Prvi stavak ovog poglavlja može se smatrati nastavkom školskog tečaja geometrije. Podsjećamo na glavne definicije vezane uz pojam vektora.

Par točaka se zove uredno, ako se o njima može reći tko je od njih prvi, tko drugi. Uređeni par točaka definira usmjereni segment.

Definicija 1. Usmjereni segment nazvat ćemo vektor. Prva točka u uređenom paru naziva se početak vektor, a drugi - njegov kraj.

Za označavanje vektora koristi se oznaka: , gdje ALI– točka primjene vektora (početak vektora), točka NA je kraj vektora; ili ; ili a .

Vektor čiji su početak i kraj isti nazivamo nula vektor i označen 0 .

Udaljenost između početka i kraja vektora naziva se njegov duljina(kao i modul ili apsolutna vrijednost). Duljina vektora je označena sa | |, ili | a |, ili |
|.

Definicija 2. Vektori se nazivaju kolinearni, ako se nalaze na istoj liniji ili na paralelnim pravcima, tj. postoji pravac s kojim su paralelni. Vektori se nazivaju komplanarni ako postoji ravnina s kojom su paralelni.

Definicija 3. Dva vektora se nazivaju jednak ako su kolinearni, imaju isti smjer i imaju istu duljinu.

H Slika 1 prikazuje vektore za koje je povrijeđen jedan od uvjeta jednakosti: vektori su nekolinearni (Sl. 1 a), vektori su usmjereni na različite strane(Sl. 1 b), vektori imaju različite duljine (sl. 1 u).

Obratite pažnju na sljedeća svojstva relacije jednakosti između vektora:

1.
(refleksivnost).

2. Ako
, onda
(simetrija).

3. Ako
i
, onda
(tranzitivnost).

4. Ako
, onda
.

5. Za bilo koje bodove A, B, C postoji samo jedna točka D takav da
.

Prva tri svojstva mogu se zamijeniti sljedećom formulacijom: odnos jednakosti je odnos ekvivalencije.

Imajte na umu da se pojam jednakosti vektora bitno razlikuje od pojma jednakosti, na primjer, brojeva. Svaki broj jednak je samo sebi, drugim riječima, dva jednaka broja u svim okolnostima mogu se smatrati jednim te istim brojem. S vektorima je situacija drugačija: po definiciji postoje različiti ali jednaki vektori. Vektor jednak zadanom možemo odgoditi iz bilo koje točke.

Uzmi neki vektor
i smatramo skup svih vektora jednakim vektoru
. Ovaj skup se zove klasa ekvivalencije generiran vektorom
. Vektor
je predstavnik klase ekvivalencije.

Definicija 4. slobodni vektor a skup svih vektora ćemo nazvati jednakim vektoru a , tj. cijela klasa ekvivalencije.

Iz školskog tečaja geometrije poznato je da se vektor može smatrati paralelnom translacijom. Ova se definicija također može smatrati definicijom slobodnog vektora.

Za slobodni vektor, kao i za brojeve, jednakost znači podudaranje: dva vektora su jednaka ako i samo ako su isti vektor. U nastavku pod pojmom vektora podrazumijevamo slobodni vektor.

Razmotrimo linearne operacije na vektorima. Linearne operacije su zbrajanje vektora i množenje vektora brojem.

O

a B
C

b

definicija 5. Neka su zadana dva vektora a i b . Konstruirajmo vektore jednake njima
i
(tj. pomaknite kraj a i početi b do proizvoljne točke NA). Zatim vektor
nazvao iznos vektori i označeni a + b (slika 2).

IZ svojstva operacije zbrajanja vektora:

Za bilo koje vektore a i b iznos a + b također i vektor (zatvaranje).

Za bilo koje vektore a i b izvedena a + b = b + a (komutativnost).

Za bilo koje vektore a , b i S izvedena a + (b + S ) = (a + b ) + S (asocijativnost).

Skup vektora ima nulti vektor 0 , koji ima svojstvo: 0 + a = a za bilo koji vektor a . Uzimajući u obzir komutativnost, možemo pisati 0 + a = 0 + a = a (postojanje nultog vektora).

Za bilo koji vektor a postoji vektor - a , tako da

a + (–a ) = (–a ) + a = 0

(postojanje suprotnog vektora).

Definicija 6. Vektorski proizvoda na realnom broju α naziva se bilo koji vektor b , koji zadovoljava uvjete:

a) | b | = |α| ∙ | a |;

b) vektor b kolinearni na vektor a ;

c) vektori a i b usmjereni su na isti način ako je α > 0 i suprotno ako je α< 0.

Vektorski proizvod a broj α je označen sa α a .

Iz kolegija linearne algebre poznata su najjednostavnija svojstva vektorskih prostora koja, naravno, vrijede za vektore na ravnini iu prostoru. Na primjer, jedinstvenost nultog elementa, jedinstvenost suprotnog elementa, jednakost - a = (–1)a i drugi.

Svojstva množenja vektora brojem:

1. Za bilo koje brojeve α i β i bilo koji vektor a istinska jednakost

(α β) a = α (β a ).

2. Množenje vektora s jedan ne mijenja ovaj vektor 1 ∙ a = a .

3. Za bilo koji vektor a trčanje 0 ∙ a = 0 .

4. Za bilo koji broj α, α ∙ 0 = 0 .

Svojstva koja povezuju operacije zbrajanja i množenja brojem:

1. Za bilo koje brojeve α, β i bilo koji vektor a izvedena

(α + β) a = α a + β a

(distributivnost s obzirom na zbrajanje brojeva).

2. Za bilo koje vektore a i b i bilo koji broj α,

α ( a + b ) = α a + α b

(distributivnost s obzirom na zbrajanje vektora).

Definicija 7. razlika dva vektora a i b naziva se suma vektora a a vektor nasuprot b , tj. a – b = a + (–b ).

Definirajući oduzimanje vektora u smislu zbrajanja, oduzimanje nećemo smatrati zasebnom operacijom. Također nema smisla razmatrati operaciju dijeljenja vektora brojem, koja se može definirati kao množenje vektora recipročnom vrijednošću danog broja.

Vektor je usmjereni segment ravne crte u euklidskom prostoru, u kojem se jedan kraj (točka A) naziva početak vektora, a drugi kraj (točka B) se zove kraj vektora (slika 1). . Vektori su označeni:

Ako su početak i kraj vektora isti, tada se vektor poziva nulti vektor i označeno 0 .

Primjer. Neka početak vektora u dvodimenzionalnom prostoru ima koordinate A(12,6) , a kraj vektora su koordinate B(12.6). Tada je vektor nulti vektor.

Duljina rezanja AB nazvao modul (duljina, pravilo) vektor i označava se sa | a|. Vektor duljine jednake jedan zove se jedinični vektor. Osim modula, vektor karakterizira smjer: vektor ima smjer od A do B. Vektor se naziva vektor, suprotan vektor .

Dva vektora se nazivaju kolinearni leže li na istoj liniji ili na paralelnim pravcima. Na sl. 3 crvena vektora su kolinearna jer leže na istoj ravnoj liniji, a plavi vektori su kolinearni, jer leže na paralelnim pravcima. Dva kolinearni vektori nazvao jednako usmjereni ako im krajevi leže na istoj strani crte koja spaja njihove početke. Dva kolinearna vektora nazivaju se suprotnih smjerova ako im krajevi leže na suprotnim stranama crte koja spaja njihove početke. Ako dva kolinearna vektora leže na istoj liniji, nazivaju se jednako usmjerenim ako jedna od zraka koju čini jedan vektor u potpunosti sadrži zraku koju čini drugi vektor. Inače, vektori se nazivaju suprotno usmjereni. Na slici 3, plavi vektori su u istom smjeru, a crveni vektori su u suprotnom smjeru.

Dva vektora se nazivaju jednak ako imaju jednake module i jednako su usmjereni. Na sl.2 vektori su jednaki jer moduli su im jednaki i imaju isti smjer.

Vektori se nazivaju komplanarni ako leže u istoj ravnini ili u paralelnim ravninama.

NA n U dimenzionalnom vektorskom prostoru, razmotrite skup svih vektora čija se početna točka podudara s ishodištem. Tada se vektor može napisati u sljedećem obliku:

(1)

gdje x 1, x 2, ..., x n koordinate krajnje točke vektora x.

Vektor zapisan u obliku (1) nazivamo vektor retka, a vektor zapisan kao

(2)

nazvao stupac vektor.

Broj n nazvao dimenzija (u redu) vektor. Ako a tada se vektor zove nulti vektor(jer početna točka vektora ). Dva vektora x i g jednaki ako i samo ako su im odgovarajući elementi jednaki.

Prva razina

Koordinate i vektori. Sveobuhvatni vodič (2019)

U ovom ćemo članku vi i ja započeti raspravu o jednom "čarobnom štapiću" koji će vam omogućiti da mnoge probleme u geometriji svedete na jednostavnu aritmetiku. Ovaj “štapić” može vam znatno olakšati život, pogotovo kada se osjećate nesigurno u građenju prostornih figura, presjeka i sl. Sve to zahtijeva određenu maštu i praktične vještine. Metoda, koju ćemo ovdje početi razmatrati, omogućit će vam da gotovo potpuno apstrahirate od svih vrsta geometrijskih konstrukcija i razmišljanja. Metoda se zove "koordinatna metoda". U ovom ćemo članku razmotriti sljedeća pitanja:

1. Koordinatna ravnina
2. Točke i vektori na ravnini
3. Građenje vektora iz dvije točke
4. Duljina vektora (udaljenost između dvije točke).
5. Koordinate sredine
6. Točkasti umnožak vektora
7. Kut između dva vektora

Mislim da ste već pogodili zašto se koordinatna metoda tako zove? Istina je da je dobio takvo ime, jer ne radi s geometrijskim objektima, već s njima numeričke karakteristike(koordinate). A sama transformacija, koja omogućuje prijelaz s geometrije na algebru, sastoji se u uvođenju koordinatnog sustava. Ako je izvorna figura bila ravna, tada su koordinate dvodimenzionalne, a ako je figura trodimenzionalna, onda su koordinate trodimenzionalne. U ovom ćemo članku razmotriti samo dvodimenzionalni slučaj. A glavna svrha članka je naučiti vas kako koristiti neke osnovne tehnike koordinatne metode (ponekad se pokažu korisnima pri rješavanju problema iz planimetrije u dijelu B Jedinstvenog državnog ispita). Sljedeća dva odjeljka o ovoj temi posvećena su raspravi o metodama rješavanja problema C2 (problem stereometrije).

Gdje bi bilo logično započeti raspravu o koordinatnoj metodi? Vjerojatno s konceptom koordinatnog sustava. Sjeti se kad si je prvi put sreo. Čini mi se da u 7. razredu, kada ste saznali za postojanje linearna funkcija, na primjer. Dopustite mi da vas podsjetim da ste to gradili točku po točku. Sjećaš li se? Odabrali ste proizvoljan broj, zamijenili ga u formulu i na taj način izračunali. Na primjer, ako, onda, ako, onda itd. Što ste dobili kao rezultat? I dobili ste bodove s koordinatama: i. Zatim ste nacrtali “križ” (koordinatni sustav), na njemu odabrali mjerilo (koliko ćelija ćete imati kao jedan segment) i na njemu označili dobivene točke koje ste spojili ravnom linijom, dobivenom linijom je graf funkcije.

Postoji nekoliko stvari koje vam trebamo malo detaljnije objasniti:

1. Odabirete jedan segment iz razloga praktičnosti, tako da sve lijepo i kompaktno stane na sliku

2. Pretpostavlja se da os ide s lijeva na desno, a os ide odozdo prema gore

3. Sjeku se pod pravim kutom, a točka njihova sjecišta naziva se ishodištem. Označava se slovom.

4. U zapisu koordinate točke npr. lijevo u zagradama je koordinata točke po osi, a desno po osi. Konkretno, jednostavno znači da je točka

5. Za postavljanje bilo koje točke na koordinatna os, trebate navesti njegove koordinate (2 broja)

6. Za bilo koju točku koja leži na osi,

7. Za bilo koju točku koja leži na osi,

8. Os se naziva x-os

9. Os se naziva y-os

Sada idemo s vama u sljedeći korak: označite dvije točke. Spojite ove dvije točke crtom. I stavimo strelicu kao da crtamo segment od točke do točke: to jest, učinit ćemo naš segment usmjerenim!

Sjećate li se drugog naziva za usmjereni segment? Tako je, zove se vektor!

Stoga, ako točku povežemo s točkom, i početak će biti točka A, a kraj će biti točka B, tada dobivamo vektor. I ti si radio ovu konstrukciju u 8. razredu, sjećaš se?

Ispada da se vektori, kao i točke, mogu označiti s dva broja: ti se brojevi nazivaju koordinatama vektora. Pitanje: mislite li da nam je dovoljno znati koordinate početka i kraja vektora da bismo pronašli njegove koordinate? Ispostavilo se da da! I to je vrlo jednostavno učiniti:

Dakle, budući da je u vektoru točka početak, a kraj, vektor ima sljedeće koordinate:

Na primjer, if, tada su koordinate vektora

Sada učinimo suprotno, pronađimo koordinate vektora. Što za to trebamo promijeniti? Da, morate zamijeniti početak i kraj: sada će početak vektora biti u točki, a kraj u točki. Zatim:

Pogledajte pažljivo, koja je razlika između vektora i? Njihova jedina razlika su znakovi u koordinatama. Oni su suprotni. Ova činjenica je napisana ovako:

Ponekad, ako nije posebno navedeno koja točka je početak vektora, a koja kraj, tada se vektori označavaju ne sa dva velika slova, ali jedno malo slovo, na primjer: , itd.

Sada malo praksa i pronađite koordinate sljedećih vektora:

Ispitivanje:

Sada riješite problem malo teže:

Vektorski torus s on-cha-otpadom u točki ima co-or-di-on-you. Find-di-te aps-cis-su točke.

Sve je isto prilično prozaično: Neka su koordinate točke. Zatim

Sastavio sam sustav određujući koje su koordinate vektora. Tada točka ima koordinate. Zanima nas apscisa. Zatim

Odgovor:

Što još možete učiniti s vektorima? Da, gotovo sve je isto kao i s običnim brojevima (osim što ne možete dijeliti, ali možete množiti na dva načina, o jednom ćemo ovdje malo kasnije)

1. Vektori se mogu slagati jedan s drugim
2. Vektori se mogu oduzimati jedan od drugog
3. Vektori se mogu pomnožiti (ili podijeliti) proizvoljnim brojem koji nije nula
4. Vektori se mogu međusobno množiti

Sve ove operacije su prilično vizualne geometrijski prikaz. Na primjer, pravilo trokuta (ili paralelograma) za zbrajanje i oduzimanje:

Vektor se rasteže ili skuplja ili mijenja smjer kada se pomnoži ili podijeli s brojem:

No, ovdje će nas zanimati pitanje što se događa s koordinatama.

1. Pri zbrajanju (oduzimanju) dva vektora zbrajamo (oduzimamo) njihove koordinate element po element. To je:

2. Prilikom množenja (dijeljenja) vektora brojem, sve njegove koordinate se množe (dijele) ovim brojem:

Na primjer:

· Pronađite-di-zbroj ko-ili-di-nat stoljeća-to-ra.

Najprije pronađimo koordinate svakog od vektora. Obje imaju isto ishodište - ishodišnu točku. Njihovi krajevi su različiti. Zatim, . Sada izračunavamo koordinate vektora Tada je zbroj koordinata rezultirajućeg vektora jednak.

Odgovor:

Sada sami riješite sljedeći problem:

· Odredi zbroj koordinata vektora

Provjeravamo:

Razmotrimo sada sljedeći problem: imamo dvije točke koordinatna ravnina. Kako pronaći udaljenost između njih? Neka bude prva točka, a druga. Označimo udaljenost između njih kao . Napravimo sljedeći crtež radi jasnoće:

Što sam učinio? Prvo sam spojio točke i, također, iz točke nacrtao liniju paralelnu s osi, a iz točke nacrtao liniju paralelnu s osi. Jesu li se presijecali u jednoj točki, tvoreći prekrasan lik? Zašto je divna? Da, ti i ja znamo gotovo sve pravokutni trokut. Pa, Pitagorin teorem, sigurno. Traženi segment je hipotenuza ovog trokuta, a segmenti su katete. Koje su koordinate točke? Da, lako ih je pronaći sa slike: Budući da su segmenti paralelni s osi i, odnosno, njihove duljine je lako pronaći: ako označimo duljine segmenata, odnosno, kroz, tada

Sada upotrijebimo Pitagorin teorem. Znamo duljine kateta, naći ćemo hipotenuzu:

Dakle, udaljenost između dviju točaka je korijen zbroja kvadrata razlika iz koordinata. Ili - udaljenost između dviju točaka je duljina odsječka koji ih povezuje. Lako je vidjeti da udaljenost između točaka ne ovisi o smjeru. Zatim:

Iz ovoga izvlačimo tri zaključka:

Vježbajmo malo izračunati udaljenost između dvije točke:

Na primjer, ako, tada je udaljenost između i

Ili idemo drugačije: pronađite koordinate vektora

I nađite duljinu vektora:

Kao što vidite, isto je!

Sada vježbajte malo sami:

Zadatak: pronaći udaljenost između zadanih točaka:

Provjeravamo:

Evo još nekoliko problema za istu formulu, iako zvuče malo drugačije:

1. Nađi-di-te kvadrat duljine kapka-to-ra.

2. Nai-di-te kvadrat duljine kapka do-ra

Pretpostavljam da se s njima lako nosiš? Provjeravamo:

1. A ovo je za pozornost) Već smo prije pronašli koordinate vektora: . Tada vektor ima koordinate. Kvadrat njegove duljine bit će:

2. Odredi koordinate vektora

Tada je kvadrat njegove duljine

Ništa komplicirano, zar ne? Jednostavna aritmetika, ništa više.

Sljedeće zagonetke ne mogu se jednoznačno klasificirati, one su radije za opću erudiciju i sposobnost crtanja jednostavnih slika.

1. Nađi-di-oni sinus kuta na-clo-na-od-reza, spoji-jednu-n-tu točku, s apscisnom osi.

i

Kako ćemo to učiniti ovdje? Morate pronaći sinus kuta između i osi. A gdje možemo tražiti sinus? Tako je, u pravokutnom trokutu. Dakle, što trebamo učiniti? Izgradite ovaj trokut!

Budući da su koordinate točke i, tada je segment jednak, a segment. Moramo pronaći sinus kuta. Dopustite mi da vas podsjetim da je sinus dakle omjer suprotne katete i hipotenuze

Što nam preostaje? Pronađite hipotenuzu. To možete učiniti na dva načina: Pitagorinim poučkom (krake su poznate!) ili formulom za udaljenost dviju točaka (zapravo isto kao i prva metoda!). Ja ću ići drugim putem:

Odgovor:

Sljedeći zadatak će vam se učiniti još lakšim. Ona - na koordinatama točke.

Zadatak 2. Iz točke se per-pen-di-ku-lar spušta na aps-ciss os. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Napravimo crtež:

Osnovica okomice je točka u kojoj ona siječe x-os (os) za mene je to točka. Slika pokazuje da ima koordinate: . Zanima nas apscisa - odnosno "X" komponenta. Ona je ravnopravna.

Odgovor: .

Zadatak 3. U uvjetima prethodnog zadatka pronađite zbroj udaljenosti od točke do koordinatnih osi.

Zadatak je općenito elementaran ako se zna kolika je udaljenost točke od osi. Znaš? Nadam se, ali ipak vas podsjećam:

Dakle, na svom crtežu, koji se nalazi malo više, već sam prikazao jednu takvu okomicu? Koja je to os? do osi. I kolika mu je onda duljina? Ona je ravnopravna. Sada sami povucite okomicu na os i pronađite njezinu duljinu. Bit će jednako, zar ne? Tada im je zbroj jednak.

Odgovor: .

Zadatak 4. U uvjetima zadatka 2 pronađite ordinatu točke simetrične točki oko x-osi.

Mislim da intuitivno razumijete što je simetrija? Imaju ga mnogi predmeti: mnoge zgrade, stolovi, avioni, mnogi geometrijske figure: lopta, cilindar, kvadrat, romb, itd. Grubo govoreći, simetrija se može shvatiti na sljedeći način: lik se sastoji od dvije (ili više) identičnih polovica. Ova simetrija se naziva aksijalna. Što je onda os? To je upravo linija po kojoj se figura može, relativno govoreći, "izrezati" na identične polovice (na ovoj slici je os simetrije ravna):

Sada se vratimo našem zadatku. Znamo da tražimo točku koja je simetrična u odnosu na os. Tada je ova os os simetrije. Dakle, moramo označiti točku tako da os siječe segment na dva jednaka dijela. Pokušajte sami označiti takvu točku. Sada usporedite s mojim rješenjem:

Jeste li i vi učinili isto? Dobro! U pronađenoj točki zanima nas ordinata. Ona je ravnopravna

Odgovor:

Sada mi recite, nakon što sam malo razmislio, kolika će biti apscisa točke simetrične točki A u odnosu na y-osu? Koji je tvoj odgovor? Točan odgovor: .

NA opći slučaj Pravilo se može napisati ovako:

Točka simetrična točki oko x-osi ima koordinate:

Točka simetrična točki oko y-osi ima koordinate:

E, sad je stvarno strašno. zadatak: Pronađite koordinate točke koja je simetrična točki, u odnosu na ishodište. Ti prvo razmisli svojom glavom, a onda pogledaj moj crtež!

Odgovor:

Sada problem paralelograma:

Zadatak 5: Bodovi su ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma. Pronađite-dee-te ili-dee-on-tu točke.

Ovaj problem možete riješiti na dva načina: logičkom i koordinatnom metodom. Prvo ću primijeniti metodu koordinata, a onda ću vam reći kako možete odlučiti drugačije.

Posve je jasno da je apscisa točke jednaka. (leži na okomici povučenoj iz točke na os x). Moramo pronaći ordinatu. Iskoristimo činjenicu da je naš lik paralelogram, što znači da. Odredite duljinu segmenta pomoću formule za udaljenost između dviju točaka:

Spuštamo okomicu koja povezuje točku s osi. Točka presjeka označena je slovom.

Duljina segmenta je jednaka. (pronađite sami problem, gdje smo raspravljali o ovom trenutku), tada ćemo pronaći duljinu segmenta koristeći Pitagorin teorem:

Duljina segmenta je točno jednaka njegovoj ordinati.

Odgovor: .

Drugo rješenje (samo ću dati sliku koja to ilustrira)

Napredak rješenja:

1. Potrošite

2. Nađi koordinate i duljinu točke

3. Dokažite to.

Još jedan problem dužine reza:

Točke su-la-yut-xia top-shi-on-mi tri-angle-no-ka. Pronađite duljinu njegove središnje linije, par-ral-lel-noy.

Sjećaš li se što je središnja linija trokut? Onda je za vas ovaj zadatak elementaran. Ako se ne sjećate, podsjetit ću vas: srednja linija trokuta je linija koja spaja središta suprotnih stranica. Paralelan je s osnovicom i jednak je njezinoj polovici.

Baza je segment. Duljinu smo morali tražiti ranije, jednaka je. Tada je duljina središnje crte upola manja i jednaka.

Odgovor: .

Komentar: Ovaj problem se može riješiti na drugi način, na koji ćemo se osvrnuti malo kasnije.

U međuvremenu, evo nekoliko zadataka za vas, vježbajte na njima, prilično su jednostavni, ali pomažu da "napunite ruku" metodom koordinata!

1. Točke se pojavljuju-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion. Odredi duljinu njegove središnje crte.

2. Bodovi i yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Pronađite-dee-te ili-dee-on-tu točke.

3. Pronađite duljinu iz reza, spojite drugu točku i

4. Pronađite-di-te područje za-crveno-shen-noy fi-gu-ry na ko-or-di-nat-noy ravnini.

5. Kružnica sa središtem u na-cha-le ko-or-di-nat prolazi točkom. Find-de-te joj ra-di-brkove.

6. Nai-di-te ra-di-us krug-no-sti, opiši-san-noy u blizini pravog kuta-no-ka, vrhovi-shi-ny nečega-ro-go imaju ko-ili - di-na-ti ko-od-odgovora-ali

rješenja:

1. Poznato je da je srednja linija trapeza jednaka polovici zbroja njegovih osnovica. Baza je jednaka, ali baza. Zatim

Odgovor:

2. Najlakši način da riješite ovaj problem je uočiti to (pravilo paralelograma). Izračunati koordinate vektora i nije teško: . Prilikom dodavanja vektora dodaju se i koordinate. Zatim ima koordinate. Točka ima iste koordinate, budući da je početak vektora točka s koordinatama. Zanima nas ordinata. Ona je ravnopravna.

Odgovor:

3. Odmah djelujemo prema formuli za udaljenost između dviju točaka:

Odgovor:

4. Pogledaj sliku i reci između koje dvije figure je “stisnuto” osjenčano područje? Nalazi se između dva kvadrata. Tada je površina željene figure jednaka površini velikog kvadrata minus površina malog. Strana mali trg je dužina koja spaja točke i njegova duljina je

Tada je površina malog kvadrata

Isto radimo s velikim kvadratom: njegova je stranica segment koji povezuje točke, a duljina je jednaka

Tada je površina velikog kvadrata

Područje željene figure nalazi se formulom:

Odgovor:

5. Ako krug ima ishodište kao središte i prolazi kroz točku, tada će njegov polumjer biti točno jednaka duljini segment (napravite crtež i shvatit ćete zašto je to očito). Pronađite duljinu ovog segmenta:

Odgovor:

6. Poznato je da je polumjer kruga opisanog oko pravokutnika jednak polovici njegove dijagonale. Nađimo duljinu bilo koje od dvije dijagonale (uostalom, u pravokutniku su jednake!)

Odgovor:

Pa, jeste li sve uspjeli? Nije bilo tako teško to shvatiti, zar ne? Ovdje postoji samo jedno pravilo - moći napraviti vizualnu sliku i jednostavno “pročitati” sve podatke iz nje.

Ostalo nam je jako malo. Postoje doslovno još dvije točke o kojima bih želio razgovarati.

Pokušajmo riješiti ovaj jednostavan problem. Neka se daju dva boda. Pronađite koordinate sredine segmenta. Rješenje ovog problema je sljedeće: neka je točka željena sredina, tada ima koordinate:

To je: koordinate sredine segmenta = aritmetička sredina odgovarajućih koordinata krajeva segmenta.

Ovo je pravilo vrlo jednostavno i učenicima obično ne stvara poteškoće. Pogledajmo kod kojih problema i kako se koristi:

1. Find-di-te or-di-na-tu se-re-di-us from-cut, connect-nya-yu-th-th-th-th point and

2. Bodovi su yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-coal-no-ka. Find-di-te or-di-na-tu točke re-re-se-che-niya njegovog dia-go-on-lei.

3. Pronađite-di-te abs-cis-su središta kruga, opišite-san-noy u blizini pravokutnika-no-ka, vrhovi-shi-imamo nešto-ro-go co-or-di- na-ti-od-vet-stvenno-ali.

rješenja:

1. Prvi zadatak je samo klasičan. Djelujemo odmah određivanjem sredine segmenta. Ona ima koordinate. Ordinata je jednaka.

Odgovor:

2. Lako je vidjeti da je zadani četverokut paralelogram (čak i romb!). To možete i sami dokazati tako da izračunate duljine stranica i međusobno ih usporedite. Što znam o paralelogramu? Njegove dijagonale raspolavlja sjecište! Aha! Dakle, što je točka presjeka dijagonala? Ovo je sredina bilo koje dijagonale! Odabrat ću, posebno, dijagonalu. Tada točka ima koordinate.Ordinata točke jednaka je.

Odgovor:

3. Što je središte kružnice opisane oko pravokutnika? Poklapa se s točkom sjecišta njegovih dijagonala. Što znaš o dijagonalama pravokutnika? Oni su jednaki i sjecište je podijeljeno na pola. Zadatak je sveden na prethodni. Uzmimo, na primjer, dijagonalu. Onda ako je središte opisane kružnice, tada je sredina. Tražim koordinate: Apscisa je jednaka.

Odgovor:

Sada malo vježbajte sami, ja ću dati samo odgovore na svaki zadatak da sami provjerite.

1. Nai-di-te ra-di-us krug-no-sti, opišite-san-noy u blizini trokuta-no-ka, vrhovi nekoga-ro-go imaju ko-or-di -no misters

2. Pronađite-di-te ili-di-na-tu središte kruga, opišite san-noy u blizini trokuta-no-ka, vrhovi-shi-imamo nešto-ro-go koordinate

3. Kakva bi ra-di-y-sa trebala biti kružnica sa središtem u točki tako da dodiruje aps-cis os?

4. Pronađi-di-te ili-di-on-tu točku ponovnog ponovnog se-che-ing osi i iz-rezati, spojiti-nya-yu-th-tu točku i

odgovori:

Je li sve uspjelo? Stvarno se nadam tome! Sada - posljednji pritisak. Sada budite posebno oprezni. Materijal koji ću sada objasniti izravno se odnosi ne samo na jednostavni zadaci koordinatnoj metodi iz dijela B, ali se pojavljuje i posvuda u problemu C2.

Koje od svojih obećanja još nisam ispunio? Sjećate li se koje sam operacije na vektorima obećao uvesti i koje sam na kraju uveo? Jesam li siguran da nisam ništa zaboravio? Zaboravio! Zaboravio sam objasniti što znači množenje vektora.

Postoje dva načina za množenje vektora s vektorom. Ovisno o odabranoj metodi, dobit ćemo objekte različite prirode:

Vektorski produkt je prilično nezgodan. Kako to učiniti i zašto je to potrebno, razgovarat ćemo s vama u sljedećem članku. I u ovom ćemo se fokusirati na skalarni produkt.

Već postoje dva načina koji nam omogućuju da to izračunamo:

Kao što pretpostavljate, rezultat bi trebao biti isti! Pogledajmo prvo prvi način:

Točkasti umnožak kroz koordinate

Pronađite: - uobičajenu oznaku za točkasti umnožak

Formula za izračun je sljedeća:

To je skalarni proizvod= zbroj umnožaka vektorskih koordinata!

Primjer:

Pronađi-dee-te

Riješenje:

Pronađite koordinate svakog od vektora:

Skalarni produkt izračunavamo po formuli:

Odgovor:

Vidite, apsolutno ništa komplicirano!

Pa, sada pokušajte sami:

Find-di-te scalar-noe pro-from-ve-de-nie century-to-ditch and

Jeste li uspjeli? Možda je primijetio mali trik? Provjerimo:

Vektorske koordinate, kao u prethodnom zadatku! Odgovor: .

Osim koordinate, postoji još jedan način za izračunavanje skalarnog umnoška, ​​naime, kroz duljine vektora i kosinus kuta između njih:

Označava kut između vektora i.

To jest, skalarni umnožak jednak je umnošku duljina vektora i kosinusa kuta između njih.

Zašto nam treba ova druga formula, ako imamo prvu, koja je puno jednostavnija, barem nema kosinusa u njoj. A treba nam da iz prve i druge formule zaključimo kako pronaći kut između vektora!

Sjetimo se onda formule za duljinu vektora!

Onda ako uključim ove podatke u formulu točkastog umnoška, ​​dobivam:

Ali s druge strane:

Dakle, što imamo? Sada imamo formulu za izračunavanje kuta između dva vektora! Ponekad se, radi sažetosti, piše i ovako:

Odnosno, algoritam za izračunavanje kuta između vektora je sljedeći:

1. Skalarni produkt računamo preko koordinata
2. Odredite duljine vektora i pomnožite ih
3. Podijelite rezultat iz točke 1 s rezultatom iz točke 2

Vježbajmo s primjerima:

1. Pronađite kut između kapaka-to-ra-mi i. Odgovorite u stupnjevima.

2. U uvjetima prethodnog zadatka pronađite kosinus između vektora

Učinimo ovo: ja ću ti pomoći riješiti prvi problem, a drugi pokušaj riješiti sam! Slažem se? Onda počnimo!

1. Ovi vektori su naši stari prijatelji. Već smo razmotrili njihov skalarni produkt i bio je jednak. Njihove koordinate su: , . Zatim nalazimo njihove duljine:

Zatim tražimo kosinus između vektora:

Koliki je kosinus kuta? Ovo je kut.

Odgovor:

E, sad sami riješite drugi zadatak, pa onda uspoređujte! Dat ću samo vrlo kratko rješenje:

2. ima koordinate, ima koordinate.

Dopustiti biti kut između vektora i, tada

Odgovor:

Treba napomenuti da su zadaci izravno na vektore i metodu koordinata u dijelu B ispitni rad prilično rijetka. Međutim, velika većina C2 problema može se lako riješiti uvođenjem koordinatnog sustava. Stoga ovaj članak možete smatrati temeljem na temelju kojeg ćemo napraviti prilično škakljive konstrukcije koje trebamo riješiti izazovne zadatke.

KOORDINATE I VEKTORI. SREDNJA RAZINA

Ti i ja nastavljamo proučavati metodu koordinata. U zadnjem dijelu izveli smo niz važne formule, koji omogućuju:

1. Pronađite vektorske koordinate
2. Nađi duljinu vektora (alternativno: udaljenost između dviju točaka)
3. Zbrajanje, oduzimanje vektora. pomnožite ih sa pravi broj
4. Pronađite središte segmenta
5. Izračunajte točkasti umnožak vektora
6. Nađi kut između vektora

Naravno, cijela metoda koordinata ne stane u ovih 6 točaka. To je temelj takve znanosti kao što je analitička geometrija, s kojom ćete se upoznati na sveučilištu. Samo želim izgraditi temelje koji će vam omogućiti rješavanje problema u jednoj državi. ispit. Shvatili smo zadatke dijela B u Sada je vrijeme da prijeđemo na kvalitetu nova razina! Ovaj članak bit će posvećen metodi rješavanja onih C2 problema u kojima bi bilo razumno prijeći na koordinatnu metodu. Ta je razumnost određena onim što treba pronaći u problemu i koja je brojka dana. Dakle, koristio bih metodu koordinata ako su pitanja:

1. Nađi kut između dviju ravnina
2. Nađi kut između pravca i ravnine
3. Nađi kut između dva pravca
4. Nađi udaljenost od točke do ravnine
5. Nađi udaljenost od točke do pravca
6. Nađi udaljenost od pravca do ravnine
7. Odredi udaljenost između dviju linija

Ako je lik zadan u uvjetu zadatka okretno tijelo (lopta, cilindar, stožac...)

Prikladne brojke za metodu koordinata su:

1. kuboidan
2. Piramida (trokutna, četverokutna, šesterokutna)

Također prema mom iskustvu neprikladno je koristiti metodu koordinata za:

1. Pronalaženje površina presjeka
2. Proračuni volumena tijela

No, treba odmah napomenuti da su tri "nepovoljne" situacije za koordinatni metod u praksi vrlo rijetke. U većini zadataka može postati vaš spas, pogotovo ako niste baš jaki u trodimenzionalnim konstrukcijama (koje su ponekad prilično zamršene).

Koje su sve brojke koje sam gore naveo? Više nisu ravni, poput kvadrata, trokuta, kruga, već voluminozni! U skladu s tim, trebamo uzeti u obzir ne dvodimenzionalni, već trodimenzionalni koordinatni sustav. Gradi se prilično jednostavno: samo ćemo uz apscisu i ordinate uvesti još jednu os, apliciranu os. Slika shematski prikazuje njihov relativni položaj:

Svi su oni međusobno okomiti, sijeku se u jednoj točki koju ćemo nazvati ishodištem. Apscisnu os, kao i do sada, označit ćemo, ordinatnu os - , a uvedenu apliciranu os - .

Ako je ranije svaka točka na ravnini bila karakterizirana s dva broja - apscisom i ordinatom, tada je svaka točka u prostoru već opisana s tri broja - apscisom, ordinatom i aplikatom. Na primjer:

Prema tome, apscisa točke je jednaka, ordinata je , a aplikata je .

Ponekad se apscisa točke naziva i projekcija točke na apscisnu os, ordinata projekcija točke na ordinatnu os, a aplikata projekcija točke na aplikatnu os. Prema tome, ako je dana točka, točka s koordinatama:

naziva se projekcija točke na ravninu

naziva se projekcija točke na ravninu

Postavlja se prirodno pitanje: vrijede li sve formule izvedene za dvodimenzionalni slučaj u prostoru? Odgovor je da, pravedni su i imaju isti izgled. Za mali detalj. Mislim da ste već pogodili koji. U svim formulama morat ćemo dodati još jedan član koji je odgovoran za aplikacionu os. Naime.

1. Ako su dane dvije točke: , tada:

• Vektorske koordinate:
• Udaljenost između dvije točke (ili duljina vektora)
• Sredina segmenta ima koordinate

2. Ako su dana dva vektora: i, tada:

• Njihov točkasti umnožak je:
• Kosinus kuta između vektora je:

Međutim, prostor nije tako jednostavan. Kao što razumijete, dodavanje još jedne koordinate uvodi značajnu raznolikost u spektru figura koje "žive" u ovom prostoru. A za daljnje pripovijedanje moram uvesti neku, grubo rečeno, "generalizaciju" ravne linije. Ova "generalizacija" bit će ravnina. Što znaš o avionu? Pokušajte odgovoriti na pitanje što je avion? Jako je teško reći. Međutim, svi mi intuitivno zamišljamo kako to izgleda:

Grubo rečeno, ovo je neka vrsta beskonačnog "lišća" gurnutog u svemir. Pod "beskonačnošću" treba podrazumijevati da se ravnina proteže u svim smjerovima, odnosno da joj je površina jednaka beskonačnosti. Međutim, ovo objašnjenje "na prste" ne daje niti najmanju ideju o strukturi aviona. I to će nas zanimati.

Prisjetimo se jednog od osnovnih aksioma geometrije:

• Pravac prolazi kroz dvije različite točke na ravnini, štoviše, samo jednu:

Ili njegov analog u svemiru:

Naravno, sjećate se kako izvesti jednadžbu pravca iz dvije zadane točke, to uopće nije teško: ako prva točka ima koordinate: a druga, tada će jednadžba pravca biti sljedeća:

Prošli ste kroz ovo u 7. razredu. U prostoru jednadžba pravca izgleda ovako: imamo dvije točke s koordinatama: , tada jednadžba pravca koji prolazi kroz njih ima oblik:

Na primjer, linija prolazi kroz točke:

Kako ovo treba razumjeti? Ovo treba shvatiti na sljedeći način: točka leži na pravcu ako njezine koordinate zadovoljavaju sljedeći sustav:

Jednadžba pravca nas neće previše zanimati, ali moramo obratiti pozornost na vrlo važan pojam usmjeravajućeg vektora pravca. - bilo koji vektor različit od nule koji leži na zadanoj liniji ili je paralelan s njom.

Na primjer, oba vektora su vektori smjera prave linije. Dopustiti biti točka leži na ravnoj liniji, i biti njegov smjer vektor. Tada se jednadžba ravne linije može napisati u sljedećem obliku:

Još jednom, neće me previše zanimati jednadžba ravne crte, ali stvarno želim da zapamtite što je vektor smjera! Opet: to je SVAKI vektor različit od nule koji leži na liniji ili je paralelan s njom.

Povući jednadžba ravnine u tri točke više nije tako trivijalan i obično se ovo pitanje ne razmatra na tečaju Srednja škola. Ali uzalud! Ova tehnika je vitalna kada pribjegavamo koordinatnoj metodi za rješavanje složenih problema. Ipak, pretpostavljam da ste puni želje da naučite nešto novo? Štoviše, moći ćete impresionirati svog profesora na sveučilištu kada se pokaže da već znate kako koristiti tehniku ​​koja se obično proučava u kolegiju analitičke geometrije. Pa krenimo.

Jednadžba ravnine se ne razlikuje previše od jednadžbe pravca na ravnini, naime ima oblik:

neki brojevi (nisu svi jednaki nuli), već varijable, na primjer: itd. Kao što vidite, jednadžba ravnine ne razlikuje se mnogo od jednadžbe ravne linije (linearna funkcija). Međutim, sjećate se što smo s vama raspravljali? Rekli smo da ako imamo tri točke koje ne leže na jednoj ravnoj liniji, tada se jednadžba ravnine jedinstveno obnavlja iz njih. Ali kako? Pokušat ću ti objasniti.

Budući da je jednadžba ravnine:

A točke pripadaju ovoj ravnini, tada kada zamijenimo koordinate svake točke u jednadžbu ravnine, trebali bismo dobiti ispravan identitet:

Dakle, potrebno je riješiti tri jednadžbe već s nepoznanicama! Dilema! Međutim, to uvijek možemo pretpostaviti (za ovo moramo podijeliti sa). Tako dobivamo tri jednadžbe s tri nepoznanice:

Međutim, mi nećemo rješavati takav sustav, već ispisujemo kriptični izraz koji iz njega slijedi:

Jednadžba ravnine koja prolazi kroz tri zadane točke

\[\lijevo| (\begin(array)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(niz)) \desno| = 0\]

Stop! Što je još ovo? Neki vrlo neobičan modul! Međutim, objekt koji vidite ispred sebe nema nikakve veze s modulom. Taj se objekt naziva determinanta trećeg reda. Od sada, kada se budete bavili metodom koordinata na ravnini, često ćete nailaziti upravo na ove odrednice. Što je determinanta trećeg reda? Začudo, to je samo broj. Ostaje razumjeti koji konkretni broj ćemo usporediti s determinantom.

Zapišimo prvo determinantu trećeg reda u more opći pogled:

Gdje su neki brojevi. Štoviše, pod prvim indeksom podrazumijevamo broj retka, a pod indeksom - broj stupca. Na primjer, to znači da je zadani broj na sjecištu drugog retka i trećeg stupca. Stavimo sljedeće pitanje: kako ćemo točno izračunati takvu determinantu? Odnosno, s kojim ćemo ga konkretnim brojem usporediti? Za determinantu upravo trećeg reda postoji pravilo heurističkog (vizualnog) trokuta, ono izgleda ovako:

1. Umnožak elemenata glavne dijagonale (od gornjeg lijevog do dolje desnog) umnožak elemenata koji tvore prvi trokut "okomit" na glavnu dijagonalu umnožak elemenata koji tvore drugi trokut "okomit" na glavnu dijagonala
2. Umnožak elemenata sekundarne dijagonale (od gornjeg desnog do donjeg lijevog kuta) umnožak elemenata koji tvore prvi trokut "okomit" na sekundarnu dijagonalu umnožak elemenata koji tvore drugi trokut "okomit" na sekundarna dijagonala
3. Tada je determinanta jednaka razlici između vrijednosti dobivenih na koraku i

Ako sve ovo napišemo brojevima, dobivamo sljedeći izraz:

Međutim, ne morate pamtiti metodu izračuna u ovom obliku, dovoljno je samo zadržati trokute u glavi i samu ideju o tome što se čemu dodaje i što se zatim oduzima od čega).

Ilustrirajmo metodu trokuta primjerom:

1. Izračunajte determinantu:

Odgonetnimo što dodajemo, a što oduzimamo:

Pojmovi koji dolaze s "plusom":

Ovo je glavna dijagonala: umnožak elemenata je

Prvi trokut, "okomit na glavnu dijagonalu: umnožak elemenata je

Drugi trokut, "okomit na glavnu dijagonalu: umnožak elemenata je

Zbrajamo tri broja:

Pojmovi koji dolaze s "minusom"

Ovo je bočna dijagonala: umnožak elemenata je

Prvi trokut, "okomit na sekundarnu dijagonalu: umnožak elemenata je

Drugi trokut, "okomit na sekundarnu dijagonalu: umnožak elemenata je

Zbrajamo tri broja:

Sve što preostaje učiniti je od zbroja plus članova oduzeti zbroj minus članova:

Na ovaj način,

Kao što vidite, nema ništa komplicirano i nadnaravno u izračunu determinanti trećeg reda. Jednostavno je važno zapamtiti trokute i ne činiti aritmetičke pogreške. Sada pokušajte sami izračunati:

Provjeravamo:

1. Prvi trokut okomit na glavnu dijagonalu:
2. Drugi trokut okomit na glavnu dijagonalu:
3. Zbroj plus članova:
4. Prvi trokut okomit na bočnu dijagonalu:
5. Drugi trokut, okomit na bočnu dijagonalu:
6. Zbroj članova s ​​minusom:
7. Zbroj plus članova minus zbroj minus članova:

Evo vam još par odrednica, sami izračunajte njihove vrijednosti i usporedite s odgovorima:

odgovori:

Pa, je li se sve poklopilo? Super, onda možete nastaviti! Ako postoje poteškoće, moj savjet je sljedeći: na internetu postoji hrpa programa za izračunavanje determinante online. Sve što trebate je smisliti vlastitu odrednicu, sami je izračunati, a zatim usporediti s onim što program izračuna. I tako sve dok se rezultati ne počnu poklapati. Siguran sam da se na ovaj trenutak neće dugo čekati!

Sada se vratimo na determinantu koju sam napisao kada sam govorio o jednadžbi ravnine koja prolazi kroz tri zadanih bodova:

Sve što trebate učiniti je izravno izračunati njegovu vrijednost (pomoću metode trokuta) i postaviti rezultat jednak nuli. Naravno, budući da su varijable, dobit ćete neki izraz koji ovisi o njima. Upravo će taj izraz biti jednadžba ravnine koja prolazi kroz tri zadane točke koje ne leže na jednoj ravnoj liniji!

Ilustrirajmo to jednostavnim primjerom:

1. Konstruirajte jednadžbu ravnine koja prolazi kroz točke

Sastavljamo determinantu za ove tri točke:

Pojednostavljenje:

Sada ga izračunavamo izravno prema pravilu trokuta:

\[(\lijevo| (\begin(niz)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(niz)) \ desno| = \lijevo((x + 3) \desno) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \lijevo((z + 1) \desno) + \lijevo((y - 2) \desno) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Dakle, jednadžba ravnine koja prolazi kroz točke je:

Sada pokušajte sami riješiti jedan problem, a onda ćemo o njemu razgovarati:

2. Nađite jednadžbu ravnine koja prolazi kroz točke

Pa, raspravimo sada rješenje:

Izrađujemo odrednicu:

I izračunajte njegovu vrijednost:

Tada jednadžba ravnine ima oblik:

Ili, smanjujući za, dobivamo:

Sada dva zadatka za samokontrolu:

1. Konstruirajte jednadžbu ravnine koja prolazi kroz tri točke:

odgovori:

Je li sve odgovaralo? Opet, ako postoje određene poteškoće, moj savjet je sljedeći: uzmite tri točke iz glave (s velikim stupnjem vjerojatnosti neće ležati na jednoj ravnoj liniji), izgradite ravninu na njima. A zatim se provjerite na internetu. Na primjer, na web mjestu:

No uz pomoć determinanti nećemo konstruirati samo jednadžbu ravnine. Zapamtite, rekao sam vam da za vektore nije definiran samo točkasti produkt. Postoji i vektor, kao i mješoviti proizvod. A ako će skalarni umnožak dva vektora biti broj, tada će vektorski umnožak dva vektora biti vektor, a taj će vektor biti okomit na dane:

I njegov će modul biti jednako površini paralelogram izgrađen na vektorima i. Ovaj vektor trebamo izračunati udaljenost od točke do pravca. Kako možemo izračunati umnožak vektora i ako su zadane njihove koordinate? U pomoć nam opet dolazi determinanta trećeg reda. Međutim, prije nego prijeđem na algoritam za izračunavanje unakrsnog umnoška, ​​moram napraviti malu lirsku digresiju.

Ova digresija odnosi se na bazne vektore.

Shematski su prikazani na slici:

Što mislite zašto se nazivaju osnovnim? Činjenica je da:

Ili na slici:

Valjanost ove formule je očita, jer:

vektorski proizvod

Sada mogu početi predstavljati unakrsni proizvod:

Vektorski produkt dva vektora je vektor koji se izračunava prema sljedećem pravilu:

Dajmo sada neke primjere izračuna unakrsnog umnoška:

Primjer 1: Pronađite umnožak vektora:

Rješenje: Izrađujem determinantu:

I izračunam:

Sada, od pisanja kroz bazne vektore, vratit ću se na uobičajenu vektorsku notaciju:

Na ovaj način:

Sada pokušajte.

Spreman? Provjeravamo:

I to tradicionalno dva zadaci za kontrolu:

1. Pronađite umnožak sljedećih vektora:
2. Pronađite umnožak sljedećih vektora:

odgovori:

Mješoviti umnožak triju vektora

Posljednja konstrukcija koja mi treba je mješoviti umnožak tri vektora. On je, kao i skalar, broj. Postoje dva načina za izračunavanje. - kroz determinantu, - kroz mješoviti proizvod.

Naime, recimo da imamo tri vektora:

Tada se mješoviti umnožak triju vektora, označen s, može izračunati kao:

1. - to jest, mješoviti umnožak je skalarni umnožak vektora i vektorski umnožak dva druga vektora

Na primjer, mješoviti umnožak tri vektora je:

Pokušajte sami izračunati pomoću vektorskog umnoška i uvjerite se da rezultati odgovaraju!

Opet dva primjera neovisno rješenje:

odgovori:

Izbor koordinatnog sustava

Pa, sada imamo sve potrebne temelje znanja za rješavanje složenih stereometrijskih problema u geometriji. Međutim, prije nego što prijeđemo izravno na primjere i algoritme za njihovo rješavanje, vjerujem da će biti korisno zadržati se na sljedećem pitanju: kako točno izabrati koordinatni sustav za određeni lik. Uostalom, to je izbor relativni položaj koordinatni sustavi i figure u prostoru u konačnici će odrediti koliko će izračuni biti glomazni.

Podsjećam vas da u ovom odjeljku razmatramo sljedeće oblike:

1. kuboidan
2. Ravna prizma (trokutna, šesterokutna…)
3. Piramida (trokutasta, četverokutna)
4. Tetraedar (isto kao trokutasta piramida)

Za kvadar ili kocku preporučujem sljedeću konstrukciju:

Odnosno, postavit ću figuru "u kut". Kocka i kutija su jako dobre figure. Za njih uvijek možete lako pronaći koordinate njegovih vrhova. Na primjer, ako (kao što je prikazano na slici)

tada su koordinate vrhova:

Naravno, ne morate se toga sjećati, ali zapamtite kako najbolje postaviti kocku ili kuboidan- poželjno.

ravna prizma

Prizma je štetnija figura. Možete ga rasporediti u prostoru na različite načine. Ipak, mislim da je sljedeća najbolja opcija:

Trokutasta prizma:

To jest, jednu od strana trokuta u potpunosti stavljamo na os, a jedan od vrhova podudara se s ishodištem.

Heksagonalna prizma:

To jest, jedan od vrhova podudara se s ishodištem, a jedna od strana leži na osi.

Četverokutna i šesterokutna piramida:

Situacija slična kocki: dvije stranice baze spajamo s koordinatnim osima, jedan od vrhova spajamo s ishodištem. Jedina mala poteškoća bit će izračunati koordinate točke.

Za šesterokutnu piramidu - isto što i za šesterokutnu prizmu. Glavni zadatak će opet biti u pronalaženju koordinata vrha.

Tetraedar (trokutasta piramida)

Situacija je vrlo slična onoj koju sam dao za trokutastu prizmu: jedan vrh se poklapa s ishodištem, jedna stranica leži na koordinatnoj osi.

Pa, sada smo ti i ja konačno blizu toga da počnemo rješavati probleme. Iz onoga što sam rekao na samom početku članka, možete izvući sljedeći zaključak: većina C2 problema spada u 2 kategorije: problemi za kut i problemi za udaljenost. Prvo ćemo razmotriti probleme za pronalaženje kuta. Oni su pak podijeljeni u sljedeće kategorije (kako se složenost povećava):

Problemi za pronalaženje kutova

1. Određivanje kuta između dva pravca
2. Određivanje kuta između dvije ravnine

Razmotrimo ove probleme redom: počnimo s pronalaženjem kuta između dviju ravnih linija. Hajde, zapamti, nismo li ti i ja odlučili slični primjeri prije? Sjećate se, jer smo već imali nešto slično ... Tražili smo kut između dva vektora. Podsjećam vas, ako su data dva vektora: i, tada se kut između njih nalazi iz relacije:

Sada imamo cilj - pronaći kut između dviju ravnih linija. Okrenimo se "ravnoj slici":

Koliko kutova dobijemo kada se dva pravca sijeku? Već stvari. Istina, samo dva od njih nisu jednaka, dok su drugi okomiti na njih (i stoga se podudaraju s njima). Dakle, koji kut trebamo smatrati kutom između dviju ravnih linija: ili? Ovdje vrijedi pravilo: kut između dviju ravnih linija uvijek nije veći od stupnjeva. Odnosno, iz dva kuta uvijek ćemo odabrati kut s najmanjim stupanjska mjera. To jest, na ovoj slici kut između dviju linija je jednak. Kako se svaki put ne bi mučili s pronalaženjem najmanjeg od ta dva kuta, lukavi matematičari predložili su korištenje modula. Dakle, kut između dviju ravnih linija određuje se formulom:

Vi ste se, kao pažljivi čitatelj, trebali zapitati: odakle, zapravo, crpimo baš te brojeve koji su nam potrebni za izračunavanje kosinusa kuta? Odgovor: uzet ćemo ih iz vektora smjera pravaca! Dakle, algoritam za pronalaženje kuta između dvije linije je sljedeći:

1. Primjenjujemo formulu 1.

Ili detaljnije:

1. Tražimo koordinate vektora smjera prve ravnice
2. Tražimo koordinate vektora smjera drugog pravca
3. Izračunajte modul njihovog skalarnog umnoška
4. Tražimo duljinu prvog vektora
5. Tražimo duljinu drugog vektora
6. Pomnožite rezultate iz točke 4 s rezultatima iz točke 5
7. Rezultat točke 3. podijelimo s rezultatom točke 6. Dobivamo kosinus kuta između pravaca
8. Ako a dati rezultat omogućuje vam točan izračun kuta, mi ga tražimo
9. Inače, pišemo kroz arkosinus

E, sad je vrijeme da prijeđemo na zadatke: Rješenje prva dva ću detaljno demonstrirati, još jednog ću ukratko prikazati, a samo na zadnja dva zadatka dat ću odgovore, morate sami napravite sve izračune za njih.

Zadaci:

1. U desnom tet-ra-ed-re, pronađite-di-te kut između you-so-th tet-ra-ed-ra i me-di-a-noy bo-ko-how strane.

2. U desno-naprijed šest-ugljen-pi-ra-mi-de, sto-ro-na-os-no-va-niya su nekako jednaki, a bočna rebra su jednaka, pronađite kut između ravnih linije i.

3. Duljine svih rubova desnog četiri-you-rech-coal-noy pi-ra-mi-dy su jednake jedna drugoj. Pronađite kut između ravnih linija i ako je iz-re-zok - vi-tako-da s obzirom na pi-ra-mi-dy, točka je se-re-di-na njenom bo-ko- om rebru

4. Na rubu kocke od-me-che-do točke tako da Nađi-di-te kut između ravnih linija i

5. Točka - se-re-di-na rubovima kocke Nai-di-te kut između ravnih linija i.

Nisam slučajno rasporedio zadatke ovim redom. Dok još niste imali vremena početi se snalaziti u koordinatnoj metodi, ja ću analizirati najproblematičnije figure, a vas ću ostaviti da se pozabavite najjednostavnijom kockom! Postupno morate naučiti kako raditi sa svim figurama, ja ću povećavati složenost zadataka od teme do teme.

Počnimo rješavati probleme:

1. Nacrtajte tetraedar, smjestite ga u koordinatni sustav kao što sam ranije predložio. Budući da je tetraedar pravilan, onda su sva njegova lica (uključujući bazu) pravilni trokuti. Budući da nam nije dana duljina stranice, mogu je uzeti jednakom. Mislim da razumijete da kut neće zapravo ovisiti o tome koliko će naš tetraedar biti "ispružen"?. Također ću nacrtati visinu i medijan u tetraedru. Usput ću mu nacrtati bazu (dobro će nam i to).

Moram pronaći kut između i. Što znamo? Znamo samo koordinatu točke. Dakle, moramo pronaći više koordinata točaka. Sada mislimo: točka je točka presjeka visina (ili simetrala ili medijana) trokuta. Točka je uzdignuta točka. Točka je središte segmenta. Zatim konačno trebamo pronaći: koordinate točaka: .

Počnimo s najjednostavnijim: koordinatama točaka. Pogledajte sliku: Jasno je da je aplikat točke jednak nuli (točka leži u ravnini). Njegova ordinata je jednaka (jer je medijan). Teže je pronaći njegovu apscisu. Međutim, to se lako može učiniti na temelju Pitagorinog teorema: Razmotrimo trokut. Njegova hipotenuza je jednaka, a jedna od kateta je jednaka. Tada:

Konačno imamo:

Nađimo sada koordinate točke. Jasno je da mu je aplikata opet jednaka nuli, a ordinata ista kao i točka, tj. Nađimo njegovu apscisu. To se radi prilično trivijalno ako se toga sjetimo visine jednakostraničan trokut sjecište je podijeljeno u proporciji računajući od vrha. Budući da je: , tada željena apscisa točke, jednaka duljini segment je jednak: . Dakle, koordinate točke su:

Nađimo koordinate točke. Jasno je da se njezina apscisa i ordinata poklapaju s apscisom i ordinatom točke. A aplikacija je jednaka duljini segmenta. - ovo je jedna od krakova trokuta. Hipotenuza trokuta je segment - kateta. Traži se iz razloga koje sam istaknuo podebljano:

Točka je središte segmenta. Zatim se moramo sjetiti formule za koordinate sredine segmenta:

To je to, sada možemo tražiti koordinate vektora smjera:

Pa, sve je spremno: zamijenimo sve podatke u formulu:

Na ovaj način,

Odgovor:

Ne treba se bojati takvih "strašnih" odgovora: za probleme C2 to je uobičajena praksa. Prije bih se iznenadio "lijepim" odgovorom u ovom dijelu. Također, kao što ste primijetili, praktički se nisam poslužio ničim drugim osim Pitagorinim poučkom i svojstvom visina jednakostraničnog trokuta. To jest, da bih riješio stereometrijski problem, koristio sam minimum stereometrije. Dobit u tome djelomično se "gasi" prilično glomaznom računicom. Ali oni su prilično algoritamski!

2. Nacrtajte pravilnu šesterokutnu piramidu s koordinatnim sustavom i njezinom bazom:

Moramo pronaći kut između linija i. Time se naš zadatak svodi na pronalaženje koordinata točaka: . Zadnje tri koordinate ćemo pronaći s malog crteža, a koordinatu vrha ćemo pronaći preko koordinate točke. Puno posla, ali treba početi!

a) Koordinata: jasno je da su joj aplikata i ordinata nula. Nađimo apscisu. Da biste to učinili, razmotrite pravokutni trokut. Nažalost, u njemu znamo samo hipotenuzu, koja je jednaka. Pokušat ćemo pronaći krak (jer je jasno da će nam dvostruka duljina kraka dati apscisu točke). Kako je možemo tražiti? Prisjetimo se kakvu figuru imamo u podnožju piramide? Ovo je pravilan šesterokut. Što to znači? To znači da su sve stranice i svi kutovi jednaki. Moramo pronaći jedan takav kutak. Imate li ideja? Ima puno ideja, ali postoji formula:

Zbroj kutova pravilnog n-kuta je .

Dakle, zbroj kutova pravilnog šesterokuta je stupnjeva. Tada je svaki od kutova jednak:

Pogledajmo ponovno sliku. Jasno je da je segment simetrala kuta. Tada je kut stupnjeva. Zatim:

Onda gdje.

Dakle, ima koordinate

b) Sada lako možemo pronaći koordinatu točke: .

c) Odredi koordinate točke. Budući da se njegova apscisa podudara s duljinom segmenta, ona je jednaka. Nalaženje ordinate također nije jako teško: ako spojimo točke i i označimo točku presjeka pravca, recimo for. (uradi sam jednostavna konstrukcija). Tada je dakle ordinata točke B jednaka zbroju duljina odsječaka. Pogledajmo ponovno trokut. Zatim

Tada od Tada točka ima koordinate

d) Pronađite sada koordinate točke. Promotrimo pravokutnik i dokažimo da su dakle koordinate točke:

e) Ostalo je pronaći koordinate vrha. Jasno je da se njezina apscisa i ordinata poklapaju s apscisom i ordinatom točke. Pronađimo aplikaciju. Od tad. Razmotrimo pravokutni trokut. Po uvjetu problema, bočni rub. Ovo je hipotenuza mog trokuta. Tada je visina piramide krak.

Tada točka ima koordinate:

To je to, imam koordinate svih točaka koje me zanimaju. Tražim koordinate vektora usmjeravanja ravnih linija:

Tražimo kut između ovih vektora:

Odgovor:

Opet, prilikom rješavanja ovog problema nisam se služio nikakvim sofisticiranim trikovima, osim formule za zbroj kutova pravilnog n-kuta, kao i definicije kosinusa i sinusa pravokutnog trokuta.

3. Kako nam opet nisu zadane duljine bridova u piramidi, ja ću ih prebrojati jednako jedan. Dakle, budući da su SVI bridovi, a ne samo bočni, međusobno jednaki, tada u osnovi piramide i mene leži kvadrat, a bočna lica su pravokutni trokuti. Oslikajmo takvu piramidu, kao i njenu bazu na ravnini, označavajući sve podatke date u tekstu zadatka:

Tražimo kut između i. Napravit ću vrlo kratke izračune kada budem tražio koordinate točaka. Morat ćete ih "dešifrirati":

b) - sredina segmenta. Njene koordinate:

c) Naći ću duljinu isječka pomoću Pitagorinog poučka u trokutu. Naći ću po Pitagorinom teoremu u trokutu.

koordinate:

d) - sredina segmenta. Njegove koordinate su

e) Koordinate vektora

f) Koordinate vektora

g) Traženje kuta:

Kocka je najjednostavniji lik. Siguran sam da to možete sami shvatiti. Odgovori na probleme 4 i 5 su sljedeći:

Određivanje kuta između pravca i ravnine

Pa, vrijeme jednostavnih zagonetki je prošlo! Sada će primjeri biti još teži. Da bismo pronašli kut između pravca i ravnine, postupit ćemo na sljedeći način:

1. Pomoću tri točke gradimo jednadžbu ravnine
   ,
   pomoću determinante trećeg reda.
2. Po dvije točke tražimo koordinate usmjeravajućeg vektora prave:
3. Primjenjujemo formulu za izračunavanje kuta između pravca i ravnine:

Kao što vidite, ova je formula vrlo slična onoj koju smo koristili za pronalaženje kutova između dva pravca. Struktura desne strane je ista, a na lijevoj sada tražimo sinus, a ne kosinus, kao prije. Pa, dodana je jedna gadna akcija - potraga za jednadžbom ravnine.

Nemojmo odlagati rješavanje primjera:

1. Os-no-va-ni-em straight-moja nagrada-mi smo-la-et-xia jednaki-ali-jadni-ren-ny triangle-nick you-with-that prize-mi smo jednaki. Nađi kut između pravca i ravnine

2. U pravokutnom pa-ral-le-le-pi-pe-de sa zapadne Nai-di-te kut između pravca i ravnine

3. U desnoj prizmi sa šest ugljena svi bridovi su jednaki. Nađi kut između pravca i ravnine.

4. U pravom trokutastom pi-ra-mi-de s os-but-va-ni-em sa zapada rebra Nai-di-te kut, ob-ra-zo-van -ny ravnina os -no-va-niya i straight-my, prolazeći kroz se-re-di-na rebara i

5. Duljine svih bridova pravog četverokutnog pi-ra-mi-dyja s vrhom su međusobno jednake. Pronađite kut između ravne linije i ravnine, ako je točka se-re-di-na bo-ko-in-tom rubu pi-ra-mi-dy.

Opet ću prva dva problema riješiti detaljno, treći - ukratko, a posljednja dva ostavljam vama da sami riješite. Osim toga, već ste se morali nositi s trokutastim i četverokutne piramide, ali s prizmama - još ne.

rješenja:

1. Nacrtajte prizmu, kao i njenu bazu. Spojimo ga s koordinatnim sustavom i označimo sve podatke koji su dani u postavci zadatka:

Ispričavam se zbog nekih nepoštivanja proporcija, ali za rješavanje problema to zapravo i nije toliko važno. Ravnina je samo "stražnji zid" moje prizme. Dovoljno je samo pogoditi da jednadžba takve ravnine ima oblik:

Međutim, to se također može prikazati izravno:

Izaberemo proizvoljne tri točke na ovoj ravnini: na primjer, .

Napravimo jednadžbu ravnine:

Vježba za vas: izračunajte sami ovu odrednicu. Jeste li uspjeli? Tada jednadžba ravnine ima oblik:

Ili jednostavno

Na ovaj način,

Da bih riješio primjer, trebam pronaći koordinate vektora usmjeravanja pravca. Budući da se točka podudara s ishodištem, koordinate vektora će se jednostavno podudarati s koordinatama točke.Da bismo to učinili, prvo pronalazimo koordinate točke.

Da biste to učinili, razmotrite trokut. Povucimo visinu (ona je i središnja i simetrala) s vrha. Budući da je ordinata točke jednaka. Da bismo pronašli apscisu ove točke, moramo izračunati duljinu segmenta. Po Pitagorinoj teoremi imamo:

Tada točka ima koordinate:

Točka je "izdignuta" na točki:

Tada su koordinate vektora:

Odgovor:

Kao što vidite, ne postoji ništa fundamentalno teško u rješavanju takvih problema. Zapravo, "ravnost" figure kao što je prizma još malo pojednostavljuje proces. Sada prijeđimo na sljedeći primjer:

2. Nacrtamo paralelopiped, nacrtamo ravninu i ravnu liniju u njoj, a također zasebno nacrtamo njegovu donju bazu:

Prvo nalazimo jednadžbu ravnine: koordinate triju točaka koje leže u njoj:

(prve dvije koordinate dobivene su na očigledan način, a zadnju koordinatu lako možete pronaći na slici iz točke). Zatim sastavljamo jednadžbu ravnine:

Računamo:

Tražimo koordinate vektora pravca: Jasno je da se njegove koordinate poklapaju s koordinatama točke, zar ne? Kako pronaći koordinate? Ovo su koordinate točke, uzdignute duž aplicirane osi za jedan! . Zatim tražimo željeni kut:

Odgovor:

3. Nacrtaj pravilnu šesterokutnu piramidu, a zatim u njoj nacrtaj ravninu i ravnu liniju.

Ovdje je čak problematično nacrtati ravninu, a da ne govorimo o rješenju ovog problema, ali koordinatna metoda ne mari! Upravo u njegovoj svestranosti leži njegova glavna prednost!

Ravnina prolazi kroz tri točke: . Tražimo njihove koordinate:

jedan) . Prikažite sami koordinate za posljednje dvije točke. Za ovo ćete morati riješiti problem sa šesterokutnom piramidom!

2) Gradimo jednadžbu ravnine:

Tražimo koordinate vektora: . (Ponovo pogledajte problem trokutaste piramide!)

3) Tražimo kut:

Odgovor:

Kao što vidite, u ovim zadacima nema ničeg nadnaravno teškog. Samo trebate biti vrlo oprezni s korijenjem. Na zadnja dva problema dat ću samo odgovore:

Kao što vidite, tehnika rješavanja problema svugdje je ista: glavni zadatak je pronaći koordinate vrhova i zamijeniti ih u neke formule. Ostaje nam da razmotrimo još jednu klasu problema za izračunavanje kutova, naime:

Izračunavanje kutova između dvije ravnine

Algoritam rješenja bit će sljedeći:

1. Za tri točke tražimo jednadžbu prve ravnine:
2. Za ostale tri točke tražimo jednadžbu druge ravnine:
3. Primjenjujemo formulu:

Kao što vidite, formula je vrlo slična prethodnim dvjema, uz pomoć kojih smo tražili kutove između ravnih linija i između prave i ravnine. Stoga vam neće biti teško zapamtiti ovaj. Prijeđimo odmah na problem:

1. Sto-ro-na osnovici pravilne trokutaste prizme jednaka je, a dija-go-nala bočne plohe jednaka je. Odredite kut između ravnine i ravnine baze dobitka.

2. U desno-naprijed četiri-you-re-coal-noy pi-ra-mi-de, svi su rubovi nekoga jednaki, pronađite sinus kuta između ravnine i ravnine Ko-Stu, koji prolazi kroz točka per-pen-di-ku-lyar-ali straight-my.

3. U pravilnoj prizmi s četiri ugljena stranice os-no-va-nia su jednake, a bočni rubovi su jednaki. Na rubu od-me-che-do točke tako da. Pronađite kut između ravnina i

4. U pravilnoj četverokutnoj prizmi stranice baza su jednake, a bočni bridovi su jednaki. Na rubu od-me-che-do točke tako da Pronađite kut između ravnina i.

5. U kocki nađi ko-si-nus kuta između ravnina i

Rješenja problema:

1. Nacrtam točnu (u osnovi je jednakostranični trokut) trokutasta prizma i na njemu označavam ravnine koje se pojavljuju u uvjetu zadatka:

Moramo pronaći jednadžbe dviju ravnina: Jednadžba baze se dobiva trivijalno: možete napraviti odgovarajuću determinantu za tri točke, ali ja ću odmah napraviti jednadžbu:

Nađimo sada jednadžbu. Točka ima koordinate. Točka - Budući da su - medijan i visina trokuta, lako ju je pronaći po Pitagorinom poučku u trokutu. Tada točka ima koordinate: Nađite primjenu točke Da biste to učinili, razmotrite pravokutni trokut

Tada dobivamo sljedeće koordinate: Sastavljamo jednadžbu ravnine.

Izračunavamo kut između ravnina:

Odgovor:

2. Izrada crteža:

Najteže je razumjeti kakva je to tajanstvena ravnina koja prolazi kroz točku okomito. Pa, glavno je što je to? Glavna stvar je pažljivost! Doista, linija je okomita. Pravac je također okomit. Tada će ravnina koja prolazi kroz ove dvije linije biti okomita na liniju, i, usput, prolazit će kroz točku. Ova ravnina također prolazi kroz vrh piramide. Zatim željeni avion - I avion nam je već dan. Tražimo koordinate točaka.

Koordinatu točke nalazimo kroz točku. Lako je zaključiti iz malog crteža da će koordinate točke biti sljedeće: Što je sada potrebno pronaći da bismo pronašli koordinate vrha piramide? Još treba izračunati njegovu visinu. To se radi koristeći isti Pitagorin teorem: prvo, dokažite to (trivijalno iz malih trokuta koji tvore kvadrat u osnovi). Budući da prema uvjetu imamo:

Sada je sve spremno: koordinate vrhova:

Sastavljamo jednadžbu ravnine:

Vi ste već stručnjak za izračunavanje determinanti. Lako ćete dobiti:

Ili drugačije (ako oba dijela pomnožimo korijenom iz dva)

Nađimo sada jednadžbu ravnine:

(Nisi zaboravio kako dobivamo jednadžbu ravnine, zar ne? Ako ne razumiješ odakle je došao ovaj minus jedan, onda se vrati na definiciju jednadžbe ravnine! Samo se prije toga uvijek pokazalo da je moj avion pripadao polazištu!)

Izračunavamo determinantu:

(Možda ćete primijetiti da se jednadžba ravnine podudara s jednadžbom pravca koji prolazi kroz točke i! Razmislite zašto!)

Sada izračunavamo kut:

Moramo pronaći sinus:

Odgovor:

3. Škakljivo pitanje: što je pravokutna prizma, što mislite? To je vama samo dobro poznati paralelopiped! Crtanje odmah! Možete čak i ne prikazati zasebno bazu, ovdje je malo koristi od nje:

Ravnina je, kao što smo ranije primijetili, napisana kao jednadžba:

Sada ćemo napraviti avion

Odmah sastavljamo jednadžbu ravnine:

Tražite kut

Sada odgovori na posljednja dva problema:

Pa, sada je vrijeme za odmor, jer ti i ja smo super i napravili smo odličan posao!

Koordinate i vektori. Napredna razina

U ovom ćemo članku s vama raspravljati o još jednoj klasi problema koji se mogu riješiti pomoću koordinatne metode: problemi udaljenosti. Naime, razmotrit ćemo sljedeće slučajeve:

1. Izračunavanje udaljenosti između kosih linija.

Zadane zadatke rasporedio sam prema njihovoj složenosti. Najlakše je pronaći udaljenost točke do ravnine a najteže je pronaći udaljenost između linija koje se sijeku. Iako, naravno, ništa nije nemoguće! Nemojmo odugovlačiti i odmah prijeđimo na razmatranje prve klase problema:

Izračunavanje udaljenosti od točke do ravnine

Što nam je potrebno da riješimo ovaj problem?

1. Koordinate točke

Dakle, čim dobijemo sve potrebne podatke, primjenjujemo formulu:

Već biste trebali znati kako gradimo jednadžbu ravnine iz prethodnih problema koje sam analizirao u prošlom dijelu. Prijeđimo odmah na posao. Shema je sljedeća: 1, 2 - pomažem ti da se odlučiš, i malo detaljnije, 3, 4 - samo odgovor, sam odlučuješ i uspoređuješ. Započelo!

Zadaci:

1. Dana je kocka. Duljina brida kocke je Nađi-di-te udaljenost od se-re-di-ny od rezanja do stana

2. S obzirom na desno-vil-naya četiri-you-rekh-ugljen-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-voe rub sto-ro-na os-no-va-nia je jednak. Pronađite-di-te udaljenosti od točke do ravnine gdje - se-re-di-na rubovima.

3. U pravom trokutastom pi-ra-mi-de s os-but-va-ni-em, drugi rub je jednak, a sto-ro-on os-no-va- niya je jednak. Nađi-di-te udaljenosti od vrha do ravnine.

4. U desnoj prizmi sa šest ugljena svi bridovi su jednaki. Nađi-di-te udaljenosti od točke do ravnine.

rješenja:

1. Nacrtajte kocku s jednostrukim bridovima, napravite segment i ravninu, označite sredinu segmenta slovom

.

Prvo, počnimo s jednostavnim: pronađite koordinate točke. Od tada (zapamtite koordinate sredine segmenta!)

Sada sastavljamo jednadžbu ravnine na tri točke

\[\lijevo| (\početak(niz)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\kraj(niz)) \right| = 0\]

Sada mogu početi pronalaziti udaljenost:

2. Ponovno počinjemo s crtežom, na kojem označavamo sve podatke!

Za piramidu bi bilo korisno posebno nacrtati njezinu bazu.

Ni činjenica da crtam kao kokošja šapa neće nas spriječiti da lako riješimo ovaj problem!

Sada je jednostavno pronaći koordinate točke

Budući da su koordinate točke

2. Kako su koordinate točke a sredina segmenta, tada

Lako možemo pronaći koordinate još dviju točaka na ravnini.Sastavimo jednadžbu ravnine i pojednostavimo je:

\[\lijevo| (\lijevo| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(niz)) \right|) \right| = 0\]

Budući da točka ima koordinate: , tada izračunavamo udaljenost:

Odgovor (vrlo rijetko!):

Pa, jeste li razumjeli? Čini mi se da je ovdje sve jednako tehničko kao u primjerima koje smo razmotrili s vama u prethodnom dijelu. Stoga sam siguran da ako ste savladali to gradivo, onda vam neće biti teško riješiti preostala dva problema. Samo ću vam dati odgovore:

Izračunavanje udaljenosti od pravca do ravnine

Zapravo, nema tu ništa novo. Kako se pravac i ravnina mogu međusobno smjestiti? Imaju sve mogućnosti: da se sijeku ili da je pravac paralelan s ravninom. Što mislite kolika je udaljenost pravca od ravnine s kojom se zadani pravac siječe? Čini mi se da je jasno da je takva udaljenost jednaka nuli. Nezanimljiv slučaj.

Drugi slučaj je složeniji: ovdje je udaljenost već različita od nule. Međutim, budući da je pravac paralelan s ravninom, svaka točka pravca je jednako udaljena od te ravnine:

Na ovaj način:

A to znači da se moj zadatak sveo na prethodni: tražimo koordinate bilo koje točke na pravcu, tražimo jednadžbu ravnine, izračunavamo udaljenost od točke do ravnine. Zapravo, takvi zadaci na ispitu su izuzetno rijetki. Uspio sam pronaći samo jedan problem, a podaci u njemu su bili takvi da koordinatna metoda nije bila baš primjenjiva na njega!

Sada prijeđimo na drugu, mnogo važniju klasu problema:

Izračunavanje udaljenosti točke od pravca

Što će nam trebati?

1. Koordinate točke od koje tražimo udaljenost:

2. Koordinate bilo koje točke koja leži na ravnoj liniji

3. Koordinate vektora pravca pravca

Koju formulu koristimo?

Što vam znači nazivnik ovog razlomka i stoga bi trebalo biti jasno: ovo je duljina vektora koji usmjerava ravnu liniju. Ovdje je vrlo lukav brojnik! Izraz označava modul (dužinu) vektorskog umnoška vektora i Kako izračunati vektorski umnožak, proučavali smo u prethodnom dijelu rada. Obnovite svoje znanje, sad će nam biti od velike koristi!

Dakle, algoritam za rješavanje problema bit će sljedeći:

1. Tražimo koordinate točke od koje tražimo udaljenost:

2. Tražimo koordinate bilo koje točke na liniji do koje tražimo udaljenost:

3. Izgradnja vektora

4. Gradimo vektor smjera pravca

5. Izračunajte umnožak

6. Tražimo duljinu rezultirajućeg vektora:

7. Izračunajte udaljenost:

Imamo puno posla, a primjeri će biti prilično složeni! Dakle, sada usmjerite svu svoju pozornost!

1. Dana je desnokretna trokutasta pi-ra-mi-da s vrhom. Sto-ro-on os-no-va-niya pi-ra-mi-dy je jednako, you-so-ta je jednako. Nađi-di-one udaljenosti od se-re-di-ny bo-ko-tog ruba do ravne linije, gdje su točke i se-re-di-ny rebara i su-od- vet -stven-ali.

2. Duljine rebara i pravokutnog-no-para-ral-le-le-pi-pe-da jednake su, redom, i Find-di-te udaljenost od top-shi-ny do straight-my

3. U desnoj prizmi sa šest ugljena, svi su rubovi roja jednaki.

rješenja:

1. Izrađujemo uredan crtež na kojem označavamo sve podatke:

Imamo puno posla za vas! Prvo bih želio riječima opisati što ćemo tražiti i kojim redom:

1. Koordinate točaka i

2. Koordinate točke

3. Koordinate točaka i

4. Koordinate vektora i

5. Njihov umnožak

6. Duljina vektora

7. Duljina vektorskog umnoška

8. Udaljenost od do

Pa, imamo puno posla! Zasučimo rukave!

1. Da bismo pronašli koordinate visine piramide, trebamo znati koordinate točke čija je aplikata nula, a ordinata jednaka apscisi. Konačno smo dobili koordinate:

Koordinate točke

2. - sredina segmenta

3. - sredina segmenta

središnja točka

4.Koordinate

Vektorske koordinate

5. Izračunajte vektorski produkt:

6. Duljina vektora: najlakše je zamijeniti da je segment središnja linija trokuta, što znači da je jednak polovici osnovice. Tako da.

7. Uzimamo u obzir duljinu vektorskog produkta:

8. Na kraju, pronađite udaljenost:

Fuj, to je sve! Iskreno ću vam reći: rješenje za ovaj problem tradicionalne metode(putem build-ova) bilo bi puno brže. Ali ovdje sam sve sveo na gotov algoritam! Mislim da ti je jasan algoritam rješenja? Stoga ću vas zamoliti da preostala dva problema riješite sami. Usporediti odgovore?

Opet ponavljam: lakše (brže) je te probleme riješiti konstrukcijama, nego pribjegavanjem koordinatna metoda. Demonstrirao sam ovo rješenje samo da vam pokažem generička metoda, koji omogućuje da se "ništa ne dovrši".

Na kraju, razmislite zadnji razred zadaci:

Izračunavanje udaljenosti između kosih linija

Ovdje će algoritam za rješavanje problema biti sličan prethodnom. Što imamo:

3. Bilo koji vektor koji povezuje točke prvog i drugog pravca:

Kako ćemo pronaći udaljenost između linija?

Formula je:

Brojnik je modul mješovitog umnoška (uveli smo ga u prethodnom dijelu), a nazivnik - kao u prethodnoj formuli (modul vektorskog umnoška usmjeravajućih vektora linija, udaljenost između kojih gledamo za).

Podsjetit ću vas na to

zatim formula udaljenosti može se prepisati kao:

Ovu determinantu podijeli s determinantom! Iako, da budem iskren, nisam ovdje raspoložen za šalu! Ova formula, zapravo, vrlo je glomazan i dovodi do prilično kompliciranih izračuna. Da sam na tvom mjestu, koristio bih ga samo u krajnjem slučaju!

Pokušajmo riješiti nekoliko problema pomoću gornje metode:

1. U pravilnoj trokutastoj prizmi svi su rubovi nekako jednaki, pronađite udaljenost između ravnih linija i.

2. S obzirom na pravu trokutastu prizmu, svi rubovi os-no-va-niya nekoga su jednaki Se-che-tion, prolazeći kroz drugo rebro i se-re-di-nu rebra su yav-la-et-sya square-ra-tom. Find-di-te dis-sto-I-nie između straight-we-mi i

Ja odlučujem o prvom, a na temelju njega ti o drugom!

1. Crtam prizmu i označavam pravce i

Koordinate točke C: zatim

Koordinate točke

Vektorske koordinate

Koordinate točke

Vektorske koordinate

Vektorske koordinate

\[\lijevo((B,\strelica gore desno (A(A_1)) \strelica desno (B(C_1)) ) \desno) = \lijevo| (\begin(niz)(*(20)(l))(\begin(niz)(*(20)(c))0&1&0\end(niz))\\(\begin(niz)(*(20) (c))0&0&1\end(niz))\\(\begin(niz)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\kraj(niza))\kraj(niza)) \desno| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Smatramo umnožak između vektora i

\[\desna strelica (A(A_1)) \cdot \desna strelica (B(C_1)) = \lijevo| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(niz)\\\begin(niz)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\kraj(niza)\kraj(niza) \desno| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\strelica desno k + \frac(1)(2)\strelica desno i \]

Sada razmatramo njegovu duljinu:

Odgovor:

Sada pokušajte pažljivo izvršiti drugi zadatak. Odgovor na njega će biti:.

Koordinate i vektori. Kratak opis i osnovne formule

Vektor je usmjereni segment. - početak vektora, - kraj vektora.
Vektor je označen sa ili.

Apsolutna vrijednost vektor - duljina segmenta koji predstavlja vektor. Određen kao.

Vektorske koordinate:

,
gdje su krajevi vektora \displaystyle a .

Zbroj vektora: .

Proizvod vektora:

Točkasti umnožak vektora:

Napokon sam se dočepao jedne opsežne i dugo očekivane teme analitička geometrija. Prvo malo o ovaj odjeljak viša matematika…. Sigurno ste se sada sjetili školskog tečaja geometrije s brojnim teoremima, njihovim dokazima, crtežima itd. Što kriti, neomiljen i često opskuran predmet za značajan dio učenika. Analitička geometrija, čudno, može se činiti zanimljivijom i pristupačnijom. Što znači pridjev "analitički"? Odmah mi padaju na pamet dvije otisnute matematičke fraze: "grafička metoda rješenja" i " analitička metoda rješenja". Grafička metoda, naravno, povezan je s izgradnjom grafikona, crteža. Analitički isti metoda uključuje rješavanje problema pretežno kroz algebarske operacije. U tom smislu, algoritam za rješavanje gotovo svih problema analitičke geometrije je jednostavan i transparentan, često ga je prilično točno primijeniti potrebne formule- i odgovor je spreman! Ne, naravno, uopće neće proći bez crteža, osim toga bolje razumijevanje materijala, pokušat ću ih dati izvan potrebe.

Otvoreni tečaj lekcija iz geometrije ne tvrdi da je teorijska cjelovitost, usmjeren je na rješavanje praktičnih problema. U predavanja ću uključiti samo ono što je, s moje točke gledišta, važno u praktičnom smislu. Ako trebate potpuniju referencu o bilo kojem pododjeljku, preporučujem sljedeću prilično dostupnu literaturu:

1) Stvar koju, bez šale, poznaje više generacija: Školski udžbenik geometrije, autori - L.S. Atanasyan i tvrtka. Ova vješalica za školsku svlačionicu već je izdržala 20 (!) Reizdanja, što, naravno, nije granica.

2) Geometrija u 2 sveska. Autori L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Ovo je literatura za Srednja škola, trebat će vam prvi svezak. Zadaci koji se rijetko pojavljuju mogu ispasti iz mog vidnog polja, a tutorijal će mi biti od neprocjenjive pomoći.

Obje su knjige besplatne za preuzimanje na internetu. Osim toga, možete koristiti moju arhivu s gotovim rješenjima, koja se nalaze na stranici Preuzmite primjere iz više matematike.

Iz alata Ponovno nudim vlastiti razvoj - programski paket na analitičku geometriju, što će uvelike pojednostaviti život i uštedjeti mnogo vremena.

Pretpostavlja se da je čitatelj upoznat s osnovnim geometrijskim pojmovima i likovima: točka, pravac, ravnina, trokut, paralelogram, paralelopiped, kocka itd. Preporučljivo je zapamtiti neke teoreme, barem Pitagorin teorem, pozdrav ponavljačima)

A sada ćemo redom razmotriti: koncept vektora, akcije s vektorima, vektorske koordinate. Dalje preporučam čitanje najvažniji članak Točkasti umnožak vektora, kao i Vektor i mješoviti umnožak vektora. Lokalni zadatak neće biti suvišan - Podjela segmenta u tom pogledu. Na temelju gore navedenih informacija, možete jednadžba pravca u ravnini S najjednostavniji primjeri rješenja, koji će omogućiti naučiti rješavati zadatke iz geometrije. Sljedeći članci su također korisni: Jednadžba ravnine u prostoru, Jednadžbe pravca u prostoru, Osnovni problemi na pravcu i ravnini, drugi dijelovi analitičke geometrije. Naravno, standardni zadaci će se razmatrati usput.

Pojam vektora. slobodni vektor

Prvo, ponovimo školsku definiciju vektora. Vektor nazvao usmjerena segment za koji su naznačeni njegov početak i kraj:

NA ovaj slučaj početak duži je točka, kraj dužine je točka. Sam vektor je označen sa . Smjer bitno je, ako promijenite raspored strelice na drugi kraj segmenta, dobit ćete vektor, a to je već potpuno drugačiji vektor. Pogodno je poistovjetiti pojam vektora s gibanjem fizičko tijelo: složite se, ući na vrata instituta ili izaći s vrata instituta su potpuno različite stvari.

Pogodno je pojedine točke ravnine, prostora smatrati tzv nulti vektor. Takav vektor ima isti kraj i početak.

!!! Bilješka: Ovdje i dolje možete pretpostaviti da vektori leže u istoj ravnini ili možete pretpostaviti da se nalaze u prostoru - suština prezentiranog materijala vrijedi i za ravninu i za prostor.

Oznake: Mnogi su odmah skrenuli pažnju na štap bez strelice u oznaci i rekli da su također stavili strelicu na vrh! Tako je, strelicom se može pisati: , ali dopušteno i zapis koji ću kasnije koristiti. Zašto? Navodno se takva navika razvila iz praktičnih razloga, moji strijelci u školi i na fakultetu ispali su previše raznoliki i čupavi. NA obrazovna literatura ponekad se uopće ne zamaraju klinastim pismom, već podebljaju slova: , čime impliciraju da je riječ o vektoru.

To je bio stil, a sada o načinima pisanja vektora:

1) Vektori se mogu pisati s dva velika latinična slova:
i tako dalje. Dok je prvo slovo nužno označava početnu točku vektora, a drugo slovo označava krajnju točku vektora.

2) Vektori se također pišu malim latiničnim slovima:
Konkretno, naš vektor može se zbog kratkoće ponovno označiti malim latinično pismo.

Duljina ili modul vektor različit od nule naziva se duljina segmenta. Duljina nul-vektora je nula. Logički.

Duljina vektora je označena znakom modula: ,

Kako pronaći duljinu vektora, naučit ćemo (ili ponoviti, za koga kako) nešto kasnije.

To je bila elementarna informacija o vektoru, poznata svim školarcima. U analitičkoj geometriji tzv slobodni vektor.

Ako je sasvim jednostavno - vektor se može povući iz bilo koje točke:

Navikli smo takve vektore nazivati ​​jednakima (definicija jednakih vektora bit će dana u nastavku), ali čisto s matematička točka vid je ISTI VEKTOR odn slobodni vektor. Zašto besplatno? Zato što tijekom rješavanja problema možete "pričvrstiti" jedan ili drugi vektor na BILO KOJU točku ravnine ili prostora koji vam je potreban. Ovo je vrlo cool nekretnina! Zamislimo vektor proizvoljne duljine i smjera – može se „klonirati“ beskonačno mnogo puta i u bilo kojoj točki prostora, zapravo postoji SVUDA. Postoji takva studentska poslovica: Svaki predavač u f ** u u vektoru. Uostalom, ne samo duhovita rima, sve je matematički točno - tu se može priložiti i vektor. Ali ne žurite se radovati, sami studenti pate češće =)

Tako, slobodni vektor- ovo je Mnogo identične segmente smjera. Školska definicija vektora, dana na početku odlomka: "Usmjereni segment naziva se vektor ...", podrazumijeva specifično smjerni segment preuzet iz dati skup, koji je vezan za određenu točku u ravnini ili prostoru.

Treba napomenuti da je sa stajališta fizike koncept slobodnog vektora općenito netočan, a bitna je točka primjene vektora. Dapače, izravan udarac iste snage u nos ili u čelo dovoljan je da razvije moj glupi primjer za sobom povlači različite posljedice. Međutim, nije besplatno vektori se također nalaze u tijeku vyshmat (ne idite tamo :)).

Akcije s vektorima. Kolinearnost vektora

NA školski tečaj geometrija razmatra brojne akcije i pravila s vektorima: zbrajanje po pravilu trokuta, zbrajanje po pravilu paralelograma, pravilo razlike vektora, množenje vektora brojem, skalarni produkt vektora itd. Kao sjemenku ponavljamo dva pravila koja su posebno relevantna za rješavanje problema analitičke geometrije.

Pravilo zbrajanja vektora prema pravilu trokuta

Razmotrimo dva proizvoljna vektora različita od nule i:

Potrebno je pronaći zbroj ovih vektora. Zbog činjenice da se svi vektori smatraju slobodnim, odgađamo vektor od kraj vektor:

Zbroj vektora je vektor . Za bolje razumijevanje pravila, preporučljivo je uložiti u njega fizičko značenje: neka neko tijelo napravi put po vektoru , a zatim po vektoru . Tada je zbroj vektora vektor rezultirajuće staze koja počinje u točki polaska i završava u točki dolaska. Slično je pravilo formulirano za zbroj bilo kojeg broja vektora. Kako kažu, tijelo može ići svojim putem snažno cik-cak, ili možda na autopilotu - duž rezultirajućeg vektora zbroja.

Usput, ako je vektor odgođen od početak vektor , tada dobivamo ekvivalent pravilo paralelograma zbrajanje vektora.

Prvo o kolinearnosti vektora. Dva vektora se nazivaju kolinearni leže li na istoj liniji ili na paralelnim pravcima. Grubo rečeno, jest paralelni vektori. Ali u odnosu na njih uvijek se koristi pridjev "kolinearni".

Zamislimo dva kolinearna vektora. Ako su strelice ovih vektora usmjerene u istom smjeru, tada se takvi vektori nazivaju susmjerni. Ako strelice gledaju u različitim smjerovima, vektori će biti suprotno usmjerena.

Oznake: kolinearnost vektora ispisuje se uobičajenom ikonom paralelnosti: , dok je moguće detaljiziranje: (vektori su suusmjereni) ili (vektori su usmjereni suprotno).

raditi vektora različitog od nule po broju je vektor čija je duljina jednaka , a vektori i su suusmjereni na i suprotno usmjereni na .

Pravilo množenja vektora brojem lakše je razumjeti pomoću slike:

Razumijemo detaljnije:

1) Smjer. Ako je množitelj negativan, tada vektor mijenja smjer na suprotnost.

2) Duljina. Ako je faktor sadržan unutar ili , tada je duljina vektora smanjuje se. Dakle, duljina vektora je dvostruko manja od duljine vektora . Ako je modulo množitelj veći od jedan, tada je duljina vektora povećava se na vrijeme.

3) Imajte na umu da svi vektori su kolinearni, dok se jedan vektor izražava kroz drugi, na primjer, . Vrijedi i obrnuto: ako se jedan vektor može izraziti kroz drugi, tada su takvi vektori nužno kolinearni. Na ovaj način: ako vektor pomnožimo s brojem, dobivamo kolinear(u odnosu na original) vektor.

4) Vektori su susmjerni. Vektori i također su susmjerni. Svaki vektor prve skupine je suprotan bilo kojem vektoru druge skupine.

Koji su vektori jednaki?

Dva su vektora jednaka ako su susmjerna i imaju iste dužine . Imajte na umu da susmjer implicira da su vektori kolinearni. Definicija će biti netočna (redundantna) ako kažete: "Dva vektora su jednaka ako su kolinearni, suusmjereni i iste duljine."

Sa stajališta pojma slobodnog vektora, jednaki vektori je isti vektor kao što je objašnjeno u prethodnom paragrafu.

Vektorske koordinate u ravnini i prostoru

Prva točka je razmatranje vektora na ravnini. Oslikajmo kartezijanca pravokutni sustav koordinate i od ishodišta izdvajamo singl vektori i:

Vektori i ortogonalni. Ortogonalno = Okomito. Preporučujem da se polako navikavate na pojmove: umjesto paralelizma i okomitosti koristimo riječi respektivno kolinearnost i ortogonalnost.

Oznaka: ortogonalnost vektora piše se uobičajenim znakom okomice, npr.: .

Razmatrani vektori nazivaju se koordinatni vektori ili orts. Ovi vektori tvore osnova na površini. Što je osnova, mislim da je mnogima intuitivno jasno, više detaljne informacije možete pronaći u članku Linearna (ne)ovisnost vektora. Vektorska osnova.Jednostavno rečeno, baza i ishodište koordinata definira cijeli sustav - to je neka vrsta temelja na kojem vrije puni i bogati geometrijski život.

Ponekad se konstruirana osnova naziva ortonormalan osnovica ravnine: "orto" - jer su koordinatni vektori ortogonalni, pridjev "normaliziran" označava jedinicu, tj. duljine baznih vektora jednake su jedinici.

Oznaka: osnova se obično piše u zagradama unutar kojih u strogom redu bazni vektori su navedeni, na primjer: . Koordinatni vektori Zabranjeno je zamijeniti mjesta.

Bilo koje ravninski vektor jedini način izraženo kao:
, gdje - brojevima, koji se zovu vektorske koordinate u ovoj osnovi. Ali sam izraz nazvao vektorska dekompozicijaosnova .

Večera poslužena:

Počnimo s prvim slovom abecede: . Crtež jasno pokazuje da se pri rastavljanju vektora u smislu baze koriste upravo razmotreni:
1) pravilo množenja vektora brojem: i ;
2) zbrajanje vektora prema pravilu trokuta: .

Sada mentalno odvojite vektor od bilo koje druge točke na ravnini. Sasvim je očito da će ga njegova korupcija "neumoljivo pratiti". Evo je, sloboda vektora - vektor "nosi sve sa sobom." Ovo svojstvo, naravno, vrijedi za svaki vektor. Smiješno je da sami bazični (slobodni) vektori ne moraju biti izdvojeni iz ishodišta, jedan se može nacrtati npr. dolje lijevo, a drugi gore desno i od toga se ništa neće promijeniti! Istina, ne morate to učiniti, jer će i učitelj pokazati originalnost i nacrtati vam "propusnicu" na neočekivanom mjestu.

Vektori, točno ilustriraju pravilo za množenje vektora brojem, vektor je suusmjeren s baznim vektorom, vektor je usmjeren suprotno od baznog vektora. Za ove vektore, jedna od koordinata je jednaka nuli, to se može precizno napisati na sljedeći način:


A bazični vektori su, usput rečeno, ovakvi: (zapravo, oni se izražavaju kroz sebe).

I konačno: , . Usput, što je vektorsko oduzimanje i zašto vam nisam rekao o pravilu oduzimanja? Negdje u linearnoj algebri, ne sjećam se gdje, primijetio sam da je oduzimanje poseban slučaj dodatak. Dakle, ekspanzije vektora "de" i "e" mirno se pišu kao zbroj: . Presložite članove na mjesta i pratite crtež koliko jasno dobro staro zbrajanje vektora prema pravilu trokuta djeluje u tim situacijama.

Razmotrena dekompozicija forme ponekad se naziva vektorska dekompozicija u sustavu ort(tj. u sustavu jediničnih vektora). Ali ovo nije jedini način za pisanje vektora, sljedeća opcija je uobičajena:

Ili sa znakom jednakosti:

Sami bazni vektori zapisani su na sljedeći način: i

To jest, koordinate vektora su naznačene u zagradama. U praktičnim zadacima koriste se sve tri mogućnosti snimanja.

Dvojio sam da li da govorim, ali ipak ću reći: vektorske koordinate se ne mogu preuređivati. Strogo na prvom mjestu zapišite koordinatu koja odgovara jedinični vektor , strogo na drugom mjestu zapiši koordinatu koja odgovara jediničnom vektoru . Doista, i su dva različita vektora.

Odredili smo koordinate u avionu. Sada razmislite o vektorima u trodimenzionalnom prostoru, ovdje je sve gotovo isto! Dodat će se samo još jedna koordinata. Teško je izvoditi trodimenzionalne crteže, pa ću se ograničiti na jedan vektor, koji ću zbog jednostavnosti odgoditi od ishodišta:

Bilo koje vektor trodimenzionalni prostor limenka jedini način proširiti u ortonormalnoj bazi:
, gdje su koordinate vektora (broja) u zadanoj bazi.

Primjer sa slike: . Pogledajmo kako ovdje rade vektorska pravila akcije. Prvo, množenje vektora brojem: (crvena strelica), (zelena strelica) i (magenta strelica). Drugo, pred vama je primjer dodavanja nekoliko, u ovo slučaj od tri, vektori: . Vektor zbroja počinje na početnoj točki polaska (početak vektora ) i završava na krajnjoj točki dolaska (kraj vektora ).

Svi vektori trodimenzionalnog prostora, naravno, također su besplatni, pokušajte mentalno odgoditi vektor s bilo koje druge točke i shvatit ćete da njegovo širenje "ostaje s njim".

Na sličan način ravno kućište, pored pisanja inačice sa zagradama imaju široku primjenu: bilo .

Ako u ekspanziji nedostaje jedan (ili dva) koordinatna vektora, umjesto njih se stavljaju nule. Primjeri:
vektor (pedantno ) - Zapiši ;
vektor (pedantno ) - Zapiši ;
vektor (pedantno ) - Zapiši .

Bazni vektori se pišu na sljedeći način:

Ovdje su, možda, svi minimum teorijsko znanje potrebni za rješavanje problema analitičke geometrije. Možda ima previše pojmova i definicija, pa preporučam lutkama da ih ponovno pročitaju i shvate ova informacija opet. I bit će korisno za svakog čitatelja da se s vremena na vrijeme osvrne na njega osnovna lekcija radi boljeg razumijevanja gradiva. Kolinearnost, ortogonalnost, ortonormirana baza, vektorska dekompozicija - ovi i drugi pojmovi često će se koristiti u nastavku. Napominjem da materijali stranice nisu dovoljni za polaganje teorijskog testa, kolokvija iz geometrije, jer pažljivo šifriram sve teoreme (i bez dokaza) - na štetu znanstveni stil prezentacija, ali plus vašem razumijevanju teme. Za detaljne teorijske informacije, molim vas da se poklonite profesoru Atanasyanu.

Sada prijeđimo na praktični dio:

Najjednostavniji problemi analitičke geometrije.
Akcije s vektorima u koordinatama

Zadatke koji će se razmatrati vrlo je poželjno naučiti rješavati potpuno automatski, a formule zapamtiti, nemojte ga se ni sjećati namjerno, sami će ga se sjetiti =) Ovo je vrlo važno, jer na najjednostavnijem elementarni primjeri temelje se drugi problemi analitičke geometrije i bilo bi dosadno trošiti dodatno vrijeme jedući pijune. Ne morate zakopčavati gornje gumbe na košulji, mnoge stvari su vam poznate iz škole.

Izlaganje gradiva ići će paralelnim tijekom - i za avion i za svemir. Iz razloga što sve formule ... vidjet ćete i sami.

Kako pronaći vektor zadane dvije točke?

Ako su zadane dvije točke ravnine i , tada vektor ima sljedeće koordinate:

Ako su zadane dvije točke u prostoru i , tada vektor ima sljedeće koordinate:

To je, od koordinata kraja vektora trebate oduzeti odgovarajuće koordinate početak vektora.

Vježba: Za iste točke zapišite formule za pronalaženje koordinata vektora. Formule na kraju lekcije.

Primjer 1

S obzirom na dvije točke u ravnini i . Pronađite vektorske koordinate

Riješenje: prema odgovarajućoj formuli:

Alternativno, može se koristiti sljedeća oznaka:

Estete će odlučiti ovako:

Osobno sam navikao na prvu verziju ploče.

Odgovor:

Prema uvjetu, nije bilo potrebno izraditi crtež (što je tipično za probleme analitičke geometrije), ali da bih objasnio neke točke lutkama, neću biti previše lijen:

Mora se razumjeti razlika između koordinata točke i vektorskih koordinata:

Koordinate točke su uobičajene koordinate u pravokutnom koordinatnom sustavu. Mislim da svi znaju crtati točke na koordinatnoj ravnini od 5-6 razreda. Svaka točka ima točno određeno mjesto na ravnini i ne može se nikamo pomaknuti.

Koordinate istog vektora je njegovo širenje u odnosu na osnovu, u ovom slučaju. Svaki vektor je slobodan, stoga ga, ako je potrebno, možemo lako odgoditi s neke druge točke u ravnini. Zanimljivo, za vektore uopće ne možete graditi osi, pravokutni koordinatni sustav, potrebna vam je samo baza, u ovom slučaju ortonormirana baza ravnine.

Čini se da su zapisi koordinata točke i koordinata vektora slični: , i osjećaj za koordinate apsolutno drugačiji, i trebali biste biti svjesni ove razlike. Ova razlika, naravno, vrijedi i za prostor.

Dame i gospodo, punimo ruke:

Primjer 2

a) Zadane točke i . Pronađite vektore i .
b) Daju se bodovi i . Pronađite vektore i .
c) Zadane točke i . Pronađite vektore i .
d) Daju se bodovi. Pronađite vektore .

Možda dovoljno. Ovo su primjeri za samostalnu odluku, pokušajte ih ne zanemariti, isplatit će vam se ;-). Crteži nisu potrebni. Rješenja i odgovori na kraju lekcije.

Što je važno u rješavanju problema analitičke geometrije? Važno je biti IZUZETNO OPREZAN kako biste izbjegli majstorsku pogrešku "dva plus dva jednako je nula". Unaprijed se ispričavam ako sam pogriješio =)

Kako pronaći duljinu segmenta?

Duljina je, kao što je već navedeno, označena znakom modula.

Ako su dane dvije točke ravnine i , tada se duljina segmenta može izračunati formulom

Ako su dane dvije točke u prostoru i , tada se duljina segmenta može izračunati formulom

Bilješka: Formule će ostati točne ako se odgovarajuće koordinate zamijene: i , ali prva opcija je standardnija

Primjer 3

Riješenje: prema odgovarajućoj formuli:

Odgovor:

Radi jasnoće, napravit ću crtež

Segment linije - to nije vektor, i ne možete ga nikamo pomaknuti, naravno. Osim toga, ako dovršite crtež u mjerilu: 1 jedinica. \u003d 1 cm (dvije tetradne ćelije), tada se odgovor može provjeriti običnim ravnalom izravnim mjerenjem duljine segmenta.

Da, rješenje je kratko, ali ima još par važne točkeŽelio bih pojasniti:

Prvo, u odgovoru postavljamo dimenziju: “jedinice”. Uvjet ne kaže ŠTO je to, milimetri, centimetri, metri ili kilometri. Stoga će opća formulacija biti matematički kompetentno rješenje: "jedinice" - skraćeno "jedinice".

Drugo, ponovimo školsko gradivo, koje je korisno ne samo za razmatrani problem:

obrati pozornost na važno tehnika – vađenje množitelja ispod korijena. Kao rezultat izračuna dobili smo rezultat, a dobar matematički stil uključuje vađenje faktora ispod korijena (ako je moguće). Proces detaljnije izgleda ovako: . Naravno, ostavljanje odgovora u obrascu neće biti pogreška - ali je svakako mana i težak argument za zadirkivanje od strane nastavnika.

Evo drugih uobičajenih slučajeva:

Često ispod korijena ispada dovoljno veliki broj, na primjer . Kako biti u takvim slučajevima? Na kalkulatoru provjeravamo da li je broj djeljiv sa 4:. Da, potpuno podijeliti, ovako: . Ili se možda broj opet može podijeliti sa 4? . Na ovaj način: . Posljednja znamenka broja je neparna, pa dijeljenje s 4 po treći put očito nije moguće. Pokušavam podijeliti s devet: . Kao rezultat:
Spreman.

Zaključak: ako ispod korijena dobijemo potpuno neizdvojiv broj, tada faktor pokušavamo izvaditi ispod korijena - na kalkulatoru provjeravamo da li je broj djeljiv sa: 4, 9, 16, 25, 36, 49, itd.

Tijekom rješavanja raznih zadataka često se pronalaze korijeni, uvijek pokušajte izvući čimbenike ispod korijena kako biste izbjegli niži rezultat i nepotrebne probleme s dovršavanjem rješenja prema primjedbi nastavnika.

Ponovimo kvadriranje korijena i druge potencije u isto vrijeme:

Pravila za radnje sa stupnjevima u općem obliku mogu se naći u školskom udžbeniku algebre, ali mislim da je sve ili gotovo sve već jasno iz navedenih primjera.

Zadatak za samostalno rješenje sa segmentom u prostoru:

Primjer 4

S obzirom na bodove i . Pronađite duljinu segmenta.

Rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Kako pronaći duljinu vektora?

Ako je zadan ravninski vektor, tada se njegova duljina izračunava po formuli.

Ako je zadan prostorni vektor, tada se njegova duljina izračunava formulom .