Za razliku od ortografskih i aksonometrijskih projekcija, kod kojih su projektori okomiti na ravninu projekcije, kosa projekcija se sastoji od paralelnih projektora sa središtem u beskonačnosti i smještenih pod kosim kutom u odnosu na ravninu projekcije. Opći dijagram projekcije prikazan je na sl. 3-20 (prikaz, stručni).

Kose projekcije prikazuju cjelokupni trodimenzionalni oblik objekta. Međutim, prava veličina i oblik prikazani su samo za lica objekta koja se nalaze paralelno s ravninom projekcije, tj. kutovi i duljine se spremaju samo za takva lica. Doista, kosa projekcija ovih lica je ekvivalentna ortografskom prednjem pogledu. Lica koja nisu paralelna s ravninom projekcije su iskrivljena.

Posebno su zanimljive dvije kose projekcije - Cavalier i Cabin. Cavalierova projekcija se dobiva kada je kut između projektora i ravnine projekcije . U ovoj projekciji, koeficijenti distorzije za sva tri glavna smjera su isti. Rezultat ove projekcije izgleda neprirodno debelo. Da bi se "ispravio" ovaj nedostatak, koristi se projekcija kabine.

Projekcija u pilotskoj kabini je kosa projekcija u kojoj je koeficijent distorzije za rubove okomite na ravninu projekcije jednak 1/2. Kao što će biti prikazano u nastavku, za projekciju kabine kut između projektora i ravnine projekcije je .

Riža. 3-20 Kosa projekcija.

Riža. 3-21 Konstrukcija kose projekcije.

Za konstruiranje matrice transformacije za kosu projekciju, razmotrite jedinični vektor duž osi prikazane na slici. 3-21 (prikaz, stručni). Za ortografsku ili aksonometrijsku projekciju na ravninu, vektor određuje smjer projekcije. U kosoj projekciji projektori zaklapaju kut s ravninom projekcije. Na sl. Slika 3-21 prikazuje tipične kose projektore i . Projektori tvore kut s ravninom projekcije. Imajte na umu da svi mogući projektori koji prolaze kroz točku ili i tvore kut s ravninom leže na površini stošca s vrhom na ili. Dakle, za dati kut postoji beskonačan broj kosih projekcija.

Projektor se može dobiti korištenjem prijenosa od točke do točke. U dvodimenzionalnoj ravnini koja prolazi okomito na os, transformacijska matrica je jednaka

.

U trodimenzionalnom prostoru, ova dvodimenzionalna transformacija je ekvivalentna pomaku vektora u smjerovima i . Ovo zahtijeva transformaciju

.

Projiciranje na ravninu daje

.

Od sl. 3-21 to shvaćamo

gdje je duljina projiciranog jediničnog vektora na os, tj. koeficijent izobličenja, a je kut između vodoravne i projicirane osi. Od sl. 3-21 također je jasno da je - kut između kosih projektora i ravnine projekcije jednak

Dakle, transformacija za kosu projekciju je:

. (3-44)

Kada je , dobivamo ortografsku projekciju. Ako , tada rubovi okomiti na ravninu projekcije nisu podložni izobličenju. I to je uvjet za projekciju kavalira. Iz jednakosti (3-43) imamo:

.

Imajte na umu da je u projekciji kavalir još uvijek slobodan parametar. Na sl. Slika 3-22 prikazuje Cavalierove projekcije za neke vrijednosti . Najčešće korištene vrijednosti su jednake i . Vrijednost se također primjenjuje.

Projekcija kokpita može se dobiti s faktorom distorzije od . Odavde

U ovom slučaju, kut je opet promjenjiv, kao što je prikazano na sl. 3.23. Najčešće vrijednosti su i; vrijednost se također koristi.

Riža. 3-22 Projekcije kavalira. Od vrha prema dolje, kut se mijenja od do u intervalima, kut .

Riža. 3-23 Projekcije kabine. Od vrha prema dolje, kut se mijenja od do u intervalima, koeficijent distorzije.

Riža. 3-24 Kose projekcije. S lijeva na desno na .

Riža. 3-25 Iskrivljenje koje nastaje u kosim projekcijama, , . (a) Kružna ploha je paralelna s ravninom projekcije; (b) kružno lice je okomito na ravninu projekcije; (c) duža stranica je okomita na ravninu projekcije; (d) duža stranica je paralelna s ravninom projekcije.

Na sl. Slika 3-24 prikazuje kose projekcije za koeficijente distorzije s kutom .

Budući da je prikazan pravi oblik jednog lica, kose projekcije posebno su prikladne za ilustriranje predmeta s okruglim ili drugim zakrivljenim rubovima. Takvi rubovi trebaju biti paralelni s ravninom projekcije kako bi se izbjegla neželjena izobličenja. Baš kao i kod paralelnih projekcija, objekti s jednom dimenzijom značajno superiornom u odnosu na druge podložni su značajnom izobličenju osim ako ta dimenzija nije paralelna s ravninom projekcije. Takvi učinci prikazani su na sl. 3-25 (prikaz, ostalo).

Kosa dimetrijska projekcija (frontalna)

Postavimo li koordinatne osi x I Y paralelno s ravninom P¢, tada će indikatori distorzije duž tih osi postati jednaki jedinici (k = t=1). Indeks izobličenja osi Y obično se uzima jednako 0,5. Aksonometrijske osi x"I Z" napraviti pravi kut, os Y" obično se crta kao simetrala ovog kuta. Os x može biti usmjerena ili desno od osi Z", i lijevo.

Poželjno je koristiti desni sustav, jer je prikladnije prikazati objekte u raščlanjenom obliku. U ovoj vrsti aksonometrije dobro je crtati dijelove koji imaju oblik valjka ili stošca.

Radi praktičnosti prikazivanja ovog dijela, os Y mora biti poravnat s osi rotacije površina cilindra. Tada će svi krugovi biti prikazani u prirodnoj veličini, a duljina svake površine će biti prepolovljena (slika 10.21).

Nagnuti dijelovi.

Pri izradi crteža strojnih dijelova često je potrebno koristiti nagnute presjeke.

Prilikom rješavanja takvih problema potrebno je prije svega razumjeti: kako bi trebala biti smještena rezna ravnina i koje su površine uključene u presjek kako bi se dio bolje čitao. Pogledajmo primjere.

Zadana je tetraedarska piramida, koja je raščlanjena nagnutom frontalno stršećom ravninom A-A(Slika 11.1). Presjek će biti četverokut.

Najprije konstruiramo njegove projekcije na P 1 i dalje P 2. Frontalna projekcija poklapa se s projekcijom ravnine, a horizontalnu projekciju četverokuta konstruiramo prema njegovoj pripadnosti piramidi.

Zatim konstruiramo prirodnu veličinu presjeka. Da biste to učinili, uvodi se dodatna ravnina projekcije P 4, paralelno sa zadanom reznom ravninom A-A, na njega projiciramo četverokut, a zatim ga kombiniramo s ravninom crtanja.

Ovo je četvrti glavni zadatak preoblikovanja složenog crteža (modul br. 4, str. 15 ili zadatak br. 117 iz radne bilježnice nacrtne geometrije).

Konstrukcije se izvode u sljedećem redoslijedu (Sl. 11.2):

1. 1. Na slobodnom mjestu na crtežu nacrtajte središnju liniju paralelnu s ravninom A-A.

2. 2. Iz točaka sjecišta bridova piramide s ravninom povučemo izbočene zrake okomite na presječnu ravninu. Bodovi 1 I 3 ležat će na pravcu okomitom na osni.

3. 3.Udaljenost između točaka 2 I 4 preneseno iz horizontalne projekcije.

4. Slično se konstruira i prava veličina presjeka rotacijske plohe – elipse.

Udaljenost između točaka 1 I 5 - velika os elipse. Mala os elipse mora se konstruirati dijeljenjem velike osi na pola ( 3-3 ).

Udaljenost između točaka 2-2, 3-3, 4-4 preneseno iz horizontalne projekcije.

Razmotrimo složeniji primjer, uključujući poliedarske površine i površine revolucije (Sl. 11.3)

Određena je tetraedarska prizma. U njemu postoje dvije rupe: prizmatična, smještena vodoravno, i cilindrična, čija se os poklapa s visinom prizme.

Rezna ravnina je frontalno projicirana, pa se čeona projekcija presjeka poklapa s projekcijom ove ravnine.

Četverokutna prizma projicira se na vodoravnu ravninu projekcija, što znači da se na crtežu nalazi i horizontalna projekcija presjeka, poklapa se s horizontalnom projekcijom prizme.

Stvarna veličina presjeka u koji padaju obje prizme i cilindar konstruirana je na ravnini paralelnoj s ravninom rezanja A-A(Slika 11.3).

Redoslijed izvođenja kosog dijela:

1. Os presjeka nacrtana je paralelno sa sječnom ravninom na slobodnom polju crteža.

2. Konstruira se presjek vanjske prizme: duljina se prenosi iz frontalne projekcije, a razmak točaka iz horizontalne.

Za trodimenzionalne objekte i panorame.

Ograničenja aksonometrijske projekcije

Izometrijska projekcija u računalnim igrama i pikselskoj grafici

Crtež TV-a u gotovo izometričnoj pikselskoj grafici. Uzorak piksela ima omjer 2:1

Bilješke

1. Prema GOST 2.317-69 - Jedinstveni sustav projektne dokumentacije. Aksonometrijske projekcije.
2. Ovdje je horizontala ravnina okomita na Z os (koja je prototip Z osi").
3. Ingrid Carlbom, Joseph Paciorek. Planarne geometrijske projekcije i transformacije gledanja // ACM Computing Surveys (CSUR): časopis. - ACM, prosinac 1978. - T. 10. - Br. 4. - P. 465-502. - ISSN 0360-0300. - DOI:10.1145/356744.356750
4. Jeff Green. GameSpot pregled: Arcanum (engleski). GameSpot (29. veljače 2000.). (nedostupan link - priča) Preuzeto 29. rujna 2008.
5. Steve Butts. SimCity 4: Rush Hour Pregled (engleski). IGN (9. rujna 2003.). Arhivirano
6. GDC 2004: Povijest Zelde (engleski). IGN (25. ožujka 2004.). Arhivirano iz izvornika 19. veljače 2012. Preuzeto 29. rujna 2008.
7. Dave Greely, Ben Sawyer.

Za vizualni prikaz objekata (proizvoda ili njihovih sastavnih dijelova) preporuča se koristiti aksonometrijske projekcije, birajući najprikladniju za svaki pojedinačni slučaj.

Bit metode aksonometrijske projekcije sastoji se u tome da se zadani objekt, zajedno s koordinatnim sustavom kojemu je pripisan u prostoru, paralelnim snopom zraka projicira na određenu ravninu. Smjer projekcije na aksonometrijsku ravninu ne poklapa se ni s jednom koordinatnom osi i nije paralelan ni s jednom koordinatnom ravninom.

Sve vrste aksonometrijskih projekcija karakteriziraju dva parametra: smjer aksonometrijskih osi i koeficijenti distorzije duž tih osi. Koeficijent distorzije shvaća se kao omjer veličine slike u aksonometrijskoj projekciji i veličine slike u ortogonalnoj projekciji.

Ovisno o omjeru koeficijenata izobličenja, aksonometrijske projekcije dijele se na:

Izometrija, kada su sva tri koeficijenta izobličenja ista (k x =k y =k z);

Dimetrični, kada su koeficijenti izobličenja isti duž dvije osi, a treća im nije jednaka (k x = k z ≠k y);

Trimetrički, kada sva tri koeficijenta izobličenja nisu međusobno jednaka (k x ≠k y ≠k z).

Ovisno o smjeru projiciranih zraka, aksonometrijske projekcije dijele se na pravokutne i kose. Ako su projicirane zrake okomite na aksonometrijsku ravninu projekcija, tada se takva projekcija naziva pravokutnom. Pravokutne aksonometrijske projekcije uključuju izometrijske i dimetrijske. Ako su projicirane zrake usmjerene pod kutom u odnosu na aksonometrijsku ravninu projekcija, tada se takva projekcija naziva kosom. Kose aksonometrijske projekcije uključuju frontalne izometrijske, horizontalne izometrijske i frontalne dimetrijske projekcije.

U pravokutnoj izometriji kutovi između osi su 120°. Stvarni koeficijent izobličenja duž aksonometrijskih osi je 0,82, ali u praksi, radi lakše konstrukcije, indikator se uzima jednak 1. Kao rezultat toga, aksonometrijska slika se povećava za faktor 1.

Izometrijske osi prikazane su na slici 57.

Slika 57

Konstrukcija izometrijskih osi može se izvesti pomoću šestara (slika 58). Da biste to učinili, prvo nacrtajte vodoravnu crtu i okomito na nju povucite os Z. Iz točke sjecišta osi Z s vodoravnom linijom (točka O) nacrtajte pomoćnu kružnicu proizvoljnog radijusa, koja siječe os Z. u točki A. Iz točke A nacrtajte drugu kružnicu istog polumjera do sjecišta s prvom u točkama B i C. Dobivenu točku B spojite s točkom O - dobije se pravac osi X. Na isti način , spoji se točka C s točkom O - dobije se pravac Y osi.

Slika 58

Konstrukcija izometrijske projekcije šesterokuta prikazana je na slici 59. Za to je potrebno na X os u oba smjera nanijeti polumjer opisane kružnice šesterokuta u odnosu na ishodište. Zatim, duž osi Y, odvojite veličinu ključa, povucite linije iz dobivenih točaka paralelno s osi X i povucite duž njih veličinu stranice šesterokuta.

Slika 59

Konstruiranje kružnice u pravokutnoj izometrijskoj projekciji

Najteža ravna figura za crtanje u aksonometriji je krug. Kao što je poznato, krug u izometriji projicira se u elipsu, ali je konstrukcija elipse prilično teška, stoga GOST 2.317-69 preporučuje korištenje ovala umjesto elipse. Postoji nekoliko načina konstruiranja izometrijskih ovala. Pogledajmo jedan od najčešćih.

Veličina velike osi elipse je 1,22d, male 0,7d, gdje je d promjer kruga čija se izometrija gradi. Slika 60 prikazuje grafičku metodu za određivanje velike i male osi izometrijske elipse. Za određivanje male osi elipse spojene su točke C i D. Iz točaka C i D, kao i iz središta, povlače se lukovi polumjera jednakih CD dok se međusobno ne sijeku. Segment AB je velika os elipse.

Slika 60

Nakon utvrđivanja smjera velike i male osi ovala, ovisno o tome kojoj koordinatnoj ravnini krug pripada, nacrtaju se dvije koncentrične kružnice duž dimenzija velike i male osi, u čijem su sjecištu s osi točke O 1, Označeni su O 2, O 3, O 4, koji su središnji ovalni lukovi (slika 61).

Da biste odredili spojne točke, nacrtajte središnje linije koje povezuju O 1, O 2, O 3, O 4. iz dobivenih središta O 1, O 2, O 3, O 4 povlače se lukovi radijusa R i R 1. dimenzije polumjera vidljive su na crtežu.

Slika 61

Smjer osi elipse ili ovala ovisi o položaju projicirane kružnice. Postoji sljedeće pravilo: velika os elipse uvijek je okomita na aksonometrijsku os koja se projicira na zadanu ravninu u točki, a mala os poklapa se sa smjerom te osi (slika 62).

Slika 62

Šrafiranje i izometrijska projekcija

Linije grotla presjeka u izometrijskoj projekciji, prema GOST 2.317-69, moraju imati smjer paralelan ili samo s velikim dijagonalama kvadrata ili samo s malim.

Pravokutna dimetrija je aksonometrijska projekcija s jednakim stupnjevima izobličenja duž dviju osi X i Z, a duž osi Y upola je manji stupanj izobličenja.

Prema GOST 2.317-69, u pravokutnom promjeru koristi se os Z, smještena okomito, os X nagnuta pod kutom od 7 °, a os Y pod kutom od 41 ° u odnosu na liniju horizonta. Indikatori izobličenja za osi X i Z su 0,94, a za os Y - 0,47. Obično se koriste zadani koeficijenti: k x =k z =1, k y =0,5, tj. po osi X i Z ili u smjerovima paralelnim s njima ucrtane su stvarne dimenzije, a po osi Y dimenzije su prepolovljene.

Za konstruiranje dimetrijskih osi upotrijebite metodu prikazanu na slici 63, koja je sljedeća:

Na vodoravnoj liniji koja prolazi točkom O položeno je osam jednakih proizvoljnih odsječaka u oba smjera. Od krajnjih točaka ovih segmenata, jedan sličan segment položen je okomito s lijeve strane, a sedam s desne strane. Dobivene točke spajaju se s točkom O i dobiva se pravac aksonometrijskih osi X i Y u pravokutnoj dimetriji.

Slika 63

Konstruiranje dimetrijske projekcije šesterokuta

Razmotrimo konstrukciju u dimetriji pravilnog šesterokuta koji se nalazi u ravnini P 1 (slika 64).

Slika 64

Na osi X crtamo segment jednak vrijednosti b, da mu dopusti sredina je bila u točki O, a duž Y osi nalazio se segment A, čija je veličina prepolovljena. Kroz dobivene točke 1 i 2 nacrtamo ravne linije paralelne s osi OX, na koje položimo segmente jednake strani šesterokuta u punoj veličini sa sredinom u točkama 1 i 2. Spojimo dobivene vrhove. Slika 65a prikazuje šesterokut u dimetriji, smješten paralelno s frontalnom ravninom, a na slici 66b, paralelno s profilnom ravninom projekcije.

Slika 65

Konstruiranje kruga u dimetriji

U pravokutnoj dimetriji svi krugovi su prikazani kao elipse,

Duljina velike osi za sve elipse je ista i jednaka 1,06d. Veličina male osi je različita: za frontalnu ravninu je 0,95d, za horizontalnu i profilnu ravninu je 0,35d.

U praksi se elipsa zamjenjuje ovalom s četiri središta. Razmotrimo konstrukciju ovala koja zamjenjuje projekciju kružnice koja leži u horizontalnoj i profilnoj ravnini (slika 66).

Kroz točku O - početak aksonometrijskih osi, povučemo dvije međusobno okomite ravne crte i na vodoravnu crtu nanesemo vrijednost velike osi AB = 1,06d, a na okomitu crtu vrijednost male osi CD = 0,35d. . Gore i dolje od O okomito postavljamo segmente OO 1 i OO 2, jednake vrijednosti 1,06d. Točke O 1 i O 2 su središta velikih ovalnih lukova. Da bismo odredili još dva centra (O 3 i O 4), na vodoravnoj liniji od točaka A i B odložimo segmente AO 3 i BO 4, jednake ¼ male osi elipse, odnosno d.

Slika 66

Zatim iz točaka O1 i O2 nacrtamo lukove čiji je polumjer jednak udaljenosti do točaka C i D, a iz točaka O3 i O4 - s polumjerom do točaka A i B (slika 67).

Slika 67

Razmotrit ćemo konstrukciju ovala, koji zamjenjuje elipsu, iz kružnice koja se nalazi u ravnini P 2 na slici 68. Nacrtamo dimetrične osi: X, Y, Z. Mala os elipse poklapa se sa smjerom Y os, a glavna je okomita na nju. Na osi X i Z nanesemo polumjer kružnice od početka i dobijemo točke M, N, K, L koje su konjugacijske točke ovalnih lukova. Iz točaka M i N povlače se vodoravne ravne crte koje na sjecištu s osi Y i okomice na nju daju točke O 1, O 2, O 3, O 4 - središta ovalnih lukova (slika 68). .

Iz središta O 3 i O 4 opisuju luk polumjera R 2 = O 3 M, a iz središta O 1 i O 2 - lukove polumjera R 1 = O 2 N

Slika 68

Šrafura pravokutnog promjera

Linije šrafura rezova i presjeka u aksonometrijskim projekcijama izrađuju se paralelno s jednom od dijagonala kvadrata, čije su stranice smještene u odgovarajućim ravninama paralelnim s aksonometrijskim osima (slika 69).

Slika 69

1. Koje vrste aksonometrijskih projekcija poznajete?
2. Pod kojim kutom se nalaze osi u izometriji?
3. Koji oblik predstavlja izometrijska projekcija kruga?
4. Kako je smještena velika os elipse za kružnicu koja pripada profilnoj ravnini projekcija?
5. Koji su prihvaćeni koeficijenti distorzije duž X, Y, Z osi za konstrukciju dimetrične projekcije?
6. Pod kojim kutovima se nalaze osi u dimetriji?
7. Koji će lik biti dimetrijska projekcija kvadrata?
8. Kako konstruirati dimetričnu projekciju kružnice koja se nalazi u frontalnoj ravnini projekcija?
9. Osnovna pravila za primjenu sjenčanja u aksonometrijskim projekcijama.

GOST 2.317-69* (ST SEV 1979-79) utvrđuje pravokutne i kose aksonometrijske projekcije. Pravokutan projekcije se dijele na izometrijske i dimetrijske, kosi- frontalna izometrija, horizontalna izometrija i frontalna dimetrija.

Pravokutne projekcije

Pravokutna izometrijska projekcija. Položaj aksonometrijskih osi prikazan je na slici gore lijevo. Koeficijent izobličenja po osi x, y, z je 0,82; u pravilu se zaokružuje na 1. Kružnice koje leže u ravninama paralelnim s ravninama projekcija projiciraju se na te ravnine u elipse (vidi istu sliku ispod). Glavne osi elipsa 1, 2, 3 okomite su na osi y, z, x. Ako se koeficijent izobličenja duž osi uzme jednak 1, tada su glavne osi elipsa jednake 1,22, a male osi 0,71 promjera kruga.

Pravokutna dimetrijska projekcija. Položaj aksonometrijskih osi prikazan je na slici desno. Koeficijent izobličenja duž y-osi je 0,47, duž x i z osi - 0,94; u pravilu, koeficijent izobličenja duž osi y zaokružuje se na 0,5, duž osi x i z - na 1. Krugovi koji leže u ravninama paralelnim s ravninama projekcija projiciraju se na te ravnine u elipse, čije su glavne osi okomito na osi y odnosno z. , X. Ako se koeficijent distorzije duž osi x i y uzme jednak 1, tada su velike osi elipsa jednake 1,06 puta promjera kruga, sporedna os elipse 1 jednaka je 0,95, a elipse 2 i 3 jednaki su 0,35 promjera kruga.

Kose projekcije

Kosi frontalni izometrijski pogled. Položaj aksonometrijskih osi prikazan je na donjoj slici (a). Kut nagiba osi y prema vodoravnoj liniji je 45°, dopušten je kut od 30° ili 60°. Koeficijent distorzije po osi x, y, 2 jednak je 1.

Kosa horizontalna izometrijska projekcija. Položaj aksonometrijskih osi prikazan je na slici (b). Kut nagiba osi y prema vodoravnoj liniji je 30°, dopušten je kut od 45° i 60°. Koeficijent izobličenja po osi x, y, z jednak je 1.

. Položaj aksonometrijskih osi prikazan je na gornjoj slici (c) Kut nagiba osi y prema vodoravnoj liniji je 45°, dopušten je kut od 30° i 60°. Koeficijent distorzije duž y-osi je 0,5, duž x i z osi - 1. Krugovi koji leže u ravninama paralelnim s ravninom frontalne projekcije projiciraju se u krugove; u ravninama paralelnim s horizontalnim i profilnim ravninama projekcija - u elipse (sl. 5.31). Velika os elipse 2 zaklapa s osi x kut od 7°14", velika os elipse 3 zaklapa s osi z kut od 7°14". Velike osi elipse 2 i 3 jednake su 1,07, male osi 0,33 promjera kruga.

Šrafiranje i kotiranje

Linije šrafura presjeka u aksonometrijskim projekcijama crtaju se paralelno s jednom od dijagonala kvadrata koji leže u odgovarajućim koordinatnim ravninama, čije su stranice paralelne s aksonometrijskim osima (slika dolje). Rebra za ukrućenje, žbice zamašnjaka i slični elementi koji padaju unutar sekantne ravnine su šrafirani.

Primjeri slika dijelova u aksonometrijskim projekcijama

Linije šrafure u aksonometrijskim projekcijama: a - u pravokutnoj izometriji; 6 - u pravokutnom dimetru; u - u kosoj frontalnoj dimetriji

Slika dijela u pravokutnoj izometrijskoj projekciji

Slika dijela u pravokutnoj dimetrijskoj projekciji

Slika dijela u kosoj frontalnoj dimetrijskoj projekciji

Crtanje kota u aksonometrijskim projekcijama

Prilikom nanošenja dimenzija, produžne linije crtaju se paralelno s koordinatnim osima, kotne linije se crtaju paralelno s izmjerenim segmentom (slika iznad).