Konveksni lot i njegova svojstva. Definirajte konveksni skup

U kojem sve točke segmenta koje čine bilo koje dvije točke danog skupa također pripadaju danom skupu.

Definicije

Primjeri

• Konveksni podskupovi skupa $\backslash R$(Mnogo realni brojevi) su intervali od $\backslash R$.
• Primjeri konveksnih podskupova u dvodimenzionalnom euklidskom prostoru ( $\backslash R^2$) su pravilni poligoni.
• Primjeri konveksnih podskupova u trodimenzionalnom euklidskom prostoru ( $\backslash R^3$) su Arhimedova tijela i pravilni poliedri.
• Keppler-Poinsot tijela (pravilni zvjezdasti poliedri) primjeri su ne konveksni skupovi.

Svojstva

• Konveksni skup u topološkom linearnom prostoru je povezan i putno povezan, homotopski ekvivalentan točki.
• U smislu povezanosti, konveksni skup se može definirati na sljedeći način: skup je konveksan ako je njegovo sjecište s bilo kojom (realnom) linijom povezano.
• Neka $K$ je konveksan skup u linearnom prostoru. Zatim za bilo koje elemente $u\_1,\backslash ;u\_2,\backslash ;\backslash ltočkice,\backslash ;u\_r$ u vlasništvu $K$ a za sve nenegativne $\backslash lambda\_1,\backslash ;\backslash lambda\_2,\backslash ;\backslash ldots,\backslash ;\backslash lambda\_r$, tako da $\backslash lambda\_1+\backslash lambda\_2+\backslash ldots+\backslash lambda\_r=1$, vektor $w=\backslash sum\_(k=1)^r\backslash lambda\_k\; u\_k$

pripada $K$.

• Vektor $w$ naziva se konveksna kombinacija elemenata $u\_1,\backslash ;u\_2,\backslash ;\backslash ltočkice,\backslash ;u\_r$.

Varijacije i generalizacije

• Bez ikakvih promjena, definicija funkcionira za afine prostore na proizvoljnom proširenju polja realnih brojeva.

vidi također

Napišite recenziju na članak "Konveksni skup"

Književnost

• Polovinkin E. S., Balashov M. V. Elementi konveksne i jako konveksne analize. - M .: FIZMATLIT, 2004. - 416 str. - ISBN 5-9221-0499-3..
• Timorin V. A.. - M .: MTSNMO, 2002. - 16 str. - ISBN 5-94057-024-0..

Linkovi

Odlomak koji karakterizira Konveksni skup

A Natasha je ustala na prste i izašla iz sobe kao što to rade plesačice, ali nasmiješena onako kako se smiješe sretne 15-godišnjakinje. Upoznavši Sonyu u dnevnoj sobi, Rostov je pocrvenio. Nije znao kako s njom. Jučer su se poljubili u prvom trenutku radosti susreta, ali danas su osjetili da je to nemoguće; osjećao je da ga svi, i majka i sestre, upitno gledaju i očekuju od njega kako će se ponašati prema njoj. Poljubio joj je ruku i nazvao je ti - Sonya. No pogledi su im se, susrevši se, rekli jedno drugome “ti” i nježno se poljubili. Očima ga je zamolila za oprost što se u Natašinom veleposlanstvu usudila podsjetiti ga na njegovo obećanje i zahvalila mu na ljubavi. Očima joj je zahvalio na ponuđenoj slobodi i rekao da je, ovako ili onako, nikada neće prestati voljeti, jer je nemoguće ne voljeti je.
„Međutim, kako je čudno“, rekla je Vera, odabravši opći trenutak šutnje, „da su se Sonya i Nikolenka sad srele kao stranci. - Verina primjedba je bila pravedna, kao i sve njezine primjedbe; ali, kao i većina njezinih primjedbi, svima je postalo neugodno, a ne samo Sonya, Nikolai i Natasha, nego i stara grofica, koja se bojala te ljubavi svog sina prema Sonyi, koja bi ga mogla lišiti briljantne zabave, također je pocrvenjela. poput djevojke. Denisov se, na Rostovljevo iznenađenje, u novoj uniformi, namazanoj i namirisanoj, pojavio u dnevnoj sobi kicoš kakav je bio u bitkama, i tako ljubazan s damama i gospodom, što Rostov nije očekivao da će ga vidjeti.

Po povratku u Moskvu iz vojske, Nikolaj Rostov je primljen od strane svoje obitelji kao najbolji sin, junak i voljena Nikoluška; rodbina - kao drag, ugodan i poštovan mladić; poznanstva - kao zgodni husarski poručnik, pametna plesačica i jedan od najboljih mladoženja u Moskvi.
Rostovi su poznavali cijelu Moskvu; stari je grof ove godine imao dovoljno novaca, jer su sva imanja bila ponovno založena, pa je stoga i Nikoluška, pošto je dobio svoju kasaču i najmodernije hlače, posebne kakve nitko u Moskvi nije imao, i čizme, najmodernije, s šiljatim čarapama i malim srebrnim mamuzama, jako se zabavljao. Rostov, vraćajući se kući, doživio je ugodan osjećaj nakon određenog vremenskog razdoblja isprobavanja starih uvjeta života. Činilo mu se da je jako sazrio i odrastao. Očaj zbog ispita koji nije bio u skladu s Božjim zakonom, posuđivanje novca od Gavrile za taksi, tajni poljupci sa Sonjom, prisjećao se svega toga kao djetinjarije od koje je sada bio neizmjerno daleko. Sada je husarski poručnik u srebrnoj pelerini, s vojnikom Jurjem, koji sprema kasača za juriš, uz poznate lovce, starije, ugledne. Ima poznatu gospođu na bulevaru, kod koje odlazi navečer. Dirigirao je mazurkom na balu kod Arkharovih, razgovarao o ratu s feldmaršalom Kamenskim, posjetio engleski klub i bio na vama s jednim četrdesetogodišnjim pukovnikom s kojim ga je upoznao Denisov.
Njegova strast prema suverenu donekle je oslabila u Moskvi, jer ga za to vrijeme nije vidio. Ali on je često govorio o vladaru, o svojoj ljubavi prema njemu, dajući dojam da ipak nije sve ispričao, da u njegovu osjećaju prema suverenu ima još nešto što ne može svatko razumjeti; i cijelim srcem dijelio osjećaj obožavanja uobičajen u to vrijeme u Moskvi prema caru Aleksandru Pavloviču, koji je u to vrijeme u Moskvi dobio ime anđela u tijelu.
Tijekom ovog kratkog boravka Rostova u Moskvi, prije odlaska u vojsku, nije se zbližio, već se, naprotiv, razišao sa Sonyom. Bila je vrlo lijepa, slatka i očito strastveno zaljubljena u njega; ali bio je u onom razdoblju svoje mladosti, kada se čini da ima toliko toga za učiniti da nema vremena za to, a mladić se boji uključiti se - on cijeni svoju slobodu, koja treba za mnoge druge stvari. Kad je tijekom ovog novog boravka u Moskvi pomislio na Sonyu, rekao je u sebi: Eh! ima ih još mnogo, mnogi će od ovih biti i jesu tu, negdje, meni još nepoznati. Još imam vremena, kad hoću, da vodim ljubav, ali sada nema vremena. Osim toga, činilo mu se nešto ponižavajuće za njegovu hrabrost u ženskom društvu. Išao je na balove i sestrinstva, pretvarajući se da to čini protiv svoje volje. Trčanje, engleski klub, veselje s Denisovom, putovanje tamo - to je bila druga stvar: bilo je pristojno za mladog husara.
Početkom ožujka stari grof Ilja Andrejevič Rostov bio je zaokupljen priređivanjem večere u engleskom klubu za doček princa Bagrationa.
Grof u kućnom ogrtaču šetao je dvoranom, naređivao domaćici kluba i slavnom Feoktistu, glavnom kuharu. Engleski klub, o šparogama, svježim krastavcima, jagodama, teletu i ribi za večeru princa Bagrationa. Grof je od dana osnutka kluba bio njegov član i predstojnik. Njemu su iz kluba povjerili organizaciju proslave za Bagrationa, jer rijetko tko je znao prirediti feštu ovako veliko, gostoljubivo, pogotovo jer je rijetko tko znao i htio uložiti svoj novac ako je bio potreban za priređivanje fešte. . Kuharica i spremačica kluba, veselih lica, slušale su grofove naredbe, jer su znale da ni pod kim, kao ni pod njim, bolje profitira od večere koja košta nekoliko tisuća kuna.

Skup X naziva se konveksnim ako za bilo koje dvije njegove točke A,B ∈ X sve točke segmenta također pripadaju skupu X, odnosno ako za bilo koje dvije njegove točke A,B ∈ X i za bilo koju vrijednost α u točki M = αA + (1 − α)B također pripada skupu X: M ∈ X.

Neka su X1, ...Xn konveksni skupovi. Označimo Y =Xi - sjecište konveksnih skupova. Pokažimo da je Y konveksan skup. Da bismo to učinili, pokazujemo da za bilo koje točke A,B ∈ Y i za bilo koju vrijednost α u točki M = αA + (1 − α)B također pripada skupu Y: M ∈ Y . Budući da je Y sjecište konveksnih skupova X1, ...Xn, tada proizvoljno odabrano točke A,B pripadaju svakom od ovih skupova Xi, i = 1..n. Budući da je svaki od skupova Xi konveksan, po definiciji slijedi da za proizvoljno odabranu vrijednost α ∈ točka M = αA+(1−α)B pripada svakom od skupova (svi su konveksni i sadrže A,B) . Kako svi skupovi Xi sadrže točku M, tada

presjek tih skupova sadrži i točku M: M ∈ Y . Od posljednjeg uključivanja na snagu proizvoljnost A,B∈ Y i proizvoljnost parametra α ∈ implicira konveksnost skupa Y , što je i bilo potrebno pokazati.

95. Je li skup točaka koji zadovoljava uvjet konveksan? Obrazloži odgovor.

Da, očito je da ova jednakost definira linearnu poluravninu u R4.

Opravdajmo ovo definicijom:

A = (a1, a2, a3, a4), B= (b1, b2, b3, b4) ∈ X,

zadovoljava gornju nejednakost.

Smatrati proizvoljna točka M = αA + (1 − α)B, gdje je α ∈ proizvoljna vrijednost parametra. Tada je M(m1,m2,m3,m4) = αA + (1 − α)B

m1 = αa1 + (1 − αb1)

m2 = αa2 + (1 − αb2)

m3 = αa3 + (1 − αb3)

m4 = αa4 + (1 − αb4)

zadovoljivost zadane nejednakosti:

5 + 2m1 + 3m2 − m3 + 5m4 ≥ 0

5 + 2(αa1 + (1 − αb1)) + 3(αa2 + (1 − αb2)) − (αa3 + (1 − αb3)) + 5(αa4 + (1 − αb4)) ≥ 0

Predstavimo 5 = α5+(1−α)5, proširimo i grupiramo članove za ai i bi. Dobivamo:

α(5 + 2a1 + 3a2 − a3 + 5a4) + (1 − α)(5 + 2b1 + 3b2 − b3 + 5b4) ≥ 0

Budući da točke A, B leže u skupu X, njihove koordinate zadovoljavaju nejednakost

određivanje skupa. Dakle, oba člana su nenegativna zbog nenegativnosti

α i 1 − α. Stoga posljednja nejednakost vrijedi za bilo koji A, B i bilo koju vrijednost

parametar α ∈ . Po definiciji smo pokazali da je dati skup X

konveksan.

96. Je li skup točaka koji zadovoljava uvjet , konveksan? Obrazloži odgovor.

Da, očito je da ova jednakost definira linearnu hiperravninu u R4.

Opravdajmo ovo definicijom:

Razmotrimo bilo koje dvije točke u ovom prostoru

A = (a1, a2, a3, a4), B= (b1, b2, b3, b4) ∈ X

zadovoljavajući gornju jednakost.

Promotrimo proizvoljnu točku M = αA + (1 − α)B, gdje je α ∈ proizvoljna vrijednost parametra. Tada je M(m1,m2,m3,m4) = αA + (1 − α)B

m1 = αa1 + (1 − αb1)

m2 = αa2 + (1 − αb2)

m3 = αa3 + (1 − αb3)

m4 = αa4 + (1 − αb4)

Provjerimo za točku M(m1,m2,m3,m4) da pripada skupu X pomoću

izvedivost dana jednakost:

m1 + 2m2 − 3m3 + 4m4 = 55

(αa1 + (1 − αb1)) + 2(αa2 + (1 − αb2)) − 3(αa3 + (1 − αb3)) + 4(αa4 + (1 − αb4)) = 55

Proširimo zagrade i grupiramo pojmove za ai i bi. Dobivamo:

α(a1 + 2a2 − 3a3 + 4a4) + (1 − α)(b1 + 2b2 − 3b3 + 4b4) = 55

Kako točke A, B leže u skupu X, njihove koordinate zadovoljavaju jednakost,

definirajući skup, odnosno (a1 + 2a2 − 3a3 + 4a4) = 55 i (b1 + 2b2 − 3b3 + 4b4) = 55.

Zamjenom ovih jednakosti u posljednji izraz dobivamo:

α55 + (1 − α)55 = 55

Posljednja jednakost vrijedi za bilo koji A,B i bilo koju vrijednost parametra α ∈ . Po definiciji smo pokazali da je dati skup X konveksan.

97. Navedite primjere konveksnog skupa: a) koji ima kutnu točku; b) bez kutne točke. Može li neograničeni konveksni skup imati kutnu točku? Navedite primjer.

a) kvadrat ima 4 kutne točke

b) kružnica nema kutnih točaka

c) neograničen skup može imati kutne točke: ima jednu kutnu točku (0;0)

98. Definirajte konveksnu ljusku sustava točaka. Dopustiti biti konveksna ljuska točaka , , , . Pripadaju li točke skupu: , ? Obrazloži odgovor.

odnosno ispunjen je uvjet da se radi o konveksnoj linearnoj kombinaciji, što znači da je X dio konveksne ljuske. Pretpostavimo da je Y također uključen u konveksnu kombinaciju, tada sve točke segmenta moraju biti uključene u linearnu kombinaciju, ali se može vidjeti iz početnih točaka (sve su desno od prave x = -1) da se cijela konveksna kombinacija nalazi desno od pravca x = -1, a točka Y lijevo, što potvrđuje da niti cijeli segment niti točka Y ne pripadaju konveksnoj ovojnici.

konveksni skup- podskup euklidskog prostora koji sadrži segment koji povezuje bilo koje dvije točke tog skupa.

Definicija

Drugim riječima, skup se naziva konveksan ako:

To jest, ako je skup x zajedno s bilo koje dvije točke koje pripadaju ovom skupu, sadrži segment koji ih povezuje:

U prostoru će konveksni skupovi biti pravac, polupravac, segment, interval, skup s jednom točkom.

U prostoru, sam prostor, bilo koji od njegovih linearnih potprostora, lopta, segment, skup s jednom točkom bit će konveksan. Također, sljedeći skupovi će biti konveksni:

• hiperravnine H p? s normalnim str :

• poluprostori na koje hiperravnine dijele prostor:

Svi navedeni skupovi (osim metka) su posebni slučajevi konveksnog skupa poliedra.

Svojstva konveksnih skupova

• Sjecište konveksnih skupova je konveksno.
• Linearna kombinacija točaka konveksnog skupa je konveksna.
• Konveksni skup sadrži bilo koju konveksnu kombinaciju svojih točaka.
• bilo koja točka n-dimenzionalni euklidski prostor s konveksnom ljuskom skupa može se prikazati kao konveksna kombinacija najviše n+1 bod ovog skupa

Smatrati n je dimenzionalni euklidski prostor i neka je točka u ovom prostoru.

Razmotrite dvije točke i , koji pripadaju .Skup točaka , koji se može predstaviti kao

(u koordinatama se piše ovako:

segment spajanje točaka i . Same točke se nazivaju krajeve segmenta. U slučajevima n=2 i n\u003d 3 je segment u uobičajenom smislu riječi na ravnini ili u prostoru (vidi sliku 12). Primijetimo da za  =0 , i za  =1 , tj. uz  =0 i  =1 dobiju se krajevi segmenta.

Pustiti unutra

dano k bodova

. Točka

gdje se sve zove konveksna kombinacija bodova .

Neka postoji neka regija u prostoru (drugim riječima,

G postoji neki skup točaka

).

Definicija. Skup (regija) se zove konveksan, ako iz onoga što slijedi da je za   . Drugim riječima, G - konveksan skup ako, zajedno s bilo koje dvije svoje točke, sadrži segment koji povezuje te točke.

Na ovim slikama "a" i "b" su konveksni skupovi, a "c" nije konveksan skup jer ima takav par točaka da segment koji ih spaja ne pripada u potpunosti tom skupu.

Teorem 1. Neka je G konveksan skup. Tada svaka konveksna kombinacija točaka koje pripadaju ovom skupu također pripada ovom skupu.

Dokaz

Dokažimo teorem metodom matematička indukcija. Na k=2 teorem je točan, jer jednostavno prelazi na definiciju konveksnog skupa.

Neka teorem za neke bude istinit k. Uzmite točku i razmotrite konveksnu kombinaciju

gdje su svi

i .

Zamisliti

kao

Teorem je dokazan.

Teorem 2. Dopuštena domena problema linearno programiranje je konveksan skup.

Dokaz.

1. U standardnom obliku u matričnom zapisu dopušteno područje G je određen uvjetom

Oni. x pripada G i stoga je konveksan.

2. U kanonskom obliku domena G definirana je uvjetima

Neka i pripadaju G, tj.

.

oni. i stoga je G konveksan. Teorem je dokazan.

Dakle, dopustivo područje u problemu linearnog programiranja je konveksan skup. Po analogiji s dvodimenzionalnim odn 3D kućišta, za bilo koji n ovo područje se zove konveksan

poliedar n- dimenzionalni prostor

Teorem 3. Skup optimalnih planova za problem linearnog programiranja je konveksan (ako nije prazan).

Dokaz

Ako je rješenje problema linearnog programiranja jedinstveno, onda je ono po definiciji konveksno - točka se smatra konveksnim skupom. Neka su sada i dva optimalna plana problema linearnog programiranja.

oni. postoji i optimalan plan i zbog toga je skup optimalnih planova konveksan. Teorem je dokazan.

Teorem 4. Da bi problem linearnog programiranja imao rješenje potrebno je i dovoljno da ciljna funkcija na dopustiv skup bio omeđen odozgo (pri rješavanju problema za maksimum) ili odozdo (pri rješavanju problema za minimum).

Ovaj teorem dajemo bez dokaza.

Neka x, na, z- elementi n-dimenzionalni realni euklidski prostor Zvat ćemo ih i vektori ili točke prostora

Definicija . Linija koja spaja točke x i g, je skup točaka forme

Definicija . Skup točaka naziva se konveksni skup, ako je segment koji povezuje bilo koje dvije točke uključen u skup M, to je

Na primjer, konveksni skupovi su točka, segment, prostor, otvoreni i zatvoreni paralelopiped, otvorena i zatvorena lopta. Prazan set nije konveksan.

Teorema . Neprazno sjecište bilo kojeg broja konveksnih skupova je konveksan skup.

Dokaz . Neka su konveksni skupovi i točke x, g pripadaju svim tim skupovima istovremeno, stoga točka, po definiciji konveksnog skupa, pripada svim skupovima istovremeno. Dakle, za bilo koje dvije točke, točke pripadaju skupu M. Prema tome, po definiciji M je konveksan skup.

Definicija . Hiperplan u naziva se skup točaka

gdje a-n-dimenzionalni vektor vodiča, zagrade označavaju skalarni proizvod pravi broj S naziva slobodnim članom.

Opaske . 1) Hiperravnina je konveksan skup. Doista, neka Tada za bilo koju točku pripadaju G, jer

2) Vektor smjera a ortogonalno na hiperravninu, odnosno za bilo koji vektor z = x – y povezujući dvije proizvoljne nepoklapajuće točke hiperravnine ( a, z) = 0. Doista,

(a, z) = (a, x) – (a, g) = c – c = 0.

Definicija . Skup točaka gledišta

nazvao poluprostor u

Smjer nejednakosti u definiciji može se uzeti i u suprotnom smjeru.

Komentar . Poluprostor je konveksan skup. Doista, neka Tada za bilo koju točku pripadaju S, jer

Definicija . Neprazno raskrižje konačan broj poluprostori se nazivaju konveksni poliedar.

Upotreba izraza konveksni poliedar objašnjava se činjenicom da je poluprostor konveksan skup, a neprazno sjecište konačnog broja konveksnih skupova je konveksan skup.

Definicija . Puno ljubaznih

nazvao pozitivni ortant.

Pozitivan ortant je konveksni poliedar. Doista, nejednakost se može tumačiti kao sustav nejednakosti

Definicija . Neka konveksni poliedar G zadan sustavom nejednakosti

gdje su vektori smjera, k > n. Ako se točka pretvara u jednakosti barem n nejednakosti, a rang pripadnog sustava vektora jednak je n, onda točka na nazvao kutni(ili krajnja) točka poliedra.

Imajte na umu da broj kutnih točaka konveksni poliedar možda (ovisno o n i k) je vrlo velik. Da, u n = 10, k= 20 ovaj broj se može usporediti s 10 11 .

Komentar . Budući da je jednakost oblika

može se zamijeniti sustavom dviju nejednakosti

tada ako se neke od nejednakosti (ili sve nejednakosti) u definiciji zamijene odgovarajućim jednakostima, tada rezultirajući sustav uvjeta također definira konveksni poliedar.

Prisjetimo se definicije često korištenog konveksnog skupa.

Definicija . ε – okolina točke je otvorena lopta

Očito je ε, okolina točke, konveksan skup.

Definicija . Točka x nazvao granična točka skup ako ε -okolina sadrži točke koje pripadaju skupu x i točaka koje ne pripadaju skupu x.

Definicija . Točka x nazvao unutarnja točka skup ako se ustanovi da ε -susjedstvo leži u cijelosti unutar skupa x.

Komentar . Granična točka ne mora pripadati skupu x. Na primjer, za set Definicija. Mnogo x nazvao ograničeno ako mu je promjer konačan broj.

Definicija . konus je skup takav da slijedi da .

Komentar . Iz definicije slijedi da stožac sadrži nultočku x= 0. Stožac je neograničen skup (osim u degeneriranom slučaju kada stožac sadrži samo jednu točku x= 0). Stožac može biti zatvoren i nezatvoren.

Definicija . Kompaktni naziva se zatvorenim ograničenim skupom.

Komentar . Zatvoreni ograničeni skupovi su od posebnog interesa u vezi s Weierstrassovim teoremom, koji kaže da kontinuirana funkcija na zatvorenom ograničen skup(kompaktno) dostiže svoje maksimalne i minimalne vrijednosti.

Prilikom istraživanja ekonomske pojave matematičke metode takvo svojstvo mnogih skupova i funkcija kao što je konveksnost pokazalo se vrlo značajnim. Priroda ponašanja mnogih gospodarskih subjekata posljedica je činjenice da određene ovisnosti, koji opisuju ove objekte, su konveksni.

Postojanje ili jedinstvenost rješenja ekonomskih problema često se povezuje s konveksnošću funkcija i skupova: mnogi računalni algoritmi temelje se na ovom svojstvu.

Valjanost mnogih iskaza koji se tiču ​​konveksnih skupova i funkcija sasvim je jasna, gotovo očita. Pritom je njihovo dokazivanje često vrlo teško. Stoga će ovdje biti navedene neke osnovne činjenice vezane uz konveksnost, bez dokaza, računajući na njihovu intuitivnu uvjerljivost.

Konveksni skupovi u ravnini.

Bilo koje geometrijski lik na ravnini se može smatrati skupom točaka koje pripadaju ovoj slici. Neki skupovi (primjerice krug, pravokutnik, traka između paralelnih pravaca) sadrže i unutarnje i granične točke; drugi (na primjer, isječak, krug) sastoje se samo od graničnih točaka.

Skup točaka u ravnini naziva se konveksnim ako ima sljedeće svojstvo: segment linije koji povezuje bilo koje dvije točke ovog skupa u cijelosti je sadržan u ovom skupu.

Primjeri konveksnih skupova su: trokut, segment, poluravnina (dio ravnine koji leži s jedne strane pravca), cijela ravnina.

Skup koji se sastoji od jedne točke i prazan skup koji ne sadrži nijednu točku, prema konvenciji, također se smatraju konveksnim. U svakom slučaju, u tim skupovima nije moguće nacrtati isječak koji povezuje neke točke tih skupova, a ne pripada u cijelosti tim skupovima - općenito je nemoguće odabrati dvije točke u njima. Stoga njihovo uključivanje u broj konveksnih skupova neće dovesti do kontradikcije s definicijom, a to je dovoljno za matematičko zaključivanje.

Raskrižje, tj. zajednički dio dva konveksna skupa uvijek su konveksna: uzmemo li bilo koje dvije sjecišne točke (a one su zajedničke, odnosno pripadaju svakom od skupova koji se sijeku) i povežemo ih segmentom, lako vidimo da su sve točke segmenta zajedničke na oba skupa, pa kako je svaki od njih konveksan. Sjecište bilo kojeg broja konveksnih skupova također će biti konveksno.

Važno svojstvo konveksnih skupova je njihova odvojivost: ako dva konveksna skupa nemaju zajedničkih unutarnje točke, tada se ravnina može presjeći po ravnoj liniji na način da će jedan od skupova ležati u cijelosti u jednoj poluravnini, a drugi u drugoj (točke oba skupa mogu se nalaziti na liniji presjeka). Ravna linija koja ih razdvaja u nekim se slučajevima pokaže jedinom mogućom, u drugima nije.

Samu graničnu točku bilo kojeg konveksnog skupa možemo smatrati konveksnim skupom koji nema zajedničkih unutarnjih točaka s izvornim skupom, stoga se od njega može odvojiti nekom ravnom linijom. Pravac koji odvaja njegovu graničnu točku od konveksnog skupa naziva se oslonac tog skupa u danoj točki. Referentne linije u nekim točkama konture mogu biti jedinstvene, u drugima - ne jedinstvene.

Predstavimo sustav u ravnini Kartezijeve koordinate x, y. Sada imamo priliku razmatrati različite figure kao skupove takvih točaka čije koordinate zadovoljavaju određene jednadžbe ili nejednakosti (ako koordinate točke zadovoljavaju bilo koji uvjet, kratko ćemo reći da sama točka zadovoljava taj uvjet).