Pronađite rješenje inverzne matrice. Inverzna matrica i njena svojstva

Inverzna matrica za danu je takva matrica, množenjem izvorne matrice koja daje matricu identiteta: Obvezni i dovoljan uvjet za prisutnost inverzne matrice je nejednakost determinante izvorne matrice (koja pak implicira da matrica mora biti kvadratna). Ako je determinanta matrice jednaka nuli, onda se naziva degenerirana i takva matrica nema inverziju. U višoj matematici važne su inverzne matrice koje se koriste za rješavanje niza problema. Na primjer, na pronalaženje inverzne matrice konstruirana je matrična metoda za rješavanje sustava jednadžbi. Naša servisna stranica dopušta izračunaj inverznu matricu na mreži dvije metode: Gauss-Jordanova metoda i korištenje matrice algebarskih zbrajanja. Prvi podrazumijeva veliki broj elementarnih transformacija unutar matrice, drugi - izračun determinante i algebarske dodatke svim elementima. Za online izračunavanje determinante matrice, možete koristiti našu drugu uslugu - Izračun determinante matrice online

.

Pronađite inverznu matricu na web mjestu

web stranica omogućuje vam da pronađete inverzna matrica online brzo i besplatno. Na stranici naše usluge izrađuju izračune i prikazuje se rezultat s detaljnim rješenjem za pronalaženje inverzna matrica. Poslužitelj uvijek daje samo točan i točan odgovor. U zadacima po definiciji inverzna matrica online, potrebno je da determinanta matrice bio drugačiji od nule, inače web stranica izvijestit će o nemogućnosti pronalaženja inverzne matrice zbog činjenice da je determinanta izvorne matrice jednaka nuli. Pronalaženje zadatka inverzna matrica nalazi se u mnogim granama matematike, kao jedan od najosnovnijih koncepata algebre i matematički alat u primijenjenim problemima. Neovisni definicija inverzne matrice zahtijeva popriličan trud, puno vremena, proračuna i veliku pažnju kako ne bi došlo do lapsusa ili male pogreške u izračunima. Stoga, naša usluga pronalaženje inverzne matrice na mreži uvelike će vam olakšati zadatak i postat će nezamjenjiv alat za rješavanje matematičkih problema. Čak i ako ti pronaći inverznu matricu sami, preporučujemo da svoje rješenje provjerite na našem poslužitelju. Unesite svoju izvornu matricu na našu Online Calculate Inverse Matrix i provjerite svoj odgovor. Naš sustav nikada nije pogrešan i pronalazi inverzna matrica zadanu dimenziju u modu na liniji odmah! Na liniji web stranica unosi znakova dopušteni su u elementima matrice, u ovom slučaju inverzna matrica online predstavit će se u općem simboličkom obliku.

Za bilo koju nesingularnu matricu A postoji jedinstvena matrica A -1 takva da

A*A -1 =A -1 *A = E,

gdje je E matrica identiteta istih redova kao i A. Matrica A -1 naziva se inverzna matrici A.

Ako je netko zaboravio, u matrici identiteta, osim dijagonale ispunjene jedinicama, sve ostale pozicije su ispunjene nulama, primjer matrice identiteta:

Pronalaženje inverzne matrice metodom pridružene matrice

Inverzna matrica je definirana formulom:

gdje je A ij - elementi a ij .

Oni. Da biste izračunali inverznu vrijednost matrice, morate izračunati determinantu ove matrice. Zatim pronađite algebarske dodatke za sve njegove elemente i od njih napravite novu matricu. Zatim morate prenijeti ovu matricu. I podijelite svaki element nove matrice s determinantom izvorne matrice.

Pogledajmo nekoliko primjera.

Pronađite A -1 za matricu

Rješenje. Nađite A -1 metodom adjoint matrice. Imamo det A = 2. Pronađite algebarske komplemente elemenata matrice A. U ovom slučaju, algebarski komplementi elemenata matrice bit će odgovarajući elementi same matrice, uzeti sa predznakom u skladu s formulom

Imamo A 11 = 3, A 12 = -4, A 21 = -1, A 22 = 2. Formiramo pridruženu matricu

Prevozimo matricu A*:

Inverznu matricu nalazimo po formuli:

dobivamo:

Upotrijebite metodu spojene matrice da pronađete A -1 if

Rješenje Prije svega izračunavamo zadanu matricu kako bismo bili sigurni da inverzna matrica postoji. Imamo

Ovdje smo elementima drugog retka dodali elemente trećeg retka, prethodno pomnožene sa (-1), a zatim proširili determinantu za drugi red. Budući da je definicija ove matrice drugačija od nule, tada postoji matrica inverzna njoj. Da bismo konstruirali pridruženu matricu, nalazimo algebarske komplemente elemenata ove matrice. Imamo

Prema formuli

transportiramo matricu A*:

Zatim prema formuli

Pronalaženje inverzne matrice metodom elementarnih transformacija

Osim metode pronalaženja inverzne matrice, koja proizlazi iz formule (metoda pridružene matrice), postoji i metoda za pronalaženje inverzne matrice koja se naziva metoda elementarnih transformacija.

Elementarne matrične transformacije

Sljedeće transformacije nazivaju se transformacijama elementarne matrice:

1) permutacija redaka (stupaca);

2) množenje retka (stupca) brojem koji nije nula;

3) dodavanje elementima retka (stupca) odgovarajućih elemenata drugog reda (stupca), prethodno pomnoženih određenim brojem.

Da bismo pronašli matricu A -1, konstruiramo pravokutnu matricu B \u003d (A | E) redova (n; 2n), dodjeljujući matrici A s desne strane matricu identiteta E kroz djeličnu liniju:

Razmotrimo primjer.

Metodom elementarnih transformacija pronađite A -1 if

Rješenje. Formiramo matricu B:

Označimo retke matrice B kroz α 1 , α 2 , α 3 . Izvršimo sljedeće transformacije na redovima matrice B.

Matrica A -1 naziva se inverzna matrica u odnosu na matricu A, ako je A * A -1 \u003d E, gdje je E matrica identiteta n-tog reda. Inverzna matrica može postojati samo za kvadratne matrice.

Zadatak usluge. Koristeći ovu uslugu online, možete pronaći algebarske dodatke, transponiranu matricu A T, matricu unije i inverznu matricu. Rješenje se provodi izravno na web mjestu (online) i besplatno je. Rezultati izračuna se prikazuju u izvješću u Word formatu i u Excel formatu (odnosno moguće je provjeriti rješenje). vidi primjer dizajna.

Uputa. Da biste dobili rješenje, morate odrediti dimenziju matrice. Zatim u novom dijaloškom okviru ispunite matricu A.

Dimenzija matrice 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Vidi također Inverzna matrica Jordan-Gaussovom metodom

Algoritam za pronalaženje inverzne matrice

1. Pronalaženje transponirane matrice A T .
2. Definicija algebarskih zbrajanja. Zamijenite svaki element matrice njegovim algebarskim komplementom.
3. Kompilacija inverzne matrice iz algebarskih zbrajanja: svaki element rezultirajuće matrice podijeljen je determinantom izvorne matrice. Rezultirajuća matrica je inverzna izvornoj matrici.

Sljedeći inverzni matrični algoritam slično prethodnom, osim nekih koraka: prvo se izračunaju algebarski komplementi, a zatim se odredi matrica unije C.

1. Odredite je li matrica kvadratna. Ako ne, onda za to ne postoji inverzna matrica.
2. Izračunavanje determinante matrice A . Ako nije jednako nuli, nastavljamo s rješenjem, inače inverzna matrica ne postoji.
3. Definicija algebarskih zbrajanja.
4. Ispunjavanje matrice unije (međusobne, spojene) C .
5. Kompilacija inverzne matrice iz algebarskih zbrajanja: svaki element pridružene matrice C dijeli se determinantom izvorne matrice. Rezultirajuća matrica je inverzna izvornoj matrici.
6. Provjerite: pomnožite izvornu i rezultirajuću matricu. Rezultat bi trebao biti matrica identiteta.

Primjer #1. Zapisujemo matricu u obliku:

Algebarski dodaci.

A 1,1 = (-1) 1+1

-1 -2 5 4

∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6

A 1,2 = (-1) 1+2

2 -2 -2 4

∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4

A 1,3 = (-1) 1+3

2 -1 -2 5

∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8

A 2,1 = (-1) 2+1

2 3 5 4

∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7

A 2,2 = (-1) 2+2

-1 3 -2 4

∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2

A 2,3 = (-1) 2+3

-1 2 -2 5

∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1

A 3,1 = (-1) 3+1

2 3 -1 -2

∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1

A 3,2 = (-1) 3+2

-1 3 2 -2

∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4

A 3,3 = (-1) 3+3

-1 2 2 -1

∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Zatim inverzna matrica može se napisati kao:

A -1 = 1/10

6 -4 8 7 2 1 -1 4 -3

A -1 =

0,6 -0,4 0,8 0,7 0,2 0,1 -0,1 0,4 -0,3

Još jedan algoritam za pronalaženje inverzne matrice

Predstavljamo još jednu shemu za pronalaženje inverzne matrice.

1. Pronađite determinantu zadane kvadratne matrice A.
2. Svim elementima matrice A nalazimo algebarske dodatke.
3. Zapisujemo algebarske nadopune elemenata redaka u stupce (transpozicija).
4. Svaki element rezultirajuće matrice dijelimo determinantom matrice A.

Kao što vidite, operacija transpozicije može se primijeniti i na početku, preko izvorne matrice, i na kraju, nad rezultirajućim algebarskim dodacima.

Poseban slučaj: Inverz, s obzirom na matricu identiteta E, je matrica identiteta E.

1. definicija: Matrica se naziva degenerisana ako je njena determinanta nula.

2. definicija: Matrica se naziva nesingularnom ako njezina determinanta nije jednaka nuli.

Matrica "A" se zove inverzna matrica, ako je uvjet A*A-1 = A-1 *A = E (matrica identiteta) zadovoljen.

Kvadratna matrica je invertibilna samo ako je nesingularna.

Shema za izračun inverzne matrice:

1) Izračunajte determinantu matrice "A" ako ∆ A = 0, tada inverzna matrica ne postoji.

2) Pronađite sve algebarske komplemente matrice "A".

3) Sastavite matricu algebarskih sabiranja (Aij)

4) Transponirajte matricu algebarskih komplemenata (Aij )T

5) Pomnožite transponiranu matricu s recipročnom vrijednosti determinante ove matrice.

6) Pokrenite provjeru:

Na prvi pogled može se činiti da je teško, ali zapravo je sve vrlo jednostavno. Sva rješenja temelje se na jednostavnim aritmetičkim operacijama, glavna stvar pri rješavanju je da se ne zbunite sa znakovima "-" i "+" i da ih ne izgubite.

A sada riješimo praktičan zadatak zajedno s vama izračunavanjem inverzne matrice.

Zadatak: pronađite inverznu matricu "A", prikazanu na donjoj slici:

Sve rješavamo točno onako kako je naznačeno u planu za izračun inverzne matrice.

1. Prvo što treba učiniti je pronaći determinantu matrice "A":

Obrazloženje:

Pojednostavili smo našu determinantu korištenjem njezinih glavnih funkcija. Prvo smo dodali u 2. i 3. red elemente prvog reda, pomnožene s jednim brojem.

Drugo, promijenili smo 2. i 3. stupac determinante, a prema njezinim svojstvima promijenili smo predznak ispred nje.

Treće, izvadili smo zajednički faktor (-1) drugog reda, čime smo ponovno promijenili predznak i on je postao pozitivan. Također smo pojednostavili redak 3 na isti način kao na samom početku primjera.

Imamo trokutastu determinantu, u kojoj su elementi ispod dijagonale jednaki nuli, a po svojstvu 7 jednak je umnošku elemenata dijagonale. Kao rezultat toga, dobili smo ∆ A = 26, dakle inverzna matrica postoji.

A11 = 1*(3+1) = 4

A12 \u003d -1 * (9 + 2) \u003d -11

A13 = 1*1 = 1

A21 = -1*(-6) = 6

A22 = 1*(3-0) = 3

A23 = -1*(1+4) = -5

A31 = 1*2 = 2

A32 = -1*(-1) = -1

A33 = 1+(1+6) = 7

3. Sljedeći korak je sastavljanje matrice od rezultirajućih dodataka:

5. Ovu matricu množimo s recipročnom vrijednosti determinante, odnosno s 1/26:

6. Pa, sada samo trebamo provjeriti:

Tijekom provjere dobili smo matricu identiteta, stoga je odluka donesena apsolutno ispravno.

2 način izračuna inverzne matrice.

1. Elementarna transformacija matrica

2. Inverzna matrica kroz elementarni pretvarač.

Osnovna transformacija matrice uključuje:

1. Množenje niza brojem koji nije nula.

2. Dodavanje bilo kojem retku drugog retka, pomnoženo brojem.

3. Zamjena redaka matrice.

4. Primjenom lanca elementarnih transformacija dobivamo drugu matricu.

ALI -1 = ?

1. (A|E) ~ (E|A -1 )

2. A -1*A=E

Pogledajmo to na praktičnom primjeru s realnim brojevima.

Vježba: Pronađite inverznu matricu.

Odluka:

Provjerimo:

Malo pojašnjenje rješenja:

Prvo smo zamijenili redove 1 i 2 matrice, a zatim smo prvi red pomnožili sa (-1).

Nakon toga, prvi red je pomnožen sa (-2) i dodan drugom redu matrice. Zatim smo 2. red pomnožili s 1/4.

Posljednja faza transformacije bila je množenje drugog retka s 2 i zbrajanje iz prvog. Kao rezultat, imamo matricu identiteta s lijeve strane, dakle, inverzna matrica je matrica s desne strane.

Nakon provjere uvjerili smo se u ispravnost odluke.

Kao što vidite, izračunavanje inverzne matrice je vrlo jednostavno.

Završavajući ovo predavanje, želio bih se također posvetiti osobinama takve matrice.

Metode za pronalaženje inverzne matrice, . Razmotrimo kvadratnu matricu

Označimo Δ = det A.

Kvadratna matrica A naziva se nedegeneriran, ili neposebne ako je njegova determinanta različita od nule, i degenerirati, ili poseban, akoΔ = 0.

Kvadratna matrica B postoji za kvadratnu matricu A istog reda ako je njihov proizvod A B = B A = E, gdje je E matrica identiteta istog reda kao i matrice A i B.

Teorema . Da bi matrica A imala inverznu matricu, potrebno je i dovoljno da njena determinanta bude različita od nule.

Inverzna matrica prema matrici A, označena s A- 1 pa B = A - 1 a izračunava se po formuli

, (1)

gdje je A i j - algebarski komplementi elemenata a i j matrice A..

Izračunavanje A -1 po formuli (1) za matrice visokoga reda vrlo je naporno, pa je u praksi prikladno pronaći A -1 metodom elementarnih transformacija (EP). Bilo koja nesingularna matrica A može se reducirati pomoću EP samo stupaca (ili samo redaka) na matricu identiteta E. Ako se EP-ovi savršeni nad matricom A primjenjuju istim redoslijedom na matricu identiteta E, tada je rezultat inverzna matrica. Zgodno je izvesti EP na matricama A i E istovremeno, pišući obje matrice jednu do druge kroz liniju. Još jednom napominjemo da se pri traženju kanonskog oblika matrice, da bi se on pronašao, mogu koristiti transformacije redaka i stupaca. Ako trebate pronaći inverznu matricu, trebali biste koristiti samo retke ili samo stupce u procesu transformacije.

Primjer 2.10. Za matricu naći A -1 .

Odluka.Prvo ćemo pronaći determinantu matrice A
dakle inverzna matrica postoji i možemo je pronaći po formuli: , gdje je A i j (i,j=1,2,3) - algebarski komplementi elemenata a i j izvorne matrice.

Gdje .

Primjer 2.11. Metodom elementarnih transformacija pronađite A -1 za matricu: A=.

Odluka.Izvornoj matrici s desne strane dodjeljujemo matricu identiteta istog reda: . Uz pomoć elementarnih transformacija stupaca, lijevu "polovinu" reduciramo na identičnu, istovremeno izvodeći upravo takve transformacije na desnoj matrici.
Da biste to učinili, zamijenite prvi i drugi stupac: ~ . Dodamo prvi u treći stupac, a prvi pomnožen s -2 u drugi: . Od prvog stupca oduzimamo udvostručeni drugi, a od trećeg - drugi pomnožen sa 6; . Dodajmo treći stupac prvom i drugom: . Pomnožite zadnji stupac s -1: . Kvadratna matrica dobivena desno od okomite trake je inverzna matrica zadanoj matrici A. Dakle,
.