Prezentacija za sat algebre (9. razred) na temu: Prezentacija za sat: "Osnovni trigonometrijski identiteti. Rješavanje problema"

Trigonometrijske funkcije- Zahtjev "grijeh" preusmjerava se ovdje; vidi i druga značenja. Zahtjev "sec" preusmjerava se ovdje; vidi i druga značenja. Zahtjev "Sine" preusmjerava se ovdje; vidi i druga značenja... Wikipedia

Tan

Riža. 1 Grafikoni trigonometrijskih funkcija: sinus, kosinus, tangens, sekans, kosekans, kotangens Prikaz trigonometrijskih funkcija elementarne funkcije. Obično to uključuje sinus (sin x), kosinus (cos x), tangens (tg x), kotangens (ctg x), ... ... Wikipedia

Kosinus- Riža. 1 Grafovi trigonometrijskih funkcija: sinus, kosinus, tangens, sekans, kosekans, kotangens Trigonometrijske funkcije su vrsta elementarnih funkcija. Obično to uključuje sinus (sin x), kosinus (cos x), tangens (tg x), kotangens (ctg x), ... ... Wikipedia

Kotangens- Riža. 1 Grafovi trigonometrijskih funkcija: sinus, kosinus, tangens, sekans, kosekans, kotangens Trigonometrijske funkcije su vrsta elementarnih funkcija. Obično to uključuje sinus (sin x), kosinus (cos x), tangens (tg x), kotangens (ctg x), ... ... Wikipedia

Sjekant- Riža. 1 Grafovi trigonometrijskih funkcija: sinus, kosinus, tangens, sekans, kosekans, kotangens Trigonometrijske funkcije su vrsta elementarnih funkcija. Obično to uključuje sinus (sin x), kosinus (cos x), tangens (tg x), kotangens (ctg x), ... ... Wikipedia

Povijest trigonometrije- Geodetska mjerenja (XVII. stoljeće) ... Wikipedia

Formula tangensa polukuta- U trigonometriji, formula tangente polukut povezuje tangens polukuta s trigonometrijskim funkcijama puni kut: Razne varijacije ove formule su sljedeće... Wikipedia

Trigonometrija- (od grč. τρίγονο (trokut) i grč. μετρειν (mjeriti), odnosno mjerenje trokuta) grana matematike u kojoj se proučavaju trigonometrijske funkcije i njihove primjene u geometriji. Ovaj pojam prvi put se pojavio 1595. kao... ... Wikipedia

Rješavanje trokuta- (lat. solutio triangulorum) povijesni pojam, što znači rješenje glavnog trigonometrijskog problema: pomoću poznatih podataka o trokutu (stranice, kutovi itd.) pronaći njegove preostale karakteristike. Trokut se može locirati na... ... Wikipediji

knjige

• Set stolova. Algebra i počeci analize. 10. razred. 17 tablica + metodologija, . Tablice su tiskane na debelom tiskanom kartonu dimenzija 680 x 980 mm. Komplet uključuje brošuru sa metodološke preporuke za učitelja. Obrazovni album od 17 listova... Kupite za 3944 RUR
• Tablice integrala i druge matematičke formule, Dwight G.B., deseto izdanje poznate referentne knjige sadrži vrlo detaljne tablice neodređenih i određeni integrali, i veliki broj drugi matematičke formule: proširenja serije,...

U ovom ćemo članku sveobuhvatno pogledati. Osnovni trigonometrijski identiteti su jednakosti koje uspostavljaju vezu između sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa jednog kuta i omogućuju pronalaženje bilo koje od ovih trigonometrijskih funkcija kroz poznatu drugu.

Odmah nabrojimo glavne trigonometrijske identitete koje ćemo analizirati u ovom članku. Zapišimo ih u tablicu, au nastavku ćemo dati izlaz ovih formula i dati potrebna objašnjenja.

Navigacija po stranici.

Odnos između sinusa i kosinusa jednog kuta

Ponekad ne govore o glavnim trigonometrijskim identitetima navedenim u gornjoj tablici, već o jednom jedinom osnovni trigonometrijski identitet ljubazan . Objašnjenje ove činjenice je prilično jednostavno: jednakosti se dobivaju iz glavnog trigonometrijskog identiteta nakon dijeljenja oba njegova dijela s i, odnosno, i jednakosti I slijede iz definicija sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa. O tome ćemo detaljnije govoriti u sljedećim paragrafima.

Odnosno, od posebnog je interesa jednakost koja je dobila naziv glavni trigonometrijski identitet.

Prije dokazivanja glavnog trigonometrijski identitet, dajmo njegovu formulaciju: zbroj kvadrata sinusa i kosinusa jednog kuta identički je jednak jedan. Sada dokažimo.

Osnovni trigonometrijski identitet vrlo se često koristi kada transformacija trigonometrijski izrazi . Omogućuje da se zbroj kvadrata sinusa i kosinusa jednog kuta zamijeni jedinicom. Ništa manje često se koristi osnovni trigonometrijski identitet obrnuti redoslijed: jedinica se zamjenjuje zbrojem kvadrata sinusa i kosinusa bilo kojeg kuta.

Tangens i kotangens kroz sinus i kosinus

Identiteti koji povezuju tangens i kotangens sa sinusom i kosinusom jednog kuta gledanja i neposredno slijede iz definicija sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa. Doista, po definiciji, sinus je ordinata od y, kosinus je apscisa od x, tangens je omjer ordinate i apscise, tj. , a kotangens je omjer apscise i ordinate, tj. .

Zahvaljujući takvoj očitosti identiteta i Tangens i kotangens se često definiraju ne kroz odnos apscise i ordinate, već kroz odnos sinusa i kosinusa. Dakle, tangens kuta je omjer sinusa i kosinusa ovog kuta, a kotangens je omjer kosinusa i sinusa.

U zaključku ovog paragrafa treba napomenuti da su identiteti i odvijaju se za sve kutove pri kojima trigonometrijske funkcije uključene u njih imaju smisla. Dakle, formula vrijedi za bilo koji , osim (inače će nazivnik imati nulu, a nismo definirali dijeljenje s nulom), i formula - za sve, različito od, gdje je z bilo koji.

Odnos tangensa i kotangensa

Još očitiji trigonometrijski identitet od prethodna dva je identitet koji povezuje tangens i kotangens jednog kuta oblika . Jasno je da vrijedi za sve kutove osim , inače ni tangens ni kotangens nisu definirani.

Dokaz formule jako jednostavno. Po definiciji i odakle . Dokaz se mogao izvesti malo drugačije. Od , To .

Dakle, tangens i kotangens istog kuta pod kojim imaju smisla su .

Ovo je posljednje i najviše glavna lekcija, potrebno za rješavanje problema B11. Već znamo kako pretvoriti kutove iz radijana u stupnjeve (pogledajte lekciju " Radijan i stupanj mjera kuta"), a također znamo kako odrediti znak trigonometrijske funkcije, fokusirajući se na koordinatne četvrtine (vidi lekciju " Predznaci trigonometrijskih funkcija »).

Preostaje samo izračunati vrijednost same funkcije – upravo tog broja koji je napisan u odgovoru. Ovdje u pomoć dolazi osnovni trigonometrijski identitet.

Osnovni trigonometrijski identitet. Za bilo koji kut α vrijedi sljedeća tvrdnja:

sin 2 α + cos 2 α = 1.

Ova formula povezuje sinus i kosinus jednog kuta. Sada, znajući sinus, možemo lako pronaći kosinus - i obrnuto. Dovoljno je izvaditi kvadratni korijen:

Obratite pozornost na znak "±" ispred korijena. Činjenica je da iz osnovnog trigonometrijskog identiteta nije jasno što su bili izvorni sinus i kosinus: pozitivni ili negativni. Uostalom, kvadriranje - ravnomjerna funkcija, koji "pali" sve nedostatke (ako ih je bilo).

Zato u svim problemima B11, koji se nalaze u Jedinstvenom državnom ispitu iz matematike, nužno postoje dodatni uvjeti koji pomažu riješiti se nesigurnosti sa znakovima. Obično je ovo pokazatelj koordinatne četvrtine, po kojoj se može odrediti znak.

Pažljivi čitatelj vjerojatno će se zapitati: "Što je s tangensom i kotangensom?" Nemoguće je izravno izračunati ove funkcije iz gornjih formula. Međutim, postoje važne posljedice iz osnovnog trigonometrijskog identiteta, koji već sadrži tangente i kotangense. Naime:

Važna posljedica: za bilo koji kut α, osnovni trigonometrijski identitet može se prepisati na sljedeći način:

Ove se jednadžbe lako izvode iz glavnog identiteta - dovoljno je obje strane podijeliti s cos 2 α (da se dobije tangens) ili sa sin 2 α (da se dobije kotangens).

Pogledajmo sve ovo na konkretni primjeri. Ispod su stvarni problemi B11 koji su preuzeti iz probne mogućnosti Jedinstveni državni ispit iz matematike 2012.

Znamo kosinus, ali ne znamo sinus. Glavni trigonometrijski identitet (u "čistom" obliku) povezuje upravo te funkcije, pa ćemo s njim raditi. Imamo:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ sin 2 α + 99/100 = 1 ⇒ sin 2 α = 1/100 ⇒ sin α = ±1/10 = ±0,1.

Za rješavanje problema ostaje pronaći predznak sinusa. Budući da je kut α ∈ (π /2; π ), tada in stupanjska mjera ovo se piše na sljedeći način: α ∈ (90°; 180°).

Dakle, kut α leži u II koordinatna četvrtina- tamo su svi sinusi pozitivni. Stoga je sin α = 0,1.

Dakle, znamo sinus, ali moramo pronaći kosinus. Obje ove funkcije su u osnovnom trigonometrijskom identitetu. Zamijenimo:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 3/4 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1/4 ⇒ cos α = ±1/2 = ±0,5.

Ostaje još pozabaviti se znakom ispred razlomka. Što odabrati: plus ili minus? Po uvjetu, kut α pripada intervalu (π 3π /2). Pretvorimo kutove iz radijskih mjera u stupnjeve - dobivamo: α ∈ (180°; 270°).

Očito, ovo je III koordinatna četvrtina, gdje su svi kosinusi negativni. Prema tome cos α = −0,5.

Zadatak. Nađite tan α ako je poznato sljedeće:

Tangens i kosinus povezani su jednadžbom koja slijedi iz osnovnog trigonometrijskog identiteta:

Dobivamo: tan α = ±3. Predznak tangente određen je kutom α. Poznato je da je α ∈ (3π /2; 2π ). Pretvorimo kutove iz radijskih mjera u stupnjeve - dobivamo α ∈ (270°; 360°).

Očito, ovo je IV koordinatna četvrtina, gdje su sve tangente negativne. Stoga je tan α = −3.

Zadatak. Nađite cos α ako je poznato sljedeće:

Sinus je opet poznat, a kosinus nepoznat. Zapišimo glavni trigonometrijski identitet:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 0,64 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 0,36 ⇒ cos α = ±0,6.

Predznak je određen kutom. Imamo: α ∈ (3π /2; 2π ). Pretvorimo kutove iz stupnjeva u radijane: α ∈ (270°; 360°) je IV koordinatna četvrtina, tamo su kosinusi pozitivni. Stoga je cos α = 0,6.

Zadatak. Nađite sin α ako je poznato sljedeće:

Zapišimo formulu koja slijedi iz osnovne trigonometrijske identičnosti i izravno povezuje sinus i kotangens:

Odavde dobivamo da je sin 2 α = 1/25, tj. sin α = ±1/5 = ±0,2. Poznato je da kut α ∈ (0; π /2). U mjeri stupnja to se piše na sljedeći način: α ∈ (0°; 90°) - I koordinatna četvrtina.

Dakle, kut je u I koordinatnom kvadrantu - tamo su sve trigonometrijske funkcije pozitivne, pa je sin α = 0,2.