U ovom videu ćemo pogledati cijeli set. linearne jednadžbe, koji se rješavaju istim algoritmom - zato se nazivaju najjednostavnijim.

Za početak, definirajmo: što je linearna jednadžba i koju od njih treba nazvati najjednostavnijim?

Linearna jednadžba je ona u kojoj postoji samo jedna varijabla i to samo u prvom stupnju.

Najjednostavnija jednadžba znači konstrukciju:

Sve ostale linearne jednadžbe svode se na najjednostavnije pomoću algoritma:

1. Otvorene zagrade, ako ih ima;
2. Premjestite pojmove koji sadrže varijablu na jednu stranu znaka jednakosti, a pojmove bez varijable na drugu;
3. voditi poput pojmova lijevo i desno od znaka jednakosti;
4. Dobivenu jednadžbu podijelite s koeficijentom varijable $x$.

Naravno, ovaj algoritam ne pomaže uvijek. Činjenica je da se ponekad, nakon svih ovih makinacija, pokaže koeficijent varijable $x$ jednak nuli. U ovom slučaju moguće su dvije opcije:

1. Jednadžba uopće nema rješenja. Na primjer, kada dobijete nešto poput $0\cdot x=8$, tj. lijevo je nula, a desno je broj različit od nule. U videu ispod pogledat ćemo nekoliko razloga zašto je ova situacija moguća.
2. Rješenje su svi brojevi. Jedini slučaj kada je to moguće je kada je jednadžba svedena na konstrukciju $0\cdot x=0$. Sasvim je logično da bez obzira što zamijenimo $x$, ipak će ispasti “nula je jednaka nuli”, tj. ispravna brojčana jednakost.

A sada da vidimo kako to sve funkcionira na primjeru stvarnih problema.

Primjeri rješavanja jednadžbi

Danas se bavimo linearnim jednadžbama, i to samo onim najjednostavnijim. Općenito, linearna jednadžba označava svaku jednakost koja sadrži točno jednu varijablu, a ide samo do prvog stupnja.

Takve konstrukcije rješavaju se na približno isti način:

1. Prije svega, morate otvoriti zagrade, ako ih ima (kao u našem posljednji primjer);
2. Zatim donesite slično
3. Konačno, izolirajte varijablu, t.j. sve što je povezano s varijablom – pojmovi u kojima je sadržana – prenosi se na jednu stranu, a sve što ostaje bez nje prenosi se na drugu stranu.

Zatim, u pravilu, trebate donijeti slično sa svake strane rezultirajuće jednakosti, a nakon toga ostaje samo podijeliti s koeficijentom na "x" i dobit ćemo konačni odgovor.

U teoriji ovo izgleda lijepo i jednostavno, ali u praksi čak i iskusni srednjoškolci mogu napraviti uvredljive pogreške u prilično jednostavnim linearnim jednadžbama. Obično se griješe ili prilikom otvaranja zagrada, ili kod brojanja "plusova" i "minusa".

Osim toga, događa se da linearna jednadžba uopće nema rješenja, ili da je rješenje cijeli brojevni pravac, t.j. bilo koji broj. Te ćemo suptilnosti analizirati u današnjoj lekciji. Ali počet ćemo, kao što ste već shvatili, s najviše jednostavni zadaci.

Shema za rješavanje jednostavnih linearnih jednadžbi

Za početak, dopustite mi da još jednom napišem cijelu shemu za rješavanje najjednostavnijih linearnih jednadžbi:

1. Proširite zagrade, ako ih ima.
2. Odvojite varijable, tj. sve što sadrži "x" prenosi se na jednu stranu, a bez "x" - na drugu.
3. Predstavljamo slične pojmove.
4. Sve dijelimo s koeficijentom na "x".

Naravno, ova shema ne funkcionira uvijek, ima određene suptilnosti i trikove, a sada ćemo ih upoznati.

Rješavanje stvarnih primjera jednostavnih linearnih jednadžbi

Zadatak #1

U prvom koraku od nas se traži da otvorimo zagrade. Ali oni nisu u ovom primjeru, pa preskačemo ovaj korak. U drugom koraku moramo izolirati varijable. Bilješka: pričamo samo o pojedinim pojmovima. Idemo pisati:

Slične pojmove dajemo s lijeve i desne strane, ali to je ovdje već učinjeno. Stoga prelazimo na četvrti korak: podijelimo s faktorom:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Ovdje smo dobili odgovor.

Zadatak #2

U ovom zadatku možemo promatrati zagrade, pa ih proširimo:

I s lijeve i s desne strane vidimo približno istu konstrukciju, ali postupimo po algoritmu, t.j. varijable sekvestra:

Evo nekih poput:

Na kojim korijenima ovo funkcionira? Odgovor: za bilo koje. Stoga možemo napisati da je $x$ bilo koji broj.

Zadatak #3

Treća linearna jednadžba je već zanimljivija:

\[\lijevo(6-x \desno)+\lijevo(12+x \desno)-\lijevo(3-2x \desno)=15\]

Ovdje ima nekoliko zagrada, ali se ničim ne množe, samo stoje ispred njih razni znakovi. Rastavimo ih:

Izvodimo drugi nama već poznat korak:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Izračunajmo:

Izvodimo zadnji korak - sve dijelimo s koeficijentom na "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Stvari koje treba zapamtiti pri rješavanju linearnih jednadžbi

Ako zanemarimo prejednostavne zadatke, želio bih reći sljedeće:

• Kao što sam rekao gore, nema svaka linearna jednadžba rješenje - ponekad jednostavno nema korijena;
• Čak i ako postoje korijeni, nula može ući među njih - u tome nema ništa loše.

Nula je isti broj kao i ostali, ne biste ga trebali nekako diskriminirati ili pretpostaviti da ako dobijete nulu, onda ste učinili nešto krivo.

Još jedna značajka povezana je s proširenjem zagrada. Imajte na umu: kada je ispred njih "minus", uklanjamo ga, ali u zagradama mijenjamo znakove u suprotan. A onda ga možemo otvoriti prema standardnim algoritmima: dobit ćemo ono što smo vidjeli u gornjim izračunima.

Razumijevanje ovoga jednostavna činjenica spriječit će vas da napravite glupe i štetne pogreške u srednjoj školi kada se takve stvari uzimaju zdravo za gotovo.

Rješavanje složenih linearnih jednadžbi

Idemo dalje složene jednadžbe. Sada će konstrukcije postati složenije i pojavit će se kvadratna funkcija pri izvođenju različitih transformacija. No, toga se ne trebate bojati, jer ako, prema autorovoj namjeri, riješimo linearnu jednadžbu, tada će se u procesu transformacije svi monomi koji sadrže kvadratnu funkciju nužno reducirati.

Primjer #1

Očito, prvi korak je otvaranje zagrada. Učinimo ovo vrlo pažljivo:

Sada uzmimo privatnost:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Evo nekih poput:

Očito, ova jednadžba nema rješenja, pa u odgovoru pišemo kako slijedi:

\[\raznolikost \]

ili bez korijena.

Primjer #2

Izvodimo iste korake. Prvi korak:

Pomaknimo sve s varijablom ulijevo, a bez nje - udesno:

Evo nekih poput:

Očito, ova linearna jednadžba nema rješenja, pa je pišemo ovako:

\[\varnothing\],

ili bez korijena.

Nijanse rješenja

Obje su jednadžbe potpuno riješene. Na primjeru ova dva izraza još jednom smo se uvjerili da ni u najjednostavnijim linearnim jednadžbama sve ne može biti tako jednostavno: može biti ili jedan, ili nijedan, ili beskonačno mnogo. U našem slučaju, razmatrali smo dvije jednadžbe, u obje jednostavno nema korijena.

Ali želio bih vam skrenuti pozornost na još jednu činjenicu: kako raditi sa zagradama i kako ih proširiti ako ispred njih stoji znak minus. Razmotrimo ovaj izraz:

Prije otvaranja, morate sve pomnožiti s "x". Napomena: množite svaki pojedini termin. Unutra se nalaze dva pojma - odnosno dva pojma i množe se.

I tek nakon što se ove naizgled elementarne, ali vrlo važne i opasne transformacije završe, može se otvoriti zagrada s gledišta da iza nje stoji znak minus. Da, da: tek sada, kada su transformacije gotove, sjetimo se da je ispred zagrada znak minus, što znači da sve ispod samo mijenja predznake. Istodobno, sami zagrade nestaju i, što je najvažnije, nestaje i prednji "minus".

Isto radimo s drugom jednadžbom:

Nije slučajno što obraćam pažnju na ove male, naizgled beznačajne činjenice. Budući da je rješavanje jednadžbi uvijek niz elementarne transformacije gdje nemogućnost jasnog i kompetentnog izvođenja jednostavnim koracima dovodi do toga da mi dolaze srednjoškolci i ponovno uče rješavati tako jednostavne jednadžbe.

Naravno, doći će dan kada ćete ove vještine izbrusiti do automatizma. Više ne morate svaki put izvoditi toliko transformacija, sve ćete napisati u jednom retku. Ali dok tek učite, svaku radnju trebate napisati zasebno.

Rješavanje još složenijih linearnih jednadžbi

Ovo što ćemo sada riješiti teško se može nazvati najjednostavnijim zadatkom, ali smisao ostaje isti.

Zadatak #1

\[\lijevo(7x+1 \desno)\lijevo(3x-1 \desno)-21((x)^(2))=3\]

Pomnožimo sve elemente u prvom dijelu:

Napravimo retreat:

Evo nekih poput:

Napravimo zadnji korak:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Evo našeg konačnog odgovora. I, unatoč činjenici da smo u procesu rješavanja imali koeficijente s kvadratnom funkcijom, oni su se međusobno poništili, što čini jednadžbu točno linearnom, a ne kvadratnom.

Zadatak #2

\[\lijevo(1-4x \desno)\lijevo(1-3x \desno)=6x\lijevo(2x-1 \desno)\]

Pažljivo napravimo prvi korak: pomnožimo svaki element u prvoj zagradi sa svakim elementom u drugom. Ukupno bi se nakon transformacija trebala dobiti četiri nova pojma:

A sada pažljivo izvršite množenje u svakom pojmu:

Pomaknimo pojmove s "x" ulijevo, a bez - udesno:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Evo sličnih pojmova:

Dobili smo konačan odgovor.

Nijanse rješenja

Najvažnija napomena o ove dvije jednadžbe je sljedeća: čim počnemo množiti zagrade u kojima je više od jednog člana, onda se to radi prema sljedećem pravilu: uzimamo prvi član iz prvog i množimo sa svakim elementom od drugog; zatim uzimamo drugi element iz prvog i na sličan način množimo sa svakim elementom iz drugog. Kao rezultat, dobivamo četiri mandata.

O algebarskom zbroju

U posljednjem primjeru želio bih podsjetiti učenike što je algebarski zbroj. U klasičnoj matematici, pod $1-7$ mislimo na jednostavnu konstrukciju: od jednog oduzimamo sedam. U algebri pod time podrazumijevamo sljedeće: broju "jedan" dodajemo još jedan broj, odnosno "minus sedam". Ovaj algebarski zbroj razlikuje se od uobičajenog aritmetičkog zbroja.

Čim pri izvođenju svih transformacija, svakog zbrajanja i množenja, počnete vidjeti konstrukcije slične gore opisanim, jednostavno nećete imati problema u algebri pri radu s polinomima i jednadžbama.

U zaključku, pogledajmo još nekoliko primjera koji će biti još složeniji od ovih koje smo upravo pogledali, a da bismo ih riješili, morat ćemo malo proširiti naš standardni algoritam.

Rješavanje jednadžbi s razlomkom

Za rješavanje takvih zadataka našem algoritmu treba dodati još jedan korak. Ali prvo ću podsjetiti naš algoritam:

1. Otvorene zagrade.
2. Odvojene varijable.
3. Donesite slično.
4. Podijelite s faktorom.

Jao, ovaj prekrasan algoritam, uz svu svoju učinkovitost, nije sasvim prikladan kada imamo razlomke ispred sebe. A u onome što ćemo vidjeti u nastavku, imamo razlomak s lijeve i desne strane u obje jednadžbe.

Kako raditi u ovom slučaju? Da, vrlo je jednostavno! Da biste to učinili, morate dodati još jedan korak u algoritam, koji se može izvesti i prije prve radnje i nakon nje, naime, da biste se riješili razlomaka. Dakle, algoritam će biti sljedeći:

1. Riješite se razlomaka.
2. Otvorene zagrade.
3. Odvojene varijable.
4. Donesite slično.
5. Podijelite s faktorom.

Što znači "riješiti se razlomaka"? I zašto je to moguće učiniti i nakon i prije prvog standardnog koraka? Zapravo, u našem su slučaju svi razlomci brojčani u smislu nazivnika, t.j. svugdje nazivnik je samo broj. Stoga, ako oba dijela jednadžbe pomnožimo ovim brojem, riješit ćemo se razlomaka.

Primjer #1

\[\frac(\left(2x+1 \desno)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Riješimo se razlomaka u ovoj jednadžbi:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Imajte na umu: sve se množi s "četiri" jednom, tj. samo zato što imate dvije zagrade ne znači da svaku od njih morate pomnožiti s "četiri". Idemo pisati:

\[\left(2x+1 \desno)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Sada otvorimo:

Izvodimo izdvajanje varijable:

Vršimo redukciju sličnih pojmova:

\[-4x=-1\lijevo| :\lijevo(-4 \desno) \desno.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Dobili smo konačna odluka, prelazimo na drugu jednadžbu.

Primjer #2

\[\frac(\lijevo(1-x \desno)\lijevo(1+5x \desno))(5)+((x)^(2))=1\]

Ovdje izvodimo sve iste radnje:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problem riješen.

To je, zapravo, sve što sam danas htio reći.

Ključne točke

Ključni nalazi su sljedeći:

• Poznavati algoritam za rješavanje linearnih jednadžbi.
• Mogućnost otvaranja zagrada.
• Ne brinite ako negdje imate kvadratne funkcije, najvjerojatnije će se u procesu daljnjih transformacija smanjiti.
• Korijeni u linearnim jednadžbama, čak i najjednostavnijim, su tri vrste: jedan jedini korijen, cijeli brojevni pravac je korijen, korijena uopće nema.

Nadam se da će vam ova lekcija pomoći da savladate jednostavnu, ali vrlo važnu temu za daljnje razumijevanje sve matematike. Ako nešto nije jasno, idite na stranicu, riješite tamo prikazane primjere. Ostanite s nama, čeka vas još mnogo zanimljivosti!

Pomoću ovog matematičkog programa možete riješiti sustav od dvije linearne jednadžbe s dva varijabilna metoda metoda zamjene i dodavanja.

Program ne samo da daje odgovor na problem, već i vodi detaljno rješenje s objašnjenjima koraka rješenja na dva načina: metodom zamjene i metodom dodavanja.

Ovaj program može biti od koristi srednjoškolcima u pripremi za kontrolni rad i ispite, prilikom provjere znanja prije ispita, roditelji kontroliraju rješavanje mnogih zadataka iz matematike i algebre. Ili vam je možda preskupo angažirati učitelja ili kupiti nove udžbenike? Ili jednostavno želite to učiniti što je prije moguće? domaća zadaća matematika ili algebra? U tom slučaju možete koristiti i naše programe s detaljnim rješenjem.

Dakle, možete izvršiti svoje vlastiti trening i/ili osposobljavanje njihovih mlađa braća ili sestre, dok se razina obrazovanja iz područja zadataka koji se rješavaju povećava.

Pravila za unos jednadžbi

Bilo koje latinično slovo može djelovati kao varijabla.
Na primjer: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) itd.

Prilikom unosa jednadžbi možete koristiti zagrade. U ovom slučaju, jednadžbe se najprije pojednostavljuju. Jednadžbe nakon pojednostavljenja moraju biti linearne, tj. oblika ax+by+c=0 s točnošću reda elemenata.
Na primjer: 6x+1 = 5(x+y)+2

U jednadžbama možete koristiti ne samo cijele brojeve, već i frakcijski brojevi kao decimalni i obični razlomci.

Pravila za unos decimalnih razlomaka.
Cjelobrojni i razlomački dio decimalni razlomci može se odvojiti točkom ili zarezom.
Na primjer: 2.1n + 3.5m = 55

Pravila za unos običnih razlomaka.
Samo cijeli broj može djelovati kao brojnik, nazivnik i cijeli broj razlomka.
Nazivnik ne može biti negativan.
Kad uđete brojčani razlomak Brojnik je odvojen od nazivnika znakom dijeljenja: /
cijeli dio odvojeno od razlomka ampersandom: &

Primjeri.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2,1p + 55 = -2/7 (3,5p - 2&1/8q)

Riješite sustav jednadžbi

Utvrđeno je da se neke skripte potrebne za rješavanje ovog zadatka nisu učitale i program možda neće raditi.
Možda imate omogućen AdBlock.
U tom slučaju, onemogućite ga i osvježite stranicu.

JavaScript je onemogućen u vašem pregledniku.
JavaScript mora biti omogućen da bi se rješenje pojavilo.
Ovdje su upute kako omogućiti JavaScript u svom pregledniku.

Jer Ima puno ljudi koji žele riješiti problem, vaš zahtjev je u redu.
Nakon nekoliko sekundi, rješenje će se pojaviti ispod.
Molim pričekajte sek...

Ako ti uočio grešku u rješenju, onda o tome možete pisati u Obrascu za povratne informacije.
Ne zaboravi naznačiti koji zadatak ti odlučuješ što unesite u polja.

Naše igre, zagonetke, emulatori:

Malo teorije.

Rješavanje sustava linearnih jednadžbi. Metoda zamjene

Redoslijed radnji pri rješavanju sustava linearnih jednadžbi metodom zamjene:
1) izraziti jednu varijablu iz neke jednadžbe sustava u terminima druge;
2) umjesto ove varijable dobiveni izraz zamijeniti drugom jednadžbom sustava;

$$ \lijevo\( \begin(niz)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(niz) \desno. $$

Izrazimo iz prve jednadžbe y kroz x: y = 7-3x. Zamjenom izraza 7-3x umjesto y u drugu jednadžbu, dobivamo sustav:
$$ \lijevo\( \begin(niz)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(niz) \desno. $$

Lako je pokazati da prvi i drugi sustav imaju ista rješenja. U drugom sustavu druga jednadžba sadrži samo jednu varijablu. Riješimo ovu jednadžbu:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Strelica desno -5x+14-6x=3 \Strelica desno -11x=-11 \Strelica desno x=1 $$

Zamjenom broja 1 umjesto x u jednadžbu y=7-3x, nalazimo odgovarajuću vrijednost y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Par (1;4) - rješenje sustava

Zovu se sustavi jednadžbi u dvije varijable koje imaju ista rješenja ekvivalent. Sustavi koji nemaju rješenja također se smatraju ekvivalentnim.

Rješavanje sustava linearnih jednadžbi zbrajanjem

Razmotrimo još jedan način rješavanja sustava linearnih jednadžbi - metodu zbrajanja. Prilikom rješavanja sustava na ovaj način, kao i kod rješavanja metodom supstitucije, prelazimo s zadanog sustava na drugi njemu ekvivalentan sustav u kojem jedna od jednadžbi sadrži samo jednu varijablu.

Redoslijed radnji pri rješavanju sustava linearnih jednadžbi metodom zbrajanja:
1) pomnožiti jednadžbe člana sustava po članu, birajući faktore tako da koeficijenti za jednu od varijabli postanu suprotni brojevi;
2) zbrajati pojam po član lijevi i desni dio jednadžbe sustava;
3) nastalu jednadžbu riješiti s jednom varijablom;
4) pronaći odgovarajuću vrijednost druge varijable.

Primjer. Riješimo sustav jednadžbi:
$$ \lijevo\( \begin(niz)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(niz) \desno. $$

U jednadžbama ovog sustava koeficijenti za y su suprotni brojevi. Zbrajajući član po član lijevi i desni dio jednadžbe, dobivamo jednadžbu s jednom varijablom 3x=33. Zamijenimo jednu od jednadžbi sustava, na primjer prvu, s jednadžbom 3x=33. Idemo po sustav
$$ \lijevo\( \begin(niz)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(niz) \desno. $$

Iz jednadžbe 3x=33 nalazimo da je x=11. Zamjenom ove vrijednosti x u jednadžbu \(x-3y=38 \) dobivamo jednadžbu s varijablom y: \(11-3y=38 \). Riješimo ovu jednadžbu:
\(-3y=27 \Strelica desno y=-9 \)

Dakle, našli smo rješenje sustava jednadžbi dodavanjem: \(x=11; y=-9 \) ili \((11; -9) \)

Koristeći činjenicu da su u jednadžbama sustava koeficijenti za y suprotni brojevi, sveli smo njegovo rješenje na rješenje ekvivalentni sustav(zbrajanjem oba dijela svake od jednadžbi izvorne sim-teme), u kojoj jedna od jednadžbi sadrži samo jednu varijablu.

Knjige (udžbenici) Sažeci Jedinstvenog državnog ispita i OGE testova online Igre, zagonetke Grafički prikaz funkcija Pravopisni rječnik ruskog jezika Rječnik slenga mladih Katalog ruskih škola Katalog srednjih škola u Rusiji Katalog ruskih sveučilišta Popis zadataka

Linearne jednadžbe su prilično bezopasna i razumljiva tema. školska matematika. Ali, začudo, broj pogrešaka iz vedra neba pri rješavanju linearnih jednadžbi tek je nešto manji nego u drugim temama - kvadratne jednadžbe, logaritmi, trigonometrija i drugi. Uzroci većine pogrešaka su banalne identične transformacije jednadžbi. Prije svega, to je zbrka u znakovima pri prijenosu članova iz jednog dijela jednadžbe u drugi, kao i pogreške pri radu s razlomcima i razlomački koeficijenti. Da da! Javljaju se i razlomci u linearnim jednadžbama! Svuda okolo. Malo niže, također ćemo analizirati takve zle jednadžbe.)

Pa, nemojmo vući mačku za rep i početi shvaćati, zar ne? Zatim čitamo i razumijemo.)

Što je linearna jednadžba? Primjeri.

Obično linearna jednadžba ima sljedeći oblik:

sjekira + b = 0,

Gdje su a i b bilo koji brojevi. Bilo što: cijeli broj, razlomak, negativan, iracionalan - svatko može biti!

Na primjer:

7x + 1 = 0 (ovdje a = 7, b = 1)

x - 3 = 0 (ovdje a = 1, b = -3)

x/2 - 1,1 = 0 (ovdje a = 1/2, b = -1,1)

Općenito, razumijete, nadam se.) Sve je jednostavno, kao u bajci. Za sada ... A ako dobro pogledate zajednički zapis ax + b = 0 bliže, ali malo promišljeno? Budući da a i b bilo koji brojevi! A ako imamo, recimo, a = 0 i b = 0 (mogu se uzeti bilo koji brojevi!), što ćemo onda dobiti?

0 = 0

Ali to nije sve zabavno! A ako je, recimo, a = 0, b = -10? Onda ispadne poprilična glupost:

0 = 10.

Što je jako, jako neugodno i podriva povjerenje u matematiku stečeno znojem i krvlju... Pogotovo u testovima i ispitima. Ali od ovih neshvatljivih i čudnih jednakosti, također trebate pronaći x! Koji uopće ne postoji! A ovdje čak i dobro pripremljeni studenti ponekad mogu pasti, kako kažu, u omamljenost... Ali ne brinite! NA ovu lekciju razmotrit ćemo i sva takva iznenađenja. I x iz takvih jednakosti također će se sigurno pronaći.) Štoviše, upravo se ovaj x traži vrlo, vrlo jednostavno. Da da! Iznenađujuće, ali istinito.)

Dobro, to je razumljivo. Ali kako po izgledu zadatka možete znati da imamo linearnu jednadžbu, a ne neku drugu? Nažalost, daleko je od uvijek moguće prepoznati vrstu jednadžbe samo po izgledu. Stvar je u tome da se linearne ne nazivaju samo jednadžbe oblika ax + b = 0, nego i sve druge jednadžbe koje se identičnim transformacijama, na ovaj ili onaj način, svode na ovaj oblik. Kako znaš da li odgovara ili ne? Dok gotovo ne riješite primjer – gotovo ništa. To je uznemirujuće. Ali za neke vrste jednadžbi moguće je, jednim brzim pogledom, odmah sa sigurnošću reći je li linearna ili ne.

Da bismo to učinili, ponovno se okrećemo cjelokupna struktura bilo koja linearna jednadžba:

sjekira + b = 0

Imajte na umu da u linearnoj jednadžbi stalno postoji samo varijabla x u prvom stupnju i neke brojke! I to je to! Ništa više. Istodobno, nema x na kvadrat, kub, ispod korijena, ispod logaritma i drugih egzotika. I (što je najvažnije!) bez razlomaka s x u nazivnicima! Ali razlomci s brojevima u nazivnicima ili dijeljenju po broju- lako!

Na primjer:

Ovo je linearna jednadžba. Jednadžba sadrži samo x na prvi stepen i brojeve. I više nema X-ova visoki stupnjevi- u kvadratu, u kocki i tako dalje. Da, ovdje postoje razlomci, ali u isto vrijeme sjede u nazivnicima razlomaka samo brojevi. Naime, dva i tri. Drugim riječima, nema dijeljenje s x.

I ovdje je jednadžba

Više se ne može nazvati linearnim, iako i ovdje postoje samo brojevi i x-ovi do prvog stupnja. Jer, između ostalog, postoje i razlomci s x-ovima u nazivnicima. A nakon pojednostavljenja i transformacija, takva jednadžba može postati bilo što: linearna i kvadratna - bilo koja.

Kako riješiti linearne jednadžbe? Primjeri.

Dakle, kako riješiti linearne jednadžbe? Čitajte dalje i budite iznenađeni.) Cijelo rješenje linearnih jednadžbi temelji se na samo dvije glavne stvari. Nabrojimo ih.

1) Skup elementarnih radnji i pravila matematike.

To je uporaba zagrada, otvaranje zagrada, rad s razlomcima, rad s negativnim brojevima, tablica množenja itd. Ova znanja i vještine nužne su ne samo za rješavanje linearnih jednadžbi, već za svu matematiku općenito. A ako je ovo problem, zapamtite mlađi razredi. Inače će vam biti teško...

2)

Samo ih je dvoje. Da da! Štoviše, ove vrlo osnovne identične transformacije leže u osnovi rješenja ne samo linearnih, nego općenito bilo koje matematičke jednadžbe! Jednom riječju, rješenje bilo koje druge jednadžbe - kvadratne, logaritamske, trigonometrijske, iracionalne itd. - u pravilu počinje s ovim osnovnim transformacijama. Ali rješenje upravo linearnih jednadžbi, zapravo, završava na njima (transformacijama). Spreman odgovor.) Stoga ne budite lijeni i prošećite vezom.) Štoviše, linearne jednadžbe se također detaljno analiziraju.

Pa, mislim da je vrijeme da počnemo s analizom primjera.

Za početak, kao zagrijavanje, razmislite o nekim elementarnim. Bez ikakvih frakcija i ostalih zvona. Na primjer, ova jednadžba:

x - 2 \u003d 4 - 5x

Ovo je klasična linearna jednadžba. Svi x su maksimalni na prvi stepen i nigdje nema dijeljenja s x. Shema rješenja u takvim jednadžbama je uvijek ista i jednostavna za užas: svi članovi s x moraju se skupiti na lijevoj strani, a svi članovi bez x (tj. brojevi) moraju se skupiti na desnoj strani. Pa krenimo skupljati.

Da bismo to učinili, pokrećemo prvu identičnu transformaciju. Moramo pomaknuti -5x ulijevo i -2 da se pomaknemo udesno. Uz promjenu predznaka, naravno.) Dakle prenosimo:

x + 5x = 4 + 2

Dobro. Pola bitke je obavljeno: x-ovi su skupljeni u hrpu, brojevi također. Sada dajemo slične s lijeve strane, a računamo s desne strane. dobivamo:

6x = 6

Što nam sada nedostaje? potpuna sreća? Da, tako da s lijeve strane ostane čisti X! A šestorica se miješa. Kako ga se riješiti? Sada krećemo s drugom identičnom transformacijom - obje strane jednadžbe dijelimo sa 6. I - voila! Odgovor spreman.)

x = 1

Naravno, primjer je prilično primitivan. Do Generalna ideja ulov. Pa, učinimo nešto značajnije. Na primjer, razmotrite sljedeću jednadžbu:

Analizirajmo ga detaljno.) Ovo je također linearna jednadžba, iako se čini da ovdje postoje razlomci. Ali u razlomcima postoji dijeljenje s dva i postoji dijeljenje s tri, ali nema dijeljenja izrazom s x! Tako da odlučujemo. Koristeći sve iste identične transformacije, da.)

Što ćemo prvo učiniti? S X - lijevo, bez X - desno? U principu je moguće i tako. Letite u Soči preko Vladivostoka.) Ili možete ići najkraćim putem, odmah koristeći univerzalnu i moćnu metodu. Ako znate identične transformacije, naravno.)

Za početak, pitam ključno pitanje: Što najviše primjećujete i što ne volite u ovoj jednadžbi? 99 od 100 ljudi kaže: razlomci! I bit će u pravu.) Zato ih se prvo riješimo. Sigurno za samu jednadžbu.) Pa počnimo odmah s druga identična transformacija- od množenja. S čim treba pomnožiti lijevu stranu da se nazivnik sigurno smanji? Tako je, duplo. A desna strana? Za tri! Ali ... Matematika je hirovita dama. Ona, znate, zahtijeva samo množenje oba dijela za isti broj! Pomnožite svaki dio svojim brojem - ne ide ... Što ćemo? Nešto... Tražite kompromis. Da udovoljimo svojim željama (riješimo se razlomaka) i ne vrijeđamo matematiku.) I pomnožimo oba dijela sa šest!) To jest, sa zajednički nazivnik sve razlomke u jednadžbi. Tada će se jednim potezom smanjiti dva, a tri!)

Ovdje se množimo. Cijela lijeva strana i cijela desna strana u potpunosti! Stoga koristimo zagrade. Ovako izgleda postupak:

Sada otvorimo ove zagrade:

Sada, predstavljajući 6 kao 6/1, pomnožite šest sa svakim od razlomaka s lijeve i desne strane. Ovo je uobičajeno množenje razlomaka, ali, neka bude, napisat ću detaljno:

I ovdje - pažnja! Uzeo sam brojnik (x-3) u zagradi! To je sve zato što se pri množenju razlomaka brojnik množi u cijelosti, u cijelosti i u potpunosti! I s izrazom x-3 potrebno je raditi kao s jednom čvrstom konstrukcijom. Ali ako brojilicu napišete ovako:

6x - 3,

Ali imamo sve kako treba i moramo to završiti. Što dalje? Otvorene zagrade u brojniku s lijeve strane? Ni u kom slučaju! Ti i ja smo oba dijela pomnožili sa 6 da bismo se riješili razlomaka, a ne da se kupamo u parnoj kupelji s otvorima zagradama. Na ovoj fazi trebamo smanjiti naše razlomke. S osjećajem dubokog zadovoljstva, sve nazivnike smanjujemo i dobivamo jednadžbu bez razlomaka, u ravnalu:

3(x-3) + 6x = 30 - 4x

A sada se preostale zagrade mogu otvoriti:

3x - 9 + 6x = 30 - 4x

Jednadžba postaje sve bolja i bolja! Sada se ponovno prisjećamo prve identične transformacije. S kamenim licem ponavljamo čaroliju iz nižim razredima: s x - lijevo, bez x - desno. I primijeni ovu transformaciju:

3x + 6x + 4x = 30 + 9

Slične dajemo lijevo i brojimo desno:

13x = 39

Ostaje podijeliti oba dijela s 13. To jest, ponovno primijeniti drugu transformaciju. Podijelimo i dobijemo odgovor:

x = 3

Posao je gotov. Kao što vidite, u zadana jednadžba prvu transformaciju (prijevod pojmova) morali smo primijeniti jednom, a drugu dvaput: na početku rješenja koristili smo množenje (sa 6) da bismo se riješili razlomaka, a na kraju rješenja koristili smo dijeljenje (po 13) da se riješimo koeficijenta ispred x. A rješenje bilo koje (da, bilo koje!) linearne jednadžbe sastoji se od kombinacije tih istih transformacija u jednom ili drugom nizu. Gdje točno početi ovisi o specifičnoj jednadžbi. Negdje je isplativije započeti s prijenosom, a negdje (kao u ovom primjeru) - s množenjem (ili dijeljenjem).

Radimo od jednostavnog do složenog. Razmislite sada o Frank tin. S hrpom razlomaka i zagrada. I reći ću vam kako se ne naprezati.)

Na primjer, evo jednadžbe:

Trenutak gledamo jednadžbu, užasnuti smo, ali ipak se saberemo! Glavni problem je odakle početi? Možete dodati razlomke na desnoj strani. Možete oduzeti razlomke u zagradama. Oba dijela možete pomnožiti s nečim. Ili podijelite ... Pa što je još moguće? Odgovor: sve je moguće! Matematika ne zabranjuje niti jednu od navedenih radnji. I bez obzira koji slijed radnji i transformacija odaberete, odgovor će uvijek biti isti – točan. Osim ako, naravno, u nekom koraku ne narušite identitet svojih transformacija i time ne pogriješite...

A, da ne bi pogriješili, u takvim fensi primjerima kao što je ovaj, uvijek je najkorisnije to procijeniti izgled i u mislima razmislite: što se u primjeru može učiniti tako da maksimum pojednostaviti u jednom koraku?

Evo nagađamo. S lijeve strane su šestice u nazivnicima. Osobno ih ne volim, ali se vrlo lako skidaju. Dopustite mi da pomnožim obje strane jednadžbe sa 6! Tada će se šestice s lijeve strane sigurno smanjiti, razlomci u zagradama još neće ići nikamo. Pa, ništa strašno. Njima ćemo se pozabaviti nešto kasnije.) Ali s desne strane smanjit će se nazivnici 2 i 3. Ovom radnjom (množenjem sa 6) postižemo maksimalno pojednostavljenje u jednom koraku!

Nakon množenja, cijela naša zla jednadžba postaje ovakva:

Ako ne razumijete kako je točno ova jednadžba ispala, onda niste dobro razumjeli analizu prethodnog primjera. I probao sam, usput...

Pa otvorimo ga:

Sada bi najlogičniji korak bio izolirati razlomke s lijeve strane i poslati 5x na desnu stranu. Istodobno, dajemo slične na desnoj strani. dobivamo:

Već puno bolje. Sada se lijeva strana pripremila za množenje. Što treba pomnožiti s lijevom stranom da se i pet i četiri odmah smanje? U 20! Ali imamo i nedostatke na obje strane jednadžbe. Stoga će biti najprikladnije obje strane jednadžbe pomnožiti ne s 20, već s -20. Tada će, u jednom naletu, minusi nestati, a razlomci.

Ovdje množimo:

Za one koji još uvijek ne razumiju ovaj korak, to znači da problemi nisu u jednadžbama. Problemi su u srži! Ponovno se sjećamo zlatno pravilo proširenje zagrada:

Ako se broj pomnoži nekim izrazom u zagradama, onda se taj broj mora sukcesivno množiti sa svakim članom samog tog izraza. Štoviše, ako je broj pozitivan, onda su znakovi izraza nakon proširenja sačuvani. Ako su negativni, oni su obrnuti:

a(b+c) = ab+ac

-a(b+c) = -ab-ac

Minusi su nestali nakon množenja oba dijela sa -20. A sada sasvim sami množimo zagrade s razlomcima s lijeve strane pozitivan broj 20. Stoga se pri otvaranju ovih zagrada čuvaju svi znakovi koji su bili unutar njih. Ali odakle su zagrade u brojnicima razlomaka, već sam detaljno objasnio u prethodnom primjeru.

A sada možete smanjiti razlomke:

4(3-5x)-5(3x-2) = 20

Proširite preostale zagrade. Opet, otvaramo ispravno. Prve zagrade se množe s pozitivnim brojem 4 i, stoga, svi znakovi ostaju sačuvani kada se otvore. Ali druge zagrade se množe s negativan broj je -5 i stoga su svi predznaci obrnuti:

12 - 20x - 15x + 10 = 20

Ostalo je praznih mjesta. S x lijevo, bez x desno:

-20x - 15x = 20 - 10 - 12

-35x = -2

To je gotovo sve. S lijeve strane trebate čist X, a broj -35 vam smeta. Dakle, oba dijela dijelimo sa (-35). Podsjećam vas da nam druga transformacija identiteta omogućuje da oba dijela pomnožimo i podijelimo što god broj. Uključujući negativnu.) Ako samo ne na nulu! Slobodno podijelite i dobijte odgovor:

X=2/35

Ovaj put se pokazalo da je X razlomak. U redu je. Takav primjer.)

Kao što vidimo, princip rješavanja linearnih jednadžbi (čak i onih najuvrnutijih) je prilično jednostavan: uzimamo izvornu jednadžbu i identičnim je transformacijama uzastopno pojednostavljujemo sve do odgovora. Uz osnove, naravno! Ovdje su glavni problemi upravo u nepoštivanju osnova (recimo, ispred zagrada je minus, a zaboravili su promijeniti znakove pri otvaranju), kao i u banalnoj aritmetici. Stoga nemojte zanemariti osnove! Oni su temelj sve ostale matematike!

Neki trikovi u rješavanju linearnih jednadžbi. Ili posebne prilike.

Sve bi bilo ništa. Međutim ... Među linearnim jednadžbama postoje i tako smiješni biseri koji ih u procesu rješavanja mogu dovesti u snažan stupor. Čak i odličan učenik.)

Na primjer, evo jednadžbe koja izgleda bezopasno:

7x + 3 = 4x + 5 + 3x - 2

Zijevajući široko i pomalo dosadno, skupljamo sve X na lijevoj strani i sve brojeve na desnoj strani:

7x-4x-3x = 5-2-3

Dajemo slične, razmatramo i dobivamo:

0 = 0

To je to! Izdan primerchik fokus! Sama po sebi, ova jednakost ne izaziva prigovore: nula je doista jednaka nuli. Ali X je nestao! Bez traga! I moramo napisati u odgovoru, što jednako x . Inače, odluka se ne razmatra, da.) Što učiniti?

Bez panike! U takvim nestandardnim slučajevima najviše opći pojmovi i načela matematike. Što je jednadžba? Kako riješiti jednadžbe? Što znači riješiti jednadžbu?

Rješavanje jednadžbe znači pronalaženje svi vrijednosti varijable x, koje, kada se zamijene u početni jednadžba će nam dati ispravnu jednakost (identitet)!

Ali imamo ispravnu jednakost već gotov! 0=0, odnosno nigdje!) Ostaje da se nagađa kod kojih x-ova dobivamo ovu jednakost. U kakve se x-ove mogu zamijeniti početni jednadžba ako se pri zamjeni svi oni još uvijek smanjiti na nulu? Zar to još nisi shvatio?

Da naravno! Xs se mogu zamijeniti bilo koji!!! Apsolutno bilo koji. Što god želite, stavite ih. Najmanje 1, najmanje -23, najmanje 2,7 - svejedno! Oni će se i dalje smanjiti i kao rezultat će ostati čista istina. Probajte, zamijenite i uvjerite se sami.)

Evo tvog odgovora:

x je bilo koji broj.

U znanstvenom zapisu ova se jednakost zapisuje ovako:

Ovaj unos glasi ovako: "X je bilo koji pravi broj."

Ili u drugom obliku, u intervalima:

Kako želite, uredite. Ovo je točan i potpuno potpun odgovor!

A sada ću promijeniti samo jedan broj u našoj izvornoj jednadžbi. Riješimo sada ovu jednadžbu:

7x + 2 = 4x + 5 + 3x - 2

Ponovno prenosimo uvjete, brojimo i dobivamo:

7x - 4x - 3x = 5 - 2 - 2

0 = 1

A kako vam se sviđa ovaj vic? Postojala je obična linearna jednadžba, ali je postojala neshvatljiva jednakost

0 = 1…

razgovarajući znanstveni jezik, dobili smo pogrešna jednakost. Ali na ruskom to nije istina. Sranje. Gluposti.) Jer nula nije jednaka jedan!

A sada opet razmišljamo kakav će nam x dobiti pri zamjeni u izvornu jednadžbu ispravna jednakost? Koji? Ali nijedan! Koji god X zamijenite, sve će se i dalje smanjiti i bit će sranja.)

Evo odgovora: nema rješenja.

U matematičkoj notaciji takav se odgovor sastavlja ovako:

Ona glasi: "X pripada praznom skupu."

Takvi su odgovori u matematici također prilično česti: nema uvijek bilo koja jednadžba u principu korijene. Neke jednadžbe možda uopće nemaju korijen. Uopće.

Evo dva iznenađenja. Nadam se da vas sada iznenadni nestanak X-ova u jednadžbi neće zauvijek zbuniti. Slučaj je prilično poznat.)

I onda čujem logično pitanje: hoće li biti u OGE ili USE? Na ispitu, sami po sebi kao zadatak - ne. Previše jednostavno. Ali u OGE-u ili u tekstualnim problemima - lako! Dakle, sada - treniramo i odlučujemo:

Odgovori (u neredu): -2; -jedan; bilo koji broj; 2; nema rješenja; 7/13.

Je li sve uspjelo? Fino! Imate dobre šanse na ispitu.

Nešto ne odgovara? Hm... Tuga, naravno. Dakle, negdje postoje praznine. Ili u osnovama ili identične transformacije. Ili je riječ o banalnoj nepažnji. Ponovno pročitajte lekciju. Jer ovo nije tema bez koje se može tako lako u matematici...

Sretno! Sigurno će vam se nasmiješiti, vjerujte!)

Linearna jednadžba je algebarska jednadžba, čiji je ukupni stupanj polinoma jednak jedan. Rješavanje linearnih jednadžbi – dio školski kurikulum, a ne najteže. Međutim, neki još uvijek imaju poteškoća u prolasku ove teme. Nadamo se da ćemo čitati dati materijal, sve poteškoće za vas ostat će u prošlosti. Pa, idemo to shvatiti. kako riješiti linearne jednadžbe.

Opći oblik

Linearna jednadžba je predstavljena kao:

• ax + b = 0, gdje su a i b bilo koji brojevi.

Iako a i b mogu biti bilo koji broj, njihove vrijednosti utječu na broj rješenja jednadžbe. Postoji nekoliko posebnih slučajeva rješenja:

• Ako je a=b=0, jednadžba ima beskonačan skup odluke;
• Ako je a=0, b≠0, jednadžba nema rješenja;
• Ako je a≠0, b=0, jednadžba ima rješenje: x = 0.

U slučaju da oba broja imaju br nulte vrijednosti, jednadžba se mora riješiti kako bi se dobio konačni izraz za varijablu.

Kako se odlučiti?

Rješavanje linearne jednadžbe znači pronaći čemu je varijabla jednaka. Kako to učiniti? Da, vrlo je jednostavno - korištenjem jednostavnih algebarskih operacija i pridržavanjem pravila prijenosa. Ako se jednadžba pojavila pred vama u općem obliku, imate sreće, sve što trebate učiniti je:

1. Pomaknite b na desnu stranu jednadžbe, ne zaboravljajući promijeniti predznak (pravilo prijenosa!), Dakle, iz izraza oblika ax + b = 0, treba dobiti izraz oblika ax = -b.
2. Primijenite pravilo: da biste pronašli jedan od faktora (x - u našem slučaju), trebate podijeliti proizvod (-b u našem slučaju) s drugim faktorom (a - u našem slučaju). Dakle, treba dobiti izraz oblika: x \u003d -b / a.

To je sve - rješenje je pronađeno!

Pogledajmo sada konkretan primjer:

1. 2x + 4 = 0 - prijenos b jednak ovaj slučaj 4, desna strana
2. 2x = -4 - podijeliti b s a (ne zaboravite znak minus)
3. x=-4/2=-2

To je sve! Naše rješenje: x = -2.

Kao što vidite, pronalaženje rješenja linearne jednadžbe s jednom varijablom je prilično jednostavno, ali sve je tako jednostavno ako imamo sreću da jednadžbu ispunimo u općem obliku. U većini slučajeva, prije rješavanja jednadžbe u dva gore opisana koraka, također je potrebno postojeći izraz dovesti u opći oblik. Međutim, to također nije zastrašujući zadatak. Pogledajmo neke posebne slučajeve s primjerima.

Rješavanje posebnih slučajeva

Prvo, pogledajmo slučajeve koje smo opisali na početku članka i objasnimo što znači imati beskonačan broj rješenja, a nema rješenja.

• Ako je a=b=0, jednadžba će izgledati ovako: 0x + 0 = 0. Izvodeći prvi korak, dobivamo: 0x = 0. Što znači ova glupost, uzviknete! Uostalom, bez obzira koji broj pomnožite s nulom, uvijek ćete dobiti nulu! Pravo! Stoga kažu da jednadžba ima beskonačan broj rješenja - koji god broj uzmete, jednakost će biti istinita, 0x \u003d 0 ili 0 \u003d 0.
• Ako je a=0, b≠0, jednadžba će izgledati ovako: 0x + 3 = 0. Izvodimo prvi korak, dobivamo 0x = -3. Opet gluposti! Očito je da ta jednakost nikada neće biti istinita! Zato kažu da jednadžba nema rješenja.
• Ako je a≠0, b=0, jednadžba će izgledati ovako: 3x + 0 = 0. Prvim korakom dobivamo: 3x = 0. Koje je rješenje? Lako je, x = 0.

Poteškoće u prijevodu

Opisani konkretni slučajevi nisu sve čime nas linearne jednadžbe mogu iznenaditi. Ponekad je jednadžba općenito teško prepoznati na prvi pogled. Uzmimo primjer:

• 12x - 14 = 2x + 6

Je li ovo linearna jednadžba? Ali što je s nulom na desnoj strani? Nećemo žuriti sa zaključcima, djelovat ćemo - prenijet ćemo sve komponente naše jednadžbe na lijeva strana. dobivamo:

• 12x - 2x - 14 - 6 = 0

Sada oduzimanjem sličnog od sličnog, dobivamo:

• 10x - 20 = 0

Naučeno? Najlinearnija jednadžba ikad! Čije rješenje: x = 20/10 = 2.

Što ako imamo ovaj primjer:

• 12((x + 2)/3) + x) = 12 (1 - 3x/4)

Da, ovo je također linearna jednadžba, samo treba napraviti još transformacija. Prvo proširimo zagrade:

1. (12(x+2)/3) + 12x = 12 - 36x/4
2. 4(x+2) + 12x = 12 - 36x/4
3. 4x + 8 + 12x = 12 - 9x - sada izvršite prijenos:
4. 25x - 4 = 0 - ostaje pronaći rješenje prema već poznatoj shemi:
5. 25x=4
6. x = 4/25 = 0,16

Kao što vidite, sve je riješeno, glavna stvar je ne brinuti, već djelovati. Zapamtite, ako vaša jednadžba sadrži samo varijable prvog stupnja i brojeve, ovo je linearna jednadžba, koja se, bez obzira kako izgleda u početku, može svesti na opći oblik i riješiti. Nadamo se da će vam sve uspjeti! Sretno!

Sustavi jednadžbi se široko koriste u gospodarska industrija na matematičko modeliranje razne procese. Na primjer, kod rješavanja problema upravljanja i planiranja proizvodnje, logističkih ruta ( transportni zadatak) ili postavljanje opreme.

Sustavi jednadžbi koriste se ne samo u području matematike, već iu fizici, kemiji i biologiji, kada se rješavaju problemi određivanja veličine populacije.

Sustav linearnih jednadžbi je pojam za dvije ili više jednadžbi s više varijabli za koje je potrebno pronaći zajedničko rješenje. Takav niz brojeva za koji sve jednadžbe postaju istinite jednakosti ili dokazuju da niz ne postoji.

Linearna jednadžba

Jednadžbe oblika ax+by=c nazivamo linearnim. Oznake x, y su nepoznanice, čija se vrijednost mora pronaći, b, a su koeficijenti varijabli, c je slobodni član jednadžbe.
Rješavanje jednadžbe iscrtavanjem njezina grafa izgledat će kao ravna crta, čije su sve točke rješenje polinoma.

Vrste sustava linearnih jednadžbi

Najjednostavniji su primjeri sustava linearnih jednadžbi s dvije varijable X i Y.

F1(x, y) = 0 i F2(x, y) = 0, gdje su F1,2 funkcije, a (x, y) funkcionalne varijable.

Riješite sustav jednadžbi - to znači pronaći takve vrijednosti (x, y) za koje sustav postaje istinska jednakost, ili utvrditi da ne postoje prikladne vrijednosti za x i y.

Par vrijednosti (x, y), zapisan kao koordinate točke, naziva se rješenjem sustava linearnih jednadžbi.

Ako sustavi imaju jedno zajedničko rješenje ili ga nema, nazivaju se ekvivalentnim.

Homogeni sustavi linearnih jednadžbi su sustavi desni diošto je jednako nuli. Ako desni dio iza znaka "jednako" ima vrijednost ili je izražen funkcijom, takav sustav nije homogen.

Broj varijabli može biti puno veći od dvije, tada treba govoriti o primjeru sustava linearnih jednadžbi s tri ili više varijable.

Suočeni sa sustavima, školarci pretpostavljaju da se broj jednadžbi nužno mora podudarati s brojem nepoznanica, ali to nije tako. Broj jednadžbi u sustavu ne ovisi o varijablama, može ih biti proizvoljno velik broj.

Jednostavne i složene metode za rješavanje sustava jednadžbi

Ne postoji opći analitički način rješavanja slični sustavi, sve metode se temelje na numerička rješenja. NA školski tečaj Matematika detaljno opisuje metode kao što su permutacija, algebarsko zbrajanje, supstitucija, kao i grafičke i matrična metoda, rješenje Gaussovom metodom.

Glavni zadatak u nastavnim metodama rješavanja je naučiti kako pravilno analizirati sustav i pronaći optimalni algoritam rješenja za svaki primjer. Glavna stvar nije zapamtiti sustav pravila i radnji za svaku metodu, već razumjeti principe primjene određene metode.

Rješavanje primjera sustava linearnih jednadžbi 7. razreda programa Srednja škola prilično jednostavno i vrlo detaljno objašnjeno. U bilo kojem udžbeniku matematike ovom se dijelu posvećuje dovoljno pažnje. Rješenje primjera sustava linearnih jednadžbi po Gaussovoj i Cramerovoj metodi detaljnije se proučava na prvim kolegijima visokih učilišta.

Rješenje sustava metodom supstitucije

Radnje metode zamjene usmjerene su na izražavanje vrijednosti jedne varijable kroz drugu. Izraz se zamjenjuje u preostalu jednadžbu, a zatim se svodi na jedan oblik varijable. Radnja se ponavlja ovisno o broju nepoznanica u sustavu

Navedimo primjer sustava linearnih jednadžbi 7. klase metodom supstitucije:

Kao što se može vidjeti iz primjera, varijabla x izražena je kroz F(X) = 7 + Y. Dobiveni izraz, zamijenjen u 2. jednadžbu sustava umjesto X, pomogao je da se dobije jedna varijabla Y u 2. jednadžbi . Odluka ovaj primjer ne uzrokuje poteškoće i omogućuje dobivanje vrijednosti Y. Zadnji korak je provjera primljenih vrijednosti.

Primjer sustava linearnih jednadžbi nije uvijek moguće riješiti zamjenom. Jednadžbe mogu biti složene i izraz varijable u terminima druge nepoznanice bit će previše glomazan za daljnje izračune. Kada u sustavu ima više od 3 nepoznanice, rješenje zamjene je također nepraktično.

Rješenje primjera sustava linearnih nehomogenih jednadžbi:

Rješenje pomoću algebarskog zbrajanja

Prilikom traženja rješenja sustava metodom zbrajanja, zbrajanjem po članu i množenjem jednadžbi s razni brojevi. Konačni cilj matematičkih operacija je jednadžba s jednom varijablom.

Za aplikacije ovu metodu potrebna je praksa i promatranje. Sustav linearnih jednadžbi nije lako riješiti metodom zbrajanja s brojem varijabli 3 ili više. Algebarsko zbrajanje je korisno kada jednadžbe sadrže razlomke i decimalne brojeve.

Algoritam djelovanja rješenja:

1. Pomnožite obje strane jednadžbe nekim brojem. Kao rezultat aritmetička operacija jedan od koeficijenata varijable mora postati jednak 1.
2. Zbrojite rezultirajući izraz pojam po član i pronađite jednu od nepoznanica.
3. Zamijenite rezultirajuću vrijednost u 2. jednadžbu sustava kako biste pronašli preostalu varijablu.

Metoda rješenja uvođenjem nove varijable

Nova varijabla se može uvesti ako sustav treba pronaći rješenje za najviše dvije jednadžbe, broj nepoznanica također ne smije biti veći od dvije.

Metoda se koristi za pojednostavljenje jedne od jednadžbi uvođenjem nove varijable. Nova jednadžba se rješava s obzirom na unesenu nepoznanicu, a dobivena vrijednost se koristi za određivanje izvorne varijable.

Primjer pokazuje da je uvođenjem nove varijable t bilo moguće svesti 1. jednadžbu sustava na standardnu kvadratni trinom. Polinom možete riješiti pronalaženjem diskriminanta.

Potrebno je pronaći vrijednost diskriminanta po dobro poznata formula: D = b2 - 4*a*c, gdje je D željeni diskriminant, b, a, c su množitelji polinoma. NA dati primjer a=1, b=16, c=39, dakle D=100. Ako diskriminant Iznad nule, tada postoje dva rješenja: t = -b±√D / 2*a, ako je diskriminant manji od nule, tada postoji samo jedno rješenje: x= -b / 2*a.

Rješenje za dobivene sustave nalazi se metodom zbrajanja.

Vizualna metoda za rješavanje sustava

Pogodno za sustave s 3 jednadžbe. Metoda je nadograditi koordinatna os grafovi svake jednadžbe uključene u sustav. Koordinate točaka presjeka krivulja i bit će zajedničko rješenje sustava.

Grafička metoda ima niz nijansi. Razmotrimo nekoliko primjera rješavanja sustava linearnih jednadžbi na vizualni način.

Kao što se može vidjeti iz primjera, dvije točke su konstruirane za svaku liniju, vrijednosti varijable x odabrane su proizvoljno: 0 i 3. Na temelju vrijednosti x pronađene su vrijednosti za y: 3 i 0. Točke s koordinatama (0, 3) i (3, 0) označene su na grafu i povezane linijom.

Koraci se moraju ponoviti za drugu jednadžbu. Točka presjeka linija je rješenje sustava.

Sljedeći primjer treba pronaći grafičko rješenje sustavi linearnih jednadžbi: 0,5x-y+2=0 i 0,5x-y-1=0.

Kao što se vidi iz primjera, sustav nema rješenja, jer su grafovi paralelni i ne sijeku se cijelom dužinom.

Sustavi iz primjera 2 i 3 su slični, ali kada se konstruiraju, postaje očito da su njihova rješenja različita. Treba imati na umu da nije uvijek moguće reći ima li sustav rješenje ili ne, uvijek je potrebno izgraditi graf.

Matrica i njezine vrste

Matrice se koriste za skraćenica sustavi linearnih jednadžbi. Tablica se naziva matrica. posebna vrsta ispunjen brojevima. n*m ima n - redaka i m - stupaca.

Matrica je kvadratna kada je broj stupaca i redaka jednak. Matrica - vektor je matrica jednog stupca s beskonačno mogući broj linije. Matrica s jedinicama duž jedne od dijagonala i drugim nultim elementima naziva se identitet.

Inverzna matrica je takva matrica, kada se pomnoži s kojom se originalna pretvara u jediničnu, takva matrica postoji samo za izvornu kvadratnu.

Pravila za pretvaranje sustava jednadžbi u matricu

Što se tiče sustava jednadžbi, koeficijenti i slobodni članovi jednadžbe zapisuju se kao brojevi matrice, jedna jednadžba je jedan red matrice.

Redak matrice naziva se ne-nula ako barem jedan element retka nije jednak nuli. Stoga, ako se u bilo kojoj od jednadžbi razlikuje broj varijabli, tada je potrebno unijeti nulu umjesto nepoznate koja nedostaje.

Stupci matrice moraju striktno odgovarati varijablama. To znači da se koeficijenti varijable x mogu upisati samo u jedan stupac, na primjer prvi, koeficijent nepoznatog y - samo u drugi.

Prilikom množenja matrice svi elementi matrice se sekvencijalno množe brojem.

Mogućnosti za pronalaženje inverzne matrice

Formula za pronalaženje inverzne matrice je prilično jednostavna: K -1 = 1 / |K|, gdje je K -1 - inverzna matrica, i |K| - matrična determinanta. |K| ne smije biti jednak nuli, tada sustav ima rješenje.

Determinanta se lako izračunava za matricu dva po dva, potrebno je samo pomnožiti elemente međusobno dijagonalno. Za opciju "tri po tri" postoji formula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Možete koristiti formulu, ili se možete sjetiti da trebate uzeti po jedan element iz svakog retka i svakog stupca kako se brojevi stupaca i redaka elemenata ne bi ponavljali u proizvodu.

Rješenje primjera sustava linearnih jednadžbi matričnom metodom

Matrična metoda pronalaženja rješenja omogućuje smanjenje glomaznih zapisa pri rješavanju sustava s velika količina varijable i jednadžbe.

U primjeru, a nm su koeficijenti jednadžbi, matrica je vektor x n su varijable, a b n su slobodni članovi.

Rješenje sustava Gaussovom metodom

NA viša matematika Gaussova metoda proučava se zajedno s Cramerovom metodom, a proces pronalaženja rješenja za sustave naziva se Gauss-Cramerova metoda rješenja. Ove metode se koriste za pronalaženje varijable sustava s puno linearnih jednadžbi.

Gaussova metoda je vrlo slična rješenjima koja koriste supstitucije i algebarsko zbrajanje ali sustavnije. U školskom se kolegiju Gaussovo rješenje koristi za sustave 3 i 4 jednadžbe. Svrha metode je dovesti sustav u oblik obrnutog trapeza. Algebarskim transformacijama i supstitucijama vrijednost jedne varijable nalazi se u jednoj od jednadžbi sustava. Druga jednadžba je izraz s 2 nepoznanice, a 3 i 4 - s 3 odnosno 4 varijable.

Nakon dovođenja sustava u opisani oblik, daljnje rješenje se svodi na sekvencijalnu zamjenu poznatih varijabli u jednadžbe sustava.

U školskim udžbenicima za 7. razred primjer Gaussovog rješenja opisan je kako slijedi:

Kao što se može vidjeti iz primjera, u koraku (3) dobivene su dvije jednadžbe 3x 3 -2x 4 =11 i 3x 3 +2x 4 =7. Rješenje bilo koje od jednadžbi omogućit će vam da saznate jednu od varijabli x n.

Teorem 5, koji se spominje u tekstu, kaže da ako se jedna od jednadžbi sustava zamijeni ekvivalentnom, tada će i rezultirajući sustav biti ekvivalentan izvornom.

Gaussovu metodu učenicima je teško razumjeti Srednja škola, ali je jedan od najzanimljivijih načina za razvijanje domišljatosti djece upisane u program dubinsko proučavanje na satovima matematike i fizike.

Radi lakšeg snimanja izračuna, uobičajeno je učiniti sljedeće:

Koeficijenti jednadžbi i slobodni članovi zapisani su u obliku matrice, pri čemu svaki red matrice odgovara jednoj od jednadžbi sustava. odvaja lijevu stranu jednadžbe od desne strane. Rimski brojevi označavaju brojeve jednadžbi u sustavu.

Najprije zapisuju matricu s kojom će raditi, a zatim sve radnje provedene s jednim od redaka. Rezultirajuća matrica se upisuje nakon znaka "strelica" i nastavlja izvoditi potrebne algebarske operacije dok se ne postigne rezultat.

Kao rezultat, trebala bi se dobiti matrica u kojoj je jedna od dijagonala 1, a svi ostali koeficijenti jednaki nuli, odnosno matrica se svodi na jedan oblik. Ne smijemo zaboraviti napraviti izračune s brojevima obje strane jednadžbe.

Ova oznaka je manje glomazna i omogućuje vam da vas ne ometa navođenje brojnih nepoznanica.

Besplatna primjena bilo koje metode rješenja zahtijevat će brigu i određeno iskustvo. Ne primjenjuju se sve metode. Neki načini pronalaženja rješenja su poželjniji u određenom području ljudske djelatnosti, dok drugi postoje u svrhu učenja.