένο αριθμό τιμών, αλλά στον κύκλο - ΤΑ ΠΑΝΤΑ!

Για παράδειγμα, πείτε κοιτάζοντας τυπικός πίνακας τιμών τριγωνομετρικών τύπων , ποιο είναι το ημίτονο ίσο με, ας πούμε, 300 μοίρες, ή -45.

Δεν υπάρχει τρόπος;.. μπορείτε, φυσικά, να συνδεθείτε τύποι μείωσης... Και κοιτάζοντας τον τριγωνομετρικό κύκλο, μπορείτε εύκολα να απαντήσετε σε τέτοιες ερωτήσεις. Και σύντομα θα μάθετε πώς!

Και όταν λύνουμε τριγωνομετρικές εξισώσεις και ανισώσεις χωρίς τριγωνομετρικό κύκλο, δεν υπάρχει πουθενά.

Εισαγωγή στον τριγωνομετρικό κύκλο

Πάμε με τη σειρά.

Αρχικά, ας γράψουμε αυτή τη σειρά αριθμών:

Και τώρα αυτό:

Και τέλος αυτό:

Φυσικά, είναι σαφές ότι, στην πραγματικότητα, στην πρώτη θέση είναι , στη δεύτερη θέση είναι , και στην τελευταία θέση είναι . Δηλαδή θα μας ενδιαφέρει περισσότερο η αλυσίδα.

Μα πόσο όμορφο έγινε! Αν συμβεί κάτι, θα αποκαταστήσουμε αυτή τη «θαυματουργή σκάλα».

Και γιατί το χρειαζόμαστε;

Αυτή η αλυσίδα είναι οι κύριες τιμές του ημιτόνου και του συνημιτόνου κατά το πρώτο τρίμηνο.

Ας σχεδιάσουμε έναν κύκλο μοναδιαίας ακτίνας σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων (δηλαδή παίρνουμε οποιαδήποτε ακτίνα σε μήκος και δηλώνουμε το μήκος της ως μονάδα).

Από τη δέσμη «0-Start» τοποθετούμε τις γωνίες προς την κατεύθυνση του βέλους (βλ. εικόνα).

Παίρνουμε τα αντίστοιχα σημεία στον κύκλο. Έτσι, αν προβάλλουμε τα σημεία σε κάθε έναν από τους άξονες, τότε θα πάρουμε ακριβώς τις τιμές από την παραπάνω αλυσίδα.

Γιατί είναι αυτό, ρωτάτε;

Ας μην τα αναλύουμε όλα. Ας σκεφτούμε αρχή, που θα σας επιτρέψει να αντιμετωπίσετε άλλες, παρόμοιες καταστάσεις.

Το τρίγωνο AOB είναι ορθογώνιο και περιέχει . Και ξέρουμε ότι απέναντι από τη γωνία β βρίσκεται ένα πόδι στο μισό μέγεθος της υποτείνουσας (έχουμε την υποτείνουσα = την ακτίνα του κύκλου, δηλαδή 1).

Αυτό σημαίνει ΑΒ= (και επομένως ΟΜ=). Και σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα

Ελπίζω κάτι να είναι ήδη ξεκάθαρο;

Άρα το σημείο Β θα αντιστοιχεί στην τιμή και το σημείο Μ θα αντιστοιχεί στην τιμή

Το ίδιο και οι άλλες αξίες του πρώτου τριμήνου.

Όπως καταλαβαίνετε, ο γνωστός άξονας (βόδι) θα είναι άξονα συνημιτόνουκαι ο άξονας (oy) – άξονα ημιτόνων . Αργότερα.

Στα αριστερά του μηδενός κατά μήκος του άξονα συνημιτόνου (κάτω από το μηδέν κατά μήκος του άξονα ημιτόνου) θα υπάρχουν, φυσικά, αρνητικές τιμές.

Να, λοιπόν, ο ΠΑΝΔΥΝΑΤΟΣ, χωρίς τον οποίο δεν υπάρχει πουθενά στην τριγωνομετρία.

Αλλά θα μιλήσουμε για το πώς να χρησιμοποιήσουμε τον τριγωνομετρικό κύκλο.

Κεφάλαιο 2
3) αριθμός

Ας βάλουμε ένα σημείο στην αλληλογραφία.

Ας ονομάσουμε τον κύκλο μονάδας με καθιερωμένη αντιστοιχία

κύκλος αριθμών.

Αυτό είναι το δεύτερο γεωμετρικό μοντέλο για το σύνολο του πραγματικού

αριθμοί. Οι μαθητές γνωρίζουν ήδη το πρώτο μοντέλο - την αριθμητική γραμμή. Τρώω

αναλογία: για την αριθμητική γραμμή, ο κανόνας αντιστοιχίας (από αριθμό σε σημείο)

σχεδόν κυριολεκτικά το ίδιο. Αλλά υπάρχει μια θεμελιώδης διαφορά - η πηγή

κύριες δυσκολίες στην εργασία με τον αριθμητικό κύκλο: σε ευθεία γραμμή, το καθένα

το σημείο αντιστοιχεί ο μοναδικόςαριθμός, αυτό δεν συμβαίνει στον κύκλο. Αν

Ο κύκλος αντιστοιχεί σε έναν αριθμό, μετά αντιστοιχεί σε όλους

αριθμούς του εντύπου

Όπου είναι το μήκος του μοναδιαίου κύκλου και είναι ακέραιος

Ρύζι. 1

ένας αριθμός που υποδεικνύει τον αριθμό των πλήρων γύρων ενός κύκλου σε έναν ή τον άλλον

πλευρά.

Αυτή η στιγμή είναι δύσκολη για τους μαθητές. Θα πρέπει να προσφερθούν

κατανόηση της ουσίας του θέματος και της πραγματικής αποστολής:

Η πίστα τρεξίματος του σταδίου έχει μήκος 400 μέτρα, ο δρομέας απέχει 100 μέτρα

από την αφετηρία. Πόσο μακριά πήγε; Αν μόλις άρχισε να τρέχει, τότε

έτρεξε 100 μ. αν καταφέρεις να τρέξεις έναν γύρο, τότε - (

Δύο κύκλοι – () ; αν κατάφερες να τρέξεις

κύκλους, τότε η διαδρομή θα είναι (

) . Τώρα μπορείτε να συγκρίνετε

το αποτέλεσμα που προκύπτει με την έκφραση

Παράδειγμα 1.Σε ποιους αριθμούς αντιστοιχεί η τελεία;

κύκλος αριθμών

Λύση. Δεδομένου ότι το μήκος ολόκληρου του κύκλου

Αυτό είναι το μήκος του τετάρτου του

Και επομένως - σε όλους τους αριθμούς της φόρμας

Ομοίως, καθορίζεται σε ποιους αριθμούς αντιστοιχούν τα σημεία

ονομάζονται πρώτο, δεύτερο, τρίτο, αντίστοιχα,

τέταρτα τέταρτα του κύκλου των αριθμών.

Όλη η σχολική τριγωνομετρία βασίζεται στο αριθμητικό μοντέλο

κύκλους. Η εμπειρία δείχνει ότι οι ελλείψεις σε αυτό το μοντέλο είναι επίσης

η βιαστική εισαγωγή τριγωνομετρικών συναρτήσεων δεν επιτρέπει τη δημιουργία

μια αξιόπιστη βάση για την επιτυχή εκμάθηση του υλικού. Επομένως, όχι

πρέπει να βιαστείτε και να αφιερώσετε λίγο χρόνο για να εξετάσετε τα ακόλουθα

πέντε διαφορετικούς τύπους προβλημάτων κύκλου αριθμών.

Ο πρώτος τύπος εργασιών. Εύρεση σημείων στον αριθμητικό κύκλο,

που αντιστοιχεί σε δεδομένους αριθμούς, εκφρασμένους σε κλάσματα ενός αριθμού

Παράδειγμα 2.

αριθμοί

Λύση. Ας χωρίσουμε το τόξο

στη μέση με μια τελεία σε τρία ίσα μέρη -

αποσιωπητικά

(Εικ. 2). Επειτα

Ο αριθμός λοιπόν

Σημείο αγώνων

Αριθμός
Παράδειγμα

3.
επί

αριθμητικός

κύκλος

σημεία,

αντίστοιχοι αριθμοί:

Λύση. Θα κάνουμε κατασκευές

α) Παραμερίζοντας το τόξο

(το μήκος του

) Πέντε φορές

από σημείο

σε αρνητική κατεύθυνση,

παίρνουμε ένα βαθμό

β) Αφήνοντας στην άκρη το τόξο

(το μήκος του

) επτά φορές από

προς τη θετική κατεύθυνση, παίρνουμε ένα σημείο που χωρίζει

τρίτο μέρος του τόξου

Θα αντιστοιχεί στον αριθμό

γ) Παραμερίζοντας το τόξο

(το μήκος του

) πέντε φορές από το σημείο

με θετικό τρόπο

κατεύθυνση, παίρνουμε ένα σημείο

Διαχωρίζοντας το τρίτο μέρος του τόξου. Αυτή και

θα αντιστοιχεί στον αριθμό

(η εμπειρία δείχνει ότι είναι καλύτερα να μην αναβληθεί

πέντε φορές

Και 10 φορές

Μετά από αυτό το παράδειγμα, είναι σκόπιμο να δοθούν δύο κύριες αριθμητικές διατάξεις

κύκλοι: στον πρώτο από αυτούς (Εικ. 3) όλα τα τέταρτα χωρίζονται στη μέση, σε

το δεύτερο (Εικ. 4) - σε τρία ίσα μέρη. Αυτές οι διατάξεις είναι χρήσιμο να έχετε στο γραφείο σας

μαθηματικά.

Ρύζι. 2

Ρύζι. 3 Ρύζι. 4

Θα πρέπει οπωσδήποτε να συζητήσετε με τους μαθητές το ερώτημα: τι θα συμβεί αν

καθεμία από τις διατάξεις κινείται όχι σε θετικό, αλλά σε αρνητικό

κατεύθυνση? Στην πρώτη διάταξη, τα επιλεγμένα σημεία θα πρέπει να αντιστοιχιστούν

άλλα «ονόματα»: αντίστοιχα

και τα λοιπά.; στη δεύτερη διάταξη:

Δεύτερος τύπος εργασιών. Εύρεση σημείων στον κύκλο αριθμών,

που αντιστοιχεί σε δεδομένους αριθμούς που δεν εκφράζονται σε κλάσματα ενός αριθμού

Παράδειγμα 4.Βρείτε σημεία στον αριθμητικό κύκλο που αντιστοιχούν

αριθμοί 1; 2; 3; -5.

Λύση.

Εδώ θα πρέπει να βασιστούμε στο γεγονός ότι

Επομένως, σημείο 1

που βρίσκεται σε ένα τόξο

πιο κοντά στο σημείο

Τα σημεία 2 και 3 βρίσκονται στο τόξο, το πρώτο είναι

Το δεύτερο είναι πιο κοντά στο (Εικ. 5).

Ας μπούμε σε λίγο περισσότερες λεπτομέρειες

βρίσκοντας το σημείο που αντιστοιχεί στον αριθμό – 5.

Πρέπει να μετακινηθείτε από ένα σημείο

σε αρνητική κατεύθυνση, δηλ. δεξιόστροφος

Ρύζι. 5

βέλος. Αν πάτε προς αυτή την κατεύθυνση στο σημείο

Παίρνουμε

Αυτό σημαίνει ότι βρίσκεται το σημείο που αντιστοιχεί στον αριθμό – 5

λίγο προς τα δεξιά του σημείου

(βλ. Εικ. 5).

Τρίτος τύπος εργασιών. Προετοιμασία αναλυτικών αρχείων (διπλ

ανισώσεις) για τόξα του αριθμητικού κύκλου.

Στην πραγματικότητα, ενεργούμε σε αυτό

το ίδιο σχέδιο που χρησιμοποιήθηκε στο 5-8

μαθήματα για την εκμάθηση της αριθμογραμμής:

Βρείτε πρώτα ένα σημείο με αριθμό και μετά με

η τελεία είναι ένας αριθμός και μετά χρησιμοποιούνται διπλά

ανισότητες για γραφή διαστημάτων σε

αριθμός γραμμής.

Σκεφτείτε, για παράδειγμα, ένα ανοιχτό

Πού είναι η μέση του πρώτου

τέταρτα του κύκλου αριθμών, και

- η μέση του

δεύτερο τρίμηνο (Εικ. 6).

Ανισότητες που χαρακτηρίζουν το τόξο, δηλ. αντιπροσωπεύοντας

Προτείνεται η σύνταξη ενός αναλυτικού μοντέλου του τόξου σε δύο στάδια. Στο πρώτο

σκηνή αποτελούν τον πυρήνα αναλυτικό αρχείο(αυτό είναι το κύριο πράγμα που πρέπει να ακολουθήσετε

διδάσκουν σε μαθητές) για ένα δεδομένο τόξο

Στο δεύτερο

στάδιο, κάντε ένα γενικό αρχείο:

Αν μιλάμε για τόξο

Στη συνέχεια, όταν γράφετε τον πυρήνα, πρέπει να το λάβετε υπόψη

() βρίσκεται μέσα στο τόξο και επομένως πρέπει να μετακινηθεί στην αρχή του τόξου

σε αρνητική κατεύθυνση. Αυτό σημαίνει ότι ο πυρήνας της αναλυτικής σημειογραφίας του τόξου

μοιάζει με

Ρύζι. 6

Οι όροι «πυρήνας αναλυτικής

εγγραφές τόξου», «αναλυτική εγγραφή

τα τόξα" δεν είναι γενικά αποδεκτά,

εκτιμήσεις.

Τέταρτος

καθήκοντα.

Αναζήτηση

Καρτεσιανή

συντεταγμένες

αριθμητικά σημεία κύκλου, κέντρο

που συνδυάζεται με την αρχή του συστήματος

συντεταγμένες

Αρχικά, ας δούμε ένα αρκετά λεπτό σημείο, μέχρι στιγμής

πρακτικά δεν αναφέρεται στα τρέχοντα σχολικά εγχειρίδια.

Ξεκινώντας τη μελέτη του μοντέλου «αριθμός κύκλος σε μια συντεταγμένη

αεροπλάνο», οι εκπαιδευτικοί πρέπει να γνωρίζουν ξεκάθαρα τις δυσκολίες που περιμένουν

μαθητές εδώ. Αυτές οι δυσκολίες οφείλονται στο γεγονός ότι κατά τη μελέτη αυτού

μοντέλο, οι μαθητές πρέπει να έχουν ένα αρκετά υψηλό επίπεδο

μαθηματική κουλτούρα, γιατί πρέπει να εργάζονται ταυτόχρονα

δύο συστήματα συντεταγμένων - σε ένα «καμπυλόγραμμο», όταν υπάρχουν πληροφορίες για

Η θέση του σημείου λαμβάνεται κατά μήκος του κύκλου (αριθμός

αντιστοιχεί στην

σημείο κύκλου

() – «καμπυλόγραμμη συντεταγμένη» σημείου), και μέσα

Καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων (στο σημείο

Όπως κάθε σημείο

επίπεδο συντεταγμένων, υπάρχει τετμημένη και τεταγμένη). Η δουλειά του δασκάλου είναι να βοηθά

μαθητές για να ξεπεράσουν αυτές τις φυσικές δυσκολίες. Δυστυχώς,

συνήθως τα σχολικά εγχειρίδια δεν δίνουν σημασία σε αυτό και από την αρχή

τα πρώτα μαθήματα χρησιμοποιούν ηχογραφήσεις

Χωρίς να λαμβάνουμε υπόψη ότι η επιστολή

στο μυαλό του μαθητή συνδέεται σαφώς με την τετμημένη στο καρτεσιανό

ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, και όχι με την απόσταση που διανύθηκε σύμφωνα με το αριθμητικό

περιφέρεια διαδρομής. Επομένως, όταν εργάζεστε με τον κύκλο αριθμών, δεν πρέπει

χρησιμοποιήστε σύμβολα

Ρύζι. 7

Ας επιστρέψουμε στον τέταρτο τύπο εργασίας. Είναι να προχωρήσουμε από το δίσκο

εγγραφές

(), δηλ. από τις καμπυλόγραμμες συντεταγμένες στις καρτεσιανές.

Ας συνδυάσουμε τον αριθμητικό κύκλο με το καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα

συντεταγμένες όπως φαίνεται στο Σχ. 7. Στη συνέχεια πόντους

θα έχω

τις ακόλουθες συντεταγμένες:

() () () (). Πολύ σημαντικό

διδάξτε τους μαθητές να προσδιορίζουν τις συντεταγμένες όλων εκείνων των σημείων που

σημειώνονται σε δύο κύριες διατάξεις (βλ. Εικ. 3,4). Για ένα σημείο

Όλα καταλήγουν στο

θεωρώντας ένα ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα

Τα πόδια του είναι ίσα

Οι συντεταγμένες λοιπόν

). Η κατάσταση είναι παρόμοια με τα σημεία

Αλλά η μόνη διαφορά είναι ότι πρέπει να λάβετε υπόψη

τετμημένη και τεταγμένες πινακίδες. ΕΙΔΙΚΑ:

Τι πρέπει να θυμούνται οι μαθητές; Μόνο που οι ενότητες είναι τετμημένη και

οι τεταγμένες στα μέσα όλων των τετάρτων είναι ίσες

Και θα πρέπει να μπορούν να υπογράψουν

προσδιορίστε για κάθε σημείο απευθείας από το σχέδιο.

Για ένα σημείο

Όλα καταλήγουν στην εξέταση ενός ορθογώνιου

τρίγωνο με υποτείνουσα 1 και γωνία

(Εικ.9). Μετά το πόδι

αντίθετη γωνία

Θα είναι ίσο

γειτονικός

√

Που σημαίνει,

σημειακές συντεταγμένες

Η κατάσταση είναι παρόμοια με το σημείο

μόνο τα πόδια «αλλάζουν θέσεις», και επομένως

Ρύζι. 8

Ρύζι. 9

παίρνουμε

). Είναι οι αξίες

(ακριβής στα σημάδια) και θα είναι

«Σερβίρετε» όλα τα σημεία της δεύτερης διάταξης (βλ. Εικ. 4), εκτός από τα σημεία

ως τετμημένα και τεταγμένα. Προτεινόμενος τρόπος απομνημόνευσης: «όπου εν ολίγοις,

; όπου είναι περισσότερο, εκεί

Παράδειγμα 5.Βρείτε τις συντεταγμένες ενός σημείου

(βλ. Εικ. 4).

Λύση. Τελεία

Βρίσκεται πιο κοντά στον κατακόρυφο άξονα παρά στον

οριζόντια, δηλ. το μέτρο της τετμημένης του είναι μικρότερο από το μέτρο της τεταγμένης του.

Αυτό σημαίνει ότι η ενότητα τετμημένη είναι ίση με

Η ενότητα τεταγμένων ισούται με

Σημάδια και στα δύο

οι περιπτώσεις είναι αρνητικές (τρίτο τρίμηνο). Συμπέρασμα: σημείο

Έχει συντεταγμένες

Στον τέταρτο τύπο προβλήματος, οι καρτεσιανές συντεταγμένες όλων

σημεία που παρουσιάζονται στην πρώτη και δεύτερη διάταξη που αναφέρθηκαν

Στην πραγματικότητα, κατά τη διάρκεια αυτού του τύπου εργασίας προετοιμάζουμε τους μαθητές για

τον υπολογισμό των τιμών των τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Αν όλα είναι εδώ

λειτούργησε αρκετά αξιόπιστα, μετά η μετάβαση σε ένα νέο επίπεδο αφαίρεσης

(τεταγμένη - ημίτονο, τετμημένη - συνημίτονο) θα είναι λιγότερο επώδυνη από

Ο τέταρτος τύπος περιλαμβάνει εργασίες αυτού του τύπου: για ένα σημείο

βρείτε τα σημάδια των καρτεσιανών συντεταγμένων

Η λύση δεν πρέπει να προκαλεί δυσκολίες στους μαθητές: αριθμός

αντιστοιχεί σε ένα σημείο

Το τέταρτο δεκάλεπτο δηλαδή.

Πέμπτος τύπος εργασιών.Εύρεση σημείων στον αριθμητικό κύκλο κατά

δεδομένες συντεταγμένες.

Παράδειγμα 6.Βρείτε τεταγμένες στον κύκλο αριθμών

γράψτε σε ποιους αριθμούς αντιστοιχούν.

Λύση. Ευθεία

Τέμνει τον αριθμητικό κύκλο σε σημεία
(Εικ. 11). Χρησιμοποιώντας τη δεύτερη διάταξη (βλ. Εικ. 4) διαπιστώνουμε ότι το σημείο

αντιστοιχεί στον αριθμό

Ετσί αυτή

ταιριάζει με όλους τους αριθμούς της φόρμας
αντιστοιχεί στον αριθμό

Που σημαίνει

όλους τους αριθμούς της φόρμας

Απάντηση:

Παράδειγμα 7.Βρείτε στο αριθμητικό

κυκλικό σημείο με τετμημένη

γράψτε σε ποιους αριθμούς αντιστοιχούν.

Λύση. Ευθεία
√

τέμνει τον αριθμητικό κύκλο σε σημεία

– τα μέσα του δεύτερου και του τρίτου τετάρτου (Εικ. 10). Χρησιμοποιώντας το πρώτο

η διάταξη ορίζει αυτό το σημείο

αντιστοιχεί στον αριθμό

Που σημαίνει όλοι

αριθμούς του εντύπου

αντιστοιχεί στον αριθμό

Που σημαίνει όλοι

αριθμούς του εντύπου

Απάντηση:

Είναι απαραίτητο να εμφανιστεί η δεύτερη επιλογή

απαντήστε σημειώσεις για παράδειγμα 7. Άλλωστε τελεία

αντιστοιχεί στον αριθμό

Εκείνοι. όλους τους αριθμούς της φόρμας

παίρνουμε:

Ρύζι. 10

Εικ.11

Ας τονίσουμε την αναμφισβήτητη σημασία

πέμπτος τύπος εργασιών. Στην πραγματικότητα, διδάσκουμε

μαθητές

απόφαση

πρωτόζωα

τριγωνομετρικές εξισώσεις: στο παράδειγμα 6

πρόκειται για την εξίσωση

Και στο παράδειγμα

– για την εξίσωση

είναι σημαντικό να διδάξουμε την κατανόηση της ουσίας του θέματος

μαθητές λύνουν εξισώσεις τύπου

κατά μήκος του κύκλου των αριθμών,

αφιερώστε χρόνο για να προχωρήσετε στους τύπους

Η εμπειρία δείχνει ότι αν το πρώτο στάδιο (εργαστείτε

κύκλος αριθμών) δεν έχει επεξεργαστεί αρκετά αξιόπιστα, τότε το δεύτερο στάδιο

(εργασία με χρήση τύπων) γίνεται αντιληπτή από τους μαθητές τυπικά, η οποία,

Φυσικά, πρέπει να το ξεπεράσουμε.

Παρόμοια με τα παραδείγματα 6 και 7, θα πρέπει να βρείτε στον κύκλο αριθμών

σημεία με όλα τα «κύρια» τεταγμένα και τετμημένα

Ως ειδικά θέματα, είναι σκόπιμο να επισημανθούν τα ακόλουθα:

Σημείωση 1.Με προπαιδευτικούς όρους, προπαρασκευαστικό

εργαστείτε με θέμα «Μήκος Κύκλου» στο μάθημα της Γεωμετρίας της 9ης τάξης. Σπουδαίος

συμβουλή: το σύστημα των ασκήσεων θα πρέπει να περιλαμβάνει εργασίες όπως αυτή που προτείνεται

παρακάτω. Ο μοναδιαίος κύκλος χωρίζεται σε τέσσερα ίσα μέρη με τελείες

ένα τόξο διχοτομείται με μια τελεία και ένα τόξο διχοτομείται με τελείες

σε τρία ίσα μέρη (Εικ. 12). Ποια είναι τα μήκη των τόξων;

(πιστεύεται ότι ο κύκλος διανύεται θετικά

κατεύθυνση)?

Ρύζι. 12

Ο πέμπτος τύπος εργασιών περιλαμβάνει επίσης την εργασία με συνθήκες όπως

που σημαίνει
Προς την

απόφαση

πρωτόζωα

Επίσης «επιλέγουμε» τριγωνομετρικές ανισότητες σταδιακά.

πέντε μαθήματα και μόνο στο έκτο μάθημα θα πρέπει οι ορισμοί του ημιτονοειδούς και

συνημίτονο ως συντεταγμένες ενός σημείου σε έναν κύκλο αριθμών. Εν

Συνιστάται να λύσετε ξανά όλα τα είδη προβλημάτων με μαθητές, αλλά με

χρησιμοποιώντας τους εισαγόμενους συμβολισμούς, προτείνοντας να εκτελέσετε τέτοιες

για παράδειγμα, εργασίες: υπολογισμός

Λύστε την εξίσωση

ανισότητα

και τα λοιπά. Το τονίζουμε στα πρώτα μαθήματα

τριγωνομετρία απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις και ανισώσεις

δεν είναι σκοπόςεκπαίδευση, αλλά χρησιμοποιούνται ως εγκαταστάσειςΓια

κατακτώντας το κύριο πράγμα - τους ορισμούς του ημιτόνου και του συνημιτόνου ως συντεταγμένων σημείων

κύκλος αριθμών.

Αφήστε τον αριθμό

αντιστοιχεί σε ένα σημείο

κύκλος αριθμών. Μετά η τετμημένη του

που ονομάζεται συνημίτονο του αριθμού

και ορίζεται

Και η τεταγμένη της λέγεται ημίτονο του αριθμού

και ορίζεται. (Εικ. 13).

Από αυτόν τον ορισμό μπορούμε αμέσως

ορίστε τα σημάδια του ημιτονοειδούς και του συνημιτονοειδούς κατά

τέταρτα: για ημίτονο

Για συνημίτονο

Αφιερώστε ένα ολόκληρο μάθημα σε αυτό (όπως αυτό

αποδεκτό) δεν συνιστάται. Μην το κάνεις

αναγκάστε τους μαθητές να απομνημονεύσουν αυτά τα σημάδια: όλα μηχανικά

η απομνημόνευση, η αποστήθιση είναι μια βίαιη τεχνική που οι μαθητές,

>> Κύκλος αριθμών

Κατά τη μελέτη του μαθήματος της άλγεβρας για τις τάξεις 7-9, έχουμε ασχοληθεί μέχρι τώρα με αλγεβρικές συναρτήσεις, δηλ. συναρτήσεις που ορίζονται αναλυτικά από εκφράσεις στις οποίες χρησιμοποιήθηκαν αλγεβρικές πράξεις σε αριθμούς και μεταβλητές (πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός, διαίρεση, εκθετική, τετραγωνική ρίζα). Αλλά τα μαθηματικά μοντέλα πραγματικών καταστάσεων συχνά συνδέονται με συναρτήσεις διαφορετικού τύπου, όχι αλγεβρικές. Με τους πρώτους εκπροσώπους της κατηγορίας των μη αλγεβρικών συναρτήσεων - τριγωνομετρικές συναρτήσεις - θα γνωρίσουμε σε αυτό το κεφάλαιο. Θα μελετήσετε αναλυτικότερα τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις και άλλους τύπους μη αλγεβρικών συναρτήσεων (εκθετικές και λογαριθμικές) στο λύκειο.
Για να εισαγάγουμε τριγωνομετρικές συναρτήσεις χρειαζόμαστε μια νέα μαθηματικό μοντέλο- έναν αριθμητικό κύκλο που δεν έχετε συναντήσει ακόμα, αλλά είστε πολύ εξοικειωμένοι με την αριθμητική γραμμή. Θυμηθείτε ότι η αριθμητική γραμμή είναι μια ευθεία γραμμή στην οποία δίνεται το σημείο εκκίνησης Ο, η κλίμακα (τμήμα μονάδας) και η θετική κατεύθυνση. Μπορούμε να συγκρίνουμε οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό με ένα σημείο σε μια ευθεία και το αντίστροφο.

Πώς να βρείτε το αντίστοιχο σημείο Μ σε μια ευθεία χρησιμοποιώντας τον αριθμό x; Ο αριθμός 0 αντιστοιχεί στο σημείο εκκίνησης O. Εάν x > 0, τότε, κινούμενοι κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής από το σημείο 0 προς τη θετική κατεύθυνση, πρέπει να πάτε το n^ο του μήκους x. το τέλος αυτής της διαδρομής θα είναι το επιθυμητό σημείο M(x). Αν x< 0, то, двигаясь по прямой из точки О в отрицательном направлении, нужно пройти путь 1*1; конец этого пути и будет искомой точкой М(х). Число х - координата точки М.

Και πώς λύσαμε το αντίστροφο πρόβλημα, δηλ. Πώς βρήκατε τη συντεταγμένη x ενός δεδομένου σημείου M στην αριθμητική ευθεία; Βρήκαμε το μήκος του τμήματος ΟΜ και το πήραμε με το πρόσημο «+» ή * - «ανάλογα με ποια πλευρά του σημείου Ο το σημείο Μ βρίσκεται στην ευθεία.

Αλλά στην πραγματική ζωή πρέπει να κινηθείτε όχι μόνο σε ευθεία γραμμή. Αρκετά συχνά, κίνηση κατά μήκος κύκλος. Εδώ είναι ένα συγκεκριμένο παράδειγμα. Ας θεωρήσουμε το στίβο του σταδίου ως κύκλο (στην πραγματικότητα, δεν είναι, φυσικά, κύκλος, αλλά θυμηθείτε, όπως λένε συνήθως οι αθλητικοί σχολιαστές: "ο δρομέας έχει τρέξει έναν κύκλο", "υπάρχει μισός κύκλος" να τρέξει πριν τον τερματισμό», κ.λπ.), το μήκος του είναι 400 μ. Σημειώνεται η εκκίνηση - σημείο Α (Εικ. 97). Ο δρομέας από το σημείο Α κινείται γύρω από τον κύκλο αριστερόστροφα. Πού θα είναι στα 200 μ. σε 400 μ. στα 800 μ. στα 1500 μ. Πού πρέπει να τραβήξει τη γραμμή τερματισμού εάν τρέχει μαραθώνιο απόσταση 42 km 195 m;

Μετά από 200 m, θα βρίσκεται στο σημείο C, διαμετρικά αντίθετο από το σημείο Α (200 m είναι το μήκος του μισού διαδρόμου, δηλαδή το μήκος του μισού κύκλου). Αφού τρέξει 400 μέτρα (δηλαδή «ένας γύρος», όπως λένε οι αθλητές), θα επιστρέψει στο σημείο Α. Αφού τρέξει 800 μέτρα (δηλ. «δύο γύρους»), θα είναι και πάλι στο σημείο Α. Τι είναι 1500 μέτρα ? Αυτό είναι "τρεις κύκλοι" (1200 m) συν άλλα 300 m, δηλ. 3

Διάδρομος - το τελείωμα αυτής της απόστασης θα είναι στο σημείο 2) (Εικ. 97).

Αρκεί να αντιμετωπίσουμε τον μαραθώνιο. Αφού τρέξει 105 γύρους, ο αθλητής θα διανύσει απόσταση 105-400 = 42.000 m, δηλ. 42 χλμ. Απομένουν 195 μέτρα μέχρι τη γραμμή τερματισμού, δηλαδή 5 μέτρα λιγότερο από τη μισή περιφέρεια. Αυτό σημαίνει ότι ο τερματισμός της απόστασης του μαραθωνίου θα είναι στο σημείο Μ, που βρίσκεται κοντά στο σημείο Γ (Εικ. 97).

Σχόλιο. Καταλαβαίνετε φυσικά τη σύμβαση του τελευταίου παραδείγματος. Κανείς δεν τρέχει μαραθώνιο απόσταση γύρω από το γήπεδο, το μέγιστο είναι 10.000 m, δηλ. 25 γύρους.

Μπορείτε να τρέξετε ή να περπατήσετε οποιοδήποτε μήκος κατά μήκος του διαδρόμου του σταδίου. Αυτό σημαίνει ότι οποιοσδήποτε θετικός αριθμός αντιστοιχεί σε κάποιο σημείο - το "τέρμα της απόστασης". Επιπλέον, είναι δυνατό να αντιστοιχίσετε ένα σημείο σε έναν κύκλο σε οποιονδήποτε αρνητικό αριθμό: απλά πρέπει να κάνετε τον αθλητή να τρέξει προς την αντίθετη κατεύθυνση, δηλ. ξεκινήστε από το σημείο Α όχι αριστερόστροφα, αλλά κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού. Τότε η πίστα τρεξίματος του σταδίου μπορεί να θεωρηθεί ως αριθμητικός κύκλος.

Κατ 'αρχήν, οποιοσδήποτε κύκλος μπορεί να θεωρηθεί ως αριθμητικός κύκλος, αλλά στα μαθηματικά συμφωνήθηκε να χρησιμοποιηθεί ένας κύκλος μονάδας για το σκοπό αυτό - ένας κύκλος με ακτίνα 1. Αυτός θα είναι ο "διάδρομος" μας. Το μήκος b ενός κύκλου με ακτίνα K υπολογίζεται με τον τύπο Το μήκος ενός ημικύκλου είναι n και το μήκος ενός τετάρτου κύκλου είναι AB, BC, SB, DA στο Σχήμα. 98 - ίσο Ας συμφωνήσουμε να ονομάσουμε τόξο AB το πρώτο τέταρτο του κύκλου μονάδας, τόξο BC το δεύτερο τέταρτο, τόξο CB το τρίτο τέταρτο, τόξο DA το τέταρτο τέταρτο (Εικ. 98). Σε αυτή την περίπτωση συνήθως μιλάμε για Ανοιχτό τόξο, δηλ. περίπου ένα τόξο χωρίς τα άκρα του (κάτι σαν ένα διάστημα σε μια αριθμητική γραμμή).

Ορισμός.Δίνεται ένας κύκλος μονάδας και πάνω του σημειώνεται το σημείο εκκίνησης Α - το δεξί άκρο της οριζόντιας διαμέτρου (Εικ. 98). Ας συσχετίσουμε κάθε πραγματικό αριθμό I με ένα σημείο στον κύκλο σύμφωνα με τον ακόλουθο κανόνα:

1) αν x > 0, τότε, κινούμενοι από το σημείο Α αριστερόστροφα (η θετική κατεύθυνση του κύκλου), θα περιγράψουμε μια διαδρομή κατά μήκος του κύκλου με μήκος και το τελικό σημείο Μ αυτής της διαδρομής θα είναι το επιθυμητό σημείο: M = M(x);

2) αν x< 0, то, двигаясь из точки А в направлении по часовой стрелке (отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности путь длиной и |; конечная точка М этого пути и будет искомой точкой: М = М(1);

Ας συσχετίσουμε το σημείο Α με το 0: A = A(0).

Ένας κύκλος μονάδας με καθορισμένη αντιστοιχία (μεταξύ πραγματικών αριθμών και σημείων του κύκλου) θα ονομάζεται κύκλος αριθμών.
Παράδειγμα 1.Βρείτε στον αριθμητικό κύκλο
Δεδομένου ότι οι πρώτοι έξι από τους δεδομένους επτά αριθμούς είναι θετικοί, τότε για να βρείτε τα αντίστοιχα σημεία στον κύκλο, πρέπει να περπατήσετε μια διαδρομή δεδομένου μήκους κατά μήκος του κύκλου, κινούμενοι από το σημείο Α προς τη θετική κατεύθυνση. Ας το λάβουμε υπόψη μας

Ο αριθμός 2 αντιστοιχεί στο σημείο Α, αφού, έχοντας περάσει κατά μήκος του κύκλου μια διαδρομή μήκους 2, δηλ. ακριβώς έναν κύκλο, θα φτάσουμε και πάλι στο σημείο εκκίνησης A Άρα, A = A(2).
Τι συνέβη Αυτό σημαίνει ότι κινούμενοι από το σημείο Α προς θετική κατεύθυνση, πρέπει να περάσετε από έναν ολόκληρο κύκλο.

Σχόλιο.Όταν είμαστε στην 7η και στην 8η τάξη δούλεψεμε την αριθμητική γραμμή, τότε συμφωνήσαμε, για λόγους συντομίας, να μην πούμε «το σημείο της ευθείας που αντιστοιχεί στον αριθμό x», αλλά να πούμε «σημείο x». Θα τηρούμε ακριβώς την ίδια συμφωνία όταν εργαζόμαστε με τον αριθμητικό κύκλο: "σημείο f" - αυτό σημαίνει ότι μιλάμε για ένα σημείο στον κύκλο που αντιστοιχεί στον αριθμό
Παράδειγμα 2.
Διαιρώντας το πρώτο τέταρτο ΑΒ σε τρία ίσα μέρη με τα σημεία Κ και Ρ, παίρνουμε:

Παράδειγμα 3.Βρείτε σημεία στον κύκλο αριθμών που αντιστοιχούν σε αριθμούς
Θα κάνουμε κατασκευές χρησιμοποιώντας το Σχ. 99. Εναπόθεση τόξου ΑΜ (το μήκος του είναι -) από το σημείο Α πέντε φορές προς την αρνητική κατεύθυνση, λαμβάνουμε το σημείο!, - το μέσο του τόξου BC. Ετσι,

Σχόλιο.Παρατηρήστε μερικές από τις ελευθερίες που παίρνουμε χρησιμοποιώντας τη μαθηματική γλώσσα. Είναι σαφές ότι το τόξο AK και το μήκος του τόξου AK είναι διαφορετικά πράγματα (η πρώτη έννοια είναι ένα γεωμετρικό σχήμα και η δεύτερη έννοια είναι ένας αριθμός). Αλλά και οι δύο χαρακτηρίζονται με τον ίδιο τρόπο: ΑΚ. Επιπλέον, εάν τα σημεία Α και Κ συνδέονται με ένα τμήμα, τότε τόσο το τμήμα που προκύπτει όσο και το μήκος του συμβολίζονται με τον ίδιο τρόπο: ΑΚ. Είναι συνήθως σαφές από τα συμφραζόμενα ποια σημασία προορίζεται στον προσδιορισμό (τόξο, μήκος τόξου, τμήμα ή μήκος τμήματος).

Επομένως, δύο διατάξεις κύκλου αριθμών θα μας φανούν πολύ χρήσιμες.

ΠΡΩΤΗ ΔΙΑΤΑΞΗ
Κάθε ένα από τα τέσσερα τέταρτα του κύκλου των αριθμών χωρίζεται σε δύο ίσα μέρη και κοντά σε καθένα από τα διαθέσιμα οκτώ σημεία είναι γραμμένα τα «ονόματά» τους (Εικ. 100).

ΔΕΥΤΕΡΗ ΔΙΑΤΑΞΗΚάθε ένα από τα τέσσερα τέταρτα του κύκλου των αριθμών χωρίζεται σε τρία ίσα μέρη και κοντά σε καθένα από τα διαθέσιμα δώδεκα σημεία είναι γραμμένα τα «ονόματά» τους (Εικ. 101).

Λάβετε υπόψη ότι και στις δύο διατάξεις θα μπορούσαμε να αντιστοιχίσουμε άλλα «ονόματα» στα δεδομένα σημεία.
Έχετε παρατηρήσει ότι σε όλα τα αναλυόμενα παραδείγματα μηκών τόξων
εκφράζεται με κάποια κλάσματα του αριθμού n; Αυτό δεν προκαλεί έκπληξη: εξάλλου, το μήκος ενός κύκλου μονάδας είναι 2n, και αν διαιρέσουμε έναν κύκλο ή το τέταρτο του σε ίσα μέρη, παίρνουμε τόξα των οποίων τα μήκη εκφράζονται σε κλάσματα του αριθμού και. Πιστεύετε ότι είναι δυνατό να βρεθεί ένα σημείο Ε στον μοναδιαίο κύκλο έτσι ώστε το μήκος του τόξου ΑΕ να είναι ίσο με 1; Ας το καταλάβουμε:

Συλλογίζοντας με παρόμοιο τρόπο, συμπεραίνουμε ότι στον μοναδιαίο κύκλο μπορεί κανείς να βρει το σημείο Π.χ., για το οποίο ΑΕ = 1, και το σημείο Ε2, για το οποίο AEr = 2, και το σημείο Ε3, για το οποίο ΑΕ3 = 3, και το σημείο Ε4, για το οποίο AE4 = 4, και το σημείο Eb, για το οποίο AEb = 5, και το σημείο E6, για το οποίο AE6 = 6. Στο Σχ. 102 σημειώνονται τα αντίστοιχα σημεία (κατά προσέγγιση) (για τον προσανατολισμό, καθένα από τα τέταρτα του μοναδιαίου κύκλου χωρίζεται με παύλες σε τρία ίσα μέρη).

Παράδειγμα 4.Βρείτε το σημείο στον κύκλο αριθμών που αντιστοιχεί στον αριθμό -7.

Χρειάζεται, ξεκινώντας από το σημείο Α(0) και κινούμενοι προς την αρνητική κατεύθυνση (δεξιόστροφα), να ακολουθήσουμε έναν κύκλο μήκους 7. Αν περάσουμε από έναν κύκλο, παίρνουμε (περίπου) 6,28, που σημαίνει ότι πρέπει ακόμα να περάστε από (στην ίδια κατεύθυνση) μονοπάτι μήκους 0,72. Τι είδους τόξο είναι αυτό; Λίγο λιγότερο από μισό τέταρτο κύκλο, δηλ. το μήκος του είναι μικρότερο από τον αριθμό -.

Έτσι, σε έναν κύκλο αριθμών, όπως σε μια αριθμητική ευθεία, κάθε πραγματικός αριθμός αντιστοιχεί σε ένα σημείο (μόνο, φυσικά, είναι ευκολότερο να τον βρείτε σε μια ευθεία παρά σε έναν κύκλο). Αλλά για μια ευθεία ισχύει και το αντίθετο: κάθε σημείο αντιστοιχεί σε έναν μόνο αριθμό. Για έναν κύκλο αριθμών, μια τέτοια δήλωση δεν είναι αληθινή· το έχουμε δει επανειλημμένα παραπάνω. Η παρακάτω πρόταση ισχύει για τον αριθμητικό κύκλο.
Αν το σημείο M του αριθμητικού κύκλου αντιστοιχεί στον αριθμό I, τότε αντιστοιχεί και σε έναν αριθμό της μορφής I + 2k, όπου k είναι οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός (k e 2).

Στην πραγματικότητα, 2n είναι το μήκος του αριθμητικού (μοναδιαίου) κύκλου και ο ακέραιος |th| μπορεί να θεωρηθεί ως ο αριθμός των πλήρων γύρων του κύκλου προς τη μία ή την άλλη κατεύθυνση. Εάν, για παράδειγμα, k = 3, τότε αυτό σημαίνει ότι κάνουμε τρεις γύρους του κύκλου προς τη θετική κατεύθυνση. αν k = -7, τότε αυτό σημαίνει ότι κάνουμε επτά (| k | = | -71 = 7) γύρους του κύκλου στην αρνητική κατεύθυνση. Αν όμως βρισκόμαστε στο σημείο Μ(1), τότε, έχοντας επίσης εκτελέσει | προς | πλήρεις κύκλους γύρω από τον κύκλο, θα βρεθούμε ξανά στο σημείο Μ.

Ο Α.Γ. Mordkovich Algebra 10η τάξη

Περιεχόμενο μαθήματος σημειώσεις μαθήματοςυποστήριξη μεθόδων επιτάχυνσης παρουσίασης μαθήματος διαδραστικές τεχνολογίες Πρακτική εργασίες και ασκήσεις αυτοδιαγνωστικά εργαστήρια, προπονήσεις, περιπτώσεις, αποστολές ερωτήσεις συζήτησης εργασιών για το σπίτι ρητορικές ερωτήσεις από μαθητές εικονογραφήσεις ήχου, βίντεο κλιπ και πολυμέσαφωτογραφίες, εικόνες, γραφικά, πίνακες, διαγράμματα, χιούμορ, ανέκδοτα, αστεία, κόμικ, παραβολές, ρήσεις, σταυρόλεξα, αποσπάσματα Πρόσθετα περιλήψειςάρθρα κόλπα για την περίεργη κούνια σχολικά βιβλία βασικά και επιπλέον λεξικό όρων άλλα Βελτίωση σχολικών βιβλίων και μαθημάτωνδιόρθωση λαθών στο σχολικό βιβλίοενημέρωση ενός τμήματος σε ένα σχολικό βιβλίο, στοιχεία καινοτομίας στο μάθημα, αντικατάσταση ξεπερασμένων γνώσεων με νέες Μόνο για δασκάλους τέλεια μαθήματαημερολογιακό σχέδιο για το έτος· μεθοδολογικές συστάσεις· προγράμματα συζήτησης Ολοκληρωμένα Μαθήματα

Όταν σπουδάζει τριγωνομετρία στο σχολείο, κάθε μαθητής έρχεται αντιμέτωπος με την πολύ ενδιαφέρουσα έννοια του «αριθμητικού κύκλου». Το πόσο καλά ο μαθητής θα μάθει αργότερα την τριγωνομετρία εξαρτάται από την ικανότητα του δασκάλου του σχολείου να εξηγήσει τι είναι και γιατί χρειάζεται. Δυστυχώς, δεν μπορεί κάθε δάσκαλος να εξηγήσει αυτό το υλικό με σαφήνεια. Ως αποτέλεσμα, πολλοί μαθητές μπερδεύονται ακόμη και σχετικά με το πώς να μαρκάρουν σημεία στον αριθμητικό κύκλο. Εάν διαβάσετε αυτό το άρθρο μέχρι το τέλος, θα μάθετε πώς να το κάνετε αυτό χωρίς κανένα πρόβλημα.

Ας ξεκινήσουμε λοιπόν. Ας σχεδιάσουμε έναν κύκλο του οποίου η ακτίνα είναι 1. Ας υποδηλώσουμε το «δεξιό» σημείο αυτού του κύκλου με το γράμμα Ο:

Συγχαρητήρια, μόλις σχεδιάσατε έναν κύκλο μονάδας. Δεδομένου ότι η ακτίνα αυτού του κύκλου είναι 1, το μήκος του είναι .

Κάθε πραγματικός αριθμός μπορεί να συσχετιστεί με το μήκος της τροχιάς κατά μήκος του κύκλου των αριθμών από το σημείο Ο. Η κατεύθυνση της κίνησης αριστερόστροφα λαμβάνεται ως θετική κατεύθυνση. Για αρνητικό - δεξιόστροφα:

Θέση σημείων στον αριθμητικό κύκλο

Όπως έχουμε ήδη σημειώσει, το μήκος του κύκλου αριθμών (μοναδιαίου κύκλου) είναι ίσο με . Πού θα βρίσκεται τότε ο αριθμός σε αυτόν τον κύκλο; Προφανώς, από την ουσία Οαριστερόστροφα πρέπει να πάμε το μισό μήκος του κύκλου και θα βρεθούμε στο επιθυμητό σημείο. Ας το χαρακτηρίσουμε με το γράμμα σι:

Σημειώστε ότι στο ίδιο σημείο θα μπορούσατε να φτάσετε περπατώντας ένα ημικύκλιο προς την αρνητική κατεύθυνση. Στη συνέχεια σχεδιάζαμε τον αριθμό στον μοναδιαίο κύκλο. Δηλαδή οι αριθμοί αντιστοιχούν στο ίδιο σημείο.

Επιπλέον, αυτό το ίδιο σημείο αντιστοιχεί επίσης στους αριθμούς , , , και, γενικά, σε ένα άπειρο σύνολο αριθμών που μπορεί να γραφτεί με τη μορφή , όπου, δηλαδή, ανήκει στο σύνολο των ακεραίων. Όλα αυτά γιατί από το σημείο σιμπορείτε να κάνετε ένα ταξίδι «ο γύρο του κόσμου» προς οποιαδήποτε κατεύθυνση (προσθέστε ή αφαιρέσετε την περιφέρεια) και να φτάσετε στο ίδιο σημείο. Βγάζουμε ένα σημαντικό συμπέρασμα που πρέπει να γίνει κατανοητό και να θυμόμαστε.

Κάθε αριθμός αντιστοιχεί σε ένα μόνο σημείο στον κύκλο αριθμών. Αλλά κάθε σημείο στον κύκλο αριθμών αντιστοιχεί σε άπειρο αριθμό αριθμών.

Ας διαιρέσουμε τώρα το άνω ημικύκλιο του αριθμητικού κύκλου σε τόξα ίσου μήκους κατά ένα σημείο ντο. Είναι εύκολο να δει κανείς ότι το μήκος του τόξου O.C.ίσο με . Ας αναβάλουμε τώρα από την ουσία ντοένα τόξο ίδιου μήκους αριστερόστροφα. Ως αποτέλεσμα, θα φτάσουμε στην ουσία σι. Το αποτέλεσμα είναι αρκετά αναμενόμενο, αφού . Ας βάλουμε αυτό το τόξο πάλι προς την ίδια κατεύθυνση, αλλά τώρα από το σημείο σι. Ως αποτέλεσμα, θα φτάσουμε στην ουσία ρε, που θα αντιστοιχεί ήδη στον αριθμό:

Σημειώστε και πάλι ότι αυτό το σημείο αντιστοιχεί όχι μόνο στον αριθμό, αλλά και, για παράδειγμα, στον αριθμό, γιατί αυτό το σημείο μπορεί να επιτευχθεί απομακρύνοντας από το σημείο Οτέταρτο κύκλο κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού (αρνητική κατεύθυνση).

Και, γενικά, σημειώνουμε ξανά ότι αυτό το σημείο αντιστοιχεί σε άπειρους αριθμούς που μπορούν να γραφούν με τη μορφή . Μπορούν όμως να γραφτούν και με τη μορφή . Ή, αν προτιμάτε, με τη μορφή . Όλες αυτές οι εγγραφές είναι απολύτως ισοδύναμες και μπορούν να ληφθούν η μία από την άλλη.

Ας χωρίσουμε τώρα το τόξο σε O.C.μισή τελεία Μ. Τώρα υπολογίστε ποιο είναι το μήκος του τόξου ΟΜ? Σωστά, το μισό τόξο O.C.. Αυτό είναι . Σε ποιους αριθμούς αντιστοιχεί η τελεία; Μστον αριθμητικό κύκλο; Είμαι βέβαιος ότι τώρα θα συνειδητοποιήσετε ότι αυτοί οι αριθμοί μπορούν να γραφτούν ως .

Αλλά μπορεί να γίνει διαφορετικά. Ας πάρουμε . Τότε το καταλαβαίνουμε . Δηλαδή, αυτοί οι αριθμοί μπορούν να γραφτούν στη φόρμα . Το ίδιο αποτέλεσμα θα μπορούσε να ληφθεί χρησιμοποιώντας τον κύκλο αριθμών. Όπως είπα ήδη, και οι δύο εγγραφές είναι ισοδύναμες και μπορούν να ληφθούν η μία από την άλλη.

Τώρα μπορείτε εύκολα να δώσετε ένα παράδειγμα των αριθμών στους οποίους αντιστοιχούν τα σημεία Ν, ΠΚαι κστον αριθμητικό κύκλο. Για παράδειγμα, οι αριθμοί και :

Συχνά είναι οι ελάχιστοι θετικοί αριθμοί που λαμβάνονται για τον προσδιορισμό των αντίστοιχων σημείων στον κύκλο αριθμών. Αν και αυτό δεν είναι καθόλου απαραίτητο, τελεία Ν, όπως ήδη γνωρίζετε, αντιστοιχεί σε άπειρο αριθμό άλλων αριθμών. Συμπεριλαμβανομένου, για παράδειγμα, του αριθμού.

Αν σπάσεις το τόξο O.C.σε τρία ίσα τόξα με σημεία μικρόΚαι μεγάλο, οπότε αυτό είναι το θέμα μικρόθα βρίσκεται ανάμεσα στα σημεία ΟΚαι μεγάλο, μετά το μήκος του τόξου OSθα είναι ίσο με , και το μήκος του τόξου OLθα είναι ίσο με . Χρησιμοποιώντας τις γνώσεις που αποκτήσατε στο προηγούμενο μέρος του μαθήματος, μπορείτε εύκολα να καταλάβετε πώς βγήκαν τα υπόλοιπα σημεία στον κύκλο αριθμών:

Αριθμοί όχι πολλαπλάσια του π στον κύκλο αριθμών

Ας αναρωτηθούμε τώρα: πού στην αριθμητική γραμμή πρέπει να σημειώσουμε το σημείο που αντιστοιχεί στον αριθμό 1; Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να ξεκινήσετε από το πιο «σωστό» σημείο του κύκλου της μονάδας Οσχεδιάστε ένα τόξο του οποίου το μήκος θα ήταν ίσο με 1. Μπορούμε μόνο κατά προσέγγιση να υποδείξουμε τη θέση του επιθυμητού σημείου. Ας προχωρήσουμε ως εξής.

Αριθμητικός κύκλοςείναι ένας μοναδιαίος κύκλος του οποίου τα σημεία αντιστοιχούν σε ορισμένους πραγματικούς αριθμούς.

Ένας κύκλος μονάδας είναι ένας κύκλος ακτίνας 1.

Γενική άποψη του κύκλου αριθμών.

1) Η ακτίνα του λαμβάνεται ως μονάδα μέτρησης.

2) Η οριζόντια και η κάθετη διάμετρος χωρίζουν τον αριθμητικό κύκλο σε τέσσερα τέταρτα. Ονομάζονται αντίστοιχα πρώτο, δεύτερο, τρίτο και τέταρτο τρίμηνο.

3) Η οριζόντια διάμετρος συμβολίζεται με AC, με το Α να είναι το ακραίο σωστάτελεία.
Η κατακόρυφη διάμετρος ορίζεται BD, με το B να είναι το υψηλότερο σημείο.
Αντίστοιχα:

το πρώτο τέταρτο είναι το τόξο ΑΒ

δεύτερο τέταρτο - τόξο π.Χ

τρίτο τέταρτο - τόξο CD

τέταρτο τρίμηνο - τόξο DA

4) Το σημείο εκκίνησης του αριθμητικού κύκλου είναι το σημείο Α.

Η μέτρηση κατά μήκος του κύκλου των αριθμών μπορεί να γίνει είτε δεξιόστροφα είτε αριστερόστροφα.

Μετρώντας από το σημείο Α κατάδεξιόστροφα ονομάζεται θετική κατεύθυνση.

Μετρώντας από το σημείο Α Μεονομάζεται δεξιόστροφα αρνητική κατεύθυνση.

Αριθμητικός κύκλος στο επίπεδο συντεταγμένων.

Το κέντρο της ακτίνας του αριθμητικού κύκλου αντιστοιχεί στην αρχή (αριθμός 0).

Η οριζόντια διάμετρος αντιστοιχεί στον άξονα Χ, κάθετος άξονας y.

Σημείο εκκίνησης Αριθμητικός κύκλοςτο μπλουζάκι είναι στον άξοναΧκαι έχει συντεταγμένες (1; 0).

Ονόματα και θέσεις των κύριων σημείων στον κύκλο αριθμών:

Πώς να θυμάστε ονόματα κύκλων αριθμών.

Υπάρχουν πολλά απλά μοτίβα που θα σας βοηθήσουν να θυμάστε εύκολα τα βασικά ονόματα του κύκλου των αριθμών.

Πριν ξεκινήσουμε, να σας υπενθυμίσουμε: η μέτρηση πραγματοποιείται προς τη θετική κατεύθυνση, δηλαδή από το σημείο Α (2π) αριστερόστροφα.

1) Ας ξεκινήσουμε με τα ακραία σημεία στους άξονες συντεταγμένων.

Το σημείο εκκίνησης είναι 2π (το δεξιότερο σημείο στον άξονα Χ, ίσο με 1).

Όπως γνωρίζετε, 2π είναι η περιφέρεια ενός κύκλου. Αυτό σημαίνει ότι μισός κύκλος είναι 1π ή π. Αξονας Χχωρίζει τον κύκλο ακριβώς στο μισό. Αντίστοιχα, το πιο αριστερό σημείο στον άξονα Χίσο με -1 λέγεται π.

Το υψηλότερο σημείο στον άξονα στο, ίσο με 1, διαιρεί το πάνω ημικύκλιο στο μισό. Αυτό σημαίνει ότι αν ένα ημικύκλιο είναι π, τότε το μισό ημικύκλιο είναι π/2.

Ταυτόχρονα, το π/2 είναι επίσης ένα τέταρτο του κύκλου. Ας μετρήσουμε τρία τέτοια τέταρτα από το πρώτο έως το τρίτο - και θα φτάσουμε στο χαμηλότερο σημείο του άξονα στο, ίσο με -1. Αν όμως περιλαμβάνει τρία τέταρτα, τότε το όνομά του είναι 3π/2.

2) Τώρα ας προχωρήσουμε στα υπόλοιπα σημεία. Παρακαλώ σημειώστε: όλα τα απέναντι σημεία έχουν τον ίδιο παρονομαστή - και αυτά είναι αντίθετα σημεία σε σχέση με τον άξονα στο, τόσο σε σχέση με το κέντρο των αξόνων όσο και σε σχέση με τον άξονα Χ. Αυτό θα μας βοηθήσει να γνωρίζουμε τις σημειακές τους τιμές χωρίς να στριμώχνουμε.

Αρκεί να θυμάστε τη σημασία των σημείων του πρώτου τριμήνου: π/6, π/4 και π/3. Και μετά θα «δούμε» μερικά μοτίβα:

- Σε σχέση με τον άξονα στο στα σημεία του δεύτερου τριμήνου, απέναντι από τα σημεία του πρώτου τριμήνου, οι αριθμοί στους αριθμητές είναι 1 μικρότεροι από το μέγεθος των παρονομαστών. Για παράδειγμα, πάρτε το σημείο π/6. Το σημείο απέναντι από αυτό σε σχέση με τον άξονα στοέχει επίσης 6 στον παρονομαστή και 5 στον αριθμητή (1 λιγότερο). Δηλαδή το όνομα αυτού του σημείου είναι: 5π/6. Το σημείο απέναντι από το π/4 έχει επίσης 4 στον παρονομαστή και 3 στον αριθμητή (1 μικρότερο από 4) - δηλαδή είναι 3π/4 σημείο.
Το σημείο απέναντι από το π/3 έχει επίσης 3 στον παρονομαστή και 1 λιγότερο στον αριθμητή: 2π/3.

- Σε σχέση με το κέντρο των αξόνων συντεταγμένωνόλα είναι αντίστροφα: οι αριθμοί στους αριθμητές των αντίθετων σημείων (στο τρίτο τέταρτο) είναι κατά 1 μεγαλύτεροι από την τιμή των παρονομαστών. Ας πάρουμε πάλι το σημείο π/6. Το σημείο απέναντι από αυτό σε σχέση με το κέντρο έχει επίσης 6 στον παρονομαστή και στον αριθμητή ο αριθμός είναι 1 περισσότερο - δηλαδή είναι 7π/6.
Το σημείο απέναντι από το σημείο π/4 έχει επίσης 4 στον παρονομαστή και στον αριθμητή ο αριθμός είναι 1 περισσότερο: 5π/4.
Το σημείο απέναντι από το σημείο π/3 έχει επίσης 3 στον παρονομαστή και στον αριθμητή ο αριθμός είναι 1 περισσότερο: 4π/3.

- Σε σχέση με τον άξονα Χ(τέταρτο τέταρτο)το θέμα είναι πιο περίπλοκο. Εδώ πρέπει να προσθέσετε στην τιμή του παρονομαστή έναν αριθμό που είναι 1 λιγότερος - αυτό το άθροισμα θα είναι ίσο με το αριθμητικό μέρος του αριθμητή του απέναντι σημείου. Ας ξεκινήσουμε πάλι με το π/6. Ας προσθέσουμε στην τιμή του παρονομαστή ίση με 6 έναν αριθμό που είναι 1 μικρότερος από αυτόν τον αριθμό - δηλαδή 5. Παίρνουμε: 6 + 5 = 11. Αυτό σημαίνει ότι είναι απέναντι από τον άξονα Χτο σημείο θα έχει 6 στον παρονομαστή και 11 στον αριθμητή - δηλαδή 11π/6.

Σημείο π/4. Προσθέτουμε στην τιμή του παρονομαστή έναν αριθμό 1 μικρότερο: 4 + 3 = 7. Αυτό σημαίνει ότι είναι απέναντι από τον άξονα Χτο σημείο έχει 4 στον παρονομαστή και 7 στον αριθμητή - δηλαδή 7π/4.
Σημείο π/3. Ο παρονομαστής είναι 3. Προσθέτουμε στο 3 έναν μικρότερο αριθμό κατά ένα - δηλαδή, 2. Παίρνουμε 5. Αυτό σημαίνει ότι το σημείο απέναντι από αυτό έχει 5 στον αριθμητή - και αυτό είναι το σημείο 5π/3.

3) Άλλο ένα μοτίβο για τους πόντους των μεσαίων σημείων των τετάρτων. Είναι σαφές ότι ο παρονομαστής τους είναι 4. Ας προσέξουμε τους αριθμητές. Ο αριθμητής των μέσων του πρώτου τριμήνου είναι 1π (αλλά δεν συνηθίζεται να γράφεται 1). Ο αριθμητής των μέσων του δεύτερου τριμήνου είναι 3π. Ο αριθμητής των μέσων του τρίτου τριμήνου είναι 5π. Ο αριθμητής του μέσου τέταρτου τριμήνου είναι 7π. Αποδεικνύεται ότι οι αριθμητές των μεσαίων τετάρτων περιέχουν τους τέσσερις πρώτους περιττούς αριθμούς σε αύξουσα σειρά:
(1)π, 3π, 5π, 7π.
Αυτό είναι επίσης πολύ απλό. Δεδομένου ότι τα μεσαία σημεία όλων των τετάρτων έχουν 4 στον παρονομαστή, γνωρίζουμε ήδη τα πλήρη ονόματά τους: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.

Χαρακτηριστικά του κύκλου αριθμών. Σύγκριση με την αριθμητική γραμμή.

Όπως γνωρίζετε, στην αριθμητική γραμμή, κάθε σημείο αντιστοιχεί σε έναν μόνο αριθμό. Για παράδειγμα, αν το σημείο Α σε μια ευθεία είναι ίσο με 3, τότε δεν μπορεί πλέον να είναι ίσο με κανέναν άλλο αριθμό.

Είναι διαφορετικό στον αριθμητικό κύκλο γιατί είναι κύκλος. Για παράδειγμα, για να έρθετε από το σημείο Α ενός κύκλου στο σημείο Μ, μπορείτε να το κάνετε σαν σε ευθεία γραμμή (περνώντας μόνο ένα τόξο), ή μπορείτε να περιηγηθείτε σε έναν ολόκληρο κύκλο και μετά να φτάσετε στο σημείο Μ. Συμπέρασμα:

Έστω το σημείο Μ ίσο με κάποιον αριθμό t. Όπως γνωρίζουμε, η περιφέρεια ενός κύκλου είναι 2π. Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να γράψουμε ένα σημείο σε έναν κύκλο t με δύο τρόπους: t ή t + 2π. Αυτές είναι ισοδύναμες τιμές.
Δηλαδή t = t + 2π. Η μόνη διαφορά είναι ότι στην πρώτη περίπτωση έφτασες στο σημείο Μ αμέσως χωρίς να κάνεις κύκλο, και στη δεύτερη περίπτωση έκανες κύκλο, αλλά κατέληξες στο ίδιο σημείο Μ. Μπορείς να κάνεις δύο, τρεις ή διακόσια τέτοια κύκλους . Αν συμβολίσουμε τον αριθμό των κύκλων με το γράμμα n, τότε παίρνουμε μια νέα έκφραση:
t = t + 2π n.

Εξ ου και ο τύπος: