Dokazano od strane znanosti: Kako riješiti složene probleme u polusnu. Rješavanje jednostavnih linearnih jednadžbi

Postoje trenuci u životu kada se pred vama pojavi naizgled beznadna situacija - ili problem čije rješenje obećava da vam neće ići u prilog. Nemojte žuriti odustati od ostvarenja svojih snova, postići svoj cilj ili paničariti. Jedan antički mudar čovjek je rekao: "Odaberi vrijeme za razmišljanje - ovo je izvor snage." Pa, teško je ne složiti se s njim, jer um je moćno oružje. Čak i najsloženiji problem ima na desetke rješenja, a samo je izvan vidokruga jer su ljudi navikli razmišljati u određenim okvirima. Za rješavanje složenog problema potrebno je koordinirati rad svijesti i podsvijesti - to će proširiti vaš "horizont" i omogućiti vam da vidite nove mogućnosti.

Tehnika "100 ideja"

Za savladavanje tehnike 100 ideja trebat će vam samo 1-2 sata slobodnog vremena, udoban osobni kutak u kojem vas nitko neće ometati, kao i papir i olovka. Unaprijed zamolite rodbinu i prijatelje da vas ne uključuju tijekom “meditacije”, isključite telefon i samo se opustite. Na vrhu papira formulirajte i zapišite svoje pitanje ili dilemu. Označite popis od jedan do 100 i počnite generirati ideje.

Isprva ideje dolaze jedna za drugom, iako, nažalost, nisu nove – opisati ćete sve svoje „adute“, uključujući vještine, poznanstva, veze, financijska sredstva, vrijeme koje možete posvetiti rješavanju problema. Tada će vam se i dalje činiti nevjerojatnim pronaći sto odgovora, a ako se zaustavite na 20-30 bodova, osjećat ćete se praznim. Čeka vas mali zastoj, prirodno nastao kada je svijest, hodajući u začaranom krugu, iscrpila mogućnosti koje joj stoje na raspolaganju i prošla sve ono s čime se već susrela u osobnom iskustvu.

Druga faza vašeg putovanja do vaše podsvijesti je još 40 točaka gdje još uvijek koristite svoju svijest, ali vaše skrivene moći počinju se buditi i otvara vam se drugi vjetar. U ovoj fazi pojavljuje se slika vašeg razmišljanja. Primijetit ćete da se vaše ideje počinju ponavljati, a u njima ima svakakvih klišeja i stavova. Nije vam cilj odbaciti ih, nego ih marljivo zapisivati na papir, a evo i zašto: upravo su te marke okviri iz kojih ne možete izaći i pogledati oko sebe. To može biti javno mnijenje, nezadovoljstvo vlastima, nedostatak povjerenja u vlastite sposobnosti i bilo koje druge "bruge" u vašoj psihi. U isto vrijeme možete otkriti svoje skrivene probleme ili strahove koji vas sprječavaju da krenete naprijed. Ova će faza od vas zahtijevati najveću izdržljivost - uostalom, nije nimalo lako odbaciti prvih trideset točaka koje su očito u vašoj zoni udobnosti i preuzeti nove, nepoznate i stoga ponekad zastrašujuće ideje - to je normalno, glavno je ne odustati. Osim toga, ova unutarnja borba samo pomaže da se prijeđe na treću fazu putovanja.

Upravo će zadnjih 30 točaka otvoriti Pandorinu kutiju pred vama, jer broj 100 nije slučajno odabran. To je ono što omogućuje vašoj intuiciji da se potpuno otvori i iznenadi se neočekivanim "uvidima odozgo" - improviziranjem vaše podsvijesti koja se budi, odakle se ideje pojavljuju bez ikakve obrade i filtriranja od strane uma. U svojoj potrazi već ste napustili logiku, primijetivši koliko je ona zapravo kvadratna, i shvaćate da vaš način razmišljanja leži samo u jednoj ravnini - a ispostavilo se da je svijet trodimenzionalan (ne računajući vrijeme). Sada, kada vam um prestane diktirati što je “moguće”, a što “ne”, otvaraju se vrata podsvijesti. Lako možete izmisliti nešto neobično i na prvi pogled potpuno apsurdno. Možda vam se čak čini da ne biste trebali zapisivati ideju koja vam je očito neprikladna, nije jasno koje su vam se slike pojavile u glavi. Međutim, upravo čudne, ponekad glupe fraze mogu se pokazati kao nerafinirani dijamanti. Sjetite se kako su ljudi mislili da je Zemlja ravna i bojali su se pasti s njezina ruba i kako se ideja da je planet okrugao i da se vrti nekoć nazivala herezom. Lude ideje vam možda na prvu neće biti jasne, ali osjetit ćete da u njima ima nešto – ovo će vam poslužiti kao slamka koja će vam reći u pravom smjeru.

Može se dogoditi i da, nakon što ste iznijeli toliko ideja, odjednom shvatite da to uopće nije bio problem – ili ste vidjeli samo vrh ledenog brijega, pa trebate napraviti novi popis kako biste odgovorili na sasvim drugo pitanje.

Postoji još nekoliko pravila koja se moraju poštivati pri radu s ovom tehnikom. Prije svega, popis se mora sastaviti odjednom, bez prekida - inače će vaše uspavane briljantne ideje ostati uspavane pod teretom svakodnevnog razmišljanja. Dok radite, nemojte ponovno čitati popis i procjenjivati koliko je već učinjeno i koliko bodova je ostalo - to će vam odvratiti pažnju i spriječiti da se vaše misli prirodno ponavljaju - i stoga vam neće dopustiti da vidite svoje kamene spoticanja. Uključite se odmah: procijenit ćete i kritizirati svoje ideje nakon što nacrtate sve stotine točaka - a dok je proces u tijeku, trebate zapisati sve svoje misli (uostalom, niste dužni nikome pokazati ovaj rad ako ti ne želiš). Ako je posao u punom jeku, skratite riječi, glavno je da onda možete pročitati što ste mislili. Možete, naravno, koristiti laptop umjesto olovke i papira, ali zapamtite: izvor elektromagnetskih valova, barem u teoriji, sprječava vaš mozak, auru i, ako želite, čakre da se povežu s univerzalnim umom - i općenito je super za funkcioniranje. Ali ovo je po osobnom nahođenju.

“Ukusni” bonusi tehnike “100 ideja” nisu samo u mogućnosti duboke introspekcije i pronalaženja originalnih rješenja za teške situacije, već i u činjenici da se uz nju možete raznoliko razvijati i planirati svoju budućnost, pronaći nove poticaje za samorazvoj i rast iznad sebe . Da biste to učinili, u slobodno vrijeme razmislite o odgovorima na sljedeće (i bilo koju od svojih) tema:

Kako se educirati
Kako poboljšati odnose
Kako poboljšati svoj život
Kako zaraditi novac
Kako unaprijediti poslovanje
Kako pomoći ljudima
Kako povećati osobnu učinkovitost
Kako postati zdraviji
Stvari koje odgađam do sutra
Stvari koje radim najbolje
Stvari koje me demotiviraju
Kvalitete koje želim razviti u sebi
Pitanja na koja moram pronaći odgovore
Vrijednosti u koje vjerujem
Stvari koje cijenim u životu
Profesije u kojima se želim okušati
Stvari (ljude) koje me usporavaju u postizanju mog cilja
Stvari koje me razvesele
Zaključci koje me život naučio
Stvari kojih se treba riješiti
Mjesta koja bih volio posjetiti
Greške koje opraštam sebi (drugima)
Načini kreativnijeg razmišljanja

Sjedite u restoranu i listate jelovnik. Sva jela izgledaju tako ukusna da ne znate što odabrati. Možda ih sve naručiti?

Sigurno ste se susreli s takvim problemima. Ako ne u hrani, onda u nečem drugom. Trošimo ogromnu količinu vremena i energije pokušavajući napraviti izbor između jednako atraktivnih opcija. No, s druge strane, opcije ne mogu biti iste, jer je svaka od njih privlačna na svoj način.

Jednom kada napravite izbor, suočeni ste s novim izborom. Ovo je beskonačan niz važnih odluka, a to su strah od pogrešnog izbora. Ove tri metode pomoći će vam da donesete bolje odluke na svim razinama vašeg života.

Stvorite navike kako biste izbjegli svakodnevne odluke

Poanta je da ako steknete naviku jesti salatu za ručak, nećete morati odlučivati što ćete naručiti u kafiću.

Razvijanjem navika koje se bave tako jednostavnim svakodnevnim poslovima štedite energiju za donošenje složenijih i važnijih odluka. Osim toga, steknete li naviku doručkovati salatu, nećete morati gubiti snagu volje da umjesto salate ne pojedete nešto masno i prženo.

Ali to se odnosi na predvidljive slučajeve. Što je s neočekivanim odlukama?

"Ako - onda": metoda za nepredvidive odluke

Primjerice, netko vam stalno prekida govor i niste sigurni kako na to reagirati i trebate li uopće reagirati. Prema metodi ako-onda odlučujete: ako vas prekine još dva puta, onda ćete mu uputiti pristojnu primjedbu, a ako to ne uspije, onda u grubljim oblicima.

Ove dvije metode pomažu u donošenju većine odluka s kojima se svakodnevno suočavamo. Ali kada je riječ o pitanjima strateškog planiranja, kao što su kako odgovoriti na prijetnje konkurencije, u koje proizvode više ulagati, gdje smanjiti proračun, oni su nemoćni.

Riječ je o odlukama koje se mogu odgađati tjedan, mjesec ili čak godinu dana, ometajući razvoj tvrtke. S njima se ne može nositi navikom, a metoda ako-onda ni ovdje neće raditi. Na takva pitanja u pravilu nema jasnih i točnih odgovora.

Često voditeljski tim odgađa donošenje takvih odluka. Prikuplja informacije, važe prednosti i nedostatke, nastavlja čekati i promatrati situaciju, nadajući se da će se pojaviti nešto što će ukazati na pravu odluku.

A ako pretpostavimo da nema pravog odgovora, hoće li to pomoći da se brzo donese odluka?

Zamislite da trebate donijeti odluku u sljedećih 15 minuta. Ne sutra, ne idući tjedan, kada prikupite dovoljno informacija, a ne za mjesec dana, kada razgovarate sa svima koji su uključeni u problem.

Imate četvrt sata da donesete odluku. Poduzmite akciju.

Ovo je treći način koji pomaže u donošenju teških odluka vezanih uz dugoročno planiranje.

Iskoristite vrijeme

Ako ste istražili problem i otkrili da su opcije za njegovo rješavanje jednako privlačne, prihvatite da ne postoji pravi odgovor, postavite si vremensko ograničenje i jednostavno odaberite bilo koju od opcija. Ako testiranje nekog od rješenja zahtijeva minimalna ulaganja, odaberite ga i testirajte. Ali ako to nije moguće, onda odaberite bilo koji i što je prije moguće: vrijeme koje potrošite na beskorisne misli može se bolje iskoristiti.

Naravno, možda se ne slažete: "Ako pričekam, može se pojaviti točan odgovor." Možda, ali, kao prvo, gubite dragocjeno vrijeme čekajući da se situacija razjasni. Drugo, čekanje uzrokuje odugovlačenje i odgađanje drugih odluka vezanih uz to, smanjuje produktivnost i usporava razvoj tvrtke.

Pokušajte odmah. Ako imate pitanje koje ste dugo odgađali, dajte si tri minute i učinite to. Ako imate previše sličnih, napišite popis i odredite vrijeme za svako rješenje.

Vidjet ćete, sa svakom odlukom koju donesete osjećat ćete se malo bolje, smanjit će vam se tjeskoba, osjetit ćete da idete naprijed.

Dakle, birate laganu salatu. Je li to bio pravi izbor? Tko zna... Bar ste jeli, a ne sjedili gladni nad jelovnikom jela.

Znanstvenici su proučavali ritmove moždane aktivnosti i identificirali onaj koji je najprikladniji za kreativni uvid i potragu za korisnim idejama.

Znanstvenici su proučavali ritmove moždane aktivnosti i identificirali onaj koji je najprikladniji za kreativni uvid i potragu za korisnim idejama.

Tamo je. Spavati. Riješiti probleme. Ponoviti. Velika je vjerojatnost da, osim noćnog sna, većinu vremena provodite rješavajući razne probleme – posebice na poslu.

Nije da je bilo loše. Mnogi od najboljih svjetskih poduzetnika, od Sarah Blakely do Richarda Bransona, duguju svoj uspjeh svojoj sposobnosti da identificiraju probleme (u ovom slučaju nezadovoljene potrebe potrošača) i iznađu rješenja.

Ali koliko god da je rješavanje problema važno u našim životima, to je još uvijek stres, a čini se da se neki ljudi s njim nose bolje od drugih.

Stoga, za one koji žele postati uspješniji u ovoj igri, možete isprobati nešto novo: tražiti rješenja u snu. doslovno. To se zove "Uhvati svoj Theta ritam". Ne, ne radi se o samohipnozi ili meditaciji: to je čista znanost i djeluje.

Ali prvo shvatimo:

Što su moždani ritmovi?

Kako objašnjava profesor Ned Herrmann, to je ritmove koji kontroliraju električnu aktivnost mozga. Ovisno o vašoj razini aktivnosti mogu se razlikovati četiri različita ritma. Navodimo ih po opadajućoj frekvenciji valova.

Tijekom razdoblja maksimalne aktivnosti (na primjer, tijekom važnog razgovora za posao), vaš mozak radi beta ritam.
Kada ste opušteni – na primjer, upravo ste završili veliki projekt i konačno možete izdahnuti – mozak se prebacuje na alfa ritam.
Sada skočimo naprijed: četvrti ritam označen je slovom "delta" i fiksiran je kada ste u dubokom snu.

Preskočili smo treću fazu, theta ritam, jer je on najprikladniji za rješavanje problema. Herrmann kaže:

“Ljudi koji provode puno vremena za volanom često dolaze na dobre ideje u tim razdobljima kada su u theta ritmu... To se može dogoditi pod tušem ili kadom, pa čak i tijekom brijanja ili češljanja kose. Ovo je stanje u kojem rješavanje problema postaje toliko automatsko da se možete mentalno odvojiti od njega. Kod theta ritma često se čini da tok misli ničim nije ograničen – ni unutarnjom cenzurom, ni krivnjom.

Mozak dolazi u ovo stanje, uključujući i tijekom uspavljivanja ili buđenja, kada balansirate između budnosti i dubokog sna. Herrmann objašnjava:

“Tijekom buđenja, mozak može održavati theta ritam dulje vrijeme, recimo 5 do 15 minuta, a to vrijeme može se iskoristiti za slobodno razmišljanje o jučerašnjim događajima ili onome što treba učiniti u novom danu. Ovo razdoblje može biti vrlo produktivno i donijeti mnogo smislenih i kreativnih ideja.”

Ima li pravih dokaza da ovo djeluje?

Uhvatiti trenutak kada vam je mozak spreman dati najbolje ideje tehnika je koju uspješni ljudi slijede stotinama godina.

Umjetnici, pisci i veliki mislioci odavno su primijetili da su oni trenuci kada "kimamo" - odnosno upravo kada u mozgu prevlada theta ritam - najbolje vrijeme za buđenje kreativnih sposobnosti.

Albert Einstein i Thomas Edison imali su naviku rješavati složene probleme dok su u polusnu. Brz, kreativan um osmišljen je za rješavanje problema, zbog čega čak i kratko razmišljanje o zadacima novog dana rano ujutro dok ste još u ovom stanju (ili čak noću kada počnete zaspati) može donijeti nevjerojatni rezultati. Ono što je uspjelo za Einsteina, moglo bi i za vas – iako ne obećavamo da ćete postati autor nove teorije relativnosti.

Kako koristiti svoj theta ritam?

Trebat će neko vrijeme. Ali ako se redovito okrećete ovoj praksi, razvit ćete zdravu naviku koja će vašu produktivnost podići na novu razinu. Evo što vam je potrebno za ovo:

1. Odaberite zadatak

Ujutro, kada ste se već počeli buditi, ali su vam oči još uvijek zatvorene, a mozak još uvijek u polusnu, razmislite o najhitnijem problemu ili zadatku s kojim ćete se danas morati suočiti. Možda će to biti lukav razgovor, važni pregovori s klijentom, pisanje izvješća ili razvoj nove marketinške kampanje. Ali bez obzira koliko zadataka lebdi u vašem umu, morate odabrati jedan - i pustiti svoj mozak da radi na tome.

Ne pokušavajte na bilo koji način usmjeravati ili ograničavati svoje misli, samo pazite da se ne udalje previše od zadane teme. Najvjerojatnije će vaš mozak nesvjesno početi pokupiti rješenje.

Često ćete kao rezultat dobiti nekoliko korisnih ideja. Ponekad - čak i briljantan uvid. Najvjerojatnije ćete u početku zaboraviti koristiti ovu metodu svaki dan, no s vremenom će vam to postati još jedna navika, dio vaših jutarnjih rituala.

2. Vodite bilješke

Možda će najfrustrirajući dio rješavanja problema s Theta Rhythmom biti to što ćete zaboraviti ove nadahnute ideje čim vam glava napusti jastuk. Mučit ćete svoj mozak pod tušem, pokušavajući iz njega izvući briljantni plan u tri točke koji ste upravo mentalno skicirali. Zbog toga biste svoje odluke trebali zapisati čim ste dovoljno budni da otvorite oči.

Zgrabite svoj pametni telefon (još se puni na glavi, zar ne?) i odmah zabilježite svoje misli - u tekstu ili na diktafonu. Ne gubite vrijeme. Ograničite se na ključne riječi, opise i izraze koji će vam pokrenuti pamćenje kasnije kada budete spremni koristiti informacije.

Dodatna prednost: plavo svjetlo na zaslonu vašeg telefona pomoći će vam da se probudite. A ako želite pribjeći istoj metodi navečer, u procesu uspavljivanja, bolje je koristiti olovku i papir - tako vam umjetno svjetlo neće ometati san.

3. Analizirajte iskustvo

Vodite dnevnik svojih "theta misli" - s vremenom će vam to pomoći pronaći tipična rješenja i područja za njihovu primjenu. Možda ćete otkriti da je ova metoda za vas najučinkovitija u rješavanju kreativnih problema, ili ćete možda otkriti da vam daje prednost u radu s ljudima ili planiranju. To će vam pomoći da shvatite koje zadatke treba rješavati pomoću theta ritma u budućnosti.

Inspiracija može doći s bilo kojeg mjesta.

Ali isto vrijedi i za prepreke.

Theta razmišljanje koristi univerzalnu sposobnost mozga za rješavanje problema tako da možete zapamtiti ta rješenja i koristiti ih. Često pomaže zaobići još jednu prepreku na putu ili premostiti jaz između napola pripremljene ideje i stvarno korisnog rješenja, a zašto to ne iskoristiti? Ne morate čak ni ustati iz kreveta da biste to učinili! Objavljeno

U ovom videu analizirat ćemo cijeli niz linearnih jednadžbi koje se rješavaju istim algoritmom – zato se nazivaju najjednostavnijim.

Za početak, definirajmo: što je linearna jednadžba i koju od njih treba nazvati najjednostavnijim?

Linearna jednadžba je ona u kojoj postoji samo jedna varijabla i to samo u prvom stupnju.

Najjednostavnija jednadžba znači konstrukciju:

Sve ostale linearne jednadžbe svode se na najjednostavnije pomoću algoritma:

Otvorene zagrade, ako ih ima;
Premjestite pojmove koji sadrže varijablu na jednu stranu znaka jednakosti, a pojmove bez varijable na drugu;
Donesite slične pojmove lijevo i desno od znaka jednakosti;
Dobivenu jednadžbu podijelite s koeficijentom varijable $x$.

Naravno, ovaj algoritam ne pomaže uvijek. Činjenica je da se ponekad, nakon svih ovih makinacija, pokaže koeficijent varijable $x$ jednak nuli. U ovom slučaju moguće su dvije opcije:

Jednadžba uopće nema rješenja. Na primjer, kada dobijete nešto poput $0\cdot x=8$, tj. lijevo je nula, a desno je broj različit od nule. U videu ispod pogledat ćemo nekoliko razloga zašto je ova situacija moguća.
Rješenje su svi brojevi. Jedini slučaj kada je to moguće je kada je jednadžba svedena na konstrukciju $0\cdot x=0$. Sasvim je logično da bez obzira što zamijenimo $x$, ipak će ispasti “nula je jednaka nuli”, tj. ispravna brojčana jednakost.

A sada da vidimo kako to sve funkcionira na primjeru stvarnih problema.

Primjeri rješavanja jednadžbi

Danas se bavimo linearnim jednadžbama, i to samo onim najjednostavnijim. Općenito, linearna jednadžba označava svaku jednakost koja sadrži točno jednu varijablu, a ide samo do prvog stupnja.

Takve konstrukcije rješavaju se na približno isti način:

Prije svega, trebate otvoriti zagrade, ako ih ima (kao u našem posljednjem primjeru);
Zatim donesite slično
Konačno, izolirajte varijablu, t.j. sve što je povezano s varijablom – pojmovi u kojima je sadržana – prenosi se na jednu stranu, a sve što ostaje bez nje prenosi se na drugu stranu.

Zatim, u pravilu, trebate donijeti slično sa svake strane rezultirajuće jednakosti, a nakon toga ostaje samo podijeliti s koeficijentom na "x" i dobit ćemo konačni odgovor.

U teoriji ovo izgleda lijepo i jednostavno, ali u praksi čak i iskusni srednjoškolci mogu napraviti uvredljive pogreške u prilično jednostavnim linearnim jednadžbama. Obično se griješe ili prilikom otvaranja zagrada, ili kod brojanja "plusova" i "minusa".

Osim toga, događa se da linearna jednadžba uopće nema rješenja, ili da je rješenje cijeli brojevni pravac, t.j. bilo koji broj. Te ćemo suptilnosti analizirati u današnjoj lekciji. Ali počet ćemo, kao što ste već shvatili, s najjednostavnijim zadacima.

Shema za rješavanje jednostavnih linearnih jednadžbi

Za početak, dopustite mi da još jednom napišem cijelu shemu za rješavanje najjednostavnijih linearnih jednadžbi:

Proširite zagrade, ako ih ima.
Odvojite varijable, tj. sve što sadrži "x" prenosi se na jednu stranu, a bez "x" - na drugu.
Predstavljamo slične pojmove.
Sve dijelimo s koeficijentom na "x".

Naravno, ova shema ne funkcionira uvijek, ima određene suptilnosti i trikove, a sada ćemo ih upoznati.

Rješavanje stvarnih primjera jednostavnih linearnih jednadžbi

Zadatak #1

U prvom koraku od nas se traži da otvorimo zagrade. Ali oni nisu u ovom primjeru, pa preskačemo ovaj korak. U drugom koraku moramo izolirati varijable. Napominjemo: govorimo samo o pojedinačnim pojmovima. Idemo pisati:

Slične uvjete dajemo s lijeve i desne strane, ali to je ovdje već učinjeno. Stoga prelazimo na četvrti korak: podijelimo s faktorom:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Ovdje smo dobili odgovor.

Zadatak #2

U ovom zadatku možemo promatrati zagrade, pa ih proširimo:

I s lijeve i s desne strane vidimo približno istu konstrukciju, ali postupimo po algoritmu, t.j. varijable sekvestra:

Evo nekih poput:

Na kojim korijenima ovo funkcionira? Odgovor: za bilo koje. Stoga možemo napisati da je $x$ bilo koji broj.

Zadatak #3

Treća linearna jednadžba je već zanimljivija:

\[\lijevo(6-x \desno)+\lijevo(12+x \desno)-\lijevo(3-2x \desno)=15\]

Ovdje ima nekoliko zagrada, ali se ne množe ničim, samo imaju različite znakove ispred sebe. Rastavimo ih:

Izvodimo drugi nama već poznat korak:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Izračunajmo:

Izvodimo zadnji korak - sve dijelimo s koeficijentom na "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Stvari koje treba zapamtiti pri rješavanju linearnih jednadžbi

Ako zanemarimo prejednostavne zadatke, želio bih reći sljedeće:

Kao što sam rekao gore, nema svaka linearna jednadžba rješenje - ponekad jednostavno nema korijena;
Čak i ako postoje korijeni, nula može ući među njih - u tome nema ništa loše.

Nula je isti broj kao i ostali, ne biste ga trebali nekako diskriminirati ili pretpostaviti da ako dobijete nulu, onda ste učinili nešto krivo.

Još jedna značajka povezana je s proširenjem zagrada. Imajte na umu: kada je ispred njih "minus", uklanjamo ga, ali u zagradama mijenjamo znakove u suprotan. A onda ga možemo otvoriti prema standardnim algoritmima: dobit ćemo ono što smo vidjeli u gornjim izračunima.

Razumijevanje ove jednostavne činjenice pomoći će vam da izbjegnete glupe i štetne pogreške u srednjoj školi, kada se takve radnje uzimaju zdravo za gotovo.

Rješavanje složenih linearnih jednadžbi

Prijeđimo na složenije jednadžbe. Sada će konstrukcije postati složenije i pojavit će se kvadratna funkcija pri izvođenju različitih transformacija. No, toga se ne trebate bojati, jer ako, prema autorovoj namjeri, riješimo linearnu jednadžbu, tada će se u procesu transformacije svi monomi koji sadrže kvadratnu funkciju nužno reducirati.

Primjer #1

Očito, prvi korak je otvaranje zagrada. Učinimo ovo vrlo pažljivo:

Sada uzmimo privatnost:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Evo nekih poput:

Očito, ova jednadžba nema rješenja, pa u odgovoru pišemo kako slijedi:

\[\raznolikost \]

ili bez korijena.

Primjer #2

Izvodimo iste korake. Prvi korak:

Pomaknimo sve s varijablom ulijevo, a bez nje - udesno:

Evo nekih poput:

Očito, ova linearna jednadžba nema rješenja, pa je pišemo ovako:

\[\varnothing\],

ili bez korijena.

Nijanse rješenja

Obje su jednadžbe potpuno riješene. Na primjeru ova dva izraza još jednom smo se uvjerili da ni u najjednostavnijim linearnim jednadžbama sve ne može biti tako jednostavno: može biti ili jedan, ili nijedan, ili beskonačno mnogo. U našem slučaju, razmatrali smo dvije jednadžbe, u obje jednostavno nema korijena.

Ali želio bih vam skrenuti pozornost na još jednu činjenicu: kako raditi sa zagradama i kako ih otvoriti ako je ispred njih znak minus. Razmotrimo ovaj izraz:

Prije otvaranja, morate sve pomnožiti s "x". Napomena: množite svaki pojedini termin. Unutra se nalaze dva pojma - odnosno dva pojma i množe se.

I tek nakon što se ove naizgled elementarne, ali vrlo važne i opasne transformacije dovrše, može se otvoriti zagrada s gledišta da iza nje stoji znak minus. Da, da: tek sada, kada su transformacije gotove, sjetimo se da je ispred zagrada znak minus, što znači da sve dolje samo mijenja predznake. Istodobno, sami zagrade nestaju i, što je najvažnije, nestaje i prednji "minus".

Isto radimo s drugom jednadžbom:

Nije slučajno što obraćam pažnju na ove male, naizgled beznačajne činjenice. Jer rješavanje jednadžbi je uvijek slijed elementarnih transformacija, gdje nemogućnost jasnog i kompetentnog izvođenja jednostavnih radnji dovodi do toga da mi dolaze srednjoškolci i ponovno uče rješavati tako jednostavne jednadžbe.

Naravno, doći će dan kada ćete ove vještine izbrusiti do automatizma. Više ne morate svaki put izvoditi toliko transformacija, sve ćete napisati u jednom retku. Ali dok tek učite, svaku radnju trebate napisati zasebno.

Rješavanje još složenijih linearnih jednadžbi

Ovo što ćemo sada riješiti teško se može nazvati najjednostavnijim zadatkom, ali smisao ostaje isti.

Zadatak #1

\[\lijevo(7x+1 \desno)\lijevo(3x-1 \desno)-21((x)^(2))=3\]

Pomnožimo sve elemente u prvom dijelu:

Napravimo retreat:

Evo nekih poput:

Napravimo zadnji korak:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Evo našeg konačnog odgovora. I, unatoč činjenici da smo u procesu rješavanja imali koeficijente s kvadratnom funkcijom, oni su se međusobno poništili, što čini jednadžbu točno linearnom, a ne kvadratnom.

Zadatak #2

\[\lijevo(1-4x \desno)\lijevo(1-3x \desno)=6x\lijevo(2x-1 \desno)\]

Pažljivo napravimo prvi korak: pomnožimo svaki element u prvoj zagradi sa svakim elementom u drugom. Ukupno bi se nakon transformacija trebala dobiti četiri nova pojma:

A sada pažljivo izvršite množenje u svakom pojmu:

Pomaknimo pojmove s "x" ulijevo, a bez - udesno:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Evo sličnih pojmova:

Dobili smo konačan odgovor.

Nijanse rješenja

Najvažnija napomena o ove dvije jednadžbe je sljedeća: čim počnemo množiti zagrade u kojima je više od jednog člana, onda se to radi prema sljedećem pravilu: uzimamo prvi član iz prvog i množimo sa svakim elementom od drugog; zatim uzimamo drugi element iz prvog i na sličan način množimo sa svakim elementom iz drugog. Kao rezultat, dobivamo četiri mandata.

O algebarskom zbroju

Posljednjim primjerom želim podsjetiti učenike što je algebarski zbroj. U klasičnoj matematici, pod $1-7$ mislimo na jednostavnu konstrukciju: od jednog oduzimamo sedam. U algebri pod time podrazumijevamo sljedeće: broju "jedan" dodajemo još jedan broj, odnosno "minus sedam". Ovaj algebarski zbroj razlikuje se od uobičajenog aritmetičkog zbroja.

Čim pri izvođenju svih transformacija, svakog zbrajanja i množenja, počnete vidjeti konstrukcije slične gore opisanim, jednostavno nećete imati problema u algebri pri radu s polinomima i jednadžbama.

U zaključku, pogledajmo još nekoliko primjera koji će biti još složeniji od ovih koje smo upravo pogledali, a da bismo ih riješili, morat ćemo malo proširiti naš standardni algoritam.

Rješavanje jednadžbi s razlomkom

Za rješavanje takvih zadataka našem algoritmu treba dodati još jedan korak. Ali prvo ću podsjetiti naš algoritam:

Otvorene zagrade.
Odvojene varijable.
Donesite slično.
Podijelite s faktorom.

Jao, ovaj prekrasan algoritam, uz svu svoju učinkovitost, nije sasvim prikladan kada imamo razlomke ispred sebe. A u onome što ćemo vidjeti u nastavku, imamo razlomak s lijeve i desne strane u obje jednadžbe.

Kako raditi u ovom slučaju? Da, vrlo je jednostavno! Da biste to učinili, morate dodati još jedan korak u algoritam, koji se može izvesti i prije prve radnje i nakon nje, naime, da biste se riješili razlomaka. Dakle, algoritam će biti sljedeći:

Riješite se razlomaka.
Otvorene zagrade.
Odvojene varijable.
Donesite slično.
Podijelite s faktorom.

Što znači "riješiti se razlomaka"? I zašto je to moguće učiniti i nakon i prije prvog standardnog koraka? Zapravo, u našem su slučaju svi razlomci brojčani u smislu nazivnika, t.j. svugdje nazivnik je samo broj. Stoga, ako oba dijela jednadžbe pomnožimo ovim brojem, riješit ćemo se razlomaka.

Primjer #1

\[\frac(\left(2x+1 \desno)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Riješimo se razlomaka u ovoj jednadžbi:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Imajte na umu: sve se množi s "četiri" jednom, tj. samo zato što imate dvije zagrade ne znači da svaku od njih morate pomnožiti s "četiri". Idemo pisati:

\[\left(2x+1 \desno)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Sada otvorimo:

Izvodimo izdvajanje varijable:

Vršimo redukciju sličnih pojmova:

\[-4x=-1\lijevo| :\lijevo(-4 \desno) \desno.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Dobili smo konačno rješenje, prelazimo na drugu jednadžbu.

Primjer #2

\[\frac(\lijevo(1-x \desno)\lijevo(1+5x \desno))(5)+((x)^(2))=1\]

Ovdje izvodimo sve iste radnje:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problem riješen.

To je, zapravo, sve što sam danas htio reći.

Ključne točke

Ključni nalazi su sljedeći:

Poznavati algoritam za rješavanje linearnih jednadžbi.
Mogućnost otvaranja zagrada.
Ne brinite ako negdje imate kvadratne funkcije, najvjerojatnije će se u procesu daljnjih transformacija smanjiti.
Korijeni u linearnim jednadžbama, čak i najjednostavnijim, su tri vrste: jedan jedini korijen, cijeli brojevni pravac je korijen, korijena uopće nema.

Nadam se da će vam ova lekcija pomoći da savladate jednostavnu, ali vrlo važnu temu za daljnje razumijevanje sve matematike. Ako nešto nije jasno, idite na stranicu, riješite tamo prikazane primjere. Ostanite s nama, čeka vas još mnogo zanimljivosti!

Kako naučiti rješavati jednostavne i složene jednadžbe

Dragi roditelji!

Bez osnovne matematičke izobrazbe nemoguće je postaviti obrazovanje suvremene osobe. U školi matematika služi kao prateći predmet za mnoge srodne discipline. U posliješkolskom životu, kontinuirano obrazovanje postaje stvarna potreba, što zahtijeva osnovnu obuku u cijeloj školi, uključujući matematiku.

U osnovnoj školi se ne polažu samo znanja o osnovnim temama, već se razvija logičko mišljenje, mašta i prostorni prikazi te se formira interes za ovaj predmet.

Promatrajući načelo kontinuiteta, usredotočit ćemo se na najvažniju temu, a to je "Odnos komponenti djelovanja u rješavanju složenih jednadžbi".

Uz pomoć ove lekcije možete lako naučiti rješavati komplicirane jednadžbe. U lekciji ćete se detaljno upoznati s uputama korak po korak za rješavanje kompliciranih jednadžbi.

Mnogi roditelji su zbunjeni pitanjem – kako navesti djecu da nauče rješavati jednostavne i složene jednadžbe. Ako su jednadžbe jednostavne - ovo je još uvijek pola nevolje, ali postoje i složene - na primjer, integralne. Inače, za informaciju, postoje i takve jednadžbe nad čijim se rješavanjem muče najbolji umovi našeg planeta i za čije se rješavanje izdaju vrlo značajne novčane nagrade. Na primjer, ako se sjećatePerelmani nepretraženi novčani bonus od nekoliko milijuna.

No, vratimo se na početak jednostavnim matematičkim jednadžbama i ponovimo vrste jednadžbi i nazive komponenti. Malo zagrijavanje:

_________________________________________________________________________

ZAGRIJATI SE

Pronađite dodatni broj u svakom stupcu:

2) Koja riječ nedostaje u svakom stupcu?

3) Spoji riječi iz prvog stupca s riječima iz 2. stupca.

"Jednakost" "Jednakost"

4) Kako objašnjavate što je "jednakost"?

5) A "jednadžba"? Je li to jednakost? Što je tu posebno?

pojam zbroj

smanjena razlika

oduzeti proizvod

faktorjednakost

dividenda

jednadžba

Zaključak: Jednadžba je jednakost s varijablom čija se vrijednost mora pronaći.

_______________________________________________________________________

Predlažem da svaka grupa flomasterom napiše jednadžbu na papiru: (na ploči)

skupina 1 - s nepoznatim pojmom;

skupina 2 - s nepoznatim smanjenim;

skupina 3 - s nepoznatim oduzetim;

grupa 4 - s nepoznatim djeliteljem;

skupina 5 - s nepoznatim djeljivim;

6. skupina - s nepoznatim množiteljem.

1 grupa x + 8 = 15

2 grupa x - 8 = 7

3 grupa 48 - x = 36

4. grupa 540: x = 9

5 grupa x: 15 = 9

6 grupa x * 10 = 360

Jedan iz skupine treba pročitati njihovu jednadžbu na matematičkom jeziku i komentirati njihovo rješenje, odnosno izgovoriti operaciju koja se izvodi s poznatim radnim komponentama (algoritam).

Zaključak: U stanju smo rješavati jednostavne jednadžbe svih vrsta prema algoritmu, čitati i pisati doslovne izraze.

Predlažem riješiti problem u kojem se pojavljuje nova vrsta jednadžbi.

Zaključak: Upoznali smo se s rješenjem jednadžbi čiji jedan dio sadrži numerički izraz čiju vrijednost treba pronaći i dobiti jednostavnu jednadžbu.

________________________________________________________________________

Razmotrimo drugu verziju jednadžbe, čije se rješenje svodi na rješavanje lanca jednostavnih jednadžbi. Ovdje je jedan od uvoda složenih jednadžbi.

a + b * c (x - y): 3 2 * d + (m - n)

Jesu li to jednadžbe zapisa?

Zašto?

Kako se zovu te radnje?

Pročitajte ih, imenujući posljednju radnju:

Ne. Ovo nisu jednadžbe, jer jednadžba mora sadržavati znak “=”.

Izrazi

a + b * c - zbroj broja a i umnožaka brojeva b i c;

(x - y): 3 - količnik razlike između brojeva x i y;

2 * d + (m - n) - zbroj udvostručenog broja d i razlika između brojeva m i n.

Predlažem svima da napišu rečenicu matematičkim jezikom:

Umnožak razlike između brojeva x i 4 i broja 3 je 15.

ZAKLJUČAK: Nastala problemska situacija motivira postavljanje cilja sata: naučiti rješavati jednadžbe u kojima je nepoznata komponenta izraz. Takve su jednadžbe složene jednadžbe.

__________________________________________________________________________

Ili će nam možda pomoći već proučene vrste jednadžbi? (algoritmi)

Koja je od poznatih jednadžbi slična našoj jednadžbi? X * a = in

JAKO VAŽNO PITANJE: Koji je izraz na lijevoj strani - zbroj, razlika, umnožak ili količnik?

(x - 4) * 3 = 15 (proizvod)

Zašto? (jer je zadnja radnja množenje)

Zaključak:Takve jednadžbe još nisu razmatrane. Ali možemo odlučiti hoće li izrazx - 4prekrijte karticu (y - y) i dobit ćete jednadžbu koja se lako može riješiti korištenjem jednostavnog algoritma za pronalaženje nepoznate komponente.

Prilikom rješavanja složenih jednadžbi potrebno je u svakom koraku odabrati radnju na automatiziranoj razini, komentirati, imenovati komponente radnje.

Pojednostavite dio

↓ Da

(y - 5) * 4 = 28
y - 5 = 28: 4
y - 5 = 7
y = 5 +7
y = 12
(12 - 5) * 4 = 28
28 = 28 (i)

Zaključak:U razredima s različitim podlogama ovaj se rad može organizirati na različite načine. U naprednijim razredima, čak i za primarnu konsolidaciju, mogu se koristiti izrazi u kojima nisu dvije, već tri ili više radnji, ali njihovo rješenje zahtijeva više koraka pri čemu svaki korak pojednostavljuje jednadžbu, sve dok se ne dobije jednostavna jednadžba. I svaki put možete promatrati kako se nepoznata komponenta radnji mijenja.

_____________________________________________________________________________

ZAKLJUČAK:

Kada je u pitanju nešto vrlo jednostavno, razumljivo, često kažemo: „Stvar je jasna, kao dva puta dva – četiri!“.

Ali prije nego što pomislite na činjenicu da je dva puta dva četiri, ljudi su morali učiti mnogo, mnogo tisuća godina.

Mnoga pravila iz školskih udžbenika aritmetike i geometrije bila su poznata starim Grcima prije više od dvije tisuće godina.

Gdje god trebate nešto prebrojati, izmjeriti, usporediti, ne možete bez matematike.

Teško je zamisliti kako bi ljudi živjeli da ne znaju brojati, mjeriti, uspoređivati. Matematika to uči.

Danas ste zaronili u školski život, bili u ulozi učenika i predlažem vam, dragi roditelji, da svoje vještine ocijenite na ljestvici.

Moje vještine	Datum i ocjena
Komponente akcije.
Sastavljanje jednadžbe s nepoznatom komponentom.
Čitanje i pisanje izraza.
Pronađite korijen jednadžbe u jednostavnoj jednadžbi.
Pronađite korijen jednadžbe čiji jedan od dijelova sadrži numerički izraz.
Nađi korijen jednadžbe u kojoj je nepoznata komponenta radnje izraz.