Pronađite čvor i čvor od tri. Nod i nok brojeva - najveći zajednički djelitelj i najmanji zajednički višekratnik nekoliko brojeva

Počnimo proučavati najmanji zajednički višekratnik dva ili više brojeva. U odjeljku ćemo dati definiciju pojma, razmotriti teorem koji uspostavlja odnos između najmanjeg zajedničkog višekratnika i najvećeg zajedničkog djelitelja te navesti primjere rješavanja problema.

Uobičajeni višekratnici - definicija, primjeri

U ovoj temi će nas zanimati samo uobičajeni višekratnici cijelih brojeva koji nisu nula.

Definicija 1

Zajednički višekratnik cijelih brojeva je cijeli broj koji je višekratnik svih zadanih brojeva. Zapravo, to je bilo koji cijeli broj koji se može podijeliti s bilo kojim od zadanih brojeva.

Definicija zajedničkih višekratnika odnosi se na dva, tri ili više cijelih brojeva.

Primjer 1

Prema gore navedenoj definiciji za broj 12, zajednički višekratnici su 3 i 2. Također će broj 12 biti zajednički višekratnik brojeva 2, 3 i 4. Brojevi 12 i -12 zajednički su višekratnici brojeva ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

Istovremeno, zajednički višekratnik za brojeve 2 i 3 bit će brojevi 12 , 6 , − 24 , 72 , 468 , − 100 010 004 i cijela linija bilo koje druge.

Ako uzmemo brojeve koji su djeljivi s prvim brojem para, a nisu djeljivi s drugim, onda takvi brojevi neće biti zajednički višekratnici. Dakle, za brojeve 2 i 3, brojevi 16 , − 27 , 5009 , 27001 neće biti zajednički višekratnici.

0 je zajednički višekratnik bilo kojeg skupa cijelih brojeva koji nisu nula.

Ako se prisjetimo svojstva djeljivosti u odnosu na suprotni brojevi, onda ispada da će neki cijeli broj k biti zajednički višekratnik ovih brojeva na isti način kao i broj - k . To znači da zajednički djelitelji mogu biti pozitivni ili negativni.

Je li moguće pronaći LCM za sve brojeve?

Zajednički višekratnik se može pronaći za bilo koje cijele brojeve.

Primjer 2

Pretpostavimo da nam je dano k cijeli brojevi a 1, a 2, …, a k. Broj koji dobijemo tijekom množenja brojeva a 1 a 2 … a k prema svojstvu djeljivosti, podijelit će se sa svakim od faktora koji su bili uključeni u izvorni proizvod. To znači da je umnožak brojeva a 1, a 2, …, a k je najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva.

Koliko zajedničkih višekratnika mogu imati ti cijeli brojevi?

Grupa cijelih brojeva može imati veliki broj zajednički višekratnici. Zapravo, njihov broj je beskonačan.

Primjer 3

Pretpostavimo da imamo neki broj k . Tada će umnožak brojeva k · z , gdje je z cijeli broj, biti zajednički višekratnik brojeva k i z . S obzirom da je broj brojeva beskonačan, tada je broj zajedničkih višekratnika beskonačan.

Najmanji zajednički višestruk (LCM) - definicija, simbol i primjeri

Prisjetimo se koncepta najmanji broj iz zadanog skupa brojeva, o kojima smo raspravljali u odjeljku Usporedba cijelih brojeva. Imajući na umu ovaj koncept, formulirajmo definiciju najmanjeg zajedničkog višekratnika, koji ima najveću praktičnu vrijednost među svim zajedničkim višekratnicima.

Definicija 2

Najmanji zajednički višekratnik zadanih cijelih brojeva je najmanji pozitivni zajednički višekratnik ovih brojeva.

Najmanji zajednički višekratnik postoji za bilo koji broj zadanih brojeva. Kratica NOK najčešće se koristi za označavanje pojma u referentnoj literaturi. Kratak unos najmanji zajednički višekratnik za brojeve a 1, a 2, …, a k izgledat će kao LCM (a 1, a 2, …, a k).

Primjer 4

Najmanji zajednički višekratnik 6 i 7 je 42. Oni. LCM (6, 7) = 42. Najmanji zajednički višekratnik četiri broja - 2, 12, 15 i 3 bit će jednak 60. Skraćenica će biti LCM (- 2, 12, 15, 3) = 60.

Ne za sve grupe zadanih brojeva najmanji zajednički višekratnik je očit. Često se mora izračunati.

Odnos između NOC-a i NOD-a

Najmanji zajednički višestruki i najveći zajednički djelitelj međusobno povezani. Odnos između pojmova utvrđuje se teoremom.

Teorem 1

Najmanji zajednički višekratnik dva pozitivna cijela broja a i b jednak je umnošku brojeva a i b podijeljenih najvećim zajedničkim djeliteljem brojeva a i b , odnosno LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) .

Dokaz 1

Pretpostavimo da imamo neki broj M koji je višekratnik brojeva a i b. Ako je broj M djeljiv s a , postoji i neki cijeli broj z , pod kojom je jednakost M = a k. Prema definiciji djeljivosti, ako je M također djeljivo sa b, pa onda a k podjeljeno sa b.

Ako uvedemo novu oznaku za gcd (a, b) kao d, tada možemo koristiti jednakosti a = a 1 d i b = b 1 · d . U ovom slučaju, obje će jednakosti biti međusobno prosti brojevi.

To smo već utvrdili iznad a k podjeljeno sa b. Sada se ovaj uvjet može zapisati na sljedeći način:
a 1 d k podjeljeno sa b 1 d, što je ekvivalentno uvjetu a 1 k podjeljeno sa b 1 prema svojstvima djeljivosti.

Prema imovini uzajamni primarni brojevi, ako a 1 i b 1 su međusobno prosti brojevi, a 1 nije djeljivo sa b 1 usprkos činjenici da a 1 k podjeljeno sa b 1, onda b 1 treba podijeliti k.

U ovom slučaju, bilo bi prikladno pretpostaviti da postoji broj t, za koji k = b 1 t, i od b1=b:d, onda k = b: d t.

Sada umjesto k staviti u jednakost M = a k izraz oblika b: d t. To nam omogućuje da dođemo do ravnopravnosti M = a b: d t. Na t=1 možemo dobiti najmanji pozitivni zajednički višekratnik a i b , jednak a b: d, pod uvjetom da su brojevi a i b pozitivan.

Dakle, dokazali smo da je LCM (a, b) = a b: GCD (a,b).

Uspostavljanje veze između LCM i GCD omogućuje vam da pronađete najmanji zajednički višekratnik kroz najveći zajednički djelitelj dva ili više zadanih brojeva.

Definicija 3

Teorem ima dvije važne posljedice:

višekratnici najmanjeg zajedničkog višekratnika dvaju brojeva isti su kao zajednički višekratnici ta dva broja;
najmanji zajednički višekratnik međusobno prostih pozitivnih brojeva a i b jednak je njihovom umnošku.

Ove dvije činjenice nije teško potkrijepiti. Svaki zajednički višekratnik M brojeva a i b definiran je jednakošću M = LCM (a, b) t za neku cjelobrojnu vrijednost t. Budući da su a i b međusobno prosti, onda je gcd (a, b) = 1, dakle, LCM (a, b) = a b: gcd (a, b) = a b: 1 = a b.

Najmanji zajednički višekratnik tri ili više brojeva

Da biste pronašli najmanji zajednički višekratnik nekoliko brojeva, morate sukcesivno pronaći LCM dvaju brojeva.

Teorem 2

Pretvarajmo se to a 1, a 2, …, a k su neki cijeli brojevi pozitivni brojevi. Za izračunavanje LCM m k te brojeve moramo uzastopno izračunati m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = NOO(m 2 , a 3) , … , m k = NOO(m k - 1 , a k) .

Dokaz 2

Prvi zaključak prvog teorema o kojem se raspravlja u ovoj temi pomoći će nam da dokažemo točnost drugog teorema. Rezoniranje se gradi prema sljedećem algoritmu:

zajednički višekratnici brojeva a 1 i a 2 podudaraju s višekratnicima njihovog LCM-a, zapravo se podudaraju s višekratnicima broja m2;
zajednički višekratnici brojeva a 1, a 2 i a 3 m2 i a 3 m 3;
zajednički višekratnici brojeva a 1, a 2, …, a k podudaraju sa zajedničkim višekratnicima brojeva m k - 1 i a k, dakle, podudaraju se s višekratnicima broja m k;
zbog činjenice da je najmanji pozitivni višekratnik broja m k je sam broj m k, zatim najmanji zajednički višekratnik brojeva a 1, a 2, …, a k je m k.

Dakle, dokazali smo teorem.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM) i najvećeg zajedničkog djelitelja (GCD) prirodnih brojeva.

	2						5
	2						5
	3						3
	5

60=2*2*3*5
75=3*5*5
2) Zapisujemo faktore uključene u proširenje prvog od ovih brojeva i dodajemo im faktor 5 koji nedostaje iz proširenja drugog broja. Dobivamo: 2*2*3*5*5=300. Pronađen NOC, tj. ovaj zbroj = 300. Ne zaboravi dimenziju i napiši odgovor:
Odgovor: Mama daje po 300 rubalja.

Definicija GCD-a: Najveći zajednički djelitelj (GCD) prirodni brojevi a i u imenovati najveći prirodni broj c, na što i a, i b podijeljeno bez ostatka. Oni. c je najmanji prirodni broj za koji i a i b su višestruki.

Podsjetnik: Postoje dva pristupa definiciji prirodnih brojeva

brojevi koji se koriste u: nabrajanju (numeraciji) stavki (prvi, drugi, treći, ...); - u školama, obično.
označavajući broj stavki (bez pokemona - nula, jedan pokemon, dva pokemona, ...).

Negativni i necijeli (racionalni, realni, ...) brojevi nisu prirodni. Neki autori uključuju nulu u skup prirodnih brojeva, drugi ne. Skup svih prirodnih brojeva obično se označava simbolom N

Podsjetnik: Djelitelj prirodnog broja a nazovi broj b, u kojoj a podijeljeno bez ostatka. Višestruki prirodni broj b naziva prirodnim brojem a, koji je podijeljen sa b bez traga. Ako broj b- djelitelj brojeva a, onda a višestruko od b. Primjer: 2 je djelitelj od 4, a 4 je višekratnik broja 2. 3 je djelitelj broja 12, a 12 je višekratnik broja 3.
Podsjetnik: Prirodni brojevi nazivaju se prosti ako su bez ostatka djeljivi samo sami sa sobom i s 1. Koprimi su brojevi koji imaju samo jedan zajednički djelitelj jednak 1.

Određivanje kako pronaći GCD u opći slučaj: Da biste pronašli GCD (najveći zajednički djelitelj) Potrebno je nekoliko prirodnih brojeva:
1) Razdvojite ih na primarni čimbenici. (Tabela osnovnih brojeva može biti od velike pomoći za to.)
2) Napišite čimbenike uključene u proširenje jednog od njih.
3) Izbrišite one koji nisu uključeni u proširenje preostalih brojeva.
4) Pomnožite faktore dobivene u stavku 3.).

Zadatak 2 na (NOK): Do nove godine Kolya Puzatov je u gradu kupio 48 hrčaka i 36 lonaca za kavu. Fekla Dormidontova, kao najpoštenija djevojka u razredu, dobila je zadatak da ovu imovinu podijeli na što veći broj poklon setova za učitelje. Koliki je broj kompleta? Kakav je sastav kompleta?

Primjer 2.1. rješavanje problema nalaženja GCD. Pronalaženje GCD odabirom.
Odluka: Svaki od brojeva 48 i 36 mora biti djeljiv s brojem darova.
1) Napiši djelitelje 48: 48, 24, 16, 12 , 8, 6, 3, 2, 1
2) Napiši djelitelje 36: 36, 18, 12 , 9, 6, 3, 2, 1 Odaberite najveći zajednički djelitelj. Op-la-la! Pronađeno, ovo je broj setova od 12 komada.
3) Podijelimo 48 sa 12, dobijemo 4, podijelimo 36 sa 12, dobijemo 3. Ne zaboravimo dimenziju i napišimo odgovor:
Odgovor: Dobit ćete 12 kompleta od 4 hrčka i 3 posude za kavu u svakom setu.

Dolje predstavljeni materijal logičan je nastavak teorije iz članka pod naslovom LCM - najmanji zajednički višekratnik, definicija, primjeri, odnos između LCM i GCD. Ovdje ćemo govoriti o pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM), i Posebna pažnja Pogledajmo primjere. Najprije pokažimo kako se LCM dvaju brojeva izračunava u terminima GCD tih brojeva. Zatim razmotrite pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika faktoringom brojeva u proste faktore. Nakon toga ćemo se usredotočiti na pronalaženje LCM-a od tri i više brojeva, a također obratite pozornost na izračun LCM negativnih brojeva.

Navigacija po stranici.

Izračun najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM) kroz gcd

Jedan od načina za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika temelji se na odnosu između LCM-a i GCD-a. Postojeći odnos između LCM-a i GCD-a omogućuje vam da izračunate najmanji zajednički višekratnik dva pozitivna cijela broja kroz poznati najveći zajednički djelitelj. Odgovarajuća formula ima oblik LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Razmotrimo primjere pronalaženja LCM-a prema gornjoj formuli.

Primjer.

Pronađite najmanji zajednički višekratnik dvaju brojeva 126 i 70 .

Odluka.

U ovom primjeru a=126, b=70. Upotrijebimo odnos između LCM i GCD izražen formulom LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Odnosno, prvo moramo pronaći najveći zajednički djelitelj brojeva 70 i 126, nakon čega možemo izračunati LCM ovih brojeva prema napisanoj formuli.

Pronađite gcd(126, 70) koristeći Euklidov algoritam: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , dakle gcd(126, 70)=14 .

Sada nalazimo traženi najmanji zajednički višekratnik: LCM(126, 70)=126 70: GCM(126, 70)= 126 70:14 = 630 .

Odgovor:

LCM (126, 70) = 630 .

Primjer.

Što je LCM(68, 34)?

Odluka.

Kao 68 je jednako djeljivo s 34, tada je gcd(68, 34)=34. Sada izračunavamo najmanji zajednički višekratnik: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68 .

Odgovor:

LCM (68, 34) = 68 .

Imajte na umu da prethodni primjer odgovara sljedećem pravilu za pronalaženje LCM-a za pozitivne cijele brojeve a i b: ako je broj a djeljiv s b, tada je najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva a.

Pronalaženje LCM-a faktoriranjem brojeva u proste faktore

Drugi način pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika temelji se na faktoriranju brojeva u proste faktore. Ako napravimo umnožak svih prostih čimbenika ovih brojeva, nakon čega iz tog umnožaka izuzmemo sve zajedničke proste faktore koji su prisutni u proširenjima tih brojeva, tada će rezultirajući umnožak biti jednak najmanjem zajedničkom višekratniku tih brojeva.

Najavljeno pravilo za pronalaženje LCM proizlazi iz jednakosti LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Doista, umnožak brojeva a i b jednak je umnošku svih čimbenika uključenih u proširenja brojeva a i b. Zauzvrat, gcd(a, b) jednak je proizvodu svi prosti čimbenici koji su istovremeno prisutni u proširenjima brojeva a i b (što je opisano u odjeljku o pronalaženju GCD pomoću dekompozicije brojeva na proste faktore).

Uzmimo primjer. Neka znamo da je 75=3 5 5 i 210=2 3 5 7 . Sastavite umnožak svih faktora ovih proširenja: 2 3 3 5 5 5 7 . Sada iz ovog proizvoda izuzimamo sve čimbenike koji su prisutni i u proširenju broja 75 i u proširenju broja 210 (takvi faktori su 3 i 5), tada će proizvod dobiti oblik 2 3 5 5 7 . Vrijednost ovog proizvoda jednaka je najmanjem zajedničkom višekratniku brojeva 75 i 210, tj. LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

Primjer.

Nakon faktoringa brojeva 441 i 700 u proste faktore, pronađite najmanji zajednički višekratnik tih brojeva.

Odluka.

Razložimo brojeve 441 i 700 na proste faktore:

Dobivamo 441=3 3 7 7 i 700=2 2 5 5 7 .

Sada napravimo umnožak svih čimbenika koji sudjeluju u proširenjima ovih brojeva: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Isključimo iz ovog proizvoda sve čimbenike koji su istovremeno prisutni u oba proširenja (postoji samo jedan takav faktor - to je broj 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Tako, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

Odgovor:

LCM (441, 700) = 44 100 .

Pravilo za pronalaženje LCM-a pomoću dekompozicije brojeva na proste faktore može se formulirati malo drugačije. Ako faktorima iz razgradnje broja a dodamo čimbenike koji nedostaju iz proširenja broja a, tada će vrijednost rezultirajućeg proizvoda biti jednaka najmanjem zajedničkom višekratniku brojeva a i b.

Na primjer, uzmimo sve iste brojeve 75 i 210, njihova proširenja u proste faktore su sljedeća: 75=3 5 5 i 210=2 3 5 7 . Faktorima 3, 5 i 5 iz proširenja broja 75 dodamo čimbenike koji nedostaju 2 i 7 iz proširenja broja 210, dobijemo umnožak 2 3 5 5 7 , čija je vrijednost LCM(75 , 210) .

Primjer.

Pronađite najmanji zajednički višekratnik brojeva 84 i 648.

Odluka.

Prvo dobivamo razlaganje brojeva 84 i 648 na proste faktore. Izgledaju kao 84=2 2 3 7 i 648=2 2 2 3 3 3 3 . Faktorima 2 , 2 , 3 i 7 iz proširenja broja 84 dodamo čimbenike koji nedostaju 2 , 3 , 3 i 3 iz proširenja broja 648 , dobijemo umnožak 2 2 2 3 3 3 3 7 , što je jednako 4 536 . Dakle, željeni najmanji zajednički višekratnik brojeva 84 i 648 je 4,536.

Odgovor:

LCM (84, 648) = 4 536 .

Pronalaženje LCM-a tri ili više brojeva

Najmanji zajednički višekratnik tri ili više brojeva može se pronaći uzastopnim pronalaženjem LCM dva broja. Prisjetimo se odgovarajućeg teorema, koji daje način da se pronađe LCM od tri ili više brojeva.

Teorema.

Neka su dati pozitivni cijeli brojevi a 1 , a 2 , …, a k, najmanji zajednički višekratnik m k ovih brojeva nalazi se u sekvencijalnom izračunu m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

Razmotrimo primjenu ovog teorema na primjeru pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika četiri broja.

Primjer.

Pronađite LCM četiri broja 140 , 9 , 54 i 250 .

Odluka.

U ovom primjeru a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Prvo pronađemo m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Da bismo to učinili, koristeći Euklidov algoritam, određujemo gcd(140, 9) , imamo 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , dakle, gcd( 140, 9)=1 , odakle LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1 = 1 260 . To jest, m 2 =1 260 .

Sada nalazimo m 3 = LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Izračunajmo ga kroz gcd(1 260, 54) , što je također određeno Euklidovim algoritmom: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Tada je gcd(1 260, 54)=18, odakle je LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . To jest, m 3 \u003d 3 780.

Ostalo da se pronađe m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Da bismo to učinili, nalazimo GCD(3 780, 250) koristeći Euklid algoritam: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Prema tome, gcd(3 780, 250)=10, odakle je gcd(3 780, 250)= 3 780 250: gcd (3 780, 250)= 3 780 250:10 = 94 500 . To jest, m 4 \u003d 94 500.

Dakle, najmanji zajednički višekratnik izvorna četiri broja je 94 500.

Odgovor:

LCM (140, 9, 54, 250) = 94 500.

U mnogim slučajevima, najmanji zajednički višekratnik tri ili više brojeva prikladno se nalazi korištenjem prostih faktorizacija zadanih brojeva. U tom slučaju treba se pridržavati sljedećeg pravila. Najmanji zajednički višekratnik nekoliko brojeva jednak je umnošku koji se sastoji na sljedeći način: čimbenici koji nedostaju iz proširenja drugog broja dodaju se svim čimbenicima iz proširenja prvog broja, faktori koji nedostaju iz proširenja broja treći broj se dodaje dobivenim faktorima i tako dalje.

Razmotrimo primjer pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika pomoću dekompozicije brojeva na proste faktore.

Primjer.

Nađi najmanji zajednički višekratnik pet brojeva 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Odluka.

Prvo dobivamo proširenja ovih brojeva u proste faktore: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 prosti faktori) i 143=11 13 .

Da biste pronašli LCM ovih brojeva, faktorima prvog broja 84 (oni su 2, 2, 3 i 7) trebate dodati faktore koji nedostaju iz proširenja drugog broja 6. Proširivanje broja 6 ne sadrži faktore koji nedostaju, budući da su i 2 i 3 već prisutni u proširenju prvog broja 84 . Osim faktora 2, 2, 3 i 7 dodajemo faktore koji nedostaju 2 i 2 iz proširenja trećeg broja 48, dobivamo skup faktora 2, 2, 2, 2, 3 i 7. Nema potrebe dodavati faktore ovom skupu u sljedećem koraku, budući da je 7 već sadržano u njemu. Konačno, faktorima 2, 2, 2, 2, 3 i 7 dodajemo faktore koji nedostaju 11 i 13 iz proširenja broja 143. Dobivamo umnožak 2 2 2 2 3 7 11 13 koji je jednak 48 048 .

Razmotrite tri načina za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika.

Pronalaženje faktoringom

Prvi način je pronaći najmanji zajednički višekratnik tako da zadane brojeve razložimo u proste faktore.

Pretpostavimo da trebamo pronaći LCM brojeva: 99, 30 i 28. Da bismo to učinili, svaki od ovih brojeva rastavljamo na proste faktore:

Da bi željeni broj bio djeljiv sa 99, 30 i 28, potrebno je i dovoljno da uključuje sve proste faktore ovih djelitelja. Da bismo to učinili, moramo uzeti sve proste faktore ovih brojeva na najveću pojavnu moć i pomnožiti ih zajedno:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Dakle, LCM (99, 30, 28) = 13 860. Nijedan drugi broj manji od 13 860 nije jednako djeljiv s 99, 30 ili 28.

Da biste pronašli najmanji zajednički višekratnik zadanih brojeva, trebate ih faktorizirati u proste faktore, zatim uzeti svaki prosti faktor s najvećim eksponentom koji se pojavljuje i pomnožiti te faktore zajedno.

Budući da koprosti brojevi nemaju zajedničke proste faktore, njihov je najmanji zajednički višekratnik jednak umnošku tih brojeva. Na primjer, tri broja: 20, 49 i 33 su međusobno prosti. Tako

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32 340.

Isto treba učiniti kada se traži najmanji zajednički višekratnik raznih prostih brojeva. Na primjer, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Pronalaženje odabirom

Drugi način je pronaći najmanji zajednički višekratnik uklapanjem.

Primjer 1. Kada je najveći od zadanih brojeva jednako djeljiv s drugim danim brojevima, tada je LCM tih brojeva jednak većem od njih. Na primjer, data su četiri broja: 60, 30, 10 i 6. Svaki od njih je djeljiv sa 60, dakle:

NOC(60, 30, 10, 6) = 60

U drugim slučajevima, za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika koristi se sljedeći postupak:

Od zadanih brojeva odredi najveći broj.
Zatim pronađite brojeve koji su višestruki najveći broj, pomnoživši ga sa cijeli brojevi uzlaznim redoslijedom i provjeravanjem jesu li preostali zadani brojevi djeljivi s rezultirajućim umnoškom.

Primjer 2. Zadana su tri broja 24, 3 i 18. Odredite najveći od njih - to je broj 24. Zatim pronađite višekratnike broja 24, provjeravajući je li svaki od njih djeljiv s 18 i s 3:

24 1 = 24 je djeljivo sa 3, ali nije djeljivo sa 18.

24 2 = 48 - djeljivo sa 3, ali nije djeljivo sa 18.

24 3 \u003d 72 - djeljivo s 3 i 18.

Dakle, LCM(24, 3, 18) = 72.

Pronalaženje uzastopnim traženjem LCM

Treći način je pronaći najmanji zajednički višekratnik uzastopnim pronalaženjem LCM-a.

LCM dva zadana broja jednak je umnošku tih brojeva podijeljen s njihovim najvećim zajedničkim djeliteljem.

Primjer 1. Pronađite LCM dva zadana broja: 12 i 8. Odredite njihov najveći zajednički djelitelj: GCD (12, 8) = 4. Pomnožite ove brojeve:

Proizvod dijelimo na njihov GCD:

Dakle, LCM(12, 8) = 24.

Da biste pronašli LCM od tri ili više brojeva, koristi se sljedeći postupak:

Prvo se pronađe LCM bilo koja dva od zadanih brojeva.
Zatim, LCM pronađenog najmanjeg zajedničkog višekratnika i trećeg zadani broj.
Zatim, LCM rezultirajućeg najmanjeg zajedničkog višekratnika i četvrtog broja, i tako dalje.
Stoga se LCM pretraga nastavlja sve dok postoje brojevi.

Primjer 2. Pronađite LCM tri podatka brojevi: 12, 8 i 9. LCM brojeva 12 i 8 smo već pronašli u prethodnom primjeru (ovo je broj 24). Ostaje pronaći najmanji zajednički višekratnik od 24 i treći zadani broj - 9. Odredite njihov najveći zajednički djelitelj: gcd (24, 9) = 3. Pomnožite LCM s brojem 9:

Proizvod dijelimo na njihov GCD:

Dakle, LCM(12, 8, 9) = 72.

GCD je najveći zajednički djelitelj.

Da biste pronašli najveći zajednički djelitelj nekoliko brojeva:

odrediti čimbenike zajedničke za oba broja;
pronaći proizvod zajedničkih čimbenika.

Primjer pronalaženja GCD-a:

Pronađite GCD brojeva 315 i 245.

315 = 5 * 3 * 3 * 7;

245 = 5 * 7 * 7.

2. Napišite čimbenike zajedničke za oba broja:

3. Pronađite umnožak zajedničkih čimbenika:

gcd (315; 245) = 5 * 7 = 35.

Odgovor: GCD(315; 245) = 35.

Pronalaženje NOC-a

LCM je najmanji zajednički višekratnik.

Da biste pronašli najmanji zajednički višekratnik nekoliko brojeva:

rastaviti brojeve na proste faktore;
napišite čimbenike uključene u proširenje jednog od brojeva;
dodajte im faktore koji nedostaju iz proširenja drugog broja;
pronaći umnožak rezultirajućih faktora.

Primjer pronalaska NOC-a:

Pronađite LCM brojeva 236 i 328:

1. Brojeve razlažemo na proste faktore:

236 = 2 * 2 * 59;

328 = 2 * 2 * 2 * 41.

2. Zapišite čimbenike uključene u proširenje jednog od brojeva i dodajte im čimbenike koji nedostaju iz proširenja drugog broja:

2; 2; 59; 2; 41.

3. Pronađite umnožak rezultirajućih faktora:

LCM(236; 328) = 2 * 2 * 59 * 2 * 41 = 19352.

Odgovor: LCM(236; 328) = 19352.

Da biste pronašli GCD (najveći zajednički djelitelj) dva broja, trebate:

2. Pronaći (podvući) sve zajedničke proste faktore u dobivenim proširenjima.

3. Pronađite umnožak zajedničkih prostih faktora.

Da biste pronašli LCM (najmanji zajednički višekratnik) dva broja, trebate:

1. Rastavite ove brojeve na proste faktore.

2. Nadopuni proširenje jednog od njih onim faktorima proširenja drugog broja, kojih nema u proširenju prvog.

3. Izračunajte umnožak dobivenih faktora.