Οι απλούστερες διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης είναι παραδείγματα. Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης

Εκπαιδευτικό ίδρυμα "Κράτος της Λευκορωσίας

Γεωργική Ακαδημία"

Τμήμα Ανωτάτων Μαθηματικών

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ

Σημειώσεις διαλέξεων για φοιτητές λογιστικής

έντυπο εκπαίδευσης αλληλογραφίας (NISPO)

Gorki, 2013

Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης

Η έννοια της διαφορικής εξίσωσης. Γενικές και ειδικές λύσεις

Κατά τη μελέτη διαφόρων φαινομένων, συχνά δεν είναι δυνατό να βρεθεί ένας νόμος που να συνδέει άμεσα την ανεξάρτητη μεταβλητή και την επιθυμητή συνάρτηση, αλλά είναι δυνατό να δημιουργηθεί μια σύνδεση μεταξύ της επιθυμητής συνάρτησης και των παραγώγων της.

Καλείται η σχέση που συνδέει την ανεξάρτητη μεταβλητή, την επιθυμητή συνάρτηση και τις παραγώγους της διαφορική εξίσωση :

Εδώ Χ- ανεξάρτητη μεταβλητή, y– την απαιτούμενη λειτουργία,
- παράγωγα της επιθυμητής συνάρτησης. Στην περίπτωση αυτή, η σχέση (1) πρέπει να έχει τουλάχιστον μία παράγωγο.

Η σειρά της διαφορικής εξίσωσης ονομάζεται η τάξη της υψηλότερης παραγώγου που περιλαμβάνεται στην εξίσωση.

Θεωρήστε τη διαφορική εξίσωση

. (2)

Δεδομένου ότι αυτή η εξίσωση περιλαμβάνει μόνο μια παράγωγο πρώτης τάξης, ονομάζεται είναι μια διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης.

Εάν η εξίσωση (2) μπορεί να επιλυθεί ως προς την παράγωγο και να γραφεί στη μορφή

, (3)

τότε μια τέτοια εξίσωση ονομάζεται διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης σε κανονική μορφή.

Σε πολλές περιπτώσεις είναι σκόπιμο να ληφθεί υπόψη μια εξίσωση της μορφής

η οποία ονομάζεται μια διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης γραμμένη σε διαφορική μορφή.

Επειδή
, τότε η εξίσωση (3) μπορεί να γραφτεί με τη μορφή
ή
, όπου μπορούμε να μετρήσουμε
Και
. Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση (3) μετατρέπεται στην εξίσωση (4).

Ας γράψουμε την εξίσωση (4) στη μορφή
. Επειτα
,
,
, όπου μπορούμε να μετρήσουμε
, δηλ. προκύπτει μια εξίσωση της μορφής (3). Έτσι, οι εξισώσεις (3) και (4) είναι ισοδύναμες.

Επίλυση διαφορικής εξίσωσης Η (2) ή η (3) ονομάζεται οποιαδήποτε συνάρτηση
, το οποίο, όταν το αντικαθιστά στην εξίσωση (2) ή (3), το μετατρέπει σε ταυτότητα:

ή
.

Η διαδικασία εύρεσης όλων των λύσεων σε μια διαφορική εξίσωση ονομάζεται της ενσωμάτωση και το γράφημα της λύσης
ονομάζεται διαφορική εξίσωση ολοκληρωμένη καμπύλη αυτή η εξίσωση.

Αν η λύση της διαφορικής εξίσωσης ληφθεί σε άρρητη μορφή
, τότε λέγεται αναπόσπαστο αυτής της διαφορικής εξίσωσης.

Γενική λύση μιας διαφορικής εξίσωσης πρώτης τάξης είναι μια οικογένεια συναρτήσεων της μορφής
, ανάλογα με μια αυθαίρετη σταθερά ΜΕ, καθένα από τα οποία είναι μια λύση σε μια δεδομένη διαφορική εξίσωση για οποιαδήποτε αποδεκτή τιμή μιας αυθαίρετης σταθεράς ΜΕ. Έτσι, η διαφορική εξίσωση έχει άπειρο αριθμό λύσεων.

Ιδιωτική απόφαση Η διαφορική εξίσωση είναι μια λύση που προκύπτει από τον γενικό τύπο λύσης για μια συγκεκριμένη τιμή μιας αυθαίρετης σταθεράς ΜΕ, συμπεριλαμβανομένου
.

Το πρόβλημα Cauchy και η γεωμετρική του ερμηνεία

Η εξίσωση (2) έχει άπειρο αριθμό λύσεων. Για να επιλέξετε μία λύση από αυτό το σύνολο, η οποία ονομάζεται ιδιωτική, πρέπει να ορίσετε κάποιες πρόσθετες προϋποθέσεις.

Το πρόβλημα της εύρεσης μιας συγκεκριμένης λύσης στην εξίσωση (2) υπό δεδομένες συνθήκες ονομάζεται Πρόβλημα Cauchy . Αυτό το πρόβλημα είναι ένα από τα πιο σημαντικά στη θεωρία των διαφορικών εξισώσεων.

Το πρόβλημα Cauchy διατυπώνεται ως εξής: ανάμεσα σε όλες τις λύσεις της εξίσωσης (2) βρείτε μια τέτοια λύση
, στην οποία η συνάρτηση
παίρνει τη δεδομένη αριθμητική τιμή , εάν η ανεξάρτητη μεταβλητή Χ παίρνει τη δεδομένη αριθμητική τιμή , δηλ.

,
, (5)

Οπου ρε– πεδίο ορισμού της συνάρτησης
.

Εννοια που ονομάζεται την αρχική τιμή της συνάρτησης , ΕΝΑ – αρχική τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής . Η συνθήκη (5) ονομάζεται αρχική κατάσταση ή Κατάσταση Cauchy .

Από γεωμετρική άποψη, το πρόβλημα Cauchy για τη διαφορική εξίσωση (2) μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: από το σύνολο των ολοκληρωτικών καμπυλών της εξίσωσης (2), επιλέξτε αυτή που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο
.

Διαφορικές εξισώσεις με διαχωρίσιμες μεταβλητές

Ένας από τους απλούστερους τύπους διαφορικών εξισώσεων είναι μια διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης που δεν περιέχει την επιθυμητή συνάρτηση:

. (6)

Λαμβάνοντας υπ 'όψιν ότι
, γράφουμε την εξίσωση στη μορφή
ή
. Ενσωματώνοντας και τις δύο πλευρές της τελευταίας εξίσωσης, παίρνουμε:
ή

. (7)

Έτσι, το (7) είναι μια γενική λύση της εξίσωσης (6).

Παράδειγμα 1 . Να βρείτε τη γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης
.

Λύση . Ας γράψουμε την εξίσωση στη μορφή
ή
. Ας ενσωματώσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης που προκύπτει:
,
. Επιτέλους θα το γράψουμε
.

Παράδειγμα 2 . Βρείτε τη λύση της εξίσωσης
δεδομένου ότι
.

Λύση . Ας βρούμε μια γενική λύση στην εξίσωση:
,
,
,
. Κατά συνθήκη
,
. Ας αντικαταστήσουμε τη γενική λύση:
ή
. Αντικαθιστούμε την ευρεθείσα τιμή μιας αυθαίρετης σταθεράς στον τύπο για τη γενική λύση:
. Αυτή είναι μια συγκεκριμένη λύση της διαφορικής εξίσωσης που ικανοποιεί τη δεδομένη συνθήκη.

Η εξίσωση

(8)

Που ονομάζεται μια διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης που δεν περιέχει ανεξάρτητη μεταβλητή . Ας το γράψουμε στη φόρμα
ή
. Ας ενσωματώσουμε και τις δύο πλευρές της τελευταίας εξίσωσης:
ή
- γενική λύση της εξίσωσης (8).

Παράδειγμα . Να βρείτε τη γενική λύση της εξίσωσης
.

Λύση . Ας γράψουμε αυτή την εξίσωση με τη μορφή:
ή
. Επειτα
,
,
,
. Ετσι,
είναι η γενική λύση αυτής της εξίσωσης.

Εξίσωση της φόρμας

(9)

ενσωματώνει χρησιμοποιώντας διαχωρισμό μεταβλητών. Για να γίνει αυτό, γράφουμε την εξίσωση στη φόρμα
, και στη συνέχεια χρησιμοποιώντας τις πράξεις πολλαπλασιασμού και διαίρεσης το φέρνουμε σε τέτοια μορφή που ένα μέρος περιλαμβάνει μόνο τη συνάρτηση του Χκαι διαφορικό dx, και στο δεύτερο μέρος – η συνάρτηση του στοκαι διαφορικό dy. Για να γίνει αυτό, πρέπει να πολλαπλασιαστούν και οι δύο πλευρές της εξίσωσης επί dxκαι διαιρέστε με
. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε την εξίσωση

, (10)

στην οποία οι μεταβλητές ΧΚαι στοσε διασταση. Ας ενσωματώσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης (10):
. Η σχέση που προκύπτει είναι το γενικό ολοκλήρωμα της εξίσωσης (9).

Παράδειγμα 3 . Ολοκληρώστε την εξίσωση
.

Λύση . Ας μετατρέψουμε την εξίσωση και ας διαχωρίσουμε τις μεταβλητές:
,
. Ας ενσωματώσουμε:
,
ή είναι το γενικό ολοκλήρωμα αυτής της εξίσωσης.
.

Ας δοθεί η εξίσωση με τη μορφή

Αυτή η εξίσωση ονομάζεται διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης με διαχωρίσιμες μεταβλητές σε συμμετρική μορφή.

Για να διαχωρίσετε τις μεταβλητές, πρέπει να διαιρέσετε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με
:

. (12)

Η εξίσωση που προκύπτει ονομάζεται χωριστή διαφορική εξίσωση . Ας ενσωματώσουμε την εξίσωση (12):

.(13)

Η σχέση (13) είναι το γενικό ολοκλήρωμα της διαφορικής εξίσωσης (11).

Παράδειγμα 4 . Ενσωματώστε μια διαφορική εξίσωση.

Λύση . Ας γράψουμε την εξίσωση στη μορφή

και διαιρέστε και τα δύο μέρη με
,
. Η εξίσωση που προκύπτει:
είναι μια διαχωρισμένη μεταβλητή εξίσωση. Ας το ενσωματώσουμε:

,
,

,
. Η τελευταία ισότητα είναι το γενικό ολοκλήρωμα αυτής της διαφορικής εξίσωσης.

Παράδειγμα 5 . Βρείτε μια συγκεκριμένη λύση σε μια διαφορική εξίσωση
, ικανοποιώντας την προϋπόθεση
.

Λύση . Λαμβάνοντας υπ 'όψιν ότι
, γράφουμε την εξίσωση στη μορφή
ή
. Ας διαχωρίσουμε τις μεταβλητές:
. Ας ενσωματώσουμε αυτήν την εξίσωση:
,
,
. Η σχέση που προκύπτει είναι το γενικό ολοκλήρωμα αυτής της εξίσωσης. Κατά συνθήκη
. Ας το αντικαταστήσουμε στο γενικό ολοκλήρωμα και ας βρούμε ΜΕ:
,ΜΕ=1. Μετά η έκφραση
είναι μια μερική λύση μιας δεδομένης διαφορικής εξίσωσης, που γράφεται ως μερικό ολοκλήρωμα.

Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης

Η εξίσωση

(14)

που ονομάζεται γραμμική διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης . Άγνωστη λειτουργία
και η παράγωγός της μπαίνουν σε αυτή την εξίσωση γραμμικά, και οι συναρτήσεις
Και
συνεχής.

Αν
, μετά η εξίσωση

(15)

που ονομάζεται γραμμικό ομοιογενές . Αν
, τότε καλείται η εξίσωση (14). γραμμική ανομοιογενής .

Για να βρεθεί μια λύση στην εξίσωση (14) συνήθως χρησιμοποιεί μέθοδος αντικατάστασης (Bernoulli) , η ουσία του οποίου είναι η εξής.

Θα αναζητήσουμε τη λύση της εξίσωσης (14) με τη μορφή γινομένου δύο συναρτήσεων

, (16)

Οπου
Και
- μερικές συνεχείς λειτουργίες. Ας αντικαταστήσουμε
και παράγωγο
στην εξίσωση (14):

Λειτουργία vθα επιλέξουμε με τέτοιο τρόπο ώστε να ικανοποιείται η συνθήκη
. Επειτα
. Έτσι, για να βρεθεί μια λύση στην εξίσωση (14), είναι απαραίτητο να λυθεί το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων

Η πρώτη εξίσωση του συστήματος είναι μια γραμμική ομοιογενής εξίσωση και μπορεί να λυθεί με τη μέθοδο του διαχωρισμού των μεταβλητών:
,
,
,
,
. Ως συνάρτηση
μπορείτε να πάρετε μία από τις μερικές λύσεις της ομοιογενούς εξίσωσης, δηλ. στο ΜΕ=1:
. Ας αντικαταστήσουμε τη δεύτερη εξίσωση του συστήματος:
ή
.Επειτα
. Έτσι, η γενική λύση σε μια γραμμική διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης έχει τη μορφή
.

Παράδειγμα 6 . Λύστε την εξίσωση
.

Λύση . Θα αναζητήσουμε τη λύση της εξίσωσης στη φόρμα
. Επειτα
. Ας αντικαταστήσουμε την εξίσωση:

ή
. Λειτουργία vεπιλέξτε με τέτοιο τρόπο ώστε να ισχύει η ισότητα
. Επειτα
. Ας λύσουμε την πρώτη από αυτές τις εξισώσεις χρησιμοποιώντας τη μέθοδο διαχωρισμού μεταβλητών:
,
,
,
,. Λειτουργία vΑς αντικαταστήσουμε τη δεύτερη εξίσωση:
,
,
,
. Η γενική λύση αυτής της εξίσωσης είναι
.

Ερωτήσεις για τον αυτοέλεγχο της γνώσης

Τι είναι μια διαφορική εξίσωση;

Ποια είναι η σειρά μιας διαφορικής εξίσωσης;

Ποια διαφορική εξίσωση ονομάζεται διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης;

Πώς γράφεται μια διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης σε διαφορική μορφή;

Ποια είναι η λύση μιας διαφορικής εξίσωσης;

Τι είναι μια ολοκληρωμένη καμπύλη;

Ποια είναι η γενική λύση μιας διαφορικής εξίσωσης πρώτης τάξης;

Τι ονομάζεται μερική λύση μιας διαφορικής εξίσωσης;

Πώς διατυπώνεται το πρόβλημα Cauchy για μια διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης;

Ποια είναι η γεωμετρική ερμηνεία του προβλήματος Cauchy;

Πώς να γράψετε μια διαφορική εξίσωση με χωριστές μεταβλητές σε συμμετρική μορφή;

Ποια εξίσωση ονομάζεται γραμμική διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης;

Ποια μέθοδος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση μιας γραμμικής διαφορικής εξίσωσης πρώτης τάξης και ποια είναι η ουσία αυτής της μεθόδου;

Εργασίες για ανεξάρτητη εργασία

Λύστε διαφορικές εξισώσεις με χωριστές μεταβλητές:

ΕΝΑ)
; σι)
;

V)
; ΣΟΛ)
.

2. Λύστε γραμμικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης:

ΕΝΑ)
; σι)
; V)
;

ΣΟΛ)
; ρε)
.

Είτε έχουν ήδη λυθεί σε σχέση με την παράγωγο, είτε μπορούν να λυθούν σε σχέση με την παράγωγο .

Γενική λύση διαφορικών εξισώσεων του τύπου στο διάστημα Χ, που δίνεται, μπορεί να βρεθεί παίρνοντας το ολοκλήρωμα και των δύο πλευρών αυτής της ισότητας.

Παίρνουμε .

Αν δούμε τις ιδιότητες του αόριστου ολοκληρώματος, βρίσκουμε την επιθυμητή γενική λύση:

y = F(x) + C,

Οπου F(x)- μια από τις πρωτόγονες λειτουργίες f(x)ανάμεσα Χ, ΕΝΑ ΜΕ- αυθαίρετη σταθερά.

Σημειώστε ότι στα περισσότερα προβλήματα το διάστημα Χδεν υποδεικνύουν. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να βρεθεί μια λύση για όλους. Χ, για την οποία και την επιθυμητή λειτουργία y, και η αρχική εξίσωση έχει νόημα.

Εάν χρειάζεται να υπολογίσετε μια συγκεκριμένη λύση σε μια διαφορική εξίσωση που ικανοποιεί την αρχική συνθήκη y(x 0) = y 0, μετά τον υπολογισμό του γενικού ολοκληρώματος y = F(x) + C, είναι ακόμα απαραίτητο να προσδιοριστεί η τιμή της σταθεράς C = C 0, χρησιμοποιώντας την αρχική συνθήκη. Δηλαδή μια σταθερά C = C 0καθορίζεται από την εξίσωση F(x 0) + C = y 0και η επιθυμητή μερική λύση της διαφορικής εξίσωσης θα έχει τη μορφή:

y = F(x) + C 0.

Ας δούμε ένα παράδειγμα:

Ας βρούμε μια γενική λύση στη διαφορική εξίσωση και ας ελέγξουμε την ορθότητα του αποτελέσματος. Ας βρούμε μια συγκεκριμένη λύση σε αυτή την εξίσωση που θα ικανοποιούσε την αρχική συνθήκη.

Λύση:

Αφού ενσωματώσουμε τη δεδομένη διαφορική εξίσωση, παίρνουμε:

.

Ας πάρουμε αυτό το ολοκλήρωμα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο ολοκλήρωσης ανά μέρη:

Οτι., είναι μια γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης.

Για να βεβαιωθούμε ότι το αποτέλεσμα είναι σωστό, ας κάνουμε έναν έλεγχο. Για να γίνει αυτό, αντικαθιστούμε τη λύση που βρήκαμε στη δεδομένη εξίσωση:

.

Πότε δηλαδή η αρχική εξίσωση μετατρέπεται σε ταυτότητα:

Επομένως, προσδιορίστηκε σωστά η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης.

Η λύση που βρήκαμε είναι μια γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης για κάθε πραγματική τιμή του επιχειρήματος Χ.

Απομένει να υπολογιστεί μια συγκεκριμένη λύση στο ODE που θα ικανοποιούσε την αρχική συνθήκη. Με άλλα λόγια, είναι απαραίτητο να υπολογιστεί η τιμή της σταθεράς ΜΕ, όπου θα ισχύει η ισότητα:

.

.

Στη συνέχεια, αντικατάσταση C = 2στη γενική λύση του ODE, λαμβάνουμε μια συγκεκριμένη λύση της διαφορικής εξίσωσης που ικανοποιεί την αρχική συνθήκη:

.

Συνήθης διαφορική εξίσωση μπορεί να λυθεί για την παράγωγο διαιρώντας τις 2 πλευρές της εξίσωσης με f(x). Αυτός ο μετασχηματισμός θα είναι ισοδύναμος εάν f(x)δεν γυρίζει στο μηδέν σε καμία περίπτωση Χαπό το διάστημα ολοκλήρωσης της διαφορικής εξίσωσης Χ.

Υπάρχουν πιθανές καταστάσεις όταν, για ορισμένες τιμές του επιχειρήματος Χ ∈ Χλειτουργίες f(x)Και g(x)γίνονται ταυτόχρονα μηδέν. Για παρόμοιες τιμές Χη γενική λύση μιας διαφορικής εξίσωσης είναι οποιαδήποτε συνάρτηση y, που ορίζεται σε αυτά, γιατί .

Αν για κάποιες τιμές ορίσματος Χ ∈ Χη προϋπόθεση ικανοποιείται, πράγμα που σημαίνει ότι στην περίπτωση αυτή η ΟΔΕ δεν έχει λύσεις.

Για όλους τους άλλους Χαπό το μεσοδιάστημα Χη γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης προσδιορίζεται από τη μετασχηματισμένη εξίσωση.

Ας δούμε παραδείγματα:

Παράδειγμα 1.

Ας βρούμε μια γενική λύση για την ODE: .

Λύση.

Από τις ιδιότητες των βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων είναι σαφές ότι η συνάρτηση φυσικού λογάριθμου ορίζεται για μη αρνητικές τιμές του ορίσματος, επομένως το πεδίο ορισμού της έκφρασης ln(x+3)υπάρχει ένα διάστημα Χ > -3 . Αυτό σημαίνει ότι η δεδομένη διαφορική εξίσωση έχει νόημα για Χ > -3 . Για αυτές τις τιμές ορίσματος, η έκφραση x+3δεν εξαφανίζεται, οπότε μπορείτε να λύσετε το ODE για την παράγωγο διαιρώντας τα 2 μέρη με x + 3.

Παίρνουμε .

Στη συνέχεια, ενσωματώνουμε την προκύπτουσα διαφορική εξίσωση, λυμένη ως προς την παράγωγο: . Για να λάβουμε αυτό το ολοκλήρωμα, χρησιμοποιούμε τη μέθοδο υπαγωγής του διαφορικού πρόσημου.

Συνήθης διαφορική εξίσωση είναι μια εξίσωση που συσχετίζει μια ανεξάρτητη μεταβλητή, μια άγνωστη συνάρτηση αυτής της μεταβλητής και τις παραγώγους της (ή διαφορικά) διαφόρων τάξεων.

Η σειρά της διαφορικής εξίσωσης ονομάζεται η τάξη της υψηλότερης παραγώγου που περιέχεται σε αυτήν.

Εκτός από τις συνηθισμένες, μελετώνται και μερικές διαφορικές εξισώσεις. Πρόκειται για εξισώσεις που σχετίζονται με ανεξάρτητες μεταβλητές, μια άγνωστη συνάρτηση αυτών των μεταβλητών και των μερικών παραγώγων της σε σχέση με τις ίδιες μεταβλητές. Αλλά θα εξετάσουμε μόνο συνηθισμένες διαφορικές εξισώσεις και ως εκ τούτου, για λόγους συντομίας, θα παραλείψουμε τη λέξη «συνήθης».

Παραδείγματα διαφορικών εξισώσεων:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Η εξίσωση (1) είναι τέταρτης τάξης, η εξίσωση (2) είναι τρίτης τάξης, οι εξισώσεις (3) και (4) είναι δεύτερης τάξης, η εξίσωση (5) είναι πρώτης τάξης.

Διαφορική εξίσωση nη σειρά δεν χρειάζεται απαραίτητα να περιέχει μια ρητή συνάρτηση, όλες τις παράγωγές της από την πρώτη έως n-η τάξη και ανεξάρτητη μεταβλητή. Μπορεί να μην περιέχει ρητά παράγωγα ορισμένων εντολών, μια συνάρτηση ή μια ανεξάρτητη μεταβλητή.

Για παράδειγμα, στην εξίσωση (1) δεν υπάρχουν σαφώς παράγωγοι τρίτης και δεύτερης τάξης, καθώς και συνάρτηση. στην εξίσωση (2) - η παράγωγος δεύτερης τάξης και η συνάρτηση. στην εξίσωση (4) - η ανεξάρτητη μεταβλητή. στην εξίσωση (5) - συναρτήσεις. Μόνο η εξίσωση (3) περιέχει ρητά όλες τις παραγώγους, τη συνάρτηση και την ανεξάρτητη μεταβλητή.

Επίλυση διαφορικής εξίσωσης καλείται κάθε συνάρτηση y = f(x), όταν αντικαθίσταται στην εξίσωση μετατρέπεται σε ταυτότητα.

Η διαδικασία εύρεσης λύσης σε μια διαφορική εξίσωση ονομάζεται της ενσωμάτωση.

Παράδειγμα 1.Βρείτε τη λύση της διαφορικής εξίσωσης.

Λύση. Ας γράψουμε αυτή την εξίσωση με τη μορφή . Η λύση είναι να βρεθεί η συνάρτηση από την παράγωγό της. Η αρχική συνάρτηση, όπως είναι γνωστό από τον ολοκληρωτικό λογισμό, είναι ένα αντιπαράγωγο για, δηλ.

Αυτό είναι λύση αυτής της διαφορικής εξίσωσης . Αλλαγή σε αυτό ντο, θα λάβουμε διαφορετικές λύσεις. Ανακαλύψαμε ότι υπάρχει άπειρος αριθμός λύσεων σε μια διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης.

Γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης nΗ τάξη είναι η λύση της, εκφρασμένη ρητά σε σχέση με την άγνωστη συνάρτηση και περιέχει nανεξάρτητες αυθαίρετες σταθερές, δηλ.

Η λύση της διαφορικής εξίσωσης στο Παράδειγμα 1 είναι γενική.

Μερική λύση της διαφορικής εξίσωσης ονομάζεται μια λύση στην οποία αυθαίρετες σταθερές δίνονται συγκεκριμένες αριθμητικές τιμές.

Παράδειγμα 2.Να βρείτε τη γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης και μια συγκεκριμένη λύση για .

Λύση. Ας ενσωματώσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης πολλές φορές ίσο με τη σειρά της διαφορικής εξίσωσης.

,

.

Ως αποτέλεσμα, λάβαμε μια γενική λύση -

μιας δεδομένης διαφορικής εξίσωσης τρίτης τάξης.

Τώρα ας βρούμε μια συγκεκριμένη λύση υπό τις καθορισμένες συνθήκες. Για να το κάνετε αυτό, αντικαταστήστε τις τιμές τους αντί για αυθαίρετους συντελεστές και λάβετε

.

Εάν, εκτός από τη διαφορική εξίσωση, η αρχική συνθήκη δίνεται με τη μορφή , τότε ένα τέτοιο πρόβλημα ονομάζεται Πρόβλημα Cauchy . Αντικαταστήστε τις τιμές και στη γενική λύση της εξίσωσης και βρείτε την τιμή μιας αυθαίρετης σταθεράς ντο, και στη συνέχεια μια συγκεκριμένη λύση της εξίσωσης για την τιμή που βρέθηκε ντο. Αυτή είναι η λύση στο πρόβλημα Cauchy.

Παράδειγμα 3.Λύστε το πρόβλημα Cauchy για τη διαφορική εξίσωση από το Παράδειγμα 1 με θέμα .

Λύση. Ας αντικαταστήσουμε τις τιμές από την αρχική κατάσταση στη γενική λύση y = 3, Χ= 1. Παίρνουμε

Καταγράφουμε τη λύση στο πρόβλημα Cauchy για αυτήν την πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση:

Η επίλυση διαφορικών εξισώσεων, ακόμη και των πιο απλών, απαιτεί καλές δεξιότητες ολοκλήρωσης και παραγώγου, συμπεριλαμβανομένων σύνθετων συναρτήσεων. Αυτό φαίνεται στο παρακάτω παράδειγμα.

Παράδειγμα 4.Να βρείτε τη γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης.

Λύση. Η εξίσωση είναι γραμμένη με τέτοια μορφή που μπορείτε να ενσωματώσετε αμέσως και τις δύο πλευρές.

.

Εφαρμόζουμε τη μέθοδο της ολοκλήρωσης με αλλαγή μεταβλητής (υποκατάσταση). Ας είναι τότε.

Απαιτείται να ληφθεί dxκαι τώρα - προσοχή - το κάνουμε αυτό σύμφωνα με τους κανόνες διαφοροποίησης μιας σύνθετης συνάρτησης, αφού Χκαι υπάρχει μια σύνθετη συνάρτηση (το «μήλο» είναι η εξαγωγή μιας τετραγωνικής ρίζας ή, το ίδιο πράγμα, η αύξηση στην ισχύ του «μισού» και ο «κιμάς» είναι η ίδια η έκφραση κάτω από τη ρίζα):

Βρίσκουμε το ολοκλήρωμα:

Επιστρέφοντας στη μεταβλητή Χ, παίρνουμε:

.

Αυτή είναι η γενική λύση αυτής της διαφορικής εξίσωσης πρώτου βαθμού.

Για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων θα απαιτηθούν όχι μόνο δεξιότητες από προηγούμενες ενότητες ανώτερων μαθηματικών, αλλά και δεξιότητες από τα δημοτικά, δηλαδή τα μαθηματικά του σχολείου. Όπως ήδη αναφέρθηκε, σε μια διαφορική εξίσωση οποιασδήποτε τάξης μπορεί να μην υπάρχει μια ανεξάρτητη μεταβλητή, δηλαδή μια μεταβλητή Χ. Γνώσεις σχετικά με τις αναλογίες από το σχολείο που δεν έχουν ξεχαστεί (ωστόσο, ανάλογα με το ποιος) από το σχολείο θα βοηθήσουν στην επίλυση αυτού του προβλήματος. Αυτό είναι το επόμενο παράδειγμα.

Το περιεχόμενο του άρθρου

ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ.Πολλοί φυσικοί νόμοι που διέπουν ορισμένα φαινόμενα είναι γραμμένοι με τη μορφή μιας μαθηματικής εξίσωσης που εκφράζει μια ορισμένη σχέση μεταξύ ορισμένων μεγεθών. Συχνά μιλάμε για τη σχέση μεταξύ των ποσοτήτων που αλλάζουν με την πάροδο του χρόνου, για παράδειγμα, η απόδοση του κινητήρα, μετρούμενη από την απόσταση που μπορεί να διανύσει ένα αυτοκίνητο με ένα λίτρο καυσίμου, εξαρτάται από την ταχύτητα του αυτοκινήτου. Η αντίστοιχη εξίσωση περιέχει μία ή περισσότερες συναρτήσεις και τις παράγωγές τους και ονομάζεται διαφορική εξίσωση. (Ο ρυθμός μεταβολής της απόστασης με την πάροδο του χρόνου καθορίζεται από την ταχύτητα· επομένως, η ταχύτητα είναι παράγωγος της απόστασης· ομοίως, η επιτάχυνση είναι παράγωγος της ταχύτητας, αφού η επιτάχυνση καθορίζει τον ρυθμό μεταβολής της ταχύτητας με το χρόνο.) Η μεγάλη σημασία του διαφορικού Οι εξισώσεις για τα μαθηματικά και ειδικά για τις εφαρμογές τους, εξηγούνται από το γεγονός ότι η μελέτη πολλών φυσικών και τεχνικών προβλημάτων καταλήγει στην επίλυση τέτοιων εξισώσεων. Οι διαφορικές εξισώσεις διαδραματίζουν επίσης σημαντικό ρόλο σε άλλες επιστήμες, όπως η βιολογία, η οικονομία και η ηλεκτρική μηχανική. Στην πραγματικότητα, προκύπτουν οπουδήποτε υπάρχει ανάγκη για μια ποσοτική (αριθμητική) περιγραφή των φαινομένων (εφόσον ο γύρω κόσμος αλλάζει με την πάροδο του χρόνου και οι συνθήκες αλλάζουν από το ένα μέρος στο άλλο).

Παραδείγματα.

Τα ακόλουθα παραδείγματα παρέχουν καλύτερη κατανόηση του τρόπου με τον οποίο διατυπώνονται διάφορα προβλήματα στη γλώσσα των διαφορικών εξισώσεων.

1) Ο νόμος της διάσπασης ορισμένων ραδιενεργών ουσιών είναι ότι ο ρυθμός διάσπασης είναι ανάλογος της διαθέσιμης ποσότητας αυτής της ουσίας. Αν Χ– την ποσότητα της ουσίας σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή t, τότε αυτός ο νόμος μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Οπου dx/dtείναι ο ρυθμός αποσύνθεσης, και κ– κάποια θετική σταθερά που χαρακτηρίζει μια δεδομένη ουσία. (Το σύμβολο μείον στη δεξιά πλευρά το δείχνει αυτό Χμειώνεται με την πάροδο του χρόνου. ένα σύμβολο συν, πάντα υπονοούμενο όταν το πρόσημο δεν αναφέρεται ρητά, θα σήμαινε ότι Χαυξάνεται με την πάροδο του χρόνου.)

2) Το δοχείο περιέχει αρχικά 10 kg αλάτι διαλυμένα σε 100 m 3 νερό. Εάν χυθεί καθαρό νερό σε ένα δοχείο με ρυθμό 1 m 3 ανά λεπτό και αναμειχθεί ομοιόμορφα με το διάλυμα και το προκύπτον διάλυμα ρέει έξω από το δοχείο με την ίδια ταχύτητα, τότε πόσο αλάτι θα υπάρχει στο δοχείο σε οποιαδήποτε επόμενη χρόνος? Αν Χ– ποσότητα αλατιού (σε kg) στο δοχείο κάθε φορά t, τότε ανά πάσα στιγμή t 1 m 3 διαλύματος στο δοχείο περιέχει Χ/100 κιλά αλάτι; επομένως η ποσότητα του αλατιού μειώνεται με ρυθμό Χ/100 kg/min, ή

3) Αφήστε να υπάρχουν μάζες στο σώμα ΜΑναρτάται από το τέλος του ελατηρίου, μια δύναμη επαναφοράς ενεργεί ανάλογη με την ένταση της τάσης στο ελατήριο. Αφήνω Χ– το ποσό της απόκλισης του σώματος από τη θέση ισορροπίας. Στη συνέχεια, σύμφωνα με τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα, ο οποίος δηλώνει ότι η επιτάχυνση (η δεύτερη παράγωγος του Χαπό το χρόνο, που ορίζεται ρε 2 Χ/dt 2) ανάλογο της δύναμης:

Η δεξιά πλευρά έχει σύμβολο μείον επειδή η δύναμη επαναφοράς μειώνει το τέντωμα του ελατηρίου.

4) Ο νόμος της ψύξης των σωμάτων λέει ότι η ποσότητα της θερμότητας στο σώμα μειώνεται ανάλογα με τη διαφορά θερμοκρασίας μεταξύ του σώματος και του περιβάλλοντος. Εάν ένα φλιτζάνι καφέ που έχει θερμανθεί σε θερμοκρασία 90°C βρίσκεται σε ένα δωμάτιο όπου η θερμοκρασία είναι 20°C, τότε

Οπου Τ– θερμοκρασία καφέ τη στιγμή t.

5) Ο υπουργός Εξωτερικών της Πολιτείας Μπλεφούσκου ισχυρίζεται ότι το εξοπλιστικό πρόγραμμα που υιοθέτησε η Λιλιπούπολη αναγκάζει τη χώρα του να αυξήσει όσο το δυνατόν περισσότερο τις στρατιωτικές δαπάνες. Ανάλογες δηλώσεις κάνει και ο Υπουργός Εξωτερικών της Λιλιπούπολης. Η κατάσταση που προκύπτει (στην απλούστερη ερμηνεία της) μπορεί να περιγραφεί με ακρίβεια με δύο διαφορικές εξισώσεις. Αφήνω ΧΚαι y- δαπάνες για οπλισμό της Λιλιπούπολης και του Μπλεφούσκου. Υποθέτοντας ότι η Λιλιπούπολη αυξάνει τις δαπάνες της για εξοπλισμούς με ρυθμό ανάλογο με το ρυθμό αύξησης των δαπανών για εξοπλισμούς του Blefuscu και αντίστροφα, λαμβάνουμε:

όπου βρίσκονται τα μέλη τσεκούριΚαι - μεπεριγράψτε τις στρατιωτικές δαπάνες κάθε χώρας, κΚαι μεγάλοείναι θετικές σταθερές. (Αυτό το πρόβλημα διατυπώθηκε για πρώτη φορά με αυτόν τον τρόπο το 1939 από τον L. Richardson.)

Αφού γραφτεί το πρόβλημα στη γλώσσα των διαφορικών εξισώσεων, θα πρέπει να προσπαθήσετε να τις λύσετε, δηλ. βρείτε τις ποσότητες των οποίων οι ρυθμοί μεταβολής περιλαμβάνονται στις εξισώσεις. Μερικές φορές οι λύσεις βρίσκονται με τη μορφή σαφών τύπων, αλλά πιο συχνά μπορούν να παρουσιαστούν μόνο σε κατά προσέγγιση μορφή ή μπορούν να ληφθούν ποιοτικές πληροφορίες σχετικά με αυτές. Συχνά μπορεί να είναι δύσκολο να προσδιοριστεί αν υπάρχει μια λύση, πόσο μάλλον να βρεθεί. Ένα σημαντικό τμήμα της θεωρίας των διαφορικών εξισώσεων αποτελείται από τα λεγόμενα «θεωρήματα ύπαρξης», στα οποία αποδεικνύεται η ύπαρξη λύσης για τον ένα ή τον άλλο τύπο διαφορικής εξίσωσης.

Η αρχική μαθηματική διατύπωση ενός φυσικού προβλήματος συνήθως περιέχει απλοποιητικές υποθέσεις. το κριτήριο του εύλογου τους μπορεί να είναι ο βαθμός συνέπειας της μαθηματικής λύσης με τις διαθέσιμες παρατηρήσεις.

Λύσεις διαφορικών εξισώσεων.

Διαφορική εξίσωση, για παράδειγμα dy/dx = Χ/y, δεν ικανοποιείται από έναν αριθμό, αλλά από μια συνάρτηση, στη συγκεκριμένη περίπτωση τέτοια που η γραφική παράσταση της σε οποιοδήποτε σημείο, για παράδειγμα σε σημείο με συντεταγμένες (2,3), έχει μια εφαπτομένη με γωνιακό συντελεστή ίσο με τον λόγο τις συντεταγμένες (στο παράδειγμά μας, 2/3). Είναι εύκολο να το επαληθεύσετε εάν κατασκευάσετε μεγάλο αριθμό σημείων και σχεδιάσετε ένα μικρό τμήμα από το καθένα με την αντίστοιχη κλίση. Η λύση θα είναι μια συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση αγγίζει κάθε σημείο της στο αντίστοιχο τμήμα. Εάν υπάρχουν αρκετά σημεία και τμήματα, τότε μπορούμε να περιγράψουμε περίπου την πορεία των καμπυλών λύσης (τρεις τέτοιες καμπύλες φαίνονται στο Σχ. 1). Υπάρχει ακριβώς μία καμπύλη λύσης που διέρχεται από κάθε σημείο με yΑρ. 0. Κάθε μεμονωμένη λύση ονομάζεται μερική λύση μιας διαφορικής εξίσωσης. εάν είναι δυνατό να βρεθεί ένας τύπος που να περιέχει όλες τις συγκεκριμένες λύσεις (με την πιθανή εξαίρεση μερικών ειδικών), τότε λένε ότι έχει ληφθεί μια γενική λύση. Μια συγκεκριμένη λύση αντιπροσωπεύει μια συνάρτηση, ενώ μια γενική λύση αντιπροσωπεύει μια ολόκληρη οικογένεια από αυτές. Η επίλυση μιας διαφορικής εξίσωσης σημαίνει την εύρεση είτε της συγκεκριμένης είτε της γενικής λύσης της. Στο παράδειγμα που εξετάζουμε, η γενική λύση έχει τη μορφή y 2 – Χ 2 = ντο, Οπου ντο- οποιοσδηποτε ΑΡΙΘΜΟΣ; μια συγκεκριμένη λύση που διέρχεται από το σημείο (1,1) έχει τη μορφή y = Χκαι αποδεικνύεται πότε ντο= 0; μια συγκεκριμένη λύση που διέρχεται από το σημείο (2,1) έχει τη μορφή y 2 – Χ 2 = 3. Η συνθήκη που απαιτεί να περάσει η καμπύλη λύσης, για παράδειγμα, από το σημείο (2,1), ονομάζεται αρχική συνθήκη (αφού προσδιορίζει το σημείο εκκίνησης στην καμπύλη λύσης).

Μπορεί να φανεί ότι στο παράδειγμα (1) η γενική λύση έχει τη μορφή Χ = ce –kt, Οπου ντο– μια σταθερά που μπορεί να προσδιοριστεί, για παράδειγμα, υποδεικνύοντας την ποσότητα της ουσίας στο t= 0. Η εξίσωση από το παράδειγμα (2) είναι μια ειδική περίπτωση της εξίσωσης από το παράδειγμα (1), που αντιστοιχεί κ= 1/100. Αρχική κατάσταση Χ= 10 σε t= 0 δίνει μια συγκεκριμένη λύση Χ = 10μι –t/100 . Η εξίσωση από το παράδειγμα (4) έχει μια γενική λύση Τ = 70 + ce –ktκαι ιδιωτική λύση 70 + 130 - kt; για τον προσδιορισμό της τιμής κ, χρειάζονται πρόσθετα δεδομένα.

Διαφορική εξίσωση dy/dx = Χ/yονομάζεται εξίσωση πρώτης τάξης, αφού περιέχει την πρώτη παράγωγο (η τάξη μιας διαφορικής εξίσωσης συνήθως θεωρείται ως η τάξη της υψηλότερης παραγώγου που περιλαμβάνεται σε αυτήν). Για τις περισσότερες (αν και όχι όλες) διαφορικές εξισώσεις του πρώτου είδους που προκύπτουν στην πράξη, μόνο μία καμπύλη λύσης διέρχεται από κάθε σημείο.

Υπάρχουν διάφοροι σημαντικοί τύποι διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης που μπορούν να λυθούν με τη μορφή τύπων που περιέχουν μόνο στοιχειώδεις συναρτήσεις - δυνάμεις, εκθέτες, λογάριθμους, ημίτονο και συνημίτονα κ.λπ. Τέτοιες εξισώσεις περιλαμβάνουν τα ακόλουθα.

Εξισώσεις με διαχωρίσιμες μεταβλητές.

Εξισώσεις της φόρμας dy/dx = φά(Χ)/σολ(y) μπορεί να λυθεί γράφοντάς το σε διαφορικά σολ(y)dy = φά(Χ)dxκαι ενσωματώνοντας και τα δύο μέρη. Στη χειρότερη περίπτωση, η λύση μπορεί να αναπαρασταθεί με τη μορφή ολοκληρωμάτων γνωστών συναρτήσεων. Για παράδειγμα, στην περίπτωση της εξίσωσης dy/dx = Χ/yέχουμε φά(Χ) = Χ, σολ(y) = y. Γράφοντάς το στη φόρμα ydy = xdxκαι ενσωματώνοντας, παίρνουμε y 2 = Χ 2 + ντο. Οι εξισώσεις με χωριστές μεταβλητές περιλαμβάνουν εξισώσεις από τα παραδείγματα (1), (2), (4) (μπορούν να λυθούν με τον τρόπο που περιγράφεται παραπάνω).

Εξισώσεις σε ολικά διαφορικά.

Αν η διαφορική εξίσωση έχει τη μορφή dy/dx = Μ(Χ,y)/Ν(Χ,y), Οπου ΜΚαι Νείναι δύο δεδομένες συναρτήσεις, τότε μπορεί να αναπαρασταθεί ως Μ(Χ,y)dx – Ν(Χ,y)dy= 0. Αν η αριστερή πλευρά είναι το διαφορικό κάποιας συνάρτησης φά(Χ,y), τότε η διαφορική εξίσωση μπορεί να γραφτεί ως dF(Χ,y) = 0, που ισοδυναμεί με την εξίσωση φά(Χ,y) = καταστ. Έτσι, οι καμπύλες λύσης της εξίσωσης είναι οι «γραμμές σταθερών επιπέδων» της συνάρτησης ή ο τόπος των σημείων που ικανοποιούν τις εξισώσεις φά(Χ,y) = ντο. Η εξίσωση ydy = xdx(Εικ. 1) - με χωριστές μεταβλητές, και το ίδιο - σε συνολικές διαφορικές: για να βεβαιωθούμε για το τελευταίο, το γράφουμε στη μορφή ydy – xdx= 0, δηλ. ρε(y 2 – Χ 2) = 0. Συνάρτηση φά(Χ,y) σε αυτή την περίπτωση ισούται με (1/2)( y 2 – Χ 2); Μερικές από τις γραμμές σταθερού επιπέδου του φαίνονται στο Σχ. 1.

Γραμμικές εξισώσεις.

Οι γραμμικές εξισώσεις είναι εξισώσεις «πρώτου βαθμού» - η άγνωστη συνάρτηση και οι παράγωγοί της εμφανίζονται σε τέτοιες εξισώσεις μόνο στον πρώτο βαθμό. Έτσι, η γραμμική διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης έχει τη μορφή dy/dx + Π(Χ) = q(Χ), Οπου Π(Χ) Και q(Χ) – λειτουργίες που εξαρτώνται μόνο από Χ. Η λύση του μπορεί πάντα να γραφτεί χρησιμοποιώντας ολοκληρώματα γνωστών συναρτήσεων. Πολλοί άλλοι τύποι διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης επιλύονται χρησιμοποιώντας ειδικές τεχνικές.

Εξισώσεις υψηλότερης τάξης.

Πολλές διαφορικές εξισώσεις που συναντούν οι φυσικοί είναι εξισώσεις δεύτερης τάξης (δηλαδή εξισώσεις που περιέχουν δεύτερες παραγώγους). Τέτοια, για παράδειγμα, είναι η εξίσωση απλής αρμονικής κίνησης από το παράδειγμα (3), md 2 Χ/dt 2 = –kx. Σε γενικές γραμμές, μπορούμε να περιμένουμε ότι μια εξίσωση δεύτερης τάξης έχει μερικές λύσεις που ικανοποιούν δύο προϋποθέσεις. Για παράδειγμα, μπορεί να απαιτηθεί η καμπύλη λύσης να διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο σε μια δεδομένη κατεύθυνση. Σε περιπτώσεις όπου η διαφορική εξίσωση περιέχει μια συγκεκριμένη παράμετρο (έναν αριθμό του οποίου η τιμή εξαρτάται από τις περιστάσεις), λύσεις του απαιτούμενου τύπου υπάρχουν μόνο για ορισμένες τιμές αυτής της παραμέτρου. Για παράδειγμα, εξετάστε την εξίσωση md 2 Χ/dt 2 = –kxκαι θα το απαιτήσουμε y(0) = y(1) = 0. Συνάρτηση yє 0 είναι προφανώς μια λύση, αλλά αν είναι ακέραιο πολλαπλάσιο Π, δηλ. κ = Μ 2 n 2 Π 2, όπου nείναι ακέραιος, αλλά στην πραγματικότητα μόνο σε αυτήν την περίπτωση υπάρχουν άλλες λύσεις, και συγκεκριμένα: y= αμαρτία npx. Οι τιμές των παραμέτρων για τις οποίες η εξίσωση έχει ειδικές λύσεις ονομάζονται χαρακτηριστικές ή ιδιοτιμές. παίζουν σημαντικό ρόλο σε πολλές εργασίες.

Η εξίσωση της απλής αρμονικής κίνησης είναι ένα παράδειγμα μιας σημαντικής κατηγορίας εξισώσεων, δηλαδή των γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς συντελεστές. Ένα γενικότερο παράδειγμα (επίσης δεύτερης τάξης) είναι η εξίσωση

Οπου έναΚαι σι– δεδομένες σταθερές, φά(Χ) είναι μια δεδομένη συνάρτηση. Τέτοιες εξισώσεις μπορούν να λυθούν με διάφορους τρόπους, για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας τον ολοκληρωτικό μετασχηματισμό Laplace. Το ίδιο μπορεί να ειπωθεί για γραμμικές εξισώσεις υψηλότερων τάξεων με σταθερούς συντελεστές. Σημαντικό ρόλο παίζουν και οι γραμμικές εξισώσεις με μεταβλητούς συντελεστές.

Μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις.

Οι εξισώσεις που περιέχουν άγνωστες συναρτήσεις και τις παράγωγές τους σε δυνάμεις μεγαλύτερες από την πρώτη ή με πιο πολύπλοκο τρόπο ονομάζονται μη γραμμικές. Τα τελευταία χρόνια έχουν προσελκύσει όλο και περισσότερο την προσοχή. Το γεγονός είναι ότι οι φυσικές εξισώσεις είναι συνήθως γραμμικές μόνο σε μια πρώτη προσέγγιση. Περαιτέρω και ακριβέστερη έρευνα, κατά κανόνα, απαιτεί τη χρήση μη γραμμικών εξισώσεων. Επιπλέον, πολλά προβλήματα είναι μη γραμμικής φύσης. Δεδομένου ότι οι λύσεις σε μη γραμμικές εξισώσεις είναι συχνά πολύ περίπλοκες και δύσκολο να αναπαρασταθούν με απλούς τύπους, ένα σημαντικό μέρος της σύγχρονης θεωρίας είναι αφιερωμένο στην ποιοτική ανάλυση της συμπεριφοράς τους, δηλ. η ανάπτυξη μεθόδων που καθιστούν δυνατό, χωρίς να λύσουμε την εξίσωση, να πούμε κάτι σημαντικό για τη φύση των λύσεων στο σύνολό τους: για παράδειγμα, ότι είναι όλες περιορισμένες, ή έχουν περιοδικό χαρακτήρα ή εξαρτώνται με έναν ορισμένο τρόπο από τους συντελεστές.

Οι κατά προσέγγιση λύσεις διαφορικών εξισώσεων μπορούν να βρεθούν αριθμητικά, αλλά αυτό απαιτεί πολύ χρόνο. Με την εμφάνιση των υπολογιστών υψηλής ταχύτητας, αυτός ο χρόνος μειώθηκε σημαντικά, γεγονός που άνοιξε νέες δυνατότητες για την αριθμητική επίλυση πολλών προβλημάτων που προηγουμένως ήταν δυσεπίλυτα σε μια τέτοια λύση.

Θεωρήματα ύπαρξης.

Θεώρημα ύπαρξης είναι ένα θεώρημα που δηλώνει ότι, υπό ορισμένες συνθήκες, μια δεδομένη διαφορική εξίσωση έχει λύση. Υπάρχουν διαφορικές εξισώσεις που δεν έχουν λύσεις ή έχουν περισσότερες από αυτές από το αναμενόμενο. Ο σκοπός ενός θεωρήματος ύπαρξης είναι να μας πείσει ότι μια δεδομένη εξίσωση έχει πραγματικά μια λύση και τις περισσότερες φορές να μας διαβεβαιώσει ότι έχει ακριβώς μια λύση του απαιτούμενου τύπου. Για παράδειγμα, η εξίσωση που έχουμε ήδη συναντήσει dy/dx = –2yέχει ακριβώς μία λύση που διέρχεται από κάθε σημείο του επιπέδου ( Χ,y), και αφού έχουμε ήδη βρει μια τέτοια λύση, έχουμε λύσει πλήρως αυτήν την εξίσωση. Από την άλλη, η εξίσωση ( dy/dx) 2 = 1 – y 2 έχει πολλές λύσεις. Ανάμεσά τους είναι ευθεία y = 1, y= –1 και καμπύλες y= αμαρτία( Χ + ντο). Η λύση μπορεί να αποτελείται από πολλά τμήματα αυτών των ευθειών γραμμών και καμπυλών, που περνούν το ένα μέσα στο άλλο σε σημεία επαφής (Εικ. 2).

Μερικές διαφορικές εξισώσεις.

Μια συνηθισμένη διαφορική εξίσωση είναι μια δήλωση σχετικά με την παράγωγο μιας άγνωστης συνάρτησης μιας μεταβλητής. Μια μερική διαφορική εξίσωση περιέχει μια συνάρτηση δύο ή περισσότερων μεταβλητών και παραγώγων αυτής της συνάρτησης σε σχέση με τουλάχιστον δύο διαφορετικές μεταβλητές.

Στη φυσική, παραδείγματα τέτοιων εξισώσεων είναι η εξίσωση του Laplace

Χ, y) μέσα στον κύκλο εάν οι τιμές uκαθορίζεται σε κάθε σημείο του οριοθετημένου κύκλου. Δεδομένου ότι τα προβλήματα με περισσότερες από μία μεταβλητές στη φυσική είναι ο κανόνας και όχι η εξαίρεση, είναι εύκολο να φανταστεί κανείς πόσο μεγάλο είναι το θέμα της θεωρίας των μερικών διαφορικών εξισώσεων.

Σε ορισμένα προβλήματα της φυσικής, δεν είναι δυνατό να δημιουργηθεί μια άμεση σύνδεση μεταξύ των ποσοτήτων που περιγράφουν τη διαδικασία. Αλλά είναι δυνατό να ληφθεί μια ισότητα που περιέχει τις παραγώγους των υπό μελέτη συναρτήσεων. Έτσι προκύπτουν οι διαφορικές εξισώσεις και η ανάγκη επίλυσής τους για να βρεθεί μια άγνωστη συνάρτηση.

Αυτό το άρθρο προορίζεται για όσους αντιμετωπίζουν το πρόβλημα της επίλυσης μιας διαφορικής εξίσωσης στην οποία η άγνωστη συνάρτηση είναι συνάρτηση μιας μεταβλητής. Η θεωρία είναι δομημένη με τέτοιο τρόπο ώστε με μηδενική γνώση διαφορικών εξισώσεων, μπορείτε να αντεπεξέλθετε στην εργασία σας.

Κάθε τύπος διαφορικής εξίσωσης συνδέεται με μια μέθοδο λύσης με λεπτομερείς εξηγήσεις και λύσεις σε τυπικά παραδείγματα και προβλήματα. Το μόνο που έχετε να κάνετε είναι να προσδιορίσετε τον τύπο της διαφορικής εξίσωσης του προβλήματός σας, να βρείτε ένα παρόμοιο αναλυόμενο παράδειγμα και να πραγματοποιήσετε παρόμοιες ενέργειες.

Για να λύσετε με επιτυχία διαφορικές εξισώσεις, θα χρειαστείτε επίσης τη δυνατότητα εύρεσης συνόλων αντιπαραγώγων (αόριστων ολοκληρωμάτων) διαφόρων συναρτήσεων. Εάν είναι απαραίτητο, σας συνιστούμε να ανατρέξετε στην ενότητα.

Αρχικά, θα εξετάσουμε τους τύπους συνηθισμένων διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης που μπορούν να επιλυθούν σε σχέση με την παράγωγο, μετά θα προχωρήσουμε σε ODE δεύτερης τάξης, στη συνέχεια θα σταθούμε σε εξισώσεις υψηλότερης τάξης και θα τελειώσουμε με συστήματα διαφορικές εξισώσεις.

Θυμηθείτε ότι αν το y είναι συνάρτηση του ορίσματος x.

Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης.

Οι απλούστερες διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης της φόρμας.

Ας γράψουμε μερικά παραδείγματα τέτοιου τηλεχειριστηρίου .

Διαφορικές εξισώσεις μπορεί να επιλυθεί ως προς την παράγωγο διαιρώντας και τις δύο πλευρές της ισότητας με f(x) . Σε αυτή την περίπτωση, καταλήγουμε σε μια εξίσωση που θα είναι ισοδύναμη με την αρχική για f(x) ≠ 0. Παραδείγματα τέτοιων ODE είναι .

Εάν υπάρχουν τιμές του ορίσματος x στις οποίες οι συναρτήσεις f(x) και g(x) εξαφανίζονται ταυτόχρονα, τότε εμφανίζονται πρόσθετες λύσεις. Πρόσθετες λύσεις στην εξίσωση δεδομένου x είναι οποιεσδήποτε συναρτήσεις ορίζονται για αυτές τις τιμές ορίσματος. Παραδείγματα τέτοιων διαφορικών εξισώσεων περιλαμβάνουν:

Διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης.

Γραμμικές ομοιογενείς διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές.

Το LDE με σταθερούς συντελεστές είναι ένας πολύ κοινός τύπος διαφορικής εξίσωσης. Η λύση τους δεν είναι ιδιαίτερα δύσκολη. Αρχικά, βρίσκονται οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης . Για διαφορετικά p και q, τρεις περιπτώσεις είναι δυνατές: οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης μπορεί να είναι πραγματικές και διαφορετικές, πραγματικές και συμπίπτουσες ή σύνθετα συζυγή. Ανάλογα με τις τιμές των ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης, η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης γράφεται ως , ή , ή αντίστοιχα.

Για παράδειγμα, θεωρήστε μια γραμμική ομοιογενή δεύτερης τάξης διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές. Οι ρίζες της χαρακτηριστικής του εξίσωσης είναι k 1 = -3 και k 2 = 0. Οι ρίζες είναι πραγματικές και διαφορετικές, επομένως, η γενική λύση ενός LODE με σταθερούς συντελεστές έχει τη μορφή


Γραμμικές ανομοιογενείς διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές.

Η γενική λύση μιας ΛΔΔΕ δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές y αναζητείται με τη μορφή του αθροίσματος της γενικής λύσης της αντίστοιχης ΛΔΔΕ και μια συγκεκριμένη λύση στην αρχική ανομοιογενή εξίσωση, δηλαδή, . Η προηγούμενη παράγραφος είναι αφιερωμένη στην εύρεση μιας γενικής λύσης σε μια ομοιογενή διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές. Και μια συγκεκριμένη λύση προσδιορίζεται είτε με τη μέθοδο των αόριστων συντελεστών για μια ορισμένη μορφή της συνάρτησης f(x) στη δεξιά πλευρά της αρχικής εξίσωσης, είτε με τη μέθοδο της μεταβολής αυθαίρετων σταθερών.

Ως παραδείγματα LDDE δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές, δίνουμε


Για να κατανοήσετε τη θεωρία και να εξοικειωθείτε με λεπτομερείς λύσεις παραδειγμάτων, σας προσφέρουμε στη σελίδα γραμμικές ανομοιογενείς διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές.

Γραμμικές ομοιογενείς διαφορικές εξισώσεις (LODE) και γραμμικές ανομοιογενείς διαφορικές εξισώσεις (LNDEs) δεύτερης τάξης.

Ειδική περίπτωση διαφορικών εξισώσεων αυτού του τύπου είναι οι LODE και LDDE με σταθερούς συντελεστές.

Η γενική λύση του LODE σε ένα συγκεκριμένο τμήμα αντιπροσωπεύεται από έναν γραμμικό συνδυασμό δύο γραμμικά ανεξάρτητων μερικών λύσεων y 1 και y 2 αυτής της εξίσωσης, δηλαδή .

Η κύρια δυσκολία έγκειται ακριβώς στην εύρεση γραμμικά ανεξάρτητων μερικών λύσεων σε μια διαφορική εξίσωση αυτού του τύπου. Συνήθως, συγκεκριμένες λύσεις επιλέγονται από τα ακόλουθα συστήματα γραμμικά ανεξάρτητων συναρτήσεων:


Ωστόσο, συγκεκριμένες λύσεις δεν παρουσιάζονται πάντα με αυτή τη μορφή.

Ένα παράδειγμα LOD είναι .

Η γενική λύση του LDDE αναζητείται στη μορφή , όπου είναι η γενική λύση του αντίστοιχου LDDE, και είναι η συγκεκριμένη λύση της αρχικής διαφορικής εξίσωσης. Μόλις μιλήσαμε για την εύρεση του, αλλά μπορεί να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της μεταβολής αυθαίρετων σταθερών.

Μπορεί να δοθεί ένα παράδειγμα LNDU .

Διαφορικές εξισώσεις υψηλότερων τάξεων.

Διαφορικές εξισώσεις που επιτρέπουν μείωση κατά σειρά.

Σειρά διαφορικής εξίσωσης , η οποία δεν περιέχει την επιθυμητή συνάρτηση και τις παράγωγές της έως k-1 τάξη, μπορεί να μειωθεί σε n-k αντικαθιστώντας το .

Σε αυτήν την περίπτωση, η αρχική διαφορική εξίσωση θα μειωθεί σε . Αφού βρεθεί η λύση του p(x), μένει να επιστρέψουμε στην αντικατάσταση και να προσδιορίσουμε την άγνωστη συνάρτηση y.

Για παράδειγμα, η διαφορική εξίσωση μετά την αντικατάσταση, θα γίνει μια εξίσωση με χωριστές μεταβλητές και η σειρά της θα μειωθεί από την τρίτη στην πρώτη.