Kako je lako pronaći zajednički nazivnik dvaju brojeva. Načini pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika, nok is i sva objašnjenja

Razmotrite tri načina za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika.

Pronalaženje faktoringom

Prvi način je pronaći najmanji zajednički višekratnik tako da zadane brojeve razložimo u proste faktore.

Pretpostavimo da trebamo pronaći LCM brojeva: 99, 30 i 28. Da bismo to učinili, svaki od ovih brojeva rastavljamo na proste faktore:

Da bi željeni broj bio djeljiv s 99, 30 i 28, potrebno je i dovoljno da uključuje sve proste faktore ovih djelitelja. Da bismo to učinili, moramo uzeti sve proste faktore ovih brojeva na najveću pojavnu moć i pomnožiti ih zajedno:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Dakle, LCM (99, 30, 28) = 13 860. Nijedan drugi broj manji od 13 860 nije jednako djeljiv s 99, 30 ili 28.

Da biste pronašli najmanji zajednički višekratnik zadanih brojeva, trebate ih rastaviti na proste faktore, zatim uzeti svaki prosti faktor s najvećim eksponentom s kojim se pojavljuje i pomnožiti te faktore zajedno.

Budući da međusobno prosti brojevi nemaju zajedničkog primarni čimbenici, tada je njihov najmanji zajednički višekratnik jednak umnošku tih brojeva. Na primjer, tri broja: 20, 49 i 33 su međusobno prosti. Tako

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32 340.

Isto treba učiniti kada se traži najmanji zajednički višekratnik raznih primarni brojevi. Na primjer, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Pronalaženje odabirom

Drugi način je pronaći najmanji zajednički višekratnik uklapanjem.

Primjer 1. Kada je najveći od zadanih brojeva jednako djeljiv s drugim zadanim brojevima, tada je LCM tih brojeva jednak većem od njih. Na primjer, data su četiri broja: 60, 30, 10 i 6. Svaki od njih je djeljiv sa 60, dakle:

NOC(60, 30, 10, 6) = 60

U drugim slučajevima, za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika koristi se sljedeći postupak:

Od zadanih brojeva odredi najveći broj.
Zatim pronađite brojeve koji su višestruki najveći broj, pomnoživši ga sa cijeli brojevi uzlaznim redoslijedom i provjeravanjem jesu li preostali zadani brojevi djeljivi s rezultirajućim umnoškom.

Primjer 2. Zadana su tri broja 24, 3 i 18. Odredite najveći od njih - to je broj 24. Zatim pronađite višekratnike broja 24, provjeravajući je li svaki od njih djeljiv s 18 i s 3:

24 1 = 24 je djeljivo sa 3, ali nije djeljivo sa 18.

24 2 = 48 - djeljivo sa 3, ali nije djeljivo sa 18.

24 3 \u003d 72 - djeljivo s 3 i 18.

Dakle, LCM(24, 3, 18) = 72.

Pronalaženje uzastopnim traženjem LCM

Treći način je pronaći najmanji zajednički višekratnik uzastopnim pronalaženjem LCM-a.

LCM dva zadana broja jednak je umnošku tih brojeva podijeljen s njihovim najvećim zajedničkim djeliteljem.

Primjer 1. Pronađite LCM dva zadana broja: 12 i 8. Odredite njihov najveći zajednički djelitelj: GCD (12, 8) = 4. Pomnožite ove brojeve:

Proizvod dijelimo na njihov GCD:

Dakle, LCM(12, 8) = 24.

Da biste pronašli LCM od tri ili više brojeva, koristi se sljedeći postupak:

Prvo se pronađe LCM bilo koja dva od zadanih brojeva.
Zatim, LCM pronađenog najmanjeg zajedničkog višekratnika i trećeg zadani broj.
Zatim, LCM rezultirajućeg najmanjeg zajedničkog višekratnika i četvrtog broja, i tako dalje.
Stoga se LCM pretraga nastavlja sve dok postoje brojevi.

Primjer 2. Pronađite LCM tri podatka brojevi: 12, 8 i 9. LCM brojeva 12 i 8 smo već pronašli u prethodnom primjeru (ovo je broj 24). Ostaje pronaći najmanji zajednički višekratnik od 24 i treći zadani broj - 9. Odredite njihov najveći zajednički djelitelj: gcd (24, 9) = 3. Pomnožite LCM s brojem 9:

Proizvod dijelimo na njihov GCD:

Dakle, LCM(12, 8, 9) = 72.

Pri zbrajanju i oduzimanju algebarskih razlomaka s različitim nazivnicima prvo dovode razlomci zajednički nazivnik. To znači da pronalaze takav jedan nazivnik, koji je podijeljen s izvornim nazivnikom svakog algebarskog razlomka koji je dio ovog izraza.

Kao što znate, ako se brojnik i nazivnik razlomka pomnože (ili podijele) s istim brojem koji nije nula, tada se vrijednost razlomka neće promijeniti. Ovo je glavno svojstvo razlomka. Stoga, kada razlomci vode do zajedničkog nazivnika, zapravo se izvorni nazivnik svakog razlomka množi faktorom koji nedostaje na zajednički nazivnik. U ovom slučaju potrebno je pomnožiti s ovim faktorom i brojnikom razlomka (za svaki je razlomak različit).

Na primjer, s obzirom na sljedeći zbroj algebarskih razlomaka:

Potrebno je pojednostaviti izraz, tj. dodati dva algebarska razlomka. Da biste to učinili, prije svega, potrebno je svesti članke-razlomke na zajednički nazivnik. Prvi korak je pronaći monom koji je djeljiv s 3x i 2y. U ovom slučaju poželjno je da bude najmanji, tj. pronaći najmanji zajednički višekratnik (LCM) za 3x i 2y.

Za numeričke koeficijente i varijable LCM se traži zasebno. LCM(3, 2) = 6 i LCM(x, y) = xy. Nadalje, pronađene vrijednosti se množe: 6xy.

Sada moramo odrediti s kojim faktorom trebamo pomnožiti 3x da bismo dobili 6xy:
6xy ÷ 3x = 2y

To znači da kada se prvi algebarski razlomak svodi na zajednički nazivnik, njegov se brojnik mora pomnožiti s 2y (nazivnik je već pomnožen kada se svede na zajednički nazivnik). Slično se traži faktor za brojnik drugog razlomka. Bit će jednako 3x.

Dakle, dobivamo:

Tada već možete postupiti kao s razlomcima sa isti nazivnici: zbrajaju se brojnici, a u nazivnik se upisuje jedan zajednički:

Nakon transformacija dobiva se pojednostavljeni izraz, koji je jedan algebarski razlomak, što je zbroj dvaju izvornika:

Algebarski razlomci u izvornom izrazu mogu sadržavati nazivnike koji su polinomi, a ne monomi (kao u gornjem primjeru). U ovom slučaju, prije pronalaženja zajedničkog nazivnika, faktorirajte nazivnike (ako je moguće). Nadalje, zajednički nazivnik skuplja se iz različitih faktora. Ako je faktor u nekoliko početnih nazivnika, onda se uzima jednom. Ako množitelj ima različitih stupnjeva u izvornim nazivnicima, onda se uzima s većim. Na primjer:

Ovdje se polinom a 2 - b 2 može predstaviti kao proizvod (a - b)(a + b). Faktor 2a – 2b proširen je kao 2(a – b). Dakle, zajednički nazivnik će biti jednak 2(a - b)(a + b).

Da biste riješili primjere s razlomcima, morate znati pronaći najmanji zajednički nazivnik. Ispod je detaljna uputa.

Kako pronaći najmanji zajednički nazivnik – koncept

Najmanji zajednički nazivnik (LCD) jednostavnim riječima je najmanji broj koji je djeljiv nazivnicima svih razlomaka ovaj primjer. Drugim riječima, zove se najmanji zajednički višestruk (LCM). NOZ se koristi samo ako su nazivnici razlomaka različiti.

Kako pronaći najmanji zajednički nazivnik - primjeri

Razmotrimo primjere pronalaženja NOZ-a.

Izračunaj: 3/5 + 2/15.

Rješenje (slijed radnji):

Gledamo nazivnike razlomaka, pazimo da su različiti i da se izrazi što je više moguće reduciraju.
Pronašli smo manji broj, koji je djeljiv i sa 5 i sa 15. Ovaj broj će biti 15. Dakle, 3/5 + 2/15 = ?/15.
Odgonetnuli smo nazivnik. Što će biti u brojniku? Dodatni množitelj pomoći će nam da to shvatimo. Dodatni faktor je broj dobiven dijeljenjem NOZ-a s nazivnikom određenog razlomka. Za 3/5 dodatni faktor je 3, budući da je 15/5 = 3. Za drugi razlomak dodatni faktor je 1, budući da je 15/15 = 1.
Nakon što smo otkrili dodatni faktor, pomnožimo ga s brojnicima razlomaka i zbrojimo rezultirajuće vrijednosti. 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15.

Odgovor: 3/5 + 2/15 = 11/15.

Ako se u primjeru ne dodaju ili oduzimaju 2, nego 3 ili više razlomaka, tada se u NOZ-u mora tražiti onoliko razlomaka koliko je zadano.

Izračunaj: 1/2 - 5/12 + 3/6

Rješenje (slijed radnji):

Pronalaženje najmanjeg zajedničkog nazivnika. Najmanji broj djeljiv sa 2, 12 i 6 je 12.
Dobivamo: 1/2 - 5/12 + 3/6 = ?/12.
Tražimo dodatne množitelje. Za 1/2 - 6; za 5/12 - 1; za 3/6 - 2.
Množimo s brojnicima i dodjeljujemo odgovarajuće znakove: 1/2 - 5/12 + 3/6 = (1 * 6 - 5 * 1 + 2 * 3) / 12 = 7/12.

Odgovor: 1/2 - 5/12 + 3/6 = 7/12.

množenje "križ-križ"

Metoda zajedničkog djelitelja

Zadatak. Pronađite vrijednosti izraza:

Da biste vidjeli koliku dobit daje metoda najmanje uobičajenog višestrukog broja, pokušajte izračunati iste primjere korištenjem unakrsnog metoda.

Zajednički nazivnik razlomaka

Naravno, bez kalkulatora. Mislim da će nakon toga komentari biti suvišni.

Vidi također:

Prvotno sam želio uključiti metode zajedničkog nazivnika u paragraf "Zbrajanje i oduzimanje razlomaka". Ali pokazalo se da ima toliko informacija, a njihova važnost je tako velika (uostalom, ne samo brojčani razlomci), da je bolje proučiti ovo pitanje zasebno.

Recimo da imamo dva razlomka s različitim nazivnicima. I želimo biti sigurni da nazivnici postanu isti. U pomoć dolazi glavno svojstvo razlomka, koje, da vas podsjetim, zvuči ovako:

Razlomak se ne mijenja ako se njegov brojnik i nazivnik pomnože s istim brojem koji nije nula.

Dakle, ako ispravno odaberete faktore, nazivnici razlomaka će biti jednaki - ovaj proces se zove. I zovu se željeni brojevi, "izravnavajući" nazivnike.

Zašto trebate dovesti razlomke na zajednički nazivnik? Evo samo nekoliko razloga:

Zbrajanje i oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima. Ne postoji drugi način za izvođenje ove operacije;
Usporedba razlomaka. Ponekad svođenje na zajednički nazivnik uvelike pojednostavljuje ovaj zadatak;
Rješavanje problema na dionice i postotke. Postocima su, zapravo, obični izrazi koji sadrže razlomke.

Postoji mnogo načina za pronalaženje brojeva koji čine nazivnike jednakima kada se množe. Razmotrit ćemo samo tri od njih - prema rastućoj složenosti i, u određenom smislu, učinkovitosti.

množenje "križ-križ"

Najjednostavniji i najpouzdaniji način, koji zajamčeno izjednačava nazivnike. Djelat ćemo "naprijed": prvi razlomak množimo nazivnikom drugog razlomka, a drugi nazivnikom prvog. Kao rezultat, nazivnici oba razlomka će postati jednak proizvodu izvorni nazivnici. Pogledaj:

Zadatak. Pronađite vrijednosti izraza:

Kao dodatne faktore razmotrite nazivnike susjednih razlomaka. dobivamo:

Da, tako je jednostavno. Ako tek počinjete učiti razlomke, bolje je raditi s ovom metodom - tako ćete se osigurati od mnogih pogrešaka i zajamčeno ćete dobiti rezultat.

Jedini nedostatak ovu metodu- morate puno brojati, jer se nazivnici množe "po cijelom", a kao rezultat možete dobiti vrlo velike brojke. To je cijena pouzdanosti.

Metoda zajedničkog djelitelja

Ova tehnika pomaže u velikoj mjeri smanjiti izračune, ali se, nažalost, rijetko koristi. Metoda je sljedeća:

Pogledajte nazivnike prije nego što krenete "kroz" (tj. "križ-križ"). Možda je jedan od njih (onaj koji je veći) djeljiv s drugim.
Broj dobiven takvim dijeljenjem bit će dodatni faktor za razlomak s manjim nazivnikom.
Istodobno, razlomak s velikim nazivnikom uopće ne treba množiti ni s čim - to je ušteda. Istodobno, vjerojatnost pogreške je naglo smanjena.

Zadatak. Pronađite vrijednosti izraza:

Imajte na umu da 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Budući da je u oba slučaja jedan nazivnik djeljiv drugim bez ostatka, primjenjujemo metodu zajedničkih faktora. Imamo:

Imajte na umu da drugi razlomak uopće nije pomnožen s ničim. Zapravo, prepolovili smo količinu izračuna!

Inače, razlomke u ovom primjeru uzeo sam s razlogom. Ako ste zainteresirani, pokušajte ih prebrojati metodom unakrsne. Nakon smanjenja odgovori će biti isti, ali posla će biti puno više.

To je snaga metode. zajednički djelitelji, ali, ponavljam, može se koristiti samo ako se jedan nazivnik podijeli s drugim bez ostatka. Što se događa prilično rijetko.

Najmanje uobičajena višestruka metoda

Kada razlomke svedemo na zajednički nazivnik, u biti pokušavamo pronaći broj koji je djeljiv sa svakim nazivnikom. Zatim nazivnike oba razlomka dovodimo na ovaj broj.

Takvih brojeva ima puno, a najmanji od njih neće nužno biti jednak izravnom umnošku nazivnika izvornih razlomaka, kao što se pretpostavlja u metodi "križno".

Na primjer, za nazivnike 8 i 12, broj 24 je sasvim prikladan, budući da je 24: 8 = 3; 24:12 = 2. Ovaj broj je mnogo manje proizvoda 8 12 = 96.

Najmanji broj koji je djeljiv svakim od nazivnika naziva se njihov (LCM).

Oznaka: najmanji zajednički višekratnik brojeva a i b označava se s LCM(a; b). Na primjer, LCM(16; 24) = 48; LCM (8; 12) = 24.

Ako uspijete pronaći takav broj, ukupni iznos izračuna bit će minimalan. Pogledajte primjere:

Kako pronaći najmanji zajednički nazivnik

Pronađite vrijednosti izraza:

Imajte na umu da je 234 = 117 2; 351 = 117 3. Faktori 2 i 3 su međusobno prosti (nemaju zajedničkih djelitelja osim 1), a faktor 117 je zajednički. Stoga je LCM(234; 351) = 117 2 3 = 702.

Slično, 15 = 5 3; 20 = 5 4. Faktori 3 i 4 su međusobno prosti, a faktor 5 je uobičajen. Stoga je LCM(15; 20) = 5 3 4 = 60.

Dovedimo sada razlomke na zajedničke nazivnike:

Zapazite koliko je korisno faktorizacija izvornih nazivnika:

Otkrivanje isti množitelji, odmah smo došli do najmanjeg zajedničkog višekratnika, što je, općenito govoreći, netrivijalan problem;
Iz dobivenog proširenja možete saznati koji faktori "nedostaju" za svaki od razlomaka. Na primjer, 234 3 \u003d 702, dakle, za prvi razlomak dodatni faktor je 3.

Nemojte misliti da su ovi složene frakcije u stvarnim primjerima neće. Stalno se sastaju, a navedeni zadaci nisu granica!

Jedini problem je kako pronaći ovaj NOC. Ponekad se sve pronađe u nekoliko sekundi, doslovno "na oko", ali općenito se radi o složenom računskom problemu koji zahtijeva zasebno razmatranje. Ovdje se nećemo doticati ovoga.

Vidi također:

Dovođenje razlomaka na zajednički nazivnik

Prvotno sam želio uključiti metode zajedničkog nazivnika u paragraf "Zbrajanje i oduzimanje razlomaka". Ali bilo je toliko informacija, a njihova je važnost toliko velika (uostalom, ne samo brojčani razlomci imaju zajedničke nazivnike), da je bolje proučiti ovo pitanje zasebno.

Recimo da imamo dva razlomka s različitim nazivnicima. I želimo biti sigurni da nazivnici postanu isti. U pomoć dolazi glavno svojstvo razlomka, koje, da vas podsjetim, zvuči ovako:

Razlomak se ne mijenja ako se njegov brojnik i nazivnik pomnože s istim brojem koji nije nula.

Dakle, ako ispravno odaberete faktore, nazivnici razlomaka će biti jednaki - ovaj proces se zove. I zovu se željeni brojevi, "izravnavajući" nazivnike.

Zašto trebate dovesti razlomke na zajednički nazivnik?

Zajednički nazivnik, pojam i definicija.

Evo samo nekoliko razloga:

Zbrajanje i oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima. Ne postoji drugi način za izvođenje ove operacije;
Usporedba razlomaka. Ponekad svođenje na zajednički nazivnik uvelike pojednostavljuje ovaj zadatak;
Rješavanje problema na dionice i postotke. Postoci su, zapravo, obični izrazi koji sadrže razlomke.

Postoji mnogo načina za pronalaženje brojeva koji čine nazivnike jednakima kada se množe. Razmotrit ćemo samo tri od njih - prema rastućoj složenosti i, u određenom smislu, učinkovitosti.

množenje "križ-križ"

Najjednostavniji i najpouzdaniji način, koji zajamčeno izjednačava nazivnike. Djelat ćemo "naprijed": prvi razlomak množimo nazivnikom drugog razlomka, a drugi nazivnikom prvog. Kao rezultat toga, nazivnici oba razlomka postat će jednaki umnošku izvornih nazivnika. Pogledaj:

Zadatak. Pronađite vrijednosti izraza:

Kao dodatne faktore razmotrite nazivnike susjednih razlomaka. dobivamo:

Da, tako je jednostavno. Ako tek počinjete učiti razlomke, bolje je raditi s ovom metodom - tako ćete se osigurati od mnogih pogrešaka i zajamčeno ćete dobiti rezultat.

Jedina mana ove metode je što morate puno brojati, jer se nazivnici množe "naprijed", a kao rezultat se mogu dobiti vrlo veliki brojevi. To je cijena pouzdanosti.

Metoda zajedničkog djelitelja

Ova tehnika pomaže u velikoj mjeri smanjiti izračune, ali se, nažalost, rijetko koristi. Metoda je sljedeća:

Pogledajte nazivnike prije nego što krenete "kroz" (tj. "križ-križ"). Možda je jedan od njih (onaj koji je veći) djeljiv s drugim.
Broj dobiven takvim dijeljenjem bit će dodatni faktor za razlomak s manjim nazivnikom.
Istodobno, razlomak s velikim nazivnikom uopće ne treba množiti ni s čim - to je ušteda. Istodobno, vjerojatnost pogreške je naglo smanjena.

Zadatak. Pronađite vrijednosti izraza:

Imajte na umu da 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Budući da je u oba slučaja jedan nazivnik djeljiv drugim bez ostatka, primjenjujemo metodu zajedničkih faktora. Imamo:

Imajte na umu da drugi razlomak uopće nije pomnožen s ničim. Zapravo, prepolovili smo količinu izračuna!

Inače, razlomke u ovom primjeru uzeo sam s razlogom. Ako ste zainteresirani, pokušajte ih prebrojati metodom unakrsne. Nakon smanjenja odgovori će biti isti, ali posla će biti puno više.

To je snaga metode zajedničkih djelitelja, ali, opet, ona se može primijeniti samo kada se jedan od nazivnika podijeli s drugim bez ostatka. Što se događa prilično rijetko.

Najmanje uobičajena višestruka metoda

Kada razlomke svedemo na zajednički nazivnik, u biti pokušavamo pronaći broj koji je djeljiv sa svakim nazivnikom. Zatim nazivnike oba razlomka dovodimo na ovaj broj.

Takvih brojeva ima puno, a najmanji od njih neće nužno biti jednak izravnom umnošku nazivnika izvornih razlomaka, kao što se pretpostavlja u metodi "križno".

Na primjer, za nazivnike 8 i 12, broj 24 je sasvim prikladan, budući da je 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Ovaj broj je mnogo manji od umnoška 8 12 = 96.

Najmanji broj koji je djeljiv svakim od nazivnika naziva se njihov (LCM).

Oznaka: najmanji zajednički višekratnik brojeva a i b označava se s LCM(a; b). Na primjer, LCM(16; 24) = 48; LCM (8; 12) = 24.

Ako uspijete pronaći takav broj, ukupni iznos izračuna bit će minimalan. Pogledajte primjere:

Zadatak. Pronađite vrijednosti izraza:

Imajte na umu da je 234 = 117 2; 351 = 117 3. Faktori 2 i 3 su međusobno prosti (nemaju zajedničkih djelitelja osim 1), a faktor 117 je zajednički. Stoga je LCM(234; 351) = 117 2 3 = 702.

Slično, 15 = 5 3; 20 = 5 4. Faktori 3 i 4 su međusobno prosti, a faktor 5 je uobičajen. Stoga je LCM(15; 20) = 5 3 4 = 60.

Dovedimo sada razlomke na zajedničke nazivnike:

Zapazite koliko je korisno faktorizacija izvornih nazivnika:

Nakon što smo pronašli iste čimbenike, odmah smo došli do najmanjeg zajedničkog višekratnika, što je, općenito govoreći, netrivijalan problem;
Iz dobivenog proširenja možete saznati koji faktori "nedostaju" za svaki od razlomaka. Na primjer, 234 3 \u003d 702, dakle, za prvi razlomak dodatni faktor je 3.

Da biste vidjeli koliku dobit daje metoda najmanje uobičajenog višestrukog broja, pokušajte izračunati iste primjere korištenjem unakrsnog metoda. Naravno, bez kalkulatora. Mislim da će nakon toga komentari biti suvišni.

Nemojte misliti da tako složeni razlomci neće biti u stvarnim primjerima. Stalno se sastaju, a navedeni zadaci nisu granica!

Vidi također:

Dovođenje razlomaka na zajednički nazivnik

Recimo da imamo dva razlomka s različitim nazivnicima. I želimo biti sigurni da nazivnici postanu isti. U pomoć dolazi glavno svojstvo razlomka, koje, da vas podsjetim, zvuči ovako:

Razlomak se ne mijenja ako se njegov brojnik i nazivnik pomnože s istim brojem koji nije nula.

Dakle, ako ispravno odaberete faktore, nazivnici razlomaka će biti jednaki - ovaj proces se zove. I zovu se željeni brojevi, "izravnavajući" nazivnike.

Zašto trebate dovesti razlomke na zajednički nazivnik? Evo samo nekoliko razloga:

Zbrajanje i oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima. Ne postoji drugi način za izvođenje ove operacije;
Usporedba razlomaka. Ponekad svođenje na zajednički nazivnik uvelike pojednostavljuje ovaj zadatak;
Rješavanje problema na dionice i postotke. Postoci su, zapravo, obični izrazi koji sadrže razlomke.

Postoji mnogo načina za pronalaženje brojeva koji čine nazivnike jednakima kada se množe. Razmotrit ćemo samo tri od njih - prema rastućoj složenosti i, u određenom smislu, učinkovitosti.

množenje "križ-križ"

Najjednostavniji i najpouzdaniji način, koji zajamčeno izjednačava nazivnike. Djelat ćemo "naprijed": prvi razlomak množimo nazivnikom drugog razlomka, a drugi nazivnikom prvog. Kao rezultat toga, nazivnici oba razlomka postat će jednaki umnošku izvornih nazivnika.

Pogledaj:

Zadatak. Pronađite vrijednosti izraza:

Kao dodatne faktore razmotrite nazivnike susjednih razlomaka. dobivamo:

Da, tako je jednostavno. Ako tek počinjete učiti razlomke, bolje je raditi s ovom metodom - tako ćete se osigurati od mnogih pogrešaka i zajamčeno ćete dobiti rezultat.

Jedina mana ove metode je što morate puno brojati, jer se nazivnici množe "naprijed", a kao rezultat se mogu dobiti vrlo veliki brojevi. To je cijena pouzdanosti.

Metoda zajedničkog djelitelja

Ova tehnika pomaže u velikoj mjeri smanjiti izračune, ali se, nažalost, rijetko koristi. Metoda je sljedeća:

Pogledajte nazivnike prije nego što krenete "kroz" (tj. "križ-križ"). Možda je jedan od njih (onaj koji je veći) djeljiv s drugim.
Broj dobiven takvim dijeljenjem bit će dodatni faktor za razlomak s manjim nazivnikom.
Istodobno, razlomak s velikim nazivnikom uopće ne treba množiti ni s čim - to je ušteda. Istodobno, vjerojatnost pogreške je naglo smanjena.

Zadatak. Pronađite vrijednosti izraza:

Imajte na umu da 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Budući da je u oba slučaja jedan nazivnik djeljiv drugim bez ostatka, primjenjujemo metodu zajedničkih faktora. Imamo:

Imajte na umu da drugi razlomak uopće nije pomnožen s ničim. Zapravo, prepolovili smo količinu izračuna!

Inače, razlomke u ovom primjeru uzeo sam s razlogom. Ako ste zainteresirani, pokušajte ih prebrojati metodom unakrsne. Nakon smanjenja odgovori će biti isti, ali posla će biti puno više.

To je snaga metode zajedničkih djelitelja, ali, opet, ona se može primijeniti samo kada se jedan od nazivnika podijeli s drugim bez ostatka. Što se događa prilično rijetko.

Najmanje uobičajena višestruka metoda

Kada razlomke svedemo na zajednički nazivnik, u biti pokušavamo pronaći broj koji je djeljiv sa svakim nazivnikom. Zatim nazivnike oba razlomka dovodimo na ovaj broj.

Takvih brojeva ima puno, a najmanji od njih neće nužno biti jednak izravnom umnošku nazivnika izvornih razlomaka, kao što se pretpostavlja u metodi "križno".

Na primjer, za nazivnike 8 i 12, broj 24 je sasvim prikladan, budući da je 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Ovaj broj je mnogo manji od umnoška 8 12 = 96.

Najmanji broj koji je djeljiv svakim od nazivnika naziva se njihov (LCM).

Oznaka: najmanji zajednički višekratnik brojeva a i b označava se s LCM(a; b). Na primjer, LCM(16; 24) = 48; LCM (8; 12) = 24.

Ako uspijete pronaći takav broj, ukupni iznos izračuna bit će minimalan. Pogledajte primjere:

Zadatak. Pronađite vrijednosti izraza:

Imajte na umu da je 234 = 117 2; 351 = 117 3. Faktori 2 i 3 su međusobno prosti (nemaju zajedničkih djelitelja osim 1), a faktor 117 je zajednički. Stoga je LCM(234; 351) = 117 2 3 = 702.

Slično, 15 = 5 3; 20 = 5 4. Faktori 3 i 4 su međusobno prosti, a faktor 5 je uobičajen. Stoga je LCM(15; 20) = 5 3 4 = 60.

Dovedimo sada razlomke na zajedničke nazivnike:

Zapazite koliko je korisno faktorizacija izvornih nazivnika:

Nakon što smo pronašli iste čimbenike, odmah smo došli do najmanjeg zajedničkog višekratnika, što je, općenito govoreći, netrivijalan problem;
Iz dobivenog proširenja možete saznati koji faktori "nedostaju" za svaki od razlomaka. Na primjer, 234 3 \u003d 702, dakle, za prvi razlomak dodatni faktor je 3.

Nemojte misliti da tako složeni razlomci neće biti u stvarnim primjerima. Stalno se sastaju, a navedeni zadaci nisu granica!

Vidi također:

Dovođenje razlomaka na zajednički nazivnik

Recimo da imamo dva razlomka s različitim nazivnicima. I želimo biti sigurni da nazivnici postanu isti. U pomoć dolazi glavno svojstvo razlomka, koje, da vas podsjetim, zvuči ovako:

Razlomak se ne mijenja ako se njegov brojnik i nazivnik pomnože s istim brojem koji nije nula.

Dakle, ako ispravno odaberete faktore, nazivnici razlomaka će biti jednaki - ovaj proces se zove. I zovu se željeni brojevi, "izravnavajući" nazivnike.

Zašto trebate dovesti razlomke na zajednički nazivnik? Evo samo nekoliko razloga:

Zbrajanje i oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima. Ne postoji drugi način za izvođenje ove operacije;
Usporedba razlomaka. Ponekad svođenje na zajednički nazivnik uvelike pojednostavljuje ovaj zadatak;
Rješavanje problema na dionice i postotke. Postoci su, zapravo, obični izrazi koji sadrže razlomke.

Postoji mnogo načina za pronalaženje brojeva koji čine nazivnike jednakima kada se množe. Razmotrit ćemo samo tri od njih - prema rastućoj složenosti i, u određenom smislu, učinkovitosti.

množenje "križ-križ"

Najjednostavniji i najpouzdaniji način, koji zajamčeno izjednačava nazivnike. Djelat ćemo "naprijed": prvi razlomak množimo nazivnikom drugog razlomka, a drugi nazivnikom prvog. Kao rezultat toga, nazivnici oba razlomka postat će jednaki umnošku izvornih nazivnika. Pogledaj:

Zadatak. Pronađite vrijednosti izraza:

Kao dodatne faktore razmotrite nazivnike susjednih razlomaka. dobivamo:

Da, tako je jednostavno. Ako tek počinjete učiti razlomke, bolje je raditi s ovom metodom - tako ćete se osigurati od mnogih pogrešaka i zajamčeno ćete dobiti rezultat.

Jedina mana ove metode je što morate puno brojati, jer se nazivnici množe "naprijed", a kao rezultat se mogu dobiti vrlo veliki brojevi.

Dovođenje razlomaka na zajednički nazivnik

To je cijena pouzdanosti.

Metoda zajedničkog djelitelja

Ova tehnika pomaže u velikoj mjeri smanjiti izračune, ali se, nažalost, rijetko koristi. Metoda je sljedeća:

Pogledajte nazivnike prije nego što krenete "kroz" (tj. "križ-križ"). Možda je jedan od njih (onaj koji je veći) djeljiv s drugim.
Broj dobiven takvim dijeljenjem bit će dodatni faktor za razlomak s manjim nazivnikom.
Istodobno, razlomak s velikim nazivnikom uopće ne treba množiti ni s čim - to je ušteda. Istodobno, vjerojatnost pogreške je naglo smanjena.

Zadatak. Pronađite vrijednosti izraza:

Imajte na umu da 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Budući da je u oba slučaja jedan nazivnik djeljiv drugim bez ostatka, primjenjujemo metodu zajedničkih faktora. Imamo:

Imajte na umu da drugi razlomak uopće nije pomnožen s ničim. Zapravo, prepolovili smo količinu izračuna!

Inače, razlomke u ovom primjeru uzeo sam s razlogom. Ako ste zainteresirani, pokušajte ih prebrojati metodom unakrsne. Nakon smanjenja odgovori će biti isti, ali posla će biti puno više.

To je snaga metode zajedničkih djelitelja, ali, opet, ona se može primijeniti samo kada se jedan od nazivnika podijeli s drugim bez ostatka. Što se događa prilično rijetko.

Najmanje uobičajena višestruka metoda

Kada razlomke svedemo na zajednički nazivnik, u biti pokušavamo pronaći broj koji je djeljiv sa svakim nazivnikom. Zatim nazivnike oba razlomka dovodimo na ovaj broj.

Takvih brojeva ima puno, a najmanji od njih neće nužno biti jednak izravnom umnošku nazivnika izvornih razlomaka, kao što se pretpostavlja u metodi "križno".

Na primjer, za nazivnike 8 i 12, broj 24 je sasvim prikladan, budući da je 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Ovaj broj je mnogo manji od umnoška 8 12 = 96.

Najmanji broj koji je djeljiv svakim od nazivnika naziva se njihov (LCM).

Oznaka: najmanji zajednički višekratnik brojeva a i b označava se s LCM(a; b). Na primjer, LCM(16; 24) = 48; LCM (8; 12) = 24.

Ako uspijete pronaći takav broj, ukupni iznos izračuna bit će minimalan. Pogledajte primjere:

Zadatak. Pronađite vrijednosti izraza:

Imajte na umu da je 234 = 117 2; 351 = 117 3. Faktori 2 i 3 su međusobno prosti (nemaju zajedničkih djelitelja osim 1), a faktor 117 je zajednički. Stoga je LCM(234; 351) = 117 2 3 = 702.

Slično, 15 = 5 3; 20 = 5 4. Faktori 3 i 4 su međusobno prosti, a faktor 5 je uobičajen. Stoga je LCM(15; 20) = 5 3 4 = 60.

Dovedimo sada razlomke na zajedničke nazivnike:

Zapazite koliko je korisno faktorizacija izvornih nazivnika:

Nakon što smo pronašli iste čimbenike, odmah smo došli do najmanjeg zajedničkog višekratnika, što je, općenito govoreći, netrivijalan problem;
Iz dobivenog proširenja možete saznati koji faktori "nedostaju" za svaki od razlomaka. Na primjer, 234 3 \u003d 702, dakle, za prvi razlomak dodatni faktor je 3.

Nemojte misliti da tako složeni razlomci neće biti u stvarnim primjerima. Stalno se sastaju, a navedeni zadaci nisu granica!

Da biste razlomke doveli do najmanjeg zajedničkog nazivnika, morate: 1) pronaći najmanji zajednički višekratnik nazivnika tih razlomaka, to će biti najmanji zajednički nazivnik. 2) pronaći dodatni faktor za svaki od razlomaka, za koji novi nazivnik podijelimo sa nazivnikom svakog razlomka. 3) pomnožimo brojnik i nazivnik svakog razlomka s njegovim dodatnim faktorom.

Primjeri. Smanjite sljedeće razlomke na najmanji zajednički nazivnik.

Pronalazimo najmanji zajednički višekratnik nazivnika: LCM(5; 4) = 20, budući da je 20 najmanji broj koji je djeljiv i s 5 i s 4. Za 1. razlomak nalazimo dodatni faktor 4 (20 : 5=4). Za drugi razlomak dodatni množitelj je 5 (20 : 4=5). Brojnik i nazivnik 1. razlomka množimo s 4, a brojnik i nazivnik 2. razlomka s 5. Te smo razlomke sveli na najmanji zajednički nazivnik ( 20 ).

Najmanji zajednički nazivnik ovih razlomaka je 8, budući da je 8 djeljivo sa 4 i samim sobom. Neće biti dodatnog množitelja za 1. razlomak (ili možete reći da je jednako jednom), drugom razlomku dodatni faktor je 2 (8 : 4=2). Brojnik i nazivnik 2. razlomka množimo s 2. Te smo razlomke sveli na najmanji zajednički nazivnik ( 8 ).

Ti razlomci nisu nesvodljivi.

1. razlomak smanjujemo za 4, a drugi razlomak za 2. ( vidi primjere za kratice obični razlomci: Sitemap → 5.4.2. Primjeri redukcije običnih frakcija). Pronađite LCM(16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. Dodatni množitelj za 1. razlomak je 5 (80 : 16=5). Dodatni množitelj za 2. razlomak je 4 (80 : 20=4). Brojnik i nazivnik 1. razlomka množimo s 5, a brojnik i nazivnik 2. razlomka s 4. Te smo razlomke sveli na najmanji zajednički nazivnik ( 80 ).

Pronađite najmanji zajednički nazivnik NOC-a (5 ; 6 i 15) = LCM(5 ; 6 i 15)=30. Dodatni množitelj za 1. razlomak je 6 (30 : 5=6), dodatni množitelj 2. razlomka je 5 (30 : 6=5), dodatni množitelj trećem razlomku je 2 (30 : 15=2). Brojnik i nazivnik 1. razlomka množimo sa 6, brojnik i nazivnik 2. razlomka sa 5, brojnik i nazivnik 3. razlomka sa 2. Te smo razlomke sveli na najmanji zajednički nazivnik ( 30 ).

Stranica 1 od 1 1