Η στερεομετρία είναι ένας κλάδος της γεωμετρίας που μελετά σχήματα που δεν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Ένα από τα αντικείμενα μελέτης της στερεομετρίας είναι τα πρίσματα. Στο άρθρο θα ορίσουμε ένα πρίσμα από γεωμετρική άποψη και επίσης θα αναφέρουμε εν συντομία τις ιδιότητες που είναι χαρακτηριστικές του.

Γεωμετρικό σχήμα

Ο ορισμός του πρίσματος στη γεωμετρία είναι ο εξής: είναι ένα χωρικό σχήμα που αποτελείται από δύο πανομοιότυπα n-γόνια που βρίσκονται σε παράλληλα επίπεδα, συνδεδεμένα μεταξύ τους με τις κορυφές τους.

Το να αποκτήσεις πρίσμα δεν είναι δύσκολο. Ας φανταστούμε ότι υπάρχουν δύο ίδια n-γόνια, όπου n είναι ο αριθμός των πλευρών ή των κορυφών. Ας τα τοποθετήσουμε έτσι ώστε να είναι παράλληλα μεταξύ τους. Μετά από αυτό, οι κορυφές του ενός πολυγώνου πρέπει να συνδέονται με τις αντίστοιχες κορυφές του άλλου. Το σχήμα που θα προκύψει θα αποτελείται από δύο n-γωνικές πλευρές, που ονομάζονται βάσεις, και n τετράγωνες πλευρές, που γενικά είναι παραλληλόγραμμα. Το σύνολο των παραλληλογραμμών σχηματίζει την πλευρική επιφάνεια του σχήματος.

Υπάρχει ένας άλλος τρόπος για να αποκτήσετε γεωμετρικά το εν λόγω σχήμα. Έτσι, αν πάρουμε ένα n-γώνο και το μεταφέρουμε σε άλλο επίπεδο χρησιμοποιώντας παράλληλα τμήματα ίσου μήκους, τότε στο νέο επίπεδο θα πάρουμε το αρχικό πολύγωνο. Και τα δύο πολύγωνα και όλα τα παράλληλα τμήματα που προέρχονται από τις κορυφές τους σχηματίζουν ένα πρίσμα.

Η παραπάνω εικόνα το δείχνει και ονομάζεται έτσι επειδή οι βάσεις του είναι τρίγωνα.

Στοιχεία που συνθέτουν μια φιγούρα

Παραπάνω δόθηκε ο ορισμός του πρίσματος, από τον οποίο είναι σαφές ότι τα κύρια στοιχεία του σχήματος είναι οι ακμές ή οι πλευρές του, που περιορίζουν όλα τα εσωτερικά σημεία του πρίσματος από τον εξωτερικό χώρο. Οποιοδήποτε πρόσωπο της εν λόγω φιγούρας ανήκει σε έναν από τους δύο τύπους:

• πλευρικός;
• λόγους.

Υπάρχουν n πλευρικά κομμάτια και είναι παραλληλόγραμμα ή οι ιδιαίτεροι τύποι τους (ορθογώνια, τετράγωνα). Γενικά, οι πλευρικές όψεις διαφέρουν μεταξύ τους. Υπάρχουν μόνο δύο όψεις της βάσης· είναι n-γόνια και είναι ίσα μεταξύ τους. Έτσι, κάθε πρίσμα έχει n+2 πλευρές.

Εκτός από τις πλευρές, το σχήμα χαρακτηρίζεται από τις κορυφές του. Αντιπροσωπεύουν σημεία όπου αγγίζουν τρία πρόσωπα ταυτόχρονα. Επιπλέον, δύο από τις τρεις όψεις ανήκουν πάντα στην πλαϊνή επιφάνεια και μία στη βάση. Έτσι, σε ένα πρίσμα δεν υπάρχει μια ειδικά εκχωρημένη κορυφή, όπως, για παράδειγμα, σε μια πυραμίδα, είναι όλες ίσες. Ο αριθμός των κορυφών του σχήματος είναι 2*n (n κομμάτια για κάθε βάση).

Τέλος, το τρίτο σημαντικό στοιχείο ενός πρίσματος είναι οι νευρώσεις του. Πρόκειται για τμήματα ορισμένου μήκους που σχηματίζονται ως αποτέλεσμα της τομής των πλευρών ενός σχήματος. Όπως τα πρόσωπα, οι άκρες έχουν επίσης δύο διαφορετικούς τύπους:

• ή σχηματίζεται μόνο από τις πλευρές.
• ή προκύπτουν στη συμβολή του παραλληλογράμμου και της πλευράς της n-γωνικής βάσης.

Ο αριθμός των ακμών είναι επομένως ίσος με 3*n και 2*n από αυτές ανήκουν στον δεύτερο από τους ονομαζόμενους τύπους.

Τύποι πρισμάτων

Υπάρχουν διάφοροι τρόποι ταξινόμησης πρισμάτων. Ωστόσο, όλα βασίζονται σε δύο χαρακτηριστικά του σχήματος:

• σχετικά με τον τύπο της βάσης n-άνθρακα.
• στον πλαϊνό τύπο.

Αρχικά, ας στραφούμε στο δεύτερο χαρακτηριστικό και ας δώσουμε έναν ορισμό της ευθείας γραμμής. Αν τουλάχιστον η μία πλευρά είναι γενικό παραλληλόγραμμο, τότε το σχήμα ονομάζεται πλάγιο ή πλάγιο. Αν όλα τα παραλληλόγραμμα είναι ορθογώνια ή τετράγωνα, τότε το πρίσμα θα είναι ευθύ.

Ο ορισμός μπορεί επίσης να δοθεί λίγο διαφορετικά: ένα ευθύ σχήμα είναι ένα πρίσμα του οποίου οι πλευρικές ακμές και οι όψεις είναι κάθετες στις βάσεις του. Το σχήμα δείχνει δύο τετράγωνες φιγούρες. Το αριστερό είναι ίσιο, το δεξί είναι κεκλιμένο.

Τώρα ας προχωρήσουμε στην ταξινόμηση σύμφωνα με τον τύπο του n-gon που βρίσκεται στις βάσεις. Μπορεί να έχει τις ίδιες πλευρές και γωνίες ή διαφορετικές. Στην πρώτη περίπτωση, το πολύγωνο ονομάζεται κανονικό. Αν το εν λόγω σχήμα περιέχει στη βάση του ένα πολύγωνο με ίσες πλευρές και γωνίες και είναι ευθύγραμμο, τότε ονομάζεται κανονικό. Σύμφωνα με αυτόν τον ορισμό, ένα κανονικό πρίσμα στη βάση του μπορεί να έχει ισόπλευρο τρίγωνο, τετράγωνο, κανονικό πεντάγωνο ή εξάγωνο κ.ο.κ. Τα αναφερόμενα κανονικά στοιχεία παρουσιάζονται στο σχήμα.

Γραμμικές παράμετροι πρισμάτων

Για να περιγραφούν τα μεγέθη των εν λόγω σχημάτων, χρησιμοποιούνται οι ακόλουθες παράμετροι:

• ύψος;
• πλευρές της βάσης?
• μήκος των πλευρικών πλευρών.
• ογκομετρικές διαγώνιες?
• διαγώνιες των πλευρών και των βάσεων.

Για τα κανονικά πρίσματα, όλες αυτές οι ποσότητες σχετίζονται μεταξύ τους. Για παράδειγμα, τα μήκη των πλευρικών νευρώσεων είναι ίδια και ίσα με το ύψος. Για ένα συγκεκριμένο κανονικό σχήμα n-γωνικών, υπάρχουν τύποι που σας επιτρέπουν να προσδιορίσετε όλους τους άλλους χρησιμοποιώντας δύο οποιεσδήποτε γραμμικές παραμέτρους.

Επιφάνεια σχήματος

Αν αναφερθούμε στον ορισμό του πρίσματος που δόθηκε παραπάνω, τότε δεν θα είναι δύσκολο να καταλάβουμε τι αντιπροσωπεύει η επιφάνεια του σχήματος. Η επιφάνεια είναι η περιοχή όλων των προσώπων. Για ένα ευθύ πρίσμα υπολογίζεται από τον τύπο:

S = 2*S o + P o *h

όπου S o είναι το εμβαδόν της βάσης, P o είναι η περίμετρος του n-gon στη βάση, h είναι το ύψος (η απόσταση μεταξύ των βάσεων).

Φιγούρα όγκου

Μαζί με την επιφάνεια για εξάσκηση, είναι σημαντικό να γνωρίζετε τον όγκο του πρίσματος. Μπορεί να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:

Αυτή η έκφραση ισχύει για απολύτως κάθε τύπο πρίσματος, συμπεριλαμβανομένων εκείνων που έχουν κλίση και σχηματίζονται από ακανόνιστα πολύγωνα.

Για τα σωστά, είναι συνάρτηση του μήκους της πλευράς της βάσης και του ύψους του σχήματος. Για το αντίστοιχο n-γωνικό πρίσμα, ο τύπος για το V έχει μια συγκεκριμένη μορφή.

Στο σχολικό πρόγραμμα σπουδών για ένα μάθημα στερεομετρίας, η μελέτη των τρισδιάστατων μορφών αρχίζει συνήθως με ένα απλό γεωμετρικό σώμα - το πολύεδρο ενός πρίσματος. Ο ρόλος των βάσεων του εκτελείται από 2 ίσα πολύγωνα που βρίσκονται σε παράλληλα επίπεδα. Μια ειδική περίπτωση είναι ένα κανονικό τετράγωνο πρίσμα. Οι βάσεις του είναι 2 όμοια κανονικά τετράγωνα, στα οποία οι πλευρές είναι κάθετες, που έχουν σχήμα παραλληλογράμμων (ή ορθογωνίων, αν το πρίσμα δεν είναι κεκλιμένο).

Πώς μοιάζει ένα πρίσμα;

Ένα κανονικό τετράγωνο πρίσμα είναι ένα εξάγωνο, οι βάσεις του οποίου είναι 2 τετράγωνα και οι πλευρικές όψεις αντιπροσωπεύονται από ορθογώνια. Ένα άλλο όνομα για αυτό το γεωμετρικό σχήμα είναι ένα ευθύ παραλληλεπίπεδο.

Ένα σχέδιο που δείχνει ένα τετράγωνο πρίσμα φαίνεται παρακάτω.

Μπορείτε να δείτε και στην εικόνα τα πιο σημαντικά στοιχεία που συνθέτουν ένα γεωμετρικό σώμα. Αυτά περιλαμβάνουν:

Μερικές φορές σε προβλήματα γεωμετρίας μπορείτε να συναντήσετε την έννοια της ενότητας. Ο ορισμός θα ακούγεται ως εξής: ένα τμήμα είναι όλα τα σημεία ενός ογκομετρικού σώματος που ανήκουν σε ένα επίπεδο κοπής. Η τομή μπορεί να είναι κάθετη (τέμνει τις άκρες του σχήματος υπό γωνία 90 μοιρών). Για ένα ορθογώνιο πρίσμα, λαμβάνεται επίσης υπόψη μια διαγώνια τομή (ο μέγιστος αριθμός τμημάτων που μπορούν να κατασκευαστούν είναι 2), περνώντας από 2 ακμές και τις διαγώνιες της βάσης.

Εάν η τομή σχεδιάζεται με τέτοιο τρόπο ώστε το επίπεδο κοπής να μην είναι παράλληλο ούτε με τις βάσεις ούτε με τις πλευρικές όψεις, το αποτέλεσμα είναι ένα κολοβωμένο πρίσμα.

Για να βρεθούν τα μειωμένα πρισματικά στοιχεία, χρησιμοποιούνται διάφορες σχέσεις και τύποι. Μερικά από αυτά είναι γνωστά από το μάθημα της επιπεδομετρίας (για παράδειγμα, για να βρείτε το εμβαδόν της βάσης ενός πρίσματος, αρκεί να θυμηθούμε τον τύπο για το εμβαδόν ενός τετραγώνου).

Επιφάνεια και όγκος

Για να προσδιορίσετε τον όγκο ενός πρίσματος χρησιμοποιώντας τον τύπο, πρέπει να γνωρίζετε το εμβαδόν της βάσης και του ύψους του:

V = Sbas h

Δεδομένου ότι η βάση ενός κανονικού τετραεδρικού πρίσματος είναι ένα τετράγωνο με πλευρά ένα,Μπορείτε να γράψετε τον τύπο σε πιο λεπτομερή μορφή:

V = a²·h

Εάν μιλάμε για έναν κύβο - ένα κανονικό πρίσμα με ίσο μήκος, πλάτος και ύψος, ο όγκος υπολογίζεται ως εξής:

Για να κατανοήσετε πώς να βρείτε την πλευρική επιφάνεια ενός πρίσματος, πρέπει να φανταστείτε την ανάπτυξή του.

Από το σχέδιο φαίνεται ότι η πλευρική επιφάνεια αποτελείται από 4 ίσα ορθογώνια. Το εμβαδόν του υπολογίζεται ως το γινόμενο της περιμέτρου της βάσης και του ύψους του σχήματος:

Πλευρά = Posn h

Λαμβάνοντας υπόψη ότι η περίμετρος του τετραγώνου είναι ίση με P = 4a,ο τύπος παίρνει τη μορφή:

Πλευρά = 4a h

Για τον κύβο:

Πλευρά = 4a²

Για να υπολογίσετε τη συνολική επιφάνεια του πρίσματος, πρέπει να προσθέσετε 2 βασικές περιοχές στην πλευρική περιοχή:

Sfull = Πλαϊνό + 2 Smain

Σε σχέση με ένα τετράγωνο κανονικό πρίσμα, ο τύπος μοιάζει με:

Συνολικό = 4a h + 2a²

Για την επιφάνεια ενός κύβου:

Πλήρης = 6a²

Γνωρίζοντας τον όγκο ή την επιφάνεια, μπορείτε να υπολογίσετε τα μεμονωμένα στοιχεία ενός γεωμετρικού σώματος.

Εύρεση στοιχείων πρίσματος

Συχνά υπάρχουν προβλήματα στα οποία δίνεται ο όγκος ή είναι γνωστή η τιμή της πλευρικής επιφάνειας, όπου είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί το μήκος της πλευράς της βάσης ή το ύψος. Σε τέτοιες περιπτώσεις, οι τύποι μπορούν να προκύψουν:

• μήκος πλευράς βάσης: a = Πλευρά / 4h = √(V / h);
• ύψος ή μήκος πλευράς: h = Πλευρά / 4a = V / a²;
• περιοχή βάσης: Sbas = V / h;
• περιοχή του πλευρικού προσώπου: Πλευρά gr = Πλευρά / 4.

Για να προσδιορίσετε πόση περιοχή έχει το διαγώνιο τμήμα, πρέπει να γνωρίζετε το μήκος της διαγώνιας και το ύψος του σχήματος. Για ένα τετράγωνο d = a√2.Επομένως:

Sdiag = ah√2

Για να υπολογίσετε τη διαγώνιο ενός πρίσματος, χρησιμοποιήστε τον τύπο:

dprize = √(2a² + h²)

Για να κατανοήσετε πώς να εφαρμόσετε τις δεδομένες σχέσεις, μπορείτε να εξασκηθείτε και να λύσετε αρκετές απλές εργασίες.

Παραδείγματα προβλημάτων με λύσεις

Ακολουθούν ορισμένες εργασίες που βρέθηκαν σε κρατικές τελικές εξετάσεις στα μαθηματικά.

Ασκηση 1.

Η άμμος χύνεται σε ένα κουτί σε σχήμα κανονικού τετράγωνου πρίσματος. Το ύψος του επιπέδου του είναι 10 εκ. Ποια θα είναι η στάθμη της άμμου αν τη μεταφέρετε σε ένα δοχείο του ίδιου σχήματος, αλλά με βάση διπλάσια;

Θα πρέπει να αιτιολογηθεί ως εξής. Η ποσότητα της άμμου στο πρώτο και το δεύτερο δοχείο δεν άλλαξε, δηλαδή ο όγκος της σε αυτά είναι ο ίδιος. Μπορείτε να υποδηλώσετε το μήκος της βάσης με ένα. Σε αυτήν την περίπτωση, για το πρώτο πλαίσιο ο όγκος της ουσίας θα είναι:

V1 = ha² = 10a²

Για το δεύτερο κουτί, το μήκος της βάσης είναι 2α, αλλά το ύψος της στάθμης της άμμου είναι άγνωστο:

V2 = h (2a)² = 4ha²

Επειδή η V1 = V2, μπορούμε να εξισώσουμε τις εκφράσεις:

10a² = 4ha²

Αφού μειώσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης κατά a², έχουμε:

Ως αποτέλεσμα, το νέο επίπεδο άμμου θα είναι h = 10 / 4 = 2,5εκ.

Εργασία 2.

Το ABCDA1B1C1D1 είναι ένα σωστό πρίσμα. Είναι γνωστό ότι BD = AB1 = 6√2. Βρείτε τη συνολική επιφάνεια του σώματος.

Για να καταλάβετε πιο εύκολα ποια στοιχεία είναι γνωστά, μπορείτε να σχεδιάσετε μια εικόνα.

Εφόσον μιλάμε για κανονικό πρίσμα, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι στη βάση υπάρχει ένα τετράγωνο με διαγώνιο 6√2. Η διαγώνιος της πλευρικής όψης έχει το ίδιο μέγεθος, επομένως, η πλευρική όψη έχει επίσης σχήμα τετραγώνου ίσου με τη βάση. Αποδεικνύεται ότι και οι τρεις διαστάσεις - μήκος, πλάτος και ύψος - είναι ίσες. Μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το ABCDA1B1C1D1 είναι ένας κύβος.

Το μήκος οποιασδήποτε ακμής προσδιορίζεται από μια γνωστή διαγώνιο:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Το συνολικό εμβαδόν επιφάνειας βρίσκεται χρησιμοποιώντας τον τύπο για έναν κύβο:

Πλήρης = 6a² = 6 6² = 216

Εργασία 3.

Το δωμάτιο ανακαινίζεται. Είναι γνωστό ότι το δάπεδό του έχει σχήμα τετράγωνου εμβαδού 9 m². Το ύψος του δωματίου είναι 2,5 μ. Ποιο είναι το χαμηλότερο κόστος για την ταπετσαρία ενός δωματίου εάν το 1 m² κοστίζει 50 ρούβλια;

Δεδομένου ότι το δάπεδο και η οροφή είναι τετράγωνα, δηλαδή κανονικά τετράγωνα, και τα τοιχώματά του είναι κάθετα σε οριζόντιες επιφάνειες, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι είναι ένα κανονικό πρίσμα. Είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η περιοχή της πλευρικής του επιφάνειας.

Το μήκος του δωματίου είναι a = √9 = 3Μ.

Ο χώρος θα καλυφθεί με ταπετσαρία Πλευρά = 4 3 2,5 = 30 m².

Το χαμηλότερο κόστος ταπετσαρίας για αυτό το δωμάτιο θα είναι 50·30 = 1500ρούβλια

Έτσι, για την επίλυση προβλημάτων που αφορούν ένα ορθογώνιο πρίσμα, αρκεί να μπορούμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν και την περίμετρο ενός τετραγώνου και ενός ορθογωνίου, καθώς και να γνωρίζουμε τους τύπους για την εύρεση του όγκου και του εμβαδού επιφάνειας.

Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός κύβου

Πολύεδρα

Το κύριο αντικείμενο μελέτης της στερεομετρίας είναι τα χωρικά σώματα. Σώμααντιπροσωπεύει ένα μέρος του χώρου που περιορίζεται από μια συγκεκριμένη επιφάνεια.

Πολύεδροείναι ένα σώμα του οποίου η επιφάνεια αποτελείται από έναν πεπερασμένο αριθμό επίπεδων πολυγώνων. Ένα πολύεδρο ονομάζεται κυρτό αν βρίσκεται στη μία πλευρά του επιπέδου κάθε επίπεδου πολυγώνου στην επιφάνειά του. Το κοινό τμήμα ενός τέτοιου επιπέδου και η επιφάνεια ενός πολυέδρου ονομάζεται άκρη. Οι όψεις ενός κυρτού πολυέδρου είναι επίπεδα κυρτά πολύγωνα. Οι πλευρές των προσώπων ονομάζονται άκρες του πολυέδρου, και οι κορυφές είναι κορυφές του πολυέδρου.

Για παράδειγμα, ένας κύβος αποτελείται από έξι τετράγωνα, που είναι οι όψεις του. Περιέχει 12 άκρες (τις πλευρές των τετραγώνων) και 8 κορυφές (τις κορυφές των τετραγώνων).

Τα πιο απλά πολύεδρα είναι τα πρίσματα και οι πυραμίδες, τα οποία θα μελετήσουμε περαιτέρω.

Πρίσμα

Ορισμός και ιδιότητες πρίσματος

Πρίσμαείναι ένα πολύεδρο που αποτελείται από δύο επίπεδα πολύγωνα που βρίσκονται σε παράλληλα επίπεδα συνδυασμένα με παράλληλη μετάφραση, και όλα τα τμήματα που συνδέουν τα αντίστοιχα σημεία αυτών των πολυγώνων. Τα πολύγωνα λέγονται βάσεις πρίσματος, και τα τμήματα που συνδέουν τις αντίστοιχες κορυφές των πολυγώνων είναι πλευρικές άκρες του πρίσματος.

Ύψος πρίσματοςονομάζεται η απόσταση μεταξύ των επιπέδων των βάσεων του (). Ένα τμήμα που συνδέει δύο κορυφές ενός πρίσματος που δεν ανήκουν στην ίδια όψη ονομάζεται διαγώνιο πρίσματος(). Το πρίσμα λέγεται n-άνθρακας, αν η βάση του περιέχει ένα n-gon.

Κάθε πρίσμα έχει τις ακόλουθες ιδιότητες, που προκύπτουν από το γεγονός ότι οι βάσεις του πρίσματος συνδυάζονται με παράλληλη μετάφραση:

1. Οι βάσεις του πρίσματος είναι ίσες.

2. Οι πλευρικές ακμές του πρίσματος είναι παράλληλες και ίσες.

Η επιφάνεια του πρίσματος αποτελείται από βάσεις και πλευρική επιφάνεια. Η πλευρική επιφάνεια του πρίσματος αποτελείται από παραλληλόγραμμα (αυτό προκύπτει από τις ιδιότητες του πρίσματος). Το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας ενός πρίσματος είναι το άθροισμα των περιοχών των πλευρικών όψεων.

Ευθύ πρίσμα

Το πρίσμα λέγεται ευθεία, αν οι πλευρικές ακμές του είναι κάθετες στις βάσεις. Διαφορετικά λέγεται το πρίσμα κεκλιμένος.

Οι όψεις ενός ορθού πρίσματος είναι ορθογώνια. Το ύψος ενός ευθύγραμμου πρίσματος είναι ίσο με τις πλευρικές του όψεις.

Πλήρης επιφάνεια πρίσματοςονομάζεται το άθροισμα του εμβαδού της πλευρικής επιφάνειας και των εμβαδών των βάσεων.

Με το σωστό πρίσμαονομάζεται ορθό πρίσμα με κανονικό πολύγωνο στη βάση του.

Θεώρημα 13.1. Το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας ενός ευθύγραμμου πρίσματος είναι ίσο με το γινόμενο της περιμέτρου και του ύψους του πρίσματος (ή, που είναι το ίδιο, από την πλευρική άκρη).

Απόδειξη. Οι πλευρικές όψεις ενός ορθού πρίσματος είναι ορθογώνια, οι βάσεις των οποίων είναι οι πλευρές των πολυγώνων στις βάσεις του πρίσματος και τα ύψη είναι οι πλευρικές ακμές του πρίσματος. Τότε, εξ ορισμού, η πλευρική επιφάνεια είναι:

,

όπου είναι η περίμετρος της βάσης ενός ευθύγραμμου πρίσματος.

Παραλληλεπίπεδο

Εάν τα παραλληλόγραμμα βρίσκονται στις βάσεις ενός πρίσματος, τότε λέγεται παραλληλεπίπεδο. Όλες οι όψεις ενός παραλληλεπίπεδου είναι παραλληλόγραμμα. Στην περίπτωση αυτή, οι απέναντι όψεις του παραλληλεπίπεδου είναι παράλληλες και ίσες.

Θεώρημα 13.2. Οι διαγώνιοι ενός παραλληλεπίπεδου τέμνονται σε ένα σημείο και διαιρούνται στο μισό με το σημείο τομής.

Απόδειξη. Εξετάστε δύο αυθαίρετες διαγώνιους, για παράδειγμα, και . Επειδή οι όψεις ενός παραλληλεπίπεδου είναι παραλληλόγραμμα, τότε και , που σημαίνει σύμφωνα με To υπάρχουν δύο ευθείες παράλληλες με την τρίτη. Επιπλέον, αυτό σημαίνει ότι οι ευθείες γραμμές και βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο (επίπεδο). Αυτό το επίπεδο τέμνει παράλληλα επίπεδα και κατά μήκος παράλληλων ευθειών και . Έτσι, ένα τετράπλευρο είναι ένα παραλληλόγραμμο και από την ιδιότητα του παραλληλογράμμου, οι διαγώνιοι του τέμνονται και διαιρούνται στο μισό από το σημείο τομής, που ήταν αυτό που έπρεπε να αποδειχθεί.

Ονομάζεται ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο του οποίου η βάση είναι ορθογώνιο ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο. Όλες οι όψεις ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου είναι ορθογώνια. Τα μήκη των μη παράλληλων ακμών ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου ονομάζονται γραμμικές του διαστάσεις (διαστάσεις). Υπάρχουν τρία τέτοια μεγέθη (πλάτος, ύψος, μήκος).

Θεώρημα 13.3. Σε ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, το τετράγωνο οποιασδήποτε διαγώνιου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των τριών διαστάσεων του (αποδεικνύεται εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο Τ δύο φορές).

Ονομάζεται ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο με όλες τις άκρες ίσες κύβος.

Καθήκοντα

13.1 Πόσες διαγώνιες έχει; n- πρίσμα άνθρακα

13.2 Σε ένα κεκλιμένο τριγωνικό πρίσμα, οι αποστάσεις μεταξύ των πλευρικών άκρων είναι 37, 13 και 40. Βρείτε την απόσταση μεταξύ του μεγαλύτερου πλευρικού άκρου και του απέναντι πλευρικού άκρου.

13.3 Ένα επίπεδο διασχίζεται από την πλευρά της κάτω βάσης ενός κανονικού τριγωνικού πρίσματος, τέμνοντας τις πλευρικές όψεις κατά μήκος τμημάτων με γωνία μεταξύ τους. Βρείτε τη γωνία κλίσης αυτού του επιπέδου ως προς τη βάση του πρίσματος.

Ορισμός.

Αυτό είναι ένα εξάγωνο, οι βάσεις του οποίου είναι δύο ίσα τετράγωνα και οι πλευρικές όψεις είναι ίσα ορθογώνια

Πλαϊνή πλευρά- είναι η κοινή πλευρά δύο γειτονικών πλευρικών όψεων

Ύψος πρίσματος- αυτό είναι ένα τμήμα κάθετο στις βάσεις του πρίσματος

Διαγώνιος πρίσματος- ένα τμήμα που συνδέει δύο κορυφές των βάσεων που δεν ανήκουν στην ίδια όψη

Διαγώνιο επίπεδο- ένα επίπεδο που διέρχεται από τη διαγώνιο του πρίσματος και τις πλευρικές ακμές του

Διαγώνιο τμήμα- τα όρια της τομής του πρίσματος και του διαγώνιου επιπέδου. Η διαγώνια διατομή ενός κανονικού τετραγωνικού πρίσματος είναι ένα ορθογώνιο

Κάθετη τομή (ορθογώνια τομή)- αυτή είναι η τομή ενός πρίσματος και ενός επιπέδου που σχεδιάζονται κάθετα στα πλάγια άκρα του

Στοιχεία κανονικού τετραγωνικού πρίσματος

Το σχήμα δείχνει δύο κανονικά τετράγωνα πρίσματα, τα οποία υποδεικνύονται με τα αντίστοιχα γράμματα:

• Οι βάσεις ABCD και A 1 B 1 C 1 D 1 είναι ίσες και παράλληλες μεταξύ τους
• Πλαϊνές όψεις AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C και CC 1 D 1 D, καθεμία από τις οποίες είναι ένα ορθογώνιο
• Πλευρική επιφάνεια - το άθροισμα των περιοχών όλων των πλευρικών όψεων του πρίσματος
• Συνολική επιφάνεια - το άθροισμα των εμβαδών όλων των βάσεων και των πλευρικών όψεων (άθροισμα του εμβαδού της πλευρικής επιφάνειας και των βάσεων)
• Πλαϊνές νευρώσεις AA 1, BB 1, CC 1 και DD 1.
• Διαγώνιος Β 1 Δ
• Διαγώνιος βάσης BD
• Διαγώνιο τμήμα BB 1 D 1 D
• Κάθετο τμήμα A 2 B 2 C 2 D 2.

Ιδιότητες κανονικού τετραγωνικού πρίσματος

• Οι βάσεις είναι δύο ίσα τετράγωνα
• Οι βάσεις είναι παράλληλες μεταξύ τους
• Οι πλευρικές όψεις είναι ορθογώνιες
• Οι πλευρικές άκρες είναι ίσες μεταξύ τους
• Οι πλευρικές όψεις είναι κάθετες στις βάσεις
• Οι πλευρικές νευρώσεις είναι παράλληλες μεταξύ τους και ίσες
• Κάθετη τομή κάθετη σε όλες τις πλευρικές νευρώσεις και παράλληλη στις βάσεις
• Γωνίες κάθετης τομής - ευθείες
• Η διαγώνια διατομή ενός κανονικού τετραγωνικού πρίσματος είναι ένα ορθογώνιο
• Κάθετη (ορθογώνια τομή) παράλληλη στις βάσεις

Τύποι για κανονικό τετράπλευρο πρίσμα

Οδηγίες για την επίλυση προβλημάτων

Κατά την επίλυση προβλημάτων σχετικά με το θέμα " κανονικό τετράγωνο πρίσμα" σημαίνει ότι:

Σωστό πρίσμα- ένα πρίσμα στη βάση του οποίου βρίσκεται ένα κανονικό πολύγωνο και οι πλευρικές ακμές είναι κάθετες στα επίπεδα της βάσης. Δηλαδή, ένα κανονικό τετράπλευρο πρίσμα περιέχει στη βάση του τετράγωνο. (δείτε τις ιδιότητες ενός κανονικού τετραγωνικού πρίσματος παραπάνω) Σημείωση. Αυτό είναι μέρος ενός μαθήματος με προβλήματα γεωμετρίας (στερεομετρία τομής - πρίσμα). Εδώ είναι προβλήματα που είναι δύσκολο να λυθούν. Εάν θέλετε να λύσετε ένα πρόβλημα γεωμετρίας που δεν είναι εδώ, γράψτε σχετικά στο φόρουμ. Για να δηλώσετε την ενέργεια της εξαγωγής της τετραγωνικής ρίζας στην επίλυση προβλημάτων, χρησιμοποιείται το σύμβολο√ .

Εργο.

Σε ένα κανονικό τετράγωνο πρίσμα, το εμβαδόν της βάσης είναι 144 cm 2 και το ύψος είναι 14 cm. Βρείτε τη διαγώνιο του πρίσματος και τη συνολική επιφάνεια.

Λύση.
Ένα κανονικό τετράπλευρο είναι ένα τετράγωνο.
Κατά συνέπεια, η πλευρά της βάσης θα είναι ίση

√144 = 12 cm.
Από όπου η διαγώνιος της βάσης ενός κανονικού ορθογώνιου πρίσματος θα είναι ίση με
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Η διαγώνιος ενός κανονικού πρίσματος σχηματίζει ορθογώνιο τρίγωνο με τη διαγώνιο της βάσης και το ύψος του πρίσματος. Συνεπώς, σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα, η διαγώνιος ενός δεδομένου κανονικού τετραγωνικού πρίσματος θα είναι ίση με:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Απάντηση: 22 εκ

Εργο

Προσδιορίστε τη συνολική επιφάνεια ενός κανονικού τετράπλευρου πρίσματος αν η διαγώνιος του είναι 5 cm και η διαγώνιος της πλευρικής του όψης είναι 4 cm.

Λύση.
Δεδομένου ότι η βάση ενός κανονικού τετραγωνικού πρίσματος είναι ένα τετράγωνο, βρίσκουμε την πλευρά της βάσης (που συμβολίζεται ως α) χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα:

A 2 + a 2 = 5 2
2α 2 = 25
a = √12,5

Το ύψος της πλευρικής όψης (που συμβολίζεται ως h) θα είναι τότε ίσο με:

H 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 = 3,5
h = √3,5

Το συνολικό εμβαδόν επιφάνειας θα είναι ίσο με το άθροισμα της πλευρικής επιφάνειας και το διπλάσιο του εμβαδού της βάσης

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Απάντηση: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.