Ο πιο συνηθισμένος τύπος μέσου όρου είναι ο αριθμητικός μέσος όρος.

απλός αριθμητικός μέσος όρος

Ο απλός αριθμητικός μέσος όρος είναι ο μέσος όρος, για τον προσδιορισμό του οποίου ο συνολικός όγκος ενός δεδομένου χαρακτηριστικού στα δεδομένα κατανέμεται εξίσου σε όλες τις μονάδες που περιλαμβάνονται σε αυτόν τον πληθυσμό. Έτσι, η μέση ετήσια παραγωγή παραγωγής ανά εργαζόμενο είναι μια τέτοια τιμή του όγκου της παραγωγής που θα έπεφτε σε κάθε εργαζόμενο εάν ολόκληρος ο όγκος της παραγωγής κατανεμήθηκε εξίσου μεταξύ όλων των εργαζομένων του οργανισμού. Η αριθμητική μέση απλή τιμή υπολογίζεται από τον τύπο:

απλός αριθμητικός μέσος όρος— Ίση με την αναλογία του αθροίσματος των επιμέρους τιμών ενός χαρακτηριστικού προς τον αριθμό των χαρακτηριστικών στο σύνολο

Παράδειγμα 1 . Μια ομάδα 6 εργαζομένων λαμβάνει 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 χιλιάδες ρούβλια το μήνα.

Βρείτε τον μέσο μισθό
Λύση: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 χιλιάδες ρούβλια.

Αριθμητικός σταθμισμένος μέσος όρος

Εάν ο όγκος του συνόλου δεδομένων είναι μεγάλος και αντιπροσωπεύει μια σειρά κατανομής, τότε υπολογίζεται ένας σταθμισμένος αριθμητικός μέσος όρος. Έτσι καθορίζεται η μέση σταθμισμένη τιμή ανά μονάδα παραγωγής: το συνολικό κόστος παραγωγής (το άθροισμα των προϊόντων της ποσότητας του και η τιμή μιας μονάδας παραγωγής) διαιρείται με τη συνολική ποσότητα παραγωγής.

Αυτό το αντιπροσωπεύουμε με τη μορφή του ακόλουθου τύπου:

Σταθμισμένος αριθμητικός μέσος όρος- ισούται με την αναλογία (το άθροισμα των γινομένων της τιμής του χαρακτηριστικού προς τη συχνότητα επανάληψης αυτού του χαρακτηριστικού) προς (το άθροισμα των συχνοτήτων όλων των χαρακτηριστικών) Χρησιμοποιείται όταν οι παραλλαγές του υπό μελέτη πληθυσμού εμφανίζονται άνιση πολλές φορές.

Παράδειγμα 2 . Βρείτε τον μέσο μισθό των εργαζομένων στα καταστήματα ανά μήνα

Ο μέσος μισθός μπορεί να ληφθεί διαιρώντας τον συνολικό μισθό με τον συνολικό αριθμό των εργαζομένων:

Απάντηση: 3,35 χιλιάδες ρούβλια.

Αριθμητικός μέσος όρος για μια σειρά διαστημάτων

Κατά τον υπολογισμό του αριθμητικού μέσου όρου για μια σειρά μεταβολών διαστήματος, ο μέσος όρος για κάθε διάστημα προσδιορίζεται πρώτα ως το μισό άθροισμα του ανώτερου και του κατώτερου ορίου και στη συνέχεια ο μέσος όρος ολόκληρης της σειράς. Στην περίπτωση ανοιχτών διαστημάτων, η τιμή του κατώτερου ή του ανώτερου διαστήματος καθορίζεται από την τιμή των διαστημάτων που γειτνιάζουν με αυτά.

Οι μέσοι όροι που υπολογίζονται από τις σειρές διαστημάτων είναι κατά προσέγγιση.

Παράδειγμα 3. Προσδιορίστε τη μέση ηλικία των μαθητών στο απογευματινό τμήμα.

Οι μέσοι όροι που υπολογίζονται από τις σειρές διαστημάτων είναι κατά προσέγγιση. Ο βαθμός προσέγγισής τους εξαρτάται από το βαθμό στον οποίο η πραγματική κατανομή των πληθυσμιακών μονάδων εντός του διαστήματος προσεγγίζει ομοιόμορφη.

Κατά τον υπολογισμό των μέσων όρων, όχι μόνο απόλυτες, αλλά και σχετικές τιμές (συχνότητα) μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως βάρη:

Ο αριθμητικός μέσος όρος έχει μια σειρά από ιδιότητες που αποκαλύπτουν πληρέστερα την ουσία του και απλοποιούν τον υπολογισμό:

1. Το γινόμενο του μέσου όρου και του αθροίσματος των συχνοτήτων είναι πάντα ίσο με το άθροισμα των γινομένων της παραλλαγής και των συχνοτήτων, δηλ.

2. Ο αριθμητικός μέσος όρος του αθροίσματος των μεταβαλλόμενων τιμών είναι ίσος με το άθροισμα των αριθμητικών μέσων αυτών των τιμών:

3. Το αλγεβρικό άθροισμα των αποκλίσεων των επιμέρους τιμών του χαρακτηριστικού από τον μέσο όρο είναι μηδέν:

4. Το άθροισμα των τετραγωνικών αποκλίσεων των επιλογών από τον μέσο όρο είναι μικρότερο από το άθροισμα των τετραγωνικών αποκλίσεων από οποιαδήποτε άλλη αυθαίρετη τιμή, δηλ.

Θέμα: Στατιστικά

Επιλογή αριθμός 2

Μέσες τιμές που χρησιμοποιούνται στα στατιστικά στοιχεία

Εισαγωγή………………………………………………………………………………….3

Θεωρητικό έργο

Η μέση τιμή στα στατιστικά στοιχεία, η ουσία και οι συνθήκες εφαρμογής της.

1.1. Η ουσία της μέσης αξίας και οι συνθήκες χρήσης………….4

1.2. Τύποι μέσων τιμών………………………………………………8

Πρακτική εργασία

Εργασία 1,2,3………………………………………………………………………… 14

Συμπέρασμα………………………………………………………………………….21

Κατάλογος χρησιμοποιημένης βιβλιογραφίας……………………………………………………………………………………………………………………

Εισαγωγή

Αυτό το τεστ αποτελείται από δύο μέρη - θεωρητικό και πρακτικό. Στο θεωρητικό μέρος, μια τόσο σημαντική στατιστική κατηγορία όπως η μέση τιμή θα εξεταστεί λεπτομερώς για να προσδιοριστεί η ουσία και οι συνθήκες εφαρμογής της, καθώς και να προσδιοριστούν τα είδη των μέσων όρων και οι μέθοδοι υπολογισμού τους.

Η στατιστική, όπως γνωρίζετε, μελετά μαζικά κοινωνικοοικονομικά φαινόμενα. Κάθε ένα από αυτά τα φαινόμενα μπορεί να έχει διαφορετική ποσοτική έκφραση του ίδιου χαρακτηριστικού. Για παράδειγμα, οι μισθοί του ίδιου επαγγέλματος των εργαζομένων ή οι τιμές στην αγορά για το ίδιο προϊόν κ.λπ. Οι μέσες τιμές χαρακτηρίζουν τους ποιοτικούς δείκτες της εμπορικής δραστηριότητας: κόστος διανομής, κέρδος, κερδοφορία κ.λπ.

Για τη μελέτη οποιουδήποτε πληθυσμού σύμφωνα με ποικίλα (ποσοτικά μεταβαλλόμενα) χαρακτηριστικά, η στατιστική χρησιμοποιεί μέσους όρους.

Medium Essence

Η μέση τιμή είναι ένα γενικευτικό ποσοτικό χαρακτηριστικό του συνόλου του ίδιου τύπου φαινομένων σύμφωνα με ένα διαφορετικό χαρακτηριστικό. Στην οικονομική πρακτική, χρησιμοποιείται ένα ευρύ φάσμα δεικτών, που υπολογίζονται ως μέσοι όροι.

Η πιο σημαντική ιδιότητα της μέσης τιμής είναι ότι αντιπροσωπεύει την τιμή ενός συγκεκριμένου χαρακτηριστικού σε ολόκληρο τον πληθυσμό ως ενιαίο αριθμό, παρά τις ποσοτικές διαφορές του σε μεμονωμένες μονάδες του πληθυσμού, και εκφράζει το κοινό πράγμα που είναι εγγενές σε όλες τις μονάδες τον υπό μελέτη πληθυσμό. Έτσι, μέσα από το χαρακτηριστικό μιας μονάδας πληθυσμού, χαρακτηρίζει ολόκληρο τον πληθυσμό ως σύνολο.

Οι μέσοι όροι σχετίζονται με το νόμο των μεγάλων αριθμών. Η ουσία αυτής της σχέσης έγκειται στο γεγονός ότι κατά τον μέσο όρο των τυχαίων αποκλίσεων μεμονωμένων τιμών, λόγω της λειτουργίας του νόμου των μεγάλων αριθμών, αλληλοακυρώνονται και στο μέσο όρο αποκαλύπτεται η κύρια αναπτυξιακή τάση, η αναγκαιότητα, η κανονικότητα. Οι μέσες τιμές επιτρέπουν τη σύγκριση δεικτών που σχετίζονται με πληθυσμούς με διαφορετικούς αριθμούς μονάδων.

Στις σύγχρονες συνθήκες ανάπτυξης των σχέσεων αγοράς στην οικονομία, οι μέσοι όροι χρησιμεύουν ως εργαλείο για τη μελέτη των αντικειμενικών προτύπων των κοινωνικοοικονομικών φαινομένων. Ωστόσο, η οικονομική ανάλυση δεν πρέπει να περιορίζεται μόνο στους μέσους δείκτες, καθώς οι γενικοί ευνοϊκοί μέσοι όροι μπορούν να κρύψουν τόσο σημαντικές όσο και σοβαρές ελλείψεις στις δραστηριότητες μεμονωμένων οικονομικών οντοτήτων, όσο και τα φύτρα μιας νέας, προοδευτικής. Για παράδειγμα, η κατανομή του πληθυσμού ανά εισόδημα καθιστά δυνατό τον εντοπισμό του σχηματισμού νέων κοινωνικών ομάδων. Ως εκ τούτου, μαζί με τα μέσα στατιστικά δεδομένα, είναι απαραίτητο να ληφθούν υπόψη τα χαρακτηριστικά των επιμέρους μονάδων του πληθυσμού.

Η μέση τιμή είναι το αποτέλεσμα όλων των παραγόντων που επηρεάζουν το υπό μελέτη φαινόμενο. Δηλαδή, κατά τον υπολογισμό των μέσων τιμών, η επίδραση τυχαίων (διαταραχών, μεμονωμένων) παραγόντων αλληλοεξουδετερώνεται και, επομένως, είναι δυνατό να προσδιοριστεί το μοτίβο που είναι εγγενές στο υπό μελέτη φαινόμενο. Ο Adolf Quetelet τόνισε ότι η σημασία της μεθόδου των μέσων όρων έγκειται στη δυνατότητα μετάβασης από τον ενικό στο γενικό, από το τυχαίο στο κανονικό, και η ύπαρξη μέσων όρων είναι μια κατηγορία αντικειμενικής πραγματικότητας.

Η στατιστική μελετά μαζικά φαινόμενα και διαδικασίες. Κάθε ένα από αυτά τα φαινόμενα έχει τόσο κοινές για ολόκληρο το σύνολο όσο και ειδικές, μεμονωμένες ιδιότητες. Η διαφορά μεταξύ μεμονωμένων φαινομένων ονομάζεται παραλλαγή. Μια άλλη ιδιότητα των μαζικών φαινομένων είναι η εγγενής εγγύτητα των χαρακτηριστικών των επιμέρους φαινομένων. Άρα, η αλληλεπίδραση των στοιχείων του συνόλου οδηγεί στον περιορισμό της διακύμανσης τουλάχιστον μέρους των ιδιοτήτων τους. Αυτή η τάση υπάρχει αντικειμενικά. Είναι στην αντικειμενικότητά του ότι ο λόγος για την ευρύτερη εφαρμογή των μέσων τιμών στην πράξη και στη θεωρία βρίσκεται.

Η μέση τιμή στα στατιστικά είναι ένας γενικευμένος δείκτης που χαρακτηρίζει το τυπικό επίπεδο ενός φαινομένου σε συγκεκριμένες συνθήκες τόπου και χρόνου, αντικατοπτρίζοντας το μέγεθος μιας μεταβλητής ιδιότητας ανά μονάδα ενός ποιοτικά ομοιογενούς πληθυσμού.

Στην οικονομική πρακτική, χρησιμοποιείται ένα ευρύ φάσμα δεικτών, που υπολογίζονται ως μέσοι όροι.

Με τη βοήθεια της μεθόδου των μέσων όρων, η στατιστική λύνει πολλά προβλήματα.

Η κύρια τιμή των μέσων όρων είναι η γενικευτική τους λειτουργία, δηλαδή η αντικατάσταση πολλών διαφορετικών μεμονωμένων τιμών ενός χαρακτηριστικού από μια μέση τιμή που χαρακτηρίζει ολόκληρο το σύνολο των φαινομένων.

Εάν η μέση τιμή γενικεύει ποιοτικά ομοιογενείς τιμές ενός χαρακτηριστικού, τότε είναι τυπικό χαρακτηριστικό ενός χαρακτηριστικού σε έναν δεδομένο πληθυσμό.

Ωστόσο, είναι λάθος να μειώνουμε τον ρόλο των μέσων τιμών μόνο στον χαρακτηρισμό των τυπικών τιμών χαρακτηριστικών σε πληθυσμούς που είναι ομοιογενείς ως προς αυτό το χαρακτηριστικό. Στην πράξη, πολύ πιο συχνά οι σύγχρονες στατιστικές χρησιμοποιούν μέσους όρους που γενικεύουν σαφώς ομοιογενή φαινόμενα.

Η μέση αξία του κατά κεφαλήν εθνικού εισοδήματος, η μέση απόδοση των σιτηρών σε όλη τη χώρα, η μέση κατανάλωση διαφόρων τροφίμων είναι τα χαρακτηριστικά του κράτους ως ενιαίου οικονομικού συστήματος, αυτοί είναι οι λεγόμενοι μέσοι όροι του συστήματος.

Οι μέσοι όροι συστημάτων μπορούν να χαρακτηρίσουν τόσο χωρικά ή αντικειμενικά συστήματα που υπάρχουν ταυτόχρονα (πολιτεία, βιομηχανία, περιοχή, πλανήτης Γη, κ.λπ.) όσο και δυναμικά συστήματα που εκτείνονται με την πάροδο του χρόνου (έτος, δεκαετία, εποχή κ.λπ.).

Η πιο σημαντική ιδιότητα της μέσης τιμής είναι ότι αντικατοπτρίζει το κοινό που είναι εγγενές σε όλες τις μονάδες του υπό μελέτη πληθυσμού. Οι τιμές του χαρακτηριστικού των μεμονωμένων μονάδων του πληθυσμού κυμαίνονται προς τη μία ή την άλλη κατεύθυνση υπό την επίδραση πολλών παραγόντων, μεταξύ των οποίων μπορεί να υπάρχουν τόσο βασικοί όσο και τυχαίοι. Για παράδειγμα, η τιμή της μετοχής μιας εταιρείας στο σύνολό της καθορίζεται από την οικονομική της θέση. Ταυτόχρονα, ορισμένες ημέρες και σε ορισμένα χρηματιστήρια, λόγω των συνθηκών που επικρατούν, οι μετοχές αυτές ενδέχεται να πωλούνται με υψηλότερη ή χαμηλότερη τιμή. Η ουσία του μέσου όρου έγκειται στο γεγονός ότι ακυρώνει τις αποκλίσεις των τιμών των χαρακτηριστικών μεμονωμένων μονάδων του πληθυσμού, λόγω της δράσης τυχαίων παραγόντων, και λαμβάνει υπόψη τις αλλαγές που προκαλούνται από τη δράση του κύριοι παράγοντες. Αυτό επιτρέπει στον μέσο όρο να αντικατοπτρίζει το τυπικό επίπεδο του χαρακτηριστικού και να αφαιρεί από τα επιμέρους χαρακτηριστικά που είναι εγγενή σε μεμονωμένες μονάδες.

Ο υπολογισμός του μέσου όρου είναι μια κοινή τεχνική γενίκευσης. ο μέσος δείκτης αντικατοπτρίζει το γενικό που είναι τυπικό (τυπικό) για όλες τις μονάδες του υπό μελέτη πληθυσμού, ενώ ταυτόχρονα αγνοεί τις διαφορές μεταξύ των επιμέρους μονάδων. Σε κάθε φαινόμενο και την εξέλιξή του υπάρχει ένας συνδυασμός τύχης και αναγκαιότητας.

Ο μέσος όρος είναι ένα συνοπτικό χαρακτηριστικό των κανονικοτήτων της διαδικασίας στις συνθήκες υπό τις οποίες προχωρά.

Κάθε μέσος όρος χαρακτηρίζει τον υπό μελέτη πληθυσμό σύμφωνα με οποιοδήποτε χαρακτηριστικό, αλλά για να χαρακτηριστεί οποιοσδήποτε πληθυσμός, να περιγραφούν τα τυπικά χαρακτηριστικά και τα ποιοτικά χαρακτηριστικά του, απαιτείται ένα σύστημα μέσων δεικτών. Ως εκ τούτου, στην πρακτική των εγχώριων στατιστικών για τη μελέτη κοινωνικο-οικονομικών φαινομένων, κατά κανόνα, υπολογίζεται ένα σύστημα μέσων δεικτών. Έτσι, για παράδειγμα, ο δείκτης του μέσου μισθού αξιολογείται μαζί με τους δείκτες της μέσης παραγωγής, της αναλογίας κεφαλαίου προς βάρος και της αναλογίας ισχύος προς βάρος εργασίας, του βαθμού μηχανοποίησης και αυτοματοποίησης της εργασίας κ.λπ.

Ο μέσος όρος θα πρέπει να υπολογίζεται λαμβάνοντας υπόψη το οικονομικό περιεχόμενο του υπό μελέτη δείκτη. Επομένως, για έναν συγκεκριμένο δείκτη που χρησιμοποιείται στην κοινωνικοοικονομική ανάλυση, μόνο μία πραγματική τιμή του μέσου όρου μπορεί να υπολογιστεί με βάση την επιστημονική μέθοδο υπολογισμού.

Η μέση τιμή είναι ένας από τους σημαντικότερους γενικευτικούς στατιστικούς δείκτες που χαρακτηρίζει το σύνολο του ίδιου τύπου φαινομένων σύμφωνα με κάποιο ποσοτικά μεταβαλλόμενο χαρακτηριστικό. Οι μέσοι όροι στα στατιστικά είναι γενικευτικοί δείκτες, αριθμοί που εκφράζουν τις τυπικές χαρακτηριστικές διαστάσεις των κοινωνικών φαινομένων σύμφωνα με ένα ποσοτικά μεταβαλλόμενο χαρακτηριστικό.

Τύποι μέσων όρων

Οι τύποι των μέσων τιμών διαφέρουν κυρίως ως προς το ποια ιδιότητα, ποια παράμετρος της αρχικής μεταβλητής μάζας των μεμονωμένων τιμών του χαρακτηριστικού πρέπει να διατηρείται αμετάβλητη.

Αριθμητικός μέσος όρος

Ο αριθμητικός μέσος όρος είναι μια τέτοια μέση τιμή ενός χαρακτηριστικού, στον υπολογισμό του οποίου ο συνολικός όγκος του χαρακτηριστικού στο σύνολο παραμένει αμετάβλητος. Διαφορετικά, μπορούμε να πούμε ότι ο αριθμητικός μέσος όρος είναι η μέση άθροιση. Όταν υπολογίζεται, ο συνολικός όγκος του χαρακτηριστικού κατανέμεται νοερά εξίσου σε όλες τις μονάδες του πληθυσμού.

Ο αριθμητικός μέσος όρος χρησιμοποιείται εάν είναι γνωστές οι τιμές του μέσου όρου του χαρακτηριστικού (x) και του αριθμού των μονάδων πληθυσμού με μια συγκεκριμένη τιμή χαρακτηριστικού (f).

Ο αριθμητικός μέσος όρος μπορεί να είναι απλός και σταθμισμένος.

απλός αριθμητικός μέσος όρος

Ένα απλό χρησιμοποιείται εάν κάθε τιμή χαρακτηριστικού x εμφανίζεται μία φορά, π.χ. για κάθε x, η τιμή χαρακτηριστικού είναι f=1 ή εάν τα αρχικά δεδομένα δεν είναι ταξινομημένα και δεν είναι γνωστό πόσες μονάδες έχουν συγκεκριμένες τιμές χαρακτηριστικών.

Ο τύπος για τον αριθμητικό μέσο όρο είναι απλός.

,

Τώρα ας μιλήσουμε για πώς να υπολογίσετε τον μέσο όρο.
Στην κλασική της μορφή, η γενική θεωρία της στατιστικής μας προσφέρει μια εκδοχή των κανόνων για την επιλογή της μέσης τιμής.
Πρώτα πρέπει να κάνετε έναν σωστό λογικό τύπο για τον υπολογισμό της μέσης τιμής (LFS). Για κάθε μέση τιμή, υπάρχει πάντα μόνο ένας λογικός τύπος για τον υπολογισμό της, επομένως είναι δύσκολο να κάνουμε λάθος εδώ. Αλλά πρέπει πάντα να θυμόμαστε ότι στον αριθμητή (αυτό είναι αυτό που βρίσκεται πάνω από το κλάσμα) είναι το άθροισμα όλων των φαινομένων και στον παρονομαστή (αυτό που βρίσκεται στο κάτω μέρος του κλάσματος) είναι ο συνολικός αριθμός των στοιχείων.

Αφού συνταχθεί ο λογικός τύπος, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τους κανόνες (για ευκολία κατανόησης, θα τους απλοποιήσουμε και θα τους μειώσουμε):
1. Εάν ο παρονομαστής του λογικού τύπου παρουσιάζεται στα αρχικά δεδομένα (καθορίζεται με συχνότητα), τότε ο υπολογισμός πραγματοποιείται σύμφωνα με τον σταθμισμένο αριθμητικό μέσο τύπο.
2. Αν στα αρχικά δεδομένα παρουσιάζεται ο αριθμητής του λογικού τύπου, τότε ο υπολογισμός γίνεται σύμφωνα με τον τύπο του αρμονικού σταθμισμένου μέσου όρου.
3. Εάν και ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός λογικού τύπου υπάρχουν στο πρόβλημα ταυτόχρονα (αυτό συμβαίνει σπάνια), τότε ο υπολογισμός πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο ή χρησιμοποιώντας τον απλό αριθμητικό μέσο όρο.
Αυτή είναι μια κλασική ιδέα για την επιλογή του σωστού τύπου για τον υπολογισμό της μέσης τιμής. Στη συνέχεια, παρουσιάζουμε την ακολουθία ενεργειών στην επίλυση προβλημάτων για τον υπολογισμό της μέσης τιμής.

Αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων για τον υπολογισμό της μέσης τιμής

Α. Προσδιορίστε τη μέθοδο για τον υπολογισμό της μέσης τιμής - απλή ή σταθμισμένη . Εάν τα δεδομένα παρουσιάζονται σε πίνακα, τότε χρησιμοποιούμε μια σταθμισμένη μέθοδο, εάν τα δεδομένα παρουσιάζονται με απλή απαρίθμηση, τότε χρησιμοποιούμε μια απλή μέθοδο υπολογισμού.

Β. Ορίστε ή τακτοποιήστε τα σύμβολα - Χ - επιλογή, φά – συχνότητα . Παραλλαγή είναι το φαινόμενο για το οποίο θέλετε να βρείτε τη μέση τιμή. Τα υπόλοιπα δεδομένα στον πίνακα θα είναι η συχνότητα.

Β. Καθορίζουμε τη φόρμα για τον υπολογισμό της μέσης τιμής - αριθμητική ή αρμονική . Ο ορισμός πραγματοποιείται στη στήλη συχνότητας. Η αριθμητική μορφή χρησιμοποιείται εάν οι συχνότητες δίνονται με έναν ρητό αριθμό (υπό όρους, μπορείτε να αντικαταστήσετε τα κομμάτια λέξης, τον αριθμό των στοιχείων "κομμάτια" για αυτά). Η αρμονική μορφή χρησιμοποιείται εάν οι συχνότητες δίνονται όχι από έναν ρητό αριθμό, αλλά από έναν σύνθετο δείκτη (το γινόμενο της μέσης τιμής και της συχνότητας).

Το πιο δύσκολο είναι να μαντέψεις πού και πόσα δίνονται, ειδικά για έναν μαθητή άπειρο σε τέτοια θέματα. Σε μια τέτοια περίπτωση, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μία από τις ακόλουθες μεθόδους. Για ορισμένα καθήκοντα (οικονομικά), η δήλωση που αναπτύχθηκε με τα χρόνια της πρακτικής (ρήτρα Β.1) είναι κατάλληλη. Σε άλλες περιπτώσεις, θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε την παράγραφο Β.2.

Γ.1 Εάν η συχνότητα ορίζεται σε νομισματικές μονάδες (σε ρούβλια), τότε ο αρμονικός μέσος όρος χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό, μια τέτοια δήλωση ισχύει πάντα εάν η ανιχνευόμενη συχνότητα ορίζεται σε χρήματα, σε άλλες περιπτώσεις αυτός ο κανόνας δεν ισχύει.

B.2 Χρησιμοποιήστε τους κανόνες για την επιλογή της μέσης τιμής που αναφέρεται παραπάνω σε αυτό το άρθρο. Αν η συχνότητα δίνεται από τον παρονομαστή του λογικού τύπου για τον υπολογισμό της μέσης τιμής, τότε υπολογίζουμε με την αριθμητική μέση τιμή, εάν η συχνότητα δίνεται από τον αριθμητή του λογικού τύπου για τον υπολογισμό της μέσης τιμής, τότε υπολογίζουμε με την αρμονική μέση μορφή.

Εξετάστε τα παραδείγματα χρήσης αυτού του αλγορίθμου.

Α. Εφόσον τα δεδομένα παρουσιάζονται σε σειρά, χρησιμοποιούμε μια απλή μέθοδο υπολογισμού.

B. V. Έχουμε μόνο στοιχεία για το ύψος των συντάξεων, και θα είναι η δική μας εκδοχή – x. Τα δεδομένα παρουσιάζονται ως απλός αριθμός (12 άτομα), για τον υπολογισμό χρησιμοποιούμε τον απλό αριθμητικό μέσο όρο.

Η μέση σύνταξη ενός συνταξιούχου είναι 9208,3 ρούβλια.

Β. Δεδομένου ότι απαιτείται να βρεθεί το μέσο ποσό πληρωμής ανά παιδί, οι επιλογές βρίσκονται στην πρώτη στήλη, βάζουμε τον προσδιορισμό x εκεί, η δεύτερη στήλη γίνεται αυτόματα η συχνότητα f.

Γ. Η συχνότητα (αριθμός παιδιών) δίνεται από έναν ρητό αριθμό (μπορείτε να αντικαταστήσετε τη λέξη κομμάτια παιδιών, από την άποψη της ρωσικής γλώσσας, η φράση είναι εσφαλμένη, αλλά, στην πραγματικότητα, είναι πολύ βολικό να έλεγχος), που σημαίνει ότι για τον υπολογισμό χρησιμοποιείται ο αριθμητικός σταθμισμένος μέσος όρος.

Είναι της μόδας να λύνουμε το ίδιο πρόβλημα όχι με τυπικό τρόπο, αλλά με πίνακα, δηλαδή να εισάγουμε όλα τα δεδομένα των ενδιάμεσων υπολογισμών σε έναν πίνακα.

Ως αποτέλεσμα, το μόνο που χρειάζεται να γίνει τώρα είναι να διαχωριστούν τα δύο σύνολα με τη σωστή σειρά.

Η μέση πληρωμή ανά παιδί ανά μήνα ήταν 1.910 ρούβλια.

Α. Εφόσον τα δεδομένα παρουσιάζονται στον πίνακα, χρησιμοποιούμε τη σταθμισμένη φόρμα για τον υπολογισμό.

Β. Η συχνότητα (κόστος παραγωγής) ορίζεται από μια σιωπηρή ποσότητα (η συχνότητα ορίζεται σε ρούβλια Στοιχείο αλγόριθμου B1), που σημαίνει ότι ο αρμονικός σταθμισμένος μέσος όρος χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό. Γενικά, στην πραγματικότητα, το κόστος παραγωγής είναι ένας πολύπλοκος δείκτης, ο οποίος προκύπτει πολλαπλασιάζοντας το κόστος μιας μονάδας ενός προϊόντος με τον αριθμό τέτοιων προϊόντων, αυτή είναι η ουσία της μέσης αρμονικής τιμής.

Για να λυθεί αυτό το πρόβλημα χρησιμοποιώντας τον αριθμητικό μέσο όρο, είναι απαραίτητο αντί του κόστους παραγωγής να υπάρχει ο αριθμός των προϊόντων με το αντίστοιχο κόστος.

Λάβετε υπόψη ότι το ποσό στον παρονομαστή, που προκύπτει μετά τους υπολογισμούς 410 (120 + 80 + 210) είναι ο συνολικός αριθμός των κατασκευασμένων προϊόντων.

Το μέσο κόστος μονάδας ενός προϊόντος ήταν 314,4 ρούβλια.

Α. Εφόσον τα δεδομένα παρουσιάζονται στον πίνακα, χρησιμοποιούμε τη σταθμισμένη φόρμα για τον υπολογισμό.

Β. Δεδομένου ότι απαιτείται να βρεθεί το μέσο κόστος μονάδας, οι επιλογές βρίσκονται στην πρώτη στήλη, βάζουμε τον προσδιορισμό x εκεί, η δεύτερη στήλη γίνεται αυτόματα η συχνότητα f.

Β. Η συχνότητα (συνολικός αριθμός κενών) δίνεται από έναν άρρητο αριθμό (είναι το γινόμενο δύο δεικτών του αριθμού των κενών και του αριθμού των μαθητών με τέτοιο αριθμό κενών), που σημαίνει ότι ο αρμονικός σταθμισμένος μέσος όρος είναι χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό. Θα χρησιμοποιήσουμε το σημείο του αλγορίθμου Β2.

Για να λυθεί αυτό το πρόβλημα χρησιμοποιώντας τον αριθμητικό μέσο όρο, είναι απαραίτητο αντί του συνολικού αριθμού των κενών να υπάρχει ο αριθμός των μαθητών.

Φτιάχνουμε έναν λογικό τύπο για τον υπολογισμό του μέσου αριθμού επιτυχιών ανά μαθητή.

Συχνότητα ανάλογα με την κατάσταση του προβλήματος Ο συνολικός αριθμός περασμάτων. Στον λογικό τύπο, αυτός ο δείκτης βρίσκεται στον αριθμητή, πράγμα που σημαίνει ότι χρησιμοποιούμε τον τύπο αρμονικού μέσου όρου.

Σημειώστε ότι το άθροισμα στον παρονομαστή μετά τον υπολογισμό του 31 (18+8+5) είναι ο συνολικός αριθμός των μαθητών.

Ο μέσος αριθμός απουσιών ανά μαθητή είναι 13,8 ημέρες.

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να βρείτε τον μέσο αριθμό ημερών για εργασίες που πρέπει να ολοκληρωθούν από διαφορετικούς υπαλλήλους. Ή θέλετε να υπολογίσετε ένα χρονικό διάστημα 10 ετών Μέση θερμοκρασία σε μια συγκεκριμένη ημέρα. Υπολογισμός της μέσης τιμής μιας σειράς αριθμών με διάφορους τρόπους.

Ο μέσος όρος είναι συνάρτηση του μέτρου της κεντρικής τάσης, που είναι το κέντρο μιας σειράς αριθμών σε μια στατιστική κατανομή. Τα τρία πιο κοινά κριτήρια για την κεντρική τάση είναι.

Μέση τιμήΟ αριθμητικός μέσος όρος υπολογίζεται προσθέτοντας μια σειρά αριθμών και στη συνέχεια διαιρώντας τον αριθμό αυτών των αριθμών. Για παράδειγμα, ο μέσος όρος των 2, 3, 3, 5, 7 και 10 έχει το 30 διαιρούμενο με το 6, 5.

ΔιάμεσοςΟ μεσαίος αριθμός μιας σειράς αριθμών. Οι μισοί από τους αριθμούς έχουν τιμές που είναι μεγαλύτερες από τη διάμεση, και οι μισοί από τους αριθμούς έχουν τιμές που είναι μικρότερες από τη διάμεση. Για παράδειγμα, η διάμεσος των 2, 3, 3, 5, 7 και 10 είναι 4.

ΤρόποςΟ πιο συχνά εμφανιζόμενος αριθμός σε μια ομάδα αριθμών. Για παράδειγμα τη λειτουργία 2, 3, 3, 5, 7 και 10 - 3.

Αυτά τα τρία μέτρα της κεντρικής τάσης της συμμετρικής κατανομής μιας σειράς αριθμών είναι ένα και το αυτό. Σε μια ασύμμετρη κατανομή ενός αριθμού αριθμών, μπορεί να είναι διαφορετικοί.

Υπολογίστε τη μέση τιμή των κελιών που βρίσκονται συνεχώς σε μια σειρά ή μια στήλη

Κάντε το εξής.

Υπολογισμός του μέσου όρου των διάσπαρτων κυττάρων

Για να ολοκληρώσετε αυτήν την εργασία, χρησιμοποιήστε τη συνάρτηση ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ. Αντιγράψτε τον παρακάτω πίνακα σε ένα κενό φύλλο.

Υπολογισμός του σταθμισμένου μέσου όρου

SUMPRODUCTκαι ποσά. Το vΑυτό το παράδειγμα υπολογίζει τη μέση τιμή μονάδας που καταβάλλεται για τρεις αγορές, όπου κάθε αγορά αφορά διαφορετικό αριθμό μονάδων μέτρησης σε διαφορετικές τιμές μονάδας.

Αντιγράψτε τον παρακάτω πίνακα σε ένα κενό φύλλο.

Υπολογισμός της μέσης τιμής των αριθμών, αγνοώντας μηδενικές τιμές

Για να ολοκληρώσετε αυτήν την εργασία, χρησιμοποιήστε τις συναρτήσεις ΜΕΣΗ ΤΙΜΗκαι αν. Αντιγράψτε τον παρακάτω πίνακα και λάβετε υπόψη ότι σε αυτό το παράδειγμα, για να γίνει πιο κατανοητό, αντιγράψτε τον σε ένα κενό φύλλο.

Στον υπολογισμό της μέσης τιμής χάνεται.

Μέση τιμή έννοιασύνολο αριθμών ισούται με το άθροισμα των αριθμών S διαιρούμενο με τον αριθμό αυτών των αριθμών. Δηλαδή αποδεικνύεται ότι μέση τιμή έννοιαισούται με: 19/4 = 4,75.

Σημείωση

Εάν πρέπει να βρείτε τη γεωμετρική μέση τιμή για δύο μόνο αριθμούς, τότε δεν θα χρειαστείτε μηχανική αριθμομηχανή: μπορείτε να εξαγάγετε τη ρίζα δεύτερου βαθμού (τετραγωνική ρίζα) οποιουδήποτε αριθμού χρησιμοποιώντας την πιο κοινή αριθμομηχανή.

Χρήσιμες συμβουλές

Σε αντίθεση με τον αριθμητικό μέσο όρο, ο γεωμετρικός μέσος όρος δεν επηρεάζεται τόσο έντονα από μεγάλες αποκλίσεις και διακυμάνσεις μεταξύ των επιμέρους τιμών στο υπό μελέτη σύνολο δεικτών.

Πηγές:

• Ηλεκτρονική αριθμομηχανή που υπολογίζει τον γεωμετρικό μέσο όρο
• γεωμετρικός μέσος τύπος

Μέση τιμήΗ τιμή είναι ένα από τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου αριθμών. Αντιπροσωπεύει έναν αριθμό που δεν μπορεί να είναι εκτός του εύρους που ορίζεται από τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές σε αυτό το σύνολο αριθμών. Μέση τιμήαριθμητική τιμή - η πιο συχνά χρησιμοποιούμενη ποικιλία μέσων όρων.

Εντολή

Προσθέστε όλους τους αριθμούς του συνόλου και διαιρέστε τους με τον αριθμό των όρων για να πάρετε τον αριθμητικό μέσο όρο. Ανάλογα με τις συγκεκριμένες συνθήκες του υπολογισμού, μερικές φορές είναι ευκολότερο να διαιρέσουμε κάθε έναν από τους αριθμούς με τον αριθμό των τιμών στο σύνολο και να αθροίσουμε το αποτέλεσμα.

Χρησιμοποιήστε, για παράδειγμα, που περιλαμβάνεται στο λειτουργικό σύστημα Windows, εάν δεν είναι δυνατό να υπολογίσετε τον αριθμητικό μέσο όρο στο μυαλό σας. Μπορείτε να το ανοίξετε χρησιμοποιώντας το παράθυρο διαλόγου εκκίνησης προγράμματος. Για να το κάνετε αυτό, πατήστε τα "πλήκτρα συντόμευσης" WIN + R ή κάντε κλικ στο κουμπί "Έναρξη" και επιλέξτε την εντολή "Εκτέλεση" από το κύριο μενού. Στη συνέχεια, πληκτρολογήστε calc στο πεδίο εισαγωγής και πατήστε Enter ή κάντε κλικ στο κουμπί OK. Το ίδιο μπορεί να γίνει μέσω του κύριου μενού - ανοίξτε το, μεταβείτε στην ενότητα "Όλα τα προγράμματα" και στην ενότητα "Τυπικό" και επιλέξτε τη γραμμή "Αριθμομηχανή".

Εισαγάγετε όλους τους αριθμούς του σετ διαδοχικά πατώντας το πλήκτρο Συν μετά από κάθε έναν από αυτούς (εκτός από τον τελευταίο) ή κάνοντας κλικ στο αντίστοιχο κουμπί στη διεπαφή της αριθμομηχανής. Μπορείτε επίσης να εισάγετε αριθμούς τόσο από το πληκτρολόγιο όσο και κάνοντας κλικ στα αντίστοιχα κουμπιά διεπαφής.

Πατήστε το πλήκτρο κάθετο ή κάντε κλικ σε αυτό στη διεπαφή της αριθμομηχανής αφού εισαγάγετε την τελευταία τιμή ρύθμισης και εκτυπώστε τον αριθμό των αριθμών στη σειρά. Στη συνέχεια, πατήστε το σύμβολο ίσου και η αριθμομηχανή θα υπολογίσει και θα εμφανίσει τον αριθμητικό μέσο όρο.

Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το πρόγραμμα επεξεργασίας υπολογιστικών φύλλων Microsoft Excel για τον ίδιο σκοπό. Σε αυτήν την περίπτωση, ξεκινήστε τον επεξεργαστή και εισαγάγετε όλες τις τιμές της ακολουθίας αριθμών σε γειτονικά κελιά. Εάν μετά την εισαγωγή κάθε αριθμού πατήσετε Enter ή το πλήκτρο κάτω ή δεξιό βέλος, ο ίδιος ο επεξεργαστής θα μετακινήσει την εστίαση εισόδου στο διπλανό κελί.

Κάντε κλικ στο κελί δίπλα στον τελευταίο αριθμό που πληκτρολογήσατε, εάν δεν θέλετε να δείτε απλώς τον αριθμητικό μέσο όρο. Αναπτύξτε το αναπτυσσόμενο μενού Ελληνικό σίγμα (Σ) των εντολών Επεξεργασία στην καρτέλα Αρχική σελίδα. Επιλέξτε τη γραμμή " Μέση τιμή” και ο επεξεργαστής θα εισαγάγει τον επιθυμητό τύπο για τον υπολογισμό του αριθμητικού μέσου όρου στο επιλεγμένο κελί. Πατήστε το πλήκτρο Enter και η τιμή θα υπολογιστεί.

Ο αριθμητικός μέσος όρος είναι ένα από τα μέτρα της κεντρικής τάσης, που χρησιμοποιείται ευρέως στα μαθηματικά και τους στατιστικούς υπολογισμούς. Η εύρεση του αριθμητικού μέσου όρου πολλών τιμών​​είναι πολύ απλή, αλλά κάθε εργασία έχει τις δικές της αποχρώσεις, τις οποίες είναι απλώς απαραίτητο να γνωρίζουμε για να εκτελέσουμε σωστούς υπολογισμούς.

Ποιος είναι ο αριθμητικός μέσος όρος

Ο αριθμητικός μέσος όρος καθορίζει τη μέση τιμή για ολόκληρο τον αρχικό πίνακα αριθμών. Με άλλα λόγια, από ένα συγκεκριμένο σύνολο αριθμών, επιλέγεται μια τιμή κοινή για όλα τα στοιχεία, η μαθηματική σύγκριση της οποίας με όλα τα στοιχεία είναι περίπου ίση. Ο αριθμητικός μέσος όρος χρησιμοποιείται κυρίως για την προετοιμασία οικονομικών και στατιστικών αναφορών ή για τον υπολογισμό των αποτελεσμάτων παρόμοιων πειραμάτων.

Πώς να βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο

Η αναζήτηση για τον αριθμητικό μέσο όρο για έναν πίνακα αριθμών θα πρέπει να ξεκινήσει με τον προσδιορισμό του αλγεβρικού αθροίσματος αυτών των τιμών. Για παράδειγμα, αν ο πίνακας περιέχει τους αριθμούς 23, 43, 10, 74 και 34, τότε το αλγεβρικό άθροισμά τους θα είναι 184. Κατά τη γραφή, ο αριθμητικός μέσος όρος συμβολίζεται με το γράμμα μ (mu) ή x (x με ράβδο) . Στη συνέχεια, το αλγεβρικό άθροισμα πρέπει να διαιρεθεί με τον αριθμό των αριθμών του πίνακα. Σε αυτό το παράδειγμα, υπήρχαν πέντε αριθμοί, οπότε ο αριθμητικός μέσος όρος θα είναι 184/5 και θα είναι 36,8.

Χαρακτηριστικά της εργασίας με αρνητικούς αριθμούς

Εάν υπάρχουν αρνητικοί αριθμοί στον πίνακα, τότε ο αριθμητικός μέσος όρος βρίσκεται χρησιμοποιώντας έναν παρόμοιο αλγόριθμο. Υπάρχει διαφορά μόνο κατά τον υπολογισμό στο περιβάλλον προγραμματισμού ή εάν υπάρχουν πρόσθετες συνθήκες στην εργασία. Σε αυτές τις περιπτώσεις, η εύρεση του αριθμητικού μέσου όρου αριθμών με διαφορετικά πρόσημα καταλήγει σε τρία βήματα:

1. Εύρεση του κοινού αριθμητικού μέσου όρου με την τυπική μέθοδο.
2. Εύρεση του αριθμητικού μέσου όρου των αρνητικών αριθμών.
3. Υπολογισμός του αριθμητικού μέσου όρου των θετικών αριθμών.

Οι απαντήσεις καθεμιάς από τις ενέργειες γράφονται χωρισμένες με κόμμα.

Φυσικά και δεκαδικά κλάσματα

Εάν ο πίνακας αριθμών παριστάνεται με δεκαδικά κλάσματα, η λύση εμφανίζεται σύμφωνα με τη μέθοδο υπολογισμού του αριθμητικού μέσου όρου των ακεραίων, αλλά το αποτέλεσμα μειώνεται σύμφωνα με τις απαιτήσεις του προβλήματος για την ακρίβεια της απάντησης.

Όταν εργάζεστε με φυσικά κλάσματα, θα πρέπει να μειωθούν σε έναν κοινό παρονομαστή, ο οποίος πολλαπλασιάζεται με τον αριθμό των αριθμών του πίνακα. Ο αριθμητής της απάντησης θα είναι το άθροισμα των δεδομένων αριθμητών των αρχικών κλασματικών στοιχείων.

• Μηχανική αριθμομηχανή.

Εντολή

Λάβετε υπόψη ότι στη γενική περίπτωση, ο γεωμετρικός μέσος όρος των αριθμών βρίσκεται πολλαπλασιάζοντας αυτούς τους αριθμούς και εξάγοντας από αυτούς τη ρίζα του βαθμού που αντιστοιχεί στον αριθμό των αριθμών. Για παράδειγμα, εάν πρέπει να βρείτε τον γεωμετρικό μέσο όρο πέντε αριθμών, τότε θα χρειαστεί να εξαγάγετε τη ρίζα του βαθμού από το γινόμενο.

Για να βρείτε το γεωμετρικό μέσο δύο αριθμών, χρησιμοποιήστε τον βασικό κανόνα. Βρείτε το γινόμενο τους και μετά εξάγετε την τετραγωνική ρίζα από αυτό, αφού οι αριθμοί είναι δύο, που αντιστοιχεί στο βαθμό της ρίζας. Για παράδειγμα, για να βρείτε το γεωμετρικό μέσο των αριθμών 16 και 4, βρείτε το γινόμενο τους 16 4=64. Από τον αριθμό που προκύπτει, εξάγουμε την τετραγωνική ρίζα √64=8. Αυτή θα είναι η επιθυμητή τιμή. Σημειώστε ότι ο αριθμητικός μέσος όρος αυτών των δύο αριθμών είναι μεγαλύτερος και ίσος με 10. Εάν η ρίζα δεν ληφθεί πλήρως, στρογγυλοποιήστε το αποτέλεσμα στην επιθυμητή σειρά.

Για να βρείτε τον γεωμετρικό μέσο όρο περισσότερων από δύο αριθμών, χρησιμοποιήστε επίσης τον βασικό κανόνα. Για να το κάνετε αυτό, βρείτε το γινόμενο όλων των αριθμών για τους οποίους θέλετε να βρείτε τη γεωμετρική μέση τιμή. Από το προϊόν που προκύπτει, εξάγετε τη ρίζα του βαθμού ίση με τον αριθμό των αριθμών. Για παράδειγμα, για να βρείτε το γεωμετρικό μέσο των αριθμών 2, 4 και 64, βρείτε το γινόμενο τους. 2 4 64=512. Εφόσον πρέπει να βρείτε το αποτέλεσμα του γεωμετρικού μέσου όρου τριών αριθμών, εξάγετε τη ρίζα του τρίτου βαθμού από το γινόμενο. Είναι δύσκολο να το κάνετε αυτό προφορικά, γι' αυτό χρησιμοποιήστε μια αριθμομηχανή μηχανικής. Για να γίνει αυτό, έχει ένα κουμπί "x ^ y". Καλέστε τον αριθμό 512, πατήστε το κουμπί "x^y", μετά πληκτρολογήστε τον αριθμό 3 και πατήστε το κουμπί "1/x", για να βρείτε την τιμή 1/3, πατήστε το κουμπί "=". Παίρνουμε το αποτέλεσμα της αύξησης του 512 στη δύναμη του 1/3, που αντιστοιχεί στη ρίζα του τρίτου βαθμού. Λάβετε 512^1/3=8. Αυτός είναι ο γεωμετρικός μέσος όρος των αριθμών 2.4 και 64.

Χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή μηχανικής, μπορείτε να βρείτε το γεωμετρικό μέσο με άλλο τρόπο. Βρείτε το κουμπί καταγραφής στο πληκτρολόγιό σας. Μετά από αυτό, πάρτε τον λογάριθμο για κάθε έναν από τους αριθμούς, βρείτε το άθροισμά τους και διαιρέστε το με τον αριθμό των αριθμών. Από τον αριθμό που προκύπτει, πάρτε τον αντιλογάριθμο. Αυτός θα είναι ο γεωμετρικός μέσος όρος των αριθμών. Για παράδειγμα, για να βρείτε το γεωμετρικό μέσο των ίδιων αριθμών 2, 4 και 64, κάντε ένα σύνολο πράξεων στην αριθμομηχανή. Πληκτρολογήστε τον αριθμό 2, μετά πατήστε το κουμπί καταγραφής, πατήστε το κουμπί "+", πληκτρολογήστε τον αριθμό 4 και πατήστε ξανά log και "+", πληκτρολογήστε 64, πατήστε log και "=". Το αποτέλεσμα θα είναι ένας αριθμός ίσος με το άθροισμα των δεκαδικών λογαρίθμων των αριθμών 2, 4 και 64. Διαιρέστε τον αριθμό που προκύπτει με το 3, αφού αυτός είναι ο αριθμός των αριθμών με τους οποίους αναζητείται ο γεωμετρικός μέσος όρος. Από το αποτέλεσμα, πάρτε τον αντιλογάριθμο εναλλάσσοντας το κλειδί εγγραφής και χρησιμοποιήστε το ίδιο κλειδί καταγραφής. Το αποτέλεσμα είναι ο αριθμός 8, αυτός είναι ο επιθυμητός γεωμετρικός μέσος όρος.