Kako izračunati koordinate vektora. Vektori za lutke

Konačno sam se dočepao opsežne i dugo očekivane teme analitička geometrija. Prvo, malo o ovom dijelu više matematike... Sigurno ste se sada sjetili školskog kolegija geometrije s brojnim teoremama, njihovim dokazima, crtežima itd. Što skrivati, nevoljena i često opskurna tema za značajan dio učenika. Analitička geometrija, začudo, može se činiti zanimljivijom i pristupačnijom. Što znači pridjev "analitički"? Odmah mi padaju na pamet dva utisnuta matematička zaokreta: “grafička metoda rješenja” i “analitička metoda rješenja”. Grafička metoda, naravno, povezan je s konstrukcijom grafikona, crteža. Analitički isti metoda uključuje rješavanje problema pretežno kroz algebarske operacije. U tom smislu, algoritam za rješavanje gotovo svih problema analitičke geometrije jednostavan je i transparentan, često je dovoljno točno primijeniti potrebne formule - i odgovor je spreman! Ne, naravno, uopće neće bez crteža, osim toga, radi boljeg razumijevanja gradiva, pokušat ću ih dovesti iznad potrebe.

Otvoreni tijek nastave geometrije ne pretendira na teorijsku cjelovitost, usmjeren je na rješavanje praktičnih problema. U svoja predavanja uključit ću samo ono što je s moje točke gledišta važno u praktičnom smislu. Ako trebate potpuniju referencu za bilo koji pododjeljak, preporučujem sljedeću prilično pristupačnu literaturu:

1) Stvar koja je, bez šale, poznata nekoliko generacija: Školski udžbenik iz geometrije, autori - L.S. Atanasyan i Tvrtka. Ova vješalica školske svlačionice već je izdržala 20 (!) reizdanja, što, naravno, nije granica.

2) Geometrija u 2 toma. Autori L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Ovo je literatura za visoko obrazovanje, trebat će vam prvi svezak. Zadaci koji se rijetko pojavljuju mogu ispasti iz mog vidnog polja, a tutorial će mi biti od neprocjenjive pomoći.

Obje knjige mogu se besplatno preuzeti na internetu. Osim toga, možete koristiti moju arhivu s gotovim rješenjima, koja se nalaze na stranici Preuzmite primjere iz više matematike.

Od alata, opet nudim vlastiti razvoj - softverski paket na analitičkoj geometriji, što će uvelike pojednostaviti život i uštedjeti puno vremena.

Pretpostavlja se da su čitatelju poznati osnovni geometrijski pojmovi i likovi: točka, pravac, ravnina, trokut, paralelogram, paralelepiped, kocka itd. Preporučljivo je zapamtiti neke teoreme, barem Pitagorin teorem, zdravo ponavljači)

A sada ćemo uzastopno razmotriti: koncept vektora, radnje s vektorima, vektorske koordinate. Nadalje preporučam čitanje najvažniji članak Točkasti proizvod vektora, kao i Vektorski i mješoviti umnožak vektora. Lokalni zadatak neće biti suvišan - Podjela segmenta u tom smislu. Na temelju gore navedenih informacija, možete jednadžba ravne u ravnini S najjednostavniji primjeri rješenja, što će omogućiti naučiti rješavati probleme iz geometrije. Sljedeći članci su također korisni: Jednadžba ravnine u prostoru, Jednadžbe ravne u prostoru, Osnovni problemi na liniji i ravni , ostali dijelovi analitičke geometrije. Naravno, usput će se razmatrati standardni zadaci.

Koncept vektora. slobodni vektor

Prvo, ponovimo školsku definiciju vektora. Vektor pozvao usmjereno segment za koji su naznačeni njegov početak i kraj:

U ovom slučaju, početak segmenta je točka, kraj segmenta je točka. Sam vektor je označen sa . Smjer bitno, ako preuredite strelicu na drugi kraj segmenta, dobit ćete vektor, a ovo je već potpuno drugačiji vektor. Zgodno je poistovjećivati ​​pojam vektora s kretanjem fizičkog tijela: morate priznati da su ulazak na vrata instituta ili napuštanje vrata instituta potpuno različite stvari.

Zgodno je pojedine točke ravnine, prostor smatrati tzv nulti vektor. Takav vektor ima isti kraj i početak.

!!! Bilješka: Ovdje i ispod možete pretpostaviti da vektori leže u istoj ravnini ili možete pretpostaviti da se nalaze u prostoru - bit prikazanog materijala vrijedi i za ravninu i za prostor.

Oznake: Mnogi su odmah skrenuli pažnju na štap bez strelice u oznaci i rekli da su i na vrhu stavili strelicu! Tako je, možete pisati strelicom: , ali dopušteno i zapis koji ću kasnije koristiti. Zašto? Očito se takva navika razvila iz praktičnih razmatranja, moji strijelci u školi i na fakultetu su se pokazali previše raznoliki i čupavi. U obrazovnoj literaturi ponekad se uopće ne zamaraju klinastim pismom, već podebljano ističu slova: , čime se implicira da se radi o vektoru.

To je bio stil, a sada o načinima pisanja vektora:

1) Vektori se mogu napisati u dva velika latinična slova:
i tako dalje. Dok je prvo slovo nužno označava početnu točku vektora, a drugo slovo označava krajnju točku vektora.

2) Vektori su također napisani malim latiničnim slovima:
Konkretno, naš vektor se može redizajnirati zbog kratkoće malim latiničnim slovom.

Duljina ili modul vektor različit od nule naziva se duljina segmenta. Duljina nul-vektora je nula. Logički.

Duljina vektora je označena modulo znakom: ,

Kako pronaći duljinu vektora, naučit ćemo (ili ponoviti, za koga kako) malo kasnije.

To su bile osnovne informacije o vektoru, poznate svim školarcima. U analitičkoj geometriji tzv slobodni vektor.

Ako je sasvim jednostavno - vektor se može povući iz bilo koje točke:

Nekada smo takve vektore nazivali jednakima (definicija jednakih vektora bit će data u nastavku), ali s čisto matematičke točke gledišta, ovo je ISTI VEKTOR ili slobodni vektor. Zašto besplatno? Jer tijekom rješavanja problema možete "pričvrstiti" jedan ili drugi "školski" vektor na BILO KOJU točku ravnine ili prostora koja vam je potrebna. Ovo je vrlo cool nekretnina! Zamislite usmjereni segment proizvoljne duljine i smjera - može se "klonirati" beskonačan broj puta i u bilo kojoj točki prostora, zapravo, postoji SVUDA. Postoji takva studentska poslovica: Svaki predavač u f ** u u vektoru. Uostalom, nije samo duhovita rima, sve je gotovo točno - tu se može pričvrstiti i usmjereni segment. Ali nemojte se žuriti s radošću, sami učenici češće pate =)

Tako, slobodni vektor- ovo je Mnogo identični usmjereni segmenti. Školska definicija vektora, dana na početku odlomka: "Usmjereni segment se zove vektor ...", podrazumijeva specifično usmjereni segment uzet iz zadanog skupa, koji je pričvršćen za određenu točku u ravnini ili prostoru.

Valja napomenuti da je sa stajališta fizike koncept slobodnog vektora općenito netočan, a bitna je i točka primjene. Doista, dovoljan je izravan udarac iste snage u nos ili po čelo da se razvije moj glupi primjer povlači različite posljedice. Međutim, nije besplatno vektori se također nalaze u tijeku vyshmata (ne idite tamo :)).

Radnje s vektorima. Kolinearnost vektora

U školskom kolegiju geometrije razmatraju se brojne radnje i pravila s vektorima: zbrajanje po pravilu trokuta, zbrajanje po pravilu paralelograma, pravilo razlike vektora, množenje vektora brojem, skalarni umnožak vektora itd. Kao sjeme ponavljamo dva pravila koja su posebno bitna za rješavanje problema analitičke geometrije.

Pravilo zbrajanja vektora prema pravilu trokuta

Razmotrimo dva proizvoljna ne-nula vektora i :

Potrebno je pronaći zbroj ovih vektora. Zbog činjenice da se svi vektori smatraju slobodnim, odgađamo vektor iz kraj vektor:

Zbroj vektora je vektor . Za bolje razumijevanje pravila, preporučljivo je u njega staviti fizičko značenje: neka neko tijelo napravi put duž vektora , a zatim duž vektora . Tada je zbroj vektora vektor rezultirajućeg puta koji počinje u točki polaska i završava u točki dolaska. Slično pravilo je formulirano za zbroj bilo kojeg broja vektora. Kako kažu, tijelo može ići svojim putem snažno cik-cak, ili možda na autopilotu - duž rezultirajućeg vektora zbroja.

Usput, ako se vektor odgodi od početak vektor , tada dobivamo ekvivalent pravilo paralelograma zbrajanje vektora.

Prvo, o kolinearnosti vektora. Dva vektora se nazivaju kolinearna ako leže na istoj liniji ili na paralelnim crtama. Grubo govoreći, govorimo o paralelnim vektorima. Ali u odnosu na njih uvijek se koristi pridjev "kolinearni".

Zamislite dva kolinearna vektora. Ako su strelice ovih vektora usmjerene u istom smjeru, onda se takvi vektori nazivaju suusmjeran. Ako strelice gledaju u različitim smjerovima, vektori će biti suprotno usmjerena.

Oznake: kolinearnost vektora ispisuje se uobičajenom ikonom paralelizma: , dok je detaljizacija moguća: (vektori su suusmjereni) ili (vektori su usmjereni suprotno).

raditi vektora različitog od nule brojem je vektor čija je duljina jednaka , a vektori i su usmjereni na i suprotno usmjereni na .

Pravilo množenja vektora brojem lakše je razumjeti sa slikom:

Detaljnije razumijemo:

1) Smjer. Ako je množitelj negativan, tada je vektor mijenja smjer na suprotno.

2) Duljina. Ako je faktor sadržan unutar ili , tada duljina vektora smanjuje se. Dakle, duljina vektora je dvostruko manja od duljine vektora. Ako je množitelj modula veći od jedan, tada je duljina vektora povećava na vrijeme.

3) Imajte na umu da svi vektori su kolinearni, dok se jedan vektor izražava kroz drugi, na primjer, . Vrijedi i obrnuto: ako se jedan vektor može izraziti u terminima drugog, tada su takvi vektori nužno kolinearni. Na ovaj način: ako vektor pomnožimo brojem, dobivamo kolinearno(u odnosu na original) vektor.

4) Vektori su kosmjerni. Vektori i su također kosmjerni. Svaki vektor prve skupine suprotan je bilo kojem vektoru druge skupine.

Koji su vektori jednaki?

Dva su vektora jednaka ako su kosmjerna i imaju istu duljinu. Imajte na umu da suusmjeravanje implicira da su vektori kolinearni. Definicija će biti netočna (suvišna) ako kažete: "Dva vektora su jednaka ako su kolinearni, kousmjereni i imaju istu duljinu."

Sa stajališta koncepta slobodnog vektora, jednaki vektori su isti vektor, o čemu je već bilo riječi u prethodnom odlomku.

Vektorske koordinate na ravnini iu prostoru

Prva točka je razmatranje vektora na ravnini. Nacrtajte kartezijanski pravokutni koordinatni sustav i odvojite ga od ishodišta singl vektori i:

Vektori i ortogonalni. Ortogonalno = okomito. Preporučujem da se polako navikavamo na pojmove: umjesto paralelizma i okomitosti, koristimo riječi redom kolinearnost i ortogonalnost.

Oznaka: ortogonalnost vektora zapisuje se uobičajenim znakom okomice, na primjer: .

Razmatrani vektori se nazivaju koordinatni vektori ili orts. Ovi vektori se formiraju osnovu na površini. Što je osnova, mislim da je mnogima intuitivno jasno, detaljnije informacije možete pronaći u članku Linearna (ne)ovisnost vektora. Vektorska osnova.Jednostavnim riječima, osnova i ishodište koordinata definiraju cijeli sustav - to je svojevrsni temelj na kojem vrije pun i bogat geometrijski život.

Ponekad se konstruirana osnova naziva ortonormalno osnova ravnine: "orto" - jer su koordinatni vektori ortogonalni, pridjev "normaliziran" znači jedinica, t.j. duljine baznih vektora jednake su jedan.

Oznaka: osnova je obično napisana u zagradama, unutar kojih u strogom redu navedeni su bazni vektori, na primjer: . Koordinatni vektori Zabranjeno je zamijeniti mjesta.

Bilo koji ravan vektor jedini način izraženo kao:
, gdje - brojevima, koji se zovu vektorske koordinate u ovoj osnovi. Ali sam izraz pozvao vektorska dekompozicijaosnovu .

Poslužena večera:

Počnimo s prvim slovom abecede: . Crtež jasno pokazuje da se pri dekomponiranju vektora u smislu baze koriste upravo razmatrani:
1) pravilo množenja vektora brojem: i ;
2) zbrajanje vektora prema pravilu trokuta: .

Sada mentalno odvojite vektor iz bilo koje druge točke na ravnini. Sasvim je očito da će ga njegova korupcija “neumoljivo pratiti”. Evo je, sloboda vektora - vektor "nosi sve sa sobom". Ovo svojstvo, naravno, vrijedi za bilo koji vektor. Smiješno je da sami osnovni (slobodni) vektori ne moraju biti odvojeni od ishodišta, jedan se može nacrtati npr. dolje lijevo, a drugi gore desno i od ovoga se ništa neće promijeniti! Istina, ne trebate to učiniti, jer će učitelj također pokazati originalnost i nacrtati vam "prolaz" na neočekivanom mjestu.

Vektori , ilustriraju točno pravilo za množenje vektora brojem, vektor je suusmjeren s baznim vektorom, vektor je usmjeren suprotno od bazičnog vektora. Za ove vektore, jedna od koordinata jednaka je nuli, može se pomno napisati na sljedeći način:


A osnovni vektori su, inače, ovakvi: (zapravo, izražavaju se kroz sebe).

I konačno: , . Usput, što je vektorsko oduzimanje i zašto ti nisam rekao o pravilu oduzimanja? Negdje u linearnoj algebri, ne sjećam se gdje, primijetio sam da je oduzimanje poseban slučaj zbrajanja. Dakle, proširenja vektora "de" i "e" mirno su zapisana kao zbroj: . Slijedite crtež kako biste vidjeli kako dobro staro zbrajanje vektora prema pravilu trokuta funkcionira u ovim situacijama.

Razmatrana dekompozicija oblika ponekad se naziva vektorska dekompozicija u sustavu ort(tj. u sustavu jediničnih vektora). Ali ovo nije jedini način za pisanje vektora, uobičajena je sljedeća opcija:

Ili sa znakom jednakosti:

Sami bazni vektori zapisuju se na sljedeći način: i

To jest, koordinate vektora su navedene u zagradama. U praktičnim zadacima koriste se sve tri opcije snimanja.

Dvoumio sam se hoću li govoriti, ali ipak ću reći: vektorske koordinate se ne mogu preurediti. Strogo na prvom mjestu zapišite koordinatu koja odgovara jediničnom vektoru, strogo na drugom mjestu zapišite koordinatu koja odgovara jediničnom vektoru . Doista, i dva su različita vektora.

Odgonetnuli smo koordinate u avionu. Sada razmotrite vektore u trodimenzionalnom prostoru, ovdje je sve gotovo isto! Dodat će se samo još jedna koordinata. Teško je izvoditi trodimenzionalne crteže, pa ću se ograničiti na jedan vektor, koji ću zbog jednostavnosti odgoditi od početka:

Bilo koji 3D vektor prostora jedini način proširiti u ortonormalnoj bazi:
, gdje su koordinate vektora (broja) u zadanoj bazi.

Primjer sa slike: . Pogledajmo kako ovdje funkcioniraju pravila vektorske akcije. Prvo, množenje vektora brojem: (crvena strelica), (zelena strelica) i (magenta strelica). Drugo, ovdje je primjer zbrajanja nekoliko, u ovom slučaju tri, vektora: . Vektor zbroja počinje na početnoj točki polaska (početak vektora) i završava na konačnoj točki dolaska (kraj vektora).

Svi vektori trodimenzionalnog prostora, naravno, također su besplatni, pokušajte mentalno odgoditi vektor iz bilo koje druge točke i shvatit ćete da njegovo širenje "ostaje s njim".

Slično kao i kućište aviona, osim pisanja inačice sa zagradama se široko koriste: bilo .

Ako u ekspanziji nedostaje jedan (ili dva) koordinatna vektora, umjesto njih se stavljaju nule. primjeri:
vektor (pažljivo ) - Zapiši ;
vektor (pažljivo ) - Zapiši ;
vektor (pažljivo ) - Zapiši .

Osnovni vektori zapisuju se na sljedeći način:

Ovdje je, možda, svo minimalno teorijsko znanje potrebno za rješavanje problema analitičke geometrije. Možda ima previše pojmova i definicija, pa preporučam lutkama da ponovno pročitaju i shvate ove informacije. I svakom će čitatelju biti korisno da se s vremena na vrijeme osvrne na osnovnu lekciju radi bolje asimilacije gradiva. Kolinearnost, ortogonalnost, ortonormalna baza, vektorska dekompozicija - ovi i drugi koncepti često će se koristiti u nastavku. Napominjem da materijali stranice nisu dovoljni za polaganje teoretskog testa, kolokvija iz geometrije, budući da pažljivo šifriram sve teoreme (osim bez dokaza) - na štetu znanstvenog stila prezentacije, ali plus za vaše razumijevanje subjekta. Kako biste dobili detaljne teorijske informacije, molim vas da se poklonite profesoru Atanasyanu.

A sada prijeđimo na praktični dio:

Najjednostavniji problemi analitičke geometrije.
Radnje s vektorima u koordinatama

Zadatke koji će se razmatrati, vrlo je poželjno naučiti kako ih rješavati potpuno automatski, a formule zapamtiti, nemojte ga se ni sjećati namjerno, oni će ga sami zapamtiti =) Ovo je vrlo važno, budući da se ostali problemi analitičke geometrije temelje na najjednostavnijim elementarnim primjerima, a bit će neugodno trošiti dodatno vrijeme na jedući pijune. Ne trebate zakopčati gornje gumbe na košulji, mnoge stvari poznate su vam iz škole.

Prezentacija gradiva odvijat će se paralelno – kako za avion tako i za svemir. Iz razloga što sve formule ... vidjet ćete sami.

Kako pronaći vektor s dvije točke?

Ako su zadane dvije točke ravnine i, tada vektor ima sljedeće koordinate:

Ako su zadane dvije točke u prostoru i, tada vektor ima sljedeće koordinate:

To je, iz koordinata kraja vektora trebate oduzeti odgovarajuće koordinate vektorski početak.

Vježba: Za iste točke zapišite formule za pronalaženje koordinata vektora. Formule na kraju lekcije.

Primjer 1

S obzirom na dvije točke u ravnini i . Pronađite vektorske koordinate

Riješenje: prema odgovarajućoj formuli:

Alternativno, može se koristiti sljedeća oznaka:

Esteti će odlučiti ovako:

Osobno sam navikao na prvu verziju ploče.

Odgovor:

Prema uvjetu, nije bilo potrebno napraviti crtež (što je tipično za probleme analitičke geometrije), ali da bih lutkama objasnio neke točke, neću biti previše lijen:

Mora se razumjeti razlika između koordinata točke i vektorskih koordinata:

Koordinate točke su uobičajene koordinate u pravokutnom koordinatnom sustavu. Mislim da svi znaju crtati točke na koordinatnoj ravnini od 5-6 razreda. Svaka točka ima strogo mjesto u ravnini i ne može se nigdje pomaknuti.

Koordinate istog vektora je njegova ekspanzija u odnosu na osnovu , u ovom slučaju . Svaki vektor je slobodan, stoga ga po želji ili potrebi možemo lako odgoditi s neke druge točke u ravnini. Zanimljivo je da za vektore uopće ne možete graditi osi, pravokutni koordinatni sustav, potrebna vam je samo baza, u ovom slučaju, ortonormalna baza ravnine.

Čini se da su zapisi koordinata točaka i vektorskih koordinata slični: , i osjećaj za koordinate apsolutno drugačiji, i trebali biste biti svjesni ove razlike. Ova razlika, naravno, vrijedi i za prostor.

Dame i gospodo, punimo ruke:

Primjer 2

a) Zadane bodove i . Pronađite vektore i .
b) Daju se bodovi i . Pronađite vektore i .
c) Zadane bodove i . Pronađite vektore i .
d) Daju se bodovi. Pronađite vektore .

Možda dosta. Ovo su primjeri za samostalnu odluku, pokušajte ih ne zanemariti, isplatit će vam se ;-). Crteži nisu potrebni. Rješenja i odgovori na kraju lekcije.

Što je važno u rješavanju problema analitičke geometrije? Važno je biti IZUZETNO OPREZNI kako bi se izbjegla majstorska pogreška “dva plus dva jednako je nula”. Unaprijed se izvinjavam ako sam pogriješio =)

Kako pronaći duljinu segmenta?

Duljina, kao što je već napomenuto, označena je znakom modula.

Ako su zadane dvije točke ravnine i, tada se duljina segmenta može izračunati formulom

Ako su zadane dvije točke u prostoru i, tada se duljina segmenta može izračunati po formuli

Bilješka: Formule će ostati točne ako se zamijene odgovarajuće koordinate: i , ali prva opcija je standardnija

Primjer 3

Riješenje: prema odgovarajućoj formuli:

Odgovor:

Radi jasnoće, napravit ću crtež

Segment linije - nije vektor, i ne možete ga nikamo premjestiti, naravno. Osim toga, ako dovršite crtež u mjerilu: 1 jedinica. \u003d 1 cm (dvije tetradne ćelije), tada se odgovor može provjeriti običnim ravnalom izravnim mjerenjem duljine segmenta.

Da, rješenje je kratko, ali postoji nekoliko važnih točaka koje bih želio pojasniti:

Prvo, u odgovoru postavljamo dimenziju: "jedinice". Stanje ne govori ŠTO je, milimetri, centimetri, metri ili kilometri. Stoga će opća formulacija biti matematički kompetentno rješenje: "jedinice" - skraćeno kao "jedinice".

Drugo, ponovimo školsko gradivo, koje je korisno ne samo za razmatrani problem:

obrati pozornost na važan tehnički trik – vadeći množitelj ispod korijena. Kao rezultat izračuna, dobili smo rezultat i dobar matematički stil uključuje vađenje množitelja ispod korijena (ako je moguće). Proces detaljnije izgleda ovako: . Naravno, ostavljanje odgovora u obrascu neće biti pogreška – ali to je definitivno mana i težak argument za prigovaranje od strane učitelja.

Evo drugih uobičajenih slučajeva:

Često se pod korijenom dobiva, na primjer, dovoljno velik broj. Kako biti u takvim slučajevima? Na kalkulatoru provjeravamo je li broj djeljiv s 4:. Da, potpuno podijeliti, na sljedeći način: . Ili se možda broj opet može podijeliti s 4? . Na ovaj način: . Posljednja znamenka broja je neparna, tako da dijeljenje s 4 po treći put očito nije moguće. Pokušavam podijeliti s devet: . Kao rezultat:
Spreman.

Zaključak: ako ispod korijena dobijemo cijeli broj koji se ne može izdvojiti, onda pokušavamo izvaditi faktor ispod korijena - na kalkulatoru provjeravamo je li broj djeljiv sa: 4, 9, 16, 25, 36, 49 , itd.

Prilikom rješavanja raznih problema često se pronalaze korijeni, uvijek pokušajte izvući čimbenike ispod korijena kako biste izbjegli nižu ocjenu i nepotrebne muke s finaliziranjem svojih rješenja prema napomeni nastavnika.

Ponovimo istovremeno kvadriranje korijena i ostalih potencija:

Pravila za radnje sa stupnjevima u općem obliku mogu se pronaći u školskom udžbeniku iz algebre, ali mislim da je već sve ili gotovo sve jasno iz navedenih primjera.

Zadatak za samostalno rješenje sa segmentom u prostoru:

Primjer 4

Zadane bodove i . Pronađite duljinu segmenta.

Rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Kako pronaći duljinu vektora?

Ako je dan ravninski vektor, tada se njegova duljina izračunava po formuli.

Ako je dan vektor prostora, tada se njegova duljina izračunava po formuli .

Na apscisi i ordinati osi se nazivaju koordinate vektor. Vektorske koordinate obično su naznačene u obrascu (x, y), a sam vektor kao: = (x, y).

Formula za određivanje koordinata vektora za dvodimenzionalne probleme.

U slučaju dvodimenzionalnog problema, vektor s poznatim koordinate točke A(x 1; y 1) i B(x 2 ; y 2 ) može se izračunati:

\u003d (x 2 - x 1; y 2 - y 1).

Formula za određivanje koordinata vektora za prostorne probleme.

U slučaju prostornog problema, vektor s poznatim koordinate točke A (x 1; y 1;z 1 ) i B (x 2 ; y 2 ; z 2 ) može se izračunati pomoću formule:

= (x 2 - x 1 ; y 2 - y 1 ; z 2 - z 1 ).

Koordinate daju opsežan opis vektora, budući da je iz koordinata moguće konstruirati sam vektor. Poznavajući koordinate, lako je izračunati i duljina vektora. (Svojstvo 3 u nastavku).

Koordinatna svojstva vektora.

1. Bilo koji jednaki vektori u jednom koordinatnom sustavu imaju jednake koordinate.

2. Koordinate kolinearni vektori proporcionalan. Pod uvjetom da nijedan od vektora nije jednak nuli.

3. Kvadrat duljine bilo kojeg vektora jednak je zbroju njegovih kvadrata koordinate.

4.Kada operacija vektorska množenja na pravi broj svaka njegova koordinata se množi s tim brojem.

5. Tijekom operacije vektorskog zbrajanja izračunavamo zbroj odgovarajućih vektorske koordinate.

6. Skalarni proizvod dva vektora jednaka je zbroju proizvoda njihovih odgovarajućih koordinata.

Pronalaženje koordinata vektora prilično je uobičajen uvjet za mnoge probleme u matematici. Sposobnost pronalaženja koordinata vektora pomoći će vam u drugim, složenijim problemima sa sličnim temama. U ovom ćemo članku razmotriti formulu za pronalaženje koordinata vektora i nekoliko zadataka.

Pronalaženje koordinata vektora u ravnini

Što je avion? Ravnina je dvodimenzionalni prostor, prostor s dvije dimenzije (dimenzija x i dimenzija y). Na primjer, papir je ravan. Površina stola je ravna. Svaka nevolumetrijska figura (kvadrat, trokut, trapez) također je ravnina. Dakle, ako je u uvjetu zadatka potrebno pronaći koordinate vektora koji leži na ravnini, odmah se prisjećamo x i y. Koordinate takvog vektora možete pronaći na sljedeći način: AB koordinate vektora = (xB - xA; yB - xA). Iz formule se vidi da se koordinate početne točke moraju oduzeti od koordinata krajnje točke.

Primjer:

• CD vektor ima početne (5; 6) i krajnje (7; 8) koordinate.
• Pronađite koordinate samog vektora.
• Koristeći gornju formulu, dobivamo sljedeći izraz: CD = (7-5; 8-6) = (2; 2).
• Dakle, koordinate CD vektora = (2; 2).
• Prema tome, x koordinata je jednaka dva, y koordinata je također dva.

Pronalaženje koordinata vektora u prostoru

Što je prostor? Prostor je već trodimenzionalna dimenzija, gdje su zadane 3 koordinate: x, y, z. Ako trebate pronaći vektor koji leži u prostoru, formula se praktički ne mijenja. Dodana je samo jedna koordinata. Da biste pronašli vektor, trebate oduzeti početne koordinate od krajnjih koordinata. AB = (xB - xA; yB - yA; zB - zA)

Primjer:

• Vektor DF ima početni (2; 3; 1) i konačni (1; 5; 2).
• Primjenom gornje formule dobivamo: Vektorske koordinate DF = (1-2; 5-3; 2-1) = (-1; 2; 1).
• Zapamtite, vrijednost koordinata može biti negativna, s tim nema problema.

Kako pronaći vektorske koordinate online?

Ako iz nekog razloga ne želite sami pronaći koordinate, možete koristiti online kalkulator. Prvo odaberite dimenziju vektora. Dimenzija vektora je odgovorna za njegove dimenzije. Dimenzija 3 znači da je vektor u prostoru, dimenzija 2 znači da je u ravnini. Zatim unesite koordinate točaka u odgovarajuća polja i program će sam odrediti koordinate vektora. Sve je vrlo jednostavno.

Klikom na gumb, stranica će se automatski pomicati prema dolje i dati vam točan odgovor zajedno s koracima rješenja.

Preporuča se dobro proučiti ovu temu, jer se pojam vektora nalazi ne samo u matematici, već iu fizici. Studenti Fakulteta informacijskih tehnologija također proučavaju temu vektora, ali na složenijoj razini.

Analitička geometrija

		Tjedan	Ocjena modula u bodovima
		upravljanje modulom
			Maksimum		Minimum
1. semestar
DZ №1, dio 1
DZ №1, dio 2
Modulo upravljanje br. 1
nagradni bodovi
Modulo upravljanje br. 2
nagradni bodovi

Kontrolne aktivnosti i vrijeme njihove provedbe Modul 1

1. DZ br. 1 dio 1 "Vektorska algebra" Rok za izdavanje 2 tjedna, rok - 7 tjedana

2. DZ br. 1 dio 2 "Linije i ravni"

Rok isporuke 1 tjedan, rok isporuke - 9 tjedana

3. Modulo upravljanje br. 1 (RK br. 1) "Vektorska algebra, pravci i ravnine." Rok - 10 tjedana

1. DZ broj 2 „Krivulje i plohe 2. narudžba „Rok izdavanja 6 tjedana, rok isporuke – 13 tjedana

5. Test "Krivulje i površine 2. red. Rok - 14 tjedana

6. Modulo upravljanje br. 2 (RK br. 2) "Matrice i sustavi linearnih algebarskih jednadžbi"

Rok - 16 tjedana

Tipični zadaci koji se koriste u formiranju trenutnih opcija upravljanja

1. Domaća zadaća broj 1. "Vektorska algebra i analitička geometrija"

Zadane su: točke A (0;3;2), B (1;4;2) , D (0;1;2) ,			A(1;2;0); brojevi a 30,				b1; kutu
1. Nađi duljinu vektora |		n | , ako			p aq ,	n bp q	i p, q su jedinice

vektora, kut između kojih je jednak.

2. Pronađite koordinate točke M koja dijeli vektor AB s obzirom na a :1 .

3. Provjerite je li to moguće na vektorima AB i AD konstruiraju paralelogram. Ako je odgovor da, onda pronađite duljine stranica paralelograma.

4. Nađite kutove između dijagonala paralelograma ABCD.

5. Nađi površinu paralelograma ABCD.

6. Provjerite vektori AB , AD , AA 1 možete izgraditi paralelepiped. Nađite volumen ovog paralelepipeda i duljinu njegove visine.

7. Pronađite vektorske koordinate AH , usmjeren duž visine paralelepipeda ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , povučen iz točke A u osnovnu ravninu A 1 B 1 C 1 D 1 ,

koordinate točke H i koordinate jediničnog vektora koji se u smjeru podudaraju s vektorom AH .

8. Pronađite dekompoziciju vektora AH vektorima AB , AD , AA 1 .

9. Pronađite projekciju vektora AH u vektor AA 1 .

10. Napišite jednadžbe ravnina: a) P koje prolaze kroz točke A, B, D;

b) P1 koji prolazi točkom A i pravom A1 B1 ;

c) P2 koja prolazi točkom A1 paralelno s ravninom P; d) P3 koji sadrži linije AD i AA1;

e) P4 prolazi kroz točke A i C1 okomito na ravninu P.

11. Nađite razmak između pravaca na kojima leže bridovi AB i CC jedan ; napišite kanonske i parametarske jednadžbe zajedničke okomice na njih.

12. Pronađite točku A 2, simetričnu točki A1 u odnosu na ravninu baze

13. Pronađite kut između pravca na kojem leži dijagonala A 1 C, a bazna ravnina ABCD.

14. Pronađite oštar kut između ravnina ABC 1 D (ravnina P) i ABB1 A1 (ravnina P1).

2. Domaća zadaća #2. "Krivulje i površine drugog reda"

U zadacima 1–2 zadana jednadžba linije drugog reda reducira se na kanonski oblik, a krivulja se konstruira u OXY koordinatnom sustavu.

NA zadatak 3, koristeći zadane podatke, pronaći jednadžbu krivulje u OXY koordinatnom sustavu. Za zadatke 1–3 označavaju:

1) kanonski oblik jednadžbe linija;

2) paralelna transformacija prijenosa koja vodi kanonskom obliku;

3) u slučaju elipse: poluosi, ekscentricitet, središte, vrhovi, žarišta, udaljenosti od točke C do žarišta; u slučaju hiperbole: poluosi, ekscentricitet, središte, vrhovi, žarišta, udaljenosti od točke C do žarišta, jednadžbe asimptote; u slučaju parabole: parametar, vrh, fokus, jednadžba direktrise, udaljenosti od točke C do žarišta i direktrisa;

4) za točku C provjerite svojstvo koje karakterizira zadanu vrstu krivulja kao mjesto točaka.

NA U zadatku 4 navedite paralelnu translacijsku transformaciju koja zadanu jednadžbu površine svodi na kanonski oblik, kanonski oblik jednadžbe površine i tip plohe. Konstruirajte plohu u kanonskom koordinatnom sustavu OXYZ.

	5x 2 y 2 20x 2y 4 , C (0;1				2) 5x 2 4y 2 20x 8y 64 , C (12;14) .
		5) ;
	Parabola je simetrična u odnosu na ravnu liniju y 1 0 , ima fokus							; 1 ,
	prelazi os OX u točki C				; 0 , a njegove grane leže u poluravni	x 0 .
	4y 2 z 2 8y 4z 1 0 .

Modulo upravljanje br. 1 “Vektorska algebra. Analitička geometrija"

1. Desne i lijeve trojke vektora. Definicija križnog produkta vektora. Formulirati svojstva vektorskog produkta vektora. Izvedi formulu za izračunavanje križnog produkta dvaju vektora zadanih njihovim koordinatama u ortonormalnoj bazi.

vektori

a m n ,

m n ,

1, m, n

Može biti,

vektorska dekompozicija

c 3 i

12j6k

vektori

3 j 2 k i b 2 i 3 j 4 k .

Napišite jednadžbu za ravninu

prolazeći kroz točke M 1 5, 1, 4 ,

M 2 2, 3.1 i

okomito na ravninu

6x 5y 4z 1 0. Postavi kanonske jednadžbe

ravna crta koja prolazi točkom M 0 0, 2,1 i ortogonalna je na pronađenu ravninu.

Test "Krivulje i površine drugog reda"

1. Definicija elipse kao mjesta točaka. Derivacija kanonske jednadžbe elipse u pravokutnom kartezijanskom koordinatnom sustavu. Glavni parametri krivulje.

2. Jednadžba površine x 2 4y 2 z 2 8x 4y 6z 17 0 vodi kanonskom

um. Napravite crtež u kanonskom koordinatnom sustavu. Navedite naziv ove površine.

3. Napišite jednadžbu za hiperbolu s jednakom osovinom ako su poznati njezino središte O 1 1, 1 i jedno od žarišta F 1 3, 1. Napravite crtež.

Modulo upravljanje br. 2 “Krivulje i plohe drugog reda. Matrice i sustavi linearnih algebarskih jednadžbi»

1. Homogeni sustavi linearnih algebarskih jednadžbi (SLAE). Oblici pisanja homogene SLAE. Dokaz kriterija za postojanje nenulte rješenja homogene SLAE.

2. Riješite matričnu jednadžbu AX B ,

Provjerite.

3. a) Riješite SLAE. b) Naći normalni temeljni sustav rješenja odgovarajućeg homogenog sustava, određeno rješenje nehomogenog sustava; napiši kroz njih opće rješenje ovog nehomogenog sustava:

x 1 2 x 2 3 x 3 4 x 4 4 x 2 x 3 x 4 3

x1 3x2 3x4 1

7 x 2 3 x 3 x 4 3

Pitanja za pripremu za modul kontrole, testove, testove i ispite

1. Geometrijski vektori. Besplatni vektori. Definicija kolinearnih i komplanarnih vektora. Linearne operacije nad vektorima i njihova svojstva.

2. Definicija linearne ovisnosti i linearne neovisnosti vektora. Dokazi za uvjete linearne ovisnosti 2 i 3 vektora.

3. Definicija baze u prostorima vektora V1, V2, V3. Dokaz teorema o postojanju i jedinstvenosti ekspanzije vektora u smislu baze. Linearne operacije nad vektorima zadanim njihovim koordinatama u bazi.

4. Definicija skalarnog produkta vektora, njegova veza s ortogonalnom projekcijom vektora na os. Svojstva skalarnog proizvoda, njihov dokaz. Derivacija formule za izračun skalarnog produkta vektora u ortonormalnoj bazi.

5. Definicija ortonormalne baze. Odnos između koordinata vektora u ortonormalnoj bazi i njegovih ortogonalnih projekcija na vektore ove baze. Izvođenje formula za izračunavanje duljine vektora, njegovih kosinusa smjera, kuta između dva vektora u ortonormalnoj bazi.

6. Desne i lijeve trojke vektora. Definicija križnog produkta vektora, njegovo mehaničko i geometrijsko značenje. Međusobna svojstva proizvoda (bez doc-va). Derivacija formule za izračun križnog proizvoda u ortonormalnoj bazi.

7. Definicija mješovitog produkta vektora. Volumen paralelepipeda i volumen piramide, izgrađen na nekoplanarnim vektorima. Uvjet komplanarnosti za tri vektora. Svojstva miješanog proizvoda. Izvođenje formule za izračun mješovitog proizvoda u ortonormalnoj bazi.

8. Definicija pravokutnog kartezijanskog koordinatnog sustava. Rješenje najjednostavnijih problema analitičke geometrije.

9. Različite vrste jednadžbi ravne na ravnini: vektorske, parametarske, kanonske. Vektor smjera je ravan.

10. Izvođenje jednadžbe ravne koja prolazi kroz dvije zadane točke.

11. Dokaz teorema da u pravokutnom kartezijanskom koordinatnom sustavu na ravnini jednadžba prvog stupnja definira ravnu liniju. Definicija vektora normale ravne linije.

12. Jednadžba s koeficijentom nagiba, jednadžba ravne linije “u segmentima”. Geometrijsko značenje parametara uključenih u jednadžbe. Kut između dvije linije. Uvjeti paralelnosti i okomitosti dvaju pravaca zadani njihovim općim ili kanonskim jednadžbama.

13. Izvođenje formule za udaljenost od točke do pravca na ravnini.

14. Dokaz teorema da u pravokutnom kartezijanskom koordinatnom sustavu u prostoru jednadžba prvog stupnja definira ravninu. Opća jednadžba ravnine. Definicija vektora normale ravnine. Izvođenje jednadžbe ravnine koja prolazi kroz tri zadane točke. Jednadžba ravnine “u segmentima”.

15. Kut između ravnina. Uvjeti paralelnosti i okomitosti dviju ravnina.

16. Izvođenje formule za udaljenost od točke do ravnine.

17. Opće jednadžbe ravne u prostoru. Izvođenje vektorskih, kanonskih i parametarskih jednadžbi ravne u prostoru.

18. Kut između dvije ravne u prostoru, uvjeti paralelnosti i okomitosti dviju ravnih linija. Uvjeti da dva pravca pripadaju istoj ravnini.

19. Kut između ravne i ravnine, uvjeti paralelnosti i okomitosti ravne i ravnine. Uvjet pripadanja pravoj liniji dane ravnine.

20. Problem nalaženja udaljenosti između linija koje se sijeku ili paralelnih.

21. Definicija elipse kao mjesta točaka. Izvođenje kanonske jednadžbe elipse.

22. Definicija hiperbole kao mjesta točaka. Izvođenje kanonske jednadžbe hiperbole.

23. Definicija parabole kao mjesta točaka. Izvođenje jednadžbe kanonske parabole.

24. Definicija cilindrične površine. Kanonske jednadžbe cilindričnih površina 2. red.

25. Koncept površine revolucije. Kanonske jednadžbe površina koje nastaju rotacijom elipse, hiperbole i parabole.

26. Kanonske jednadžbe elipsoida i stošca. Ispitivanje oblika ovih površina metodom presjeka.

27. Kanonske jednadžbe hiperboloida. Istraživanje oblika hiperboloida metodom presjeka.

28. Kanonske jednadžbe paraboloida. Istraživanje oblika paraboloida metodom presjeka.

29. Koncept matrice. Vrste matrica. Jednakost matrice. Linearne operacije nad matricama i njihova svojstva. Transpozicija matrice.

30. Množenje matrice. Svojstva operacije množenja matrice.

31. Definicija inverzne matrice. Dokaz jedinstvenosti inverzne matrice. Dokaz teorema inverzne matrice za umnožak dviju inverzibilnih matrica.

32. Kriterij postojanja inverzne matrice. Pojam pridružene matrice, njezina povezanost s inverznom matricom.

33. Izvođenje Cramerovih formula za rješavanje sustava linearnih jednadžbi s nedegeneriranom kvadratnom matricom.

34. Linearna ovisnost i linearna neovisnost redaka (stupaca) matrice. Dokaz kriterija za linearnu ovisnost redaka (stupaca).

35. Definicija matričnog minora. Osnovni mol. Teorem o osnovnom malom (bez doqua). Dokaz njegove posljedice za kvadratne matrice.

36. Fringing minors metoda za određivanje ranga matrice.

37. Elementarne transformacije redaka (stupaca) matrice. Pronalaženje inverzne matrice metodom elementarnih transformacija.

38. Teorem o invarijantnosti ranga matrice pod elementarnim transformacijama. Određivanje ranga matrice metodom elementarnih transformacija.

39. Sustavi linearnih algebarskih jednadžbi (SLAE). Različiti oblici pisanja SLAE. Zglobni i nezglobni SLAE. Dokaz Kronecker-Kapelijevog kriterija SLAE kompatibilnosti.

40. Homogeni sustavi linearnih algebarskih jednadžbi (SLAE). Svojstva njihovih rješenja.

41. Definicija temeljnog sustava rješenja (FSR) homogenog sustava linearnih algebarskih jednadžbi (SLAE). Teorem o strukturi općeg rješenja homogene SLAE. Izgradnja FSR-a.

42. Nehomogeni sustavi linearnih algebarskih jednadžbi (SLAE). Dokaz teorema o strukturi općeg rješenja nehomogene SLAE.

Kontrolni događaj	Broj zadataka	Bodovi za zadatak
DZ №1, dio 1
Osvojeni bodovi
Kontrolni događaj	Broj zadataka	Bodovi za zadatak
DZ №1, dio 2
Osvojeni bodovi

Kontrolni događaj				Broj zadataka			Bodovi za zadatak
Modulo upravljanje br. 1				1 teorija i 3 problema			teorija - 0; 3; 6
							zadataka - 0; jedan; 2
			Osvojeni bodovi
Kontrolni događaj				Broj zadataka			Bodovi za zadatak
	Osvojeni bodovi
Kontrolni događaj				Broj zadataka			Bodovi za zadatak
				1 teorija i 3 problema			teorija - 0; 3; 6
							zadataka - 0; jedan; 2
			Osvojeni bodovi
						01 teorija i 3 zadatka			teorija - 0; 3; 6
		zadataka - 0; jedan; 2
			Osvojeni bodovi

Pravila bodovanja u dnevniku

1. Bodovi za DZ. Bodovi za DZ se postavljaju sljedeći tjedan nakon dospijeća, prema odgovarajućoj tablici. Učenik ima pravo predati pojedinačne zadatke na provjeru prije roka i ispraviti pogreške koje je nastavnik uočio, uz dobivanje potrebnih savjeta. Ako učenik do roka za predaju DZ dovede rješenje problema na ispravnu opciju, tada mu se za ovaj zadatak daje maksimalni broj bodova. Nakon isteka roka za predaju DZ, učenik koji nije postigao minimalnu ocjenu za DZ može nastaviti raditi na zadatku. Istovremeno, u slučaju uspješnog rada, studentu se dodjeljuje minimalna ocjena za DZ.

2. Bodovi za CR. Ako student ne postigne minimalni rezultat za CR na vrijeme, tada tijekom semestra može dva puta prepisati ovaj rad. S pozitivnim rezultatom (skup bodova ne manji od utvrđenog minimuma), studentu se dodjeljuje minimalna ocjena za KR.

3. Bodovi za "modulo upravljanje". Kao “modulo kontrole” predlaže se pisani rad koji se sastoji od teorijskog i praktičnog dijela. Svaki dio upravljačkog modula ocjenjuje se zasebno. Učenik koji je u jednom od dijelova kontrole dobio ocjenu ne nižu od minimalne smatra se da je ovaj dio položio i ubuduće se oslobađa od njezine provedbe. Po nahođenju nastavnika može se obaviti razgovor o teorijskom dijelu zadatka. Ako student ne postigne minimum za svaki dio rada, tada tijekom semestra ima dva pokušaja za svaki dio da ispravi situaciju. Uz pozitivu

Kao rezultat (skup bodova ne manji od utvrđenog minimuma), student dobiva minimalnu ocjenu za "kontrolu modula".

4. Ocjena po modulu. Ako je student završio sve tekuće kontrolne aktivnosti modula (osvojio najmanje utvrđenu minimalnu ocjenu),

tada je ocjena za modul zbroj bodova za sve kontrolne aktivnosti modula (u ovom slučaju student automatski postiže najmanje minimalni prag). Završni bodovi za modul upisuju se u dnevnik nakon završetka svih kontrolnih aktivnosti.

5. Ukupan rezultat. Zbroj bodova za dva modula.

6. Evaluacija. Završna ovjera (ispit, diferencirani ispit, test) provodi se na temelju rezultata rada u semestru nakon što je student odradio planirani obim studijskog rada i dobio ocjenu za svaki modul koja nije niža od utvrđenog minimuma. Maksimalni broj bodova za sve module, uključujući bodove za marljivost, je 100, minimalan je 60. Zbroj bodova za sve module čini ocjenu discipline za semestar. Student koji je položio sve kontrolne mjere dobiva konačnu ocjenu iz discipline za semestar prema ljestvici:

		Ocjena ispita,	Procjena na offsetu
		diferencirani poredak
		zadovoljavajuće
		nezadovoljavajući

Možete povećati svoju ocjenu, a time i ispitnu ocjenu na završnom ispitu (pismeni rad na gradivu discipline u cjelini izvodi se tijekom ispitne sesije), maksimalna ocjena je 30, minimalna 16. Ti se bodovi zbrajaju s bodovima dobivenim za sve module u disciplini. Istovremeno, da bi se ocjenu na ispitu povećao na "dobar", student mora osvojiti najmanje 21 bod, do "odličan" ─ najmanje 26 bodova. Za specijalnosti kod kojih je kredit predviđen disciplinom, ocjena se ne povećava. Studenti koji do početka ispitne sesije imaju ocjenu u rasponu od 0-59 stječu minimum potreban za dobivanje pozitivne ocjene iz discipline ponovnim polaganjem kontrolnih događaja koji ranije nisu bili priznani za pojedine module. Istodobno, studenti koji nemaju dobar razlog mogu na kraju (do kraja ispitne sesije) dobiti ocjenu ne veću od "zadovoljavajući".