Svojstva množenja prirodnih brojeva. Množenje zbroja prirodnim brojem i obrnuto

U ovoj lekciji naučit ćete o različitim svojstvima množenja i pojmovima kao što su proizvod i faktori.

Razmotrimo sljedeći problem: kolačići su doneseni u trgovinu u tri kutije od po 15 pakiranja. Koliko pakiranja kolačića je trgovina ukupno donijela?

Rješenje: pronaći ukupno pakiranja kolačića u tri kutije, dodaj 15 do 15 i opet dodaj 15, 15 + 15 + 15 = 45. Odgovor: u dućan je doneseno ukupno 45 pakiranja kolačića.

Zbroj u kojem su svi članovi međusobno jednaki može se zapisati kraće: umjesto 15 + 15 + 15 pišu 15 puta 3, što znači 15 * 3 = 45. Broj 45 naziva se umnožak brojeva 15 i 3, a brojevi 15 i 3 nazivaju se faktori.

Tako dobivamo: množenje broja M prirodnim brojem N znači pronalaženje zbroja N članova, od kojih je svaki jednak M.

Sam izraz M pomnožen s N naziva se umnožak, a vrijednost tog izraza također se naziva umnožak brojeva M i N.

Brojevi M i N nazivaju se faktori.

Radovi se čitaju, imenujući svaki čimbenik u genitivu.

Na primjer, umnožak 12 i 10 je 120, 12 je prvi faktor, 10 je drugi faktor, 120 je proizvod.

§ 2 Svojstva množenja prirodnih brojeva

Kao i kod zbrajanja i oduzimanja, množenje prirodnih brojeva također ima neka svojstva.

Prvo svojstvo je da se proizvod ne mijenja permutacijom faktora. Ovo svojstvo množenja naziva se komutativno, a uz pomoć slova zapisuje se na sljedeći način:

Na primjer, 7 puta 8 je 56, a 8 puta 7 je također 56, pa je 7 x 8 = 8 x 7.

Drugo svojstvo je asocijativno svojstvo množenja. Da biste broj pomnožili umnoškom dvaju brojeva, prvo ga možete pomnožiti s prvim faktorom, a zatim pomnožiti dobiveni umnožak s drugim faktorom.

Koristeći slova, ovo svojstvo se piše ovako:

Na primjer, proizvod 7 i 5 mora se pomnožiti s 2, dobivamo 7x5 = 35, zatim 35 puta 2, bit će 70.

Ili možete izvesti množenje koristeći svojstvo asocijativnosti, naime, prvo pomnožite 5 i 2, bit će 10, a zatim pomnožite 10 sa 7, dobit ćete 70.

Sljedeće svojstvo: ako se broj pomnoži s 1, onda se neće promijeniti, tj. N puta jedan je jednak N. Budući da je zbroj N članova, od kojih je svaki jedan, jednak N.

Inače, zbroj N članova, od kojih je svaki jednak nuli, jednak je nuli, pa je jednakost istinita: N x 0 = 0. To jest, Još jedno svojstvo množenja, proizvod je jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli.

Ponekad je pri pisanju pojedinog djela običaj izostaviti znak množenja – točku. Znak množenja se obično ne piše ispred doslovnih faktora i ispred zagrada. Na primjer, 10 puta x jednostavno je napisano 10x, ili 5 puta zbroj (y + 8) je napisan ovako:

Tako ste se u ovoj lekciji upoznali s raznim svojstvima množenja, kao što su komutativno i asocijativno, kao i sa svojstvima nule i jedan.

Popis korištene literature:

Matematika 5. razred. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I. i dr. 31. izd., ster. - M: 2013.
Didaktički materijali u 5. razredu matematike. Autor - Popov M.A. - godina 2013
Računamo bez grešaka. Rad sa samoprovjerom u matematici 5-6 razredi. Autor - Minaeva S.S. - godina 2014
Didaktički materijali iz matematike 5. razred. Autori: Dorofeev G.V., Kuznetsova L.V. - 2010
Kontrola i samostalan rad u 5. razredu matematike. Autori - Popov M.A. - godina 2012
Matematika. 5. razred: udžbenik. za učenike općeg obrazovanja. institucije / I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich. - 9. izd., Sr. - M.: Mnemosyne, 2009

Odgojno-obrazovni ciljevi sata:

unaprijediti vještinu množenja prirodnih brojeva;
naučiti koristiti svojstva množenja u izračunima;
nastaviti raditi na zadacima s riječima.

Razvojni ciljevi:

razviti logično mišljenje;
aktivirati mentalna aktivnost uz pomoć informacijske tehnologije.

Obrazovni ciljevi:

razviti pamćenje, pažnju, vještinu samostalne i kreativne aktivnosti;
potaknuti interes za predmet korištenjem ICT-a na satu.

Oprema:

interaktivna ploča,
računala,
prezentacija lekcije,
Priručnik(križaljka)
kartice" biljni svijet”,
signalne kartice.

Tijekom nastave

I. Organizacijski trenutak. Odraz. ( Prilog 1 . slajd 1.)

Poruka o temi i svrsi lekcije. (Slajd 2.)

Uvodni govor nastavnika:

“Danas nećemo biti samo učenici 5. razreda, već članovi otvorenog dioničkog društva. A tko od vas zna što je otvoreno dioničko društvo?” Informacije o OJSC-u . (Slajd 3.)

Učitelj zajedno s učenicima formulira svoje razumijevanje ovog pojma. Otvoreno dioničko društvo (OJSC) je organizacija stvorena radi profita. Članovi ove organizacije udružuju svoja sredstva za stjecanje određenog poduzeća, a zauzvrat dobivaju dionice - vrijednosne papire koji pokazuju da njihovi vlasnici imaju pravo na dio imovine poduzeća. Kada poduzeće počne ostvarivati dobit, vlasnik može dobiti dio te dobiti (dividende). Svako DD ima svoj naziv. Kako će se zvati dioničko društvo učenici će naučiti ispunjavajući sljedeći zadatak.

II. Frontalna usmena anketa pomoću interaktivne ploče.

Učenici verbalno pronalaze značenje izraza i popunjavaju tablicu odgovora. Naučite naziv dioničkog društva koje će danas stvoriti na satu. (Slajd 4.)

U sljedećoj fazi lekcije ispostavlja se tko može postati dioničar. Učlaniti se može svatko tko kupi udio u našoj tvrtki. Ispunjene križaljke uzimaju se za plaćanje. Učenici dobivaju križaljke. (Dodatak 3.)

III. Individualni rad. Učenici rješavaju križaljku. Međusobna provjera. (Slajd 5.)

IV. Referenca za povijest. Učitelj sastavlja izvještaj o nastanku prvih dioničkih društava. (Slajd 6.)

U sljedećoj fazi nastave učenici, kako bi otvorili dioničko društvo, prije svega moraju kupiti sobu. Ispred njih su dvije kuće. Jedan je očito zauzet, a drugi je upitan. Potrebno je pažljivo razmotriti prvu kuću kako bi se riješilo pitanje stjecanja druge kuće.

V. Rješenje primjera.(Slajd 7.)

Druga kuća otkrila je tajnu svog izdanja, što vam omogućuje da započnete svoj posao u ovoj kući. Što trebamo učiniti za ovo?

Učenici predlažu plan djelovanja:

Učenicima se nude zadaci s kojima se susreću svi koji će raditi popravke.

VI. Rješavanje problema na ploči. (Slajd 8-9.)

Problem s popravkom je riješen pa čak i kupnjom namještaja. U našem će kafiću biti ugodno ako se u njemu pušta glazba.

VII. Glazbena pauza. Učenici izvode pjesme. (Slajd 10.)

Želite li graditi zgrade ili stvarati strojeve,
Pokušajte bolje naučiti matematiku u školi.
Ako u školi u nastavi provodite izgubljeno vrijeme,
Nikad ne možeš postati ozbiljan biznismen.
Da biste postali poduzetnik, morate znati
Na nastavi morate biti vrlo marljivi.
Da bi vam profit tekao u neprekidnom toku
U učionici morate biti oprezni.
Mi smo cure - smijemo se zbogom tebi.
Pozivamo vas u tamošnji kafić i nađite se.

S glazbenim aranžmanom problem je riješen, a sada treba razmisliti što će biti na meniju. Kafić se zove "Sweet Tooth", tada bi trebao imati slatku hranu. Za njihovu izradu potrebno je mnogo domišljatosti. Učenici vježbaju domišljatost na sljedećem matematičkom problemu.

VIII. Rad s udžbenikom. (Slajd 11.)

Broj 416 (str. 69): ponavljanje i učvršćivanje svojstava množenja.
a ∙ b = b ∙ a
a ∙ (b ∙ c) = (a ∙ b) ∙ c

IX. Fizkultminutka.(Slajd 12.)

X. Test. Rad na računalima. (Slajd 13.) Učenici polažu testove na računalima. (Dodatak 2.)

Rezultati testa se zbrajaju i daju ocjene u dnevnike.

XI. Dodatni zadatak. Pronađite grešku i popravite je:

76 + 24 = 90;
190 – 67 = 123;
2005 + 15 = 2020;
1313: 13 = 11;
50 6 13 = 390;
72 11 = 792;
8 8 125 = 800;
(200 + 67) – 100 = 167.

XII. Učenici od skupa riječi sastavljaju reklamu za svoj kafić.(Slajd 14.)

XIII. Sažetak lekcije.

Kako se zovu brojevi kada se množe?
Koja svojstva množenja se koriste za praktičnost izračuna?

XIV. Kreativna domaća zadaća. (Slajd 15.)

Kartice "Iz svijeta biljaka."

XV. Odraz. (Slajd 16.)

Razmotrimo primjer koji potvrđuje valjanost komutativnog svojstva množenja dva prirodna broja. Na temelju značenja množenja dva prirodna broja izračunavamo umnožak brojeva 2 i 6, kao i umnožak brojeva 6 i 2 te provjeravamo jednakost rezultata množenja. Umnožak brojeva 6 i 2 jednak je zbroju 6+6, iz tablice zbrajanja nalazimo 6+6=12. A umnožak brojeva 2 i 6 jednak je zbroju 2+2+2+2+2+2, što je jednako 12 (ako je potrebno, pogledajte materijal članka dodajući tri ili više brojeva). Stoga je 6 2=2 6 .

Evo slike koja ilustrira komutativno svojstvo množenja dva prirodna broja.

Asocijativno svojstvo množenja prirodnih brojeva.

Recimo asocijativno svojstvo množenja prirodnih brojeva: pomnožimo zadani broj sa ovaj posao dva broja je isto kao množenje zadanog broja s prvim faktorom i množenje rezultata s drugim faktorom. To je, a (b c)=(a b) c, pri čemu a, b i c mogu biti bilo koji prirodni brojevi (zagrade sadrže izraze čije se vrijednosti prvo vrednuju).

Navedimo primjer koji potvrđuje asocijativno svojstvo množenja prirodnih brojeva. Izračunajte umnožak 4·(3·2) . Po značenju množenja imamo 3 2=3+3=6 , zatim 4 (3 2)=4 6=4+4+4+4+4+4=24 . Sada napravimo množenje (4 3) 2 . Budući da je 4 3=4+4+4=12 , tada je (4 3) 2=12 2=12+12=24 . Dakle, jednakost 4·(3·2)=(4·3)·2 je istinita, što potvrđuje valjanost razmatranog svojstva.

Pokažimo sliku koja ilustrira asocijativno svojstvo množenja prirodnih brojeva.

U zaključku ovog odlomka napominjemo da nam asocijativno svojstvo množenja omogućuje jedinstveno određivanje množenja tri ili više prirodnih brojeva.

Distributivno svojstvo množenja s obzirom na zbrajanje.

Sljedeće svojstvo odnosi se na zbrajanje i množenje. Formulira se na sljedeći način: pomnožiti ovaj iznos dva broja zadanim brojem je isto kao zbrajanje umnoška prvog člana i zadani broj s umnoškom drugog člana i zadanog broja . Ovo je takozvano distributivno svojstvo množenja u odnosu na zbrajanje.

Koristeći slova, distributivno svojstvo množenja s obzirom na zbrajanje zapisuje se kao (a+b) c=a c+b c(u izrazu a c + b c prvo se vrši množenje, nakon čega se vrši zbrajanje, više o tome piše u članku), gdje su a, b i c proizvoljni prirodni brojevi. Imajte na umu da se snaga komutativnog svojstva množenja, distributivnog svojstva množenja može zapisati u sljedeći obrazac: a (b+c)=a b+a c.

Navedimo primjer koji potvrđuje distributivno svojstvo množenja prirodnih brojeva. Provjerimo jednakost (3+4) 2=3 2+4 2 . Imamo (3+4) 2=7 2=7+7=14 , i 3 2+4 2=(3+3)+(4+4)=6+8=14 , dakle jednakost (3+4 ) 2=3 2+4 2 je točno.

Pokažimo sliku koja odgovara distributivnom svojstvu množenja s obzirom na zbrajanje.

Distributivno svojstvo množenja s obzirom na oduzimanje.

Ako se pridržavamo značenja množenja, tada je umnožak 0 n, gdje je n proizvoljni prirodni broj veći od jedan, zbroj n članova, od kojih je svaki jednak nuli. Na ovaj način, . Svojstva zbrajanja omogućuju nam da tvrdimo da je posljednji zbroj nula.

Dakle, za bilo koji prirodni broj n vrijedi jednakost 0 n=0.

Kako bi komutativno svojstvo množenja ostalo valjano, prihvaćamo i valjanost jednakosti n·0=0 za bilo koji prirodni broj n.

Tako, umnožak nule i prirodnog broja je nula, to je 0 n=0 i n 0=0, gdje je n proizvoljan prirodan broj. Posljednja izjava je formulacija svojstva množenja prirodnog broja i nule.

U zaključku, dajemo nekoliko primjera vezanih za svojstvo množenja o kojem se raspravlja u ovom pododjeljku. Umnožak brojeva 45 i 0 je nula. Ako pomnožimo 0 sa 45970, tada ćemo također dobiti nulu.

Sada možete sa sigurnošću početi proučavati pravila po kojima se provodi množenje prirodnih brojeva.

Bibliografija.

Matematika. Bilo koji udžbenici za 1., 2., 3., 4. razred obrazovnih ustanova.
Matematika. Bilo koji udžbenici za 5 razreda obrazovnih ustanova.

U kojem su svi članovi međusobno jednaki, pišu kraće: umjesto 25 + 25 + 25 pišu 25 3.
Dakle, 25 3 = 75. Broj 75 naziva se umnožak brojeva 25 i 3, a brojevi 25 i 3 nazivaju se faktori.

415. Izvrši radnje primjenom asocijativnog svojstva množenja:

a) 50 (2,764); c) 125 (4 80);
b) (111 2) 35; d) (402 125) 8.

416. Izračunaj odabirom prikladnog postupka:

a) 483 2 5; c) 25 86 4;
b) 4 5 333; d) 250 3 40.

417. U trgovinu je doneseno 5 kutija boja. Svaka kutija sadrži 144 kutije, a svaka kutija sadrži 12 tubica boje. Koliko su tubica donijeli u trgovinu? Riješite problem na dva načina.

a) Izgradili smo 5 vikendica od 80 m2 stambenog prostora i 2 vikendice od 140 m2. Što je živi prostor sve ove vikendice?

b) Masa posude s četiri police za knjige je 3 c. Kolika je težina prazne posude ako je težina jednog ormarića 58 kg?

421. Donijeli su 12 sanduka jabuka po 30 kg i 8 sanduka krušaka po 40 kg. Koje je značenje sljedećih izraza:

a) 30 12; c) 40 8; e) 30 12 + 40 8;
b) 12 - 8; d) 40 - 30; e) 30 12 - 40 8?

422. Učinite sljedeće:

a) (527 - 393) 8; d) 54 23 35;
b) 38 65 - 36 63; e) (247 - 189) (69 + 127);
c) 127 15 + 138 32; f) (1203 + 2837 - 1981) 21.

423. Zapiši rad:

a) 8 i x; b) 12 + a i 16; c) 25 -m i 28 + n d) a + b i m.

424. Navedite množitelje u umnošku:

a) Zt; c) 4ab; e) (m + n) (k - 3);
b) 6(x + p); d) (x - y) 14; f) 5k(m + a).

a) umnožak m i n;
b) trostruki zbroj a i b;
c) zbroj umnožaka brojeva 6 i x i brojeva 8 i y;
d) umnožak razlike brojeva a i b i broja c.

426. Pročitaj izraz:

a) a (c + d); c) 3(m + n); e) ab + c;
b) (4 - a) 8; d) 2(m-n); e) m - cd.

427. Pronađite vrijednost izraza:

a) 8a + 250 s a = 12; petnaest;

b) 14(6 + 12) za b = 13; osamnaest.

428. Biciklist je vozio sat vremena brzinom 12 km/h i 2 sata brzinom 8 km/h. Koliko je kilometara biciklist prešao za to vrijeme? Napravite izraz za rješavanje zadatka i nađite njegovu vrijednost na a = 1; 2; četiri.

429. Napravi izraz prema uvjetu zadatka:

a) Od 6 police za knjige ugrađeni ormar. Visina svake police je x cm. Pronađite visinu ormarića. Pronađite vrijednost izraza na x = 28; 33.
b) Za jedno putovanje automobil MAZ-25 prevozi 25 tona tereta. Koliko će tereta ponijeti u k letova? Pronađite vrijednost izraza kada je k = 10; 5; 0.

430. Cijena jedne odbojkaške lopte je x p., a cijena košarkaške lopte y p. Što znače izrazi: Zh; 4g; bx + 2y; 15x - 2g; 4(x + y)?

431. Napravi zadatak prema izrazu:

a) (80 + 60) -7; c) 28 4 + 35 5;
b) (65 - 40) -4; d) 96 5 - 82 3.

432. Na vrh brda vodi pet staza. Na koliko načina se može ići gore-dolje s brda ako idete gore-dolje različitim putevima?

433. Koje je od djela veće: 67 2 ili 67 3? Objasnite zašto je to tako. Objasni zašto 190 8< 195 12. Сделайте вывод.

434. Poredaj, bez obavljanja množenja, uzlaznim redoslijedom umnoška: 56 24; 56 49; 13 24; 13 11; 74 49; 7 11.

435. Dokaži da:

a) 20 30< 23 35 < 30 40;
b) 600 800< 645 871 < 700 900;
c) 1200< 36 42 < 2000;
d) 45.000< 94 563 < 60 000.

436. Usmeno izračunaj:

437. Koji broj nedostaje?

438. Obnovi lanac izračuna:

439. Pogodi korijene jednadžbe:

a) x + x = 64; b) 58 + y + y + y = 58; c) a + 2 = a - 1.

440. Zamislite problem koji bi se riješio pomoću jednadžbe:

a) x + 15 = 45;

b) y - 12 = 18.

441. Koliko se četveroznamenkastih brojeva može sastaviti od neparnih znamenki ako se znamenke u unosu broja ne ponavljaju?

442. Među brojevima 1, 0, 5, 11.9 pronađite korijene jednadžbe:

a) x + 19 = 30; c) 30 + x = 32 - x
b) 27 - x = 27 + x; d) 10 + x + 2 = 15 + x - 3.

443. Navedi nekoliko svojstava grede. Koje od ovih svojstava ima ravna crta?

444. Smislite način da brzo i jednostavno izračunate vrijednost izraza:

39 - 37 + 35 - 33 + 31 - 29 + 27 - 25 + ... + 11 - 9 + 7 - 5 + 3 - 1.

445. Riješite jednadžbu:

a) 127 + y \u003d 357 - 85; c) 144 - y - 54 = 37;
b) 125 + y - 85 = 65; G). 52 + y + 87 = 159.

446. Pri kojoj vrijednosti slova vrijedi jednakost:

a) 34 + a = 34; d) 58 - d = 0; g) k - k = 0;
b) b + 18 = 18; e) m + 0 = 0; h) l + I = 0?
c) 75 - c = 75; f) 0 - n = 0;

447. Riješite problem:

a) U košari ima gljiva. Nakon što je iz njega izvađeno 10 gljiva, a zatim u njega stavljeno 14 gljiva, u njemu je bilo 85 gljiva. Koliko je gljiva prvobitno bilo u košari?

b) Dječak je imao 16 poštanskih maraka. Kupio je još nekoliko maraka, nakon toga dao mlađi brat 23 marke i ostalo mu je 19 maraka. Koliko je maraka dječak kupio?

448. Pojednostavite izraz:

1) (138 + m) - 95; 3) (x - 39) + 65;
2) (198 + n) - 36; 4) (y - 56) + 114.

449. Pronađite vrijednost izraza:

1) 7480 - 6480: 120 + 80;

2) 1110 + 6890: 130 - 130.

450. Pronađite vrijednost izraza:

a) 704 + 704 + 704 + 704;

b) 542 + 542 + 542 + 618 + 618.

451. Izrazite zbrojem umnožak:

a) 24-4; b) k 8; c) (x + y) 4: d) (2a - b) 5.

452. U trgovinu je doneseno 250 kutija, svaka kutija sadrži 54 pakiranja kolačića. Kolika je masa cijelog keksa ako je masa jednog pakiranja 150 g?

453. U trokutu ABC stranica AB je 27 cm i 3 puta je veća od stranice BC. Nađite duljinu stranice AC ako je opseg trokut ABC jednaka 61 cm.

454. Jedan automatski stroj proizvodi 12 dijelova u minuti, a drugi - 15 istih dijelova. Koliko će se dijelova proizvesti za 20 minuta prvog stroja i 15 minuta drugog stroja?

455. Pomnoži:

a) 56 24; c) 235 48; e) 203 504; g) 2103 7214;
b) 37 85; d) 37 129; f) 210 3500; h) 5008 3020.

456. Dva vlaka krenula su s iste stanice u isto vrijeme u suprotnim smjerovima. Brzina jednog vlaka je 50 km/h, a drugog 85 km/h. Kolika je udaljenost između vlakova nakon 3 sata?

457. Od sela do grada biciklist je vozio 4 sata brzinom od 12 km/h. Na koliko će vremena potrošiti Povratno putovanje na istoj cesti ako poveća brzinu za 4 km/h?

458. Zamisli problem prema izrazu:

a) 120 + 65-2; b) 168 -43-2; c) 15 4 + 12 4.

459. Usporedi, bez računanja, proizvode (odgovor zapiši znakom<):

a) 245 611 i 391 782;

b) 8976 1240 i 6394 906.

460. Zapiši uzlaznim redoslijedom proizvoda:

172 191; 85 91; 85 104; 36 91; 36 75; 172 104.

461. Izračunaj:

a) (18 384 4- 19 847) (384 - 201 - 183);
b) (2839 - 939) (577: 577).

462. Riješite jednadžbu:

a) (x + 27) - 12 = 42; c) d - 35 - 64 = 16;
b) 115 - (35 + y) = 39; d) 28 - t + 35 = 53.

463. Prebrojite koliko četvorki, a koliko petica na slici 48, ali samo po posebnom pravilu - trebate brojati i četvorke i petice u nizu: "Prva četiri, prva petica, druga četiri, treća četvorka , drugih pet itd." Ako ne možete odmah brojati, vraćajte se ovom zadatku iznova i iznova.

N.Ya. VILENKIN, V. I. ZHOKHOV, A. S. CHESNOKOV, S. I. SHVARTSBURD, Matematika 5. razred, Udžbenik za obrazovne ustanove

Zbirka sažetaka lekcija iz matematike preuzimanje datoteka, kalendarsko-tematsko planiranje, udžbenici iz svih predmeta