Albrecht Dureri maagiline ruut. “Melanhoolia I” on Albrecht Dureri kõige salapärasem gravüür, millel on krüpteeritud salasõnumid

Durer Albrecht (1471-1528), saksa maalikunstnik, joonistaja, graveerija, kunstiteoreetik.

õppis koos isaga.
Ehtemeistrist isa soovis poja kaasata juveelitöökojas töötama, kuid Albrecht ei avaldanud mingit soovi. Ta armastas maalimist ja tõmbas selle poole.

Nürnbergi kunstnikult Wolgemut Dürer valdas mitte ainult maalimist, vaid ka graveerimist puidu peal.
Inspireerituna kunstnik Martin Schongaueri töödest, keda ta kunagi ei kohanud, reisis Albrecht palju ja õppis, õppis, õppis kõikjal...

Kuid saabus aeg, mil Albrechtil oli vaja abielluda. Ja siis valis ta vanast ja lugupeetud Nürnbergi perekonnast oma isa sõbra tütre Agnes Frey. Abielu Agnessaga oli lastetu ja abikaasad olid iseloomult erinevad, mis ei muutnud perekonda eriti õnnelikuks.

Kuid sellegipoolest avas ta oma ettevõtte ja lõi olulise osa oma gravüüridest oma töökojas.
Veneetsias levisid kuulujutud tema armastusest mõlema soo vastu...Võib-olla harrastas Dürer samasoolist armastust oma kalli sõbra, antiikkirjanduse asjatundja Pirkheimeriga.

Pikad lokkis juuksed, tantsutunnid, hirm nakatuda süüfilisesse Veneetsias ja osta Hollandist selle haiguse vastu rohtu, elegantsed riided, väiklane edevus kõiges, mis on seotud tema ilu ja välimusega, melanhoolia, nartsissism ja ekshibitsionism, Kristuse kompleks, lastetu abielu, alistumine oma naisele, õrn sõprus libertiin Pirkheimeriga, kelle ta ise 1506. aasta oktoobrikirjas tegi naljaga pooleks ettepaneku kastreerida -

Kõik see on Düreris ühendatud õrna hoolitsusega ema ja vendade eest, aastatepikkuse raske tööga, sagedaste kaebustega vaesuse, haiguste ja õnnetuste üle, mis teda väidetavalt kummitavad.

Ole ustav Jumalale!
Saa terveks
Ja igavene elu taevas
Nagu kõige puhtam Neitsi Maarja.
Albrecht Durer ütleb teile -
Kahetsege oma patte
Kuni paastuaja viimase päevani,
Ja pane kuradil suu kinni,
Sa võidad kurja.
Aidaku teid Issand Jeesus Kristus
Kinnitage ennast headuses!
Mõelge surmale sagedamini
Teie surnukehade matmisest.
See hirmutab hinge
Juhib tähelepanu kurjalt kõrvale
Ja patune maailm,
Liha rõhumisest
Ja kuradi õhutused...

Kui Koberger avaldas 1498. a"Apokalüpsis",

Dürer lõi 15 puugravüüri, mis tõid talle üleeuroopalise tuntuse.Tutvus Veneetsia koolkonnaga avaldas tugevat mõju kunstniku maalimisstiilile.
Veneetsias tellis kunstnik Saksa kaupmeestelt "Roosipärgade festival" ja siis tulid teised ettepanekud, maalid, mis jätsid kustumatu mulje värvide ja teemade mitmekülgsusest.

Keiser ise Maximilian I

tundis aukartust Albrecht Dureri kunsti ees.
Dürer järgis “ikonoklastide” seisukohti, kuid A. Düreri hilisemates töödes leiavad mõned uurijad kaastunnet protestantismi vastu.

Elu lõpus töötas Dürer palju maalikunstnikuna, sel perioodil lõi ta sügavaimad teosed, mis näitavad tema tundmist Hollandi kunstiga.

Viimaste aastate üks olulisemaid maale - diptühhon "Neli apostlit", mille kunstnik esitas linnavolikogule 1526. aastal.

Hollandis langes Dürer tundmatu haiguse (võimalik, et malaaria) ohvriks, mida ta kannatas kogu ülejäänud elu.

Albrekh koostas nn maagilise ruudu, kujutatud ühel tema täiuslikumal gravüüril -"Melanhoolia". Dureri teene seisneb selles, et tal õnnestus joonistatud ruutu mahutada arvud 1–16 nii, et summa 34 saadi mitte ainult arvude vertikaalselt, horisontaalselt ja diagonaalselt liitmisel, vaid ka kõigis neljas veerandis, keskne nelinurk ja isegi nelja nurga lahtrite lisamisel. Düreril õnnestus tabelisse lisada ka graveeringu loomise aasta."(1514).

Albrecht Düreri teostes on kolm kuulsat puugravüüri, mis kujutavad tähistaeva lõuna- ja põhjapoolkera ning Maa idapoolkera kaarte, mis said ajaloos esimesena trükitud tüpograafiliselt.

1494. aastal ilmus sümboolse pealkirja all Sebastian Branti raamat"Lollide laev" (Das Narrenschiff oder das Schiff von Narragonia).
Gildi õpipoisi kohustuslikel Reini-äärsetel rännakutel valmis Düreril mitu hilisgootika vaimus molbertigravüüri, S. Branti illustratsioonid "Lollide laevale",

millel laevastik ületab mere. Ümberringi on palju lolle. Siin naeravad nad impeeriumi rumalate meremeeste ja laevade üle.

Arvatakse, et lisaks A. Dürerile töötasid projekti kallal korraga mitu joonestajat ja nikerdajat... Maal "Lollide laev"- kirjutas kuulus kunstnikHieronymus Bosch.

Dureri joonistus "Lollide laev"

Üleval paremal on käru peal lollid, all seilab merel paatidest ümbritsetud laev ning laevas ja paatides on kõik lollid.
Nagu kommentaatorid märgivad, on paljudel "Lollide laeva" illustratsioonidel VÄHE SEOS RAAMATU ISE SISUGA.
Nagu selgub, valiti Branti raamat ise vaid põhjuseks, ettekäändeks, et avaldada suur hulk gravüüre (sada kuusteist) teemal "Lollide laev".

On Albrecht Durer ja selline maal nagu "Kõigi pühakute püha" (Landaueri altar) 1511. Kunsthistorisches Museum, Viin. See maal tõi kunstnikule ka suure kuulsuse.

DURERI VÕLURUUT

Saksa kunstniku Albrecht Dureri gravüüril “Melanhoolia” reprodutseeritud maagiline ruut on teada kõigile maagiliste ruutude uurijatele.

Seda ruutu on siin üksikasjalikult kirjeldatud. Kõigepealt näitan gravüüri “Melanhoolia” (joonis 1) ja sellel kujutatud maagilist ruutu (joonis 2).

Riis. 1

Riis. 2

Nüüd näitan seda ruutu tavalisel kujul (joonis 3):

16	3	2	13
5	10	11	8
9	6	7	12
4	15	14	1

Riis. 3

Huvitav on see, et kaks keskmist numbrit ruudu viimasel real (need on esile tõstetud) moodustavad graveeringu loomise aasta - 1514.

Arvatakse, et see Albrecht Durerit nii lummanud väljak jõudis Lääne-Euroopasse alguses Indiast. XVIsajandil. Indias tunti seda väljakut aastal Isajandil pKr. Arvatakse, et maagilised ruudud leiutasid hiinlased, kuna nende varaseim mainimine on Hiina käsikirjas, mis on kirjutatud 4000–5000 eKr. Nii need vanad võluruudud on!

Vaatleme nüüd selle hämmastava ruudu kõiki omadusi. Kuid me teeme seda teisel väljakul, mille rühma kuulub Dureri väljak. See tähendab, et Düreri ruut saadakse ruudust, mida nüüd käsitleme, ühe maagiliste ruutude seitsmest peamisest teisendusest, nimelt 180-kraadise pöördega. Kõigil 8 ruudul, mis moodustavad selle rühma, on atribuudid, mis nüüd loetletakse, ainult omaduses 8 asendatakse mõne ruudu puhul sõna "rida" sõnaga "veerg" ja vastupidi.

Selle rühma peaväljakut näete joonisel fig. 4.

1	14	15	4
12	7	6	9
8	11	10	5
13	2	3	16

Riis. 4

Nüüd loetleme kõik selle kuulsa väljaku omadused.

Vara 1 . See ruut on assotsiatiivne, st iga ruudu keskpunkti suhtes sümmeetriliselt paiknev arvupaar annab kokku 17 = 1+ n 2 .

Vara 2. Ruudu nurgalahtrites asuvate arvude summa on võrdne ruudu maagilise konstandiga - 34.

Vara 3. Numbrite summa igas nurgas 2x2 ruudus, samuti keskmises 2x2 ruudus on võrdne ruudu maagilise konstandiga.

Vara 4. Ruudu maagiline konstant on võrdne kahe keskse 2x4 ristküliku vastaskülgedel olevate arvude summaga, nimelt: 14+15+2+3=34, 12+8+9+5=34.

Vara 5. Ruudu maagiline konstant on võrdne malerüütli käiguga tähistatud lahtrites olevate arvude summaga, nimelt: 1+6+16+11=34, 14+9+3+8, 15+5+ 2+12=34 ja 4+10+13 +7=34.

Vara 6. Ruudu maagiline konstant on võrdne ruudu vastastippudega külgnevate 2x2 nurgaruutude vastavates diagonaalides olevate arvude summaga. Näiteks 2x2 nurgaruutudes, mis on esile tõstetud joonisel fig. 4, vastavate diagonaalide esimese paari arvude summa: 1+7+10+16=34 (see on arusaadav, kuna need arvud asuvad ruudu enda põhidiagonaalil). Vastavate diagonaalide teises paaris olevate arvude summa: 14+12+5+3=34.

Vara 7. Ruudu maagiline konstant on võrdne lahtrites olevate arvude summaga, mis on tähistatud malerüütli käiguga sarnase käiguga, kuid pikliku tähega G. Näitan neid numbreid: 1+9+8+16= 34, 4+12+5+13=34, 1+2 +15+16=34,4+3+14+13=34.

Vara 8. Igas ruudu reas on paar kõrvuti asetsevaid numbreid, mille summa on 15, ja teine paar kõrvuti asetsevaid numbreid, mille summa on 19. Ruudu igas veerus on paar külgnevaid numbreid, mille summa on 13 ja teine paar ka kõrvuti asetsevaid numbreid , mille summa on 21.

Vara 9. Kahe välimise rea arvude ruutude summad on üksteisega võrdsed. Sama võib öelda kahe keskmise rea arvude ruutude summade kohta. Vaata:

1 2 + 14 2 + 15 2 + 4 2 = 13 2 + 2 2 + 3 2 + 16 2 = 438

12 2 + 7 2 + 6 2 + 9 2 = 8 2 + 11 2 + 10 2 + 5 2 = 310

Ruudu veergudes olevatel numbritel on sarnane omadus.

Vara 10. Kui kirjutame vaadeldavasse ruutu ruudu, mille külgede keskel on tipud (joonis 5), siis:

a) sissekirjutatud ruudu ühel vastaskülgede paaril asuvate arvude summa on võrdne teisel vastaskülgede paaril asuvate arvude summaga ja igaüks neist summadest on võrdne ruudu maagilise konstandiga;

b) näidatud arvude ruutude ja kuubikute summad on võrdsed:

12 2 + 14 2 + 3 2 + 5 2 = 15 2 + 9 2 + 8 2 + 2 2 = 374

12 3 + 14 3 + 3 3 + 5 3 = 15 3 + 9 3 + 8 3 + 2 3 = 4624

Riis. 5

Need on maagilise ruudu omadused joonisel fig. 4.

Tuleb märkida, et assotsiatiivses ruudus, mis on kõnealune ruut, saate teha ka selliseid teisendusi nagu sümmeetriliste ridade ja/või veergude ümberkorraldamine. Näiteks joonisel fig. 6 kujutab ruutu, mis on saadud joonisel fig. 4, paigutades ümber kaks keskmist veergu.

1. Ebaselgus vanade kuupäevade lugemisel. Albrecht Dureri "Võluväljak".

NH olulisim formaalne tulemus, mis on saadud sõltumatute matemaatiliste ja statistiliste dateerimismeetodite rakendamisel antiikaja ja keskaja ajaloo Scaligeeria versiooni materjalile, on selle aluseks oleva kronoloogiliste nihkete süsteemi avastamine. Ühe sellise nihke tulemusena, mis väljendub selgelt Euroopa ja Venemaa keskaegses ajaloos, visati paljud XII-XVII sajandi sündmused, dokumendid ja kunstiteosed kunstlikult umbes sajandi võrra minevikku. Lisaks sellele on näidatud, et mugav (ja tänapäeva inimestele tuttav) numbrite positsiooniline kümnendsüsteem leiutati esmakordselt mitte kõige sügavamal (peaaegu 3. aastatuhandel eKr) antiikajal, nagu Scaligeeri kronoloogia väidab, aga alles kuskil 16. sajandi keskel. Ja peaaegu kohe tekkisid tollal primitiivsemas poolpositsioonilises (millel ei olnud nulli) slaavi-kreeka numbrisüsteemis kasutatud vene kursiivkirja põhjal tuttavad numbrid 0-st 9-ni, mida tänapäeval nimetatakse araabiakeelseks. ” või „Indiaanlane”. Pealegi – ja nüüd on see meie jaoks kõige olulisem – Esialgu olid sümbolid, mida hiljem hakati kasutama numbrite 5 ja 6 kirjutamiseks, teistsuguse tähendusega: number 5 tähendas algul kuut ja number 6, vastupidi, viit.

Kokkuvõttes tuleneb sellest kõigest järgmine: „indoaraabia numbreid tänapäevasel kujul kasutanud ülestähendust ei saa dateerida 16. sajandi lõpust varasemasse ajajärku. Kui meile täna öeldakse, et omaaegne dokument on dateeritud tänapäeval aktsepteeritud kujul: 1250, 1460 või isegi 1520, siis on see võlts. Kas dokument oli võltsitud või kuupäev võltsitud, see tähendab, et see oli võltsitud. Ja väidetavalt kuueteistkümnenda sajandi daatumite puhul... arvatavasti pärinevad mõned neist tegelikult seitsmeteistkümnendast sajandist.

Viimasest on eredad tõendid, mis on õnnelikult säilinud kuulsal Albrecht Dureri gravüüril “Melanhoolia”, joon. 1.

Riis. 1. Albrecht Dureri gravüür “Melanhoolia I”

See graveering kujutab nn maagilist ruutu, st ruudukujulist tabelit, mis on täidetud erinevate numbritega nii, et igas reas, igas veerus ja mõlemal diagonaalil olevate numbrite summa on sama (ja selles juhul võrdub kolmkümmend neli). Kuid neid numbreid lähemalt vaadates on lihtne näha, et teise rea esimeses veerus olev number viis (mis peaks seal olema, et ruut muutuks maagiaks) on joonistatud (täpsemalt välja lõigatud). graveerimistahvlil) kuue peal, mis algselt siin asus, joon. 2.

Riis. 2. "Maagiline ruut" Dureri gravüüril (vasakul) ja kuuest teisendatud viis (paremal). Suurendatud fragmendid joonisel fig. 1

2. Düreri portree Johann Klebergerist ja sellel kujutatud sodiaagist

Kuid Düreri “maagiline ruut”, nagu selgub, pole sugugi ainus omataoline kaja, mis annab meile edasi numbrite 5 ja 6 tõelise esmase tähenduse. Täpselt sama mõju nende valele lugemisele – ja see kellaaeg, mis on seotud kuupäeva salvestamisega ! – selgub hoolikal uurimisel sama kunstniku teisest teosest. Jutt käib väidetavalt aastatel 1485/86-1546 elanud Nürnbergi kaupmehe ja pankuri Johann Klebergeri suhteliselt väikesest (37 x 37 cm) portreest, joon. 3.

Riis. 3. Johann Klebergeri portree. Albrecht Düreri maal aastast 1526. Kunsthistorisches Museum, Viin

Arvatakse, et selle portree maalis viimase tellimusel 1526. aastal Albrecht Dürer, mida näib otseselt tõendavat ka vastav kiri paremas ülanurgas: “1526” ja selle all Düreri monogramm. Kuid nagu ülaltoodust järeldub, võib see kiri tegelikult tähistada mitte aastat 1526, vaid 1625 pKr. Kuid kas seda oletust on võimalik kontrollida? Vastus: jah, antud juhul osutub see võimalikuks, kuna sama portree sisaldab lisaks kõigile nähtavale digitaalsele ka veel vähemalt ühte – kiire pilgu eest varjatud – kuupäeva, mis on astronoomiliselt jäädvustatud ja sellesse paigutatud. ülemine vasak nurk, joonis . 4.

Riis. 4. “Astronoomilised” (vasakul) ja “digitaalsed” (paremal) kuupäevad Johann Klebergeri portreel. Suurendatud fragmendid joonisel fig. 3

Piisab ühest pilgust figuuri vasakpoolsele fragmendile. 4, et mõista, et meie ees on täiesti avameelne horoskoop. Tegelikult näeme siin kuut tähte, mis tähistavad kuut planeeti, ja ka Päikest, mis on kujutatud erekollase helgina, joonis 1. 5-12.

Riis. 5. Maailma Ptolemaiose süsteemiga kalender. Selle diagrammi huvitav omadus, mis eristab seda teistest sarnastest piltidest, on see, et sellel on selgelt väljendatud "maagiline" iseloom: iga sodiaagimärgiga kaasneb teatud sümbol, mis koostaja arvates oli
"maagiline" loodus (mis need sümbolid on, arutatakse allpool). Illustratsioon keskaegsest astroloogilisest käsikirjast (Baieri osariigi raamatukogu, Codex BSB Clm 826)

Riis. 6. Päike, Kuu ja viis täheplaneeti. Keskel on Päikese poole suunduv komeet. Suurendatud fragment joonisel fig. 5

Riis. 7. Seitse vabakunsti ja nende patroonplaneedid. Vasakul on Saturn (geomeetria) ja Jupiter (loogika). Keskel (ja suurendatud fragmendil paremal) on esindatud: Marss (aritmeetika), Päike (grammatika) ja Veenus (muusika). Paremal näidatud: Merkuur (füüsika) ja Kuu (retoorika).
Allosas on planeetide ja nädalapäevade kujutised, mis on tavapäraselt tähistatud seitsme lambiga. Illustratsioon Tübingeni majaraamatust - meditsiinilis-astroloogiline käsikiri väidetavalt 15. sajandist
(Tübingeni ülikooli raamatukogu, kood Md 2)
Riis. 8. Tähtkuju inimene. Diagramm, mis illustreerib keskaegseid ideid sodiaagimärkide (vasakul, ülal ja all) ja planeetide (paremal) mõjust inimorganitele. Illustratsioon 16. sajandi keskpaiga tundide raamatust

Riis. 9. Päike ja kuus tähtplaneeti alkeemilise traktaadi tiitellehel: Johann Mylius, Anatomia Auri, sive Tyrocinium medico-chymicum, Frankfurt, 1628
Riis. 10. Jean Gerson (teoloog ja Pariisi ülikooli kantsler, kes väidetavalt elas aastatel 1363-1429) palveränduri kujundis. Paremal on suurendatud kilbiga fragment, mis kujutab Päikest, Kuud ja viit tähtplaneeti. Graveering väidetavalt 15. sajandi lõpust, omistatud Albrecht Dürerile

Riis. 11. Rattur-Päike. Illustratsioon 16. sajandi lõpu festivaliraamatust (BSB Cod. icon. 340)
Riis. 12. Päike Hans Weiditzi gravüüril. Väidetavalt 16. sajandi keskpaik

Ainus ebaselgus tekib seoses kogu kompositsiooni keskel kujutatud sümboli tähenduse määramisega. Esmapilgul on see Lõvi tähtkuju üldtunnustatud astronoomiline märk, mis esineb sellisena lugematutel piltidel, joon. 13-14, sealhulgas sama Düreri kuulsal tähekaardil, joon. 15.

Riis. 13. Päike ja Lõvi. Lõvi selja kohal on selle sümbol. Virgilius Solise graveering. Väidetavalt 16. sajandi keskpaik
Riis. 14. Päike Lõviga (vasakul) ja suurendatud fragment viimase sümboliga (paremal). Erhard Schoni joonistus. Väidetavalt 1536. a

Riis. 15. Lõvi kujutis Dureri tähekaardil (vasakul) ja selle fragmendid koos selle tähtkuju sümboliga (paremal). Väidetavalt 1515. a

Peaaegu kõigis vaadeldava maali kirjeldustes tõlgendatakse seda Leo sümbolina. Kuid nagu öeldud - ja nagu hiljem selgub, on see peaaegu kindlasti nii - antud juhul on sellel sümbolil kitsam tähendus ja see ei tähista kogu Lõvi tähtkuju, vaid ainult selle peamist tähte - Regulust.

3. Horoskoobi esimene versioon on “Lõviga”. Millal Klebergeri portree tegelikult maaliti?

Vaatleme esmalt esimest – standardset – võimalust.

Sel juhul saame selle joonisel fig. 4 esitab äärmiselt lakoonilise horoskoobi – kõik planeedid on Lõvis. Tekib küsimus: mis aastatel kogunesid kõik seitse keskaegses astronoomias tuntud planeeti tähistaevasse Lõvi tähtkujus? Programm HOROS annab sellele järgmise ammendava vastuse: viimase tuhande aasta jooksul juhtus seda vaid kaks korda – 14.-16. augustil 1007 pKr. ja 30. august – 1. september vanas stiilis 1624 pKr. Esimene lahendus arusaadavatel põhjustel ilmselgelt kaob, kuid teine osutub sõna otseses mõttes aasta kaugusel kunstniku pildile jäädvustatud kuupäevast, joon. 4, eeldusel, et numbritel 5 ja 6 pole tema jaoks praegune tähendus, vaid nende algne tähendus.

Toimub suurepärane kirjavahetus. Selgub, et 1624. aasta augusti lõpus - septembri alguses toimus Johann Klebergeri jaoks mingi tähtis sündmus, mille mälestuseks ta tellis Durerile (võib-olla kohe, võib-olla veidi hiljem) kõnealuse portree ja viimane täitis peagi. see tellimus.

See on aga vaid esialgne järeldus, mis tuleneb puhtformaalsest tulemusest, mis seob ülaltoodud kuupäeva konkreetselt 1624. aastaga ega võta arvesse asjaolu, et varasematel aegadel ei arvestatud aasta algust alati ega alati, kuna on meil täna, esimesest jaanuarist tavapärane. Eelkõige Venemaal, meid praegu huvitaval 16.–17. sajandi ajastul, algas uus aasta septembris. Ja kui seda asjaolu arvesse võttes eeldada, et portree tellija järgis vähemalt sel konkreetsel juhul seda vana (“Vanast” Egiptusest alguse saanud) traditsiooni lugeda uut aastat septembrist, siis muutub pilt paljuks. huvitavam.

Nimelt kerkib esile kaks võimalikku varianti, olenevalt sellest, kas ta nõustus (jällegi, vähemalt vaadeldaval juhul) suhteliselt hiljuti – nelikümmend aastat varem – läbiviidud gregooriuse kalendrireformi ja “uue stiili” kasutuselevõtuga. Kui jah, siis tuleks eeltoodud kuupäevale lisada kümme päeva ja selgub, et portreel kujutatud horoskoobis on kuupäev 9.-11.september (uus stiil), mis langeb aasta esimesse kuusse september 1625. See tähendab astronoomilisi ja digitaalseid kirjeid, joon. 4 osutub (osaliselt, kuna esimene on täpsem) üksteist dubleerivaks ja osutab samale aastale 1625.

Kui see nii ei olnud ja maali tellija järgis vana Juliani päevade lugemist, muutub tulemus täiesti hämmastavaks, kuna sel juhul langevad 31. august ja 1. september täpselt 1624. aasta viimasele ja esimesele päevale. aasta septembris 1625. Ja siis selgub, et sodiaak joonisel fig. 3 on uusaasta ja portree ise on maalitud 1625. aasta uue aasta puhul, selle aasta algus septembris.

Joonisel fig. Joonisel 16 on kujutatud "hetktõmmis" tähistaevast uusaasta hommikul, septembril 1625, mis on tehtud StarCalc planetaariumiprogrammi abil.

Riis. 16. Planeetide asukoht hommikul (kaks tundi pärast päikesetõusu) 1. september Art. Art. (11. september pKr) 1624 pKr Vaatluskoht on Nürnberg.

Seega on meil kolm võimalust, määrates maalile jäädvustatud sodiaagikuupäeva, olenevalt selle tellija võimalikest kalendrimõtetest, 1624. aasta jaanuari kaheksanda kuu lõppu, esimese kuu kümne esimese päeva lõppu. , ehk täpselt 1625. aasta septembri alguseni.

Tekib loomulik küsimus: milline neist valikutest vastab kõige paremini joonisel fig. 3? Nagu me nüüd näeme, on see viimane, kuna sellega on ideaaljuhul ka mitmed muud vaadeldava pildi detailid.

4. “Saturni aasta” ja “lõvi” horoskoobi sümboolne tähendus

Kõigepealt vaatame kahte figuuri, mis on kujutatud portree alumises vasakus ja paremas nurgas, joon. 17, ja proovime aru saada, mida need tähendavad.

Riis. 17. Figuurid Johann Klebergeri portree allservas. Suurendatud fragmendid joonisel fig. 3

Vasakpoolsega – mäetipus kasvava ristikheinaga – küsimusi ei teki. See on tavaline omaniku sümboolikaga vapp. Täpselt sama sümbolit võib näha ka teisel säilinud Johann Klebergeri kujutisel (muide, tema nimi pärineb ristikust), joon. 18.

Riis. 18. Johann Kleberger tundmatu Nürnbergi meistri medalil, dateeritud, nagu ka Düreri portree, 1526. aastasse. Tagaküljel on näha kiiver, mille kohal on pilt mäest, mille tipus kasvab trefoil.

Aga mida täpselt tähendab õige? Muidugi on täiesti võimalik öelda, et see on "lihtsalt ilus pilt koos kilbiga" ja sellega rahul olla. Eeltoodut arvesse võttes on sellel pildil aga heraldilise stiili alla veidi looritatud astronoomilist süžeed lihtne ära tunda. Tegelikult näeme siin pika habemega vanameest, kes hoiab käes kahte võsa. Selle kompositsiooni taust viitab iseenesest: kuus identset lehte (samuti kuus identset tähte sama portree vastasnurgas, joonis 4) esindavad suure tõenäosusega kuut planeeti, joon. 19-21 ja vanamees - mingi seitsmes planeet.

Riis. 19. Planeedipuu. Alkeemilise traktaadi tiitelleht: Basilius Valentinus, Occulta Philosophia, Frankfurt am Mayn, 1613

Riis. 20. Planeedid (tuntud ka kui alkeemilised elemendid), kujutatud lehtedena puu okstel.
Suurendatud fragment joonisel fig. 19
Riis. 21. Päike, Kuu ja planeedid alkeemiapuu okstel. Illustratsioon traktaadist: Johann Mylius, Philosophia Reformata, Frankfurt, 1622

Küsimus on selles, milline neist konkreetselt? Ilmselgelt on see kas Jupiter või Saturn, kuna neid kahte planeeti kujutati kõige sagedamini (ja viimast peaaegu alati) sellisel kujul, joon. 22.

Riis. 22. Jupiter (vasakul) ja Saturn (paremal) Hans Burgkmairi gravüüridel. Väidetavalt 15. sajandi lõpp – 16. sajandi algus

Rangelt võttes leitakse mõnikord enam-vähem sarnaseid pilte Marsi, Merkuuri ja Päikese kohta, kuid neil on alati signatuurid või iseloomulikud atribuudid (Marsi mõõk, Merkuuri tiivuline kepp jne), mis võimaldavad aru saada, millise planeedi planeedil. on mõeldud riisi. 13. Selliste atribuutide puudumisel jäävad alles Jupiter ja Saturn, kuna ainsaks identifitseerimismärgiks osutub antud juhul vanus ise ja viimased on "planetaarsete" jumalate seas vanimad.

Niisiis, kaalume esimest võimalust. Sel juhul selgub, et kuus planeeti on jagatud kaheks kolmikuks, mis on kujutatud kolmikutena vanema Jupiteri käes. Astronoomilisest vaatenurgast tähendab see, et kolm planeeti peaks olema ühel pool Jupiterit ja kolm teisel pool. Aga just nii seisid asjad ülalt saadud 1624/25 “uusaasta” resolutsioonis: Jupiterist vasakul, Neitsi pool, olid Merkuur, Päike ja Veenus, paremal Marss, Kuu ja Saturn. , Joon. 16. See tähendab, et vanema tuvastamisel joonisel fig. 17 Jupiteriga omandab kogu kompositsioon põhihoroskoopile täiendava astronoomilise tähise tähenduse.

Teisel juhul sellist läbipaistvat kirjavahetust muidugi enam ei täheldata, kuid nagu selgub, ei ole see vähimalgi määral vastuolus ülaltoodud tutvumise "uusaasta" versiooniga. Ja veelgi enam, see mitte ainult ei kinnita seda, vaid võimaldab meil paremini mõista ka loogikat ja mõtteviisi, mis kõnealuse portree autorit ja/või tellijat juhtis.

Nimelt püstitagem endale küsimus: mida muud peale planeetide kaheks grupiks jagamise saab veel see, et need kõik on kujutatud ühesugustena, väikestena ja pealegi vana mehe käes, kehastades (seekord ) Saturn? On ilmne, et viimane hoiab neid kõiki mingis alluvuses (sõna otseses mõttes “oma kätes”). Küsimus on selles, millisest “alluvusest” saab rääkida? Vastuse annab jällegi joonis fig. 16. Fakt on see, et vaatleja, kes vaatas 1625. aasta septembris vana-aasta õhtul tähistaevast, nägi, kuidas Saturn tõusis ligikaudu kaks tundi enne koitu, pool tundi hiljem Kuu (vaevumärgatava või isegi täiesti eristamatu poolkuu kujul) ja isegi tunni pärast - kõik teised planeedid. See tähendab piltlikult öeldes, et neil koidueelsetel tundidel "valitses" Saturn jagamatult taevas, teatades sellega, et järgmised kuud mööduvad tema "kontrolli all" (nagu ka kõik teised planeedid, mis on talle võrdselt "alluvad"). , kelle saatus jõudis lähitulevikus "tema kätesse" ja loomulikult maiste asjadega).

Ja nagu on hästi teada, oli selline aasta korrelatsioon "valitseva" planeediga Kleberger-Düreri ajastul tõepoolest laialt levinud praktika, joon. 23-24.

Riis. 23. Saturn on aastaringi valitseja. Illustratsioon keskaegsest astroloogilisest almanahhist. Väidetavalt 1491. a

Medal anti välja Nürnbergis umbes 1810. See traditsioon on säilinud tänapäevani, joon. 25-29.

Riis. 24. Saturn. Tagaküljel on altari juures vestaalne neitsi ja kiri “Palju õnne uuel aastal” (SPENDE NEUES GLUCK IM WECHSEL DES JAHRES).
Riis. 25. “Saturn on aasta valitseja” (JAHRES REGENT SATURN). Medal sarjast “Kalender”, välja antud Austrias aastast 1933 kuni tänapäevani

Riis. 26. Saturnile pühendatud veel kahe Austria kalendrimedali (1937. ja 1972. aasta eest) esiküljed
Riis. 27. Jupiter ja Marss Austria kalendri medalitel

Riis. 28. Veenus ja Merkuur Austria kalendri medalitel
Riis. 29. Päike ja Kuu Austria kalendri medalitel

Seega on vanema tuvastamine joonisel fig. 17 koos Saturniga sobib ideaalselt ka ülaltoodud lahendusega. Ainult et kompositsiooni lugemine osutub veidi keerukamaks ja sellest tulenev tähendus nihkub puhtalt astronoomiliselt allegoorilisele tasandile.

Viimasele võib aga vastu vaielda tõsiasi, et Saturni peeti keskaegsete ideede kohaselt kurjakuulutavaks, äärmiselt ebasoodsaks planeediks, mida seostati surma ja mitmesuguste halbade mõjudega. Väljaanne [Saplin] võtab need seisukohad kokku järgmiselt: „Saturn on viies astronoomiline planeet... Individuaalses astroloogias on Saturnile allutatud järgmised mõisted: lahkuminekud, takistused, raskused, kaotused, vastasseisud, vastupidavus, kannatlikkus, sihikindlus, tugevus. , võõrandumine, üksindus, külm, vanus, raskused, julmus, vankumatus, püsivus, kadedus ja ahnus. Maailma astroloogias... Saturn vastutab riiklike katastroofide, epideemiate, näljahäda jms eest. ..." Ja veel: "Suur ebaõnn (lat. Infortuna major) on epiteet planeedist Saturn, mida peeti kõige ebasoodsamaks planeediks ja mida sageli kasutati keskaegses astroloogias."

Üldiselt on esmapilgul raske ette kujutada põhjust, mis võiks ajendada kedagi sellisel taustal oma portree tellima. Ja enamikul juhtudel piisaks sellest täiesti, et keelduda vanema tuvastamise võimalusest joonisel fig. 17 just Saturniga (jättes seega Jupiteri tema jaoks ainsaks kandidaadiks). Sel konkreetsel juhul on aga selline lähedus väga lihtsalt seletatav. Fakt on see, et ülalkirjeldatud pilt sellest, kuidas "kurjakuulutav" Saturn 1625. aasta septembris uusaastaööl esimesena tõusis, ei olnud täiesti täielik. Kui olla täiesti täpne, siis nagu jällegi selgelt näha joonisel fig. 16, "kõige esimene" - arvutatud andmetel kolm minutit varem kui Saturn - ilmus horisondile üks heledamaid tähti taevas, Regulus. Ja pärast Regulust oli käes “valitseva” Saturni kord (muide, selle tähe nime seostatakse ka kuningliku jõuga ja tähendab ladina keelest tõlgituna “väike kuningas”).

Reguluse kohta ütleb väljaanne [Saplin] järgmist: "Regulus, Lõvi süda ... on täht α Leo, ... näitab õnne." See tähendab, et samade keskaegsete ideede seisukohalt neutraliseeris "suure õnnetuse" = Saturni tõusmise ajaks "õnnelik" Regulus tema pahatahtliku hüpostaasi ja seetõttu tekkisid positiivsed jooned. ees - "vastupidavus, kannatlikkus, visadus, põhjalikkus, ... vankumatus, püsivus." Lisaks tugevdab seda Reguluse “kuninglik” olemus. Kes ei tahaks sellist komplekti?

Muide, kohe saab selgeks, miks sai Saturni kujutada joonisel fig. 17 heasüdamliku vanamehe kujul, ilma oma tavaliste atribuutideta vikati ja õginud beebi näol, joon. 22. Antud juhul polnud neid ilmselt enam vaja. Teisest küljest oleks autori mõttekäik võinud olla keerukam ja seisneda selles, et kujutades nimetatud vanameest ilma iseloomulike atribuutideta, mis selgelt viitaksid Saturnile või Jupiterile, pakkus ta sellega vaatajat, kes oli üsna kogenud. sellistes peensustes võimalusega korreleerida seda igaühega, paljastades mõlemal juhul olulise osa pildile omasest üldisest tähendusest.

Muide, Saturnil on veel üks aspekt, mida võiks samuti pidada pildi mitmetahulise sümboolika üheks killuks. Nimelt seostati Saturn-Kronost ka aegumatu Chronosega ehk Ajaga. Ja seetõttu võib tema figuuri paigutamine portreele sellise nurga alt vaadates lubada kujutatavale pikka eluiga, joon. 30-31.

Riis. 30. Saturn-Chronos, soovides õnne uuel aastal (VERTENTE ANNO - sõna-sõnalt: “kogu aasta jooksul”). Augsburgis välja antud medal, mis pärineb 1635. aastast
Riis. 31. Leopold Habsburg koos poja Josephiga Igaviku altari juures, nende vastas on katkise vikati ja maapinnale visatud liivakellaga Kronos-Saturn ning küllusesarvega Fortuuna. Tagaküljel on Chronos pilvedes istumas, hoides käes ümber numbri XVII põimunud madu, kes hammustab ennast
saba järgi (tsüklilisuse, taassünni jne sümbol). Augsburgi medal, välja antud 1700. aastal saabuva uue sajandi mälestuseks

Seega näeme, et isegi sümboli standardtõlgendus joonisel fig. 4, mis tähistab Lõvi tähtkuju, viib meid väga huvitava ja sümboolselt rikkaliku tulemuseni. Kuid nagu eespool mainitud, on veel üks lugemisvõimalus, mille kohaselt see sümbol osutab konkreetsele tähele taevas - Regulusele. Mõelgem nüüd sellele võimalusele.

Jätkub...

Durer Albrecht (1471-1528), saksa maalikunstnik, joonistaja, graveerija, kunstiteoreetik.

õppis koos isaga.
Ehtemeistrist isa soovis poja kaasata juveelitöökojas töötama, kuid Albrecht ei avaldanud mingit soovi. Ta armastas maalimist ja tõmbas selle poole.

Kõik see on Düreris ühendatud õrna hoolitsusega ema ja vendade eest, aastatepikkuse raske tööga, sagedaste kaebustega vaesuse, haiguste ja õnnetuste üle, mis teda väidetavalt kummitavad.

Ole ustav Jumalale!
Saa terveks
Ja igavene elu taevas
Nagu kõige puhtam Neitsi Maarja.
Albrecht Durer ütleb teile -
Kahetsege oma patte
Kuni paastuaja viimase päevani,
Ja pane kuradil suu kinni,
Sa võidad kurja.
Aidaku teid Issand Jeesus Kristus
Kinnitage ennast headuses!
Mõelge surmale sagedamini
Teie surnukehade matmisest.
See hirmutab hinge
Juhib tähelepanu kurjalt kõrvale
Ja patune maailm,
Liha rõhumisest
Ja kuradi õhutused...

Kui Koberger avaldas 1498. a"Apokalüpsis",

Keiser ise Maximilian I

tundis aukartust Albrecht Dureri kunsti ees.
Dürer järgis “ikonoklastide” seisukohti, kuid A. Düreri hilisemates töödes leiavad mõned uurijad kaastunnet protestantismi vastu.

Elu lõpus töötas Dürer palju maalikunstnikuna, sel perioodil lõi ta sügavaimad teosed, mis näitavad tema tundmist Hollandi kunstiga.

Viimaste aastate üks olulisemaid maale - diptühhon "Neli apostlit", mille kunstnik esitas linnavolikogule 1526. aastal.

Hollandis langes Dürer tundmatu haiguse (võimalik, et malaaria) ohvriks, mida ta kannatas kogu ülejäänud elu.

millel laevastik ületab mere. Ümberringi on palju lolle. Siin naeravad nad impeeriumi rumalate meremeeste ja laevade üle.

Arvatakse, et lisaks A. Dürerile töötasid projekti kallal korraga mitu joonestajat ja nikerdajat... Maal "Lollide laev"- kirjutas kuulus kunstnikHieronymus Bosch.

Dureri joonistus "Lollide laev"

On Albrecht Durer ja selline maal nagu "Kõigi pühakute püha" (Landaueri altar) 1511. Kunsthistorisches Museum, Viin. See maal tõi kunstnikule ka suure kuulsuse.

The Miracle of the Sea, 1498 Metropolitan Museum of Art, New York

VÕLURUUT

Hiinat peetakse maagiliste ruutude sünnikohaks. Hiinas kehtib Feng Shui õpetus, mis väidab, et iga elemendi värv, kuju ja füüsiline paigutus ruumis mõjutavad Qi voolu, kas aeglustades, suunates või kiirendades seda, mis mõjutab otseselt energiataset. elanikest. Maailma saladuste tundmaõppimiseks saatsid jumalad keiser Yu-le kõige iidsema sümboli Lo Shu väljaku (Lo - jõgi).

VÕLURUUT LO SHU

Legend räägib, et umbes neli tuhat aastat tagasi tõusis Luo jõe tormistest vetest välja suur kilpkonn Shu. Inimesed, kes jõele ohverdasid, nägid kilpkonna ja tundsid ta kohe jumalusena. Iidsete tarkade kaalutlused tundusid keiser Yule nii mõistlikud, et ta käskis kilpkonna kujutise paberile jäädvustada ja pitseris selle oma keiserliku pitsatiga. Kuidas me muidu sellest sündmusest teada oleksime saanud?

See kilpkonn oli tegelikult eriline, kuna selle kestal oli kummaline täppide muster. Täpid märgiti korrapäraselt, mis viis iidsed filosoofid mõttele, et kilpkonna kesta numbritega ruut toimib ruumi mudelina – Hiina tsivilisatsiooni müütilise rajaja Huang Di koostatud maailmakaardina. Tegelikult on ruudu veergudes, ridades ja mõlemas diagonaalis olevate numbrite summa sama M = 15 ja võrdub päevade arvuga Hiina päikeseaasta igas 24 tsüklis.

Paaris- ja paarisarvud vahelduvad: 4 paarisarvu (kirjutatud alt üles kahanevas järjekorras) on neljas nurgas ja 5 paaritut arvu (kirjutatud alt üles kasvavas järjekorras) moodustavad ruudu keskel risti. Risti viis elementi peegeldavad maad, tuld, metalli, vett ja metsa. Suvalise kahe keskpunktiga eraldatud arvu summa on võrdne Ho Ti arvuga, st. kümme.

Lo Shu paarisnumbrid (Maa sümbolid) märgiti kilpkonna kehale mustade punktide ehk Yini sümbolitena ja paaritud numbrid (taevasümbolid) – valgete punktide ehk Yangi sümbolitena. Maa 1 (või vesi) on allpool, tuli 9 (või taevas) on ülal. Võimalik, et kompositsiooni keskele paigutatud numbri 5 kaasaegne kujutis on tingitud Hiina Yangi ja Yini duaalsuse sümbolist.

VÕLURUUT KHAJURAHOLT

Ida tuba

Joseph Rudyard Kiplingi maagia, kes lõi Mowgli, Bagheera, Baloo, Shere Khani ja loomulikult Tabaka kujutised, sai alguse kahekümnenda sajandi eelõhtul. Pool sajandit varem, 1838. aasta veebruaris, asus noor Briti Bengali inseneride ohvitser T.S. Bert, olles huvitatud oma palankiini kandvate teenijate vestlusest, kaldus teelt kõrvale ja komistas India džunglis iidsete templite otsa.

Vishvanatha templi trepilt leidis ohvitser sildi, mis tunnistas ehitiste iidsusest. Lühikese aja pärast koostas energiline kindralmajor A. Cunningham Khajuraho jaoks üksikasjalikud plaanid. Algasid väljakaevamised, mis kulmineerusid 22 templi sensatsioonilise avastamisega. Templeid püstitasid oma Chandeli dünastia maharadad. Pärast nende kuningriigi kokkuvarisemist neelas džungel hooned tuhandeks aastaks. Alasti jumalate ja jumalannade kujutiste seast leitud neljanda järgu ruut oli hämmastav.

Selle ruudu summad piki ridu, veerge ja diagonaale ei langenud kokku ja võrdusid 34-ga. Need langesid kokku ka katkendlike diagonaalidega, mis tekkisid ruudu toruks voltimisel ja mõlemas suunas. Sellise numbrite nõidumise jaoks nimetatakse selliseid ruute "devilish" (või "pandiagonaal" või "nasik").

Muidugi andis see tunnistust nende loojate ebatavalistest matemaatilistest võimetest, kes olid kõrgemad kolonialistidest. Mida valgetes kiivrites inimesed paratamatult tundsid.

DURERI VÕLURUUT

16. sajandi alguse kuulus saksa kunstnik Albrecht Durer lõi Euroopa kunstis esimese 4x4 maagilise ruudu. Numbrite summa suvalises reas, veerus, diagonaalis ja üllatuslikult ka igas veerandis (isegi keskruudus) ja isegi nurganumbrite summa on 34. Kaks keskmist numbrit alumises reas näitavad kuupäeva maali loomisest (1514). Esimese veeru keskmistes ruutudes on tehtud parandused - numbrid on deformeerunud.

Okultse tiivulise hiire Saturniga pildil koosneb maagiline ruut tiivulisest intelligentsist Jupiterist, mis vastanduvad üksteisele. Ruut on sümmeetriline, kuna selles sisalduvate kahe selle keskpunkti suhtes sümmeetriliselt paikneva arvu summa on võrdne 17-ga. Kui liidate malerüütli käiguga saadud neli numbrit, saate 34. Tõesti , see väljak oma laitmatu korrastatusega peegeldab kunstnikku haaranud melanhoolia.

Hommikune unenägu.

Bütsantsi kirjanik ja keeleteadlane Moschopoulos tutvustas eurooplastele hämmastavaid numbriruutusid. Tema töö oli sellel teemal spetsiaalne essee ja sisaldas näiteid autori võluruutudest.

VÕLURUUTIDE SÜSTEMATISEERIMINE

16. sajandi keskel. Euroopas ilmusid teosed, milles maagilised ruudud esinesid matemaatilise uurimistöö objektidena. Sellele järgnesid paljud teised tööd, eelkõige selliste kuulsate matemaatikute, kaasaegse teaduse rajajate teosed nagu Stiefel, Baschet, Pascal, Fermat, Bessey, Euler, Gauss.

Maagiline, ehk maagiline ruut, on ruudukujuline tabel, mis on täidetud n 2 numbriga nii, et igas reas, veerus ja mõlemal diagonaalil olevate arvude summa on sama. Määratlus on tinglik, kuna vanad andsid tähenduse ka näiteks värvile.

Tavaline nimetatakse maagiliseks ruuduks, mis on täidetud täisarvudega 1 kuni n 2. Tavalised maagilised ruudud on olemas kõigi järgudega, välja arvatud n = 2, kuigi juhtum n = 1 on triviaalne – ruut koosneb ühest arvust.

Nimetatakse iga rea, veeru ja diagonaali numbrite summa maagiline konstant M. Tavalise maagilise ruudu maagiline konstant sõltub ainult n-st ja on antud valemiga

M = n (n 2 + 1) /2

Maagiliste konstantide esimesed väärtused on toodud tabelis

Kui ruudu arvude summa on võrdne ainult ridades ja veergudes, siis seda nimetatakse poolmaagiline. Maagiline ruut on nn assotsiatiivne või sümmeetriline, kui kahe ruudu keskpunkti suhtes sümmeetriliselt paikneva arvu summa on võrdne n 2 + 1.

Kolmandat järku on ainult üks tavaline ruut. Paljud inimesed teadsid teda. Numbrite paigutus Lo Shu väljakul sarnaneb Kabala vaimude sümboolsete tähistega ja India astroloogia märkidega.

Tuntud ka kui Saturni väljak. Mõned keskaja salaühingud pidasid seda üheksa kambri kabalaks. Kahtlemata tähendas keelatud maagia varjund tema kujundite säilimisel palju.

See oli oluline keskaegses numeroloogias, seda kasutati sageli amuletina või ennustamise abivahendina. Iga lahter vastab müstilisele tähele või muule sümbolile. Lugedes koos kindlat rida, edastasid need märgid okultseid sõnumeid. Sünnikuupäeva moodustavad numbrid asetati ruudu lahtritesse ja seejärel dešifreeriti olenevalt numbrite tähendusest ja asukohast.

Pandiagonaalsete, nagu neid ka kutsutakse, kuratlike maagiliste ruutude hulgas eristatakse sümmeetrilisi - ideaalseid. Kuratlik ruut jääb kuratlikuks, kui seda pöörata, peegeldada, rida ümber paigutada ülevalt alla ja vastupidi, kriipsutada maha paremal või vasakul olev veerg ja määrata see vastasküljele. Teisendusi on kokku viis, viimase diagramm on toodud joonisel

Seal on 48 4x4 kuradilikku ruutu, millel on pöörlemise ja peegelduse täpsus. Kui võtta arvesse ka sümmeetriat tooriliste paralleeltõlgete suhtes, siis jääb alles vaid kolm sisuliselt erinevat 4x4 kuradilikku ruutu:

Kuulus Ameerika arhitekt Claude F. Bragdon avastas, et ühendades ükshaaval katkendjoonel ainult paaris või paaritu arvu maagiliste ruutudega rakke, saame enamasti elegantse mustri. Muster, mille ta leiutas New Yorgi osariigis Rochesteris asuva kaubanduskoja lae ventilatsioonivõre jaoks, kus ta elas, ehitati Lo-Shu talismani maagilisest katkendjoonest. Bragdon kasutas "maagilisi jooni" kangaste, raamatukaante, arhitektuursete kaunistuste ja dekoratiivsete peakatete kujundamisel.

Kui asetate identsete kuratlike ruutude mosaiigi (iga ruut peab olema naabritega tihedalt külgnev), saate midagi parketi sarnast, milles numbrid mis tahes 4x4 lahtri rühmas moodustavad kuradi ruudu. Numbrid neljas lahtris üksteise järel, olenemata nende asukohast – vertikaalselt, horisontaalselt või diagonaalselt – annavad alati ruudu konstandi. Kaasaegsed matemaatikud nimetavad selliseid ruute "täiuslikeks".

LAdina RUUT

Ladina ruut on ebakorrapärase matemaatilise ruudu tüüp, mis on täidetud n erineva sümboliga nii, et igas reas ja veerus (igaüks üks kord) on kõik n sümbolit.

Ladina ruudud on olemas iga n jaoks. Iga ladina ruut on kvaasirühma korrutustabel (Cayley tabel). Nimi "ladina ruut" pärineb Leonhard Eulerilt, kes kasutas tabelis numbrite asemel ladina tähti.

Nimetatakse kahte ladina ruutu ortogonaalne, kui kõik järjestatud sümbolite paarid (a,b) on erinevad, kus a on esimese ladina ruudu mõnes lahtris olev sümbol ja b on teise ladina ruudu samas lahtris olev sümbol.

Ortogonaalsed ladina ruudud eksisteerivad iga järgu jaoks, välja arvatud 2 ja 6. Kui n on algarvu järg, on n–1 paarikaupa ortogonaalsed ladina ruudud. Kui ladina ruudu igas diagonaalis on kõik elemendid erinevad, nimetatakse sellist ladina ruutu diagonaal. Ortogonaalsete diagonaalsete ladina ruutude paarid on olemas kõigi järjekordade jaoks, välja arvatud 2, 3 ja 6. Ladina ruutu kohtab sageli ajastamisprobleeme, kuna numbreid ridades ja veergudes ei korrata.

Kahe risti asetseva ladina ruudu elementide paaridest koosnevat ruutu nimetatakse Kreeka-Ladina väljak. Selliseid ruute kasutatakse sageli maagiliste ruutude konstrueerimiseks ja keeruliste ajastamisülesannete korral.

Uurides kreeka-ladina ruute, tõestas Euler, et teist järku ruute ei eksisteeri, küll aga leiti 3, 4 ja 5 järgu ruute. Ta ei leidnud ühtegi kuuenda järgu ruutu. Ta püstitas hüpoteesi, et pole olemas paarisjärku ruute, mis ei jaguks 4-ga (st 6, 10, 14 jne). 1901. aastal kinnitas Gaston Terry toore jõuga 6. järgu hüpoteesi. Kuid 1959. aastal lükkasid hüpoteesi ümber E. T. Parker, R. C. Bowes ja S. S. Shrickherd, kes avastasid 10. järgu kreeka-ladina ruudu.

POLYMINO ARTHUR CLARKE

Polüominod - keerukuse poolest kuuluvad need kindlasti kõige raskemate matemaatiliste ruutude kategooriasse. Nii kirjutab temast ulmekirjanik A. Clark - allpool on väljavõte raamatust “Maane impeerium”. On ilmne, et oma saarel elanud Clark elas Tseilonis - ja tema ühiskonnast eraldamise filosoofia on iseenesest huvitav, hakkas huvi tundma meelelahutuse vastu, mida poisi vanaema õpetab, ja andis selle meile edasi. Eelistagem seda elavat kirjeldust olemasolevatele süstematiseeringutele, mis annavad ehk edasi mängu olemuse, aga mitte mängu vaimu.

"Sa oled nüüd piisavalt suur poiss, Duncan, ja saate sellest mängust aru... aga see on palju enamat kui mäng." Vastupidiselt vanaema sõnadele ei avaldanud Duncanile mäng muljet. No mida saab teha viiest valgest plastikruudust?

"Kõigepealt," jätkas vanaema, "peate kontrollima, kui palju erinevaid mustreid saab ruutudest kokku panna."

– Kas nad peaksid laual lamama? – küsis Duncan.

– Jah, nad peaksid puudutavalt valetama. Te ei saa üht ruutu teisega katta.

Duncan hakkas väljakuid paika panema.

"Noh, ma võin need kõik sirgjooneliselt panna," alustas ta. "Nii... Ja siis ma saan kaks tükki ümber paigutada ja saada L-tähe... Ja kui ma haaran teisest servast, siis saan selle tähe sa...”

Poiss koostas kiiresti pool tosinat kombinatsiooni, siis rohkem ja avastas äkki, et nad kordavad olemasolevaid.

- Võib-olla olen ma loll, aga see on ka kõik.

Duncan jättis märkamata kõige lihtsama kuju - risti, mille loomiseks piisas nelja ruudu viienda, keskse, külgedele paigutamisest.

"Enamik inimesi alustab ristiga," muigas vanaema. "Minu meelest olite sa end rumalaks kuulutamisega liiga rutakas." Parem mõelge: kas võiks olla veel mingeid arve?

Kontsentreeritud ruute liigutades leidis Duncan veel kolm kuju ja lõpetas seejärel otsimise.

"See on nüüd kindlasti läbi," ütles ta enesekindlalt.

– Mida saate sellise kuju kohta öelda?

Olles ruute veidi liigutanud, voltis vanaema need küüruga F-tähe kujuliseks.

- Ja siin on veel üks.

Duncan tundis end täieliku idioodina ja vanaema sõnad olid nagu palsam tema piinlikus hinges:

— Sa oled lihtsalt suurepärane. Mõelda vaid, mul jäi ainult kaks tükki vahele. Ja figuure on kokku kaksteist. Ei rohkem ega vähem. Nüüd teate neid kõiki. Kui otsite igavikku, ei leia te kunagi teist.

Vanaema pühkis viis valget ruutu nurka ja laotas lauale tosin heledat mitmevärvilist plasttükki. Need olid samad kaksteist figuuri, kuid viimistletud kujul ja igaüks koosnes viiest ruudust. Duncan oli juba valmis nõustuma, et muid tegelasi tegelikult ei eksisteeri.

Kuid kuna vanaema pani need mitmevärvilised triibud välja, tähendab see, et mäng jätkub ja Duncanit ootas ees veel üks üllatus.

– Nüüd, Duncan, kuula tähelepanelikult. Neid figuure nimetatakse "pentaminoeks". Nimi pärineb kreeka sõnast "penta", mis tähendab "viis". Kõik arvud on pindalalt võrdsed, kuna igaüks koosneb viiest identsest ruudust. Seal on kaksteist numbrit, viis ruutu, seega on kogupindala võrdne kuuekümne ruuduga. eks?

- Hmm jah.

- Kuulake edasi. Kuuskümmend on imeline ümmargune arv, mida saab koostada mitmel viisil. Lihtsaim on korrutada kümme kuuega. Sellel kastil on selline ala: sinna mahub horisontaalselt kümme ja vertikaalselt kuus ruutu. Seetõttu peaksid kõik kaksteist figuuri sinna ära mahtuma. Lihtne, nagu liitpildimõistatus.

Duncan ootas saaki. Vanaema armastas verbaalseid ja matemaatilisi paradokse ning kõik need polnud tema kümneaastasele ohvrile arusaadavad. Kuid seekord paradokse polnud. Kasti põhi oli vooderdatud kuuekümne ruuduga, mis tähendab... Stop! Ala on ala, kuid kujundid on erineva kujuga. Proovige need kasti saada!

"Jätan selle ülesande teie enda lahendada," teatas vanaema, nähes, kuidas ta pentomiino nukralt mööda kasti põhja liigutas. "Uskuge mind, neid saab kokku panna."

Peagi hakkas Duncan vanaema sõnades tugevalt kahtlema. Ta suutis hõlpsalt kasti mahutada kümme kuju ja korra suutis ta üheteistkümnendiku sisse pigistada. Kuid täitmata ruumi piirjooned ei langenud kokku kaheteistkümnenda figuuri piirjoontega, mida poiss oma kätes ümber pööras. Seal oli rist ja ülejäänud kuju meenutas Z-tähte...

Veel poole tunni pärast oli Duncan juba meeleheite äärel. Vanaema sukeldus arvutiga dialoogi, kuid vaatas seda aeg-ajalt huviga, justkui öeldes: "See pole nii lihtne, kui arvasite."

Kümneaastaselt oli Duncan märgatavalt kangekaelne. Enamik tema eakaaslasi oleks juba ammu proovimisest loobunud. (Alles mitu aastat hiljem sai ta aru, et vanaema oli talle graatsiliselt psühholoogilise testi läbi viinud.) Duncan kestis peaaegu nelikümmend minutit ilma abita...

Siis tõusis vanaema arvuti tagant ja kummardus pusle kohale. Tema sõrmed liigutasid kujundeid U, X ja L...

Kasti põhi sai täitsa täis! Kõik pusle tükid olid õigetes kohtades.

– Muidugi teadsite vastust ette! – tõmbas Duncan solvunult välja.

- Vastus? - küsis vanaema. "Mismoodi saab teie arvates pentomiino sellesse karpi panna?"

Siin see on, lõks. Duncan askeldas lahendust leidmata peaaegu tund aega, kuigi proovis selle aja jooksul vähemalt sadat võimalust. Ta arvas, et on ainult üks tee. Kas neid võiks olla... kaksteist? Või enama?

- Niisiis, kui palju võimalusi teie arvates võiks olla? – küsis vanaema uuesti.

"Kakskümmend," pahvatas Duncan, arvates, et nüüd pole vanaemal selle vastu midagi.

- Proovi uuesti.

Duncan tundis ohtu. Lõbu osutus palju kavalamaks, kui ta arvas, ja poiss otsustas targalt mitte riskida.

"Tegelikult ma ei tea," ütles ta pead raputades.

"Ja sa oled vastuvõtlik poiss," naeratas vanaema taas. "Intuitsioon on ohtlik juht, kuid mõnikord pole meil muud." Võin teile meeldida: siin on võimatu õiget vastust ära arvata. Pentomiinode sellesse kasti mahutamiseks on üle kahe tuhande erineva viisi. Täpsemalt kaks tuhat kolmsada kolmkümmend üheksa. Ja mida sa selle peale ütled?

On ebatõenäoline, et vanaema teda pettis. Kuid Duncan oli nii pettunud, et ta ei suutnud lahendust leida, et ta ei suutnud muud, kui lausus:

- Ma ei usu!

Helen ilmutas harva ärritust. Kui Duncan teda mingil moel solvas, muutus ta lihtsalt külmaks ja kaugeks. Nüüd aga vanaema ainult muigas ja koputas midagi arvuti klaviatuuril.

"Vaata siia," soovitas ta.

Ekraanile ilmus kaheteistkümnest mitmevärvilisest pentomiinost koosnev komplekt, mis täitis kümme korda kuus ristküliku. Mõni sekund hiljem asendati see teise kujutisega, kus figuurid asusid suure tõenäosusega erinevalt (Duncan ei osanud kindlalt öelda, kuna ta ei mäletanud esimest kombinatsiooni). Varsti muutus pilt uuesti, siis ikka ja jälle... Nii jätkus, kuni vanaema programmi peatas.

"Isegi suurel kiirusel kulub arvutil viis tundi, et kõik meetodid läbi käia," selgitas vanaema. "Võite minu sõna vastu pidada: need on kõik erinevad." Kui poleks olnud arvuteid, siis ma kahtlen, kas inimesed oleksid tavapärasest valikute loendist kõik teed leidnud.

Duncan vahtis pikka aega kahtteist petlikult lihtsat kuju. Ta seedis aeglaselt oma vanaema sõnu. See oli esimene matemaatiline ilmutus tema elus. See, mida ta nii tormakalt pidas tavaliseks lapsemänguks, hakkasid tema ees ühtäkki lahti rulluma lõputud teed ja silmapiirid, kuigi vaevalt suudaks isegi kõige andekam kümneaastane laps selle universumi piiritust tajuda.

Kuid siis oli Duncani rõõm ja aukartus passiivne. Intellektuaalse naudingu tõeline plahvatus toimus hiljem, kui ta leidis iseseisvalt oma esimese pentomiinode paigaldamise meetodi. Mitu nädalat kandis Duncan igal pool kaasas plastkarpi. Kogu oma vaba aja veetis ta ainult pentomiinodel. Figuuridest saavad Duncani isiklikud sõbrad. Ta nimetas neid tähtede järgi, millega nad sarnanesid, kuigi mõnel juhul oli sarnasus enam kui kauge. Viis numbrit - F, I, L, P, N - olid vastuolulised, kuid ülejäänud seitse kordasid ladina tähestiku järjestust: T, U, V, W, X, Y, Z.

Ühel päeval, geomeetrilise transi või geomeetrilise ekstaasi seisundis, mida kunagi ei korratud, leidis Duncan vähem kui tunniga viis stiilivalikut. Võib-olla ei tundnud isegi Newton, Einstein ega Chen Tzu oma tõehetkedel matemaatikajumalatega tihedamalt seotud kui Duncan Mackenzie.

Peagi mõistis ta ise, ilma vanaema õhutuseta, et pentomiino saab paigutada erineva küljesuurusega ristkülikusse. Üsna lihtsalt leidis Duncan mitu võimalust ristkülikute 5 x 12 ja 4 x 15 jaoks. Seejärel kannatas ta terve nädala, püüdes mahutada kaksteist figuuri pikemasse ja kitsamasse ristkülikusse 3 x 20. Ikka ja jälle hakkas ta reetlikku ruumi täitma ja ... saada ristkülikusse augud ja “lisa” kujundid.

Purustatud Duncan külastas oma vanaema, kus teda ootas uus üllatus.

"Mul on teie katsete üle hea meel," ütles Helen. "Sa uurisid kõiki võimalusi, püüdes tuletada üldist mustrit." Seda matemaatikud alati teevad. Kuid te eksite: kolm korda kakskümmend ristküliku jaoks on lahendused olemas. Neid on ainult kaks ja kui leiate ühe, leiate ka teise.

Vanaema kiitusest inspireerituna jätkas Duncan oma "pentomiinode jahti" uue jõuga. Veel nädala pärast hakkas ta aru saama, millise väljakannatamatu koorma ta oma õlgadele oli pannud. Kaheteistkümne figuuri paigutamise viiside arv oli Duncanile lihtsalt hämmastav. Pealegi oli igal figuuril neli positsiooni!

Ja jälle tuli ta vanaema juurde, rääkides talle kõigist oma raskustest. Kui 3 x 20 ristküliku jaoks oleks ainult kaks võimalust, siis kui kaua kuluks nende leidmiseks?

"Kui sa palun, siis ma vastan," ütles vanaema. "Kui käituksite nagu ajuvaba arvuti, otsiksite lihtsaid kombinatsioone ja kulutaksite igaühele ühe sekundi, siis oleks vaja..." Siin ta tegi meelega pausi. "Teil oleks vaja rohkem kui kuus miljonit... jah, rohkem kui kuus miljonit aastat.

Maine või titaanlik? See küsimus kerkis Duncanile koheselt pähe. Aga mis vahet sellel on?

"Aga sa oled teistsugune kui ajuvaba arvuti," jätkas vanaema. "Kohe näete ilmselgelt sobimatuid kombinatsioone ja seetõttu ei pea te nende kontrollimisele aega raiskama." Proovi uuesti.

Duncan kuuletus, ent juba ilma entusiasmita ja edusse uskumata. Ja siis tuli tal pähe geniaalne idee.

Karl tundis kohe huvi pentomiino vastu ja võttis väljakutse vastu. Ta võttis Duncanilt karbi figuuridega ja kadus mitmeks tunniks.

Kui Karl talle helistas, näis sõber kuidagi ärritunud.

– Kas olete kindel, et sellele probleemile on tõesti lahendus? - ta küsis.

- Täiesti kindel. Neid on kaks. Kas te pole tõesti vähemalt ühte leidnud? Arvasin, et oled matemaatikas suurepärane.

"Kujutage ette, ma saan sellest aru, sellepärast ma tean, kui palju tööd teie ülesanne nõuab." Peame kontrollima... miljon miljardit võimalikku kombinatsiooni.

– Kust sa teadsid, et neid on nii palju? – küsis Duncan, olles rahul, et vähemalt suutis ta sõbra segaduses kukalt kratsima panna.

Karl heitis pilgu külili paberile, mis oli täidetud skeemide ja numbritega.

– Kui välistate vastuvõetamatud kombinatsioonid ja võtate arvesse sümmeetriat ja pöörlemisvõimalust... saate faktoriaali... permutatsioonide koguarvu... te ei saa ikkagi aru. Parem näitan teile numbrit ennast.

Ta tõi kaamerasse veel ühe paberilehe, millel oli suure detailsusega kujutatud muljetavaldav numbrijada:

1 004 539 160 000 000.

Duncan ei teadnud faktoriaalidest midagi, kuid ta ei kahelnud Karli arvutuste täpsuses. Talle meeldis väga pikk number.

"Kas sa siis loobud sellest ülesandest?" – küsis Duncan ettevaatlikult.

- Mida veel! Tahtsin teile lihtsalt näidata, kui raske see on.

Karli nägu väljendas sünget otsusekindlust. Pärast neid sõnu lausunud ta minestas.

Järgmisel päeval koges Duncan oma poisipõlve elu üht suurimat vapustust. Ekraanilt vaatas talle otsa Karli räsitud nägu, verised silmad. Oli tunda, et ta oli magamata öö veetnud.

"Noh, see on kõik," teatas ta väsinud, kuid võiduka häälega.

Duncan ei suutnud oma silmi uskuda. Talle tundus, et eduvõimalused on tühised. Ta isegi veenis ennast selles. Ja äkki... Tema ees lebas kolm korda kakskümmend ristkülik, mis olid täidetud kõigi kaheteistkümne pentomiinokujuga.

Seejärel Karl vahetas ja keeras otstes olevad jupid, jättes keskosa puutumata. Ta sõrmed värisesid kergelt väsimusest.

"See on teine lahendus," selgitas ta. "Ja nüüd ma lähen magama." Nii et head ööd või tere hommikust – mis iganes sulle meeldib.

Alandatud Duncan vaatas pikalt pimendatud ekraani. Ta ei teadnud, kuhu poole Karl liikus, otsides mõistatuse lahendust. Kuid ta teadis, et tema sõber oli võitjana väljunud. Kõigile võimalustele vastu.

Ta ei kadestanud oma sõbra võitu. Duncan armastas Karli liiga palju ja rõõmustas alati tema õnnestumiste üle, kuigi ta ise leidis end sageli kaotajate poolel. Kuid mu sõbra tänases triumfis oli midagi muud, midagi peaaegu maagilist.

Duncan nägi esimest korda intuitsiooni jõudu. Ta kohtas mõistuse salapärast võimet ületada faktid ja visata kõrvale segav loogika. Mõne tunniga tegi Karl kolossaalse töö, edestades kiireimat arvutit.

Seejärel sai Duncan teada, et kõigil inimestel on sellised võimed, kuid nad kasutavad neid äärmiselt harva - võib-olla üks kord elus. Karlis sai see kingitus erakordselt edasi... Sellest hetkest peale hakkas Duncan oma sõbra mõttekäike tõsiselt võtma, isegi terve mõistuse seisukohalt kõige naeruväärsemaid ja ennekuulmatuid.

See oli kakskümmend aastat tagasi. Duncan ei mäletanud, kuhu plastist pentomiinotükid kadusid. Võib-olla jäid nad Karli juurde.

Vanaema kingitusest sai nende uus kehastus, nüüd mitmevärviliste kivitükkide kujul. Hämmastav pehme roosa graniit pärines Galileo küngastelt, obsidiaan Huygensi platoolt ja pseudomarmor Herscheli mäestikult. Ja nende hulgas... algul arvas Duncan, et eksib. Ei, nii see on: see oli Titani kõige haruldasem ja salapärasem mineraal. Vanaema tegi kivist pentomiinoristi titaniidist. Seda sini-musta kuldsete lisanditega mineraali ei saa millegagi segi ajada. Duncan polnud kunagi varem nii suuri tükke näinud ja oskas vaid arvata, mis nende maksumus oli.

"Ma ei tea, mida öelda," pomises ta. "Milline iludus." See on esimene kord, kui ma seda näen.

Ta kallistas oma vanaema peenikesi õlgu ja tundis järsku, et need värisevad ja ta ei suuda värinat peatada. Duncan hoidis teda õrnalt süles, kuni ta õlad enam värisesid. Sellistel hetkedel pole sõnu vaja. Duncan mõistis varasemast selgemalt: ta oli viimane armastus Helen Mackenzie laastatud elus. Ja nüüd lendab ta minema, jättes ta oma mälestustega üksi.

SUUR VÕLURUUT

13. sajandi Hiina matemaatik Yang Hui tundis Pascali kolmnurka (aritmeetiline kolmnurk). Ta jättis 4. ja kõrgema astme võrrandite lahendamise meetodite kirjelduse, on olemas reeglid täieliku ruutvõrrandi lahendamiseks, progressioonide summeerimiseks ja maagiliste ruutude konstrueerimise meetodid. Tal õnnestus konstrueerida kuuendat järku maagiline ruut ja viimane osutus peaaegu assotsiatiivseks (selles ei anna ainult kaks paari tsentraalselt vastandlikke numbreid summat 37).

Benjamin Franklin konstrueeris 16x16 ruudu, millel oli lisaks konstantsele summale 2056 kõigis ridades, veergudes ja diagonaalides veel üks lisaomadus. Kui lõikame paberilehest 4x4 ruudu ja asetame selle lehe suurele ruudule nii, et 16 suurema ruudu lahtrit satuksid sellesse pilusse, siis selles pesas kuvatavate arvude summa, olenemata sellest, kuhu me selle paneme. , on sama - 2056.

Selle ruudu kõige väärtuslikum asi on see, et seda on üsna lihtne muuta täiuslikuks maagiliseks ruuduks, samas kui täiuslike maagiliste ruutude konstrueerimine pole lihtne ülesanne. Franklin nimetas seda väljakut "kõige võluvamaks maagiaks kõigist nõidade loodud maagilistest ruutudest".