Piiratud arvuga komplekt

Reaalarvude hulka nimetatakse ülalpool piiritletud kui on selline arv, et kõik elemendid ei ületa:

Wikimedia sihtasutus.

2010. aasta.

Vaadake, mis on "Limited set" teistes sõnaraamatutes: 1) O. m meeterruumis X (koos meetrikaga) on hulk A, mille läbimõõt on lõplik. 2) O. m. vektorruum E (üle k) on hulk B, nii et selle neelavad kõik nulli U ümbrused (st selline üks on olemas). M.I......

Matemaatiline entsüklopeedia E (üle k) on hulk B, nii et selle neelavad kõik nulli U ümbrused (st selline üks on olemas). M.I......

Meetrilises ruumis on see sama, mis antud meetrika täielikult piiratud alamruum. ruumi. Vaadake üsna piiratud ruumi. A. V. Arhangelski ... IN matemaatiline analüüs

, ja sellega seotud matemaatikaharud, on piiratud hulk hulk, millel on teatud mõttes lõplik suurus. Põhimõiste on arvulise hulga piiratus, mis on üldistatud juhul... ... Wikipedia paljud - komplekt - komplekt Üks kaasaegse matemaatika põhimõisteid, "määratletud ja eristatavate objektide meelevaldne kogum, mis on vaimselt ühendatud üheks... ...

Tehniline tõlkija juhend Paljud - üks kaasaegse matemaatika põhimõisteid, "määratletud ja eristatavate objektide meelevaldne kogum, mis on vaimselt ühendatud üheks tervikuks". (Nii defineeris hulga hulgateooria rajaja, kuulus sakslane... ...

Majandus- ja matemaatikasõnastik Vt loogikaklass. Filosoofiline entsüklopeediline sõnastik . M.: Nõukogude entsüklopeedia . Ch. toimetaja: L. F. Iljitšev, P. N. Fedosejev, S. M. Kovaljov, V. G. Panov. 1983. PALJUD...

Filosoofiline entsüklopeedia

Sellel terminil on ka teisi tähendusi, vt Määra (tähendused). Komplekt, arvutiteaduse tüüp ja andmestruktuur, on matemaatilise objektikomplekti teostus. Andmetüüpide komplekt võimaldab salvestada piiratud arvu väärtusi... ... Wikipedia 1) P. m. analüütiline funktsioon E (üle k) on hulk B, nii et selle neelavad kõik nulli U ümbrused (st selline üks on olemas). M.I......

Kompleksmuutujate z=(z1,...,zn), n 1 f(z) on D kompleksruumi C n teatud domeeni P-punktide hulk nii, et: a) f(z) on kõikjal holomorfne. ; b) f(z) ei jätku analüütiliselt ühegi punktini P c) jaoks... ...- uurimuse objektiks ei ole mitte allkeel ise, vaid teatud tekstide kogum, mis on põhimõtteliselt lõpmatu või igal juhul avatud. See on seatud kirjeldavalt, iseloomustades nende tekstide allikaid. Nemad on need...... Selgitav tõlkesõnastik

Vaatleme graafikute paigutust üksteise suhtes pöördfunktsioonid V Descartes'i süsteem koordinaadid ja tõestada järgmist väidet.

Lemma 1.1. Kui a, b R, siis tasandi punktid M 1 (a, b), M 2 (b, a) on sümmeetrilised sirge y = x suhtes.

Kui a = b, siis punktid M1, M2 langevad kokku ja asuvad sirgel y = x. Eeldame, et a 6= b. Punkte M1, M2 läbival sirgel on võrrand y = −x+a+b ja seepärast on see sirgega y = x risti.

Kuna lõigu M1 keskel on M2 koordinaadid a + 2 b ,a + 2 b ! , See

see asub sirgel y = x. Seega punktid M1, M2

Tagajärg. Kui funktsioonid f: X −→ Y ja ϕ : Y −→ X on vastastikku pöördvõrdelised, siis on nende graafikud sirge y = x suhtes sümmeetrilised, kui need on kujutatud samas koordinaatsüsteemis.

Olgu f = ((x, f(x)) | x X),ϕ = ((y, ϕ(y)) | y Y ) vastavalt funktsioonide f ja ϕ graafikud. Sest

(a, b) f (b = f(a), a X) (a = ϕ(b), b Y) (b, a)ϕ ,

siis tõestatud lemma alusel graafikud f ja ϕ sümmeetriline sirge y = x suhtes.

1.6 Numbrihulkade omadused

1.6.1 Piiratud arvude komplektid

Definitsioon 1.26. Olgu X mittetühi numbrikomplekt. Hulk X on ülalt (all) piiratud, kui on olemas arv a, et x 6 a (x > a ) mis tahes elemendi x X korral. Sel juhul nimetatakse arvu a hulga X ülemiseks (alumiseks) piiriks. Alt ja ülalt piiritletud hulka nimetatakse piiritletuks.

Loogiliste sümbolite abil kirjutatakse hulga X ülemine piir järgmiselt:

a R: x 6 a, x X.

Võttes arvesse arvu mooduli omadusi, saame piiritletud hulgale anda järgmise ekvivalentmääratluse.

Definitsioon 1.27. Mittetühja arvude hulka X nimetatakse piiritletuks, kui on olemas positiivne arv M, nii et

Definitsioon 1.28. Numbrihulga X elementi nimetatakse X-i maksimaalseks (minimaalseks) elemendiks, kui x 6 a (vastavalt x > a) mis tahes X-i x korral, ja nad kirjutavad: a = max X (vastavalt a = min X) .

Järjeaksioomi (3.b) abil on lihtne näidata, et kui hulgal X R-is on maksimaalne (minimaalne) element, siis on see kordumatu.

Pange tähele, et kui arvuhulgas X on maksimaalne (minimaalne) element a, siis on see ülevalt (all) piiratud ja arv a on hulga X ülemine (alumine) piir. Siiski ei ole iga arvuhulk, mis on piiratud ülalt (all) ) sisaldab maksimaalset (minimaalset) elementi .

Näide 1.5. Näitame, et hulk X = = inf (a, b) = a.

Need näited näitavad eelkõige, et alumine ja ülemine külg võivad kuuluda komplekti endasse, kuid ei pruugi kuuluda.

Oma määratluse järgi on komplekti ülemine ja alumine piir unikaalsed. Tegelikult, kui mõnes, isegi laiendatud arvureale kuuluvas hulgas on väikseim (suurim) element, siis on see kordumatu, kuna hulga kahest erinevast elemendist ei saa suurem neist olla väikseim element, ja väiksem ei saa olla suurim.

Kas ülalt (alt) piiratud hulgal on alati täpne ülemine (alumine) piir? Tõepoolest, kuna ülemisi (alumisi) piire on lõpmatult palju ja lõpmatu arvude hulgas pole alati kõige suuremat (väiksemat), nõuab ülimussumma (infinum) olemasolu erilist tõestust.

Teoreem 7.3(1)

Igal ülalt piiritletud mittetühjal hulgal on ülemine piir ja igal allpool piiratud mittetühjal hulgal on alumine piir.

Tõestus

Olgu mittetühi arvude hulk A ülalt piiritletud, B kõigi arvude hulk, mis piirab hulka A ülalt, kui siis ülalt piirava arvu definitsioonist

seatud, järeldub, et a≤b. Seetõttu järjepidevuse omaduse järgi reaalarvud on selline arv β, mille võrratus a≤β≤b kehtib kõigi kohta. Ebavõrdsus tähendab, et arv β piirab hulka A ülalt, ja ebavõrdsus tähendab, et arv β on väikseim kõigist arvudest, mis piiravad hulka A ülalt.

Sarnaselt on tõestatud, et altpoolt piiratud arvulistel hulgal on infimum.

Hulki, mille elemendid on punktid, nimetatakse punktihulkadeks. Seega saame rääkida punktihulkadest sirgel, tasapinnal, mis tahes ruumis. Lihtsuse huvides piirdume punktihulkade arvestamisega sirgel.

Reaalarvude ja joone punktide vahel on tihe ühendus: igale reaalarvule saab määrata joonel punkti ja vastupidi. Seetõttu võtame punktihulkadest rääkides nende hulka ka reaalarvudest koosnevad hulgad - arvurida. Ja vastupidi: joone punktihulga määratlemiseks määrame tavaliselt oma hulga kõigi punktide koordinaadid.

Punktihulkadel (ja eriti joonel olevatel punktihulkadel) on mitmeid erilised omadused, eristades neid suvalistest hulkadest ja eristades punktihulkade teooria iseseisvaks matemaatiliseks distsipliiniks. Esiteks on mõttekas rääkida kahe punkti vahelisest kaugusest. Lisaks saab järjestussuhteid luua sirgjoonel asuvate punktide vahel (vasakule, paremale); vastavalt sellele ütlevad nad, et joonel olev punkt on järjestatud hulk. Lõpuks, nagu eespool märgitud, kehtib Cantori põhimõte sirge puhul; Seda joone omadust iseloomustatakse tavaliselt kui joone täielikkust.

Tutvustame joone lihtsaimate hulkade tähistust.

Lõik on punktide kogum, mille koordinaadid rahuldavad ebavõrdsust.

Intervall on punktide kogum, mille koordinaadid vastavad tingimustele.

Poolintervallid ja määratakse vastavalt järgmistele tingimustele: ja .

Intervallid ja poolintervallid võivad olla sobimatud. Nimelt tähistab see tervet rida ja näiteks kõigi punktide hulka, mille jaoks .

Alustuseks kaalume erinevaid võimalusi komplekti kui terviku sirgjooneliseks paigutamiseks.

Piiratud ja piiramata komplektid

Punktide hulk sirgel võib koosneda punktidest, mille kaugused lähtepunktist ei ületa teatud positiivne arv või nende punktid on lähtepunktist meelevaldselt kaugel. Esimesel juhul nimetatakse komplekti piiratuks ja teisel - piiramatuks. Piiratud hulga näide on lõigu kõigi punktide hulk ja piiramata hulga näide on kõigi täisarvuliste koordinaatidega punktide hulk.

On lihtne näha, et kui joonel on fikseeritud punkt, siis on hulk piiratud siis ja ainult siis, kui kaugused punktist ühegi punktini ei ületa mõnda positiivset arvu.

Ülevalt ja alt piiratud komplektid

Laskma olema rida punkte. Kui sirgel on selline punkt, et mis tahes punkt asub punktist vasakul, siis öeldakse, et see hulk ülalt piiratud. Samamoodi, kui sirgel on punkt nii, et mis tahes punkt asub punktist paremal, siis nimetatakse hulka allpool piiratud. Seega on positiivsete koordinaatidega sirge kõigi punktide hulk allpool ja negatiivsete koordinaatidega punktide hulk ülalpool.

On selge, et ülaltoodud piiritletud hulga definitsioon on samaväärne järgmisega: punktide hulka sirgel nimetatakse piiritletuks, kui see on piiratud ülalt ja alt. Hoolimata asjaolust, et need kaks määratlust on üksteisega väga sarnased, on nende vahel oluline erinevus: esimene põhineb tõsiasjal, et sirge punktide vahel on määratletud kaugus, ja teine, et need punktid; moodustavad tellitud komplekti.

Võime ka öelda, et komplekt on piiratud, kui see asub täielikult teatud segmendil.

Komplekti ülemine ja alumine piir

Olgu hulk ülalpool piiratud. Siis on joonel punktid, millest parempoolsel hulgal pole punkti. Cantori põhimõtet kasutades saame näidata, et kõigi seda omadust omavate punktide hulgas on kõige vasakpoolsem. Seda punkti nimetatakse komplekti ülemine piir. Punktide hulga infimum on defineeritud sarnaselt.

Kui komplektis on parempoolseim punkt, on see ilmselgelt hulga ülemine piir. Siiski võib juhtuda, et komplektis pole kõige parempoolsemat punkti. Näiteks punktide kogum koos koordinaatidega

on ülalt piiratud ja sellel ei ole kõige parempoolsemat punkti. Sel juhul ülemine serv ei kuulu hulka, kuid hulga punkte on meelevaldselt lähedal. Ülaltoodud näites.

Punkti asukoht joone mis tahes punkti lähedal

Laskma olla punkt ja olla mingi punkt joonel. Vaatleme erinevaid võimalusi komplekti asukoha määramiseks punkti lähedal. Võimalikud on järgmised juhtumid:

1. Punkt ega sellele piisavalt lähedal asuvad punktid ei kuulu hulka.

2. Punkt ei kuulu hulka, kuid selle lähedal on hulga punkte.

3. Punkt kuulub , kuid kõik punktid, mis on sellele piisavalt lähedal, ei kuulu .

4. Punkt kuulub , Ja on ka teisi punkte, mis on suvaliselt lähedal sellele.

1. juhul nimetatakse punkti väljaspool komplekti, juhul 3 - hulga isoleeritud punkt ning juhtudel 2 ja 4 - hulga piirpunkt.

Seega, kui , siis võib punkt olla kas sellest väline või seda piirav ja kui , siis võib see olla kas hulga isoleeritud punkt või selle piirpunkt.

Piirpunkt võib hulka kuuluda, aga ei pruugi ja seda iseloomustab tingimus, et hulga punkte on suvaliselt lähedal. Teisisõnu, punkt on hulga piirpunkt, kui mis tahes punkti sisaldav intervall sisaldab lõpmatult palju hulga punkte. Piirpunkti mõiste on punktihulkade teoorias üks väga olulisi mõisteid.

Kui punkt ja kõik sellele piisavalt lähedal asuvad punktid kuuluvad hulka, siis sellist punkti nimetatakse komplekti sisemine punkt. Nimetatakse iga punkti, mis ei ole väline ega sisemine hulga piiripunkt .

Toome mõned näited kõigi nende mõistete selgitamiseks.

Näide 1. Koosnegu hulk koordinaatidega punktidest

Siis on selle hulga iga punkt selle isoleeritud punkt, punkt 0 on piirpunkt (ei kuulu sellesse hulka) ja kõik teised joone punktid on väljaspool .

Näide 2. Koosneb hulk kõigist ratsionaalsed punktid segment Sellel hulgal pole isoleeritud punkte, iga lõigu punkt on piirpunkt ja kõik ülejäänud punktid joonel on väljaspool. On selge, et hulga piirpunktide hulgas on nii sinna kuuluvaid kui ka mittekuuluvaid.

Näide 3. Koosnegu hulk lõigu kõigist punktidest. Nagu eelmises näites, ei ole hulgal isoleeritud punkte ja iga lõigu punkt on selle piirpunkt. Erinevalt eelmisest näitest kuuluvad aga kõik piirpunktid sellesse hulka.

Näide 4. Olgu hulk koosneva kõigist sirge täisarvuliste koordinaatidega punktidest. Iga punkt on selle isoleeritud punkt; komplektil pole piirpunkte.

Pange tähele ka seda, et näites 3 on iga intervalli punkt sisepunkt ja näites 2 on lõigu iga punkt piiripunkt.

Ülaltoodud näidetest on selge, et lõpmatu hulk punktid joonel võivad olla isoleeritud punktid või neid ei pruugi olla; samamoodi see võib olla sisemised punktid ja neid ei pruugi olla. Mis puutub piirpunktidesse, siis ainult näite 4 komplektis ei ole ühte piirpunkti. Nagu näitab järgmine oluline teoreem, on see tingitud asjaolust, et hulk on piiramatu.

Bolzano-Weierstrassi teoreem

Igal sirge piiritud lõpmatul punktide hulgal on vähemalt üks piirpunkt.

Tõestame selle teoreemi. Laskma olema piiratud lõpmatu hulk punkte sirgel. Kuna komplekt on piiratud, asub see täielikult teatud segmendis. Jagame selle segmendi pooleks. Kuna hulk on lõpmatu, sisaldab vähemalt üks saadud segment lõpmatult palju hulga punkte. Tähistame seda lõiku tähisega (kui lõigu mõlemad pooled sisaldavad lõpmatult palju hulga punkte, siis saame tähistada näiteks vasakut punktiga). Järgmisena jagage segment kaheks võrdseks segmendiks. Kuna lõigul paiknev hulga osa on lõpmatu, sisaldab vähemalt üks saadud lõikudest lõpmatult palju hulga punkte. Tähistame seda segmenti . Jätkame lõikude pooleks jagamist lõputult ja iga kord võtame poole, mis sisaldab lõpmatult palju hulga punkte. Saame segmentide jada. Sellel segmentide jadal on järgmised omadused: iga järgmine segment sisaldub eelmises; iga segment sisaldab lõpmatult palju hulga punkte; segmentide pikkused kipuvad olema nulli. Jada kaks esimest omadust tulenevad otseselt selle konstruktsioonist ja viimase omaduse tõestamiseks piisab, kui märkida, et kui lõigu pikkus on võrdne , siis lõigu pikkus on võrdne . Cantori põhimõtte kohaselt on üks punkt, mis kuulub kõikidesse segmentidesse. Näitame, et see punkt on hulga piirpunkt. Selleks piisab, kui teha kindlaks, et kui on mingi intervall, mis sisaldab punkti, siis sisaldab see lõpmatult palju hulga punkte. Kuna iga segment sisaldab punkti ja lõikude pikkused kipuvad olema nulli, siis piisavalt suur segment sisaldub täielikult intervallis . Kuid tingimuse järgi sisaldab see lõpmatult palju kogumi punkte. Seetõttu sisaldab see lõpmatult palju kogumi punkte. Seega on punkt tõepoolest hulga piirpunkt ja Bolzano-Weierstrassi teoreem on tõestatud.