Značenje prve izvedenice. Derivacija funkcije

Evo tablice sažetka za praktičnost i jasnoću pri proučavanju teme.

Konstantnoy=C Funkcija potencije y = x p (x p)" = p x p - 1	Eksponencijalna funkcijay = x (a x)" = a x ln a Konkretno, kadaa = eimamo y = e x (e x)" = e x
logaritamska funkcija (log a x) " = 1 x ln a Konkretno, kadaa = eimamo y = log x (ln x)" = 1 x	Trigonometrijske funkcije (sin x) "= cos x (cos x)" = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x)" = - 1 sin 2 x
Inverzne trigonometrijske funkcije (a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2	Hiperboličke funkcije (s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x

Analizirajmo kako su dobivene formule navedene tablice, odnosno, drugim riječima, dokazat ćemo izvođenje formula za derivacije za svaki tip funkcije.

Derivacija konstante

Dokaz 1

Da bismo izveli ovu formulu, uzimamo kao osnovu definiciju derivacije funkcije u točki. Koristimo x 0 = x, gdje je x poprima vrijednost bilo kojeg realnog broja, ili, drugim riječima, x je bilo koji broj iz domene funkcije f (x) = C . Zapišimo granicu omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta kao ∆ x → 0:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

Imajte na umu da izraz 0 ∆ x pada ispod znaka granice. To nije nesigurnost "nula podijeljena s nulom", budući da brojnik ne sadrži infinitezimalnu vrijednost, već nulu. Drugim riječima, prirast konstantne funkcije uvijek je nula.

Dakle, derivacija konstantne funkcije f (x) = C jednaka je nuli u cijeloj domeni definicije.

Primjer 1

Zadane konstantne funkcije:

f 1 (x) = 3 , f 2 (x) = a , a ∈ R , f 3 (x) = 4 . 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

Riješenje

Opišimo zadane uvjete. U prvoj funkciji vidimo izvod prirodnog broja 3 . U sljedećem primjeru trebate uzeti derivat od a, gdje a- bilo koji realni broj. Treći primjer daje nam izvod iracionalnog broja 4 . 13 7 22 , četvrti - izvod nule (nula je cijeli broj). Konačno, u petom slučaju imamo derivaciju racionalnog razlomka - 8 7 .

Odgovor: derivacije zadanih funkcija su nula za bilo koju realnu x(u cijeloj domeni definicije)

f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0

Derivacija funkcije snage

Okrećemo se funkciji snage i formuli za njezinu derivaciju, koja ima oblik: (x p) " = p x p - 1, gdje je eksponent str je bilo koji realan broj.

Dokaz 2

Evo dokaza formule kada je eksponent prirodan broj: p = 1, 2, 3, …

Opet se oslanjamo na definiciju derivata. Napišimo granicu omjera prirasta funkcije snage i prirasta argumenta:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

Da bismo pojednostavili izraz u brojniku, koristimo Newtonovu binomnu formulu:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

Na ovaj način:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 x p - 1 + 0 + 0 + . . . + 0 = p! 1! (p - 1)! x p - 1 = p x p - 1

Dakle, dokazali smo formulu za izvod potencije kada je eksponent prirodan broj.

Dokaz 3

Da dam dokaz za slučaj kada p- bilo koji realni broj različit od nule, koristimo logaritamsku derivaciju (ovdje treba razumjeti razliku od derivacije logaritamske funkcije). Za potpunije razumijevanje poželjno je proučavati derivaciju logaritamske funkcije i dodatno se baviti derivacijom implicitno zadane funkcije i derivacijom složene funkcije.

Razmotrimo dva slučaja: kada x pozitivno i kada x su negativni.

Dakle x > 0 . Tada je: x p > 0 . Uzimamo logaritam jednakosti y \u003d x p na bazu e i primjenjujemo svojstvo logaritma:

y = x p ln y = ln x p ln y = p ln x

U ovoj fazi dobivena je implicitno definirana funkcija. Definirajmo njegovu derivaciju:

(ln y) " = (p ln x) 1 y y " = p 1 x ⇒ y " = p y x = p x p x = p x p - 1

Sada razmatramo slučaj kada x- negativan broj.

Ako indikator str je paran broj, tada je funkcija snage također definirana za x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Zatim xp< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Ako a str je neparan broj, tada je funkcija snage definirana za x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y "(x) \u003d (- (- x) p) " \u003d - ((- x) p) " \u003d - p (- x) p - 1 (- x) " = \u003d p (- x ) p - 1 = p x p - 1

Posljednji prijelaz je moguć jer ako str je onda neparan broj p - 1 ili paran broj ili nula (za p = 1), dakle, za negativno x jednakost (- x) p - 1 = x p - 1 je istinita.

Dakle, dokazali smo formulu za derivaciju funkcije potencije za bilo koji realni p.

Primjer 2

Zadane funkcije:

f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12

Odredi njihove derivacije.

Riješenje

Dio zadanih funkcija transformiramo u tablični oblik y = x p , na temelju svojstava stupnja, a zatim koristimo formulu:

f 1 (x) \u003d 1 x 2 3 \u003d x - 2 3 ⇒ f 1 "(x) \u003d - 2 3 x - 2 3 - 1 = - 2 3 x - 5 3 f 2 "(x) \u003d x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3 " ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

Derivacija eksponencijalne funkcije

Dokaz 4

Formulu za derivaciju izvodimo na temelju definicije:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Imamo neizvjesnost. Da bismo ga proširili, pišemo novu varijablu z = a ∆ x - 1 (z → 0 kao ∆ x → 0). U ovom slučaju a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Za posljednji prijelaz koristi se formula za prijelaz na novu bazu logaritma.

Izvršimo zamjenu u izvornoj granici:

(a x) " = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x ln a lim ∆ x → 0 1 1 z ln (z + 1) = = a x ln a lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

Prisjetimo se druge divne granice i tada dobivamo formulu za derivaciju eksponencijalne funkcije:

(a x) " = a x ln a 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln e = a x ln a

Primjer 3

Date su eksponencijalne funkcije:

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

Moramo pronaći njihove derivate.

Riješenje

Koristimo formulu za derivaciju eksponencijalne funkcije i svojstva logaritma:

f 1 "(x) = 2 3 x" = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 "(x) = 5 3 x" = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 "(x) = 1 (e) x" = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

Derivacija logaritamske funkcije

Dokaz 5

Donosimo dokaz formule za derivaciju logaritamske funkcije za bilo koji x u domeni definicije i sve važeće vrijednosti baze a logaritma. Na temelju definicije derivata dobivamo:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x x x = lim ∆ x → 0 1 x log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x log a e = 1 x ln e ln a = 1 x ln a

Iz navedenog lanca jednakosti vidljivo je da su transformacije izgrađene na temelju svojstva logaritma. Jednakost lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e vrijedi u skladu s drugom izvanrednom granicom.

Primjer 4

Zadane su logaritamske funkcije:

f 1 (x) = log log 3 x, f 2 (x) = log x

Potrebno je izračunati njihove derivate.

Riješenje

Primijenimo izvedenu formulu:

f 1 "(x) = (log ln 3 x)" = 1 x ln (ln 3) ; f 2 "(x) \u003d (ln x)" \u003d 1 x ln e \u003d 1 x

Dakle, izvod prirodnog logaritma je jedan podijeljen s x.

Derivacije trigonometrijskih funkcija

Dokaz 6

Koristimo neke trigonometrijske formule i prvu prekrasnu granicu za izvođenje formule za derivaciju trigonometrijske funkcije.

Prema definiciji derivacije funkcije sinusa dobivamo:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

Formula za razliku sinusa omogućit će nam izvođenje sljedećih radnji:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

Konačno, koristimo prvo divno ograničenje:

sin "x = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Dakle, izvod funkcije grijeh x bit će cos x.

Također ćemo na isti način dokazati formulu za kosinusnu derivaciju:

cos "x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

Oni. derivacija funkcije cos x bit će – grijeh x.

Formule za derivacije tangensa i kotangensa izvodimo na temelju pravila diferenciranja:

t g "x = sin x cos x" = sin "x cos x - sin x cos "x cos 2 x = = cos x cos x - sin x (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g "x = cos x sin x" = cos "x sin x - cos x sin "x sin 2 x = = - sin x sin x - cos x cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x

Derivacije inverznih trigonometrijskih funkcija

Odjeljak o derivaciji inverznih funkcija pruža iscrpne informacije o dokazu formula za derivacije arksinusa, arkosinusa, arktangensa i arkotangensa, stoga ovdje nećemo duplicirati materijal.

Derivacije hiperboličkih funkcija

Dokaz 7

Formule za derivacije hiperboličkog sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa možemo izvesti pomoću pravila diferenciranja i formule za derivaciju eksponencijalne funkcije:

s h "x = e x - e - x 2" = 1 2 e x "- e - x" == 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h "x = e x + e - x 2" = 1 2 e x "+ e - x" == 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h "x = s h x c h x" = s h "x c h x - s h x c h "x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h "x = c h x s h x" = c h "x s h x - c h x s h "x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Može se izvaditi iz znaka izvedenica:

(af(x)"=af" (x).

Na primjer:

Derivacija algebarske sume nekoliko funkcija (uzetih u stalnom broju) jednaka je algebarskom zbroju njihovih izvedenice:

(f 1 (x) + f 2 (x) - f 3 (x))" = f 1 "(x) + f 2 "(x) - f 3 "(x).

Na primjer:

(0,3 x 2 - 2 x + 0,8) "= (0,3 x 2)" - (2 x) "+ (0,8)" = 0,6 x - 2 ( izvedenica posljednji termin jednadžba je nula).

Ako a izvod funkcije g nije jednak nuli, tada omjer f/g također ima konačna izvedenica. Ovo svojstvo se može napisati kao:

.

Neka funkcije y = f(x) i y = g(x) imaju konačne derivacije u točki x 0 . Zatim funkcije f ± g i f g također imaju konačne izvedenice u ovaj točka. Tada dobivamo:

(f ± g) ′ = f ′ ± g ′,

(f g) ′ = f ′ g + f g ′.

Derivacija složene funkcije.

Neka funkcija y = f(x) ima konačna derivacija u točki x 0 , funkcija z = s(y) ima konačnu derivaciju u točki y 0 = f(x 0).

Zatim složena funkcija z = s (f(x)) također ima konačnu derivaciju u ovoj točki. Ovo se može napisati u obliku:

.

Derivacija inverzne funkcije.

Neka funkcija y = f(x) ima inverzna funkcija x = g(y) na nekim interval(a, b) i postoji različita od nule konačna izvedenica ovu funkciju u točki x 0 , koja pripada domene, tj. x 0 ∈ (a, b).

Zatim inverzna funkcija Ima izvedenica u točki y 0 = f(x 0):

.

Derivacija implicitne funkcije.

Ako a funkcija y = f(x) je implicitno definiran jednadžba F(x, y(x)) = 0, tada je njegov izvedenica nalazi se iz uvjeta:

.

To kažu funkcija y = f(x) postaviti implicitno, Ako ona istovjetno zadovoljava relaciju:

gdje je F(x, y) neka funkcija dvaju argumenata.

Derivacija funkcije zadane parametarski.

Ako a funkcija y = f(x) zadaje se parametarski pomoću razmatranog

Derivacija funkcije jedna je od najtežih tema u školskom programu. Neće svaki maturant odgovoriti na pitanje što je derivat.

Ovaj članak jednostavno i jasno objašnjava što je derivat i zašto je potreban.. Nećemo sada težiti matematičkoj strogosti prezentacije. Najvažnije je razumjeti značenje.

Prisjetimo se definicije:

Derivacija je brzina promjene funkcije.

Na slici su prikazani grafovi triju funkcija. Što mislite koji najbrže raste?

Odgovor je očigledan – treći. Ima najveću stopu promjene, odnosno najveću derivaciju.

Evo još jedan primjer.

Kostya, Grisha i Matvey su se zaposlili u isto vrijeme. Pogledajmo kako su se njihovi prihodi mijenjali tijekom godine:

Možete odmah vidjeti sve na grafikonu, zar ne? Kostyin prihod se više nego udvostručio u šest mjeseci. I Grishini prihodi su također porasli, ali samo malo. I Matthewov prihod pao je na nulu. Početni uvjeti su isti, ali brzina promjene funkcije, tj. izvedenica, - drugačiji. Što se tiče Matveya, derivat njegovih prihoda je uglavnom negativan.

Intuitivno možemo lako procijeniti brzinu promjene funkcije. Ali kako ćemo to učiniti?

Ono što zapravo gledamo je koliko strmo graf funkcije ide gore (ili dolje). Drugim riječima, koliko se brzo y mijenja s x. Očito, ista funkcija u različitim točkama može imati različitu vrijednost derivacije – odnosno može se mijenjati brže ili sporije.

Derivacija funkcije označava se s .

Pokažimo kako pronaći pomoću grafikona.

Nacrtan je graf neke funkcije. Uzmite točku na njoj s apscisom. Nacrtajte tangentu na graf funkcije u ovoj točki. Želimo procijeniti koliko strmo graf funkcije ide gore. Zgodna vrijednost za ovo je tangenta nagiba tangente.

Derivacija funkcije u točki jednaka je tangensu nagiba tangente povučene na graf funkcije u toj točki.

Napomena - kao kut nagiba tangente uzimamo kut između tangente i pozitivnog smjera osi.

Ponekad učenici pitaju što je tangenta na graf funkcije. Ovo je ravna linija koja ima jedinu zajedničku točku s grafom u ovom dijelu, štoviše, kao što je prikazano na našoj slici. Izgleda kao tangenta na krug.

Hajdemo pronaći. Sjetimo se da je tangens šiljastog kuta u pravokutnom trokutu jednak omjeru suprotnog kraka i susjednog. Iz trokuta:

Derivaciju smo pronašli pomoću grafa, a da nismo ni znali formulu funkcije. Takvi se zadaci često nalaze na ispitu iz matematike pod rednim brojem.

Postoji još jedna važna korelacija. Prisjetimo se da je ravna crta dana jednadžbom

Veličina u ovoj jednadžbi zove se nagib ravne linije. Jednak je tangensu kuta nagiba pravca prema osi.

.

Shvaćamo to

Zapamtimo ovu formulu. Izražava geometrijsko značenje izvedenice.

Derivacija funkcije u točki jednaka je nagibu tangente povučene na graf funkcije u toj točki.

Drugim riječima, derivacija je jednaka tangensu nagiba tangente.

Već smo rekli da ista funkcija može imati različite izvodnice u različitim točkama. Pogledajmo kako je derivacija povezana s ponašanjem funkcije.

Nacrtajmo graf neke funkcije. Neka se ova funkcija povećava u nekim područjima, a smanjuje u drugim, i to različitim stopama. I neka ova funkcija ima maksimalne i minimalne točke.

U jednom trenutku funkcija raste. Tangenta na graf, nacrtana u točki, tvori oštar kut s pozitivnim smjerom osi. Dakle, izvod je pozitivan u točki.

U tom trenutku, naša funkcija se smanjuje. Tangenta u ovoj točki tvori tupi kut s pozitivnim smjerom osi. Budući da je tangens tupog kuta negativan, izvodnica u točki je negativna.

Evo što se događa:

Ako je funkcija rastuća, njezina je derivacija pozitivna.

Ako se smanjuje, njegova derivacija je negativna.

A što će se dogoditi na maksimalnim i minimalnim točkama? Vidimo da je u (maksimalna točka) i (minimalna točka) tangenta vodoravna. Stoga je tangens nagiba tangente u tim točkama nula, a derivacija je također nula.

Bod je maksimalni bod. U ovom trenutku povećanje funkcije zamjenjuje se smanjenjem. Posljedično, predznak derivacije se mijenja u točki iz "plus" u "minus".

U točki - točki minimuma - izvodnica je također jednaka nuli, ali joj se predznak mijenja iz "minus" u "plus".

Zaključak: uz pomoć izvoda možemo saznati sve što nas zanima o ponašanju funkcije.

Ako je izvod pozitivan, tada je funkcija rastuća.

Ako je derivacija negativna, tada je funkcija opadajuća.

U točki maksimuma derivacija je nula i mijenja predznak s plusa na minus.

U točki minimuma derivacija je također nula i mijenja predznak iz minusa u plus.

Ove nalaze zapisujemo u obliku tablice:

	povećava se	maksimalna točka	smanjuje se	minimalna točka	povećava se
+	0	-	0	+

Napravimo dva mala pojašnjenja. Jedan od njih trebat će vam prilikom rješavanja ispitnih zadataka. Drugi - na prvoj godini, s ozbiljnijim proučavanjem funkcija i izvedenica.

Moguć je slučaj kada je derivacija funkcije u nekom trenutku jednaka nuli, ali funkcija u tom trenutku nema ni maksimum ni minimum. Ovaj tzv :

U točki je tangenta na graf vodoravna, a derivacija je nula. Međutim, prije točke funkcija je rasla - a nakon točke nastavlja rasti. Predznak izvoda se ne mijenja - ostao je pozitivan kakav je i bio.

Također se događa da u točki maksimuma ili minimuma derivacija ne postoji. Na grafu to odgovara oštrom lomu, kada je nemoguće nacrtati tangentu u datoj točki.

Ali kako pronaći izvod ako funkcija nije dana grafom, već formulom? U ovom slučaju vrijedi

Apsolutno je nemoguće riješiti fizikalne probleme ili primjere iz matematike bez znanja o derivaciji i metodama za njezino izračunavanje. Derivacija je jedan od najvažnijih pojmova matematičke analize. Odlučili smo današnji članak posvetiti ovoj temeljnoj temi. Što je derivacija, koje je njeno fizičko i geometrijsko značenje, kako izračunati derivaciju funkcije? Sva se ova pitanja mogu spojiti u jedno: kako razumjeti izvedenicu?

Geometrijsko i fizičko značenje derivacije

Neka postoji funkcija f(x) , dati u nekom intervalu (a,b) . Točke x i x0 pripadaju tom intervalu. Kada se x promijeni, mijenja se i sama funkcija. Promjena argumenta - razlika njegovih vrijednosti x-x0 . Ova razlika se piše kao delta x i naziva se prirast argumenta. Promjena ili povećanje funkcije je razlika između vrijednosti funkcije u dvije točke. Izvedena definicija:

Derivacija funkcije u točki je granica omjera prirasta funkcije u danoj točki i prirasta argumenta kada potonji teži nuli.

Inače se može napisati ovako:

Koja je svrha pronalaženja takve granice? Ali koji:

derivacija funkcije u točki jednaka je tangensu kuta između osi OX i tangente na graf funkcije u danoj točki.

Fizičko značenje derivata: vremenska derivacija puta jednaka je brzini pravocrtnog gibanja.

Doista, još od školskih dana svatko zna da je brzina privatan put. x=f(t) i vrijeme t . Prosječna brzina u određenom vremenskom razdoblju:

Da biste saznali brzinu kretanja u jednom trenutku t0 morate izračunati granicu:

Prvo pravilo: izvadite konstantu

Konstanta se može uzeti iz predznaka izvoda. Štoviše, to se mora učiniti. Kada rješavate primjere iz matematike, uzmite kao pravilo - ako možete pojednostaviti izraz, budite sigurni da pojednostavite .

Primjer. Izračunajmo derivaciju:

Drugo pravilo: derivacija zbroja funkcija

Derivacija zbroja dviju funkcija jednaka je zbroju derivacija tih funkcija. Isto vrijedi i za derivaciju razlike funkcija.

Nećemo davati dokaz ovog teorema, već ćemo razmotriti praktični primjer.

Pronađite izvod funkcije:

Treće pravilo: derivacija umnoška funkcija

Derivacija umnoška dviju diferencijabilnih funkcija izračunava se po formuli:

Primjer: pronađite izvod funkcije:

Riješenje:

Ovdje je važno reći o izračunavanju derivacija složenih funkcija. Derivacija složene funkcije jednaka je umnošku derivacije te funkcije s obzirom na međuargument s derivacijom međuargumenta s obzirom na nezavisnu varijablu.

U gornjem primjeru susrećemo izraz:

U ovom slučaju, srednji argument je 8x na petu potenciju. Kako bismo izračunali derivaciju takvog izraza, prvo razmatramo derivaciju vanjske funkcije s obzirom na posredni argument, a zatim množimo s derivacijom samog posrednog argumenta s obzirom na nezavisnu varijablu.

Pravilo četiri: Derivacija kvocijenta dviju funkcija

Formula za određivanje derivacije kvocijenta dviju funkcija:

Pokušali smo ispočetka razgovarati o derivatima za lutke. Ova tema nije tako jednostavna kao što zvuči, stoga budite upozoreni: u primjerima često postoje zamke, stoga budite oprezni pri izračunavanju izvedenica.

Za sva pitanja na ovu i druge teme možete se obratiti studentskoj službi. U kratkom vremenu pomoći ćemo vam riješiti najteže kontrolne i riješiti zadatke, čak i ako se nikada prije niste bavili računanjem izvedenica.