Homogeni sustav linearnih algebarskih jednadžbi. Rješenje sustava linearnih algebarskih jednadžbi općeg oblika

Neka bude M 0 je skup rješenja homogenog sustava (4) linearnih jednadžbi.

Definicija 6.12. Vektori s 1 ,s 2 , …, sa str, koji su rješenja homogenog sustava linearnih jednadžbi, nazivaju se temeljni skup rješenja(skraćeno FNR) ako

1) vektori s 1 ,s 2 , …, sa str linearno neovisni (to jest, nijedan od njih se ne može izraziti u terminima ostalih);

2) svako drugo rješenje homogenog sustava linearnih jednadžbi može se izraziti rješenjima s 1 ,s 2 , …, sa str.

Imajte na umu da ako s 1 ,s 2 , …, sa str je neki f.n.r., zatim po izrazu k 1× s 1 + k 2× s 2 + … + kp× sa str može opisati cijeli skup M 0 rješenja sustava (4), pa se zove opći pogled na rješenje sustava (4).

Teorem 6.6. Svaki neodređeni homogeni sustav linearnih jednadžbi ima temeljni skup rješenja.

Način pronalaska temeljnog skupa rješenja je sljedeći:

Naći opće rješenje homogenog sustava linearnih jednadžbi;

Izgraditi ( n – r) parcijalna rješenja ovog sustava, dok vrijednosti slobodnih nepoznanica moraju činiti matricu identiteta;

Napišite opći oblik rješenja uključenog u M 0 .

Primjer 6.5. Pronađite osnovni skup rješenja sljedećeg sustava:

Odluka. Nađimo opće rješenje ovog sustava.

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ Ovaj sustav ima pet nepoznanica ( n= 5), od kojih postoje dvije glavne nepoznanice ( r= 2), tri slobodne nepoznanice ( n – r), odnosno temeljni skup rješenja sadrži tri vektora rješenja. Izgradimo ih. Imamo x 1 i x 3 - glavne nepoznanice, x 2 , x 4 , x 5 - slobodne nepoznanice

Vrijednosti slobodnih nepoznanica x 2 , x 4 , x 5 čine matricu identiteta E trećeg reda. Imam te vektore s 1 ,s 2 , s 3 oblik f.n.r. ovaj sustav. Tada će skup rješenja ovog homogenog sustava biti M 0 = {k 1× s 1 + k 2× s 2 + k 3× s 3 , k 1 , k 2 , k 3 O R).

Pronađimo sada uvjete za postojanje rješenja različitih od nule homogenog sustava linearnih jednadžbi, drugim riječima, uvjete za postojanje temeljnog skupa rješenja.

Homogeni sustav linearnih jednadžbi ima rješenja različita od nule, odnosno neodređen je ako

1) rang glavne matrice sustava manji je od broja nepoznanica;

2) u homogenom sustavu linearnih jednadžbi broj jednadžbi je manji od broja nepoznanica;

3) ako je u homogenom sustavu linearnih jednadžbi broj jednadžbi jednak broju nepoznanica, a determinanta glavne matrice jednaka je nuli (tj. | A| = 0).

Primjer 6.6. Pri kojoj vrijednosti parametra a homogeni sustav linearnih jednadžbi ima rješenja različita od nule?

Odluka. Sastavimo glavnu matricu ovog sustava i pronađemo njenu determinantu: = = 1×(–1) 1+1 × = – a– 4. Odrednica ove matrice jednaka je nuli kada a = –4.

Odgovor: –4.

7. Aritmetika n-dimenzionalni vektorski prostor

Osnovni koncepti

U prethodnim odjeljcima već smo se susreli s konceptom skupa realnih brojeva poredanih određenim redoslijedom. Ovo je matrica redaka (ili matrica stupaca) i rješenje sustava linearnih jednadžbi s n nepoznato. Ove informacije mogu se sažeti.

Definicija 7.1. n-dimenzionalni aritmetički vektor naziva se uređenim skupom n realni brojevi.

Sredstva a= (a 1, a 2, …, a n), gdje i O R, i = 1, 2, …, n je opći pogled na vektor. Broj n pozvao dimenzija vektor, a brojevi a i nazvao ga koordinate.

Na primjer: a= (1, –8, 7, 4, ) je petodimenzionalni vektor.

Sve je spremno n-dimenzionalni vektori obično se označavaju kao R n.

Definicija 7.2. Dva vektora a= (a 1, a 2, …, a n) i b= (b 1 , b 2 , …, b n) iste dimenzije jednak ako i samo ako su njihove odgovarajuće koordinate jednake, tj. a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n= b n.

Definicija 7.3.iznos dva n-dimenzionalni vektori a= (a 1, a 2, …, a n) i b= (b 1 , b 2 , …, b n) naziva se vektor a + b= (a 1 + b 1, a 2 + b 2, …, a n+b n).

Definicija 7.4. raditi pravi broj k po vektoru a= (a 1, a 2, …, a n) naziva se vektor k× a = (k×a 1 , k×a 2 , …, k×a n)

Definicija 7.5. Vektor oko= (0, 0, …, 0) se zove nula(ili nul-vektor).

Lako je provjeriti da radnje (operacije) zbrajanja vektora i njihovog množenja realnim brojem imaju sljedeća svojstva: a, b, c Î R n, " k, l ILI:

1) a + b = b + a;

2) a + (b+ c) = (a + b) + c;

3) a + oko = a;

4) a+ (–a) = oko;

5) 1× a = a, 1 O R;

6) k×( l× a) = l×( k× a) = (l× k)× a;

7) (k + l)× a = k× a + l× a;

8) k×( a + b) = k× a + k× b.

Definicija 7.6. Gomila R n s operacijama zbrajanja vektora i njihovog množenja realnim brojem zadanim na njemu zove se aritmetički n-dimenzionalni vektorski prostor.

Homogeni sustav je uvijek dosljedan i ima trivijalno rješenje
. Da bi postojalo netrivijalno rješenje, potrebno je da rang matrice bio manji od broja nepoznanica:

.

Temeljni sustav odlučivanja homogeni sustav
nazovite sustav rješenja u obliku vektora stupaca
, koji odgovaraju kanonskoj osnovi, t.j. bazi u kojoj proizvoljne konstante
naizmjenično se postavljaju jednakima jedan, dok se ostali postavljaju na nulu.

Tada opće rješenje homogenog sustava ima oblik:

gdje
su proizvoljne konstante. Drugim riječima, opće rješenje je linearna kombinacija temeljnog sustava rješenja.

Dakle, osnovna rješenja mogu se dobiti iz općeg rješenja ako se slobodnim nepoznanicama naizmjenično daje vrijednost jedinice, uz pretpostavku da su sve ostale jednake nuli.

Primjer. Nađimo rješenje za sustav

Prihvaćamo , tada dobivamo rješenje u obliku:

Konstruirajmo sada temeljni sustav rješenja:

.

Općenito rješenje može se napisati kao:

Rješenja sustava homogenih linearnih jednadžbi imaju sljedeća svojstva:

Drugim riječima, svaka linearna kombinacija rješenja homogenog sustava opet je rješenje.

Rješenje sustava linearnih jednadžbi Gaussovom metodom

Rješavanje sustava linearnih jednadžbi zanimalo je matematičare već nekoliko stoljeća. Prvi rezultati dobiveni su u XVIII stoljeću. Godine 1750. G. Kramer (1704–1752) objavio je svoja djela o determinantama kvadratnih matrica i predložio algoritam za pronalaženje inverzne matrice. Godine 1809. Gauss je iznio novu metodu rješenja poznatu kao metoda eliminacije.

Gaussova metoda, odnosno metoda sukcesivnog eliminiranja nepoznanica, sastoji se u tome da se uz pomoć elementarnih transformacija sustav jednadžbi svodi na ekvivalentni sustav stepenastog (ili trokutastog) oblika. Takvi sustavi omogućuju dosljedno pronalaženje svih nepoznanica određenim redoslijedom.

Pretpostavimo da je u sustavu (1)
(što je uvijek moguće).

(1)

Množenjem prve jednadžbe redom s tzv prikladne brojke

i zbrajanjem rezultata množenja s odgovarajućim jednadžbama sustava, dobivamo ekvivalentni sustav u kojem sve jednadžbe, osim prve, neće imati nepoznanicu x 1

(2)

Sada množimo drugu jednadžbu sustava (2) odgovarajućim brojevima, uz pretpostavku da je to

,

a dodajući ga nižim, eliminiramo varijablu svih jednadžbi, počevši od treće.

Nastavak ovog procesa, nakon
koraci koje dobivamo:

(3)

Ako barem jedan od brojeva
nije jednak nuli, tada je odgovarajuća jednakost nekonzistentna i sustav (1) je nedosljedan. Obrnuto, za bilo koji zajednički brojevni sustav
jednaki su nuli. Broj nije ništa drugo do rang matrice sustava (1).

Prijelaz iz sustava (1) u (3) naziva se u ravnoj liniji Gaussova metoda i pronalaženje nepoznanica iz (3) - unazad .

Komentar : Prikladnije je transformacije izvoditi ne sa samim jednadžbama, već s proširenom matricom sustava (1).

Primjer. Nađimo rješenje za sustav

.

Napišimo proširenu matricu sustava:

.

Dodajmo redovima 2,3,4 prvi, pomnožen s (-2), (-3), (-2) redom:

.

Zamijenimo redove 2 i 3, a zatim u rezultirajuću matricu dodamo redak 2 na red 4, pomnožen s :

.

Dodajte u redak 4 redak 3 pomnožen s
:

.

Očito je da
, dakle sustav je konzistentan. Iz dobivenog sustava jednadžbi

rješenje nalazimo obrnutom zamjenom:

,
,
,
.

Primjer 2 Pronađite rješenje sustava:

.

Očito je da je sustav nedosljedan, jer
, a
.

Prednosti Gaussove metode :

Manje vremena oduzima od Cramerove metode.

Nedvosmisleno utvrđuje kompatibilnost sustava i omogućuje vam pronalaženje rješenja.

Daje mogućnost određivanja ranga bilo koje matrice.

Rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi (SLAE) nedvojbeno je najvažnija tema kolegija linearne algebre. Ogroman broj zadataka iz svih grana matematike svodi se na rješavanje sustava linearnih jednadžbi. Ovi čimbenici objašnjavaju razlog za stvaranje ovog članka. Materijal članka odabran je i strukturiran tako da uz njegovu pomoć možete

• odabrati optimalnu metodu za rješavanje vašeg sustava linearnih algebarskih jednadžbi,
• proučavati teoriju odabrane metode,
• riješite svoj sustav linearnih jednadžbi, detaljno razmotrivši rješenja tipičnih primjera i zadataka.

Kratak opis materijala članka.

Prvo dajemo sve potrebne definicije, koncepte i uvodimo neke oznake.

Zatim se razmatraju metode rješavanja sustava linearnih algebarskih jednadžbi u kojima je broj jednadžbi jednak broju nepoznatih varijabli i koje imaju jedinstveno rješenje. Prvo, usredotočimo se na Cramerovu metodu, drugo, prikazat ćemo matričnu metodu za rješavanje takvih sustava jednadžbi, i treće, analizirat ćemo Gaussovu metodu (metoda sukcesivnog eliminiranja nepoznatih varijabli). Da bismo konsolidirali teoriju, svakako ćemo riješiti nekoliko SLAE-ova na različite načine.

Nakon toga prelazimo na rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi općeg oblika, u kojima se broj jednadžbi ne podudara s brojem nepoznatih varijabli ili je glavna matrica sustava degenerirana. Formuliramo Kronecker-Capellijev teorem koji nam omogućuje da utvrdimo kompatibilnost SLAE-ova. Analizirajmo rješenje sustava (u slučaju njihove kompatibilnosti) koristeći koncept baznog minora matrice. Također ćemo razmotriti Gaussovu metodu i detaljno opisati rješenja primjera.

Obavezno se zadržite na strukturi općeg rješenja homogenih i nehomogenih sustava linearnih algebarskih jednadžbi. Dajmo pojam temeljnog sustava rješenja i pokažimo kako se opće rješenje SLAE piše pomoću vektora temeljnog sustava rješenja. Za bolje razumijevanje, pogledajmo nekoliko primjera.

Zaključno, razmatramo sustave jednadžbi koji se svode na linearne, kao i različite probleme u čijem rješavanju nastaju SLAE.

Navigacija po stranici.

Definicije, pojmovi, oznake.

Razmotrit ćemo sustave p linearnih algebarskih jednadžbi s n nepoznatih varijabli (p može biti jednako n) oblika

Nepoznate varijable, - koeficijenti (neki realni ili kompleksni brojevi), - slobodni članovi (također realni ili kompleksni brojevi).

Ovaj oblik SLAE se zove Koordinirati.

NA matrični oblik ovaj sustav jednadžbi ima oblik ,
gdje - glavna matrica sustava, - matrica-stupac nepoznatih varijabli, - matrica-stupac slobodnih članova.

Ako matrici A kao (n + 1)-ti stupac dodamo matricu-stupac slobodnih pojmova, tada dobivamo tzv. proširena matrica sustavi linearnih jednadžbi. Obično se proširena matrica označava slovom T, a stupac slobodnih članova odvojen je okomitom linijom od ostatka stupaca, tj.

Rješavanjem sustava linearnih algebarskih jednadžbi naziva skup vrijednosti nepoznatih varijabli, koji pretvara sve jednadžbe sustava u identitete. Matrična jednadžba za zadane vrijednosti nepoznatih varijabli također se pretvara u identitet.

Ako sustav jednadžbi ima barem jedno rješenje, onda se zove zgloba.

Ako sustav jednadžbi nema rješenja, onda se zove nespojivo.

Ako SLAE ima jedinstveno rješenje, onda se ono zove izvjesni; ako postoji više od jednog rješenja, onda - neizvjesno.

Ako su slobodni članovi svih jednadžbi sustava jednaki nuli , tada se sustav poziva homogena, inače - heterogena.

Rješenje elementarnih sustava linearnih algebarskih jednadžbi.

Ako je broj jednadžbi sustava jednak broju nepoznatih varijabli, a determinanta njegove glavne matrice nije jednaka nuli, tada ćemo takve SLAE zvati elementarno. Takvi sustavi jednadžbi imaju jedinstveno rješenje, a u slučaju homogenog sustava sve su nepoznate varijable jednake nuli.

Takve SLAE smo počeli učiti u srednjoj školi. Prilikom njihovog rješavanja uzeli smo jednu jednadžbu, izrazili jednu nepoznatu varijablu u terminima drugih i zamijenili je u preostale jednadžbe, zatim uzeli sljedeću jednadžbu, izrazili sljedeću nepoznatu varijablu i zamijenili je u druge jednadžbe i tako dalje. Ili su koristili metodu zbrajanja, odnosno dodali dvije ili više jednadžbi kako bi eliminirali neke nepoznate varijable. Nećemo se detaljnije zadržavati na ovim metodama, budući da su one u biti modifikacije Gaussove metode.

Glavne metode za rješavanje elementarnih sustava linearnih jednadžbi su Cramerova metoda, matrična metoda i Gaussova metoda. Razvrstajmo ih.

Rješavanje sustava linearnih jednadžbi Cramerovom metodom.

Trebamo riješiti sustav linearnih algebarskih jednadžbi

u kojoj je broj jednadžbi jednak broju nepoznatih varijabli, a determinanta glavne matrice sustava je različita od nule, odnosno .

Neka je determinanta glavne matrice sustava, i su determinante matrica koje se dobivaju iz A zamjenom 1., 2., …, n stupcu odnosno koloni slobodnih članova:

Uz takvu notaciju, nepoznate varijable izračunavaju se po formulama Cramerove metode kao . Tako se Cramerovom metodom pronalazi rješenje sustava linearnih algebarskih jednadžbi.

Primjer.

Cramerova metoda .

Odluka.

Glavna matrica sustava ima oblik . Izračunajte njegovu determinantu (ako je potrebno, pogledajte članak):

Budući da je determinanta glavne matrice sustava različita od nule, sustav ima jedinstveno rješenje koje se može pronaći Cramerovom metodom.

Sastavite i izračunajte potrebne determinante (determinanta se dobiva zamjenom prvog stupca u matrici A stupcem slobodnih članova, determinanta - zamjenom drugog stupca stupcem slobodnih članova, - zamjenom trećeg stupca matrice A stupcem slobodnih članova ):

Pronalaženje nepoznatih varijabli pomoću formula :

Odgovor:

Glavni nedostatak Cramerove metode (ako se to može nazvati nedostatkom) je složenost izračunavanja determinanti kada je broj jednadžbi sustava veći od tri.

Rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi matričnom metodom (pomoću inverzne matrice).

Neka je sustav linearnih algebarskih jednadžbi zadan u matričnom obliku, pri čemu matrica A ima dimenziju n po n, a njezina determinanta nije nula.

Budući da je , tada je matrica A invertibilna, odnosno postoji inverzna matrica . Ako obje strane jednakosti pomnožimo s lijevo, onda ćemo dobiti formulu za pronalaženje matrice stupaca nepoznatih varijabli. Tako smo matričnom metodom dobili rješenje sustava linearnih algebarskih jednadžbi.

Primjer.

Riješite sustav linearnih jednadžbi matrična metoda.

Odluka.

Prepišimo sustav jednadžbi u matričnom obliku:

Kao

tada se SLAE može riješiti matričnom metodom. Koristeći inverznu matricu, rješenje ovog sustava može se pronaći kao .

Izgradimo inverznu matricu koristeći matricu algebarskih komplemenata elemenata matrice A (ako je potrebno, pogledajte članak):

Ostaje izračunati - matricu nepoznatih varijabli množenjem inverzne matrice na matrici-stupcu slobodnih članova (ako je potrebno, pogledajte članak):

Odgovor:

ili u drugom zapisu x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Glavni problem u pronalaženju rješenja sustava linearnih algebarskih jednadžbi matričnom metodom je složenost pronalaženja inverzne matrice, posebno za kvadratne matrice reda većeg od trećeg.

Rješavanje sustava linearnih jednadžbi Gaussovom metodom.

Pretpostavimo da trebamo pronaći rješenje za sustav od n linearnih jednadžbi s n nepoznatih varijabli
čija je determinanta glavne matrice različita od nule.

Bit Gaussove metode sastoji se u sukcesivnom isključenju nepoznatih varijabli: prvo, x 1 se isključuje iz svih jednadžbi sustava, počevši od druge, zatim se x 2 isključuje iz svih jednadžbi, počevši od treće, i tako dalje, sve dok se ne pojavi samo nepoznata varijabla x n ostaje u posljednjoj jednadžbi. Takav proces transformacije jednadžbi sustava za uzastopno eliminiranje nepoznatih varijabli naziva se izravna Gaussova metoda. Nakon što se završi napredovanje Gaussove metode, x n se nalazi iz posljednje jednadžbe, x n-1 se izračunava iz pretposljednje jednadžbe koristeći ovu vrijednost, i tako dalje, x 1 se nalazi iz prve jednadžbe. Proces izračunavanja nepoznatih varijabli pri prelasku s posljednje jednadžbe sustava na prvu naziva se obrnuta Gaussova metoda.

Opišimo ukratko algoritam za eliminaciju nepoznatih varijabli.

Pretpostavit ćemo da , budući da to uvijek možemo postići preuređivanjem jednadžbi sustava. Nepoznatu varijablu x 1 izuzimamo iz svih jednadžbi sustava, počevši od druge. Da biste to učinili, dodajte prvu jednadžbu pomnoženu s drugoj jednadžbi sustava, dodajte prvu pomnoženu s trećoj jednadžbi i tako dalje, dodajte prvu pomnoženu s n-toj jednadžbi. Sustav jednadžbi nakon takvih transformacija poprimit će oblik

gdje .

Do istog bismo rezultata došli ako bismo izrazili x 1 u terminima drugih nepoznatih varijabli u prvoj jednadžbi sustava i zamijenili rezultirajući izraz u sve ostale jednadžbe. Dakle, varijabla x 1 je isključena iz svih jednadžbi, počevši od druge.

Zatim postupamo slično, ali samo s dijelom rezultirajućeg sustava, koji je označen na slici

Da biste to učinili, dodajte drugu jednadžbu pomnoženu s trećoj jednadžbi sustava, dodajte drugu pomnoženu s četvrtoj jednadžbi i tako dalje, dodajte drugu pomnoženu s n-toj jednadžbi. Sustav jednadžbi nakon takvih transformacija poprimit će oblik

gdje . Dakle, varijabla x 2 je isključena iz svih jednadžbi, počevši od treće.

Zatim nastavljamo s eliminacijom nepoznatog x 3, a isto tako postupamo s dijelom sustava označenim na slici

Tako nastavljamo izravni tijek Gaussove metode sve dok sustav ne poprimi oblik

Od ovog trenutka počinjemo obrnuti tijek Gaussove metode: izračunavamo x n iz posljednje jednadžbe kao , koristeći dobivenu vrijednost x n nalazimo x n-1 iz pretposljednje jednadžbe, i tako dalje, nalazimo x 1 iz prva jednadžba.

Primjer.

Riješite sustav linearnih jednadžbi Gaussova metoda.

Odluka.

Izuzmimo nepoznatu varijablu x 1 iz druge i treće jednadžbe sustava. Da bismo to učinili, na oba dijela druge i treće jednadžbe dodajemo odgovarajuće dijelove prve jednadžbe, pomnožene s, odnosno s:

Sada isključujemo x 2 iz treće jednadžbe dodavanjem lijevog i desnog dijela druge jednadžbe lijevim i desnim dijelovima druge jednadžbe, pomnoženim s:

Na tome je završen smjer naprijed Gaussove metode, počinjemo obrnuti tečaj.

Iz posljednje jednadžbe rezultirajućeg sustava jednadžbi nalazimo x 3:

Iz druge jednadžbe dobivamo .

Iz prve jednadžbe nalazimo preostalu nepoznatu varijablu i time završavamo obrnuti tijek Gaussove metode.

Odgovor:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 \u003d -1.

Rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi općeg oblika.

U općem slučaju, broj jednadžbi sustava p ne podudara se s brojem nepoznatih varijabli n:

Takvi SLAE možda nemaju rješenja, imaju jedno rješenje ili imaju beskonačno mnogo rješenja. Ova tvrdnja vrijedi i za sustave jednadžbi čija je glavna matrica kvadratna i degenerirana.

Kronecker-Capellijev teorem.

Prije pronalaska rješenja sustava linearnih jednadžbi potrebno je utvrditi njegovu kompatibilnost. Odgovor na pitanje kada je SLAE kompatibilan, a kada nekompatibilan, daje Kronecker–Capellijev teorem:
da bi sustav p jednadžbi s n nepoznanica (p može biti jednako n ) bio konzistentan potrebno je i dovoljno da je rang glavne matrice sustava jednak rangu proširene matrice, odnosno Rank( A) = Rang (T) .

Razmotrimo kao primjer primjenu Kronecker-Cappellijevog teorema za određivanje kompatibilnosti sustava linearnih jednadžbi.

Primjer.

Saznajte ima li sustav linearnih jednadžbi rješenja.

Odluka.

. Poslužimo se metodom graničenja maloljetnika. Minor drugog reda različito od nule. Idemo preko maloljetnika trećeg reda koji ga okružuju:

Budući da su svi granični minori trećeg reda jednaki nuli, rang glavne matrice je dva.

Zauzvrat, rang proširene matrice jednako je tri, budući da je minor trećeg reda

različito od nule.

Tako, Rang(A) , dakle, prema Kronecker-Capellijevom teoremu, možemo zaključiti da je izvorni sustav linearnih jednadžbi nekonzistentan.

Odgovor:

Ne postoji sustav rješenja.

Dakle, naučili smo utvrditi nekonzistentnost sustava koristeći Kronecker-Capellijev teorem.

Ali kako pronaći rješenje SLAE ako je uspostavljena njegova kompatibilnost?

Za to nam je potreban koncept baznog minora matrice i teorem o rangu matrice.

Zove se minor najvišeg reda matrice A, osim nule Osnovni, temeljni.

Iz definicije baznog minora slijedi da je njegov red jednak rangu matrice. Za matricu A koja nije nula, može postojati nekoliko osnovnih minora; uvijek postoji jedan osnovni minor.

Na primjer, razmotrite matricu .

Svi minori trećeg reda ove matrice jednaki su nuli, budući da su elementi trećeg retka ove matrice zbroj odgovarajućih elemenata prvog i drugog reda.

Sljedeći minori drugog reda su osnovni, budući da su različiti od nule

Maloljetnici nisu osnovne, jer su jednake nuli.

Teorem o rangu matrice.

Ako je rang matrice reda p po n r, tada se svi elementi redaka (i stupaca) matrice koji ne tvore odabrani bazni minor linearno izražavaju u terminima odgovarajućih elemenata redaka (i stupaca) ) koji čine osnovni mol.

Što nam daje teorem o rangu matrice?

Ako smo Kronecker-Capellijevim teoremom utvrdili kompatibilnost sustava, tada biramo bilo koji osnovni minor glavne matrice sustava (njegov red je jednak r), a iz sustava isključujemo sve jednadžbe koje ne odgovaraju tvore izabrani osnovni mol. Ovako dobivena SLAE bit će ekvivalentna izvornoj, budući da su odbačene jednadžbe još uvijek suvišne (prema teoremu o rangu matrice one su linearna kombinacija preostalih jednadžbi).

Kao rezultat, nakon odbacivanja prekomjernih jednadžbi sustava moguća su dva slučaja.

Ako je broj jednadžbi r u rezultirajućem sustavu jednak broju nepoznatih varijabli, tada će ona biti definitivna i jedino se rješenje može naći Cramerovom metodom, matričnom metodom ili Gaussovom metodom.

Primjer.

.

Odluka.

Rang glavne matrice sustava jednako je dva, budući da je minor drugog reda različito od nule. Prošireni rang matrice također je jednako dva, budući da je jedini minor trećeg reda jednak nuli

a minor drugog reda razmatranog gore je različit od nule. Na temelju Kronecker-Capellijevog teorema, može se ustvrditi kompatibilnost izvornog sustava linearnih jednadžbi, budući da je Rank(A)=Rank(T)=2.

Kao osnovni mol, uzimamo . Formiran je koeficijentima prve i druge jednadžbe:


Treća jednadžba sustava ne sudjeluje u formiranju osnovnog minora, pa je isključujemo iz sustava na temelju teorema o rangu matrice:


Tako smo dobili elementarni sustav linearnih algebarskih jednadžbi. Riješimo ga Cramerovom metodom:


Odgovor:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Ako je broj jednadžbi r u rezultirajućem SLAE manji od broja nepoznatih varijabli n, tada ostavljamo članove koji čine osnovni minor u lijevim dijelovima jednadžbe, a preostale članove prenosimo u desne dijelove jednadžbe sustav sa suprotnim predznakom.

Nepoznate varijable (ima ih r) koje su ostale na lijevoj strani jednadžbe nazivaju se glavni.

Nepoznate varijable (ima ih n - r) koje su završile na desnoj strani se pozivaju besplatno.

Sada pretpostavljamo da slobodne nepoznate varijable mogu imati proizvoljne vrijednosti, dok će r glavnih nepoznatih varijabli biti izražene u terminima slobodnih nepoznatih varijabli na jedinstven način. Njihov se izraz može pronaći rješavanjem rezultirajuće SLAE Cramer metodom, matričnom metodom ili Gaussovom metodom.

Uzmimo primjer.

Primjer.

Riješite sustav linearnih algebarskih jednadžbi .

Odluka.

Pronađite rang glavne matrice sustava metodom graničnih maloljetnika. Uzmimo 1 1 = 1 kao minor prvog reda različit od nule. Počnimo tražiti minor drugog reda različit od nule koji okružuje ovaj minor:


Tako smo pronašli minor koji nije nula drugog reda. Počnimo tražiti granični minor koji nije nula trećeg reda:


Dakle, rang glavne matrice je tri. Rang proširene matrice je također jednak tri, odnosno sustav je dosljedan.

Pronađeni minor trećeg reda različit od nule uzet će se kao osnovni.

Radi jasnoće prikazujemo elemente koji čine osnovni mol:


Članove koji sudjeluju u osnovnom minoru ostavljamo na lijevoj strani jednadžbe sustava, a ostale s suprotnim predznacima prenosimo na desne strane:


Dajemo slobodne nepoznate varijable x 2 i x 5 proizvoljne vrijednosti, odnosno uzimamo , gdje su proizvoljni brojevi. U ovom slučaju, SLAE poprima oblik


Dobiveni elementarni sustav linearnih algebarskih jednadžbi rješavamo Cramerovom metodom:


Stoga, .

U odgovoru ne zaboravite navesti slobodne nepoznate varijable.

Odgovor:

Gdje su proizvoljni brojevi.

Rezimirati.

Kako bismo riješili sustav linearnih algebarskih jednadžbi općeg oblika, prvo ćemo utvrditi njegovu kompatibilnost pomoću Kronecker-Capellijevog teorema. Ako rang glavne matrice nije jednak rangu proširene matrice, tada zaključujemo da je sustav nekonzistentan.

Ako je rang glavne matrice jednak rangu proširene matrice, tada biramo osnovni minor i odbacujemo jednadžbe sustava koje ne sudjeluju u formiranju odabranog osnovnog minora.

Ako je red baznog minora jednak broju nepoznatih varijabli, tada SLAE ima jedinstveno rješenje, koje se može pronaći bilo kojom metodom koja nam je poznata.

Ako je red baznog minora manji od broja nepoznatih varijabli, tada na lijevoj strani jednadžbi sustava ostavljamo članove s glavnim nepoznatim varijablama, preostale članove prenosimo na desne strane i dodjeljujemo proizvoljne vrijednosti ​na slobodne nepoznate varijable. Iz dobivenog sustava linearnih jednadžbi nalazimo glavne nepoznate varijable Cramerovom metodom, matričnom metodom ili Gaussovom metodom.

Gaussova metoda za rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi općeg oblika.

Koristeći Gaussovu metodu, moguće je riješiti sustave linearnih algebarskih jednadžbi bilo koje vrste bez njihovog preliminarnog ispitivanja kompatibilnosti. Proces uzastopnog eliminiranja nepoznatih varijabli omogućuje izvođenje zaključka o kompatibilnosti i nedosljednosti SLAE, a ako rješenje postoji, omogućuje ga pronalaženje.

Sa stajališta računskog rada, Gaussova metoda je poželjnija.

Njezin detaljan opis i analizirane primjere pogledajte u članku Gaussova metoda za rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi općeg oblika.

Zapisivanje općeg rješenja homogenih i nehomogenih linearnih algebarskih sustava pomoću vektora temeljnog sustava rješenja.

U ovom dijelu ćemo se usredotočiti na zajedničke homogene i nehomogene sustave linearnih algebarskih jednadžbi koje imaju beskonačan broj rješenja.

Prvo se pozabavimo homogenim sustavima.

Temeljni sustav odlučivanja Homogeni sustav p linearnih algebarskih jednadžbi s n nepoznatih varijabli je skup (n – r) linearno neovisnih rješenja ovog sustava, gdje je r red baznog minora glavne matrice sustava.

Ako linearno nezavisna rješenja homogene SLAE označimo kao X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) su matrice stupaca dimenzija n s 1 ) , tada se opće rješenje ovog homogenog sustava predstavlja kao linearna kombinacija vektora temeljnog sustava rješenja s proizvoljnim konstantnim koeficijentima S 1 , S 2 , …, S (n-r), odnosno .

Što znači pojam opće rješenje homogenog sustava linearnih algebarskih jednadžbi (oroslau)?

Značenje je jednostavno: formula definira sva moguća rješenja izvorne SLAE, drugim riječima, uzimajući bilo koji skup vrijednosti proizvoljnih konstanti C 1 , C 2 , ..., C (n-r) , prema formuli koju dobit će jedno od rješenja izvorne homogene SLAE.

Dakle, ako pronađemo temeljni sustav rješenja, onda možemo postaviti sva rješenja ove homogene SLAE kao .

Pokažimo proces konstruiranja temeljnog sustava rješenja za homogenu SLAE.

Odabiremo osnovni minor izvornog sustava linearnih jednadžbi, isključujemo sve ostale jednadžbe iz sustava i prenosimo na desnu stranu jednadžbi sustava suprotnih predznaka sve članove koji sadrže slobodne nepoznate varijable. Dajmo slobodnim nepoznatim varijablama vrijednosti 1,0,0,…,0 i izračunajmo glavne nepoznanice rješavanjem rezultirajućeg elementarnog sustava linearnih jednadžbi na bilo koji način, na primjer, Cramerovom metodom. Tako će se dobiti X (1) – prvo rješenje temeljnog sustava. Ako slobodnim nepoznanicama damo vrijednosti 0,1,0,0,…,0 i izračunamo glavne nepoznanice, onda ćemo dobiti X (2) . itd. Ako slobodnim nepoznatim varijablama damo vrijednosti 0,0,…,0,1 i izračunamo glavne nepoznanice, onda ćemo dobiti X (n-r) . Tako će se konstruirati temeljni sustav rješenja homogene SLAE i njegovo opće rješenje može se zapisati u obliku .

Za nehomogene sustave linearnih algebarskih jednadžbi opće rješenje je predstavljeno kao

Pogledajmo primjere.

Primjer.

Pronađite temeljni sustav rješenja i opće rješenje homogenog sustava linearnih algebarskih jednadžbi .

Odluka.

Rang glavne matrice homogenih sustava linearnih jednadžbi uvijek je jednak rangu proširene matrice. Pronađimo rang glavne matrice metodom rubnih minora. Kao nenulti minor prvog reda uzimamo element a 1 1 = 9 glavne matrice sustava. Pronađite granični minor koji nije nula drugog reda:

Pronađen je minor drugog reda, različit od nule. Prođimo kroz minore trećeg reda koji ga graniče u potrazi za nenultom jedinicom:

Svi granični minori trećeg reda jednaki su nuli, stoga je rang glavne i proširene matrice dva. Uzmimo osnovni mol. Radi jasnoće, bilježimo elemente sustava koji ga čine:

Treća jednadžba izvorne SLAE ne sudjeluje u formiranju osnovnog minora, stoga se može isključiti:

Ostavljamo članove koji sadrže glavne nepoznanice na desnim stranama jednadžbe, a članove sa slobodnim nepoznanicama prenosimo na desne strane:

Konstruirajmo temeljni sustav rješenja izvornog homogenog sustava linearnih jednadžbi. Temeljni sustav rješenja ovog SLAE sastoji se od dva rješenja, budući da izvorni SLAE sadrži četiri nepoznate varijable, a redoslijed njegovog osnovnog minora je dva. Da bismo pronašli X (1), dajemo slobodnim nepoznatim varijablama vrijednosti x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, zatim pronalazimo glavne nepoznanice iz sustava jednadžbi
.

Nastavit ćemo polirati tehniku elementarne transformacije na homogeni sustav linearnih jednadžbi.
Prema prvim odlomcima, materijal može djelovati dosadno i obično, ali ovaj dojam je varljiv. Uz daljnji razvoj tehnika bit će puno novih informacija, stoga vas molimo da ne zanemarite primjere u ovom članku.

Što je homogeni sustav linearnih jednadžbi?

Odgovor se nameće sam od sebe. Sustav linearnih jednadžbi je homogen ako je slobodni član svatko jednadžba sustava je nula. Na primjer:

Sasvim je jasno da homogeni sustav je uvijek dosljedan, odnosno uvijek ima rješenje. I, prije svega, tzv trivijalno odluka . Trivijalno, za one koji uopće ne razumiju značenje pridjeva, znači bespontovo. Ne akademski, naravno, ali razumljivo =) ... Zašto se tucati, hajde da saznamo ima li ovaj sustav još neko rješenje:

Primjer 1

Odluka: za rješavanje homogenog sustava potrebno je napisati matrica sustava te ga uz pomoć elementarnih transformacija dovesti u stepenasti oblik. Imajte na umu da ovdje nema potrebe zapisivati ​​okomitu traku i nulti stupac slobodnih članova - jer što god učinili s nulama, one će ostati nula:

(1) Prvi red je dodan drugom redu, pomnožen s -2. Prvi red je dodan trećem redu, pomnožen s -3.

(2) Drugi red je dodan trećem retku, pomnožen s -1.

Dijeliti treći red s 3 nema puno smisla.

Kao rezultat elementarnih transformacija dobiva se ekvivalentan homogeni sustav , i, primjenom obrnutih poteza Gaussove metode, lako je provjeriti da je rješenje jedinstveno.

Odgovor:

Formulirajmo očiti kriterij: homogeni sustav linearnih jednadžbi ima samo trivijalno rješenje, ako rang matrice sustava(u ovom slučaju 3) jednako je broju varijabli (u ovom slučaju 3 kom.).

Zagrijavamo i podešavamo naš radio na val elementarnih transformacija:

Primjer 2

Riješite homogeni sustav linearnih jednadžbi

Kako bismo konačno popravili algoritam, analizirajmo konačni zadatak:

Primjer 7

Riješite homogeni sustav, napišite odgovor u vektorskom obliku.

Odluka: pišemo matricu sustava i pomoću elementarnih transformacija dovodimo je u stepenasti oblik:

(1) Predznak prvog retka je promijenjen. Još jednom skrećem pozornost na tehniku ​​koja se više puta susreće, što vam omogućuje da značajno pojednostavite sljedeću radnju.

(1) Prvi redak dodan je 2. i 3. retku. Prvi red pomnožen s 2 dodan je u 4. redak.

(3) Posljednja tri retka su proporcionalna, dva su uklonjena.

Kao rezultat, dobiva se standardna matrica koraka, a rješenje se nastavlja duž nazubljene staze:

– osnovne varijable;
su slobodne varijable.

Osnovne varijable izražavamo u terminima slobodnih varijabli. Iz 2. jednadžbe:

- zamjena u 1. jednadžbi:

Dakle, opće rješenje je:

Budući da u razmatranom primjeru postoje tri slobodne varijable, temeljni sustav sadrži tri vektora.

Zamijenimo trostruku vrijednosti u opće rješenje i dobijemo vektor čije koordinate zadovoljavaju svaku jednadžbu homogenog sustava. I opet, ponavljam da je vrlo poželjno provjeriti svaki primljeni vektor - neće trebati toliko vremena, ali će uštedjeti sto posto od pogrešaka.

Za trostruku vrijednost pronađite vektor

I na kraju za trojku dobivamo treći vektor:

Odgovor: , gdje

Oni koji žele izbjeći razlomke mogu uzeti u obzir trojke i dobiti odgovor u ekvivalentnom obliku:

Govoreći o razlomcima. Pogledajmo matricu dobivenu u zadatku i postaviti pitanje - je li moguće pojednostaviti daljnje rješenje? Uostalom, ovdje smo prvo izrazili osnovnu varijablu u terminima razlomaka, zatim osnovnu varijablu u terminima razlomaka, i, moram reći, ovaj proces nije bio najlakši i ne najugodniji.

Drugo rješenje:

Ideja je pokušati odabrati druge osnovne varijable. Pogledajmo matricu i uočimo dva u trećem stupcu. Pa zašto ne dobiti nulu na vrhu? Napravimo još jednu elementarnu transformaciju:

Možete naručiti detaljno rješenje vašeg problema !!!

Da bi razumjeli što je temeljni sustav odlučivanja možete pogledati video tutorial za isti primjer klikom na . Sada prijeđimo na opis svih potrebnih radova. To će vam pomoći da detaljnije shvatite bit ovog pitanja.

Kako pronaći temeljni sustav rješenja linearne jednadžbe?

Uzmimo za primjer sljedeći sustav linearnih jednadžbi:

Nađimo rješenje za ovaj linearni sustav jednadžbi. Za početak, mi zapišite matricu koeficijenata sustava.

Transformirajmo ovu matricu u trokutastu. Prepisujemo prvi red bez promjena. I svi elementi koji su ispod $a_(11)$ moraju biti nula. Da biste postavili nulu na mjesto elementa $a_(21)$, trebate oduzeti prvi od drugog retka, a razliku upisati u drugi redak. Da biste postavili nulu na mjesto elementa $a_(31)$, trebate oduzeti prvi od trećeg retka i upisati razliku u treći red. Da biste postavili nulu na mjesto elementa $a_(41)$, trebate oduzeti prvo pomnoženo s 2 iz četvrtog retka i upisati razliku u četvrti redak. Da biste napravili nulu umjesto elementa $a_(31)$, oduzmite prvu pomnoženu s 2 iz petog retka i upišite razliku u peti redak.

Prepisujemo prvi i drugi redak bez promjena. I svi elementi koji su ispod $a_(22)$ moraju biti nula. Da biste na mjestu elementa $a_(32)$ napravili nulu, potrebno je od trećeg retka oduzeti drugu pomnoženu s 2, a razliku upisati u treći red. Da biste postavili nulu na mjesto elementa $a_(42)$, trebate oduzeti drugi red pomnožen s 2 iz četvrtog retka i upisati razliku u četvrti redak. Da biste napravili nulu umjesto elementa $a_(52)$, oduzmite drugu pomnoženu s 3 od petog retka i upišite razliku u peti redak.

Vidimo to zadnja tri retka su ista, pa ako od četvrtog i petog oduzmete treći, tada će postati nula.

Za ovu matricu zapišite novi sustav jednadžbi.

Vidimo da imamo samo tri linearno nezavisne jednadžbe i pet nepoznanica, pa će se temeljni sustav rješenja sastojati od dva vektora. Dakle, mi pomaknite posljednje dvije nepoznanice udesno.

Sada počinjemo izražavati one nepoznanice koje su na lijevoj strani kroz one koje su na desnoj strani. Počinjemo od zadnje jednadžbe, prvo izražavamo $x_3$, zatim zamjenjujemo dobiveni rezultat u drugu jednadžbu i izražavamo $x_2$, a zatim u prvu jednadžbu i ovdje izražavamo $x_1$. Tako smo sve nepoznanice koje su na lijevoj strani izrazile kroz nepoznanice koje su na desnoj strani.

Nakon toga, umjesto $x_4$ i $x_5$, možete zamijeniti bilo koje brojeve i pronaći $x_1$, $x_2$ i $x_3$. Svakih takvih pet brojeva bit će korijeni našeg izvornog sustava jednadžbi. Da biste pronašli vektore koji su uključeni u FSR trebamo zamijeniti 1 umjesto $x_4$, i zamijeniti 0 umjesto $x_5$, pronaći $x_1$, $x_2$ i $x_3$, a zatim obrnuto $x_4=0$ i $x_5=1$.