Περιοδικοί δεκαδικοί αριθμοί. Κοινά και δεκαδικά κλάσματα και πράξεις σε αυτά Πώς μοιάζει ένα τελικό δεκαδικό κλάσμα

Αυτό το άρθρο αφορά δεκαδικά. Εδώ θα κατανοήσουμε τον δεκαδικό συμβολισμό των κλασματικών αριθμών, θα εισαγάγουμε την έννοια του δεκαδικού κλάσματος και θα δώσουμε παραδείγματα δεκαδικών κλασμάτων. Στη συνέχεια θα μιλήσουμε για τα ψηφία των δεκαδικών κλασμάτων και θα δώσουμε τα ονόματα των ψηφίων. Μετά από αυτό, θα επικεντρωθούμε σε άπειρα δεκαδικά κλάσματα, ας μιλήσουμε για περιοδικά και μη κλάσματα. Στη συνέχεια παραθέτουμε τις βασικές πράξεις με δεκαδικά κλάσματα. Συμπερασματικά, ας καθορίσουμε τη θέση των δεκαδικών κλασμάτων στη δέσμη συντεταγμένων.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Δεκαδικός συμβολισμός κλασματικού αριθμού

Ανάγνωση δεκαδικών

Ας πούμε λίγα λόγια για τους κανόνες ανάγνωσης δεκαδικών κλασμάτων.

Τα δεκαδικά κλάσματα, τα οποία αντιστοιχούν σε σωστά συνηθισμένα κλάσματα, διαβάζονται με τον ίδιο τρόπο όπως αυτά τα συνηθισμένα κλάσματα, πρώτα προστίθεται μόνο «μηδενικός ακέραιος». Για παράδειγμα, το δεκαδικό κλάσμα 0,12 αντιστοιχεί στο κοινό κλάσμα 12/100 (διαβάζεται "δώδεκα εκατοστά"), επομένως, το 0,12 διαβάζεται ως "σημείο μηδέν δώδεκα εκατοστά".

Τα δεκαδικά κλάσματα που αντιστοιχούν σε μεικτούς αριθμούς διαβάζονται ακριβώς το ίδιο με αυτούς τους μικτούς αριθμούς. Για παράδειγμα, το δεκαδικό κλάσμα 56.002 αντιστοιχεί σε έναν μεικτό αριθμό, οπότε το δεκαδικό κλάσμα 56.002 διαβάζεται ως "πενήντα έξι σημεία δύο χιλιοστά".

Θέσεις σε δεκαδικά ψηφία

Στη γραφή δεκαδικών κλασμάτων, καθώς και στη σύνταξη φυσικών αριθμών, η σημασία κάθε ψηφίου εξαρτάται από τη θέση του. Πράγματι, ο αριθμός 3 στο δεκαδικό κλάσμα 0,3 σημαίνει τρία δέκατα, στο δεκαδικό κλάσμα 0,0003 - τρία δέκα χιλιοστά και στο δεκαδικό κλάσμα 30.000,152 - τρεις δεκάδες χιλιάδες. Μπορούμε λοιπόν να μιλήσουμε για δεκαδικά ψηφία, καθώς και για τα ψηφία των φυσικών αριθμών.

Τα ονόματα των ψηφίων στο δεκαδικό κλάσμα μέχρι την υποδιαστολή συμπίπτουν πλήρως με τα ονόματα των ψηφίων σε φυσικούς αριθμούς. Και τα ονόματα των δεκαδικών ψηφίων μετά την υποδιαστολή φαίνονται από τον παρακάτω πίνακα.

Για παράδειγμα, στο δεκαδικό κλάσμα 37.051, το ψηφίο 3 είναι στη θέση των δεκάδων, το 7 είναι στη θέση των μονάδων, το 0 είναι στη δέκατη θέση, το 5 είναι στη θέση των εκατοστών και το 1 είναι στη θέση των χιλιοστών.

Οι θέσεις στα δεκαδικά κλάσματα διαφέρουν επίσης ως προς την προτεραιότητα. Αν γράφοντας ένα δεκαδικό κλάσμα μετακινούμαστε από ψηφίο σε ψηφίο από αριστερά προς τα δεξιά, τότε θα μετακινηθούμε από ηλικιωμένουςΠρος την κατώτερες τάξεις. Για παράδειγμα, η θέση εκατοντάδων είναι μεγαλύτερη από τη δέκατη θέση και η θέση εκατομμυρίων είναι χαμηλότερη από τη θέση εκατοστών. Σε ένα δεδομένο τελικό δεκαδικό κλάσμα, μπορούμε να μιλήσουμε για τα μείζονα και τα δευτερεύοντα ψηφία. Για παράδειγμα, στο δεκαδικό κλάσμα 604,9387 ανώτερος (υψηλότερος)το μέρος είναι το εκατοντάδες μέρος, και junior (χαμηλότερο)- ψηφίο δέκα χιλιάδων.

Για τα δεκαδικά κλάσματα, πραγματοποιείται επέκταση σε ψηφία. Είναι παρόμοιο με την επέκταση σε ψηφία φυσικών αριθμών. Για παράδειγμα, η επέκταση σε δεκαδικά ψηφία του 45,6072 είναι η εξής: 45,6072=40+5+0,6+0,007+0,0002. Και οι ιδιότητες της πρόσθεσης από την αποσύνθεση ενός δεκαδικού κλάσματος σε ψηφία σας επιτρέπουν να προχωρήσετε σε άλλες αναπαραστάσεις αυτού του δεκαδικού κλάσματος, για παράδειγμα, 45,6072=45+0,6072, ή 45,6072=40,6+5,007+0,0002, ή 45,6072+ 0,6.

Τελικοί δεκαδικοί αριθμοί

Μέχρι αυτό το σημείο, μιλήσαμε μόνο για δεκαδικά κλάσματα, στη σημειογραφία των οποίων υπάρχει πεπερασμένος αριθμός ψηφίων μετά την υποδιαστολή. Τέτοια κλάσματα ονομάζονται πεπερασμένα δεκαδικά.

Ορισμός.

Τελικοί δεκαδικοί αριθμοί- Πρόκειται για δεκαδικά κλάσματα, οι εγγραφές των οποίων περιέχουν πεπερασμένο αριθμό χαρακτήρων (ψηφία).

Ακολουθούν μερικά παραδείγματα τελικών δεκαδικών κλασμάτων: 0,317, 3,5, 51,1020304958, 230,032,45.

Ωστόσο, δεν μπορεί να αναπαρασταθεί κάθε κλάσμα ως τελικό δεκαδικό. Για παράδειγμα, το κλάσμα 5/13 δεν μπορεί να αντικατασταθεί από ένα ίσο κλάσμα με έναν από τους παρονομαστές 10, 100, ..., επομένως, δεν μπορεί να μετατραπεί σε τελικό δεκαδικό κλάσμα. Θα μιλήσουμε περισσότερο για αυτό στην ενότητα της θεωρίας, μετατρέποντας τα συνηθισμένα κλάσματα σε δεκαδικά.

Άπειροι δεκαδικοί: Περιοδικά κλάσματα και μη περιοδικά κλάσματα

Γράφοντας ένα δεκαδικό κλάσμα μετά την υποδιαστολή, μπορείτε να υποθέσετε την πιθανότητα ενός άπειρου αριθμού ψηφίων. Σε αυτή την περίπτωση, θα έρθουμε να εξετάσουμε τα λεγόμενα άπειρα δεκαδικά κλάσματα.

Ορισμός.

Άπειρα δεκαδικά- Πρόκειται για δεκαδικά κλάσματα, που περιέχουν άπειρο αριθμό ψηφίων.

Είναι σαφές ότι δεν μπορούμε να γράψουμε άπειρα δεκαδικά κλάσματα σε πλήρη μορφή, έτσι στην καταγραφή τους περιοριζόμαστε μόνο σε έναν ορισμένο πεπερασμένο αριθμό ψηφίων μετά την υποδιαστολή και βάζουμε μια έλλειψη που δείχνει μια άπειρα συνεχόμενη ακολουθία ψηφίων. Ακολουθούν μερικά παραδείγματα άπειρων δεκαδικών κλασμάτων: 0,143940932…, 3,1415935432…, 153,02003004005…, 2,111111111…, 69,74152152152….

Αν κοιτάξετε προσεκτικά τα δύο τελευταία άπειρα δεκαδικά κλάσματα, τότε στο κλάσμα 2.111111111... ο ατέλειωτα επαναλαμβανόμενος αριθμός 1 φαίνεται καθαρά και στο κλάσμα 69.74152152152..., ξεκινώντας από το τρίτο δεκαδικό ψηφίο, μια επαναλαμβανόμενη ομάδα αριθμών Τα 1, 5 και 2 είναι καθαρά ορατά. Τέτοια άπειρα δεκαδικά κλάσματα ονομάζονται περιοδικά.

Ορισμός.

Περιοδικοί δεκαδικοί αριθμοί(ή απλά περιοδικά κλάσματα) είναι ατελείωτα δεκαδικά κλάσματα, στην καταγραφή των οποίων, ξεκινώντας από ένα συγκεκριμένο δεκαδικό ψηφίο, επαναλαμβάνεται ατελείωτα κάποιος αριθμός ή ομάδα αριθμών, που λέγεται περίοδος του κλάσματος.

Για παράδειγμα, η περίοδος του περιοδικού κλάσματος 2.111111111... είναι το ψηφίο 1 και η περίοδος του κλάσματος 69.74152152152... είναι μια ομάδα ψηφίων της μορφής 152.

Για άπειρα περιοδικά δεκαδικά κλάσματα, υιοθετείται μια ειδική μορφή σημειογραφίας. Για συντομία, συμφωνήσαμε να γράψουμε την περίοδο μία φορά, κλείνοντάς την σε παρένθεση. Για παράδειγμα, το περιοδικό κλάσμα 2.111111111... γράφεται ως 2,(1) και το περιοδικό κλάσμα 69.74152152152... γράφεται ως 69.74(152) .

Αξίζει να σημειωθεί ότι μπορούν να καθοριστούν διαφορετικές περίοδοι για το ίδιο περιοδικό δεκαδικό κλάσμα. Για παράδειγμα, το περιοδικό δεκαδικό κλάσμα 0,73333... μπορεί να θεωρηθεί ως κλάσμα 0,7(3) με περίοδο 3, και επίσης ως κλάσμα 0,7(33) με περίοδο 33, και ούτω καθεξής 0,7(333), 0,7 (3333), ... Μπορείτε επίσης να δείτε το περιοδικό κλάσμα 0,73333 ... ως εξής: 0,733(3), ή όπως αυτό 0,73(333) κ.λπ. Εδώ, για να αποφευχθούν ασάφειες και αποκλίσεις, συμφωνούμε να θεωρήσουμε ως περίοδο ενός δεκαδικού κλάσματος τη συντομότερη από όλες τις πιθανές ακολουθίες επαναλαμβανόμενων ψηφίων και ξεκινώντας από την πλησιέστερη θέση στην υποδιαστολή. Δηλαδή, η περίοδος του δεκαδικού κλάσματος 0,73333... θα θεωρείται ακολουθία ενός ψηφίου 3, και η περιοδικότητα ξεκινά από τη δεύτερη θέση μετά την υποδιαστολή, δηλαδή 0,73333...=0,7(3). Άλλο παράδειγμα: το περιοδικό κλάσμα 4,7412121212... έχει περίοδο 12, η ​​περιοδικότητα ξεκινά από το τρίτο ψηφίο μετά την υποδιαστολή, δηλαδή 4,7412121212...=4,74(12).

Τα άπειρα δεκαδικά περιοδικά κλάσματα λαμβάνονται μετατρέποντας σε δεκαδικά κλάσματα συνηθισμένα κλάσματα των οποίων οι παρονομαστές περιέχουν πρώτους παράγοντες διαφορετικούς από το 2 και το 5.

Εδώ αξίζει να αναφέρουμε περιοδικά κλάσματα με περίοδο 9. Ας δώσουμε παραδείγματα τέτοιων κλασμάτων: 6.43(9) , 27,(9) . Αυτά τα κλάσματα είναι ένας άλλος συμβολισμός για περιοδικά κλάσματα με περίοδο 0 και συνήθως αντικαθίστανται από περιοδικά κλάσματα με περίοδο 0. Για να γίνει αυτό, η περίοδος 9 αντικαθίσταται από την περίοδο 0 και η τιμή του επόμενου υψηλότερου ψηφίου αυξάνεται κατά ένα. Για παράδειγμα, ένα κλάσμα με τελεία 9 της μορφής 7.24(9) αντικαθίσταται από ένα περιοδικό κλάσμα με περίοδο 0 της μορφής 7.25(0) ή ένα ίσο τελικό δεκαδικό κλάσμα 7.25. Ένα άλλο παράδειγμα: 4,(9)=5,(0)=5. Η ισότητα ενός κλάσματος με περίοδο 9 και του αντίστοιχου κλάσματος με περίοδο 0 καθορίζεται εύκολα μετά την αντικατάσταση αυτών των δεκαδικών κλασμάτων με ίσα συνηθισμένα κλάσματα.

Τέλος, ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στα άπειρα δεκαδικά κλάσματα, τα οποία δεν περιέχουν μια ατελείωτα επαναλαμβανόμενη ακολουθία ψηφίων. Ονομάζονται μη περιοδικές.

Ορισμός.

Μη επαναλαμβανόμενα δεκαδικά ψηφία(ή απλά μη περιοδικά κλάσματα) είναι άπειρα δεκαδικά κλάσματα που δεν έχουν τελεία.

Μερικές φορές τα μη περιοδικά κλάσματα έχουν μορφή παρόμοια με αυτή των περιοδικών κλασμάτων, για παράδειγμα, το 8.02002000200002... είναι ένα μη περιοδικό κλάσμα. Σε αυτές τις περιπτώσεις, θα πρέπει να είστε ιδιαίτερα προσεκτικοί για να παρατηρήσετε τη διαφορά.

Σημειώστε ότι τα μη περιοδικά κλάσματα δεν μετατρέπονται σε συνηθισμένα κλάσματα· τα άπειρα μη περιοδικά δεκαδικά κλάσματα αντιπροσωπεύουν άρρητους αριθμούς.

Πράξεις με δεκαδικούς αριθμούς

Μία από τις πράξεις με δεκαδικά κλάσματα είναι η σύγκριση και ορίζονται επίσης οι τέσσερις βασικές αριθμητικές συναρτήσεις πράξεις με δεκαδικούς: πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός και διαίρεση. Ας εξετάσουμε ξεχωριστά κάθε μία από τις ενέργειες με δεκαδικά κλάσματα.

Σύγκριση δεκαδικώνβασίζονται ουσιαστικά στη σύγκριση των συνηθισμένων κλασμάτων που αντιστοιχούν στα δεκαδικά κλάσματα που συγκρίνονται. Ωστόσο, η μετατροπή δεκαδικών κλασμάτων σε συνηθισμένα κλάσματα είναι μια διαδικασία που απαιτεί αρκετά κόπο και τα άπειρα μη περιοδικά κλάσματα δεν μπορούν να αναπαρασταθούν ως ένα συνηθισμένο κλάσμα, επομένως είναι βολικό να χρησιμοποιηθεί μια τοπικά σύγκριση δεκαδικών κλασμάτων. Η χωρικά σύγκριση δεκαδικών κλασμάτων είναι παρόμοια με τη σύγκριση φυσικών αριθμών. Για πιο λεπτομερείς πληροφορίες, συνιστούμε να μελετήσετε το άρθρο: σύγκριση δεκαδικών κλασμάτων, κανόνες, παραδείγματα, λύσεις.

Ας προχωρήσουμε στο επόμενο βήμα - πολλαπλασιάζοντας δεκαδικούς αριθμούς. Ο πολλαπλασιασμός των πεπερασμένων δεκαδικών κλασμάτων πραγματοποιείται παρόμοια με την αφαίρεση δεκαδικών κλασμάτων, κανόνων, παραδειγμάτων, λύσεων πολλαπλασιασμού με στήλη φυσικών αριθμών. Στην περίπτωση περιοδικών κλασμάτων, ο πολλαπλασιασμός μπορεί να αναχθεί σε πολλαπλασιασμό συνηθισμένων κλασμάτων. Με τη σειρά του, ο πολλαπλασιασμός των άπειρων μη περιοδικών δεκαδικών κλασμάτων μετά τη στρογγυλοποίησή τους ανάγεται στον πολλαπλασιασμό των πεπερασμένων δεκαδικών κλασμάτων. Συνιστούμε για περαιτέρω μελέτη του υλικού στο άρθρο: πολλαπλασιασμό δεκαδικών κλασμάτων, κανόνες, παραδείγματα, λύσεις.

Δεκαδικοί σε μια ακτίνα συντεταγμένων

Υπάρχει αντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ σημείων και δεκαδικών.

Ας δούμε πώς κατασκευάζονται σημεία στην ακτίνα συντεταγμένων που αντιστοιχούν σε ένα δεδομένο δεκαδικό κλάσμα.

Μπορούμε να αντικαταστήσουμε τα πεπερασμένα δεκαδικά κλάσματα και τα άπειρα περιοδικά δεκαδικά κλάσματα με ίσα συνηθισμένα κλάσματα και στη συνέχεια να κατασκευάσουμε τα αντίστοιχα συνηθισμένα κλάσματα στην ακτίνα συντεταγμένων. Για παράδειγμα, το δεκαδικό κλάσμα 1.4 αντιστοιχεί στο κοινό κλάσμα 14/10, επομένως το σημείο με συντεταγμένη 1.4 αφαιρείται από την αρχή στη θετική κατεύθυνση κατά 14 τμήματα ίσα με το ένα δέκατο του τμήματος μονάδας.

Τα δεκαδικά κλάσματα μπορούν να σημειωθούν σε μια ακτίνα συντεταγμένων, ξεκινώντας από την αποσύνθεση ενός δεδομένου δεκαδικού κλάσματος σε ψηφία. Για παράδειγμα, ας χρειαστεί να οικοδομήσουμε ένα σημείο με συντεταγμένη 16.3007, αφού 16.3007=16+0.3+0.0007, τότε μπορούμε να φτάσουμε σε αυτό το σημείο τοποθετώντας διαδοχικά 16 τμήματα μονάδας από την αρχή των συντεταγμένων, 3 τμήματα με μήκος ίσο με ένα δέκατο μιας μονάδας, και 7 τμήματα, το μήκος των οποίων είναι ίσο με το δέκατο χιλιοστό του τμήματος μονάδας.

Αυτή η μέθοδος κατασκευής δεκαδικών αριθμών σε μια ακτίνα συντεταγμένων σας επιτρέπει να πλησιάσετε όσο θέλετε στο σημείο που αντιστοιχεί σε ένα άπειρο δεκαδικό κλάσμα.

Μερικές φορές είναι δυνατό να σχεδιάσουμε με ακρίβεια το σημείο που αντιστοιχεί σε ένα άπειρο δεκαδικό κλάσμα. Για παράδειγμα, , τότε αυτό το άπειρο δεκαδικό κλάσμα 1,41421... αντιστοιχεί σε ένα σημείο της ακτίνας συντεταγμένων, που απέχει από την αρχή των συντεταγμένων κατά το μήκος της διαγωνίου ενός τετραγώνου με πλευρά 1 μονάδας τμήματος.

Η αντίστροφη διαδικασία λήψης του δεκαδικού κλάσματος που αντιστοιχεί σε ένα δεδομένο σημείο σε μια ακτίνα συντεταγμένων είναι η λεγόμενη δεκαδική μέτρηση ενός τμήματος. Ας καταλάβουμε πώς γίνεται.

Ας είναι το καθήκον μας να φτάσουμε από την αρχή σε ένα δεδομένο σημείο της γραμμής συντεταγμένων (ή να το προσεγγίσουμε άπειρα αν δεν μπορούμε να το φτάσουμε). Με τη δεκαδική μέτρηση ενός τμήματος, μπορούμε διαδοχικά να αφαιρέσουμε από την αρχή οποιονδήποτε αριθμό μονάδων τμημάτων, μετά τμήματα των οποίων το μήκος είναι ίσο με το ένα δέκατο της μονάδας, μετά τμήματα των οποίων το μήκος είναι ίσο με το εκατοστό της μονάδας κ.λπ. Καταγράφοντας τον αριθμό των τμημάτων κάθε μήκους που παραμερίζονται, λαμβάνουμε το δεκαδικό κλάσμα που αντιστοιχεί σε ένα δεδομένο σημείο της ακτίνας συντεταγμένων.

Για παράδειγμα, για να φτάσετε στο σημείο M στο παραπάνω σχήμα, πρέπει να αφήσετε κατά μέρος 1 τμήμα μονάδας και 4 τμήματα, το μήκος των οποίων είναι ίσο με το ένα δέκατο της μονάδας. Έτσι, το σημείο Μ αντιστοιχεί στο δεκαδικό κλάσμα 1.4.

Είναι σαφές ότι τα σημεία της ακτίνας συντεταγμένων, τα οποία δεν μπορούν να προσεγγιστούν στη διαδικασία της δεκαδικής μέτρησης, αντιστοιχούν σε άπειρα δεκαδικά κλάσματα.

Βιβλιογραφία.

• Μαθηματικά: σχολικό βιβλίο για την Ε΄ τάξη. γενική εκπαίδευση ιδρύματα / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21η έκδ., σβησμένο. - Μ.: Μνημοσύνη, 2007. - 280 σελ.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
• Μαθηματικά.ΣΤ τάξη: εκπαιδευτικά. για γενική εκπαίδευση ιδρύματα / [Ν. Ya. Vilenkin και άλλοι]. - 22η έκδ., αναθ. - Μ.: Μνημοσύνη, 2008. - 288 σελ.: εικ. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Αλγεβρα:εγχειρίδιο για την 8η τάξη. γενική εκπαίδευση ιδρύματα / [Γιού. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; επεξεργάστηκε από S. A. Telyakovsky. - 16η έκδ. - Μ.: Εκπαίδευση, 2008. - 271 σελ. : Εγώ θα. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G.Μαθηματικά (εγχειρίδιο για όσους εισέρχονται σε τεχνικές σχολές): Proc. επίδομα.- Μ.; Πιο ψηλά σχολείο, 1984.-351 σ., εικ.

Θυμάστε πώς στο πρώτο μάθημα σχετικά με τα δεκαδικά είπα ότι υπάρχουν αριθμητικά κλάσματα που δεν μπορούν να αναπαρασταθούν ως δεκαδικοί (βλ. μάθημα "Δεκαδικοί"); Μάθαμε επίσης πώς να συνυπολογίζουμε τους παρονομαστές των κλασμάτων για να δούμε αν υπήρχαν άλλοι αριθμοί εκτός από το 2 και το 5.

Λοιπόν: είπα ψέματα. Και σήμερα θα μάθουμε πώς να μετατρέπουμε απολύτως οποιοδήποτε αριθμητικό κλάσμα σε δεκαδικό. Ταυτόχρονα, θα εξοικειωθούμε με μια ολόκληρη κατηγορία κλασμάτων με άπειρο σημαντικό μέρος.

Περιοδικό δεκαδικό είναι κάθε δεκαδικό που:

1. Το σημαντικό μέρος αποτελείται από έναν άπειρο αριθμό ψηφίων.
2. Σε ορισμένα διαστήματα επαναλαμβάνονται οι αριθμοί στο σημαντικό μέρος.

Το σύνολο των επαναλαμβανόμενων ψηφίων που αποτελούν το σημαντικό μέρος ονομάζεται περιοδικό μέρος ενός κλάσματος και ο αριθμός των ψηφίων σε αυτό το σύνολο ονομάζεται περίοδος του κλάσματος. Το υπόλοιπο τμήμα του σημαντικού μέρους, το οποίο δεν επαναλαμβάνεται, ονομάζεται μη περιοδικό μέρος.

Δεδομένου ότι υπάρχουν πολλοί ορισμοί, αξίζει να εξεταστούν μερικά από αυτά τα κλάσματα λεπτομερώς:

Αυτό το κλάσμα εμφανίζεται πιο συχνά σε προβλήματα. Μη περιοδικό μέρος: 0; περιοδικό μέρος: 3; διάρκεια περιόδου: 1.

Μη περιοδικό μέρος: 0,58; περιοδικό μέρος: 3; διάρκεια περιόδου: ξανά 1.

Μη περιοδικό μέρος: 1; περιοδικό μέρος: 54; Διάρκεια περιόδου: 2.

Μη περιοδικό μέρος: 0; περιοδικό μέρος: 641025; διάρκεια περιόδου: 6. Για ευκολία, τα επαναλαμβανόμενα μέρη χωρίζονται μεταξύ τους με ένα κενό - αυτό δεν είναι απαραίτητο σε αυτήν τη λύση.

Μη περιοδικό μέρος: 3066; περιοδικό μέρος: 6; διάρκεια περιόδου: 1.

Όπως μπορείτε να δείτε, ο ορισμός ενός περιοδικού κλάσματος βασίζεται στην έννοια σημαντικό μέρος ενός αριθμού. Επομένως, εάν έχετε ξεχάσει τι είναι, συνιστώ να το επαναλάβετε - δείτε το μάθημα "".

Μετάβαση σε περιοδικό δεκαδικό κλάσμα

Θεωρήστε ένα συνηθισμένο κλάσμα της μορφής a /b. Ας παραγοντοποιήσουμε τον παρονομαστή του σε πρώτους παράγοντες. Υπάρχουν δύο επιλογές:

1. Η επέκταση περιέχει μόνο τους παράγοντες 2 και 5. Αυτά τα κλάσματα μετατρέπονται εύκολα σε δεκαδικά ψηφία - δείτε το μάθημα «Δεκαδικοί». Δεν μας ενδιαφέρουν τέτοιοι άνθρωποι.
2. Υπάρχει κάτι άλλο στην επέκταση εκτός από το 2 και το 5. Στην περίπτωση αυτή, το κλάσμα δεν μπορεί να αναπαρασταθεί ως δεκαδικό, αλλά μπορεί να μετατραπεί σε περιοδικό δεκαδικό.

Για να ορίσετε ένα περιοδικό δεκαδικό κλάσμα, πρέπει να βρείτε τα περιοδικά και τα μη περιοδικά μέρη του. Πως? Μετατρέψτε το κλάσμα σε ακατάλληλο κλάσμα και, στη συνέχεια, διαιρέστε τον αριθμητή με τον παρονομαστή χρησιμοποιώντας μια γωνία.

Θα συμβούν τα εξής:

1. Θα χωρίσει πρώτα ολόκληρο μέρος, αν υπαρχει;
2. Μπορεί να υπάρχουν αρκετοί αριθμοί μετά την υποδιαστολή.
3. Μετά από λίγο θα ξεκινήσουν οι αριθμοί επαναλαμβάνω.

Αυτό είναι όλο! Οι επαναλαμβανόμενοι αριθμοί μετά την υποδιαστολή συμβολίζονται με το περιοδικό μέρος και αυτοί που βρίσκονται μπροστά με το μη περιοδικό μέρος.

Εργο. Μετατρέψτε τα συνηθισμένα κλάσματα σε περιοδικά δεκαδικά ψηφία:

Όλα τα κλάσματα χωρίς ακέραιο μέρος, οπότε απλά διαιρούμε τον αριθμητή με τον παρονομαστή με μια "γωνία":

Όπως μπορείτε να δείτε, τα υπόλοιπα επαναλαμβάνονται. Ας γράψουμε το κλάσμα στη «σωστή» μορφή: 1,733 ... = 1,7(3).

Το αποτέλεσμα είναι ένα κλάσμα: 0,5833 ... = 0,58(3).

Το γράφουμε σε κανονική μορφή: 4.0909 ... = 4,(09).

Παίρνουμε το κλάσμα: 0,4141 ... = 0,(41).

Μετάβαση από το περιοδικό δεκαδικό κλάσμα στο συνηθισμένο κλάσμα

Θεωρήστε το περιοδικό δεκαδικό κλάσμα X = abc (a 1 b 1 c 1). Απαιτείται η μετατροπή του σε κλασικό «διώροφο». Για να το κάνετε αυτό, ακολουθήστε τέσσερα απλά βήματα:

1. Να βρείτε την περίοδο του κλάσματος, δηλ. μετρήστε πόσα ψηφία υπάρχουν στο περιοδικό μέρος. Έστω αυτός ο αριθμός k.
2. Να βρείτε την τιμή της παράστασης Χ · 10 κ. Αυτό ισοδυναμεί με τη μετατόπιση της υποδιαστολής προς τα δεξιά σε μια πλήρη περίοδο - δείτε το μάθημα "Πολλαπλασιασμός και διαίρεση δεκαδικών αριθμών".
3. Η αρχική έκφραση πρέπει να αφαιρεθεί από τον αριθμό που προκύπτει. Σε αυτή την περίπτωση, το περιοδικό τμήμα «καίγεται» και παραμένει κοινό κλάσμα;
4. Βρείτε το Χ στην εξίσωση που προκύπτει. Μετατρέπουμε όλα τα δεκαδικά κλάσματα σε συνηθισμένα κλάσματα.

Εργο. Μετατρέψτε τον αριθμό σε ένα συνηθισμένο ακατάλληλο κλάσμα:

• 9,(6);
• 32,(39);
• 0,30(5);
• 0,(2475).

Δουλεύουμε με το πρώτο κλάσμα: X = 9,(6) = 9,666 ...

Οι παρενθέσεις περιέχουν μόνο ένα ψηφίο, οπότε η περίοδος είναι k = 1. Στη συνέχεια, πολλαπλασιάζουμε αυτό το κλάσμα με 10 k = 10 1 = 10. Έχουμε:

10Χ = 10 9,6666... ​​= 96,666...

Αφαιρέστε το αρχικό κλάσμα και λύστε την εξίσωση:

10X − X = 96.666 ... − 9.666 ... = 96 − 9 = 87;
9Χ = 87;
X = 87/9 = 29/3.

Τώρα ας δούμε το δεύτερο κλάσμα. Άρα X = 32, (39) = 32,393939...

Περίοδος k = 2, άρα πολλαπλασιάστε τα πάντα με 10 k = 10 2 = 100:

100X = 100 · 32,393939 ... = 3239,3939 ...

Αφαιρέστε ξανά το αρχικό κλάσμα και λύστε την εξίσωση:

100X − X = 3239,3939 ... − 32,3939 ... = 3239 − 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.

Ας προχωρήσουμε στο τρίτο κλάσμα: X = 0,30(5) = 0,30555... Το διάγραμμα είναι το ίδιο, οπότε θα δώσω απλώς τους υπολογισμούς:

Περίοδος k = 1 ⇒ πολλαπλασιάστε τα πάντα με 10 k = 10 1 = 10;

10X = 10 0,30555... = 3,05555...
10X − X = 3,0555 ... − 0,305555 ... = 2,75 = 11/4;
9Χ = 11/4;
X = (11/4) : 9 = 11/36.

Τέλος, το τελευταίο κλάσμα: X = 0,(2475) = 0,2475 2475... Και πάλι, για λόγους ευκολίας, τα περιοδικά μέρη χωρίζονται μεταξύ τους με κενά. Εχουμε:

k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10.000;
10.000X = 10.000 0,2475 2475 = 2475,2475 ...
10.000X − X = 2475,2475 ... − 0,2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.

κλασματικός αριθμός.

Δεκαδικός συμβολισμός κλασματικού αριθμούείναι ένα σύνολο δύο ή περισσότερων ψηφίων από $0$ έως $9$, μεταξύ των οποίων υπάρχει το λεγόμενο \textit (δεκαδικό σημείο).

Παράδειγμα 1

Για παράδειγμα, $35,02 $; 100,7 $; $123\456,5 $; $54,89 $.

Το πιο αριστερό ψηφίο στον δεκαδικό συμβολισμό ενός αριθμού δεν μπορεί να είναι μηδέν, η μόνη εξαίρεση είναι όταν η υποδιαστολή βρίσκεται αμέσως μετά το πρώτο ψηφίο $0$.

Παράδειγμα 2

Για παράδειγμα, $0,357$; $0,064 $.

Συχνά η υποδιαστολή αντικαθίσταται με μια υποδιαστολή. Για παράδειγμα, $35,02 $; 100,7 $; $123\456,5 $; $54,89 $.

Δεκαδικός ορισμός

Ορισμός 1

Δεκαδικά-- αυτοί είναι κλασματικοί αριθμοί που αναπαρίστανται με δεκαδικό συμβολισμό.

Για παράδειγμα, 121,05 $. $67,9 $; $345,6700 $.

Οι δεκαδικοί χρησιμοποιούνται για την πιο συμπαγή εγγραφή των κατάλληλων κλασμάτων, οι παρονομαστές των οποίων είναι οι αριθμοί $10$, $100$, $1\000$ κ.λπ. και μεικτούς αριθμούς, οι παρονομαστές του κλασματικού μέρους των οποίων είναι οι αριθμοί $10$, $100$, $1\000$ κ.λπ.

Για παράδειγμα, το κοινό κλάσμα $\frac(8)(10)$ μπορεί να γραφτεί ως δεκαδικό $0,8$ και ο μεικτός αριθμός $405\frac(8)(100)$ μπορεί να γραφτεί ως δεκαδικός αριθμός $405,08$.

Ανάγνωση δεκαδικών

Οι δεκαδικοί, που αντιστοιχούν σε κανονικά κλάσματα, διαβάζονται με τον ίδιο τρόπο όπως τα συνηθισμένα κλάσματα, μόνο η φράση «μηδενικοί ακέραιοι» προστίθεται μπροστά. Για παράδειγμα, το κοινό κλάσμα $\frac(25)(100)$ (διαβάστε "είκοσι πέντε εκατοστά") αντιστοιχεί στο δεκαδικό κλάσμα $0,25$ (διαβάστε "σημείο μηδέν εικοσιπέντε εκατοστά").

Τα δεκαδικά κλάσματα που αντιστοιχούν σε μεικτούς αριθμούς διαβάζονται με τον ίδιο τρόπο όπως και οι μικτοί αριθμοί. Για παράδειγμα, ο μεικτός αριθμός $43\frac(15)(1000)$ αντιστοιχεί στο δεκαδικό κλάσμα $43,015$ (διαβάστε "σαράντα τρία σημεία δεκαπέντε χιλιοστά").

Θέσεις σε δεκαδικά ψηφία

Κατά τη σύνταξη ενός δεκαδικού κλάσματος, η σημασία κάθε ψηφίου εξαρτάται από τη θέση του. Εκείνοι. στα δεκαδικά κλάσματα ισχύει και η έννοια κατηγορία.

Οι θέσεις στα δεκαδικά κλάσματα μέχρι την υποδιαστολή ονομάζονται ίδια με τις θέσεις στους φυσικούς αριθμούς. Τα δεκαδικά ψηφία μετά την υποδιαστολή παρατίθενται στον πίνακα:

Εικόνα 1.

Παράδειγμα 3

Για παράδειγμα, στο δεκαδικό κλάσμα $56,328$, το ψηφίο $5$ είναι στη θέση των δεκάδων, $6$ είναι στη θέση των μονάδων, $3$ είναι στη δέκατη θέση, $2$ είναι στη θέση εκατοστών, $8$ είναι στα χιλιοστά θέση.

Οι θέσεις στα δεκαδικά κλάσματα διακρίνονται με προτεραιότητα. Όταν διαβάζετε ένα δεκαδικό κλάσμα, μετακινηθείτε από αριστερά προς τα δεξιά - από αρχαιότεροςκατάταξη σε πιο ΝΕΟΣ.

Παράδειγμα 4

Για παράδειγμα, στο δεκαδικό κλάσμα $56,328$, η πιο σημαντική (υψηλότερη) θέση είναι η θέση των δεκάδων και η χαμηλή (χαμηλότερη) θέση είναι η χιλιοστή.

Ένα δεκαδικό κλάσμα μπορεί να επεκταθεί σε ψηφία παρόμοια με την ψηφιακή αποσύνθεση ενός φυσικού αριθμού.

Παράδειγμα 5

Για παράδειγμα, ας αναλύσουμε το δεκαδικό κλάσμα $37,851$ σε ψηφία:

$37,851=30+7+0,8+0,05+0,001$

Τελικοί δεκαδικοί αριθμοί

Ορισμός 2

Τελικοί δεκαδικοί αριθμοίονομάζονται δεκαδικά κλάσματα, οι εγγραφές των οποίων περιέχουν πεπερασμένο αριθμό χαρακτήρων (ψηφία).

Για παράδειγμα, $0,138$; $5,34 $; $56,123456 $; 350.972,54 $.

Οποιοδήποτε πεπερασμένο δεκαδικό κλάσμα μπορεί να μετατραπεί σε κλάσμα ή μεικτό αριθμό.

Παράδειγμα 6

Για παράδειγμα, το τελικό δεκαδικό κλάσμα $7,39$ αντιστοιχεί στον κλασματικό αριθμό $7\frac(39)(100)$ και το τελικό δεκαδικό κλάσμα $0,5$ αντιστοιχεί στο σωστό κοινό κλάσμα $\frac(5)(10)$ (ή οποιοδήποτε κλάσμα είναι ίσο με αυτό, για παράδειγμα, $\frac(1)(2)$ ή $\frac(10)(20)$.

Μετατροπή κλάσματος σε δεκαδικό

Μετατροπή κλασμάτων με παρονομαστές $10, 100, \dots$ σε δεκαδικά

Πριν μετατρέψετε ορισμένα σωστά κλάσματα σε δεκαδικά, πρέπει πρώτα να «προετοιμαστούν». Το αποτέλεσμα μιας τέτοιας προετοιμασίας θα πρέπει να είναι ο ίδιος αριθμός ψηφίων στον αριθμητή και ο ίδιος αριθμός μηδενικών στον παρονομαστή.

Η ουσία της «προκαταρκτικής προετοιμασίας» των κατάλληλων συνηθισμένων κλασμάτων για τη μετατροπή σε δεκαδικά κλάσματα είναι η προσθήκη τέτοιου αριθμού μηδενικών προς τα αριστερά στον αριθμητή που ο συνολικός αριθμός των ψηφίων γίνεται ίσος με τον αριθμό των μηδενικών στον παρονομαστή.

Παράδειγμα 7

Για παράδειγμα, ας προετοιμάσουμε το κλάσμα $\frac(43)(1000)$ για μετατροπή σε δεκαδικό και πάρουμε $\frac(043)(1000)$. Και το συνηθισμένο κλάσμα $\frac(83)(100)$ δεν χρειάζεται προετοιμασία.

Ας διατυπώσουμε κανόνας για τη μετατροπή ενός σωστού κοινού κλάσματος με παρονομαστή $10$, ή $100$, ή $1\000$, $\dots$ σε δεκαδικό κλάσμα:

γράψτε $0$;

αφού έβαλε υποδιαστολή?

Σημειώστε τον αριθμό από τον αριθμητή (μαζί με τα μηδενικά που προστέθηκαν μετά την προετοιμασία, εάν χρειάζεται).

Παράδειγμα 8

Μετατρέψτε το σωστό κλάσμα $\frac(23)(100)$ σε δεκαδικό.

Λύση.

Ο παρονομαστής περιέχει τον αριθμό $100$, ο οποίος περιέχει $2$ και δύο μηδενικά. Ο αριθμητής περιέχει τον αριθμό $23$, ο οποίος γράφεται με $2$.ψηφία. Αυτό σημαίνει ότι δεν χρειάζεται να προετοιμάσετε αυτό το κλάσμα για μετατροπή σε δεκαδικό.

Ας γράψουμε $0$, βάλουμε μια υποδιαστολή και γράψουμε τον αριθμό $23$ από τον αριθμητή. Παίρνουμε το δεκαδικό κλάσμα $0,23$.

Απάντηση: $0,23$.

Παράδειγμα 9

Γράψτε το σωστό κλάσμα $\frac(351)(100000)$ ως δεκαδικό.

Λύση.

Ο αριθμητής αυτού του κλάσματος περιέχει ψηφία $3$ και ο αριθμός των μηδενικών στον παρονομαστή είναι $5$, επομένως αυτό το συνηθισμένο κλάσμα πρέπει να προετοιμαστεί για μετατροπή σε δεκαδικό. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να προσθέσετε μηδενικά $5-3=2$ στα αριστερά στον αριθμητή: $\frac(00351)(100000)$.

Τώρα μπορούμε να σχηματίσουμε το επιθυμητό δεκαδικό κλάσμα. Για να το κάνετε αυτό, σημειώστε $0$, προσθέστε ένα κόμμα και σημειώστε τον αριθμό από τον αριθμητή. Παίρνουμε το δεκαδικό κλάσμα $0,00351$.

Απάντηση: $0,00351$.

Ας διατυπώσουμε κανόνας για τη μετατροπή ακατάλληλων κλασμάτων με παρονομαστές $10$, $100$, $\dots$ σε δεκαδικά κλάσματα:

γράψτε τον αριθμό από τον αριθμητή.

Χρησιμοποιήστε μια υποδιαστολή για να διαχωρίσετε τόσα ψηφία στα δεξιά όσα μηδενικά υπάρχουν στον παρονομαστή του αρχικού κλάσματος.

Παράδειγμα 10

Μετατρέψτε το ακατάλληλο κλάσμα $\frac(12756)(100)$ σε δεκαδικό.

Λύση.

Ας γράψουμε τον αριθμό από τον αριθμητή $12756$ και μετά διαχωρίζουμε τα ψηφία των $2$ στα δεξιά με μια υποδιαστολή, γιατί ο παρονομαστής του αρχικού κλάσματος $2$ είναι μηδέν. Παίρνουμε το δεκαδικό κλάσμα $127,56$.

Σε αυτό το άρθρο θα καταλάβουμε τι είναι το δεκαδικό κλάσμα, ποια χαρακτηριστικά και ιδιότητες έχει. Πηγαίνω! 🙂

Ένα δεκαδικό κλάσμα είναι μια ειδική περίπτωση συνηθισμένων κλασμάτων (όπου ο παρονομαστής είναι πολλαπλάσιο του 10).

Ορισμός

Οι δεκαδικοί είναι τα κλάσματα των οποίων οι παρονομαστές είναι αριθμοί που αποτελούνται από ένα και έναν αριθμό μηδενικών που ακολουθούν. Δηλαδή, πρόκειται για κλάσματα με παρονομαστή 10, 100, 1000 κ.λπ. Διαφορετικά, ένα δεκαδικό κλάσμα μπορεί να χαρακτηριστεί ως κλάσμα με παρονομαστή το 10 ή μία από τις δυνάμεις του δέκα.

Παραδείγματα κλασμάτων:

, ,

Τα δεκαδικά κλάσματα γράφονται διαφορετικά από τα συνηθισμένα κλάσματα. Οι πράξεις με αυτά τα κλάσματα είναι επίσης διαφορετικές από τις πράξεις με τις συνηθισμένες. Οι κανόνες για πράξεις με αυτά είναι σε μεγάλο βαθμό παρόμοιοι με τους κανόνες για πράξεις με ακέραιους αριθμούς. Αυτό, ειδικότερα, εξηγεί το αίτημά τους για επίλυση πρακτικών προβλημάτων.

Αναπαράσταση κλασμάτων σε δεκαδικό συμβολισμό

Το δεκαδικό κλάσμα δεν έχει παρονομαστή, εμφανίζει τον αριθμό του αριθμητή. Γενικά, ένα δεκαδικό κλάσμα γράφεται σύμφωνα με το ακόλουθο σχήμα:

όπου X είναι το ακέραιο μέρος του κλάσματος, Y είναι το κλασματικό μέρος του, "," είναι η υποδιαστολή.

Για να αναπαραστήσουμε σωστά ένα κλάσμα ως δεκαδικό, απαιτείται να είναι κανονικό κλάσμα, δηλαδή με τονισμένο τον ακέραιο (αν είναι δυνατόν) και αριθμητή μικρότερο από τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, με δεκαδικό συμβολισμό το ακέραιο μέρος γράφεται πριν από την υποδιαστολή (X), και ο αριθμητής του κοινού κλάσματος γράφεται μετά το δεκαδικό ψηφίο (Y).

Εάν ο αριθμητής περιέχει έναν αριθμό με λιγότερα ψηφία από τον αριθμό των μηδενικών στον παρονομαστή, τότε στο μέρος Y ο αριθμός των ψηφίων που λείπουν στον δεκαδικό συμβολισμό συμπληρώνεται με μηδενικά μπροστά από τα ψηφία του αριθμητή.

Παράδειγμα:

Αν ένα κοινό κλάσμα είναι μικρότερο από 1, δηλ. δεν έχει ακέραιο μέρος, τότε για το Χ σε δεκαδική μορφή γράψτε 0.

Στο κλασματικό μέρος (Υ), μετά το τελευταίο σημαντικό (μη μηδενικό) ψηφίο, μπορεί να εισαχθεί ένας αυθαίρετος αριθμός μηδενικών. Αυτό δεν επηρεάζει την τιμή του κλάσματος. Αντίθετα, όλα τα μηδενικά στο τέλος του κλασματικού μέρους του δεκαδικού μπορούν να παραληφθούν.

Ανάγνωση δεκαδικών

Το Μέρος Χ διαβάζεται γενικά ως εξής: «Χ ακέραιοι».

Το τμήμα Υ διαβάζεται σύμφωνα με τον αριθμό στον παρονομαστή. Για τον παρονομαστή 10 θα πρέπει να διαβάσετε: "Y δέκατα", για τον παρονομαστή 100: "Y εκατοστά", για τον παρονομαστή 1000: "Y χιλιοστά" και ούτω καθεξής... 😉

Μια άλλη προσέγγιση στην ανάγνωση, που βασίζεται στην καταμέτρηση του αριθμού των ψηφίων του κλασματικού μέρους, θεωρείται πιο σωστή. Για να γίνει αυτό, πρέπει να καταλάβετε ότι τα κλασματικά ψηφία βρίσκονται σε μια κατοπτρική εικόνα σε σχέση με τα ψηφία ολόκληρου του τμήματος του κλάσματος.

Τα ονόματα για τη σωστή ανάγνωση δίνονται στον πίνακα:

Με βάση αυτό, η ανάγνωση θα πρέπει να βασίζεται στη συμμόρφωση με το όνομα του ψηφίου του τελευταίου ψηφίου του κλασματικού μέρους.

• Το 3.5 διαβάζεται ως "τρία σημεία πέντε"
• 0,016 γράφει "σημείο μηδέν δεκαέξι χιλιοστά"

Μετατροπή αυθαίρετου κλάσματος σε δεκαδικό

Εάν ο παρονομαστής ενός κοινού κλάσματος είναι 10 ή κάποια δύναμη του δέκα, τότε η μετατροπή του κλάσματος γίνεται όπως περιγράφεται παραπάνω. Σε άλλες περιπτώσεις, απαιτούνται πρόσθετοι μετασχηματισμοί.

Υπάρχουν 2 μέθοδοι μετάφρασης.

Πρώτη μέθοδος μεταφοράς

Ο αριθμητής και ο παρονομαστής πρέπει να πολλαπλασιαστούν με έναν τέτοιο ακέραιο ώστε ο παρονομαστής να παράγει τον αριθμό 10 ή μία από τις δυνάμεις του δέκα. Και τότε το κλάσμα αναπαρίσταται με δεκαδικό συμβολισμό.

Αυτή η μέθοδος είναι εφαρμόσιμη για κλάσματα των οποίων ο παρονομαστής μπορεί να επεκταθεί μόνο σε 2 και 5. Έτσι, στο προηγούμενο παράδειγμα . Εάν η επέκταση περιέχει άλλους κύριους παράγοντες (για παράδειγμα, ), τότε θα πρέπει να καταφύγετε στη 2η μέθοδο.

Δεύτερη μέθοδος μετάφρασης

Η 2η μέθοδος είναι να διαιρέσουμε τον αριθμητή με τον παρονομαστή σε μια στήλη ή σε μια αριθμομηχανή. Ολόκληρο το μέρος, αν υπάρχει, δεν συμμετέχει στη μεταμόρφωση.

Ο κανόνας για διαίρεση μεγάλου μήκους που οδηγεί σε δεκαδικό κλάσμα περιγράφεται παρακάτω (βλ. Διαίρεση δεκαδικών).

Μετατροπή δεκαδικού κλάσματος σε κοινό κλάσμα

Για να γίνει αυτό, θα πρέπει να γράψετε το κλασματικό του μέρος (στα δεξιά της υποδιαστολής) ως αριθμητή και το αποτέλεσμα της ανάγνωσης του κλασματικού μέρους ως τον αντίστοιχο αριθμό στον παρονομαστή. Στη συνέχεια, εάν είναι δυνατόν, πρέπει να μειώσετε το κλάσμα που προκύπτει.

Πεπερασμένο και άπειρο δεκαδικό κλάσμα

Ένα δεκαδικό κλάσμα ονομάζεται τελικό κλάσμα, το κλασματικό μέρος του οποίου αποτελείται από έναν πεπερασμένο αριθμό ψηφίων.

Όλα τα παραπάνω παραδείγματα περιέχουν τελικά δεκαδικά κλάσματα. Ωστόσο, δεν μπορεί να αναπαρασταθεί κάθε συνηθισμένο κλάσμα ως τελικό δεκαδικό. Εάν η 1η μέθοδος μετατροπής δεν είναι εφαρμόσιμη για ένα δεδομένο κλάσμα και η 2η μέθοδος δείχνει ότι η διαίρεση δεν μπορεί να ολοκληρωθεί, τότε μπορεί να ληφθεί μόνο ένα άπειρο δεκαδικό κλάσμα.

Είναι αδύνατο να γράψουμε ένα άπειρο κλάσμα στην πλήρη του μορφή. Σε ημιτελή μορφή, τέτοια κλάσματα μπορούν να αναπαρασταθούν:

1. ως αποτέλεσμα της μείωσης στον επιθυμητό αριθμό δεκαδικών ψηφίων.
2. ως περιοδικό κλάσμα.

Ένα κλάσμα ονομάζεται περιοδικό εάν μετά την υποδιαστολή είναι δυνατό να διακρίνει κανείς μια ατελείωτα επαναλαμβανόμενη ακολουθία ψηφίων.

Τα υπόλοιπα κλάσματα ονομάζονται μη περιοδικά. Για τα μη περιοδικά κλάσματα επιτρέπεται μόνο η 1η μέθοδος αναπαράστασης (στρογγυλοποίηση).

Παράδειγμα περιοδικού κλάσματος: 0,8888888... Εδώ υπάρχει ένας επαναλαμβανόμενος αριθμός 8, ο οποίος, προφανώς, θα επαναλαμβάνεται επ' άπειρον, αφού δεν υπάρχει λόγος να υποθέσουμε το αντίθετο. Αυτό το σχήμα ονομάζεται περίοδος του κλάσματος.

Τα περιοδικά κλάσματα μπορεί να είναι καθαρά ή μικτά. Καθαρό δεκαδικό κλάσμα είναι εκείνο του οποίου η περίοδος αρχίζει αμέσως μετά την υποδιαστολή. Ένα μικτό κλάσμα έχει 1 ή περισσότερα ψηφία πριν από την υποδιαστολή.

54.33333… – περιοδικό καθαρό δεκαδικό κλάσμα

2,5621212121… – περιοδικό μικτό κλάσμα

Παραδείγματα γραφής άπειρων δεκαδικών κλασμάτων:

Το 2ο παράδειγμα δείχνει πώς να μορφοποιήσετε σωστά μια τελεία γράφοντας ένα περιοδικό κλάσμα.

Μετατροπή περιοδικών δεκαδικών κλασμάτων σε συνηθισμένα κλάσματα

Για να μετατρέψετε ένα καθαρό περιοδικό κλάσμα σε συνηθισμένη περίοδο, γράψτε το στον αριθμητή και γράψτε έναν αριθμό που αποτελείται από εννιά σε ποσότητα ίση με τον αριθμό των ψηφίων της περιόδου στον παρονομαστή.

Το μικτό περιοδικό δεκαδικό κλάσμα μεταφράζεται ως εξής:

1. πρέπει να σχηματίσετε έναν αριθμό που να αποτελείται από τον αριθμό μετά την υποδιαστολή πριν από την περίοδο και την πρώτη περίοδο.
2. Από τον αριθμό που προκύπτει, αφαιρέστε τον αριθμό μετά την υποδιαστολή πριν από την περίοδο. Το αποτέλεσμα θα είναι ο αριθμητής του κοινού κλάσματος.
3. στον παρονομαστή πρέπει να εισαγάγετε έναν αριθμό που αποτελείται από έναν αριθμό εννέα ίσο με τον αριθμό των ψηφίων της περιόδου, ακολουθούμενο από μηδενικά, ο αριθμός των οποίων είναι ίσος με τον αριθμό των ψηφίων του αριθμού μετά την υποδιαστολή πριν από την 1η περίοδος.

Σύγκριση δεκαδικών

Τα δεκαδικά κλάσματα συγκρίνονται αρχικά με ολόκληρα μέρη τους. Το κλάσμα του οποίου το όλο μέρος είναι μεγαλύτερο είναι μεγαλύτερο.

Αν τα ακέραια μέρη είναι ίδια, τότε συγκρίνετε τα ψηφία των αντίστοιχων ψηφίων του κλασματικού μέρους, ξεκινώντας από το πρώτο (από τα δέκατα). Η ίδια αρχή ισχύει και εδώ: το μεγαλύτερο κλάσμα είναι αυτό με περισσότερα δέκατα. αν τα ψηφία των δέκατων είναι ίσα, τα ψηφία των εκατοστών συγκρίνονται και ούτω καθεξής.

Επειδή η

, αφού με ίσα ολόκληρα μέρη και ίσα δέκατα στο κλασματικό μέρος, το 2ο κλάσμα έχει μεγαλύτερο αριθμό εκατοστών.

Πρόσθεση και αφαίρεση δεκαδικών αριθμών

Οι δεκαδικοί προστίθενται και αφαιρούνται με τον ίδιο τρόπο όπως οι ακέραιοι αριθμοί γράφοντας τα αντίστοιχα ψηφία το ένα κάτω από το άλλο. Για να γίνει αυτό, πρέπει να έχετε δεκαδικά ψηφία το ένα κάτω από το άλλο. Τότε οι μονάδες (δεκάδες κ.λπ.) του ακέραιου μέρους, καθώς και τα δέκατα (εκατοστά κ.λπ.) του κλασματικού μέρους, θα είναι σύμφωνα. Τα ψηφία που λείπουν από το κλασματικό μέρος συμπληρώνονται με μηδενικά. Κατευθείαν Η διαδικασία της πρόσθεσης και της αφαίρεσης πραγματοποιείται με τον ίδιο τρόπο όπως και για τους ακέραιους αριθμούς.

Πολλαπλασιασμός δεκαδικών

Για να πολλαπλασιάσετε δεκαδικά ψηφία, πρέπει να τα γράψετε το ένα κάτω από το άλλο, ευθυγραμμισμένα με το τελευταίο ψηφίο και χωρίς να προσέχετε τη θέση των δεκαδικών ψηφίων. Στη συνέχεια, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τους αριθμούς με τον ίδιο τρόπο όπως όταν πολλαπλασιάζετε ακέραιους αριθμούς. Αφού λάβετε το αποτέλεσμα, θα πρέπει να υπολογίσετε ξανά τον αριθμό των ψηφίων μετά την υποδιαστολή και στα δύο κλάσματα και να διαχωρίσετε τον συνολικό αριθμό των κλασματικών ψηφίων στον αριθμό που προκύπτει με κόμμα. Εάν δεν υπάρχουν αρκετά ψηφία, αντικαθίστανται με μηδενικά.

Πολλαπλασιασμός και διαίρεση δεκαδικών με 10n

Αυτές οι ενέργειες είναι απλές και καταλήγουν στη μετακίνηση της υποδιαστολής. Π Κατά τον πολλαπλασιασμό, η υποδιαστολή μετακινείται προς τα δεξιά (το κλάσμα αυξάνεται) με έναν αριθμό ψηφίων ίσο με τον αριθμό των μηδενικών στο 10n, όπου n είναι μια αυθαίρετη ακέραια δύναμη. Δηλαδή, ένας ορισμένος αριθμός ψηφίων μεταφέρεται από το κλασματικό μέρος στο ολόκληρο μέρος. Κατά τη διαίρεση, αντίστοιχα, το κόμμα μετακινείται προς τα αριστερά (ο αριθμός μειώνεται) και ορισμένα από τα ψηφία μεταφέρονται από το ακέραιο μέρος στο κλασματικό μέρος. Εάν δεν υπάρχουν αρκετοί αριθμοί για μεταφορά, τότε τα bit που λείπουν συμπληρώνονται με μηδενικά.

Διαίρεση δεκαδικού και ακέραιου αριθμού με ακέραιο και δεκαδικό

Η διαίρεση ενός δεκαδικού με έναν ακέραιο είναι παρόμοια με τη διαίρεση δύο ακεραίων. Επιπλέον, χρειάζεται μόνο να λάβετε υπόψη τη θέση της υποδιαστολής: όταν αφαιρείτε το ψηφίο ενός μέρους ακολουθούμενο από κόμμα, πρέπει να τοποθετείτε κόμμα μετά το τρέχον ψηφίο της απάντησης που δημιουργείται. Στη συνέχεια πρέπει να συνεχίσετε τη διαίρεση μέχρι να πάρετε το μηδέν. Εάν δεν υπάρχουν αρκετά σημάδια στο μέρισμα για πλήρη διαίρεση, θα πρέπει να χρησιμοποιούνται μηδενικά ως αυτά.

Ομοίως, 2 ακέραιοι αριθμοί χωρίζονται σε μια στήλη εάν αφαιρεθούν όλα τα ψηφία του μερίσματος και η πλήρης διαίρεση δεν έχει ακόμη ολοκληρωθεί. Σε αυτήν την περίπτωση, μετά την αφαίρεση του τελευταίου ψηφίου του μερίσματος, τοποθετείται μια υποδιαστολή στην απάντηση που προκύπτει και τα μηδενικά χρησιμοποιούνται ως ψηφία που αφαιρέθηκαν. Εκείνοι. το μέρισμα εδώ ουσιαστικά αναπαρίσταται ως δεκαδικό κλάσμα με μηδενικό κλασματικό μέρος.

Για να διαιρέσετε ένα δεκαδικό κλάσμα (ή έναν ακέραιο) με έναν δεκαδικό αριθμό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το μέρισμα και τον διαιρέτη με τον αριθμό 10 n, στον οποίο ο αριθμός των μηδενικών είναι ίσος με τον αριθμό των ψηφίων μετά την υποδιαστολή του διαιρέτη. Με αυτόν τον τρόπο, θα απαλλαγείτε από την υποδιαστολή στο κλάσμα με το οποίο θέλετε να διαιρέσετε. Επιπλέον, η διαδικασία διαίρεσης συμπίπτει με αυτή που περιγράφηκε παραπάνω.

Γραφική αναπαράσταση δεκαδικών κλασμάτων

Τα δεκαδικά κλάσματα αναπαρίστανται γραφικά χρησιμοποιώντας μια γραμμή συντεταγμένων. Για να γίνει αυτό, τα μεμονωμένα τμήματα χωρίζονται περαιτέρω σε 10 ίσα μέρη, όπως τα εκατοστά και τα χιλιοστά σημειώνονται ταυτόχρονα σε έναν χάρακα. Αυτό διασφαλίζει ότι τα δεκαδικά ψηφία εμφανίζονται με ακρίβεια και μπορούν να συγκριθούν αντικειμενικά.

Προκειμένου οι διαιρέσεις σε μεμονωμένα τμήματα να είναι πανομοιότυπες, θα πρέπει να εξετάσετε προσεκτικά το μήκος του ίδιου του μεμονωμένου τμήματος. Θα πρέπει να είναι τέτοιο ώστε να μπορεί να εξασφαλιστεί η ευκολία της πρόσθετης διαίρεσης.

Θα αφιερώσουμε αυτό το υλικό σε ένα τόσο σημαντικό θέμα όπως τα δεκαδικά κλάσματα. Αρχικά, ας ορίσουμε τους βασικούς ορισμούς, ας δώσουμε παραδείγματα και ας σταθούμε στους κανόνες του δεκαδικού συμβολισμού, καθώς και στο ποια είναι τα ψηφία των δεκαδικών κλασμάτων. Στη συνέχεια, επισημαίνουμε τους κύριους τύπους: πεπερασμένα και άπειρα, περιοδικά και μη περιοδικά κλάσματα. Στο τελευταίο μέρος θα δείξουμε πώς βρίσκονται στον άξονα των συντεταγμένων τα σημεία που αντιστοιχούν σε κλασματικούς αριθμούς.

Τι είναι η δεκαδική σημειογραφία των κλασματικών αριθμών

Η λεγόμενη δεκαδική σημείωση των κλασματικών αριθμών μπορεί να χρησιμοποιηθεί τόσο για φυσικούς όσο και για κλασματικούς αριθμούς. Μοιάζει με ένα σύνολο δύο ή περισσότερων αριθμών με κόμμα μεταξύ τους.

Η υποδιαστολή χρειάζεται για να διαχωριστεί ολόκληρο το τμήμα από το κλασματικό μέρος. Κατά κανόνα, το τελευταίο ψηφίο ενός δεκαδικού κλάσματος δεν είναι μηδέν, εκτός εάν η υποδιαστολή εμφανίζεται αμέσως μετά το πρώτο μηδέν.

Ποια είναι μερικά παραδείγματα κλασματικών αριθμών σε δεκαδικό συμβολισμό; Αυτό θα μπορούσε να είναι 34, 21, 0, 35035044, 0, 0001, 11,231,552, 9, κ.λπ.

Σε ορισμένα σχολικά βιβλία μπορείτε να βρείτε τη χρήση τελείας αντί κόμματος (5. 67, 6789. 1011, κ.λπ.) Αυτή η επιλογή θεωρείται ισοδύναμη, αλλά είναι πιο χαρακτηριστική για αγγλόφωνες πηγές.

Ορισμός δεκαδικών αριθμών

Με βάση την παραπάνω έννοια του δεκαδικού συμβολισμού, μπορούμε να διατυπώσουμε τον ακόλουθο ορισμό των δεκαδικών κλασμάτων:

Ορισμός 1

Οι δεκαδικοί αντιπροσωπεύουν κλασματικούς αριθμούς με δεκαδικό συμβολισμό.

Γιατί χρειάζεται να γράψουμε κλάσματα με αυτή τη μορφή; Μας δίνει κάποια πλεονεκτήματα σε σχέση με τα συνηθισμένα, για παράδειγμα, μια πιο συμπαγή σημείωση, ειδικά σε περιπτώσεις όπου ο παρονομαστής περιέχει 1000, 100, 10 κ.λπ., ή μεικτό αριθμό. Για παράδειγμα, αντί για 6 10 μπορούμε να καθορίσουμε 0,6, αντί για 25 10000 - 0,0023, αντί για 512 3 100 - 512,03.

Πώς να αναπαραστήσετε σωστά συνηθισμένα κλάσματα με δεκάδες, εκατοντάδες, χιλιάδες στον παρονομαστή σε δεκαδική μορφή θα συζητηθεί σε ξεχωριστό υλικό.

Πώς να διαβάζετε σωστά τα δεκαδικά

Υπάρχουν ορισμένοι κανόνες για την ανάγνωση δεκαδικών σημειώσεων. Έτσι, τα δεκαδικά κλάσματα που αντιστοιχούν στα κανονικά συνηθισμένα τους ισοδύναμα διαβάζονται σχεδόν με τον ίδιο τρόπο, αλλά με την προσθήκη των λέξεων «μηδέν δέκατα» στην αρχή. Έτσι, η καταχώρηση 0, 14, που αντιστοιχεί στο 14.100, διαβάζεται ως «σημείο μηδέν δεκατεσσάρων εκατοστών».

Εάν ένα δεκαδικό κλάσμα μπορεί να συσχετιστεί με έναν μικτό αριθμό, τότε διαβάζεται με τον ίδιο τρόπο όπως αυτός ο αριθμός. Έτσι, αν έχουμε το κλάσμα 56, 002, που αντιστοιχεί σε 56 2 1000, διαβάζουμε αυτήν την καταχώρηση ως «πενήντα έξι σημεία δύο χιλιοστά».

Η σημασία ενός ψηφίου σε ένα δεκαδικό κλάσμα εξαρτάται από το πού βρίσκεται (όπως και στην περίπτωση των φυσικών αριθμών). Έτσι, στο δεκαδικό κλάσμα 0,7, το επτά είναι δέκατα, στο 0,0007 είναι δέκα χιλιοστά και στο κλάσμα 70.000,345 σημαίνει επτά δεκάδες χιλιάδες ολόκληρες μονάδες. Έτσι, στα δεκαδικά κλάσματα υπάρχει και η έννοια της θέσης.

Τα ονόματα των ψηφίων που βρίσκονται πριν από την υποδιαστολή είναι παρόμοια με αυτά που υπάρχουν στους φυσικούς αριθμούς. Τα ονόματα όσων βρίσκονται μετά παρουσιάζονται με σαφήνεια στον πίνακα:

Ας δούμε ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα 1

Έχουμε το δεκαδικό κλάσμα 43.098. Έχει τέσσερα στη θέση των δεκάδων, ένα τρία στη θέση των μονάδων, ένα μηδέν στη δέκατη θέση, 9 στη θέση των εκατοστών και 8 στη θέση χιλιοστών.

Είναι σύνηθες να διακρίνουμε τις τάξεις των δεκαδικών κλασμάτων κατά προτεραιότητα. Αν μετακινηθούμε στους αριθμούς από αριστερά προς τα δεξιά, τότε θα πάμε από τον πιο σημαντικό στον λιγότερο σημαντικό. Αποδεικνύεται ότι οι εκατοντάδες είναι μεγαλύτερες από τις δεκάδες και τα μέρη ανά εκατομμύριο είναι νεότερα από τα εκατοστά. Αν πάρουμε αυτό το τελικό δεκαδικό κλάσμα που αναφέραμε ως παράδειγμα παραπάνω, τότε η υψηλότερη ή υψηλότερη θέση σε αυτό θα είναι το μέρος των εκατοντάδων και το χαμηλότερο ή το χαμηλότερο μέρος θα είναι το 10-χιλιό μέρος.

Οποιοδήποτε δεκαδικό κλάσμα μπορεί να επεκταθεί σε μεμονωμένα ψηφία, δηλαδή να παρουσιαστεί ως άθροισμα. Αυτή η ενέργεια εκτελείται με τον ίδιο τρόπο όπως για τους φυσικούς αριθμούς.

Παράδειγμα 2

Ας προσπαθήσουμε να επεκτείνουμε το κλάσμα 56, 0455 σε ψηφία.

Θα πάρουμε:

56 , 0455 = 50 + 6 + 0 , 4 + 0 , 005 + 0 , 0005

Αν θυμηθούμε τις ιδιότητες της πρόσθεσης, μπορούμε να αναπαραστήσουμε αυτό το κλάσμα με άλλες μορφές, για παράδειγμα, ως άθροισμα 56 + 0, 0455 ή 56, 0055 + 0, 4, κ.λπ.

Τι είναι τα τελικά δεκαδικά;

Όλα τα κλάσματα για τα οποία μιλήσαμε παραπάνω είναι πεπερασμένα δεκαδικά. Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός των ψηφίων μετά την υποδιαστολή είναι πεπερασμένος. Ας βγάλουμε τον ορισμό:

Ορισμός 1

Τα τελικά δεκαδικά είναι ένας τύπος δεκαδικού κλάσματος που έχει έναν πεπερασμένο αριθμό δεκαδικών ψηφίων μετά το δεκαδικό πρόσημο.

Παραδείγματα τέτοιων κλασμάτων μπορεί να είναι 0, 367, 3, 7, 55, 102567958, 231 032, 49, κ.λπ.

Οποιοδήποτε από αυτά τα κλάσματα μπορεί να μετατραπεί είτε σε μεικτό αριθμό (αν η τιμή του κλασματικού τους μέρους είναι διαφορετική από το μηδέν) είτε σε ένα συνηθισμένο κλάσμα (αν το ακέραιο μέρος είναι μηδέν). Έχουμε αφιερώσει ένα ξεχωριστό άρθρο στο πώς γίνεται αυτό. Εδώ θα επισημάνουμε μόνο μερικά παραδείγματα: για παράδειγμα, μπορούμε να μειώσουμε το τελικό δεκαδικό κλάσμα 5, 63 στη μορφή 5 63 100, και το 0, 2 αντιστοιχεί σε 2 10 (ή οποιοδήποτε άλλο κλάσμα ίσο με αυτό, για για παράδειγμα, 4 20 ή 1 5.)

Αλλά η αντίστροφη διαδικασία, δηλ. Η σύνταξη ενός κοινού κλάσματος σε δεκαδική μορφή μπορεί να μην είναι πάντα δυνατή. Άρα, το 5 13 δεν μπορεί να αντικατασταθεί από ένα ίσο κλάσμα με τον παρονομαστή 100, 10 κ.λπ., πράγμα που σημαίνει ότι δεν μπορεί να ληφθεί τελικό δεκαδικό κλάσμα από αυτό.

Κύριοι τύποι άπειρων δεκαδικών κλασμάτων: περιοδικά και μη περιοδικά κλάσματα

Αναφέραμε παραπάνω ότι τα πεπερασμένα κλάσματα ονομάζονται έτσι επειδή έχουν πεπερασμένο αριθμό ψηφίων μετά την υποδιαστολή. Ωστόσο, μπορεί κάλλιστα να είναι άπειρο, οπότε και τα ίδια τα κλάσματα θα ονομάζονται άπειρα.

Ορισμός 2

Άπειρα δεκαδικά κλάσματα είναι αυτά που έχουν άπειρο αριθμό ψηφίων μετά την υποδιαστολή.

Προφανώς, τέτοιοι αριθμοί απλά δεν μπορούν να καταγραφούν πλήρως, επομένως υποδεικνύουμε μόνο μέρος τους και στη συνέχεια προσθέτουμε μια έλλειψη. Αυτό το σύμβολο δείχνει μια άπειρη συνέχεια της ακολουθίας των δεκαδικών ψηφίων. Παραδείγματα άπειρων δεκαδικών κλασμάτων περιλαμβάνουν 0, 143346732…, ​​3, 1415989032…, 153, 0245005…, 2, 66666666666…, 69, 748768152…. και τα λοιπά.

Η "ουρά" ενός τέτοιου κλάσματος μπορεί να περιέχει όχι μόνο φαινομενικά τυχαίες ακολουθίες αριθμών, αλλά και μια συνεχή επανάληψη του ίδιου χαρακτήρα ή ομάδας χαρακτήρων. Τα κλάσματα με εναλλασσόμενους αριθμούς μετά την υποδιαστολή ονομάζονται περιοδικά.

Ορισμός 3

Τα περιοδικά δεκαδικά κλάσματα είναι εκείνα τα άπειρα δεκαδικά κλάσματα στα οποία ένα ψηφίο ή μια ομάδα πολλών ψηφίων επαναλαμβάνεται μετά την υποδιαστολή. Το επαναλαμβανόμενο μέρος ονομάζεται περίοδος του κλάσματος.

Για παράδειγμα, για το κλάσμα 3, 444444…. η περίοδος θα είναι ο αριθμός 4, και για 76, 134134134134... - η ομάδα 134.

Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός χαρακτήρων που μπορεί να μείνει στη σημειογραφία ενός περιοδικού κλάσματος; Για τα περιοδικά κλάσματα, αρκεί να γράψετε ολόκληρη την περίοδο μία φορά σε παρένθεση. Άρα, κλάσμα 3, 444444…. Θα ήταν σωστό να το γράψουμε ως 3, (4) και 76, 134134134134... – ως 76, (134).

Γενικά, οι εγγραφές με πολλές τελείες σε αγκύλες θα έχουν ακριβώς την ίδια σημασία: για παράδειγμα, το περιοδικό κλάσμα 0,677777 είναι το ίδιο με το 0,6 (7) και το 0,6 (77), κ.λπ. Οι εγγραφές του εντύπου 0, 67777 (7), 0, 67 (7777) κ.λπ. είναι επίσης αποδεκτές.

Για την αποφυγή λαθών, εισάγουμε ομοιομορφία σημειογραφίας. Ας συμφωνήσουμε να γράψουμε μόνο μία τελεία (τη συντομότερη δυνατή ακολουθία αριθμών), που είναι πιο κοντά στην υποδιαστολή, και να την περικλείουμε σε παρένθεση.

Δηλαδή, για το παραπάνω κλάσμα, θα θεωρήσουμε ότι η κύρια καταχώρηση είναι 0, 6 (7) και, για παράδειγμα, στην περίπτωση του κλάσματος 8, 9134343434, θα γράψουμε 8, 91 (34).

Εάν ο παρονομαστής ενός συνηθισμένου κλάσματος περιέχει πρώτους παράγοντες που δεν είναι ίσοι με το 5 και το 2, τότε όταν μετατραπούν σε δεκαδικό συμβολισμό, θα οδηγήσουν σε άπειρα κλάσματα.

Καταρχήν, μπορούμε να γράψουμε οποιοδήποτε πεπερασμένο κλάσμα ως περιοδικό. Για να γίνει αυτό, χρειάζεται απλώς να προσθέσουμε έναν άπειρο αριθμό μηδενικών στα δεξιά. Πώς φαίνεται στην ηχογράφηση; Ας πούμε ότι έχουμε το τελικό κλάσμα 45, 32. Σε περιοδική μορφή θα μοιάζει με 45, 32 (0). Αυτή η ενέργεια είναι δυνατή επειδή προσθέτοντας μηδενικά στα δεξιά οποιουδήποτε δεκαδικού κλάσματος προκύπτει ένα κλάσμα ίσο με αυτό.

Ιδιαίτερη προσοχή πρέπει να δοθεί στα περιοδικά κλάσματα με περίοδο 9, για παράδειγμα, 4, 89 (9), 31, 6 (9). Αποτελούν εναλλακτικό συμβολισμό για παρόμοια κλάσματα με τελεία 0, επομένως συχνά αντικαθίστανται όταν γράφουμε με κλάσματα με μηδενική τελεία. Σε αυτήν την περίπτωση, προστίθεται ένα στην τιμή του επόμενου ψηφίου και το (0) υποδεικνύεται σε παρένθεση. Η ισότητα των αριθμών που προκύπτουν μπορεί εύκολα να επαληθευτεί με την αναπαράστασή τους ως συνηθισμένα κλάσματα.

Για παράδειγμα, το κλάσμα 8, 31 (9) μπορεί να αντικατασταθεί με το αντίστοιχο κλάσμα 8, 32 (0). Ή 4, (9) = 5, (0) = 5.

Τα άπειρα δεκαδικά περιοδικά κλάσματα ταξινομούνται ως ρητοί αριθμοί. Με άλλα λόγια, οποιοδήποτε περιοδικό κλάσμα μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένα συνηθισμένο κλάσμα και το αντίστροφο.

Υπάρχουν επίσης κλάσματα που δεν έχουν ατελείωτα επαναλαμβανόμενη ακολουθία μετά την υποδιαστολή. Στην περίπτωση αυτή, ονομάζονται μη περιοδικά κλάσματα.

Ορισμός 4

Τα μη περιοδικά δεκαδικά κλάσματα περιλαμβάνουν εκείνα τα άπειρα δεκαδικά κλάσματα που δεν περιέχουν τελεία μετά την υποδιαστολή, δηλ. επαναλαμβανόμενη ομάδα αριθμών.

Μερικές φορές τα μη περιοδικά κλάσματα μοιάζουν πολύ με τα περιοδικά. Για παράδειγμα, το 9, 03003000300003 ... με την πρώτη ματιά φαίνεται να έχει περίοδο, αλλά μια λεπτομερής ανάλυση των δεκαδικών ψηφίων επιβεβαιώνει ότι αυτό εξακολουθεί να είναι ένα μη περιοδικό κλάσμα. Πρέπει να είστε πολύ προσεκτικοί με τέτοιους αριθμούς.

Τα μη περιοδικά κλάσματα ταξινομούνται ως παράλογοι αριθμοί. Δεν μετατρέπονται σε συνηθισμένα κλάσματα.

Βασικές πράξεις με δεκαδικούς

Οι ακόλουθες πράξεις μπορούν να εκτελεστούν με δεκαδικά κλάσματα: σύγκριση, αφαίρεση, πρόσθεση, διαίρεση και πολλαπλασιασμός. Ας δούμε το καθένα ξεχωριστά.

Η σύγκριση δεκαδικών αριθμών μπορεί να μειωθεί στη σύγκριση κλασμάτων που αντιστοιχούν στους αρχικούς δεκαδικούς. Αλλά τα άπειρα μη περιοδικά κλάσματα δεν μπορούν να αναχθούν σε αυτή τη μορφή, και η μετατροπή δεκαδικών κλασμάτων σε συνηθισμένα κλάσματα είναι συχνά μια εργασία έντασης εργασίας. Πώς μπορούμε να εκτελέσουμε γρήγορα μια ενέργεια σύγκρισης εάν πρέπει να το κάνουμε αυτό κατά την επίλυση ενός προβλήματος; Είναι βολικό να συγκρίνουμε δεκαδικά κλάσματα ανά ψηφίο με τον ίδιο τρόπο που συγκρίνουμε τους φυσικούς αριθμούς. Θα αφιερώσουμε ένα ξεχωριστό άρθρο σε αυτή τη μέθοδο.

Για να προσθέσετε μερικά δεκαδικά κλάσματα με άλλα, είναι βολικό να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο προσθήκης στηλών, όπως για τους φυσικούς αριθμούς. Για να προσθέσετε περιοδικά δεκαδικά κλάσματα, πρέπει πρώτα να τα αντικαταστήσετε με συνηθισμένα και να μετρήσετε σύμφωνα με το τυπικό σχήμα. Εάν, σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος, πρέπει να προσθέσουμε άπειρα μη περιοδικά κλάσματα, τότε πρέπει πρώτα να τα στρογγυλοποιήσουμε σε ένα συγκεκριμένο ψηφίο και μετά να τα προσθέσουμε. Όσο μικρότερο είναι το ψηφίο στο οποίο στρογγυλοποιούμε, τόσο μεγαλύτερη θα είναι η ακρίβεια του υπολογισμού. Για την αφαίρεση, τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση άπειρων κλασμάτων, είναι επίσης απαραίτητη η προστρογγυλοποίηση.

Η εύρεση της διαφοράς μεταξύ δεκαδικών κλασμάτων είναι το αντίστροφο της πρόσθεσης. Ουσιαστικά, χρησιμοποιώντας την αφαίρεση μπορούμε να βρούμε έναν αριθμό του οποίου το άθροισμα με το κλάσμα που αφαιρούμε θα μας δώσει το κλάσμα που ελαχιστοποιούμε. Θα μιλήσουμε για αυτό με περισσότερες λεπτομέρειες σε ξεχωριστό άρθρο.

Ο πολλαπλασιασμός των δεκαδικών κλασμάτων γίνεται με τον ίδιο τρόπο όπως για τους φυσικούς αριθμούς. Η μέθοδος υπολογισμού στήλης είναι επίσης κατάλληλη για αυτό. Μειώνουμε και πάλι αυτήν την ενέργεια με περιοδικά κλάσματα στον πολλαπλασιασμό των συνηθισμένων κλασμάτων σύμφωνα με τους κανόνες που έχουν ήδη μελετηθεί. Τα άπειρα κλάσματα, όπως θυμόμαστε, πρέπει να στρογγυλοποιούνται πριν από τους υπολογισμούς.

Η διαδικασία διαίρεσης δεκαδικών είναι το αντίστροφο του πολλαπλασιασμού. Κατά την επίλυση προβλημάτων, χρησιμοποιούμε επίσης στηλικούς υπολογισμούς.

Μπορείτε να καθορίσετε μια ακριβή αντιστοιχία μεταξύ του τελικού δεκαδικού κλάσματος και ενός σημείου στον άξονα συντεταγμένων. Ας δούμε πώς να σημειώσουμε ένα σημείο στον άξονα που θα αντιστοιχεί ακριβώς στο απαιτούμενο δεκαδικό κλάσμα.

Έχουμε ήδη μελετήσει πώς να κατασκευάσουμε σημεία που αντιστοιχούν σε συνηθισμένα κλάσματα, αλλά τα δεκαδικά κλάσματα μπορούν να μειωθούν σε αυτήν τη μορφή. Για παράδειγμα, το κοινό κλάσμα 14 10 είναι το ίδιο με το 1, 4, οπότε το αντίστοιχο σημείο θα αφαιρεθεί από την αρχή προς τη θετική κατεύθυνση με την ίδια ακριβώς απόσταση:

Μπορείτε να το κάνετε χωρίς να αντικαταστήσετε το δεκαδικό κλάσμα με ένα συνηθισμένο, αλλά χρησιμοποιήστε τη μέθοδο επέκτασης με ψηφία ως βάση. Έτσι, αν χρειαστεί να σημειώσουμε ένα σημείο του οποίου η συντεταγμένη θα είναι ίση με 15, 4008, τότε θα παρουσιάσουμε πρώτα αυτόν τον αριθμό ως άθροισμα 15 + 0, 4 +, 0008. Αρχικά, ας αφήσουμε στην άκρη 15 ολόκληρα τμήματα μονάδας προς τη θετική κατεύθυνση από την αρχή της αντίστροφης μέτρησης, μετά 4 δέκατα ενός τμήματος και μετά 8 δέκατα χιλιοστά του τμήματος. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε ένα σημείο συντεταγμένων που αντιστοιχεί στο κλάσμα 15, 4008.

Για ένα άπειρο δεκαδικό κλάσμα, είναι καλύτερο να χρησιμοποιήσετε αυτήν τη μέθοδο, καθώς σας επιτρέπει να πλησιάσετε όσο θέλετε στο επιθυμητό σημείο. Σε ορισμένες περιπτώσεις, είναι δυνατό να κατασκευαστεί μια ακριβής αντιστοιχία σε ένα άπειρο κλάσμα στον άξονα συντεταγμένων: για παράδειγμα, 2 = 1, 41421. . . , και αυτό το κλάσμα μπορεί να συσχετιστεί με ένα σημείο της ακτίνας συντεταγμένων, που απέχει από το 0 κατά το μήκος της διαγωνίου του τετραγώνου, η πλευρά του οποίου θα είναι ίση με ένα τμήμα μονάδας.

Αν βρούμε όχι ένα σημείο στον άξονα, αλλά ένα δεκαδικό κλάσμα που αντιστοιχεί σε αυτό, τότε αυτή η ενέργεια ονομάζεται δεκαδική μέτρηση ενός τμήματος. Ας δούμε πώς να το κάνουμε αυτό σωστά.

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να φτάσουμε από το μηδέν σε ένα δεδομένο σημείο στον άξονα των συντεταγμένων (ή να πλησιάσουμε όσο το δυνατόν περισσότερο στην περίπτωση ενός άπειρου κλάσματος). Για να γίνει αυτό, αναβάλλουμε σταδιακά τα τμήματα μονάδας από την αρχή μέχρι να φτάσουμε στο επιθυμητό σημείο. Μετά από ολόκληρα τμήματα, αν χρειάζεται, μετράμε δέκατα, εκατοστά και μικρότερα κλάσματα, ώστε η αντιστοίχιση να είναι όσο το δυνατόν ακριβέστερη. Ως αποτέλεσμα, λάβαμε ένα δεκαδικό κλάσμα που αντιστοιχεί σε ένα δεδομένο σημείο στον άξονα συντεταγμένων.

Παραπάνω δείξαμε ένα σχέδιο με σημείο Μ. Κοιτάξτε το ξανά: για να φτάσετε σε αυτό το σημείο, πρέπει να μετρήσετε ένα τμήμα μονάδας και τα τέσσερα δέκατά του από το μηδέν, καθώς αυτό το σημείο αντιστοιχεί στο δεκαδικό κλάσμα 1, 4.

Εάν δεν μπορούμε να φτάσουμε σε ένα σημείο στη διαδικασία της δεκαδικής μέτρησης, τότε σημαίνει ότι αντιστοιχεί σε ένα άπειρο δεκαδικό κλάσμα.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter