DEFINICIJA

Algebarski oblik kompleksnog broja je da se kompleksni broj \(\ z \) zapiše kao \(\ z=x+i y \), gdje su \(\ x \) i \(\ y \) realni brojevi, \ (\ i \ ) je imaginarna jedinica koja zadovoljava relaciju \(\ i^(2)=-1 \)

Broj \(\ x \) naziva se pravim dijelom kompleksnog broja \(\ z \) i označava se \(\ x=\operatorname(Re) z \)

Broj \(\ y \) naziva se imaginarni dio kompleksnog broja \(\ z \) i označava se \(\ y=\operatorname(Im) z \)

Na primjer:

Kompleksni broj \(\ z=3-2 i \) i njemu pridruženi broj \(\ \overline(z)=3+2 i \) zapisani su u algebarskom obliku.

Imaginarna vrijednost \(\ z=5 i \) zapisana je u algebarskom obliku.

Osim toga, ovisno o problemu koji se rješava, kompleksni broj možete pretvoriti u trigonometrijski ili eksponencijalni broj.

Zadatak

Napišite broj \(\ z=\frac(7-i)(4)+13 \) u algebarskom obliku, pronađite njegove stvarne i imaginarne dijelove, kao i konjugirani broj.

Riješenje.

Primjenjujući pojam dijeljenja razlomaka i pravilo zbrajanja razlomaka, dobivamo:

\(\ z=\frac(7-i)(4)+13=\frac(7)(4)+13-\frac(i)(4)=\frac(59)(4)-\frac( 1)(4) i \)

Stoga je pravi dio kompleksnog broja \(\ z=\frac(5 g)(4)-\frac(1)(4) i \) broj \(\ x=\operatorname(Re) z= \frac(59) (4) \) , imaginarni dio je broj \(\ y=\operatorname(Im) z=-\frac(1)(4) \)

Konjugirani broj: \(\ \overline(z)=\frac(59)(4)+\frac(1)(4) i \)

Odgovor

\(\ z=\frac(59)(4)-\frac(1)(4) i \), \(\ \operatorname(Re) z=\frac(59)(4) \), \(\ \operatorname(Im) z=-\frac(1)(4) \), \(\ \overline(z)=\frac(59)(4)+\frac(1)(4) i \)

Radnje kompleksnih brojeva u usporedbi algebarskog oblika

Dva kompleksna broja \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) jednaka su ako \(\ x_(1)=x_(2) \), \(\ y_(1)= y_ (2) \) tj. Njihovi stvarni i imaginarni dijelovi su jednaki.

Zadatak

Odredi za koji su x i y dva kompleksna broja \(\ z_(1)=13+y i \) i \(\ z_(2)=x+5 i \) jednaka.

Riješenje

Po definiciji, dva kompleksna broja su jednaka ako su im stvarni i imaginarni dijelovi jednaki, t.j. \(\ x=13 \), \(\ y=5 \).

Odgovor \(\ x=13 \), \(\ y=5 \)

dodatak

Zbrajanje kompleksnih brojeva \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) vrši se izravnim zbrajanjem stvarnog i imaginarnog dijela:

\(\ z_(1)+z_(2)=x_(1)+i y_(1)+x_(2)+i y_(2)=\lijevo(x_(1)+x_(2)\desno) +i\lijevo(y_(1)+y_(2)\desno) \)

Zadatak

Pronađite zbroj kompleksnih brojeva \(\ z_(1)=-7+5 i \), \(\ z_(2)=13-4 i \)

Riješenje.

Pravi dio kompleksnog broja \(\ z_(1)=-7+5 i \) je broj \(\ x_(1)=\operatorname(Re) z_(1)=-7 \), imaginarni dio je broj \( \ y_(1)=\mathrm(Im) \), \(\ z_(1)=5 \) . Pravi i imaginarni dijelovi kompleksnog broja \(\ z_(2)=13-4 i \) su \(\ x_(2)=\operatorname(Re) z_(2)=13 \) i \(\ y_ (2 )=\ime operatora(Im) z_(2)=-4 \) .

Dakle, zbroj kompleksnih brojeva je:

\(\ z_(1)+z_(2)=\lijevo(x_(1)+x_(2)\desno)+i\lijevo(y_(1)+y_(2)\desno)=(-7+ 13)+i(5-4)=6+i\)

Odgovor

\(\z_(1)+z_(2)=6+i \)

Više o zbrajanju kompleksnih brojeva pročitajte u zasebnom članku: Zbrajanje kompleksnih brojeva.

Oduzimanje

Oduzimanje kompleksnih brojeva \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) i \(\ z_(2)=x_(2)+i y_(2) \) vrši se izravnim oduzimanje stvarnog i imaginarnog dijela:

\(\ z_(1)-z_(2)=x_(1)+i y_(1)-\lijevo(x_(2)+i y_(2)\desno)=x_(1)-x_(2) +\lijevo(i y_(1)-i y_(2)\desno)=\lijevo(x_(1)-x_(2)\desno)+i\lijevo(y_(1)-y_(2)\desno )\)

Zadatak

pronađi razliku kompleksnih brojeva \(\ z_(1)=17-35 i \), \(\ z_(2)=15+5 i \)

Riješenje.

Pronađite stvarne i imaginarne dijelove kompleksnih brojeva \(\ z_(1)=17-35 i \), \(\ z_(2)=15+5 i \) :

\(\ x_(1)=\operatorname(Re) z_(1)=17, x_(2)=\operatorname(Re) z_(2)=15 \)

\(\ y_(1)=\operatorname(Im) z_(1)=-35, y_(2)=\operatorname(Im) z_(2)=5 \)

Dakle, razlika kompleksnih brojeva je:

\(\ z_(1)-z_(2)=\lijevo(x_(1)-x_(2)\desno)+i\lijevo(y_(1)-y_(2)\desno)=(17-15 )+i(-35-5)=2-40 i \)

Odgovor

\(\ z_(1)-z_(2)=2-40 i \) množenje

Množenje kompleksnih brojeva \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) i \(\ z_(2)=x_(2)+i y_(2) \) izvodi se izravno generiranje brojeva u algebarskom obliku, uzimajući u obzir svojstvo imaginarne jedinice \(\ i^(2)=-1 \) :

\(\ z_(1) \cdot z_(2)=\left(x_(1)+i y_(1)\desno) \cdot\left(x_(2)+i y_(2)\right)=x_ (1) \cdot x_(2)+i^(2) \cdot y_(1) \cdot y_(2)+\left(x_(1) \cdot i y_(2)+x_(2) \cdot i y_(1)\desno)= \)

\(\ =\left(x_(1) \cdot x_(2)-y_(1) \cdot y_(2)\right)+i\left(x_(1) \cdot y_(2)+x_(2) ) \cdot y_(1)\desno) \)

Zadatak

Pronađite umnožak kompleksnih brojeva \(\ z_(1)=1-5 i \)

Riješenje.

Kompleks kompleksnih brojeva:

\(\ z_(1) \cdot z_(2)=\lijevo(x_(1) \cdot x_(2)-y_(1) \cdot y_(2)\desno)+i\lijevo(x_(1) \cdot y_(2)+x_(2) \cdot y_(1)\right)=(1 \cdot 5-(-5) \cdot 2)+i(1 \cdot 2+(-5) \cdot 5 )=15-23 i \)

Odgovor

\(\ z_(1) \cdot z_(2)=15-23 i \) split

Faktor kompleksnog broja \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) i \(\ z_(2)=x_(2)+i y_(2) \) određuje se množenjem brojnik i nazivnik konjugiranog broja s nazivnikom:

\(\ \frac(z_(1))(z_(2))=\frac(x_(1)+i y_(1))(x_(2)+i y_(2))=\frac(\left (x_(1)+i y_(1)\desno)\lijevo(x_(2)-i y_(2)\desno))(\lijevo(x_(2)+i y_(2)\desno)\lijevo (x_(2)-i y_(2)\desno))=\frac(x_(1) \cdot x_(2)+y_(1) \cdot y_(2))(x_(2)^(2) +y_(2)^(2))+i \frac(x_(2) \cdot y_(1)-x_(1) \cdot y_(2))(x_(2)^(2)+y_(2 )^(2)) \)

Zadatak

Za dijeljenje broja 1 s kompleksnim brojem \(\ z=1+2 i \).

Riješenje.

Budući da je imaginarni dio realnog broja 1 nula, faktor je:

\(\ \frac(1)(1+2 i)=\frac(1 \cdot 1)(1^(2)+2^(2))-i \frac(1 \cdot 2)(1^( 2)+2^(2))=\frac(1)(5)-i \frac(2)(5) \)

Odgovor

\(\ \frac(1)(1+2 i)=\frac(1)(5)-i \frac(2)(5) \)

Kompleksni brojevi su produžetak skupa realnih brojeva koji se obično označavaju s . Bilo koji kompleksni broj može se predstaviti kao formalni zbroj, gdje su i realni brojevi, imaginarna jedinica.

Pisanje kompleksnog broja u obliku , , zove se algebarski oblik kompleksnog broja.

Svojstva kompleksnih brojeva. Geometrijska interpretacija kompleksnog broja.

Radnje na kompleksne brojeve dane u algebarskom obliku:

Razmotrimo pravila po kojima se aritmetičke operacije izvode nad kompleksnim brojevima.

Ako su dana dva kompleksna broja α = a + bi i β = c + di, onda

α + β = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,

α - β \u003d (a + bi) - (c + di) \u003d (a - c) + (b - d)i. (jedanaest)

To proizlazi iz definicije operacija zbrajanja i oduzimanja dvaju uređenih para realnih brojeva (vidi formule (1) i (3)). Dobili smo pravila za zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva: za zbrajanje dva kompleksna broja potrebno je zasebno zbrojiti njihove stvarne dijelove i, sukladno tome, imaginarne dijelove; da bi se od jednog kompleksnog broja oduzeo drugi, potrebno je oduzeti njihov stvarni i imaginarni dio.

Broj - α \u003d - a - bi naziva se suprotan od broja α \u003d a + bi. Zbroj ova dva broja je nula: - α + α = (- a - bi) + (a + bi) = (-a + a) + (-b + b) i = 0.

Da bismo dobili pravilo množenja za kompleksne brojeve, koristimo formulu (6), tj. činjenicu da je i2 = -1. Uzimajući u obzir ovaj omjer, nalazimo (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + (ad + bc)i – bd, t.j.

(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i . (12)

Ova formula odgovara formuli (2), koja je definirala množenje uređenih parova realnih brojeva.

Imajte na umu da su zbroj i umnožak dva kompleksna konjugirana broja realni brojevi. Doista, ako je α = a + bi, = a – bi, tada je α = (a + bi)(a - bi) = a2 – i2b2 = a2 + b2 , α + = (a + bi) + (a - bi) = ( a + a) + (b - b)i= 2a, tj.

α + = 2a, α = a2 + b2. (13)

Prilikom dijeljenja dva kompleksna broja u algebarskom obliku, treba očekivati ​​da je kvocijent također izražen brojem istog tipa, tj. α/β = u + vi, gdje je u, v R. Izvedimo pravilo za dijeljenje kompleksa brojevima. Neka su dati brojevi α = a + bi, β = c + di i β ≠ 0, tj. c2 + d2 ≠ 0. Posljednja nejednakost znači da c i d ne nestaju istovremeno (slučaj kada je c = 0, d = 0). Primjenom formule (12) i druge od jednakosti (13) nalazimo:

Stoga je kvocijent dva kompleksna broja zadan sa:

odgovarajuću formulu (4).

Koristeći dobivenu formulu za broj β = c + di, možete pronaći njegovu recipročnu vrijednost β-1 = 1/β. Uz pretpostavku u formuli (14) a = 1, b = 0, dobivamo

Ova formula određuje recipročnu vrijednost zadanog kompleksnog broja različitog od nule; ovaj broj je također složen.

Na primjer: (3 + 7i) + (4 + 2i) = 7 + 9i;

(6 + 5i) - (3 + 8i) = 3 - 3i;

(5 – 4i)(8 – 9i) = 4 – 77i;

Radnje na kompleksne brojeve u algebarskom obliku.

55. Argument kompleksnog broja. Trigonometrijski oblik zapisivanja kompleksnog broja (izlaz).

Arg.comm.broj – između pozitivnog smjera realne X osi vektorom koji predstavlja zadani broj.

trigon formula. brojevi: ,

Kompleksni brojevi

Imaginarni i kompleksni brojevi. Apscisa i ordinata

kompleksni broj. Konjugirajte kompleksne brojeve.

Operacije s kompleksnim brojevima. Geometrijski

prikaz kompleksnih brojeva. složena ravnina.

Modul i argument kompleksnog broja. trigonometrijski

oblik složenog broja. Operacije sa složenim

brojevi u trigonometrijskom obliku. Moivre formula.

Osnovne informacije o imaginarni i kompleksni brojevi dati su u odjeljku "Zamišljeni i kompleksni brojevi". Potreba za ovim brojevima novog tipa pojavila se prilikom rješavanja kvadratnih jednadžbi za slučajD< 0 (здесь Dje diskriminant kvadratne jednadžbe). Dugo vremena ti brojevi nisu nalazili fizičku upotrebu, zbog čega su ih nazivali "imaginarnim" brojevima. Međutim, sada se vrlo široko koriste u raznim područjima fizike.

i tehnologija: elektrotehnika, hidro- i aerodinamika, teorija elastičnosti itd.

Kompleksni brojevi su napisani kao:a+bi. Ovdje a i b – realni brojevi , a i – imaginarna jedinica. e. i 2 = –1. Broj a pozvao apscisa, a b - ordinatakompleksni broja + b .Dva kompleksna brojaa+bi i a-bi pozvao konjugirati kompleksni brojevi.

Glavni dogovori:

1. Realni brojatakođer se može napisati u oblikukompleksni broj:a + 0 i ili a - 0 i. Na primjer, unosi 5 + 0i i 5 - 0 iznači isti broj 5 .

2. Kompleksni broj 0 + dvopozvao čisto imaginarno broj. Snimanjedvoznači isto što i 0 + dvo.

3. Dva kompleksna brojaa+bi ic + dismatraju se jednakima akoa = c i b = d. Inače kompleksni brojevi nisu jednaki.

Dodatak. Zbroj kompleksnih brojevaa+bi i c + dinaziva se kompleksnim brojem (a+c ) + (b+d ) jaNa ovaj način, kada se doda kompleksni brojevi, njihove apscise i ordinate se zbrajaju zasebno.

Ova definicija slijedi pravila za rad s običnim polinomima.

Oduzimanje. Razlika između dva kompleksna brojaa+bi(smanjeno) i c + di(oduzeto) naziva se kompleksnim brojem (a-c ) + (b-d ) ja

Na ovaj način, pri oduzimanju dva kompleksna broja posebno se oduzimaju njihove apscise i ordinate.

Množenje. Umnožak kompleksnih brojevaa+bi i c + di naziva se kompleksnim brojem.

(ac-bd ) + (ad+bc ) jaOva definicija proizlazi iz dva zahtjeva:

1) brojevi a+bi i c + ditrebao bi se množiti kao algebarski binomi,

2) broj iima glavno svojstvo:i 2 = – 1.

PRIMJER ( a + bi )(a-bi) = a 2 +b 2 . posljedično, raditi

dva konjugirana kompleksna broja jednaka je realnom

pozitivan broj.

Podjela. Podijelite kompleksni broja+bi (djeljivo) na druguc + di(šestar) - znači pronaći treći broje + fi(čavrljanje), koji, kada se pomnoži s djeliteljemc + di, što rezultira dividendoma + b .

Ako djelitelj nije nula, dijeljenje je uvijek moguće.

PRIMJER Pronađite (8+i ) : (2 – 3 i) .

Rješenje. Prepišimo ovaj omjer kao razlomak:

Množenjem brojnika i nazivnika sa 2 + 3i

I nakon izvođenja svih transformacija, dobivamo:

Geometrijski prikaz kompleksnih brojeva. Realni brojevi su predstavljeni točkama na brojevnoj liniji:

Ovdje je poanta Aznači broj -3, točkaB je broj 2, i O- nula. Nasuprot tome, kompleksni brojevi su predstavljeni točkama na koordinatnoj ravnini. Za to biramo pravokutne (kartezijanske) koordinate s istim mjerilima na obje osi. Zatim kompleksni broja+bi bit će predstavljena točkom P s apscisom a i ordinata b (vidi sl.). Ovaj koordinatni sustav se zove složena ravnina .

modul kompleksni broj naziva se duljina vektoraOP, koji prikazuje kompleksni broj na koordinati ( integriran) avion. Modul kompleksnog brojaa+bi označeno sa | a+bi| ili pismo r

Razmotrimo kvadratnu jednadžbu.

Definirajmo njegove korijene.

Ne postoji pravi broj čiji je kvadrat -1. Ali ako formula definira operator i kao imaginarnu jedinicu, tada se rješenje ove jednadžbe može zapisati u obliku . Pri čemu i - kompleksni brojevi, kod kojih je -1 pravi dio, 2 ili u drugom slučaju -2 imaginarni dio. Imaginarni dio je također pravi (stvarni) broj. Zamišljeni dio pomnožen imaginarnom jedinicom znači već imaginarni broj.

Općenito, složeni broj ima oblik

z = x + iy ,

gdje x, y su realni brojevi, imaginarna je jedinica. U nizu primijenjenih znanosti, na primjer, u elektrotehnici, elektronici, teoriji signala, imaginarna jedinica se označava sa j. Realni brojevi x = Re(z) i y=ja (z) pozvao stvarne i imaginarne dijelove brojevima z. Izraz se zove algebarski oblik zapis kompleksnog broja.

Svaki realni broj je poseban slučaj kompleksnog broja u obliku . Imaginarni broj je također poseban slučaj kompleksnog broja. .

Definicija skupa kompleksnih brojeva C

Ovaj izraz glasi kako slijedi: skup IZ, koji se sastoji od elemenata tako da x i y pripadaju skupu realnih brojeva R i imaginarna je jedinica. Imajte na umu da itd.

Dva kompleksna broja i jednaki su ako i samo ako su im stvarni i imaginarni dijelovi jednaki, t.j. i .

Kompleksni brojevi i funkcije imaju široku primjenu u znanosti i tehnologiji, posebice u mehanici, analizi i proračunu izmjeničnih krugova, analognoj elektronici, teoriji i obradi signala, teoriji automatskog upravljanja i drugim primijenjenim znanostima.

1. Aritmetika kompleksnih brojeva

Zbrajanje dvaju kompleksnih brojeva sastoji se u zbrajanju njihovih realnih i imaginarnih dijelova, t.j.

Prema tome, razlika dva kompleksna broja

Složeni broj pozvao kompleks konjugirati broj z=x +i.y.

Kompleksni konjugirani brojevi z i z * razlikuju se po predznacima imaginarnog dijela. Očito je da

.

Svaka jednakost između složenih izraza ostaje važeća ako je u ovoj jednakosti posvuda i zamijenjen sa - i, tj. prijeći na jednakost konjugiranih brojeva. Brojevi i i – i algebarski se ne razlikuju jer .

Umnožak (množenje) dva kompleksna broja može se izračunati na sljedeći način:

Dijeljenje dva kompleksna broja:

Primjer:

1. Kompleksna ravnina

Kompleksni broj može se grafički prikazati u pravokutnom koordinatnom sustavu. Postavimo pravokutni koordinatni sustav u ravninu (x, y).

na osovini Vol uredit ćemo prave dijelove x, to se zove realna (realna) os, na osi Oy– imaginarni dijelovi y kompleksni brojevi. Ona nosi ime imaginarna os. Štoviše, svaki kompleksni broj odgovara određenoj točki ravnine, a takva se ravnina naziva složena ravnina. točka ALI kompleksna ravnina odgovarat će vektoru OA.

Broj x pozvao apscisa kompleksni broj, broj y – ordinate.

Par složenih konjugiranih brojeva prikazan je kao točke koje se nalaze simetrično oko realne osi.

Ako je u avionu postavljen polarni koordinatni sustav, zatim svaki kompleksni broj z određena polarnim koordinatama. Pri čemu modul brojevima je polarni polumjer točke i kut - njegov polarni kut ili argument kompleksnog broja z.

Modul kompleksnog broja uvijek nenegativna. Argument kompleksnog broja nije jednoznačno definiran. Glavna vrijednost argumenta mora zadovoljiti uvjet . Svaka točka kompleksne ravnine također odgovara ukupnoj vrijednosti argumenta. Argumenti koji se razlikuju za višekratnik od 2π smatraju se jednakima. Brojni argument nula nije definiran.

Glavna vrijednost argumenta određena je izrazima:

Očito je da

Pri čemu
, .

Reprezentacija kompleksnih brojeva z kao

pozvao trigonometrijski oblik kompleksni broj.

Primjer.

1. Eksponencijalni oblik kompleksnih brojeva

Razgradnja u Maclaurin serija za stvarne argument funkcije izgleda kao:

Za eksponencijalnu funkciju složenog argumenta z razgradnja je slična

.

Proširenje Maclaurinovog niza za eksponencijalnu funkciju imaginarnog argumenta može se predstaviti kao

Rezultirajući identitet se zove Eulerova formula.

Za negativan argument, izgleda

Kombinacijom ovih izraza možemo definirati sljedeće izraze za sinus i kosinus

.

Koristeći Eulerovu formulu, iz trigonometrijskog oblika prikaza kompleksnih brojeva

dostupno demonstrativna(eksponencijalni, polarni) oblik kompleksnog broja, t.j. njegov prikaz u obliku

,

gdje - polarne koordinate točke s pravokutnim koordinatama ( x,y).

Konjugat kompleksnog broja zapisuje se u eksponencijalnom obliku kako slijedi.

Za eksponencijalni oblik, lako je definirati sljedeće formule za množenje i dijeljenje kompleksnih brojeva

To jest, u eksponencijalnom obliku, umnožak i podjela kompleksnih brojeva je lakši nego u algebarskom obliku. Prilikom množenja moduli faktora se množe, a argumenti zbrajaju. Ovo pravilo vrijedi za bilo koji broj čimbenika. Konkretno, kod množenja kompleksnog broja z na i vektor z rotira u smjeru suprotnom od kazaljke na satu za 90

Kod dijeljenja, brojnik modul se dijeli s modulom nazivnika, a argument nazivnika oduzima se od argumenta brojnika.

Koristeći eksponencijalni oblik kompleksnih brojeva, mogu se dobiti izrazi za dobro poznate trigonometrijske identitete. Na primjer, iz identiteta

pomoću Eulerove formule možemo napisati

Izjednačavajući stvarni i imaginarni dio u ovom izrazu, dobivamo izraze za kosinus i sinus zbroja kutova

1. Potencije, korijeni i logaritmi kompleksnih brojeva

Dizanje kompleksnog broja na prirodni stepen n proizveden prema formuli

Primjer. Izračunaj .

Zamislite broj u trigonometrijskom obliku

’

Primjenom formule eksponencijalnosti dobivamo

Stavljanje vrijednosti u izraz r= 1, dobivamo tzv De Moivreova formula, s kojim možete odrediti izraze za sinuse i kosinuse više kutova.

Korijen n stepen kompleksnog broja z Ima n različite vrijednosti određene izrazom

Primjer. Nađimo .

Da bismo to učinili, izražavamo kompleksni broj () u trigonometrijskom obliku

.

Prema formuli za izračunavanje korijena kompleksnog broja dobivamo

Logaritam kompleksnog broja z je broj w, za koji . Prirodni logaritam kompleksnog broja ima beskonačan broj vrijednosti i izračunava se po formuli

Sastoji se od realnih (kosinus) i imaginarnih (sinusnih) dijelova. Takav se napon može predstaviti kao vektor duljine hm, početna faza (kut), rotirajući s kutnom brzinom ω .

Štoviše, ako se dodaju složene funkcije, onda se zbrajaju njihovi stvarni i imaginarni dijelovi. Ako se složena funkcija pomnoži s konstantom ili realnom funkcijom, tada se njezini stvarni i imaginarni dijelovi množe s istim faktorom. Diferencijacija/integracija tako složene funkcije svodi se na diferenciranje/integraciju stvarnog i imaginarnog dijela.

Na primjer, diferencijacija složenog izraza stresa

je pomnožiti sa iω je realni dio funkcije f(z), i je imaginarni dio funkcije. primjeri: .

Značenje z je predstavljen točkom u ravnini kompleksa z i odgovarajućom vrijednošću w- točka u kompleksnoj ravnini w. Kada se prikaže w = f(z) ravninske linije z prelaze u linije ravnine w, figure jedne ravnine u figure druge, ali se oblici linija ili figura mogu značajno promijeniti.