Kako pronaći derivaciju funkcije u stupnju. Derivat logaritamske funkcije

Dokaz i izvođenje formula za derivaciju eksponencijala (e na stepen x) i eksponencijalne funkcije (a na stepen x). Primjeri izračunavanja izvedenica od e^2x, e^3x i e^nx. Formule za derivacije višeg reda.

Derivat eksponenta jednak je samom eksponentu (derivacija e na stepen x jednaka je e na stepen x):
(1) (e x )′ = e x.

Derivat eksponencijalne funkcije s bazom stupnja a jednak je samoj funkciji, pomnožen prirodnim logaritmom a:
(2) .

Derivacija formule za derivaciju eksponenta, e na stepen x

Eksponent je eksponencijalna funkcija čija je baza eksponenta jednaka broju e, što je sljedeća granica:
.
Ovdje to može biti prirodan ili realan broj. Zatim ćemo izvesti formulu (1) za derivaciju eksponenta.

Derivacija formule za derivaciju eksponenta

Razmotrimo eksponent, e na stepen x :
y = e x .
Ova funkcija je definirana za sve. Nađimo njegovu derivaciju s obzirom na x . Po definiciji, derivacija je sljedeća granica:
(3) .

Transformirajmo ovaj izraz da ga svedemo na poznata matematička svojstva i pravila. Za to su nam potrebne sljedeće činjenice:
ALI) Svojstvo eksponenta:
(4) ;
B) Svojstvo logaritma:
(5) ;
NA) Kontinuitet logaritma i svojstvo granica za kontinuiranu funkciju:
(6) .
Ovdje je neka funkcija koja ima granicu i ta granica je pozitivna.
G) Značenje druge divne granice:
(7) .

Ove činjenice primjenjujemo do naše granice (3). Koristimo svojstvo (4):
;
.

Napravimo zamjenu. Zatim ; .
Zbog kontinuiteta eksponenta,
.
Stoga, na , . Kao rezultat, dobivamo:
.

Napravimo zamjenu. Zatim . Na , . a mi imamo:
.

Primjenjujemo svojstvo logaritma (5):
. Zatim
.

Primijenimo svojstvo (6). Budući da postoji pozitivna granica i logaritam je kontinuiran, tada:
.
Ovdje smo također koristili drugu izvanrednu granicu (7). Zatim
.

Tako smo dobili formulu (1) za derivaciju eksponenta.

Derivacija formule za derivaciju eksponencijalne funkcije

Sada ćemo izvesti formulu (2) za derivaciju eksponencijalne funkcije s bazom stupnja a. Vjerujemo da i . Zatim eksponencijalna funkcija
(8)
Definirano za svakoga.

Transformirajmo formulu (8). Za to koristimo svojstva eksponencijalne funkcije i logaritam.
;
.
Dakle, formulu (8) smo transformirali u sljedeći oblik:
.

Izvodnice višeg reda od e na stepen x

Sada pronađimo derivate viših redova. Pogledajmo prvo eksponent:
(14) .
(1) .

Vidimo da je derivacija funkcije (14) jednaka samoj funkciji (14). Diferencirajući (1) dobivamo derivacije drugog i trećeg reda:
;
.

Ovo pokazuje da je derivacija n-tog reda također jednaka izvornoj funkciji:
.

Izvodi višeg reda eksponencijalne funkcije

Sada razmotrite eksponencijalnu funkciju s bazom stupnja a:
.
Pronašli smo njegovu izvedenicu prvog reda:
(15) .

Diferencirajući (15) dobivamo derivacije drugog i trećeg reda:
;
.

Vidimo da svaka diferencijacija dovodi do množenja izvorne funkcije za . Dakle, n-ti izvod ima sljedeći oblik:
.

Definicija eksponencijalne funkcije. Izvođenje formule za izračun njezine derivacije. Detaljno su analizirani primjeri izračunavanja derivacija eksponencijalnih funkcija.

eksponencijalna funkcija je funkcija koja ima oblik funkcije snage
y = u v ,
čija su baza u i eksponent v neke funkcije varijable x:
u = u (x); v=v (x).
Ova funkcija se također naziva eksponencijalna snaga ili .

Imajte na umu da se eksponencijalna funkcija može predstaviti u eksponencijalnom obliku:
.
Stoga se i zove složena eksponencijalna funkcija.

Proračun pomoću logaritamskog izvoda

Nađi derivaciju eksponencijalne funkcije
(2) ,
gdje su i funkcije varijable .
Da bismo to učinili, uzimamo logaritam jednadžbe (2), koristeći svojstvo logaritma:
.
Diferenciraj s obzirom na x:
(3) .
Prijavite se pravila za razlikovanje složene funkcije i radi:
;
.

Zamjena u (3):
.
Odavde
.

Dakle, pronašli smo derivaciju eksponencijalne funkcije:
(1) .
Ako je eksponent konstantan, onda . Tada je derivacija jednaka derivaciji složene funkcije snage:
.
Ako je baza stupnja konstantna, tada . Tada je derivacija jednaka derivaciji složene eksponencijalne funkcije:
.
Kada su i su funkcije od x, tada je derivacija eksponencijalne funkcije jednaka zbroju derivacija složene snage i eksponencijalne funkcije.

Izračunavanje derivacije redukcijom na složenu eksponencijalnu funkciju

Sada nalazimo derivaciju eksponencijalne funkcije
(2) ,
predstavljajući ga kao složenu eksponencijalnu funkciju:
(4) .

Razlikujemo proizvod:
.
Primjenjujemo pravilo za pronalaženje derivacije složene funkcije:

.
I opet smo dobili formulu (1).

Primjer 1

Pronađite derivaciju sljedeće funkcije:
.

Odluka

Računamo pomoću logaritamskog izvoda. Uzimamo logaritam izvorne funkcije:
(P1.1) .

Iz tablice izvedenica nalazimo:
;
.
Prema formuli za derivaciju proizvoda imamo:
.
Razlikujemo (A1.1):
.
Ukoliko
,
zatim
.

Odgovor

Primjer 2

Pronađite derivaciju funkcije
.

Odluka

Uzimamo logaritam izvorne funkcije:
(P2.1) .

Operacija pronalaženja derivacije naziva se diferencijacija.

Kao rezultat rješavanja problema pronalaženja derivacija najjednostavnijih (i ne baš jednostavnih) funkcija definiranjem derivacije kao granice omjera prirasta i prirasta argumenta, pojavila se tablica derivacija i točno definirana pravila diferencijacije. . Isaac Newton (1643.-1727.) i Gottfried Wilhelm Leibniz (1646.-1716.) prvi su radili na polju pronalaženja izvedenica.

Stoga, u naše vrijeme, da bismo pronašli derivaciju bilo koje funkcije, nije potrebno izračunati gore spomenutu granicu omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta, već je potrebno samo koristiti tablicu izvedenica i pravila diferencijacije. Sljedeći algoritam je prikladan za pronalaženje derivacije.

Za pronalaženje izvedenice, potreban vam je izraz ispod znaka poteza razbiti jednostavne funkcije i odrediti koje radnje (produkt, zbroj, količnik) ove funkcije su povezane. Nadalje, derivacije elementarnih funkcija nalazimo u tablici derivacija, a formule za derivacije proizvoda, zbroja i kvocijenta - u pravilima diferencijacije. Tablica derivacija i pravila diferencijacije dani su nakon prva dva primjera.

Primjer 1 Pronađite derivaciju funkcije

Odluka. Iz pravila diferencijacije doznajemo da je derivacija zbroja funkcija zbroj derivacija funkcija, t.j.

Iz tablice derivacija doznajemo da je derivacija "X" jednaka jedan, a derivacija sinusa kosinus. Zamjenjujemo ove vrijednosti u zbroj derivacija i nalazimo derivaciju koju zahtijeva uvjet problema:

Primjer 2 Pronađite derivaciju funkcije

Odluka. Diferencirati kao derivaciju sume, u kojoj je drugi član s konstantnim faktorom, može se izvaditi iz predznaka derivacije:

Ako još uvijek postoje pitanja o tome odakle nešto dolazi, ona, u pravilu, postaju jasni nakon čitanja tablice izvedenica i najjednostavnijih pravila diferencijacije. Idemo odmah k njima.

Tablica derivacija jednostavnih funkcija

1. Derivat konstante (broja). Bilo koji broj (1, 2, 5, 200...) koji se nalazi u izrazu funkcije. Uvijek nula. Ovo je vrlo važno zapamtiti, jer je to vrlo često potrebno
2. Derivat nezavisne varijable. Najčešće "x". Uvijek jednak jedan. Ovo je također važno zapamtiti
3. Derivat stupnja. Kada rješavate probleme, morate pretvoriti nekvadratne korijene u stepen.
4. Derivat varijable na stepen -1
5. Derivat kvadratnog korijena
6. Sinusni derivat
7. Kosinusni derivat
8. Tangentna derivacija
9. Derivat kotangensa
10. Derivat arcsinusa
11. Derivat arc kosinusa
12. Derivat tangente luka
13. Derivat inverzne tangente
14. Derivat prirodnog logaritma
15. Derivat logaritamske funkcije
16. Derivat eksponenta
17. Derivat eksponencijalne funkcije

Pravila diferencijacije

1. Derivat zbroja ili razlike
2. Derivat proizvoda
2a. Derivat izraza pomnožen konstantnim faktorom
3. Derivat kvocijenta
4. Derivat kompleksne funkcije

Pravilo 1Ako funkcije

su diferencibilne u nekoj točki , zatim u istoj točki funkcije

i

oni. derivacija algebarskog zbroja funkcija jednaka je algebarskom zbroju derivacija tih funkcija.

Posljedica. Ako se dvije diferencibilne funkcije razlikuju za konstantu, onda su njihovi derivati, tj.

Pravilo 2Ako funkcije

su diferencibilni u nekoj točki , tada je njihov proizvod također diferencibilan u istoj točki

i

oni. derivacija umnoška dviju funkcija jednaka je zbroju proizvoda svake od tih funkcija i derivacije druge.

Posljedica 1. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka derivacije:

Posljedica 2. Derivat umnoška nekoliko diferencibilnih funkcija jednak je zbroju umnožaka izvoda svakog od faktora i svih ostalih.

Na primjer, za tri množitelja:

Pravilo 3Ako funkcije

mogu se razlikovati u nekom trenutku i , onda je u ovom trenutku i njihov kvocijent diferencibilan.u/v , i

oni. derivacija kvocijenta dviju funkcija jednaka je razlomku čiji je brojnik razlika umnožaka nazivnika i derivacije brojnika i brojnika i derivacije nazivnika, a nazivnik je kvadrat prijašnjeg brojnika .

Gdje pogledati na drugim stranicama

Prilikom pronalaženja derivacije umnoška i kvocijenta u stvarnim zadacima uvijek je potrebno primijeniti nekoliko pravila diferenciranja odjednom, pa je više primjera o tim derivacijama u članku."Derivat proizvoda i kvocijenta".

Komentar. Ne biste trebali brkati konstantu (odnosno broj) kao pojam u zbroju i kao konstantni faktor! U slučaju nekog člana njegova derivacija je jednaka nuli, a kod konstantnog faktora uzeta je iz predznaka derivacija. To je tipična pogreška koja se javlja u početnoj fazi proučavanja izvedenica, ali kako prosječan student riješi nekoliko jedno-dvokomponentnih primjera, prosječni student više ne čini tu grešku.

A ako, kada razlikujete proizvod ili količnik, imate pojam u"v, pri čemu u- broj, na primjer, 2 ili 5, odnosno konstanta, tada će derivacija ovog broja biti jednaka nuli i, prema tome, cijeli član će biti jednak nuli (takav je slučaj analiziran u primjeru 10) .

Druga česta pogreška je mehaničko rješenje derivacije složene funkcije kao derivacije jednostavne funkcije. Tako derivacija složene funkcije posvećen zasebnom članku. Ali prvo ćemo naučiti pronaći izvode jednostavnih funkcija.

Usput, ne možete bez transformacija izraza. Da biste to učinili, možda ćete morati otvoriti priručnike za novi Windows Djelovanja s moćima i korijenima i Radnje s razlomcima .

Ako tražite rješenja za derivacije s moćima i korijenima, odnosno kada funkcija izgleda , zatim slijedi lekcija " Derivat zbroja razlomaka s potencijama i korijenima".

Ako imate zadatak poput , onda ste u lekciji "Izvodi jednostavnih trigonometrijskih funkcija".

Korak po korak primjeri - kako pronaći izvedenicu

Primjer 3 Pronađite derivaciju funkcije

Odluka. Određujemo dijelove izraza funkcije: cijeli izraz predstavlja umnožak, a njegovi faktori su zbrojevi, u drugom od kojih jedan od pojmova sadrži konstantni faktor. Primjenjujemo pravilo diferencijacije proizvoda: derivacija umnoška dviju funkcija jednaka je zbroju proizvoda svake od ovih funkcija i derivacije druge:

Zatim primjenjujemo pravilo diferencijacije zbroja: derivacija algebarskog zbroja funkcija jednaka je algebarskom zbroju derivacija tih funkcija. U našem slučaju, u svakom zbroju, drugi član sa predznakom minus. U svakom zbroju vidimo i nezavisnu varijablu, čiji je izvod jednak jedan, i konstantu (broj), čiji je izvod jednak nuli. Dakle, "x" se pretvara u jedan, a minus 5 - u nulu. U drugom izrazu, "x" se množi s 2, tako da množimo dva s istom jedinicom kao derivacija "x". Dobivamo sljedeće vrijednosti izvedenica:

Pronađene derivacije zamjenjujemo u zbroj proizvoda i dobivamo derivaciju cijele funkcije koju zahtijeva uvjet zadatka:

Primjer 4 Pronađite derivaciju funkcije

Odluka. Od nas se traži da pronađemo derivaciju kvocijenta. Primjenjujemo formulu za diferenciranje kvocijenta: derivacija kvocijenta dviju funkcija jednaka je razlomku čiji je brojnik razlika umnožaka nazivnika i derivacije brojnika i brojnika i derivacije nazivnika, a nazivnik je kvadrat prijašnjeg brojnika. dobivamo:

Već smo pronašli derivaciju faktora u brojniku u primjeru 2. Ne zaboravimo također da je proizvod, koji je drugi faktor u brojniku u trenutnom primjeru, uzet sa predznakom minus:

Ako tražite rješenja za takve probleme u kojima trebate pronaći derivaciju funkcije, gdje postoji neprekidna gomila korijena i stupnjeva, kao što je npr. onda dobro došli u razred "Izvod zbroja razlomaka s potencijama i korijenima" .

Ako trebate saznati više o derivacijama sinusa, kosinusa, tangenta i drugih trigonometrijskih funkcija, odnosno kada funkcija izgleda kao , onda imate lekciju "Derivati ​​jednostavnih trigonometrijskih funkcija" .

Primjer 5 Pronađite derivaciju funkcije

Odluka. U ovoj funkciji vidimo umnožak čiji je jedan od faktora kvadratni korijen nezavisne varijable, s čijom smo se derivacijom upoznali u tablici derivacija. Prema pravilu diferencijacije proizvoda i tabličnoj vrijednosti derivacije kvadratnog korijena, dobivamo:

Primjer 6 Pronađite derivaciju funkcije

Odluka. U ovoj funkciji vidimo kvocijent čija je dividenda kvadratni korijen nezavisne varijable. Prema pravilu diferencijacije kvocijenta, koje smo ponovili i primijenili u primjeru 4, i tabličnoj vrijednosti derivacije kvadratnog korijena, dobivamo:

Da biste se riješili razlomka u brojniku, pomnožite brojnik i nazivnik s .

Na kojoj smo analizirali najjednostavnije derivacije, a također se upoznali s pravilima diferencijacije i nekim tehnikama pronalaženja derivacija. Stoga, ako niste baš dobri s izvedenicama funkcija ili neke točke ovog članka nisu sasvim jasne, onda prvo pročitajte gornju lekciju. Uključite se u ozbiljno raspoloženje – gradivo nije lako, ali ću ga ipak pokušati predstaviti jednostavno i jasno.

U praksi se s derivacijom složene funkcije morate suočiti vrlo često, rekao bih čak i gotovo uvijek, kada dobijete zadatke za pronalaženje izvodnica.

U tablici gledamo pravilo (br. 5) za razlikovanje složene funkcije:

Razumijemo. Prije svega, pogledajmo notaciju. Ovdje imamo dvije funkcije - i , a funkcija je, slikovito rečeno, ugniježđena u funkciju . Funkcija ove vrste (kada je jedna funkcija ugniježđena unutar druge) naziva se složena funkcija.

Pozvat ću funkciju vanjska funkcija, i funkcija – unutarnja (ili ugniježđena) funkcija.

! Ove definicije nisu teorijske i ne bi se trebale pojaviti u konačnom dizajnu zadataka. Neformalne izraze "vanjska funkcija", "unutarnja" funkcija koristim samo kako bih vam olakšao razumijevanje gradiva.

Da biste razjasnili situaciju, razmotrite sljedeće:

Primjer 1

Pronađite derivaciju funkcije

Pod sinusom nemamo samo slovo "x", već cijeli izraz, tako da pronalaženje izvedenice odmah iz tablice neće raditi. Primjećujemo i da je ovdje nemoguće primijeniti prva četiri pravila, čini se da postoji razlika, ali činjenica je da je nemoguće “rastrgnuti” sinus:

U ovom primjeru, već iz mojih objašnjenja, intuitivno je jasno da je funkcija složena funkcija, a polinom je unutarnja funkcija (embedding) i vanjska funkcija.

Prvi korak, koji se mora izvesti pri pronalaženju derivacije složene funkcije je to razumjeti koja je funkcija unutarnja, a koja vanjska.

U slučaju jednostavnih primjera, čini se jasnim da je polinom ugniježđen ispod sinusa. Ali što ako nije očito? Kako točno odrediti koja je funkcija vanjska, a koja unutarnja? Da biste to učinili, predlažem korištenje sljedeće tehnike, koja se može provesti mentalno ili na nacrtu.

Zamislimo da kalkulatorom trebamo izračunati vrijednost izraza (umjesto jedan može biti bilo koji broj).

Što prvo izračunamo? Prvenstveno morat ćete izvesti sljedeću radnju: , tako da će polinom biti interna funkcija:

Drugo morat ćete pronaći, pa će sinus - biti vanjska funkcija:

Nakon što smo RAZUMIJETI s unutarnjim i vanjskim funkcijama, vrijeme je za primjenu pravila diferencijacije složenih funkcija .

Počinjemo odlučivati. Iz lekcije Kako pronaći izvedenicu? sjećamo se da dizajn rješenja bilo koje izvedenice uvijek počinje ovako - stavljamo izraz u zagrade i stavljamo crtu u gornji desni:

Isprva nalazimo derivaciju vanjske funkcije (sinus), pogledamo tablicu derivacija elementarnih funkcija i uočimo da . Sve tablične formule su primjenjive čak i ako je "x" zamijenjen složenim izrazom, u ovom slučaju:

Imajte na umu da je unutarnja funkcija nije se promijenilo, ne diramo ga.

Pa, to je sasvim očito

Rezultat primjene formule čisto izgleda ovako:

Konstantni faktor se obično stavlja na početak izraza:

Ako dođe do nesporazuma, odluku zapišite na papir i ponovno pročitajte objašnjenja.

Primjer 2

Pronađite derivaciju funkcije

Primjer 3

Pronađite derivaciju funkcije

Kao i uvijek, pišemo:

Shvatimo gdje imamo vanjsku funkciju, a gdje unutarnju. Da bismo to učinili, pokušavamo (mentalno ili na nacrtu) izračunati vrijednost izraza za . Što prvo treba učiniti? Prije svega, morate izračunati koliko je baza jednaka:, što znači da je polinom interna funkcija:

I tek tada se izvodi eksponencijalizacija, dakle, funkcija snage je vanjska funkcija:

Prema formuli , prvo morate pronaći derivaciju vanjske funkcije, u ovom slučaju stupanj. Tražimo željenu formulu u tablici:. Ponavljamo opet: bilo koja tablična formula vrijedi ne samo za "x", već i za složeni izraz. Dakle, rezultat primjene pravila diferencijacije složene funkcije Sljedeći:

Ponovno naglašavam da kada uzmemo derivaciju vanjske funkcije, unutarnja funkcija se ne mijenja:

Sada ostaje pronaći vrlo jednostavnu derivaciju unutarnje funkcije i malo "pročešljati" rezultat:

Primjer 4

Pronađite derivaciju funkcije

Ovo je primjer za samostalno rješavanje (odgovor na kraju lekcije).

Za konsolidaciju razumijevanja derivacije složene funkcije dat ću primjer bez komentara, pokušajte sami shvatiti, razlog, gdje je vanjska, a gdje unutarnja funkcija, zašto se zadaci rješavaju na taj način?

Primjer 5

a) Pronađite derivaciju funkcije

b) Pronađite derivaciju funkcije

Primjer 6

Pronađite derivaciju funkcije

Ovdje imamo korijen, a da bismo ga razlikovali, on mora biti predstavljen kao stupanj. Stoga prvo dovodimo funkciju u odgovarajući oblik za diferencijaciju:

Analizirajući funkciju dolazimo do zaključka da je zbroj tri člana unutarnja funkcija, a eksponencijacija vanjska funkcija. Primjenjujemo pravilo diferencijacije složene funkcije :

Stupanj je opet predstavljen kao radikal (korijen), a za derivaciju interne funkcije primjenjujemo jednostavno pravilo za diferenciranje zbroja:

Spreman. Također možete dovesti izraz do zajedničkog nazivnika u zagradama i sve napisati kao jedan razlomak. Lijepo je, naravno, ali kada se dobiju glomazne duge izvedenice, bolje je to ne činiti (lako se zbuniti, napraviti nepotrebnu grešku, a učitelju će biti nezgodno provjeravati).

Primjer 7

Pronađite derivaciju funkcije

Ovo je primjer za samostalno rješavanje (odgovor na kraju lekcije).

Zanimljivo je primijetiti da se ponekad, umjesto pravila za diferenciranje složene funkcije, može koristiti pravilo za razlikovanje kvocijenta , ali takvo rješenje će izgledati kao izopačenje neobično. Evo tipičnog primjera:

Primjer 8

Pronađite derivaciju funkcije

Ovdje možete koristiti pravilo diferencijacije kvocijenta , ali je mnogo isplativije pronaći derivaciju kroz pravilo diferencijacije složene funkcije:

Pripremamo funkciju za diferencijaciju - vadimo znak minus iz derivacije i dižemo kosinus na brojnik:

Kosinus je unutarnja funkcija, eksponencijacija je vanjska funkcija.
Koristimo se našim pravilom :

Pronalazimo derivaciju unutarnje funkcije, vraćamo kosinus na dolje:

Spreman. U razmatranom primjeru važno je ne zabuniti se u znakovima. Usput, pokušaj to riješiti pravilom , odgovori se moraju podudarati.

Primjer 9

Pronađite derivaciju funkcije

Ovo je primjer za samostalno rješavanje (odgovor na kraju lekcije).

Do sada smo razmatrali slučajeve kada smo imali samo jedno ugniježđenje u složenoj funkciji. U praktičnim zadacima često možete pronaći izvedenice, gdje se, poput lutki za gniježđenje, jedna u drugoj, ugniježđeno 3 ili čak 4-5 funkcija odjednom.

Primjer 10

Pronađite derivaciju funkcije

Razumijemo priloge ove funkcije. Pokušavamo procijeniti izraz pomoću eksperimentalne vrijednosti. Kako bismo računali na kalkulator?

Prvo morate pronaći, što znači da je arcsin najdublje gniježđenje:

Ovaj arcsin jedinstva tada treba kvadrirati:

I na kraju, dižemo sedam na potenciju:

To jest, u ovom primjeru imamo tri različite funkcije i dva ugniježđenja, dok je najnutarnja funkcija arcsinus, a najudaljenija funkcija eksponencijalna funkcija.

Počinjemo odlučivati

Prema pravilu prvo trebate uzeti derivaciju vanjske funkcije. Gledamo tablicu derivacija i nalazimo derivaciju eksponencijalne funkcije: Jedina razlika je u tome što umjesto "x" imamo složen izraz, što ne negira valjanost ove formule. Dakle, rezultat primjene pravila diferencijacije složene funkcije Sljedeći.

Derivacija formule za izvod funkcije stepena (x na stepen a). Razmatraju se derivati ​​korijena iz x. Formula za derivaciju funkcije snage višeg reda. Primjeri izračunavanja izvedenica.

Derivat od x na stepen a je puta x na stepen minus jedan:
(1) .

Derivat n-tog korijena od x na m-tu potenciju je:
(2) .

Derivacija formule za izvod funkcije stepena

Slučaj x > 0

Razmotrimo funkciju stepena varijable x s eksponentom a:
(3) .
Ovdje je a proizvoljan realan broj. Razmotrimo prvo slučaj.

Da bismo pronašli derivaciju funkcije (3), koristimo svojstva funkcije snage i transformiramo je u sljedeći oblik:
.

Sada pronalazimo derivaciju primjenom:
;
.
ovdje .

Formula (1) je dokazana.

Derivacija formule za derivaciju korijena stupnja n od x na stupanj m

Sada razmotrite funkciju koja je korijen sljedećeg oblika:
(4) .

Da bismo pronašli derivaciju, pretvaramo korijen u funkciju stepena:
.
Uspoređujući s formulom (3), vidimo da
.
Zatim
.

Formulom (1) nalazimo derivaciju:
(1) ;
;
(2) .

U praksi nema potrebe za pamćenjem formule (2). Mnogo je prikladnije prvo pretvoriti korijene u funkcije stepena, a zatim pronaći njihove derivacije pomoću formule (1) (vidi primjere na kraju stranice).

Slučaj x = 0

Ako je , tada je eksponencijalna funkcija također definirana za vrijednost varijable x = 0 . Nađimo derivaciju funkcije (3) za x = 0 . Da bismo to učinili, koristimo definiciju izvedenice:
.

Zamjena x = 0 :
.
U ovom slučaju, pod derivacijom podrazumijevamo desnu granicu za koju .

Tako smo pronašli:
.
Iz ovoga se vidi da je na , .
Na , .
Na , .
Ovaj rezultat se također dobiva formulom (1):
(1) .
Stoga formula (1) vrijedi i za x = 0 .

slučaj x< 0

Razmotrimo ponovo funkciju (3):
(3) .
Za neke vrijednosti konstante a definira se i za negativne vrijednosti varijable x. Naime, neka je a racionalan broj. Tada se može predstaviti kao nesmanjivi razlomak:
,
gdje su m i n cijeli brojevi bez zajedničkog djelitelja.

Ako je n neparan, tada je eksponencijalna funkcija također definirana za negativne vrijednosti varijable x. Na primjer, za n = 3 i m = 1 imamo kubni korijen od x:
.
Također je definiran za negativne vrijednosti x.

Nađimo derivaciju funkcije snage (3) za i za racionalne vrijednosti konstante a za koju je definirana. Da bismo to učinili, predstavljamo x u sljedećem obliku:
.
onda ,
.
Izvod pronalazimo tako da konstantu izvlačimo iz predznaka derivacije i primjenjujemo pravilo diferencijacije složene funkcije:

.
ovdje . Ali
.
Od tad
.
Zatim
.
Odnosno, formula (1) vrijedi i za:
(1) .

Derivati ​​višeg reda

Sada nalazimo derivacije višeg reda funkcije snage
(3) .
Već smo pronašli derivat prvog reda:
.

Uzimajući konstantu a iz predznaka derivacije, nalazimo derivaciju drugog reda:
.
Slično, nalazimo derivate trećeg i četvrtog reda:
;

.

Odavde je jasno da derivacija proizvoljnog n-tog reda ima sljedeći oblik:
.

primijeti da ako je a prirodan broj, , tada je n-ti izvod konstantan:
.
Tada su sve sljedeće derivacije jednake nuli:
,
na .

Primjeri izvedenica

Primjer

Pronađite derivaciju funkcije:
.

Odluka

Pretvorimo korijene u stepene:
;
.
Tada izvorna funkcija poprima oblik:
.

Nalazimo derivacije stupnjeva:
;
.
Derivat konstante je nula:
.