Ispitajte kontinuitet online funkcionalnog sustava. Izračunajte granice funkcije online

Praktični rad br.3

Ispitivanje funkcije za kontinuitet

Cilj rada: Razvijati i usavršavati sposobnost određivanja kontinuiteta funkcije, pronalaženja lomnih točaka funkcije, učvrstiti vještinu izračunavanja limita.

Sredstva obrazovanja: udžbenik Matematika str. 62-71, materijali, radna bilježnica iz matematike.

Oblik: frontalni.

Referentni materijal

Definicija : Funkcija f (x) se naziva kontinuiranom na x0 ako je:

1) postoji vrijednost funkcije u točki f (x 0)

2) u točki x0 postoji konačna granica

3) granica je jednaka vrijednosti funkcije u točki x0

Definicija : Funkcija kontinuirana je na intervalu, ako je kontinuirana u svim točkama ovog intervala.

Definicija : Ako u bilo kojem trenutku x0 funkcija na = f (x) nije kontinuirana , zatim točka x0 nazvao prijelomna točka ovu funkciju, i funkcija y = f (x) nazvao Eksplozivno u ovom trenutku.

Točke diskontinuiteta 1. vrste

Točka x=1 uklonjiva točka prijeloma

=-1

Točke diskontinuiteta 2. vrste

Operativni postupak:

Vježba 1.

a) y=x2+3 u točki x=-2

Riješenje:

y (-2)=(-2)2+3=7

, funkcija je neprekidna u točki x=-2

b) y=u točki x=2

Riješenje:

, funkcija je neprekidna u točki x=2

Zadatak 2.

riješenje

Funkcija je neodređena u točki x=2, stoga funkcija u ovoj točki nije kontinuirana i trpi diskontinuitet.Nacrtajmo funkciju:

Nađimo jednostrane granice u točki x=2:

https://pandia.ru/text/79/377/images/image027_20.gif" width="93" height="29 src=">, budući da su jednostrane granice konačne i jednake, tada je točka x = 2 točke ruptura 1. vrste (točka rupture koja se može popraviti)

riješenje

Nacrtajmo funkciju:

https://pandia.ru/text/79/377/images/image030_17.gif" width="89" height="29 src=">.gif" width="36" height="41">

riješenje

Funkcija je neodređena u točki x = -1, stoga funkcija u ovoj točki nije kontinuirana i trpi diskontinuitet.Nacrtajmo funkciju:

Nađimo jednostrane granice u točki x=-1:

https://pandia.ru/text/79/377/images/image035_13.gif" width="111" height="41 src="> budući da nema konačnog ograničenja, tada je točka x = -1 točka puknuća 2. vrsta.

Samostalni zadatak

Zadatak 3. Na temelju definicije kontinuirane funkcije dokažite neprekidnost tih funkcija u naznačenim točkama

A) y=2x2+1 u točki x=1

b) y=u točki x=-1

Zadatak 4. Ispitajte funkcije na kontinuitet. Pronađite točke prekida i odredite njihovu vrstu.

Kontrolna pitanja:

Pojam neprekidnosti funkcije u točki. Kontinuitet funkcije na intervalu. Vrste prijelomnih točaka funkcije. Primjeri.

Rezimirajući rad: Analiza obavljenih zadataka.

Kriteriji za ocjenjivanje:

"5"-točno rješavanje zadataka 3 (a, b), 4 (a, b, c)

"4"-točna izvedba bilo koja 4 primjera dijelove sebe.

"3"-dovršavanje zadataka 1(a,b), 2(a,b,c)

glavni izvori :

Grigoriev. M., Akademija, 2013.

Bogomolov: udžbenik. Za Suz. -M.: Bustard, 2009. -395 str.

Dodatni izvori

Bugrov S. M. Diferencijalni i integralni račun. Srednja škola 1990

Matematička analiza u pitanjima i problemima. Srednja škola 1987

Govorov P. T. Zbirka zadataka natjecanja iz matematike. Akademija 2000

Viša matematika u vježbama i zadacima. Akademija 2001

Pekhletsky I. D..Matematika. Akademija 2001

Zbirka zadataka iz matematike: udžbenik za srednje specijalizirane obrazovne ustanove. Akademija 2004

Kontinuitet i crtanje grafova funkcija po komadima je složena tema. Bolje je naučiti kako graditi grafikone izravno u praktičnoj lekciji. Ovo je uglavnom studija kontinuiteta.

Poznato je da elementarna funkcija(vidi str. 16) kontinuirana je u svim točkama u kojima je definirana. Stoga je kršenje kontinuiteta u elementarnim funkcijama moguće samo u točkama dvije vrste:

a) na mjestima gdje je funkcija "redefinirana";

b) u točkama u kojima funkcija ne postoji.

U skladu s tim, samo se takve točke provjeravaju na kontinuitet tijekom studije, kao što je prikazano u primjerima.

Za neelementarne funkcije proučavanje je kompliciranije. Na primjer, funkcija (cijeli dio broja) je definirana na cijelom brojevnom pravcu, ali trpi prekid na svakom cijelom broju x. Takva pitanja su izvan dosega priručnika.

Prije proučavanja gradiva treba ponoviti iz predavanja ili udžbenika koje (kakve) prijelomne točke postoje.

Istraživanje po komadu definiranih funkcija za kontinuitet

Skup funkcija po komadu, ako je dana različitim formulama u različitim dijelovima domene definicije.

Glavna ideja pri ispitivanju takvih funkcija je otkriti je li i kako funkcija definirana u točkama u kojima je redefinirana. Zatim provjerava jesu li vrijednosti funkcije lijevo i desno od takvih točaka iste.

Primjer 1. Pokažimo da funkcija
stalan.

Funkcija
je elementarna i stoga kontinuirana u točkama u kojima je definirana. Ali, očito, definiran je u svim točkama. Prema tome, on je kontinuiran u svim točkama, uključujući i na
, kako zahtijeva uvjet.

Isto vrijedi i za funkciju
, i na
kontinuirano je.

U takvim slučajevima, kontinuitet se može prekinuti samo ako je funkcija nadjačana. U našem primjeru to je točka
. Provjerimo, za što nalazimo granice s lijeve i desne strane:

Ograničenja s lijeve i desne strane su ista. Ostaje za vidjeti:

a) je li funkcija definirana u samoj točki?
;

b) ako da, odgovara li
s graničnim vrijednostima s lijeve i desne strane.

Pod uvjetom, ako
, To
. Zato
.

Vidimo da (svi su jednaki broju 2). To znači da u točki
funkcija je kontinuirana. Dakle, funkcija je kontinuirana duž cijele osi, uključujući točku
.

Komentari na odluku

a) Nije igrao ulogu u izračunima, zamjena imamo specifičnu brojevnu formulu
ili
. Ovo je obično važno kod dijeljenja infinitezimalnim jer utječe na predznak beskonačnosti. Upravo ovdje
I
odgovorni su samo za odabir funkcije;

b) u pravilu notacije
I
su jednaki, isto vrijedi i za oznake
I
(i vrijedi za bilo koju točku, ne samo za
). U nastavku, radi sažetosti, koristimo oznaku oblika
;

c) kada su granice s lijeve i desne strane jednake, za provjeru kontinuiteta zapravo ostaje vidjeti hoće li jedna od nejednakosti biti nije stroga. U primjeru se pokazalo da je to 2. nejednadžba.

Primjer 2. Ispitujemo kontinuitet funkcije
.

Iz istih razloga kao u primjeru 1, kontinuitet se može prekinuti samo u točki
. Provjerimo:

Granice s lijeve i desne strane su jednake, ali u samoj točki
funkcija nije definirana (nejednakosti su stroge). To znači da
- točka popravljivi jaz.

"Razmak koji se može ukloniti" znači da je dovoljno bilo koju od nejednakosti učiniti nestriktnom ili je izmisliti za posebnu točku
funkcija čija je vrijednost na
jednako –5, ili jednostavno označite to
tako da cjelokupna funkcija
postala kontinuirana.

Odgovor: točka
– uklonjiva točka prekida.

Napomena 1. U literaturi se praznina koja se može popraviti obično smatra posebnim slučajem praznine tipa 1, ali studenti je češće shvaćaju kao zasebnu vrstu praznine. Da bismo izbjegli nedosljednosti, pridržavat ćemo se 1. stajališta, a posebno ćemo navesti „neuklonjivi“ jaz 1. vrste.

Primjer 3. Provjerimo je li funkcija kontinuirana

U točki

Lijeva i desna ograničenja su različita:
. Bez obzira je li funkcija definirana na
(da) i ako da, čemu je jednako (jednako 2), bod
–točka neuklonjivog diskontinuiteta 1. vrste.

U točki
događa se konačni skok(od 1 do 2).

Odgovor: točka

Napomena 2. Umjesto
I
obično pišu
I
odnosno.

Dostupno pitanje: kako se funkcije razlikuju

I
,

a također i njihove grafikone? Točno odgovor:

a) 2. funkcija nije definirana u točki
;

b) na grafu 1. funkcijske točke
“osjenčano”, na 2. grafikonu – ne (“probušena točka”).

Točka
, gdje se graf prekida
, nije osjenčan na oba grafikona.

Teže je ispitati funkcije koje su drugačije definirane na tri područja.

Primjer 4. Je li funkcija kontinuirana?
?

Baš kao u primjerima 1 – 3, svaka od funkcija
,
I je kontinuiran duž cijele numeričke osi, uključujući područje u kojem je specificiran. Razbijanje je moguće samo na točki
i/ili u točki
, gdje je funkcija nadjačana.

Zadatak je podijeljen u 2 podzadatka: ispitati neprekidnost funkcije

I
,

i točka
nije od interesa za funkciju
, i točka
– za funkciju
.

1. korak. Provjera točke
i funkcija
(ne pišemo indeks):

Granice su iste. Po uvjetu,
(ako su limesi s lijeve i desne strane jednaki, tada je zapravo funkcija kontinuirana kada jedna od nejednakosti nije stroga). Dakle, u točki
funkcija je kontinuirana.

2. korak. Provjera točke
i funkcija
:

Jer
, točka
– točka diskontinuiteta 1. vrste i vrijednost
(i postoji li uopće) više ne igra nikakvu ulogu.

Odgovor: funkcija je kontinuirana u svim točkama osim u točki
, gdje postoji neuklonjivi diskontinuitet 1. vrste - skok sa 6 na 4.

Primjer 5. Pronađite prijelomne točke funkcije
.

Nastavljamo prema istoj shemi kao u primjeru 4.

1. korak. Provjera točke
:

A)
, jer lijevo od
funkcija je konstantna i jednaka 0;

b) (
– parna funkcija).

Granice su iste, ali kada
funkcija nije definirana uvjetom, a ispada da
– uklonjiva točka prekida.

2. korak. Provjera točke
:

A)
;

b)
– vrijednost funkcije ne ovisi o varijabli.

Ograničenja se razlikuju: , točka
– točka neuklonjivog diskontinuiteta 1. vrste.

Odgovor:
– uklonjiva točka prekida,
je točka neuklonjivog diskontinuiteta 1. vrste; u ostalim točkama funkcija je kontinuirana.

Primjer 6. Je li funkcija kontinuirana?
?

Funkcija
utvrđeno na
, dakle stanje
pretvara u stanje
.

S druge strane, funkcija
utvrđeno na
, tj. na
. Dakle stanje
pretvara u stanje
.

Ispada da uvjet mora biti ispunjen
, a domena definiranja cijele funkcije je segment
.

Same funkcije
I
su elementarne i stoga kontinuirane u svim točkama u kojima su definirane - posebno, i na
.

Ostaje provjeriti što se događa na točki
:

A)
;

Jer
, pogledajte je li funkcija definirana u točki
. Da, 1. nejednakost je relativno slaba
, i to je dovoljno.

Odgovor: funkcija je definirana na intervalu
i na njemu je kontinuirana.

Složeniji slučajevi, kada je jedna od funkcija komponente neelementarna ili nije definirana ni u jednom trenutku u svom segmentu, izvan su dosega priručnika.

NF1. Konstruirati grafove funkcija. Zabilježite je li funkcija definirana u točki u kojoj se redefinira i ako jest, koja je vrijednost funkcije (riječ " Ako" je izostavljen iz definicije funkcije radi sažetosti):

1) a)
b)
V)
G)

2) a)
b)
V)
G)

3) a)
b)
V)
G)

4) a)
b)
V)
G)

Primjer 7. Neka
. Zatim na mjestu
izgraditi vodoravnu liniju
, i na stranici
izgraditi vodoravnu liniju
. U ovom slučaju, točka s koordinatama
"probušeno", i točka
"prebojano". U točki
dobije se diskontinuitet 1. vrste (“skok”) i
.

NF2. Ispitati kontinuitet različito definiranih funkcija na 3 intervala. Iscrtajte grafikone:

1) a)
b)
V)

G)
d)
e)

2) a)
b)
V)

G)
d)
e)

3) a)
b)
V)

G)
d)
e)

Primjer 8. Neka
. Lokacija uključena
izgraditi ravnu liniju
, zašto nalazimo
I
. Povezivanje točaka
I
segment. Same bodove ne ubrajamo, jer kad
I
funkcija nije definirana uvjetom.

Lokacija uključena
I
zaokružite os OX (na njoj
), međutim bodova
I
"izdubljeno". U točki
dobivamo uklonjivi razmak, a na točki
– diskontinuitet 1. vrste (“skok”).

NF3. Grafički nacrtajte funkcije i provjerite jesu li kontinuirane:

1) a)
b)
V)

G)
d)
e)

2) a)
b)
V)

G)
d)
e)

NF4. Provjerite jesu li funkcije kontinuirane i nacrtajte ih grafički:

1) a)
b)
V)

2 a)
b)
V)

3) a)
b)
V)

NF5. Konstruirati grafove funkcija. Obratite pažnju na kontinuitet:

1) a)
b)
V)

G)
d)
e)

2) a)
b)
V)

G)
d)
e)

3) a)
b)
V)

G)
d)
e)

4) a)
b)
V)

G)
d)
e)

5) a)
b)
V)

G)
d)
e)

NF6. Konstruirati grafove diskontinuiranih funkcija. Zabilježite vrijednost funkcije na mjestu gdje je funkcija nadjačana (i postoji li):

1) a)
b)
V)

G)
d)
e)

2) a)
b)
V)

G)
d)
e)

3) a)
b)
V)

G)
d)
e)

4) a)
b)
V)

G)
d)
e)

5) a)
b)
V)

G)
d)
e)

NF7. Isti zadatak kao u NF6:

1) a)
b)
V)

G)
d)
e)

2) a)
b)
V)

G)
d)
e)

3) a)
b)
V)

G)
d)
e)

4) a)
b)
V)

G)
d)
e)

Definicija točke prekida funkcije a njihove vrste nastavak je teme kontinuiteta funkcije. Vizualno (grafičko) objašnjenje značenja prijelomnih točaka funkcije također je dano u kontrastu s konceptom kontinuiteta. Naučimo kako pronaći prijelomne točke funkcije i odrediti njihove vrste. A u tome će nam pomoći naši vjerni prijatelji - lijevi i desni limiti, općenito zvani jednostrani limiti. Ako netko ima bilo kakav strah od jednostranih ograničenja, uskoro ćemo ga odagnati.

Točke na grafu koje međusobno nisu povezane nazivamo točke prekida funkcije . Graf takve funkcije, koja trpi diskontinuitet u točki x=2 - - na slici ispod.

Generalizacija gore navedenog je sljedeća definicija. Ako funkcija nije kontinuirana u točki, tada ima diskontinuitet u ovoj točki i sama se točka naziva prijelomna točka . Poremećaji su prve i druge vrste .

Kako bi se utvrdilo vrste (karakter) prijelomnih točaka funkcije treba pronaći s povjerenjem granice, stoga je dobra ideja otvoriti odgovarajuću lekciju u novom prozoru. Ali u vezi s prijelomnim točkama imamo nešto novo i važno - jednostrana (lijeva i desna) ograničenja. Općenito se pišu (desna granica) i (lijeva granica). Kao i općenito u slučaju limita, da biste pronašli limit funkcije, trebate zamijeniti X u izrazu funkcije za ono čemu X teži. Ali, možda pitate, kako će se desna i lijeva granica razlikovati, ako se u slučaju desne nešto doda X, ali je to nešto nula, a u slučaju lijeve nešto se oduzme od X, ali ovo nešto - također nula? I bit ćeš u pravu. U većini slučajeva.

Ali u praksi traženja točaka diskontinuiteta funkcije i određivanja njihovog tipa, postoje dva tipična slučaja kada desna i lijeva granica nisu jednake:

funkcija ima dva ili više izraza ovisno o dijelu brojevnog pravca kojem x pripada (ovi izrazi se obično pišu u vitičastim zagradama iza f(x)= );
kao rezultat zamjene onoga čemu X teži, dobivamo razlomak u čijem nazivniku ostaje ili plus nula (+0) ili minus nula (-0) i stoga takav razlomak znači ili plus beskonačno ili minus beskonačno, a to su sasvim druge stvari.

Točke diskontinuiteta prve vrste

Prijelomna točka prve vrste: funkcija ima i konačnu (tj. nije jednaku beskonačnosti) lijevu granicu i konačnu desnu granicu, ali funkcija nije definirana u točki ili su lijeva i desna granica različite (nisu jednake).

Točka uklonjivog diskontinuiteta prve vrste. Lijeva i desna granica su jednake. U tom slučaju moguće je dodatno definirati funkciju u točki. Definirati funkciju u točki, jednostavno rečeno, znači osigurati vezu točaka između kojih se nalazi točka u kojoj su lijeva i desna granica jednake jedna drugoj. U tom slučaju veza treba predstavljati samo jednu točku u kojoj treba pronaći vrijednost funkcije.

Primjer 1. Odrediti prekidnu točku funkcije i vrstu (karakter) prekidne točke.

Točke diskontinuiteta druge vrste

Prijelomna točka druge vrste: točka u kojoj je barem jedna od granica (lijeva ili desna) beskonačna (jednaka beskonačnosti).

Primjer 3.

Riješenje. Iz izraza za snagu pri e jasno je da funkcija nije definirana u točki. Pronađimo lijevu i desnu granicu funkcije u ovoj točki:

Jedna od limesa jednaka je beskonačnosti, pa je točka diskontinuitetna točka druge vrste. Ispod primjera nalazi se graf funkcije s točkom prijeloma.

Pronalaženje prijelomnih točaka funkcije može biti neovisni zadatak ili dio Potpuno funkcionalno istraživanje i crtanje .

Primjer 4. Odrediti prijelomnu točku funkcije i tip (karakter) prijelomne točke funkcije

Riješenje. Iz izraza za potenciju na 2 jasno je da funkcija nije definirana u točki. Pronađimo lijevu i desnu granicu funkcije u ovoj točki.

Na ovoj stranici pokušali smo prikupiti za vas najpotpunije informacije o proučavanju funkcije. Nema više guglanja! Samo čitajte, proučavajte, preuzimajte, slijedite odabrane poveznice.

Generalni dizajn elaborata

Čemu služi? pitate se postoji li mnogo usluga koje će se izgraditi za najsofisticiranije funkcije u ovom istraživanju? Kako bismo saznali svojstva i značajke dane funkcije: kako se ponaša u beskonačnosti, koliko brzo mijenja predznak, koliko glatko ili oštro raste ili opada, gdje su usmjerene "grbe" konveksnosti, gdje vrijednosti nisu definirani itd.

I na temelju ovih "značajki" izgrađen je izgled grafikona - slika, koja je zapravo sekundarna (iako je u obrazovne svrhe važna i potvrđuje ispravnost vaše odluke).

Počnimo, naravno, s plan. Studija funkcije - volumetrijski zadatak(možda najopsežniji od tradicionalnih tečajeva više matematike, obično od 2 do 4 stranice, uključujući crtež), stoga, kako ne bismo zaboravili što treba raditi kojim redoslijedom, slijedimo točke opisane u nastavku.

Algoritam

Pronađite domenu definicije. Odaberite posebne točke (prekidne točke).
Provjerite prisutnost vertikalnih asimptota na točkama diskontinuiteta i na granicama područja definiranja.
Pronađite točke sjecišta s koordinatnim osima.
Odredite je li funkcija parna ili neparna.
Odredite je li funkcija periodična ili ne (samo trigonometrijske funkcije).
Pronađite točke ekstrema i intervale monotonosti.
Pronađite točke infleksije i konveksno-konkavne intervale.
Odredite kose asimptote. Istražite ponašanje u beskonačnosti.
Odaberite dodatne točke i izračunajte njihove koordinate.
Konstruirajte graf i asimptote.

U različitim izvorima (udžbenici, priručnici, predavanja vašeg učitelja) popis može imati drugačiji oblik od ovog: neke stavke su zamijenjene, kombinirane s drugima, skraćene ili uklonjene. Molimo vas da prilikom donošenja odluke uzmete u obzir zahtjeve/preferencije svog učitelja.

Dijagram studija u pdf formatu: preuzmi.

Cijeli primjer rješenja online

Provedite cjelovitu studiju i nacrtajte funkciju $$ y(x)=\frac(x^2+8)(1-x). $$

1) Domena funkcije. Budući da je funkcija razlomak, moramo pronaći nule nazivnika. $$1-x=0, \quad \Rightarrow \quad x=1.$$ Isključujemo jedinu točku $x=1$ iz domene definicije funkcije i dobivamo: $$ D(y)=(-\ infty; 1) \čaša (1;+\infty). $$

2) Proučimo ponašanje funkcije u blizini točke diskontinuiteta. Pronađimo jednostrana ograničenja:

Budući da su granice jednake beskonačnosti, točka $x=1$ je diskontinuitet druge vrste, pravac $x=1$ je vertikalna asimptota.

3) Odrediti točke presjeka grafa funkcije s koordinatnim osima.

Nađimo točke presjeka s osi ordinata $Oy$ za koje izjednačavamo $x=0$:

Dakle, sjecišna točka s osi $Oy$ ima koordinate $(0;8)$.

Nađimo sjecišne točke s apscisnom osi $Ox$ za koje smo postavili $y=0$:

Jednadžba je bez korijena, pa nema ni sjecišta s $Ox$ osi.

Imajte na umu da $x^2+8>0$ za bilo koji $x$. Stoga, za $x \in (-\infty; 1)$ funkcija $y>0$ (poprima pozitivne vrijednosti, graf je iznad x-osi), za $x \in (1; +\infty)$ funkcija $y\lt 0$ (poprima negativne vrijednosti, graf je ispod x-osi).

4) Funkcija nije ni parna ni neparna jer:

5) Ispitujemo periodičnost funkcije. Funkcija nije periodična, jer je frakcijska racionalna funkcija.

6) Ispitujemo funkciju za ekstreme i monotonost. Da bismo to učinili, nalazimo prvu derivaciju funkcije:

Izjednačimo prvu derivaciju s nulom i pronađemo stacionarne točke (u kojima je $y"=0$):

Imamo tri kritične točke: $x=-2, x=1, x=4$. Podijelimo cijelo područje definicije funkcije na intervale s tim točkama i odredimo predznake derivacije u svakom intervalu:

Za $x \in (-\infty; -2), (4;+\infty)$ derivacija $y" \lt 0$, pa funkcija opada na tim intervalima.

Kada je $x \in (-2; 1), (1;4)$ derivacija $y" >0$, funkcija raste na tim intervalima.

U ovom slučaju, $x=-2$ je lokalna minimalna točka (funkcija pada, a zatim raste), $x=4$ je lokalna maksimalna točka (funkcija raste, a zatim pada).

Pronađimo vrijednosti funkcije u ovim točkama:

Dakle, minimalna točka je $(-2;4)$, maksimalna točka je $(4;-8)$.

7) Ispitujemo funkciju za pregibe i konveksnost. Nađimo drugu derivaciju funkcije:

Izjednačimo drugu derivaciju s nulom:

Rezultirajuća jednadžba nema korijena, pa nema ni točaka infleksije. Štoviše, kada je $x \in (-\infty; 1)$ zadovoljeno $y"" \gt 0$, to jest, funkcija je konkavna, kada je $x \in (1;+\infty)$ zadovoljeno $ y"" \ lt 0$, odnosno funkcija je konveksna.

8) Ispitajmo ponašanje funkcije u beskonačnosti, odnosno na .

Budući da su granice beskonačne, ne postoje horizontalne asimptote.

Pokušajmo odrediti kose asimptote oblika $y=kx+b$. Izračunavamo vrijednosti $k, b$ koristeći poznate formule:

Utvrdili smo da funkcija ima jednu kosu asimptotu $y=-x-1$.

9) Dodatni bodovi. Izračunajmo vrijednost funkcije u nekim drugim točkama kako bismo točnije konstruirali graf.

$$ y(-5)=5,5; \quad y(2)=-12; \quad y(7)=-9,5. $$

10) Na temelju dobivenih podataka konstruirat ćemo graf, dopuniti ga asimptotama $x=1$ (plavo), $y=-x-1$ (zeleno) i označiti karakteristične točke (ljubičasto sjecište s osi ordinata, narančasti ekstremi, crne dodatne točke):

Primjeri rješenja istraživanja funkcija

Razne funkcije (polinomi, logaritmi, razlomci) imaju svoje karakteristike tijekom istraživanja(diskontinuiteti, asimptote, broj ekstrema, ograničena domena definicije), pa smo ovdje pokušali prikupiti primjere iz kontrolnih za proučavanje funkcija najčešćih tipova. Zabavite se učeći!

Zadatak 1. Istražite funkciju koristeći metode diferencijalnog računa i konstruirajte graf.

$$y=\frac(e^x)(x).$$

Zadatak 2. Istražite funkciju i konstruirajte njezin graf.

$$y=-\frac(1)(4)(x^3-3x^2+4).$$

Zadatak 3. Istražite funkciju pomoću njezine derivacije i iscrtajte graf.

$$y=\ln \frac(x+1)(x+2).$$

Zadatak 4. Provedite potpunu studiju funkcije i nacrtajte grafikon.

$$y=\frac(x)(\sqrt(x^2+x)).$$

Zadatak 5. Istražite funkciju pomoću diferencijalnog računa i konstruirajte graf.

$$y=\frac(x^3-1)(4x^2).$$

Zadatak 6. Ispitajte funkciju na ekstreme, monotonost, konveksnost i konstruirajte graf.

$$y=\frac(x^3)(x^2-1).$$

Zadatak 7. Provedite proučavanje funkcije iscrtavanjem grafa.

$$y=\frac(x^3)(2(x+5)^2).$$

Kako izgraditi grafikon online?

Čak i ako učitelj od vas traži da predate zadatak, rukom pisana, s crtežom na komadu papira u kutiji, bit će vam od iznimne koristi prilikom odluke izgraditi graf u posebnom programu (ili servisu) kako biste provjerili napredovanje rješenja, usporedili njegov izgled s onim što je dobiveno ručno i možda pronađete pogreške u svojim izračunima (kada se grafikoni očito ponašaju drugačije).

Ispod ćete pronaći nekoliko poveznica na web stranice koje vam omogućuju izradu zgodne, brze, lijepe i, naravno, besplatne grafike za gotovo sve funkcije. Zapravo, postoji mnogo više takvih usluga, ali isplati li se tražiti ako su odabrani najbolji?

Grafički kalkulator Desmos

Drugi link je praktičan, za one koji žele naučiti kako izgraditi lijepe grafikone na Desmos.com (vidi opis iznad): Potpune upute za rad s Desmosom. Ova je uputa prilično stara, od tada se sučelje web mjesta promijenilo na bolje, ali osnove su ostale nepromijenjene i pomoći će vam da brzo razumijete važne funkcije usluge.

Službene upute, primjere i video upute na engleskom jeziku možete pronaći ovdje: Learn Desmos.

Reshebnik

Trebate hitno dovršen zadatak? Više od stotinu različitih funkcija s potpunim istraživanjem već čeka na vas. Detaljno rješenje, brzo plaćanje SMS-om i niska cijena - cca. 50 rubalja. Možda je vaš zadatak već spreman? Provjerite!

Korisni videi

Webinar o radu s Desmos.com. Ovo je već potpuni pregled funkcionalnosti stranice, čak 36 minuta. Nažalost, na engleskom je, ali osnovno poznavanje jezika i pažljivost dovoljni su da se većina toga razumije.

Cool stari znanstveno-popularni film "Matematika. Funkcije i grafovi." Objašnjenja na dohvat ruke u doslovnom smislu te riječi, same osnove.

Kontinuitet funkcije u točki. Funkcija y = f(x ) naziva se nepre-

trzaj u točki x 0 ako:

1) ova je funkcija definirana u nekoj okolini točke x 0 ;

2) postoji ograničenje lim f(x);

→ x 0

3) ova granica je jednaka vrijednosti funkcije u točki x 0, tj. limf (x )= f (x 0 ) .
		x→x0
Zadnji uvjet je ekvivalentan uvjetu lim		y = 0, gdje je x = x − x 0 – kada
	x → 0
rotacija argumenta, y = f (x 0 +	x )− f (x 0 ) – prirast funkcije, pripad
povećavajući argument	x, tj. funkcija	f(x) je kontinuirana na x 0

ako i samo ako u ovoj točki infinitezimalni prirast argumenta odgovara infinitezimalnom prirastu funkcije.

Jednosmjerni kontinuitet. Funkcija y = f (x) naziva se kontinuiranom

lijevo u točki x 0 ako je definiran na nekom poluintervalu(a ;x 0 ]

i lim f (x)= f (x 0).

x → x0 − 0

Za funkciju y = f (x) se kaže da je desna kontinuirana u točki x 0 ako je op-

raspoređena je na određeni poluinterval [ x 0 ;a ) i limf (x )= f (x 0 ) .

x → x0 + 0

Funkcija y = f(x)		kontinuirana u točki x 0	onda i samo kad ona
stalan
lim f (x)= limf (x)= limf (x)= f (x 0).
x → x0 + 0	x → x0 − 0	x→x0

Kontinuitet funkcije na skupu. Funkcija y = f (x) se zove

kontinuirano na setu X ako je neprekidan u svakoj točki ovog skupa. Štoviše, ako je funkcija definirana na kraju određenog intervala numeričke osi, tada se kontinuitet u ovoj točki shvaća kao kontinuitet desno ili lijevo. Posebno se funkcija y = f (x) naziva ne-

diskontinuiran na segmentu [a; b] ako ona

1) kontinuirano u svakoj točki intervala(a;b) ;

2) kontinuirano desno u točki a ;

3) ostaje kontinuirano u točki b.

Prijelomne točke funkcija. Točka x 0 koja pripada području definicije funkcije y = f (x) ili je granična točka tog područja naziva se

prijelomna točka ove funkcije, ako (x) nije kontinuiran u toj točki.

Točke diskontinuiteta dijele se na točke diskontinuiteta prve i druge vrste:

1) Ako postoje konačne granice lim f (x )= f (x 0 − 0) i

x → x0 − 0

	f (x)= f (x 0 + 0), a nisu sva tri broja f (x 0 − 0), f (x 0 + 0),		f (x 0 ) su jednaki
x → x0 + 0
među sobom, tada x 0		naziva se točka diskontinuiteta prve vrste.
	Konkretno, ako su lijeva i desna granica funkcije u točki x 0		jednak između
	sebe, ali	nisu jednake vrijednosti funkcije u ovom trenutku:

f (x0 − 0) = f(x0 + 0) = A≠ f(x0 ) , tada se x 0 naziva uklonjiva točka diskontinuiteta.

U ovom slučaju, postavljanjem f (x 0 )= A, možete modificirati funkciju u točki x 0

tako da postaje kontinuirano ( redefinirati funkciju kontinuitetom). Razlika f (x 0 + 0)− f (x 0 − 0) zove se skok funkcije u točki x 0 .

Skok funkcije u točki diskontinuiteta koji se može ukloniti je nula.

2) Točke diskontinuiteta koje nisu točke diskontinuiteta prve vrste nazivaju se prijelomne točke druge vrste. U točkama diskontinuiteta druge vrste barem jedna od jednostranih limesa f (x 0 − 0) i f (x 0 + 0) ne postoji ili je beskonačna.

Svojstva funkcija kontinuiranih u točki.

		f(x)	i g (x) neprekidne u točki x 0, tada su funkcije
f(x)±g(x),	f(x)g(x) i	f(x)	(gdje g (x)≠ 0) su također kontinuirane u točki x.
f(x)±g(x),	f(x)g(x) i		(gdje g (x)≠ 0) su također kontinuirane u točki x.
		g(x)
		g(x)

2) Ako je funkcija u (x) neprekidna u točki x 0, a funkcija f (u) neprekidna

u točki u 0 = u (x 0), tada je kompleksna funkcija f (u (x)) neprekidna u točki x 0.

3) Sve osnovne elementarne funkcije (c, x a, a x, loga x, sinx, cosx, tgx, ctgx, secx, cosecx, arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx) su neprekidne u svakoj

do točke njihovih domena definiranja.

Iz svojstava 1)–3) slijedi da su sve elementarne funkcije (funkcije dobivene iz osnovnih elementarnih funkcija korištenjem konačnog broja aritmetičkih operacija i operacija kompozicije) također kontinuirane u svakoj točki svojih domena definicije.

Svojstva funkcija neprekidnih na intervalu.

1) (teorem srednje vrijednosti) Neka je funkcija f(x) definirana

na i kontinuirana je na segmentu [a;b]. Tada za bilo koji broj C priložen

između brojeva f (a) i f (b), (f (a)< C < f (b )) найдется хотя бы одна точкаx 0 [ a ;b ] , такая, чтоf (x 0 )= C .

2) (Bolzano–Cauchyjev teorem

diskontinuiran je na segmentu [a;b] i na njegovim krajevima poprima vrijednosti različitih predznaka.

Tada postoji barem jedna točka x 0 [ a ; b ] takva da je f (x 0 )= 0 .

3) (1 Weierstrassov teorem) Neka je funkcija f (x) definirana i

poderan na segmentu [a;b]. Tada je ova funkcija ograničena na ovaj segment.

4) (2 Weierstrassov teorem) Neka je funkcija f (x) definirana i

navaliti na segment	[a;b] . Tada ova funkcija doseže na intervalu [ a ; b ]
najveća	najmanje	vrijednosti, tj.	postojati
x1, x2 [a; b],	za bilo koji	točke x [a;b]	pravedan	nejednakosti

f (x 1 ) ≤ f (x ) ≤ f (x 2 ) .

Primjer 5.17. Koristeći se definicijom neprekidnosti dokažite da je funkcija y = 3x 2 + 2x − 5 neprekinuta u proizvoljnoj točki x 0 na brojevnom pravcu.

Rješenje: Metoda 1: Neka je x 0 proizvoljna točka na brojevnoj osi. Vas-

Najprije izračunavamo limit funkcije f (x) kao x → x 0, primjenjujući teoreme o limitu zbroja i produkta funkcija:

lim f (x )= lim(3x 2 + 2x − 5)= 3(limx )2 + 2 limx − 5= 3x 2					− 5.
x→x0	x→x0	x→x0	x→x0
x→x0	x→x0	x→x0	x→x0
Zatim izračunavamo vrijednost funkcije u točki x:f (x)= 3x 2					− 5 .

Uspoređujući dobivene rezultate vidimo				lim f (x)= f (x 0) koji prema
				x→x0

definicija i znači neprekidnost razmatrane funkcije u točki x 0.

Metoda 2: Neka		x – prirast argumenta u točki x 0. Pronađimo korespondenciju
prikladno	prirast		y = f(x0 + x) − f(x0 ) =
3(x + x )2 + 2(x + x )− 5− (3x 2 + 2x − 5)

6 x x+ (x) 2	2x = (6x + 2)x + (x)2.

Izračunajmo sada granicu inkrementa funkcije kada je inkrement argumenta
		nastoji

	y = lim (6x + 2)	x + (x )2 = (6x + 2) lim		x + (limx)2 = 0.
x → 0	x → 0		x → 0	x → 0

Dakle, lim y = 0, što po definiciji znači kontinuitet

x → 0

funkcije za bilo koji x 0 R .

Primjer 5.18. Pronađite točke diskontinuiteta funkcije f (x) i odredite njihovu vrstu. U

U slučaju diskontinuiteta koji se može ukloniti, definirajte funkciju kontinuitetom:

1) f (x) = 1− x 2 u x< 3;

5x kada je x ≥ 3

2) f (x)= x 2 + 4 x + 3;

x+1



f(x)=
	x4 (x− 2)
f(x)= arktan
		(x − 5)

Rješenje: 1) Područje definiranja ove funkcije je cijeli broj

y os (−∞ ;+∞ ) . Na intervalima (−∞ ;3) ,(3;+∞ ) funkcija je kontinuirana. Diskontinuitet je moguć samo u točki x = 3, u kojoj se mijenja analitička specifikacija funkcije.

Nađimo jednostrane limese funkcije u naznačenoj točki:

f (3− 0)= lim (1− x 2 )= 1− 9= 8;

x →3 −0

f (3+ 0)= lim 5x = 15.

x →3 +0

Vidimo da su lijeva i desna granica konačne, pa je x = 3
pukotina I		f(x). Funkcija skok na
f (3+ 0)− f (3− 0)= 15− 8= 7 .
	f (3)= 5 3= 15= f (3+ 0) , dakle u točki		x = 3

f(x) je desna kontinuirana.

2) Funkcija je neprekinuta na cijelom brojevnom pravcu osim na točki x = − 1, u kojoj nije definiran. Transformirajmo izraz za f (x), proširujući brojnik

razlomci na faktore:		f(x)=		4 x +3	(x + 1) (x + 3)	X + 3 za x ≠ − 1.
				x+1	x+1

Nađimo jednostrane limese funkcije u točki x = − 1:
	f(x)=lim	f (x )= lim(x + 3)= 2 .
x →−1−0	x →−1 +0		x →−1

Utvrdili smo da lijeva i desna granica funkcije u promatranoj točki postoje, konačne su i međusobno jednake, stoga je x = − 1 točka koja se može ukloniti.

pravac y = x + 3 s “probušenom” točkom M (− 1;2) . Da funkcija postane stalna

diskontinuirana, treba staviti f (− 1)= f (− 1− 0)= f (− 1+ 0)= 2 .

Dakle, dodatno definiravši f (x) kontinuitetom u točki x = − 1, dobili smo funkciju f * (x)= x + 3 s domenom definicije (−∞ ;+∞ ) .

3) Ova je funkcija definirana i kontinuirana za sve x osim bodova

x = 0,x = 2, u kojem nazivnik razlomka postaje nula.

Razmotrimo točku x = 0:

Budući da u dovoljno maloj okolini nule funkcija zauzima samo

za negativne vrijednosti, tada je f (− 0)= lim		= −∞ = f (+0)	Oni. točka
	(x − 2)
x →−0
x = 0 je točka diskontinuiteta funkcije druge vrste	f(x).

Razmotrimo sada točku x = 2:

Funkcija uzima negativne vrijednosti blizu lijeve strane razmatrane

točka i pozitivni su na desnoj strani, dakle			f (2− 0)=			= −∞,
					x4 (x− 2)
				x →2 −0
f (2+ 0)= lim		= +∞ . Kao i u prethodnom slučaju, u točki x = 2
	(x − 2)
x →2 +0

cija nema ni lijevu ni desnu konačnu granicu, tj. u ovom trenutku trpi rupturu tipa II.

x = 5.

f (5− 0)= lim arctan

π ,f (5+ 0)= lim arktan

x = 5

(x − 5)

x →5 −0

x →5 +0

ka puknuće

f (5+ 0)− f (5− 0)=

π − (−

π )= π (vidi sliku 5.2).

Problemi koje treba samostalno riješiti

5.174. Koristeći se samo definicijom dokažite neprekidnost funkcije f (x) u

svaka točka x 0 R :

a) f(x) = c= const;		b) f (x)= x;
c) f (x)= x 3;		d) f (x)= 5x 2 − 4x + 1;
e) f (x)= sinx.
5.175. Dokažite da funkcija	f(x) = x2	1 kada je x ≥ 0,	kontinuirano je uključen
		1 na x< 0
cijeli brojevni pravac. Konstruirajte graf ove funkcije.
5.176. Dokažite da funkcija	f(x) = x2	1 kada je x ≥ 0,	nije kontinuirana
		0 na x< 0