Ministarstvo obrazovanja i znanosti Ruske Federacije

savezni državni proračun obrazovna ustanova

viši strukovno obrazovanje

„Državno pedagoško sveučilište u Tuli. L. N. Tolstoj»

(FGBOU VPO "TSPU nazvan po L. N. Tolstoju")

Zavod za algebru, matematičku analizu i geometriju

PREDMETNI RAD

u disciplini "Metode izvođenja nastave: metode nastave matematike"

na temu:

"METOD PROUČAVANJA TEORIJE VJEROJATNOSTI U ŠKOLSKOM PREDMETU MATEMATIKE"

Završeno:

Student 3. godine grupe 120922

Fakultet matematike, fizike i informatike

smjer "Pedagoško obrazovanje"

profili "Fizika" i "Matematika"

Ničepurenko Natalija Aleksandrovna

Nadglednik:

pomoćnik

Rarova E.M.

Tula 2015

Uvod………………………………………………………………………………………...3

Poglavlje 1: Osnovni koncepti……………………………………………………………6

1.1 Elementi kombinatorike………………………………………………………………………6

1.2 Teorija vjerojatnosti………………………………………………………………………….8

2. Poglavlje: Metodički aspekti proučavanja "Teorije vjerojatnosti" u školskom kolegiju algebre………………………………………………………………….….24

Poglavlje 3: Ulomak lekcije iz algebre na temu “Teorija vjerojatnosti”……….32

Zaključak

Književnost

UVOD

Pitanje poboljšanja matematičko obrazovanje u domaćoj školi postavili su početkom 60-ih godina 20. stoljeća istaknuti matematičari B.V. Gnedenko, A.N. Kolmogorov, I.I. Kikoin, A.I. Markushevich, A.Ya. Khinčin. B.V. Gnedenko je napisao: „Pitanje uvođenja elemenata vjerojatnost-statističkog znanja u školski kurikulum matematike odavno je zakašnjelo i ne tolerira daljnje odgađanje. Zakoni krute determinacije, na čijem proučavanju naš školsko obrazovanje, samo jednostrano otkrivaju bit okolnog svijeta. Nasumična priroda mnogih pojava stvarnosti je izvan pažnje naših školaraca. Zbog toga su njihove ideje o prirodi mnogih prirodnih i društvenih procesa jednostrane i neadekvatne. moderna znanost. Treba ih upoznati statistički zakoni otkrivajući višestruke veze postojanja predmeta i pojava.

U I. Levin je napisao: „... Mora se odgajati statistička kultura neophodna za ... djelatnost ranih godina. Nije slučajno da se u razvijenim zemljama tome pridaje velika pažnja: studenti se od prvog dana upoznaju s elementima teorije vjerojatnosti i statistike. školske godine a tijekom osposobljavanja uče probabilističko-statističke pristupe analizi uobičajenih situacija s kojima se susreću u svakodnevnom životu.

Reformom 80-ih godina 20. stoljeća elementi teorije vjerojatnosti i statistike uključeni su u programe specijalističke nastave, posebice fizike, matematike i prirodnih znanosti, kao i u izborni predmet studija matematike.

S obzirom na hitnu potrebu za razvojem individualnih kvaliteta mišljenja učenika, pojavljuju se autorski radovi izborni tečajevi o teoriji vjerojatnosti. Primjer za to može biti tečaj N.N. Avdeeva o statistici za 7. i 9. razred i tečaju elemenata matematičke statistike za 10. razred srednje škole. U 10. razredu provedeni su testovi čiji su rezultati, kao i zapažanja učitelja i anketiranje učenika, pokazali da je predloženi materijal učenicima prilično pristupačan, uzrokovao im veliki interes pokazujući specifična primjena matematike do rješavanja praktičnih problema znanosti i tehnologije.

Proces uvođenja elemenata teorije vjerojatnosti u obvezni tečajškolska matematika pokazala se vrlo teški rad. Postoji mišljenje da je za asimilaciju načela teorije vjerojatnosti potrebna preliminarna zaliha ideja, ideja, navika, koje se bitno razlikuju od onih koje školarci razvijaju tijekom tradicionalnog obrazovanja u sklopu upoznavanja sa zakonima strogo uvjetovanih pojava. . Stoga bi, prema brojnim učiteljima – matematičarima, teorija vjerojatnosti trebala ući u školsku matematiku kao neovisna sekcija, čime bi se osiguralo formiranje, sistematizacija i razvoj predodžbi o vjerojatnosnoj prirodi pojava svijeta oko nas.

Budući da je studij teorije vjerojatnosti nedavno uveden u školski kurikulum, trenutno postoje problemi s implementacijom ovog gradiva u školske udžbenike. Također, zbog specifičnosti ovog kolegija, broj metodička literatura također još malen. Prema pristupima navedenim u velikoj većini literature, smatra se da bi glavna stvar u proučavanju ove teme trebala biti praktično iskustvo studenata, stoga je preporučljivo započeti obuku s pitanjima u kojima je potrebno pronaći rješenje problema postavljenog u pozadini stvarne situacije. U procesu učenja ne treba dokazivati ​​sve teoreme, jer se na to troši mnogo vremena, dok je zadatak kolegija formiranje korisnih vještina, a sposobnost dokazivanja teorema ne vrijedi za takve vještine.

Nastanak teorije vjerojatnosti dogodio se u potrazi za odgovorom na pitanje: koliko često se ovaj ili onaj događaj događa u većem nizu ispitivanja sa slučajnim ishodima koji se događaju pod istim uvjetima?

Procjenjujući mogućnost nekog događaja, često kažemo: „Vrlo je moguće“, „Svakako će se dogoditi“, „Malo je vjerojatno“, „Nikad se neće dogoditi“. Kupnjom srećke možete dobiti, ali ne možete dobiti; sutra na satu matematike možete, ali ne morate biti pozvani na ploču; na sljedećim izborima vladajuća stranka može ili ne mora pobijediti.

Razmotrimo jednostavan primjer.Što mislite, u koliko bi ljudi trebalo biti određena grupa tako da barem dvoje od njih imaju isti rođendan s vjerojatnošću od 100% (misli se na dan i mjesec bez uzimanja u obzir godine rođenja)? To ne znači prijestupna godina, tj. godinu sa 365 dana. Odgovor je očit – u grupi bi trebalo biti 366 ljudi. Sad još jedno pitanje: koliko bi ljudi trebalo biti da se nađe par s istim rođendanom s vjerojatnošću od 99,9%?Na prvi pogled sve je jednostavno - 364 osobe. Zapravo, dovoljno je 68 ljudi!

Ovdje, kako bi se izvršili tako zanimljivi izračuni inapravimo neobična otkrića za sebe, proučavat ćemo takav dio matematike "Teoriju vjerojatnosti".

Svrha kolegija je proučavanje temelja teorije vjerojatnosti u školskom kolegiju matematike. Za postizanje ovog cilja formulirani su sljedeći zadaci:

1. Razmotrite metodološke aspekte studije"Teorija vjerojatnosti" u školskom kolegiju algebre.
   1. U školskom kolegiju upoznajte osnovne definicije i teoreme o "Teoriji vjerojatnosti".
      1. Smatrati detaljno rješenje zadaci na temu nastavnog rada.
      2. Razviti ulomak lekcije na temu nastavnog rada.

Poglavlje 1: Osnovni pojmovi

1.1 Elementi kombinatorike

Proučavanje kolegija treba započeti proučavanjem osnova kombinatorike, a paralelno treba proučavati teoriju vjerojatnosti, budući da se kombinatorika koristi u izračunavanju vjerojatnosti.Metode kombinatorike imaju široku primjenu u fizici, kemiji, biologiji, ekonomiji i drugim područjima znanja.

U znanosti i praksi često se javljaju problemi za čije rješavanje morate napraviti različite kombinacije od konačnog broja elemenata.i prebrojite broj kombinacija. Takvi se problemi nazivaju kombinatornim problemima, a grana matematike koja se bavi tim problemima naziva se kombinatorika.

Kombinatorika je proučavanje načina brojanja elemenata u konačnim skupovima. Za izračunavanje vjerojatnosti koriste se kombinatoričke formule.

Razmotrimo neki skup X koji se sastoji od n elemenata. Odabrat ćemo iz ovog skupa razne uređene podskupove Y od k elemenata.

Raspored n elemenata skupa X po k elemenata je bilo koji uređeni skup () elemenata skupa X.

Ako se izbor elemenata skupa Y iz X dogodi s povratom, t.j. svaki element skupa X može se odabrati nekoliko puta, tada se broj položaja od n do k nalazi po formuli (smještaj s ponavljanjima).

Ako je izbor napravljen bez povrata, t.j. svaki element skupa X može se odabrati samo jednom, tada se broj položaja od n do k označava i određuje jednakošću

(pozicioniranje bez ponavljanja).

Poziva se poseban slučaj postavljanja za n=k permutacija od n elemenata. Broj svih permutacija od n elemenata je

Sada neka se iz skupa X odabere neuređeni podskup Y (redoslijed elemenata u podskupu nije bitan). Kombinacije n elemenata po k su podskupovi od k elemenata koji se međusobno razlikuju za najmanje jedan element. Ukupan broj svih kombinacija od n do k je označen i jednak

Važeće jednakosti: ,

Prilikom rješavanja zadataka kombinatorika koristi sljedeća pravila:

Pravilo zbroja. Ako se neki objekt A može izabrati iz zbirke objekata na m načina, a drugi objekt B može se izabrati na n načina, tada se ili A ili B može izabrati na m + n načina.

Pravilo proizvoda. Ako se objekt A može izabrati iz skupa objekata na m načina, a nakon svakog takvog izbora objekt B može se izabrati na n načina, tada se par objekata (A, B) u navedenom redoslijedu može odabrati u m * n načine.

1.2 Teorija vjerojatnosti

U svakodnevnom životu, u praktičnom i znanstvena djelatnostčesto promatramo određene pojave, provodimo određene eksperimente.

Događaj koji se može ili ne mora dogoditi tijekom promatranja ili eksperimenta naziva seslučajni događaj. Na primjer, žarulja visi ispod stropa - nitko ne zna kada će pregorjeti.Svaki slučajni događaj- postoji posljedica djelovanja vrlo mnogo slučajnih varijabli (sila kojom je novčić bačen, oblik novčića i još mnogo toga). Nemoguće je uzeti u obzir utjecaj svih ovih uzroka na rezultat, budući da je njihov broj velik, a zakoni djelovanja nepoznati.Obrasce slučajnih događaja proučava posebna grana matematike tzvteorija vjerojatnosti.

Teorija vjerojatnosti ne postavlja sebi zadatak predviđanja hoće li se dogoditi ili ne - ona to jednostavno ne može učiniti. Ako pričamo o masivnim homogenim slučajnim događajima, onda se oni pokoravaju određenim zakonima, naime vjerojatnostim zakonima.

Prvo, pogledajmo klasifikaciju događaja.

Razlikovati događaje zglobne i nezglobne . Događaji se nazivaju zajedničkim ako pojava jednog od njih ne isključuje pojavu drugog. Inače se događaji nazivaju nespojivim. Na primjer, bacite dva kocke. Događaj A - tri boda na prvom kocku, događaj B - tri boda na drugom kocku. A i B su zajednički događaji. Neka trgovina dobije seriju cipela istog stila i veličine, ali druge boje. Događaj A - nasumično uzeta kutija bit će s crnim cipelama, događaj B - kutija će biti s cipelama Smeđa, A i B su nekompatibilni događaji.

Događaj se zove pouzdan ako se to nužno dogodi u uvjetima zadanog pokusa.

Događaj se zove nemoguće ako se ne može dogoditi u uvjetima zadanog pokusa. Na primjer, slučaj da se standardni dio uzme iz serije standardnih dijelova je siguran, ali nestandardni dio je nemoguć.

Događaj se zove moguće ili nasumično , ako se kao rezultat iskustva može pojaviti ili ne mora. Primjer slučajnog događaja je otkrivanje nedostataka proizvoda tijekom kontrole serije gotovih proizvoda, nesklad između veličine obrađenog proizvoda i zadanog, kvar jedne od karika automatiziranog sustava upravljanja.

Događaji se zovujednako mogućeako u uvjetima testa nijedan od ovih događaja nije objektivno vjerojatniji od ostalih. Na primjer, pretpostavimo da je trgovina opskrbljena žaruljama (i to u jednakim količinama) od nekoliko proizvođača. Događaji koji se sastoje od kupnje žarulje iz bilo koje od ovih tvornica jednako su vjerojatni.

Važan koncept jepunu grupu događaja. Nekoliko događaja u danom eksperimentu čini kompletnu grupu ako se barem jedan od njih nužno pojavi kao rezultat eksperimenta. Na primjer, u urni se nalazi deset kuglica, od kojih je šest crvenih i četiri bijele, od kojih je pet numerirano. A - izgled crvene kuglice na jednom crtežu, B - izgled bijele kuglice, C - izgled lopte s brojem. Događaji A,B,Cčine cjelovitu grupu zajedničkih događaja.

Događaj može bitisuprotan, ili dodatno . Suprotni događaj se shvaća kao događaj koji se nužno mora dogoditi ako se nije dogodio neki događaj A. Suprotni događaji su nespojljivi i jedini su mogući. Oni čine cjelovitu skupinu događaja. Na primjer, ako se serija proizvedenih artikala sastoji od dobrih i neispravnih, onda kada se jedan artikl ukloni, može se pokazati ili dobar - događaj A, ili neispravan - događaj.

Razmotrimo primjer. Bacaju kocku (tj. malu kocku, na čijim stranama se izbijaju točke 1, 2, 3, 4, 5, 6). Kad se na njegovu baci kocka gornje lice mogu ispasti jedan bod, dva boda, tri boda itd. Svaki od ovih ishoda je slučajan.

Takav test je proveden. Kocka je bačena 100 puta i promatrano koliko se puta dogodio događaj "6 bodova palo na kockicu". Pokazalo se da je u ovoj seriji eksperimenata "šestica" ispala 9 puta. Broj 9, koji pokazuje koliko se puta u ovom ispitivanju dogodio dotični događaj, naziva se učestalost ovog događaja, a omjer učestalosti i ukupni broj testovi, jednaki, naziva se relativna učestalost ovog događaja.

Općenito, neka se određeni test provodi više puta pod istim uvjetima, i u isto vrijeme, svaki put se fiksira je li se događaj koji nas zanima dogodio ili ne. A. Vjerojatnost događaja označava se velikim slovom P. Tada će se vjerojatnost događaja A označiti: P(A).

Klasična definicija vjerojatnosti:

Vjerojatnost događaja A jednak je omjeru broja slučajeva m povoljno za njega, od ukupnog broja n jedini mogući, jednako mogući i nespojivi slučajevi broju n, tj.

Stoga, pronaći vjerojatnost potrebni su događaji:

1. razmotriti različite ishode ispitivanja;
2. pronaći skup jedinstvenih, jednako mogućih i nekompatibilnih slučajeva, izračunati njihov ukupan broj n , broj slučajeva m povoljan za ovaj događaj;
3. izvršiti izračun formule.

Iz formule proizlazi da je vjerojatnost događaja nenegativan broj i može varirati od nule do jedan, ovisno o udjelu povoljnog broja slučajeva od ukupnog broja slučajeva:

Razmotrimo još jedan primjer.U kutiji se nalazi 10 loptica. 3 od njih su crvene, 2 zelene, ostale bijele. Pronađite vjerojatnost da je nasumično izvučena loptica crvena, zelena ili bijela. Pojava crvene, zelene i bijeli baloničine cjelovitu skupinu događaja. Označimo pojavu crvene kuglice - događaj A, pojavu zelene - događaj B, pojavu bijele - događaj C. Zatim, u skladu s gore napisanim formulama, dobivamo:

Imajte na umu da je vjerojatnost pojavljivanja jednog od dva parno nekompatibilna događaja jednaka zbroju vjerojatnosti tih događaja.

Relativna frekvencijadogađaj A je omjer broja eksperimenata koji su rezultirali događajem A prema ukupnom broju eksperimenata. Razlika između relativne frekvencije i vjerojatnosti leži u činjenici da se vjerojatnost izračunava bez izravnog umnožaka eksperimenata, a relativna učestalost - nakon iskustva.

Dakle, u gornjem primjeru, ako se 5 kuglica nasumično izvuče iz kutije i 2 od njih ispadne crvene, tada je relativna učestalost pojavljivanja crvene kuglice:

Kao što se može vidjeti, ova vrijednost se ne podudara s pronađenom vjerojatnošću. Kad dosta veliki brojevi U provedenim eksperimentima, relativna frekvencija se malo mijenja, fluktuirajući oko jednog broja. Taj se broj može uzeti kao vjerojatnost događaja.

geometrijska vjerojatnost.Klasična definicija vjerojatnosti pretpostavlja da je broj elementarnih ishoda sigurno što također ograničava njegovu primjenu u praksi.

U slučaju da se test sa beskrajna broj ishoda, upotrijebite definiciju geometrijske vjerojatnosti - pogoditi točku u nekom području.

Prilikom utvrđivanja geometrijski vjerojatnosti pretpostavljaju da postoji područje N a ima manju površinu M. U područje N baci točku nasumce (to znači da su sve točke u tom području N su “jednake” s obzirom na pogađanje nasumično bačene točke tamo).

Događaj A – “pogodan bačenom točkom u prostor M". Regija M nazvan povoljnim događajem A.

Vjerojatnost udara u bilo koji dio područja N proporcionalno mjeri ovog dijela i ne ovisi o njegovu položaju i obliku.

Područje koje pokriva geometrijska vjerojatnost može biti:

1. segment (mjera je duljina)
2. geometrijski lik u ravnini (površina je mjera)
3. geometrijsko tijelo u prostoru (mjera je volumen)

Definirajmo geometrijsku vjerojatnost za slučaj plosnati lik.

Neka površina M dio je područja N. Događaj A sastoji se u udaranju nasumično bačenog na područje N ukazuje na područje M . geometrijska vjerojatnost događaji A naziva se omjer površina M na područje područja N :

U ovom slučaju, vjerojatnost da nasumično bačena točka udari granicu regije smatra se jednakom nuli.

Razmotrimo primjer: mehanički sat s brojčanikom za dvanaest sati pokvario se i prestao raditi. Nađite vjerojatnost da je kazaljka za sat zamrznuta na 5 sati, ali ne i na 8 sati.

Odluka. Broj ishoda je beskonačan, primjenjujemo definiciju geometrijske vjerojatnosti. Sektor između 5 i 8 sati dio je područja cijelog brojčanika, dakle, .

Operacije na događajima:

Događaji A i B se nazivaju jednak ako pojava događaja A povlači za sobom pojavu događaja B i obrnuto.

Unija ili zbroj događaj se naziva događaj A, što znači pojavu barem jednog od događaja.

Raskrižje ili proizvod događaja naziva se događaj A, koji se sastoji u provedbi svih događaja.

A =∩

razlika događaji A i B nazivaju se događajem C, što znači da se događaj A događa, ali događaj B ne.

C=A\B

Primjer:

A+B - “valjano 2; 4; 6 ili 3 boda"

A ∙ B – “ispalo je 6 bodova”

A-B – “ispao 2 i 4 boda”

Dodatni događaj A naziva se događaj, što znači da se događaj A ne događa.

elementarni ishodiiskustvom se nazivaju takvi rezultati iskustva koji se međusobno isključuju i kao rezultat iskustva dolazi do jednog od tih događaja, također kakav god da je događaj A, prema elementarnom ishodu koji je nastupio može se prosuditi hoće li se taj događaj dogoditi ili ne pojaviti.

Zove se ukupnost svih elementarnih ishoda iskustvaprostor elementarnih događaja.

Svojstva vjerojatnosti:

Svojstvo 1. Ako su svi slučajevi povoljni za dati događaj A , tada se ovaj događaj mora dogoditi. Stoga je dotični događaj pouzdan

Svojstvo 2. Ako nema slučaja povoljnog za ovaj događaj A , tada se ovaj događaj ne može dogoditi kao rezultat eksperimenta. Stoga je dotični događaj nemoguće , te vjerojatnost njegove pojave, budući da u ovom slučaju m=0:

Svojstvo 3. Vjerojatnost nastanka događaja koji čine kompletnu grupu jednaka je jedan.

Svojstvo 4. Vjerojatnost nastanka suprotnog događaja definira se na isti način kao i vjerojatnost nastanka događaja A:

gdje je (n - m ) je broj slučajeva koji pogoduju nastanku suprotnog događaja. Dakle, vjerojatnost da se dogodi suprotan događaj jednaka je razlici između jedinice i vjerojatnosti da će se događaj dogoditi A:

Zbrajanje i množenje vjerojatnosti.

Događaj A se zove poseban slučaj događaj B, ako kada se dogodi A, dogodi se i B. Da je A poseban slučaj B, pišemo A ⊂ B .

Događaji A i B se nazivaju jednak ako je svaki poseban slučaj drugog. Jednakost događaja A i B piše se A = B.

iznos događaji A i B nazivaju se događajem A + B, koji se događa ako i samo ako se dogodi barem jedan od događaja: A ili B.

Teorem zbrajanja 1. Vjerojatnost pojave jednog od dva nespojiva događaja jednaka je zbroju vjerojatnosti tih događaja.

P=P+P

Imajte na umu da formulirani teorem vrijedi za bilo koji broj nekompatibilnih događaja:

Ako slučajni događaji tvore potpunu grupu nekompatibilnih događaja, onda je jednakost

P + P +…+ P =1

raditi događaji A i B nazivaju se događajem AB, koji se događa ako i samo ako se dogode oba događaja: A i B u isto vrijeme. Slučajni događaji A i B nazivaju se zajednički ako se oba ova događaja mogu dogoditi tijekom danog testa.

Teorem zbrajanja 2. Vjerojatnost zbroja zajedničkih događaja izračunava se po formuli

P=P+P-P

Primjeri zadataka na teoremu zbrajanja.

1. Na ispitu iz geometrije učenik dobiva jedno pitanje s liste ispitna pitanja. Vjerojatnost da je ovo pitanje s upisanim krugom je 0,2. Vjerojatnost da je ovo pitanje paralelograma je 0,15. Nema pitanja vezanih uz ove dvije teme u isto vrijeme. Pronađite vjerojatnost da će student na ispitu dobiti pitanje o jednoj od ove dvije teme.

Odluka. Vjerojatnost zbroja dvaju nespojivih događaja jednaka je zbroju vjerojatnosti tih događaja: 0,2 + 0,15 = 0,35.

Odgovor: 0,35.

1. NA trgovački centar dva identična automata prodaju kavu. Vjerojatnost da će aparat ostati bez kave do kraja dana je 0,3. Vjerojatnost da će oba aparata ostati bez kave je 0,12. Pronađite vjerojatnost da će do kraja dana u oba automata ostati kava.
   Odluka. Razmotrite događajeA - "kava će završiti u prvom aparatu", B - "kava će završiti u drugom aparatu". Zatim A B - "kava će završiti u oba automata", A + B - "kava će završiti u barem jednom automatu".Po uvjetu P(A) = P(B) = 0,3; P(A B) = 0,12.
   Događaji A i B su zajednički, vjerojatnost zbroja dvaju zajedničkih događaja jednaka je zbroju vjerojatnosti tih događaja bez vjerojatnosti njihovog proizvoda:
   P (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (A B) \u003d 0,3 + 0,3 - 0,12 = 0,48.

Stoga je vjerojatnost suprotnog događaja, da će kava ostati u oba aparata, jednaka 1 − 0,48 = 0,52.

Odgovor: 0,52.

Događaji događaja A i B nazivaju se neovisna ako pojava jednog od njih ne mijenja vjerojatnost pojave drugog. Događaj A se zove ovisni od događaja B ako se vjerojatnost događaja A mijenja ovisno o tome je li se događaj B dogodio ili ne.

Uvjetna vjerojatnost P(A|B ) događaj A naziva se vjerojatnost izračunata pod uvjetom da se dogodio događaj B. Isto tako, kroz P(B|A ) označava se uvjetna vjerojatnost događaj B, pod uvjetom da se dogodio A.

Za nezavisne događaje po definiciji

P(A|B) = P(A); P(B|A) = P(B)

Teorem množenja za zavisne događaje

Vjerojatnost proizvoda ovisnih događajajednak je umnošku vjerojatnosti jednog od njih s uvjetnom vjerojatnošću drugog, pod uvjetom da se prvi dogodio:

P(A ∙ B) = P(A) ∙ P(B|A) P(A ∙ B) = P(B) ∙ P(A|B)

(ovisno o tome koji se događaj prvi dogodio).

Posljedice iz teorema:

Teorem množenja za nezavisne događaje. Vjerojatnost nastanka neovisnih događaja jednaka je umnošku njihovih vjerojatnosti:

P (A ∙ B ) = P (A) ∙ P (B)

Ako su A i B neovisni, tada su i parovi (;), (; B), (A;) također nezavisni.

Primjeri zadataka na teoremu množenja:

1. Ako velemajstor A. igra bijelog, tada pobjeđuje velemajstora B. s vjerojatnošću 0,52. Ako A. igra crno, tada A. pobjeđuje B. s vjerojatnošću 0,3. Velemajstori A. i B. igraju dvije partije, a u drugoj igri mijenjaju boju figura. Nađite vjerojatnost da A. pobijedi oba puta.

Odluka. Šanse za pobjedu u prvoj i drugoj utakmici su neovisne jedna o drugoj. Vjerojatnost umnoška nezavisnih događaja jednaka je umnošku njihovih vjerojatnosti: 0,52 0,3 = 0,156.

Odgovor: 0,156.

1. Trgovina ima dva aparata za plaćanje. Svaki od njih može biti neispravan s vjerojatnošću od 0,05, bez obzira na drugi automat. Pronađite vjerojatnost da je barem jedan automat uslužan.

Odluka. Pronađite vjerojatnost da su oba automata neispravna. Ovi događaji su neovisni, vjerojatnost njihovog umnoška jednaka je umnošku vjerojatnosti tih događaja: 0,05 0,05 = 0,0025.
Događaj koji se sastoji u činjenici da je barem jedan automat upotrebljiv je suprotan. Stoga je njegova vjerojatnost 1 − 0,0025 = 0,9975.

Odgovor: 0,9975.

Formula puna vjerojatnost

Posljedica teorema zbrajanja i množenja vjerojatnosti je formula za ukupnu vjerojatnost:

Vjerojatnost P (A) događaj A, koji se može dogoditi samo ako se dogodi jedan od događaja (hipoteza) B 1 , V 2 , V 3 ... V n , tvoreći potpunu skupinu parno nekompatibilnih događaja, jednaka je zbroju umnožaka vjerojatnosti svakog od događaja (hipoteza) B 1 , V 2 , V 3 , …, V n o odgovarajućim uvjetnim vjerojatnostima događaja A:

P (A) \u003d P (B 1)  P (A | B 1) + P (B 2)  P (A | B 2) + P (B 3)  P (A | B 3) + .. + P (V n )  P (A | B n )

Razmotrimo primjer:Automatska linija proizvodi baterije. Vjerojatnost da je gotova baterija neispravna je 0,02. Prije pakiranja svaka baterija prolazi kroz kontrolni sustav. Vjerojatnost da će sustav odbiti lošu bateriju je 0,99. Vjerojatnost da će sustav greškom odbiti dobru bateriju je 0,01. Pronađite vjerojatnost da će slučajno odabrana baterija biti odbijena.

Odluka. Situacija u kojoj će baterija biti odbijena može nastati kao rezultat događaja: A - "baterija je stvarno neispravna i pošteno odbijena" ili B - "baterija je dobra, ali odbijena greškom". To su nespojivi događaji, vjerojatnost njihovog zbroja jednaka je zbroju vjerojatnosti tih događaja. Imamo:

P (A + B) \u003d P (A) + P (B) \u003d 0,02  0,99 + 0,98  0,01 = 0,0198 + 0,0098 = 0,0296.

Odgovor: 0,0296.

Poglavlje 2: Metodološki aspekti proučavanja "teorije vjerojatnosti" u školskom tečaju algebre

Godine 2003. donesena je odluka o uključivanju elemenata teorije vjerojatnosti u školski tečaj matematike općeobrazovne škole (uputno pismo br. 03-93in / 13-03 od 23. rujna 2003. Ministarstva obrazovanja Ruske Federacije “ O uvođenju elemenata kombinatorike, statistike i teorije vjerojatnosti u sadržaj matematičkog obrazovanja osnovne škole”, “Matematika u školi”, br. 9, 2003.). Do tada su elementi teorije vjerojatnosti bili prisutni u različitim oblicima u poznatim školskim udžbenicima algebre više od deset godina. različite klase(na primjer, I.F. „Algebra: Udžbenici za 7.-9. razred obrazovnih institucija” urednika G.V. Dorofejeva; „Algebra i početak analize: Udžbenici za 10.-11. razred obrazovnih ustanova” G.V. Dorofeev, L.V. Kuznetsova, E.A. Sedova”), te u obliku zasebnih nastavnih sredstava. No, izlaganje gradiva o teoriji vjerojatnosti u njima, u pravilu, nije bilo sustavne prirode, a nastavnici se, najčešće, nisu pozivali na te dijelove, nisu ih uključivali u nastavni plan i program. Dokument koji je Ministarstvo prosvjete usvojilo 2003. godine predviđao je postupno, postupno uključivanje ovih odjeljaka u školske nastave, omogućavajući nastavničkoj zajednici da se pripremi za odgovarajuće promjene.

U 2004–2008 Brojni udžbenici se objavljuju kako bi nadopunili postojeće udžbenike algebre. To su publikacije Tyurin Yu.N., Makarov A.A., Vysotsky I.R., Yashchenko I.V. "Teorija vjerojatnosti i statistika", Tyurin Yu.N., Makarov A.A., Vysotsky I.R., Yashchenko I.V. "Teorija vjerojatnosti i statistika: Vodič za učitelje", Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G. Algebra: elementi statistike i teorije vjerojatnosti: udžbenik. Vodič za učenike 7-9 razreda. opće obrazovanje institucije”, Tkacheva M.V., Fedorova N.E. „Elementi statistike i vjerojatnosti: Proc. Dodatak za 7-9 ćelija. opće obrazovanje institucije." Došli su i u pomoć učiteljima. nastavna sredstva. Već niz godina sva ova nastavna sredstva provjeravaju se u školama. U uvjetima kada je završeno prijelazno razdoblje uvođenja u školske programe, a na mjesto su stupili dijelovi statistike i teorije vjerojatnosti. nastavni planovi i programi 7-9 razreda potrebna je analiza i razumijevanje konzistentnosti glavnih definicija i oznaka koje se koriste u ovim udžbenicima.

Svi ovi udžbenici nastali su u nedostatku tradicije podučavanja ovih dijelova matematike u školi. Taj je nedostatak, svjesno ili nesvjesno, potaknuo autore udžbenika da ih uspoređuju s postojećim udžbenicima za sveučilišta. Potonje, ovisno o ustaljenim tradicijama u pojedinim specijalizacijama Srednja školačesto dopuštao značajnu terminološku nedosljednost i razlike u oznakama osnovnih pojmova i formula. Analiza sadržaja navedenih školskih udžbenika pokazuje da su oni danas te značajke naslijedili iz visokoškolskih udžbenika. S više točnosti, može se tvrditi da je izbor pojedinog edukativni materijal prema odjeljcima matematike koji su novi za školu, a koji se tiču ​​koncepta "slučajno", javlja se u ovaj trenutak na najsumičniji način, sve do imena i oznaka. Stoga su timovi autora vodećih školskih udžbenika o teoriji vjerojatnosti i statistici odlučili udružiti svoje napore pod pokroviteljstvom Moskovskog instituta za otvoreno obrazovanje kako bi razvili dogovorene stavove o objedinjavanju glavnih definicija i notacija koje se koriste u školskim udžbenicima o vjerojatnosti. teorija i statistika.

Analizirajmo uvođenje teme „Teorija vjerojatnosti“ u školske udžbenike.

opće karakteristike:

Sadržaj edukacije na temu "Elementi teorije vjerojatnosti", istaknut u "Programu za obrazovne ustanove. Matematika", daje daljnji razvoj kod učenika njihove matematičke sposobnosti, usmjerenost na zanimanja, bitno povezana s matematikom, priprema za studij na sveučilištu. Specifičnost matematičkog sadržaja razmatrane teme omogućuje konkretizaciju odabranog glavnog zadatka dubinsko proučavanje matematike kako slijedi.

1. Nastaviti s otkrivanjem sadržaja matematike kao deduktivnog sustava znanja.

Izgraditi sustav definicija osnovnih pojmova;

Otkriti dodatna svojstva uvedenih pojmova;

Uspostaviti veze između uvedenih i prethodno proučenih pojmova.

2. Sistematizirati neke probabilističke načine rješavanja problema; otkrivaju operativni sastav traženja rješenja problema određenih vrsta.

3. Stvoriti uvjete da učenici razumiju i razumiju glavnu ideju praktični značaj teorija vjerojatnosti analizom osnovnih teorijskih činjenica. Otkriti praktične primjene teorije proučavane u ovoj temi.

Ostvarivanje postavljenih obrazovnih ciljeva olakšat će se rješavanjem sljedećih zadataka:

1. Formirajte ideju o različitim načinima određivanja vjerojatnosti događaja (statistički, klasični, geometrijski, aksiomatski)

2. Formirati znanje o osnovnim operacijama nad događajima i sposobnost njihove primjene za opisivanje nekih događaja kroz druge.

3. Otkriti bit teorije zbrajanja i množenja vjerojatnosti; odrediti granice uporabe ovih teorema. Pokažite njihove primjene za izvođenje formula pune vjerojatnosti.

4. Identificirati algoritme za pronalaženje vjerojatnosti događaja a) prema klasičnoj definiciji vjerojatnosti; b) o teoriji zbrajanja i množenja; c) prema formuli ukupne vjerojatnosti.

5. Formirajte recept koji vam omogućuje da racionalno odaberete jedan od algoritama prilikom rješavanja određenog problema.

Posvećen obrazovnim ciljevima za proučavanje elemenata teorije vjerojatnosti dopunit ćemo postavljanje razvojnih i odgojnih ciljeva.

Razvojni ciljevi:

• formirati kod učenika postojan interes za predmet, identificirati i razvijati matematičke sposobnosti;
• u procesu učenja razvijati govorno, misaono, emocionalno-voljna i konkretno-motivacijska područja;
• samostalno pronalaženje učenika novih načina rješavanja problema i zadataka; primjena znanja u novim situacijama i okolnostima;
• razvijati sposobnost objašnjavanja činjenica, veza među pojavama, pretvaranja građe iz jednog oblika prikaza u drugi (verbalni, znakovno-simbolički, grafički);
• naučiti demonstrirati ispravnu primjenu metoda, uvidjeti logiku zaključivanja, sličnost i različitost pojava.

obrazovnim ciljevima:

• formirati kod školaraca moralne i estetske ideje, sustav pogleda na svijet, sposobnost praćenja normi ponašanja u društvu;
• formiraju potrebe pojedinca, motive društveno ponašanje, aktivnosti, vrijednosti i vrijednosne orijentacije;
• odgajati osobu sposobnu za samoodgoj i samoobrazovanje.

Analizirajmo udžbenik algebre za 9. razred "Algebra: elementi statistike i teorije vjerojatnosti" Makarychev Yu.N.

Ovaj udžbenik namijenjen je učenicima 7-9 razreda, nadopunjuje udžbenike: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. "Algebra 7", "Algebra 8", "Algebra 9", urednik Telyakovsky S.A.

Knjiga se sastoji od četiri odlomka. Svaki odlomak sadrži teorijske podatke i povezane vježbe. Na kraju odlomka daju se vježbe za ponavljanje. Za svaki odlomak dane su dodatne vježbe više razine složenosti u odnosu na glavne vježbe.

Prema “Programu za općeobrazovne ustanove” za izučavanje teme “Teorija vjerojatnosti i statistika” u školskom kolegiju algebre predviđeno je 15 sati.

Materijal na ovu temu spada u 9. razred i prikazan je u sljedećim odlomcima:

§3 "Elementi kombinatorike" sadrži 4 točke:

Primjeri kombinatornih problema.Na jednostavni primjeri prikazano je rješenje kombinatornih problema metodom nabrajanja mogućih varijanti. Ova metoda je ilustrirana izgradnjom stabla mogućih opcija. Razmatra se pravilo množenja.

Permutacije. Uvodi se sam koncept i formula za brojanje permutacija.

Smještaj. Koncept je predstavljen na konkretnom primjeru. Izvedena je formula za broj plasmana.

Kombinacije. Pojam i formula broja kombinacija.

Svrha ovog odjeljka je dati učenicima različite načine opisivanja svih mogućih elementarnih događaja u različite vrste slučajno iskustvo.

§4 "Početne informacije iz teorije vjerojatnosti".

Prezentacija gradiva započinje razmatranjem pokusa, nakon čega se uvode pojmovi „slučajni događaj“ i „relativna učestalost slučajnog događaja“. Uvodi se statistička i klasična definicija vjerojatnosti. Odlomak završava točkom "zbrajanje i množenje vjerojatnosti". Razmatraju se teoremi zbrajanja i množenja vjerojatnosti, uvode povezani pojmovi nespojivih, suprotnih, neovisnih događaja. Ovaj materijal namijenjen je učenicima s interesom i sklonostima za matematiku i može se koristiti individualni rad ili kod izvannastavne aktivnosti sa studentima.

Smjernice ovom udžbeniku dati su u nizu članaka Makarycheva i Mindyuka ("Elementi kombinatorike u školskom tečaju algebre", "Početne informacije iz teorije vjerojatnosti u školskom tečaju algebre"). Također neke kritičke napomene o ovom vodiču sadržane su u članku Studenetskaya i Fadeeva, što će pomoći da se izbjegnu pogreške pri radu s ovim udžbenikom.
Svrha: prijelaz s kvalitativnog opisa događaja na matematički opis.

Tema "Teorija vjerojatnosti" u udžbenicima Mordkovich A.G., Semenov P.V. za razrede 9-11.

Trenutno je jedan od postojećih udžbenika u školi udžbenikMordkovich A.G., Semenov P.V. "Događaji, vjerojatnosti, statistička obrada podaci", ima i dodatna poglavlja za 7-9 razrede. Analizirajmo to.

Programom rada Algebra predviđeno je 20 sati za proučavanje teme „Elementi kombinatorike, statistike i teorije vjerojatnosti“.

Materijal na temu "Teorija vjerojatnosti" objavljen je u sljedećim odlomcima:

§ 1. Najjednostavniji kombinatorni problemi. Pravilo množenja i stablo varijanti. Permutacije.Počinje s jednostavnim kombinatornim problemom, a zatim se razmatra tablica mogućih opcija, koja pokazuje princip pravila množenja. Zatim se razmatraju stabla mogućih varijanti i permutacija. Nakon teorijsko gradivo postoje vježbe za svaku od podstavki.

§ 2. Izbor nekoliko elemenata. Kombinacije.Prvo se izvodi formula za 2 elementa, zatim za tri, a zatim općenita za n elemenata.

§ 3. Slučajni događaji i njihove vjerojatnosti.Uvodi se klasična definicija vjerojatnosti.

Prednost ovog priručnika je što je jedan od rijetkih koji sadrži odlomke koji obrađuju tablice i stabla varijanti. Te su točke nužne jer upravo tablice i stabla opcija uče učenike o prezentaciji i početnoj analizi podataka. Također u ovom udžbeniku formula kombinacije uspješno je uvedena prvo za dva elementa, zatim za tri i generalizirana za n elemenata. U smislu kombinatorike, gradivo je jednako uspješno prezentirano. Svaki odlomak sadrži vježbe, što vam omogućuje konsolidaciju materijala. Komentari na ovaj tutorial sadržani su u članku Studenetskaya i Fadeeva.

U 10. razredu daju se tri odlomka na ovu temu. U prvom od njih “Pravilo množenja. Permutacije i faktorijali”, uz samo pravilo množenja, glavni je naglasak stavljen na izvođenje dvaju osnovnih kombinatornih identiteta iz ovog pravila: za broj permutacija i za broj mogućih podskupova skupa koji se sastoji od n elementi. U isto vrijeme, faktorijali su uvedeni kao zgodan način za skraćivanje odgovora u mnogim specifičnim kombinatornim problemima prije samog koncepta "permutacije". U drugom odlomku razreda 10 „Odabir više elemenata. Binomni koeficijenti” razmatraju klasične kombinatorne probleme povezane s istodobnim (ili uzastopnim) odabirom nekoliko elemenata iz zadanog konačnog skupa. Najznačajniji i stvarno novi za rusku općeobrazovnu školu bio je završni paragraf "Slučajni događaji i njihove vjerojatnosti". Razmatrala je klasičnu vjerojatnosnu shemu, analizirala formule P (A + B )+ P (AB )= P (A)+ P (B), P ()=1- P (A), P (A)=1- P () i kako ih koristiti. Odlomak je završio prijelazom na samostalna ponavljanja testa s dva ishoda. Ovo je najvažniji probabilistički model s praktične točke gledišta (Bernoullijeva ispitivanja), koji ima značajan broj primjena. Potonji materijal činio je prijelaz između sadržaja nastavnog materijala u 10. i 11. razredu.

U 11. razredu tema "Elementi teorije vjerojatnosti" posvećena je dvama odlomcima udžbenika i problemskoj knjizi. NAOdjeljak 22 bavi se geometrijske vjerojatnosti, § 23 ponavlja i proširuje znanje o neovisnim ponavljanjima ispitivanja s dva ishoda.

Poglavlje 3: Ulomak lekcije iz algebre na temu "Teorija vjerojatnosti"

Ocjena: 11

Tema lekcije: "Analiza zadatka C6".

Vrsta lekcije: rješavanje problema.

Formirana UUD

Kognitivni: analizirati,

donositi zaključke, uspoređivati ​​predmete prema metodama djelovanja;

Regulatorni: odrediti cilj, problem, iznijeti verzije, planirati aktivnosti;

Komunikativan: izraziti svoje mišljenje, koristiti govorna sredstva;

Osobno: budite svjesni svojih emocija, razvijajte odnos poštovanja prema kolegama iz razreda

Planirani rezultati

Predmet: sposobnost korištenja formule za rješavanje problema za izračunavanje vjerojatnosti.

Meta-subjekt: sposobnost postavljanja hipoteza, pretpostavki, vidi

različite načine rješavanja problema.

Osobno: sposobnost ispravnog izražavanja svojih misli, razumijevanja značenja

dodijeljeni zadatak.

Zadatak: Svaki iz grupe učenika je išao u kino ili u kazalište, dok je moguće da bi netko od njih mogao ići i u kino i u kazalište. Poznato je da u grupi nije bilo više od 2/11 od ukupnog broja učenika koji su posjetili kazalište u kazalištu za dječake, a najviše 2/5 od ukupnog broja učenika u grupi koji su posjetili kazalište. kino bili u kinu.
a) Može li u skupini biti 9 dječaka ako se dodatno zna da je u skupini bilo ukupno 20 učenika?
b) Koliki je maksimalan broj dječaka u skupini, ako se dodatno zna da je u skupini bilo 20 učenika?
c) Koliki je najmanji udio djevojčica u ukupnom broju učenika u skupini bez dodatnog uvjeta točaka a) i b)?

Raščlanjivanje zadatka:

Prvo, pozabavimo se uvjetom:

(Usporedo s objašnjenjem, učiteljica sve prikazuje na ploči).

Pretpostavimo da imamo puno momaka koji su išli u kino i puno tipova koji su išli u kazalište. Jer kaže se da su svi otišli, onda je cijela grupa ili u setu dečki koji su išli u kazalište, ili u skupu momaka koji su išli u kino. Koje je mjesto gdje se ti skupovi sijeku?

Znači da su ti dečki išli u kino i kazalište u isto vrijeme.

Poznato je da dječaka koji su išli u kazalište nije bilo više od 2/11 od ukupnog broja onih koji su išli u kazalište. Učiteljica zamoli jednog od učenika da to nacrta na ploči.

A moglo je biti i više dječaka koji su išli u kino – ne više od 2/5 ukupnog broja učenika u grupi.

Sada prijeđimo na rješenje.

a) Imamo 9 dječaka, ukupno učenika, označimo N =20, svi uvjeti moraju biti ispunjeni. Ako imamo 9 dječaka, djevojčica, odnosno 11. Točku a) možemo u većini slučajeva riješiti nabrajanjem.

Pretpostavimo da su naši dečki išli ili samo u kino ili u kazalište.

I djevojke su išle tamo-amo. (Plava prikazuje mnogo dječaka, a crno sjenčanje pokazuje djevojčice)

Pošto imamo samo 9 dječaka i po uvjetu smo išli u kazalište manje dječaka, pretpostavljamo da su u kazalište išla 2 dječaka, a u kino 7. I da vidimo je li naš uvjet ispunjen.

Provjerimo to prvo na primjeru kazališta. Uzimamo broj dječaka koji su išli u kazalište na sve koji su išli u kazalište i plus broj djevojčica i to usporedimo sa: . Pomnožite ovo sa 18 i sa 5: .

Stoga je razlomak 7/18 2/5. Dakle, uvjet je zadovoljen za kino.

Sada da vidimo je li taj uvjet ispunjen za kazalište. Samostalno, tada jedan od učenika zapisuje rješenje na ploču.

Odgovor: Ako grupu čine 2 dječaka koji su posjetili samo kazalište, 7 dječaka koji su posjetili samo kino i 11 djevojčica koje su išle i u kazalište i u kino, tada je uvjet problema ispunjen. To znači da bi u grupi od 20 učenika moglo biti 9 dječaka.

b) Pretpostavimo da je bilo 10 ili više dječaka. Tada je bilo 10 djevojaka ili manje. Kazalište nije išlo više od 2 dječaka, jer da ih je 3 ili više, tada udio dječaka u kazalištu ne bi bio manji = što je više.

Isto tako, kino nije posjetilo više od 7 dječaka, jer tada barem jedan dječak nije posjetio ni kazalište ni kino, što je u suprotnosti s uvjetima.

U prethodnom paragrafu je pokazano da u grupi od 20 učenika može biti 9 dječaka. Dakle, najveći broj dječaka u grupi je 9.

c) Pretpostavimo da je neki dječak išao i u kazalište i u kino. Kada bi umjesto njega u grupi bila dva dječaka od kojih je jedan išao samo u kazalište, a drugi samo u kino, tada bi udio dječaka i u kazalištu i u kinu ostao isti, a ukupan udio djevojčica postao bi manji. Stoga, da bismo procijenili najmanji udio djevojčica u grupi, možemo pretpostaviti da je svaki dječak išao ili samo u kazalište ili samo u kino.

Neka u grupi dječaka koji su posjetili kazalište, dječaka koji su posjetili kino, i d djevojke.

Procijenimo udio djevojaka u ovoj skupini. Nije pretpostaviti da su sve djevojke išle i u kazalište i u kino, budući da se njihov udio u grupi od toga neće promijeniti, a udio u kazalištu i kinu neće se smanjiti.

Ako grupu čine 2 dječaka koji su posjetili samo kazalište, 6 dječaka koji su posjetili samo kino i 9 djevojčica koje su išle i u kazalište i u kino, tada je uvjet problema zadovoljen, a udio djevojčica u grupa je ravnopravna.

U svakodnevnom životu, u praktičnim i znanstvenim aktivnostima, često promatramo određene pojave, provodimo određene eksperimente. Događaj koji se može i ne mora dogoditi tijekom promatranja ili eksperimenta naziva se slučajnim događajem. Na primjer, žarulja visi ispod stropa - nitko ne zna kada će pregorjeti. Svaki slučajni događaj posljedica je djelovanja vrlo mnogo slučajnih varijabli (sila kojom je novčić bačen, oblik novčića i još mnogo toga). Nemoguće je uzeti u obzir utjecaj svih ovih uzroka na rezultat, budući da je njihov broj velik, a zakoni djelovanja nepoznati. Obrasce slučajnih događaja proučava posebna grana matematike koja se zove teorija vjerojatnosti. Teorija vjerojatnosti ne postavlja sebi zadatak predviđanja hoće li se dogoditi ili ne - ona to jednostavno ne može učiniti. Ako govorimo o masivnim homogenim slučajnim događajima, onda se oni pokoravaju određenim obrascima, odnosno vjerojatnostim obrascima. Prvo, pogledajmo klasifikaciju događaja. Razlikovati zajedničke i ne-zajedničke događaje. Događaji se nazivaju zajedničkim ako pojava jednog od njih ne isključuje pojavu drugog. Inače se događaji nazivaju nespojivim. Na primjer, bacaju se dvije kocke. Događaj A - tri boda na prvom kocku, događaj B - tri boda na drugom kocku. A i B su zajednički događaji. Neka trgovina dobije seriju cipela istog stila i veličine, ali druge boje. Događaj A - nasumično uzeta kutija bit će s crnim cipelama, događaj B - kutija će biti sa smeđim cipelama, A i B su nekompatibilni događaji. Događaj se naziva izvjesnim ako će se nužno dogoditi u uvjetima danog eksperimenta. Za događaj se kaže da je nemoguć ako se ne može dogoditi u uvjetima danog iskustva. Na primjer, slučaj da se standardni dio uzme iz serije standardnih dijelova je siguran, ali nestandardni dio je nemoguć. Događaj se naziva mogućim ili slučajnim ako se, kao rezultat iskustva, može dogoditi ili ne mora. Primjer slučajnog događaja je otkrivanje nedostataka proizvoda tijekom kontrole serije gotovih proizvoda, nesklad između veličine obrađenog proizvoda i zadanog, kvar jedne od karika automatiziranog sustava upravljanja. Za događaje se kaže da su jednako vjerojatni ako, u uvjetima testa, nijedan od tih događaja nije objektivno vjerojatniji od ostalih. Na primjer, pretpostavimo da je trgovina opskrbljena žaruljama (i to u jednakim količinama) od nekoliko proizvođača. Događaji koji se sastoje od kupnje žarulje iz bilo koje od ovih tvornica jednako su vjerojatni. Važan koncept je kompletna skupina događaja. Nekoliko događaja u danom eksperimentu čini kompletnu grupu ako se barem jedan od njih nužno pojavi kao rezultat eksperimenta. Na primjer, u urni se nalazi deset kuglica, od kojih je šest crvenih i četiri bijele, od kojih je pet numerirano. A - izgled crvene kuglice na jednom crtežu, B - izgled bijele kuglice, C - izgled lopte s brojem. Događaji A,B,C čine potpunu grupu zajedničkih događaja. Događaj može biti suprotan ili dodatni. Suprotni događaj se shvaća kao događaj koji se nužno mora dogoditi ako se nije dogodio neki događaj A. Suprotni događaji su nespojljivi i jedini su mogući. Oni čine cjelovitu skupinu događaja. Na primjer, ako se serija proizvedenih artikala sastoji od dobrih i neispravnih predmeta, onda kada se jedan predmet ukloni, može se pokazati ili dobar - događaj A, ili neispravan - događaj. Razmotrimo primjer. Bacaju kocku (tj. malu kocku, na čijim stranama se izbijaju točke 1, 2, 3, 4, 5, 6). Prilikom bacanja kocke, jedan bod, dva boda, tri boda itd. može pasti na njezinu gornju stranu. Svaki od ovih ishoda je slučajan. Takav test je proveden. Kocka je bačena 100 puta i promatrano koliko se puta dogodio događaj "6 bodova palo na kockicu". Pokazalo se da je u ovoj seriji eksperimenata "šestica" ispala 9 puta. Broj 9, koji pokazuje koliko se puta u ovom ispitivanju dogodio dotični događaj, naziva se učestalost ovog događaja, a omjer učestalosti i ukupnog broja pokušaja, koji je jednak, naziva se relativna učestalost ovog događaja. događaj. Općenito, neka se određeni test provodi u više navrata pod istim uvjetima i svaki put se fiksira je li se dogodio događaj koji nas zanima ili ne. Vjerojatnost događaja označava se velikim latiničnim slovom P. Tada vjerojatnost događaja A označit ćemo: P (A). Klasična definicija vjerojatnosti: Vjerojatnost događaja A jednaka je omjeru broja slučajeva m koji mu idu u prilog, od ukupnog broja n jedinih mogućih, jednako mogućih i nespojivih slučajeva, prema broju n, t.j. Stoga je za pronalaženje vjerojatnosti događaja potrebno: razmotriti različite ishode ispitivanja; pronaći ukupnost jedinih mogućih, jednako mogućih i nespojivih slučajeva, izračunati njihov ukupan broj n, broj slučajeva m koji pogoduju zadanom događaju; izvršiti izračun formule. Iz formule proizlazi da je vjerojatnost događaja nenegativan broj i može varirati od nule do jedan, ovisno o udjelu povoljnog broja slučajeva od ukupnog broja slučajeva: Razmotrimo još jedan primjer. U kutiji se nalazi 10 loptica. 3 od njih su crvene, 2 zelene, ostale bijele. Pronađite vjerojatnost da je nasumično izvučena loptica crvena, zelena ili bijela. Pojava crvenih, zelenih i bijelih loptica čine potpunu skupinu događaja. Označimo pojavu crvene kuglice - događaj A, pojavu zelene - događaj B, pojavu bijele - događaj C. Zatim, u skladu s gore napisanim formulama, dobivamo: ; ; Imajte na umu da je vjerojatnost pojavljivanja jednog od dva parno nekompatibilna događaja jednaka zbroju vjerojatnosti tih događaja. Relativna učestalost događaja A omjer je broja iskustava koja su rezultirala događajem A i ukupnog broja iskustava. Razlika između relativne frekvencije i vjerojatnosti leži u činjenici da se vjerojatnost izračunava bez izravnog umnožaka eksperimenata, a relativna učestalost - nakon iskustva. Dakle, u gornjem primjeru, ako se iz kutije nasumično izvuče 5 loptica i 2 od njih ispadne crvene, tada je relativna učestalost pojavljivanja crvene kuglice: Kao što vidite, ova vrijednost se ne podudara s pronađena vjerojatnost. Uz dovoljno velik broj izvedenih eksperimenata, relativna frekvencija se malo mijenja, fluktuirajući oko jednog broja. Taj se broj može uzeti kao vjerojatnost događaja. geometrijska vjerojatnost. Klasična definicija vjerojatnosti pretpostavlja da je broj elementarnih ishoda konačan, što također ograničava njezinu primjenu u praksi. U slučaju kada postoji test s beskonačnim brojem ishoda, koristi se definicija geometrijske vjerojatnosti - pogađanje točke u nekom području. Prilikom određivanja geometrijske vjerojatnosti pretpostavlja se da postoji područje N i u njemu manje područje M. Točka se nasumično baca na područje N (to znači da su sve točke u području N „jednake“ u smislu dobivanja tamo nasumično bačena točka). Događaj A - "bačena točka pogađa područje M". Područje M naziva se povoljnim za događaj A. Vjerojatnost ulaska u bilo koji dio područja N proporcionalna je mjeri tog dijela i ne ovisi o njegovu položaju i obliku. Površina koju pokriva geometrijska vjerojatnost može biti: segment (mjera je duljina) geometrijski lik na ravnini (mjera je površina) geometrijsko tijelo u prostoru (mjera je volumen) Definirajmo geometrijsku vjerojatnost za slučaj ravne figure. Neka je područje M dio područja N. Događaj A sastoji se od pogotka nasumično bačene točke u područje N u području M. Geometrijska vjerojatnost događaja A je omjer površine područje M na područje područja N: U ovom slučaju, vjerojatnost da nasumično bačena točka pogodi granicu područja smatra se jednakom nuli. Razmotrimo primjer: mehanički sat s brojčanikom za dvanaest sati pokvario se i prestao raditi. Nađite vjerojatnost da je kazaljka za sat zamrznuta na 5 sati, ali ne i na 8 sati. Odluka. Broj ishoda je beskonačan, primjenjujemo definiciju geometrijske vjerojatnosti. Sektor između 5 i 8 sati dio je područja cijelog brojčanika, dakle, . Operacije nad događajima: Događaji A i B nazivaju se jednakima ako pojava događaja A povlači pojavu događaja B i obrnuto. Unija ili zbroj događaja je događaj A, što znači pojavu barem jednog od događaja. A = Sjecište ili proizvod događaja naziva se događaj A, koji se sastoji u provedbi svih događaja. A=? Razlika između događaja A i B naziva se događaj C, što znači da se događa događaj A, ali ne događa se događaj B. C=AB Primjer: A + B - “2 je ispalo; 4; 6 ili 3 boda” A B – “6 bodova uvršteno” A - B – “2 i 4 boda isplaćeno” Dodatni događaj događaju A je događaj koji znači da se događaj A ne dogodi. Elementarni ishodi iskustva su oni rezultati iskustva koji se međusobno isključuju i kao rezultat iskustva dolazi do jednog od tih događaja, a bez obzira na to kakav je događaj A, po elementarnom ishodu može se suditi da se taj događaj dogodi ili da ne pojaviti. Ukupnost svih elementarnih ishoda iskustva naziva se prostorom elementarnih događaja. Svojstva vjerojatnosti: Svojstvo 1. Ako su svi slučajevi povoljni za dati događaj A, tada će se ovaj događaj definitivno dogoditi. Dakle, događaj koji se razmatra je siguran, a i vjerojatnost njegovog nastanka, budući da je u ovom slučaju svojstvo 2. Ako ne postoji niti jedan povoljan slučaj za ovaj događaj A, onda se ovaj događaj ne može dogoditi kao rezultat pokusa. Dakle, događaj koji se razmatra je nemoguć, a vjerojatnost njegovog nastanka, budući da je u ovom slučaju m=0: Svojstvo 3. Vjerojatnost pojave događaja koji čine kompletnu grupu jednaka je jedan. Svojstvo 4. Vjerojatnost pojave suprotnog događaja određuje se na isti način kao i vjerojatnost nastanka događaja A: gdje je (n-m) broj slučajeva koji pogoduju nastanku suprotnog događaja. Dakle, vjerojatnost da se dogodi suprotan događaj jednaka je razlici između jedan i vjerojatnosti da će se događaj dogoditi A: Zbrajanje i množenje vjerojatnosti. Događaj A naziva se posebnim slučajem događaja B ako se, kada se dogodi A, dogodi i B. Činjenica da je A poseban slučaj B, pišemo A? B. Događaji A i B nazivaju se jednakim ako je svaki od njih poseban slučaj drugog. Zapisujemo jednakost događaja A i B kao A \u003d B. Zbroj događaja A i B je događaj A + B, koji se događa ako i samo ako se dogodi barem jedan od događaja: A ili B. Teorem zbrajanja vjerojatnosti 1. Vjerojatnost pojave jednog od dva nespojiva događaja jednaka je zbroju vjerojatnosti tih događaja. P=P+P i to samo kada se dogode oba događaja: A i B u isto vrijeme. Slučajni događaji A i B nazivaju se zajednički ako se oba ova događaja mogu dogoditi tijekom danog testa. Teorem zbrajanja 2. Vjerojatnost zbroja zajedničkih događaja izračunava se po formuli P=P+P-P Primjeri zadataka na teoremu zbrajanja. Na ispitu iz geometrije student dobiva jedno pitanje s liste ispitnih pitanja. Vjerojatnost da je ovo pitanje s upisanim krugom je 0,2. Vjerojatnost da je ovo pitanje paralelograma je 0,15. Nema pitanja vezanih uz ove dvije teme u isto vrijeme. Pronađite vjerojatnost da će student na ispitu dobiti pitanje o jednoj od ove dvije teme. Odluka. Vjerojatnost zbroja dvaju nespojivih događaja jednaka je zbroju vjerojatnosti tih događaja: 0,2 + 0,15 = 0,35. Odgovor: 0,35. Dva identična automata prodaju kavu u trgovačkom centru. Vjerojatnost da će aparat ostati bez kave do kraja dana je 0,3. Vjerojatnost da će oba aparata ostati bez kave je 0,12. Pronađite vjerojatnost da će do kraja dana u oba automata ostati kava. Odluka. Razmotrite događaje A - "kava će završiti u prvom aparatu", B - "kava će završiti u drugom aparatu". Tada A B - "kava će završiti u oba automata", A + B - "kava će završiti u barem jednom automatu". Po uvjetu P(A) = P(B) = 0,3; P(A B) = 0,12. Događaji A i B su zajednički, vjerojatnost zbroja dvaju zajedničkih događaja jednaka je zbroju vjerojatnosti tih događaja bez vjerojatnosti njihovog umnoška: P(A + B) = P(A) + P(B) ? P(A B) = 0,3 + 0,3? 0,12 = 0,48. Stoga je vjerojatnost suprotnog događaja, koji se sastoji u činjenici da kava ostane u oba aparata, jednaka 1? 0,48 = 0,52. Odgovor: 0,52. Događaji događaja A i B nazivaju se neovisnim ako pojava jednog od njih ne mijenja vjerojatnost nastanka drugog. Za događaj A se kaže da ovisi o događaju B ako se vjerojatnost događaja A promijeni ovisno o tome je li se događaj B dogodio ili ne. Uvjetna vjerojatnost P(A|B) događaja A je vjerojatnost izračunata pod pretpostavkom da se događaj B dogodio. Slično, P(B|A) označava uvjetnu vjerojatnost događaja B, pod uvjetom da se A dogodio. Za nezavisne događaje, po definiciji, P(A|B) = P(A); P(B|A) = P(B) Teorem množenja za zavisne događaje Vjerojatnost umnoška zavisnih događaja jednaka je umnošku be0,01 = 0,0198 + 0,0098 = 0,0296. Odgovor: 0,0296.

Godine 2003. donesena je odluka o uključivanju elemenata teorije vjerojatnosti u školski tečaj matematike općeobrazovne škole (uputno pismo br. 03-93in / 13-03 od 23. rujna 2003. Ministarstva obrazovanja Ruske Federacije “O uvođenju elemenata kombinatorike, statistike i teorije vjerojatnosti u sadržaj matematičkog obrazovanja osnovne škole”, “Matematika u školi”, br. 9, 2003.). Do tada su elementi teorije vjerojatnosti bili prisutni u različitim oblicima u poznatim školskim udžbenicima algebre za različite razrede više od deset godina (na primjer, I.F. “Algebra: Udžbenici za 7.-9. razrede obrazovnih institucija” ur. G.V. Dorofeev; „ Algebra i počeci analize: udžbenici za 10.-11. razrede općeobrazovnih ustanova „G.V. Dorofeev, L.V. Kuznetsova, E.A. Sedova“), te u obliku zasebnih nastavnih sredstava. No, izlaganje gradiva o teoriji vjerojatnosti u njima, u pravilu, nije bilo sustavne prirode, a nastavnici se, najčešće, nisu pozivali na te dijelove, nisu ih uključivali u nastavni plan i program. Dokument koji je Ministarstvo prosvjete usvojilo 2003. godine predviđao je postupno, postupno uključivanje ovih odjeljaka u školske nastave, omogućavajući nastavničkoj zajednici da se pripremi za odgovarajuće promjene. U 2004-2008 Brojni udžbenici se objavljuju kako bi nadopunili postojeće udžbenike algebre. To su publikacije Tyurin Yu.N., Makarov A.A., Vysotsky I.R., Yashchenko I.V. "Teorija vjerojatnosti i statistika", Tyurin Yu.N., Makarov A.A., Vysotsky I.R., Yashchenko I.V. "Teorija vjerojatnosti i statistika: Vodič za učitelje", Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G. Algebra: elementi statistike i teorije vjerojatnosti: udžbenik. Dodatak za učenike 7-9 ćelija. opće obrazovanje institucije”, Tkacheva M.V., Fedorova N.E. „Elementi statistike i vjerojatnosti: Proc. Dodatak za 7-9 ćelija. opće obrazovanje institucije." Učiteljima su na raspolaganju i nastavna pomagala. Već niz godina sva ova nastavna sredstva provjeravaju se u školama. U uvjetima kada je završeno prijelazno razdoblje uvođenja u školske programe, a dijelovi statistike i teorije vjerojatnosti zauzeli su svoje mjesto u nastavnim planovima i programima 7.-9. razreda, analiza i razumijevanje konzistentnosti glavnih definicija i oznaka korištenih u ovim udžbenicima je potrebno. Svi ovi udžbenici nastali su u nedostatku tradicije podučavanja ovih dijelova matematike u školi. Taj je nedostatak, svjesno ili nesvjesno, potaknuo autore udžbenika da ih uspoređuju s postojećim udžbenicima za sveučilišta. Potonje je, ovisno o ustaljenim tradicijama u pojedinim specijalizacijama visokog obrazovanja, često dopuštalo značajne terminološke nedosljednosti i razlike u oznakama temeljnih pojmova i formula. Analiza sadržaja navedenih školskih udžbenika pokazuje da su oni danas te značajke naslijedili iz visokoškolskih udžbenika. S većim stupnjem točnosti može se ustvrditi da se izbor specifičnog nastavnog materijala za nove školskog odjela matematike, koji se tiče pojma "slučajno", trenutno odvija na najsumičniji način, do naziva i zapisa. Stoga su timovi autora vodećih školskih udžbenika o teoriji vjerojatnosti i statistici odlučili udružiti svoje napore pod pokroviteljstvom Moskovskog instituta za otvoreno obrazovanje kako bi razvili dogovorene stavove o objedinjavanju glavnih definicija i notacija koje se koriste u školskim udžbenicima o vjerojatnosti. teorija i statistika. Analizirajmo uvođenje teme „Teorija vjerojatnosti“ u školske udžbenike. Opće karakteristike: Sadržaj nastave na temu "Elementi teorije vjerojatnosti", istaknut u "Programu za općeobrazovne ustanove. Matematika", osigurava daljnji razvoj matematičkih sposobnosti učenika, usmjerenost na zanimanja koja su značajno povezana s matematikom. , te priprema za studij na sveučilištu. Specifičnost matematičkog sadržaja razmatrane teme omogućuje konkretizaciju identificirane glavne zadaće dubinskog proučavanja matematike na sljedeći način. 1. Nastaviti s otkrivanjem sadržaja matematike kao deduktivnog sustava znanja. - izgraditi sustav definicija osnovnih pojmova; - identificirati dodatna svojstva uvedenih pojmova; - uspostaviti veze između uvedenih i prethodno proučavanih pojmova. 2. Sistematizirati neke probabilističke načine rješavanja problema; otkrivaju operativni sastav traženja rješenja problema određenih vrsta. 3. Stvoriti uvjete da studenti shvate i shvate glavnu ideju praktičnog značaja teorije vjerojatnosti analizom glavnih teorijskih činjenica. Otkriti praktične primjene teorije proučavane u ovoj temi. Ostvarivanje postavljenih obrazovnih ciljeva olakšat će se rješavanjem sljedećih zadataka: 1. Formirati predodžbu o različitim načinima određivanja vjerojatnosti nekog događaja (statistički, klasični, geometrijski, aksiomatski) 2. Formirati znanje o osnovnim operacijama nad događajima i sposobnost njihove primjene za opisivanje nekih događaja kroz druge. 3. Otkriti bit teorije zbrajanja i množenja vjerojatnosti; odrediti granice uporabe ovih teorema. Pokažite njihove primjene za izvođenje formula pune vjerojatnosti. 4. Identificirati algoritme za pronalaženje vjerojatnosti događaja a) prema klasičnoj definiciji vjerojatnosti; b) o teoriji zbrajanja i množenja; c) prema formuli 0,99 + 0,98P(A|Bn) Razmotrimo primjer: Automatska linija proizvodi baterije. Vjerojatnost da je gotova baterija neispravna je 0,02. Prije pakiranja svaka baterija prolazi kroz kontrolni sustav. Vjerojatnost da će sustav odbiti lošu bateriju je 0,99. Vjerojatnost da će sustav greškom odbiti dobru bateriju je 0,01. Pronađite vjerojatnost da će slučajno odabrana baterija biti odbijena. Odluka. Situacija u kojoj će baterija biti odbijena može nastati kao rezultat sljedećih događaja: A - "baterija je stvarno neispravna i prilično odbijena" ili B - "baterija je dobra, ali odbijena greškom". To su nespojivi događaji, vjerojatnost njihovog zbroja jednaka je zbroju vjerojatnosti tih događaja. Imamo: P (A+B) = P(A) + P(B) = 0,02P(A|B3) + … + P(Bn)P(A|B2) + P(B3)P(A|B1 ) + P(B2) vjerojatnosti jednog od njih uvjetnom vjerojatnošću drugog, pod uvjetom da se dogodila prva: P(A B) = P(A) P(B|A) P(A B) = P( B) P(A| B) (ovisno o tome koji se događaj prvi dogodio). Posljedice iz teorema: Teorem množenja za nezavisne događaje. Vjerojatnost umnoška neovisnih događaja jednaka je umnošku njihovih vjerojatnosti: P(A B) = P(A) P(B) Ako su A i B neovisni, tada su i parovi neovisni: (;), (; B), (A;). Primjeri zadataka na teoremu množenja: Ako velemajstor A. igra bijelog, tada pobjeđuje velemajstora B. s vjerojatnošću 0,52. Ako A. igra crno, tada A. pobjeđuje B. s vjerojatnošću 0,3. Velemajstori A. i B. igraju dvije partije, a u drugoj igri mijenjaju boju figura. Nađite vjerojatnost da A. pobijedi oba puta. Odluka. Šanse za pobjedu u prvoj i drugoj utakmici su neovisne jedna o drugoj. Vjerojatnost umnoška nezavisnih događaja jednaka je umnošku njihovih vjerojatnosti: 0,52 0,3 = 0,156. Odgovor: 0,156. Trgovina ima dva aparata za plaćanje. Svaki od njih može biti neispravan s vjerojatnošću od 0,05, bez obzira na drugi automat. Pronađite vjerojatnost da je barem jedan automat uslužan. Odluka. Pronađite vjerojatnost da su oba automata neispravna. Ovi događaji su neovisni, vjerojatnost njihovog umnoška jednaka je umnošku vjerojatnosti tih događaja: 0,05 0,05 = 0,0025. Događaj koji se sastoji u činjenici da je barem jedan automat upotrebljiv je suprotan. Stoga je njegova vjerojatnost 1? 0,0025 = 0,9975. Odgovor: 0,9975. Formula ukupne vjerojatnosti Posljedica teorema zbrajanja i množenja vjerojatnosti je formula ukupne vjerojatnosti: Vjerojatnost P(A) događaja A, koji se može dogoditi samo ako je jedan od događaja (hipoteza) B1, B2, B3 ... Događa se Bn, tvoreći potpunu grupu parno nekompatibilnih događaja, jednak je zbroju proizvoda vjerojatnosti svakog od događaja (hipoteza) B1, B2, B3, ..., Bn i odgovarajućih uvjetnih vjerojatnosti događaja A: P(A) = P(B1) ukupne vjerojatnosti. 5. Formirajte recept koji vam omogućuje da racionalno odaberete jedan od algoritama prilikom rješavanja određenog problema. Odabrani obrazovni ciljevi za proučavanje elemenata teorije vjerojatnosti dopunit će se postavljanjem razvojnih i odgojnih ciljeva. Razvojni ciljevi: formirati kod učenika postojan interes za predmet, identificirati i razvijati matematičke sposobnosti; u procesu učenja razvijati govorno, misaono, emocionalno-voljna i konkretno-motivacijska područja; samostalno pronalaženje učenika novih načina rješavanja problema i zadataka; primjena znanja u novim situacijama i okolnostima; razvijati sposobnost objašnjavanja činjenica, veza među pojavama, pretvaranja građe iz jednog oblika prikaza u drugi (verbalni, znakovno-simbolički, grafički); naučiti demonstrirati ispravnu primjenu metoda, uvidjeti logiku zaključivanja, sličnost i različitost pojava. Odgojno-obrazovni ciljevi: formirati kod školaraca moralne i estetske ideje, sustav pogleda na svijet, sposobnost praćenja normi ponašanja u društvu; formirati potrebe pojedinca, motive društvenog ponašanja, aktivnosti, vrijednosti i vrijednosne orijentacije; odgajati osobu sposobnu za samoodgoj i samoobrazovanje. Analizirajmo udžbenik algebre za 9. razred "Algebra: elementi statistike i teorije vjerojatnosti" Makarychev Yu.N. Ovaj udžbenik namijenjen je učenicima 7-9 razreda, nadopunjuje udžbenike: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. "Algebra 7", "Algebra 8", "Algebra 9", urednik Telyakovsky S.A. Knjiga se sastoji od četiri odlomka. Svaki odlomak sadrži teorijske podatke i povezane vježbe. Na kraju odlomka daju se vježbe za ponavljanje. Za svaki odlomak dane su dodatne vježbe više razine složenosti u odnosu na glavne vježbe. Prema “Programu za općeobrazovne ustanove” za izučavanje teme “Teorija vjerojatnosti i statistika” u školskom kolegiju algebre predviđeno je 15 sati. Gradivo o ovoj temi pripada 9. razredu i prikazano je u sljedećim odlomcima: §3 "Elementi kombinatorike" sadrži 4 točke: Primjeri kombinatornih zadataka. Jednostavni primjeri pokazuju rješenje kombinatornih problema nabrajanjem mogućih opcija. Ova metoda je ilustrirana izgradnjom stabla mogućih opcija. Razmatra se pravilo množenja. Permutacije. Uvodi se sam koncept i formula za brojanje permutacija. Smještaj. Koncept je predstavljen na konkretnom primjeru. Izvedena je formula za broj plasmana. Kombinacije. Pojam i formula broja kombinacija. Svrha ovog odjeljka je dati učenicima različite načine opisivanja svih mogućih elementarnih događaja u različitim vrstama slučajnih iskustava. §4 "Početne informacije iz teorije vjerojatnosti". Prezentacija gradiva započinje razmatranjem pokusa, nakon čega se uvode pojmovi „slučajni događaj“ i „relativna učestalost slučajnog događaja“. Uvodi se statistička i klasična definicija vjerojatnosti. Odlomak završava točkom "zbrajanje i množenje vjerojatnosti". Razmatraju se teoremi zbrajanja i množenja vjerojatnosti, uvode povezani pojmovi nespojivih, suprotnih, neovisnih događaja. Ovaj materijal namijenjen je učenicima s interesom i sklonostima za matematiku i može se koristiti za samostalan rad ili u izvannastavnim aktivnostima s učenicima. Metodološke preporuke za ovaj udžbenik dane su u nizu članaka Makarycheva i Mindyuka (“Elementi kombinatorike u školskom tečaju algebre”, “Početne informacije iz teorije vjerojatnosti u školskom tečaju algebre”). Također neke kritičke napomene o ovom vodiču sadržane su u članku Studenetskaya i Fadeeva, što će pomoći da se izbjegnu pogreške pri radu s ovim udžbenikom. Svrha: prijelaz s kvalitativnog opisa događaja na matematički opis. Tema "Teorija vjerojatnosti" u udžbenicima Mordkovich A.G., Semenov P.V. za razrede 9-11. Trenutno je jedan od postojećih udžbenika u školi udžbenik Mordkovich A.G., Semenov P.V. „Događaji, vjerojatnosti, statistička obrada podataka“, ima i dodatna poglavlja za 7.-9. razred. Analizirajmo to. Programom rada Algebra predviđeno je 20 sati za proučavanje teme „Elementi kombinatorike, statistike i teorije vjerojatnosti“. Materijal na temu "Teorija vjerojatnosti" razotkriven je u sljedećim odlomcima: § 1. Najjednostavniji kombinatorni problemi. Pravilo množenja i stablo varijanti. Permutacije. Počinje s jednostavnim kombinatornim problemom, a zatim se razmatra tablica mogućih opcija, koja pokazuje princip pravila množenja. Zatim se razmatraju stabla mogućih varijanti i permutacija. Nakon teorijskog gradiva slijede vježbe za svaku od podtočaka. § 2. Izbor nekoliko elemenata. Kombinacije. Najprije se prikazuje formula za 2 elementa, zatim za tri, a zatim opća za n elemenata. § 3. Slučajni događaji i njihove vjerojatnosti. Uvodi se klasična definicija vjerojatnosti. Prednost ovog priručnika je što je jedan od rijetkih koji sadrži odlomke koji obrađuju tablice i stabla varijanti. Te su točke nužne jer upravo tablice i stabla opcija uče učenike o prezentaciji i početnoj analizi podataka. Također u ovom udžbeniku formula kombinacije uspješno je uvedena prvo za dva elementa, zatim za tri i generalizirana za n elemenata. U smislu kombinatorike, gradivo je jednako uspješno prezentirano. Svaki odlomak sadrži vježbe, što vam omogućuje konsolidaciju materijala. Komentari na ovaj tutorial sadržani su u članku Studenetskaya i Fadeeva. U 10. razredu daju se tri odlomka na ovu temu. U prvom od njih “Pravilo množenja. Permutacije i faktorijali”, uz samo pravilo množenja, glavni naglasak je bio na izvođenju dvaju osnovnih kombinatornih identiteta iz ovog pravila: za broj permutacija i za broj mogućih podskupova skupa koji se sastoji od n elemenata. U isto vrijeme, faktorijali su uvedeni kao zgodan način za skraćivanje odgovora u mnogim specifičnim kombinatornim problemima prije samog koncepta "permutacije". U drugom odlomku razreda 10 „Odabir više elemenata. Binomni koeficijenti” razmatraju klasične kombinatorne probleme povezane s istodobnim (ili uzastopnim) odabirom nekoliko elemenata iz zadanog konačnog skupa. Najznačajniji i stvarno novi za rusku općeobrazovnu školu bio je završni paragraf "Slučajni događaji i njihove vjerojatnosti". Razmatrala je klasičnu probabilističku shemu, analizirala formule P(A+B)+P(AB)=P(A)+P(B), P()=1-P(A), P(A)=1- P() i kako ih koristiti. Odlomak je završio prijelazom na samostalna ponavljanja testa s dva ishoda. Ovo je najvažniji probabilistički model s praktične točke gledišta (Bernoullijeva ispitivanja), koji ima značajan broj primjena. Potonji materijal činio je prijelaz između sadržaja nastavnog materijala u 10. i 11. razredu. U 11. razredu tema "Elementi teorije vjerojatnosti" posvećena je dvama odlomcima udžbenika i problemskoj knjizi. § 22 bavi se geometrijskim vjerojatnostima, § 23 ponavlja i proširuje znanje o neovisnim ponavljanjima pokušaja s dva ishoda.

Događaji koji se događaju u stvarnosti ili u našoj mašti mogu se podijeliti u 3 skupine. To su određeni događaji koji se moraju dogoditi, nemogući događaji i slučajni događaji. Teorija vjerojatnosti proučava slučajne događaje, t.j. događaji koji se mogu ili ne moraju dogoditi. Ovaj članak će biti predstavljen u Sažetak teorija formula vjerojatnosti i primjeri rješavanja zadataka iz teorije vjerojatnosti, koji će biti u 4. zadatku ispita iz matematike (profilna razina).

Zašto nam je potrebna teorija vjerojatnosti

Povijesno gledano, potreba za proučavanjem ovih problema javlja se u 17. stoljeću u vezi s razvojem i profesionalizacijom Kockanje i pojavom kasina. Bio je to pravi fenomen koji je zahtijevao svoje proučavanje i istraživanje.

Igranje karata, kockica, ruleta stvorilo je situacije u kojima se može dogoditi bilo koji od konačnog broja jednako vjerojatnih događaja. Postojala je potreba da se daju numeričke procjene mogućnosti nastanka nekog događaja.

U 20. stoljeću pokazalo se da ta naizgled neozbiljna znanost igra važna uloga u poznavanju temeljnih procesa koji se događaju u mikrosvijetu. Stvorena je moderna teorija vjerojatnosti.

Osnovni pojmovi teorije vjerojatnosti

Predmet proučavanja teorije vjerojatnosti su događaji i njihove vjerojatnosti. Ako je događaj složen, onda se može rastaviti na jednostavne komponente čije je vjerojatnosti lako pronaći.

Zbroj događaja A i B naziva se događaj C, što se sastoji u činjenici da su se ili događaj A, ili događaj B, ili događaji A i B dogodili u isto vrijeme.

Umnožak događaja A i B je događaj C, koji se sastoji u činjenici da su se dogodili i događaj A i događaj B.

Za događaje A i B kaže se da su nespojivi ako se ne mogu dogoditi u isto vrijeme.

Za događaj A se kaže da je nemoguć ako se ne može dogoditi. Takav se događaj označava simbolom .

Događaj A naziva se izvjesnim ako će se sigurno dogoditi. Takav se događaj označava simbolom .

Neka svakom događaju A bude dodijeljen broj P(A). Ovaj broj P(A) naziva se vjerojatnost događaja A ako su s takvom korespondencijom zadovoljeni sljedeći uvjeti.

Važan poseban slučaj je situacija kada postoje jednako vjerojatni elementarni ishodi, a proizvoljni od tih ishoda tvore događaje A. U ovom slučaju vjerojatnost se može uvesti formulom . Ovako uvedena vjerojatnost naziva se klasična vjerojatnost. Može se dokazati da svojstva 1-4 vrijede u ovom slučaju.

Problemi u teoriji vjerojatnosti, koji se nalaze na ispitu iz matematike, uglavnom se odnose na klasičnu vjerojatnost. Takvi zadaci mogu biti vrlo jednostavni. Posebno su jednostavni problemi u teoriji vjerojatnosti u demo verzije. Lako je izračunati broj povoljnih ishoda, broj svih ishoda je upisan izravno u uvjet.

Odgovor dobivamo prema formuli.

Primjer zadatka s ispita iz matematike za određivanje vjerojatnosti

Na stolu je 20 pita - 5 sa kupusom, 7 s jabukama i 8 s rižom. Marina želi uzeti pitu. Kolika je vjerojatnost da će uzeti rižin kolač?

Odluka.

Ukupno ima 20 jednako vjerojatnih elementarnih ishoda, odnosno Marina može uzeti bilo koji od 20 kolača. Ali trebamo procijeniti vjerojatnost da će Marina uzeti rižinu pljeskavicu, odnosno gdje je A izbor rižine pljeskavice. To znači da imamo ukupno 8 povoljnih ishoda (odabir kolača od riže) Tada će se vjerojatnost odrediti po formuli:

Nezavisni, suprotni i proizvoljni događaji

Međutim, složeniji zadaci počeli su se pojavljivati ​​u otvorenoj banci zadataka. Stoga, skrenimo pozornost čitatelja na druga pitanja koja se proučavaju u teoriji vjerojatnosti.

Događaji A i B nazivaju se neovisnim ako vjerojatnost svakog od njih ne ovisi o tome je li se dogodio drugi događaj.

Događaj B sastoji se u tome što se nije dogodio događaj A, t.j. događaj B suprotan je događaju A. Vjerojatnost suprotnog događaja jednaka je jedan minus vjerojatnost izravnog događaja, t.j. .

Teoremi zbrajanja i množenja, formule

Za proizvoljne događaje A i B, vjerojatnost zbroja tih događaja jednaka je zbroju njihovih vjerojatnosti bez vjerojatnosti njihovog zajednički događaj, tj. .

Za nezavisne događaje A i B, vjerojatnost umnoška tih događaja jednaka je umnošku njihovih vjerojatnosti, t.j. u ovom slučaju .

Posljednje 2 tvrdnje nazivaju se teoremi zbrajanja i množenja vjerojatnosti.

Nije uvijek brojati broj ishoda tako jednostavno. U nekim slučajevima potrebno je koristiti kombinatoričke formule. Najvažnije je izbrojati broj događaja koji ispunjavaju određene uvjete. Ponekad takvi izračuni mogu postati samostalni zadaci.

Na koliko načina može 6 učenika sjesti na 6 praznih mjesta? Prvi učenik će zauzeti bilo koje od 6 mjesta. Svaka od ovih opcija odgovara 5 načina postavljanja drugog učenika. Za trećeg učenika slobodna su 4 mjesta, za četvrtog - 3, za petog - 2, šesti će zauzeti jedino preostalo mjesto. Da biste pronašli broj svih opcija, morate pronaći proizvod koji je označen simbolom 6! i pročitajte "šest faktorijala".

NA opći slučaj odgovor na ovo pitanje daje formula za broj permutacija n elemenata.U našem slučaju, .

Razmotrimo sada još jedan slučaj s našim studentima. Na koliko načina 2 učenika mogu sjesti na 6 praznih mjesta? Prvi učenik će zauzeti bilo koje od 6 mjesta. Svaka od ovih opcija odgovara 5 načina postavljanja drugog učenika. Da biste pronašli broj svih opcija, morate pronaći proizvod.

U općem slučaju, odgovor na ovo pitanje daje formula za broj smještaja n elemenata po k elemenata

U našem slučaju .

I posljednji slučaj iz ove serije. Na koliko načina postoji izbor 3 od 6 učenika? Prvi učenik se može izabrati na 6 načina, drugi na 5 načina, a treći na 4 načina. Ali među ovim opcijama, ista tri učenika pojavljuju se 6 puta. Da biste pronašli broj svih opcija, morate izračunati vrijednost: . U općem slučaju, odgovor na ovo pitanje daje formula za broj kombinacija elemenata po elementima:

U našem slučaju .

Primjeri rješavanja zadataka s ispita iz matematike za određivanje vjerojatnosti

Zadatak 1. Iz zbirke, ur. Jaščenko.

Na tanjuru je 30 pita: 3 s mesom, 18 sa kupusom i 9 s višnjama. Sasha nasumce bira jednu pitu. Pronađite vjerojatnost da će on završiti s trešnjom.

.

Odgovor: 0,3.

Problem 2. Iz zbirke, ur. Jaščenko.

U svakoj seriji od 1000 žarulja, u prosjeku 20 neispravnih. Nađite vjerojatnost da je žarulja odabrana nasumično iz serije dobra.

Rješenje: Broj servisiranih žarulja je 1000-20=980. Tada je vjerojatnost da će žarulja uzeta nasumično iz serije biti upotrebljiva:

Odgovor: 0,98.

Vjerojatnost da učenik U. točno riješi više od 9 zadataka na testu iz matematike je 0,67. Vjerojatnost da U. točno riješi više od 8 zadataka je 0,73. Nađi vjerojatnost da U. točno riješi točno 9 zadataka.

Ako zamislimo brojevni pravac i na njemu označimo točke 8 i 9, tada ćemo vidjeti da je uvjet „U. točno riješiti točno 9 zadataka” uključeno je u uvjet “U. točno riješiti više od 8 zadataka", ali se ne odnosi na uvjet "W. točno riješiti više od 9 problema.

Međutim, uvjet "U. točno riješiti više od 9 zadataka" sadržano je u uvjetu "U. točno riješiti više od 8 zadataka. Dakle, ako označimo događaje: „W. točno riješiti točno 9 zadataka" - do A, "U. točno riješiti više od 8 zadataka" - do B, "U. točno riješiti više od 9 problema ”kroz C. Tada će rješenje izgledati ovako:

Odgovor: 0,06.

Na ispitu iz geometrije student odgovara na jedno pitanje s liste ispitnih pitanja. Vjerojatnost da se radi o trigonometrijskom pitanju je 0,2. Vjerojatnost da je ovo pitanje vanjskih kutova je 0,15. Nema pitanja vezanih uz ove dvije teme u isto vrijeme. Pronađite vjerojatnost da će student na ispitu dobiti pitanje o jednoj od ove dvije teme.

Razmislimo o tome koje događaje imamo. Dana su nam dva nespojiva događaja. Odnosno, ili će se pitanje odnositi na temu "Trigonometrija", ili na temu "Vanjski kutovi". Prema teoremu vjerojatnosti, vjerojatnost nespojivih događaja jednaka je zbroju vjerojatnosti svakog događaja, moramo pronaći zbroj vjerojatnosti tih događaja, odnosno:

Odgovor: 0,35.

Prostoriju osvjetljava fenjer s tri lampe. Vjerojatnost da jedna lampa pregori u godini je 0,29. Nađite vjerojatnost da barem jedna svjetiljka ne pregori u roku od godinu dana.

Razmotrimo moguće događaje. Imamo tri žarulje, od kojih svaka može ili ne mora pregorjeti neovisno o bilo kojoj drugoj žarulji. To su neovisni događaji.

Zatim ćemo navesti varijante takvih događaja. Prihvaćamo oznaku: - žarulja je upaljena, - žarulja je pregorjela. I odmah zatim izračunavamo vjerojatnost događaja. Na primjer, vjerojatnost događaja u kojem tri nezavisnih događaja“žarulja je pregorjela”, “žarulja upaljena”, “žarulja upaljena”: gdje se vjerojatnost događaja “žarulja upalila” izračunava kao vjerojatnost događaja suprotnog događaju “žarulja ugašena”, odnosno: .

Sve knjige mogu se preuzeti besplatno i bez registracije.

NOVI. Korolyuk V.S., Portenko N.I., Skorokhod A.V. Turbin A.F. Priručnik za teoriju vjerojatnosti i matematičku statistiku. 2. izd. revidirano dodati. 1985 640 str. djvu. 13,2 MB.
Priručnik je prošireno i revidirano izdanje knjige "Priručnik za teoriju vjerojatnosti i matematičku statistiku" koju je uredio V. S. Korolyuk, koju je 1978. objavila izdavačka kuća Naukova Dumka. U smislu širine pokrivanja glavnih ideja, metoda i specifičnih rezultata suvremene teorije vjerojatnosti, teorije slučajnih procesa, a dijelom i matematičke statistike, Priručnik je jedina publikacija te vrste.
Za znanstvenike i inženjere.

preuzimanje datoteka

NOVI. F. Mosteller, R. Rourke, J. Thomas. Vjerojatnost. 1969. godine 432 str. pdf. 12,6 MB.
Ova knjiga, koju je napisala skupina poznatih američkih matematičara i pedagoga, elementarni je uvod u teoriju vjerojatnosti i statistiku - grane matematike koje sada nalaze sve veću primjenu u znanosti i praksi. Napisana živahnim i živopisnim jezikom, sadrži mnogo uzetih primjera najvećim dijelom iz sfere svakodnevnog života. Unatoč činjenici da je za čitanje knjige dovoljno imati znanje iz matematike u svezaku škole, to je potpuno ispravan uvod u teoriju vjerojatnosti. U ovoj knjizi pročitao sam ono što nikad nisam vidio kod drugih.

. . . . . . . . . . . . . . . .preuzimanje datoteka

Andronov A.M., Kopytov E.A., Greenglaz L.Ya. Teorija vjerojatnosti i matematička statistika. 2004 460 stranica djvu. 6,7 MB.
Od izdavača:
Pred vama - prošireni udžbenik o teoriji vjerojatnosti i matematičkoj statistici. Tradicionalni materijal nadopunjen je pitanjima kao što su vjerojatnosti kombinacija slučajnih događaja, slučajnih šetnji, linearne transformacije slučajni vektori, numeričko određivanje nestacionarnih vjerojatnosti stanja diskretnih Markovljevih procesa, primjena metoda optimizacije za rješavanje problema matematičke statistike, regresijski modeli. Glavna razlika između predložene knjige i poznatih udžbenika i monografija o teoriji vjerojatnosti i matematičkoj statistici leži u njezinoj usmjerenosti na stalno korištenje osobnog računala pri proučavanju gradiva. Izlaganje je popraćeno brojni primjeri rješavanje razmatranih problema u okruženju paketa Mathcad i STATISTICA. Knjiga je napisana na temelju više od trideset godina iskustva autora u poučavanju disciplina teorije vjerojatnosti, matematičke statistike i teorije slučajnih procesa za studente različitih specijalnosti visokih učilišta. Od praktičnog je interesa kako za studente i sveučilišne nastavnike, tako i za sve koji su zainteresirani za primjenu suvremenih vjerojatnosno-statističkih metoda.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .preuzimanje datoteka

Agekyan. Teorija vjerojatnosti za astrone i fizičare. 260 str.Veličina 1,7 Mb. Knjiga sadrži materijal na način da ga fizičari i astronomi koriste u obradi rezultata mjerenja. Korisna knjiga za izračunavanje grešaka.

preuzimanje datoteka

I.I. Bavrin. Matematička statistika teorije vjerojatnosti. 2005 godina. 161 str. djv. 1,7 MB.
Osnove teorije vjerojatnosti i matematičke statistike prikazane su u primjenama na fiziku, kemiju, biologiju, geografiju, ekologiju, vježbe za samostalan rad Svi osnovni pojmovi i odredbe ilustrirani su analiziranim primjerima i zadacima
Za studente prirodnih znanosti pedagoška sveučilišta Mogu ga koristiti studenti drugih sveučilišta

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .preuzimanje datoteka

Borodin A. N. Osnovni tečaj teorije vjerojatnosti i matematičke statistike. 1999 224 str. djvu. 3,6 MB.
Udžbenik sadrži sustavan prikaz glavnih dijelova osnovnog kolegija teorije vjerojatnosti i matematičke statistike. Tradicionalnim odjeljcima dodan je jedan novi dio - "Postupak rekurzivne procjene", s obzirom na posebnu važnost ovog postupka za aplikacije. Teorijski materijal je popraćen velika količina primjeri i zadaci iz različitih područja znanja.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . preuzimanje datoteka

Bocharov P. P., Pechinkin A. V. Teorija vjerojatnosti. Matematička statistika. 2005 godina. 296 str. djvu. 2,8 MB.
Prvi dio bavi se osnovnim konceptima teorije vjerojatnosti, koristeći relativno jednostavne matematičke konstrukcije, ali se, ipak, prikaz temelji na aksiomatskoj konstrukciji koju je predložio akademik A. N. Kolmogorov. Drugi dio iznosi osnovne pojmove matematičke statistike. Razmatraju se najčešći problemi procjene nepoznatih parametara i ispitivanja statističkih hipoteza te su opisane glavne metode za njihovo rješavanje. Svaki zadani položaj ilustriran je primjerima. Predstavljeni materijal u cjelini odgovara državnom obrazovnom standardu.
Studenti, diplomski studenti i sveučilišni profesori, istraživači raznih specijalnosti i oni koji žele steći prve pojmove o teoriji vjerojatnosti i matematičkoj statistici.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . preuzimanje datoteka

V.N. Vapnik. Obnova ovisnosti o empirijskim podacima. 1979. godine 449 str. djvu. 6,3 MB.
Monografija je posvećena problemu obnavljanja ovisnosti iz empirijskih podataka. Istražuje metodu minimiziranja rizika na uzorcima ograničene veličine, prema kojoj, pri obnavljanju funkcionalne ovisnosti, treba odabrati funkciju koja zadovoljava određeni kompromis između vrijednosti koja karakterizira njezinu "složenost" i vrijednosti koja karakterizira stupanj njegovu aproksimaciju ukupnosti empirijskih podataka. Razmatrana je primjena ove metode na tri glavna problema oporavka ovisnosti: problem prepoznavanja obrazaca učenja, oporavak regresije i interpretaciju rezultata neizravnih eksperimenata. Pokazano je da uzimanje u obzir ograničenog volumena empirijskih podataka omogućuje rješavanje problema prepoznavanja uzoraka s velikom dimenzijom prostora značajki, vraćanje regresijskih ovisnosti u nedostatku modela obnovljene funkcije i dobivanje stabilnih rješenja za netočne probleme tumačenje rezultata neizravnih eksperimenata. Dani su odgovarajući algoritmi za obnavljanje ovisnosti.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .preuzimanje datoteka

A.I. Volkovets, A. B. Gurinovich. Teorija vjerojatnosti i matematička statistika. Bilješke s predavanja. 2003 84 str. PDF. 737 Kb.
Sažetak predavanja iz kolegija "Teorija vjerojatnosti i matematička statistika" obuhvaća 17 predavanja na teme utvrđene standardnim programom rada za izučavanje ove discipline. Svrha studija je ovladavanje osnovnim metodama formaliziranog opisa i analize slučajnih pojava, obrade i analize rezultata fizikalnih i numeričkih eksperimenata. Za izučavanje ove discipline studentu su potrebna znanja stečena izučavanjem odjeljaka "Skupovi", "Skupovi i operacije nad njima", "Diferencijalni i integralni račun" kolegija više matematike.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .preuzimanje datoteka

Volodin. Predavanja iz teorije vjerojatnosti i matematičke statistike. 2004 257 str.Veličina 1,4 Mb. PDF. Theorver naglašava metode za konstruiranje vjerojatnosnih modela i implementaciju tih metoda na stvarni zadaci prirodne znanosti. U statistici je fokus na metodama za izračun rizika određenih statističkih pravila.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Preuzimanje datoteka

Wentzel, Ovčarov. Teorija vjerojatnosti i njezine inženjerske primjene. godine 2000. 480 stranica djvu. 10,3 MB.
U knjizi su sustavno prikazani temelji teorije vjerojatnosti sa stajališta njihove praktične primjene u specijalnostima: kibernetika, Primijenjena matematika, računala, automatizirani sustavi upravljanja, teorija mehanizama, radiotehnika, teorija pouzdanosti, transport, komunikacije itd. Unatoč raznolikosti područja kojima aplikacije pripadaju, svi su prožeti jednom metodološkom osnovom.
Za studente visokih tehničkih obrazovnih ustanova. Može biti od koristi nastavnicima, inženjerima i znanstvenicima različitih profila koji se u svojim praktičnim aktivnostima susreću s potrebom postavljanja i rješavanja problema vezanih uz analizu slučajnih procesa.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Preuzimanje datoteka

Wentzel, Ovčarov. Teorija vjerojatnosti. 1969. godine 365 str. djvu. 8,3 MB.
Knjiga je zbirka zadataka i vježbi. Svi problemi imaju odgovor, a većina ima rješenja.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Preuzimanje datoteka

N. Ya. VILENKIN, V. G. POTAPOV. PROBLEM-RADIONICA IZ TEORIJE VJEROJATNOSTI S ELEMENTIMA KOMBINATORIKE I MATEMATIČKE STATISTIKE. Vodič. 1979. godine 113 str. djvu. 1,3 MB.
Knjiga koja je pred čitateljima praktična je radna bilježnica za kolegij "Teorija vjerojatnosti". Zadatak se sastoji od tri poglavlja, koja su pak podijeljena u odlomke. Na početku svakog odlomka daju se što kraće glavne teorijske informacije, zatim se detaljno analiziraju tipični primjeri i na kraju se predlažu zadaci za samostalno rješavanje s odgovorima i uputama. Zadaća sadrži i tekstove laboratorijski rad, čija će implementacija pomoći izvanrednom studentu da bolje razumije osnovne pojmove matematičke statistike.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . preuzimanje datoteka

Gmurman. Teorija vjerojatnosti i matematička statistika. 2003 480 str DJVU. 5,8 MB.
Knjiga sadrži u osnovi sav materijal programa o teoriji vjerojatnosti i matematičkoj statistici. velika pažnja posvećena statističkim metodama obrade eksperimentalnih podataka. Na kraju svakog poglavlja nalaze se problemi s odgovorima. Namijenjena je studentima sveučilišta i osobama koje koriste probabilističke i statističke metode u rješavanju praktičnih problema.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Preuzimanje datoteka

Kolmogorov. Teorija vjerojatnosti. Veličina 2,0 Mb.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Preuzimanje datoteka

Kibzun i dr. Teorija vjerojatnosti i matematička statistika. Uch. džeparac. Osnovni tečaj s primjerima i zadacima. Veličina 1,7 Mb. djvu. 225 str.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Preuzimanje datoteka

M. Katz. Statistička neovisnost u teoriji vjerojatnosti, analizi i teoriji brojeva. 152 stranice djv. 1,3 MB.
Knjiga je predstavljena u vrlo pristupačnom i fascinantan oblik primjena nekih ideja teorije vjerojatnosti u drugim područjima matematike. Glavni dio knjige posvećen je konceptu statističke neovisnosti.
Knjiga će biti korisna i zanimljiva studentima, matematičarima, fizičarima, inženjerima.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .preuzimanje datoteka

M. Katz. Vjerojatnost i povezana pitanja u fizici. 408 str. djv. 3,8 MB.
Autor je sovjetskom čitatelju poznat iz prijevoda njegova djela "Statistička neovisnost u teoriji vjerojatnosti, analizi i teoriji brojeva" (IL, 1963.). Njegovo nova knjiga uglavnom posvećen jednom od najzanimljivije zadatke fizika: opisati kako sustav vrlo velikog broja čestica (plina u posudi) dolazi u stanje ravnoteže i objasniti kako je nepovratnost tog procesa u vremenu u skladu s reverzibilnošću u vremenu izvornih jednadžbi . Najveća se pozornost posvećuje probabilističkom aspektu problema; Razmatraju se statistički modeli koji oponašaju glavne značajke problema. Prva dva poglavlja također su od neovisnog interesa – na dobro odabranim primjerima autor pokazuje kako pojam vjerojatnosti nastaje u matematičkim i fizičkih zadataka te kojim se analitičkim aparatom služi teorija vjerojatnosti. Ovo izdanje uključuje članke Katza i drugih autora koji se odnose na pitanja postavljena u knjizi.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Preuzimanje datoteka

Kendall. Stuart. Multivarijantna statistička analiza i vremenske serije. 375 str DJVU. 8,2 MB.
Knjiga je posljednji svezak trotomnog tečaja statistike M. Kendalla i A. Stewarta, čiji je prvi svezak objavljen 1966. pod naslovom "Teorija distribucija:", a drugi - 1973. pod naslovom naslov "Statistički zaključci i veze".
Knjiga sadrži informacije o analizi varijance, dizajnu eksperimenata, teoriji uzorkovane ankete, multidimenzionalna analiza i vremenske serije.
Kao i prva dva sveska, knjiga sadrži mnoge praktične preporuke i primjere njihove primjene, a izlaganje kombinira manje ili više detaljan izvod glavnih rezultata s relativno kratkim nabrajanjem. veliki broj više privatnih informacija.
Knjiga će biti zanimljiva studentima preddiplomskih i diplomskih studija specijaliziranih za matematičku statistiku, kao i širokom krugu znanstvenika koji se bave njezinom primjenom.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Preuzimanje datoteka

Kendall. Stuart. TEORIJA DISTRIBUCIJA. Svezak 1. 590 stranica 10,3 Mb. 6,1 MB.
Sadržaj: Raspodjela frekvencija. Mjere položaja i disperzije. Momenti i poluinvarijante. Karakteristične funkcije. standardne distribucije. Račun vjerojatnosti. Vjerojatnost i statističko zaključivanje. Slučajni odabir. standardne greške. Točne distribucije uzorkovanja. Aproksimacija distribucija uzoraka. Aproksimacija distribucija uzoraka. Redna statistika. Multivarijantna normalna distribucija i kvadratni oblici. Raspodjele povezane s normalnim.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Preuzimanje datoteka

Kendall. Stuart. STATISTIČKI ZAKLJUČCI I ODNOSI. Svezak 2. 900 stranica djvu. 10,3 MB.
Knjiga sadrži informacije o teoriji procjene, testiranju hipoteza, korelacijskoj analizi, regresiji, neparametarskim metodama, sekvencijalnoj analizi.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Preuzimanje datoteka

N.Sh. Kremer. Teorija vjerojatnosti i matematička statistika. Udžbenik. 2. izd., prerađeno. dodati. 2004 575 str. djvu. 12,2 MB.
Ovo nije samo udžbenik, već i kratki vodič za rješavanje problema. Navedene temelje teorije vjerojatnosti i matematičke statistike prati veliki broj zadataka (uključujući i one ekonomske), zadanih uz rješenja i za samostalan rad. Istodobno, naglasak je na osnovnim pojmovima kolegija, njihovom teorijskom i vjerojatnosnom značenju i primjeni. Navedeni su primjeri korištenja probabilističkih i matematičko-statističkih metoda u zadacima Čekanje u redu i modeli financijskog tržišta.
Za studente i diplomske studente ekonomskih specijalnosti i područja, te sveučilišne profesore, istraživače i ekonomiste.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .preuzimanje datoteka

Kobzar A.I. Primijenjena matematička statistika. Za inženjere i znanstvenike. 2006 814 str. djvu. 7,7 MB.
Knjiga govori o načinima analize opažanja metodama matematičke statistike. Dosljedno na jeziku dostupnom stručnjaku - ne matematičaru, moderne metode analiza distribucija vjerojatnosti, procjena parametara distribucije, testiranje statističkih hipoteza, procjena odnosa između slučajnih varijabli, planiranje statističkog eksperimenta. Glavna pozornost posvećena je objašnjenju primjera primjene metoda suvremene matematičke statistike.
Knjiga je namijenjena inženjerima, istraživačima, ekonomistima, liječnicima, studentima diplomskih studija i studentima koji žele brzo, ekonomično i kvalitetno profesionalnoj razini koristiti cijeli arsenal suvremene matematičke statistike za rješavanje svojih primijenjenih problema.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . preuzimanje datoteka

M.L. Krasnov. Teorija vjerojatnosti. Udžbenik. godina 2001. 296 str. djvu. 3,9 MB.
Proučavajući različite pojave u prirodi i društvu, istraživač se susreće s dvije vrste eksperimenata – s onima čiji su rezultati nedvosmisleno predvidljivi u zadanim uvjetima i s onima čiji se rezultati ne mogu jednoznačno predvidjeti u uvjetima koje kontrolira istraživač, već se može samo napraviti pretpostavka o spektru mogućih rezultata. U prvom se slučaju govori o determinističkim pojavama, u drugom o pojavama koje nose slučajni lik. Istodobno, oni znače da smo a priori (unaprijed, prije nego što se provede eksperiment ili završi promatranje fenomena) u prvom slučaju u mogućnosti predvidjeti rezultat, ali ne i u drugom. Za ono što slijedi nije važno što je uzrokovalo takvu nepredvidljivost – zakoni prirode koji su u osnovi proučavanog fenomena ili nepotpunost informacija o procesima koji uzrokuju ovu pojavu. Važna okolnost je prisutnost same činjenice nepredvidljivosti. Teorija vjerojatnosti, čijim temeljima je posvećen ovaj dio, osmišljena je tako da omogući istraživaču opisivanje takvih eksperimenata i pojava i pruža mu pouzdan alat za proučavanje stvarnosti u situacijama u kojima je deterministički opis nemoguć.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .preuzimanje datoteka

E.L. Kulešov. Teorija vjerojatnosti. Predavanja za fizičare. 2002 116 stranica djvu. 919 Kb.
Za starije studente.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . preuzimanje datoteka

Lazakovič, Stašulenok, Jablonski. Tečaj teorije vjerojatnosti. Vodič. 2003 322 str. PDF. 2,9 MB.
Priručnik za obuku temelji se na godišnja stopa predavanja autora niz godina studentima Fakulteta mehanike i matematike Bjeloruskog državnog sveučilišta. Knjiga sadrži sljedeće odjeljke: prostori vjerojatnosti, neovisnost, slučajne varijable, numeričke karakteristike slučajne varijable, karakteristične funkcije, granični teoremi, osnove teorije slučajnih procesa, elementi matematičke statistike i primjene, koje sadrže tablice glavnih distribucija vjerojatnosti i vrijednosti nekih od njih. Većina poglavlja uključuje dodatke koji sadrže popratni materijal i teme za samostalno učenje.
Izlaganje je popraćeno velikim brojem primjera, vježbi i zadataka koji ilustriraju osnovne pojmove i objašnjavaju moguće primjene dokazanih tvrdnji.
Za studente matematičkih specijalnosti sveučilišta.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .preuzimanje datoteka

Loev M. Teorija vjerojatnosti. 1962. godine 449 str. djvu. 6,2 MB.
Knjiga je opsežan sustavni tečaj moderne teorije vjerojatnosti, napisan na visokoj teorijskoj razini. Na temelju teorije mjere autor proučava slučajne događaje, slučajne varijable i njihove sekvence, funkcije distribucije i karakteristične funkcije, granične teoreme teorije vjerojatnosti i slučajne procese. Izlaganje je popraćeno velikim brojem zadataka različitim stupnjevima teškoće.
Knjiga za studente dodiplomskih i diplomskih studija - matematičare koji studiraju teoriju.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .preuzimanje datoteka

Lvovsky B.N. Statističke metode za konstruiranje empirijskih formula: Zbornik radova. džeparac. 2. izd., prerađeno. dodati. 1988 239 str. djvu. 2,3 MB.
2. izdanje priručnika opisuje glavne metode za obradu eksperimentalnih podataka. Detaljno su opisane metode preliminarne obrade rezultata promatranja. Razmatraju se statističke metode za konstruiranje empirijskih formula, metoda maksimalne vjerojatnosti, metoda srednjih vrijednosti i kofluentna analiza. Obrađena je metodologija planiranja i obrade aktivnih eksperimenata. Dane su osnove analize disperzije.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .preuzimanje datoteka

Yu.D. Maksimov urednik. Vjerojatnostne grane matematike. Udžbenik. godina 2001. 581 str. djvu. 7,4 MB.
Odjeljci: !. Teorija vjerojatnosti. 2. Matematička statistika. 3. Teorija slučajnih procesa. 4. Teorija čekanja.
Udžbenik za prvostupnike tehničke krivo.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .preuzimanje datoteka

Maksimov Yu.D. Matematika. Vshusk 9. Teorija vjerojatnosti. Detaljan sažetak. Priručnik za jednodimenzionalne kontinuirane distribucije. 2002 98 stranica djv. 4,3 MB.
Priručnik je u skladu s državnim obrazovnim standardom i važećim programima discipline "Matematika" za preddiplomski studij svih općih tehničkih i ekonomskih područja. To je detaljan sažetak predavanja iz teorije vjerojatnosti, koji u osnovi odgovara osnovnom sažetku (br. 7 od. serija osnovnih sažetaka iz matematike u izdanju nakladničke kuće SPBPU). Za razliku od referentnog sažetka, ovdje su dokazi teorema i izvođenja formula izostavljenih u referentnom sažetku, te priručnik o jednodimenzionalnim kontinuiranim distribucijama. Priručnik namijenjen je studentima druge godine općih tehničkih fakulteta i ekonomskih specijalnosti. Može se koristiti i za smjer "Tehnička fizika".

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .preuzimanje datoteka

J. Neveu. Matematički temelji teorija vjerojatnosti. 1969. godine 310 str. djv. 3,0 MB.
Autor knjige poznat je po svom radu na primjeni metoda funkcionalne analize i teorije mjere na pitanja teorije vjerojatnosti. Majstorski napisana knjiga sadrži kompaktno i ujedno cjelovito izlaganje temelja teorije vjerojatnosti. Uključeno puno korisni dodaci i vježbanje.
Knjiga može poslužiti dobar udžbenik za studente i diplomske studente koji žele ozbiljno proučavati teoriju slučajnih procesa, te izvrstan priručnik za specijaliste.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .preuzimanje datoteka

D.T. Pisanje. Bilješke s predavanja iz teorije vjerojatnosti i matematičke statistike. 2004 256 str. djvu. 1,4 MB.
Ova knjiga je tečaj predavanja o teoriji vjerojatnosti i matematičkoj statistici. Prvi dio knjige sadrži osnovne pojmove i teoreme teorije vjerojatnosti, kao što su slučajni događaji, vjerojatnost, slučajne funkcije, korelacija, uvjetna vjerojatnost, zakon velikih brojeva i granični teoremi. Drugi dio knjige posvećen je matematičkoj statistici, iznosi osnove) metode uzorkovanja, teoriju procjena i provjeru hipoteza. Izlaganje teorijskog gradiva popraćeno je razmatranjem velikog broja primjera i problema, a izvedeno je pristupačnim, po mogućnosti, strogim jezikom.
Namijenjen studentima ekonomskih i tehničkih sveučilišta.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .preuzimanje datoteka

Poddubnaya O.N. Predavanja iz teorije vjerojatnosti. 2006 125 str. pdf. 2,0 Mb.
Jasno napisano. Prednosti kolegija, na primjer, uključuju činjenicu da se teorijske tvrdnje objašnjavaju primjerima.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .preuzimanje datoteka

Yu.V. Prokhorov, Yu.A. Rozanov. Teorija vjerojatnosti. Osnovni koncepti. Granični teoremi. slučajni procesi. 1967. godine 498 str. djvu. 7,6 MB.
Knjigu su napisali poznati američki matematičari i posvećena je jednom od važnih suvremenih trendova u teoriji vjerojatnosti, koji se u literaturi na ruskom jeziku nedovoljno odražava. Autori teže smislenim rezultatima, a ne maksimalnoj općenitosti, te razmatraju niz primjera i primjena. Knjiga uspješno spaja visoku znanstvenu razinu prezentacije i, ujedno, dostupnost studentskoj publici.
Za specijaliste teorije vjerojatnosti, fizičare, inženjere, diplomirane studente i sveučilišne studente.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .preuzimanje datoteka

Poincare A. Teorija vjerojatnosti. 1999 284 str. djv. 700 Kb.
Knjiga je jedan od dijelova tečaja predavanja A. Poincaréa. Raspravlja o općim temeljima teorije vjerojatnosti i netradicionalnim pitanjima koja praktički nisu sadržana ni u jednom kolegiju. Razmatraju se razne primjene u fizici, matematici i mehanici.
Knjiga je korisna širokom krugu čitatelja – fizičarima, matematičarima, povjesničarima znanosti.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .preuzimanje datoteka

Pyt'ev Yu. P. Shishmarev IA Tečaj teorije vjerojatnosti i matematičke statistike za fizičare. Proc. džeparac. Moskovsko državno sveučilište 1983. 256 str. djvu. 4,6 MB.
Knjiga se temelji na šestomjesečnom tečaju predavanja, čitaju autori na Fakultetu fizike. Mnogo je prostora dato teoriji slučajnih procesa: markovskog i stacionarnog. Prezentacija je matematički rigorozna, iako se ne temelji na korištenju Lebesgueovog integrala. Dio kolegija posvećen matematičkoj statistici sadrži dijelove usmjerene na primjenu zadataka automatizacije planiranja, analize i interpretacije fizičkih eksperimenata. Prikazana je statistička teorija mjerno-računalnog kompleksa "instrument + računalo" koja omogućuje značajno poboljšanje parametara stvarne eksperimentalne opreme obradom podataka na računalu. Teorijski elementi uključeni statistička provjera hipoteze korištene u problemu interpretacije eksperimentalnih podataka.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . preuzimanje datoteka

Saveljeva. elementarna teorija vjerojatnosti. Udžbenik, Novosibirsko državno sveučilište, 2005.
Prvi dio posvećen je teoriji. Veličina 660 Kb. Drugi dio posvećen je analizi primjera. Veličina 810 Kb. Dio 3. Riemannovi i Stieltjesovi integrali. 240 stranica djvu. 5,0 Mb. Treći dio priručnika opisuje elemente diferencijala i integralni račun, koji su korišteni u I. dijelu. Kombinirani materijal iz autorskih priručnika „Predavanja o matematička analiza, 2.1" (Novosibirsk, Novosibirsko državno sveučilište, 1973.) i "Integracija jednoliko mjerljivih funkcija" (Novosibirsk, Novosibirsko državno sveučilište, 1984.). Glavni objekt je Stieltjesov integral. Definira se kao ograničeni linearni funkcional na prostoru funkcija bez kompleksnih diskontinuiteta, što je razmatrano u 1. dijelu. Stieltjesov integral se široko koristi ne samo u teoriji vjerojatnosti, već iu geometriji, mehanici i drugim područjima matematike. Dodatak u 3. dijelu priručnika nadopunjuje dodatak u 2. dijelu. Radi cjelovitosti, neka mjesta iz 1. dijela se ponavljaju u 3. dijelu. Dodatak zadržava numeriranje stranica i odlomaka autorskog priručnika "Predavanja iz matematičke analize".

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Preuzmi 1. dio

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Preuzmite 2. dio

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Preuzmi 3. dio

Savrasov Yu.S. Optimalna rješenja. Predavanja o metodama obrade mjerenja. godine 2000. 153 str. djvu. 1,1 Mb.
Razmatraju se metode obrade mjerenja koje omogućuju najpotpunije ekstrahiranje. korisna informacija o izmjerenim parametrima ili promatranim pojavama. Prikazane metode odnose se na područje teorije vjerojatnosti, matematičke statistike, teorije odlučivanja, teorije korisnosti, teorije filtriranja za dinamički sustavi s diskretnim vremenom. Materijal knjige temelji se na predavanjima autora 1994.-1997. studenti treće godine osnovnog odjela "Radiofizike" Moskovskog instituta za fiziku i tehnologiju. U predloženom obliku knjiga će biti korisna studentima tjelesnog i tehničkim specijalnostima, inženjeri iz područja radara, obrade informacija i automatiziranih upravljačkih sustava.
Analizirano je mnogo primjera.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . preuzimanje datoteka

Samoilenko N.I., Kuznetsov A.I., Kostenko A.B. Teorija vjerojatnosti. Udžbenik. godina 2009. 201 str. PDF. 2,1 MB.
Udžbenik upoznaje osnovne pojmove i metode teorije vjerojatnosti. Navedene metode ilustrirane su tipičnim primjerima. Svaka tema završava praktičnim dijelom za samostalno stjecanje vještina o korištenju metoda teorije vjerojatnosti u rješavanju stohastičkih problema.
Za sveučilišne studente.
Primjeri iz udžbenika: bacanje novčića je doživljaj, padanje glave ili repa je događaj; vađenje karte iz preferencijalnog špila - iskustvo, pojava crvene ili crne boje - događaji; držanje predavanja je doživljaj, prisustvo studenta na predavanju je događaj.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .preuzimanje datoteka

Sekey. Paradoksi teorije vjerojatnosti i matematičke statistike. Veličina 3,8 Mb. djv. 250 stranica

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Preuzimanje datoteka

Sevastjanov B.A. Kolegij teorije vjerojatnosti i matematičke statistike. Udžbenik. 1982 255 str. djvu. 2,8 MB.
Knjiga se temelji na jednogodišnjem tečaju predavanja koje je autor niz godina održao na Odsjeku za matematiku Fakulteta za mehaniku i matematiku Moskovskog državnog sveučilišta. Osnovni pojmovi i činjenice teorije vjerojatnosti uvode se na početku za konačnu shemu. Matematičko očekivanje općenito je definirano na isti način kao Lebesgueov integral, ali se od čitatelja ne očekuje da ima prethodno znanje o Lebesgue integraciji.
Knjiga sadrži sljedeće dijelove: neovisni testovi i Markovljevi lanci, granični teoremi Moivre - Laplace i Poisson, slučajne varijable, karakteristične i generirajuće funkcije, zakon velikih brojeva, središnji granični teorem, osnovni pojmovi matematičke statistike, ispitivanje statističkih hipoteza, statističke procjene, intervali povjerenja .
Za studente preddiplomskih studija sveučilišta i tehničkih fakulteta koji studiraju teoriju vjerojatnosti.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .preuzimanje datoteka

A.N. Sobolevskog. Teorija vjerojatnosti i matematička statistika za fizičare. 2007. 47 stranica djv. 515 Kb.
Udžbenik sadrži prikaz osnova teorije vjerojatnosti i matematičke statistike za studente fizike teoretskog smjera. Uz klasični materijal (shem nezavisni testovi Bernoulli, konačan homogeni lanci Markov, difuzijski procesi), značajna se pozornost posvećuje temama kao što su teorija velikih odstupanja, koncept entropije u razne opcije, stabilni zakoni i opadajuće distribucije vjerojatnosti, stohastički diferencijalni račun. Udžbenik je namijenjen studentima specijaliziranim za različite dijelove teorijske i matematička fizika.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .preuzimanje datoteka

Tarasov L. V. Obrasci okolnog svijeta. U 3 knjige. 2004 djvu.
1. Šansa, nužnost, vjerojatnost. 384 stranice 6,8 Mb.
Ova knjiga je prilično popularan i u isto vrijeme strogo znanstveni detaljan uvod u teoriju vjerojatnosti, koji uključuje detaljna analiza problema koji se razmatraju, široke generalizacije filozofskog plana, digresije povijesne prirode. Knjiga ima jasno definiran edukativni karakter; njegov je materijal strogo strukturiran, izgrađen na temelju dokaza, opremljen velikim brojem grafikona i dijagrama; dan je značajan broj izvornih problema, od kojih su neki obrađeni u knjizi, a neki su ponuđeni čitatelju na samostalno rješavanje. Knjiga je gotovo djelo, a ujedno je i prva knjiga autoričinog trotomnog sklopa.
2. Vjerojatnost u moderno društvo. 360 stranica 4,5 Mb.
Ova knjiga pokazuje temeljnu ulogu teorije vjerojatnosti u suvremenom društvu, koja se temelji na visoko razvijenim informacijska tehnologija. Knjiga je prilično popularan i ujedno strogo znanstveno detaljan uvod u istraživanje operacija i teoriju informacija. Ima jasno definiran odgojni karakter; njegov je materijal strogo strukturiran, izgrađen na temelju dokaza, opremljen velikim brojem grafikona i dijagrama; dan je značajan broj zadataka od kojih su neki obrađeni u knjizi, a neki se nude čitatelju na samostalno rješavanje.
3. 440 stranica 7,5 Mb. Evolucija prirodoslovnog znanja.
Ovdje se u popularnom i sistematiziranom obliku analizira evolucija prirodno-znanstvenih slika svijeta: od znanstvenih programa antike na mehaničku sliku, zatim na elektromagnetsku sliku i na kraju na suvremeno slikarstvo. Prijelaz od dinamičkih (rigidno određenih) pravilnosti prema statističkim (vjerojatnim) pravilnostima pokazuje se postupnim produbljivanjem znanstvenog shvaćanja okolnog svijeta. Evolucija pojmova kvantne fizike, fizike elementarnih čestica i kozmologije razmatra se dovoljno detaljno. U zaključku se razmatraju ideje samoorganizacije otvorenih neravnotežnih sustava (pojava disipativnih struktura).
Za široki krug čitatelja, a prvenstveno za učenike srednjih škola (od 9. razreda), kao i za studente tehničkih škola i visokih učilišta.

U 7. razredu počinje proučavanje elemenata statistike i teorije vjerojatnosti. Uključivanje u tečaj algebre početnih informacija iz statistike i teorije vjerojatnosti ima za cilj razvijanje kod studenata tako važnih vještina u suvremenom društvu kao što su razumijevanje i tumačenje rezultata statističkih studija, koji se široko prezentiraju u medijima. masovni mediji. U suvremenim školskim udžbenicima uvodi se koncept vjerojatnosti slučajnog događaja na temelju životno iskustvo i intuicija učenika.

Napominjem da bi u razredima 5-6 učenici već trebali steći ideju o slučajnim događajima i njihovim vjerojatnostima, pa bi se u 7-9 razredima bilo moguće brzo upoznati s osnovama teorije vjerojatnosti, proširiti raspon informacije koje su im dostavljene.

Naša obrazovna ustanova testira program " osnovna škola 21. stoljeće". I kao profesor matematike, odlučio sam nastaviti s testiranjem ovog projekta u 5-6 razredima. Tečaj je proveden na temelju obrazovno-metodičkog sklopa M.B. Volovicha „Matematika. 5-6 razreda. U udžbeniku „Matematika. Za proučavanje elemenata teorije vjerojatnosti dodjeljuje se ocjena 6 ”6 sati. Ovdje dajemo prve preliminarne informacije o takvim konceptima kao što su testiranje, vjerojatnost slučajnog događaja, određeni i nemogući događaji. Ali najvažnije što učenici moraju naučiti jest da je uz mali broj pokušaja nemoguće predvidjeti ishod slučajnog događaja. Međutim, ako postoji mnogo testova, rezultati postaju prilično predvidljivi. Kako bi učenici bili svjesni da se vjerojatnost nastanka događaja može izračunati, dana je formula za izračunavanje vjerojatnosti nastanka događaja kada su svi ishodi koji se razmatraju “jednaki”.

Predmet: Koncept "vjerojatnosti". Slučajni događaji.

Ciljevi lekcije:

• pružiti upoznavanje s pojmom "test", "ishod", "slučajni događaj", "određeni događaj", "nemogući događaj", dati početnu ideju o tome što je "vjerojatnost događaja" , formirati sposobnost izračunavanja vjerojatnosti događaja;
• razviti sposobnost utvrđivanja pouzdanosti, nemogućnosti događaja;
• povećati znatiželju.

Oprema:

1. M.B. Volovich Matematika, 6. razred, M.: Ventana-Graf, 2006.
2. Yu.N.Makarychev, N.G. Mindyuk Elementi statistike i teorije vjerojatnosti, Moskva: Obrazovanje, 2008.
3. Novčić od 1 rublje, kocke.

TIJEKOM NASTAVE

I. Organizacijski trenutak

II. Aktualizacija znanja učenika

Riješite rebus:

(Vjerojatnost)

III. Objašnjenje novog gradiva

Ako se novčić, na primjer, rublja, baci uvis i pusti da padne na pod, tada su moguća samo dva ishoda: "novčić je pao glavom prema dolje" i "novčić je pao repom prema gore". Slučaj kada novčić padne na rub, otkotrlja se do zida i nasloni se na njega, vrlo je rijedak i obično se ne razmatra.
Dugo su se u Rusiji igrali "toss" - bacali su novčić ako je bilo potrebno riješiti kontroverzni problem koji nije imao očito pošteno rješenje, ili su igrali neku vrstu nagrade. U tim su situacijama pribjegli slučaju: jedni su mislili na gubitak "glava", drugi - "repovi".
Bacanju novčića ponekad se pribjegava čak i kada se rješavaju vrlo važna pitanja.
Primjerice, polufinalna utakmica za Europsko prvenstvo 1968. između reprezentacija SSSR-a i Italije završila je remijem. Pobjednik nije otkriven ni u produžecima ni u izvođenju jedanaesteraca. Tada je odlučeno da će pobjednika odrediti slučaj Njegovog Veličanstva. Bacili su novčić. Slučaj je bio povoljan za Talijane.
U svakodnevnom životu, u praktičnim i znanstvenim aktivnostima, često promatramo određene pojave, provodimo određene eksperimente.
Događaj koji se može ili ne mora dogoditi tijekom promatranja ili eksperimenta naziva se slučajni događaj.
Obrasce slučajnih događaja proučava posebna grana matematike tzv teorija vjerojatnosti.

Hajdemo potrošiti iskustvo 1: Petya je bacio novčić 3 puta. I sva 3 puta "orao" je ispao - novčić je pao s grbom prema gore. Pogodi je li moguće?
Odgovor: Moguće. “Orao” i “repovi” potpuno slučajno ispadaju.

Iskustvo 2: (učenici rade u parovima) Bacite novčić od 1 rublje 50 puta i prebrojite koliko puta ispadne. Zabilježite rezultate u bilježnicu.
U razredu izračunajte koliko su pokusa proveli svi učenici i koliki je ukupan broj naslova.

Iskustvo 3: Isti novčić bačen je 1000 puta. I svih 1000 puta "orao" je ispao. Pogodi je li moguće?
Razgovarajmo o ovom iskustvu.
Bacanje novčića se zove test. Gubitak "glava" ili "repova" - ishod(rezultat) testa. Ako se test ponavlja više puta pod istim uvjetima, tada se poziva informacija o rezultatima svih testova statistika.
Statistika bilježi kao broj m ishode (rezultate) koji nas zanimaju, te ukupan broj N testovi.
Definicija: Relacija se zove statistička učestalost rezultat koji nas zanima.

U 18. stoljeću francuski znanstvenik, počasni član Petrogradske akademije znanosti, Buffon, da bi provjerio ispravnost izračunavanja vjerojatnosti pada "orla", bacio je novčić 4040 puta. "Orao" je ispao 2048 puta.
U 19. stoljeću engleski znanstvenik Pearson bacio je novčić 24 000 puta. "Orao" je ispao 12.012 puta.
Zamijenimo u formulu koja nam omogućuje da izračunamo statističku učestalost pojavljivanja rezultata koji nas zanima, m= 12 012, N= 24 000. Dobivamo = 0,5005.

Razmotrimo primjer bacanja kocke. Pretpostavit ćemo da je ova kocka pravilnog oblika i izrađena od homogenog materijala, te su stoga, kada se baci, šanse za dobivanje bilo kojeg broja bodova od 1 do 6 na njenoj gornjoj strani su jednake. Kažu da ih je šest jednako vjerojatni ishodi ovog izazova: bacajte bodove 1, 2, 3, 4, 5 i 6.

Vjerojatnost događaja najlakše je izračunati ako je sve n mogući ishodi su "jednaki" (nitko od njih nema prednosti u odnosu na druge).
U ovom slučaju, vjerojatnost P izračunato po formuli R= , gdje n je broj mogućih ishoda.
U primjeru bacanja novčića postoje samo dva ishoda (“glava” i “rep”), tj. P= 2. Vjerojatnost R naslov je jednak .
Iskustvo 4: Kolika je vjerojatnost da će se kocka baciti:
a) 1 bod; b) više od 3 boda.
Odgovor: a), b).

Definicija: Ako se događaj uvijek događa pod razmatranim uvjetima, onda se zove pouzdan. Vjerojatnost da se određeni događaj dogodi je 1.

Postoje događaji koji se, pod razmatranim uvjetima, nikada ne događaju. Primjerice, Pinokio je, po savjetu lisice Alice i mačka Basilija, odlučio zakopati svoje zlatnike u polju Čuda kako bi se od njih pojavilo stablo novca. Kolika će biti vjerojatnost da će njihovi zasađeni novčići izrasti stablo? Vjerojatnost da stablo novca izraste iz kovanica koje je zasadio Pinocchio je 0.

Definicija: Ako se događaj nikada ne dogodi u uvjetima koji se razmatraju, onda se zove nemoguće. Vjerojatnost nemogućeg događaja je 0.

IV. Minuta tjelesnog odgoja

"čarobni san"

Svatko može plesati, trčati, skakati i igrati se,
Ali ne znaju se svi opustiti, odmoriti.
Imaju takvu igru, vrlo laku, jednostavnu.
Kretanje se usporava, napetost nestaje,
I postaje jasno: opuštanje je ugodno.
Trepavice padaju, oči se zatvaraju
Mirno se odmaramo, zaspimo čarobnim snom.
Dišite lako, ravnomjerno, duboko.
Napetost je nestala i cijelo tijelo je opušteno.
Kao da ležimo na travi...
Na zelenoj mekoj travi...
Sunce sad grije, ruke su nam tople.
Sunce je sad jače, noge su nam tople.
Dišite lako, slobodno, duboko.
Usne su tople i mlohave, ali nimalo umorne.
Usne blago razdvojene, i ugodno opuštene.
A naš poslušni jezik navikao je biti opušten.”
Glasnije, brže, energičnije:
“Bilo je lijepo odmoriti se, a sada je vrijeme za ustajanje.
Čvrsto stisnite prste u šaku
I pritisni ga na prsa – tako!
Protegni se, nasmiješi se, duboko udahni, probudi se!
Širom otvori oči - jedan, dva, tri, četiri!
Djeca ustaju i pjevaju s učitelj, nastavnik, profesor izgovoriti:
“Opet smo veseli, veseli i spremni za nastavu.”

V. Konsolidacija

Zadatak 1:

Koji su od sljedećih događaja sigurni, a koji nemogući:

a) Baci dvije kocke. Pao 2 boda. (autentičan)
b) Baci dvije kocke. Pao 1 bod. (nemoguće)
c) Baci dvije kocke. Pao 6 bodova. (autentičan)
d) Baci dvije kocke. Broj dobivenih bodova manji od 13. (važeće)

Zadatak 2:

Kutija sadrži 5 zelenih, 5 crvenih i 10 crnih olovaka. Dobio sam 1 olovku. Usporedite vjerojatnosti sljedećih događaja koristeći izraze: vjerojatnije, manje vjerojatno, jednako vjerojatno.

a) Ispostavilo se da je olovka obojena;
b) olovka se pokazala zelenom;
c) olovka je crna.

Odgovor:

a) jednako vjerojatno;
b) vjerojatnije da je olovka ispala crna;
c) jednako vjerojatno.

Zadatak 3: Petya je bacila kocku 23 puta. Međutim, 1 bod je pao 3 puta, 2 boda je pao 5 puta, 3 boda je pao 4 puta, 4 boda je pao 3 puta, 5 bodova pao 6 puta. U ostalim slučajevima ispalo je 6 bodova. Prilikom izvođenja zadatka zaokružite decimale na stotinke.

1. Izračunajte statističku učestalost pojavljivanja najvećeg broja bodova, vjerojatnost da će 6 bodova ispasti i objasniti zašto se statistička učestalost značajno razlikuje od vjerojatnosti pojavljivanja 6 točaka pronađene formulom.
2. Izračunajte statističku učestalost pojavljivanja parnog broja bodova, vjerojatnost da Parni broj bodova, te objasni zašto se statistička učestalost značajno razlikuje od vjerojatnosti parnog broja točaka pronađenog formulom.

Zadatak 4: Za ukrašavanje božićnog drvca donijeli su kutiju u kojoj se nalazilo 10 crvenih, 7 zelenih, 5 plavih i 8 zlatnih kuglica. Jedna kuglica se nasumce izvlači iz kutije. Kolika je vjerojatnost da će biti: a) crvena; b) zlato; c) crvena ili zlatna?

VI. Domaća zadaća

1. 1 loptica se uzima iz kutije koja sadrži crvene i zelene kuglice i zatim se vraća u kutiju. Može li se smatrati da je vađenje lopte iz kutije test? Kakav bi mogao biti ishod testa?
2. Kutija sadrži 2 crvene i 8 zelenih loptica.

a) Nađite vjerojatnost da je slučajno izvučena kugla crvena.
b) Nađite vjerojatnost da je nasumično izvučena loptica zelena.
c) Dvije kuglice se nasumce izvlače iz kutije. Može li se pokazati da su obje loptice crvene?

VII. Ishod

- Najviše informacija naučili ste iz teorije vjerojatnosti - što je slučajni događaj i statistička učestalost rezultata testa, kako izračunati vjerojatnost slučajnog događaja s jednako vjerojatnim ishodima. Ali moramo imati na umu da nije uvijek moguće procijeniti rezultate ispitivanja sa slučajnim ishodom i pronaći vjerojatnost događaja čak i s velikim brojem ispitivanja. Na primjer, nemoguće je pronaći vjerojatnost dobivanja gripe: previše čimbenika svaki put utječe na ishod ovog događaja.