Η λάρνακα περιέχει μαύρα λευκά. Προβλήματα με μπάλες
Πρόβλημα 174tv
α) 3 άσπρες μπάλες.
β) λιγότερες από 3 λευκές μπάλες.
γ) τουλάχιστον μία λευκή μπάλα.
Πρόβλημα 176tv
Ένα δοχείο περιέχει 6 μαύρες και 5 άσπρες μπάλες. Τυχαία κληρώνονται 5 μπάλες. Βρείτε την πιθανότητα μεταξύ τους να υπάρχει:
α) 3 άσπρες μπάλες.
β) λιγότερες από 3 λευκές μπάλες.
γ) τουλάχιστον μία λευκή μπάλα.
Πρόβλημα 178tv
Ένα δοχείο περιέχει 4 μαύρες και 5 άσπρες μπάλες. Τυχαία κληρώνονται 4 μπάλες. Βρείτε την πιθανότητα μεταξύ τους να υπάρχει:
α) 2 άσπρες μπάλες.
β) λιγότερες από 2 λευκές μπάλες.
γ) τουλάχιστον μία λευκή μπάλα.
Πρόβλημα 180tv
Ένα δοχείο περιέχει 6 μαύρες και 7 άσπρες μπάλες. Τυχαία κληρώνονται 4 μπάλες. Βρείτε την πιθανότητα μεταξύ τους να υπάρχει:
α) 4 άσπρες μπάλες.
β) λιγότερες από 4 λευκές μπάλες.
γ) τουλάχιστον μία λευκή μπάλα.
Πρόβλημα 184tv
Ένα δοχείο περιέχει 8 μαύρες και 6 άσπρες μπάλες. Τυχαία κληρώνονται 4 μπάλες. Βρείτε την πιθανότητα μεταξύ τους να υπάρχει:
α) 3 άσπρες μπάλες.
β) λιγότερες από 3 λευκές μπάλες.
γ) τουλάχιστον μία λευκή μπάλα.
Πρόβλημα 186tv
Ένα δοχείο περιέχει 4 μαύρες και 6 άσπρες μπάλες. Τυχαία κληρώνονται 4 μπάλες. Βρείτε την πιθανότητα μεταξύ τους να υπάρχει:
α) 3 άσπρες μπάλες.
β) λιγότερες από 3 λευκές μπάλες.
γ) τουλάχιστον μία λευκή μπάλα.
Πρόβλημα 188tv
Ένα δοχείο περιέχει 5 μαύρες και 6 άσπρες μπάλες. Τυχαία κληρώνονται 5 μπάλες. Βρείτε την πιθανότητα μεταξύ τους να υπάρχει:
α) 4 άσπρες μπάλες.
β) λιγότερες από 4 λευκές μπάλες.
γ) τουλάχιστον μία λευκή μπάλα.
Εργασία Νο. 1
Τυχαία συμβάντα
Επιλογή 6.
Εργασία 1.1.Ρίχνονται τρία νομίσματα. Βρείτε την πιθανότητα ότι μόνο δύο νομίσματα θα έχουν «οικόσημο».
Γεγονός Α υπό μελέτη – μόνο δύο στα τρία νομίσματα θα έχουν εθνόσημο. Το νόμισμα έχει δύο όψεις, πράγμα που σημαίνει ότι ο συνολικός αριθμός γεγονότων κατά τη ρίψη τριών νομισμάτων θα είναι 8. Σε τρεις περιπτώσεις, μόνο δύο νομίσματα θα έχουν εθνόσημο. Υπολογίζουμε την πιθανότητα του συμβάντος Α χρησιμοποιώντας τον τύπο:
Ρ(Α) = m/n = 3/8.
Απάντηση: πιθανότητα 3/8.
Πρόβλημα 1.2.Η λέξη EVENT αποτελείται από κάρτες, καθεμία από τις οποίες έχει ένα γράμμα γραμμένο πάνω της. Στη συνέχεια, τα φύλλα αναμειγνύονται και αφαιρούνται ένα-ένα χωρίς επιστροφή. Να βρείτε την πιθανότητα να αφαιρεθούν τα γράμματα με τη σειρά της συγκεκριμένης λέξης.
Το τεστ αποτελείται από τη λήψη καρτών με γράμματα σε τυχαία σειρά χωρίς επιστροφή. Το στοιχειώδες γεγονός είναι η προκύπτουσα ακολουθία γραμμάτων. Το συμβάν Α αποτελείται από τη λήψη η σωστή λέξηΕΚΔΗΛΩΣΗ . Τα στοιχειώδη συμβάντα είναι μεταθέσεις 7 γραμμάτων, που σημαίνει ότι σύμφωνα με τον τύπο έχουμε n= 7!
Τα γράμματα στη λέξη EVENT δεν επαναλαμβάνονται, επομένως δεν είναι δυνατές οι μεταθέσεις στις οποίες η λέξη δεν αλλάζει. Ο αριθμός τους είναι 1.
Ετσι,
P(A) = 1/7! = 1/5040.
Απάντηση:Ρ(Α) = 1/5040.
Πρόβλημα 1.3.Όπως και στο προηγούμενο πρόβλημα, βρείτε την αντίστοιχη πιθανότητα της περίπτωσης όταν η λέξη που δίνεται είναι η λέξη ANTONOV ILYA.
Αυτό το πρόβλημα επιλύεται παρόμοια με το προηγούμενο.
n= 11!; M = 2!*2! = 4.
P(A) = 4/11 = 4/39916800 = 1/9979200
Απάντηση:Ρ(Α) =1/9979200.
Πρόβλημα 1.4.Ένα δοχείο περιέχει 8 μαύρες και 6 άσπρες μπάλες. Τυχαία κληρώνονται 5 μπάλες. Βρείτε την πιθανότητα μεταξύ τους να υπάρχει:
α) 3 άσπρες μπάλες.
β) λιγότερες από 3 λευκές μπάλες.
γ) τουλάχιστον μία λευκή μπάλα.
8 ώρες Το τεστ θα σχεδιάσει τυχαία 5 μπάλες. Στοιχειώδης
Τα 6 β γεγονότα είναι όλοι οι πιθανοί συνδυασμοί 5 από τις 14 μπάλες. Ο αριθμός τους είναι ίσος
α) A 1 - ανάμεσα στις κληρωμένες μπάλες υπάρχουν 3 λευκές. Αυτό σημαίνει ότι ανάμεσα στις κληρωμένες μπάλες υπάρχουν 3 λευκές και 2 μαύρες. Χρησιμοποιώντας τον κανόνα του πολλαπλασιασμού, παίρνουμε
P(A 1) = 560/2002 = 280/1001.
β) A 2 - ανάμεσα στις κληρωμένες μπάλες υπάρχουν λιγότερες από 3 λευκές. Αυτό το συμβάν αποτελείται από τρία ασύμβατα συμβάντα:
Στο 1 - ανάμεσα στις κληρωμένες μπάλες υπάρχουν μόνο 2 άσπρες και 3 μαύρες μπάλες,
Σε 2 - ανάμεσα στις κληρωμένες μπάλες υπάρχει μόνο μία λευκή και 4 μαύρες μπάλες
Σε 3 - ανάμεσα στις κληρωμένες μπάλες δεν υπάρχει ούτε μία λευκή μπάλα, και οι 5 μπάλες είναι μαύρες:
A 2 = B 1 B 2 B 3.
Επειδή τα συμβάντα B 1, B 2 και B 3 δεν είναι συμβατά, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο:
Ρ(Α2) = Ρ(Β1) + Ρ(Β2) + Ρ(Β3);
P(A 2) = 840/2002 + 70/2002 + 56/2002 = 483/1001.
γ) - ανάμεσα στις τραβηγμένες μπάλες δεν υπάρχει ούτε μία λευκή. Σε αυτήν την περίπτωση:
P(A 3) = 1 - P() = 1 - 28/1001 = 973/1001.
Απάντηση:Ρ(Α 1) = 280/1001, Ρ(Α 2) = 483/1001, Ρ(Α 3) = 973/1001.
Πρόβλημα 1.6.Το πρώτο δοχείο περιέχει 5 άσπρες και 7 μαύρες μπάλες και το δεύτερο δοχείο περιέχει 6 άσπρες και 4 μαύρες μπάλες. 2 μπάλες βγαίνουν τυχαία από την πρώτη λάρνακα και 2 μπάλες από τη δεύτερη. Βρείτε την πιθανότητα ανάμεσα στις συρόμενες μπάλες:
α) όλες οι μπάλες έχουν το ίδιο χρώμα.
β) μόνο τρεις άσπρες μπάλες.
γ) τουλάχιστον μία λευκή μπάλα.
1 τεφροδόχος 2 λάρνακα Οι μπάλες τραβήχτηκαν και από τα δύο δοχεία ανεξάρτητα. Δοκιμές
5 b 6 b σχεδιάζουν δύο μπάλες από την πρώτη λάρνακα και δύο μπάλες
7h 4h από τη δεύτερη λάρνακα. Τα στοιχειώδη γεγονότα θα είναι συνδυασμοί
2 ή 2 από 12 ή 10 μπάλες αντίστοιχα.
2 2 α) A 1 - όλες οι τραβηγμένες μπάλες είναι του ίδιου χρώματος, δηλ. είναι όλα λευκά;
ή όλα μαύρα.
Ας ορίσουμε όλα τα πιθανά συμβάντα για κάθε δοχείο:
Σε 1 - 2 λευκές μπάλες βγαίνουν από την πρώτη λάρνακα.
Σε 2 - 1 λευκή και 1 μαύρη μπάλα τραβιέται από την πρώτη λάρνακα.
Σε 3 - 2 μαύρες μπάλες βγαίνουν από την πρώτη λάρνακα.
C 1 - 2 άσπρες μπάλες βγαίνουν από τη δεύτερη λάρνακα.
C 2 - 1 άσπρη και 1 μαύρη μπάλα τραβιέται από τη δεύτερη λάρνακα.
Από 3 - 2 μαύρες μπάλες βγαίνουν από τη δεύτερη λάρνακα.
Αυτό σημαίνει A 1 = 
, από όπου, λαμβάνοντας υπόψη την ανεξαρτησία και ασυμβατότητα των γεγονότων, λαμβάνουμε
P(A 1) = P(B 1) * P(C 1) + P(B 3) * P(C 3).
Ας βρούμε την ποσότητα στοιχειώδη γεγονότα n 1 και n 2 για το πρώτο και το δεύτερο δοχείο, αντίστοιχα. Εχουμε:
Ας βρούμε τον αριθμό κάθε στοιχείου γεγονότων που καθορίζουν τα ακόλουθα συμβάντα:
B 1: m 11 = C 1: m 21 =
B 2: m 12 = C 2: m 22 =
B 3: m 13 = C 3: m 23 =
Ως εκ τούτου,
P(A 1) = 10/66 * 15/45 + 21 * 6/45 = 5/99 + 7/165 = 46/495.
β) A 2 - ανάμεσα στις κληρωμένες μπάλες υπάρχουν μόνο 3 λευκές. Σε αυτήν την περίπτωση
A 2 = (B 1 C 2 (B 2 C 1);
P(A 2) = P(B 1) * P(C 1) + P(B 2) * P(C 2)
P(A 2) = 10/66 * 6/45 + 35/66 * 24/45 = 33/99 = 1/3.
γ) A 3 - ανάμεσα στις κληρωμένες μπάλες υπάρχει τουλάχιστον μία λευκή.
Δεν υπάρχει ούτε μία άσπρη μπάλα ανάμεσα στις μπάλες που ανακτήθηκαν. Επειτα
P() = P(B 3) * P(C 3) = 21/66 * 6/45 = 7/165;
P(A 3) = 1 - P() = 1 - 7/165 = 158/165.
Απάντηση:Ρ(Α 1) = 46/495, Ρ(Α 2) = 1/3, Ρ(Α 3) = 158/165.
Πρόβλημα 1.7.Η λάρνακα περιέχει 5 ασπρόμαυρες μπάλες, σε αυτές προστίθενται 4 άσπρες μπάλες. Μετά από αυτό, 3 μπάλες βγαίνουν τυχαία από το δοχείο. Βρείτε την πιθανότητα όλες οι τραβηγμένες μπάλες να είναι λευκές, υποθέτοντας ότι όλες οι πιθανές προτάσεις σχετικά με το αρχικό περιεχόμενο του δοχείου είναι εξίσου πιθανές.
Υπάρχουν δύο τύποι δοκιμών εδώ: πρώτον, ορίζονται τα αρχικά περιεχόμενα της λάρνας και στη συνέχεια κληρώνεται τυχαία η 3η μπάλα, με το αποτέλεσμα της δεύτερης δοκιμής να εξαρτάται από το αποτέλεσμα της πρώτης. Επομένως, χρησιμοποιείται ο τύπος συνολικής πιθανότητας.
γεγονός Α - κληρώνονται τυχαία 3 λευκές μπάλες. Η πιθανότητα αυτού του συμβάντος εξαρτάται από το πώς πρωτότυπη σύνθεσημπάλες στην τεφροδόχο.
Ας δούμε τα γεγονότα:
Στο 1 - υπήρχαν 5 λευκές μπάλες στην τεφροδόχο.
Σε 2 - υπήρχαν 4 άσπρες και 1 μαύρες μπάλες στην τεφροδόχο.
Σε 3 - υπήρχαν 3 άσπρες και 2 μαύρες μπάλες στην τεφροδόχο.
Σε 4 - υπήρχαν 2 άσπρες και 3 μαύρες μπάλες στην τεφροδόχο.
Στα 5 - υπήρχαν 1 άσπρες και 4 μαύρες μπάλες στην τεφροδόχο.
Στα 6 - υπήρχαν 5 μαύρες μπάλες στην τεφροδόχο.
Συνολικός αριθμός στοιχειωδών αποτελεσμάτων
Θα βρούμε υπό όρους πιθανότητεςσυμβάντα Α υπό διαφορετικές συνθήκες.
P(A/B 1) = 1.
P(A/B2) = 56/84 = 2/3.
P(A/B 3) = 35/84 = 5/12.
P(A/B 4) = 5/21.
P(A/B 5) = 5/42.
P(A/B 6) = 1/21.
P(A) = 1 * 1/6 + 2/3 * 1/6 + 5/12 * 1/6 + 5/21 * 1/6 + 5/42 * 1/6 + 1/21 * 1/6 = 209/504.
Απάντηση:Ρ(Α) = 209/504.
Πρόβλημα 1.9.Υπάρχουν 11 τουφέκια στην πυραμίδα, 3 από αυτά με οπτικά σκοπευτικά. Ένας σκοπευτής, που πυροβολεί από τουφέκι με οπτικό σκόπευτρο, μπορεί να χτυπήσει τον στόχο με πιθανότητα 87/100, και πυροβολώντας από τουφέκι χωρίς οπτικό σκόπευτρο, με πιθανότητα 52/100. Βρείτε την πιθανότητα ένας σκοπευτής να χτυπήσει έναν στόχο πυροβολώντας από ένα τυχαίο τουφέκι.
Λαμβάνοντας υπόψη ότι τα τουφέκια επιλέγονται ένα κάθε φορά, λαμβάνουμε και, αντίστοιχα (για Β 1) και (για Β 2)· έτσι P(B 1) = 3/11, P(B 2) = 8/11.
Οι υπό όρους πιθανότητες καθορίζονται στη δήλωση προβλήματος:
Ρ(Α/Β 1) = 0,87 και Ρ(Α.Β 2) = 0,52.
Ως εκ τούτου,
P(A) = 0,87 * 3/11 + 0,52 * 8/11 = 0,615.
Απάντηση:Ρ(Α) =0,615.
Πρόβλημα 1.10.Στο κατάστημα εγκατάστασης, ένας ηλεκτροκινητήρας είναι συνδεδεμένος στη συσκευή. Οι ηλεκτρικοί κινητήρες παρέχονται από τρεις κατασκευαστές. Σε απόθεμα υπάρχουν ηλεκτροκινητήρες αυτών των εργοστασίων, αντίστοιχα, σε ποσότητες M 1 = 13, M 2 = 12, και M 3 = 17 τεμάχια, οι οποίοι μπορούν να λειτουργήσουν χωρίς βλάβη μέχρι το τέλος της περιόδου εγγύησης με πιθανότητες 0,91, 0,82, και 0,77, αντίστοιχα. Ένας εργαζόμενος παίρνει τυχαία έναν ηλεκτρικό κινητήρα και τον τοποθετεί στη συσκευή. Βρείτε την πιθανότητα ένας ηλεκτροκινητήρας που έχει εγκατασταθεί και λειτουργεί χωρίς βλάβη μέχρι το τέλος της περιόδου εγγύησης να έχει προμηθευτεί από τον πρώτο, δεύτερο ή τρίτο κατασκευαστή, αντίστοιχα.
Οι πιθανότητες υπό όρους καθορίζονται στη δήλωση προβλήματος: P(A/B 1) = 0,91, P(A/B 2) = 0,82, P(A/B 3) = 0,77.
Παρόμοια με το προηγούμενο πρόβλημα, ας βρούμε τις πιθανότητες:
Ρ(Β 1) = 13/42 = 0,3095; Ρ(Β 2) = 12/42 = 0,2857; Ρ(Β 3) = 17/42 = 0,4048;
P(A) = 0,91 * 0,3095 + 0,82 * 0,2857 + 0,77 * 0,4048 = 0,8276.
Χρησιμοποιώντας τον τύπο Bayes (1.8.), υπολογίζουμε τις υπό όρους πιθανότητες γεγονότων (υποθέσεις) B 1:
Ρ(Β1/Α) = 
Ρ(Β2/Α) = 
Ρ(Β3/Α) = 
Απάντηση: P(B 1 /A) = 0,3403, P(B 2 /A) = 0,2831, P(B 3 /A) = 0,3766
Εργασία Νο 2
Τυχαίες μεταβλητές.
6 - επιλογή.
Εργασία 2.1.Σε καθένα από τα ν ανεξάρτητα τεστΤο γεγονός Α συμβαίνει με σταθερή πιθανότητα 0,36. Υπολογίστε όλες τις πιθανότητες p k, k = 0, 1, 2, ..., 11, όπου k είναι η συχνότητα του γεγονότος Α. Σχεδιάστε μια γραφική παράσταση των πιθανοτήτων p k. Βρείτε την πιο πιθανή συχνότητα.
Ερωτηθείς από: n = 11, p = 0,36, q = 1 - p = 0,64.
Εύρημα: p 0, p 1, p 2, ..., p 11 και k.
Χρησιμοποιώντας τον τύπο του Bernoulli. Η τιμή p 0 υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον πρώτο από τους τύπους και οι υπόλοιπες πιθανότητες p k - χρησιμοποιώντας τον δεύτερο.
Για τον τύπο υπολογίζουμε τον σταθερό παράγοντα
p/q = 0,36/ 0,64 = 0,5625, p 0 = *0,36 0 * 0,64 11 = 0,0073787.
Γράφουμε τα αποτελέσματα των υπολογισμών στον Πίνακα 1. Εάν οι υπολογισμοί είναι σωστοί, τότε η ισότητα πρέπει να ικανοποιηθεί
Χρησιμοποιώντας τις τιμές πιθανότητας που βρέθηκαν, θα κατασκευάσουμε τη γραφική παράσταση τους (Εικ. 1).
Ας βρούμε την πιο πιθανή συχνότητα σύμφωνα με τις δεδομένες συνθήκες:
np - q = 11 * 0,36 - 0,64 = 3,32.np + k = 4,32
Αυτό σημαίνει ότι η πιο πιθανή συχνότητα είναι k = 4 και, όπως λήφθηκε νωρίτερα, η τιμή του p 3 είναι η μέγιστη.
Τραπέζι 1
| κ | (n-k-1)/ k | r k | κ | (n-k-1)/ k | σελ κ |
| - | 0,9926213 |
Σχήμα 1 Γράφημα πιθανοτήτων p k
Πρόβλημα 2.2.Σε κάθε μία από τις n ανεξάρτητες δοκιμές, το γεγονός Α συμβαίνει με σταθερή πιθανότητα 0,47. Βρείτε την πιθανότητα να συμβεί το γεγονός Α:
α) ακριβώς 330 φορές.
β) λιγότερο από 330 και περισσότερες από 284 φορές.
γ) περισσότερες από 330 φορές.
ΕΝΑ) Ερωτηθείς από: n = 760, p = 0,47, M = 330.
Εύρημα: R 760 (330).
Χρησιμοποιούμε τοπικό θεώρημα Moivre - Laplace. Βρίσκουμε:
Βρίσκουμε την τιμή της συνάρτησης j(x) από τον πίνακα:
j(1,98) = 0,0562, P 760 (330) = 0,0562/ 13,76 = 0,00408.
σι) Εύρημα: R 760 (284 Χρησιμοποιούμε το ολοκληρωτικό θεώρημα Moivre-Laplace. Βρίσκουμε: Βρίσκουμε την τιμή της συνάρτησης Ф(х) από τον πίνακα: R 760 (284 V) Εύρημα: R 760 (330 Έχουμε: x 1 = -1,98, R 760 (330 Πρόβλημα 2.4.Σε ένα τηλεφωνικό κέντρο, συμβαίνει μια λανθασμένη σύνδεση με πιθανότητα 1/800. Βρείτε την πιθανότητα μεταξύ 5600 συνδέσεων να συμβεί το εξής: α) ακριβώς 2 λανθασμένες συνδέσεις? β) λιγότερες από 3 λανθασμένες συνδέσεις. γ) περισσότερες από 8 λανθασμένες συνδέσεις. α) Δεδομένα: n = 5600, p = 1/800, k = 2. Εύρημα: R 800 (2). Παίρνουμε: l = 5600 * 1/800 = 7. R 800 (2) = σι) Σειράκ<3. Εύρημα: R 200 (k<3). R 800 (k<3) = Р 800
(0) + Р 800
(1) + Р 800
(2) = 0,0223 + 0,0009 + 0,0064 = 0,0296. V) Σειρά k > 8. Εύρημα:Ρ 800 (k > 8). Αυτό το πρόβλημα μπορεί να λυθεί πιο απλά βρίσκοντας την πιθανότητα του αντίθετου γεγονότος, αφού σε αυτή την περίπτωση πρέπει να υπολογιστούν λιγότεροι όροι. Λαμβάνοντας υπόψη την προηγούμενη περίπτωση, έχουμε Р 800 (k>8) = 1 – Р 800 (k8) = 1 - Р 800 (k<9) = 1 - 0,7291 = 0,2709. Πρόβλημα 2.6.Η τυχαία μεταβλητή Χ δίνεται από μια σειρά διανομής. Βρείτε τη συνάρτηση κατανομής F(x) της τυχαίας μεταβλητής Χ και σχεδιάστε την. Υπολογίστε για το X τη μέση τιμή του EX, τη διασπορά DX και τη λειτουργία Mo. Ας σχεδιάσουμε τη συνάρτηση κατανομής F(x) . Η μέση τιμή EX υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο: EX = 8*0,11 + 12*0,14 + 16*0,5 + 24*0,25 = 16,56. Διακύμανση: E(X 2) = 8 2 *0,11 + 12 2 *0,14 + 16 2 *0,5 + 24 2 *0,25 = 299,2 DX = 299,2 – 16,52 2 = 26,2896. Γράφημα συνάρτησης κατανομής Πρόβλημα 2.7.Η τυχαία μεταβλητή X καθορίζεται από τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f(x) = Βρείτε τη συνάρτηση κατανομής F(x) της τυχαίας μεταβλητής X. Να σχεδιάσετε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) και F(x). Υπολογίστε για το X τη μέση τιμή του EX, τη διασπορά DX, τη λειτουργία Mo και τη διάμεσο Me. K = 8, R = 12. Βρίσκουμε τη συνάρτηση κατανομής F(x) μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής χρησιμοποιώντας τον τύπο: Να σχεδιάσετε γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(x) και F(x). Η μέση τιμή του X υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο: ΕΧ = Για να βρούμε τη διακύμανση του X, χρησιμοποιούμε τους τύπους: Ε(Χ 2) = DX = 40,5 – (4,5) 2. Το γράφημα δείχνει ότι η f(x) φτάνει στο μέγιστο στο σημείο x = 1/2 και, επομένως, Mo = 12. Για να βρείτε τη διάμεσο Me, πρέπει να λύσετε την εξίσωση x 2 / 256 = 1/2 ή x 2 = 128. Έχουμε x = ± 11,31, Me = 11,31. Γράφημα της συνάρτησης κατανομής F(x). Εργασία Νο. 3. Πρόβλημα 3.1 Με βάση τα δείγματα Α και Β Δημιουργήστε μια σειρά παραλλαγών. Υπολογίστε τις σχετικές συχνότητες (συχνότητες) και τις συσσωρευμένες συχνότητες. Κατασκευάστε γραφήματα σειρών παραλλαγής (πολύγωνο και ιστόγραμμα). Δημιουργήστε μια εμπειρική συνάρτηση διανομής και σχεδιάστε την. Υπολογίστε τα αριθμητικά χαρακτηριστικά της σειράς παραλλαγών: μέση τιμή , διασπορά, τυπική απόκλιση , διάμεσος Εγώ. Πρόβλημα 3.2. Υπολογίστε αμερόληπτες εκτιμήσεις των παραμέτρων πληθυσμού ,S 2 , Spo δείγματα Α και Β (χρησιμοποιώντας τα αποτελέσματα που ελήφθησαν στην εργασία 3.1.), καθώς και την πρώτη στήλη του δείγματος Β. Δείγμα Α6 N = 73 Έναρξη πρώτου διαστήματος: 0 Μήκος διαστήματος: 1 Δείγμα Β6 N = 237 Έναρξη πρώτου διαστήματος: 285 Μήκος διαστήματος: 7 Επίλυση προβλήματος. Εργασία 3.1. Αρχικά, ας λύσουμε το πρόβλημα για το δείγμα Α. Βρίσκουμε: x min = 0 και x max = 11. Το εύρος (11 - 0 + 1 = 12) είναι αρκετά μικρό, επομένως θα συνθέσουμε μια σειρά παραλλαγών σύμφωνα με τις τιμές (Πίνακας 1). Τραπέζι 1 Υπολογίζουμε όλες τις σχετικές συχνότητες με την ίδια ακρίβεια. Κατά την κατασκευή γραφημάτων, απεικονίζουμε στον άξονα x τιμές από 0 έως 11 και στον άξονα n i / n - τιμές από 0 έως 0,25 (Εικ. 1 και 2). Ρύζι. 1. Πολύγωνο σειράς παραλλαγής του δείγματος Α Ρύζι. 2. Ιστόγραμμα της σειράς παραλλαγής του δείγματος Α. Βρίσκουμε την εμπειρική συνάρτηση κατανομής F * (x) χρησιμοποιώντας τον τύπο και τις συσσωρευμένες συχνότητες από τον πίνακα. 1. Έχουμε: Όταν σχεδιάζουμε το γράφημα F * (x), σχεδιάζουμε τις τιμές συνάρτησης στην περιοχή από 0 έως 1,2 (Εικ. 3). Εικ.3. Γράφημα της εμπειρικής συνάρτησης κατανομής του δείγματος Α. Ο υπολογισμός των αθροισμάτων για τον αριθμητικό μέσο όρο και τη διακύμανση χρησιμοποιώντας τύπους και σειρές μεταβολών (βλ. Πίνακα 1) παρουσιάζεται στον Πίνακα. 2. Με βάση τη μέγιστη συχνότητα, προσδιορίζουμε c = 7, και το βήμα του πίνακα k = 1.
.Χ
8 12 16 24
R
0,11 0,14 0,50 0,25
4
10
7
6
3
7
8
7
4
7
10
7
3
9
3
1
5
8
10
11
6
5
7
6
3
8
4
3
8
4
10
6
8
7
8
7
7
7
4
6
7
10
4
4
0
5
4
4
8
5
5
10
7
3
8
5
6
6
6
3
5
7
8
5
7
10
9
10
8
2
3
6
9
324
296
313
323
312
321
322
301
337
322
329
307
301
328
312
318
327
315
319
317
309
334
323
340
326
322
314
335
313
322
319
325
312
300
323
335
339
326
298
298
337
322
303
314
315
310
316
321
312
315
331
322
321
336
328
315
338
318
327
323
325
314
297
303
322
314
317
330
318
320
312
333
332
319
325
319
307
305
316
330
318
335
327
321
332
288
322
334
295
318
329
305
310
304
326
319
317
316
316
307
309
309
328
317
317
322
316
304
303
350
309
327
345
329
338
311
316
324
310
306
308
302
315
314
343
320
304
310
345
312
330
324
308
326
313
320
328
309
306
306
308
324
312
309
324
321
313
330
330
315
320
313
302
295
337
346
327
320
307
305
323
331
345
315
318
331
322
315
304
324
317
322
312
314
308
303
333
321
312
323
317
288
317
327
292
316
322
319
313
328
313
309
329
313
334
314
320
301
329
319
332
316
300
300
304
306
314
323
318
337
325
321
322
288
313
314
307
329
302
300
316
321
315
323
331
318
334
316
328
294
288
312
312
315
321
332
319
Τυπική απόκλιση 
Η λειτουργία Mo είναι η τιμή με τη μέγιστη συχνότητα, δηλ. Mo = 7. Η διάμεσος Me είναι η 37η τιμή της σειράς παραλλαγής: Me = 7.
Τώρα, χρησιμοποιώντας το δείγμα Β, θα βρούμε x min = 288 και x max = 350. Το εύρος (350 - 288 + 1 = 63) είναι αρκετά μεγάλο, επομένως θα συνθέσουμε μια σειρά παραλλαγών σύμφωνα με τα διαστήματα των τιμών, χρησιμοποιώντας το αρχή του πρώτου διαστήματος και το μήκος του διαστήματος που δίνεται κατά τη δειγματοληψία (Πίνακας 3).
Πίνακας 3
Ρύζι. 4. Πολύγωνο της σειράς παραλλαγής του δείγματος Β.
Ρύζι. 5. Ιστόγραμμα της σειράς παραλλαγής του δείγματος Β.
Κατά την κατασκευή γραφημάτων, σχεδιάζουμε κατά μήκος των τιμών του άξονα x από 285 έως 355 και κατά μήκος του άξονα n i / n - τιμές από 0 έως 0,3 (Εικ. 4 και 5).
Στη συνέχεια, λαμβάνουμε υπόψη ότι το τέλος κάθε διαστήματος λαμβάνεται ως αντιπροσωπευτικό. Λαμβάνοντας ως συντεταγμένες των σημείων τα άκρα των διαστημάτων και τις αντίστοιχες συσσωρευμένες συχνότητες (βλ. Πίνακα 3) και συνδέοντας αυτά τα σημεία με ευθείες γραμμές, θα κατασκευάσουμε ένα γράφημα της εμπειρικής συνάρτησης κατανομής (Εικ. 6).
Ρύζι. 6. Γράφημα της εμπειρικής συνάρτησης κατανομής του δείγματος Β.
Να υπολογίσετε τον αριθμητικό μέσο όρο και τη διακύμανση χρησιμοποιώντας τύπους και πίνακες. 3 ορίζουμε c = 316 και k = 7. Υπολογίζουμε τα ποσά χρησιμοποιώντας τον πίνακα. 4 (Πίνακας 4).
Χρησιμοποιώντας τύπους υπολογίζουμε τον αριθμητικό μέσο όρο 
και διακύμανση 227,8
Βρίσκουμε τη διάμεσο χρησιμοποιώντας τον τύπο: Me =.
Πρόβλημα 3.2.
Χρησιμοποιώντας τον τύπο, βρίσκουμε αμερόληπτες εκτιμήσεις της διακύμανσης και της τυπικής απόκλισης:
n = 73, S -2 = 5,8143, S 2 = 73/72×5,8143 = 5,8951, S = 2,43.
Για το δείγμα Β έχουμε
393,92, = 177,47, n = 237, S 2 = 237/236×177,47 = 178,222, S = 13,35.
Οι αμερόληπτες εκτιμήσεις για την πρώτη στήλη του δείγματος Β λαμβάνονται με παρόμοιο τρόπο (εάν αυτό το δείγμα περιέχει λίγα επαναλαμβανόμενα στοιχεία, η σειρά παραλλαγών δεν χρειάζεται να μεταγλωττιστεί).
Παράδειγμα 1. Στην πρώτη λάρνακα: τρεις κόκκινες, μία λευκές μπάλες. Στη δεύτερη λάρνακα: μία κόκκινη, τρεις άσπρες μπάλες. Ένα νόμισμα πετιέται τυχαία: αν είναι οικόσημο, επιλέγεται από την πρώτη λάρνακα, διαφορετικά από τη δεύτερη.
Λύση:
α) η πιθανότητα να κληρώθηκε μια κόκκινη μπάλα
Α - πήρε μια κόκκινη μπάλα
Ρ 1 – έπεσε το εθνόσημο, Ρ 2 – αλλιώς
β) Επιλέγεται η κόκκινη μπάλα. Βρείτε την πιθανότητα να έχει ληφθεί από την πρώτη λάρνακα από τη δεύτερη λάρνακα.
B 1 – από την πρώτη λάρνακα, B 2 – από τη δεύτερη λάρνακα
,
Παράδειγμα 2. Υπάρχουν 4 μπάλες σε ένα κουτί. Μπορεί να είναι: μόνο λευκό, μόνο μαύρο ή λευκό και μαύρο. (Άγνωστη σύνθεση).
Λύση:
Α – πιθανότητα εμφάνισης λευκής μπάλας
α) Ολόλευκα:
(η πιθανότητα να έχετε μία από τις τρεις επιλογές όπου υπάρχουν λευκές)
(πιθανότητα να εμφανιστεί μια λευκή μπάλα όπου όλοι είναι λευκοί)
β) Τραβηγμένο όπου όλοι είναι μαύροι
γ) έβγαλε την επιλογή όπου όλοι είναι λευκοί ή/και μαύροι
- Τουλάχιστον ένα από αυτά είναι λευκό
P a +P b +P c =
Παράδειγμα 3. Υπάρχουν 5 άσπρες και 4 μαύρες μπάλες σε μια τεφροδόχο. Βγάζουμε 2 μπάλες στη σειρά. Βρείτε την πιθανότητα και οι δύο μπάλες να είναι λευκές.
Λύση:
5 άσπρες, 4 μαύρες μπάλες
P(A 1) – η άσπρη μπάλα βγήκε έξω
P(A 2) – πιθανότητα η δεύτερη μπάλα να είναι επίσης λευκή
P(A) – λευκές μπάλες που επιλέγονται στη σειρά
Παράδειγμα 3α. Η συσκευασία περιέχει 2 πλαστά και 8 αληθινά χαρτονομίσματα. 2 χαρτονομίσματα βγήκαν από τη συσκευασία στη σειρά. Βρείτε την πιθανότητα να είναι και τα δύο ψεύτικα.
Λύση:
Ρ(2) = 2/10*1/9 = 1/45 = 0,022
Παράδειγμα 4. Υπάρχουν 10 κάδοι. Υπάρχουν 9 δοχεία με 2 μαύρες και 2 άσπρες μπάλες. Υπάρχουν 5 λευκά και 1 μαύρο σε 1 τεφροδόχο. Μια μπάλα τραβήχτηκε από μια λάρνακα που λήφθηκε τυχαία.
Λύση:
P(A) - ? μια λευκή μπάλα λαμβάνεται από μια τεφροδόχο που περιέχει 5 λευκά
B – πιθανότητα να τραβηχτείτε από τεφροδόχο που περιέχει 5 λευκά
, - βγαλμένο από άλλους
C 1 – πιθανότητα εμφάνισης λευκής μπάλας στο επίπεδο 9.
C 2 – πιθανότητα εμφάνισης λευκής μπάλας, όπου υπάρχουν 5 από αυτές
P(A 0)= P(B 1) P(C 1)+P(B 2) P(C 2)
Παράδειγμα 5. 20 κυλινδρικοί κύλινδροι και 15 κωνικοί. Ο επιλογέας παίρνει 1 κύλινδρο και μετά έναν άλλο.
Λύση:
α) και οι δύο κύλινδροι είναι κυλινδρικοί
P(C1)=; Ρ(Τς 2)=
C 1 – πρώτος κύλινδρος, C 2 – δεύτερος κύλινδρος
P(A)=P(Ts 1)P(Ts 2) =
β) Τουλάχιστον ένας κύλινδρος
Κ 1 – πρώτο κωνικό.
K 2 - δεύτερο σε σχήμα κώνου.
P(B)=P(Ts 1)P(K 2)+P(Ts 2)P(K 1)+P(Ts 1)P(Ts 2)
;
γ) τον πρώτο κύλινδρο, αλλά όχι τον δεύτερο
P(C)=P(C 1)P(K2)
ε) Ούτε ένας κύλινδρος.
P(D)=P(K 1)P(K 2)
ε) Ακριβώς 1 κύλινδρος
P(E)=P(C1)P(K2)+P(K1)P(K2)
Παράδειγμα 6. Υπάρχουν 10 τυπικά εξαρτήματα και 5 ελαττωματικά εξαρτήματα σε ένα κουτί.
Τρία μέρη σχεδιάζονται τυχαία
α) Ένα από αυτά είναι ελαττωματικό
P n (K)=C n k ·p k ·q n-k,
P – πιθανότητα ελαττωματικών προϊόντων
q – πιθανότητα τυπικών εξαρτημάτων
n=3, τρία μέρη
β) δύο από τα τρία μέρη είναι ελαττωματικά P(2)
γ) τουλάχιστον ένα πρότυπο
P(0) - κανένα ελαττωματικό
P=P(0)+ P(1)+ P(2) - πιθανότητα τουλάχιστον ένα μέρος να είναι τυπικό
Παράδειγμα 7. Το 1ο δοχείο περιέχει 3 άσπρες και μαύρες μπάλες και το 2ο δοχείο περιέχει 3 άσπρες και 4 μαύρες μπάλες. 2 μπάλες μεταφέρονται από την 1η λάρνακα στη 2η χωρίς να κοιτάξουμε και στη συνέχεια 2 μπάλες τραβήχτηκαν από την 2η. Ποια είναι η πιθανότητα να έχουν διαφορετικά χρώματα;
Λύση:
Όταν μετακινείτε μπάλες από την πρώτη λάρνακα, είναι δυνατές οι ακόλουθες επιλογές:
α) έβγαλε 2 λευκές μπάλες στη σειρά
P BB 1 =
Στο δεύτερο βήμα θα υπάρχει πάντα μία μπάλα λιγότερη, αφού στο πρώτο βήμα μια μπάλα είχε ήδη βγει έξω.
β) έβγαλε μια λευκή και μια μαύρη μπάλα
Η κατάσταση όταν κληρώνεται πρώτα η άσπρη μπάλα και μετά η μαύρη
P κεφαλή =
Η κατάσταση όταν κληρώθηκε πρώτα η μαύρη μπάλα και μετά η άσπρη
P BW =
Σύνολο: P κεφαλή 1 =
γ) έβγαλε 2 μαύρες μπάλες στη σειρά
P HH 1 =
Εφόσον 2 μπάλες μεταφέρθηκαν από την πρώτη λάρνακα στη δεύτερη λάρνακα, ο συνολικός αριθμός των σφαιρών στη δεύτερη λάρνακα θα είναι 9 (7 + 2). Κατά συνέπεια, θα αναζητήσουμε όλες τις πιθανές επιλογές:
α) πρώτα μια άσπρη και μετά μια μαύρη μπάλα αφαιρέθηκε από τη δεύτερη λάρνακα
P BB 2 P BB 1 - σημαίνει την πιθανότητα να τραβήχτηκε πρώτα μια άσπρη μπάλα και μετά μια μαύρη μπάλα, με την προϋπόθεση ότι έχουν τραβηχτεί 2 άσπρες μπάλες από την πρώτη λάρνακα στη σειρά. Γι' αυτό ο αριθμός των λευκών μπαλών σε αυτή την περίπτωση είναι 5 (3+2).
P BC 2 P BC 1 - σημαίνει την πιθανότητα να τραβήχτηκε πρώτα μια λευκή μπάλα και μετά μια μαύρη μπάλα, με την προϋπόθεση ότι οι άσπρες και οι μαύρες μπάλες έχουν τραβηχτεί από την πρώτη λάρνακα. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο ο αριθμός των λευκών μπαλών σε αυτή την περίπτωση είναι 4 (3+1), και ο αριθμός των μαύρων είναι πέντε (4+1).
P BC 2 P BC 1 - σημαίνει την πιθανότητα να τραβήχτηκε πρώτα μια λευκή μπάλα και μετά μια μαύρη μπάλα, με την προϋπόθεση ότι και οι δύο μαύρες μπάλες έχουν τραβηχτεί από την πρώτη λάρνακα στη σειρά. Γι' αυτό ο αριθμός των μαύρων μπαλών σε αυτή την περίπτωση είναι 6 (4+2).
Η πιθανότητα ότι 2 μπάλες που θα τραβηχτούν θα είναι διαφορετικών χρωμάτων είναι ίση με:
Απάντηση: P = 0,54
Παράδειγμα 7α. Από το 1ο δοχείο που περιείχε 5 άσπρες και 3 μαύρες μπάλες, 2 μπάλες μεταφέρθηκαν τυχαία στο 2ο δοχείο που περιείχε 2 άσπρες και 6 μαύρες μπάλες. Στη συνέχεια τραβήχτηκε 1 μπάλα τυχαία από το 2ο δοχείο.
1) Ποια είναι η πιθανότητα η μπάλα που τραβήχτηκε από τη 2η λάρνακα να είναι λευκή;
2) Η μπάλα που πάρθηκε από τη 2η τεφροδόχο αποδείχθηκε άσπρη. Υπολογίστε την πιθανότητα οι μπάλες διαφορετικών χρωμάτων να μετακινήθηκαν από την 1η λάρνακα στη 2η.
Λύση.
1) Γεγονός Α - η μπάλα που τραβήχτηκε από τη 2η λάρνακα αποδεικνύεται λευκή. Ας εξετάσουμε τις ακόλουθες επιλογές για την εμφάνιση αυτού του συμβάντος.
α) Δύο άσπρες μπάλες τοποθετήθηκαν από την πρώτη λάρνακα στη δεύτερη: P1(bb) = 5/8*4/7 = 20/56.
Υπάρχουν συνολικά 4 λευκές μπάλες στη δεύτερη λάρνακα. Τότε η πιθανότητα να τραβήξετε μια λευκή μπάλα από τη δεύτερη λάρνακα είναι P2(4) = 20/56*(2+2)/(6+2) = 80/448
β) Λευκές και μαύρες μπάλες τοποθετήθηκαν από την πρώτη λάρνακα στη δεύτερη: P1(bch) = 5/8*3/7+3/8*5/7 = 30/56.
Υπάρχουν συνολικά 3 λευκές μπάλες στη δεύτερη λάρνακα. Τότε η πιθανότητα να τραβήξετε μια λευκή μπάλα από τη δεύτερη λάρνακα είναι P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
γ) Δύο μαύρες μπάλες τοποθετήθηκαν από την πρώτη λάρνακα στη δεύτερη: P1(hh) = 3/8*2/7 = 6/56.
Υπάρχουν συνολικά 2 λευκές μπάλες στη δεύτερη λάρνακα. Τότε η πιθανότητα να τραβήξετε μια λευκή μπάλα από τη δεύτερη λάρνακα είναι P2(2) = 6/56*2/(6+2) = 12/448
Τότε η πιθανότητα η μπάλα που τραβήχτηκε από τη 2η λάρνακα να είναι λευκή είναι:
P(A) = 80/448 + 90/448 + 12/448 = 13/32
2) Η μπάλα που πάρθηκε από τη 2η λάρνακα αποδείχθηκε άσπρη, δηλ. η συνολική πιθανότητα είναι P(A)=13/32.
Πιθανότητα ότι μπάλες διαφορετικών χρωμάτων (ασπρόμαυρα) τοποθετήθηκαν στο δεύτερο δοχείο και επιλέχθηκε το λευκό: P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
P = P2(3)/ P(A) = 90/448 / 13/32 = 45/91
Παράδειγμα 7β. Το πρώτο δοχείο περιέχει 8 άσπρες και 3 μαύρες μπάλες, το δεύτερο δοχείο περιέχει 5 άσπρες και 3 μαύρες μπάλες. Μία μπάλα επιλέγεται τυχαία από την πρώτη και δύο μπάλες από τη δεύτερη. Μετά από αυτό, μια μπάλα λαμβάνεται τυχαία από τις τρεις επιλεγμένες μπάλες. Αυτή η τελευταία μπάλα αποδείχθηκε μαύρη. Βρείτε την πιθανότητα να βγει μια λευκή μπάλα από την πρώτη λάρνακα.
Λύση.
Ας εξετάσουμε όλες τις παραλλαγές του γεγονότος Α - από τις τρεις μπάλες, η κληρωμένη μπάλα αποδεικνύεται μαύρη. Πώς θα μπορούσε ανάμεσα στις τρεις μπάλες να υπάρχει μια μαύρη;
α) Μια μαύρη μπάλα πάρθηκε από την πρώτη λάρνακα και δύο λευκές μπάλες από τη δεύτερη.
P1 = (3/11)(5/8*4/7) = 15/154
β) Μια μαύρη μπάλα πάρθηκε από την πρώτη λάρνακα, δύο μαύρες μπάλες πήραν από τη δεύτερη λάρνακα.
P2 = (3/11) (3/8*2/7) = 9/308
γ) Από την πρώτη λάρνακα λήφθηκε μια μαύρη μπάλα, από τη δεύτερη λάρνακα μια άσπρη και μια μαύρη.
P3 = (3/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 45/308
δ) Από την πρώτη λάρνακα λήφθηκε μια λευκή μπάλα και από τη δεύτερη λάρνακα δύο μαύρες μπάλες.
P4 = (8/11)(3/8*2/7) = 6/77
ε) Από την πρώτη λάρνακα λήφθηκε μια λευκή μπάλα, από τη δεύτερη λάρνακα μια λευκή και μια μαύρη.
P5 = (8/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 30/77
Η συνολική πιθανότητα είναι: P = P1+P2+ P3+P4+P5 = 15/154+9/308+45/308+6/77+30/77 = 57/77
Η πιθανότητα να τραβηχτεί μια λευκή μπάλα από μια λευκή λάρνακα είναι:
Pb(1) = P4 + P5 = 6/77+30/77 = 36/77
Τότε η πιθανότητα να επιλέχθηκε μια λευκή μπάλα από την πρώτη λάρνακα, δεδομένου ότι μια μαύρη μπάλα επιλέχθηκε από τρεις μπάλες, είναι ίση με:
Pch = Pb(1)/P = 36/77 / 57/77 = 36/57
Παράδειγμα 7γ. Το πρώτο δοχείο περιέχει 12 άσπρες και 16 μαύρες μπάλες, το δεύτερο δοχείο περιέχει 8 άσπρες και 10 μαύρες μπάλες. Ταυτόχρονα, μια μπάλα τραβιέται από την 1η και τη 2η λάρνακα, αναμειγνύεται και επιστρέφεται μία σε κάθε δοχείο. Στη συνέχεια, μια μπάλα τραβιέται από κάθε τεφροδόχο. Αποδείχτηκε ότι είχαν το ίδιο χρώμα. Προσδιορίστε την πιθανότητα να έχουν μείνει τόσες άσπρες μπάλες στην 1η λάρνακα όσες υπήρχαν στην αρχή.
Λύση.
Γεγονός Α - μια μπάλα τραβιέται ταυτόχρονα από την 1η και τη 2η λάρνακα.
Πιθανότητα τραβήγματος λευκής μπάλας από την πρώτη λάρνακα: P1(B) = 12/(12+16) = 12/28 = 3/7
Πιθανότητα να τραβήξετε μια μαύρη μπάλα από την πρώτη λάρνακα: P1(H) = 16/(12+16) = 16/28 = 4/7
Πιθανότητα να τραβήξετε μια λευκή μπάλα από τη δεύτερη λάρνακα: P2(B) = 8/18 = 4/9
Πιθανότητα να τραβήξετε μια μαύρη μπάλα από τη δεύτερη λάρνακα: P2(H) = 10/18 = 5/9
Το συμβάν Α συνέβη. Γεγονός Β - μια μπάλα τραβιέται από κάθε λάρνακα. Μετά το ανακάτεμα, η πιθανότητα να επιστρέψει μια λευκή ή μαύρη μπάλα στο δοχείο είναι ½.
Ας εξετάσουμε τις επιλογές για το συμβάν Β - αποδείχθηκαν το ίδιο χρώμα.
Για την πρώτη λάρνακα
1) τοποθετήθηκε μια άσπρη μπάλα στην πρώτη λάρνακα και τραβήχτηκε μια άσπρη μπάλα, με την προϋπόθεση ότι είχε τραβηχτεί προηγουμένως μια λευκή μπάλα, P1(BB/A=B) = ½ * 12/28 * 3/7 = 9/98
2) τοποθετήθηκε μια λευκή μπάλα στην πρώτη λάρνακα και μια άσπρη μπάλα τραβήχτηκε έξω, με την προϋπόθεση ότι μια μαύρη μπάλα είχε τραβήξει νωρίτερα, P1(BB/A=H) = ½ * 13/28 * 4/7 = 13/ 98
3) μια άσπρη μπάλα τοποθετήθηκε στην πρώτη λάρνακα και μια μαύρη τραβήχτηκε έξω, με την προϋπόθεση ότι μια λευκή μπάλα είχε τραβήξει νωρίτερα, P1(BC/A=B) = ½ * 16/28 * 3/7 = 6/ 49
4) μια άσπρη μπάλα τοποθετήθηκε στην πρώτη λάρνακα και μια μαύρη τραβήχτηκε έξω, με την προϋπόθεση ότι μια μαύρη μπάλα είχε τραβήξει νωρίτερα, P1(BC/A=H) = ½ * 15/28 * 4/7 = 15/ 98
5) μια μαύρη μπάλα τοποθετήθηκε στην πρώτη λάρνακα και τραβήχτηκε μια άσπρη μπάλα, με την προϋπόθεση ότι είχε τραβηχτεί προηγουμένως μια λευκή μπάλα, P1(BW/A=B) = ½ * 11/28 * 3/7 = 33/392
6) μια μαύρη μπάλα τοποθετήθηκε στην πρώτη λάρνακα και μια λευκή μπάλα τραβήχτηκε έξω, με την προϋπόθεση ότι μια μαύρη μπάλα είχε τραβήξει νωρίτερα, P1(BW/A=H) = ½ * 12/28 * 4/7 = 6/ 49
7) μια μαύρη μπάλα τοποθετήθηκε στην πρώτη λάρνακα και μια μαύρη τραβήχτηκε έξω, με την προϋπόθεση ότι μια λευκή μπάλα είχε τραβήξει νωρίτερα, P1(HH/A=B) = ½ * 17/28 * 3/7 = 51/ 392
8) μια μαύρη μπάλα τοποθετήθηκε στην πρώτη λάρνακα και μια μαύρη τραβήχτηκε έξω, με την προϋπόθεση ότι μια μαύρη μπάλα είχε τραβηχτεί νωρίτερα, P1(HH/A=H) = ½ * 16/28 * 4/7 = 8/49
Για τη δεύτερη τεφροδόχο
1) τοποθετήθηκε μια άσπρη μπάλα στην πρώτη λάρνακα και τραβήχτηκε μια άσπρη μπάλα, με την προϋπόθεση ότι είχε τραβηχτεί προηγουμένως μια λευκή μπάλα, P1(BB/A=B) = ½ * 8/18 * 3/7 = 2/21
2) μια άσπρη μπάλα τοποθετήθηκε στην πρώτη λάρνακα και μια λευκή μπάλα τραβήχτηκε έξω, με την προϋπόθεση ότι μια μαύρη μπάλα είχε τραβήξει νωρίτερα, P1(BB/A=H) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/ 7
3) μια άσπρη μπάλα τοποθετήθηκε στην πρώτη λάρνακα και μια μαύρη τραβήχτηκε έξω, με την προϋπόθεση ότι μια λευκή μπάλα είχε τραβήξει νωρίτερα, P1(BC/A=B) = ½ * 10/18 * 3/7 = 5/ 42
4) μια άσπρη μπάλα τοποθετήθηκε στην πρώτη λάρνακα και μια μαύρη τραβήχτηκε έξω, με την προϋπόθεση ότι μια μαύρη μπάλα είχε τραβηχτεί νωρίτερα, P1(BC/A=H) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/ 7
5) μια μαύρη μπάλα τοποθετήθηκε στην πρώτη λάρνακα και μια άσπρη μπάλα τραβήχτηκε έξω, με την προϋπόθεση ότι μια λευκή μπάλα είχε τραβήξει νωρίτερα, P1(BW/A=B) = ½ * 7/18 * 3/7 = 1/ 12
6) μια μαύρη μπάλα τοποθετήθηκε στην πρώτη λάρνακα και μια λευκή μπάλα τραβήχτηκε έξω, με την προϋπόθεση ότι μια μαύρη μπάλα είχε τραβήξει νωρίτερα, P1(BW/A=H) = ½ * 8/18 * 4/7 = 8/ 63
7) μια μαύρη μπάλα τοποθετήθηκε στην πρώτη λάρνακα και μια μαύρη τραβήχτηκε έξω, με την προϋπόθεση ότι μια λευκή μπάλα είχε τραβήξει νωρίτερα, P1(HH/A=B) = ½ * 11/18 * 3/7 = 11/ 84
8) μια μαύρη μπάλα τοποθετήθηκε στην πρώτη λάρνακα και μια μαύρη τραβήχτηκε, με την προϋπόθεση ότι μια μαύρη μπάλα είχε τραβηχτεί νωρίτερα, P1(HH/A=H) = ½ * 10/18 * 4/7 = 10/63
Οι μπάλες αποδείχτηκαν στο ίδιο χρώμα:
ένα άσπρο
P1(B) = P1(BB/A=B) + P1(BB/A=B) + P1(BW/A=B) + P1(BW/A=B) = 9/98 + 13/98 + 33 /392 + 6/49 = 169/392
P2(B) = P1(BB/A=B) + P1(BB/A=B) + P1(BW/A=B) + P1(BW/A=B) = 2/21+1/7+1 /12+8/63 = 113/252
β) μαύρο
P1(H) = P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) + P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) = 6/49 + 15/98 + 51 /392 + 8/49 = 223/392
P2(H) = P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) + P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) =5/42+1/7+11 /84+10/63 = 139/252
P = P1(B)* P2(B) + P1(H)* P2(H) = 169/392*113/252 + 223/392*139/252 = 5/42
Παράδειγμα 7δ. Το πρώτο κουτί περιέχει 5 λευκές και 4 μπλε μπάλες, το δεύτερο περιέχει 3 και 1 και το τρίτο περιέχει 4 και 5, αντίστοιχα. Ένα κουτί επιλέχθηκε τυχαία και μια μπάλα που βγήκε από αυτό αποδείχθηκε μπλε. Ποια είναι η πιθανότητα αυτή η μπάλα να είναι από το δεύτερο κουτί;
Λύση.
Α - εκδήλωση σχεδίασης μιας μπλε μπάλας. Ας εξετάσουμε όλα τα πιθανά αποτελέσματα ενός τέτοιου γεγονότος.
H1 - η μπάλα που τραβήχτηκε από το πρώτο κουτί,
H2 - η μπάλα τραβήχτηκε από το δεύτερο κουτί,
H3 - μια μπάλα τραβηγμένη από το τρίτο κουτί.
Ρ(Η1) = Ρ(Η2) = Ρ(Η3) = 1/3
Σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος, οι υπό όρους πιθανότητες του γεγονότος Α είναι ίσες με:
Ρ(Α|Η1) = 4/(5+4) = 4/9
P(A|H2) = 1/(3+1) = 1/4
Ρ(Α|Η3) = 5/(4+5) = 5/9
P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 1/3*4/9 + 1 /3*1/4 + 1/3*5/9 = 5/12
Η πιθανότητα αυτή η μπάλα να είναι από το δεύτερο κουτί είναι:
P2 = P(H2)*P(A|H2) / P(A) = 1/3*1/4 / 5/12 = 1/5 = 0,2
Παράδειγμα 8. Πέντε κουτιά με 30 μπάλες το καθένα περιέχουν 5 κόκκινες μπάλες (αυτό είναι ένα κουτί σύνθεσης Η1), άλλα έξι κουτιά με 20 μπάλες το καθένα περιέχουν 4 κόκκινες μπάλες (αυτό είναι ένα κουτί σύνθεσης Η2). Βρείτε την πιθανότητα μια κόκκινη μπάλα που λαμβάνεται τυχαία να περιέχεται σε ένα από τα πρώτα πέντε κουτιά.
Λύση: Το πρόβλημα είναι να εφαρμοστεί ο τύπος συνολικής πιθανότητας.
Ρ(Η 1) = 5/11
Η πιθανότητα ότι όποιοςη ληφθείσα μπάλα περιέχεται σε ένα από τα έξι κουτιά:
Ρ(Η2) = 6/11
Το γεγονός συνέβη - η κόκκινη μπάλα τραβήχτηκε έξω. Επομένως, αυτό μπορεί να συμβεί σε δύο περιπτώσεις:
α) τραβήχτηκε από τα πρώτα πέντε κουτιά.
P 5 = 5 κόκκινες μπάλες * 5 κουτιά / (30 μπάλες * 5 κουτιά) = 1/6
Ρ(Ρ5/Η1) = 1/6 * 5/11 = 5/66
β) τραβηγμένο από άλλα έξι κουτιά.
P 6 = 4 κόκκινες μπάλες * 6 κουτιά / (20 μπάλες * 6 κουτιά) = 1/5
Ρ(Ρ6/Η2) = 1/5 * 6/11 = 6/55
Σύνολο: P(P 5 /H 1) + P(P 6 /H 2) = 5/66 + 6/55 = 61/330
Επομένως, η πιθανότητα μια κόκκινη μπάλα που σύρεται τυχαία να περιέχεται σε ένα από τα πέντε πρώτα κουτιά είναι:
P k.sh. (H1) = P(P 5 /H 1) / (P(P 5 /H 1) + P(P 6 /H 2)) = 5/66 / 61/330 = 25/61
Παράδειγμα 9. Η λάρνακα περιέχει 2 άσπρες, 3 μαύρες και 4 κόκκινες μπάλες. Τρεις μπάλες κληρώνονται τυχαία. Ποια είναι η πιθανότητα τουλάχιστον δύο μπάλες να έχουν το ίδιο χρώμα;
Λύση. Υπάρχουν τρία πιθανά αποτελέσματα:
α) ανάμεσα στις τρεις κληρωμένες μπάλες υπήρχαν τουλάχιστον δύο λευκές.
P b (2) = P 2b
Ο συνολικός αριθμός των πιθανών στοιχειωδών αποτελεσμάτων για αυτά τα τεστ είναι ίσος με τον αριθμό των τρόπων με τους οποίους μπορούν να εξαχθούν 3 μπάλες από 9:
Ας βρούμε την πιθανότητα από τις 3 επιλεγμένες μπάλες, οι 2 να είναι λευκές.
Αριθμός επιλογών για να διαλέξετε από 2 λευκές μπάλες:
Αριθμός επιλογών για να επιλέξετε από 7 άλλες μπάλες τρίτη μπάλα:
β) ανάμεσα στις τρεις κληρωμένες μπάλες υπήρχαν τουλάχιστον δύο μαύρες (δηλαδή είτε 2 μαύρες είτε 3 μαύρες).
Ας βρούμε την πιθανότητα ότι από τις 3 επιλεγμένες μπάλες, οι 2 είναι μαύρες.
Αριθμός επιλογών για να διαλέξετε από 3 μαύρες μπάλες:
Αριθμός επιλογών για να επιλέξετε από 6 άλλες μπάλες μιας μπάλας:
P 2h = 0,214
Ας βρούμε την πιθανότητα όλες οι επιλεγμένες μπάλες να είναι μαύρες.
P h (2) = 0,214+0,0119 = 0,2259
γ) ανάμεσα στις τρεις κληρωμένες μπάλες υπήρχαν τουλάχιστον δύο κόκκινες (δηλαδή είτε 2 κόκκινες είτε 3 κόκκινες).
Ας βρούμε την πιθανότητα ότι από τις 3 επιλεγμένες μπάλες, οι 2 είναι κόκκινες.
Αριθμός επιλογών για να διαλέξετε από 4 μαύρες μπάλες:
Αριθμός επιλογών για να διαλέξετε: 5 άσπρες μπάλες, υπόλοιπη 1 άσπρη:
Ας βρούμε την πιθανότητα όλες οι επιλεγμένες μπάλες να είναι κόκκινες.
P έως (2) = 0,357 + 0,0476 = 0,4046
Τότε η πιθανότητα τουλάχιστον δύο μπάλες να έχουν το ίδιο χρώμα είναι ίση με: P = P b (2) + P h (2) + P k (2) = 0,0833 + 0,2259 + 0,4046 = 0,7138
Παράδειγμα 10. Η πρώτη λάρνακα περιέχει 10 μπάλες, 7 από αυτές λευκές. Η δεύτερη λάρνακα περιέχει 20 μπάλες, 5 από τις οποίες είναι λευκές. Μια μπάλα τραβιέται τυχαία από κάθε τεφροδόχο και στη συνέχεια μια μπάλα τραβιέται τυχαία από αυτές τις δύο μπάλες. Βρείτε την πιθανότητα να τραβηχτεί η λευκή μπάλα.
Λύση. Η πιθανότητα να τραβηχτεί μια λευκή μπάλα από την πρώτη λάρνακα είναι P(b)1 = 7/10. Αντίστοιχα, η πιθανότητα να σχεδιάσουμε μια μαύρη μπάλα είναι P(h)1 = 3/10.
Η πιθανότητα να τραβηχτεί μια λευκή μπάλα από τη δεύτερη λάρνακα είναι P(b)2 = 5/20 = 1/4. Αντίστοιχα, η πιθανότητα να σχεδιάσουμε μια μαύρη μπάλα είναι P(h)2 = 15/20 = 3/4.
Γεγονός Α - μια λευκή μπάλα λαμβάνεται από δύο μπάλες
Ας εξετάσουμε την πιθανή έκβαση του γεγονότος Α.
- Μια άσπρη μπάλα τραβήχτηκε από την πρώτη λάρνακα και μια λευκή μπάλα από τη δεύτερη. Στη συνέχεια από αυτές τις δύο μπάλες τραβήχτηκε μια λευκή μπάλα. P1 = 7/10*1/4 = 7/40
- Μια άσπρη μπάλα τραβήχτηκε από την πρώτη λάρνακα και μια μαύρη μπάλα από τη δεύτερη. Στη συνέχεια από αυτές τις δύο μπάλες τραβήχτηκε μια λευκή μπάλα. P2 = 7/10*3/4 = 21/40
- Μια μαύρη μπάλα τραβήχτηκε από την πρώτη λάρνακα και μια λευκή μπάλα από τη δεύτερη. Στη συνέχεια από αυτές τις δύο μπάλες τραβήχτηκε μια λευκή μπάλα. P3 = 3/10*1/4 = 3/40
P = P1 + P2 + P3 = 7/40 + 21/40 + 3/40 = 31/40
Παράδειγμα 11. Υπάρχουν n μπάλες τένις στο κουτί. Από αυτά παίχτηκαν μ. Για το πρώτο παιχνίδι, δύο μπάλες ελήφθησαν τυχαία και επανατοποθετήθηκαν μετά το παιχνίδι. Για το δεύτερο παιχνίδι πήραμε επίσης δύο μπάλες τυχαία. Ποια είναι η πιθανότητα το δεύτερο παιχνίδι να γίνει με νέες μπάλες;
Λύση. Σκεφτείτε το γεγονός Α - το παιχνίδι παίχτηκε για δεύτερη φορά με νέες μπάλες. Ας δούμε ποια γεγονότα μπορούν να οδηγήσουν σε αυτό.
Ας συμβολίσουμε με g = n-m τον αριθμό των νέων μπαλών πριν τραβήξουν έξω.
α) για το πρώτο παιχνίδι βγήκαν δύο νέες μπάλες.
P1 = g/n*(g-1)/(n-1) = g(g-1)/(n(n-1))
β) για το πρώτο παιχνίδι, έβγαλαν μία νέα μπάλα και μία ήδη έπαιξε μία.
P2 = g/n*m/(n-1) + m/n*g/(n-1) = 2mg/(n(n-1))
γ) για το πρώτο παιχνίδι, δύο μπάλες που παίχτηκαν βγήκαν έξω.
P3 = m/n*(m-1)/(n-1) = m(m-1)/(n(n-1))
Ας δούμε τα γεγονότα του δεύτερου αγώνα.
α) Τραβήχτηκαν δύο νέες μπάλες, υπό την προϋπόθεση P1: αφού νέες μπάλες είχαν ήδη κληρωθεί για το πρώτο παιχνίδι, τότε για το δεύτερο παιχνίδι ο αριθμός τους μειώθηκε κατά 2, g-2.
P(A/P1) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)*P1 = (g-2)/n*(g-2-1)/(n- 1)*g(g-1)/(n(n-1))
β) Τραβήχτηκαν δύο νέες μπάλες, υπό την προϋπόθεση P2: αφού μια νέα μπάλα είχε ήδη κληρωθεί για το πρώτο παιχνίδι, τότε για το δεύτερο παιχνίδι ο αριθμός τους μειώθηκε κατά 1, g-1.
P(A/P2) =(g-1)/n*(g-2)/(n-1)*P2 = (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2 mg /(n(n-1))
γ) Κλήθηκαν δύο νέες μπάλες, υπό την προϋπόθεση P3: δεδομένου ότι προηγουμένως δεν χρησιμοποιήθηκαν νέες μπάλες για το πρώτο παιχνίδι, ο αριθμός τους δεν άλλαξε για το δεύτερο παιχνίδι g.
P(A/P3) = g/n*(g-1)/(n-1)*P3 = g/n*(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n (n-1))
Συνολική πιθανότητα P(A) = P(A/P1) + P(A/P2) + P(A/P3) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)* g(g-1)/(n(n-1)) + (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg/(n(n-1)) + g/n *(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n(n-1)) = (n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/(( n-1)^2*n^2)
Απάντηση: P(A)=(n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/((n-1)^2*n^2)
Παράδειγμα 12. Το πρώτο, το δεύτερο και το τρίτο κουτί περιέχουν 2 άσπρες και 3 μαύρες μπάλες, το τέταρτο και το πέμπτο κουτί περιέχουν 1 άσπρη και 1 μαύρη μπάλα. Επιλέγεται τυχαία ένα κουτί και από αυτό τραβιέται μια μπάλα. Ποια είναι η υπό όρους πιθανότητα να επιλεγεί το τέταρτο ή το πέμπτο κουτί εάν η μπάλα που κληρώθηκε είναι λευκή;
Λύση.
Η πιθανότητα επιλογής κάθε κουτιού είναι P(H) = 1/5.
Ας εξετάσουμε τις υπό όρους πιθανότητες του γεγονότος Α - σχεδίαση της λευκής μπάλας.
P(A|H=1) = 2/5
P(A|H=2) = 2/5
P(A|H=3) = 2/5
P(A|H=4) = ½
P(A|H=5) = ½
Συνολική πιθανότητα να σχεδιάσετε μια λευκή μπάλα:
P(A) = 2/5*1/5 + 2/5*1/5 +2/5*1/5 +1/2*1/5 +1/2*1/5 = 0,44
Υπό όρους πιθανότητα να έχει επιλεγεί το τέταρτο πλαίσιο
P(H=4|A) = 1/2*1/5 / 0,44 = 0,2273
Υπό όρους πιθανότητα να έχει επιλεγεί το πέμπτο πλαίσιο
P(H=5|A) = 1/2*1/5 / 0,44 = 0,2273
Συνολικά, η υπό όρους πιθανότητα να επιλεγεί το τέταρτο ή το πέμπτο πλαίσιο είναι
P(H=4, H=5|A) = 0,2273 + 0,2273 = 0,4546
Παράδειγμα 13. Στην τεφροδόχο υπήρχαν 7 λευκές και 4 κόκκινες μπάλες. Έπειτα έβαζαν στη λάρνακα άλλη μια μπάλα λευκού ή κόκκινου ή μαύρου χρώματος και μετά την ανάμειξη έβγαζαν μια μπάλα. Αποδείχθηκε ότι ήταν κόκκινο. Ποια είναι η πιθανότητα α) να τοποθετήθηκε κόκκινη μπάλα; β) μαύρη μπάλα;
Λύση.
α) κόκκινη μπάλα
Γεγονός Α - κληρώνεται η κόκκινη μπάλα. Γεγονός Η - τοποθετείται η κόκκινη μπάλα. Πιθανότητα ότι μια κόκκινη μπάλα τοποθετήθηκε στη λάρνακα P(H=K) = 1 / 3
Τότε P(A|H=K)= 1 / 3 * 5 / 12 = 5 / 36 = 0,139
β) μαύρη μπάλα
Γεγονός Α - κληρώνεται η κόκκινη μπάλα. Γεγονός Η - τοποθετείται μια μαύρη μπάλα.
Πιθανότητα να τοποθετήθηκε μαύρη μπάλα στην λάρνακα P(H=H) = 1/3
Τότε P(A|H=H)= 1 / 3 * 4 / 12 = 1 / 9 = 0,111
Παράδειγμα 14. Υπάρχουν δύο δοχεία με μπάλες. Το ένα έχει 10 κόκκινες και 5 μπλε μπάλες, το δεύτερο έχει 5 κόκκινες και 7 μπλε μπάλες. Ποια είναι η πιθανότητα μια κόκκινη μπάλα να τραβηχτεί τυχαία από την πρώτη λάρνακα και μια μπλε μπάλα από τη δεύτερη;
Λύση.Αφήστε το γεγονός Α1 να είναι μια κόκκινη μπάλα που βγαίνει από την πρώτη λάρνακα. A2 - μια μπλε μπάλα τραβιέται από τη δεύτερη λάρνακα:
,
Τα γεγονότα Α1 και Α2 είναι ανεξάρτητα. Η πιθανότητα της κοινής εμφάνισης των γεγονότων Α1 και Α2 είναι ίση με
Παράδειγμα 15. Υπάρχει μια τράπουλα (36 τεμάχια). Δύο φύλλα τραβιούνται τυχαία στη σειρά. Ποια είναι η πιθανότητα και τα δύο χαρτιά που θα τραβηχτούν να είναι κόκκινα;
Λύση.Αφήστε το γεγονός Α 1 να είναι η πρώτη κόκκινη κάρτα. Γεγονός A 2 - η δεύτερη κόκκινη κάρτα που κληρώθηκε. Β - και τα δύο φύλλα που βγήκαν είναι κόκκινα. Εφόσον πρέπει να συμβεί και το συμβάν A 1 και το συμβάν A 2, τότε B = A 1 · A 2 . Τα γεγονότα A 1 και A 2 εξαρτώνται, επομένως, P(B):
,
Από εδώ
Παράδειγμα 16. Δύο δοχεία περιέχουν μπάλες που διαφέρουν μόνο στο χρώμα, και στην πρώτη λάρνακα υπάρχουν 5 άσπρες μπάλες, 11 μαύρες και 8 κόκκινες μπάλες και στη δεύτερη 10, 8, 6 μπάλες, αντίστοιχα. Μια μπάλα τραβιέται τυχαία και από τα δύο δοχεία. Ποια είναι η πιθανότητα και οι δύο μπάλες να έχουν το ίδιο χρώμα;
Λύση.Έστω ο δείκτης 1 σημαίνει λευκό, ο δείκτης 2 σημαίνει μαύρος. 3 - κόκκινο χρώμα. Έστω το γεγονός A i ότι μια μπάλα του i-ου χρώματος έχει σχεδιαστεί από την πρώτη λάρνακα. γεγονός B j - μια μπάλα χρώματος j τραβιέται από τη δεύτερη λάρνακα. γεγονός Α - και οι δύο μπάλες έχουν το ίδιο χρώμα.
A = A 1 · B 1 + A 2 · B 2 + A 3 · B 3. Τα γεγονότα A i και B j είναι ανεξάρτητα και τα A i · B i και A j · B j είναι ασύμβατα για το i ≠ j. Ως εκ τούτου,
P(A)=P(A 1) P(B 1)+P(A 2) P(B 2)+P(A 3) P(B 3) =
Παράδειγμα 17. Από μια λάρνακα με 3 άσπρες και 2 μαύρες μπάλες, σύρονται μπάλες μία κάθε φορά μέχρι να εμφανιστεί το μαύρο. Βρείτε την πιθανότητα να τραβηχτούν 3 μπάλες από το δοχείο; 5 μπάλες;
Λύση.
1) η πιθανότητα να τραβηχτούν 3 μπάλες από την λάρνακα (δηλαδή η τρίτη μπάλα θα είναι μαύρη και οι δύο πρώτες θα είναι λευκές).
P=3/5*2/4*2/3=1/5
2) η πιθανότητα να τραβηχτούν 5 μπάλες από το δοχείο
Αυτή η κατάσταση δεν είναι δυνατή, γιατί μόνο 3 άσπρες μπάλες.
P=0
Ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας ανάγει την έννοια της πιθανότητας στην έννοια της ισοπιθανότητας (ίσης πιθανότητας) των γεγονότων, η οποία θεωρείται βασική και δεν υπόκειται σε επίσημο ορισμό. Αυτός ο ορισμός ισχύει σε περιπτώσεις όπου είναι δυνατός ο εντοπισμός μιας ολοκληρωμένης ομάδας ασυμβίβαστων και εξίσου πιθανών γεγονότων - στοιχειωδών αποτελεσμάτων. Για παράδειγμα, σκεφτείτε ένα δοχείο με μπάλες.
Αφήστε μια λάρνακα να περιέχει 7 πανομοιότυπες, καλά ανακατεμένες μπάλες, 2 από αυτές κόκκινες, 1 μπλε και 4 λευκές. Το τεστ θα αποτελείται από τη λήψη μιας μπάλας τυχαία από μια τεφροδόχο. Κάθε γεγονός που μπορεί να συμβεί σε μια δοκιμή είναι ένα στοιχειώδες αποτέλεσμα. Σε αυτό το παράδειγμα, υπάρχουν επτά στοιχειώδη αποτελέσματα, τα οποία θα επισημάνουμε μι 1 , μι 2 ,..., μι 7. Αποτελέσματα μι 1 , μι 2 - η εμφάνιση μιας κόκκινης μπάλας, μι 3 - η εμφάνιση μιας μπλε μπάλας, μι 4 , μι 5 , μι 6 , μι 7 - η εμφάνιση μιας λευκής μπάλας. Στα γεγονότα του παραδείγματός μας μι 1 , μι 2 ,... μι 7 - ασύμβατο κατά ζεύγη. Επιπλέον, είναι επίσης εξίσου δυνατά σε αυτό το τεστ. Αφήστε το γεγονός ΕΝΑέγκειται στο γεγονός ότι μια μπάλα που λαμβάνεται τυχαία από μια λάρνακα αποδεικνύεται έγχρωμη (κόκκινη ή μπλε).
Αυτά τα στοιχειώδη αποτελέσματα στα οποία το γεγονός μας ενδιαφέρει ΕΝΑέρχεται, καλούν ευνοϊκά αποτελέσματα Εκδήλωση ΕΝΑ. Στο παράδειγμά μας, αποτελέσματα ευνοϊκά για το συμβάν ΕΝΑ, είναι τα αποτελέσματα μι 1 , μι 2 και μι 3. Λογικό ως μέτρο της πιθανότητας να συμβεί ένα γεγονός ΕΝΑ, δηλαδή οι πιθανότητες R(ΕΝΑ), πάρτε έναν αριθμό ίσο με την αναλογία των ευνοϊκών αποτελεσμάτων για την εμφάνιση του γεγονότος ΕΝΑ,στον αριθμό όλων των πιθανών αποτελεσμάτων. Στο παράδειγμά μας
RΤο παράδειγμα που εξετάσαμε μας οδήγησε στον ορισμό της πιθανότητας, που συνήθως ονομάζεται κλασσικός .
Πιθανότητα του συμβάντος ΕΝΑκαλέστε την αναλογία αριθμών Μαποτελέσματα ευνοϊκά για αυτό το γεγονός στο συνολικό αριθμό nΟλοι στοιχειώδη αποτελέσματα:
R(ΕΝΑ) = . (1.4.4)
Ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας χρησιμεύει ως καλό μαθηματικό μοντέλο για εκείνα τα τυχαία πειράματα στα οποία ο αριθμός των αποτελεσμάτων είναι πεπερασμένος και τα ίδια τα αποτελέσματα είναι εξίσου πιθανά.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2. Τα ζάρια ρίχνονται. Βρείτε την πιθανότητα ότι δεν θα κυλιστούν περισσότερα από τέσσερα σημεία.
Λύση. Συνολικός αριθμός στοιχειωδών αποτελεσμάτων n= 6 (μπορεί να κυλήσει 1, 2, 3, 4, 5, 6). Μεταξύ αυτών των αποτελεσμάτων, η εκδήλωση είναι ευνοϊκή ΕΝΑ(όχι περισσότεροι από τέσσερις βαθμοί θα κυλήσουν) μόνο τέσσερα αποτελέσματα Μ= 4. Επομένως, η απαιτούμενη πιθανότητα
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3. Ποια είναι η πιθανότητα να μαντέψετε 4 αριθμούς όταν συμπληρώνετε μια κάρτα αθλητικού λότο «6» από το «49»;
Λύση. Ο συνολικός αριθμός των στοιχειωδών αποτελεσμάτων του πειράματος είναι ίσος με τον αριθμό των τρόπων με τους οποίους μπορούν να διαγραφούν 6 αριθμοί από τους 49, δηλαδή n = ντο. Ας βρούμε τον αριθμό των αποτελεσμάτων που είναι ευνοϊκά για το γεγονός που μας ενδιαφέρει
ΕΝΑ= (4 αριθμοί μαντεύονται), 4 αριθμοί από τους 6 νικητές μπορούν να διαγραφούν ντοτρόπους, ενώ οι υπόλοιποι δύο αριθμοί δεν πρέπει να κερδίζουν. Μπορείτε να διαγράψετε 2 λάθος αριθμούς από τους 43 που δεν κερδίζουν ντοτρόπους. Ως εκ τούτου, ο αριθμός των ευνοϊκών αποτελεσμάτων Μ = ντο× ντο. Λαμβάνοντας υπόψη ότι όλα τα αποτελέσματα του πειράματος είναι ασυνεπή και εξίσου πιθανά, βρίσκουμε την απαιτούμενη πιθανότητα χρησιμοποιώντας τον κλασικό τύπο πιθανότητας:
Ρ(Α) = 
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4.Ένας τυχαία επιλεγμένος αριθμός τηλεφώνου αποτελείται από 5 ψηφία. Πόσο πιθανό είναι να περιέχει: 1) όλοι οι αριθμοί είναι διαφορετικοί. 2) είναι όλοι οι αριθμοί περιττοί;
Λύση. 1. Εφόσον καθεμία από τις πέντε θέσεις σε έναν πενταψήφιο αριθμό μπορεί να περιέχει οποιοδήποτε από τα ψηφία: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, τότε όλοι οι διαφορετικοί πενταψήφιοι αριθμοί θα είναι 10 5 (00000 - 1 -ο, 00001 - 2ο, 00002 -3ο, ..., 99998 - 99999ο, και τέλος, 99999 - 100.000ο). Οι αριθμοί στους οποίους όλοι οι αριθμοί είναι διαφορετικοί είναι διατάξεις των 10 στοιχείων του 5.
Τύποςγια τον αριθμό τοποθετήσειςαπό nστοιχεία από κ:
Κ! = = n (n - 1) ... (n - k + 1).
Ως εκ τούτου, ο αριθμός των ευνοϊκών υποθέσεων Μ= = 10× 9× 8× 7× 6 και η επιθυμητή πιθανότητα
Ρ(Α) = 
= 0,3024.
2. Από 5 μονά ψηφία (1, 3, 5, 7, 9) μπορείτε να σχηματίσετε 5 5 διαφορετικούς πενταψήφιους αριθμούς. 5 5 είναι ο αριθμός των ευνοϊκών αποτελεσμάτων Μ . Αφού όλες οι εξίσου πιθανές περιπτώσεις n= 10 5 , τότε η απαιτούμενη πιθανότητα
Ρ (Α) = = = = 0,03125.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5. Μια πλήρης τράπουλα (52 φύλλα) χωρίζεται τυχαία σε δύο ίσα πακέτα των 26 φύλλων. Βρείτε τις πιθανότητες των παρακάτω γεγονότων:
ΕΝΑ- κάθε πακέτο θα περιέχει δύο άσσους.
ΣΕ- ένα από τα πακέτα δεν θα περιέχει ούτε έναν άσο και το άλλο δεν θα έχει και τα τέσσερα.
ΜΕ- ένα από τα πακέτα θα έχει έναν άσο και το άλλο θα έχει τρεις.
Λύση. Ο συνολικός αριθμός των πιθανών στοιχειωδών αποτελεσμάτων του τεστ είναι ίσος με τον αριθμό των τρόπων με τους οποίους μπορούν να εξαχθούν 26 κάρτες από 52, δηλαδή τον αριθμό των συνδυασμών από 52 έως 26, n= . Αριθμός ευνοϊκών εκδηλώσεων ΕΝΑπεριπτώσεις
Μ= (σύμφωνα με τον βασικό κανόνα της συνδυαστικής), όπου ο πρώτος παράγοντας δείχνει ότι δύο άσοι στους τέσσερις μπορούν να ληφθούν με τρόπους, ο δεύτερος παράγοντας δείχνει ότι τα υπόλοιπα 24 φύλλα προέρχονται από 48 φύλλα που δεν περιέχουν άσσους με τρόπους. Η απαιτούμενη πιθανότητα είναι ίση με την αναλογία του αριθμού των ευνοϊκών για το συμβάν αποτελεσμάτων ΕΝΑ, στον συνολικό αριθμό όλων των αποτελεσμάτων:
Εκδήλωση ΣΕμπορεί να επιτευχθεί με δύο εξίσου δυνατούς τρόπους: είτε το πρώτο πακέτο θα έχει και τους τέσσερις άσσους και το δεύτερο - κανένα, είτε το αντίστροφο:
Επίσης:
Σημειώστε ότι ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας εισήχθη για την περίπτωση που ο χώρος των στοιχειωδών γεγονότων είναι πεπερασμένος και όλα τα αποτελέσματα και τα τεστ είναι εξίσου πιθανά και ασυνεπή.
Kuprin "Garnet Bracelet": περιγραφή, χαρακτήρες, ανάλυση του έργου
Γιατί χρειάζεται η χριστιανική ψυχολογία;
Εξαιρετικές εφευρέσεις της Βιομηχανικής Επανάστασης