Kako riješiti sustav na primjerima Cramerove metode. Tri slučaja u rješavanju sustava linearnih jednadžbi

Cramerova metoda ili takozvano Cramerovo pravilo je način traženja nepoznatih veličina iz sustava jednadžbi. Može se koristiti samo ako je broj vrijednosti koje tražite jednak broju algebarske jednadžbe u sustavu, odnosno glavna matrica formirana iz sustava mora biti kvadratna i ne mora sadržavati nula redaka, a također i ako njena determinanta ne smije biti nula.

Teorem 1

Cramerov teorem Ako glavna determinanta $D$ glavne matrice, sastavljena na temelju koeficijenata jednadžbi, nije jednaka nuli, tada je sustav jednadžbi konzistentan i ima jedinstveno rješenje. Rješenje takvog sustava izračunava se kroz takozvane Cramerove formule za rješavanje sustava linearne jednadžbe: $x_i = \frac(D_i)(D)$

Što je Cramerova metoda

Suština Cramerove metode je sljedeća:

1. Da bismo pronašli rješenje sustava Cramerovom metodom, prije svega izračunamo glavnu determinantu matrice $D$. Kada se izračunata determinanta glavne matrice, kada se izračuna Cramerovom metodom, pokaže kao nula, tada sustav nema niti jedno rješenje ili ima beskonačan broj rješenja. U ovom slučaju, za pronalaženje općeg ili nekog osnovnog odgovora za sustav, preporuča se primijeniti Gaussovu metodu.
2. Zatim trebate zamijeniti zadnji stupac glavne matrice stupcem slobodnih članova i izračunati determinantu $D_1$.
3. Ponovite isto za sve stupce, dobivajući determinante od $D_1$ do $D_n$, gdje je $n$ broj krajnjeg desnog stupca.
4. Nakon što se pronađu sve determinante za $D_1$...$D_n$, nepoznate varijable se mogu izračunati pomoću formule $x_i = \frac(D_i)(D)$.

Tehnike izračunavanja determinante matrice

Za izračunavanje determinante matrice s dimenzijom većom od 2 puta 2, može se koristiti nekoliko metoda:

• Pravilo trokuta, ili Sarrusovo pravilo, nalik istom pravilu. Suština metode trokuta je da se pri izračunavanju determinante umnoška svih brojeva povezanih na slici crvenom linijom desno pišu sa znakom plus, a svi brojevi povezani na sličan način na slici na lijevo su sa predznakom minus. Oba pravila su prikladna za matrice 3 x 3. U slučaju Sarrusovog pravila najprije se prepisuje sama matrica, a pored nje ponovno se prepisuju njezin prvi i drugi stupac. Dijagonale se povlače kroz matricu i ovi dodatni stupci, članovi matrice koji leže na glavnoj dijagonali ili paralelno s njom pišu se znakom plus, a elementi koji leže na ili paralelni s sekundarnom dijagonalom pišu se znakom minus.

Slika 1. Pravilo trokuta za izračunavanje determinante za Cramerovu metodu

• S metodom poznatom kao Gaussova metoda, ova metoda se također ponekad naziva determinantnom redukcijom. U ovom slučaju, matrica se transformira i svodi na trokutasta, a zatim pomnožite sve brojeve na glavnoj dijagonali. Treba imati na umu da se u takvoj potrazi za determinantom ne mogu redovi ili stupci množiti ili dijeliti brojevima, a da se ne izuzmu kao faktor ili djelitelj. U slučaju traženja determinante moguće je samo oduzimati i zbrajati retke i stupce jedan drugome, prethodno pomnoživši oduzeti red s faktorom koji nije nula. Također, pri svakoj permutaciji redaka ili stupca matrice treba se sjetiti potrebe za promjenom konačnog predznaka matrice.
• Kod rješavanja Cramerove SLAE s 4 nepoznanice, najbolje je koristiti Gaussovu metodu za traženje i pronalaženje determinanti ili određivanje determinante kroz traženje maloljetnika.

Rješavanje sustava jednadžbi Cramerovom metodom

Cramerovu metodu primjenjujemo za sustav od 2 jednadžbe i dvije tražene veličine:

$\begin(slučajevi) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end(slučajevi)$

Prikažimo ga u proširenom obliku radi praktičnosti:

$A = \begin(array)(cc|c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end(array)$

Pronađite determinantu glavne matrice, koja se također naziva i glavna determinanta sustava:

$D = \begin(array)(|cc|) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end(array) = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

Ako glavna determinanta nije jednaka nuli, tada je za rješavanje problema Cramerovom metodom potrebno izračunati još par determinanti iz dvije matrice sa stupcima glavne matrice zamijenjenim redom slobodnih članova:

$D_1 = \begin(niz)(|cc|) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end(niz) = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin(niz)(|cc|) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end(niz) = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

Sada pronađimo nepoznanice $x_1$ i $x_2$:

$x_1 = \frac (D_1)(D)$

$x_2 = \frac (D_2)(D)$

Primjer 1

Cramerova metoda za rješavanje SLAE s glavnom matricom 3. reda (3 x 3) i tri željene.

Riješite sustav jednadžbi:

$\početak(slučajevi) 3x_1 - 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 - x_2 - x_3 = 10 \\ \end(slučajevi)$

Izračunavamo glavnu determinantu matrice koristeći gornje pravilo pod brojem 1:

$D = \begin(niz)(|ccc|) 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end(niz) = 3 \cdot 4 \cdot ( -1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) - 4 \cdot 4 \cdot 2 - 3 \cdot (-2) \cdot (-1) - (- 1) \cdot 2 \cdot 3 = - 12 - 8 -12 -32 - 6 + 6 = - 64 $

A sada tri druge odrednice:

$D_1 = \begin(niz)(|ccc|) 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end(niz) = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (- 2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 - 4 \cdot 4 \cdot 10 - 9 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \ cdot 21 = - 84 - 40 - 36 - 160 - 18 + 42 = - 296 USD

$D_2 = \begin(niz)(|ccc|) 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end(niz) = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 - 4 \cdot 9 \cdot 2 - 21 \cdot 3 \cdot (-1) - 2 \cdot 10 \cdot 3 = - 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108 USD

$D_3 = \begin(niz)(|ccc|) 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end(niz) = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 - 21 \cdot 4 \cdot 2 - (-2) \cdot 3 \cdot 10 - (-1) \cdot 9 \cdot 3 \u003d 120 - 63 - 36 - 168 + 60 + 27 \u003d - 60 $

Nađimo tražene vrijednosti:

$x_1 = \frac(D_1) (D) = \frac(- 296)(-64) = 4 \frac(5)(8)$

$x_2 = \frac(D_1) (D) = \frac(108) (-64) = - 1 \frac (11) (16)$

$x_3 = \frac(D_1) (D) = \frac(-60) (-64) = \frac (15) (16)$

Metode Kramer i Gaussov jedno od najpopularnijih rješenja SLAU. Štoviše, u nekim slučajevima je svrsishodno koristiti specifične metode. Sesija je blizu, a sada je vrijeme da ih ponovite ili savladate ispočetka. Danas se bavimo rješenjem Cramer metodom. Uostalom, rješavanje sustava linearnih jednadžbi Cramerovom metodom vrlo je korisna vještina.

Sustavi linearnih algebarskih jednadžbi

Sustav linearnih algebarskih jednadžbi je sustav jednadžbi oblika:

Skup vrijednosti x , na kojem se jednadžbe sustava pretvaraju u identitete, naziva se rješenjem sustava, a i b su realni koeficijenti. Jednostavan sustav koji se sastoji od dvije jednadžbe s dvije nepoznanice može se riješiti mentalno ili izražavanjem jedne varijable u terminima druge. No, u SLAE može biti puno više od dvije varijable (x), a jednostavne školske manipulacije su ovdje nezamjenjive. Što uraditi? Na primjer, riješite SLAE Cramerovom metodom!

Pa neka bude sustav n jednadžbe sa n nepoznato.

Takav se sustav može prepisati kao matrični oblik

Ovdje A je glavna matrica sustava, x i B , odnosno matrice stupaca nepoznatih varijabli i slobodnih članova.

SLAE rješenje po Cramerovoj metodi

Ako determinanta glavne matrice nije jednaka nuli (matrica je nesingularna), sustav se može riješiti Cramerovom metodom.

Prema Cramer metodi, rješenje se nalazi po formulama:

Ovdje delta je determinanta glavne matrice, i delta x n-ti - determinanta dobivena iz determinante glavne matrice zamjenom n-tog stupca stupcem slobodnih članova.

To je cijela poanta Cramerove metode. Zamjena vrijednosti pronađenih gornjim formulama x u željeni sustav, uvjereni smo u ispravnost (ili obrnuto) našeg rješenja. Kako biste lakše shvatili poantu, evo primjera. detaljno rješenje SLAE Cramerovom metodom:

Čak i ako ne uspijete prvi put, nemojte se obeshrabriti! Uz malo vježbe, počet ćete pucati SLOW kao orasi. Štoviše, sada apsolutno nije potrebno pregledavati bilježnicu, rješavajući glomazne proračune i pisati na štapu. Lako je riješiti SLAE Cramerovom metodom online, samo zamjenom koeficijenata u gotov oblik. probati online kalkulator rješenja Cramer metodom mogu se npr. naći na ovoj stranici.

A ako se sustav pokazao tvrdoglavim i ne odustaje, uvijek se možete obratiti našim autorima za pomoć, na primjer, za. Ako u sustavu ima barem 100 nepoznanica, to ćemo sigurno riješiti točno i na vrijeme!

Neka sustav linearnih jednadžbi sadrži onoliko jednadžbi koliko je nezavisnih varijabli, t.j. ima oblik

Takvi sustavi linearnih jednadžbi nazivaju se kvadratnim. Determinanta sastavljena od koeficijenata na neovisno varijable sustava(1.5) naziva se glavna determinanta sustava. Označit ćemo ga grčkim slovom D. Dakle,

. (1.6)

Ako je u glavnoj odrednici proizvoljan ( j th) stupac, zamijenimo ga stupcem slobodnih članova sustava (1.5), tada možemo dobiti više n pomoćne odrednice:

(j = 1, 2, …, n). (1.7)

Cramerovo pravilo rješavanje kvadratnih sustava linearnih jednadžbi je kako slijedi. Ako je glavna determinanta D sustava (1.5) različita od nule, tada sustav također ima jedinstveno rješenje, koje se može pronaći po formulama:

(1.8)

Primjer 1.5. Riješite sustav jednadžbi Cramerovom metodom

.

Izračunajmo glavnu determinantu sustava:

Od D¹0, sustav ima jedinstveno rješenje koje se može pronaći pomoću formula (1.8):

Tako,

Matrične radnje

1. Množenje matrice brojem. Operacija množenja matrice brojem definirana je na sljedeći način.

2. Da biste matricu pomnožili brojem, trebate pomnožiti sve njezine elemente s tim brojem. tj

. (1.9)

Primjer 1.6. .

Zbrajanje matrice.

Ova se operacija uvodi samo za matrice istog reda.

Da biste dodali dvije matrice, potrebno je elementima jedne matrice dodati odgovarajuće elemente druge matrice:

(1.10)
Operacija zbrajanja matrice ima svojstva asocijativnosti i komutativnosti.

Primjer 1.7. .

Množenje matrice.

Ako je broj stupaca matrice ALI odgovara broju redaka matrice NA, tada se za takve matrice uvodi operacija množenja:

2

Dakle, prilikom množenja matrice ALI dimenzije m´ n na matricu NA dimenzije n´ k dobivamo matricu S dimenzije m´ k. U ovom slučaju, elementi matrice S izračunavaju se prema sljedećim formulama:

Problem 1.8. Pronađite, ako je moguće, umnožak matrica AB i BA:

Odluka. 1) Pronaći posao AB, potrebni su vam redovi matrice A pomnožiti matričnim stupcima B:

2) Umjetničko djelo BA ne postoji, jer je broj stupaca matrice B ne odgovara broju redaka matrice A.

Inverzna matrica. Rješavanje sustava linearnih jednadžbi na matrični način

Matrica A- 1 se naziva inverzom kvadratne matrice ALI ako vrijedi jednakost:

gdje kroz ja označeno Matrica identiteta istim redoslijedom kao i matrica ALI:

.

Da bi kvadratna matrica ima inverz ako i samo ako je njegova determinanta različita od nule. Inverzna matrica se nalazi po formuli:

, (1.13)

gdje A ij - algebarski dodaci na elemente aij matrice ALI(imajte na umu da algebarski dodaci redovima matrice ALI raspoređeni su u inverznu matricu u obliku odgovarajućih stupaca).

Primjer 1.9. Pronađite inverznu matricu A- 1 na matricu

.

Inverznu matricu nalazimo po formuli (1.13), koja za slučaj n= 3 izgleda ovako:

.

Nađimo det A = | A| = 1 x 3 x 8 + 2 x 5 x 3 + 2 x 4 x 3 - 3 x 3 x 3 - 1 x 5 x 4 - 2 x 2 x 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Budući da je determinanta izvorne matrice drugačija od nule, inverzna matrica postoji.

1) Pronađite algebarske dodatke A ij:

Radi lakšeg pronalaženja inverzna matrica, smjestili smo algebarske dodatke recima izvorne matrice u odgovarajuće stupce.

Od dobivenih algebarskih dodataka sastavljamo novu matricu i dijelimo je determinantom det A. Tako ćemo dobiti inverznu matricu:

Kvadratni sustavi linearnih jednadžbi s glavnom determinantom različitom od nule mogu se riješiti korištenjem inverzne matrice. Za to je sustav (1.5) zapisan u matričnom obliku:

gdje

Množenje obje strane jednakosti (1.14) s lijeve strane sa A- 1, dobivamo rješenje sustava:

, gdje

Dakle, kako bi se pronašlo rješenje kvadratni sustav, trebate pronaći inverznu matricu glavnoj matrici sustava i pomnožiti je s desne strane s matricom stupaca slobodnih članova.

Problem 1.10. Riješite sustav linearnih jednadžbi

korištenjem inverzne matrice.

Odluka. Zapisujemo sustav u matričnom obliku: ,

gdje je glavna matrica sustava, stupac je nepoznanica i stupac slobodnih pojmova. Budući da je glavna odrednica sustava , zatim glavna matrica sustava ALI ima inverznu matricu ALI-jedan . Da bismo pronašli inverznu matricu ALI-1 , izračunajte algebarske komplemente svim elementima matrice ALI:

Od dobivenih brojeva sastavljamo matricu (štoviše, algebarski dodaci redovima matrice ALI upišite u odgovarajuće stupce) i podijelite ga determinantom D. Tako smo pronašli inverznu matricu:

Rješenje sustava nalazi se po formuli (1.15):

Tako,

Rješavanje sustava linearnih jednadžbi običnim Jordanovim iznimkama

Neka je dan proizvoljan (ne nužno kvadratni) sustav linearnih jednadžbi:

(1.16)

Potrebno je pronaći rješenje sustava, t.j. takav skup varijabli koji zadovoljava sve jednakosti sustava (1.16). NA opći slučaj sustav (1.16) može imati ne samo jedno rješenje, već i bezbroj rješenja. Možda uopće nema rješenja.

U rješavanju takvih problema poznati školski tečaj metoda eliminacije nepoznanica, koja se naziva i metoda običnih Jordanovih eliminacija. esencija ovu metodu leži u činjenici da je u jednoj od jednadžbi sustava (1.16) jedna od varijabli izražena preko drugih varijabli. Zatim se ova varijabla supstituira u druge jednadžbe sustava. Rezultat je sustav koji sadrži jednu jednadžbu i jednu manju varijablu od izvornog sustava. Pamti se jednadžba iz koje je varijabla izražena.

Ovaj proces se ponavlja sve dok u sustavu ne ostane posljednja jednadžba. U procesu eliminacije nepoznanica, neke se jednadžbe mogu pretvoriti u prave identitete, na primjer. Takve su jednadžbe isključene iz sustava, jer vrijede za sve vrijednosti varijabli i stoga ne utječu na rješenje sustava. Ako u procesu eliminacije nepoznanica barem jedna jednadžba postane jednakost koja se ne može zadovoljiti ni za jednu vrijednost varijabli (na primjer, ), tada zaključujemo da sustav nema rješenja.

Ako tijekom rješavanja nekonzistentnih jednadžbi nije nastalo, tada se jedna od preostalih varijabli u njoj nalazi iz posljednje jednadžbe. Ako u posljednjoj jednadžbi ostane samo jedna varijabla, ona se izražava brojem. Ako druge varijable ostanu u posljednjoj jednadžbi, onda se one smatraju parametrima, a varijabla izražena kroz njih bit će funkcija tih parametara. Zatim tzv obrnuti hod". Pronađena varijabla zamjenjuje se u posljednju memoriranu jednadžbu i pronalazi se druga varijabla. Zatim se dvije pronađene varijable zamjenjuju u pretposljednju memoriranu jednadžbu i pronalazi se treća varijabla, i tako dalje, do prve zapamćene jednadžbe.

Kao rezultat dobivamo rješenje sustava. Ova odluka bit će jedinstven ako su pronađene varijable brojevi. Ako prva pronađena varijabla, a zatim sve ostale ovise o parametrima, tada će sustav imati beskonačan broj rješenja (svaki skup parametara odgovara novom rješenju). Formule koje omogućuju pronalaženje rješenja sustava ovisno o određenom skupu parametara nazivaju se općim rješenjem sustava.

Primjer 1.11.

x

Nakon pamćenja prve jednadžbe i donoseći slične članove u drugoj i trećoj jednadžbi, dolazimo do sustava:

Izraziti y iz druge jednadžbe i zamijenite je u prvu jednadžbu:

Sjetimo se druge jednadžbe, a iz prve nalazimo z:

Obrnutim potezom nalazimo sukcesivno y i z. Da bismo to učinili, prvo zamjenjujemo posljednju zapamćenu jednadžbu , iz koje nalazimo y:

.

Zatim zamjenjujemo i u prvu zapamćenu jednadžbu odakle nalazimo x:

Problem 1.12. Riješite sustav linearnih jednadžbi eliminacijom nepoznanica:

. (1.17)

Odluka. Izrazimo varijablu iz prve jednadžbe x i zamijeni ga u drugu i treću jednadžbu:

.

Sjetite se prve jednadžbe

U ovom sustavu prva i druga jednadžba proturječe jedna drugoj. Doista, izražavajući y , dobivamo da je 14 = 17. Ova jednakost nije zadovoljena ni za jednu vrijednost varijabli x, y, i z. Posljedično, sustav (1.17) je nekonzistentan, tj. nema rješenja.

Čitatelji su pozvani da samostalno provjere je li glavna determinanta izvornog sustava (1.17) jednaka nuli.

Razmotrimo sustav koji se od sustava (1.17) razlikuje samo po jednom slobodnom članu.

Problem 1.13. Riješite sustav linearnih jednadžbi eliminacijom nepoznanica:

. (1.18)

Odluka. Kao i prije, izražavamo varijablu iz prve jednadžbe x i zamijeni ga u drugu i treću jednadžbu:

.

Sjetite se prve jednadžbe a slične članove predstavljamo u drugoj i trećoj jednadžbi. Dolazimo do sustava:

izražavajući y iz prve jednadžbe i zamjenjujući je u drugu jednadžbu , dobivamo identitet 14 = 14, koji ne utječe na rješenje sustava, pa se stoga može isključiti iz sustava.

U posljednjoj zapamćenoj jednakosti, varijabla z smatrat će se kao parametar. Vjerujemo . Zatim

Zamjena y i z u prvu naučenu jednakost i pronađite x:

.

Dakle, sustav (1.18) ima beskonačan skup rješenja, a svako rješenje se može pronaći iz formule (1.19) odabirom proizvoljne vrijednosti parametra t:

(1.19)
Dakle, rješenja sustava, na primjer, su sljedeći skupovi varijabli (1; 2; 0), (2; 26; 14) itd. Formule (1.19) izražavaju opće (bilo koje) rješenje sustava (1.18 ).

U slučaju kada izvorni sustav (1.16) ima dovoljno veliki broj jednadžbi i nepoznanica, navedena metoda običnih jordanskih eliminacija čini se glomazna. Međutim, nije. Dovoljno je izvesti algoritam za ponovno izračunavanje koeficijenata sustava u jednom koraku u opći pogled a rješenje problema formalizirati u obliku posebnih Jordanovih tablica.

Neka je zadan sustav linearnih oblika (jednadžbi):

, (1.20)
gdje x j- nezavisne (željene) varijable, aij- konstantni koeficijenti
(i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). Desni dijelovi sustava y i (i = 1, 2,…, m) mogu biti i varijable (ovisni) i konstante. Potrebno je pronaći rješenja za ovaj sustav uklanjanjem nepoznanica.

Razmotrimo sljedeću operaciju, u daljnjem tekstu "jedan korak običnih Jordanskih izuzetaka". Od proizvoljnog ( r th) jednakost, izražavamo proizvoljnu varijablu ( x s) i zamijeniti sve ostale jednakosti. Naravno, to je moguće samo ako a rs¹ 0. Koeficijent a rs naziva se razlučujući (ponekad vodeći ili glavni) element.

dobit ćemo sljedeći sustav:

. (1.21)

Iz s jednakosti sustava (1.21), naknadno ćemo pronaći varijablu x s(nakon što se pronađu druge varijable). S Redak se pamti i nakon toga isključuje iz sustava. Preostali sustav sadržavat će jednu jednadžbu i jednu nezavisnu varijablu manje od izvornog sustava.

Izračunajmo koeficijente rezultirajućeg sustava (1.21) u smislu koeficijenata izvornog sustava (1.20). Počnimo s r th jednadžba, koja nakon izražavanja varijable x s kroz ostale varijable izgledat će ovako:

Dakle, novi koeficijenti r jednadžba se izračunava prema sljedećim formulama:

(1.23)
Izračunajmo sada nove koeficijente b ij(i¹ r) proizvoljna jednadžba. Da bismo to učinili, zamjenjujemo varijablu izraženu u (1.22) x s u i jednadžba sustava (1.20):

Nakon donošenja sličnih uvjeta, dobivamo:

(1.24)
Iz jednakosti (1.24) dobivamo formule po kojima se izračunavaju preostali koeficijenti sustava (1.21) (s izuzetkom r jednadžba):

(1.25)
Transformacija sustava linearnih jednadžbi metodom običnih jordanskih eliminacija prikazana je u obliku tablica (matrica). Ove tablice nazivaju se "jordanski stolovi".

Dakle, problem (1.20) povezan je sa sljedećom Jordanovom tablicom:

Tablica 1.1

	x 1	x 2	…	x j	…	x s	…	x n
y 1 =	a 11	a 12		a 1j		a 1s		a 1n
…………………………………………………………………..
y i=	a i 1	a i 2		aij		a je		a in
…………………………………………………………………..
y r=	a r 1	a r 2		a rj		a rs		a rn
………………………………………………………………….
y n=	a m 1	a m 2		a mj		a ms		amn

Jordanova tablica 1.1 sadrži lijevi glavni stupac u koji su upisani desni dijelovi sustava (1.20) i gornji redak glave u koji su upisane nezavisne varijable.

Preostali elementi tablice čine glavnu matricu koeficijenata sustava (1.20). Ako pomnožimo matricu ALI na matricu koja se sastoji od elemenata gornjeg reda zaglavlja, tada dobivamo matricu koja se sastoji od elemenata lijevog stupca zaglavlja. To jest, u biti, Jordanova tablica je matrični oblik pisanja sustava linearnih jednadžbi: . U ovom slučaju, sljedeća Jordanova tablica odgovara sustavu (1.21):

Tablica 1.2

	x 1	x 2	…	x j	…	y r	…	x n
y 1 =	b 11	b 12		b 1 j		b 1 s		b 1 n
…………………………………………………………………..
y i =	b i 1	b i 2		b ij		b je		b u
…………………………………………………………………..
x s =	br 1	br 2		b rj		br		b rn
………………………………………………………………….
y n =	b m 1	b m 2		bmj		b ms		bmn

Permisivni element a rs istaknuti ćemo podebljano. Podsjetimo da za implementaciju jednog koraka Jordanovih iznimaka, element razrješenja mora biti različit od nule. Red tablice koji sadrži permisivni element naziva se permisivni red. Stupac koji sadrži element omogućavanja naziva se stupac omogućavanja. Prilikom prelaska s dane tablice na sljedeću tablicu, jedna varijabla ( x s) iz gornjeg retka zaglavlja tablice se pomiče u lijevi stupac zaglavlja i, obrnuto, jedan od slobodnih članova sustava ( y r) se premješta iz lijevog stupca zaglavlja tablice u gornji redak zaglavlja.

Opišimo algoritam za ponovno izračunavanje koeficijenata pri prijelazu iz Jordanove tablice (1.1) u tablicu (1.2), što slijedi iz formula (1.23) i (1.25).

1. Element omogućavanja zamjenjuje se inverznim brojem:

2. Preostali elementi permisivne linije podijeljeni su permisivnim elementom i mijenjaju predznak u suprotan:

3. Preostali elementi stupca za omogućavanje dijele se na element koji omogućuje:

4. Elementi koji nisu uključeni u redak za razrješenje i stupac za razrješenje ponovno se izračunavaju prema formulama:

Posljednju formulu je lako zapamtiti ako primijetite da su elementi koji čine razlomak , nalaze se na raskrižju i-oh i r-ti redovi i j th i s-ti stupci (razrješavajući red, razrješavajući stupac i red i stupac na čijem se presjeku nalazi element koji se ponovno izračunava). Točnije, prilikom pamćenja formule možete koristiti sljedeći grafikon:

-21 -26 -13 -37

Izvođenje prvog koraka jordanskih izuzetaka, bilo koji element tablice 1.3 koji se nalazi u stupcima x 1 ,…, x 5 (svi navedeni elementi nisu jednaki nuli). Ne biste trebali odabrati samo omogućavajući element u zadnjem stupcu, jer potrebno je pronaći nezavisne varijable x 1 ,…, x 5 . Odaberemo, na primjer, koeficijent 1 s varijablom x 3 u trećem redu tablice 1.3 (element za omogućavanje je podebljan). Prilikom prelaska na tablicu 1.4, varijabla x 3 iz gornjeg retka zaglavlja zamjenjuje se konstantom 0 lijevog stupca zaglavlja (treći red). Istovremeno, varijabla x 3 se izražava u terminima preostalih varijabli.

niz x 3 (Tablica 1.4) može se, nakon prethodnog sjećanja, isključiti iz Tablice 1.4. Tablica 1.4 također isključuje treći stupac s nulom u gornjem retku zaglavlja. Stvar je u tome da bez obzira na koeficijente ovog stupca b i 3 svi članovi svake jednadžbe 0 koji joj odgovaraju b i 3 sustava bit će jednaka nuli. Stoga se ovi koeficijenti ne mogu izračunati. Uklanjanje jedne varijable x 3 i prisjetivši se jedne od jednadžbi, dolazimo do sustava koji odgovara tablici 1.4 (s precrtanom crtom x 3). Odabir u tablici 1.4 kao razrješavajući element b 14 = -5, idite na tablicu 1.5. U tablici 1.5 pamtimo prvi red i isključujemo ga iz tablice zajedno s četvrtim stupcem (s nulom na vrhu).

Tablica 1.5 Tablica 1.6

Iz posljednji stol 1.7 nalazimo: x 1 = - 3 + 2x 5 .

Slijedom zamjenjujući već pronađene varijable u memorisane retke, nalazimo preostale varijable:

Dakle, sustav ima beskonačan broj rješenja. varijabla x 5, možete dodijeliti proizvoljne vrijednosti. Ova varijabla djeluje kao parametar x 5 = t. Dokazali smo kompatibilnost sustava i pronašli ga zajednička odluka:

x 1 = - 3 + 2t

x 2 = - 1 - 3t

x 3 = - 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t

x 5 = t

Parametar davanja t razna značenja, dobivamo beskonačan broj rješenja izvornog sustava. Tako je, na primjer, rješenje sustava sljedeći skup varijabli (- 3; - 1; - 2; 4; 0).

Uz broj jednadžbi isti kao i broj nepoznanica s glavnom determinantom matrice, koja nije jednaka nuli, koeficijenti sustava (za takve jednadžbe postoji rješenje i ono je samo jedno).

Cramerov teorem.

Kada je determinanta matrice kvadratnog sustava različita od nule, tada je sustav kompatibilan i ima jedno rješenje i može se naći na Cramerove formule:

gdje je Δ - determinanta matrice sustava,

Δ i- determinanta matrice sustava, u kojoj umjesto i th stupac je stupac desnih dijelova.

Kada je determinanta sustava nula, tada sustav može postati dosljedan ili nekonzistentan.

Ova metoda se obično koristi za male sustave s izračunima volumena i ako kada je potrebno odrediti 1 od nepoznanica. Složenost metode je u tome što je potrebno izračunati mnogo determinanti.

Opis Cramerove metode.

Postoji sustav jednadžbi:

Sustav od 3 jednadžbe može se riješiti Cramerovom metodom, o kojoj je gore bilo riječi za sustav od 2 jednadžbe.

Determinantu sastavljamo iz koeficijenata nepoznanica:

Ovo će kvalifikator sustava. Kada D≠0, tako da je sustav kompatibilan. Sada ćemo sastaviti 3 dodatne odrednice:

,,

Sustav rješavamo po Cramerove formule:

Primjeri rješavanja sustava jednadžbi Cramerovom metodom.

Primjer 1.

Dati sustav:

Riješimo ga Cramerovom metodom.

Prvo morate izračunati determinantu matrice sustava:

Jer Δ≠0, dakle, prema Cramerovom teoremu, sustav je kompatibilan i ima jedno rješenje. Izračunavamo dodatne determinante. Determinanta Δ 1 dobiva se iz determinante Δ zamjenom njenog prvog stupca stupcem slobodnih koeficijenata. dobivamo:

Na isti način dobivamo determinantu Δ 2 iz determinante matrice sustava, zamjenjujući drugi stupac stupcem slobodnih koeficijenata: