Gaussova metoda dodjele. Obrnuta Gaussova metoda

Ovdje možete besplatno riješiti sustav linearnih jednadžbi Gaussova metoda online velike veličine u složenim brojevima s vrlo detaljnim rješenjem. Naš kalkulator može online riješiti uobičajene određene i neodređene sustave linearnih jednadžbi koristeći Gaussovu metodu, koja ima beskonačan broj rješenja. U ovom slučaju, u odgovoru ćete dobiti ovisnost nekih varijabli kroz druge, besplatne. Također možete provjeriti dosljednost sustava jednadžbi online koristeći Gaussovo rješenje.

Veličina matrice: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 4 3 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 8 8 8 9 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 X 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 8 8 89 9 0 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101

O metodi

Prilikom online rješavanja sustava linearnih jednadžbi Gaussovom metodom izvode se sljedeći koraci.

1. Zapisujemo proširenu matricu.
2. Zapravo, rješenje je podijeljeno na korak naprijed i nazad Gaussove metode. Izravni korak Gaussove metode je redukcija matrice na oblik koraka. Suprotno od Gaussove metode je redukcija matrice na poseban stupnjevit oblik. Ali u praksi je prikladnije odmah ukloniti ono što se nalazi iznad i ispod dotičnog elementa. Naš kalkulator koristi upravo ovaj pristup.
3. Važno je napomenuti da pri rješavanju Gaussovom metodom prisutnost u matrici barem jednog nultog retka s desnom stranom koja nije nula (stupac slobodnih članova) ukazuje na nekonzistentnost sustava. U ovom slučaju rješenje linearnog sustava ne postoji.

Da biste najbolje razumjeli kako Gaussov algoritam radi online, unesite bilo koji primjer, odaberite "vrlo detaljno rješenje" i pogledajte njegovo rješenje online.

Rješavanje sustava linearnih jednadžbi Gaussovom metodom. Pretpostavimo da trebamo pronaći rješenje sustava iz n linearne jednadžbe sa n nepoznate varijable
čija je determinanta glavne matrice različita od nule.

Suština Gaussove metode sastoji se od sekvencijalnog eliminiranja nepoznatih varijabli: prvo eliminiranje x 1 iz svih jednadžbi sustava, počevši od druge, dalje se isključuje x 2 iz svih jednadžbi, počevši od treće, i tako dalje, dok u posljednjoj jednadžbi ne ostane samo nepoznata varijabla x n. Ovaj proces transformacije jednadžbi sustava radi sekvencijalne eliminacije nepoznatih varijabli naziva se izravna Gaussova metoda. Nakon dovršetka naprijed napredovanja Gaussove metode, iz posljednje jednadžbe nalazimo x n, koristeći ovu vrijednost iz pretposljednje jednadžbe koju izračunavamo xn-1, i tako dalje, od prve jednadžbe koju nađemo x 1. Proces izračuna nepoznatih varijabli pri prelasku sa zadnje jednadžbe sustava na prvu naziva se inverzna od Gaussove metode.

Opišimo ukratko algoritam za eliminaciju nepoznatih varijabli.

Pretpostavit ćemo da , budući da to uvijek možemo postići preuređivanjem jednadžbi sustava. Eliminirajte nepoznatu varijablu x 1 iz svih jednadžbi sustava, počevši od druge. Da bismo to učinili, drugoj jednadžbi sustava dodamo prvu, pomnoženu s , trećoj jednadžbi dodamo prvu, pomnoženu s , i tako dalje, do nth jednadžbi dodamo prvi, pomnožen s . Sustav jednadžbi nakon takvih transformacija poprimit će oblik

gdje i .

Došli bismo do istog rezultata ako bismo izrazili x 1 kroz druge nepoznate varijable u prvoj jednadžbi sustava i dobiveni izraz je zamijenjen u sve ostale jednadžbe. Dakle, varijabla x 1 isključeni iz svih jednadžbi, počevši od druge.

Zatim postupamo na sličan način, ali samo s dijelom dobivenog sustava koji je označen na slici

Da bismo to učinili, trećoj jednadžbi sustava dodamo drugu, pomnoženu s , četvrtoj jednadžbi dodamo drugu, pomnoženu s , i tako dalje, do nth jednadžbi dodamo drugu, pomnoženu s . Sustav jednadžbi nakon takvih transformacija poprimit će oblik

gdje i . Dakle, varijabla x 2 isključeni iz svih jednadžbi počevši od treće.

Zatim nastavljamo s uklanjanjem nepoznatog x 3, u ovom slučaju slično postupamo s dijelom sustava označenim na slici

Stoga nastavljamo izravnu progresiju Gaussove metode sve dok sustav ne poprimi oblik

Od ovog trenutka počinjemo obrnuto od Gaussove metode: računamo x n iz posljednje jednadžbe kao, koristeći dobivenu vrijednost x n pronašli smo xn-1 iz predzadnje jednadžbe, i tako dalje, nalazimo x 1 iz prve jednadžbe.

Primjer.

Rješavanje sustava linearnih jednadžbi Gaussova metoda.

Carl Friedrich Gauss, najveći matematičar, dugo je oklijevao birajući između filozofije i matematike. Možda mu je upravo takav način razmišljanja omogućio da napravi tako zapaženo "nasljeđe" u svjetskoj znanosti. Konkretno, stvaranjem "Gaussove metode" ...

Gotovo 4 godine članci na ovoj stranici bavili su se školskim obrazovanjem, uglavnom sa stajališta filozofije, načela (ne)razumijevanja koja su uvedena u umove djece. Dolazi vrijeme za više konkretnosti, primjera i metoda... Vjerujem da je upravo takav pristup poznatom, zbunjujućem i važno područja života daje bolje rezultate.

Mi ljudi smo tako dizajnirani da koliko god pričali apstraktno mišljenje, Ali razumijevanje Stalno događa kroz primjere. Ako nema primjera, onda je nemoguće dokučiti principe... Kao što je nemoguće doći na vrh planine osim hodanjem cijelom strminom od podnožja.

Isto sa školom: za sada žive priče Nije dovoljno da ga instinktivno nastavljamo smatrati mjestom gdje se djeca uče razumjeti.

Na primjer, podučavanje Gaussove metode...

Gaussova metoda u 5. razredu škole

Odmah ću rezervirati: Gaussova metoda ima mnogo širu primjenu, na primjer, pri rješavanju sustavi linearnih jednadžbi. Ono o čemu ćemo pričati događa se u 5. razredu. Ovaj započeo, shvativši koje, mnogo je lakše razumjeti više "naprednih opcija". U ovom članku govorimo o Gaussova metoda (metoda) za pronalaženje sume niza

Evo primjera koji je moj najmlađi sin, koji pohađa 5. razred moskovske gimnazije, donio iz škole.

Školska demonstracija Gaussove metode

Profesorica matematike uz pomoć interaktivne ploče (suvremene metode poučavanja) prikazala je djeci prezentaciju povijesti “nastanka metode” malog Gaussa.

Učiteljica je bičevala malog Karla (zastarjela metoda, danas se ne koristi u školama) jer je

umjesto uzastopnog zbrajanja brojeva od 1 do 100, pronađite njihov zbroj primijetio da parovi brojeva jednako udaljenih od rubova aritmetičke progresije zbrajaju isti broj. na primjer, 100 i 1, 99 i 2. Nakon što je prebrojao takve parove, mali Gauss je gotovo odmah riješio problem koji je predložio učitelj. Zbog čega je i pogubljen pred zaprepaštenom javnošću. Kako bi drugi bili obeshrabreni od razmišljanja.

Što je učinio mali Gauss? razvijena smisao broja? Primjećeno neka značajka niz brojeva s konstantnim korakom (aritmetička progresija). I upravo ovo kasnije ga je učinio velikim znanstvenikom, oni koji znaju primijetiti, imajući osjećaj, instinkt razumijevanja.

Zato je matematika vrijedna, razvojna sposobnost da se vidi općenito posebno - apstraktno mišljenje. Stoga većina roditelja i poslodavaca instinktivno smatraju matematiku važnom disciplinom ...

“Onda morate učiti matematiku, jer vam ona dovodi um u red.
M.V.Lomonosov".

Međutim, sljedbenici onih koji su buduće genije bičevali šipkama pretvorili su Metodu u nešto suprotno. Kao što je moj nadređeni rekao prije 35 godina: "Pitanje je naučeno." Ili kao što je moj najmlađi sin jučer rekao o Gaussovoj metodi: "Možda ne vrijedi od ovoga raditi veliku znanost, ha?"

Posljedice kreativnosti “znanstvenika” vidljive su na razini sadašnje školske matematike, razini njezine nastave i razumijevanju “kraljice znanosti” kod većine.

Ipak, nastavimo...

Metode objašnjavanja Gaussove metode u 5. razredu škole

Profesor matematike u moskovskoj gimnaziji, objašnjavajući Gaussovu metodu prema Vilenkinu, zakomplicirao je zadatak.

Što ako razlika (korak) aritmetičke progresije nije jedan, već drugi broj? Na primjer, 20.

Problem koji je zadao učenicima petog razreda:

20+40+60+80+ ... +460+480+500

Prije nego što se upoznamo s gimnazijskom metodom, bacimo pogled na internet: kako to rade profesori i profesori matematike?..

Gaussova metoda: objašnjenje br.1

Poznati učitelj na svom YOUTUBE kanalu daje sljedeće obrazloženje:

"Zapišimo brojeve od 1 do 100 na sljedeći način:

prvo niz brojeva od 1 do 50, a strogo ispod njega drugi niz brojeva od 50 do 100, ali obrnutim redoslijedom"

1, 2, 3, ... 48, 49, 50

100, 99, 98 ... 53, 52, 51

"Napominjemo: zbroj svakog para brojeva iz gornjeg i donjeg retka je isti i jednak je 101! Izbrojimo broj parova, to je 50 i pomnožimo zbroj jednog para s brojem parova! Voila: odgovor je spreman!"

“Ako niste mogli razumjeti, nemojte se uzrujavati!”, ponovio je učitelj tri puta tijekom objašnjavanja. "Ovu ćeš metodu pohađati u 9. razredu!"

Gaussova metoda: objašnjenje br. 2

Drugi mentor, manje poznat (sudeći po broju pregleda), ima više znanstveni pristup, nudeći algoritam rješenja od 5 točaka koji se moraju dovršiti uzastopno.

Za neupućene, 5 je jedan od Fibonaccijevih brojeva koji se tradicionalno smatraju magičnim. Metoda od 5 koraka je uvijek više znanstvena od metode od 6 koraka, na primjer. ...I to nije slučajno, najvjerojatnije je autor skriveni pristaša Fibonaccijeve teorije

S obzirom na aritmetičku progresiju: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .

Algoritam za pronalaženje zbroja brojeva u nizu Gaussovom metodom:

Korak 1: prepišite zadani niz brojeva obrnutim redom, točno pod prvim.

4, 10, 16 ... 244, 250, 256

256, 250, 244 ... 16, 10, 4

Korak 2: izračunajte zbroj parova brojeva koji se nalaze u okomitim redovima: 260.

Korak 3: izbrojite koliko je takvih parova u nizu brojeva. Da biste to učinili, oduzmite najmanji od maksimalnog broja serije brojeva i podijelite s veličinom koraka: (256 - 4) / 6 = 42.

U isto vrijeme, morate zapamtiti plus jedno pravilo : dobivenom kvocijentu moramo dodati jedan: inače ćemo dobiti rezultat koji je za jedan manji od stvarnog broja parova: 42 + 1 = 43.

Korak 4: Pomnožite zbroj jednog para brojeva s brojem parova: 260 x 43 = 11,180

Korak5: budući da smo izračunali iznos parovi brojeva, tada dobiveni iznos treba podijeliti s dva: 11,180 / 2 = 5590.

To je traženi zbroj aritmetičke progresije od 4 do 256 s razlikom 6!

Gaussova metoda: objašnjenje u 5. razredu moskovske gimnazije

Evo kako riješiti problem traženja zbroja niza:

20+40+60+ ... +460+480+500

u 5. razredu moskovske gimnazije, Vilenkinov udžbenik (prema mom sinu).

Nakon prikazane prezentacije, profesorica matematike pokazala je nekoliko primjera koristeći Gaussovu metodu i dala razredu zadatak pronaći zbroj brojeva u nizu u prirastu od 20.

Ovo je zahtijevalo sljedeće:

Korak 1: sve brojeve u nizu svakako zapišite u svoju bilježnicu od 20 do 500 (u koracima od 20).

Korak 2: zapiši uzastopne članove – parove brojeva: prvi s zadnjim, drugi s pretposljednjim itd. i izračunati njihove iznose.

Korak 3: izračunajte "zbroj zbrojeva" i pronađite zbroj cijelog niza.

Kao što vidite, ovo je kompaktnija i učinkovitija tehnika: broj 3 također je član Fibonaccijevog niza

Moji komentari na školsku verziju Gaussove metode

Veliki matematičar definitivno bi odabrao filozofiju da je predvidio u što će njegovu “metodu” pretvoriti njegovi sljedbenici profesor njemačkog jezika, koji je Karla šibao šipkama. On bi vidio simbolizam, dijalektičku spiralu i beskrajnu glupost “učitelja”, pokušavajući izmjeriti sklad žive matematičke misli s algebrom nesporazuma ....

Usput: jeste li znali. da je naš obrazovni sustav ukorijenjen u njemačkoj školi 18. i 19. stoljeća?

Ali Gauss je odabrao matematiku.

Što je bit njegove metode?

U pojednostavljenje. U promatranje i shvaćanje jednostavni obrasci brojeva. U pretvarajući suhoparnu školsku aritmetiku u zanimljiva i uzbudljiva aktivnost , aktivirajući u mozgu želju za nastavkom, umjesto da blokira skupu mentalnu aktivnost.

Je li moguće upotrijebiti jednu od danih "modifikacija Gaussove metode" za izračunavanje zbroja brojeva aritmetičke progresije gotovo odmah? Prema “algoritmima”, mali Karl bi zajamčeno izbjegao batine, razvio averziju prema matematici i potisnuo svoje kreativne porive u korijenu.

Zašto je mentor tako uporno savjetovao petaše da se “ne boje pogrešnog razumijevanja” metode, uvjeravajući ih da će “takve” probleme rješavati već u 9. razredu? Psihički nepismeni postupak. Bio je to dobar potez za primijetiti: "Vidimo se već u 5 razredu možeš riješi probleme koje ćeš riješiti tek za 4 godine! Kako si ti super momak!”

Za korištenje Gaussove metode dovoljna je razina 3. klase, kada normalna djeca već znaju zbrajati, množiti i dijeliti 2-3 znamenkaste brojeve. Problemi nastaju zbog nesposobnosti odraslih učitelja koji su „odbačeni“ da objasne najjednostavnije stvari normalnim ljudskim jezikom, o matematičkom da i ne govorimo... Ne mogu zainteresirati ljude za matematiku i potpuno obeshrabruju čak i one koji su „ sposoban.”

Ili, kako je moj sin komentirao: "praviti veliku znanost od toga."

Kako (u općem slučaju) saznati kojim brojem treba “proširiti” zapis brojeva u metodi br. 1?

Što učiniti ako se ispostavi da je broj članova serije neparan?

Zašto pretvoriti u "Pravilo plus 1" nešto što bi dijete moglo jednostavno naučitičak i u prvom razredu, ako sam razvio “osjećaj za brojeve”, i nisam se sjetio"brojiti do deset"?

I za kraj: gdje je nestala NULA, briljantni izum star više od 2000 godina, a koji suvremeni profesori matematike izbjegavaju koristiti?!

Gaussova metoda, moja objašnjenja

Supruga i ja smo djetetu tu “metodu” objasnili, čini se, još prije škole...

Jednostavnost umjesto složenosti ili igra pitanja i odgovora

"Pogledajte, ovdje su brojevi od 1 do 100. Što vidite?"

Poanta nije u tome što točno dijete vidi. Trik je u tome da ga natjerate da pogleda.

"Kako ih možeš sastaviti?" Sin je shvatio da se takva pitanja ne postavljaju “tek tako” i da na to pitanje treba gledati “nekako drugačije, drugačije nego što on inače čini”

Nema veze ako dijete odmah vidi rješenje, malo je vjerojatno. Važno je da on prestala se bojati pogledati, ili kako ja kažem: „pomaknula zadatak“. Ovo je početak puta do razumijevanja

“Što je lakše: zbrajanje, na primjer, 5 i 6 ili 5 i 95?” Sugestivno pitanje... Ali svaki trening se svodi na to da osobu “navedemo” do “odgovora” - na bilo koji njemu prihvatljiv način.

U ovoj fazi već se mogu pojaviti nagađanja o tome kako "uštedjeti" na izračunima.

Sve što smo učinili bio je nagovještaj: “frontalni, linearni” način brojanja nije jedini mogući. Ako dijete to razumije, kasnije će smisliti još mnogo takvih metoda, jer je zanimljivo!!! A sigurno će izbjeći “nerazumijevanje” matematike i neće se prema njoj gaditi. Dobio je pobjedu!

Ako otkriveno dijete da je zbrajanje parova brojeva koji zbrojem daju stotinu, dakle, laka stvar "aritmetička progresija s razlikom 1"- prilično turobna i nezanimljiva stvar za dijete - iznenada pronašao život za njega . Red je nastao iz kaosa, a to uvijek izaziva oduševljenje: tako smo stvoreni!

Pitanje za odgovor: zašto bi se dijete nakon dobivenog uvida opet tjeralo u okvire suhoparnih algoritama koji su u ovom slučaju i funkcionalno beskorisni?!

Zašto forsirati glupa prepisivanja? redni brojevi u bilježnici: da ni sposobni nemaju ni jednu priliku razumjeti? Statistički, naravno, ali masovno obrazovanje je usmjereno na “statistiku”...

Gdje je nestala nula?

Pa ipak, zbrajanje brojeva koji zbrojem daju 100 razumu je puno prihvatljivije od onih koji zbrojem daju 101...

"Metoda Gaussove škole" zahtijeva upravo ovo: bezumno sklopiti parovi brojeva jednako udaljeni od središta progresije, Unatoč svemu.

Što ako pogledaš?

Ipak, zero je najveći izum čovječanstva, star više od 2000 godina. A profesori matematike ga i dalje ignoriraju.

Mnogo je lakše transformirati niz brojeva koji počinju s 1 u niz koji počinje s 0. Zbroj se neće promijeniti, zar ne? Morate prestati “razmišljati u udžbenicima” i početi tražiti... I vidite da se parovi sa zbrojem 101 mogu potpuno zamijeniti parovima sa zbrojem 100!

0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51

Kako ukinuti "pravilo plus 1"?

Da budem iskren, prvi put sam čuo za takvo pravilo od onog YouTube tutora...

Što još učiniti kada trebam odrediti broj članova serije?

Gledam slijed:

1, 2, 3, .. 8, 9, 10

a kada ste potpuno umorni, prijeđite na jednostavniji red:

1, 2, 3, 4, 5

i računam: ako oduzmete jedan od 5, dobit ćete 4, ali potpuno sam jasan vidim 5 brojeva! Stoga, morate dodati jedan! Osjećaj za brojeve razvijen u osnovnoj školi sugerira: čak i ako postoji cijeli Google članova niza (10 na stoti potenciju), obrazac će ostati isti.

Koja su dovraga pravila?..

Da za par-tri godine ispuniš sav prostor između čela i potiljka i prestaneš misliti? Kako zaraditi kruh i maslac? Uostalom, ravnomjernim redovima idemo u eru digitalne ekonomije!

Više o Gaussovoj školskoj metodi: “zašto od ovoga stvarati znanost?..”

Nisam uzalud objavio screenshot iz sinove bilježnice...

"Što se dogodilo u razredu?"

"Pa, odmah sam brojao, podigao ruku, ali nije pitala. Stoga sam, dok su drugi brojali, počeo raditi zadaću na ruskom da ne gubim vrijeme. Onda, kada su ostali završili pisanje (? ??), pozvala me pred ploču. Rekao sam odgovor."

“Tako je, pokaži mi kako si to riješio”, rekao je učitelj. pokazao sam. Rekla je: "Pogrešno, morate računati kako sam pokazala!"

"Dobro da nije dala lošu ocjenu. I natjerala me da u njihovu bilježnicu upišem "tijek rješenja" na njihov način. Zašto od ovoga praviti veliku znanost?.."

Glavni zločin profesora matematike

Jedva poslije taj incident Carl Gauss je osjećao veliko poštovanje prema svom školskom učitelju matematike. Ali kad bi znao kako sljedbenici tog učitelja iskrivit će samu bit metode... zaurlao bi od ogorčenja i preko Svjetske organizacije za intelektualno vlasništvo WIPO izdejstvovao zabranu korištenja njegova dobrog imena u školskim udžbenicima!..

U čemu glavna greška školskog pristupa? Ili, kako sam rekao, zločin školskih profesora matematike nad djecom?

Algoritam nesporazuma

Što rade školski metodičari, od kojih velika većina ne zna misliti?

Oni stvaraju metode i algoritme (vidi). Ovaj obrambena reakcija koja štiti učitelje od kritike („Sve se radi po...“), a djecu od razumijevanja. A time – od želje za kritikom učitelja!(Druga izvedenica birokratske “mudrosti”, znanstveni pristup problemu). Osoba koja ne shvaća značenje radije će kriviti svoje nerazumijevanje, nego glupost školskog sustava.

Događa se i to: roditelji krive svoju djecu, a učitelji... čine isto za djecu koja “ne razumiju matematiku!”

jesi pametan

Što je učinio mali Karl?

Potpuno nekonvencionalan pristup formularnom zadatku. Ovo je bit Njegovog pristupa. Ovaj glavna stvar koju treba učiti u školi je razmišljati ne udžbenicima, već svojom glavom. Naravno, tu je i instrumentalna komponenta koja se može koristiti... u potrazi jednostavnije i učinkovitije metode brojanja.

Gaussova metoda prema Vilenkinu

U školi uče da je Gaussova metoda da

u parovima pronaći zbroj brojeva jednako udaljenih od rubova niza brojeva, svakako počevši od rubova!

pronaći broj takvih parova itd.

Što, ako je broj elemenata niza neparan, kao u problemu koji je dodijeljen mom sinu?..

"Kvaka" je u tome što u ovom slučaju trebali biste pronaći "dodatni" broj u seriji i dodajte ga zbroju parova. U našem primjeru ovaj broj je 260.

Kako otkriti? Prepisivanje svih parova brojeva u bilježnicu!(Zbog toga je učitelj natjerao djecu da rade ovaj glupi posao pokušavajući poučavati "kreativnost" koristeći Gaussovu metodu... I zato je takva "metoda" praktički neprimjenjiva na velike serije podataka, I zato je ne Gaussova metoda.)

Malo kreativnosti u školskoj rutini...

Sin je postupio drugačije.

Prvo je primijetio da je lakše pomnožiti broj 500, a ne 520

(20 + 500, 40 + 480 ...).

Zatim je izračunao: broj koraka se pokazao neparnim: 500 / 20 = 25.

Zatim je dodao NULU na početak niza (iako je bilo moguće odbaciti posljednji član niza, što bi također osiguralo paritet) i dodao brojeve dajući ukupno 500

0+500, 20+480, 40+460 ...

26 koraka je 13 parova "petsto": 13 x 500 = 6500..

Ako odbacimo posljednji član niza, tada će parova biti 12, ali ne treba zaboraviti dodati “odbačenih” pet stotina rezultatu izračuna. Zatim: (12 x 500) + 500 = 6500!

Nije teško, zar ne?

Ali u praksi je to još lakše, što vam omogućuje da izdvojite 2-3 minute za daljinsko očitavanje na ruskom, dok se ostatak "broji". Osim toga, zadržava broj koraka metode: 5, što ne dopušta kritiziranje pristupa kao neznanstvenog.

Očito je ovaj pristup jednostavniji, brži i univerzalniji, u stilu Metode. Ali... profesorica ne samo da nije pohvalila, nego me i natjerala da to prepišem “na ispravan način” (vidi sliku). Odnosno, očajnički je pokušala ugušiti kreativni impuls i sposobnost razumijevanja matematike u korijenu! Navodno da bi je kasnije zaposlili kao učiteljicu... Napala je krivu osobu...

Sve ovo što sam tako dugo i zamorno opisivao može se normalnom djetetu objasniti za najviše pola sata. Uz primjere.

I to tako da to nikada neće zaboraviti.

I bit će korak ka razumijevanju...ne samo matematičari.

Priznajte: koliko ste puta u životu zbrajali Gaussovom metodom? I nikad nisam!

Ali instinkt razumijevanja, koji se razvija (ili se gasi) u procesu proučavanja matematičkih metoda u školi... Oh!.. Ovo je doista nezamjenjiva stvar!

Pogotovo u doba sveopće digitalizacije u koje smo tiho ušli pod strogim vodstvom Partije i Vlade.

Nekoliko riječi u obranu učitelja...

Nepravedno je i pogrešno svu odgovornost za ovakav način poučavanja svaljivati ​​isključivo na učitelje. Sustav je na snazi.

Neki učitelji razumiju apsurdnost onoga što se događa, ali što učiniti? Zakon o odgoju i obrazovanju, savezni državni obrazovni standardi, metode, planovi nastave... Sve mora biti urađeno “u skladu i na temelju” i sve mora biti dokumentirano. Korak u stranu - stao u red za otkaz. Ne budimo licemjeri: plaće moskovskih učitelja su jako dobre... Ako vas otpuste, kamo otići?..

Stoga ova stranica ne o obrazovanju. On je oko individualno obrazovanje, jedini mogući način da se izvučete iz mase generacija Z ...

Dva sustava linearnih jednadžbi nazivaju se ekvivalentnima ako se skup svih njihovih rješenja podudara.

Elementarne transformacije sustava jednadžbi su:

1. Brisanje trivijalnih jednadžbi iz sustava, tj. one kod kojih su svi koeficijenti jednaki nuli;
2. Množenje bilo koje jednadžbe s brojem koji nije nula;
3. Dodavanje bilo koje i-te jednadžbe bilo koje j-te jednadžbe pomnožene bilo kojim brojem.

Varijabla x i se naziva slobodnom ako ova varijabla nije dopuštena, ali je cijeli sustav jednadžbi dopušten.

Teorema. Elementarne transformacije pretvaraju sustav jednadžbi u ekvivalentan.

Smisao Gaussove metode je transformirati izvorni sustav jednadžbi i dobiti ekvivalentni razriješeni ili ekvivalentni nekonzistentni sustav.

Dakle, Gaussova metoda sastoji se od sljedećih koraka:

1. Pogledajmo prvu jednadžbu. Izaberimo prvi koeficijent različit od nule i podijelimo cijelu jednadžbu s njim. Dobivamo jednadžbu u koju neka varijabla x i ulazi s koeficijentom 1;
2. Oduzmimo ovu jednadžbu od svih ostalih, množeći je takvim brojevima da koeficijenti varijable x i u preostalim jednadžbama budu jednaki nuli. Dobivamo sustav razlučen s obzirom na varijablu x i i ekvivalentan izvornom;
3. Ako se pojave trivijalne jednadžbe (rijetko, ali događa se; npr. 0 = 0), izbacujemo ih iz sustava. Kao rezultat, postoji jedna jednadžba manje;
4. Prethodne korake ponavljamo najviše n puta, gdje je n broj jednadžbi u sustavu. Svaki put odabiremo novu varijablu za “obradu”. Ako se pojave nekonzistentne jednadžbe (na primjer, 0 = 8), sustav je nekonzistentan.

Kao rezultat, nakon nekoliko koraka dobit ćemo ili razriješen sustav (moguće sa slobodnim varijablama) ili nekonzistentan. Dopušteni sustavi spadaju u dva slučaja:

1. Broj varijabli jednak je broju jednadžbi. To znači da je sustav definiran;
2. Broj varijabli je veći od broja jednadžbi. Sakupljamo sve slobodne varijable s desne strane - dobivamo formule za dopuštene varijable. Ove formule su napisane u odgovoru.

To je sve! Sustav linearnih jednadžbi riješen! Ovo je prilično jednostavan algoritam, a da biste ga svladali, ne morate kontaktirati višeg učitelja matematike. Pogledajmo primjer:

Zadatak. Riješite sustav jednadžbi:

Opis koraka:

1. Oduzimamo prvu jednadžbu od druge i treće - dobivamo dopuštenu varijablu x 1;
2. Drugu jednadžbu pomnožimo s (−1), a treću podijelimo s (−3) - dobijemo dvije jednadžbe u koje varijabla x 2 ulazi s koeficijentom 1;
3. Drugu jednadžbu pribrajamo prvoj, a oduzimamo treću. Dobivamo dopuštenu varijablu x 2 ;
4. Na kraju treću jednadžbu oduzimamo od prve – dobivamo dopuštenu varijablu x 3;
5. Dobili smo odobreni sustav, zapišite odgovor.

Opće rješenje simultanog sustava linearnih jednadžbi je novi sustav, ekvivalentan izvornom, u kojem su sve dopuštene varijable izražene preko slobodnih.

Kada bi moglo biti potrebno opće rješenje? Ako morate napraviti manje koraka od k (k je koliko jednadžbi ima). Međutim, razlozi zašto proces završava na nekom koraku l< k , может быть две:

1. Nakon l-tog koraka dobili smo sustav koji ne sadrži jednadžbu s brojem (l + 1). Zapravo, ovo je dobro, jer... ovlašteni sustav se ipak dobiva - čak i nekoliko koraka ranije.
2. Nakon l-tog koraka dobili smo jednadžbu u kojoj su svi koeficijenti varijabli jednaki nuli, a slobodni koeficijent različit od nule. Ovo je kontradiktorna jednadžba i stoga je sustav nekonzistentan.

Važno je razumjeti da je pojava nekonzistentne jednadžbe korištenjem Gaussove metode dovoljna osnova za nekonzistentnost. Istodobno, napominjemo da kao rezultat l-tog koraka ne mogu ostati trivijalne jednadžbe - sve su prekrižene u procesu.

Opis koraka:

1. Oduzmite prvu jednadžbu, pomnoženu s 4, od druge. Prvu jednadžbu također pribrajamo trećoj - dobivamo dopuštenu varijablu x 1;
2. Oduzmite treću jednadžbu, pomnoženu s 2, od druge - dobit ćemo kontradiktornu jednadžbu 0 = −5.

Dakle, sustav je nekonzistentan jer je otkrivena nekonzistentna jednadžba.

Zadatak. Istražite kompatibilnost i pronađite opće rješenje za sustav:

Opis koraka:

1. Prvu jednadžbu oduzimamo od druge (nakon množenja s dva) i treće - dobivamo dopuštenu varijablu x 1;
2. Oduzmite drugu jednadžbu od treće. Budući da su svi koeficijenti u ovim jednadžbama isti, treća će jednadžba postati trivijalna. U isto vrijeme pomnožite drugu jednadžbu s (−1);
3. Od prve jednadžbe oduzmemo drugu - dobijemo dozvoljenu varijablu x 2. Cijeli sustav jednadžbi sada je također riješen;
4. Budući da su varijable x 3 i x 4 slobodne, pomičemo ih udesno kako bismo izrazili dopuštene varijable. Ovo je odgovor.

Dakle, sustav je konzistentan i neodređen, jer postoje dvije dopuštene varijable (x 1 i x 2) i dvije slobodne (x 3 i x 4).