Εξίσωση που περιγράφει αρμονικές ταλαντώσεις. Ταλαντωτική κίνηση

Μεταβάλλεται με την πάροδο του χρόνου σύμφωνα με έναν ημιτονοειδές νόμο:

Οπου Χ- την τιμή της κυμαινόμενης ποσότητας τη στιγμή του χρόνου t, ΕΝΑ- εύρος, ω - κυκλική συχνότητα, φ — αρχική φάση ταλαντώσεων, ( φt + φ ) - πλήρης φάση ταλαντώσεων. Ταυτόχρονα οι αξίες ΕΝΑ, ω Και φ - μόνιμη.

Για μηχανικούς κραδασμούς κυμαινόμενου μεγέθους Χείναι, ειδικότερα, μετατόπιση και ταχύτητα, για ηλεκτρικούς κραδασμούς - τάση και ρεύμα.

Οι αρμονικές ταλαντώσεις καταλαμβάνουν μια ιδιαίτερη θέση μεταξύ όλων των τύπων ταλαντώσεων, καθώς αυτός είναι ο μόνος τύπος ταλαντώσεων του οποίου το σχήμα δεν παραμορφώνεται όταν διέρχεται από οποιοδήποτε ομοιογενές μέσο, ​​δηλαδή τα κύματα που διαδίδονται από την πηγή αρμονικών ταλαντώσεων θα είναι επίσης αρμονικά. Οποιαδήποτε μη αρμονική ταλάντωση μπορεί να αναπαρασταθεί ως άθροισμα (ολοκλήρωμα) διαφόρων αρμονικών ταλαντώσεων (με τη μορφή φάσματος αρμονικών ταλαντώσεων).

Μετασχηματισμοί ενέργειας κατά τη διάρκεια αρμονικών δονήσεων.

Κατά τη διαδικασία της ταλάντωσης, λαμβάνει χώρα μεταφορά δυναμικής ενέργειας Wpσε κινητική Εβκαι αντίστροφα. Στη θέση της μέγιστης απόκλισης από τη θέση ισορροπίας, η δυναμική ενέργεια είναι μέγιστη, η κινητική ενέργεια είναι μηδέν. Καθώς επιστρέφει στη θέση ισορροπίας, η ταχύτητα του ταλαντούμενου σώματος αυξάνεται και μαζί της αυξάνεται και η κινητική ενέργεια, φτάνοντας στο μέγιστο στη θέση ισορροπίας. Η δυναμική ενέργεια πέφτει στο μηδέν. Περαιτέρω κίνηση συμβαίνει με μείωση της ταχύτητας, η οποία πέφτει στο μηδέν όταν η εκτροπή φτάσει στο δεύτερο μέγιστο. Η δυναμική ενέργεια εδώ αυξάνεται στην αρχική της (μέγιστη) τιμή (ελλείψει τριβής). Έτσι, οι ταλαντώσεις της κινητικής και της δυνητικής ενέργειας συμβαίνουν με διπλάσια συχνότητα (σε σύγκριση με τις ταλαντώσεις του ίδιου του εκκρεμούς) και βρίσκονται σε αντιφάση (δηλαδή, υπάρχει μετατόπιση φάσης μεταξύ τους ίση με π ). Ολική ενέργεια δόνησης Wπαραμένει αναλλοίωτο. Για ένα σώμα που ταλαντώνεται υπό την επίδραση ελαστικής δύναμης, ισούται με:

Οπου v m— μέγιστη ταχύτητα σώματος (σε θέση ισορροπίας), x m = ΕΝΑ- εύρος.

Λόγω της παρουσίας τριβής και αντίστασης του μέσου, οι ελεύθερες δονήσεις εξασθενούν: η ενέργεια και το πλάτος τους μειώνονται με την πάροδο του χρόνου. Επομένως, στην πράξη, οι εξαναγκασμένες ταλαντώσεις χρησιμοποιούνται συχνότερα από τις ελεύθερες.

Εξετάσαμε αρκετά φυσικά εντελώς διαφορετικά συστήματα και βεβαιωθήκαμε ότι οι εξισώσεις κίνησης έχουν ανάγονται στην ίδια μορφή

Οι διαφορές μεταξύ των φυσικών συστημάτων εμφανίζονται μόνο σε διαφορετικούς ορισμούς της ποσότητας και με διαφορετικές φυσικές έννοιες της μεταβλητής Χ: αυτό μπορεί να είναι συντεταγμένη, γωνία, φορτίο, ρεύμα κ.λπ. Σημειώστε ότι σε αυτή την περίπτωση, όπως προκύπτει από την ίδια τη δομή της εξίσωσης (1.18), η ποσότητα έχει πάντα τη διάσταση του αντίστροφου χρόνου.

Η εξίσωση (1.18) περιγράφει το λεγόμενο αρμονικές δονήσεις.

Η εξίσωση αρμονικών κραδασμών (1.18) είναι γραμμική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης (καθώς περιέχει τη δεύτερη παράγωγο της μεταβλητής Χ). Η γραμμικότητα της εξίσωσης σημαίνει ότι

αν κάποια λειτουργία x(t)είναι μια λύση αυτής της εξίσωσης, τότε η συνάρτηση Cx(t)θα είναι και η λύση του ( ντο– αυθαίρετη σταθερά).

εάν λειτουργεί x 1(t)Και x 2(t)είναι λύσεις αυτής της εξίσωσης, τότε το άθροισμά τους x 1 (t) + x 2 (t)θα είναι επίσης λύση στην ίδια εξίσωση.

Έχει επίσης αποδειχθεί ένα μαθηματικό θεώρημα, σύμφωνα με το οποίο μια εξίσωση δεύτερης τάξης έχει δύο ανεξάρτητες λύσεις. Όλες οι άλλες λύσεις, σύμφωνα με τις ιδιότητες της γραμμικότητας, μπορούν να ληφθούν ως γραμμικοί συνδυασμοί τους. Είναι εύκολο να επαληθευτεί με άμεση διαφοροποίηση ότι οι ανεξάρτητες συναρτήσεις και ικανοποιούν την εξίσωση (1.18). Αυτό σημαίνει ότι η γενική λύση αυτής της εξίσωσης έχει τη μορφή:

Οπου Γ 1,Γ 2- αυθαίρετες σταθερές. Αυτή η λύση μπορεί να παρουσιαστεί με άλλη μορφή. Ας εισάγουμε την τιμή

και προσδιορίστε τη γωνία από τις σχέσεις:

Τότε η γενική λύση (1.19) γράφεται ως

Σύμφωνα με τύπους τριγωνομετρίας, η έκφραση σε αγκύλες είναι ίση με

Επιτέλους φτάνουμε στο γενική λύση της εξίσωσης αρμονικών κραδασμώνόπως και:

Μη αρνητική τιμή ΕΝΑπου ονομάζεται πλάτος δόνησης, - αρχική φάση ταλάντωσης. Ολόκληρο το συνημίτονο όρισμα - ο συνδυασμός - ονομάζεται φάση ταλάντωσης.

Οι εκφράσεις (1.19) και (1.23) είναι εντελώς ισοδύναμες, επομένως μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε οποιαδήποτε από αυτές, με βάση τις εκτιμήσεις της απλότητας. Και οι δύο λύσεις είναι περιοδικές συναρτήσεις του χρόνου. Πράγματι, το ημίτονο και το συνημίτονο είναι περιοδικά με τελεία . Επομένως, διάφορες καταστάσεις ενός συστήματος που εκτελεί αρμονικές ταλαντώσεις επαναλαμβάνονται μετά από ένα χρονικό διάστημα t*, κατά την οποία η φάση ταλάντωσης λαμβάνει μια αύξηση που είναι πολλαπλάσιο του :

Από αυτό προκύπτει ότι

Το λιγότερο από αυτές τις φορές

που ονομάζεται περίοδος ταλάντωσης (Εικ. 1.8), και - του κυκλική (κυκλική) συχνότητα.

Ρύζι. 1.8.

Χρησιμοποιούν επίσης συχνότητα διακυμάνσεις

Αντίστοιχα, η κυκλική συχνότητα είναι ίση με τον αριθμό των ταλαντώσεων ανά δευτερόλεπτα

Έτσι, εάν το σύστημα κατά το χρόνο tχαρακτηρίζεται από την τιμή της μεταβλητής x(t),τότε η μεταβλητή θα έχει την ίδια τιμή μετά από ένα χρονικό διάστημα (Εικ. 1.9), δηλαδή

Το ίδιο νόημα φυσικά θα επαναληφθεί με την πάροδο του χρόνου 2Τ, ΖΤκαι τα λοιπά.

Ρύζι. 1.9. Περίοδος ταλάντωσης

Η γενική λύση περιλαμβάνει δύο αυθαίρετες σταθερές ( Γ 1, Γ 2ή ΕΝΑ, ένα), οι τιμές των οποίων πρέπει να καθορίζονται από δύο αρχικές συνθήκες. Συνήθως (αν και όχι απαραίτητα) ο ρόλος τους παίζεται από τις αρχικές τιμές της μεταβλητής x(0)και το παράγωγό του.

Ας δώσουμε ένα παράδειγμα. Έστω η λύση (1.19) της εξίσωσης των αρμονικών ταλαντώσεων περιγράφει την κίνηση ενός εκκρεμούς ελατηρίου. Οι τιμές των αυθαίρετων σταθερών εξαρτώνται από τον τρόπο με τον οποίο βγάλαμε το εκκρεμές από την ισορροπία. Για παράδειγμα, τραβήξαμε το ελατήριο σε απόσταση και άφησε την μπάλα χωρίς αρχική ταχύτητα. Σε αυτήν την περίπτωση

Αντικατάσταση t = 0στο (1.19), βρίσκουμε την τιμή της σταθεράς Γ 2

Η λύση λοιπόν μοιάζει με:

Βρίσκουμε την ταχύτητα του φορτίου με διαφοροποίηση ως προς το χρόνο

Αντικατάσταση εδώ t = 0, βρείτε τη σταθερά Γ 1:

Τελικά

Συγκρίνοντας με το (1.23), διαπιστώνουμε ότι είναι το πλάτος των ταλαντώσεων, και η αρχική του φάση είναι μηδέν: .

Ας αποκαταστήσουμε τώρα το εκκρεμές με άλλο τρόπο. Ας χτυπήσουμε το φορτίο ώστε να αποκτήσει αρχική ταχύτητα, αλλά πρακτικά να μην κινείται κατά την κρούση. Τότε έχουμε άλλες αρχικές προϋποθέσεις:

η λύση μας μοιάζει

Η ταχύτητα του φορτίου θα αλλάξει σύμφωνα με το νόμο:

Ας αντικαταστήσουμε εδώ:

Οι κινήσεις που έχουν διαφορετικούς βαθμούς επανάληψης ονομάζονται διακυμάνσεις.

Εάν οι τιμές των φυσικών μεγεθών που αλλάζουν κατά τη διάρκεια της κίνησης επαναλαμβάνονται σε ίσα χρονικά διαστήματα, τότε αυτή η κίνηση ονομάζεται περιοδικός. Ανάλογα με τη φυσική φύση της ταλαντωτικής διαδικασίας, διακρίνονται οι μηχανικές και οι ηλεκτρομαγνητικές ταλαντώσεις. Σύμφωνα με τη μέθοδο διέγερσης, οι δονήσεις χωρίζονται σε: Ελεύθερος(δικό), που εμφανίζεται σε ένα σύστημα που παρουσιάζεται κοντά στη θέση ισορροπίας μετά από κάποιο αρχικό αντίκτυπο. αναγκαστικά– συμβαίνουν υπό περιοδική εξωτερική επίδραση.

Προϋποθέσεις για την εμφάνιση ελεύθερων ταλαντώσεων: α) όταν ένα σώμα απομακρύνεται από μια θέση ισορροπίας, πρέπει να προκύψει μια δύναμη στο σύστημα, που τείνει να το επαναφέρει στη θέση ισορροπίας. β) οι δυνάμεις τριβής στο σύστημα πρέπει να είναι αρκετά μικρές.

ΕΝΑ εύρος Το Α είναι το δομοστοιχείο της μέγιστης απόκλισης του σημείου ταλάντωσης από τη θέση ισορροπίας.

Οι ταλαντώσεις ενός σημείου που συμβαίνουν με σταθερό πλάτος ονομάζονται ακάθαρτο, και ταλαντώσεις με βαθμιαία μειούμενο πλάτος – ξεθώριασμα.

Ο χρόνος κατά τον οποίο συμβαίνει μια πλήρης ταλάντωση ονομάζεται περίοδος(Τ).

Συχνότητα Οι περιοδικές ταλαντώσεις είναι ο αριθμός των πλήρων ταλαντώσεων που εκτελούνται ανά μονάδα χρόνου:

Μονάδα συχνότητας κραδασμών - χέρτζ(Hz). Hertz είναι η συχνότητα των ταλαντώσεων των οποίων η περίοδος είναι ίση με 1 s: 1 Hz = 1 s –1.

Κυκλικόςή κυκλική συχνότηταπεριοδικές ταλαντώσεις είναι ο αριθμός των πλήρων ταλαντώσεων που εκτελούνται κατά τη διάρκεια του χρόνου 2p με: . =rad/s.

Αρμονικός- πρόκειται για ταλαντώσεις που περιγράφονται από έναν περιοδικό νόμο:

ή (1)

όπου είναι ένα μέγεθος που μεταβάλλεται περιοδικά (μετατόπιση, ταχύτητα, δύναμη κ.λπ.), Α είναι το πλάτος.

Ένα σύστημα του οποίου ο νόμος της κίνησης έχει τη μορφή (1) ονομάζεται αρμονικός ταλαντωτής . Ημιτονικό ή συνημίτονο επιχείρημα που ονομάζεται φάση ταλάντωσης.Η φάση της ταλάντωσης καθορίζει τη μετατόπιση τη χρονική στιγμή t. Η αρχική φάση καθορίζει τη μετατόπιση του σώματος τη στιγμή που ξεκινά ο χρονισμός.

Εξετάστε τη μετατόπιση Χένα ταλαντούμενο σώμα σε σχέση με τη θέση ισορροπίας του. Αρμονική εξίσωση δόνησης:

Η πρώτη παράγωγος του χρόνου δίνει την έκφραση για την ταχύτητα κίνησης του σώματος: ; (2)

Η ταχύτητα φτάνει τη μέγιστη τιμή της τη στιγμή που =1: . Η μετατόπιση του σημείου αυτή τη στιγμή είναι νωρίς στο μηδέν =0 (Εικ. 17.1, σι).

Η επιτάχυνση αλλάζει επίσης με το χρόνο σύμφωνα με τον αρμονικό νόμο:

όπου είναι η μέγιστη τιμή επιτάχυνσης. Το πρόσημο μείον σημαίνει ότι η επιτάχυνση κατευθύνεται προς την αντίθετη κατεύθυνση από τη μετατόπιση, δηλ. αλλαγή επιτάχυνσης και μετατόπισης σε αντιφάση (Εικ. 17.1 V). Μπορεί να φανεί ότι η ταχύτητα φτάνει τη μέγιστη τιμή της όταν το σημείο ταλάντωσης περνά από τη θέση ισορροπίας. Αυτή τη στιγμή η μετατόπιση και η επιτάχυνση είναι μηδέν.

1.18. ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ ΔΟΝΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΟΥΣ

Ορισμός αρμονικών δονήσεων. Χαρακτηριστικά αρμονικών ταλαντώσεων: μετατόπιση από τη θέση ισορροπίας, πλάτος ταλαντώσεων, φάση ταλάντωσης, συχνότητα και περίοδος ταλαντώσεων. Ταχύτητα και επιτάχυνση ενός σημείου ταλάντωσης. Ενέργεια αρμονικού ταλαντωτή. Παραδείγματα αρμονικών ταλαντωτών: μαθηματικοί, ελατηριωτοί, στρεπτικοί και φυσικοί Κινέζικα εκκρεμή.

Η ακουστική, η ραδιομηχανική, η οπτική και άλλοι κλάδοι της επιστήμης και της τεχνολογίας βασίζονται στη μελέτη των ταλαντώσεων και των κυμάτων. Η θεωρία των κραδασμών παίζει σημαντικό ρόλο στη μηχανική, ειδικά στους υπολογισμούς της αντοχής αεροσκαφών, γεφυρών και ορισμένων τύπων μηχανών και εξαρτημάτων.

Ταλαντώσεις είναι διαδικασίες που επαναλαμβάνονται σε τακτά χρονικά διαστήματα (και δεν είναι όλες οι επαναλαμβανόμενες διαδικασίες ταλαντώσεις!). Ανάλογα με τη φυσική φύση της επαναλαμβανόμενης διαδικασίας, οι δονήσεις διακρίνονται μεταξύ μηχανικών, ηλεκτρομαγνητικών, ηλεκτρομηχανικών κ.λπ. Κατά τη διάρκεια των μηχανικών δονήσεων, οι θέσεις και οι συντεταγμένες των σωμάτων αλλάζουν περιοδικά.

επαναφέρουσα δύναμη - η δύναμη υπό την επίδραση της οποίας συμβαίνει η ταλαντωτική διαδικασία. Αυτή η δύναμη τείνει να επαναφέρει ένα σώμα ή ένα υλικό σημείο, που αποκλίνει από τη θέση ηρεμίας του, στην αρχική του θέση.

Ανάλογα με τη φύση της κρούσης στο ταλαντούμενο σώμα, γίνεται διάκριση μεταξύ ελεύθερων (ή φυσικών) δονήσεων και εξαναγκασμένων δονήσεων.

Ανάλογα με τη φύση της κρούσης στο ταλαντούμενο σύστημα, διακρίνονται οι ελεύθερες ταλαντώσεις, οι εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, οι αυτοταλαντώσεις και οι παραμετρικές ταλαντώσεις.

Ελεύθερος (τα δικά) ταλαντώσεις είναι εκείνες οι ταλαντώσεις που συμβαίνουν σε ένα σύστημα που αφήνεται μόνο του αφού του δοθεί μια ώθηση ή έχει απομακρυνθεί από μια θέση ισορροπίας, δηλ. όταν σε ένα ταλαντούμενο σώμα δρα μόνο μια δύναμη επαναφοράς.Ένα παράδειγμα είναι η ταλάντωση μιας σφαίρας που αιωρείται σε ένα νήμα. Για να προκαλέσεις κραδασμούς, πρέπει είτε να σπρώξεις την μπάλα είτε, μετακινώντας την στο πλάι, να την απελευθερώσεις. Σε περίπτωση που δεν υπάρχει διασπορά ενέργειας, οι ελεύθερες ταλαντώσεις δεν αποσβένονται. Ωστόσο, οι πραγματικές διεργασίες ταλάντωσης αποσβένονται, επειδή το ταλαντούμενο σώμα υπόκειται σε δυνάμεις αντίστασης κίνησης (κυρίως δυνάμεις τριβής).

· Αναγκαστικά ονομάζονται τέτοιες ταλαντώσεις, κατά τις οποίες το ταλαντούμενο σύστημα εκτίθεται σε μια εξωτερική περιοδικά μεταβαλλόμενη δύναμη (για παράδειγμα, ταλαντώσεις μιας γέφυρας που συμβαίνουν όταν οι άνθρωποι περπατούν κατά μήκος της, περπατώντας με βήμα). Σε πολλές περιπτώσεις, τα συστήματα υφίστανται ταλαντώσεις που μπορούν να θεωρηθούν αρμονικές.

· Αυτοταλαντώσεις , Όπως οι εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, συνοδεύονται από την επίδραση εξωτερικών δυνάμεων στο ταλαντούμενο σύστημα, ωστόσο, οι χρονικές στιγμές που συμβαίνουν αυτές οι επιρροές καθορίζονται από το ίδιο το ταλαντούμενο σύστημα. Δηλαδή, το ίδιο το σύστημα ελέγχει τις εξωτερικές επιρροές. Ένα παράδειγμα αυτοταλαντούμενου συστήματος είναι ένα ρολόι στο οποίο το εκκρεμές δέχεται κραδασμούς λόγω της ενέργειας ενός ανυψωμένου βάρους ή ενός στριμμένου ελατηρίου και αυτά τα χτυπήματα συμβαίνουν τις στιγμές που το εκκρεμές διέρχεται από τη μεσαία θέση.

· Παραμετρική οι ταλαντώσεις συμβαίνουν όταν οι παράμετροι του ταλαντευόμενου συστήματος αλλάζουν περιοδικά (ένα άτομο που ταλαντεύεται σε μια κούνια ανεβάζει και χαμηλώνει περιοδικά το κέντρο βάρους του, αλλάζοντας έτσι τις παραμέτρους του συστήματος). Κάτω από ορισμένες συνθήκες, το σύστημα γίνεται ασταθές - μια τυχαία απόκλιση από τη θέση ισορροπίας οδηγεί στην εμφάνιση και αύξηση των ταλαντώσεων. Αυτό το φαινόμενο ονομάζεται παραμετρική διέγερση των ταλαντώσεων (δηλαδή, οι ταλαντώσεις διεγείρονται με την αλλαγή των παραμέτρων του συστήματος) και οι ίδιες οι ταλαντώσεις ονομάζονται παραμετρικές.

Παρά τη διαφορετική φυσική τους φύση, οι δονήσεις χαρακτηρίζονται από τα ίδια μοτίβα, τα οποία μελετώνται με γενικές μεθόδους. Ένα σημαντικό κινηματικό χαρακτηριστικό είναι το σχήμα των δονήσεων. Καθορίζεται από τον τύπο της συνάρτησης χρόνου που περιγράφει την αλλαγή σε ένα ή άλλο φυσικό μέγεθος κατά τη διάρκεια των ταλαντώσεων. Οι πιο σημαντικές διακυμάνσεις είναι αυτές στις οποίες η κυμαινόμενη ποσότητα αλλάζει με την πάροδο του χρόνου. σύμφωνα με το νόμο του ημιτόνου ή του συνημιτονοειδούς . Καλούνται αρμονικός .

Αρμονικές δονήσειςονομάζονται ταλαντώσεις στις οποίες το ταλαντούμενο φυσικό μέγεθος αλλάζει σύμφωνα με το νόμο του ημιτονοειδούς (ή συνημιτόνου).

Αυτός ο τύπος ταλάντωσης είναι ιδιαίτερα σημαντικός για τους ακόλουθους λόγους. Πρώτον, οι δονήσεις στη φύση και την τεχνολογία έχουν συχνά χαρακτήρα πολύ κοντά στην αρμονική. Δεύτερον, περιοδικές διεργασίες διαφορετικής μορφής (με διαφορετική χρονική εξάρτηση) μπορούν να αναπαρασταθούν ως υπέρθεση ή υπέρθεση αρμονικών ταλαντώσεων.

Εξίσωση Αρμονικού Ταλαντωτή

Η αρμονική ταλάντωση περιγράφεται από έναν περιοδικό νόμο:

Ρύζι. 18.1. Αρμονική ταλάντωση

Ζ

εδώ
- χαρακτηρίζει αλλαγή οποιοδήποτε φυσικό μέγεθος κατά τη διάρκεια ταλαντώσεων (μετατόπιση της θέσης του εκκρεμούς από τη θέση ισορροπίας, τάση στον πυκνωτή στο ταλαντευόμενο κύκλωμα κ.λπ.), ΕΝΑ - πλάτος δόνησης ,
- φάση ταλάντωσης , - αρχική φάση ,
- κυκλική συχνότητα ; Μέγεθος
επίσης λέγεται τα δικά συχνότητα δόνησης. Αυτό το όνομα τονίζει ότι αυτή η συχνότητα καθορίζεται από τις παραμέτρους του ταλαντευτικού συστήματος. Ένα σύστημα του οποίου ο νόμος της κίνησης έχει τη μορφή (18.1) ονομάζεται μονοδιάστατος αρμονικός ταλαντωτής . Εκτός από τις αναγραφόμενες ποσότητες, οι έννοιες του περίοδος , δηλ. χρόνος μιας ταλάντωσης.

(Περίοδος ταλάντωσης Τ ονομάζεται το συντομότερο χρονικό διάστημα, μετά το οποίο επαναλαμβάνονται οι καταστάσεις του ταλαντούμενου συστήματος (ολοκληρώνεται μια πλήρης ταλάντωση) και η φάση ταλάντωσης λαμβάνει μια αύξηση 2p).

Και συχνότητες
, που καθορίζει τον αριθμό των ταλαντώσεων ανά μονάδα χρόνου. Μονάδα συχνότητας είναι η συχνότητα μιας τέτοιας ταλάντωσης, η περίοδος της οποίας είναι 1 s. Αυτή η μονάδα ονομάζεται χέρτζ (Hz ).

Συχνότητα ταλάντωσηςn είναι το αντίστροφο της περιόδου ταλάντωσης - ο αριθμός των πλήρων ταλαντώσεων που εκτελούνται ανά μονάδα χρόνου.

Εύρος- τη μέγιστη τιμή μετατόπισης ή μεταβολής μιας μεταβλητής κατά την ταλαντωτική ή κυματική κίνηση.

Φάση ταλάντωσης- όρισμα μιας περιοδικής συνάρτησης ή μιας που περιγράφει μια αρμονική ταλαντωτική διαδικασία (ω - γωνιακή συχνότητα, t- χρόνος, - αρχική φάση ταλαντώσεων, δηλαδή η φάση ταλαντώσεων την αρχική χρονική στιγμή t = 0).

Η πρώτη και η δεύτερη χρονική παράγωγος ενός αρμονικά ταλαντούμενου μεγέθους εκτελούν επίσης αρμονικές ταλαντώσεις της ίδιας συχνότητας:

Στην περίπτωση αυτή, λαμβάνεται ως βάση η εξίσωση των αρμονικών ταλαντώσεων γραμμένη σύμφωνα με το νόμο του συνημιτονοειδούς. Στην περίπτωση αυτή, η πρώτη από τις εξισώσεις (18.2) περιγράφει το νόμο σύμφωνα με τον οποίο αλλάζει η ταχύτητα ενός ταλαντούμενου υλικού σημείου (σώματος), η δεύτερη εξίσωση περιγράφει τον νόμο σύμφωνα με τον οποίο αλλάζει η επιτάχυνση ενός ταλαντούμενου σημείου (σώματος).

Πλάτη
Και
είναι ίσα αντίστοιχα
Και
. Δισταγμός
εμπρός
σε φάση από ? και δισταγμός
εμπρός
επί . Αξίες ΕΝΑΚαι μπορεί να προσδιοριστεί από δεδομένες αρχικές συνθήκες
Και
:

,
. (18.3)

Ενέργεια των ταλαντώσεων του ταλαντωτή

Π

Ρύζι. 18.2. Ανοιξιάτικο εκκρεμές

Ας δούμε τώρα τι θα γίνει ενέργεια δόνησης . Ως παράδειγμα αρμονικών ταλαντώσεων, εξετάστε τις μονοδιάστατες ταλαντώσεις που εκτελούνται από ένα σώμα μάζας Μ Υπό την επίδραση ελαστικό δύναμη
(για παράδειγμα, ένα εκκρεμές ελατηρίου, βλ. Εικ. 18.2). Οι δυνάμεις διαφορετικής φύσης από την ελαστική, αλλά στις οποίες η συνθήκη F = -kx ικανοποιείται, ονομάζονται σχεδόν ελαστικό.Υπό την επίδραση αυτών των δυνάμεων, τα σώματα εκτελούν επίσης αρμονικές δονήσεις. Ας είναι:

προκατάληψη:
Ταχύτητα:
επιτάχυνση:

Εκείνοι. η εξίσωση τέτοιων ταλαντώσεων έχει τη μορφή (18.1) με φυσική συχνότητα
. Η οιονεί ελαστική δύναμη είναι συντηρητικός . Επομένως, η συνολική ενέργεια τέτοιων αρμονικών ταλαντώσεων πρέπει να παραμένει σταθερή. Κατά τη διαδικασία των ταλαντώσεων, η κινητική ενέργεια μετατρέπεται μι Προς τηνστο δυναμικό μι Πκαι αντίστροφα, και στις στιγμές της μεγαλύτερης απόκλισης από τη θέση ισορροπίας, η συνολική ενέργεια ισούται με τη μέγιστη τιμή της δυναμικής ενέργειας και όταν το σύστημα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας, η συνολική ενέργεια είναι ίση με τη μέγιστη τιμή της κινητικής ενέργειας. Ας μάθουμε πώς αλλάζει η κινητική και η δυνητική ενέργεια με την πάροδο του χρόνου:

Κινητική ενέργεια:

Δυναμική ενέργεια:

(18.5)

Λαμβάνοντας υπόψη ότι δηλ. , η τελευταία έκφραση μπορεί να γραφτεί ως:

Έτσι, η συνολική ενέργεια της αρμονικής ταλάντωσης αποδεικνύεται σταθερή. Από τις σχέσεις (18.4) και (18.5) προκύπτει επίσης ότι οι μέσες τιμές της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας είναι ίσες μεταξύ τους και το ήμισυ της συνολικής ενέργειας, αφού οι μέσες τιμές
Και
ανά περίοδο ισούνται με 0,5. Χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικούς τύπους, μπορούμε να βρούμε ότι η κινητική και η δυναμική ενέργεια αλλάζουν με τη συχνότητα
, δηλ. με συχνότητα διπλάσια από τη συχνότητα της αρμονικής δόνησης.

Παραδείγματα αρμονικού ταλαντωτή περιλαμβάνουν εκκρεμή ελατηρίου, φυσικά εκκρεμή, μαθηματικά εκκρεμή και εκκρεμή στρέψης.

1. Ανοιξιάτικο εκκρεμές- αυτό είναι ένα φορτίο μάζας m, το οποίο αναρτάται σε ένα απολύτως ελαστικό ελατήριο και εκτελεί αρμονικές ταλαντώσεις υπό την επίδραση ελαστικής δύναμης F = –kx, όπου k είναι η ακαμψία του ελατηρίου. Η εξίσωση κίνησης του εκκρεμούς έχει τη μορφή ή (18.8) Από τον τύπο (18.8) προκύπτει ότι το ελατηριωτό εκκρεμές εκτελεί αρμονικές ταλαντώσεις σύμφωνα με το νόμο x = Асos(ω 0 t+φ) με κυκλική συχνότητα

(18.9) και περιοδ

(18.10) Ο τύπος (18.10) ισχύει για τις ελαστικές δονήσεις εντός των ορίων εντός των οποίων ικανοποιείται ο νόμος του Hooke, δηλαδή εάν η μάζα του ελατηρίου είναι μικρή σε σύγκριση με τη μάζα του σώματος. Η δυναμική ενέργεια ενός εκκρεμούς ελατηρίου, χρησιμοποιώντας το (18.9) και τον τύπο δυναμικής ενέργειας της προηγούμενης ενότητας, είναι ίση με (βλ. 18.5)

2. Φυσικό εκκρεμέςείναι ένα συμπαγές σώμα που ταλαντώνεται υπό την επίδραση της βαρύτητας γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το σημείο Ο, το οποίο δεν συμπίπτει με το κέντρο μάζας Γ του σώματος (Εικ. 1).

Εικ. 18.3 Φυσικό εκκρεμές

Εάν το εκκρεμές εκτρέπεται από τη θέση ισορροπίας κατά μια ορισμένη γωνία α, τότε, χρησιμοποιώντας την εξίσωση δυναμικής της περιστροφικής κίνησης ενός άκαμπτου σώματος, η ροπή M της δύναμης επαναφοράς (18.11) όπου J είναι η ροπή αδράνειας του εκκρεμές σε σχέση με τον άξονα που διέρχεται από το σημείο ανάρτησης O, l είναι η απόσταση μεταξύ του άξονα και του κέντρου μάζας του εκκρεμούς, F τ ≈ –mgsinα ≈ –mgα είναι η δύναμη επαναφοράς (το πρόσημο μείον δείχνει ότι οι κατευθύνσεις του F τ και α είναι πάντα αντίθετα· sinα ≈ α αφού οι ταλαντώσεις του εκκρεμούς θεωρούνται μικρές, δηλαδή το εκκρεμές εκτρέπεται από τη θέση ισορροπίας κατά μικρές γωνίες). Γράφουμε την εξίσωση (18.11) ως

Ή Λαμβάνοντας (18.12) παίρνουμε την εξίσωση

Πανομοιότυπο με το (18.8), η λύση του οποίου θα βρεθεί και θα γραφτεί ως:

(18.13) Από τον τύπο (18.13) προκύπτει ότι για μικρές ταλαντώσεις το φυσικό εκκρεμές εκτελεί αρμονικές ταλαντώσεις με κυκλική συχνότητα ω 0 και περίοδο

(18.14) όπου η τιμή L=J/(m μεγάλο) - . Το σημείο Ο» στη συνέχεια της ευθείας ΟΣ, το οποίο βρίσκεται σε απόσταση μειωμένου μήκους L από το σημείο Ο της ανάρτησης του εκκρεμούς, ονομάζεται κέντρο ταλάντευσηςφυσικό εκκρεμές (Εικ. 18.3). Εφαρμόζοντας το θεώρημα του Steiner για τη ροπή αδράνειας του άξονα, βρίσκουμε

Δηλαδή, το OO" είναι πάντα μεγαλύτερο από το OS. Το σημείο ανάρτησης Ο του εκκρεμούς και το κέντρο ταλάντευσης Ο" έχουν ιδιότητα εναλλαξιμότητας: εάν το σημείο ανάρτησης μετακινηθεί στο κέντρο της αιώρησης, τότε το προηγούμενο σημείο ανάρτησης Ο θα είναι το νέο κέντρο αιώρησης και η περίοδος ταλάντωσης του φυσικού εκκρεμούς δεν θα αλλάξει.

3. Μαθηματικό εκκρεμέςείναι ένα εξιδανικευμένο σύστημα που αποτελείται από ένα υλικό σημείο μάζας m, το οποίο αιωρείται σε ένα μη εκτατό αβαρές νήμα, και το οποίο ταλαντώνεται υπό την επίδραση της βαρύτητας. Μια καλή προσέγγιση ενός μαθηματικού εκκρεμούς είναι μια μικρή βαριά μπάλα που αιωρείται σε ένα μακρύ λεπτό νήμα. Ροπή αδράνειας μαθηματικού εκκρεμούς

(8) όπου μεγάλο- μήκος του εκκρεμούς.

Δεδομένου ότι ένα μαθηματικό εκκρεμές είναι μια ειδική περίπτωση ενός φυσικού εκκρεμούς, αν υποθέσουμε ότι όλη η μάζα του συγκεντρώνεται σε ένα σημείο - το κέντρο μάζας, τότε, αντικαθιστώντας το (8) στο (7), βρίσκουμε μια έκφραση για την περίοδο μικρών ταλαντώσεων μαθηματικού εκκρεμούς (18.15) Συγκρίνοντας τους τύπους (18.13 ) και (18.15), βλέπουμε ότι αν το μειωμένο μήκος L του φυσικού εκκρεμούς είναι ίσο με το μήκος μεγάλομαθηματικό εκκρεμές, τότε οι περίοδοι ταλάντωσης αυτών των εκκρεμών είναι οι ίδιες. Που σημαίνει, μειωμένο μήκος ενός φυσικού εκκρεμούς- αυτό είναι το μήκος ενός μαθηματικού εκκρεμούς του οποίου η περίοδος ταλάντωσης συμπίπτει με την περίοδο ταλάντωσης ενός δεδομένου φυσικού εκκρεμούς. Για ένα μαθηματικό εκκρεμές (ένα υλικό σημείο με μάζα Μ, κρεμασμένο σε ένα αβαρές, μη εκτατό νήμα μήκους μεγάλοσε πεδίο βαρύτητας με επιτάχυνση ελεύθερης πτώσης ίση με σολ) σε μικρές γωνίες απόκλισης (που δεν υπερβαίνουν τις 5-10 γωνιακές μοίρες) από τη θέση ισορροπίας, η φυσική συχνότητα των ταλαντώσεων:
.

4. Ένα σώμα αναρτημένο σε ελαστικό νήμα ή άλλο ελαστικό στοιχείο, που ταλαντώνεται σε οριζόντιο επίπεδο, είναι στρεπτικό εκκρεμές.

Αυτό είναι ένα μηχανικό σύστημα ταλάντωσης που χρησιμοποιεί ελαστικές δυνάμεις παραμόρφωσης. Στο Σχ. Το σχήμα 18.4 δείχνει το γωνιακό ανάλογο ενός γραμμικού αρμονικού ταλαντωτή που εκτελεί στρεπτικές ταλαντώσεις. Ένας οριζόντια τοποθετημένος δίσκος κρέμεται σε ένα ελαστικό νήμα προσαρτημένο στο κέντρο μάζας του. Όταν ο δίσκος περιστρέφεται κατά μια γωνία θ, εμφανίζεται μια ροπή δύναμης Μέλεγχος ελαστικής στρεπτικής παραμόρφωσης:

Οπου Εγώ = Εγώντοείναι η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα, που διέρχεται από το κέντρο μάζας, ε είναι η γωνιακή επιτάχυνση.

Κατ 'αναλογία με ένα φορτίο σε ένα ελατήριο, μπορείτε να πάρετε.

Γενικές πληροφορίες για τους κραδασμούς

Κεφάλαιο 6 Ταλαντωτική κίνηση

Ταλαντώσειςδιεργασίες που διαφέρουν σε διάφορους βαθμούς επαναληψιμότητας ονομάζονται διεργασίες.

Αυτή η ιδιότητα επαναληψιμότητας κατέχεται, για παράδειγμα, από την αιώρηση ενός εκκρεμούς ρολογιού, τις δονήσεις μιας χορδής ή των ποδιών ενός πιρουνιού συντονισμού, την τάση μεταξύ των πλακών ενός πυκνωτή σε ένα κύκλωμα ραδιοφωνικού δέκτη κ.λπ.

Ανάλογα με τη φυσική φύση της επαναλαμβανόμενης διαδικασίας, οι δονήσεις διακρίνονται:

- μηχανικό;

– ηλεκτρομαγνητική

– ηλεκτρομηχανολογικά κ.λπ.

Ανάλογα με τη φύση της πρόσκρουσης στο σύστημα ταλάντωσης, διακρίνονται τα ακόλουθα:

– δωρεάν (ή δικό)

– αναγκαστικά

– αυτοταλαντώσεις.

– παραμετρικές ταλαντώσεις.

Ελεύθεροςή τα δικάονομάζονται τέτοιες ταλαντώσεις που συμβαίνουν σε ένα σύστημα που αφήνεται μόνο του αφού του δοθεί ώθηση ή έχει βγει από τη θέση ισορροπίας του. Ένα παράδειγμα είναι η ταλάντωση μιας μπάλας που κρέμεται σε ένα νήμα (εκκρεμές).

Αναγκαστικάονομάζονται τέτοιες ταλαντώσεις, κατά τις οποίες το ταλαντούμενο σύστημα εκτίθεται σε μια εξωτερική δύναμη που μεταβάλλεται περιοδικά.

Αυτοταλαντώσειςσυνοδεύονται από την επίδραση εξωτερικών δυνάμεων στο ταλαντούμενο σύστημα, ωστόσο, οι χρονικές στιγμές κατά τις οποίες πραγματοποιούνται αυτές οι επιρροές καθορίζονται από το ίδιο το σύστημα ταλάντωσης - το ίδιο το σύστημα ελέγχει την εξωτερική επιρροή. Ένα παράδειγμα αυτοταλαντούμενου συστήματος είναι ένα ρολόι στο οποίο το εκκρεμές δέχεται κραδασμούς λόγω της ενέργειας ενός ανυψωμένου βάρους ή ενός στριμμένου ελατηρίου και αυτά τα χτυπήματα συμβαίνουν τις στιγμές που το εκκρεμές διέρχεται από τη μεσαία θέση.

Στο παραμετρικήΣε ταλαντώσεις, λόγω εξωτερικών επιρροών, συμβαίνει περιοδική αλλαγή σε κάποια παράμετρο του συστήματος, για παράδειγμα, το μήκος του νήματος του εκκρεμούς.

Τα πιο απλά είναι αρμονικές δονήσεις, δηλαδή τέτοιες ταλαντώσεις στις οποίες η ταλαντούμενη ποσότητα (για παράδειγμα, η απόκλιση ενός εκκρεμούς) αλλάζει με την πάροδο του χρόνου σύμφωνα με το νόμο του ημιτόνου ή του συνημιτόνου.

Η πιο σημαντική μεταξύ των ταλαντευτικών κινήσεων είναι η λεγόμενη απλή ή αρμονική ταλαντωτική κίνηση.

Η φύση μιας τέτοιας κίνησης αποκαλύπτεται καλύτερα χρησιμοποιώντας το ακόλουθο κινηματικό μοντέλο. Ας υποθέσουμε ότι το γεωμετρικό σημείο Μπεριστρέφεται ομοιόμορφα γύρω από έναν κύκλο ακτίνας a με σταθερή γωνιακή ταχύτητα (Εικ. 6.1). Η προβολή της Νανά διάμετρο, για παράδειγμα ανά άξονα Χ, θα εκτελέσει μια ταλαντευτική κίνηση από μια ακραία θέση σε μια άλλη ακραία θέση και πίσω. Τέτοια σημειακή ταλάντωση Νονομάζεται απλή ή αρμονική δόνηση.

Για να το περιγράψετε, πρέπει να βρείτε τη συντεταγμένη Χσημεία Νως συνάρτηση του χρόνου t. Ας υποθέσουμε ότι την αρχική χρονική στιγμή σχηματίστηκε η ακτίνα ΟΜ με τον άξονα Χγωνία . Μετά το χρόνο t, αυτή η γωνία θα αυξηθεί και θα γίνει ίση. Από το Σχ. 6.1. είναι ξεκάθαρο ότι

. (6.1)

Αυτός ο τύπος περιγράφει αναλυτικά την αρμονική ταλαντωτική κίνηση ενός σημείου Νκατά μήκος της διαμέτρου.

Μέγεθος έναδίνει τη μέγιστη απόκλιση του σημείου ταλάντωσης από τη θέση ισορροπίας. Ονομάζεται εύροςδιακυμάνσεις. Καλείται η τιμή 0 κυκλική συχνότητα. Η ποσότητα ονομάζεται φάσηταλαντώσεις και η τιμή του στο , δηλαδή το μέγεθος - πρωταρχικόςφάση. Αφού πέρασε ο καιρός

η φάση λαμβάνει μια αύξηση και το σημείο ταλάντωσης επιστρέφει στην αρχική του θέση, ενώ διατηρεί την αρχική κατεύθυνση κίνησης. χρόνος Τονομάζεται περίοδος ταλάντωσης.

Η ταχύτητα του σημείου ταλάντωσης μπορεί να βρεθεί διαφοροποιώντας την έκφραση (6.1) σε σχέση με το χρόνο. Αυτό δίνει

Διαφοροποιώντας για δεύτερη φορά, παίρνουμε την επιτάχυνση

ή, χρησιμοποιώντας (6.1),

Η δύναμη που ασκείται σε ένα υλικό σημείο κατά την αρμονική δόνηση είναι ίση με

. (6.6)

Είναι ανάλογο της απόκλισης x και έχει αντίθετη φορά. Κατευθύνεται πάντα προς τη θέση ισορροπίας.

Ας εξετάσουμε τις αρμονικές ταλαντώσεις ενός φορτίου σε ένα ελατήριο, το ένα άκρο του οποίου είναι σταθερό και ένα σώμα μάζας αιωρείται από το άλλο Μ(Εικ. 6.2). Έστω το μήκος του μη παραμορφωμένου ελατηρίου. Εάν ένα ελατήριο τεντωθεί ή συμπιεστεί σε ένα μήκος μεγάλο, τότε προκύπτει δύναμη φά, επιδιώκοντας να επαναφέρει το σώμα σε θέση ισορροπίας. Για μικρές διατάσεις ισχύει Ο νόμος του Χουκ– η δύναμη είναι ανάλογη με το τέντωμα του ελατηρίου: . Υπό αυτές τις συνθήκες, η εξίσωση κίνησης του σώματος έχει τη μορφή

Συνεχής κπου ονομάζεται συντελεστήςελαστικότητα ή ακαμψία ενός ελατηρίου. Το σύμβολο μείον σημαίνει ότι η δύναμη φάκατευθύνεται προς την αντίθετη κατεύθυνση από τη μετατόπιση Χ, δηλαδή στη θέση ισορροπίας.

Κατά την εξαγωγή της εξίσωσης (6.7), θεωρήθηκε ότι δεν ασκούνται άλλες δυνάμεις στο σώμα. Ας δείξουμε ότι η ίδια εξίσωση διέπει την κίνηση ενός σώματος που αιωρείται σε ένα ελατήριο σε ένα ομοιόμορφο βαρυτικό πεδίο. Στην περίπτωση αυτή δηλώνουμε με το γράμμα Χεπιμήκυνση του ελατηρίου, δηλαδή διαφορά . Το ελατήριο έλκει το φορτίο προς τα πάνω με μια δύναμη και η δύναμη της βαρύτητας το τραβάει προς τα κάτω. Η εξίσωση της κίνησης έχει τη μορφή

Έστω να υποδηλώνει την επιμήκυνση του ελατηρίου στη θέση ισορροπίας. Επειτα . Εξαιρουμένου του βάρους, παίρνουμε . Χρησιμοποιούμε τον συμβολισμό , τότε η εξίσωση κίνησης θα πάρει την ίδια μορφή (6.7). Η τιμή x εξακολουθεί να σημαίνει τη μετατόπιση του φορτίου από τη θέση ισορροπίας. Ωστόσο, η θέση ισορροπίας μετατοπίζεται υπό την επίδραση της βαρύτητας. Επιπλέον, παρουσία βαρύτητας, η έννοια της ποσότητας αλλάζει. Τώρα σημαίνει το αποτέλεσμα των δυνάμεων τάσης του ελατηρίου και του βάρους του φορτίου. Όλα αυτά όμως δεν επηρεάζουν τη μαθηματική πλευρά της διαδικασίας. Επομένως, μπορεί κανείς να συλλογιστεί σαν να μην υπήρχε καθόλου βαρύτητα. Αυτό θα κάνουμε.

Η δύναμη που προκύπτει έχει την ίδια μορφή με τη δύναμη στην έκφραση (6.6). Αν θέσουμε , τότε γίνεται η εξίσωση (6.7).

. (6.8)

Αυτή η εξίσωση συμπίπτει με την εξίσωση (6.5). Η συνάρτηση (6.1) είναι μια λύση σε μια τέτοια εξίσωση για οποιεσδήποτε τιμές των σταθερών ένακαι ένα. Αυτή είναι η γενική λύση. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι το φορτίο στο ελατήριο θα εκτελεί αρμονικές ταλαντώσεις με κυκλική συχνότητα

και περίοδος

. (6.10)

Οι ταλαντώσεις που περιγράφονται από την εξίσωση (6.8) είναι Ελεύθερος(ή τα δικά).

Το δυναμικό και η κινητική ενέργεια ενός σώματος δίνονται από τις εκφράσεις

. (6.11)

Κάθε ένα από αυτά αλλάζει με την πάροδο του χρόνου. Ωστόσο, το άθροισμά τους μιπρέπει να παραμείνει σταθερή με την πάροδο του χρόνου:

(6.12)

Όλα όσα αναφέρονται εδώ ισχύουν για αρμονικούς κραδασμούς οποιωνδήποτε μηχανικών συστημάτων με έναν βαθμό ελευθερίας. Η στιγμιαία θέση ενός μηχανικού συστήματος με έναν βαθμό ελευθερίας μπορεί να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας οποιαδήποτε ποσότητα q, που ονομάζεται γενικευμένη συντεταγμένη, για παράδειγμα, η γωνία περιστροφής, η μετατόπιση κατά μήκος μιας ορισμένης ευθείας κ.λπ. Η παράγωγος της γενικευμένης συντεταγμένης ως προς το χρόνο ονομάζεται γενικευμένη ταχύτητα. Όταν εξετάζουμε ταλαντώσεις μηχανικών συστημάτων με έναν βαθμό ελευθερίας, είναι πιο βολικό να πάρουμε ως αρχική όχι την εξίσωση κίνησης του Νεύτωνα, αλλά την ενεργειακή εξίσωση. Ας υποθέσουμε ότι το μηχανικό σύστημα είναι τέτοιο που το δυναμικό και οι κινητικές του ενέργειες εκφράζονται με τύπους της μορφής

, (6.14)

όπου d και b είναι θετικές σταθερές (παράμετροι συστήματος). Τότε ο νόμος της διατήρησης της ενέργειας οδηγεί στην εξίσωση

. (6.15)

Διαφέρει από την εξίσωση (6.12) μόνο στη σημειογραφία, η οποία δεν έχει σημασία όταν εξετάζεται μαθηματικά. Από τη μαθηματική ταυτότητα των εξισώσεων (6.12) και (6.15) προκύπτει ότι οι γενικές λύσεις τους είναι ίδιες. Επομένως, εάν η εξίσωση ενέργειας μειωθεί στη μορφή (6.15), τότε

, (6.16)

δηλ. γενικευμένη συντεταγμένη qεκτελεί αρμονική ταλάντωση με κυκλική συχνότητα