Tõenäosuste liitmise ja korrutamise teoreemid

Liitumise teoreem

Mitmest kokkusobimatust sündmusest ühe toimumise tõenäosus on võrdne nende sündmuste tõenäosuste summaga.

Kahe kokkusobimatu sündmuse A ja B korral on meil:

P(A+B) = P(A) + P(B) (7)

Sündmusele A vastandlik sündmus on tähistatud . Sündmuste A kombinatsioon annab usaldusväärse sündmuse ja kuna sündmused A ei ühildu, siis

P(A) + P() = 1 (8)

Nimetatakse sündmuse A tõenäosus, mis arvutatakse eeldusel, et sündmus B on toimunud tingimuslik tõenäosus sündmus A ja seda tähistatakse sümboliga P B (A).

Kui sündmused A ja B on sõltumatud, siis P(B) = P A (B).

Sündmused Nimetatakse A, B, C, ... kollektiivselt sõltumatud, kui nende igaühe tõenäosus ei muutu teiste sündmuste toimumise või mittetoimumise tõttu eraldi või nende mis tahes kombinatsioonis ja suvalises arvus.

Korrutusteoreem

Tõenäosus, et sündmused A, B ja C leiavad aset... on võrdne nende tõenäosuste korrutisega, mis on arvutatud eeldusel, et toimusid kõik neile eelnevad sündmused, s.t.

P(AB) = P(A)P A (B)(9)

Märkus P A (B) tähistab sündmuse B tõenäosust eeldusel, et sündmus A on juba toimunud.

Kui sündmused A, B, C, ... on kollektiivselt sõltumatud, on nende kõigi toimumise tõenäosus võrdne nende tõenäosuste korrutisega:

P(ABC) = P(A)P(B)P(C) (10)

Näide 3.1. Kotis on pallid: 10 valget, 15 musta, 20 sinist ja 25 punast. Üks pall võeti välja. Leia tõenäosus, et tõmmatud pall on valge? must? Ja veel üks asi: valge või must?

Lahendus.

Kõigi võimalike katsete arv n = 10 + 15 + 20 + 25 = 70;

Tõenäosus P(b) = 10/70 = 1/7, P(h) = 15/70 = 3/14.

Rakendame tõenäosuse liitmise teoreemi:

R(b + h) = R(b) + R(h) = 1/7 + 3/14 = 5/14.

Märge: sulgudes olevad suurtähed näitavad vastavalt iga palli värvi vastavalt ülesande tingimustele.

Näide 3.2 Esimeses kastis on kaks valget ja kümme musta palli. Teises kastis on kaheksa valget ja neli musta palli. Igast kastist võeti pall. Määrake tõenäosus, et mõlemad pallid on valged.

Lahendus.

Sündmus A on valge palli ilmumine esimesest kastist. Sündmus B on valge palli ilmumine teisest kastist. Sündmused A ja B on sõltumatud.

Tõenäosused P(A) = 2/12 = 1/6, P(B) = 8/12 = 2/3.

Rakendame tõenäosuse korrutamise teoreemi:

P(AB) = P(A)P(B) = 2/18 = 1/9.

Ülevaate küsimused

1 Mis on faktoriaal?

2 Loetlege kombinatoorika põhiülesanded.

3 Mida nimetatakse permutatsioonideks?

4 Mida nimetatakse liigutusteks?

5 Kuidas nimetatakse kombinatsioone?

6 Milliseid sündmusi nimetatakse usaldusväärseteks?

7 Milliseid sündmusi nimetatakse kokkusobimatuteks?

8 Kui suur on sündmuse toimumise tõenäosus?

9 Mida nimetatakse tingimuslikuks tõenäosuseks?

10 Sõnasta teoreemid tõenäosuste liitmiseks ja korrutamiseks.

11 jne.Paigutus alates P elemendid poolt k (k ≤ n ) on mis tahes komplekt, mis koosneb To elemendid, mis on võetud andmetest kindlas järjekorras P elemendid.

Seega kaks paigutust alates P elemendid poolt To loetakse erinevateks, kui need erinevad elementide endi või paigutuse järjestuse poolest Paigutuste arv alates P elemendid poolt To tähistama A p k ja arvutatakse valemi abil

A p k =

Kui paigutused alates P elemendid poolt P erinevad üksteisest ainult elementide järjestuse poolest, siis esindavad nad permutatsioone P elemendid

Näide1. Teise klassi õpilased õpivad 9 ainet. Mitmel viisil saab teha ühe päeva ajakava nii, et see sisaldaks 4 erinevat ainet?

Lahendus: mistahes ühe päeva ajakava, mis koosneb 4 erinevast ainest, erineb teisest kas ainete komplekti või nende esitamise järjekorra poolest. See tähendab, et selles näites räägime 4 9 elemendi paigutustest. Meil ​​on

A 9 4 = = 6 ∙ 7 ∙ 8 ∙ 9 = 3024

Ajakava saab koostada 3024 viisil

Näide 2. Mitu kolmekohalist arvu (ilma numbrites korduvate numbriteta) saab arvudest 0,1,2,3,4,5,6 teha?

Lahendus Kui seitsme numbri hulgas ei ole nulli, siis on nendest numbritest moodustatavate kolmekohaliste numbrite arv (ilma korduvate numbriteta) võrdne paigutuste arvuga

22

7 elementi, millest igaüks on 3. Nende arvude hulgas on aga arv 0, millega kolmekohaline arv alata ei saa. Seetõttu tuleb 7 elemendi paigutusest 3 võrra välja jätta need, mille esimene element on 0. Nende arv võrdub nende 6 elemendi paigutuste arvuga 2 võrra. =

See tähendab, et vajalik arv kolmekohalisi numbreid on

A 7 3 - A 6 2 = - = 5 ∙ 6 ∙ 7 - 5 ∙ 6 = 180.

3. Omandatud teadmiste kinnistamine probleemide lahendamise protsessis

№754 . Kui mitmel viisil saab kolmeliikmeline pere neljakohalises kupees magada, kui kupees pole teisi reisijaid?

Lahendus. Võimaluste arv on võrdne A 4 3 = = 1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24

№755. 30 koosolekul osaleja hulgast tuleb valida esimees ja sekretär. Kui mitmel viisil saab seda teha?

Lahendus. Kuna iga osaleja võib olla nii sekretär kui ka esimees, on nende valimise võimalus võrdne

A 30 2 = = = 29 ∙ 30 = 870

№762 Mitu neljakohalist arvu, millel ei ole ühesuguseid kohti, saab teha järgmistest numbritest: a) 1,3,5,7,9. b) 0,2,4,6,8?

Lahendus a) A 5 4 = = 1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 = 120

b)) A 5 4 - A 4 3 = 5! - 4! = 120–24 = 96

Kodutöö nr 756, nr 757, nr 758, nr 759.

6. õppetunni teema: "Kombinatsioonid"

Eesmärk: Kombinatsioonide mõiste andmiseks tutvustage kombinatsioonide arvutamise valemit, õpetage, kuidas seda valemit kasutada kombinatsioonide arvu loendamiseks.

1 Kodutööde kontrollimine.

№ 756 . Jaamas on 7 alternatiivset rada. Mitmel viisil saab neile paigutada 4 rongi?

23

Lahendus : A 7 4 = = 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 7 = 20 ∙ 42 = 840 teed

№757 Mitmel viisil saab treener määrata, kes 12-st 4x100m teatejooksus osalema valmis olevast sportlasest jookseb esimesel, teisel, kolmandal ja neljandal etapil?

Lahendus: A 12 4 = = 9 ∙ 10 ∙ 11 ∙ 12 = 90 ∙ 132 = 11 880

№ 758. Sektordiagrammis on ring jagatud 5 sektoriks. Otsustasime sektorid värvida erinevate värvidega, mis on võetud 10 värvi sisaldavast komplektist. Kui mitmel viisil saab seda teha?

Lahendus: A 10 5 = = 6 ∙ 7 ∙ 8 ∙ 9, 10 = 30 240

№759. Kui mitmel viisil saavad 6 eksamit sooritavat õpilast 20 ühekohalise lauaga klassiruumis istet võtta?

Lahendus: A 20 6 = = 15∙ 16 ∙17∙ 18∙19 ∙20 = 27 907 200

Kodutööde kontrolli saab korraldada erinevalt: kontrollida suuliselt koduülesannete lahendusi, kirjutada mõne lahendused tahvlile ning lahenduste salvestamise ajal korraldada õpilaste küsitlus järgmistel küsimustel:

1. Mida see kanne tähendab? P!

2. Mida nimetatakse permutatsiooniks P elemendid?

3.Millist valemit kasutatakse permutatsioonide arvu arvutamiseks?

4. Mida nimetatakse paigutuseks alates P elemendid poolt Et?

5. P elemendid poolt Et?

2 Uue materjali selgitus

Olgu 5 erinevat värvi nelki. Tähistame need tähtedega a, c, c, d, f. Peate tegema kimbu kolmest nelgist. Uurime välja, milliseid kimpe saab koostada.

Kui kimp sisaldab nelke A , siis saate teha järgmised kimbud:

avs, avd, ave, asd, ase, ade.

Kui kimp ei sisalda nelke A, aga nelk tuleb sisse V , siis saad järgmised kimbud:

kõik, kõik, kõikjal.

Lõpuks, kui kimp ei sisalda nelki A, mitte nelki V, siis on kimbu koostamiseks võimalik ainult üks võimalus:

sde.

24

Oleme välja toonud kõikvõimalikud kimpude valmistamise viisid, kus viiest nelgist kolm on erineval viisil kombineeritud, öeldakse, et oleme teinud kõik võimalikuks kombinatsioonid 5 elemendist, igaüks 3, leidsime et C 5 3 = 10.

Tuletame kombinatsioonide arvu valem sellest P elemendid k-s, kus k ≤ p.

Uurime esmalt, kuidas C 5 3 väljendub A 5 3 ja P 3 kaudu. Leidsime, et nende viiest elemendist saab teha järgmised 3 elemendi kombinatsioonid:

avs, avd, ave, asd, ase, ade, vsd, kõik, vde, sde.

Igas kombinatsioonis teostame kõik permutatsioonid. 3 elemendi permutatsioonide arv on võrdne P 3 . Selle tulemusena saame kõik võimalikud kombinatsioonid 5 elemendist 3, mis erinevad kas elementide endi või elementide järjestuse poolest, s.t. kõik 5 elemendi paigutused on 3. Kokku saame A 5 3 paigutust.

Tähendab , C 5 3 ∙ P 3 = A 5 3, seega C 5 3 = A 5 3: P 3

Üldjuhul arutledes saame C p k = A p k: P k,

Kasutades seda, et A p k = , kus k ≤ p., saame C p k = .

See on valem kombinatsioonide arvu arvutamiseks P elemendid poolt To igal juhul

k ≤ p.

Näide1. 15 värvist koosnevast komplektist tuleb karbi värvimiseks valida 3 värvi. Kui mitmel viisil saab seda valikut teha?

Lahendus: iga kolme värvi valik erineb teisest vähemalt ühe värvi poolest. See tähendab, et siin räägime 15 elemendi 3 kombinatsioonidest

Alates 15 3 = = (13∙ 14∙15) : ( 1∙ 2 ∙ 3) = 455

Prime2 Klassis on 12 poissi ja 10 tüdrukut. Kolm poissi ja kaks tüdrukut on kohustatud koristama kooli lähedal asuva ala. Kui mitmel viisil saab seda valikut teha?

Lahendus: saate valida 3 poissi 12-st 12 3-ga ja kaks tüdrukut 10-st saab valida 10 2-ga. Kuna iga poiste valiku jaoks on võimalik valida tüdrukuid 10 2 viisil, siis saate teha õpilaste valiku, mida käsitletakse ülesandes

С 12 3 ∙ С 10 2 = ∙ = 220 ∙ 45 = 9900

3) Uue materjali koondamine probleemide lahendamise protsessis

25

Ülesanne

Sasha koduraamatukogus on 8 ajaloolist romaani. Petya tahab temalt võtta 2 romaani. Kui mitmel viisil saab seda valikut teha?

Lahendus: C 8 2 = = ( 7 ∙ 8) : ( 1∙ 2) = 56: 2 = 28

№779 a

Maleklubis on 16 inimest. Kui mitmel viisil saab treener valida nende hulgast 4-liikmelise meeskonna eelseisvaks turniiriks?

Lahendus: C 16 4 = = ( 13∙ 14∙15 ∙16) : ( 1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4) = 13 ∙ 7 ∙5∙ 4 = 91 ∙20 = 1820

№774 Kooli renoveerivas meeskonnas on 12 maalrit ja 5 puuseppa. Neist 4 maalrit ja 2 puuseppa on vaja eraldada spordihalli remondiks. Kui mitmel viisil saab seda teha?

С 12 4 ∙ С 5 2 = ∙ = 495 ∙ 10 = 4950

Kodutöö nr 768, nr 769, nr 770, nr 775

7. õppetüki teema: “Ülesannete lahendamine valemite abil liikumiste arvu, paigutuste, kombinatsioonide arvutamiseks”

Eesmärk: õpilaste teadmiste kinnistamine. Lihtsate kombinatoorsete ülesannete lahendamise oskuste kujundamine

1 Kodutööde kontrollimine

№768 Klassis on 7 inimest, kes õpivad edukalt matemaatikat. Mitmel viisil saab neist kaks valida matemaatikaolümpiaadil osalemiseks?

Lahendus: C 7 2 = = (6∙ 7): 2 = 21

№769 Filateelia kaupluses on müügil 8 erinevat sporditeemadele pühendatud postmargikomplekti. Mitmel viisil saab nende hulgast 3 komplekti valida?

Lahendus: C 8 3 = = ( 6 ∙ 7 ∙ 8) : ( 1∙ 2 ∙ 3) = 56

26

№770 Õpilastele anti pühade ajal lugemiseks nimekiri 10 raamatust. Mitmel viisil saab õpilane nende hulgast 6 raamatut valida?

Lahendus: C 10 6 = = ( 7 ∙ 8 ∙ 9∙ 10) : ( 1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4) = 210

№775 Raamatukogu pakkus lugejale uute tulijate seast valikus 10 raamatut ja 4 ajakirja. Kui mitmel viisil saab ta nende hulgast valida 3 raamatut ja 2 ajakirja?

Lahendus: C 10 3 ∙ C 4 2 = ∙ = 120 ∙ 6 = 720

Küsimused klassile

1. Mida nimetatakse permutatsiooniks P elemendid?

2.Millist valemit kasutatakse permutatsioonide arvu arvutamiseks?

3. Mida nimetatakse paigutuseks alates P elemendid poolt Et?

4. Millise valemi alusel arvutatakse paigutuste arv P elemendid poolt Et?

5. Mida nimetatakse kombinatsiooniks P elemendid poolt Et?

6. Millist valemit kasutatakse kombinatsioonide arvu arvutamiseks P elemendid poolt Et?

Probleemid liigeste lahendamiseks

Iga ülesande lahendamisel toimub esmalt arutelu: milline kolmest uuritud valemist aitab vastuse saada ja miks

1. Mitu neljakohalist arvu saab teha arvudest 4,6,8,9, eeldusel, et kõik arvud on erinevad?

2. Õpilasrühma 15 inimese hulgast tuleb valida koolijuhataja ja tema asetäitja. Kui mitmel viisil saab seda teha?

3. Kooli 10 parimast õpilasest tuleks juhtide koosolekule saata kaks inimest.

Kui mitmel viisil saab seda teha?

Kommentaar:Ülesandes nr 3 pole vahet, keda valida: suvalist 2 inimest 10-st, seega töötab siin kombinatsioonide arvu arvestamise valem.

Ülesandes nr 2 valitakse järjestatud paar, kuna valitud paaris, kui perekonnanimed vahetatakse, on see erinev valik, seega töötab paigutuste arvu arvutamise valem siin

Vastused ühiste lahenduste probleemidele:

nr 1 24. kuupäeval. Nr 2 210 teed. Nr 3 45 teed

Ülesanded ühiseks aruteluks ja iseseisvateks arvutusteks

Nr 1 6 sõpra kohtusid ja igaüks surus teineteisega kätt. Mitu käepigistust oli?

27

Nr 2 Mitmel viisil saab 1. klassi õpilastele koostada tunniplaani üheks päevaks, kui neil on 7 ainet ja sel päeval peaks olema 4 tundi?

(Paigutuste arv 7 kuni 4)

Nr 3 Peres on 6 inimest, köögis on laua taga 6 tooli. Nendele 6 toolile otsustati igal õhtul enne õhtusööki uutmoodi istuda. Mitu päeva saavad pereliikmed seda kordamata teha?

Nr 4 Majaomaniku juurde tulid külalised A, B, C, D. Ümmarguse laua taga on viis erinevat tooli. Mitu istumisviisi on olemas?

(4 inimest tulid külla + omanik = 5 inimest istuvad 5 toolil, peate arvestama permutatsioonide arvu)

5. Värviraamatus on joonistatud mittelõikuv kolmnurk, ruut ja ring. Iga figuur peab olema maalitud ühte vikerkaarevärvidest, erinevad kujundid erinevates värvides. Mitu värvimisviisi on olemas?

(Loendage paigutuste arv vahemikus 7 kuni 3)

Nr 6 Klassis on 10 poissi ja 4 tüdrukut. Valvevalves on vaja valida 3 inimest, et nende hulgas oleks 2 poissi ja 1 tüdruk. Kui mitmel viisil saab seda teha?

(Kombinatsioonide arv 10-ga korrutatud kombinatsioonide arvuga 4-ga)

Vastused isearvutamise probleemidele

№115 käepigistust

№2840 viisi

№3720 päeva

№5120 viisi

№6180 viisi

Kodutöö nr 835, nr 841

8. tunni teema: “Iseseisev töö”

Eesmärk: õpilaste teadmiste kontrollimine

1.Kodutöö kontrollimine

№^ 835 Mitu paaris neljakohalist arvu, mille numbrid ei kordu, saab kirjutada numbrite a) 1,2,3,7 abil. b) 1,2,3,4.

28

a) Meie numbrid peavad lõppema paariskohaga, selline number tingimuses üks on number 2, paneme selle viimasele kohale ja paigutame ülejäänud 3 numbrit ümber, selliste permutatsioonide arv on 3! = 6. Nii saate teha 6 paarisarvu

b) arutleme nagu näites a) pannes numbri 2 viimasele kohale, saame 6 paarisarvu, pannes numbri 4 viimasele kohale, saame veel 6 paarisarvu,

see tähendab, et paarisarvu on ainult 12

№841 Mitmel viisil saab 24 õpilasega klassist valida: a) kaks saatjat; b) koolijuhataja ja tema abi?

a) sest 24-st võivad valves olla suvalised 2 inimest, siis on paaride arv võrdne

C 24 2 = = 23 ∙ 24:2 = 276

b) siin rebivad nad 24 elemendist välja järjestatud elementide paari, selliste paaride arv on A 24 2 = = 23 ∙ 24 = 552

Variant 1 lahendab ülesanded nr 1,2,3,4,5.

Variant 2 lahendab ülesanded nr 6,7,8,9,10.

Lihtsamate kombinatoorsete ülesannete lahendamine

(K.R. materjalide põhjal 2010. aasta aprillis)

1 . Kui mitmel viisil saab riiulil paigutada viis erinevate autorite raamatut?

2. Mitmel viisil saab joogist ja pirukast pärastlõunase suupiste valmistada, kui menüüs on: tee, kohv, kakao ja õuna- või kirsipirukad?

3. Kolmapäeval peaks tunniplaani järgi 9. klassis “A” toimuma 5 tundi: keemia, füüsika, algebra, bioloogia ja eluohutus. Kui mitmel viisil saate selle päeva ajakava koostada?

4. Seal on 2 valget hobust ja 4 lahehobust. Kui mitmel viisil saate

teha paar erinevat värvi hobust?

5. Mitmel viisil saate panna 5 erinevat münti 5 erinevasse taskusse?

29

6. Kapis riiulil on 3 erinevas stiilis mütsi ja 4 erinevat värvi salli. Kui mitmel viisil saate teha komplekti ühest mütsist ja ühest sallist?

7. Iludusvõistluse finaali jõudis 4 osalejat. Kui mitmel viisil

Kas ilufinaalis osalejate esinemisjärjekorda on võimalik paika panna?

^ 8 .Seal on 4 parti ja 3 hane. Kui mitmel viisil saate valida kahte erinevat lindu?

9. Kui mitmel viisil saab 5 erinevat tähte jagada 5 erinevaks täheks?

ümbrikud, kui igasse ümbrikusse on pandud ainult üks täht?

10. Karbis on 5 punast ja 4 rohelist palli. Kui mitmel viisil saate teha paari erinevat värvi palli?

Iseõppimisülesannete vastused

Õppeasutus "Valgevene riik

Põllumajandusakadeemia"

Kõrgema matemaatika osakond

TÕENÄOSUSTE LIDAMINE JA KORRUTAMINE. KORDUVAD ISESEISEVAD TESTID

Loeng maakorraldusteaduskonna üliõpilastele

kirjavahetuskursused

Gorki, 2012

Tõenäosuste liitmine ja korrutamine. Korduv

sõltumatud testid

Tõenäosuste liitmine

Kahe ühisürituse summa A Ja IN kutsutakse sündmuseks KOOS, mis seisneb vähemalt ühe sündmuse toimumises A või IN. Samamoodi on mitme ühissündmuse summa sündmus, mis koosneb vähemalt ühe neist sündmustest.

Kahe kokkusobimatu sündmuse summa A Ja IN kutsutakse sündmuseks KOOS mis koosneb sündmusest või sündmusest A või sündmused IN. Samamoodi on mitme kokkusobimatu sündmuse summa sündmus, mis koosneb ühe neist sündmustest.

Sobimatute sündmuste tõenäosuste liitmise teoreem kehtib: kahe kokkusobimatu sündmuse summa tõenäosus on võrdne nende sündmuste tõenäosuste summaga , st. . Seda teoreemi saab laiendada mis tahes piiratud arvule mitteühilduvatele sündmustele.

Sellest teoreemist järeldub:

tervikrühma moodustavate sündmuste tõenäosuste summa on võrdne ühega;

vastandlike sündmuste tõenäosuste summa on võrdne ühega, s.o.
.

Näide 1 . Karbis on 2 valget, 3 punast ja 5 sinist palli. Pallid segatakse ja üks loositakse juhuslikult. Kui suur on tõenäosus, et pall saab värviliseks?

Lahendus . Tähistame sündmusi:

A=(tõmmatud värviline pall);

B=(tõmmatud valge pall);

C=(tõmmatud punane pall);

D=(sinine pall tõmmatud).

Siis A= C+ D. Alates sündmustest C, D on vastuolulised, siis kasutame kokkusobimatute sündmuste tõenäosuste liitmiseks teoreemi: .

Näide 2 . Urnis on 4 valget ja 6 musta palli. Urnist tõmmatakse juhuslikult 3 palli. Kui suur on tõenäosus, et need kõik on sama värvi?

Lahendus . Tähistame sündmusi:

A=(tõmmatakse sama värvi pallid);

B=(valged pallid võetakse välja);

C=(mustad pallid võetakse välja).

Sest A= B+ C ja sündmused IN Ja KOOS on vastuolulised, siis kokkusobimatute sündmuste tõenäosuste liitmise teoreemi järgi
. Sündmuse tõenäosus IN võrdne
, Kus
4,

. Asendame k Ja n valemisse ja saamegi
Samamoodi leiame sündmuse tõenäosuse KOOS:
, Kus
,
, st.
. Siis
.

Näide 3 . 36 kaardipakist tõmmatakse juhuslikult välja 4 kaarti. Leidke tõenäosus, et nende hulgas on vähemalt kolm ässa.

Lahendus . Tähistame sündmusi:

A=(väljavõetud kaartide hulgas on vähemalt kolm ässa);

B=(väljavõetud kaartide hulgas on kolm ässa);

C=(väljavõetud kaartide hulgas on neli ässa).

Sest A= B+ C ja sündmused IN Ja KOOS on siis kokkusobimatud
. Leiame sündmuste tõenäosused IN Ja KOOS:

,
. Seetõttu on tõenäosus, et väljatõmmatud kaartide hulgas on vähemalt kolm ässa, võrdne

0.0022.

Tõenäosuste korrutamine

Töö kaks üritust A Ja IN kutsutakse sündmuseks KOOS, mis seisneb nende sündmuste ühises esinemises:
. See määratlus kehtib mis tahes piiratud arvu sündmuste kohta.

Neid kahte sündmust nimetatakse sõltumatu , kui ühe neist toimumise tõenäosus ei sõltu sellest, kas teine ​​sündmus toimus või mitte. Sündmused ,, … ,kutsutakse kollektiivselt sõltumatud , kui nende igaühe toimumise tõenäosus ei sõltu sellest, kas teised sündmused toimusid või ei toimunud.

Näide 4 . Kaks laskurit tulistavad märklauda. Tähistame sündmusi:

A=(esimene laskur tabas märklauda);

B=(teine ​​laskur tabas märklauda).

Ilmselgelt ei sõltu esimese laskuri sihtmärgi tabamise tõenäosus sellest, kas teine ​​laskur tabas või eksis, ja vastupidi. Seetõttu sündmused A Ja IN sõltumatu.

Sõltumatute sündmuste tõenäosuste korrutamise teoreem kehtib: kahe sõltumatu sündmuse korrutise tõenäosus on võrdne nende sündmuste tõenäosuste korrutisega : .

See teoreem kehtib ka n kollektiivselt iseseisvad üritused: .

Näide 5 . Kaks laskurit lasevad samasse märklauda. Esimese laskuri tabamise tõenäosus on 0,9 ja teise laskur 0,7. Mõlemad laskurid tulistavad ühe lasu korraga. Määrake tõenäosus, et sihtmärk tabab kaks korda.

Lahendus . Tähistame sündmusi:

A

B

C=(mõlemad laskurid tabavad märklauda).

Sest
ja sündmused A Ja IN on siis iseseisvad
, st.

Sündmused A Ja IN kutsutakse sõltuv , kui ühe neist toimumise tõenäosus sõltub sellest, kas mõni muu sündmus toimus või mitte. Sündmuse toimumise tõenäosus A tingimusel, et sündmus IN see on juba saabunud, seda kutsutakse tingimuslik tõenäosus ja on määratud
või
.

Näide 6 . Urnis on 4 valget ja 7 musta palli. Urnist tõmmatakse pallid. Tähistame sündmusi:

A=(tõmmatud valge pall) ;

B=(must pall tõmmatud).

Enne urnist pallide eemaldamise alustamist
. Urnist võeti üks pall ja see osutus mustaks. Siis sündmuse tõenäosus A pärast üritust IN tuleb teine, võrdne . See tähendab, et sündmuse tõenäosus A oleneb sündmusest IN, st. need sündmused sõltuvad.

Sõltuvate sündmuste tõenäosuste korrutamise teoreem kehtib: kahe sõltuva sündmuse toimumise tõenäosus on võrdne neist ühe tõenäosuse ja teise tingimusliku tõenäosuse korrutisega, mis arvutatakse eeldusel, et esimene sündmus on juba toimunud, st. või.

Näide 7 . Urnis on 4 valget ja 8 punast palli. Sellest tõmmatakse juhuslikult kaks palli. Leidke tõenäosus, et mõlemad pallid on mustad.

Lahendus . Tähistame sündmusi:

A=(must pall tõmmatakse esimesena);

B=(teine ​​must pall on tõmmatud).

Sündmused A Ja IN sõltuv, sest
, A
. Siis
.

Näide 8 . Kolm laskurit lasevad märklauda üksteisest sõltumatult. Esimese laskuri märklaua tabamise tõenäosus on 0,5, teisel – 0,6 ja kolmandal – 0,8. Leidke tõenäosus, et kui iga laskur tulistab ühe lasu, saab märklauale kaks tabamust.

Lahendus . Tähistame sündmusi:

A=(sihikule saab kaks tabamust);

B=(esimene laskur tabab märklauda);

C=(teine ​​laskur tabab märklauda);

D=(kolmas laskur tabab märklauda);

=(esimene laskur sihtmärki ei taba);

=(teine ​​laskur ei taba märklauda);

=(kolmas laskur sihtmärki ei taba).

Näite järgi
,
,
,

,
,
. Kuna kasutades teoreemi mitteühilduvate sündmuste tõenäosuste liitmiseks ja teoreemi sõltumatute sündmuste tõenäosuste korrutamiseks, saame:

Laske sündmustel
moodustavad mõne testi sündmuste ja sündmuste täieliku rühma A võib juhtuda ainult ühe neist sündmustest. Kui sündmuse tõenäosused ja tingimuslikud tõenäosused on teada A, siis sündmuse A tõenäosus arvutatakse valemiga:

või
. Seda valemit nimetatakse kogu tõenäosuse valem ja sündmused
hüpoteesid .

Näide 9 . Koosteliinile saab esimesest masinast 700 detaili ja 300 detaili teisest. Esimene masin toodab 0,5% vanarauda ja teine ​​- 0,7%. Leidke tõenäosus, et võetud osa on defektne.

Lahendus . Tähistame sündmusi:

A=(võetud osa on defektne);

=(detail tehti esimesel masinal);

=(osa on valmistatud teisel masinal).

Tõenäosus, et detail on valmistatud esimesel masinal, on võrdne
. Teise masina jaoks
. Tingimuse järgi on esimesel masinal tehtud defektse detaili saamise tõenäosus võrdne
. Teise masina puhul on see tõenäosus võrdne
. Seejärel arvutatakse kogu tõenäosuse valemi abil tõenäosus, et võetud osa on defektne

Kui on teada, et testi tulemusena toimus mõni sündmus A, siis tõenäosus, et see sündmus hüpoteesiga aset leidis
, on võrdne
, Kus
- sündmuse kogutõenäosus A. Seda valemit nimetatakse Bayesi valem ja võimaldab arvutada sündmuste tõenäosusi
pärast seda, kui sai teatavaks, et sündmus A on juba saabunud.

Näide 10 . Sama tüüpi autoosi toodetakse kahes tehases ja tarnitakse kauplusesse. Esimene tehas toodab 80% osade koguarvust ja teine ​​- 20%. Esimese tehase tooted sisaldavad 90% standardosadest ja teise tehase tooted 95%. Ostja ostis ühe osa ja see osutus standardseks. Leidke tõenäosus, et see osa on toodetud teises tehases.

Lahendus . Tähistame sündmusi:

A=(standardosa ostetud);

=(osa valmistati esimeses tehases);

=(osa toodeti teises tehases).

Näite järgi
,
,
Ja
. Arvutame sündmuse kogutõenäosuse A: 0,91. Arvutame tõenäosuse, et osa valmistati teises tehases, kasutades Bayesi valemit:

.

Ülesanded iseseisvaks tööks

Esimese laskuri märklaua tabamise tõenäosus on 0,8, teisel – 0,7 ja kolmandal – 0,9. Tulistajad lasid igaüks ühe lasu. Leidke tõenäosus, et sihtmärgil on vähemalt kaks tabamust.

Remonditöökoda sai 15 traktorit. Teada on, et 6 neist vajavad mootori väljavahetamist ja ülejäänud üksikud komponendid. Kolm traktorit valitakse juhuslikult. Leidke tõenäosus, et mootori vahetus on vajalik mitte rohkem kui kahe valitud traktori puhul.

Raudbetoonitehases toodetakse paneele, millest 80% on kõrgeima kvaliteediga. Leidke tõenäosus, et kolmest juhuslikult valitud paneelist on vähemalt kaks kõrgeima klassiga.

Kolm töölist panevad laagreid kokku. Tõenäosus, et esimese töötaja poolt kokkupandud laager on kõrgeima kvaliteediga, on 0,7, teise – 0,8 ja kolmanda – 0,6. Kontrollimiseks võeti iga töötaja poolt kokkupandud laagritest juhuslikult üks laager. Leidke tõenäosus, et vähemalt kaks neist on kõrgeima kvaliteediga.

Esimese loosipileti võitmise tõenäosus on 0,2, teise 0,3 ja kolmanda 0,25. Iga numbri jaoks on üks pilet. Leia tõenäosus, et võidab vähemalt kaks piletit.

Raamatupidaja teeb arvutusi kolme teatmeraamatu abil. Tõenäosus, et teda huvitavad andmed on esimeses kataloogis, on 0,6, teises - 0,7 ja kolmandas - 0,8. Leidke tõenäosus, et raamatupidajat huvitavad andmed sisalduvad mitte rohkem kui kahes kataloogis.

Kolm masinat toodavad osi. Esimene masin toodab kõrgeima kvaliteediga osa tõenäosusega 0,9, teine ​​tõenäosusega 0,7 ja kolmas tõenäosusega 0,6. Igast masinast võetakse juhuslikult üks osa. Leidke tõenäosus, et vähemalt kaks neist on kõrgeima kvaliteediga.

Sama tüüpi osi töödeldakse kahel masinal. Esimese masina mittestandardse detaili valmistamise tõenäosus on 0,03, teise puhul 0,02. Töödeldud osi hoitakse ühes kohas. Nende hulgas on 67% esimesest masinast ja ülejäänud teisest. Juhuslikult võetud osa osutus standardseks. Leidke tõenäosus, et see tehti esimesel masinal.

Töökotta sai kaks kasti sama tüüpi kondensaatoreid. Esimeses karbis oli 20 kondensaatorit, millest 2 olid vigased. Teises karbis on 10 kondensaatorit, millest 3 on vigased. Kondensaatorid pandi ühte kasti. Leidke tõenäosus, et karbist juhuslikult võetud kondensaator on heas seisukorras.

Kolm masinat toodavad sama tüüpi osi, mis tarnitakse ühisele konveierile. Kõigist osadest on 20% esimesest masinast, 30% teisest ja 505 kolmandast. Esimesel masinal on standarddetaili valmistamise tõenäosus 0,8, teisel – 0,6 ja kolmandal – 0,7. Võetud osa osutus standardseks. Leidke tõenäosus, et see osa valmistati kolmandal masinal.

Monteerija saab tehasest monteerimiseks 40% detailidest A, ja ülejäänud - tehasest IN. Tõenäosus, et osa on tehasest A– suurepärane kvaliteet, võrdne 0,8 ja tehasest IN– 0,9. Kokkupanija võttis ühe detaili juhuslikult ja see osutus ebakvaliteetseks. Leidke tõenäosus, et see osa on tehasest pärit IN.

Esimesest rühmast eraldati 10 õpilast ja teisest 8 õpilast õpilasspordivõistlustel. Tõenäosus, et akadeemia võistkonda satub õpilane esimesest rühmast, on 0,8 ja teisest 0,7. Meeskonda kaasati juhuslikult valitud õpilane. Leidke tõenäosus, et ta on esimesest rühmast.

Bernoulli valem

Testid on nn sõltumatu , kui igaühele neist sündmus A toimub sama tõenäosusega
, sõltumata sellest, kas see sündmus ilmnes teistes katsetes või mitte. Vastupidise sündmuse tõenäosus sel juhul võrdub
.

Näide 11 . Täringut visatakse nüks kord. Tähistame sündmust A=(kolme punkti veeremine). Sündmuse toimumise tõenäosus A igas katses on võrdne ega sõltu sellest, kas see sündmus toimus või ei toimunud teistes katsetes. Seetõttu on need testid sõltumatud. Vastupidise sündmuse tõenäosus
(mitte veereta kolme punkti) on võrdne
.

Tõenäosus, et sisse n sõltumatud katsed, millest igaühes on sündmuse toimumise tõenäosus A võrdne lk, toimub sündmus täpselt k korda (pole oluline, millises järjekorras), arvutatuna valemiga
, Kus
. Seda valemit nimetatakse Bernoulli valem ja see on mugav, kui testide arv n ei ole liiga suur.

Näide 12 . Varjatud vormis haigusega nakatunud viljade osakaal on 25%. Juhuslikult valitakse 6 puuvilja. Leidke tõenäosus, et väljavalitute hulgas on: a) täpselt 3 nakatunud vilja; b) mitte rohkem kui kaks nakatunud vilja.

Lahendus . Vastavalt näidistingimustele.

a) Bernoulli valemi järgi on tõenäosus, et kuuest valitud puuviljast nakatub täpselt kolm

0.132.

b) Tähistame sündmust A= (nakatatud ei ole rohkem kui kaks vilja). Siis . Bernoulli valemi järgi:

0.297.

Seega
0.178+0.356+0.297=0.831.

Laplace'i ja Poissoni teoreemid

Bernoulli valemit kasutatakse sündmuse tõenäosuse leidmiseks A tuleb k iga kord n sõltumatud katsed ja igas katses sündmuse tõenäosus A on konstantne. Suurte n väärtuste korral muutuvad Bernoulli valemiga arvutused töömahukaks. Sel juhul sündmuse tõenäosuse arvutamiseks A Parem oleks kasutada teistsugust valemit.

Kohalik Laplace'i teoreem . Laske tõenäosus lk sündmuse toimumine A igas katses on konstantne ja erineb nullist ja ühest. Siis tõenäosus, et sündmus A tuleb täpselt k korda piisavalt suure arvu n testidega, arvutatakse valemiga

, Kus
ja funktsiooni väärtused
on toodud tabelis.

Funktsiooni peamised omadused
on:

Funktsioon
määratletud ja intervallis pidev
.

Funktsioon
on positiivne, st.
>0.

Funktsioon
isegi, st.
.

Alates funktsioonist
on ühtlane, siis näitab tabel selle väärtusi ainult positiivsete väärtuste korral X.

Näide 13 . Nisuseemnete idanevus on 80%. Katse jaoks valitakse 100 seemet. Leidke tõenäosus, et idaneb täpselt 90 valitud seemet.

Lahendus . Näite järgi n=100, k=90, lk=0.8, q=1-0,8=0,2. Siis
. Tabeli abil leiame funktsiooni väärtuse
:
. Tõenäosus, et täpselt 90 valitud seemnest tärkab, on võrdne
0.0044.

Praktiliste ülesannete lahendamisel on vaja leida sündmuse toimumise tõenäosus A juures n sõltumatud testid mitte vähem üks kord ja mitte rohkem üks kord. See probleem lahendatakse kasutades Laplace'i integraalteoreem : Olgu tõenäosus lk sündmuse toimumine A igas n sõltumatud testid on konstantsed ja erinevad nullist ja ühest. Siis on sündmuse toimumise tõenäosus vähemalt üks kord ja mitte rohkem korda piisavalt suure arvu testidega, arvutatakse valemiga

Kus
,
.

Funktsioon
helistas Laplace'i funktsioon ja seda ei väljendata elementaarfunktsioonide kaudu. Selle funktsiooni väärtused on toodud spetsiaalsetes tabelites.

Funktsiooni peamised omadused
on:

.

Funktsioon
intervall suureneb
.

juures
.

Funktsioon
veider, s.t.
.

Näide 14 . Ettevõte toodab tooteid, millest 13% ei ole just kõige kvaliteetsemad. Määrake tõenäosus, et kõrgeima kvaliteediga toote 150 ühikust koosnevas testimata partiis on vähemalt 125 ja mitte rohkem kui 135.

Lahendus . Tähistame . Arvutame
,

Kell Iga juhusliku sündmuse toimumise tõenäosuse hindamisel on väga oluline omada head arusaama sellest, kas meid huvitava sündmuse toimumise tõenäosus () sõltub sellest, kuidas teised sündmused arenevad.

Klassikalise skeemi puhul, kui kõik tulemused on võrdselt tõenäolised, saame meid huvitava üksiksündmuse tõenäosusväärtusi juba iseseisvalt hinnata. Saame seda teha isegi siis, kui sündmus on mitme elementaarse tulemuse kompleksne kogum. Mis siis, kui mitu juhuslikku sündmust toimuvad samaaegselt või järjestikku? Kuidas see mõjutab meid huvitava sündmuse toimumise tõenäosust?

Kui ma viskan täringut mitu korda ja tahan, et kuue tuleks, ja mul ei vea pidevalt, kas see tähendab, et peaksin oma panust suurendama, sest tõenäosusteooria kohaselt on mul õnne? Paraku tõenäosusteooria midagi sellist ei väida. Ei mingeid täringuid, kaarte ega münte ei mäleta mida nad meile eelmisel korral näitasid. Neile pole üldse vahet, kas ma täna oma õnne proovin esimest või kümnendat korda. Iga kord, kui rulli kordan, tean ainult üht: ja seekord on kuue saamise tõenäosus taas üks kuuendik. See muidugi ei tähenda, et mulle vajalik number kunagi ei tuleks. See tähendab ainult seda, et minu kaotus pärast esimest viset ja pärast mis tahes muud viset on iseseisvad sündmused.

Kutsutakse sündmusi A ja B sõltumatu, kui ühe neist rakendamine ei mõjuta kuidagi teise sündmuse tõenäosust. Näiteks kahest relvast esimesega sihtmärki tabamise tõenäosus ei sõltu sellest, kas sihtmärki tabas teine ​​relv, seega on sündmused "esimene relv tabas sihtmärki" ja "teine ​​relv tabas sihtmärki" sõltumatu.

Kui kaks sündmust A ja B on sõltumatud ja nende mõlema tõenäosus on teada, saab nii sündmuse A kui ka sündmuse B (tähisega AB) samaaegse toimumise tõenäosuse arvutada järgmise teoreemi abil.

Sõltumatute sündmuste tõenäosuse korrutamise teoreem

P(AB) = P(A)*P(B)- tõenäosus samaaegne kahe algus sõltumatu sündmused on võrdne tööd nende sündmuste tõenäosus.

Näide.Sihtmärgi tabamise tõenäosus esimese ja teise püssi tulistamisel on vastavalt võrdsed: p 1 =0,7; p 2 = 0,8. Leidke tõenäosus, et mõlemad relvad saavad samaaegselt ühe salvaga tabamuse.

Lahendus: nagu juba nägime, on sündmused A (löök esimesest püssist) ja B (tabamus teisest püssist) sõltumatud, s.t. P(AB)=P(A)*P(B)=p1*p2=0,56.

Mis juhtub meie hinnangutega, kui esialgsed sündmused ei ole sõltumatud? Muudame veidi eelmist näidet.

Näide.Kaks laskurit lasevad võistlusel märklauda ja kui üks neist laseb täpselt, hakkab vastane närviliseks minema ja tema tulemused halvenevad. Kuidas muuta see igapäevane olukord matemaatiliseks probleemiks ja visandada selle lahendamise viise? Intuitiivselt on selge, et sündmuste arendamiseks on vaja kuidagi eraldada kaks võimalust, luua sisuliselt kaks stsenaariumi, kaks erinevat ülesannet. Esimesel juhul, kui vastane eksis, on stsenaarium närvilisele sportlasele soodne ja tema täpsus suurem. Teisel juhul, kui vastane on oma võimaluse korralikult ära kasutanud, väheneb teise sportlase sihtmärgi tabamise tõenäosus.

Võimalike sündmuste arengu stsenaariumide (mida sageli nimetatakse hüpoteesideks) eraldamiseks kasutame sageli "tõenäosuspuu" diagrammi. See diagramm on tähenduselt sarnane otsustuspuuga, millega olete tõenäoliselt juba tegelenud. Iga haru esindab sündmuste arenguks eraldi stsenaariumi, alles nüüd on sellel oma tähendus nn tingimuslik tõenäosused (q 1, q 2, q 1 -1, q 2 -1).

See skeem on väga mugav järjestikuste juhuslike sündmuste analüüsimiseks.

Jääb üle selgitada veel üks oluline küsimus: kust pärinevad tõenäosuste algväärtused? tõelisi olukordi ? Lõppude lõpuks ei tööta tõenäosusteooria ainult müntide ja täringutega? Tavaliselt võetakse need hinnangud statistikast ja kui statistiline teave pole kättesaadav, viime läbi oma uuringud. Ja me peame seda sageli alustama mitte andmete kogumisest, vaid küsimusest, millist teavet me tegelikult vajame.

Näide.Oletame, et me peame saja tuhande elanikuga linnas hindama turu mahtu uuele tootele, mis ei ole hädavajalik, näiteks värviliste juuste hooldamiseks mõeldud palsami jaoks. Vaatleme "tõenäosuspuu" diagrammi. Sel juhul peame ligikaudselt hindama iga "haru" tõenäosuse väärtust. Niisiis, meie hinnangud turuvõimsusele:

1) kõigist linnaelanikest 50% on naised,

2) naistest ainult 30% värvib juukseid sageli,

3) neist ainult 10% kasutab palsameid värvitud juustele,

4) neist vaid 10% suudab koguda julguse uut toodet proovida,

5) 70% neist ostavad tavaliselt kõike mitte meilt, vaid meie konkurentidelt.

Lahendus: Tõenäosuste korrutamise seaduse järgi määrame meid huvitava sündmuse tõenäosuse A = (linnaelanik ostab meilt selle uue palsami) = 0,00045.

Korrutame selle tõenäosuse väärtuse linnaelanike arvuga. Sellest tulenevalt on meil vaid 45 potentsiaalset klienti ja arvestades, et ühest pudelist seda toodet jätkub mitmeks kuuks, ei ole kauplemine kuigi elav.

Ja ometi on meie hinnangutest kasu.

Esiteks saame võrrelda erinevate äriideede prognoose, neil on diagrammides erinevad "kahvlid" ja loomulikult on ka tõenäosusväärtused erinevad.

Teiseks, nagu me juba ütlesime, ei nimetata juhuslikku muutujat juhuslikuks, kuna see ei sõltu üldse millestki. Just tema täpne tähendus pole ette teada. Teame, et keskmist ostjate arvu saab suurendada (näiteks uue toote reklaamimisega). Seega on mõttekas suunata oma jõupingutused nendele „kahvlitele“, kus tõenäosusjaotus meile eriti ei sobi, nendele teguritele, mida suudame mõjutada.

Vaatame veel üht tarbijakäitumise uurimise kvantitatiivset näidet.

Näide. Keskmiselt külastab toiduturgu 10 000 inimest päevas. Tõenäosus, et turukülastaja satub piimatoodete paviljoni, on 1/2. Teadaolevalt müüakse selles paviljonis keskmiselt 500 kg erinevaid tooteid päevas.

Kas võib öelda, et keskmine ost paviljonis kaalub vaid 100 g?

Arutelu. Muidugi mitte. Selge on see, et kõik, kes paviljoni sisenesid, sealt midagi ostma ei sattunud.

Nagu diagrammil näidatud, tuleb küsimusele keskmise ostu kaalu kohta vastamiseks leida vastus küsimusele, kui suur on tõenäosus, et paviljoni siseneja ostab sealt midagi. Kui selliseid andmeid meie käsutuses ei ole, aga meil on neid vaja, siis peame need ise hankima, jälgides mõnda aega paviljoni külastajaid. Oletame, et meie vaatlused näitasid, et vaid viiendik paviljoni külastajatest ostab midagi.

Kui oleme need hinnangud saanud, muutub ülesanne lihtsaks. 10 000 turule tulijast läheb piimatoodete paviljoni 5000, oste tuleb vaid 1000. Keskmine ostukaal on 500 grammi. Huvitav on märkida, et toimuvast tervikliku pildi loomiseks tuleb tingliku “hargnemise” loogika meie arutluskäigu igas etapis määratleda nii selgelt, nagu töötaksime “konkreetse” olukorraga, mitte aga tõenäosustega.

Enesetesti ülesanded

1. Olgu elektriahel, mis koosneb n järjestikku ühendatud elemendist, millest igaüks töötab teistest sõltumatult.

Iga elemendi rikke tõenäosus p on teada. Määrake kogu vooluringi sektsiooni nõuetekohase toimimise tõenäosus (sündmus A).

2. Õpilane teab 20 eksamiküsimust 25-st. Leidke tõenäosus, et õpilane teab kolme eksamineerija antud küsimust.

3. Tootmine koosneb neljast järjestikusest etapist, millest igaühes töötavad seadmed, mille rikke tõenäosus järgmise kuu jooksul võrdub vastavalt p 1, p 2, p 3 ja p 4. Leidke tõenäosus, et kuu aja jooksul ei esine tootmisseisakuid seadmete rikke tõttu.

Konkreetset sündmust soodustavate juhtumite otsene loendamine võib olla keeruline. Seetõttu võib sündmuse tõenäosuse määramiseks olla kasulik kujutada seda sündmust mõne muu, lihtsama sündmuse kombinatsioonina. Sel juhul peate siiski teadma reegleid, mis juhivad sündmuste kombinatsioonide tõenäosusi. Just nende reeglitega puudutavad lõigu pealkirjas mainitud teoreemid.

Esimene neist on seotud vähemalt ühe mitme sündmuse toimumise tõenäosuse arvutamisega.

Liitumise teoreem.

Olgu A ja B kaks kokkusobimatut sündmust. Siis on tõenäosus, et vähemalt üks neist kahest sündmusest aset leiab, nende tõenäosuste summaga:

Tõestus. Laskma olla paarikaupa kokkusobimatute sündmuste täielik rühm. Kui siis nende elementaarsündmuste hulgas on täpselt A-le soodsaid sündmusi ja täpselt B-le soodsaid sündmusi. Kuna sündmused A ja B on kokkusobimatud, ei saa ükski sündmus mõlemat sündmust soodustada. Sündmust (A või B), mis seisneb vähemalt ühe neist kahest sündmusest, eelistavad ilmselgelt nii kõik A-d soodustavad sündmused kui ka kõik sündmused

Soodne B. Seega on sündmusele (A või B) soodsate sündmuste koguarv võrdne summaga, mis on järgmine:

Q.E.D.

On lihtne näha, et ülaltoodud kahe sündmuse puhul sõnastatud liitmisteoreemi saab hõlpsasti üle kanda suvalise lõpliku arvu juhtumile. Täpselt siis, kui on paarikaupa kokkusobimatud sündmused

Näiteks kolme sündmuse puhul võib kirjutada

Liitmisteoreemi oluline tagajärg on väide: kui sündmused on paarikaupa kokkusobimatud ja üheselt võimalikud, siis

Tõepoolest, sündmus kas või või on eeldusel kindel ja selle tõenäosus, nagu on märgitud §-s 1, on võrdne ühega. Eelkõige siis, kui need tähendavad kahte vastastikku vastandlikku sündmust, siis

Illustreerime liitmisteoreemi näidetega.

Näide 1. Märki laskmisel on suurepärase lasu sooritamise tõenäosus 0,3 ja “hea” lasu sooritamise tõenäosus 0,4. Kui suur on tõenäosus saada löögi eest hindeks vähemalt “hea”?

Lahendus. Kui sündmus A tähendab "suurepärase" hinnangu saamist ja sündmus B tähendab "hea" hinnangu saamist, siis

Näide 2. Valgeid, punaseid ja musti palle sisaldavas urnis on valged ja I punased pallid. Kui suur on tõenäosus tõmmata pall, mis pole must?

Lahendus. Kui sündmus A koosneb valge palli ilmumisest ja sündmus B koosneb punasest pallist, siis palli välimus ei ole must

tähendab kas valge või punase palli välimust. Kuna tõenäosuse definitsiooni järgi

siis liitmisteoreemi järgi on mittemusta palli ilmumise tõenäosus võrdne;

Seda probleemi saab lahendada sel viisil. Olgu sündmus C musta palli ilmumises. Mustade kuulide arv on võrdne nii, et P (C) Mitte-musta palli ilmumine on C-le vastupidine sündmus, seetõttu saame ülaltoodud liitmisteoreemi järelduse põhjal:

nagu enne.

Näide 3. Rahalises materiaalses loteriis on 1000 piletiga seeria puhul 120 rahalist ja 80 materiaalset võitu. Kui suur on tõenäosus ühe loteriipiletiga midagi võita?

Lahendus. Kui tähistame A-ga sündmust, mis koosneb rahalisest kasumist ja B-ga materiaalsest kasust, siis tõenäosuse definitsioonist järeldub see

Meid huvitavat sündmust esindab (A või B), seepärast tuleneb liitmisteoreemist

Seega on iga võidu tõenäosus 0,2.

Enne järgmise teoreemi juurde liikumist on vaja tutvuda uue olulise mõistega - tingimusliku tõenäosuse mõistega. Sel eesmärgil alustame järgmise näitega.

Oletame, et laos on 400 lambipirni, mis on toodetud kahes erinevas tehases ja esimene toodab 75% kõigist lambipirnidest ja teine ​​- 25%. Oletame, et esimese tehase toodetud lambipirnidest vastab teatud standardi tingimustele 83% ja teise tehase toodete puhul on see protsent 63. Määrame tõenäosuse, et lambipirn, mis on juhuslikult võetud lambipirnist ladu vastab standardi tingimustele.

Pange tähele, et saadaolevate standardsete lambipirnide koguarv koosneb esimese poolt toodetud lambipirnidest

tehases ja 63 teises tehases toodetud lambipirnid ehk siis 312. Kuna iga lambipirni valikut tuleks pidada võrdselt võimalikuks, on meil 312 soodsat juhtumit 400-st, seega

kus sündmus B on see, et meie valitud lambipirn on standardne.

Selle arvutuse käigus ei tehtud eeldusi selle kohta, millise taime tootesse meie valitud lambipirn kuulus. Kui teeme selliseid oletusi, siis on ilmne, et meid huvitava tõenäosus võib muutuda. Nii et näiteks kui on teada, et valitud pirn on toodetud esimeses tehases (sündmus A), siis tõenäosus, et see on standardne, ei ole enam 0,78, vaid 0,83.

Sellist tõenäosust, st sündmuse B tõenäosust sündmuse A toimumise korral, nimetatakse sündmuse B tingimuslikuks tõenäosuseks sündmuse A toimumise korral ja seda tähistatakse

Kui eelmises näites tähistame A-ga sündmust, et valitud pirn on valmistatud esimeses tehases, siis võime kirjutada

Nüüd saame sõnastada olulise teoreemi, mis on seotud sündmuste kombineerimise tõenäosuse arvutamisega.

Korrutusteoreem.

Sündmuste A ja B kombineerimise tõenäosus on võrdne ühe sündmuse tõenäosuse ja teise tingimusliku tõenäosuse korrutisega, eeldades, et esimene juhtus:

Sel juhul tähendab sündmuste A ja B kombinatsioon nende kõigi toimumist, st nii sündmuse A kui ka sündmuse B toimumist.

Tõestus. Vaatleme tervet rühma võrdselt võimalikke paarikaupa kokkusobimatuid sündmusi, millest igaüks võib olla nii sündmuse A kui ka sündmuse B jaoks soodne või ebasoodne.

Jagame kõik need sündmused järgmiselt nelja erinevasse rühma. Esimesse rühma kuuluvad need sündmused, mis soosivad nii sündmust A kui ka sündmust B; Teise ja kolmanda rühma kuuluvad sündmused, mis eelistavad ühte kahest meid huvitavast sündmusest ja ei soosi teist, näiteks teise rühma kuuluvad need, mis soosivad A-d, kuid ei soosi B-d, ja kolmandasse rühma kuuluvad need, mis poolda B-d, kuid ei poolda A-d; lõpuks ometi

Neljandasse rühma kuuluvad sündmused, mis ei soosi ei A-d ega B-d.

Kuna sündmuste numeratsioon ei oma tähtsust, võime eeldada, et see jagunemine neljaks rühmaks näeb välja järgmine:

I rühm:

II rühm:

III rühm:

IV grupp:

Seega on võrdselt võimalike ja paarisobimatute sündmuste hulgas sündmusi, mis soosivad nii sündmust A kui ka sündmust B, sündmusi, mis soosivad sündmust A, kuid ei soosi sündmust A, sündmusi, mis soosivad B-d, kuid ei soosi A-d, ja lõpuks sündmused, mis ei soosi ei A-d ega B-d.

Märkigem muide, et ükski neljast vaadeldud rühmast (ja isegi rohkem kui üks) ei pruugi sisaldada ühtki sündmust. Sel juhul on vastav arv, mis näitab sellise rühma sündmuste arvu, võrdne nulliga.

Meie jaotus rühmadesse võimaldab teil kohe kirjutada

sest sündmuste A ja B kombinatsiooni eelistavad esimese rühma sündmused ja ainult nemad. A-d eelistavate sündmuste koguarv võrdub esimese ja teise rühma sündmuste koguarvuga ning B-d eelistavate sündmuste koguarvuga esimeses ja kolmandas rühmas.

Arvutame nüüd välja tõenäosuse, st sündmuse B tõenäosuse, eeldusel, et sündmus A toimus. Nüüd kaovad kolmandasse ja neljandasse rühma kuuluvad sündmused, kuna nende toimumine oleks vastuolus sündmuse A toimumisega ja võimalike juhtude arv ei ole enam võrdne . Nendest sündmust B eelistavad ainult esimese rühma sündmused, seega saame:

Teoreemi tõestamiseks piisab, kui kirjutada ilmselge identiteet:

ja asendada kõik kolm murdu ülal arvutatud tõenäosustega. Jõuame teoreemis toodud võrdsuseni:

On selge, et ülalpool kirjutatud identiteet on mõttekas ainult siis, kui see on alati tõene, välja arvatud juhul, kui A on võimatu sündmus.

Kuna sündmused A ja B on võrdsed, siis nende vahetamisel saame korrutusteoreemi teise kuju:

Selle võrdsuse saab aga samamoodi nagu eelmist, kui märkad, et identiteeti kasutades

Võrreldes tõenäosuse P(A ja B) kahe avaldise paremaid külgi, saame kasuliku võrrandi:

Vaatleme nüüd näiteid, mis illustreerivad korrutusteoreemi.

Näide 4. Teatud ettevõtte toodetes loetakse sobivaks 96% toodetest (sündmus A). 75 toodet igast sajast sobivast osutuvad esimesse klassi kuuluvaks (sündmus B). Määrake tõenäosus, et juhuslikult valitud toode sobib ja kuulub esimesse klassi.

Lahendus. Soovitav tõenäosus on sündmuste A ja B kombineerimise tõenäosus. Tingimuse järgi on meil: . Seetõttu annab korrutusteoreem

Näide 5. Ühe lasuga sihtmärgi tabamise tõenäosus (sündmus A) on 0,2. Kui suur on tõenäosus tabada sihtmärki, kui 2% kaitsmetest ebaõnnestuvad (st 2% juhtudest lask ei õnnestu

Lahendus. Olgu sündmus B, et toimub löök, ja B tähistab vastupidist sündmust. Siis tingimuse ja liitmisteoreemi järelduvuse järgi. Edasi, vastavalt seisukorrale.

Sihtmärgi tabamine tähendab sündmuste A ja B kombinatsiooni (lask tulistab ja tabab), seega korrutusteoreemi kohaselt

Korrutusteoreemi olulise erijuhu saab, kasutades sündmuste sõltumatuse mõistet.

Kaht sündmust nimetatakse sõltumatuks, kui neist ühe tõenäosus ei muutu teise toimumise või mittetoimumise tulemusena.

Sõltumatute sündmuste näideteks on erineva arvu punktide esinemine täringu viskamisel või mündi üks või teine ​​külg uuesti mündi viskamisel, kuna on ilmne, et teisel viskel vapi saamise tõenäosus on võrdne olenemata sellest, kas vapp tuli esimesel kohal või mitte.

Samamoodi ei sõltu tõenäosus, et valget ja musta palli sisaldavast urnist tõmmatakse teist korda valge pall, kui esimene väljatõmmatud pall on varem tagastatud, sellest, kas pall tõmmati esimest korda, valge või must. Seetõttu on esimese ja teise eemaldamise tulemused üksteisest sõltumatud. Vastupidi, kui esimesena välja võetud pall ei naase urni, siis teise eemaldamise tulemus sõltub esimesest, sest pärast esimest eemaldamist muutub urnis olevate pallide koostis sõltuvalt selle tulemusest. Siin on näide sõltuvatest sündmustest.

Kasutades tingimuslike tõenäosuste tähistust, saame sündmuste A ja B sõltumatuse tingimuse kirjutada kujul

Neid võrdusi kasutades saame sõltumatute sündmuste korrutusteoreemi taandada järgmisele kujule.

Kui sündmused A ja B on sõltumatud, on nende kombinatsiooni tõenäosus võrdne nende sündmuste tõenäosuste korrutisega:

Tõepoolest, piisab sündmuste sõltumatust tuleneva korrutusteoreemi algväljenduse sisestamisest ja saame vajaliku võrdsuse.

Vaatleme nüüd mitut sündmust: nimetame neid kollektiivselt sõltumatuteks, kui ühegi neist toimumise tõenäosus ei sõltu sellest, kas mõni muu vaadeldav sündmus toimus või mitte.

Kollektiivselt sõltumatute sündmuste korral saab korrutusteoreemi laiendada nende suvalisele lõplikule arvule, nii et selle saab sõnastada järgmiselt:

Sõltumatute sündmuste agregaadi kombineerimise tõenäosus võrdub nende sündmuste tõenäosuste korrutisega:

Näide 6. Töötaja hooldab kolme automaatset masinat, millest igaüht tuleb masina seiskumisel rikke kõrvaldamiseks pöörduda. Tõenäosus, et esimene masin tunni jooksul ei peatu, on 0,9. Teise masina puhul on sama tõenäosus 0,8 ja kolmanda puhul 0,7. Määrake tõenäosus, et tunni jooksul ei pea töötaja lähenema ühelegi masinale, mida ta hooldab.

Näide 7. Lennuki püssilasuga alla tulistamise tõenäosus Kui suur on tõenäosus hävitada vaenlase lennuk, kui korraga tulistatakse 250 vintpüssi?

Lahendus. Tõenäosus, et lennukit ühe lasuga alla ei tulistata, on võrdne liitmisteoreemiga.Siis saame korrutusteoreemi abil välja arvutada tõenäosuse, et lennukit ei tulistata alla 250 lasuga, kombineerimise tõenäosusena sündmused. See on võrdne Pärast seda saame uuesti kasutada liitmisteoreemi ja leida tõenäosus, et lennuk alla tulistatakse vastupidise sündmuse tõenäosusena

Sellest on näha, et kuigi tõenäosus lennuki alla tulistada ühe püssilasuga on kaduvväike, on 250 vintpüssist tulistades juba lennuki allatulistamise tõenäosus vägagi tuntav. See suureneb oluliselt, kui vintpüsside arvu suurendada. Nii et 500 vintpüssist tulistades on lennuki allatulistamise tõenäosus, nagu on lihtne arvutada, võrdne 1000 vintpüssist tulistades - isegi.

Eespool tõestatud korrutusteoreem võimaldab liitmisteoreemi mõnevõrra laiendada, laiendades seda ühilduvate sündmuste korral. On selge, et kui sündmused A ja B on ühilduvad, siis vähemalt ühe neist toimumise tõenäosus ei võrdu nende tõenäosuste summaga. Näiteks kui sündmus A tähendab paarisarvu

punktide arv täringu viskamisel ja sündmus B on punktide arvu kaotus, mis on kolmekordne, siis sündmust (A või B) soosib 2, 3, 4 ja 6 punkti kaotus, see on

Teisest küljest, see on. Nii et antud juhul

Sellest on selge, et ühilduvate sündmuste puhul tuleb tõenäosuste liitmise teoreemi muuta. Nagu nüüd näeme, saab selle sõnastada nii, et see kehtib nii ühilduvate kui ka mitteühilduvate sündmuste puhul, nii et varem käsitletud liitmisteoreem osutub uue erijuhtumiks.

Sündmused, mis pole A-le soodsad.

Kõik elementaarsündmused, mis soosivad sündmust (A või B), peavad eelistama kas ainult A-d või ainult B-d või nii A-d kui ka B-d. Seega on selliste sündmuste koguarv võrdne

ja tõenäosus

Q.E.D.

Rakendades valemit (9) ülaltoodud näitele täringu viskamisel kuvatavate punktide arvu kohta, saame:

mis langeb kokku otsese arvutuse tulemusega.

Ilmselgelt on valem (1) (9) erijuhtum. Tõepoolest, kui sündmused A ja B ei ühildu, siis kombinatsiooni tõenäosus

Näiteks. Elektriahelaga on järjestikku ühendatud kaks kaitset. Esimese kaitsme rikke tõenäosus on 0,6 ja teise kaitsme rikke tõenäosus 0,2. Määrakem voolukatkestuse tõenäosus vähemalt ühe kaitsme rikke tagajärjel.

Lahendus. Kuna sündmused A ja B, mis koosnevad esimese ja teise kaitsme rikkest, on ühilduvad, määratakse nõutav tõenäosus valemiga (9):

Harjutused

Teema: 15. TEOORIA PÕHITEOREEMID

TÕENÄOSUSED JA NENDE TAGAJÄRJED

1. Teoreem ühissündmuste tõenäosuste liitmiseks.

2. Sõltumatute sündmuste tõenäosuste korrutamise teoreem.

3. Sündmuse tingimuslik tõenäosus. Teoreem sõltuvate sündmuste tõenäosuste korrutamiseks.

4. Teoreem ühissündmuste tõenäosuste liitmiseks.

5. Kogutõenäosuse valem, Bayesi valem.

6. Testide kordamine.

1. Teoreem ühissündmuste tõenäosuste liitmiseks.

Summa mitu sündmust on sündmus, mis koosneb vähemalt ühe neist sündmustest.

Kui sündmused A ja B on ühised, siis nende summa A+B näitab kas sündmuse A või sündmuse B või mõlema sündmuse toimumist koos. Kui A ja B on kokkusobimatud sündmused, siis nende summa A+B tähendab kas sündmuse A või sündmuse B toimumist.

Töö kahte sündmust A ja B nimetatakse sündmuseks AB, mis koosneb nende sündmuste ühisest toimumisest.

Teoreem: Kahest kokkusobimatust sündmusest ühe toimumise tõenäosus, olenemata sellest, milline neist on, on võrdne nende sündmuste tõenäosuste summaga

P (A + B) = P (A) + P (B).

Tagajärg: Täieliku rühma moodustavate kokkusobimatute sündmuste A 1,...,A n tõenäosuste summa on võrdne ühega:

P(A 1) + P(A 2)+... +P (A n) = 1

2. Sõltumatu tõenäosuste korrutamise teoreem

sündmused .

Neid kahte sündmust nimetatakse sõltumatu, kui neist ühe toimumise tõenäosus ei sõltu sellest, kas teine ​​sündmus ilmnes või ei ilmnenud.

Mitut sündmust peetakse üksteisest sõltumatuks (või ühiselt sõltumatuks), kui igaüks neist ja mis tahes ülejäänud (osa või kõigi) sündmuste kombinatsioon on sõltumatud sündmused.

Kui sündmused A 1, A 2,..., A n on teineteisest sõltumatud, siis on ka nende vastandsündmused üksteisest sõltumatud.

Teoreem: mitme üksteisest sõltumatu sündmuse toimumise tõenäosus on võrdne nende sündmuste tõenäosuste korrutisega .

P(A 1 A 2 ,...A n ) = P(A 1 )  P(A 2 )  ...  P(A n )

Kahe sündmuse puhul P(AB) = P(A)  P(B)

Ülesanne. Kaks kauplejat töötavad üksteisest sõltumatult. Tõenäosus, et esimene kaupleja jätab defektsest tootest ilma, on 0,1; teine ​​0,2. Kui suur on tõenäosus, et toodet vaadates ei jää mõlemal müüjal puudust märkamata?

Lahendus: sündmus A - kaubamüüjal I puudus puudus, sündmus B - kaubamüüjal II puudus puudus.

Kui sündmus A – abielu ei jää I kauplejale vahele,

sündmus B – kaupleja II ei jäta puudust märkamata.

Kuna mõlemad töötavad üksteisest sõltumatult, on A ja B sõltumatud sündmused.

3. Sündmuse tingimuslik tõenäosus. Teoreem sõltuvate sündmuste tõenäosuste korrutamiseks.

Kutsutakse sündmus B sõltuv sündmusest A, kui sündmuse A toimumine muudab sündmuse B toimumise tõenäosust.

Nimetatakse sündmuse B tõenäosus, mis leitakse tingimusel, et sündmus A toimus tingimuslik tõenäosus sündmus B ja seda tähistatakse RA (B).

Teoreem : Kahe sõltuva sündmuse A ja B ühise toimumise tõenäosus on võrdne neist ühe tõenäosuse ja teise tingimusliku tõenäosuse korrutisega, mis leitakse eeldusel, et esimene sündmus on juba toimunud, s.t.

P(AB) = P(A) R A (B) või P(AB) = P(B) P IN (A)

Tõenäosuse korrutamise teoreemi saab laiendada suvalisele arvule m sõltuvatele sündmustele A 1 A 2 ...A m.

P(A 1 A 2 ..A m )=P(A 1 ) 

Veelgi enam, järgmise sündmuse tõenäosus arvutatakse eeldusel, et kõik eelnevad on aset leidnud.

Ülesanne. Karbis on 2 valget ja 3 sinist pastapliiatsit. Karbist võetakse järjest välja kaks pastakat. Leidke tõenäosus, et mõlemad pliiatsid on valged.

Lahendus: sündmus A – mõlemad pliiatsid on valged, sündmus B – esimese valge pliiatsi ilmumine, sündmus C – teise valge pliiatsi ilmumine.

Siis A=B KOOS.

Kuna esimene pastakas ei naase karpi, s.t. kasti koostis on muutunud, siis sündmused B ja C on sõltuvad.

P (B) = 2/5; Sündmuse C tõenäosuse leiame eeldusel, et B on juba toimunud, s.t. P B (C) = ¼.

Nõutav tõenäosus