Uvod. Obrada rezultata mjerenja u fizikalnoj praksi. Mjerenja i pogreške mjerenja. Analiza izravnih rezultata mjerenja

Slučajne pogreške imaju sljedeća svojstva.

Kod velikog broja mjerenja jednako se često javljaju pogreške iste veličine, ali suprotnog predznaka.

Manje je vjerojatno da će se pojaviti velike pogreške nego male. Iz relacija (1), prepisujući ih u obliku

X \u003d x 1 + x 1

X = x 2 + x 2

X = x n + x n

i zbrajanjem u stupac možete odrediti pravu vrijednost izmjerene vrijednosti na sljedeći način:

ili
.

(2)

oni. prava vrijednost mjerene veličine jednaka je aritmetičkoj sredini rezultata mjerenja, ako ih ima beskonačno mnogo. S ograničenim, a još više s malim brojem mjerenja, s kojima obično imamo posla u praksi, jednakost (2) je približna.

Neka se kao rezultat nekoliko mjerenja dobiju sljedeće vrijednosti izmjerene veličine X: 13,4; 13.2; 13.3; 13.4; 13.3; 13.2; 13.1; 13.3; 13.3; 13.2; 13.3; 13.1. Izgradimo dijagram distribucije ovih rezultata, iscrtavajući očitanja instrumenta duž osi apscise uzlaznim redoslijedom. Razmaci između susjednih točaka duž apscisne osi jednaki su dvostrukoj najvećoj pogrešci očitanja na instrumentu. U našem slučaju, odbrojavanje se vrši do 0,1. To je jednako jednom podjelu ljestvice označene na x-osi. Na ordinatnoj osi crtamo vrijednosti proporcionalne relativnom broju rezultata koji odgovaraju određenom očitanju uređaja. Relativni broj, odnosno relativna učestalost rezultata jednaka x k, označit ćemo s W(x k). U našem slučaju

Svaki x dodjeljujemo

(3)

gdje je A koeficijent proporcionalnosti.

Dijagram, koji se naziva histogram, razlikuje se od uobičajenog grafikona po tome što točke nisu povezane glatkom zakrivljenom linijom, već su kroz njih nacrtani koraci. Očito je da je područje koraka preko neke vrijednosti x k proporcionalno relativnoj učestalosti pojavljivanja ovog rezultata. Odabirom koeficijenta proporcionalnosti u izrazu (3) na odgovarajući način, ovo područje može biti jednako relativnoj frekvenciji rezultata x k. Tada se zbroj površina svih koraka, kao zbroj relativnih frekvencija svih rezultata, treba biti jednak jedan

Odavde nalazimo A=10. Uvjet (4) naziva se uvjet normalizacije za funkciju (3).

Ako napravite seriju mjerenja s n mjerenja u svakoj seriji, tada se s malim n relativne frekvencije iste vrijednosti x k pronađene iz različitih serija mogu značajno razlikovati jedna od druge. Kako se broj mjerenja u nizu povećava, fluktuacije u vrijednostima W(x k) se smanjuju i te se vrijednosti približavaju određenom konstantnom broju, koji se naziva vjerojatnost rezultata x k i označava se s P (x k ).

Pretpostavimo da prilikom pokusa ne računamo rezultat na cijele podjele ljestvice ili njihove udjele, ali možemo fiksirati točku na kojoj se strelica zaustavila. Zatim, za beskonačno velik broj mjerenja, strelica će posjetiti svaku točku na skali. Distribucija rezultata mjerenja u ovom slučaju dobiva kontinuirani karakter i opisuje se kontinuiranom krivuljom y=f(x) umjesto stepenastim histogramom. Na temelju svojstava slučajnih pogrešaka može se zaključiti da krivulja mora biti simetrična pa stoga njen maksimum pada na aritmetičku sredinu rezultata mjerenja koja je jednaka stvarnoj vrijednosti mjerene veličine. U slučaju kontinuirane distribucije rezultata mjerenja nema

ima smisla govoriti o vjerojatnosti bilo koje njihove vrijednosti jer postoje vrijednosti proizvoljno bliske onoj koja se razmatra. Sada bismo već trebali postaviti pitanje vjerojatnosti susreta tijekom mjerenja s rezultatom u određenom intervalu oko vrijednosti x k, jednake
,
. Baš kao što je na histogramu relativna učestalost rezultata x jednaka površini koraka izgrađenog nad ovim rezultatom, na grafikonu za kontinuiranu distribuciju vjerojatnost pronalaska rezultata u intervalu (
,
) jednaka je površini krivuljastog trapeza konstruiranog preko ovog intervala i omeđenog krivuljom f(x). Matematička oznaka ovog rezultata je

ako
malo, tj. površina šrafiranog krivocrtnog trapeza zamijenjena je približnom površinom pravokutnika s istom bazom i visinom jednakom f(xk). Funkcija f(x) naziva se gustoća vjerojatnosti distribucije rezultata mjerenja. Vjerojatnost pronalaženja x u nekom intervalu jednaka je gustoći vjerojatnosti za dati interval pomnoženoj s njegovom duljinom.

Krivulja distribucije rezultata mjerenja dobivena eksperimentalno za određeni dio skale instrumenta, ako se nastavi asimptotski aproksimirajući os apscise slijeva i zdesna, analitički je dobro opisana funkcijom oblika

(5)

Baš kao što je ukupna površina svih koraka na histogramu bila jednaka jedinici, cijela površina između f(x) krivulje i apscisne osi, koja ima značenje vjerojatnosti susreta barem neke vrijednosti x tijekom mjerenja, također je jednako jedan. Distribucija opisana ovom funkcijom naziva se normalnom distribucijom. Glavni parametar normalne distribucije je varijanca  2 . Približna vrijednost disperzije može se pronaći iz rezultata mjerenja pomoću formule

(6)

Ova formula daje disperziju blisku stvarnoj vrijednosti samo za veliki broj mjerenja. Na primjer, σ 2 dobiven iz rezultata 100 mjerenja može imati odstupanje od stvarne vrijednosti od 15%, dobiven iz 10 mjerenja već 40%. Varijanca određuje oblik krivulje normalne distribucije. Kada su slučajne pogreške male, disperzija je, kao što slijedi iz (6), mala. Krivulja f(x) je u ovom slučaju uža i oštrija u blizini prave vrijednosti X i teži nuli brže kada se udaljava od nje nego s velikim pogreškama. Sljedeća slika će pokazati kako se oblik krivulje f(x) za normalnu distribuciju mijenja ovisno o σ.

U teoriji vjerojatnosti je dokazano da ako ne uzmemo u obzir distribuciju rezultata mjerenja, već distribuciju aritmetičkih srednjih vrijednosti pronađenih iz niza od n mjerenja u svakoj seriji, tada se također pokorava normalnom zakonu, ali s disperzijom koji je n puta manji.

Vjerojatnost pronalaženja rezultata mjerenja u određenom intervalu (
) blizu stvarne vrijednosti izmjerene vrijednosti jednaka je površini krivuljastog trapeza izgrađenog preko ovog intervala i ograničenog odozgo krivuljom f(x). Vrijednost intervala
obično se mjeri u jedinicama proporcionalnim kvadratnom korijenu varijance
Ovisno o vrijednosti k po intervalu
postoji krivolinijski trapez veće ili manje površine, tj.

gdje je F(k) neka funkcija od k. Izračuni pokazuju da za

k=1,

k=2,

k=3,

To pokazuje da u intervalu
čini približno 95% površine ispod krivulje f(x). Ova činjenica je u potpunom skladu s drugim svojstvom slučajnih pogrešaka, koje kaže da su velike pogreške malo vjerojatne. Pogreške veće od
, javlja se s vjerojatnošću manjom od 5%. Izraz (7) prepisan za distribuciju aritmetičke sredine n mjerenja ima oblik

(8)

Vrijednost u (7) i (8) mogu se na temelju rezultata mjerenja samo približno odrediti formulom (6)

Zamjena ove vrijednosti u izraz (8), dobit ćemo s desne strane ne F (k), već neku novu funkciju, ovisno ne samo o veličini razmatranog intervala vrijednosti X, već i o broju izvršenih mjerenja
I

jer samo za vrlo velik broj mjerenja formula (6) postaje dovoljno točna.

Nakon što smo riješili sustav dviju nejednakosti u zagradama na lijevoj strani ovog izraza s obzirom na pravu vrijednost X, možemo ga prepisati u obliku

Izraz (9) određuje vjerojatnost s kojom je prava vrijednost X u određenom intervalu duljine o vrijednosti . Ta se vjerojatnost u teoriji pogrešaka naziva pouzdanošću, a interval koji joj odgovara za pravu vrijednost naziva se intervalom pouzdanosti. Funkcija
izračunava ovisno o t n i n i za njega je sastavljena detaljna tablica. Tablica ima 2 ulaza: pt n i n. Uz njegovu pomoć, za zadani broj mjerenja n, moguće je pronaći, za određenu vrijednost pouzdanosti R, vrijednost t n, koja se naziva Studentov koeficijent.

Analizom tablice vidljivo je da za određeni broj mjerenja uz zahtjev sve veće pouzdanosti dobivamo rastuće vrijednosti t n , tj. povećanje intervala pouzdanosti. Pouzdanost jednaka jedan odgovarala bi intervalu pouzdanosti jednakom beskonačnosti. S obzirom na određenu pouzdanost, možemo suziti interval pouzdanosti za pravu vrijednost povećanjem broja mjerenja, budući da se S n ne mijenja mnogo, a smanjuje i smanjenjem brojnika i povećanjem nazivnika. Nakon što je napravljen dovoljan broj eksperimenata, moguće je napraviti interval pouzdanosti bilo koje male vrijednosti. Ali za velike n, daljnje povećanje broja eksperimenata vrlo polako smanjuje interval pouzdanosti, a količina računalnog rada znatno raste. Ponekad je u praktičnom radu zgodno koristiti približno pravilo: da bi se interval pouzdanosti dobiven iz malog broja mjerenja smanjio za nekoliko puta, potrebno je povećati broj mjerenja za isti faktor.

PRIMJER IZRAVNE OBRADE REZULTATA MJERENJA

Uzmimo kao eksperimentalne podatke prva tri rezultata od 12, prema kojima je izgrađen histogram X: 13.4; 13.2; 13.3.

Zapitajmo se pouzdanost, koja je obično prihvaćena u obrazovnom laboratoriju, P = 95%. Iz tablice za P = 0,95 i n = 3 nalazimo t n = 4,3.

ili

s 95% pouzdanosti. Zadnji rezultat obično se piše kao jednakost

Ako interval pouzdanosti takve vrijednosti ne odgovara (npr. u slučaju kada je instrumentalna pogreška 0,1), a želimo je prepoloviti, trebamo udvostručiti broj mjerenja.

Ako uzmemo, na primjer, zadnjih 6 vrijednosti ​​​​od istih 12 rezultata (za prvih šest, predlaže se da sami napravite izračun)

X: 13,1; 13.3; 13.3; 13.2; 13.3; 13.1,

zatim

Vrijednost koeficijenta t n nalazi se iz tablice za R = 0,95 i n = 6; tn = 2,6.

U ovom slučaju
Nacrtajmo na numeričkoj osi interval pouzdanosti za pravu vrijednost u prvom i drugom slučaju.

Interval izračunat iz 6 mjerenja je, očekivano, unutar intervala dobivenog iz tri mjerenja.

Instrumentalna pogreška uvodi sustavnu pogrešku u rezultate, koja proširuje intervale pouzdanosti prikazane na osi za 0,1. Stoga rezultati napisani uzimajući u obzir instrumentalnu pogrešku imaju oblik

1)
2)

U općem slučaju postupak obrade rezultata izravnih mjerenja je sljedeći (podrazumijeva se da nema sustavnih pogrešaka).

Slučaj 1 Broj mjerenja manji je od pet.

1) Prema formuli (6) nalazi se prosječni rezultat x, definirana kao aritmetička sredina rezultata svih mjerenja, tj.

2) Prema formuli (12) izračunavaju se apsolutne pogreške pojedinih mjerenja

.

3) Prema formuli (14) određuje se prosječna apsolutna pogreška

.

4) Prema formuli (15) izračunava se prosječna relativna pogreška rezultata mjerenja

.

5) Zabilježite konačni rezultat u sljedećem obliku:

, na
.

Slučaj 2. Broj mjerenja je preko pet.

1) Prema formuli (6) nalazi se prosječni rezultat

.

2) Prema formuli (12) određuju se apsolutne pogreške pojedinih mjerenja

.

3) Prema formuli (7) izračunava se srednja kvadratna pogreška jednog mjerenja

.

4) Izračunajte standardnu ​​devijaciju za srednju vrijednost izmjerene veličine po formuli (9).

.

5) Konačni rezultat se bilježi u sljedećem obliku

.

Ponekad se slučajne pogreške mjerenja mogu pokazati manjim od vrijednosti koju mjerni uređaj (instrument) može registrirati. U tom slučaju, za bilo koji broj mjerenja, dobiva se isti rezultat. U takvim slučajevima, kao prosječna apsolutna pogreška
uzeti polovicu podjele ljestvice instrumenta (alata). Ta se vrijednost ponekad naziva graničnom ili instrumentalnom greškom i označava
(za instrumente s nonijusom i štopericu
jednaka točnosti instrumenta).

Procjena pouzdanosti rezultata mjerenja

U svakom eksperimentu, broj mjerenja fizičke veličine uvijek je ograničen iz jednog ili drugog razloga. Duge S ovo može biti zadatak procjene pouzdanosti rezultata. Drugim riječima, odredite s kojom vjerojatnošću se može tvrditi da pogreška napravljena u ovom slučaju ne prelazi unaprijed određenu vrijednost ε. Ta se vjerojatnost naziva vjerojatnošću povjerenja. Označimo ga slovom.

Može se postaviti i obrnuti problem: odrediti granice intervala
tako da uz zadanu vjerojatnost moglo bi se tvrditi da prava vrijednost mjerenja količine neće prijeći navedeni, tzv. interval pouzdanosti.

Interval pouzdanosti karakterizira točnost dobivenog rezultata, a interval pouzdanosti karakterizira njegovu pouzdanost. Metode za rješavanje ove dvije skupine problema su dostupne i posebno su detaljno razvijene za slučaj kada su pogreške mjerenja raspoređene prema normalnom zakonu. Teorija vjerojatnosti također nudi metode za određivanje broja eksperimenata (ponovljenih mjerenja) koji daju zadanu točnost i pouzdanost očekivanog rezultata. U ovom radu ove metode nisu razmatrane (ograničit ćemo se na njihovo spominjanje), budući da se takvi zadaci obično ne postavljaju tijekom izvođenja laboratorijskih radova.

Od posebnog je interesa, međutim, slučaj ocjene pouzdanosti rezultata mjerenja fizikalnih veličina s vrlo malim brojem ponovljenih mjerenja. Na primjer,
. Upravo to je slučaj s kojim se često susrećemo u izvođenju laboratorijskih radova iz fizike. Kod rješavanja ovakvih problema preporuča se koristiti metodu zasnovanu na Studentovoj distribuciji (zakonu).

Radi praktičnosti praktične primjene metode koja se razmatra, postoje tablice pomoću kojih možete odrediti interval pouzdanosti
koji odgovara zadanoj razini pouzdanosti ili riješiti inverzni problem.

U nastavku se nalaze oni dijelovi navedenih tablica koji mogu biti potrebni pri vrednovanju rezultata mjerenja u laboratorijskoj nastavi.

Neka, na primjer, proizvedeno jednaka (pod istim uvjetima) mjerenja neke fizikalne veličine i izračunali njegovu prosječnu vrijednost . Potrebno je pronaći interval pouzdanosti koji odgovara zadanoj razini pouzdanosti . Problem se općenito rješava na sljedeći način.

Prema formuli, uzimajući u obzir (7), izračunajte

Zatim za zadane vrijednosti n i pronađite prema tablici (tablica 2) vrijednost . Vrijednost koju tražite izračunava se na temelju formule

(16)

Kod rješavanja inverznog problema najprije se izračunava parametar pomoću formule (16). Željena vrijednost vjerojatnosti povjerenja uzima se iz tablice (tablica 3) za zadani broj i izračunati parametar .

Tablica 2. Vrijednost parametra za određeni broj eksperimenata

i razinu povjerenja

Tablica 3 Vrijednost vjerojatnosti pouzdanosti za određeni broj eksperimenata n i parametar ε

Glavne odredbe metoda za obradu rezultata izravnih mjerenja s višestrukim opažanjima definirane su u GOST 8.207-76.

Uzmite kao rezultat mjerenja prosjek podaci n promatranja, iz kojih su isključene sustavne pogreške. Pretpostavlja se da rezultati promatranja nakon isključenja sustavnih pogrešaka iz njih pripadaju normalnoj distribuciji. Za izračun rezultata mjerenja potrebno je isključiti sustavnu pogrešku iz svakog opažanja i kao rezultat toga dobiti ispravljeni rezultat ja-th opažanje. Aritmetička sredina tih ispravljenih rezultata zatim se izračunava i uzima kao rezultat mjerenja. Aritmetička sredina je dosljedna, nepristrana i učinkovita procjena mjerene veličine pod normalnom distribucijom opažačkih podataka.

Valja napomenuti da se ponekad u literaturi umjesto termina rezultat promatranja pojam se ponekad koristi pojedinačni rezultat mjerenja, iz koje su isključene sustavne pogreške. Pritom se pod aritmetičkom sredinom podrazumijeva rezultat mjerenja u ovom nizu od nekoliko mjerenja. Ovo ne mijenja bit dolje prikazanih postupaka obrade rezultata.

Pri statističkoj obradi skupina rezultata promatranja potrebno je izvršiti sljedeće: operacije :

1. Eliminirati poznatu sustavnu pogrešku iz svakog opažanja i dobiti ispravljeni rezultat pojedinačnog opažanja x.

2. Izračunajte aritmetičku sredinu ispravljenih rezultata opažanja, uzetih kao rezultat mjerenja:

3. Izračunajte procjenu standardne devijacije

grupe za promatranje:

Provjera dostupnosti grube greške – postoje li vrijednosti koje prelaze ±3 S. S normalnim zakonom raspodjele s vjerojatnošću praktički jednakom 1 (0,997), niti jedna vrijednost ove razlike ne bi trebala prelaziti navedene granice. Ako jesu, tada odgovarajuće vrijednosti treba isključiti iz razmatranja, a izračune i procjenu treba ponovno ponoviti. S.

4. Izračunajte RMS procjenu rezultata mjerenja (prosjek

aritmetika)

5. Testirajte hipotezu o normalnoj distribuciji rezultata opažanja.

Postoje različite aproksimativne metode za provjeru normalnosti distribucije rezultata promatranja. Neki od njih dati su u GOST 8.207-76. Ako je broj opažanja manji od 15, u skladu s ovim GOST-om, njihova pripadnost normalnoj distribuciji se ne provjerava. Granice pouzdanosti slučajne pogreške određuju se samo ako je unaprijed poznato da rezultati promatranja pripadaju ovoj raspodjeli. Otprilike, priroda distribucije može se procijeniti konstruiranjem histograma rezultata opažanja. Matematičke metode za provjeru normalnosti distribucije raspravljaju se u stručnoj literaturi.

6. Izračunajte granice pouzdanosti e slučajne pogreške (slučajna komponenta pogreške) rezultata mjerenja

gdje tq- Studentov koeficijent, ovisno o broju promatranja i stupnju pouzdanosti. Na primjer, kada n= 14, P= 0,95 tq= 2,16. Vrijednosti ovog koeficijenta dane su u prilogu navedenog standarda.

7. Izračunajte granice ukupne neisključene sustavne pogreške (TSE) mjernog rezultata Q (prema formulama u odjeljku 4.6).

8. Analiziraj omjer Q i :

Ako je , tada se NSP zanemaruje u usporedbi sa slučajnim pogreškama i granicom pogreške rezultata D=e.. Ako je > 8, tada se slučajna pogreška može zanemariti i granica pogreške rezultata D=Θ . Ako obje nejednakosti nisu zadovoljene, tada se margina pogreške rezultata nalazi konstruiranjem kompozicije distribucija slučajnih pogrešaka i NSP prema formuli: , gdje je Do– koeficijent koji ovisi o omjeru slučajne pogreške i NSP; S e- procjena ukupne standardne devijacije mjernog rezultata. Procjena ukupne standardne devijacije izračunava se formulom:

.

Koeficijent K izračunava se po empirijskoj formuli:

.

Razina pouzdanosti za izračun i mora biti ista.

Pogreška primjene posljednje formule za sastav jednolike (za NSP) i normalne (za slučajnu pogrešku) distribucije doseže 12% na razini pouzdanosti od 0,99.

9. Zabilježite rezultat mjerenja. Postoje dvije mogućnosti ispisivanja rezultata mjerenja, budući da je potrebno razlikovati mjerenja, kod kojih je dobivanje vrijednosti mjerene veličine krajnji cilj, i mjerenja, čiji će se rezultati koristiti za daljnje izračune ili analize.

U prvom slučaju dovoljno je znati ukupnu pogrešku mjernog rezultata, a uz simetričnu pogrešku pouzdanosti rezultati mjerenja prikazuju se u obliku: , gdje je

gdje je rezultat mjerenja.

U drugom slučaju, karakteristike komponenti pogreške mjerenja trebaju biti poznate - procjena standardne devijacije rezultata mjerenja, granice NSP-a, broj opažanja. U nedostatku podataka o obliku funkcija distribucije komponenata pogreške rezultata i potrebe daljnje obrade rezultata ili analize pogrešaka, rezultati mjerenja prikazuju se u obliku:

Ako su granice NSP-a izračunate u skladu s klauzulom 4.6, tada je dodatno naznačena vjerojatnost pouzdanosti P.

Procjene i izvedenice njihove vrijednosti mogu se izraziti kako u apsolutnom obliku, odnosno u jedinicama mjerene veličine, tako i relativno, odnosno kao odnos apsolutne vrijednosti dane veličine i rezultata mjerenja. U tom slučaju, izračune prema formulama iz ovog odjeljka treba provesti koristeći količine izražene samo u apsolutnom ili relativnom obliku.

Fizika je eksperimentalna znanost, što znači da se fizikalni zakoni uspostavljaju i testiraju prikupljanjem i usporedbom eksperimentalnih podataka. Cilj fizikalne radionice je da učenici iskuse osnovne fizikalne pojave, nauče pravilno mjeriti numeričke vrijednosti fizikalnih veličina i usporediti ih s teorijskim formulama.

Sva mjerenja mogu se podijeliti u dvije vrste - ravno i neizravni.

Na direktno Kod mjerenja se vrijednost željene veličine izravno dobiva iz očitanja mjernog instrumenta. Tako se npr. dužina mjeri ravnalom, vrijeme satom itd.

Ako se željena fizikalna veličina ne može izravno izmjeriti uređajem, nego se putem izmjerenih veličina izražava formulom, tada se takva mjerenja nazivaju neizravni.

Mjerenje bilo koje veličine ne daje apsolutno točnu vrijednost te veličine. Svako mjerenje uvijek sadrži neku grešku (grešku). Pogreška je razlika između izmjerene i prave vrijednosti.

Greške se dijele na sustavan i slučajan.

Sustavno naziva se pogreška koja ostaje konstantna tijekom cijele serije mjerenja. Takve pogreške nastaju zbog nesavršenosti mjernog alata (primjerice, nulti pomak uređaja) ili metode mjerenja i u načelu se mogu isključiti iz konačnog rezultata uvođenjem odgovarajuće korekcije.

U sustavne pogreške ubrajamo i pogrešku mjernih instrumenata. Točnost svakog uređaja je ograničena i karakterizirana je razredom točnosti, koji je obično označen na mjernoj ljestvici.

Slučajno zove se greška, koja varira u različitim eksperimentima i može biti pozitivna i negativna. Slučajne pogreške nastaju zbog uzroka koji ovise kako o mjernom uređaju (trenje, zazori, itd.) tako i o vanjskim uvjetima (vibracije, fluktuacije napona u mreži itd.).

Slučajne pogreške ne mogu se empirijski isključiti, ali se njihov utjecaj na rezultat može smanjiti ponavljanjem mjerenja.

Izračun pogreške u izravnim mjerenjima, prosječne vrijednosti i prosječne apsolutne pogreške.

Pretpostavimo da vršimo niz mjerenja X. Zbog prisutnosti slučajnih pogrešaka dobivamo n različita značenja:

X 1, X 2, X 3 ... X n

Kao rezultat mjerenja obično se uzima prosječna vrijednost

Razlika između srednje vrijednosti i rezultata ja- mjerenje naziva se apsolutna pogreška ovog mjerenja

Kao mjera pogreške srednje vrijednosti može se uzeti srednja vrijednost apsolutne pogreške jednog mjerenja

(2)

Vrijednost
naziva se aritmetička srednja (ili srednja apsolutna) pogreška.

Zatim rezultat mjerenja treba upisati u obrazac

(3)

Za karakterizaciju točnosti mjerenja koristi se relativna pogreška, koja se obično izražava u postocima

(4)

U općem slučaju postupak obrade rezultata izravnih mjerenja je sljedeći (podrazumijeva se da nema sustavnih pogrešaka).

Slučaj 1 Broj mjerenja manji je od pet.

x, definirana kao aritmetička sredina rezultata svih mjerenja, tj.

2) Prema formuli (12) izračunavaju se apsolutne pogreške pojedinih mjerenja

3) Prema formuli (14) određuje se prosječna apsolutna pogreška

.

4) Prema formuli (15) izračunava se prosječna relativna pogreška rezultata mjerenja

5) Zabilježite konačni rezultat u sljedećem obliku:

Slučaj 2. Broj mjerenja je preko pet.

1) Prema formuli (6) nalazi se prosječni rezultat

2) Prema formuli (12) određuju se apsolutne pogreške pojedinih mjerenja

3) Prema formuli (7) izračunava se srednja kvadratna pogreška jednog mjerenja

.

4) Izračunajte standardnu ​​devijaciju za srednju vrijednost izmjerene veličine po formuli (9).

5) Konačni rezultat se bilježi u sljedećem obliku

Ponekad se slučajne pogreške mjerenja mogu pokazati manjim od vrijednosti koju mjerni uređaj (instrument) može registrirati. U tom slučaju, za bilo koji broj mjerenja, dobiva se isti rezultat. U takvim slučajevima kao prosječna apsolutna pogreška uzima se polovica podjele ljestvice instrumenta (instrumenta). Ta se vrijednost ponekad naziva graničnom ili instrumentalnom greškom i označava (za instrumente s nonijusom i štopericu jednaka je točnosti instrumenta).

Procjena pouzdanosti rezultata mjerenja

U svakom eksperimentu, broj mjerenja fizičke veličine uvijek je ograničen iz jednog ili drugog razloga. U tom smislu, zadatak se može postaviti za procjenu pouzdanosti rezultata. Drugim riječima, odredite s kojom vjerojatnošću se može tvrditi da pogreška napravljena u ovom slučaju ne prelazi unaprijed određenu vrijednost ε. Ta se vjerojatnost naziva vjerojatnošću povjerenja. Označimo ga slovom.

Može se postaviti i obrnuti problem: odrediti granice intervala , tako da se sa zadanom vjerojatnošću može tvrditi da stvarna vrijednost mjerenja veličine neće izaći izvan navedenog, tzv. intervala pouzdanosti.

Interval pouzdanosti karakterizira točnost dobivenog rezultata, a interval pouzdanosti karakterizira njegovu pouzdanost. Metode za rješavanje ove dvije skupine problema su dostupne i posebno su detaljno razvijene za slučaj kada su pogreške mjerenja raspoređene prema normalnom zakonu. Teorija vjerojatnosti također nudi metode za određivanje broja eksperimenata (ponovljenih mjerenja) koji daju zadanu točnost i pouzdanost očekivanog rezultata. U ovom radu ove metode nisu razmatrane (ograničit ćemo se na njihovo spominjanje), budući da se takvi zadaci obično ne postavljaju tijekom izvođenja laboratorijskih radova.

Od posebnog je interesa, međutim, slučaj ocjene pouzdanosti rezultata mjerenja fizikalnih veličina s vrlo malim brojem ponovljenih mjerenja. Na primjer, . Upravo to je slučaj s kojim se često susrećemo u izvođenju laboratorijskih radova iz fizike. Kod rješavanja ovakvih problema preporuča se koristiti metodu zasnovanu na Studentovoj distribuciji (zakonu).

Radi praktičnosti praktične primjene metode koja se razmatra, postoje tablice pomoću kojih možete odrediti interval pouzdanosti koji odgovara danoj vjerojatnosti povjerenja ili riješiti inverzni problem.

U nastavku se nalaze oni dijelovi navedenih tablica koji mogu biti potrebni pri vrednovanju rezultata mjerenja u laboratorijskoj nastavi.

Neka se, na primjer, izvrše jednako točna (pod istim uvjetima) mjerenja određene fizikalne veličine i izračuna njezina prosječna vrijednost. Potrebno je pronaći interval pouzdanosti koji odgovara zadanoj razini pouzdanosti. Problem se općenito rješava na sljedeći način.

Prema formuli, uzimajući u obzir (7), izračunajte

Zatim za zadane vrijednosti n i pronađite vrijednost prema tablici (tablica 2). Vrijednost koju tražite izračunava se na temelju formule

Kod rješavanja inverznog problema najprije se izračunava parametar po formuli (16). Željena vrijednost vjerojatnosti povjerenja uzima se iz tablice (tablica 3) za zadani broj i izračunati parametar.

Tablica 2. Vrijednost parametra za određeni broj eksperimenata

i razinu povjerenja

n	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,95	0.98	0,99	0.995	0,999
	1,000	1,376	1,963	3,08	6,31	12,71	31,8	63,7	127,3	637,2
	0,816	1,061	1,336	1,886	2,91	4,30	6,96	9,92	14,1	31,6
	0,765	0,978	1,250	1,638	2,35	3,18	4,54	5,84	7,5	12,94
	0,741	0,941	1,190	1,533	2,13	2,77	3,75	4,60	5,6	8,61
	0,727	0,920	1,156	1,476	2,02	2,57	3,36	4,03	4,77	6,86
	0.718	0,906	1,134	1,440	1,943	2,45	3,14	3,71	4,32	5,96
	0,711	0,896	1,119	1,415	1,895	2,36	3,00	3,50	4,03	5,40
	0,706	0,889	1,108	1,397	1,860	2,31	2,90	3,36	3,83	5,04
	0,703	0,883	1,110	1,383	1,833	2,26	2,82	3,25	3,69	4,78

Tablica 3 Vrijednost vjerojatnosti pouzdanosti za određeni broj eksperimenata n i parametar ε

n		2,5		3,5
	0,705	0,758	0,795	0,823
	0,816	0,870	0,905	0,928
	0,861	0,912	0,942	0,961
	0,884	0,933	0,960	0,975
b	0,898	0,946	0,970	0,983
	0,908	0,953	0,976	0,987
	0,914	0,959	0,980	0,990
	0,919	0.963	0,983	0,992
	0,923	0,969	0,985	0,993

Obrada rezultata neizravnih mjerenja

Vrlo rijetko se sadržaj laboratorijskog rada ili znanstvenog eksperimenta svodi na dobivanje rezultata izravnog mjerenja. Većinom je željena količina funkcija nekoliko drugih veličina.

Zadatak obrade pokusa s neizravnim mjerenjima je izračunavanje najvjerojatnije vrijednosti željene veličine i procjena pogreške neizravnih mjerenja na temelju rezultata izravnih mjerenja određenih veličina (argumenata) pridruženih željenoj vrijednosti određenom funkcionalnom ovisnošću.

Postoji nekoliko načina za rukovanje neizravnim mjerenjima. Razmotrite sljedeće dvije metode.

Neka je neka fizikalna veličina određena metodom neizravnih mjerenja.

Rezultati izravnih mjerenja njegovih argumenata x, y, z dati su u tablici. četiri.

Tablica 4

Broj iskustva	x	g	z	…
				…
				…
…	…	…	…	…
…	…	…	…	…
…	…	…	…	…
n				…

Prvi način obrade rezultata je sljedeći. Pomoću izračunate (17) formule izračunava se željena vrijednost na temelju rezultata svakog eksperimenta

(17)

Opisani način obrade rezultata primjenjiv je u načelu u svim slučajevima neizravnih mjerenja bez iznimke. No, najsvrsishodnije ga je koristiti kada je broj ponovljenih mjerenja argumenata mali, a formula za izračun neizravno izmjerene vrijednosti relativno jednostavna.

U drugoj metodi obrade rezultata eksperimenata, prvo se pomoću rezultata izravnih mjerenja (tablica 4) prvo izračunaju aritmetičke srednje vrijednosti svakog od argumenata, kao i pogreške njihova mjerenja. Zamjena , , ,... u formulu za izračun (17) odredite najvjerojatnije vrijednosti mjerene veličine

(17*)